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UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA – CIENCIAS BÁSICAS

APUNTES DE FÍSICA MECÁNICA – JUAN FELIPE HENAO

"El científico no estudia la naturaleza porque es útil; la estudia porque encuentra placer en ella y encuentra placer porque es hermosa. Si la naturaleza no fuera hermosa, no valdría la pena conocerla y si no valiera la pena conocerla, la vida no valdría la pena vivirla."

Henry Poincaré

UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN, UNIDADES, CANTIDADES FÍSICAS Y VECTORES

1. ¿QUÉ ENTENDEMOS POR CIENCIA?

Todo lo que observamos a nuestro alrededor es Ciencia; un ordenador, una cámara digital, los instrumentos de rayos X en los hospitales, un láser, las vacunas que protegen de enfermedades, las comunicaciones, el internet, el almacenamiento de la información, las naves espaciales, la naturaleza de la luz, la composición de la materia, las estrellas, el pronóstico del clima, nuestra forma de relacionarnos, nosotros mismos, la vida, nuestra civilización y nuestro futuro como sociedad, guardan una estrecha relación con el ámbito científico y con el desarrollo y evolución de la Ciencia. Por tanto, a la pregunta de ¿Por qué es importante la Ciencia?, sólo basta con mirar nuestro entorno para convencernos que es así. La Ciencia no se limita a un compendio de hechos, medidas y datos, tiene que ver además con la manera de comprender los conceptos científicos, se trata de un proceso incesante de cuestionarse el porqué de las cosas y de qué manera podemos apropiarnos del conocimiento para nuestro propio beneficio. En este sentido, procedemos a observar, investigar, inferir, obtener teorías, concluir las respuestas y pronosticar resultados y comportamientos futuros. Así es la Ciencia y su belleza radica en que se autocorrige y si una idea está equivocada se elimina y se procede a determinar la correcta. La Ciencia aprende constantemente, descubre fenómenos, relaciona unos conceptos con otros para establecer teorías, es una forma de comprender el Universo y a nosotros mismos. Por esto nos hacemos preguntas como: ¿Cómo es que esto funciona?, ¿Porqué funciona?, ¿Cómo podemos conocer y entender más? ¿Para qué puede servir lo aprendido?, ¿Tiene el Universo un principio y un final?, ¿Tenemos una ubicación dentro el Cosmos y cuál es el propósito de nuestra existencia? Pues bien, todos estos interrogantes pueden ser resueltos por la Ciencia y por esta misma razón es que se vuelve importante y fundamental para nuestras vidas.

La ciencia contemporánea se divide en el estudio de los seres vivos y en el estudio de los objetos sin vida, es decir, en ciencias de la vida y en ciencias físicas. Las ciencias de la vida se dividen en áreas como la Biología, Zoología y la Botánica. Las ciencias físicas se dividen en áreas como la Física, Geología, Astronomía y Química. La Física es mas que una rama de las ciencias físicas: es la más fundamental de las ciencias. Podemos entender mejor la ciencia en general si antes entendemos algo de Física, es lo que vamos a prender en este curso.

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2. ¿QUÉ ES LA FÍSICA?

Es una ciencia fundamental que estudia y describe el comportamiento de los fenómenos naturales que ocurren en el Universo. Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales, que permitan describir el mayor número posible de fenómenos naturales con el menor número posible de leyes físicas. Estas leyes físicas se expresan en lenguaje matemático y la Matemática será el lenguaje que utiliza la Física para comprender los fenómenos naturales.

Teorías Físicas: Los físicos construyen teorías físicas con los patrones que presenta la naturaleza. Si dichos patrones están bien establecidos y se usan ampliamente se convierten en leyes o principios físicos. Estas leyes y principios de la Física, cumplen en general dos características: simplicidad y universalidad. Las leyes básicas de la Física son simples, dependen de pocos parámetros y magnitudes sin que ello implique que sean fáciles de entender. La segunda característica consiste en que éstas son aplicables al macrocosmos y al microcosmos. Son aplicables en laboratorios, en el espacio, en las estrellas y hasta en los confines del Universo.

Modelos: Una característica importante del razonamiento físico es el empleo de modelos. Un modelo es una versión simplificada de la realidad, que permite el tratamiento matemático de aspectos de la misma. En pocas palabras y sin pretensión de rigor, se puede decir que un modelo físico consiste en abstraer de una situación real, y por lo tanto compleja, unos pocos elementos simples que son los más fundamentales para lo que interesa estudiar. Estos elementos se manejan y estudian con la ayuda de la Matemática.

Método Científico: Adicionalmente, existe un procedimiento general de investigación común a todas las ciencias, incluida la Física conocido comúnmente como "El Método Científico", el cual se componen de estas fases: la observación de los fenómenos y la experimentación, la elaboración de teorías que expliquen los fenómenos y la contrastación de dichas teorías.

La evolución histórica de la Física es un ejemplo claro de la evolución del conocimiento científico y las teorías que fueron apareciendo, son propias cada momento de la historia. No debemos referirnos a la Física como una "ciencia cerrada" o "definitivamente completa", ya que está en constante desarrollo. Ninguna teoría se considera como verdad final; siempre cabe la posibilidad de que nuevas observaciones obliguen a modificarla o desecharla.

3. ¿POR QUÉ TODO ESTUDIANTE DE INGENIERÍA DEBE ESTUDIAR FÍSICA?

En general el ingeniero es aquella persona que en base a sus conocimientos aplica su ingenio para mejorar la calidad de vida de la sociedad a través de la invención de tecnología en todos los campos. En este sentido, para hacer tecnología se requieren conocimientos científicos y para adquirir dichos conocimientos se requiere el estudio de otras ciencias, entre ellas la Física, la cual es la más fundamental de las ciencias. Es por ello que el ingeniero deberá estudiar la Física que le brindará la base de esos conocimientos científicos que podrá aplicar en su vida profesional. Esto no implica que el ingeniero deba ser un físico.

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4. ¿QUÉ ES LA MECÁNICA?

La parte de la Física que analiza el movimiento de los cuerpos, se conoce con el nombre de Mecánica. La Mecánica, a su vez, se divide en cinemática: la cual describe el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen y en dinámica la cual describe el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen y en este sentido, las causas del movimiento son las fuerzas.

5. ¿CÓMO RESOLVER PROBLEMAS EN FÍSICA?

En Física, entender verdaderamente un concepto o principio es lo mismo que saber aplicarlo a diversos problemas prácticos. Aprender a resolverlos es absolutamente indispensable; es imposible saber Física sin poder hacer Física. Se utilizan diferentes técnicas para resolver distintos tipos de problemas, sin embargo, hay ciertos pasos básicos que se deben seguir siempre y que se resumen en las siguientes cuatro etapas:

§ Identificar los conceptos físicos: tener la claro la incógnita, no implica hacer cálculos. § Plantear el problema: elección de las ecuaciones apropiadas, dibujar la situación. § Ejecutar la solución: listado de las cantidades conocidas y aplicación de las ecuaciones. § Evaluar la respuesta: analizar los resultados para verificar la pertinencia.

6. SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES

Medir una magnitud física o una cantidad física consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medición se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indirecta. En otras palabras, las magnitudes físicas son todas aquellos entes físicos susceptibles de ser medidos, nos ayudan a describir los fenómenos de la naturaleza y las diferentes leyes que los rigen.

