universidad regional autÓnoma de los...
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UNIVERSIDAD REGIONAL AUTÓNOMA
DE LOS ANDES
FACULTAD DE EDUCACIÓN Y COMUNICACIÓN
MAESTRÍA EN GERENCIA DE LA EDUCACIÓN ABIERTA
PROYECTO EXAMEN COMPLEXIVO PREVIO A LA
OBTENCIÓN DEL GRADO ACADÉMICO DE MAGISTER EN
GERENCIA DE LA EDUCACIÓN ABIERTA
TEMA:
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS EN EL PROCESO LÓGICO -
MATEMÁTICO DE LOS ESTUDIANTES
AUTOR: Ing. JOSÉ ARCESIO BAÑO PAZMIÑO
ASESOR: Dr. ARIEL ROMERO FERNÁNDEZ, PHD
BABAHOYO – ECUADOR
2015
CERTIFICACIÓN DEL ASESOR
En mi calidad de Asesor del Proyecto “ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS EN
EL PROCESO LÓGICO -MATEMÁTICO DE LOS ESTUDIANTES”, que fue
elaborado por el ING. JOSÉ ARCESIO BAÑO PAZMIÑO, Certifico que el trabajo se
encuentra concluido y ha cumplido con los requisitos técnicos y pedagógicos que la
Universidad Regional Autónoma de los Andes UNIANDES exige para la sustentación
previa a la obtención del Título de Magister en Gerencia de la Educación Abierta.
ASESOR DE PROYECTO DE EXAMEN COMPLEXIVO
DECLARACIÓN DE AUTORÍA
Me es grato poner a disposición y a favor de la educación este trabajo de investigación
del cual declaro ser el autor intelectual directo. Este trabajo se ha respaldado en fuentes
de investigacion de autores nacionales y extrajeros, los cuales han enriquecido el
conocimiento y la fundamentacion que podran encontrar en el desarrollo del mismo
En cuanto a las metodologías, garantizo que esta investigacion ayudará a identificar las
falencias en el actual sistema educativo para la enseñanza de la materia matemática, así
como también la vericidad de aquellos métodos y conceptos que repetimos al momento
de la enseñanza.
Han sido agregados y transcritos algunos contenidos que pertenecen a autores de
diferente categoría, todos enfocados al desarrollo de la materia basados en investigación
científica, cuyo único objetivo ha sido el de mostrar al mundo lo que realmente es la
enseñanza de esta materia y derrumbar paradigmas que la sociedad ha creado alrededor
de esta.
Finalmente, espero que este trabajo represente un aporte a nuestros colegas en el campo,
y pueda servir de guía en la búsqueda de la excelencia académica, en pro del éxito de
nuestra sociedad.
DEDICATORIA
Dedico este trabajo primerisimamente
a Dios que me ha facultado de vida,
para poder culminar esta investigación,
A mis amados padres y hermanos
por acompañarme cuando más he necesitado un apoyo;
en especial a mi padre,
cuyas sabias palabras aun siguen haciendo ruido en mi cabeza
motivandome cada día
A mi adorada esposa Sally
por ser mi pilar
por apoyarme siempre, acompañarme
y ayudarme en los
momentos más difíciles.
AGRADECIMIENTO
Muy primeramente a Dios que me ha facultado de vida,
para poder culminar esta investigación.
A la Universidad Autónoma de los Andes,
a su Rector y demás autoridades
quienes nos han guiados durante este crecimiento.
A todos nuestros colegas,
quienes dedican su vida
para compartir conocimientos en búsqueda de la verdad
A mi Asesor de proyecto Dr. Ariel Romero Fernández, phd.
por guiarnos durante este gran logro
INDICE
Resumen Ejecutivo ........................................................................................................
Ejecutive Summary ........................................................................................................
a) Tema ........................................................................................................................ 1
b) Problema que se va a investigar .............................................................................. 1
c) Justificación de la necesidad, importancia y actualidad del tema a investigar. ...... 1
d) Línea de investigación............................................................................................. 4
e) Objetivos ................................................................................................................. 4
f) Fundamentación teórica – conceptual de la propuesta y elementos que motivaron
a elegir el tema. ....................................................................................................... 4
Las deficientes aplicaciones de estrategias afectan el desarrollo del proceso
Lógico Matemático de los estudiantes ............................................................. 4
Algunos factores críticos en la enseñanza de las matemáticas ........................ 8
Conocimientos que no lo son: ........................................................................ 10
Representación matemática ............................................................................ 11
Representación numérica. ............................................................... 12
Procedimientos matemáticos. .......................................................... 12
g) Metodología .......................................................................................................... 13
Métodos Teóricos:........................................................................... 13
Métodos Empíricos: ........................................................................ 13
Población y muestra ........................................................................ 14
Encuesta a Docentes ............................................................................. 15
Encuesta a Estudiantes.......................................................................... 19
i) Desarrollo de la Propuesta .................................................................................... 22
La implicación lógica en el proceso de demostración matemática (Nivel
Inicial) ............................................................................................................ 23
Impulso del pensamiento matemático (Nivel Inicial y Primario) .................. 24
Rectas numéricas ............................................................................. 24
Tablas de multiplicar ....................................................................... 25
Material concreto ............................................................................ 25
Problemas de historia ...................................................................... 25
Juegos Mentales (Lucha de hemisferios) ........................................ 27
Desarrollar la intuición lógica - matemática ................................... 27
Resolución de problemas (Niveles inicial, primario, medio)......................... 31
El Plan de Pólya. ............................................................................. 32
Las estrategias en la resolución de problemas. ............................... 36
Método de Singapur ........................................................................ 37
Recuperación del pensamiento geométrico y de la intuición espacial (Niveles
inicial, primario, medio y superior) ............................................................... 39
Desarrollo del pensamiento aleatorio. Probabilidad y estadística .................. 40
j) Conclusiones ......................................................................................................... 40
k) Recomendaciones .................................................................................................. 41
Fuentes bibliográficas ....................................................................................................
Datos personales ............................................................................................................
Anexos ...........................................................................................................................
Resumen Ejecutivo
Palabras Claves: Estrategias Metodológicas, Proceso Matemático y Lógico, Métodos
de Enseñanzas, Educación.
La deficiencia de las estrategias para la enseñanza de las matemáticas a lo largo del
tiempo ha sido en gran parte por la cultura sudamericana. A través del tiempo, se
han mantenido muchas veces ideas erróneas tanto de los estudiantes como de los
profesores. El contenido de este trabajo muestra las diferentes metodologías
apropiadas para el desarrollo del proceso matemático y lógico de los estudiantes en
sus diferentes etapas. El mundo está en constante cambio y así mismo las sociedades
se vuelven más especializadas y es importante poder enlazar estos cambios con los
métodos apropiados de enseñanza. Los profesores deben conocer el proceso de
crecimiento de los estudiantes, así como también incentivar y guiar durante el
desarrollo de los mismos. El estudiante necesita las bases para poder luego
relacionar conceptos, aplicar herramientas, crear modelos y resolver problemas de
niveles altos, siempre y cuando los conocimientos sean apropiados y el maestro
mejore sus propios métodos de enseñanza. Los aprendices están dispuestos a
aprender si los maestros ponen en práctica los buenos métodos de educación.
Ejecutive Summary
Palabras Claves: Estrategias Metodológicas, Proceso Matemático y Lógico, Métodos
de Enseñanzas, Educación.
Deficiency of strategies for teaching mathematics over time has been largely by
South American culture. Over time, they have remained often misconceptions of
both students and teachers. The content of this paper shows the different
appropriate for the development of mathematical and logical students at different
stages process methodologies. The world is constantly changing and likewise
societies become more specialized and it is important to link these changes with
appropriate teaching methods. Teachers should know the process of growth of
students as well as encourage and guide during their development. The student
needs the bases and then to relate concepts, apply tools, modeling and troubleshoot
high as long as the knowledge levels are appropriate and the teacher improve his
own teaching methods. Students are keen to learn as long as teachers implement
good education methods.
1
a) Tema
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS EN EL PROCESO LÓGICO -MATEMÁTICO
DE LOS ESTUDIANTES
b) Problema que se va a investigar
La deficiente preparación de los docentes bajo las normativas de una nueva tecnología,
que implica el desconocimiento del desarrollo de los métodos de enseñanza activa
conlleva a formar alumnos desinteresados en las diferentes materias de estudio, lo cual
perjudica el proceso de aprendizaje de los mismos, tornándolos en muchos casos
repetidores de una teoría mas no en críticos o analíticos.
El problema que se investigará será el siguiente:
¿Cómo perfeccionar las estrategias utilizadas por los docentes para el desarrollo del
pensamiento lógico-matemático de los estudiantes de la Unidad Educativa Bernardino
Echeverría en las diferentes etapas de su enseñanza?
Este proyecto de investigación será llevado a cabo en la ciudad de Guayaquil, en la
provincia del Guayas, en la República del Ecuador.
c) Justificación de la necesidad, importancia y actualidad del tema a
investigar.
El desconocimiento de los pasos agigantados con que la ciencia y la tecnología avanzan
actualmente, da lugar a que en determinados lugares, la educación continué su marcha
lenta, como si nada nuevo ocurriera en el mundo, aplicando métodos de enseñanza que
se identifican con un modelo conductivista antes que con un modelo constructivista,
existiendo por lo tanto un divorcio antagónico entre la ciencia y la educación.
El bajo nivel de comprensión de las leyes fundamentales que mueven el mundo y los
principios que rigen las demostraciones científicas ha ocasionado que en pleno siglo
2
XXI la mayoría de la humanidad se encuentre bajo los efectos de una ignorancia atroz y
sin precedentes, sin reconocer en muchos casos que la educación es el motor
fundamental para un verdadero desarrollo social de los pueblos, existiendo muchas
preguntas con respuestas memorísticas y que tienden a un posterior olvido.
La no comprensión del porque se imparten una serie de contenidos y además no
relacionar dichos contenidos con conocimientos científicos encadenados provoca que
los estudiantes aprendan de forma aislada y además que recurran a un memorismo
desmedido que no les permite salir de la ignorancia existente, provocando una continua
repetición de la información, ocasionando la producción de una persona insegura en las
operaciones que realiza.
