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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN

TESIS DOCTORAL

NUEVOS PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS DE LOS DATOS CORRIENTE-TENSIÓN DE ILUMINACIÓN Y DE

OSCURIDAD PARA LA CARACTERIZACIÓN DE CÉLULAS SOLARES

Mama HAOUARI-MERBAH Licenciada en Ciencias Físicas

2011

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

Instituto de Energía Solar

Departamento de Electrónica Física

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación

TESIS DOCTORAL

Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de iluminación y de oscuridad para

la caracterización de células solares

AUTORA: Mama HAOUARI-MERBAH Licenciada en Ciencias Físicas

DIRECTORES: José María Ruiz Pérez

Doctor en Ciencias Físicas Ignacio Tobías Galicia

Doctor Ingeniero de Telecomunicación

2011

Tribunal nombrado por el Magfco. Y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politécnica de Madrid. PRESIDENTE: VOCALES: SECRETARIO: SUPLENTES:

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis en Madrid, el día ___ de _____ de 200__.

Calificación: EL PRESIDENTE LOS VOCALES EL SECRETARIO

ÍNDICE GENERAL Resumen…………………………………………………………………… ...... i Summary…………………………………………………………………… ..... v Lista de símbolos……………………………………..…………………… ...... ix Capítulo 1 1.1 Introducción .................................................................................................. 3 1.2 Objetivos de la tesis ...................................................................................... 5 1.3 Plan de la tesis ............................................................................................... 5 1.4 Estado del arte ............................................................................................... 7 Capítulo 2. Aspectos generales del ajuste por mínimos cuadrados 2.1 Introducción .................................................................................................. 17 2.2. Planteamiento general del problema ............................................................ 17 2.3. Criterios de ajuste. Ajuste por mínimos cuadrados ..................................... 18

2.3.1. Las desviaciones medidas sobre la normal a la curva modelo ............. 21 2.3.2. El error estándar del ajuste ................................................................... 24

2.4. Ajuste por mínimos cuadrados en el caso lineal .......................................... 26 2.5. Ajuste no lineal. Tratamiento matricial iterativo ......................................... 28 2.6. Matriz dinámica del sistema ........................................................................ 29 2.7. Matriz estática .............................................................................................. 32 2.8. Resolución mediante proceso iterativo. El problema de la convergencia ... 33

2.8.1 Convergencia y no convergencia .......................................................... 33 2.8.2 Soluciones a la no convergencia ........................................................... 35

2.9. Propiedades de M (y M-1) ............................................................................. 37 2.9.1. Relación entre menores principales de orden menor o igual que dos de M y M-1. Obtención por partición……………… ................................. 37 2.9.2 Elementos diagonales: menores principales de orden 1 ........................ 39

2.9.2.1. Significado en la matriz M dinámica ....................................... 40 2.9.2.2. Significado en la matriz M estática ......................................... 40 2.9.2.3. Significado de un elemento diagonal de la matriz M-1 estática 41

2.9.3 Elementos no diagonales, menor principal de orden 2 ......................... 43 2.9.4 Matrices “normalizadas” o de correlación ............................................ 46

2.9.4.1 Definición ................................................................................. 46 2.9.4.2 Cálculo de matrices................................................................... 47

2.10. Cálculo de la incertidumbre ....................................................................... 49 2.11. Conclusiones .............................................................................................. 52 Capítulo 3. Ajuste de curvas I-V de iluminación:

3.1. Introducción ................................................................................................. 57 3.2. El modelo de la célula solar en iluminación ................................................ 59

3.2.1. Modelos eléctricos de la célula iluminada. Definiciones de parámetros 59

3.2.2. El modelo convencional de una célula en iluminación ........................ 61 3.2.3. El modelo de dos exponenciales en iluminación ................................. 62 3.2.4. Rangos de validez física de los parámetros sin normalizar.................. 63 3.2.5. Normalización de variables y parámetros ............................................ 63 3.2.6. Definición del modelo normalizado de dos exponenciales .................. 64 3.2.7 Rangos de validez física de los parámetros normalizados .................... 66

3.3. Mínimos cuadrados basados en la distancia ortogonal ................................ 67 3. 4 Desarrollo del procedimiento de ajuste ....................................................... 70

3.4.1 Juego de parámetros iniciales. División en zonas ................................. 70 3.4.2 Resolución del sistema matricial (obtención de Δpl) ............................ 73

3.5. Ejemplo de ajuste ......................................................................................... 77 3.5.1 Cálculo de los elementos de la matriz con derivadas completas .......... 78 3.5.2 Cálculo de los elementos de la matriz con derivadas aproximadas ...... 87 3.5.3. Ajuste con el modelo de una exponencial ............................................ 88

3.6. Otros Resultados y Ejemplos ....................................................................... 90 3.6.1. Resultados ............................................................................................ 90 3.6.2. Comentarios ......................................................................................... 100

3.7.Conclusión .................................................................................................... 106 Capítulo 4. Criterios de ajuste 4.1. Introducción ................................................................................................. 109 4.2. Relaciones de correspondencia experimento-modelo y expresiones

de la desviación ............................................................................................ 110 4.2.1. Introducción ......................................................................................... 110 4.2.2 Desviación sólo en corriente ................................................................. 111 4.2.3 Desviación combinada por tramos ........................................................ 114 4.2.4 Distancia sobre la normal a la curva modelo ........................................ 116

4.3. Ejemplo de resultados con distintos criterios de ajuste ............................... 117 4.3.1 Resultados ............................................................................................. 117 4.3.2 Comentarios .......................................................................................... 120

4.4. Conclusiones ................................................................................................ 122 Capítulo 5. Ajuste de curvas I-V de oscuridad 5.1. Introducción ................................................................................................. 125 5.2 Modelo normalizado de dos exponenciales .................................................. 127 5.3. El criterio ortogonal en representación logarítmico-lineal .......................... 128 5.4 Desarrollo del procedimiento de ajuste ........................................................ 132

5.4.1 Expresiones para el ajuste inicial .......................................................... 134 5.4.2 Expresiones para el ajuste por mínima distancia ortogonal.

Proceso iterativo ................................................................................... 135 5.5 Aplicación del método iterativo .................................................................... 136 5.6. Otros Resultados y Ejemplos ....................................................................... 149

5.6.1. Resultados ............................................................................................ 149 5.6.2. Comentarios ......................................................................................... 156 5.6.3. Comparación de una célula , Cz, en iluminación y en oscuridad ......... 157

5.7. Conclusiones ................................................................................................ 161

Capítulo 6. Conclusiones Conclusiones ....................................................................................................... 167 Anejos Anejo 1

A1. Derivadas paramétricas de la desviación ortogonal en el caso de iluminación ................................................................................................ 175

Anejo 2

A2. Derivadas paramétricas de la desviación ortogonal en el caso de oscuridad ...................................................................................................... 183

Anejo 3 A3.1.Intoducción ................................................................................................ 189 A3.2.Incertidumbres de relaciones funcionales de parámetros .......................... 189 A3.3 Calculo de incertidumbre en caso de iluminación ..................................... 192 A3.4 Calculo de incertidumbre en caso de oscuridad ......................................... 194 Bibliografía ........................................................................ 199 Publicaciones ...................................................................... 209

i

Resumen

El trabajo de la tesis está dedicado al desarrollo de nuevos procedimientos de

caracterización de células y generadores solares. Se procede a ajustar datos

experimentales a curvas calculadas con el fin de extraer los parámetros que mejor

representen el comportamiento del dispositivo de acuerdo con el modelo preestablecido,

determinar sus errores estándar y medir la bondad del ajuste.

En el Capítulo 1 se introduce el tema de los ajustes paramétricos de características de

corriente-tensión de células solares: su filosofía y objetivos, métodos y dificultades son

presentados en el estado de arte. También se introducen las ecuaciones de los modelos

de generadores fotovoltaicos: con una y dos exponenciales, sin y con resistencias,

explícitos e implícitos, con coeficientes de idealidad fijos o variables.

En el Capítulo 2 se presenta el ajuste por mínimos cuadrados, que en el caso que nos

ocupa consiste en la minimización de la distancia cuadrática entre la característica I-V

experimental y la curva calculada de células solares en los casos de iluminación y de

oscuridad. Para ello se ha desarrollado un procedimiento iterativo cuyos aspectos

matemáticos se describen en este capítulo. Los resultados de este capítulo constituyen la

herramienta principal para abordar las diferentes situaciones contempladas a lo largo de

la tesis.

Definido el error estándar del ajuste de forma que caracterice adecuadamente la

distancia media entre la curva y los puntos experimentales, se busca el conjunto de

parámetros que lo hace lo más pequeño posible. Este error estándar del ajuste se

compone con las contribuciones de los errores o desviaciones individuales de cada

punto experimental respecto a la curva teórica. Se trata de un problema de minimización

con funciones implícitas y no lineales que se aborda con un proceso iterativo basado en

el método de Newton, en cada paso del cual se resuelve un sistema de ecuaciones

lineales expresado en forma matricial. Aquí se estudian las propiedades de las matrices

de los sistemas y su repercusión en la estabilidad del proceso. Estas matrices, junto con

el error del ajuste, también contienen la información sobre los errores estándar, o

incertidumbres, que afectan a los parámetros extraídos. A partir de ellas se deriva la

matriz de covarianzas.

ii

Se describe en este capítulo el criterio de la distancia ortogonal (RDO) a la curva

modelo. Este criterio parece el más adecuado en todas las situaciones, aunque debido a

su compleja formulación frecuentemente se prefiera usar criterios basados en la

distancia vertical.

En el Capítulo 3 se expone y aplica el método para el caso de las características

corriente – tensión de iluminación. Se trabaja con parámetros normalizados. Como

ilustración, se ajustan y extraen los parámetros físicos para varios dispositivos de

diversos tamaños y tecnologías de fabricación.

Se describe en este capítulo una aproximación a la distancia ortogonal que puede ser

aplicada a características representadas en coordenadas lineales. Se han derivado

expresiones aproximadas para el cálculo de las desviaciones con lo que se supera la

principal desventaja del criterio de la distancia ortogonal que es la dificultad de su

implementación. Esas aproximaciones consisten en asignar un peso w a la desviación en

cada punto, dependiendo de la pendiente de la curva. Esta formulación incluye el

criterio de distancia vertical, que correspondería a un peso siempre igual a uno. Todo

esto aligera la escritura del formalismo matemático. Se encuentra que el método basado

en esta aproximación funciona muy bien en la determinación del conjunto de cinco

parámetros que minimizan la distancia ortogonal. La convergencia del proceso iterativo

es rápida.

La matriz de covarianzas se usa como fuente de información sobre el desarrollo del

proceso iterativo y sus posibles problemas de convergencia, así como sobre los errores

estándar (incertidumbres) y las correlaciones entre los parámetros.

En el Capítulo 4 se han presentado diferentes criterios para calcular el error estándar del

ajuste, compararlos y justificar la elección de uno de ellos. Se comparan tres criterios: el

más usado por su simplicidad, el de la distancia vertical, un criterio combinado por

tramos que es una primera aproximación al de la distancia ortogonal y, por fin, este

último en su versión simplificada. El criterio de la distancia ortogonal se revela como el

más apropiado porque conduce a los errores de ajuste más bajos y no tiene especiales

dificultades de aplicación, además de tener en cuenta todos los posibles errores

experimentales, sean de corriente o de tensión.

iii

En el Capítulo 5 se aplica el procedimiento a la extracción de cuatro, cinco o seis

parámetros de la célula solar a partir de medidas de la característica I-V de oscuridad.

En primer lugar, el criterio RDO se ha adaptado a características representadas en

coordenadas semi-logarítmicas.

El método se ha estructurado usando el modelo de una y dos exponenciales con factores

de idealidad fijos o variables, de forma que se van obteniendo parámetros significativos

asegurando lo más posible la estabilidad del proceso. Se encuentra que debido a las

fuertes correlaciones entre parámetros es muy difícil extraer seis de ellos mediante

minimización del error.

El juego de parámetros con el que iniciar el proceso iterativo es muy importante pues

puede llevarlo a regiones alejadas del óptimo. Aquí, como en el Capítulo 3, se ha

utilizado un método para su obtención, basado en ajustes parciales y en tramos

restringidos, que se ha revelado muy efectivo.

La tesis concluye con los resultados más relevantes y la perspectiva de trabajos futuros.

v

Summary

In this Doctoral Thesis new procedures to characterize solar cells and solar generators

are developed. We proceed to fit experimental current-voltage data to calculated curves

in order to extract the parameters which best represent the behavior of the device

according with the assumed model, to define their standard errors and to quantify the

goodness-of-fit.

In Chapter 1 we introduce the problem of parametric fitting of current-voltage

characteristics of solar cells: its rationale and objective, methods and difficulties are

presented in the state of the art. The analytic models of solar cells and photovoltaic

generators to be used in the Thesis are also presented. These models are explicit or

implicit and feature one or two exponentials, with and without parasitic resistances, and

with fixed or variable ideality diode coefficients.

In Chapter 2 we present least squares fitting, applied in our case to the minimization of

the distance between the experimental characteristic IV and the calculated curve of solar

cells, in the illuminated and dark cases. For this we have developed an iterative

procedure whose mathematical features are described here. The results of this chapter

are the main tool to address the different situations found during the Thesis work.

The standard fitting error characterizes the average distance between the theoretical

curve and the experimental points, and the procedure consists in the search for the set of

parameters that makes it as small as possible. The error is composed with the individual

measurement errors or deviations for each experimental point with reference to the

theoretical curve. An implicit, non linear minimization problem is posed that is

addressed by means of a matrix iterative process based on Newton’s method of solution

for non-linear equations, each step of which consists in the solution of a system of linear

equations. In this chapter we study the properties of the system matrices and their

importance on the process stability. These matrices, together with the standard fitting

error, contain important information about the standard errors, or uncertainties, of

extracted parameters. From them the covariance matrix is derived.

vi

In this chapter the Orthogonal Distance Regression (ODR) criterion is described. This

criterion seems the best choice in different situations, but due to its complex formulation

it is often preferred to use a criterion based on the vertical distance.

In Chapter 3 the procedure is applied to illuminated current – voltage characteristics,

working with normalized parameters. Several application examples are given where

physical parameters are extracted from fitting for a variety of solar cell sizes and

manufacture technologies.

We describe in the same chapter an approximation to the orthogonal distance regression

which can be applied when the characteristics are plotted in linear coordinates. The

approximate expressions are explicit and hence the main drawback of ODR, its difficult

implementation, is overcome. The approximations can be shown equivalent to assign a

weight w to the deviation at each point that depends on the slope of the curve. The

formulation includes the vertical distance criterion if this weight is always unity. The

mathematical formalism becomes very simple. With this approximation, the iterative

process converges quickly and satisfactory results are obtained. The procedure based on

these approximations is very efficient at determining the five parameter set that

minimizes the orthogonal distance. The convergence of the process is fast.

The co-variance matrix is used as a source of information about the progress of the

iterative process and its possible convergence problems, as well as about the

uncertainties of the parameters and the correlations existing among them.

In Chapter 4 different criteria are presented that are used to calculate the standard fitting

error in order to compare them and justify the choice of one of them. We have compared

three criteria: the vertical distance, which is the most widely used for its simplicity; a

piecewise combined horizontal-vertical distance, that is a first approximation to the

orthogonal distance, and finally this one in its simplified version. The orthogonal

distance criterion is revealed as the most appropriate because – in the simplified version

– has no implementation difficulties while it takes into account both current and voltage

experimental errors and produces the lowest fitting errors.

In Chapter 5 we apply the procedure to extract four, five or six solar cell parameters

from dark current-voltage characteristics fitting. First, the orthogonal distance criterion

is adapted to the semi-logarithmic case.

vii

The method is structured using the one and two-exponential models with variable or

fixed ideality factors, so that more significant parameters are progressively obtained,

starting with four, while ensuring the stability of the process. It is generally very

difficult to extract six parameters by minimizing the error because of the strong

parameter correlations.

The initial parameter set with which the iterative process starts is very important

because it can drive the process to regions very far from the true optimum. Here, as in

Chapter 3, we obtain an initial set with a method based on partial fitting of limited I-V

regions which has proved very effective.

This thesis concludes with the most relevant results and the prospect of future work.

ix

Lista de símbolos

Añadidos a otros símbolos:

i (subíndice): i = 1,…,nd .Indicador de un valor genérico de entre un conjunto de

valores que se corresponden con nd datos, puntos o resultados

experimentales.

Ejemplo: Hi: valor de la función H en el punto i-ésimo (asociado al

resultado experimental i-ésimo)

j, k (subíndices): j, k = 1,…,np. Indicadores de valores asociados a uno de entre np

parámetros ordenados.

Ejemplos: Sj: valor de la magnitud S asociada al parámetro j-

ésimo. Uk,i: valor de la función Uk (parámetro k-ésimo) en el

punto i-ésimo (asociado al resultado experimental i-ésimo

0 (subíndice): Indicador de valor asociado a un conjunto inicial de parámetros,

pj0. Ejemplo: Hi,0: valor i-ésimo de la función H0 = H (pj0)

)( : Valor medio de los asociados al conjunto de datos.

Ejemplos: ∑∑==

⋅=⋅=dd n

iiki

dk

n

ii

d

UHn

UHHn

H1

,1

1;1

)(;)( : Vector de np componentes en fila (“bra”); en columna (“ket”)

Ejemplos: i

US ; : valores Sj dispuestos en un vector fila; Uj,i en un

vector columna (j = 1,…,np)

Símbolos en orden alfabético (primero romano, después griego)

c1, c2: Parámetro normalizado deducido de I01, I02.

DM : Vector cuyas componentes son los elementos de la diagonal principal de la

matriz M

x

( )kMD

Componente k-ésima del vector DM

E1, E2: Abreviatura para el valor genérico de la primera, segunda exponencial de

un modelo con dos exponenciales

E1SC, E2SC: Valor de E1, E2 en cortocircuito.

e: Carga (absoluta) del electrón. (1,602.10-19 C)

F, F(x,y,pj): Expresión matemática de un modelo físico para la magnitud

experimental y(x), con np parámetros pj

Fa: Valor (calculado) de la función modelo F correspondiente al punto Pa. En

representaciones semilogarítmicas (v-lni) Fa es lnia e ia el valor calculado de

corriente normalizada.

Fc: Valor (calculado) de F en un punto Pc que se corresponde, mediante algún

criterio definido, con otro experimental Pe.

fj, fk: Funciones básicas (componentes de F ) del sistema matricial (j, k: 1,…,np)

F’: Función derivada de F respecto de la variable combinada x’ (o v’)

F’p: Función derivada de F respecto del parámetro p (p = ISC, rS,…)

F’a, F'x’a, F'v’a: Valor de F’ en el punto Pa.

f’j, f’k: Derivadas de funciones básicas respecto de la variable combinada v’

(j, k: 1,…,np)

f’p: Función derivada de f respecto del parámetro p (p = ISC, rS,…)

f’’p: Función derivada de f’ respecto del parámetro p

xi

G, G(y,x,pj): Expresión matemática de un modelo físico para la magnitud

experimental x(y), con np parámetros pj

GP: Conductancia en paralelo (= 1/RP).

gP: Conductancia en paralelo normalizada.

I: Corriente del dispositivo.

Ic , Ical: Valor de corriente calculado

Ie , Iexp , Imed : Valor de corriente experimental, medido.

IL: Corriente generada por la iluminación. Fotocorriente.

IM: Valor de normalización para corrientes en oscuridad. Típicamente será

próximo al valor máximo trasladable al plano gráfico.

Iqxq , Irxr: Matrices (cuadradas) unidad de orden q, r

ISC: Corriente de cortocircuito.

I0: Corriente inversa de saturación de un diodo (modelo de Shockley).

I01, I02: Corrientes inversas de saturación de los diodos con factores de idealidad

m1 y m2, respectivamente.

I-V: Referido a pares de valores de corriente y tensión representados

gráficamente en forma de puntos discretos o de curva continua

i: indicador genérico asociado a un dato experimental de un conjunto ordenado de

ellos hasta el número nd

xii

i, ic: corriente normalizada, calculada (mediante modelo).

ia, ie: Valor de i (corriente) correspondiente al punto Pa, Pe (experimental)

iL: Fotocorriente normalizada.

i01 , i02: Corrientes inversas de saturación normalizadas.

j, k: Indicador genérico asociado a un parámetro de un conjunto ordenado de

ellos hasta el número np.

k: Constante de Boltzmann (1,381.10-23 J.K-1)

k1, k2; kOC1, kOC2: Parámetros normalizados de tensión, de primera y segunda

exponencial, inversamente proporcionales al respectivo coeficiente de

idealidad (VM/mVt en oscuridad, VOC/mVt en iluminación).

Ln: Factor de normalización del eje logarítmico y en el caso de oscuridad

M, M : Matriz del sistema.

MN : Matriz normalizada del sistema

MC, 1−NM : Matriz de correlaciones

Mk,j: Elemento k,j (fila k, columna j) de la matriz M.

M11, M12, M21, M22: Matrices procedentes de una partición de M

MI, M-1 1−M : Matriz inversa de M. Salvo un factor, matriz de error o matriz de

covarianzas.

MI11, MI12, MI21, MI22: Matrices procedentes de una partición de M-1

xiii

m: Factor o coeficiente de idealidad, único en un modelo de una exponencial

m1 , m2: Factores de idealidad en un modelo de dos exponenciales. Por convenio:

m2 > m1

nd: Número de datos (pares I-V) experimentales.

np: Número de parámetros.

Pe: Punto experimental genérico

Pa: Punto perteneciente a una curva modelo, próximo a Pn y obtenido mediante

una relación simple de correspondencia con Pe.

Pn: Punto perteneciente a una curva modelo y a la recta normal a ella que pasa por

el experimental, Pe

pj: Parámetro genérico, j-ésimo de un conjunto de np parámetros.

pj: Conjunto genérico de parámetros que deben ser optimizados

pj0: Conjunto de valores iniciales de los parámetros

pjMC: Conjunto de valores de parámetros optimizados según un criterio de

mínimos cuadrados

q, r: Indicadores complementarios (q+r = np) de las particiones de M o MI

RMS: (root mean squares, raíz de la media de los cuadrados). Salvo un factor

próximo a 1, error estándar del ajuste.

RO: Resistencia dinámica (dV/dI) en circuito abierto. Permite obtener la resistencia

en serie (RS) descontando la resistencia interna o intrínseca (mVt/ISC).

xiv

RP: Resistencia en paralelo. Habitualmente representada mediante su

(conductancia) inversa, GP.

RS: Resistencia en serie.

r: Parámetro genérico del desplazamiento x-x’ (de resistencia para v-v’)

rS: Resistencia en serie normalizada.

s: Raíz cuadrada de s2. Equivale a RMS.

s2: Varianza del ajuste. Desviación cuadrática media (valor medio de los

cuadrados de las desviaciones).

s2min: Mínima desviación cuadrática media. Condición de ajuste óptimo.

T : Vector término independiente del sistema matricial.

Tk: Componente k-ésima del vector T

TN: Vector término independiente normalizado

T: Temperatura (absoluta, en grados K) de funcionamiento del dispositivo.

V: Tensión del dispositivo.

Vc , Vcal: Valor de tensión calculado

Ve , Vexp , Vmed : Valor de tensión experimental, medido.