Las magnitudes físicas se clasifican según su naturaleza en dos: magnitudes escalares, son aquellas que quedan perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad, por ejemplo la longitud o el tiempo y las magnitudes vectoriales, que son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesita la dirección y su sentido para que quede perfectamente determinada, por ejemplo la velocidad, la aceleración o la fuerza.

Atendiendo a su origen, las magnitudes o cantidades físicas se clasifican en dos: magnitudes fundamentales llamadas así porque están definidas en forma independiente de cualquier otra magnitud física y las magnitudes derivadas que son las que se deducen de las fundamentales por medio de definiciones o relaciones tan sencillas como sea posible.

Las leyes Físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren una definición clara y en Mecánica, las denominadas magnitudes físicas fundamentales son las siguientes tres magnitudes: longitud, tiempo y masa.

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Para que las cantidades físicas sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida. El Sistema Internacional (SI) de Unidades, denominado como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y segundo), determina el conjunto de patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales son las siguientes:

MAGNITUD FÍSICA UNIDAD DE MEDIDA SÍMBOLO DIMENSIÓN

Longitud Metro 𝑚 [𝐿] Tiempo Segundo 𝑠 [𝑇]

Masa Kilogramo 𝑘𝑔 [𝑀]

Temperatura Kelvin 𝐾 [Θ]

Intensidad de Corriente Amperio 𝐴 [𝐼]

Intensidad Luminosa Candela 𝑐𝑑 [𝐽]

Cantidad de Sustancia Mol 𝑚𝑜𝑙 [𝑁]

Las magnitudes derivadas se obtienen como una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Ejemplos de algunas magnitudes físicas derivadas son las siguientes:

Área: longitud por longitud, se mide en metros cuadrados 𝑚4. Aceleración: longitud sobre tiempo, se mide en metros sobre tiempo al cuadrado 𝑚/𝑠4. Fuerza: masa por aceleración, se mide en Newton, 𝑁 = 𝑘𝑔𝑚/𝑠4. Teniendo en cuenta lo anterior, la noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados de una manera numérica. En otras palabras, las magnitudes son propiedades o atributos medibles. La longitud, masa, fuerza, velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos de magnitudes físicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita definir cuántas veces una persona o un objeto es más bello que otro.

7. MULTIPLOS, SUBMÚLTIPLOS Y PREFIJOS

Dado que la Física estudia todo el comportamiento de la naturaleza, los valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeñas a cantidades muy grandes. Por ejemplo, para comprender el origen del Universo, a los astrofísicos y cosmólogos les preocupa actualmente saber que paso entre el Big Bang y el minúsculo instante o "Era de Planck", 10:;;𝑠, o determinar la edad del Universo. Los valores numéricos de la física pueden ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que generalmente se expresan en potencias de 10, que es la notación científica.

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Si el exponente de la potencia de 10 es positivo o negativo, el valor de la magnitud física es un múltiplo o submúltiplo. Para medir magnitudes muy grandes o magnitudes muy pequeñas se expresan los valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI, tal como se muestra:

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS EN EL SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

POTENCIA 10𝑥 SÍMBOLO (NOMBRE) DENOMINACIÓN 10-24 z(zepto) Una cuatrillonésima 10-21 y(yocto) Una mil trillonésima 10-18 a(atto) Una trillonésima

10-15 f (femto) Una mil billonésima 10-12 p (pico) Una billonésima 10-10 A (Amstrong)

10-9 n (nano) Una mil millonésima 10-6 u (micro) Una millonésima 10-3 m (mili) Una milésima

10-2 c (centi) Una centésima 103 K (kilo) Mil 106 M (Mega) Millón

109 G (Giga) Mil millones 1012 T (Tera) Billón 1015 P (Peta) Mil billones

1018 E (Exa) Trillón 1021 Z (Zeta) Mil trillones 1024 Y (Yota) Cuatrillón

Nota: Los prefijos en el SI, se utilizan para nombrar multiplos y submúltiplos de una unidad.

8. TRANSFORMACIÓN O CONVERSIÓN DE UNIDADES

Muchos cálculos en Física requieren convertir unidades de un sistema a otro. Las unidades pueden convertirse sustituyéndolas por cantidades equivalentes. En toda respuesta numérica de los problemas siempre debe escribirse las unidades en el resultado final. Por ejemplo, si queremos determinar cuanto equivale un año en segundos, debemos proceder como sigue:

1𝑎ñ𝑜 = 1𝑎 ×365,24𝑑

1𝑎×24ℎ1𝑑

×60𝑚𝑖𝑛1ℎ

×60𝑠1𝑚𝑖𝑛

= 3,156 × 10I𝑠

Para comprender la conversión de unidades, realice en clase las siguientes transformaciones:

§ Transformar la velocidad promedio del metro de Medellín de 80𝑘𝑚/ℎ a 𝑚/𝑠. § Transformar la densidad de nuestra estrella el Sol de 1.408,51𝑘𝑔/𝑚L a 𝑔/𝑐𝑚L. § Transformar la edad del Universo de 13,800𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠𝑑𝑒𝑎ñ𝑜𝑠 a 𝑠.

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9. ANÁLISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional es el método matemático aplicado a la Física que estudia cómo se relacionan las magnitudes físicas en una expresión o fórmula para determinar si al menos desde el punto de vista formal es dimensionalmente correcta. En este sentido, una ecuación deberá ser dimensionalmente consistente. Los propósitos del análisis dimensional son:

§ Sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. § Sirve para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del

principio de homogeneidad dimensional. § Sirve para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. Dentro del análisis dimensional, se tienen las llamadas "ecuaciones dimensionales", tambien denominadas como "fórmulas dimensionales", que son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta. Cuando se hace el análisis dimensional, los términos no se operan con el álgebra corriente, por ejemplo las unidades de medida no se suman o restan, solo se comparan sus unidades entre términos de la ecuación a dimensionar, generalmente se usa el símbolo [ ] en cada término al hacer el análisis. En el área de la Mecánica, sólo es necesario considerar estas cantidades fundamentales: [𝐿], [𝑀] y [𝑇]. Ejemplo: Hacer el análisis dimensional para el siguiente modelo físico 𝑣4 = 𝑣O4 + 2𝑎𝑥. Para resolver esta ecuación dimensional, se escriben las unidades de medida en cada término de la ecuación, considerando que las unidades no se suman ni restan y que el 2 es un número sin unidades de medida que no multiplica a la unidad de medida, por tanto escribimos que:

QR𝑚𝑠S4T = QR

𝑚𝑠S4T + U

𝑚𝑠4V [𝑚] → X

𝑚4

𝑠4Y = X

𝑚4

𝑠4Y

Observamos que la ecuación es dimensionalmente consistente dado que sus unidades son las mismas. Podemos demostrar esta consistencia dimensional en función de las dimensiones.