El bajo nivel de los docentes en el área de diagnóstico ha influenciado negativamente en
una proyección educativa sistémica dando como resultado baja calidad en el proceso de
enseñanza aprendizaje, ya que no se disponen de diseños curriculares adecuados para
determinado análisis históricos, confundiendo la educación con instrucción,
desarrollando la educación por igual para los talentos como de aquellos estudiantes que
son más lentos, todo esto influye en la formación de un estudiante seguro y crítico.
En muchas ocasiones, los estudiantes no encuentran las soluciones apropiadas para la
simplificación de una serie de razonamientos lógicos, y con el escaso recurso que
poseen, se convierten en personas poco persistentes en la realización de inferencias o
en la búsqueda concreta de soluciones, lo cual además trae como consecuencia un bajo
nivel de autoestima que puede y afecta significativamente el desarrollo de la
personalidad del estudiante, ya que en muchos casos los maestros no enseñan
contenidos significativos perjudicando el fortalecimiento de las habilidades cognitivas
del estudiante.
3
Contar con las habilidades, estrategias, métodos, y formas de expresión para facilitar la
comunicación y la comprensión de la información matemática en los estudiantes, así
como también facilitar la toma de decisiones y el desarrollo de estrategias de manera
que estas conduzcan a un desenvolvimiento eficaz en las diversas actividades o
situaciones a las que se enfrenta diariamente los estudiantes, teniendo por consiguiente
personas con capacidad para desenvolverse en un mundo altamente tecnificado donde la
vinculación de las matemáticas con el resto de las ciencias se hace cada vez más intensa.
Las estrategias inadecuadas conllevan a que los estudiantes opten por el camino de la
repetición sistemática de conocimientos y se desvinculen del camino de la criticidad,
llegando a ser personas no creativas ni reflexivas, y por lo tanto no están preparados
para enfrentar un mundo cambiante y de decisiones cada vez más complejas y
crecientes.
Según Carlo Frabetti: “Un buen profesor de matemáticas ha de tener inteligencia,
sentido del humor y ganas de enseñar” (Frabetti, 2008). Se considera pertinente la
investigación ya que es una manera coherente de estudiar relaciones lógicas con
estrategias convencionales y métodos coherentes que conllevan a realizar inferencias no
sólo en el campo de las matemáticas sino en todo campo de estudio.
Esta investigación será de singular trascendencia para los estudiantes ya que existirá un
antes y un después de la misma de manera tal que el estudiante se autoevalúe y se
convenza de la importancia de las estrategias correctas para tratar ejercicios y
demostraciones que impliquen razonamientos lógicos.
La investigación será útil para maestros y alumnos que caminen por los senderos de las
destrezas metodológicas correctas y que fijen su meta en un buen razonamiento lógico
en base a una serie de argumentaciones.
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d) Línea de investigación
Procesos didácticos
e) Objetivos
General
Proponer estrategias didácticas para potencializar el raciocinio en los estudiantes
mediante el empleo de argumentos lógicos en la Educación General Básica Superior.
Específicos:
Elaborar estrategias matemáticas para mejorar el raciocinio lógico de los
estudiantes.
Reforzar las destrezas intelectuales en la formación de conceptos matemáticos
en los estudiantes de la Educación General Básica.
Potencializar el nivel de incidencia práctica entre el lenguaje común y el
lenguaje simbólico matemático a través de ejemplos.
f) Fundamentación teórica – conceptual de la propuesta y elementos que
motivaron a elegir el tema.
Las deficientes aplicaciones de estrategias afectan el desarrollo del
proceso Lógico Matemático de los estudiantes
Lo que es seguro es que la matemática está ahí, a la vuelta de la esquina, en nuestra vida
cotidiana y esperando a que la descubramos.
Matemática…
¿Estás Ahí?
(Paenza, 2005)
Las matemáticas son un lenguaje universal y aparentemente el pensamiento matemático
básico no es exclusivo de nuestra especie, pues experimentos realizados en animales
permiten pensar en una capacidad matemática básica tanto en humanos, como en otras
5
especies. Se ha observado que tanto en niños, en etapas pre verbales, como en animales
existe la capacidad para apreciar cantidades, como por ejemplo el número de elementos
en un grupo sin que exista la necesidad de contarlos verbalmente.
Tanto la representación mental de una cantidad, como los procedimientos para codificar,
comparar y realizar procedimientos, y las regiones cerebrales reclutadas y activas en
estos procesos son comunes tanto para humanos como animales. (Cantlon)
Es importante considerar, como indicó Socas, que la didáctica en el área de matemática
está íntimamente relacionada a la semiótica, entendiendo por semiótica, “la teoría
general y ciencia que estudia los signos, sus relaciones y su significado”i (Socas, 2007).
Así también tener presente que en el latín y también en el griego es donde nos
encontramos con el origen etimológico de las dos palabras que dan forma al término
pensamiento lógico. Pensamiento emana del verbo pensare que es sinónimo de “pensar”.
Lógico, por su parte, tiene en el griego su punto de origen pues procede del vocablo
logos que puede traducirse como “razón”. (Quezada, 2011)
En los niños se evidencia de conceptos sobre estimaciones y operaciones básicas. Los
niños que todavía no hablan pueden distinguir numéricamente entre unos pocos objetos,
al igual que algunos animales como los chimpancés, lo cual hace pensar que el sentido
de la cantidad es una característica que compartimos con los primates, mientras que el
pensamiento simbólico y verbalizado matemático es exclusivo del ser humano.
Las matemáticas, al igual que el lenguaje, han acompañado al hombre a lo largo de su
existencia, y al igual que el lenguaje han evolucionado. Aunque las matemáticas forman
parte de nuestro día a día, existen muchas preguntas alrededor de las matemáticas y la
función cerebral: ¿los conceptos matemáticos son innatos o se aprenden? Si se aprenden,
¿cuándo se aprenden? ¿Qué zonas del cerebro están encargadas de la tarea matemática?
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Estas son algunas preguntas que las neurociencias intentan resolver y ya se vislumbran
algunas respuestas.
El desconocimiento de las individualidades en el proceso de enseñanza aprendizaje
implica que se ejecuten una serie de metodologías generales, lo cual desdice de la
aplicación y utilización de las inteligencias múltiples como una manera eficaz de elevar
el conocimiento.
Los efectos de la globalización neoliberal caracterizada por el aumento del desempleo,
la inequidad en el ingreso, ha traído como consecuencia la agudización de la crisis de la
educación no solo en América Latina sino en el mundo. Siendo la educación uno de los
vectores importantes que deben incluirse en el plan de desarrollo nacional.
El desconocimiento de los procesos de pensamiento adecuados para la adquisición de
nuevos conocimientos, así como el desconocimiento de las interconexiones existentes
entre los diversos conectivos proposicionales que forman macro proposiciones, nos
lleva a la incapacidad de extraer conclusiones o inferencias de un conjunto de
proposiciones. De igual manera el desconocimiento de las tablas de verdad conduce a
una meta equivocada en cuanto a interpretar el valor de verdad de proposiciones
compuestas.
En varias ocasiones, los contenidos enseñados a los estudiantes no consideran la cadena
de conocimientos matemáticos, es decir que cada clase se convierte en fundamental para
la siguiente y la carencia de fundamentos para evaluar argumentos lógicos induce a una
mala utilización del raciocinio, motivo por el cual además, no se agudiza nuestra
percepción personal de validez, así como también se dificulta el hecho de reconocer
falacias, y en la mayoría de los casos no podemos simplificar argumentos considerados
extensos, dificultándonos la capacidad para analizar.
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No disponer de un lenguaje simbólico o de patrones de inferencia que nos permita
relacionar proposiciones a simples símbolos, guía equivocadamente a los estudiantes a
amplificar una serie de argumentos, haciéndonos muy difícil una demostración. Y nos
impide en muchos casos comunicarnos de manera lógica con nuestros semejantes
Las matemáticas permiten resolver problemas en diversos ámbitos, tales como el
científico, el técnico y el artístico; así como también en la vida diaria. Si bien el adulto
ha construido a través de su experiencia diferentes conocimientos matemáticos, la
mayoría de las veces, tales conocimientos no son suficientes.
El apego a la ignorancia traerá como consecuencia que no se está preparado para
conocer el lenguaje que nos permita leer el gran libro de la naturaleza, el cual está
siempre abierto ante nuestros ojos, pero escrito en un lenguaje con símbolos y caracteres
matemáticos.
“De continuar existiendo las deficiencias tendremos estudiantes con un escaso
pensamiento crítico con dificultad para insertarse en procesos de aprendizaje
independientes y permanentes. Así como también con dificultades para incorporar
habilidades y destrezas que conviertan el conocimiento en un saber útil y productivo y
por ende con poca capacidad para desarrollar estrategias para el manejo y solución de
conflictos, en fin sin desarrollar correctamente sus potencialidades, perjudicando la
competencia comunicativa y haciéndolos incapaces de interrelacionar el lenguaje oral y
escrito con un lenguaje simbólico adecuado y participar con los mismos en los diversos
contextos y soluciones de la vida diaria, así como no desarrollar actitudes para
interpretar críticamente lo leído y para expresar por escrito juicios y opiniones
personales”. (Oppenheimer, Andrés, Basta de Historias, pp. 106).
8
Algunos factores críticos en la enseñanza de las matemáticas
Las matemáticas resultan ser una ciencia tan misteriosa y tan incierta, que podría ser
objeto a su vez de una fama tan incierta. Algunos jóvenes la consideran una tortura, y
sin embargo otros la llegan a considerar como la ciencia con la verdad absoluta,
solucionadora de los problemas de la humanidad. (Recamán Santos, 2004)
Son enormes los problemas que se presentan en todo lugar en el proceso de enseñanza
aprendizaje de la matemática, citaremos algunos de ellos:
1.- No se aplican aprendizajes significativos, el estudiante no comprende el porqué de lo
que está estudiando y sólo estudia por aprobar la materia, de esta manera memoriza y
repite lo enseñado para aprobar el curso y luego ese conocimiento se pierde ya que
estuvo en la memoria de corto plazo.
Si no existe una buena comprensión de determinados conocimientos, es muy difícil que
se puedan comprender los que siguen en orden. ¿Puede un estudiante multiplicar
correctamente si no aprendió a sumar?