VM : Valor de normalización para tensiones en oscuridad. Típicamente será

próximo al valor máximo trasladable al plano gráfico.

xv

VOC: Tensión de circuito abierto.

Vt: Tensión térmica, kT/e

V': Tensión corregida. Desplazada respecto de V en una caída óhmica (RSI).

v: Tensión normalizada.

vc: Tensión calculada normalizada.

v' tensión corregida normalizada.

w, wi: Peso, peso local i-ésimo, aplicable a cada desviación vertical (en el plano

x’-y) para convertirla a su correspondiente ortogonal aproximada.

x, y: Designaciones genéricas de las magnitudes que, en un gráfico, se

representan, respectivamente, sobre el eje horizontal (de abscisas) y vertical

(de ordenadas)

xa, ya; Coordenadas del punto Pa

xc, yc; Coordenadas de un punto genérico sobre una característica x-y modelada

(calculada).

xe, ye; Coordenadas de un punto genérico experimental, Pe.

xi, yi; xie, yie: Coordenadas del punto gráfico i-ésimo, representativo de una

característica x-y experimental.

xic, yic: Coordenadas del punto sobre una característica modelada que se

corresponde, mediante algún criterio preestablecido con el punto

experimental i-ésimo.

xvi

x': Variable paramétrica. Consistente en la variable x modificada por una

componente lineal con y (x’ = x ± r·y)

x’a, x’e: Valores de la variable paramétrica x’ correspondientes a los puntos Pa, Pe.

y, ya, yc, ye: Coordenada sobre el eje vertical del punto correspondiente: genérico,

Pa, Pc (calculado), Pe (experimental). En representaciones semi-logarítmicas (v-

lni) y es lni e i el valor experimental o calculado de corriente normalizada

α : Ángulo, respecto de la horizontal, de la recta tangente a una curva en el punto

Pa.

β : Ángulo, respecto de la vertical, de inclinación del segmento Pa-Pe

pΔ : Vector de parámetros incrementales

δa, δai: Aproximación de δn. particularizada al punto i-ésimo. Equivalente al

módulo, con signo, de εO.

δn: Distancia normal de un punto Pe a una curva modelo (distancia Pe-Pn)

ε: Vector desviación de un punto experimental, Pe, respecto de su

correspondiente, Pa, de la curva modelo.

εO: Vector del plano x-y representante de la desviación ortogonal (normal,

aproximado) de un punto experimental, Pe, respecto de la característica I-V

ajustada.

ε, εi: Desviación, respecto de la curva ajustada, de un punto experimental

genérico, particularizada al punto i-ésimo (módulo de ε y signo).

xvii

εx, εy; εxi, εyi: Componentes del vector desviación ε, particularizadas al punto i-

ésimo.

2ε : Desviación cuadrática media (= s2 = RMS2)

φ: Función genérica de un modelo expresado en la forma: φ(x,y,pj)=0.

χ2: Chi-cuadrado, función de error: suma cuadrática de desviaciones normalizadas

respecto de las desviaciones estándar locales.

λ : Coeficiente reductor del vector incremental pΔ utilizado para resolver

problemas de convergencia.

σi: Desviación estándar del dato experimental i-ésimo (yi).

σ(pj): Error estándar del parámetro pj.

σ(pj)/pj: Error relativo del parámetro pj. Habitualmente se expresará en porcentaje.

σy: Desviación estándar del ajuste.

2

jpσ : Varianza estándar del parámetro pj

2yσ : Varianza estándar del ajuste.

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

Capitulo 1: Introducción y objetivos 1.1.Introducción

3

1.1 Introducción

“El sol, base de la vida y origen de todas las demás formas de energía utilizadas por el

hombre, es en sí mismo una fuente inagotable de energía. La tierra recibe del sol cada

día muchísima más energía que la que consume. Es nuestra responsabilidad usarla y

liberarnos de la dependencia de los combustibles fósiles que además de ser limitados,

contaminan el medio ambiente y causan problemas de estabilidad política en el tercer

mundo.” [Lor06].

Con la toma de conciencia sobre el cambio climático, se prevé que el uso de las energías

renovables adquiera un papel importante. Entre ellas, destaca la conversión fotovoltaica

por la que la energía solar se transforma en energía eléctrica mediante un dispositivo

electrónico llamado “célula solar”.

En los últimos años, gracias a los estímulos gubernamentales en ciertos países, ha

aumentado espectacularmente la capacidad de producción de sistemas fotovoltaicos y la

potencia instalada. Esto ha propiciado un descenso de los costes de generación de

electricidad que, no obstante, están aún lejos de los medios convencionales.

Cuando la luz del sol incide sobre las células solares, los fotones de la radiación

transmiten su energía al substrato semiconductor, provocando un movimiento de los

electrones y huecos en direcciones opuestas que genera una corriente eléctrica en el

semiconductor capaz de circular por un circuito externo para realizar un trabajo.

Para explicar el funcionamiento de la célula solar se utilizan diferentes modelos físico-

matemáticos que permiten relacionar la corriente, la tensión y otras variables de

funcionamiento como la iluminación y la temperatura, y predecir su comportamiento en

condiciones determinadas. Estos modelos contienen varios parámetros propios de cada

célula que dependen de su diseño y su proceso de fabricación. Si se conocen los

parámetros para un conjunto de dispositivos fabricados, el estudio de su variación

permitirá orientar la tecnología hacia unos resultados óptimos. De este modo, un exacto

conocimiento de los parámetros de la célula solar es de una extrema importancia para el

diseño y el control de calidad tanto de células solares como de generadores más

Tesis doctoral: Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de…

4

complejos (módulos, paneles, ramas, etc) y para estimar su comportamiento en

condiciones de operación.

El proceso de extracción de parámetros, objeto de este trabajo, consiste en la

determinación de los valores de los parámetros de un modelo de célula a partir de

medidas realizadas sobre ella. Muchos autores han desarrollado numerosos métodos

para la caracterización de células solares a partir de mediciones que permiten averiguar

el valor de los parámetros del modelo utilizado. Entre todos los métodos, los más

importantes y extendidos se basan en la curva I-V que representa el comportamiento

eléctrico de la célula y es fácilmente obtenible; se registra rutinariamente para células y

módulos en la fábrica para control de calidad y clasificación.

Por último, hay que recalcar que un procedimiento de extracción de parámetros debe

incluir i) la extracción de los valores de los parámetros propiamente dichos, ii) un

análisis de los errores que afectan a estos parámetros y, por último, iii) la cuantificación

de la bondad del ajuste dando el error estándar del mismo. Muchas veces, se ven

publicados estudios que se limitan al punto i), lo que para nosotros carece de valor.

En este entorno, pueden señalarse tres líneas de interés para el sector fotovoltaico a lo

largo de las cuales el trabajo desarrollado en la presente tesis puede presentar utilidad:

1.- La investigación para el aumento de eficiencia o la simplificación de procesos de

fabricación de las células solares. La caracterización permite identificar los fenómenos

que limitan el rendimiento y poner en práctica las mejoras correspondientes. Es una

actividad principal del Instituto de Energía Solar, incluyendo células de silicio, de

compuestos III-V y nuevas tecnologías.

2.- El control de procesos en fabricación. Con el aumento de la productividad de las

líneas, hay una clara ventaja en disponer de una herramienta rápida de análisis de las

curvas de las células o módulos que permita señalar posibles incidencias.

3.- El análisis de los sistemas fotovoltaicos. La curva I-V de un generador fotovoltaico,

formalmente igual que la de una célula, contiene la información que puede utilizarse,

Capitulo 1: Introducción y objetivos 1.2.Objetivos de la tesis

5

mediante la extracción de parámetros de un modelo, para calcular su productividad a lo

largo de un periodo determinado y en una localización concreta.

1.2 Objetivos de la tesis

El objetivo del trabajo propuesto consiste en el desarrollo de nuevos métodos de

extracción de parámetros a partir de la característica I-V de células solares, tanto de

iluminación como de oscuridad. Esto consiste en:

• Estudio del problema matemático del ajuste aplicado a las curvas I-V. Se abordan los

problemas generales de los ajustes no-lineales: la definición del error del ajuste, el

análisis de la convergencia del proceso iterativo y la significación estadística de los

parámetros extraídos, y su aplicación al caso de los modelos de curvas I-V de

iluminación y oscuridad para encontrar su expresión más adecuada.

• Desarrollo de herramientas informáticas. Se buscarán estrategias de optimización

robustas y que permitan no sólo obtener un conjunto de parámetros que proporcionen

buen acuerdo con las medidas, sino también una caracterización completa en términos

de error y fiabilidad. En su implementación como herramienta informática se perseguirá

la facilidad de uso y la flexibilidad, pues el objetivo es que pueda servir a los diferentes

grupos del Instituto de Energía Solar y otros.

• Validación del procedimiento. Mediante pruebas en células solares de diferentes

tecnologías se verificará la generalidad de los modelos y estrategias de ajuste y se

plantearán sus posibles extensiones.

Para conseguir estos objetivos se desarrolla la tesis según el plan que sigue.

1.3 Plan de la tesis

Capítulo 1: Se presenta el estado del arte tras los objetivos y el plan de la tesis.


6

Capítulo 2: Se introduce el procedimiento matemático que se usa durante todo el

trabajo de la tesis. Tras presentar el problema del ajuste por mínimos cuadrados con

ecuaciones lineales y no-lineales, se define la matriz de covarianzas y otros indicadores

estadísticos de importancia. A continuación se definen los errores estándar de los

parámetros a extraer, precisándose las expresiones para su obtención. Por último, se

deriva una forma sencilla y explícita para el cálculo aproximado de las desviaciones

ortogonales en el caso de una función general.

Capítulo 3: En este capítulo se aplican los conceptos anteriores al ajuste de

características I-V de iluminación con factores de idealidad fijos minimizando la

distancia ortogonal. El proceso iterativo para la extracción de los cinco parámetros del

modelo resulta ser simple y de convergencia rápida y segura en una variedad de casos

estudiados correspondientes a células solares de diferentes tecnologías y diferentes

materiales.

Capítulo 4: Se presentan y comparan en este capítulo diferentes definiciones del error

del ajuste: error en corriente, error combinado en corriente y en tensión y distancia

gráfica ortogonal (normalizada). Estudiando su aplicación a una curva I-V de

iluminación, se ilustran sus diferentes méritos e inconvenientes, usando los métodos de

cálculo del capítulo 3.

Capítulo 5: Se ajustan características I-V de oscuridad que, en principio, contienen seis

parámetros. Sin embargo, se observa que el proceso no suele ser estable debido a que

aparecen correlaciones muy importantes entre diferentes parámetros, como lo indica la

matriz de covarianzas. Por ello, se diseña un método de extracción de cuatro, cinco y

seis parámetros estructurado y seguro para converger al mínimo deseado. En la práctica

no todos los casos experimentales permiten la extracción de seis parámetros

significativos.

Capítulo 6: Se presentan las principales conclusiones del trabajo realizado, así como se

sugieren las líneas a lo largo de las cuales podría completarse.

En los anexos se recogen detalles matemáticos de los cálculos relativos a alguno de los

capítulos.

Capitulo 1: Introducción y objetivos 1.4 Estado del arte

7

1.4 Estado del arte

La característica I-V de la célula solar en condiciones determinadas de trabajo, por

ejemplo condiciones estándar, o un espectro y una temperatura ambiente determinados,

es la medida más representativa de su calidad como generador fotovoltaico “unitario” y

la más extendida y usada en los laboratorios y entornos industriales. De aquí el interés

de extraer toda la información sobre las células que de ella pueda obtenerse. Por otra

parte, los modelos más utilizados para explicar las medidas de la curva I-V de células

solares suelen basarse en representar la corriente como suma de términos exponenciales

(los asociados a diodos) y lineales (los asociados a resistencias en paralelo)[Hov75]. A

continuación se recogen las expresiones de los más importantes.

El modelo de una exponencial en iluminación se escribe:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+−= 1exp)( 0

t

SPSL mV

IRVIGIRVII

(1.1)

Estando la tensión térmica, Vt, determinada por la temperatura, esta expresión contiene

5 parámetros propios de la célula en cuestión: La corriente de saturación inversa es I0 y

el factor de idealidad m, IL representa la corriente generada por la iluminación, RS la

resistencia serie y GP la conductancia en paralelo. La corriente I se toma positiva si sale

por el lado p de la célula, y el voltaje V es la diferencia de potencial entre el lado p y el

n.

Este es el modelo más utilizado en el campo de los sistemas fotovoltaicos, porque

presenta la mayor simplicidad compatible con un ajuste suficientemente bueno, y

porque en ese campo no suele ser tan importante el contenido físico de los parámetros

(el de un m arbitrario puede ser problemático, por ejemplo) como disponer de una

herramienta suficientemente precisa para generar características continuas:

extrapolación a diversas condiciones, entre ellas las estándar, etc.

El modelo de dos exponenciales de iluminación con los factores de idealidad m1 y m2

variables o fijos incluye dos funciones exponenciales del voltaje:


8

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+−= 1exp1exp)(

101

202

t

S

t

SPSL Vm

IRVIVmIRVIGIRVII

(1.2)

Y contiene hasta 7 parámetros, con IL, RS y GP definidos arriba. En este caso hay dos

diodos caracterizados por sus respectivas corrientes de saturación, I01 e I02, y factores de

idealidad, m1 y m2, variables.

La versión más reducida de este modelo, con los factores de idealidad m1 y m2 fijos,

contiene cinco parámetros (IL, RS, GP, I01 y I02) y es también muy utilizada.

En el caso de curvas de oscuridad la expresión del modelo de dos exponenciales, con 6

parámetros (RS, GP, I01, I02, m1 y m2) será:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−= 1exp1exp)(

101

202

t

S

t

SPS Vm

IRVIVmIRVIGIRVI

(1.3)

La corriente, por convenio, es positiva ahora si entra por el terminal p.

Por último, el modelo de una exponencial en oscuridad, de 4 parámetros (equivalente al

(1.1) de iluminación, con los mismos parámetros excepto IL) es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−= 1exp)( 0

t

SPS mV

IRVIGIRVI

(1.4)

Los modelos presentados en (1.2) y (1.3) son utilizados con preferencia a los (1.1) y

(1.4) por los fabricantes de células solares.

Los primeros métodos descritos en la bibliografía no eran propiamente de ajuste de

curvas sino de extracción de parámetros fundamentales a partir de conjuntos

restringidos de los datos, y operación con ellos. Jia et al.[Jia87], [Jia88], Charles et

al.[Cha88] y Appelbaum et al.[App93] se centran en la corriente de cortocircuito,

tensión de circuito abierto y el punto de potencia máxima para expresar en función de

ellos la relación corriente-tensión. Son ajustes sencillos y pueden especificar el


9

comportamiento eléctrico de la célula, pero estos métodos no usan todos los datos

experimentales y no suelen ir acompañados de los estudios estadísticos que informen

sobre el grado de incertidumbre y correlación de los parámetros ajustados.

Otros procedimientos de ajuste usan todo el conjunto de datos medidos. El número de

parámetros a extraer varía dependiendo del modelo que se elija.

Charles et al.[Cha81] utilizan un modelo de una exponencial (1.1) para la curva de

iluminación, obteniendo diferentes parámetros internos de las células.

Kojima el al.[Koj98] estudian el comportamiento de células solares CIS con diferentes

niveles de iluminación y en oscuridad usando los modelos (1.2) y (1.3)

Como la resistencia serie, Rs, es un parámetro de gran importancia para la célula solar,

para su obtención a partir de medidas I-V se han desarrollado métodos específicos.

Entre los primeros y más conocidos se encuentra el de Wolf [Wol63], que es un

procedimiento gráfico donde se extrae la resistencia serie como único parámetro a partir

de dos curvas de iluminación obtenidas bajo diferente irradiancia.

El caso de la resistencia serie ilustra el hecho de que los parámetros constantes de un

modelo pueden no ser adecuados para todas las condiciones de funcionamiento. Esto lo

han estudiado de forma teórica Ruiz et al. [Rui82], Cuevas [Cue83] y Araujo, [Ara86]

para situaciones de oscuridad o de iluminación de células solares. Aberlee et al.

[Abe93] presentan en su artículo un método para la obtención de la resistencia serie

(con resultados diferentes) en oscuridad e iluminación. Estas consideraciones se aplican

a otros parámetros como los factores de idealidad m cuyo valor estudian McIntosh et al.

[McI00].

Cuando se requiere extraer parámetros para los modelos de suma de exponenciales

(1.2), el ajuste es lineal en todos los parámetros salvo en la resistencia serie y en los

factores de idealidad de forma que, si éstos se consideran conocidos “a priori”, la

obtención de los parámetros es directa. Sin embargo, con una ecuación en Rs no-lineal

se requiere algún valor inicial, y un método recurrente para su resolución. L. Chien-


10

Chih et al.[Chi08] describen este tipo de problemas de regresión no-lineal donde los

valores iniciales tienen una gran importancia para lograr el mejor resultado.

Suele considerarse como mejor ajuste de un modelo (curva teórica, conjunto de

parámetros) a un conjunto de datos experimentales aquél que minimiza algún tipo de

norma relacionada con el conjunto de distancias (ε) entre los valores medidos y la curva

teórica. En el ajuste por mínimos cuadrados estándar, la norma a minimizar es una suma

de cuadrados de distancias. Y las distancias son, en el caso más habitual, proyecciones

sobre la ordenada representada en el eje vertical. En otras variantes podría ser sobre el

eje horizontal o sobre la dirección ortonormal (variable en cada punto).

Este tipo de ajuste tiene una interpretación estadística clara pues el conjunto de

parámetros que hace mínima la distancia es el de máxima verosimilitud, es decir, el más

probable para el cual el conjunto de datos experimentales representa una única muestra

de valores de una función aleatoria.

También hay diferentes posibilidades para la elección del criterio o de la distancia ε.

Tratándose de características I-V, el valor más usado es la diferencia en corriente para

voltaje constante (o distancia vertical, pues la corriente suele representarse en función

del voltaje), lo que quiere decir que sólo se asumen errores en la medida de corrientes,

no de voltajes. Esto se debe a que los modelos se suelen presentar como expresiones de

la corriente en función del voltaje. Sin embargo, despreciar los errores de medida de la

tensión, puede inducir errores aparentes de corriente importantes en las zonas de fuerte

derivada (por ejemplo entre máxima potencia y circuito abierto en las características de

iluminación).

Araujo et al.[Ara82] con una curva de oscuridad con dos exponenciales aplican el

método de mínimos cuadrados con funciones lineales en GP, I01 e I02 considerando la

resistencia serie Rs y los factores de idealidad m1 y m2 constantes. La desviación

estándar utilizada ε es:


11

( ) ( )( )

21

1

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

= ∑=

=

dni

i imed

imedical

d VIVIVI

nε

(1.5)

Siendo nd el numero de datos, Ical la corriente calculada, Imed la corriente experimental y

Vi la tensión medida de cada punto experimental.

El método presentado por Veissid et al. [Vei90] minimiza las desviaciones estándar de

los parámetros característicos, en condiciones de iluminación o de oscuridad. Van

Kerschaver et al.[Ker97] presentan en su artículo un método rápido de extracción de

parámetros a partir de curvas de iluminación, con dos exponenciales (1.2), usando sólo

la parte cercana al punto de máxima potencia en la curva I-V y el criterio de la distancia

vertical. Ortiz-Conde et al.[Ort06] analizan una curva de iluminación de una

exponencial utilizando la función de Lambert W(x) que se define como solución a

ecuaciones del tipo W(x)×exp(W(x)) = x. Este tipo de solución puede ser usado

directamente para estudiar células solares [Jai05a], [Jai05b] y [Cer02] . En la tesis

doctoral de V.E. Martínez Santos [Mar01] se aborda la caracterización de células

solares en líneas de producción de fábricas, utilizando también el criterio del error en

corriente. Polman et al.[Pol85] usan el ajuste por mínimos cuadrados, el criterio del

error en vertical y un modelo con dos exponenciales.

Martí et al.[Mar89] presentan diferentes curvas I-V de oscuridad y del tipo ISC-VOC para

establecer una metodología para seleccionar el criterio del error y para estudiar la

fiabilidad de los modelos usados. En sus procesos de ajuste, utilizan criterios de error

tanto de corriente como de tensión.

Una de las soluciones propuestas (Phang et al.[Pha86]) para superar el problema de

considerar sólo el error en corriente es elegir como magnitud a minimizar el área (suma

algebraica de trapecios) entre la curva ajustada y la experimental.

Otro método de extracción de parámetros es el propuesto por Burgers et al.[Bur96]

cuyo criterio elegido es la minimización de la suma cuadrática de distancias ortogonales

a la curva, abreviadamente llamado ODR (en castellano RDO: regresión de distancias

ortogonales). Se considera el más eficaz desde cualquier punto de vista. Pone en pie de


12

igualdad en lo que se refiere a los errores experimentales el voltaje y la corriente. En un

trabajo más reciente [Bur04] aplican el ajuste por RDO a curvas correspondientes a

diferentes niveles de iluminación.

El ajuste por tramos [Hao03], [Hao04] tiene en cuenta los errores en corriente o voltaje

según el tramo de curva ajustado, intentando mantener la simplicidad de la formulación

del criterio de distancia vertical (u horizontal). Puede usarse para obtener fácilmente

primeras aproximaciones a los parámetros, posteriormente refinados mediante, por

ejemplo, el criterio RDO, o bien constituir un procedimiento sustitutivo (por más

simple) a éste.

Chan et al.[Cha85] realizan un trabajo de comparación entre tres métodos de extracción

de parámetros utilizando esquemas de cálculo iterativos y el modelo de una

exponencial.

En un estudio [Hao05] comparamos el uso del criterio de error en corriente con el RDO

utilizando esos programas de ordenador MULTIV [Mar92], IVFIT [Bur96] de libre

distribución y criterio combinado por tramos.

Algunos autores (Jain y Kapoor [Jai04], Ortiz-Conde et al.[Ort05]) realizan el proceso

de extracción mediante métodos puramente analíticos.

A veces, la extracción de los parámetros de células solares se realiza recurriendo a

simuladores de dispositivos que incorporan modelos detallados del funcionamiento

físico. Por ejemplo, el programa PC-1D [Bas88], usado con profusión en el contexto

fotovoltaico, sirve para reproducir resultados de experimentos concretos y obtener

información de algún parámetro interno, pero no se trata de procesos de ajuste de

características terminales en el sentido estricto.

Muchos de los trabajos presentados no realizan un análisis estadístico de los resultados,

es decir, de la incertidumbre que afecta a los parámetros obtenidos o la adecuación del

modelo empleado. Existen numerosos estudios sobre el tema en la literatura

matemática, especialmente para la regresión lineal por mínimos cuadrados. En nuestro

caso se suman varias complicaciones: la forma implícita de las ecuaciones del modelo,


13

la no linealidad de éstas con los parámetros a extraer y la hipótesis de error

experimental en las dos magnitudes medidas (I y V).

R. de Levie [Lev07] presenta en su artículo los fundamentos del método de los mínimos

cuadrados así como una breve historia del mismo, que está ya documentado en el año

213 en China; en Europa aparece en torno a 1700 y llega a denominarse método de

Gauss por las contribuciones de éste.