XZ𝐿𝑇[4Y = XZ

𝐿𝑇[4Y + Q

𝐿𝑇4T [𝐿] → [𝐿4𝑇:4] = [𝐿4𝑇:4]

Una distancia puede expresarse en metros, kilómetros, centímetros o píes, sin importar cuál sea la unidad empleada para medir la cantidad física distancia, pues todas ellas se refieren a una dimensión fundamental llamada longitud, representada por [𝐿]. El buen manejo de las dimensiones de las cantidades físicas en una ecuación o fórmula física, nos permite comprobar si son correctas y si se trabajaron debidamente.

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10. NOTACIÓN CIENTÍFICA O NOTACIÓN EXPONENCIAL

La notación científica es un modo conciso de escribir números enteros mediante potencias de diez, esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. Las siguientes corresponden a algunas igualdades de potencias de base diez expresadas como:

POTENCIA PRODUCTO NÚMERO

10\ 1

10] 10

104 10 × 10 100

10L 10 × 10 × 10 1.000

10; 10 × 10 × 10 × 10 10.000

10^ 10 × 10 × 10 × 10 × 10 100.000

10_ 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 1.000.000

Por tanto, si el exponente 𝑛 es positivo, entonces 10` será un uno seguido de 𝑛 ceros. Por ejemplo el número un billón se representa de la siguiente forma: 10]4 = 1.000.000.000.000. De otro lado, si el exponente es negativo, entonces podríamos relacionar estas potencias:

POTENCIA PRODUCTO NÚMERO

10:] 0,1

10:4 0,1 × 0,1 0,01

10:L 0,1 × 0,1 × 0,1 0,001

10:; 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 0,0001

10:^ 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 0,00001

10:_ 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 0,000001

En el caso de que el exponente sea positivo, la coma se desplaza hacia la derecha. Pero en el caso de que exponente es negativo, la coma se desplaza hacia la izquierda y para calcular el número tenemos que: 10` = 0,000…001. Por ejemplo, el número 10:^ = 0,00001, se escribe con cuatro ceros después de la coma decimal y cinco ceros en total. Multiplicación y División en la Notación Científica Para multiplicar o dividir números expresados como notación científica, se multiplican o se dividen los números expresados con decimales, luego se multiplican las potencias con la regla de multiplicación de potencias, esto es: se conserva la base y se suman los exponentes.

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Ejemplo: Multiplicar y dividir los siguientes números que se expresan en notación científica:

Multiplicar 4 × 10:^ por 3 × 10:_, así: (3 × 4) × 10:^:_ = 12 × 10:]] =↓ 1,2 × 10↑:]\.

Dividir 5 × 10f dividido 3 × 10^, de esta manera: (5/3) × 10f:^ = 1,33 × 10L. Suma y Resta en Notación Científica Para sumar o restar potencias en base diez, es necesario: primero fijarse en que todos los exponentes de las bases en diez sean iguales. Segundo, si alguna de las potencias en base diez no tiene el exponente igual al de los otros términos, entonces éste hay que convertirlo con la finalidad de que queden con el mismo exponente. Finalmente, se suman o restan los términos que no tienen las potencias en base diez y la potencia y la base se conservan. Ejemplo: Sumar y restar los siguientes números que se expresan en la notación científica:

Sumar 4.1 × 10]4 más 8 × 10]\, de esta manera: 4.1 × 10]4 + 0,08 × 10]4 = 4,18 × 10]4. Restar 1.6 × 10:]^ menos 8.8 × 10:]_, de esta manera: (1.6 − 0,88) × 10:]^ = 7,2 × 10:]_.

11. SISTEMAS DE REFERENCIA Y SISTEMAS COORDENADOS

En Mecánica se tratan problemas relacionados con la descripción del movimiento de un objeto en el espacio, por lo que se requiere un método para conocer la posición de ese objeto. Para esto se definen los sistemas de coordenadas y marcos de referencia. Por lo tanto, un sistema de coordenadas usado para indicar las posiciones en el espacio consta de lo siguiente:

§ Un punto de referencia fijo 𝑂, llamado origen. § Un conjunto de ejes o direcciones con una escala apropiada. § Instrucciones para identificar un punto en el espacio respecto al origen y a los ejes. Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesiano

En un sistema de referencia cartesiano, existen tres ejes denominados ejes cartesianos 𝑋𝑌𝑍, que se intersecan en un punto 𝑂 llamado origen. La posición de un punto 𝑝 respecto al sistema se define por el conjunto de sus coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧), como se muestra:

O

x

y

z

P (x,y,z)

x

y

z

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Sistema de Coordenadas Cilíndricas

En este sistema de coordenadas, la posición de un punto 𝑃 está determinada por las tres coordenadas siguientes: 𝜌, 𝜑 y 𝑧, donde 𝜌 es la distancia de la proyección del punto en el plano 𝑂𝑋𝑌 al origen, 𝜑 es el ángulo que forma la proyección de la línea 𝑂𝑃 en el plano 𝑋𝑌 con el eje 𝑋 y 𝑧 es la altura sobre el plano 𝑂𝑋𝑌, tal como se muestra en la figura:

Sistema de Coordenadas Esféricas

En el sistema esférico de coordenadas, la posición de un punto 𝑃 se determina por sus tres coordenadas esféricas 𝑟, 𝜃 y 𝜑, tal como se muestra en la siguiente figura esquemática:

Las superficies coordenadas en el sistema de coordenadas esféricos son, una esfera de radio 𝑟, un cono de eje 𝑍 y centro el origen de coordenadas, cuya superficie forma un ángulo 𝜃 con el eje 𝑍 y un semiplano que contiene al eje 𝑍 y forma un ángulo 𝜑 con el semiplano 𝑋𝑍.

O

x

z

y

z

P (ρ, φ, z)

φ

ρ P

P (r, θ, φ)

x

z

y

φ

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12. VECTORES: DEFINICIONES, COMPONENTES Y OPERACIONES

Magnitudes Escalares: Los escalares son aquellas cantidades físicas las cuales quedan completamente definidas por un número y sus respectivas unidades de medida y operan de acuerdo con las reglas de la aritmética, el álgebra y el cálculo. Ejemplos de escalares son: el área (𝐴), el volumen (𝑉), la masa (𝑚), el tiempo (𝑡), el trabajo (𝑊), la potencia (𝑃), el momento de inercia (𝐼), la energía (𝐸), la temperatura (𝑇), la entropía (𝑆), la presión (𝑝), etc. Ejemplos de escalares y sus unidades son: 𝐴 = 5𝑚4, 𝑉 = 3𝑚L, 𝑚 = 5𝑘𝑔, 𝑡 = 3𝑠. Magnitudes Vectoriales: Para las magnitudes físicas vectoriales se debe especificar su magnitud (un número con sus unidades), su dirección (un número que puede ser un ángulo si el espacio es bi o tridimensional) y su sentido (que indica hacia a donde se dirige o apunta el vector), por ejemplo, una velocidad de 80𝑘𝑚/ℎ, hacia el noreste. A diferencia de las cantidades escalares, las cantidades vectoriales se operan de acuerdo con las reglas de la geometría vectorial. Cantidades físicas de tipo vectorial son las siguientes: velocidad (𝑣), la aceleración (𝑎), la velocidad angular (𝜔), la aceleración angular (𝛼), el momento lineal (𝑝), la fuerza (𝐹), momento angular (𝐿), el torque (𝜏), la posición (𝑟), entre otros. El concepto que dio lugar a los vectores, es el de desplazamiento, magnitud de tipo vectorial que muestra el cambio de posición de un objeto. Un vector es siempre un segmento recto dirigido desde el punto inicial hasta el punto final, aunque la trayectoria sea una curva.