2.- Se conocen contenidos de forma aislada, y los problemas en general se dan de esta
manera de tal forma que no se produce una integración de varios contenidos y ese
aislamiento crea inseguridad en el estudiante. He escuchado a varios estudiantes decir:
“Profesor, está bien así”.
3.- Falta perseverancia. En el momento en que se presenta la primera dificultad y se
nubla el panorama, el estudiante desiste en la búsqueda de la solución o no continúa con
seriedad en la búsqueda de una solución.
4. Creencias previas y factores emocionales
Comentarios típicos como “nunca entendí las matemáticas” o “no se me dan bien las
matemáticas” se han asentado progresivamente en la mente de muchos alumnos y
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recalcan la importancia que tienen las creencias previas y la inteligencia emocional en el
aprendizaje.
Fomentar un clima educativo que favorezca las emociones positivas (facilitando
factores como el optimismo o la resiliencia), en detrimento de las negativas, es tan
importante o más que la aportación de contenidos puramente académicos.
La pedagogía utilizada en la fase inicial del aprendizaje de las matemáticas incide
directamente en la motivación del alumno. El rechazo inicial provocado en muchos
niños guarda una relación directa, en numerosas ocasiones, con una enseñanza basada
en infinidad de cálculos mecánicos que coartan el proceso intelectual creativo del
alumno y en una representación de la terminología incomprensible para él.
5. El papel del profesor
Ya hemos comentado que diferentes estudios parecen demostrar que los seres humanos
nacemos con un sentido numérico innato. Según Dehaene (Dehaene, 1997) y
(Butterworth, 1999), dos de los grandes expertos mundiales en el estudio de las
matemáticas y el cerebro, la escuela obstaculiza este desarrollo facilitado, inicialmente,
por factores genéticos. Dehaene cree que la construcción de los conceptos abstractos ha
de iniciarse con la formulación de ejemplos concretos, con la finalidad de estimular el
desarrollo del razonamiento intuitivo del niño. Además, la interacción con la mente del
alumno requiere la manipulación de materiales y actividades lúdicas (Dehaene, 1999).
Por otra parte, los docentes tienen que intentar presentar contenidos abiertos que
faciliten el establecimiento de relaciones y la generación de ideas; así como guiar el
proceso de evolución del alumno poniendo a su disposición mecanismos de
autocorrección que les permitan ser conscientes de sus razonamientos acertados o no.
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Una simple explicación puede facilitar el proceso de atención. Además, sabemos que el
funcionamiento de la memoria de trabajo está limitado por la atención que prestamos a
los objetos.
(Guillén, 2012)
Conocimientos que no lo son:
A un grupo de docentes se le realizó la siguiente pregunta:
¿Cuántos rectángulos se pueden ver en el siguiente gráfico?
Ilustración 1. Cuadrado vs Rectángulo
La respuesta fue unánime por parte de los docentes: “Se ve un rectángulo y un
cuadrado”. Es decir, no se distingue que en el gráfico hay dos rectángulos. Para explicar
la situación se recurre a la etimología de la palabra:
Según la Real Academia de la Lengua (Real Academia Española, 2015), un ángulo es:
“Figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo
punto; o también la formada en el espacio por dos superficies que parten de una misma
línea”.
Ángulo recto: “Un ángulo recto es aquel que mide 90° (sexagesimales). Su amplitud
medida en otras unidades es: π/2 radianes y 100g (centesimales). Sus dos lados son dos
semirrectas perpendiculares, y el vértice es el origen de dichas semirrectas”. (Wikipedia,
2015)
Ahora, tomando en consideración las anteriores definiciones vemos que las dos figuras
son rectángulas. Por supuesto que aquel rectángulo que además de cumplir su definición
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como tal, tiene también los lados iguales, se le denomina cuadrado, pero cumple la
definición y es rectángulo.
Este tipo de conocimiento ha sido llevado a lo largo de muchos años por estudiantes y
docentes y se ha repetido el mismo error en innumerables ocasiones.
Teniendo en cuenta que Matemática los conceptos no se dice, se forman, es el
estudiante quien luego de la respectiva ejercitación y orientación adecuada y con el
respectivo sustento científico, forma los conceptos en su cerebro. Estos conceptos
servirán de base para futuros conocimientos y desarrollo de destrezas. En Matemática,
los conceptos se encadenan unos con otros, las premisas luego de su conjunción nos dan
conclusiones. Las hipótesis conducen al desarrollo de tesis o a descartar posibles tesis.
Luego del ejemplo anterior en el cual observamos que el probable conocimiento carece
del sustento científico, viene a distorsionar futuras definiciones.
La preparación debe ser constante y el maestro tendrá la humildad necesaria para
reconocer errores y cortar el ciclo de aprendizaje para no arrastrar falencias que poco a
poco se convertirán en enormes abismos que nos separarán de aquellos estudiantes que
recibieron no sólo mejores estrategias de aprendizaje sino el contenido científico
correcto.
El docente debe entonces extraerse de esta cultura y empezar a auto prepararse, a leer, a
comparar sus conocimientos, a profundizar en las definiciones y saber formar conceptos
en sus estudiantes.
Representación matemática
Desde el punto de vista del pensamiento matemático y su representación, en las
matemáticas podemos encontrar dos elementos fundamentales que tal vez se han
desarrollado secuencialmente, por un lado la representación numérica y por otro lado
los procedimientos matemáticos.
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Representación numérica.
Se refiere a los elementos empleados para codificar y representar cantidades y que
representan el lenguaje matemático. En cuanto al lenguaje matemático escrito, es más
complejo que el idiomático. En el lenguaje escrito matemático se encuentran dos formas
de codificación: uno gráfico (lingüístico) y otro simbólico (conceptual), cada uno de los
cuales depende de funciones hemisféricas cerebrales particulares:
Gráfico. Letras que dependen del idioma (cinco, diez, cien, etc.). Está relacionado con
el lenguaje y por tanto depende de la actividad del hemisferio izquierdo, el cual está
encargado de las funciones verbales.
Símbolos. Dígitos, son representaciones abstractas del número que dependen de la
cultura; arábicos (1, 2, 3), romanos (I, III, IV, X), binarios (00, 01, 11). Están
relacionados con el hemisferio derecho principalmente, en este caso no está relacionado
directamente con el lenguaje hablado.
Procedimientos matemáticos.
Por otro lado desde el punto de vista de ejecutar operaciones encontramos dos
grandes grupos de procedimientos u operaciones:
Aproximadas. Comparaciones mentales. Estos procedimientos están relacionados con
estimaciones de cantidades aproximadas. Dependen más de la actividad del hemisferio
derecho. Desde el punto de vista evolutivo, son los primeros procedimientos que
aparecen, ya que no requieren de verbalizar cantidades. Tienen un valor más importante
la capacidad viso-espacial. Las áreas cerebrales activadas son comunes para primates,
niños y adultos (Dehaene).
Exactas. Algoritmos matemáticos. Es la capacidad para combinar mentalmente valores,
para a partir de allí crear un nuevo valor sin haberlo observado previamente. Estas
operaciones están relacionadas con cálculos (sumar, restar, multiplicar) y dependen del
13
hemisferio izquierdo, en este caso la expresión verbal de la cantidad es fundamental y
de allí su relación con la capacidad lingüística. (Vargas, 2012)
El presente estudio tiene como propósito sustentar las bases de varias estrategias
matemáticas, poner a disposición de los docentes las bases que de seguro tienen
enseñanzas empíricas desarrolladas a lo largo de años de trabajo.
g) Metodología
En esta investigación se utilizarán los siguientes métodos:
Métodos Teóricos:
Al pasar de lo abstracto a información concreta, se utilizarán los siguientes métodos
para llevar a cabo el análisis.
Histórico-lógico: Mediante el análisis diferentes antecedentes históricos y criterios
derivados de profesionales en el aspecto.
Análisis y síntesis: Se analizaron diferentes campos del problema, analizándolos de
manera general y así también como cada parte involucrada en el estudio por cada uno de
los actores.
Inductivo-deductivo: Se emplea en el proceso de la información basada en hechos
concretos y que son causa y factor directo de análisis, para determinar las falencias en el
sistema educativo e inducir a posibles propuestas.
Métodos Empíricos:
Análisis de documentos: Se utiliza para conformar la teoría establecida respecto a la
evaluación en la asignatura Didáctica. Además se revisa la malla curricular de la carrera,
las evaluaciones realizadas por los profesores de la asignatura Didáctica en los dos
últimos años.
Encuestas: Se realiza una encuesta a los docentes y estudiantes para conocer las
principales características y dificultades que poseen en el área.
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La evaluación educativa implica una actividad constante de tipo comparativa que
contempla una diversidad de dimensiones, para que sea de calidad, es necesario tener
claro el objetivo y la población a evaluar. (Instituto Nacional de Evaluacion Educativa)
Población y muestra
Docentes: Se encuesta al 100% de los docentes, que en total son 5 personas que se
encargan de impartir la materia matemáticas en la unidad educativa
Estudiantes: Se considera un total de 640 estudiantes que comprenden el total de la
población, del cual se tomará una muestra aleatoria.
Para la determinación de la muestra se utiliza la siguiente expresión:
Dónde:
z: corresponde al número de desviaciones estándar (95% de significancia cuyo valor es
1,96)
p: probabilidad de éxito
q: (1 - p) probabilidad de fracaso
e: margen de error (5%)
N: tamaño de la población (640 estudiantes soldados)
n: tamaño de la muestra
n = 65.61
Se encuestarán de manera aleatoria a 66 estudiantes en la investigación.
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Encuesta a Docentes
Se encuestaron al total de docentes en el área de matemáticas de la Unidad Educativa
que en total suman 5. Se obtuvo información sobre la pedagogía y aspectos generales de
la enseñanza de las matemáticas, y a continuación los resultados:
Pregunta 1
¿Cuántos estudiantes tiene usted a su cargo, por curso?
Cuadro 1. Número de estudiantes por curso
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverria
Ilustración 2. Número de estudiantes por curso
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Se observa que en todos los cursos donde se realiza la investigación, tienen en promedio
entre 30 y 40 estudiantes.