La formalización con matrices del método de mínimos cuadrados es introducida por

Arthur Cayley, produciéndose un avance notable en el tema. También de Levie en el

artículo antes citado considera la descripción con matrices y el significado de la

aparición de matrices singulares así como la interpretación del cero en los cálculos

realizados con ordenador.

Diferentes artículos [Ree89], [Ros92], [Lyb84] en la revista American Journal of

Physics estudian y presentan métodos de mínimos cuadrados cuando las dos variables

están afectadas de errores, cuando el sistema de ecuaciones es no lineal y cuando las

funciones son implícitas.

Los parámetros que se obtienen por el método de los mínimos cuadrados son

evidentemente inexactos porque se han determinado a partir de un conjunto finito de

datos y porque el proceso de medida proporciona datos con un cierto grado, intrínseco,

de incertidumbre.

Determinar los parámetros incluye estimar y analizar los errores que los aquejan, lo que

constituye un problema con una enorme dificultad que requiere todos los instrumentos

de la estadística matemática.

El estudio estadístico expuesto en el libro de Sánchez del Rio [San89] sobre los errores

estándar y su análisis estadístico se basa en la función de error llamada χ2 (chi-

cuadrado), y se desarrolla para ajuste lineal con error en una variable.

El problema es más complicado si se quiere llegar a cuantificar la bondad de un ajuste

cuando las ecuaciones son no lineales, caso abordado en el libro Numerical Recipes


14

[Pre92]. Su capítulo 15 trata diferentes ajustes de curvas, incluyendo el código para su

implementación. El ajuste no lineal está bastante desarrollado, y se presenta como la

búsqueda del mínimo de la función de error χ2 respecto a todos los parámetros a extraer.

Las ecuaciones del sistema se representan con una matriz que en muchos casos es casi

singular y cuya inversión plantea problemas. Para resolverlos se propone un método

(SVD, Singular Value Decomposition) que consiste en la descomposición de la matriz

buscando el elemento (parámetro) que presenta una más alta correlación con alguno de

los restantes.

CAPÍTULO 2

ASPECTOS GENERALES DEL AJUSTE

POR MÍNIMOS CUADRADOS

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.1 Introducción

17

2.1 Introducción

Se ha planteado el problema del ajuste por mínimos cuadrados en los casos de

ecuaciones lineales y no-lineales. Este último caso es el de mayor interés para los

objetivos de esta tesis y el que presenta dificultades mayores, tanto matemáticas como

de interpretación y, sobre todo, numéricas. En este capítulo se presenta el proceso

matemático generalizado que se aplicará a lo largo de la tesis en diferentes situaciones,

y que por tanto servirá muchas veces de referencia en los próximos capítulos.

La resolución de ecuaciones no-lineales con un elevado número de incógnitas necesita

un proceso iterativo cuya convergencia es muy problemática. El estudio realizado se

basa en la matriz del sistema linealizado de ecuaciones, que va modificándose en cada

iteración. Su análisis permite señalar las causas por las que la convergencia del proceso

se pierde y sugiere posibles soluciones para recuperarla. Dos son los motivos

fundamentales para el descarrilamiento de la convergencia: la lejanía de las variables

iniciales al mínimo buscado y un número excesivo de variables que, por tanto, exhiben

altos grados de correlación mutua. Las soluciones pasan por la disminución del número

de variables y/o la continuación del proceso de minimización en conjuntos limitados de

variables según indique el análisis de la matriz del sistema. Estas soluciones se usarán

para los ajustes de las medidas de células solares presentados en los capítulos

siguientes.

2.2. Planteamiento general del problema

Sea un conjunto de pares de valores experimentales (xi, yi; i=1, 2,…, nd)

correspondientes a dos magnitudes físicas x e y relacionadas. Por ejemplo, x puede ser

la tensión V en bornes de un dispositivo e y la corriente I circulante, o viceversa. O x

puede denotar la longitud de onda, o el coeficiente de absorción, e y la respuesta

espectral, o la eficiencia cuántica, etc.

Sea φ(x,y,pj) = 0 la expresión matemática de un modelo físico con np parámetros (pj,

j=1,2,…, np) que se supone representa adecuadamente el comportamiento experimental

del sistema. Frecuentemente, esa expresión se escribirá en las formas y = F(x,y,pj) o


18

incluso en la x = G(y,x,pj), no necesariamente explícitas como se indica por la presencia

de una variable a ambos lados del signo de igualdad.

A menudo, las dependencias de F o G con los parámetros pj serán no lineales, es decir,

F o G no consistirán, necesariamente, en combinaciones lineales de funciones

independientes, siendo los parámetros los factores de escala de esas funciones, sino que

algunos de ellos podrán entrar en la propia definición de las funciones.

El objeto de este capítulo es la descripción general del procedimiento utilizado para

extraer los valores concretos de los parámetros pj que mejor representan el

comportamiento del dispositivo de acuerdo con el modelo preestablecido, obteniendo la

función concreta φ(x,y,pj) = 0 que mejor se ajusta, según algún criterio a determinar, a

los datos experimentales.

Hay que tener en cuenta, además, que los pares experimentales están afectados por

errores de medida y constituyen solamente una posible realización del experimento, una

muestra estadística de resultados que, por ello, contienen un cierto grado, desconocido a

priori, de incertidumbre. Esta incertidumbre se trasladará a los parámetros extraídos.

Ningún procedimiento de ajuste está completo si no proporciona información sobre la

incertidumbre con que se conocen los parámetros obtenidos.

2.3. Criterios de ajuste. Ajuste por mínimos cuadrados

La pregunta de qué juego de parámetros es mejor que los demás debe formularse de

forma que pueda cuantificarse. Intuitivamente, se trata de hacer que la curva

correspondiente pase lo más cerca posible de los puntos. Así, hay que definir una

magnitud s, que llamaremos error estándar del ajuste, que caracterice adecuadamente la

distancia entre la curva y los puntos y se buscará el conjunto de parámetros que la hace

lo más pequeña posible.

Este error estándar del ajuste se compone con las contribuciones de los errores o

desviaciones individuales de cada punto experimental respecto a la curva teórica.

Llamaremos εi a esta desviación, que será una distancia en el plano x-y y que puede

definirse de diferentes maneras, como ilustra la Figura 2.1.

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.3 Criterios de ajuste. Ajuste por mínimos cuadrados

19

Las figuras a y b son representativas de criterios de distancia horizontal o vertical (ver

Capítulo 4)

La más habitual (parte a de la figura) es la distancia entre la ordenada medida y la

calculada para el valor experimental de la abscisa: se mide la distancia vertical entre el

punto y la curva. Así, vemos que la definición de la desviación, es decir, del criterio con

el que valoraremos los parámetros, consiste en 1) establecer la correspondencia de cada

punto experimental, (xi,yi) con un único punto calculado (xci,yci), es decir, que satisfaga

la condición del modelo φ(xci,yci,pj) = 0, y 2) medir la distancia entre los dos, que suele

tomarse sobre la recta que los une.

Dependiendo del criterio adoptado, para un mismo conjunto de datos experimentales y

un mismo modelo se pueden originar distintos planteamientos y obtener diferentes

resultados concretos, es decir, conjuntos de parámetros. Todos los resultados son

igualmente válidos desde un punto de vista matemático, en cuanto a que son acordes

con los criterios adoptados, pero se preferirán unos a otros precisamente por la

idoneidad del criterio. Se tratará esta cuestión con cierta profundidad, para el caso

concreto de la curva I-V de la célula solar.

Tesis doc

Figura

de un p

verticale

vertical

calculad

y1

y1

ctoral: Nuevos

2.1 Diferen

punto experi

es, b) horiz

d) rectas q

do sobre la c

yy1,x

y1c,x1c

ε1

ε1y

y1,x

y1c,x1c

ε1

ε1

1e

ε1 2c

1c

1e

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1c

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A

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e

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1

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y2c,x

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x

1

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1 ε2

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2e

3e

4e

ε3

ε4

3c

4

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3e

4e

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4

ntos de análisi

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x

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1

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20

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gen y e) no

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1

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b

D

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curva teóri

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D

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cua pero di

a curva. El

x

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2e

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4e

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n signo,

) rectas

istancia

l punto

1

e

4c

1

e

4c


21

2.3.1. Las desviaciones medidas sobre la normal a la curva modelo

Aunque la discusión sobre la idoneidad de los diferentes criterios se realizará en el

Capítulo 4, se describe aquí el criterio de la distancia ortogonal a la curva modelo con

objeto de aplicar algunos desarrollos posteriores a un caso concreto. La elección del

criterio podría estar simplemente fundada en la comodidad de desarrollo y cálculo de las

expresiones resultantes en uno u otro caso. Sin embargo, el criterio de la distancia

ortogonal debería ser considerado el más eficaz desde cualquier punto de vista.

A continuación se presenta brevemente este criterio y una aproximación explícita a su

valor.

Es bien sabido que la distancia más corta de un punto, Pe (xe, ye), a una curva plana de

expresión implícita φ(x,y) = 0 que no lo contiene es aquella medida sobre la normal a la

curva que pasa por el punto. Esta es la distancia normal o, simplemente, la distancia del

punto a la curva. En particular, la distancia normal es menor que cualquiera de las dos

distancias medidas sobre el eje y (que a menudo llamaremos distancia vertical, con

x=xe) o sobre el eje x (distancia horizontal, con y=ye). Si x e y son en origen magnitudes

físicas con dimensiones convendremos que han sido normalizadas (por ejemplo, -

respecto de sus correspondientes fondos de escala) para poder tratar con distancias

adimensionales en los gráficos.

Todo ello hace atractiva para el ajuste y extracción de parámetros por mínimos

cuadrados la consideración de criterios basados en la desviación según la normal. Ésta

sería aquí la distancia normal con signo, positivo o negativo, asignado coherentemente.

A continuación se analizan las dificultades operativas de este criterio y las

simplificaciones que pueden hacerlo tratable.

La base del proceso de ajuste está en la obtención de expresiones derivables (al menos

en primer orden) de las desviaciones individuales. En esto radica la dificultad

fundamental de este caso: el punto Pn, perteneciente a la curva y a su normal desde uno

experimental, Pe, sólo suele obtenerse de forma precisa mediante aproximaciones

sucesivas pues el problema planteado en la mayoría de los casos no puede resolverse

analíticamente.

Tesis doc

La Figu

explícita

Donde r

se aplic

normali

resisten

normali

2.2. Par

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(r<0). (

Figura

normal

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22

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esistencia s

modelo explí

o de aproxi

respecto d

La curva tie

> 0) y la de

nsión de…

delo que se

los restante

presentando

sticas de os

oherenteme

epresentado

a del model

serie con si

ícito en y co

mación a la

de una cur

ne concavid

esviación, p

supone sem

(2.1)

es. Esta form

la corrien

curidad, es

ente con l

o en la Figu

lo (2.1) sig

igno negati

on r = 0.

a desviació

rva model

dad positiva

or convenio

mi-

ma

nte

la

las

ura

gue

vo

ón

lo

a.

o,


23

En la Figura 2.2, el punto Pn, perteneciente a la curva, es aquel cuya normal contiene al

punto Pe. Como habitualmente la función F no es analíticamente invertible, el punto Pn

resulta difícil de obtener. Por el contrario pueden obtenerse sencillamente las

coordenadas de un punto próximo, Pa, sobre la curva calculada, siempre y cuando Pe no

esté muy alejado de ella como corresponde a un ajuste razonable a los valores

experimentales. La obtención del punto Pa se deduce de la gráfica: Es el punto de

intersección de la línea x’= cte expresada en (2.1), que pasa por Pe, y la curva calculada.

Las coordenadas de Pa (xa, ya) son:

( )( )⎩

⎨⎧

−+=

′=′≡=⇒⋅−≡′=⋅−≡′

eaea

jeaaaeeeaaa yFrxx

pxxFFyyrxxyrxx

,

(2.2)

Así, la desviación ε, de acuerdo con este criterio de correspondencia, sus componentes

εx, εy y el ángulo β de inclinación del segmento Pa-Pe son:

rr

rxxyFyy

y

x

yxy

yeax

eaeay

==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=++=

=−=−=−=

εεβ

εεεε

εεε

tg1 222

(2.3)

Se ha dado, por convenio, a la desviación ε el mismo signo que posee εy. En la Figura

2.2 éste es positivo; el signo negativo se daría si el punto Pe se encontrara por encima de

la curva modelo. También el signo de β es el mismo que el del parámetro r explicado en

un párrafo anterior.

El ángulo α es el de la tangente a la curva en el punto Pa, es decir:

ax

ax

a

a

aaaaa

FrF

xFr

xF

xyr

xF

xx

xF

xy

′

′

′+′

≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

1dd1

dd

dd1

dd

dd

dd

ddtgα

(2.4)


24

Para obtener la desviación normal δn ha de usarse un método iterativo. Sin embargo sin

tener en cuenta la curvatura de la función sino sólo su pendiente en el punto próximo Pa,

δn se aproxima por δa (ver Figura 2.2):

( ) ( )( )( )

αβαε

ββαε

βαβαεβαεδδ

2

22

tg1tgtg1

coscos

tg1tg1tgtg1cos

+

⋅−=

+=

=++

⋅−=+=≈

yy

an

(2.5)

La aproximación es por exceso si la concavidad de la curva es hacia abajo (negativa) y

por defecto en caso contrario (concavidad hacia arriba o positiva como en la Figura

2.2). Análogamente pueden analizarse los casos en que el punto Pe se encuentre por

encima de la curva. Debe tenerse en cuenta que, en casos prácticos, con un número

razonablemente elevado de puntos experimentales y una curva ajustada con tramos de

concavidades distintas, incluso en signo, se darán los distintos casos distribuidos de

forma aleatoria, sobre todo porque será aleatoria la distribución de los puntos

experimentales por encima o debajo de la curva. Esto justificaría por sí solo el uso de la

expresión (2.5) como la de la desviación a minimizar cuadráticamente en un proceso de

ajuste, con preferencia sobre ε, εy ó εx, por ser más próximo a un criterio de desviación

normal.

Las tangentes se calculan en cada caso de iluminación y oscuridad respectivamente en

los capítulos 3 y 5.

2.3.2 El error estándar del ajuste

Una vez definidas las desviaciones individuales, se ha de componer la magnitud

representativa de la desviación global que haya de minimizarse. En el caso del ajuste

por mínimos cuadrados, se suele tomar como la suma de los cuadrados de las

desviaciones individuales extendida al número, nd, de puntos experimentales. Sin

embargo, en nuestra opinión, son más apropiadas otras magnitudes relacionadas con esa

suma cuadrática, pero menos dependientes del número, casual, de datos experimentales:

por ejemplo el valor cuadrático medio, que denotaremos como s2, o la raíz cuadrada, s,


25

de éste último (s = 2sRMS = : root mean squares, raíz de la media de los cuadrados).

Así, la expresión genérica del ajuste por mínimos cuadrados se plantea como sigue: el

conjunto de parámetros pjMC correspondiente al mejor ajuste es tal que

( ) ( )min1

22

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≡⇒ ∑

=

dn

iji

djMCj p

npsp ε (2.6)

Donde εi representa la desviación (con signo) del punto experimental i (xi, yi) respecto

de la curva o función del modelo φ(x,y,pj) = 0 correspondiente a los valores pjMC de los

respectivos parámetros.

El nombre de “mínimos cuadrados” proviene del exponente 2, al que se elevan las

desviaciones en el sumatorio. Se podrían utilizar otros valores (otros exponentes). En

general, cuanto mayor es el exponente, menos peso en el ajuste tienen los puntos más

alejados de la curva teórica y viceversa. En este trabajo se usarán sólo mínimos

cuadrados por la sencillez de su formulación y la significación estadística de los

parámetros que usándolos se obtienen [Pre92], [San89]. En este sentido estadístico,

suele tomarse como “error estándar del ajuste” la propia magnitud s (o RMS) corregida

para el “número efectivo de grados de libertad”, que es el número de datos

experimentales, nd, menos el de parámetros a determinar, np:

∑=−

=⋅−

=dn

ii

pdpd

d

nns

nnn

1

2ajuste

1 εσ (2.7)

Del mismo modo, cada punto i podría contribuir con desigual peso a s2 mediante la

inclusión de factores wi en el sumatorio. Así podría tenerse en cuenta el caso en que el

error de medida no afectara por igual a todos los puntos, de modo que a los más fiables

se les asignaría un peso mayor (ver §15.2 de la referencia [Pre92]).

Algo muy similar, en la práctica, aunque con muy distinta justificación, es lo que se

hace al considerar la distancia ortogonal: el resultado es equivalente a la distancia

vertical con un peso variable.


26

La condición de mínimo en (2.6) se desglosa en tantas condiciones como parámetros, en

la forma de igualdades a cero de cada una de las primeras derivadas parciales de s2

respecto de cada parámetro:

02,...11

2 =∂∂

=∂∂

=∀⇒ ∑= j

in

ii

djPMCj pnp

snjpd εε (2.8)

El criterio de ajuste por mínimos cuadrados es sencillo de expresar y conduce a

formulaciones relativamente simples, por lo que su uso está muy generalizado. El

planteamiento del ajuste por mínimos cuadrados conduce a un sistema de ecuaciones

entre parámetros, en número igual al de éstos, y por tanto con solución esperable única

para cada muestra de datos experimentales. Pero contiene también la información

necesaria para precisar la incertidumbre de los valores de los parámetros y para la

extrapolación estadística de los resultados.

La condición (2.6) o su desglose (2.8) no incluye, necesariamente, la condición de

desviación promedio nula (es decir, s1 ≡ (1/nd)∑εi =0). Esta condición, por sí sola, no

constituiría un buen criterio de ajuste, salvo en el caso de un único parámetro. En

efecto, se permitirían np-1 grados de libertad en la elección de valores de los

parámetros.

En situaciones concretas (si la función F contiene un término constante y no se aplican

pesos wi variables) alguna de las condiciones (2.8) puede ser estrictamente equivalente a

ésta, pero no es el caso general. No obstante, el cumplimiento simultáneo de las np

condiciones (2.8) habitualmente conduce a un resultado sólo aproximado s1 ∼ 0.

Se tratan, a continuación, los aspectos generales del proceso, con independencia de los

criterios elegidos para la definición de las desviaciones individuales εi.

2.4. Ajuste por mínimos cuadrados en el caso lineal.

Se habla de ajuste lineal cuando la función teórica depende linealmente de los

parámetros pj a extraer [San89]. El ejemplo más conocido es el ajuste polinómico, en

que los parámetros son los coeficientes de las sucesivas potencias de x:

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.4 Ajuste por mínimos cuadrados en el caso lineal

27

y = pnpxnp-1+pnp-1xnp-2+…+p1. Un caso más general de dependencia lineal de la función

de ajuste con los parámetros, cuando ésta se describe en forma implícita, puede

expresarse así:

∑=

==pn

jjj yxfpyxFy

1

),(),( (2.9a)

Donde las fj(x,y) pueden ser funciones cualesquiera, pero independientes de cualquiera

de los np parámetros pj. Por otra parte, la desviación cuadrática s2 (2.6) se desarrolla

como una forma cuadrática de los parámetros pj y la aplicación de la condición de

mínimo da lugar a un sistema de ecuaciones lineales, sólo cuando i) las funciones fj (y

por tanto F) no dependen de y y ii) el criterio de ajuste es el de distancia vertical (Figura

2.1, a).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑

∑

=

=

−==∂∂

⇒

−≡∀

==

p

p

n

jikiikijjiki

k

i

iii

n

jjj

xfyxfxfpxfp

yxFi

xfpxFy

1

2

alexperiment

1

22

:error de criterio

:explícito modeloSi

εε

ε (2.9b)

Que conduce a:

k

n

jjjk TpM

p

=∑=1

, (2.10a)

Ó, en notación matricial:

Donde P es el vector de parámetros, de dimensión np, y M y T son la matriz cuadrada

(np× np) y simétrica y el vector (np×1), respectivamente, de componentes:

TMPTPM 1solución −==

(2.10b)


28

( ) ( )

( ) k

n

iiki

dk

jk

n

iijik

dkjjk

yfxfyn

T

ffxfxfn

MM

d

d

==

≡==

∑

∑

=

=

1

1,,

1

1

(2.11)

La matriz M se denomina de curvatura porque contiene los coeficientes de la forma

cuadrática. Su inversa M-1 es la matriz de error o de covarianzas, denominaciones

debidas a que los elementos de la diagonal principal son también (proporcionales a) las

varianzas de los parámetros pj y cada elemento fuera de la diagonal es proporcional a la

covarianza del par de parámetros asociados a la correspondiente fila y columna, a su vez

relacionada con el factor de correlación entre ambos parámetros (ver apartado §2.10).

Cuando el sistema esta bien formado (funciones fj del desarrollo (2.9a) independientes

unas de otras) su resolución mediante la matriz inversa, como se indica en (2.10b) se

produce de una sola vez y sin necesitar valores iniciales [San89].

2.5. Ajuste no lineal. Tratamiento matricial iterativo.

Las np condiciones (2.8) representan un sistema algebraico de np ecuaciones con np

incógnitas: los np parámetros pj. En casos generales la relación de F con algunos de los

parámetros no es lineal y el desarrollo (2.9a) sólo es válido en términos incrementales

(estrictamente, diferenciales), reemplazando cada parámetro por su incremento y

añadiendo un término F0, representativo de la función F para un conjunto predefinido (o

inicial) de valores de los parámetros pj0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

,,;,,,1

0

j

p

pjj

n

jjj p

yxFyxfyxfpyxFyxF ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

≡Δ+≅ ∑=

(2.12)

En este caso las funciones fj que constituyen ahora la base incremental de F (base de

ΔF, que no de F) son cambiantes. Para la solución del problema hay que recurrir a las

técnicas apropiadas que, básicamente, consisten en realizar aproximaciones sucesivas

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.6 Matriz dinámica del sistema

29

mediante sistemas lineales únicamente válidos en entornos pequeños de los valores de

los parámetros.

El proceso de iteración de ajustes lineales, requiere un conjunto inicial de parámetros.

La matriz del sistema, que llamaremos “dinámica”, por cambiante, permite obtener

conjuntos sucesivos de parámetros que minimizan aproximaciones lineales de la

función objetivo (suma cuadrática de desviaciones). Se ha de disponer asimismo de

procedimientos de control de la convergencia del proceso.