El desplazamiento depende solo de las posiciones inicial y final, no de la trayectoria que siga. Adicionalmente, el desplazamiento de una trayectoria cerrada siempre es cero. Definición de Vector: La expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial es un ente matemático que recibe el nombre de vector y que se puede determinar como un segmento orientado en el que hay que distinguir los siguientes aspectos: § Magnitud: es la distancia entre el punto inicial y el punto final. § Dirección: corresponde a la dirección de la recta 𝐴𝐵. § Sentido: de 𝐴 hacia 𝐵, es diferente al desplazamiento de 𝐵 hacia 𝐴. Notación Vectorial: Como se ha podido observar, las cantidades escalares y las cantidades vectoriales, se denotan de manera diferente con el fin de distinguir unas de otras. En textos impresos, generalmente se utiliza letra negrilla para representar los vectores; por ejemplo, la

Posición Inicial: P1

Posición Final: P2 P2

P1 P1

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fuerza se expresa como 𝑭 y en otros casos como �⃗�. Igualmente, la magnitud del vector 𝑨 se representa como |𝑨| = ��⃗�� = 𝐴, que corresponde a un escalar. En los temas que se tratarán en este curso de Física Mecánica, es indispensable distinguir claramente entre una cantidad escalar y una cantidad vectorial.

Representación de un Vector en Forma Gráfica

Un vector se representa gráficamente por un segmento dirigido de un punto llamado origen o punto de aplicación, a otro llamado extremo. Sea la cantidad 𝐴 una magnitud física, si esta magnitud es de tipo vectorial, se designa como �⃗�. Para definir un vector �⃗� gráficamente, usamos por ejemplo un sistema de referencia cartesiano, que en dos dimensiones será así:

Su módulo lo determina la longitud, de acuerdo con la escala elegida; su dirección viene dada por la recta soporte del segmento y se especifica mediante los ángulos que forma con los ejes de coordenadas, como se muestra. Por convención, la dirección (ángulo 𝜃) siempre se toma respecto al eje 𝑥 y siempre será positiva.

Representación de un Vector en Forma Polar

Un vector está representado en forma polar, cuando se dá a conocer tanto el módulo como la dirección (el ángulo 𝜃). Por ejemplo un vector �⃗� en forma polar se escribe como: �⃗� = ∡𝜃.

Notemos que siempre la dirección se toma respecto al eje 𝑥 positivo en el sentido antihorario.

y

xO

θ Dirección

Sentido

A

θ

A

!

B"

C

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Representación de un Vector por sus Componentes

En este caso, lo que se requiere construir es un triángulo rectángulo. Por tanto un vector está escrito en forma rectangular si se conocen las componentes rectangulares de dicho vector.

Aplicando las funciones trigonométricas asociadas a un triángulo rectángulo, podemos tener:

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐴� 𝐴⁄ → 𝐴� = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐴� 𝐴⁄ → 𝐴� = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃

Nota: Estas expresiones no son fórmulas, dado que dependen de la selección de un úngulo determinado, en este caso el ángulo 𝜃. También hubiésemos podido utilizar otro ángulo, por ejemplo el ángulo 𝛼 y en este caso las componentes cambiarán. Podemos escribir entonces:

�⃗� = ∡𝜃 = 𝑨 = �𝐴�, 𝐴��

De otro lado, si tenemos un vector �⃗� y la información de sus componentes rectangulares 𝐴� y 𝐴�, podemos calcular tanto su magnitud (módulo) como su dirección de la siguiente manera:

𝐴4 = 𝐴�4 + 𝐴�4 → 𝐴 = ��⃗�� = �𝐴�4 + 𝐴�4

Donde la magnitud de �⃗� corresponderá a la hipotenusa del triángulo rectángulo de la figura anterior. Finalmente, la dirección (ángulo 𝜃) del vector �⃗� puede calcularse como sigue:

𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝐴� 𝐴�⁄ → 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛:]�𝐴� 𝐴�⁄ �

En resumen, podemos representar cualquier vector �⃗� en el plano 𝑋𝑌 como la suma de un vector paralelo al eje 𝑥 y un vector paralelo al eje 𝑦. Luego si 𝐴� y 𝐴� son las componentes

de �⃗�, su suma vectorial será igual al vector �⃗� y el vector se escribe de la siguiente manera:

�⃗� = �⃗�� + �⃗��

Los signos de estas componentes indican el cuadrante donde se ubican. Por ejemplo si estas componentes tienen signos 𝐴� = (+) y 𝐴� = (−), las mismas estarán en el cuarto cuadrante.

y

xO

θ

Ax

A

P(x,y)

Ay!

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Operaciones con Vectores: Suma de Vectores

Naturalmente solo podremos sumar vectores del mismo tipo: por ejemplo desplazamientos, fuerzas, otros, de modo que la regla de suma vectorial puede ser representada en cualquiera de las dos figuras siguientes, reglas conocidas como triangular y del paralelogramo. Para sumar dos vectores �⃗� y 𝑏�⃗ se procede: a partir del extremo de �⃗� se lleva el vector 𝑏�⃗ ; el vector cuyo origen es el origen de �⃗� y cuyo extremo es el extremo de 𝑏�⃗ , es el vector suma �⃗� + 𝑏�⃗ .

Al mismo resultado se llega tomando �⃗� y 𝑏�⃗ con el mismo origen y definiendo la suma como la diagonal del paralelogramo construido sobre �⃗� y 𝑏�⃗ , que pasa por el origen, como se muestra:

En la suma de vectores, se cumplirá la propiedad conmutativa, luego se tiene, �⃗� + 𝐵�⃗ = 𝐵�⃗ + �⃗�. Si necesitamos sumar más de dos vectores, podemos sumar primero dos vectores cualquiera, sumar vectorialmente la resultante al tercero y así sucesivamente. Vectorialmente será así:

𝑅�⃗ = ��⃗� + 𝐵�⃗ � + 𝐶 = 𝐷��⃗ + 𝐶

De la misma forma que sumamos vectores, también podemos restarlos. Para ello recordemos que el vector −�⃗� tiene la misma magnitud de �⃗� pero dirección opuesta y se cumplirá que:

�⃗� − 𝐵�⃗ = �⃗� + �−𝐵�⃗ �

También podemos sumar o restar vectores a partir de sus componentes. Sean por ejemplo los vectores �⃗� = �𝐴�, 𝐴�� y 𝐵�⃗ = �𝐵�, 𝐵��, por tanto la suma y la resta se realiza como sigue:

�⃗� + 𝐵�⃗ = �𝐴� + 𝐵�, 𝐴� + 𝐵�� = 𝐶

�⃗� − 𝐵�⃗ = �𝐴� − 𝐵�, 𝐴� − 𝐵�� = −𝐷��⃗

a

b

a b a b +

a

b

a

b

a b +

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Multiplicación de un Vector por un Escalar