Pregunta 2
Marque la opción que se usted considera acorde a sus estudiantes al momento de
atender clases. Solo una opción
Cuadro 2. Motivos para trabajar en clase
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 3. Motivos para trabajar en clase
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Se encontró que para la percepción de los docentes, la mayoría de estudiantes trabajan
en clase por obligación y por la necesidad de aprobar el curso.
Docentes %
a. Entre 25 y 30 estudiantes 0 0%
b. Entre 30 y 40 estudiantes 5 100%
c. Más de 40 0 0%
5 100%
¿Cuántos estudiantes tiene usted a su cargo, por curso?
0
5
Entre 25 y 30 estudiantesEntre 30 y 40 estudiantesMás de 40
Número de estudiantes por curso
Docentes %
a. Trabajan por obligación 2 40%
b. Trabajan porque le tiene miedo al profesor 0 0%
c. Trabajan porque la clase les gusta 1 20%
d. Trabajan porque desean pasar el curso 2 40%
5 100%
Marque la opción que se usted considera acorde a sus
estudiantes al momento de atender clases. Solo una
opción
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Pregunta 3
¿Cuál considera que es el origen de las dificultades de los estudiantes al aprender
matemáticas?
Cuadro 3. Dificultades al aprender matemáticas
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 4. Dificultades al aprender matemáticas
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
El 60% de los docentes consideran que la principal dificultad para el desarrollo del
pensamiento lógico-matemático, radica en la familia, mientras que el 20% cree que el
carácter de profesores y el mismo porcentaje por falta de buenas estrategias. Como dato
importante, la situación económica no es considerada como parte crítica en el
aprendizaje.
Pregunta 4
Cuando un estudiante da una respuesta equivocada, ¿cuál es su postura?
Cuadro 4. Acción correctiva
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 5. Acción correctiva
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
La mayoría de docentes al tener un estudiante con respuestas equivocadas, vuelven a
explicar. Solo un docente, al tener esta situación, utiliza una estrategia diferente para
explicar el problema.
Docentes %
a. La familia 3 60%
b. Situaciones económicas 0 0%
c. El carácter de los profesores 1 20%
d. La falta de buenas estrategias 1 20%
5 100%
¿Cuál considera que es el orígen de las dificultades de
los estudiantes al aprender matemáticas?
Docentes %
a. Le vuelve a explicar 4 80%
b. No le explica porque ya lo hizo 0 0%
c. Le llama la atención por no atender 0 0%
d. Busca otra estrategia para explicarla 1 20%
5 100%
Cuando un estudiante da una respuesta equivocada,
17
Pregunta 5
¿Cómo trabaja los contenidos de su asignatura?
Cuadro 5. Materiales utilizados en clase
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 6. Materiales utilizados en clase
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
El 60% de los docentes solo explican, el 20% adiciona material concreto y el 20%
restante utiliza material audiovisual.
Pregunta 6
¿Cree usted que en matemáticas se pueden aplicar estrategias variadas, de acuerdo con
los temas a desarrollar?
Cuadro 6. Estrategias variadas en clase
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 7. Estrategias Variadas en clase
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Todos los profesores consideran que se pueden aplicar estrategias variadas en los temas
de enseñanza.
Docentes %
a. Explica 3 60%
b. Explica y utiliza material concreto 1 20%
c. Explica, utiliza material concreto y audiovisual 1 20%
5 100%
¿Cómo trabaja los contenidos de su asignatura?
Docentes
%
Si 5 100%
No 0 0%
5 100%
¿Cree usted que en matemáticas se pueden aplicar
estrategias variadas, de acuerdo con lo temas a
desarrollar?
18
Pregunta 7
¿Cree usted que en matemáticas se pueden aplicar estrategias variadas, de acuerdo con
los temas a desarrollar?
Cuadro 7. Estrategias para institución
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 8. Estrategias para institución
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
El 60% de los docentes está de acuerdo que sí se pueden aplicar estrategias variadas en
la enseñanza de matemáticas.
Pregunta 8
¿Aplica usted diferentes estrategias para enseñar matemáticas?
Cuadro 8. Estrategias para institución
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
Ilustración 9. Estrategias para institución
Tomado de Encuestas a Docentes de Bernardino Echeverría
La mayoría de profesores del área de matemáticas de la Unidad Educativa si aplican
estrategias variadas en sus clases.
Docentes
Si 2
No 3
¿Cree usted que en su institución educativa, se
aplican variadas estrategias en la enseñanza de
matemáticas?
Docentes %
Si 3 60%
No 2 40%
5 100%
¿Aplica usted diferentes estrategias para enseñar
matemáticas?
19
Encuesta a Estudiantes
El tamaño de la muestra fue de 66 estudiantes, los cuales fueron tomados de manera
aleatoria para la encuesta. Los resultados se muestran a continuación
Pregunta 1
¿Cree que su profesor conoce que existen diferentes estilos de aprendizaje?
Cuadro 9. Conocimiento de estilos de aprendizaje
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 10. Conocimiento de estilos de aprendizaje
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Los estudiantes comienzan a diferenciar a sus profesores.
Pregunta 2
¿Cuál de las siguientes estrategias es más utilizada por su profesor para trabajar en el
salón de clases?
Cuadro 10. Estrategias más utilizadas
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 11. Estrategias más utilizadas
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Como resultado entonces, la gran mayoría de estudiantes tienden a hacerse memoristas,
más no críticos.
Estudiantes %
Si 45 68%
No 21 32%
66 100%
¿Cree usted que su profesor conoce
que existen diferentes estilos de
aprendizaje?
Estudiantes %
a. Explica y hace ejercicios en la pizarra 29 44%
b.Explica y hace ejercicios de la vida real en la
pizarra3 5%
c. Hace leer a los estudiantes y luego trabajan 9 13%
d. Realiza actividades participativas e interesantes 8 12%
e. Realiza ejercicios grupales 5 8%
f.Realiza ejercicios grupales con posteriores
exposiciones3 4%
g.A la vez que desarrolla la clase, permite
reflexionar a los estudiantes5 8%
h. Utiliza la tecnología en el desrrollo de sus clases 4 6%
66 100%
¿Cuál de las siguientes estrategias es más utilizada
por su profesor para trabajar en el salón de clases?
Marque solo una opción
20
Pregunta 3
Si algún estudiante tuvo dificultades en la comprensión, ¿su profesor repite la clase con
otras estrategias?
Cuadro 11. Dificultades de comprensión
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 12. Dificultades de comprensión
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino
Echeverría
Si repito la misma estrategia, el estudiante encontrará la misma dificultad de aprendizaje
Pregunta 4
¿Qué calificativo utilizaría usted para describir su clase de matemáticas?
Cuadro 12. Describir clase de matemáticas
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 13. Describir clase de matemáticas
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino
Echeverría
Se visualiza la falta de destrezas en la enseñanza de esta asignatura.
Estudiantes %
Si 14 21%
No 52 79%
66 100%
Si algún estudiante tuvo dificultades en la
comprensión, ¿su profesor repite la clase con
otras estrategias?
Estudiantes %
a. Es interesante 11 16%
b. Es motivadora 6 9%
c. Es alegre 2 3%
d. Es aburrida 18 28%
e. Genera problemas 12 18%
f. Es difícil 17 26%
66 100%
¿Qué calificativo utiliaría usted para describir su
cláse de matemáticas? Marque solo una opción
21
Pregunta 5
¿En qué rango se ubican las calificaciones que usted obtiene en la asignatura
matemáticas?
Cuadro 13. Rango de Calificaciones
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 14. Rango de Calificaciones
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino
Echeverría
Demasiados estudiantes con tendencia al examen supletorio.
Pregunta 6
¿Qué considera usted necesario para que sus calificaciones sean mejores?
Cuadro 14. Para mejorar calificaciones
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino Echeverría
Ilustración 15. Para mejorar calificaciones
Tomado de Encuestas a Estudiantes de Bernardino
Echeverría
La gran mayoría de estudiantes desea mejorar sus notas.
Estudiantes %
a. Menos de 5 9 13%
b. Entre 5 y 7 22 34%
c. Entre 7 y 9 31 47%
d. 10 4 6%
66 100%
¿En qué rango se ubican las calificaciones que usted
obtiene en la materia matemáticas?
Estudiantes %
a. Que su profesor cambie de estrategias 32 48%
b. Que su profesor cambie de actitud 18 28%
c. Que hayan más deberes 3 5%
d. Que usted se dedique más al estudio 7 10%
e. Está satisfecho con sus calificaciones 6 9%
66 100%
¿Qué considera usted necesario para que sus
calificaciones sean mejores?
22
i) Desarrollo de la Propuesta
Dentro de las falencias encontradas en la encuesta que se tomó fue que los docentes
carecen de estrategias variadas para el desarrollo del pensamiento de los estudiantes con
diferentes métodos y herramientas.
Una estrategia educativa es, a grosso modo, un proceso o acto para conocer de un
asunto en una ciencia específica, y tiene como uno de sus objetivos dar a conocer el
mundo a los niños para que estos lo usen y expliquen. En particular, uno de los
objetivos de la matemática es dar explicaciones sobre los hechos mundanos. (Durán C.,
1995)
Las falencias encontradas en nuestras encuestas fueron en líneas generales que los
estudiantes no sentían una motivación para estudiar, y también que no sentían que
poseen estrategias adecuadas.
Los métodos propuestos indican los procedimientos más adecuados y estrategias para
que los estudiantes alcancen su mayor capacidad de desarrollo lógico matemático según
las etapas en las que se encuentren cursando. Se encuentran divididas en las siguientes
categorías:
Nivel Inicial
Nivel Inicial y Primario
Niveles Inicial, Primario y Medio
Niveles Inicial, Primario, Medio y Superior
Cada nivel no es excluyente del anterior. Lo que se busca con cada nivel, es aumentar el
nivel de dificultad considerando las bases anteriormente aprendidas. Estas estrategias le
permiten al estudiante tener visión más realista del mundo, y su desarrollo es aplicable y
relacionable con casos cotidianos de su diario vivir.