2.6. Matriz dinámica del sistema

M representa el comportamiento de las desviaciones cuadráticas si las desviaciones

propiamente dichas se aproximan mediante relaciones lineales (es decir, no es s2 sino ε,

lo que se desarrolla y trunca “a priori”). Así, representando con el subíndice 0 la

particularización de una magnitud (en un punto genérico i) para un conjunto de

parámetros pj0 y desarrollando la desviación individual, εi, en términos de

incrementos genéricos Δpj, truncada al primer orden:

( )

( ) 201

20

20

1 100

100

20

1

222

100

1 00

1con

21

,,1Si

sn

ppffpfn

s

pfpp

ni

d

p ppd

pp

n

ii

d

n

k

n

llklk

n

kkk

n

ii

d

n

kkiki

n

kk

k

iiid

≡≡

ΔΔ+Δ+≅≡≡⇒

Δ+≡Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+≅=∀

∑

∑∑∑∑

∑∑

=

= ===

==

εε

εεεε

εεεεL

(2.13)

y

( ) ( ) ( )∑∑

∑∑

==

==

≡≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+≅∂∂

=∂∂

=∀

dd

pp

n

iikij

dkj

n

iiji

dj

n

kkkjj

j

n

kk

kjj

p

ffn

fffn

f

pfffp

pppp

s

nj

10000

10000

10000

01 00

2

1;1con

222

,,1

εε

εεεεεε

L

(2.14)


30

Si la desviación individual, εi, responde al criterio más simple (vertical) las funciones fj

son también:

( )ijj

iijiii p

Fp

fyFi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

≡⇒−≡∀εεSi (2.15)

que corresponden al desarrollo lineal (truncado) de F:

( )∑∑==

Δ+=Δ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+≅pn

jjiji

pn

jj

ij

ii pfFppFFF

100

10

0 (2.16)

Para las matrices de una fila o una columna utilizaremos la notación “bra-ket” con la

que el vector “bra” v es el vector fila np ×1 de componentes vj, j=1,…, np, y su “ket”

correspondiente v su transpuesto en columna 1× np.

Se tiene así, para (2.13):

( )

0

22

0000

,,

0202

21

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

≅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

==

ΔΔ+Δ⋅+≅

kjkj

kjjkkj

p

ppsff

ppMM

pMppfss

εε

ε

(2.17)

La última igualdad aproximada en (2.17) justifica que el desarrollo previo de s2 sea

preciso hasta el 2º orden, aunque proviene de sólo un primer orden de aproximación

para ε. A su vez, esa igualdad aproximada procede del escaso significado de las sumas

de términos con ε como factor de un producto (por su esperado pequeño valor y signo

aleatorio)

M es simétrica

M es igual a su transpuesta como se deduce inmediatamente de su definición (2.17).

Con ello, se puede escribir (2.14) en notación matricial como:

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.6 Matriz dinámica del sistema

31

pMfpsMpf

ps

pp Δ+⋅≅∂∂

Δ+⋅≅∂∂

0

2

0

2

21ó

21 εε (2.18)

M es definida positiva

Siempre que las np funciones ∂ε/∂pj sean linealmente independientes, se puede decir que

la matriz M es definida positiva[Lev07]. En efecto, los elementos de la diagonal

principal son todos positivos pues son sumas de cuadrados. También lo son los

determinantes de todos los menores principales de orden 2:

( ) 0detdet

;;,,1,

2222

2

>⋅−⋅=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

≠≠=∀

kjkjkkj

kjjjk

kjp

fffffff

fffm

cffkjnkj L

(2.19)

Lo que, a su vez, significa que la forma cuadrática del tercer sumando en el segundo

miembro de (2.17) pMp ΔΔ es definida positiva puesto que pMp ΔΔ >0 sean

cuales sean los signos de las componentes incrementales del “vector” Δp.

Se concluye, pues, que si las aproximaciones efectuadas, despreciando términos de

tercer orden o superior, son válidas y las funciones incrementales son linealmente

independientes, la matriz M del sistema es definida positiva y tiene inversa. En tal caso,

la solución buscada para Δp, que en (2.18) hace nulo el primer miembro y todas las

primeras derivadas de s2 en p0+Δp, es:

01

0min

2

0

2000

210

21con

TMppMTps

psfT

jjj

−=Δ⇒Δ+−≅∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−=⋅−≡ ε

(2.20)

Y, substituyéndola en (2.17), deberá conducir a:


32

( )

202001

020

011

001

020min2 2

spMpsTMTs

TMMMTTMTsps

≤ΔΔ−=−=

+−≅Δ

−

−−−

(2.21)

La última desigualdad se deduce precisamente de que la forma cuadrática pMp ΔΔ

es definida positiva.

De (2.20) y (2.21) resulta claro que, si el conjunto p0 responde ya al mejor ajuste

pm, o, en otras palabras, si el vector ( )02 ps ∂∂ es ya el vector 0 , también serán

nulos el vector pΔ y el valor de la forma cuadrática: la desigualdad en (2.21) se

reduce a la igualdad y s20 es el mínimo absoluto(s2min) de s2.

2.7. Matriz estática

Convenimos en llamar estática a la matriz límite de la dinámica, cuando se alcanzan las

condiciones del ajuste óptimo o mínima s2, y la designamos mediante Mm. En el caso

lineal ambas matrices coinciden, pero no, en general, en los casos no lineales. La matriz

dinámica define únicamente las diversas aproximaciones sucesivas. Pero es la matriz

estática la que contiene la información relevante a efectos estadísticos, es decir, cuando

se considera el conjunto de datos experimentales como una muestra estadística de datos

con sus errores aleatorios y, por tanto, también los parámetros obtenidos como muestra

esperable, con ciertas incertidumbres estadísticas.

La matriz Mm adquiere además un nuevo significado. En efecto, utilizando el desarrollo

(2.17) particularizado alrededor del mínimo, pm, y con pequeñas variaciones ahora

arbitrarias, apΔ , de los parámetros se tiene:

( ) min2min22 02 spMppsps amaaa >ΔΔ+Δ+≅Δ (2.22)

es decir, Mm es también la matriz de la forma cuadrática que determina el incremento de

la suma cuadrática de desviaciones por variaciones aleatorias de los parámetros respecto

al conjunto óptimo deducido para la muestra concreta de datos experimentales.

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.8 Resolución mediante proceso iterativo

33

2.8. Resolución mediante proceso iterativo. El problema de la convergencia

2.8.1 Convergencia y no convergencia

Los resultados (2.20) y (2.21), se basan en diferentes aproximaciones y por tanto, en

general, resultan también sólo aproximados. Por ello se requiere un proceso iterativo. Si

la matriz M fuera constante e independiente de los propios parámetros, todos los

símbolos “aproximadamente igual a” en las ecuaciones (2.14) a (2.21) se convierten en

igualdades estrictas. En particular, las derivadas segundas de las desviaciones

∂2εi/∂pj∂pk se anularían y M coincidiría estrictamente con la matriz de derivadas

segundas de s2 (ver eq (2.17)). La solución final se alcanza de una sola vez, sin

iteraciones.

Así (2.20) debe interpretarse como una tentativa de un mejor ajuste: Los parámetros

p0+Δp potencialmente darán lugar a una suma de desviaciones cuadráticas inferior a

la proporcionada por los parámetros p0. Esto deberá comprobarse, no mediante la

última relación de desigualdad en (2.21) sino por comparación directa del primer y

último miembros de esa relación: calculando directamente s2(p0+Δp) y comparándolo

con s20=s2(p0). La relación (2.21) se convierte de este modo en un procedimiento para

el control (dinámico) del grado de cumplimiento de las aproximaciones implícitas en el

proceso y, por tanto, de la validez del resultado (2.20).

El proceso iterativo puede no converger, o su planteamiento dejar de ser válido,

principalmente por dos motivos que pueden presentarse simultáneamente o por

separado

i) Los parámetros iniciales p0, o quizá sólo algunos de ellos, están muy alejados de

la solución. En lenguaje matemático, esto corresponde a una aproximación

insuficiente del desarrollo de s2 truncado hasta los términos de segundo orden y con

éstos también truncados despreciando términos proporcionales a ε. Es posible que

esta situación se dé en los primeros pasos de la iteración, de forma que (2.21) sólo

se incumpla transitoriamente alcanzándose posteriormente un régimen de

convergencia segura.


34

ii) El problema se acerca a una multiplicidad de soluciones, escasamente discernibles

mediante las diferencias entre sus correspondientes valores de s2. El caso más

paradigmático consistiría en que la matriz M fuera singular y no tuviera inversa, es

decir, su determinante se anulara. Esto correspondería a un mal planteamiento del

problema, es decir del modelo físico: alguna de las funciones incrementales de base

(derivada de ε respecto de algún parámetro) es expresable como combinación lineal

de otras, lo que implica que los parámetros son interdependientes o, de manera

práctica, que su número es excesivo.

Sin llegar a este último extremo, pueden darse situaciones que se le aproximen

suficientemente como para hacer difícil la obtención de la solución numérica del

problema, porque el determinante resulta excesivamente pequeño. Así, los elementos de

la matriz inversa adquieren valores muy elevados y, por el carácter dinámico del

proceso, las sucesivas soluciones transitorias muestran un comportamiento

aparentemente errático en lugar de acercarse uniformemente a la solución.

Si, a pesar de todo, el problema tiene una solución matemática y se consigue llegar a

ella, la matriz M, que no será estrictamente singular, contendrá información muy

valiosa, pudiendo averiguarse las razones físicas o estadísticas de las dificultades. La

incertidumbre, definida como el error estándar de los parámetros, será elevada para

aquéllos que resulten casi interdependientes, lo que en la práctica equivale a decir que

algún parámetro en el modelo propuesto, o varios, está de más, es redundante.

Si M fuera estrictamente singular, la eliminación de los parámetros responsables de la

singularidad debería llevar a tratar con una matriz reducida, M’, no estrictamente

singular. Ésta sería el menor principal de M de mayor orden y no singular, es decir, de

rango igual al de M.

El modo de encarar estos dos casos de convergencia insegura puede ser similar cuando

el segundo no corresponde a un problema estrictamente mal planteado. Consistiría en

una aproximación por partes, dentro de cada paso de iteración, tratando, en cada parte,

de ajustar un conjunto reducido de parámetros, manteniendo los demás constantes. Esto

equivale a efectuar idéntico tratamiento que el descrito, pero considerando cada vez sólo

un menor principal de la matriz M, el que se obtiene de M eliminando una –o varias-

filas y sus correspondientes columnas transpuestas. El proceso será, en general, de

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.8 Resolución mediante proceso iterativo

35

convergencia más lenta, pero más segura. Una elección físicamente juiciosa de las

partes separando los parámetros más previsiblemente casi-interdependientes puede

significar un cambio drástico, de una convergencia “errática” a otra segura y “rápida”.

A veces, se trabajará con sólo dos bloques de parámetros, pudiendo el más pequeño de

ellos constar de uno o dos. Existe otra alternativa, el método SVD (Singular Value

Decomposition) que tiene un objetivo similar, pero un planteamiento diferente (ver §2.6

de la referencia [Pre92]). La otra alternativa es el método/algoritmo de Levenberg-

Marquardt que utiliza una solución a la no convergencia multiplicando la diagonal de la

matriz del sistema por un factor (1+λ). Dando valores a λ , según el resultado se acepta

la solución o no controlando así el proceso iterativo (ver §15[Pre92].)

2.8.2 Soluciones a la no convergencia

En algunos casos se plantea el problema de si se está o no próximo a la solución

correcta, final, de un proceso de ajuste. Aunque algunos indicadores como el de

convergencia, basado en la diferencia RMSi+1-RMSi pueden dar buenas ideas, a veces,

sobre todo cuando el proceso no converge, o es de oscilación lenta, no dan una

información adecuada. Se pueden hacer estimaciones basadas en la aproximación lineal

de los problemas no lineales. Se propone en línea similar al algoritmo de Levenberg-

Marquardt [Pre92] una solución al problema de convergencia cuando el ajuste es de más

de cuatro parámetro en lo que sigue.

En la expresión (2.21) se ha obtenido la varianza del ajuste en el entorno de un conjunto

de parámetros,pj0. Si el problema fuera lineal el mínimo de s2 se obtendría dando al

vector Δp el valor dado por la expresión (2.20) lo que nos predice que el mínimo de s2

estará por debajo del valor calculado con los datos iniciales en una cantidad

directamente calculable: 01

0 TMT − . En el problema lineal, luego se puede

comprobar que este ha sido, efectivamente, el resultado de la rebaja de s2.

En un problema no lineal se puede hacer algo similar en cualquier paso de iteración,

salvo que debe tenerse en cuenta que ese Δs2 negativo será solo aproximado

(corresponde a una extrapolación lineal) y cabe esperar que la aproximación sea tanto

mejor cuanto más cerca se esté de la solución final. En más casos de lo deseable la


36

extrapolación lineal puede llevar, sin embargo, a que los Δp obtenidos no sean

admisibles por dar nuevos parámetros fuera de su rango físicamente aceptable (se verán

ejemplos de ello en los casos de oscuridad analizados en el Capítulo 5) o, simplemente,

porque el Δs2 comprobado a posteriori sea positivo en vez de negativo.

Se utilizará un vector Δp proporcional a la solución obtenida de la aproximación lineal

( )( ) 0

10

220

01

02

01

0202

01

2

2

Si

TMTs

TMTTMTss

TMp

⋅⋅−−=

=⋅⋅+⋅⋅−≅

⋅⋅=Δ

−

−−

−

λλ

λλ

λ

λ

(2.23)

Lo que da un margen entre λ = 0 y λ = 2 en el que se obtendría decrecimiento del error

de ajuste (obviamente, con λ = 1 se obtiene la máxima variación). En el caso lineal esto

es correcto

En los casos no lineales lo que ocurre es que si algunos Δp son importantes el factor del

-2 en el segundo término y el tercer término de la ecuación (2.23) no son iguales por los

cambios, en el intervalo, de las matrices M y T (en eso consiste, en esencia, la falta de

linealidad). Se tendrá:

( ) ( )( ) As

BAss

TMTABBAss

TMp

BA

−>−≅⇒

⋅⋅≈>>⋅+⋅−≅

⋅⋅=Δ

<<=

−

−

20

2

201

localmin2

00

10

2202

00

1

casos muchosen 2

lineal no problemay Si

λ

λ λλ

λ

(2.24)

Esta es, básicamente, la razón de las pequeñas oscilaciones de RMS a lo largo del

proceso iterativo, como se verá en el capítulo 5 cuando el problema trata con 5

parámetros y mucho más acentuadas con 6 parámetros.

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.9 Propiedades de M (y M-1)

37

También, lo esbozado en (2.24) puede ser una vía alternativa para mejorar la

convergencia en el caso de los 6 parámetros: Se trataría de determinar aproximadamente

A y B usando, sucesivamente, dos valores tentativos de λ pequeños (y <1) y obteniendo

para cada uno los valores de los Δp y de s2. Una vez conocidos A y B se usa como

definitivo, para ese paso, el valor de λ = A/B.

2.9. Propiedades de M (y M-1)

Para ayudar al estudio de la mejor convergencia conviene ahondar en las propiedades y

significados de los elementos de las matrices M y M-1. Supondremos en todo caso que

M es no singular y, por tanto, que existe M-1 y es simétrica, por serlo M. En la definición

u obtención de M no se considerarán términos de tercer orden que incluyen εi como

factor sino únicamente términos expresables como productos de funciones de base, fp

(como en la última aproximación de (2.17)). Centraremos la atención, especialmente, en

los menores principales de órdenes y rangos 1 ó 2: los elementos diagonales (de la

diagonal principal) constituyen todos, uno cada uno, los menores principales de orden y

rango uno, y cada elemento no diagonal, junto con su transpuesto y los dos diagonales

correspondientes, forma parte de un único menor principal de orden 2.

Aunque las propiedades a describir tendrán su uso habitual en el entorno del límite

estático (Mm), son también, en buena medida, trasladables a sus formas dinámicas (M).

Suprimiremos pues el subíndice m para aligerar la escritura.

2.9.1. Relación entre menores principales de orden menor o igual que dos de M y M-1.

Obtención por partición

Conviene, en primer lugar, recordar la expresión general de la matriz inversa que se

obtiene mediante la partición de ambas, directa e inversa, en submatrices, para luego

particularizar a los casos de menores principales de orden 1 ó 2.

Supongamos que se hace una partición de M y MI ≡ M-1, ambas de orden np siendo, por

tanto, MMI = MIM = Inp×np, donde Inp×np es la matriz unidad de orden np, en la forma:


38

rr

I

qr

Irq

I

qq

I

I

rrqr

rqqq

MM

MMM

MM

MMM

××

××

××

×× == 2221

1211

2221

1211

; (2.25)

siendo q+r = np . Para obtener las submatrices de MI en función de las de M se tienen las

relaciones matriciales (deducidas del producto MMI = Inp×np):

rrII

qrII

rqII

qqII

IMMMMMMMMMMMMIMMMM

××

××

=+=+=+=+

2222122121221121

2212121121121111

00

(2.26a)

o las alternativas y equivalentes deducidas de MIM = Inp×np:

rrII

qrII

rqII

qqII

IMMMMMMMMMMMMIMMMM

××

××

=+=+=+=+

2222122121221121

2212121121121111

00

(2.26b)

Para obtener el menor principal MI11 y, de paso, la submatriz rectangular MI21 se despeja

MI21 de la segunda ecuación de la izquierda en (2.26a) y se sustituye en la primera,

resultando:

( )( )[ ] ( )[ ] 1

2112212111111211221211

112112221 −−

×

−

−

−=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−−= MMMMM

IMMMMMMMMM I

qqI

II

(2.27)

de forma análoga se obtiene MI22 y, al mismo tiempo, MI12 de las ecuaciones a la

derecha en (2.26a):

( )( )[ ] ( )[ ] 1

1211121222222121112122

221211112 −−

×−

−

−=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−−= MMMMM

IMMMMMMMMM I

rrI

II

(2.28)

Alternativamente, se podría trabajar de forma similar con las dos ecuaciones en la fila

superior de (2.26b), para deducir una expresión idéntica para MI11 y otra formalmente

distinta, aunque equivalente en resultados, para MI12, así como las correspondientes para

MI22 y MI21 de las dos ecuaciones en la fila inferior de (2.26b). No se recogerán aquí

otras expresiones alternativas, orientadas a una mayor eficacia de cálculo de la matriz


39

inversa, que se derivan mediante otras combinaciones de cuatro ecuaciones entre las

ocho del conjunto (2.26a) y (2.26b).

El interés reside, fundamentalmente, en la expresión (2.27) para MI11 y, más en

particular, cuando ésta es de orden 1 ó 2 (particiones en la forma: q=1, r=np-1 ó q=2,

r=np-2). La limitación de la discusión a estas particiones, sobre todo las referidas a los

cuatro elementos de la esquina superior izquierda (que, por simetría, se reducen a tres:

M1,1, M1,2=M2,1 y M2,2), no supone pérdida de generalidad, pues la reordenación de M y

las correspondientes de MI y pj mediante intercambios simultáneos de filas y

columnas permite llevar a esas posiciones cualquier elemento, diagonal o no. En este

último caso, junto con su transpuesto idéntico.

Debe notarse también aquí el significado de las submatrices de la diagonal principal de

la partición. Cuando se trate de matrices dinámicas en un paso de iteración determinado,

M11 representa la matriz (qxq) del sistema en una posible fase parcial consistente en

determinar los incrementos óptimos de los q primeros parámetros manteniendo fijos los

restantes r=np-q. En tal caso, la matriz inversa del sistema sería (M11)-1 que, como se

aprecia en (2.27), no es igual a MI11. Análogamente, M22 es la matriz del proceso

condicionado a la variación exclusiva de los r últimos parámetros, manteniendo fijos los

q primeros, y su inversa (M22)-1 tampoco es igual a MI22, de acuerdo con (2.28).

Se ha comprobado en este trabajo que esta descomposición de un paso de iteración en

dos o más fases condicionadas y sucesivas puede ser eficaz en casos de convergencia

insegura del sistema global. No obstante, resulta menos eficaz en casos de convergencia

segura, pues la suma de reducciones de la desviación cuadrática media en distintas fases

condicionadas no suele superar la reducción de un paso global.

2.9.2 Elementos diagonales: menores principales de orden 1

Consideremos uno cualquiera de los elementos diagonales llevado, por reordenación, a

la esquina superior izquierda, posición 1,1 (M1,1), y la partición efectuada de modo que

la submatriz M11 se reduce a este único elemento (q=1, r=np-1)


40

2.9.2.1 Significado en la matriz M dinámica

Por su definición (2.17) como suma de cuadrados, de valores nunca simultáneamente

nulos, este elemento es estrictamente positivo:

( ) 011

2

011,11,1

11 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

== ∑=

dn

i

i

d pnMM ε (2.29)

M1,1 adquiere pleno significado si se considera un proceso parcial, que llamaremos “de

variación exclusiva del parámetro p1” consistente en minimizar s2 con respecto a p1

manteniendo fijos los restantes parámetros en los valores que tenían dentro del conjunto

p0.

Las ecuaciones (2.20) y (2.21), con el vector Δp de una sola componente, se reducen a:

2

01

01

01

2

1,1111,1

01

2

1

2

21

21

210

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=Δ⇒Δ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

≅∂∂

=

p

pps

MppM

ps

ps

i

ii

ε

εε (2.30)

( ) ( )2

01

2

01

20

2

01

2

1120

21112012 2

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=Δ−≅Δ

p

ps

ps

MspMsps

i

ii

ε

εε

(2.31)

es decir, tanto la variación necesaria de p1 como su efecto en la disminución de la suma

de desviaciones cuadráticas son inversamente proporcionales a ese elemento diagonal

de la matriz M.

2.9.2.2 Significado en la matriz M estática

Si, obtenido el conjunto óptimo, pm, y la matriz estática correspondiente Mm (en

adelante sin el subíndice m), se admite una variación arbitraria pero pequeña, positiva o

negativa y exclusiva del parámetro p1 (p1 = p1m+Δp1, pj>1=pjmp) el ajuste empeorará en


41

todo caso. La magnitud de este empeoramiento la proporciona (2.22) que en dichas

circunstancias se reduce a:

( ) ( )211,1min2122 pMspss Δ=−Δ≡Δ (2.32)

de modo que Δp1 debe limitarse a ( ) dd nssMnsp min221,1min21 si <Δ<Δ , es decir,

en términos estadísticos, s2min/(ndM1,1) es la varianza de p1, y su raíz la incertidumbre,

condicionadas ambas a la invariabilidad de los restantes parámetros1. Generalizando: La

varianza, así condicionada, de pk con los demás parámetros fijos, resulta ser

inversamente proporcional al elemento diagonal Mk,k.

2.9.2.3 Significado de un elemento diagonal de la matriz M-1 estática

Para encontrar el significado de (M-1)11 debe darse un paso más: Si, como antes, se

considera un desajuste Δp1 respecto del óptimo (de modo que el parámetro p1 queda

prefijado en el valor p1m+Δp1) pero, además, se trata de compensar en lo posible el

efecto sobre s2 reajustando los restantes parámetros (es decir, manteniendo una

condición de mínimo relativo de s2 respecto de todos los parámetros excepto el primero)

se tendrá, particularizando (2.18) a este caso:

( )[ ]( ) 1

21122

12112212

1,11

2

221

211

12111,1

1

221

021

pMMp

pMMMMps

pMpM

pMpMps

rrrrrrr

rr

Δ−=Δ

Δ−=∂∂

⇒Δ+Δ=

Δ+Δ=∂∂

−

−

××

× (2.33)

Hay que resaltar que el primer miembro en las expresiones de la izquierda de (2.33)

representa el conjunto de derivadas parciales de s2, respecto de cada parámetro,

particularizadas en el punto pm+Δp del espacio de parámetros (iguales a 0 excepto

para el parámetro nº 1). El segundo miembro responde al desarrollo de pM Δ teniendo

en cuenta que, por las condiciones de óptimo, todas las derivadas parciales

particularizadas en el punto pm, incluida la derivada respecto de p1, son nulas.

1 En todo rigor, (ver §2.10), en las divisiones precedentes debe reemplazarse el divisor nd por nd – np porque el número de grados de libertad (nº de puntos experimentales) se ve disminuido por el número de parámetros a determinar.