Si �⃗� es un vector y 𝑐 es un escalar, definimos el producto de un escalar por un vector, al vector 𝑐�⃗�, paralelo al vector �⃗�, de magnitud |𝑐| veces la magnitud de �⃗� y del mismo sentido �⃗�, si 𝑐>0 y de sentido contrario, si 𝑐<0. Vectorialmente, podemos escribir lo siguiente:

�⃗� = �𝐴�, 𝐴�� → 𝑐�⃗� = 𝑐�𝐴�, 𝐴�� = �𝑐𝐴�, 𝑐𝐴��

En consecuencia la magnitud del vector resultante 𝐷��⃗ = 𝑐�⃗�, lo podemos escribir de esta forma:

�𝑐�⃗�� = �(𝑐𝐴�)4 + �𝑐𝐴��4= �𝑐4𝐴4� + 𝑐4𝐴4� = �𝑐4𝐴4� + 𝑐4𝐴4� = �𝑐4�𝑐4𝐴4� + 𝐴4�� = |𝑐|��⃗��

Vectores en Tres Dimensiones

Todo punto en el espacio vectorial ℝL(𝑥, 𝑦, 𝑧), representa un vector que tiene por origen, el mismo origen del sistema coordenado y por extremo, el punto de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧), así:

En este caso, el vector �⃗� puede ser descompuesto en sus componentes �⃗��, �⃗�� y �⃗��, llamadas como componentes rectangulares o cartesianas. Lo anterior puede escribirse como sigue:

𝑨��⃗ = 𝑨��⃗ 𝒙 + 𝑨��⃗ 𝒚 + 𝑨��⃗ 𝒛 = �𝑨𝒙, 𝑨𝒚, 𝑨𝒛�

Recordemos que en dos dimensiones, la dirección de un vector se definió por el ángulo 𝜃. Así en tres dimensiones, se especifican los ángulos 𝛼, 𝛽 y 𝛾 y se cumple lo siguiente:

𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐴� ��⃗��⁄ ; 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝐴� ��⃗��⁄ ; 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝐴� ��⃗��⁄

En este orden de ideas, la magnitud del vector �⃗� en tres dimensiones, se calcula como sigue:

��⃗�� = �𝐴�4 + 𝐴�4 + 𝐴�4

y

z

x

O

P(x,y,z)A

!"

#

Ay

Az

Ax

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Vectores Unitarios o Versores

Al vector paralelo y del mismo sentido que el vector �⃗�, pero que presenta magnitud unitaria lo denotaremos por 𝐴�. Obviamente tenemos la relación: �⃗� = ��⃗��𝐴�, como muestra la figura:

Un vector unitario tiene como módulo la unidad. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo y matemáticamente se expresa como sigue:

𝑨� =

𝑨��⃗

�𝑨��⃗ �

Para corroborar que 𝐴� en efecto es un vector unitario, basta con tomar el valor absoluto en ambos lados de la expresión anterior. Este vector unitario o versor de magnitud 1 no tiene unidades y su única finalidad es direccionar, es decir, señalar una dirección en el espacio.

Vectores Fundamentales

En un sistema coordenado tridimensional ℝL, podemos definir un vector unitario que apunte en la dirección positiva del eje 𝑥, un vector unitario que apunte en la dirección positiva del eje 𝑦 y un vector unitario que apunte en la dirección positiva del eje 𝑧. A los vectores de módulo unitario denominados como versores. Los vectores de magnitud unitaria, paralelos y en el sentido positivo de los ejes denotados por �̂�, 𝚥̂, 𝑘�, se denominan vectores fundamentales y los mismos están paralelos a cada uno de los ejes coordenados tal como aquí se muestra:

a

a

y

z

x

O

P(x,y,z)A

Ay

Az

Axi

k

j

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Vector de Posición y sus Componentes

En un sistema de coordenadas 𝑂𝑋𝑌𝑍, entendemos por vector de posición de un punto 𝑃 del espacio en dicho sistema, a un vector que sirve para definir la posición de ese punto, cuyo origen coincide con el origen 𝑂 de coordenadas y cuyo extremo está en 𝑃, designado por �⃗�, como se muestra en la figura anterior. Las componentes cartesianas del vector de posición �⃗� son (𝑥, 𝑦, 𝑧)se llaman coordenadas cartesianas de 𝑃 en el sistema de coordenadas 𝑂𝑋𝑌𝑍. Se denomina descomposición canónica de un vector y puede representarse como sigue:

�⃗� = �𝐴�, 𝐴�, 𝐴��

Donde las componentes de estos versores serán: �̂�(1,00), 𝚥̂(0,1,0) y 𝑘�(0,0,1). Todo vector �⃗� también puede ser escrito como una combinación de los vectores unitarios fundamentales:

𝑨��⃗ = 𝑨𝒙��+𝑨𝒚 ̂+𝑨𝒛𝒌�

En consecuencia, podemos expresar la relación que existe entre los vectores componentes y las componentes de un vector �⃗� mediante las siguientes tres relaciones vectoriales:

𝑨��⃗ 𝒙 = 𝑨𝒙��; 𝑨��⃗ 𝒚 = 𝑨𝒚 �; 𝑨��⃗ 𝒛 = 𝑨𝒛𝒌�

En otras palabras, todo vector �⃗� puede ser escrito como combinación lineal de los vectores unitarios. Las ecuaciones anteriores son ecuaciones vectoriales donde cada término �⃗� es una cantidad vectorial y adicionalmente los vectores �̂�, 𝚥̂, 𝑘�, son vectores perpendiculares entre sí y conforman una base canónica que genera el espacio ℝL. Sea el vector �⃗� = 𝐴�𝚤¢ + 𝐴�𝚥̂ + 𝐴�𝑘� y el vector 𝐵�⃗ = 𝐵�𝚤¢ + 𝐵�𝚥̂ + 𝐵�𝑘�, el vector resultante o vector suma, puede expresarse como:

𝑅�⃗ = (𝐴� + 𝐵�)𝚤¢ + �𝐴� + 𝐵��𝚥̂ + (𝐴� + 𝐵�)𝑘�

Ejemplo: Dados los siguientes vectores desplazamiento �⃗� = (3,5, −1) y 𝐵�⃗ = (−2,0,1), obtenga los vectores suma y resta respectivamente. Realizando las operaciones para la suma:

�⃗� + 𝐵�⃗ = (3,5, −1) + (−2,0,1) = �3𝚤¢ + 5𝚥̂ − 𝑘�� + �−2𝚤¢ + 0𝚥̂ + 1𝑘�� = 𝚤¢ + 5𝚥̂

Análogamente, realizando las operaciones indicadas para la resta, el vector resultante será:

�⃗� − 𝐵�⃗ = (3,5, −1) − (−2,0,1) = �3𝚤¢ + 5𝚥̂ − 𝑘�� − �−2𝚤¢ + 0𝚥̂ + 1𝑘�� = 5𝚤¢ + 5𝚥̂ − 2𝑘�

Nota: Cuando escribimos el vector 𝑨��⃗ = (𝟑, 𝟓,−𝟏), esto significa solo un punto en el espacio, mientras que cuando escribimos el vector de esta forma 𝑨��⃗ = �−𝟐�� + 𝟎 ̂ + 𝟏𝒌��, esto nos indica que estamos utilizando un sistema de referencia de coordenadas cartesianas. Teniendo en cuenta lo anterior, en tres dimensiones el vector 𝑨��⃗ se escribirá de la siguiente manera:

𝑨��⃗ = 𝑨𝒙��+𝑨𝒚 ̂+𝑨𝒛𝒌� = �𝑨𝒙, 𝑨𝒚, 𝑨𝒛�

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Producto Escalar o Producto Punto

El producto escalar se denomina también como producto interno o punto. Desde el punto de vista geométrico, el producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo 𝜃 que forman, definido así:

𝑨��⃗ ∙ 𝑩��⃗ = �𝑨��⃗ ��𝑩��⃗ �𝒄𝒐𝒔𝜽

Donde 𝜃 corresponde al ángulo menor que conforman los dos vectores �⃗� y 𝐵�⃗ . El producto escalar arroja como resultado un escalar y no un vector. De forma inmediata se deduce que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo, es decir, si �⃗� ⊥ 𝐵�⃗ , el coseno de 90° es igual a 0. En este caso los vectores se llaman ortogonales o normales entre sí, tal que:

�⃗� ∙ 𝐵�⃗ = 0 → �⃗� ⊥ 𝐵�⃗

De otro lado, si el ángulo entre los dos vectores es cero, el coseno de 0° es igual a 1 y el producto escalar estará dado por la siguiente expresión matemática:

�⃗� ∙ 𝐵�⃗ = ��⃗���𝐵�⃗ �

Otra interpretación del producto escalar consiste en la proyección de un vector sobre otro. En otras palabras, el producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él, como se muestra en la siguiente figura:

Matemáticamente, la proyección de �⃗� sobre 𝐵�⃗ puede definirse por la siguiente expresión así:

�⃗� ∙ 𝐵�⃗ = ��⃗���𝐵�⃗ �𝑐𝑜𝑠𝜃 = �𝐵�⃗ ���⃗��𝑐𝑜𝑠𝜃

En particular para los versores fundamentales, �̂�, 𝚥̂, 𝑘�, de módulo unitario y perpendiculares entre sí, se cumplen las siguientes igualdades que relacionamos a continuación:

�� ∙  � = �̂ ∙ 𝒌� =  � ∙ 𝒌� = 𝟎

�� ∙ �� =  � ∙  � = 𝒌� ∙ 𝒌� = 𝟏

O

a

θ b ap

IaI cos θ

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Recordemos las propiedades que cumple el producto escalar: sean �⃗�, 𝐵�⃗ y 𝐶 vectores en el plano o en el espacio vectorial y sea 𝑚 un escalar, entonces se tiene lo siguiente:

1. Conmutativa: �⃗� ∙ 𝐵�⃗ = 𝐵�⃗ ∙ �⃗�

2. Distributiva: �⃗� ∙ �𝐵�⃗ + 𝐶� = �⃗� ∙ 𝐵�⃗ + �⃗� ∙ 𝐶

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar: 𝑚��⃗� ∙ 𝐵�⃗ � = �𝑚�⃗�� ∙ 𝐵�⃗ = �⃗� ∙ �𝑚𝐵�⃗ �

Cálculo del Producto Escalar Usando Componentes Podemos hallar el producto escalar 𝐴 ∙ 𝐵�⃗ si conocemos las componentes 𝑥, 𝑦 y 𝑧 de �⃗� y de 𝐵�⃗ . Para ello, hacemos primero los productos escalares de los vectores unitarios de esta manera:

𝚤¢ ∙ 𝚤¢ = 𝚥� ∙ 𝚥� = 𝑘� ∙ 𝑘� = (1)(1)𝑐𝑜𝑠�0°� = 1

𝚤¢ ∙ 𝚥� = �̂� ∙ 𝑘� = 𝚥� ∙ 𝑘� = (1)(1)𝑐𝑜𝑠�90°� = 0

Expresando �⃗� y 𝐵�⃗ en función de sus componentes, realizamos el producto escalar entre estos vectores, así como entre los vectores unitarios y luego la operación a realizar es la siguiente:

�⃗� ∙ 𝐵�⃗ = �𝐴�𝚤¢+𝐴�𝚥̂+𝐴�𝑘�� ∙ �𝐵�𝚤¢+𝐵�𝚥̂+𝐵�𝑘��

Ahora, procedemos a realizar cada una de las operaciones indicadas, de la siguiente manera:

�⃗� ∙ 𝐵�⃗ = 𝐴�𝚤¢ ∙ 𝐵�𝚤¢ + 𝐴�𝚤¢ ∙ 𝐵�𝚥� + 𝐴�𝚤¢ ∙ 𝐵�𝑘� +

𝐴�𝚥� ∙ 𝐵�𝚤¢ + 𝐴�𝚥� ∙ 𝐵�𝚥� + 𝐴�𝚥� ∙ 𝐵�𝑘� +

𝐴�𝑘� ∙ 𝐵�𝚤¢ + 𝐴�𝑘� ∙ 𝐵�𝚥� + 𝐴�𝑘� ∙ 𝐵�𝑘�

Aplicando los productos escalares correspondientes, el producto escalar de los vectores será:

�⃗� ∙ 𝐵�⃗ = 𝐴�𝐵�(𝚤¢ ∙ 𝚤¢) + 𝐴�𝐵�(𝚤¢ ∙ 𝚥�) + 𝐴�𝐵��𝚤¢ ∙ 𝑘� � +

𝐴�𝐵�(𝚥� ∙ 𝚤¢) + 𝐴�𝐵�(𝚥� ∙ 𝚥�) + 𝐴�𝐵��𝚥� ∙ 𝑘� � +

𝐴�𝐵��𝑘� ∙ 𝚤¢� + 𝐴�𝐵��𝑘� ∙ 𝚥�� + 𝐴�𝐵��𝑘� ∙ 𝑘��

Notemos que de los nueve términos, seis de ellos se cancelan cuando los vectores unitarios son diferentes y se conservan cuando los vectores unitarios son iguales y en este caso se hacen 1. Por lo tanto, finalmente el producto escalar entre los dos vectores será como sigue:

𝑨��⃗ ∙ 𝑩��⃗ = 𝑨𝒙𝑩𝒙 + 𝑨𝒚𝑩𝒚 + 𝑨𝒛𝑩𝒛

Recordemos que el producto escalar o punto entre dos vectores, arroja una cantidad escalar.

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En consecuencia, el producto escalar (punto) de dos vectores, será la suma del producto de sus respectivas componentes. Observemos finalmente que el producto escalar también lo podemos representar por una operación matricial procediendo de la siguiente manera:

�⃗� ∙ 𝐵�⃗ = ±𝐴�𝐴�𝐴�²³𝐵�𝐵�𝐵�´ = 𝐴�𝐵� + 𝐴�𝐵� + 𝐴�𝐵�

Recordemos que la norma o módulo de un vector se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico dado y se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo. Matemáticamente esto equivale a expresar lo siguiente:

��⃗��

4= �⃗� ∙ �⃗� → ��⃗��

4= µ�⃗� ∙ �⃗�

Por lo tanto, si efectuamos el producto escalar así establecido, podemos obtener lo siguiente:

��⃗�� = µ�⃗� ∙ �⃗� = �𝐴�, 𝐴�, … , 𝐴`�

4= 𝐴]4+𝐴44 + ⋯+ 𝐴`4 = Σ𝐴¸4

Manipulando y reorganizando esta expresión anterior, la reescribimos de la siguiente manera:

��⃗�� = �Σ𝐴¸4 = �𝐴]4+𝐴44 +⋯+ 𝐴`4

Finalmente, en términos de las componentes cartesianas rectangulares y tomando la base canónica en el espacio vectorial ℝL, podemos obtener la siguiente expresión matemática:

��⃗�� = �⃗� ∙ �⃗� = ±𝐴�𝐴�𝐴�² ³𝐴�𝐴�𝐴�´ = 𝐴�4 + 𝐴�4 + 𝐴�4

Tanto en el caso bidimensional en ℝ4 como en el caso tridimensional en ℝL, el producto interno o escalar siempre será igual a la suma del producto de las coordenadas.