23
A continuación, se citarán algunas estrategias, consideradas de fácil utilización en los
diferentes niveles de educación formal, comprendidos entre la educación inicial y
secundaria. Estas estrategias ofrecen al docente líneas de acción sobre las cuales
manejar su planificación áulica, para el mejoramiento del pensamiento lógico-
matemático.
La implicación lógica en el proceso de demostración matemática (Nivel
Inicial)
(Carbajal, 2011)
Vivencia con el propio cuerpo: la madurez neurológica, emocional, afectiva, el
movimiento del cuerpo, el juego libre y la acción del niño le van a permitir desarrollar y
organizar su pensamiento. Los siete primeros años de vida son muy importantes, ya que
en este periodo se da la transición de una inteligencia en acción hacia un pensamiento
conceptualizado y simbólico. Por lo tanto, el niño de educación inicial necesita actuar
para poder pensar. El cuerpo y el movimiento son las bases a partir de las cuales el niño
desarrolla su pensamiento.
Exploración y manipulación del material concreto: es importante la
manipulación del material concreto para que estas habilidades se desarrollen,
brindándole la oportunidad al niño de crear, comunicar y expresar sus diseños. la
“exploración” brindan oportunidades de relacionarse de manera libre con los diferentes
objetos estructurados y no estructurados, que permiten que el niño y la niña descubran
características, propiedades, funciones y relaciones, y otras nociones y competencias
matemáticas requeridas para el nivel inicial.
Representación gráfica y verbalización: la representación gráfica se da después
de las experiencias con objetos y eventos que el niño y la niña han vivenciando es la
24
representación gráfica a través del dibujo acompañada de la verbalización de cómo ha
sido desarrollado.
Cabe recalcar que lo más importante para asegurar que nuestros niños estén preparados
para los estudios secundarios y encaminados hacia el éxito en la universidad y en el
mundo del trabajo, es que los padres deben participar desde una edad temprana—y
seguir participando durante los años de escuela—para fortalecer las destrezas de los
niños en las matemáticas, como así mismo una actitud positiva hacia su estudio.
(Departamento de Educación de los, 2005)
Impulso del pensamiento matemático (Nivel Inicial y Primario)
Las matemáticas pueden ser un tema difícil de comprender para los escolares de
primaria. La naturaleza abstracta del concepto suele hacerlo difícil de explicar a los
jóvenes estudiantes. Las matemáticas en la enseñanza primaria son mucho más fáciles
con la ayuda de una variedad de herramientas que ayudan a concretar los conceptos
matemáticos y a demostrar a los estudiantes cómo utilizarán las matemáticas en su vida
cotidiana.
Rectas numéricas
Una recta numérica es una herramienta de enseñanza matemática simple, asequible e
increíblemente valiosa. Cuando los estudiantes comienzan a aprender matemáticas,
desarrollan el sentido numérico. El sentido numérico es la comprensión de cuáles son
los números y cómo se relacionan entre sí. Un estudiante que sabe que seis es un
número mayor que cuatro tiene un concepto básico del sentido numérico. Las rectas
numéricas proporcionan a los estudiantes una representación concreta del sistema
numérico. Cuando los estudiantes empiezan a contar o a aprender las operaciones
25
básicas de suma y resta por primera vez, las líneas de números pueden ayudarles a
comparar los valores de los números, así como a recordar el orden de los dígitos.
Tablas de multiplicar
Al desarrollar habilidades tempranas de matemáticas, los estudiantes deben aprender los
hechos básicos de la multiplicación de memoria. Las tablas de multiplicar han sido una
herramienta de repliegue durante años, pero siguen siendo valiosas. Al practicar las
tablas con los estudiantes, los maestros pueden asegurar que sus estudiantes pueden
recuperar rápidamente los hechos básicos de la multiplicación necesarios cuando pasen
a conceptos matemáticos más avanzados en grados superiores.
Material concreto
Los materiales concretos son herramientas prácticas que ayudan a los estudiantes a
descubrir problemas matemáticos simples o complejos. Los profesores suelen utilizar
bloques de plástico o de madera con colores brillantes como materiales, pero se puede
utilizar cualquier objeto concreto, incluyendo frutas de plástico pequeñas, pequeños
trozos de caramelo o palillos de dientes. Cuando los estudiantes ven por primera vez un
problema de suma, el concepto les resulta extraño. Puede ser difícil para ellos visualizar
una situación en la que se agregue una cantidad a otra. A través de la ayuda de material
concreto, los maestros pueden demostrar cómo funciona el concepto. Si un estudiante
está tratando de determinar qué es dos más dos, fácilmente puede resolver el problema
tomando dos manipuladores y luego tomar dos más. Entonces todo lo que tiene que
hacer es contar para determinar la suma de los números.
Problemas de historia
Los problemas de historia permiten a los estudiantes ver cómo se utilizan los conceptos
matemáticos en clase en la vida real. Aprender a sumar, restar, multiplicar y dividir es
sólo la mitad de la batalla. Las habilidades son casi inútiles si los estudiantes no pueden
26
aplicarlas a situaciones reales. Al integrar problemas de historia en las lecciones diarias,
los profesores efectivamente pueden asegurar que sus estudiantes aprendan a utilizar las
matemáticas en la vida cotidiana. Además, los problemas de historia ayudan a los
estudiantes a comprender la importancia de las matemáticas. Por medio de los
problemas de historia, los estudiantes pueden empezar a ver que los conceptos que están
aprendiendo no sólo son útiles en la escuela, sino que también tienen un valor inherente
debido a aplicaciones del mundo real.
(Baroody, 1988)
Concentrarse en estimular el aprendizaje de relaciones: Debido a que los niños se
niegan a memorizar información que para ellos no tenga sentido, entonces el docente
debe promover que ellos establezcan relaciones que les permita ver las formas de
aplicación de los conocimientos que van adquiriendo.
Ver conexiones y a modificar puntos de vista: Uno de los elementos que más ayudará
a los niños a desarrollar su pensamiento matemático es que pueda establecer vínculos
entre las instrucciones y los conocimientos que ya posee. Además, esta instrucción
debería estar orientada a que el niño relacione entre sí varios bloques de información.
Estimular y aprovechar la matemática inventada por los propios niños: Los niños se
inventan sus propias maneras para desenvolverse ante las situaciones en las que
deben hacer uso de conocimientos matemáticos y es muy importante mostrarle la
conexión que existe entre esas formas inventadas por ellos y las instrucciones
escolares.
Explotar el interés natural de los niños en el juego: Una de las mejores vías para
estimular el conocimiento en los niños es el aprovechamiento del juego como “el
vehículo natural de los niños para explorar y dominar su entorno” (Baroody, 1988, p.
31). El juego se convierte en una manera de fomentar el aprendizaje significativo de
27
los conceptos más elementales que le ayudarán a desarrollar su pensamiento
matemático.
Juegos Mentales (Lucha de hemisferios)
Para enseñar unas matemáticas significativas, debe existir una relación recíproca entre
seriedad y frivolidad; la frivolidad mantiene alerta, la seriedad hace que el juego
merezca la pena. (Esperanza Casas, 1991)
Según este método aplicado por Niederman (Niederman, 2004), el autor logró encontrar
la forma en que podemos desarrollar el cerebro con juegos mentales. Buscando que los
estudiantes se diviertan en el aprendizaje, formule la pregunta si pueden llenar el
siguiente diagrama: En las 8 casillas de la siguiente figura se trata de colocar los
números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8 de modo que no resulten dos números consecutivos cerca
ni en diagonal, ni en horizontal, ni en vertical.
Ilustración 16. Juegos Mentales (Niederman, 2004)
El estudiante experimenta una y otra vez una lucha fantástica entre los dos hemisferios.
Es posible que comience ubicando el número 1 en la primera casilla, pero luego con un
razonamiento lógico colocará los números 1 y 8 en las casillas del centro, pues son los
que menos consecutivos tienen.
Desarrollar la intuición lógica - matemática
Para que se comprenda cómo evolucionan las destrezas, los paradigmas, los métodos,
las estrategias matemáticas, es necesario relacionarlos no sólo con el desarrollo de las
matemáticas sino con el desarrollo de la historia de la humanidad y se relaciona
28
enseguida que todo el contenido matemático surge como una necesidad de dar respuesta
a algo que necesitamos para dar el paso siguiente en el recorrido de la humanidad.
Decimos a los niños de la escuela con mucha naturalidad 5 – 3 = 2, 7 – 4 = 3, 8 – 2 = 6,
etc. Los niños y los maestros aceptan con absoluta confianza que esto es verdad, pero de
igual manera también los maestros manifiestan a los niños 3 – 4 es imposible realizarlo,
no podemos tener 3 panes y comernos 4, eso es imposible; 5 – 9 es imposible realizar
esta operación, si tenemos 5 manzanas es imposible comernos 9 y estudiantes niños y
profesores aceptan esto de la manera más lógica, como lo aceptó la humanidad a lo
largo de siglos. Lo conocido es N = {1,2,3,4,…}, que se trata del conjunto de los
números naturales o conjunto de los números enteros positivos. (Aponte, y otros)
Pero un determinado día o noche perdida a lo largo de la historia, un cerebro humano
que no sabemos de quien fue, pensó un paso más allá de toda la humanidad, pensó en
los números negativos y derrumbó todos los paradigmas existentes hasta ese momento,
es decir ahora 3 – 4 si era posible realizarlo, se había terminado lo imposible en este
campo, pero la ciencia no llega tocando la puerta a cada uno de los docentes o padres de
familia y gran cantidad de profesores todavía viven con el conocimiento anterior es
decir que para ellos todavía 3 – 4 es imposible realizarlo.
Ahora bien que el niño como parte de su proceso acepte que tres menos cuatro no se
puede realizar, no está mal porque en el camino de su preparación se irá develando lo
que la ciencia descubrió hace muchos años atrás es decir el descubrimiento de los
números negativos.
Nadie nos obligó pero parece que el camino a buscar siempre un paso más allá de lo
conocido es una característica de la mente humana en el incesante camino de la
prosperidad.