42

El resultado de (2.22) para el incremento de s2 resulta entonces:

( ) ( )[ ]( ) ( )( ) 1,1

1

212

12112212

1,1min2122 −

− Δ=Δ−=−Δ=Δ

MppMMMMspss (2.34)

La última igualdad en (2.34) se ha establecido tras identificar, de acuerdo con (2.27), el

inverso del (único) elemento de la matriz MI11 cuando la partición es q=1, r=np-1.

La expresión (2.34) es muy similar a (2.32), trasladándose correspondientemente los

significados. También generalizando: la varianza (ver §2.10) del parámetro pk,

manteniendo la condición de óptimo “dinámico” para los demás parámetros, es

[s2min/(nd-np)](M-1)k,k, directamente proporcional al elemento diagonal correspondiente

de la matriz inversa. Es ésta última (y no la anterior, relacionada con 1/Mkk) la que en

términos del ajuste multiparamétrico se denomina habitualmente varianza del parámetro

pk

Al comparar (2.34) con (2.32), teniendo en cuenta que por ser M definida positiva es

(M-1)1,1>1/M1,1, una misma magnitud de la desviación Δs2 se logra con menor |Δp1| en

(2.32) que en (2.34). Es decir, el “óptimo” es más sensible a variaciones de los

parámetros en la condición b) que en la c). En contrapartida, la incertidumbre de los

parámetros es menor en el primer caso que en este segundo. Una “lectura” alternativa de

esta conclusión, trasladada a los pasos de un proceso dinámico sería la de una mayor

seguridad de la convergencia en un proceso con reajustes sucesivos de los parámetros

uno a uno que en otro de reajuste global.

En otro orden de conclusiones, también puede decirse que, puesto que la varianza de los

parámetros (o su raíz o incertidumbre) es en todo caso proporcional a s2min, el criterio

óptimo para definir las desviaciones individuales, εi, debería ser el que, a su vez,

minimice s2min frente a otros posibles criterios. Esta conclusión favorece al criterio

basado en la distancia normal de puntos experimentales a la curva modelo.


43

2.9.3 Elementos no diagonales, menor principal de orden 2

Consideraremos, como referencia, únicamente las matrices estáticas, reordenadas de

modo que el elemento en consideración, y su transpuesto idéntico, ocupen las

posiciones 1,2 y 2,1 respectivamente. La partición a tener en cuenta será entonces del

tipo: q=2, r=np-2.

Sean las matrices de orden 2: M11 y MI11 ≡ (M-1)11 ≠ (M11)-1. Como podría inferirse de la

generalización de los casos anteriores, su significado en el proceso está relacionado con

variaciones aleatorias, pero pequeñas, de los dos primeros parámetros:

1) manteniendo fijos los restantes parámetros y

2) con las variaciones de los restantes parámetros condicionadas al mantenimiento

de un mínimo relativo de la suma de desviaciones cuadráticas, s2.

En el caso 1, la matriz relevante del sistema se reduce a M11, el resto de submatrices no

interviene en ningún cálculo, se multiplican por vectores nulos. Y el resultado

equivalente a (2.32) es:

( ) ( ) ( ) 212,12

22,22

11,122122 2, ppMpMpMsppss m ΔΔ+Δ+Δ=−ΔΔ≡Δ (2.35)

donde se ha tenido en cuenta la simetría de M: M2,1 = M1,2.

Se observa que el resultado (2.35) coincide con (2.32) si sólo una de las dos variaciones,

Δp1 ó Δp2, es distinta de 0, conservándose pues los significados de los elementos

diagonales M1,1 y M2,2. Pero si sólo una es aleatoria, por ejemplo Δp1, y la otra

proporcional a ella (Δp2=aΔp1) y buscamos el valor de a que hace mínima la variación

Δs2 se obtiene:


44

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 1

2,111

21

2,1

11

212,2

112

1

2,2

22,1

1,12

1min22,2

2,1min12

detdet

2

−

Δ

ΔΔ=

−ΔΔ=Δ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ=Δ⇒−=⇒Δ=Δ

Mpp

MMpp

MMp

MM

MpsMM

apap s

(2.36)

La última igualdad se establece por la simetría también, tanto de M11 como de su

inversa.

Al mismo resultado final conduce la correlación recíproca (Δp2 aleatoria con Δp1

proporcional a ella, que no es la inversa de la anterior):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 1

2,111

21

2,1

11

211,1

112

2

1,1

22,1

2,22

2min21,1

2,1min21

detdet

2

−

Δ

ΔΔ=

−ΔΔ=Δ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ=Δ⇒−=⇒Δ=Δ

Mpp

MMpp

MMp

MM

MpsMM

bpbp s

(2.37)

Así, M1,2 (junto con uno de los elementos diagonales) aparece en las dos correlaciones

entre parámetros incrementales que mantienen mínimos relativos de Δs2. Y, en ambos

casos, la covarianza de p1 y p2, condicionada a la invariabilidad de los restantes

parámetros, es proporcional al elemento no diagonal de la matriz inversa y simétrica de

la submatriz M11 (que, recordamos de nuevo, no es igual al elemento no diagonal de la

submatriz MI11). Esa covarianza condicionada vale pues [s2min/(nd – np)][(M11)-1]1,2.

En el caso 2 la matriz del sistema es la completa M, aunque las ligaduras son otras. El

planteamiento y resultados son similares a los de (2.33) excepto en lo siguiente: La

ecuación y el resultado en la primera fila de (2.33) se refieren a una componente y los

de la segunda fila a las r=np-1 componentes restantes. Ahora la partición debe hacerse

con q=2 y r= np-2 y la primera fila será una ecuación vectorial, para dos componentes,

mientras el conjunto de la segunda fila se reducirá en una dimensión (np-2

componentes). Explícitamente, (2.33) se reemplaza por:


45

( )[ ]( )

qqrr

qqqq

rrrqqrr

rrqqqqq

pMMp

pMMMMps

pMpM

pMpMps

Δ−=Δ

Δ−=∂∂

⇒Δ+Δ=

Δ+Δ=∂∂

×

−

×

−

××

××

21122

2112212112

2221

12112

21

021

(2.38)

Nótese que la matriz q×q (2×2), entre paréntesis cuadrados, en la primera del bloque

inferior de (2.38) es, según (2.27), la matriz inversa de la submatriz MI11. Teniendo esto

en cuenta, la variación de s2 resulta en:

( )[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21

12,1

1122

12,2

1121

11,1

112

1112112212112

2 ppMpMpM

pMppMMMMps

IIIq

qqqI

qqqqq

ΔΔ+Δ+Δ=

ΔΔ=Δ−Δ=Δ

−−−=

−××

−

(2.39)

cuya última expresión tiene la misma forma que (2.35) para el caso 1, pero

reemplazando los elementos de la submatriz M11 de M, por los de la inversa de la

submatriz MI11 de la inversa MI de M.

Reproduciendo el análisis que llevó en el caso 1 a las expresiones (2.36) y (2.37) puede

establecerse, finalmente, que las correlaciones Δp2=aΔp1 y Δp1=bΔp2 que, en este caso

2, hacen mínima la variación Δs2 son, expresándolas en términos de la submatriz MI11:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )[ ]

( ) 112,1

2112,1

11

111

21min2

112,2

112,1

min

111,1

112,1

min

11,2

1111

112,11

2,111

11

111,11

2,211

11

112,21

1,111

det

detdetdet

2

2

II

I

I

I

s

I

I

s

II

II

I

II

I

II

Mpp

MMpps

MM

b

MM

a

MM

MM

MM

MM

MM

ΔΔ=

−ΔΔ=Δ⇒

=

=

=−===

−

−

Δ

Δ

−−−−

(2.40)

Lo que da pleno significado al elemento no diagonal (1,2) de la matriz inversa de M

como representativo de la covarianza de p1 y p2: cov(p1, p2)=[s2m/(nd – np)] (M-1)1,2.


46

Por ultimo la extracción de significados estadísticos para los elementos diagonales de

las matrices M y MI (apartados b y c), así como para los elementos no diagonales

(apartado d, casos 1 y 2) ha conducido a la definición de dos tipos de varianzas de

parámetros individuales y de covarianzas de pares de parámetros. Para distinguir ambos

tipos se han adjetivado como condicionadas las relacionadas con los elementos de la

matriz M (condicionadas a la invariabilidad del resto de parámetros). Sin embargo, las

reconocidas habitualmente en la literatura son únicamente las relacionadas con la matriz

inversa MI, que se definen en un contexto de reajuste del resto de parámetros a

situaciones de mínimo relativo de la suma s2.

2.9.4 Matrices “normalizadas” o de correlación

2.9.4.1 Definición

En cualquiera de los casos anteriores las propiedades de las matrices M y M-1 y su

influencia en la convergencia del proceso dinámico no resultan suficientemente

esclarecedoras cuando se expresan directamente tal como se obtienen a través de las

derivaciones y sumas o valores medios de productos. Para que sus propiedades queden

puestas de manifiesto más claramente, pueden utilizarse sistemas de ecuaciones

equivalentes simétricas cuyos elementos diagonales sean todos 1. Al proceso de deducir

estas matrices cuyas diagonales están compuestas de unos lo denominaremos

“normalización”, y de las matrices así obtenidas diremos que están “normalizadas” o

que son matrices de correlación.

Los elementos diagonales, antes de normalizar, son todos positivos. El proceso consiste,

para cada matriz independientemente, en dividir cada elemento por el producto de las

raíces cuadradas de los elementos de la diagonal principal que le corresponden de

acuerdo a su fila y a su columna. En otras palabras, dividir todos los elementos de cada

fila por la raíz cuadrada del elemento diagonal correspondiente, y, asimismo, todos los

de cada columna. Los resultados son y deben ser tales que todos los elementos quedan

con módulo acotado a 1: Los de la diagonal principal son todos 1, se han dividido por sí

mismos, y los no diagonales, positivos o negativos, de valor absoluto inferior a 1. En

particular, la matriz 1−NM así obtenida es la habitualmente llamada “matriz de


47

correlaciones” entre pares de parámetros. Un elemento nulo indica ausencia total de

correlación, un elemento de valor +1 o -1 indicaría correlación absoluta, positiva o

negativa, entre los dos parámetros correspondientes. Se habla de correlación entre

parámetros o variables x e y cuando no se da una dependencia funcional, en el sentido

de que no existe una función y = f(x), pero sin embargo las variables no son

independientes. Cuando eso sucede se dice que existe una dependencia estadística entre

las variables o que existe una correlación entre ellas.

Si se diera una correlación +1 o -1 entre dos parámetros indicaría un problema mal

planteado en el que uno de los dos parámetros sobraría como elemento sujeto a

variación independiente. En casos prácticos pueden encontrarse elementos cuya

correlación sea tan próxima a 1, en módulo, que hagan imposible la convergencia del

proceso de ajuste dinámico.

La solución dada en esos casos consiste en la disminución del número de parámetros, lo

que quiere decir reducir el sistema de ecuaciones como se verá en los ejemplos

estudiados (Capítulo 5).

2.9.4.2 Cálculo de matrices

El sistema a resolver en cada paso es de la forma, como se recuerda en (2.10b):

jj

ljjl p

Tpp

M

TMpTpM

∂∂

⋅−=∂∂

⋅∂∂

=

=Δ⇒=Δ −

00

00

1

;

con

εεεε

(2.41)

Pero M se puede desglosar en:


48

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )jj

jjMljjlMMMN

j

OjjjjMljjlMMNM

MDDDMDM

pMDDDMDM

1;0con

:ó

;0con

1111

2

==⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=≡≡⋅⋅=

−≠

−−−

≠

ε

(2.42)

Lo que equivale a obtener MN dividiendo cada elemento de M por la raíz cuadrada del

producto de los dos diagonales de M de su misma fila y columna respectivamente como

se define en a). La matriz MN es simétrica, por serlo M, y tiene igualados a 1 todos sus

elementos diagonales.

Del mismo modo, la operación que se realiza para obtener la matriz de correlación (MC)

ó (M-1)N proviene del desglose:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )jj

jjMljjlMMMC

NC

jjjjMljjlMMNM

MDDDMDM

MM

MDDDMDM

1

11111

1

111

1;0con

: siendo ó,

;0con

1111

1111

−

−

≠

−−−−

−

−

≠

−−

==⋅⋅=

≡

≡≡⋅⋅=

−−−−

−−−−

(2.43)

Es decir, MN tiene, respecto a M las mismas propiedades de normalización que tiene la

matriz de correlaciones (MC) respecto de M-1. En particular, todos los elementos de MN,

así como todos los de MC, están acotados al intervalo [-1,+1]. Esta operación de

normalización tiene una ventaja importante, derivada de esa acotación: Los elementos

de MN se miden en una misma escala de importancia y son por ello comparables entre sí

(y los de MC, también entre sí). Esto no es posible directamente con los elementos de M

o de M-1.

Las matrices normalizadas (MN y MC) pueden tener un determinante muy inferior a 1 y,

naturalmente, sus inversas muy superior a 1. Así mismo, los elementos de la diagonal

principal de (MN)-1 [lo mismo que los de (MC)-1 =((M-1)N)-1] suelen ser distintos de 1 y,

con frecuencia, superiores.

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.10 Cálculo de la incertidumbre

49

Introduciendo el desglose (2.42), el sistema (2.41) puede convertirse en su equivalente

“normalizado”:

( )

( )

( )[ ]

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⋅≡

Δ⋅=ΔΔ⋅≡Δ

⋅=Δ

⋅⋅⋅=Δ⇒

=Δ⋅⇒

=Δ⋅⋅⋅

−

−

−−−

jj

jjNMN

jjjjNMN

NNN

MNM

NNN

MNM

MT

TTDT

pMppDp

TMp

TDMDp

TpM

TpDMD

:decir es

:decir es

con

ó

1

1

111

(2.44)

También aquí se ponen de manifiesto las ventajas de esta “normalización”: Las

componentes normalizadas del término independiente (vector TN) así como las del

vector incremental (ΔpN) admiten las comparaciones directas entre sus propios valores

numéricos; lo que no es posible o al menos no es directo, ni fácil entre las del vector T

ni entre las del vector Δp, porque cada componente de estos últimos se mide en una

escala diferente e incluso, a veces, tiene dimensiones físicas diferentes.

Por todo esto creemos que, a la hora de trasladar resultados intermedios al texto de los

ejemplos, para analizar y estudiar evoluciones y comparaciones entre unos casos y otros

lo mejor es no hacerlo en bruto (la matriz M o la M-1, los vectores T o Δp) sino en forma

normalizada (MN o MC, TN o ΔpN).

2.10. Cálculo de la incertidumbre

A lo largo de la tesis se extraerán parámetros, se definirán sus errores estándar y se

estimará la bondad del ajuste. Para la estimación de incertidumbres o de errores se

recurre a la estadística matemática.

En la teoría estadística se define la variable aleatoria χ2 (chi-cuadrado) como:


50

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≡

dn

i i

ii yF1

2

2

σχ

(2.45)

σi es la desviación estándar, conocida o calculada previamente, del dato experimental yi.

Fi es el valor de la función de ajuste F que se corresponde con el experimental yi. De

este modo los valores de la variable aleatoria χ2 son siempre números (sin dimensiones

físicas).

Si el error σi individual no es conocido a priori puede suponerse el mismo para todos los

datos experimentales, y extraer el factor común 1/σ2 en (2.45), lo que significa que las

condiciones de minimización de χ2 equivaldrían en ese caso a las de minimización de la

sumatoria de los cuadrados de las desviaciones lo que también, en la práctica, equivale a

dar a σi el valor arbitrario 1.

La desviación estándar finalmente obtenida del ajuste (RMS) será el error σi que se

podrá asignar a posteriori a cada uno de los datos experimentales.

Como se verá existe una relación directa entre la varianza de χ2 y la varianza de los

parámetros.

La variable aleatoria χ2 se usa en el ajuste por mínimos cuadrados con una

interpretación estadística importante: el conjunto de parámetros p que hace mínimo el

valor χ2 en (2.45) es el que hace máxima la probabilidad de que en un experimento se

obtenga el conjunto de valores medidos. Se dice entonces que son los parámetros de

máxima verosimilitud.

Si la función minimizada es la cantidad χ2, con las varianzas de los datos desconocidas e

igualadas a priori a 1 (ver §15.2 en referencia [Pre92]), con nuestra notación sería:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≡=⇒−⎯⎯→⎯⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≡ ∑∑∑

===

=

dn

iii

dd

dn

iiii

dn

i i

ii yFn

ssnyFyF1

222

2

1

21

1

2

2 1χσ

χ σ

(2.46)

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.10 Cálculo de la incertidumbre

51

La matriz del sistema basado en χ2 resulta nd veces mayor que la del sistema basado en

s2, aunque la varianza del ajuste [var(y)=σy2] se define de la misma forma:

( ) ( )[ ] ( )∑=

−−

−=−

−≡≡

=⇒=

dn

i pd

dii

pdy

sd

sd

snn

nyFnn

y

Mn

MMnM

1min2

2opt

2

2

12

1

22

1var

1

σ

χχ

(2.47)

La división de la suma cuadrática por nd-np en lugar de por sólo nd tiene en cuenta la

reducción del número de grados de libertad por la inclusión en el ajuste de los np

parámetros a determinar [Pre92].

La matriz de covarianzas se define a partir de ||M-1||χ2, resultando:

( )

( )( )

( ) ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

=≡⇒

−==≡

−−

−

−−−

ljsd

yjls

d

ylj

d

jjsy

jp

spd

sd

yy

Mn

Mn

pp

n

Mp

Mnn

sM

nMM

j

12

12

1

1min212

12covar

22

2

222

,covar

var

σσ

σσ

σσ

χ

(2.48)

Y la matriz de correlaciones:

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )jjslls

ljs

jjll

ljjlljjl

MM

M

MM

MppMM

11

1

11

1

correlcorrel22

2

22

2

,correl−−

−

−−

−

=≡==χχ

χ

(2.49)

Estas definiciones se fundamentan en los conceptos expuestos en §2.9.

Con estas expresiones definimos las diferentes incertidumbres y errores estándar que se

usarán a lo largo de la tesis


52

2.11. Conclusiones

El trabajo de la tesis está dedicado a la minimización de la distancia o desviación

individual ε entre las curvas I-V experimental y calculada de células solares en los casos

de iluminación y de oscuridad utilizando el método de ajuste por mínimos cuadrados.

En este capítulo se presenta la definición del problema y el formalismo matemático

relacionado.

El primer paso consiste en la definición del error estándar del ajuste. Este error se

compone con las contribuciones de las desviaciones de cada punto experimental, siendo

definido como la raíz cuadrada del valor cuadrático medio de estas respecto del número

de grados de libertad (número de puntos experimentales reducido en el número de

parámetros a determinar).

Se pueden utilizar diferentes criterios para definir la desviación. En el caso de los

ajustes de curvas I-V el criterio óptimo es el basado en la distancia ortogonal de los

puntos experimentales a la curva modelo. Se ha presentado una manera sencilla y

explícita de calcular las desviaciones ortogonales en el caso de una función general.

En el ajuste por mínimos cuadrados, y en el caso general no lineal, se recurre a un

tratamiento matricial iterativo para resolver el sistema de ecuaciones. Para este proceso,

se han definido las matrices de covarianzas y se ha esclarecido su relación con el error

estándar de los parámetros. Asimismo, se ha obtenido la matriz de correlación y

analizado su papel en la convergencia del sistema. Estas matrices normalizadas y de

correlaciones contienen toda la información sobre el proceso de ajuste y el resultado del

mismo. En este capítulo se ha explicado cómo reconducir procesos de convergencia

insegura y la razón de ciertas pequeñas oscilaciones de RMS a lo largo de algunas

iteraciones, así como deducir las propiedades estadísticas de los parámetros de ajuste

obtenidos.

Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste … 2.11 Conclusiones

53

El capítulo finaliza presentando el cálculo de incertidumbres: expresiones para el

cálculo de las varianzas y covarianzas de los parámetros y su relación con la matriz de

correlaciones. También se ha señalado la relación con la variable χ2 y deducido los

factores a tener en cuenta para la adecuada cuantificación de las incertidumbres

dependiendo de que la minimización de desviaciones se plantee sobre sumas cuadráticas

o valores medios.

CAPÍTULO 3

AJUSTE DE CURVAS I-V EN ILUMINACIÓN

Capítulo 3: Ajuste de curvas I-V de iluminación 3.1 Introducción

57

3.1 Introducción

El ajuste de datos experimentales I-V a un modelo consiste en la determinación de los

valores concretos de los parámetros ajustables que mejor representan el

comportamiento de la célula en las condiciones experimentales.

La determinación de los parámetros de un modelo puede tener un importante papel en

el diseño de la célula solar. La extracción de parámetros puede constituir también una

útil herramienta en el control del proceso de fabricación de la célula solar para

localizar las causas que pueden deteriorar su calidad.

La medida de curvas I-V de iluminación es la más directamente representativa de la

calidad de la célula solar y se realiza rutinariamente en todos los dispositivos de

laboratorio e industriales. De aquí el interés de extraer de ella toda la información

posible mediante el ajuste de un modelo teórico de la célula.

Se desarrolla en este capítulo el método de extracción de parámetros en el caso de la

curva I-V de iluminación. Muchos trabajos se han hecho en este campo, algunos de los

cuales se describieron y criticaron en el Capítulo 1. En lo que sigue se presenta como

aportación un procedimiento de ajuste que pretende mejorar algunas características de

aquellos.

Tras considerar los métodos presentados en el estado del arte para ajustar curvas I-V

de iluminación teniendo en cuenta los errores en las dos coordenadas (corriente y

tensión), se utilizó al principio un procedimiento de ajuste por tramos [Hao04]. El

ajuste por tramos (ver §4.2.4) se aplicó a varios ejemplos con éxito, pero presentaba

serias desventajas: la convergencia era difícil, llegándose a un valor del error

cuadrático medio 2ε que oscilaba, y se requería la definición de las zonas y sus

límites, a los que el método era bastante sensible.

Se concluyó que para mejorar los resultados se debían utilizar todos los datos

experimentales minimizando el error, globalmente, entre la curva teórica y los datos

experimentales según la distancia ortogonal. Eso conduce a ecuaciones no lineales

Tesis doctoral: “Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de…”

58

cuya resolución se hace por el proceso iterativo descrito en el Capítulo 2 para llegar al

mínimo del error cuadrático medio 2ε .

Para la realización de las medidas de células, se dispone en el Instituto de Energía

Solar de un sistema de medida de la característica I-V de iluminación y de oscuridad,

compuesto de los siguientes elementos que se pueden apreciar en las Figuras 3.1 y

3.2:

• Un simulador solar con una lámpara de xenón que proporciona una luz blanca con

un espectro parecido al de la luz del sol

• Una plataforma termostatada donde se sitúa la célula solar, cuya temperatura puede

controlarse con precisión de 1ºC

• Conexiones a los contactos positivo y negativo de la célula

• Voltímetro, amperímetro y carga electrónica digitales que pueden ser controlados

por ordenador

• Aplicación software desarrollada en el IES para la automatización de la medida de

curvas I-V

Figura 3.1.- Vista general del sistema de

medida para caracterizar células solares.

