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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas

MATEMATICAS I (MA-1111)

2do Parcial MODELO

MA-1111, MODELO II, Enero – Marzo 2007 JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS

1. a) Hallar

b) Definir formalmente LxfLimx

=+¥®

)(

c) Hallar y representar las asíntotas de la función:

2

55)(

2

+

++=

x

xxxf

d) Hallar ÷ø

öçè

æ --+¥®

xxLimx

312

e) Hallar 4

1272

4lim -

+-

® x

xx

x

f) Hallar ÷ø

öçè

æ

--

® 4

1)4(lim

4 xsenx

x

(1 Pto c/u)

2. Hallar los siguientes limites: a) Sean ( ) 4lim

1=

®xf

x y ( ) 1lim

4=

®xg

x.

Hallar de ser posible ( )( )xgfx

o4

lim®

,

( )( )xfgx

+®1

lim , ( )( )xfgx

o1

lim®

y

( )xg

f

x÷÷ø

öççè

æ

®4lim (4 Ptos)

b)

1

199 23

1lim -

-+-

® x

xxx

x

(3 Ptos)

c) ÷ø

öçè

æ -+-+¥®

15 2lim xxxx

(3 Ptos) d)

435 42

23 44 5 1lim

xxxx

xxxx

x +++

++++

+¥®

(4 Ptos)

3. Estudiar la continuidad de la siguiente función:

(6 Ptos)

4. a) Enunciar el Teorema del emparedado

(2 Ptos)

b) Mostrar que 1)(

lim0

=® x

xsen

x (2 Ptos)





2do Parcial MODELO

Página 2 de 9

1. a) Hallar

Solución:

054

0

273.273.93

9323

2

==++-

-

b) Definir formalmente LxfLimx

=+¥®

)(

Solución:

e

e

<-Þ<

>$>"

LxfxM

queTalM

)(

:,0,0

c) Hallar y representar las asíntotas de la función: 2

55)(

2

+

++=

x

xxxf

Solución:

· Candidato a ser Asíntota vertical es la recta 2-=x

Como ( ) ( ) 15252 2 -=+-+- y

ïî

ïí

ì

->>+

-<<+

202

202

xsix

xsix

Entonces: +¥=+

++

--®2

552

2

limx

xx

x

y -¥=+

++

--®2

552

2

limx

xx

x

Por lo tanto: 2-=x es una asíntota vertical.

· Asíntotas Oblicuas u Horizontales:

x

xx

x

xx

x

xx

xx

xx

x

x

xx

121

15

151

2

55

2

552

55

2

2

2

2

2

2

2

2

+

++

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ +

÷÷

ø

ö

çç

è

æ ++

=+

++=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

++

Luego: 11

21

15

1512

55

2

2

=

+

++

=÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

++

+¥®+¥®

x

xxLim

x

x

xx

Limxx





2do Parcial MODELO

Página 3 de 9

Además,

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxxx

x

xx

121

153

2

53

2

53

2

255

2

55 222

+

+=

÷ø

öçè

æ +

÷ø

öçè

æ +

=+

+=

+

--++=-

+

++

Luego: 31

21

153

2

552

=

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

+

+=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ-

+

++

+¥®+¥®

x

xLimxx

xxLim

xx

En consecuencia existe una asíntota oblicua hacia ¥+ , de ecuación: 3+= xy y

no existen asíntotas horizontales, ya que +¥=÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

++

+¥® 2

552

x

xxLim

x

Como los cálculos algebraicos no se alteran por que el valor de x sea negativo o positivo, entonces existe una asíntota oblicua hacia ¥- , de misma ecuación:

3+= xy

d) Hallar xxx

312lim --

+¥®

Solución:

xxx

x

x

xx

x

x

xx

x

xx

xx

xx

xx

xxxx

13

11

18

31

18

31

18

31

91

31

31

3131

42

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

22

+-

--

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ +-

÷÷

ø

ö

çç

è

æ --

=

+-

--=

+-

--=

÷ø

öçè

æ +-

÷ø

öçè

æ +-

÷ø

öçè

æ --=--

Como: 01

311

y81

8422

=+--=--+¥®+¥® xxx

Limx

Limxx

, llegando a 0 con valores

siempre positivos, ya que la expresión 42

11

xx- tiene sentido cuando x tiende a ¥+ ,

es decir:

÷÷ø

öççè

æ-<Þ<Þ<<<<Û<<<Û<<Û<

4224432322 11

011

1111xxxx

xxxxxxxxxx





2do Parcial MODELO

Página 4 de 9

entonces xxx

312lim --

+¥®=

xx

x

x 131

1

18

2

2lim

+-

--

+¥®= ¥-

e) Hallar 4

1272

4lim -

+-

® x

xx

x

Solución:

( )( )3

4

43

4

1272

-=-

--=

-

+-x

x

xx

x

xx

Entonces: 14

1272

4=

-

+-

® x

xxLimx

f) Hallar ÷ø

öçè

æ

--

® 4

1)4(lim

4 xsenx

x

Solución:

÷ø

öçè

æ

--=÷

ø

öçè

æ

--

4

14

4

1)4(

xsenx

xsenx

Como: 14

1£÷

ø

öçè

æ

-xsen , se obtiene; 4

4

1)4( -£÷

ø

öçè

æ

-- x

xsenx

Por lo tanto: 44

1)4(4 -£÷

ø

öçè

æ

--£-- x

xsenxx

Como 04444

=-=--®®

xLimxLimxx

, entonces por el teorema del emparedado

04

1)1(lim

4

=÷ø

öçè

æ

--

® xsenx

x

2. Hallar los siguientes limites:

a) Sean ( ) 4lim1

=®

xfx

y ( ) 1lim4

=®

xgx

.

Hallar de ser posible ( )( )xgfx

o4

lim®

, ( )( )xfgx

+®1

lim , ( )( )xfgx

o1

lim®

y

( )xg

f

x÷÷ø

öççè

æ

®4lim

Solución:

o ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) 4limlimlimlim1144

====®®®®

yfxgfxgfxgfyxgxx

o





2do Parcial MODELO

Página 5 de 9

o ( )( ) )(lim)(limlim111

xfxgxfgxxx ®®®

+=+ , no es posible hallarlo , ya que no

se conoce )(lim1

xgx®

o ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1lim)(lim)(limlim44)(11

====®®®®

ygxfgxfgxfgyxfxx

o

o ( ))(lim

)(lim

)(

)(limlim

4

4

44 xg

xf

xg

xfx

g

f

x

x

xx®

®

®®=÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ, no es posible hallarlo, ya que

no se conoce )(lim4

xfx®

y no poseemos mas información sobre las

funciones.

b) 1

999 23

1lim -

+--

® x

xxx

x

Solución:

( )( )18

1

181

1

199 2223

+-=-

+--=

-

-+-xx

x

xxx

x

xxx

( ) 611.81181

199 22

1

23

1limlim -=+-=+-=

-

-+-

®®

xxx

xxx

xx

c) ÷ø

öçè

æ -+-+¥®

15 2lim xxxx

Solución:

( )

432

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

22

2

222

1115

1124

15

124

15

124

15

125

15

125

15

151515

xxxx

xx

x

xxx

x

xx

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx

-++

+-

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ -++

÷÷

ø

ö

çç

è

æ +-

=-++

+-=

-++

+--=

-++

-+-=

-++

-++÷ø

öçè

æ -+-=-+-





2do Parcial MODELO

Página 6 de 9

Como 01115

2411

244322

=÷÷ø

öççè

æ-++=÷÷

ø

öççè

æ+-

+¥®+¥® xxxxy

xx xxLimLim , este

último llegando 0 con valores positivos, se obtiene:

+¥=

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

-++

+-

=÷ø

öçè

æ -+-+¥®+¥®

432

22

1115

1124

15 limlim

xxxx

xxxxx

xx

d) 435 42

23 44 5 1lim

xxxx

xxxx

x +++

++++

+¥®

Solución:

2143

2232

43

2

23452

2

221445

23452

221445

223452

221445

435 42

23 44 5

112

11

11

2

1

2

111

xx

xxx

x

x

xxx

x

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

++

++++

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ ++

÷÷

ø

ö

çç

è

æ ++++

=

++

++++=

+++

++++=

+++

++++

Como

211

2y1

111

21432232

43=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+++¥=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ++++

+¥®+¥®xxxx

x

xxxLimLim ,

Entonces:

+¥=

++

++++

=

+++

++++

+¥®+¥®2143

2232

43

435 42

23 44 5

112

11

11

1limlim

xx

xxx

x

xxxx

xxxx

xx

3. Estudiar la continuidad de la siguiente función:

Solución:

· )(xf es continua en )1,(-¥ , ya que es un polinomio en ese intervalo





2do Parcial MODELO

Página 7 de 9

· )(xf es continua en )2,1( , ya que es un polinomio en ese intervalo

· )(xf es continua en ),2( +¥ , ya que es un polinomio en ese intervalo

· Estudiamos la continuidad en los puntos 2y1 == xx

o Punto 1=x

( ) ( ) 01)(y01)( 2

1111

=-==-=+®+®-®-®

xLimxfLimxLimxfLimxxxx

,

luego: 0)(1

=®

xfLimx

y como )(0)1(1

xfLimfx®

== entonces f es continua en 1.

o Punto 2=x

( ) 4)(y31)( 2

22

2

22

===-=+®+®-®-®

xLimxfLimxLimxfLimxxxx

,

luego: )()(11

xfLimxfLimxx +®-®

¹ y en consecuencia )(1

xfLimx®

no existe

Por lo tanto, f no es continua en 2.

Así, se puede afirmar que: )(xf es continua en RI \{ }2

4.

a) Enunciar el Teorema del emparedado Solución: Sean )(y)(),( xhxgxf funciones definidas en un intervalo [ ]ba, que contiene

al punto c .

Si las funciones satisfacen )()()( xhxgxf ££ y LxhLimxfLimcxcx

==®®

)()( ,

entonces LxgLimcx

=®

)(

b) Mostrar que 1)(

lim0

=® x

xsen

x

Solución: Se utilizara el teorema del emparedado.





2do Parcial MODELO

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Por geometría se tiene: )()()( CáreaBáreaAárea ££ ,

Recordando que el área de una sección de ángulo a en un disco de radio r es:

2

2rárea

a= , se obtiene:

22 1.2

)(y2

)()cos()(),(cos

2)(

xCárea

xsenxBáreax

xAárea ===

Luego: 22

)()cos()(cos

22 xxsenx

xx

££ y dividiendo la expresión por 2

)cos(xx

que es positiva,

se obtiene: )cos(

1)()cos(

xx

xsenx ££

la cual es valida para 2

0p

<£ x , según la figura.

Para 02

<<- xp

, se procede de la misma forma y obtenemos la misma

desigualdad solamente que en el lugar de x aparece –x, es decir:

x

R=1

)cos(xCOS(X)

)(xsenCOS(X)

Región C

Región A

Región B

)cos(xCOS(X)





2do Parcial MODELO

Página 9 de 9

)(cos22

)()cos(

222

)()cos()(cos

222 x

xxsenxxxxsenxx

x££Û

-£

--£-

- y

dividiendo la expresión por 2

)cos(xx que es negativo, se obtiene:

)cos(

1)()cos(

xx

xsenx ££

Por lo tanto se puede afirmar que:

Si ÷ø

öçè

æ-Î

2,

2

ppx , entonces

)cos(

1)()cos(

xx

xsenx ££

Como 1)cos(

1)cos(

00==

®® xLimxLimxx

, entonces por el teorema del emparedado

1)(

0=

® x

xsenLimx

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