29
Se toma sin darnos cuenta la experiencia de Cardano, el cual destruyó el tabú y empleó
sistemáticamente los números menores que cero, y su lógica que puede haber algo
menos que nada. Para él una deuda era menos que nada. (Asimov, 2005)
La ampliación del conjunto de los números naturales se hace con la introducción de los
números enteros negativos, los cuales constituyen una forma de representar situaciones
tales como deudas, temperaturas bajo cero y años antes de Cristo entre otras. (Santillana,
2006)
Ahora decimos con absoluta naturalidad cinco menos seis es menos 1, o damos ejemplo
como: Si la temperatura en una determinada ciudad es 8º C y luego desciende 12º C,
¿cuál es la temperatura actual en esa ciudad? y la respuesta de la clase no se hace
esperar, la nueva temperatura es menos cuatro grados centígrados. O ejemplos como: Si
una persona tiene en su cuenta la cantidad de $ 800 y realiza una compra de $ 1200.
Cuál es la realidad de esa persona y la clase responde: tiene una deuda de $ 400. Es
decir la clase se apoderó del concepto de números negativos.
Aquel paradigma que recorrió siglos, se derrumbó por iniciativa del cerebro humano y
es parte del proceso de educación a nivel mundial y las diversas maneras como se
transmite el cambio de paradigma se convierten en las estrategias utilizadas por
maestros, y tenemos científicos que nos dan explicaciones sobre cuál es la manera más
eficaz de realizar este paso de un paradigma a otro, la pregunta de fondo sería: a qué
edad se le comunica al niño de la existencia del nuevo paradigma, en qué momento el
cerebro del niño está en capacidad de dar por sentado que 3 – 4 si es posible.
El cerebro del ser humano en su proceso de vida, es decir desde que nace hasta que
muere un individuo, lleva consigo el desarrollo de la civilización. Hasta los once años
aproximadamente no conoce los números negativos así como varias generaciones no lo
conocieron, hasta que de pronto como parte de su proceso de estudio y de manera
30
planificada su cerebro es puesto a la nueva luz y en un día determinado de su ciclo
escolar el profesor derrumba el paradigma con el que vivió hasta ese momento, y le
comunica de la existencia de los números negativos, sería bueno pero no recomendado
aislar a un grupo de niños para conocer en qué momento alguien de ellos descubre por
si sólo la existencia de los números negativos, seguro estoy que sí lo descubrirían
porque a lo largo de la historia, esa información ya se encuentra grabada en el laberinto
de información conocido como cerebro.
Es el proceso de la evolución de la humanidad presente en el cerebro del estudiante para
ubicarlo en un presente y buscar un futuro mejor para la humanidad.
“El mensaje cada vez es más claro, las estrategias, los métodos, el razonamiento lógico,
es al fin y al cabo el vehículo que nos ubica en el presente y nos proporciona las
“armas” para descubrir el nuevo horizonte de las matemáticas, porque el futuro de las
matemáticas marcará el futuro de la humanidad.”
Familiarización de conceptos
Para familiarizar al estudiante en todos los niveles y más aún en etapa inicial, con los
términos matemáticos y con la cultura más culta en el ámbito educativo es
recomendable que se utilicen los siguientes términos en nuestro lenguaje cotidiano:
Sustituir los términos Por estos otros (utilizándolos
frecuentemente
“acostado”, “tumbado” Horizontal
“de pie”, “hacia arriba”, “recto” Vertical
“esquina” Ángulo
“raya” Línea recta
“redondo”, “redondel” Circular o esférico (según el caso), círculo
“punta” Vértice
“alrededor de”, “borde” Por el perímetro de
“desconocido” Incógnita
“trozo” Fracción
“es más grande que”, “es más pequeño
que”
Tienes más longitud que…; menos
superficie que…; más volumen que..;
menos capacidad que…(según los casos)
Tabla Número 16. Términos Sustituíbles
Tomado de (Ripoll, 2001)
31
Utilizar los términos En las siguientes situaciones
Paralelo; perpendicular Dibujos, juegos, croquis, planos, órdenes
verbales o escritas, enunciados de
situaciones:
-Esa fila es paralela a esta…
-Esta calle es perpendicular a…
-Esta figura es un polígono de… lados…
-Dibuja un segmento de color…
-Dibuja un color… las diagonales de…, el
radio de…, el diámetro de…
-Caminar en la misma dirección que…
pero en sentido contrario a…
-El tejado tiene forma de trapecio…
-Esta caja es un prisma…
-Este tubo es un cilindro…
Polígono
Diagonal, radio, diámetro
Segmento
Inverso-opuesto
Dirección-sentido
Nombres de polígonos o cuerpos
geométricos, que aunque aparecen con
frecuencia en situaciones habituales, no
se suelen denominar con su nombre:
trapecio, hexágono, pentágono, rombo,
romboide… cilindro, cono, cubo,
prisma, pirámide, esfera…
Tabla Número 17. Términos Utilizables
Tomado de (Ripoll, 2001)
Resolución de problemas (Niveles inicial, primario, medio)
La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de
pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo
valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado
para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces.
Se trata de considerar como lo más importante:
que el alumno manipule los objetos matemáticos;
que active su propia capacidad mental
que ejercite su creatividad
que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo
conscientemente;
que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su
trabajo mental;
que adquiera confianza en sí mismo;
32
que se divierta con su propia actividad mental;
que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida
cotidiana;
que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.
A continuación se describen algunas estrategias sucintas en los métodos más
generalizados de enseñanza y aprendizaje para la resolución de problemas.
El Plan de Pólya.
En los primeros años de la década de los años 80 del siglo XX, el NTCM de los Estados
Unidos de Norte América hizo algunas recomendaciones sobre la enseñanza de la
matemática, las que tuvieron una gran repercusión en todo el mundo. La primera de esas
recomendaciones decía: “El Consejo Nacional de Profesores de Matemática recomienda
que en los años 80 la Resolución de Problemas sea el principal objetivo de la enseñanza
de matemática en las escuelas”.
Al resolver problemas se aprende a matematizar, lo que es uno de los objetivos básicos
para la formación de los estudiantes. Con ello aumentan su confianza, tornándose más
perseverantes y creativos y mejorando su espíritu investigador, proporcionándoles un
contexto en el que los conceptos pueden ser aprendidos y las capacidades desarrolladas.
Por todo esto, la resolución de problemas está siendo muy estudiada e investigada por
los educadores. (Ministerio de Educacion, 2008)
Problemas de razonamiento lógico son los que no dependen tanto del contenido sino
del razonamiento lógico (natural, adecuado, correcto), aunque es muy difícil establecer
esto debido a que para resolver cualquier problema tenemos que razonar; sí podemos
afirmar que existen problemas en los que predomina el razonamiento lógico, siendo el
contenido matemático que se necesita muy elemental. (Amat Abreu, 2004)
33
La Educación Básica debe asumir el desarrollo del pensamiento lógico matemático
como un enfoque que pueda estar presente en cada una de las unidades curriculares, si a
esta se le da el tratamiento adecuado, puesto que el pensamiento lógico matemático está
íntimamente relacionado de una u otra forma con nuestras actividades cotidianas, es por
ello que el docente puede y debe vincular en la medida de lo posible los contenidos que
enseña las actividades que organiza como experiencias básicas con la realidad inmediata
del educando, donde entre en juego la mediación y es el docente el encargado de
transformar la realidad en lugar de imitarla.
Este plan fue creado por George Polya (Polya, 1973), y consiste en un conjunto de 4
pasos que orientan la búsqueda y exploración de soluciones de problemas de manera
eficaz y a su vez aprender con la experiencia.
"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo
problema, hay cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto;
pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades
inventivas, si se resuelve por medios propios, se puede experimentar el encanto del
descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente,
pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimir una huella
imperecedera en la mente y en el carácter". (Polya, 1973)
Se recomienda para que los estudiantes desarrollen su capacidad de desarrollar
problemas, es fundamental que los docentes estimulen en sus alumnos interés por los
problemas así como también muchas oportunidades de practicarlos.
Fases y preguntas del plan de Pólya:
1. Comprender el problema
34
Se necesita para comprender el problema primero comprendero. Se debe leer
detenidamente, notando con mucho cuidado las relaciones que existen en la información
proporcionada. Se pueden formular las siguientes preguntas:
- ¿Qué dice el problema? ¿Qué pide?
- ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?
- ¿Es posible hacer una figura, un esquema o un diagrama?
- ¿Es posible estimar la respuesta?
2. Elaborar un plan
Se busca determinar las relaciones entre la incógnita y los datos del problema. Se trata
de elaborar un plan o estrategia para resolver los datos del problema. Una estrategia se
define como un artificio ingenioso que conduce a un final. Se elige las opciones y se
indica las secuencias en que se deben realizar. Se estima la respuesta. Las preguntas que
se pueden responder en este paso son:
- ¿Recuerda algún problema parecido a este que pueda ayudarle a resolverlo?
- ¿Puede enunciar el problema de otro modo? Escoger un lenguaje adecuado, una
notación apropiada.
- ¿Usó todos los datos?, ¿usó todas las condiciones?, ¿ha tomado en cuenta todos los
conceptos esenciales incluidos en el problema?
- ¿Se puede resolver este problema por partes?
- Intente organizar los datos en tablas o gráficos.
- ¿Hay diferentes caminos para resolver este problema?
- ¿Cuál es su plan para resolver el problema?
Los razonamientos desde el punto de vista lógico se definen como la forma de
pensamiento mediante la cual, y a base de ciertas reglas de inferencia, de uno o varios
juicios se obtiene un nuevo juicio, que se infiere de aquellos de modo necesario o con
35
determinado grado de probabilidad. El razonamiento es el eslabón fundamental que
permite pasar a nuevas formas de organización del conocimiento. De ahí su importancia
como vía para la sistematización de este último. (Olaya, y otros, 2009)
3. Ejecutar el plan
Se ejecutan las operaciones en el orden establecido en el plan, y se verifica si los
resultados en cada operación están correctos. Se aplican también todas las estrategias
que fueron pensadas, y de ser necesario, se completan los gráficos, tablas o diagramas
para obtener diferentes formas de resolver el problema. En caso de que no se obtenga
éxito, se puede volver a empezar. En ocasiones sucede que un comienzo fresco o nueva
estrategia conducen al éxito.