Figura 3.2.- Simulador solar y

plataforma termostatada donde se sitúa

la célula solar

Capítulo 3: Ajuste de curvas I-V de iluminación 3. 2 El modelo de la célula solar en iluminación

59

3.2. El modelo de la célula solar en iluminación

3.2.1 Modelos eléctricos de la célula iluminada. Definiciones de parámetros

Una célula solar iluminada, en estado estacionario, se representa por el circuito

equivalente [Luq03] de la Figura 3.3 correspondiente a la ecuación siguiente

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+−= 1exp1exp)(

101

202

t

S

t

SPSL Vm

IRVIVmIRVIGIRVII (3.1)

Se indica en el circuito el convenio de signos normalmente utilizado para la corriente,

I, y la tensión, V, del dispositivo en iluminación.

Figura 3.3: Modelo eléctrico de una célula solar en iluminación.

Cada uno de los elementos que componen este circuito equivalente representativo de

la ecuación (3.1) admite una interpretación física. El conocimiento de los valores

numéricos de estos componentes dará información sobre el funcionamiento interno

del dispositivo.

• El generador de corriente IL representa la corriente generada por la iluminación

[Gre92]. Es proporcional al área de la célula; para la mayoría de los materiales de

interés puede considerarse independiente del voltaje y aumenta débilmente con la

temperatura.

• Los diodos (I01, m1 y I02, m2) dan cuenta de la recombinación debida al exceso de

portadores asociado a la polarización directa de las uniones. Cada diodo viene

caracterizado por la corriente de saturación inversa I0 y por el factor de idealidad m,

ILI01m1

I02m2

GP

RS

I

+

_VIL

I01m1

I02m2

GP

RS

I

+

_V


60

que multiplica a la tensión térmica Vt (= kT/e) I0 es proporcional al área y depende

fuertemente de la temperatura. El valor de m está relacionado con el mecanismo y la

localización de las recombinaciones [Chi08] [Ree89]. En zonas neutras, la teoría

predice un valor 1 para cualquier mecanismo en baja inyección; en alta inyección,

cada mecanismo (RHS, Auger, luminiscencia) da lugar a un valor diferente. En zonas

de carga m es menos predecible. Frecuentemente se menciona un valor 2, que está

asociado a recombinación a través de un centro cuyo nivel energético esté situado en

la mitad de la banda prohibida, pero dependiendo de otros detalles pueden obtenerse

otras dependencias. El empleo de varios diodos en el circuito responde de esta

previsible disparidad del comportamiento de las recombinaciones [Gre95]. No

obstante a efectos de ajuste de parámetros no es necesario distinguir los dos factores

de mVt, sino que basta considerar la tensión mVt como el parámetro ajustable, no

precisando especificar la temperatura de medida.

• La resistencia serie RS intenta condensar en un solo componente efectos de

naturaleza distribuida y cuyo resultado es el siguiente: la polarización de la unión es

mayor que el voltaje externo debido a las caídas asociadas al flujo de portadores desde

el lugar en que se generan hasta los contactos (emisor, base, malla metálica,

superficies de contacto...). Aunque la teoría predice su variación con la polarización,

en circunstancias normales la suposición de que RS permanece constante es adecuada.

Muchas componentes de RS son inversamente proporcionales al área de la célula

[Abe93][Kam99].

• La conductancia paralelo GP simula la corriente de fugas en una célula real,

donde pueden existir caminos para que la corriente circule entre los terminales sin

atravesar la unión p/n (porque la célula esté localmente dañada, por cortocircuitos a lo

largo de los bordes, etc.), o bien componentes de corriente que, atravesando la unión,

no estén sometidas a las características de recombinación habituales. Estas

componentes de corriente se simulan mediante dependencia lineal (óhmica). La

conductancia GP es el componente más difícil de predecir y modelar. Por otra parte,

en la mayoría de casos de células de buena calidad su valor y su efecto son muy

pequeños. En ciertos casos no puede hacerse una distinción clara entre fenómenos que

deberían ser descritos por un diodo con un m grande o por la conductancia paralelo.

Debe esperarse que GP aumente con el área [Ric97], [Rad05], [Jia87].


61

3.2.2 El modelo convencional de una célula en iluminación

La expresión (3.1) contiene hasta 7 parámetros (definidos en 3.2.1), propios de la

célula en cuestión: IL, I01, I02, RS, GP, así como los índices de idealidad m1 y m2.

Pueden considerarse ajustables todos ellos, aunque, a veces, los dos últimos o uno de

ellos se establecen a priori. Vt es la tensión térmica, kT/e, siendo k la constante de

Boltzmann, T la temperatura de funcionamiento y e la carga (absoluta) del electrón.

Así, Vt combinada con los factores de idealidad (es decir, los productos m1Vt y m2Vt)

puede ser ajustable si no se conoce o no está segura la temperatura de funcionamiento

en el momento de la medida.

A menudo, sin embargo, se fijan los valores de algunos de estos parámetros para dar

lugar a diferentes modelos. Difieren en el número de parámetros y en el contenido

físico de éstos; según la tecnología de la célula alguno de ellos puede resultar más

apropiado:

• Modelo de una exponencial [Pri07]. En este caso se supone que la

recombinación puede modelarse adecuadamente con un solo diodo lo que corresponde

a hacer, por ejemplo, I02 = 0, quedando por tanto cinco parámetros libres. El factor de

idealidad del diodo restante representará un promedio de las dependencias de los

diferentes mecanismos de recombinación.

• Modelo de dos exponenciales [Ort06] con factores de idealidad m1 y m2 fijos o

variables. Si estos últimos pueden tomar valores cualesquiera el modelo contiene siete

parámetros. Se mantienen dos diodos, uno intentando representar recombinación en

zonas neutras y otro en zonas de carga.

En los trabajos preliminares, el modelo de dos exponenciales con siete parámetros se

aplicó con éxito a varias características experimentales, en el sentido de que fue

posible recuperar un juego de parámetros teóricos que reproducía con precisión

suficiente la medida, como se describe en la referencia [Hao03]. Sin embargo, los

resultados nos han inclinado finalmente a usar un modelo en que los factores de

idealidad m1 y m2 tienen valores fijos. Este modelo de cinco parámetros es el que se ha

utilizado preferentemente, tanto para el procedimiento de ajuste por tramos descrito en


62

la referencia [Hao05], como en el procedimiento definitivo que se expone a

continuación en el resto de este capítulo. Cuando se describe el comportamiento de

módulos o sistemas fotovoltaicos y no de células individuales, se utiliza generalmente

un modelo de cinco parámetros pero con una sola exponencial cuya m es variable (

1≠m ).

Conviene indicar, a este respecto, que cuantos más parámetros contenga un modelo

con más fidelidad podrá reproducir (matemáticamente) el resultado de una medida,

pero si su interpretación física es dudosa no se obtiene información útil. Éste debe ser,

a nuestro juicio, el criterio fundamental a la hora de inclinarse por uno u otro modelo.

3.2.3. El modelo de dos exponenciales en iluminación

Como se indicó más arriba, su expresión se da habitualmente por la fórmula (3.1). Se

puede observar que, en general, la corriente I se relaciona explícitamente con una

tensión corregida V' = V+RSI.

El ajuste de datos experimentales (pares I-V) a un modelo determinado como (3.1)

consiste en la obtención de los valores concretos de los parámetros ajustables que con

mayor verosimilitud representan el comportamiento de la célula en las condiciones

experimentales. Es labor aparte, teórica, la determinación, por ejemplo, de qué

parámetros representan al dispositivo propiamente dicho, es decir, a su tecnología

(podrían ser aquí I01, I02, RS y GP) y cuál o cuáles están más directamente relacionados

con las condiciones de funcionamiento (como puede ser aquí el caso de IL). Por otra

parte, esta categorización de los parámetros puede ser arbitraria: determinadas

relaciones funcionales entre parámetros pueden dar lugar a otros conjuntos de ellos, si

se mantiene el número de parámetros independientes, con otros repartos de categorías.

Una de estas manipulaciones, que es la más frecuente y significativa, consistiría, por

ejemplo, en extraer dos parámetros, como la corriente de cortocircuito, ISC, y la

tensión de circuito abierto, VOC, claramente dependientes de las condiciones de

iluminación. Los otros tres parámetros se deberán relacionar, coherentemente, con los

explícitos en el modelo original (3.1).


63

3.2.4 Rangos de validez física de los parámetros sin normalizar

La coherencia debe extenderse también a las condiciones que impone el mundo físico

y no solamente el matemático. Así, la utilización, con significado físico, de un modelo

como el (3.1) impone la condición de que todos y cada uno de los parámetros deben

tener valores no negativos, y alguno tampoco puede hacerse nulo. Así:

IL > 0 (si IL = 0 se trataría de funcionamiento en

oscuridad)

I01 ≥ 0 e I02 ≥ 0 (pero no simultáneamente I01 = I02 = 0)

RS ≥ 0 y GP ≥ 0

(3.2)

Se admite, como caso particular del modelo (3.1) reducido a otro de una sola

exponencial, que uno de los dos parámetros, I01 ó I02, pueda ser nulo, pero no ambos a

la vez, pues si así ocurriera el dispositivo no sería una célula de unión. Si el conjunto

de parámetros fuera otro que incluyera ISC y VOC, las dos primeras condiciones de

(3.2) se convertirían en:

ISC > 0 y VOC > 0 (3.3)

y, junto con la tercera, se establecen unos rangos de validez física para los tres

parámetros restantes que se darán más adelante en §3.5.

Para poder combinar magnitudes de dimensiones diferentes (I y V) convendrá también

utilizar variables y parámetros normalizados.

3.2.5 Normalización de variables y parámetros

Las características I-V de iluminación cortan el eje de tensiones en VOC y el de

corrientes en ISC: éstos serán los parámetros básicos de normalización por estar

naturalmente relacionados con las escalas, de medida como para representación

gráfica, y por tanto con la precisión de las medidas. Así, podrán utilizarse variables

normalizadas de corriente, i, y de tensión, v, tales que:


64

OCSC VVv

IIi == y

(3.4)

Y, por coherencia, parámetros normalizados de resistencia serie, rS, y de conductancia

paralelo, gP:

SC

OCPP

OC

SCSS I

VGg

VI

Rr == y (3.5)

Con lo que la expresión matemática de un modelo físico con np parámetros (pj,

j=1,2,…, np) que se supone representa adecuadamente el comportamiento

experimental del dispositivo, y que se expresó en forma general en (3.1), se convierte

aquí en la forma para cinco parámetros siendo fijos los factores de idealidad m1 y m2:

( )3,,,, pgrviFi PS= (3.6)

En (3.6) se ha hecho explícita la dependencia con otros dos parámetros normalizados

(rS y gP) y está implícita, por las relaciones (3.4), la presencia de otros dos parámetros

ISC y VOC, es decir, en (3.6) se conserva de hecho el número total de 5 parámetros

independientes en el modelo que ahora son ISC, VOC, rS, gP y p3. Éste último será una

cierta combinación funcional normalizada de los parámetros originales no

normalizados presentados en el apartado 3.2.

3.2.6 Definición del modelo normalizado de dos exponenciales

Introduciendo en (3.1) las normalizaciones (3.4) y (3.5) y utilizando la notación

siguiente:

12

1

22

11

0202

0101

;

;;

OCt

OCOC

t

OCOC

SCSCSC

LL

kmm

VmV

kVm

Vk

II

iII

iIIi

===

===

(3.7)

Tendremos como expresión normalizada del modelo (3.1) la siguiente:


65

( )[ ] ( )[ ] ( )irvgirvkiirvkiii SPSOCSOCL +−−+−−+−= 1exp1exp 202101 (3.8)

Particularizando para circuito abierto (ca) y cortocircuito (cc):

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] SPSOCSOCL

POCOCL

rgrkirkiivigkikiivi−−−−−=⇒==

−−−−−=⇒==1exp1exp10,1:cc

1exp1exp01,0:ca

202101

202101

(3.9)

Estas dos ecuaciones representan dos relaciones, de cumplimiento obligatorio, entre

los parámetros iniciales. La primera establece la definición y dependencia de iL con

los restantes parámetros. La segunda puede, entonces, sustituirse por su diferencia con

la primera y se definen nuevos parámetros c1 y c2:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] SOCOCSOCOC

SOCOCSOCOC

rkkirkkicrkkirkkic−−−=−≡

−−−=−≡1exp1expexpexp

1exp1expexpexp

220222022

110111011 (3.10a)

( )SP rgcc −++= 11 21 (3.10b)

Y la expresión (3.8) quedará:

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

( )irvgrk

irvkcrk

irvkci

SP

SOC

sOC

SOC

sOC

−−+−−−−−−−

+−−−−−−−

=

11exp1

1exp11exp1

1exp1

2

22

1

11 (3.11)

Así, por (3.10b), de los dos nuevos parámetros c1 y c2 que sustituyen a I01 e I02, sólo

uno es independiente. Se tomará por convenio c2 como parámetro independiente, es

decir:

( )SP rgcc −−−= 11 21 (3.12)

Se utilizarán las notaciones condensadas:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )

( )irvfEE

EEEEf

EE

EEEEf

EEEErkEEirvkivEE

rkEEirvkivEE

SSCSCOC

OC

SCSCOC

OC

OCOC

SOCSCsOC

SOCSCsOC

+−=−−

=−−

≡−−

=−−

≡

≡==≡⇒−−=≡−−−=≡

−−=≡−−−=≡

1 ;11 ;

11

0,11)0,1(1exp1,0;1exp,

1exp1,0;1exp,

32

2

22

222

1

1

11

111

2211

222222

111111

(3.13)


66

De modo que, sustituyendo, en (3.11), c1 por su expresión (3.12), se tiene, finalmente,

como concreción de la primera expresión (3.6) de i:

( ) ( ) ( )[ ]3121212 1,,,, ffrgffcfcgrviFi SPPS −−−−−== (3.14)

Siendo rS, gP y c2 los parámetros independientes explícitos e ISC y VOC los implícitos.

Se observa que (3.14) es una expresión implícita en i, por el término rSi que se suma a

v en f1, f2 y f3, pero explícita en la variable v' = v+rSi o en su complementaria 1-v' = 1-

v-rSi.

3.2.7 Rangos de validez física de los parámetros normalizados

Se han impuesto más arriba para los parámetros implícitos (ISC y VOC) unas

condiciones de validez física (3.3) por las que ambos deben ser positivos. Por otra

parte, la segunda condición (3.2), junto con (3.10), establece que c1 y c2 no deben ser

simultáneamente nulos y, además, que rS debe ser estrictamente inferior a 1 (no puede

ser igual a 1). Para gP se tiene una restricción análoga (gP<1)

Los casos extremos de gP =1 y rS = 1 implicarían, independientemente el uno del otro,

características I-V estrictamente lineales entre cortocircuito y circuito abierto.

Por lo que respecta a la condición de que c1 y c2 no deban ser simultáneamente nulos,

resulta necesaria para que el caso analizado represente una célula solar, puesto que, de

no cumplirse, la curvatura de la característica sería nula.

Finalmente, puesto que c1 es aquí un parámetro dependiente, tal y como lo indica

(3.12), la condición de que sea mayor o igual a cero (I01 no negativo) implica que en

los procesos de ajuste no deben admitirse valores de c2 superiores a 1-gP(1-rS).

Así pues, las condiciones o rangos de validez física de los parámetros del modelo con

dos exponenciales e índices de idealidad fijos son:

( )SP

PS

OCSC

rgcgr

VI

−−≤≤<≤<≤

>>

11010;10

0;0

2

(3.15)

Capítulo 3: Ajuste de curvas I-V de iluminación 3.3 Mínimos cuadrados basados en la…

67

3.3 Mínimos cuadrados basados en la distancia ortogonal.

Para ajustar el modelo (3.1) se ha elegido el criterio de la mínima distancia ortogonal

cuadrática presentado en § 2.3.1. La distancia real individual y su aproximación

analítica en el caso de iluminación se ilustran en la Figura 3.4.

Figura 3.4: Distancia ortogonal, εn, de un punto experimental, Pe, a una curva

calculada, de iluminación, que pasa por el punto Pc. La distancia real εn, obtenible

numérica e iterativamente, se aproxima mediante εO cuya expresión es analítica.

La expresión de la aproximación analítica δa calculada en (2.5) y trasladada aquí que

llamaremos εO, es:

αβαεε

2tg1 tgtg1

+

−= yO (3.16)

En el caso de iluminación las tangentes se pueden expresar en función del modelo F

(3.14) y su primera derivada F’ (respecto de v’) partiendo de una primera

correspondencia entre puntos experimentales (e) y calculados (c):

εO εn ε

εO

Pe

Pc

x

y

εx

εy

α

βα


68

<( )

( ) ( )

cscs

cc

cccc

ysecsecx

ecy

esecsc

FrF

virF

vv

vF

vi

vFFFi

riirvv

iiirvirvv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′−

′=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′≡

−=−−=−=

−=+=+=′

1dd1

dd

dd

dd

dd;con

εε

ε

(3.17)

Lo que, teniendo en cuenta que, para iluminación, F’ es siempre negativa y εx y εy

tienen signos opuestos, da lugar a:

sy

x

sc

rFr

FvF

=−=′−

′−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

εεβα tgy

1ddtg (3.18)

Entonces, la desviación εO en este caso de iluminación se expresa como:

( ) 221 FFr

iF

S

ecO

′+′−

−=ε (3.19)

Donde, para un punto experimental genérico i-v, i=ie es la corriente experimental

normalizada (3.4), F=Fc el valor de la función teórica (3.14) para la variable v’=v+irS,

F’ su derivada respecto a la variable v’ (en el punto Fc, vc) y rS el parámetro

normalizado de resistencia serie. Por otra parte, el numerador en (3.19) es la

desviación en corriente con v’ constante, que es una desviación vertical en la

representación i-v’.

(3.19) es una expresión aproximada de la verdadera distancia ortogonal, pero la

aproximación afecta muy poco a los resultados como se muestra en los ejemplos, con

tal de utilizar la misma para todos los puntos. Como justificación del uso de esta

expresión aproximada podemos añadir que la experiencia muestra que incluso otros

tipos de distancia – oblicua, vertical, etc, que pueden entenderse como

aproximaciones aún más groseras – tampoco conducen a resultados muy diferentes.

Capítulo 3: Ajuste de curvas I-V de iluminación 3.3 Mínimos cuadrados basados en la…

69

Así, (3.19) significa que la distancia ortogonal equivale a la distancia vertical (en i-v’)

ponderada con un “peso” local wi que es el inverso del denominador (éste es en todo

punto ≥ 1, por lo que wi ≤ 1 puesto que F’ y su producto por rS son negativos), es

decir:

( )( )

11

1;con22,,, ≤′+′−

=−′==iiS

iiiiyiyiiOFFr

wivFw εεε (3.20)

wi puede considerarse como un peso para cada punto, pero de variación lenta y

gradual, aplicado a la desviación Fc-ie, que es la magnitud de variación aleatoria

La matriz M se obtiene a partir de las derivadas de εO respecto de los distintos

parámetros. Escritas para un parámetro genérico pj, estas son:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )∑∑==

Δ+≡Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+≅

⋅=∂

∂≅

∂∂

+∂

∂=

∂∂

+∂

∂=

∂∂

+∂

∂=

∂∂

pp n

jjijiy

n

jj

ijiyiy

ijij

iyi

j

iiO

j

iyi

j

iiyi

j

iyi

j

iiy

j

iyi

j

iO

pfppF

fwp

w

pw

pw

pww

pw

pw

pw

p

10,

10,,

,

,,

,,

,,,

que ya

lnln

εεε

ε

εε

εε

εεε

(3.21)

La aproximación final de las derivadas proviene de despreciar el segundo sumando en

las igualdades precedentes que es, en cada punto, proporcional a la propia desviación

y, por tanto, pequeño y “autocompensado”, en el sentido de que su valor medio es

prácticamente nulo (ver §15 de la referencia [Pre92]). Esto hace que tanto εO como

sus derivadas paramétricas equivalgan, en la aproximación de primer orden, a las de εy

ponderadas por la misma función de peso wi, es decir, se proyectan sobre la misma

dirección aproximadamente ortogonal

No obstante, las derivadas parciales completas de εO, respecto a cada parámetro, se

calculan y se presentan en el Anexo 1.


70

3. 4 Desarrollo del procedimiento de ajuste

Dado un juego tentativo de parámetros iniciales, pj0 ≡ ISC0, VOC0, rS0, gP0, c20, se

tratará, en primer lugar, de determinar las desviaciones simples, ε (εO,i) y su valor

cuadrático medio, 2ε (llamado s2 en el Capítulo 2) respecto del modelo

particularizado para ese juego de parámetros, así como sus derivadas parciales

respecto de cada uno de los parámetros. Ello proporcionará índices del alejamiento o

cercanía del juego de parámetros respecto del ajuste óptimo, de acuerdo con el criterio

establecido para éste, y conducirá a la especificación del sistema matricial dado en §

2.6 como: 2ε

0001

0 ó,,1 TpMTpMnj j

n

lljlp

p

=Δ=Δ=∀ ∑=

L (3.22)

Que es un sistema de ecuaciones a resolver para Δpj de forma que el nuevo juego

pj0+Δpj proporcione un mejor ajuste. Este nuevo juego pasará a considerarse como

tentativo e inicial para proceder secuencialmente a nuevas estimaciones, siguiendo el

mismo esquema hasta conseguir desviaciones inapreciables respecto de la condición

de mínima desviación cuadrática (idealmente Tj = 0; es decir Δpj = 0, para todos y

cada uno de los pj).

Se indica a continuación, en primer lugar, cómo obtener un juego inicial de

parámetros suficientemente eficaz y, en segundo lugar, las expresiones que permiten

explicitar las componentes matriciales M0jl y T0j de (3.22), es decir, básicamente, las

de las desviaciones ε y de sus derivadas.

3.4.1 Juego de parámetros iniciales. División en zonas

En condiciones cercanas a cortocircuito o circuito abierto, respectivamente, se

aproximará la relación (I-V) mediante expresiones lineales (tangentes). En las

proximidades de cortocircuito:

Capítulo 3: Ajuste de curvas I-V de… 3.4 Desarrollo del procedimiento de ajuste

71

VGII PSC −≅ (3.23)

Y cerca del circuito abierto:

IRVV OOC −≅ (3.24)

De modo que un primer ajuste lineal (en dos tramos independientes próximos a

cortocircuito y a circuito abierto) de los datos experimentales directos (I, V)

suministra estimaciones iniciales con buena fiabilidad para ISC y VOC (ordenadas en el

origen) y con más incertidumbre para GP y RS=RO-m1Vt/ISC, siendo GP, RO las

pendientes de las tangentes respectivas. Así, se obtienen estimaciones para gP y rS. Se

dará un valor a priori de m1 y T (o, globalmente, de m1Vt)

Generalmente, la observación directa de los datos para aplicar el proceso, impone las

condiciones (3.15) ISC>0 y VOC>0, por lo que su comprobación será obvia. Con mayor

frecuencia podrían obtenerse resultados numéricos negativos para GP o RS que no

deben admitirse, forzando, en tales casos, sus estimaciones iniciales al valor nulo. Así

mismo, la observación directa de los datos habrá descartado, a priori, del análisis

aquellas características potencialmente responsables de valores superiores a 1 de los

parámetros gP ó rS como lo imponen las condiciones físicas (3.15). En cuanto al valor

inicial del parámetro c2, la mejor práctica es suponerlo nulo.