Ejemplo: Calcular el producto escalar de los vectores: 𝑨��⃗ = ��� + 2 ̂ − 2𝒌�� y 𝑩��⃗ = �𝟑�� −  ̂ + 𝟐𝒌��.

Solución: Recordemos que el producto escalar de dos vectores es un escalar y el resultado se puede determinar conocidas sus componentes, utilizando la siguiente expresión:

�⃗� ∙ 𝐵�⃗ = 𝐴�𝐵� + 𝐴�𝐵� + 𝐴�𝐵�

Teniendo en cuenta los vectores 𝑨��⃗ y 𝑩��⃗ , realizamos las operaciones indicadas para tener que:

�⃗� ∙ 𝐵�⃗ = 𝐴�𝐵� + 𝐴�𝐵� + 𝐴�𝐵� = (1)(3) + (2)(−1) + (−2)(2) = −3

Más adelante volvemos al producto escalar cuando veamos el concepto de trabajo 𝑾 = 𝑭��⃗ . 𝒅��⃗ .

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Producto Vectorial o Producto Cruz

El producto vectorial o producto cruz es una operación entre dos vectores que da como resultado un tercer vector ortogonal o perpendicular a los dos vectores originales. En este sentido, los dos vectores �⃗� y 𝐵�⃗ definen un plano, mientras que el vector resultante 𝐶 tiene una dirección perpendicular al plano de los vectores �⃗� y 𝐵�⃗ y presenta un sentido dado por la regla de la mano derecha. Gráficamente el producto vectorial puede representarse como:

El sentido del vector 𝐶 = �⃗� × 𝐵�⃗ sale del plano definido por los vectores �⃗� y 𝐵�⃗ , si la rotación es antihoraria (contraria a las manecillas del reloj). Matemáticamente el producto vectorial es:

𝑨��⃗ × 𝑩��⃗ = �𝑨��⃗ ��𝑩��⃗ �𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝑨𝑩𝒔𝒆𝒏𝜽

Esta expresión será el área del paralelogramo que conforman los dos vectores, de dirección perpendicular al plano de los vectores y de sentido dado por la regla de la mano derecha. El ángulo 𝜃 se mide de �⃗� hacia 𝐵�⃗ tomando el más pequeño de los ángulos posibles, de forma que 𝜃 siempre está entre 0° y 180° donde el vector 𝐶 nunca es negativo como corresponde a una magnitud vectorial. Dependiendo del ángulo 𝜃 que formen los dos vectores se tiene que:

a. Si el ángulo 𝜃 = 0° entonces �⃗� × 𝐵�⃗ = 0, porque 𝑠𝑒𝑛�0°� = 0.

b. Si el ángulo 𝜃 = 180° entonces �⃗� × 𝐵�⃗ = 0, porque 𝑠𝑒𝑛�180°� = 0.

c. Si el ángulo 𝜃 = 90° entonces �⃗� × 𝐵�⃗ = ��⃗���𝐵�⃗ �, porque 𝑠𝑒𝑛�90°� = 1.

Podríamos hallar también la dirección de 𝐵�⃗ × �⃗� girando 𝐵�⃗ hacia �⃗� en la figura. El resultado es un vector opuesto al vector �⃗� × 𝐵�⃗ . Así, el producto vectorial no es conmutativo y se cumple:

𝑨��⃗ × 𝑩��⃗ = −�𝑩��⃗ × 𝑨��⃗ �

O

A x B

y

z

x

A

B

θ

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Cálculo del Producto Vectorial Usando Componentes Si conocemos las componentes de �⃗� y de 𝐵�⃗ , podemos conocer las componentes del producto vectorial de forma similar a como lo hicimos con el producto escalar. Para ello, deducimos la tabla de multiplicación de los versores �̂�, 𝚥̂, 𝑘�, los cuales son mutuamente perpendiculares. Sabemos que el producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero y por lo tanto:

𝚤¢ × 𝚤¢ = 𝚥� × 𝚥� = 𝑘� × 𝑘� = 0

De otro lado, usando la definición de producto cruz y dado que en general el producto cruz no cumple con la propiedad conmutativa ya que �⃗� × 𝐵�⃗ = −�𝐵�⃗ × �⃗��, podemos tener lo que sigue:

�� ×  � = 𝒌� ;  � × 𝒌� = ��; 𝒌� × �� =  �

 � × �� = −𝒌� ; 𝒌� ×  � = −��; �� × 𝒌� = − �

De la figura siguiente observamos que el producto de dos vectores consecutivos en el orden indicado da como resultado el vector siguiente con signo positivo y por el contrario si el orden es opuesto, dará como resultado el vector siguiente pero con un signo negativo, tal que:

Sean los vectores �⃗� y 𝐵�⃗ en función de sus componentes, veamos entonces su producto cruz:

�⃗� = �𝐴�𝚤¢+𝐴�𝚥̂+𝐴�𝑘��; 𝐵�⃗ = �𝐵�𝚤¢+𝐵�𝚥̂+𝐵�𝑘��

Por tanto el producto vectorial �⃗� × 𝐵�⃗ de estos dos vectores, puede calcularse de esta forma:

�⃗� × 𝐵�⃗ = �𝐴�𝚤¢+𝐴�𝚥̂+𝐴�𝑘�� × �𝐵�𝚤¢+𝐵�𝚥̂+𝐵�𝑘��

Realizando las operaciones indicadas propuestas, el producto escalar de los vectores es así:

�⃗� × 𝐵�⃗ = 𝐴�𝚤¢ × 𝐵�𝚤¢ + 𝐴�𝚤¢ × 𝐵�𝚥� + 𝐴�𝚤¢ ×𝐵�𝑘� +

𝐴�𝚥� ×𝐵�𝚤¢ + 𝐴�𝚥� × 𝐵�𝚥� + 𝐴�𝚥� × 𝐵�𝑘� +

𝐴�𝑘� ×𝐵�𝚤¢ + 𝐴�𝑘� ×𝐵�𝚥� + 𝐴�𝑘� ×𝐵�𝑘�

k

i

j

+1

i

j

k -1

⌵

⌵

⌵

⌵ ⌵

⌵

22

Aplicando las reglas para los vectores unitarios, el producto escalar de los vectores resulta:

�⃗� × 𝐵�⃗ = 𝐴�𝐵�(𝚤¢ × 𝚤¢) + 𝐴�𝐵�(𝚤¢ × 𝚥�) + 𝐴�𝐵��𝚤¢ × 𝑘�� +

𝐴�𝐵�(𝚥� × 𝚤¢) + 𝐴�𝐵�(𝚥� × 𝚥�) + 𝐴�𝐵��𝚥� × 𝑘� � +

𝐴�𝐵��𝑘� × 𝚤¢� + 𝐴�𝐵��𝑘� × 𝚥�� + 𝐴�𝐵��𝑘� × 𝑘� �

Teniendo en cuenta las relaciones o reglas anteriores para los vectores unitarios, se obtiene:

�⃗� × 𝐵�⃗ = 𝐴�𝐵�(𝚤¢ × 𝚥�) + 𝐴�𝐵��𝚤¢ × 𝑘� � + 𝐴�𝐵�(𝚥� × 𝚤¢) + 𝐴�𝐵��𝚥� × 𝑘� � + 𝐴�𝐵��𝑘� × 𝚤¢� + 𝐴�𝐵��𝑘� × 𝚥��

Notemos que de los nueve (9) términos que teníamos, solo nos quedan seis (6) y aplicando la regla para los vectores en ambas direcciones, podemos obtener una expresión de la forma:

�⃗� × 𝐵�⃗ = 𝐴�𝐵��𝑘�� + 𝐴�𝐵�(−𝚥�) + 𝐴�𝐵��−𝑘�� + 𝐴�𝐵�(𝚤¢) + 𝐴�𝐵�(𝚥�) + 𝐴�𝐵�(−𝚤¢)

Por lo tanto, procedemos a agrupar términos semejantes para obtener la siguiente expresión:

𝑨��⃗ × 𝑩��⃗ = �𝑨𝒚𝑩𝒛 − 𝑨𝒛𝑩𝒚��� + (𝑨𝒛𝑩𝒙 − 𝑨𝒙𝑩𝒛) � + �𝑨𝒙𝑩𝒚 − 𝑨𝒚𝑩𝒙�𝒌�

En consecuenia, las componentes del vector resultante 𝐶 = �⃗� × 𝐵�⃗ , se escriben como se sigue:

𝐶� = �𝐴�𝐵� − 𝐴�𝐵��; 𝐶� = (𝐴�𝐵� − 𝐴�𝐵�); 𝐶� = �𝐴�𝐵� − 𝐴�𝐵��

Existirá una manera alternativa de expresar el producto vectorial cuando se conocen sus componentes y es utilizar la definición del determinante como se muestra seguidamente:

�⃗� × 𝐵�⃗ = ½𝚤¢ 𝚥� 𝑘�𝐴� 𝐴� 𝐴�𝐵� 𝐵� 𝐵�

½ = �𝐴�𝐵� − 𝐴�𝐵��𝚤¢ + (𝐴�𝐵� − 𝐴�𝐵�)𝚥� + �𝐴�𝐵� − 𝐴�𝐵��𝑘�

En definitiva, el vector resultante 𝐶 del producto vectorial �⃗� × 𝐵�⃗ , puede escribirse de forma:

𝑪��⃗ = 𝑨��⃗ × 𝑩��⃗ = (𝑪𝒙)�� + �𝑪𝒚� � + (𝑪𝒛)𝒌�

Ejemplo: Hallar el producto vectorial de los vectores: 𝑨��⃗ = ��� + 2 ̂ + 3𝒌�� y 𝑩��⃗ = �4�� + 5 ̂ + 6𝒌��.

Solución: Podemos resolver este producto vectorial, aplicando la regla del determinante así:

𝑨��⃗ × 𝑩��⃗ = ½��  � 𝒌�𝑨𝒙 𝑨𝒚 𝑨𝒛𝑩𝒙 𝑩𝒚 𝑩𝒛

½ = [(2)(6) − (3)(5)]𝚤¢ − [(1)(6) − (3)(4)]𝚥� + [(1)(5) − (2)(4)]𝑘� = −3�� + 6 ̂ − 3𝒌�

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UNIDAD 1: RESUMEN DE LAS DEFINICIONES Y LAS FÓRMULAS USADAS

DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Relaciones de transformación de las coordenadas polares a coordenadas cartesianas. 𝑃(𝑟, 𝜃) 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

Relaciones de transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas polares

𝑟 = µ𝑥4 + 𝑦4; 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛:] R𝑦𝑥S

Representación de un vector cualquiera �⃗�; 𝑨

Representación de la magnitud de un vector |𝑨| = ��⃗�� = 𝐴

Representación de un vector en forma polar �⃗� = ∡𝜃

Un vector en función de sus componentes �⃗� = 𝑨 = �𝐴�, 𝐴��

Un vector en función de sus componentes 𝐴� = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝐴� = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃

Magnitud o módulo de un vector en 2D 𝐴 = ��⃗�� = �𝐴�4 + 𝐴�4

Dirección de un vector 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝐴� 𝐴�⁄ ; 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛:]�𝐴� 𝐴�⁄ �

Suma de vectores a partir de sus componentes �⃗� + 𝐵�⃗ = �𝐴� + 𝐵�, 𝐴� + 𝐵�� = 𝐶

Descomposición de un vector en tres dimensiones �⃗� = �⃗�� + �⃗�� + �⃗�� = �𝐴�, 𝐴�, 𝐴��

Representación de un vector unitario o versor 𝐴� = �⃗� ��⃗��¿

Vector en función de vectores fundamentales �⃗� = 𝐴�𝚤¢+𝐴�𝚥̂+𝐴�𝑘� = �𝐴�, 𝐴�, 𝐴��

Suma de vectores en función de vectores unitarios 𝐴 +𝐵�⃗ = (𝐴� + 𝐵�)𝚤¢ + �𝐴� + 𝐵��𝚥̂ + (𝐴� + 𝐵�)𝑘�

Definición de producto escalar o producto punto �⃗� ∙ 𝐵�⃗ = |𝐴|�𝐵�⃗ �𝑐𝑜𝑠𝜃

Producto escalar de vectores unitarios diferentes 𝚤¢ ∙ 𝚥� = �̂� ∙ 𝑘� = 𝚥� ∙ 𝑘� = 0

Producto escalar de vectores unitarios iguales 𝚤¢ ∙ 𝚤¢ = 𝚥� ∙ 𝚥� = 𝑘� ∙ 𝑘� = 1

Producto escalar en función de sus componentes �⃗� ∙ 𝐵�⃗ = 𝐴�𝐵� + 𝐴�𝐵� + 𝐴�𝐵�

Definición de producto vectorial o producto cruz �⃗� × 𝐵�⃗ = ��⃗���𝐵�⃗ �𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃

Producto vectorial de vectores unitarios iguales 𝚤¢ × 𝚤¢ = 𝚥� × 𝚥� = 𝑘� × 𝑘� = 0

Producto vectorial de vectores unitarios diferentes 𝚤¢ × 𝚥� = 𝑘� ; 𝚥� × 𝑘� = 𝚤¢; 𝑘� × 𝚤¢ = 𝚥�

Producto escalar en función de sus componentes �𝐴�𝐵� − 𝐴�𝐵��𝚤¢ + (𝐴�𝐵� − 𝐴�𝐵�)𝚥� + �𝐴�𝐵� − 𝐴�𝐵��𝑘