4. Mirar hacia atrás o hacer la verificación
En este paso de revisión y verificación, se analiza la solución no sólo para la corrección
del resultado, sino también para examinar la posibilidad de usar estrategias diferentes de
la seguida, para obtener la solución. A partir de este punto, se puede generalizar el
problema o se puede formular otros a partir del mismo. Las preguntas que se pueden
responder en este paso son:
- ¿Su respuesta tiene sentido?
- ¿Está de acuerdo con la información del problema?
- ¿Hay otro modo de resolver el problema?
- ¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para resolver
problemas semejantes?
- ¿Se puede generalizar?
No cabe duda que el entender y dominar la demostración de un resultado matemático
ayuda mucho en la comprensión de éste, y puede facilitar su empleo como herramienta
en el estudio de otras proposiciones. Pero no puede sacarse partido a una demostración
36
si realmente no se entiende qué es, cuál es su papel, y en donde reside su fuerza; y esto
es algo que los alumnos no tienen claro, y lo que puede ser peor, es algo de lo que el
docente no es consciente. (Aguirre, y otros)
Las estrategias en la resolución de problemas.
Los estudiantes deben percibir que no existe una única estrategia, ideal e infalible en la
resolución de problemas. Además cada problema amerita soluciones determinadas y
muchos podrían ser resueltos varias estrategias. Según (Blazquez, y otros, 2010), “Es
que la matemática, tan abstracta y universal, tan útil a las ciencias exactas y naturales,
también es bella y generadora de arte. Para apreciarla es necesario conocerla.”
A continuación se nombran algunas estrategias:
-Tanteo y error organizados (métodos de ensayo y error): Se eligen soluciones u
operaciones al azar y se aplican las condiciones del problema a esos resultados u
operaciones hasta encontrar el objetivo o en su defecto comprobar que no es posible.
Después de los primeros ensayos, ya no se eligen opciones al azar sino se toman en
cuenta los ensayos que ya se realizaron.
En matemáticas las relaciones se establecen a través de una lógica que utiliza los
recursos de la lógica inferencial clásica. La secuencia con que se producen las cadenas
inferenciales lógicas en cualquier problemática, permite analizar cómo el individuo las
utiliza y las comprende. (Ruesga, 2012)
- Resolver un problema similar más simple: En ocasiones es mucho más útil resolver
el problema pero con datos más sencillos para entender el sistema. Después de
resolverlo, se puede aplicar el mismo método en la solución del problema más complejo.
- Hacer una figura, un esquema, un diagrama, una tabla: En algunos problemas se
puede resolver más fácilmente si se realiza un gráfico, esquema, dibujo o diagrama, y si
37
se puede hallar la representación adecuada. Esto sucede porque la mente asocia mucho
mejor la solución con el apoyo de imágenes que con el de palabras, números o símbolos.
- Buscar regularidades o un patrón: La estrategia considera que algunas veces existen
particularidades en algunos casos, y a partir de estas, se puede buscar una solución
general que sirva para todos los demás casos. Es útil cuando el problema presenta
secuencias de números o figuras. Lo que se hace, en estos casos, es usar el razonamiento
inductivo para llegar a una generalización.
- Trabajar hacia atrás: Esta estrategia es útil cuando el problema implica números. Se
empieza con los datos finales, tratando de descifrar con operaciones cómo llegar al
principio, deshaciendo las originales.
- Imaginar el problema resuelto: En geometría suele ser muy útil imaginar el
problema resuelto. Se traza figuras aproximadas que cumplan con las condiciones de la
deseada. Se observan las relaciones con las características del problema y surgen los
procedimientos para resolverlo.
- Utilizar el álgebra para expresar relaciones: Se puede relacionar con álgebra los
problemas. Primero se nombran los números desconocidos con letras, y en seguida se
empieza a expresar las condiciones del problema con operaciones. Al relacionar estas
expresiones, se puede llegar a la respuesta concreta.
Adaptado de Mundomate, (Ministerio de Educacion, 2008)
Método de Singapur
Esta estrategia ha cobrado fuerza en la construcción del método de aprendizaje
denominado de Singapur, uno de los países económicamente más activos y con mayor
tráfico comercial en el mundo sino que también ocupa los primeros sitios en las listas
internacionales de educación, sanidad, transparencia y competitividad económica.
38
El método Singapur para enseñar matemáticas desarrolla la comprensión, retención,
gusto por la aplicación de las matemáticas y la resolución de problemas de la vida diaria
a través de habilidades sencillas.
No hay énfasis en la memorización, sino a generar habilidades de fondo.
El método, tanto la enseñanza como el aprendizaje de las matemáticas, es aplicable a
todos los niveles educativos, pues su propósito es en sumo sencillo: resolver problemas
sobre la base de una adecuada lectura del planteamiento para conseguir una solución
acertada.
Su cualidad ante otros métodos es la disposición gráfica de los datos y el manejo de
algunos objetos para el apoyo a la comprensión, explicación y respuesta de los
problemas. Su enseñanza va de lo concreto (material palpable) a lo pictórico (uso de
imágenes y colores), para finalizar con lo abstracto (símbolos).
Es entonces necesario definir que el enfoque particular del método Singapur es que el
aprendizaje de conceptos matemáticos se produce gradualmente, a la manera de
una espiral, respetando el momento en el que el estudiante contará con la
madurez cognitiva adecuada para entenderlo. Los contenidos se van retomando, pero
con distintos grados de avance.
Otro de los principio básicos de este método es la “la variación sistemática”, que es una
ejercitación reiterada de problemas matemáticos, pero con ajustes graduales en la
dificultad, no es que los estudiantes repitan los mismo hasta memorizarlo o
mecanizarlo, no se enseñan procedimientos como en la enseñanza de las matemáticas de
manera tradicional, sino que se les ayuda a tomar las mejores decisiones en ciertas
circunstancias.
De esta manera el método Singapur apoya a los estudiantes para que consigan visualizar
un problema de matemáticas de forma fácil y por tanto, produce la habilidad de generar
39
estrategias mentales, lo que propicia el pensamiento flexible para que los estudiantes
consigan la mejor estrategia para aplicar en una situación de cálculo.
El procedimiento del Método Gráfico de Singapur comprende ocho pasos para resolver
cualquier problema en forma rápida y sencilla. (Fundación UNAM, s.f.)
1. Leer y analizar varias veces el problema
2. Determina sobre qué o de quién se habla
3. Dibuja una barra unidad (rectángulo)
4. Lee nuevamente el problema frase por frase para evitar falsear u omitir información
5. Ilustrar las cantidades del problema
6. Identificar la pregunta guía, lo que ayudará a resolver el problema
7. Realizar las operaciones correspondientes
8. Escribir la respuesta con sus unidades
Recuperación del pensamiento geométrico y de la intuición espacial
(Niveles inicial, primario, medio y superior)
Hoy se considera una necesidad ineludible, desde un punto de vista didáctico, científico,
histórico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemática,
no ya sólo en lo que se refiere a la geometría. (Guzmán, s.f.)
Es evidente que desde hace unos veinte años el pensamiento geométrico viene pasando
por una profunda depresión en nuestra enseñanza matemática inicial, primaria y
secundaria. Y al hablar del pensamiento geométrico no se hace exclusiva referencia a la
enseñanza de la geometría fundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo
mucho más básico y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática
que provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre para explorar
racionalmente el espacio físico en que vive, la figura, la forma física. (Guzmán, s.f.)
40
El matemático que ignora las fuerzas de evolución que han formado su pensamiento
pierde una perspectiva de gran valor. (Collette, 1998)
En este abordaje es necesario evitar:
Llegar a los extremos en que se incurrió, por ejemplo, con la geometría del triángulo,
tan en boga a finales del siglo XIX.
Evitar una introducción rigurosamente sostenida de una geometría axiomática.
Desarrollo del pensamiento aleatorio. Probabilidad y estadística
La probabilidad y la estadística son componentes muy importantes en nuestra cultura y
en muchas de nuestras ciencias específicas. Deberían constituir una parte importante del
bagaje cultural básico del ciudadano de nuestra sociedad.
Es éste un punto en el que todos los sistemas educativos parecen concordar. Y,
efectivamente, son muchos los países que incluyen en sus programas de enseñanza
secundaria estas materias, pero en pocos esta enseñanza se lleva a cabo con la eficacia
deseada.
En este caso, se sugieren actividades como:
Proyectos integradores con otras áreas.
Diseño de encuestas y levantamiento de información del medio social.
Plenarias de socialización y mesas de debate.
Publicación de los resultados y análisis de casos investigados.
j) Conclusiones
Al final podemos concluir en los siguientes puntos:
La mayoría de estudiantes tienen dificultades en el aprendizaje de las
matemáticas. Esto se debe a que aprueban la materia por obligación y con
desinterés, y no porque tienen una motivación diferente.
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En nuestro medio, se puede observar que existe falta de aplicación de estrategias
variadas al momento de la enseñanza de las matemáticas. La metodología de
enseñanza muchas veces es aplicada de manera general, sin aprovechar modelos
ya comprobados de enseñanza de matemáticas exitosos.
En las aulas de clase, se realizan muy poco la interacción entre estudiantes para
compartir diferentes puntos de vista lógico matemático.
Los estudiantes consideran al sistema educativo actual como poco dinámico y
ausente de diferentes estrategias que influyan en la vida de los aprendices. Las
estrategias utilizadas no son las más efectivas para su aprendizaje.
La matemática es hoy en día uno de las aspectos más importantes en el mundo
de la educación y del mundo entero, es por ello que se debe fomentar en las
instituciones educativas, donde el docente debe aprender y enseñar en relación a
este tópico, por lo cual se hace necesario incentivar a sus estudiantes hacia el
buen uso inmediato, donde es de relevancia el aprender a aprender y aprender a
enseñar a través de una serie de estrategias pedagógicas donde el educando se
interese por este tema, permitiendo así al individuo construir significados y una
conexión entre la teoría y la práctica, por ello en la educación se hace necesario
la inclusión de estrategias pedagógicas para el logro de una mejor calidad de
vida.
k) Recomendaciones
Luego de este estudio se pone a consideración las siguientes recomendaciones:
1. El aprendizaje de conceptos matemáticos se produce gradualmente, a la manera
de una espiral, respetando el momento en el que el estudiante contará con la
madurez cognitiva adecuada para entenderlo. Los contenidos se van retomando,
pero con distintos grados de avance.