Sea nd el número de pares I-V de valores experimentales. Deberán darse ordenados

por V creciente o I decreciente. Idealmente ambos ordenamientos deberían coincidir.

En la práctica, si la toma de datos experimentales no ha sido suficientemente cuidada

y hay errores abultados, podría ocasionalmente haber alteraciones puntuales, pero al

menos uno de los dos ordenamientos debería adecuarse al criterio creciente de V o

decreciente de I. Supondremos el primero de éstos. Para ajustar con cinco parámetros

el número nd debe ser de, al menos, cinco, generalmente mucho mayor. Con cinco

puntos se tendría un ajuste sin desviaciones, es decir una curva modelada que pasa

estrictamente por los cinco puntos o, en muchos casos, un sistema con solución

forzada para algún parámetro, por los condicionantes de rango físicamente admisible.

Supondremos que nd >> 5.


72

Para los ajustes lineales iniciales (3.23)-(3.24) deben considerarse subconjuntos de

datos de pocos puntos próximos, respectivamente, a las condiciones de cortocircuito y

circuito abierto. Si los datos lo permiten, distribuidos por encima y por debajo de

dichas condiciones, y en número igual o superior a dos, puesto que dos son los

parámetros a determinar en cada zona. Para concretar supondremos que se utilizan

cinco puntos para cada una y que éstos son, respectivamente, los primeros (i = 1, 2,...,

5) y los últimos (i = nd -4, nd -3,..., nd) de la lista ordenada. El criterio de ajuste será el

de mínima desviación cuadrática media, respectivamente de corrientes y de tensiones,

es decir:

( )( )

( )( )

22222

22

222

2

min2222

,...,42

21111

11

111

1

min2111

5,...,11

0

10;

0

10;

iOiOCiiO

ki

iOOCiOC

ii

iiiOOCnni

i

iPiSCiiP

ii

iiPSCSC

ii

iiiPSCi

i

IRIVIVR

IRVVVVIRV

VGVIVIG

IVGIIIVGI

+−==∂∂

⋅+−==∂∂

⇒−−=

+−==∂∂

⋅−−==∂∂

⇒−−=

−=

=

εε

εεεε

εε

εεεε

(3.25)

Donde la barra encima de una magnitud indica valor promedio de la magnitud en el

rango de puntos correspondiente al de valores del índice i, y el rango está, a su vez,

indicado por el subíndice 1 (entorno de cortocircuito) ó 2 (entorno de circuito abierto).

Las ecuaciones (3.25) representan dos sistemas independientes, de dos ecuaciones

algebraicas cada uno. Sus soluciones, condicionadas a GP ≥ 0 y RO ≥ 0, e indicando

con el subíndice 0 su carácter de estimaciones iniciales, son:

iOiOC

ii

iiii

SC

tO

iPiSC

ii

iiiiP

IRVVII

IVIVI

VmR

VGIIVV

VIVIG

2202

222

2222

0

1

101021

21

11110

;;max

;;0max

+=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−⋅=

+=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−⋅=

(3.26)

Siendo, entonces, el juego inicial de parámetros:


73

0;;;; 200

000

0

0

0

1000 ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= c

IVGg

VI

IVmRrVI

SC

OCPP

OC

SC

SC

tOSOCSC (3.27)

Aunque debiera verificarse siempre, convendrá comprobar el cumplimiento de las

restantes adecuaciones de rango (3.15).

También puede ser éste el momento de advertir otras inconsistencias de datos con el

modelo físico y, en su caso, ofrecer alternativas. Por ejemplo, entre otras, si GP0 = 0,

lo será porque el segundo argumento del máximo en la primera de (3.26) es negativo,

lo que significa una pendiente media positiva de los datos I-V próximos a

cortocircuito, físicamente incoherente. Puede optarse por revisar los datos

experimentales o por continuar el procedimiento con gP0 = 0.

La limitación para RO presenta otros matices: si el segundo argumento del máximo en

la segunda ecuación de (3.26) fuese negativo, revelaría una cierta inconsistencia física

de los datos (I creciente, en promedio, y positiva para V>VOC en el entorno de ésta). Si

sólo es una propiedad local, fruto de errores experimentales, el procedimiento podrá

continuar (con rS0 = 0), pero convendrá advertirlo. Incluso si ese término es positivo,

pero inferior a Vt/ISC0, los datos podrían ser más consistentes con rS = 0 y una sola

exponencial, pero de índice m1 < 1, el que hace iguales los dos argumentos del

máximo en la expresión de RO. Más adelante se verá que el incumplimiento de la

tercera condición (3.15), para el límite superior de c2, puede dar lugar a otra

advertencia similar: los datos próximos a potencia máxima serían más consistentes

con un modelo de una sola exponencial, de índice m2 > 2, y con el valor de c2 igualado

a ese límite superior, que implica c1 = 0, es decir anulando la primera exponencial.

3.4.2 Resolución del sistema matricial y obtención de Δpl

Calculadas todas las derivadas de (3.19) [Anejo 1] para cada par (I-V) del conjunto de

datos, se está en condiciones de obtener los elementos de la matriz M y del vector T,

del sistema (3.22) o (2.15a) del §2.4. Por comodidad, se reproduce el sistema a

continuación en (3.28) y, en (3.29), se expresan los elementos como resultados de

operaciones promedio. Las operaciones de promedio se entienden efectuadas sobre


74

todo el conjunto de nd elementos asociados al de pares de datos experimentales. Así

mismo, se suprime el subíndice 0, indicador de la particularización para un juego de

parámetros tentativo y sucesivamente actualizado:

TpM =Δ (3.28)

jj

jljl p

Tpp

M∂∂

−=∂∂

∂∂

=εεεε ; (3.29)

M y T pueden calcularse a partir de los desarrollos completos de las derivadas, pero

también, representando un sistema ligeramente diferente pero con resultados casi

idénticos, con la aproximación de (3.21) calculando sólo el peso local. Esta

aproximación se utilizó para la elaboración de las hojas de cálculo de Excel

empleadas para los ejemplos incluidos en este capítulo.

La resolución de (3.28) podría plantearse por métodos convencionales, es decir,

mediante el cálculo de la matriz inversa de M y:

TMp 1−=Δ (3.30)

Sin embargo, hay que hacer notar que no siempre deberá resolverse el sistema

completo de cinco ecuaciones (3.28): la imposición de condiciones de rango para los

parámetros o cualquier otra situación que signifique la imposición de un valor

prefijado para alguno de ellos conducirá a un sistema reducido, por ejemplo a cuatro

ecuaciones si se prefija un parámetro, lo que significa eliminar en (3.28) la ecuación

correspondiente a él. Puede convenir, por tanto, en primer lugar ordenar el sistema y

su matriz M y, en segundo lugar, prepararlo para una resolución secuencial,

empezando por los parámetros más susceptibles de estar sujetos a condiciones. Esto

lleva, en la práctica, a un planteamiento de solución por triangulación superior de la

matriz M y conversión de los elementos de la diagonal principal al valor 1. De esta

forma se tendrá una estructura de cálculo en que el incremento Δpl de cada parámetro

se expresa en función de un término independiente, que tiende a cero a medida que

avanza el proceso, y de los parámetros anteriormente calculados.


75

Cada fila de la matriz M corresponde a un parámetro a extraer: Por ejemplo: j=1 será

para ISC, j=2 para VOC, j=3 para rS, j=4 para gP y j=5 para c2.

Una vez así establecido el sistema (3.28), la triangulación con normalización a 1 de

los elementos de la diagonal principal procede según los pasos siguientes, teniendo en

cuenta que, después de cada paso (i), el sistema resultante, con la misma solución que

el original (3.28), se expresa, formalmente, del mismo modo, es decir:

( ) ( )ii TpM =Δ (3.31)

Por otra parte, la triangulación deberá detenerse o alterarse en su orden en el paso

inmediatamente anterior a aquel en que deba forzarse una solución por imperativos

externos al proceso matemático, por el rango de validez física de parámetros u otros,

descartándose, en su caso, el resto de filas del sistema.

Se trata de un método de triangulación que hemos seguido en muchos casos.

Evidentemente, pueden utilizarse otras formas de resolución con o sin triangulación o

de detección anticipada de pasos que puedan originar problemas de convergencia. Por

ejemplo, el procedimiento SVD (Singular Value Decomposition) [Pre92] tiene,

esencialmente, un objetivo parecido.

A continuación, se detallan las etapas para la triangulación de M con normalización a

1 de la diagonal principal:

Paso 1. Normalización a la unidad de los elementos de la diagonal principal.

Solución para el primer parámetro, Δp1 (normalmente ΔISC), condicionada a los

restantes Δpl>1. La ecuación para este primer parámetro permanecerá, sin

modificaciones, en los sucesivos pasos:

∑=

Δ−=Δ

=⇒==

5

2

)1(1

)1(11

)1()1()1( 1;

lll

jjjj

jj

jj

jljl

pMTp

MMT

TMM

M (3.32)


76

Paso i. Genérico y secuencial: i = 2,3,4. La matriz M(i-1) procedente del paso

anterior (i-1) tendrá sus elementos de la diagonal principal con el valor 1 y los no

diagonales del triángulo inferior, en sus i-2 primeras columnas, con el valor 0. Se trata

ahora de mantener sin modificación las i-1 primeras filas, ya trianguladas, (ecuaciones

para los i-1 primeros parámetros) y de reducir a 0 los elementos no diagonales de la

columna i-1 del triángulo inferior (elementos j>l, l=i-1), manteniendo los de las

previas, así como los restantes 1 de la diagonal principal. Se tendrá, a continuación la

solución, condicionada a los posteriores, para el parámetro Δpi:

∑

∑

+=

<

−−

−−

−

−−

−−

−

−−

−−

−

−−

−−

−

+=

−<<

−−

Δ−=Δ

==⇒−

−=

−

−=

≥

Δ−=Δ

===⇒==<

5

1

)()(

)()(,

)1(,1

)1(1,

)1(

)1(1

)1(1,

)1()(

)1(,1

)1(1,

)1(

)1(,1

)1(1,

)1()(

5

1

)()(

)1(,

)(,

)()1()()1()(

1;0

;:

0;1;:

ill

iil

iii

ijj

iilj

iji

iij

ijj

ii

iij

iji

jiji

iij

ijj

ili

iij

ijli

jl

jll

ijl

ijj

ijlj

ijlj

ijj

ij

ij

ijl

ijl

pMTp

MMMMMTMT

TMMMMMM

Mij

pMTp

MMMTTMMij

(3.33)

Paso 5. Después del paso 4 (anterior para i=4) la matriz M(4) está casi

totalmente triangulada. Queda solamente el último menor principal de orden 2. En

este paso se triangula este último, finalizando el proceso, y se obtiene la solución

explícita para el último parámetro, Δp5:

)5(55

)5(55

)5(5,5

)4(45

)4(54

)4(55

)4(4

)4(54

)4(5)5(

5)4(45

)4(54

)4(55

)4(4

)4(54

)4(5)5(

5

5

1

)5()5(

)4(,

)5(,

)5()4()5()4()5(

1;0

;:5

0;1;:5

Tp

MMMMMTMTT

MMMMMMM

j

pMTp

MMMTTMMj

l

lll

jlljljj

jljjljjjjjjljl

=Δ

==⇒−−

=−−

==

Δ−=Δ

===⇒==<

<

+=

<<

∑

(3.34)


77

Queda pues, finalmente, el sistema equivalente con matriz triangular superior y con

valores 1 en la diagonal principal. La solución es explícita si se materializa en orden

descendente (en la secuencia Δp5, Δp4,..., Δp1):

∑>

Δ−=Δ⇒=

=Δ

jlljljj pMTpj

TpM)5()5(

)5()5(

1,2,3,4,5 (3.35)

El cálculo inicial (antes de la triangulación) de la matriz M y de su inversa M-1 nos

proporciona (ver capítulo 2, expresión (2.48)) los errores estándar del conjunto de

parámetros: σ(ISC), σ(VOC), σ(rs), σ(gP), σ(c2).

A partir de esos resultados y de la relación existente entre los parámetros

normalizados y los parámetros originales (3.5), (3.7) y usando los errores estándar de

aquéllos (2.47), se deducen los errores estándar de cada parámetro original como:

( ) ( ) pl

n

l l

jj njp

pP

Pp

,...,1,1

=∂

∂= ∑

=

σσ (3.36)

Donde Pj representa un parámetro original, que puede ser función de los np parámetros

normalizados. Así, las expresiones de las incertidumbres relativas se detallan en el

Anejo3.

3.5. Ejemplo de ajuste. Aplicación del método iterativo. Célula CI1

Tras explicar la implementación del método de ajuste para el caso de iluminación, en

este apartado se ilustra con bastante detalle el proceso en un primer ejemplo (célula

CI1) con el modelo de dos exponenciales (dos diodos), utilizando las expresiones

completas de las derivadas y utilizando aproximaciones para comparar los resultados.

También se presenta en este ejemplo el modelo de una exponencial para el que no es

preciso cambiar el método de cálculo aunque se ajustará a un conjunto de parámetros

diferente, como se verá a continuación.


78

Tras esta ilustración se incluirán otros ejemplos con menor detalle y resaltando la

especificidad de cada uno, todos ellos utilizando el modelo normalizado con dos

diodos.

Todas las medidas de los ejemplos que siguen (CI1 a CI5) se han realizado con

temperatura e irradiancia constantes bajo una lámpara de xenón como se describió al

principio del capítulo. Para todos los ejemplos se tomará m1=1, m2=2 y

Vt = 0,02586V, que corresponde a una temperatura de operación de 300 K.

3.5.1 Cálculo de los elementos de la matriz con derivadas completas

El método descrito anteriormente se ha implementado en una hoja de cálculo de Excel

y con ella se ilustran a continuación los diferentes pasos. Se utiliza como ejemplo una

célula (que llamaremos CI1) fabricada en el IES. Es una célula de silicio realizada

sobre un substrato FZ, con emisor de fósforo, BSF de aluminio y contactos

evaporados y de área 4 cm2. Los resultados experimentales de su característica I-V se

representan en la Figura 3.5.

Figura 3.5 Datos experimentales corriente-tensión de iluminación (célula CI1)

Se empieza el proceso de ajuste con la obtención de parámetros aproximados

mediante ajustes lineales por tramos, (3.25) y (3.26). Para ello se selecciona un

Célula CI1

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Tensión (V)

Cor

rien

te (A

)

Capítulo 3: Ajuste de curvas I-V de… 3.5 Ejemplo de ajuste. Aplicación del método…

79

conjunto de puntos experimentales próximos, respectivamente, a cortocircuito y a

circuito abierto. El número de puntos, deberá ser cómo mínimo tres; en nuestro caso

hemos tomado cinco puntos como se ha indicado en §3.4.1.

Los 4 parámetros iniciales (ISC0, GP0 y VOC0, R0,) están definidos en las zonas

respectivas, siendo ISC0 y VOC0 la corriente de cortocircuito y la tensión de circuito

abierto, respectivamente. R0 es la pendiente (en valor absoluto) de V en función de I

en circuito abierto y GP0 la pendiente de I en función de V en cortocircuito, obtenidas

mediante las expresiones (3.26).

Los resultados de estos ajustes lineales iniciales de las regiones respectivas se

muestran en la Tabla 3.1

Tabla 3.1: Parámetros iniciales obtenidos

ISC0 (A) VOC0 (V) R0(Ω) GP0 (Ω-1)

0,137 0,616 0,863 -1,3.10-3

En este ejemplo se obtiene (numéricamente) un valor de GP0<0 que, por las

condiciones de rango, se trasladará al valor cero, límite inferior físicamente admisible.

Por otra parte, restando Vt/ISC ≅ 0,189 Ω del valor de R0 se obtiene RS ≅ 0,674 Ω

Con esos resultados se deducen los parámetros iniciales mediante (3.27), así como los

auxiliares kOC1 y kOC2 mediante (3.7). En esta fase inicial se asume que sólo la primera

exponencial es importante, es decir c20 = 0. Así el conjunto de los parámetros con que

se inicia el proceso iterativo es el mostrado en la Tabla 3.2.

Tabla 3.2: Parámetros iniciales introducidos en la iteración

ISC0 (A) VOC0 (V) rS0 gP0 c20

0,137 0,616 0,150 0 0

Con kOC1 =23,81 y kOC2 =11,90

Tras la primera iteración, sigue obteniéndose un resultado negativo para gP, por lo que

sigue también forzándose su valor a cero. El sistema se reduce pues, en la práctica, a


80

cuatro ecuaciones. La evolución de los resultados del proceso iterativo, conforme al

proceso indicado en §3.4.2, se muestra en la Tabla 3.3. Se incluye también la

evolución de la desviación estándar (RMS, ecuación (2.45)) porque juega el papel más

significativo y es (su cuadrado) la magnitud minimizada en el proceso.

Para monitorizar la convergencia del proceso, en la Tabla 3.3 se utiliza un indicador

de convergencia definido como (1-RMSi-1/RMSi), donde i denota el número de la

iteración. Muestra el progreso en la reducción del error en cada paso iterativo. En este

caso la reducción es muy rápida y el proceso podría detenerse cuando se alcanza un

valor de este indicador por debajo de, por ejemplo, 10-10. Sin embargo, en este caso se

ha continuado más allá para mostrar más claramente la estabilización, tanto de los

valores de los parámetros como del propio proceso. Esta ha sido, también, la única

razón para mostrar los valores de la tabla con un número de cifras significativas

manifiestamente exagerado.

Tabla 3.3: Secuencia iterativa del proceso para el ejemplo CI1

Paso ISC(A) VOC(V) rs gp c2 RMS Indicador de

convergencia

1º 0,1371664 0,61576264 0,15028195 0 0 0,00574315

2º 0,13730822 0,61658259 0,13525155 0 0,15469481 0,00413146 -0,3901

3º 0,13729969 0,61621584 0,13219734 0 0,17701719 0,00410651 -0,00607

4º 0,13730138 0,61619679 0,13197157 0 0,17886395 0,00410637 -3,4.10-05

5º 0,13730155 0,61619537 0,13195551 0 0,17899676 0,00410637 -1,7.10-07

6º 0,13730156 0,61619527 0,13195439 0 0,17900599 0,00410637 -8,3.10-10

7º 0,13730156 0,61619527 0,13195432 0 0,17900663 0,00410637 -4,0.10-12

8º 0,13730156 0,61619527 0,13195431 0 0,17900668 0,00410637 -1,6.10-14

9º 0,13730156 0,61619527 0,13195431 0 0,17900668 0,00410637 -3,7.10-15

10º 0,13730156 0,61619527 0,13195431 0 0,17900668 0,00410637 3,5.10-15

ISC y VOC son parámetros de valor bastante estable, obtenido con buena aproximación

desde las primeras iteraciones, que no varían mucho durante el proceso. El cambio

registrado tiene lugar a partir de la cuarta cifra significativa y a partir de la quinta-

sexta iteración su variación es insignificante. Lo mismo puede decirse de rS y c2 a

partir de la séptima-octava.


81

Hay que notar que el error RMS es adimensional ya que corresponde a desviaciones

ortogonales en sistemas de coordenadas normalizadas.

Como muestra se dan a continuación en la Tabla 3.4 algunos valores relacionados con

las matrices y vectores del sistema. Lo más apropiado para establecer comparaciones

es usar matrices normalizadas (por ejemplo MN y el vector TN) cuyos elementos no

tienen dimensiones físicas. La información se completa si, además, se suministra el

vector de normalización o matriz diagonal DM (vector raíz de la diagonal de M) cuyas

dimensiones son las del inverso de cada parámetro correspondiente. Para el caso de

cinco parámetros son estos:

Tabla 3.4: Matriz Normalizada MN inicial con cinco parámetros, Vector Normalizado

TN final, DM vector raíz de la diagonal de M inicial

ISC VOC rS gP c2 TN Dm

ISC 1 0,22 -0,34 -0,83 -0,52 2,2.10-14 4,3

VOC 0,22 1 -0,79 -0,26 -0,53 9,8.10-14 1,1

rS -0,34 -0,79 1 0,44 0,82 -1,3.10-13 0,39

gP -0,83 -0,26 0,44 1 0,74 -2,3.10-4 0,24

c2 -0,52 -0,53 0,82 0,74 1 -2.10-14 3,8.10-2

MN y DM se corresponden con los parámetros iniciales (1ª fila de la tabla 3.3). Por el

contrario TN se corresponde con los finales (última fila de la Tabla 3.3) para así

mostrar las peculiaridades de este caso: Este TN final tiene todas sus componentes,

salvo una (la correspondiente al parámetro gP) prácticamente nulas, lo que justifica la

convergencia del proceso de ajuste que, realmente, ha sido de cuatro parámetros

porque en todos los pasos de la iteración gP ha sido forzado a tomar el valor 0.

Como ya se mencionó anteriormente, se inicia el proceso iterativo con gp0 =0 y un

sistema matricial de 5 parámetros, pero se obtiene un resultado negativo del

incremento Δgp= -0,0081 lo que daría lugar a un gp = -0,0081, igualmente negativo y

físicamente inaceptable. Por ello, deberá rehacerse el cálculo pero restringido a los

restantes cuatro parámetros. Y esa comprobación deberá repetirse en cada paso de

iteración. Lo que muestra el vector TN final de este ejemplo es, más claramente, esa


82

misma situación: siendo negativa su componente asociada a gP y prácticamente 0 las

asociadas a los demás parámetros, una solución matemática que daría lugar a un mejor

ajuste correspondería a un valor negativo (incremento negativo respecto de 0) del

parámetro gP. Por otra parte, esta solución no admisible físicamente suele dar lugar, si

se continúa el proceso iterativo sin restricciones, a una deriva caótica con resultados

oscilantes y, con frecuencia, divergentes; razón adicional para ser desestimada.

Sin embargo, en cuanto a los resultados finales, es procedente incluir la información

(matricial) completa, para todos los parámetros con independencia de que los

condicionantes físicos hayan forzado un proceso con matrices reducidas.

Tabla 3. 5: La matriz de correlación inicial de 5 parámetros incluyendo gP

ISC VOC rS gP c2

ISC 1 0,06 0,25 0,79 -0,37

VOC 0,06 1 0,71 0,14 -0,33

rS 0,25 0,71 1 0,44 -0,79

gP 0,79 0,14 0,44 1 -0,71

c2 -0,37 -0,33 -0,79 -0,71 1

Tabla 3.6: Matriz de correlación final de 5 parámetros incluyendo gP:

ISC VOC rS gP c2

ISC 1 0,07 0,24 0,79 -0,36

VOC 0,07 1 0,72 0,15 -0,38

rS 0,24 0,72 1 0,44 -0,84

gP 0,79 0,15 0,44 1 -0,69

c2 -0,36 -0,38 -0,84 -0,69 1

En este caso, como puede apreciarse las diferencias entre ambas son mínimas. Lo que

se debe, entre otras razones, a que los parámetros de la estimación inicial (procedente

del ajuste lineal de tramos separados) ya satisfacen un ajuste con escaso margen de

mejora.