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2. Por sobre cualquier estrategia o método está el buen conocimiento de lo que
deseo enseñar. Si nuestro cerebro dispone de un buen y profundo conocimiento
del contenido matemático, encontrará con mayor facilidad las estrategias para
transmitir dicho conocimiento. El profesor de Matemática tiene la obligación de
estar en un proceso de preparación continua y convertirse en un investigador de
la ciencia y los métodos de su asignatura.
3. Se debe priorizar antes que las soluciones, los diferentes métodos utilizados por
los estudiantes para la resolución. Esto a su vez, facilitará el desarrollo de su
pensamiento y evitará la resolución de problemas de manera mecánica y
memorizada. de esta manera encontraremos variedad de pensamientos producto
de cerebros que piensan diferente.
4. Darle oportunidad al hemisferio derecho. Con esto quiero decir: Pregunten cual
es la respuesta sin hacer cálculo alguno o en que intervalos puede estar esa
respuesta. El proceso de estimar es propio de nuestro cerebro.
5. Se tiene que insertar a los estudiantes en este mundo globalizado. Los problemas
matemáticos actuales se tienen que caracterizar primero por ser pocos por clase
y segundo, que sean diferentes el uno del otro.
6. Se debe incentivar a la interacción entre las personas. Compartir diferentes
puntos de vista para un mismo problema y diferentes métodos de resolución
harán que el mundo crezca. Los conceptos estrictos y únicos han quedado en
épocas pasadas, y el desarrollo de nuevas teorías será la única oportunidad de
mejorar lo actual. Ese debe ser el nuevo camino de los estudiantes y profesores.
7. La familia debe estar incluida en este proceso de enseñanza. Su inclusión en el
sistema educativo servirá de motivación al estudiante, y será también parte del
mejoramiento del pensamiento crítico de las familias en la sociedad.
43
Las propuestas realizadas como estrategias para el desarrollo del proceso lógico
matemático de los estudiantes, es modelo de otros que ya han sido probados y evaluados
en países desarrollados, como modelos exitosos de enseñanza y que a su vez, son
aplicables y adecuados a nuestro medio.
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Cerebros Modificados. - Twenty Ten, 15 de Septiembre de 2012. - Agosto de
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y-cerebro/.
34. Wikipedia Wikipedia. La enciclopedia libre [En línea] // Angulo Recto. -
Mediawiki, 22 de Julio de 2015. - Agosto de 2015. -
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto.
Datos personales
ESTUDIANTE: JOSÉ ARCESIO BAÑO PAZMIÑO
ESPECIALIDAD: MAESTRÍA EN GERENCIA DE LA EDUCACIÓN
ABIERTA
DOCENTE ASESOR: Dr. C. ARIEL ROMERO FERNÁNDEZ, PHD.
DATOS DEL ESTUDIANTE:
Ciudad de residencia: Guayaquil – Ecuador
Teléfono: Domicilio (04) 2 46 26 86. Celular: 0992 77 85 11
E – mail: [email protected]
Anexos
Anexo 1. ENCUESTA DIRIGIDA A DOCENTES DE MATEMÁTICAS DE LA UNIDAD EDUCATIVA
BERNARDINO ECHEVERRÍA RUIZ
Estimado maestro:
1. ¿Cuántos estudiantes tiene usted a su cargo, por curso?
a. Entre 25 y 30 estudiantes
b. Entre 30 y 40 estudiantes
c. Más de 40
2. Marque la opción que se usted considera acorde a sus estudiantes al momento de atender clases. Solo una opción
a. Trabajan por obligación
b. Trabajan porque le tiene miedo al profesor
c. Trabajan porque la clase les gusta
d. Trabajan porque desean pasar el curso
3. ¿Cuál considera que es el origen de las dificultades de los estudiantes al aprender matemáticas?
a. La familia
b. Situaciones económicas
c. El carácter de los profesores
d. La falta de buenas estrategias
4. Cuando un estudiante da una respuesta equivocada, ¿cuál es su postura?
a. Le vuelve a explicar
b. No le explica porque ya lo hizo
c. Le llama la atención por no atender
d. Busca otra estrategia para explicarla
5. ¿Cómo trabaja los contenidos de su asignatura?
a. Explica
b. Explica y utiliza material concreto
c. Explica, utiliza material concreto y audiovisual
6. ¿Cree usted que en matemáticas se pueden aplicar estrategias variadas, de acuerdo con lo temas a desarrollar?
Sí No
7. ¿Cree usted que en su institución educativa, se aplican variadas estrategias en la enseñanza de matemáticas?
Sí No
8. ¿Aplica usted diferentes estrategias para enseñar matemáticas?
Sí No
Le solicito contestarla en la brevedad posible. En cada alternativa elija una opción, marque con una X el casillero correspondiente a
su respuesta
La presente es una encuesta elaborada con la finalidad de recabar datos para este trabajo de titulación.
ENCUESTA DIRIGIDA A DOCENTES DE MATEMÁTICAS
DE LA UNIDAD EDUCATIVA BERNARDINO ECHEVERRÍA RUIZ
Anexo 2. ENCUESTA DIRIGIDA A ESTUDIANTES DE LA UNIDAD EDUCATIVA BERNARDINO
ECHEVERRÍA RUIZ
Estimado estudiante:
1. ¿Cree usted que su profesor conoce que existen diferentes estilos de aprendizaje?
Sí No
2. ¿Cuál de las siguientes estrategias es más utilizada por su profesor para trabajar en el salón de clases? Marque solo una opción
a. Explica y hace ejercicios en la pizarra
b. Explica y hace ejercicios de la vida real en la pizarra
c. Hace leer a los estudiantes y luego trabajan
d. Realiza actividades participativas e interesantes
e. Realiza ejercicios grupales
f. Realiza ejercicios grupales con posteriores exposiciones
g. A la vez que desarrolla la clase, permite reflexionar a los estudiantes
h. Utiliza la tecnología en el desrrollo de sus clases
3. Si algún estudiante tuvo dificultades en la comprensión, ¿su profesor repite la clase con otras estrategias?
Sí No
4. ¿Qué calificativo utiliaría usted para describir su cláse de matemáticas? Marque solo una opción
a. Es interesante
b. Es motivadora
c. Es alegre
d. Es aburrida
e. Genera problemas
f. Es difícil
5. ¿En qué rango se ubican las calificaciones que usted obtiene en la materia matemáticas?
a. Menos de 5
b. Entre 5 y 7
c. Entre 7 y 9
d. 10
6. ¿Qué considera usted necesario para que sus calificaciones sean mejores?
a. Que su profesor cambie de estrategias
b. Que su profesor cambie de actitud
c. Que hayan más deberes
d. Que usted se dedique más al estudio
e. Está satisfecho con sus calificaciones
ENCUESTA DIRIGIDA A ESTUDIANTES
DE LA UNIDAD EDUCATIVA BERNARDINO ECHEVERRÍA RUIZ
La presente es una encuesta elaborada con la finalidad de recabar datos para este trabajo de titulación.
Le solicito contestarla en la brevedad posible. En cada alternativa elija una opción, marque con una X el casillero correspondiente a
su respuesta
EJEMPLOS DE ACTIVIDADES DE RESOLUCION DE PROBLEMAS
Algunos ejemplos de actividades de resolución de problemas.
A continuación se desarrollan algunos ejemplos de actividades de resolución de
problemas utilizando el plan de Pólya:
a) CUYES Y GALLINAS
Juan cría en su chacra solamente cuyes y gallinas. Un día, jugando, le dijo a su
hijo: “Contando todas las cabezas de mis animales obtengo 60 y contando todas
sus patas obtengo 188. ¿Cuántos cuyes y cuántas gallinas tengo?”
Resolución:
Paso 1: Comprendiendo el problema.
Tenemos que hallar cuántos cuyes y cuántas gallinas tiene el papá de Juan. Se sabe que
hay 60 cabezas y 188 patas. También se sabe que un cuy tiene 4 patas y una gallina 2
patas.
Paso 2: Elaborando un plan.
Plan A: Estrategia: Tanteo y error organizados. Se intenta hallar la solución dando
valores al azar a la cantidad de cuyes y a partir de ellos obtener el número de gallinas.
Para verificar si la respuesta es correcta se calcula el total de patas con esos valores. Se
puede construir una tabla para que el trabajo sea más ordenado.
Plan B: Estrategia: Plantear ecuaciones.
Cantidad de cuyes: x
Cantidad de gallinas: y
Cantidad de cabezas: x + y = 60
Cantidad de patas: 4x + 2y = 188
Hemos traducido el problema en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x e y.
Para hallar la solución del problema, tenemos que resolver este sistema de ecuaciones.
Paso 3: Ejecutando el plan.
Plan A: En total hay 60 animales. Todos no pueden ser gallinas porque entonces habría
120 patas. Tampoco todos pueden ser cuyes porque entonces habría 240 patas. Debe
haber exactamente 188 patas. Para poder continuar razonando vamos a hacer una tabla:
Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas.
Este problema pudo ser resuelto mediante esta estrategia porque se ha trabajado con
números relativamente pequeños. Sin embargo, si se tratase de números mayores y más
complejos necesitaríamos realizar una mayor cantidad de tanteos y podríamos no llegar
a la solución.
Plan B: Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de sustitución:
x + y = 60
4x + 2y = 188
De (1) se obtiene:
x = 60 y
Sustituyendo el valor de x en :
4(60 y) + 2y = 188
240 – 4y + 2y = 188
240 – 2y = 188
-2y = 188 – 240
-2y = - 52
2y = 52
y = 52/2
y = 26
Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas.
Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de reducción:
Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas.
Plantear ecuaciones es una buena estrategia para resolver problemas con cualquier tipo
de números. Esta estrategia funciona con mucha facilidad para resolver diversos
problemas, sólo se requiere dominar el lenguaje algebraico.
Paso 4. Hacer la verificación.
Sustituimos los valores de x e y para confirmar que se cumplan las igualdades que
hallamos al inicio:
x + y = 60
34 + 26 = 60 es correcto.
4x + 2y = 188
4(34) + 2(26) = 188
136 + 52 = 188 es correcto.
Anexo 3. PROBLEMAS RESUELTOS MÉTODO POLYA