83

En las matrices de correlación de la Tabal 3.5 y la Tabla 3.6 se aprecia que el

coeficiente de correlación entre gp y c2 es alto, pero no excesivo (-0,69 al final y –0,71

al inicio del proceso). Un caso parecido se da entre ISC y gp con un coeficiente 0,79 al

inicio y al final del proceso

La correlación es también fuerte entre rS y c2 o VOC. Por ejemplo entre rS y c2 es de –

0,79 (final de -0,84) y entre rS, y VOC de 0,71 (0,72). En muchos casos la existencia de

correlaciones muy fuertes (coeficientes de correlación muy próximos a 1 o -1) puede

originar problemas de convergencia, como se indicó en el §2.9. El hecho de que en

este caso la convergencia haya sido fácil indica que estos valores, no demasiado

próximos a 1 o –1, no originan problemas.

Otro indicador global de riesgos de convergencia es el valor (y su evolución, en

cuanto a su proximidad a 0) del determinante de la matriz M, en su forma normalizada

(MN). En este caso dicho determinante ha variado desde 0,0103 en la situación inicial

hasta 0,0064 en la final. Paralelamente, los determinantes de las matrices inversas

normalizadas (matrices de correlación) han sido, respectivamente 0,015 y 0,0105. En

ambos casos se aprecia una tendencia decreciente aunque manteniéndose alejados de

una excesiva proximidad a 0, lo que también augura escasos problemas de

convergencia.

En §2.9 se mostró cómo la diagonal de la matriz inversa nos informa sobre la varianza

de cada parámetro. Se han obtenido los errores estándar global (RMS del ajuste) y de

cada parámetro según las definiciones y las expresiones dadas en el §2.10. En la Tabla

3.7 se presentan los parámetros del modelo normalizado así como sus errores estándar

y relativos:

Tabla 3. 7: Parámetros del modelo normalizado con sus errores (célula CI1)

ISC (A) VOC (V) rS gP c2

0,1373 0,6162 0,132 0 0,179

σ (ISC) (A) σ (VOC)(V) σ (rS) σ (gP) σ (c2)

3,1.10-4 1,1.10-3 5,8.10-3 7,6.10-3- 6,2.10-2

σ (ISC)/ISC % σ (VOC)/VOC% σ (rS)/rS% - σ (c2)/c2%


84

0,23 0,17 4,4 35

Con el error estándar del ajuste: RMS=4,1.10-3 y εm = 1,9.10-4

El error relativo es en torno al 0,2 % para ISC y para VOC, así que su error estándar

afecta sólo a la tercera o cuarta cifra significativa. Para rS el error estándar afecta a la

segunda o tercera cifra, siendo del 4% en términos relativos. Estos parámetros

presentan pues unas incertidumbres muy pequeñas. Por su parte, el error relativo de c2

es del 35%, grande pero aún aceptable en el sentido de que el parámetro es

significativo. En cuanto a gP, por ser nulo en este caso, no tiene sentido el error

relativo pero sí se da su error estándar.

El error (RMS) del ajuste representa la separación media de cada punto experimental

respecto de la curva ajustada en una representación gráfica normalizada y “cuadrada”,

con un fondo de escala 1 para ambos ejes. En este caso el error representa una

longitud de 4 milésimas del lado del cuadrado o 3 milésimas de su diagonal.

La Figura 3.6 representa el ajuste final de los datos de iluminación de la célula CI1

con las escalas normalizadas.

Figura 3.6: Ajuste final de la célula (CI1)

Una vez obtenidos los parámetros secundarios (parámetros del modelo normalizado),

se calculan los parámetros primarios del modelo convencional de (3.5) a (3.11), así

como sus incertidumbres. Los resultados se muestran en la Tabla 3.8:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Cor

rien

te n

orm

aliz

ado

Tensión normalizada

Célula CI1


85

Tabla 3.8: Parámetros del modelo convencional sin normalizar con sus errores

relativos (absoluto para GP) (célula CI1)

RS(Ω) GP(Ω-1) I01(A) I02(A) IL(A)

0,592 0 5,05.10-12 1,65.10-7 0,137

ΔRS /RS(%) ΔGp (Ω-1) ΔI01/I01(%) ΔI02/I02(%) ΔIL/IL(%)

4,8 1,05.10-3 13 37 0,33

Con m1Vt = 2,586.10-2 V y m2Vt= 5,172.10-2 V.

Los valores correspondientes a ISC (0,23 %) y VOC (0,17 %) se mostraron en la Tabla

3.7. Para ISC, VOC, IL el error es muy pequeño. Sin embargo son bastante significativos

los errores relativos de las corrientes inversas de saturación: 13% y 37% para I01 e I02

respectivamente.

Con los parámetros de la Tabla 3.8 puede obtenerse la corriente teórica en función del

voltaje. En la Figura 3.7 se representan los datos experimentales (puntos) con la curva

teórica ajustada (línea continua).

Figura 3.7: Ajuste final de los datos primarios I-V (célula CI1)

En las Figuras 3.8 y 3.9 se representa la desviación residual ortogonal, ε, en función

de la tensión normalizada, v, para la célula CI1 al principio y al final del proceso

iterativo, respectivamente.

00,020,040,060,08

0,10,120,14

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Cor

rien

te (A

)

Tensión (V)

Célula CI1


86

Figura 3.8: Error ortogonal para la aproximación inicial

Figura 3.9: Error ortogonal para la solución ajustada.

Se aprecia que los errores son algo mayores al inicio que al final, cuando se alcanza la

convergencia del proceso de ajuste. Según la Tabla 3.3 el valor de RMS pasa de

5,3.10-3 a 4,1.10-3. Esta variación no es muy importante y tan sólo significa que la

estimación inicial mediante ajustes lineales por tramos independientes es bastante

aceptable.

Es más significativa, por otra parte, la presencia de ciertos sesgos en la Figura 3.8

(zonas de varios puntos sucesivos con desviaciones del mismo signo) que desaparecen

en la Figura 3.9.

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Err

orε


Célula CI1

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Err

orε


Célula CI1


87

3.5.2 Cálculo de los elementos de la matriz con derivadas aproximadas

Se ha presentado el ajuste de la célula CI1 utilizando las derivadas completas dadas en

el Anejo 1. A continuación se realiza el mismo ajuste aproximando las derivadas

como se explicó en §3.3. Para comparar los resultados con los del apartado anterior se

presentan conjuntamente en la Tabla 3.9.

Tabla 3.9 Parámetros obtenidos con el modelo normalizado y usando las derivadas

completas o aproximadas (célula CI1)

Caso de

las

derivadas

completas

RMS ISC (A) VOC (V) rS gP c2

4,11.10-3 0,1373 0,6162 0,1320 0 0,179

Indicador de

convergencia

σ (ISC)

(A) σ (VOC)(V) σ (rS) σ (gP) σ (c2)

-4.10-12

(6ª iteración) 3,1.10-4 1,1.10-3 5,8.10-3 7,6.10-3 6,2.10-2

Caso de

las

derivadas

aproxima

das

RMS ISC (A) VOC(V) rS - c2

4,16.10-3 0,1373 0,6156 0,1267 0 0,215

Indicador de

convergencia

σ (ISC)

(A) σ (VOC)(V) σ (rS) σ (gP) σ (c2)

3.10-6

(6ª iteración) 3,1.10-4 1,1.10-3 6,1.10-3 7,7.10-3 6,5.10-2

Tal como estaba previsto, los errores estándar del ajuste (RMS) y de los distintos

parámetros son del mismo orden de magnitud, difiriendo en menos de un 6% en el

peor de los casos [σ(rS)], por lo que se pueden considerar prácticamente iguales. Y lo

mismo puede decirse de los parámetros obtenidos: son iguales dentro de los

respectivos márgenes de incertidumbre calculada. Por ejemplo rS±σ (rS) es

0,1320±0,0058 en el primer caso y 0,1267±0,0061 en el segundo y los resultados de

c2±σ (c2) son: 0,179±0,062 y 0,215±0,065 respectivamente. Los resultados son aún

mucho más próximos (iguales en las 4 y 3 primeras cifras significativas,

respectivamente) para ISC±σ (ISC): 0,1373±0,0003 (A) y VOC±σ (VOC):

0,616±0,001(V).


88

Ambos métodos son también similares en cuanto a la convergencia. En este ejemplo

concreto la convergencia ha sido algo más lenta con el método de las derivadas

aproximadas, pero sólo en los últimos pasos, cuando las diferencias paso a paso se

hacen casi inapreciables.

Todo ello demuestra la validez de la aproximación establecida para el cálculo de los

elementos de la matriz M del sistema.

3.5.3. Ajuste con el modelo de una exponencial

Se adapta nuestro modelo normalizado con dos exponenciales a uno normalizado con

una exponencial. Este modelo de un diodo con 1≠m se usa frecuentemente en el

modelado de sistemas fotovoltaicos (módulos, paneles, campos generadores, etc...).

Los parámetros a ajustar serán ISC, VOC, rS, gP y t

OCOC mV

Vk =1 . El valor de Vt está

relacionado directamente con la temperatura de funcionamiento interno de la célula.

Si la temperatura está controlada, el ajuste proporcionará el parámetro m, en caso

contrario no podrán separarse ambos factores del producto mVt. Esto se aplica tanto a

las medidas dentro del laboratorio como en el exterior y la segunda de esas situaciones

será la habitual cuando se caracterizan sistemas no unicelulares (asociaciones en serie

y/o en paralelo).

En la práctica, la introducción de ese quinto parámetro (kOC1 o m ajustable ≠1) para

ampliar un modelo de una exponencial con forma prefijada (m1 = 1) es otra alternativa

a la introducción de una segunda exponencial de forma también prefijada (m2 = 2) y

con c2≠0 como factor.

El método de cálculo es el establecido anteriormente, implementado en una hoja

Excel. Se han de cambiar los elementos de la matriz que contienen la derivada de ε respecto al parámetro c2 por la derivada respecto a kOC1. Se presentan a continuación

los resultados obtenidos para la célula CI1 en las Tablas 3.10 y 3.11.


89

Tabla 3.10: Parámetros del modelo normalizado de una exponencial con sus errores

relativos

(célula CI1)

ISC (A) VOC (V) rS gP kOC1

0,1373 0,6150 0,1082 0 17,03

σ(ISC) (A) σ(VOC)(V) σ(rS) σ(gP) σ(kOC1)

3,1.10-4 1,1.10-3 9,2.10-3 7,2.10-3 1,23

σ(ISC)/ISC % σ(VOC)/VOC% σ(rS)/rS% - σ (kOC1)/ kOC1%

0,22 0,18 8,5 7,2

Con el error estándar del ajuste: RMS=4,05.10-3

Tabla 3.11: Parámetros del modelo convencional deducidos de los de la tabla 3.10

(célula CI1)

RS(Ω) GP (Ω-1) I01(A) m IL(A)

0,49 0 5,51.10-9 1,40 0,1373

ΔRS/RS(%) ΔGp (Ω-1) ΔI01/I01(%) Δm/m(%) ΔIL/IL(%)

8,9 1,6.10-3 123 7,4 0,33

Con Vt = 0,02586 V (es decir T = 300 K y mVt = 0,03611 V)

El ajuste final se presenta en la Figura 3.10 y en la Figura 3.11 las desviaciones

ortogonales individuales.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Cor

rien

te n

orm

aliz

ado


Célula CI1


90


Los parámetros del modelo que son comunes con el de dos exponenciales (ISC, VOC, rS

y gP) se obtienen con valores e incertidumbres muy similares a los extraídos en los

ejercicios anteriores. Para mejor comparación se ha mantenido en seis el número de

iteraciones (indicador de convergencia = 4.10-9). El error RMS del ajuste también es

comparable al obtenido con el modelo de dos exponenciales (de 4,05.10-3 frente a

4,1.10-3). Lo más destacable de este ejemplo es la incertidumbre muy importante

obtenida para la corriente inversa de saturación, I01, que es incluso superior al 100%

(123%). Conviene hacer notar, sin embargo, que esta incertidumbre debe ser

interpretada en términos logarítmicos: σ(lnI01) = 1,23, que es, a su vez, prácticamente

la misma (absoluta) calculada para el parámetro característico de la función

exponencial, k01, y que, en términos relativos, no es la más importante del ejemplo

(7,2%).

Estas consideraciones apoyan, a nuestro juicio, la consideración de ISC y,

especialmente, VOC como parámetros más “robustos” para el modelado de

características de iluminación que, por ejemplo IL e I0.

3.6 Otros resultados y ejemplos

3.6.1 Resultados

Se presentan a continuación varios ejemplos de ajuste de curvas I-V de iluminación

realizados por el procedimiento descrito. Para cada caso, se dan los parámetros

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Err

orε


Célula CI1

Capítulo 3: Ajuste de curvas I-V de iluminación 3.6 Otros resultados y ejemplos

91

secundarios, pj, del modelo normalizado y sus incertidumbres expresadas como sus

errores estándar, σ(pj), y sus relativos, σ(pj)/pj, en porcentaje. También se presenta una

tabla con los parámetros del modelo primario (sin normalizar), sus errores y una

figura con la curva teórica (en línea continua) ajustada a los datos experimentales (en

puntos).

El indicador de convergencia, cuya evolución para el ejemplo anterior se dio en la

Tabla 3.3, sirve para cuantificar el grado de convergencia. Para cada ejemplo, se

especifica el número de iteraciones hasta alcanzar un determinado valor del indicador

no excesivamente pequeño. En algunos ejemplos se han obtenido resultados casi

definitivos en tan sólo cinco iteraciones (con el indicador de convergencia: -7,7.10-10)

consiguiéndose a partir de entonces variaciones residuales del error global del ajuste.

Esto da una idea de la facilidad o dificultad de la convergencia y también proporciona

más elementos de análisis y discusión, por ejemplo, cuando se pone en relación con el

grado de correlación entre parámetros.

• Célula CI2

Célula de antimoniuro de galio de estructura p (zinc) sobre n (teluro), para

aplicaciones termo-fotovoltaicas, encapsulada y con una capa antirreflectante. Área de

0,49 cm2.

Figura 3.12: Datos experimentales corriente-tensión de iluminación (célula

CI2)

0

0,003

0,006

0,009

0,012

0,015

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Cor

rien

te (A

)

Tensión (V)

Célula CI2


92

Tabla 3.12: Parámetros del modelo normalizado con sus errores (célula CI2)


0,01256 0,3068 1,64.10-2 1,76.10-2 0,712

σ (ISC)(A) σ (VOC)(V) σ (rS) σ (gP) σ (c2)

2,5.10-6 6.10-5 2,1.10-3 7.10-4 0,013

σ (ISC)/ISC % σ (VOC)/VOC% σ (rS)/rS% σ (gP)/ gP% σ (c2)/c2%

0,02 0,02 13 4,1 1,8

RMS = 4,5.10-4

Tabla 3.13: Parámetros del modelo convencional, sin normalizar, y errores (célula CI2)

RS(Ω) GP(Ω-1) I01(A) I02(A) IL(A)

0,40 7,2.10-4 2,39.10-8 2,38.10-5 1,3.10-2

ΔRS/RS(%) ΔGP/GP% ΔI01/I01(%) ΔI02/I02(%) ΔIL/IL(%)

12,9 4,1 5,3 2,0 0,024

Después de seis iteraciones el indicador de convergencia llega a –6,1.10-10.

En este ejemplo se obtienen 5 parámetros en una convergencia rápida y segura. Se

presentan en las Figuras 3.13 y 3.14 los resultados del ajuste final de la célula CI2.

Figura 3.13: Ajuste final de la célula CI2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Cor

rien

te n

orm

aliz

ado


Célula CI2


93

Figura 3.14: Error ortogonal para la solución ajustada

• Célula CI3

Célula de silicio multicristalino con contactos LGBG (laser grooved, buried grid) y

32 cm2 de área.

Figura 3.15: Datos experimentales corriente-tensión de iluminación (célula CI3)

-0,0015-0,001

-0,00050

0,00050,001

0,00150,002

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Err

orε


Célula CI2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

I (A

)

V (V)

Célula CI3


94



1,147 0,573 0 4,8. 10-2 0,245


4,6.10-3 7,7.10-3 2,7.10-2 9,3.10-3 0,103


0,40 1,34 - 19,5 42

RMS = 5,0.10-3

Tabla 3.15: Parámetros del modelo convencional sin normalizar con sus errores (célula

CI3)

RS(Ω) GP(Ω-1) I01(A) I02(A) IL(A)

0 9,6.10-2 1,9.10-10 4,3.10-6 1,147

ΔRS(Ω) ΔGP/GP% ΔI01/I01(%) ΔI02/I02(%) ΔIL /IL(%)

0,013 21 46 57 0,53

Después de dieciséis iteraciones el indicador de convergencia llega a –9,9.10-9.

En este ejemplo se obtiene, tras la primera iteración, rS negativo. Se fuerza este

parámetro al cero como se explicó en §3.4.1 y como, de modo similar, se hizo en el

primer ejemplo con gP. El sistema queda con solo 4 parámetros ajustables, aunque la

comprobación se hace en cada paso. La convergencia del sistema ha sido lenta


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Cor

rien

te n

orm

aliz

ado


Célula CI3


95

Figura 3.17: Error ortogonal para la solución ajustada

• Célula CI4

Célula de substrato de silicio Cz con estructura (n/p/p+) (P/Al).


CI4)



4,820 0,6180 1,26.10-2 1,6.10-2 0,190


2.10-3 1,2.10-4 7,4.10-4 1,1.10-3 9,5.10-3


0,043 0,02 5,9 7,1 5

RMS = 5,1.10-4

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1E

rror

ε


Célula CI3

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Cor

rien

te (A

)

Tensión (V)

Célula CI4


96

Tabla 3.17: Parámetros del modelo convencional sin normalizar y sus errores (célula

CI4)

RS(Ω) GP(Ω-1) I01(A) I02(A) IL(A)

1,62.10-3 0,125 1,6.10-10 5,9.10-6 4,821

ΔRS/RS(%) ΔGP/GP% ΔI01/I01(%) ΔI02/I02(%) ΔIL/IL(%)

5,9 7,2 1,9 5,3 0,045

Después de cuatro iteraciones el indicador de convergencia llega a –3.10-10. La

convergencia ha sido bastante rápida



• Célula CI5

Célula de silicio Cz y estructura (n/p/p+) (P/AL). Area de 4cm2. He fabricado está

célula en el Instituto de Energía Solar en el marco del laboratorio de caracterización

de células solares.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Cor

rien

te n

orm

aliz

ado


Célula CI4

-0,0015

-0,001

-0,0005

0

0,0005

0,001

0,0015

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Err

orε


Célula CI4


97


CI5)



0,1371 0,6501 0,104 0 5,9.10-2


1,6.10-4 9.10-4 4. 10-3 2,2.10-3 3,7.10-2


0,12 0,14 3,7 - 62

RMS = 3,4.10-3

Tabla 3.19: Parámetros del modelo convencional con sus errores(célula CI5)

RS(Ω) GP(Ω-1) I01(A) I02(A) IL(A)

0,49 0 1,56.10-12 2,8.10-8 0,1371

ΔRS/RS(%) ΔGP(Ω-1) ΔI01/I01(%) ΔI02/I02(%) ΔIL/IL(%)

4,0 4,7.10-4 7,7 64 0,14

Después de cinco iteraciones el indicador de convergencia llega a –8.10-10. El proceso

de convergencia ha sido rápido y seguro.

En este ejemplo se han obtenido 4 parámetros siendo Gp nulo. Se presenta el ajuste

final en la Figura 3.22 y el error ortogonal en la Figura 3.23.

0

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0 0,2 0,4 0,6

Cor

rien

te (

A)

Tensión (V)

Célula CI5


98



Se presentan en lo que sigue las matrices normalizadas en la Tabla 3.20, las matrices de

correlaciones en la Tabla 3.21 de los ejemplos así como la evolución de sus

determinantes con el fin de discutir mejor el proceso de convergencia.

También Se presentan en la Tabla 3.22 los determinantes de las matrices normalizada y

de correlación correspondientes a los pasos inicial y final del proceso iterativo de 5

parámetros. Se recuerda que en el paso inicial se toman los 4 parámetros de la fase

inicial con c2 = 0.

Y en la Tabla 3.23 las corrientes de diodo Ik = I0k (exp(VOC/mkVt)-1) en circuito abierto

y la que atraviesa la conductancia paralelo Ig = GP VOC están dadas. Se expresan también

como contribuciones porcentuales de la fotocorriente, IL, en los diferentes ejemplos.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Cor

rien

te n

orm

aliz

ado


Célula CI5

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Err

orε


Célula CI5


99

Tabla 3.20: Matrices normalizadas de los ejemplos de CI2 a CI5

ISC VOC rS gP c2

ISC 1 0,34 -0,53 -0,73 -0,59

VOC 0,34 1 -0,81 -0,56 -0,76

rS -0,53 -0,81 1 0,80 0,988

gP -0,73 -0,56 0,80 1 0,86

-0,59 -0,76 0,988 0,86 1

Matriz normalizada CI2

ISC VOC rS gP c2

ISC 1 0,36 -0,39 -0,92 -0,56

VOC 0,36 1 -0,986 -0,50 -0,85

rS -0,39 -0,986 1 0,55 0,91

gP -0,92 -0,50 0,55 1 0,76

c2 -0,56 -0,85 0,91 0,76 1


ISC VOC rS gP c2

ISC 1 0,22 -0,33 -0,79 -0,51

VOC 0,22 1 -0,86 -0,34 -0,65

rS -0,33 -0,86 1 0,51 0,87

gP -0,79 -0,34 0,51 1 0,77

c2 -0,51 -0,65 0,87 0,77 1


ISC VOC rS gP c2

ISC 1 0,20 -0,31 -0,49 0,48

VOC 0,20 1 -0,81 -0,21 -0,57

rS -0,31 -0,81 1 0,33 0,84

gP -0,49 -0,21 0,33 1 0,55

c2 0,48 -0,57 0,84 0,55 1



100

Determinantes de las diferentes matrices de los diferentes ejemplos

Tabla 3.22: Determinantes de las diferentes matrices de los diferentes ejemplos

Determinantes Matriz normalizada Matriz de correlación

CI1 inicial 0,0103 0,0150

final 0,0064 0,0105

CI2 inicial 0,00395 0,0132

final 0,000398 0,00252

CI3 inicial 1,1.10-4 1,57.10-4

final 4,3.10-5 6,79.10-5

CI4 inicial 0,00815 0,0151

final 0,00509 0,0111

CI5 inicial 0,0616 0,0910

final 0,0393 0,0668

Tabla 3.23: Componentes de corriente de las diferentes células en circuito abierto

Células I1 (A) I2(A) Ig(A) IL(A)

CI1 0,113 0,024 0 0,137

% 82,5 17,5 0

CI2 0,165 0,082 0,007 0,254

% 65 32 3

CI3 0,811 0,281 0,054 1,147

% 70,8 24,5 4,7

CI4 3,827 0,916 0,077 4,821

% 79,4 19 1,6

CI5 0,129 0,008 0 0,137

% 94,2 5,8 0

3.6.2 Discusión

El procedimiento se ha aplicado con éxito a varias características experimentales

correspondientes a células de materiales, tecnología y calidad muy dispares con


101

buenos resultados. Este éxito debe entenderse en el sentido de que ha sido posible

extraer un juego de parámetros que reproduce con razonable aproximación los

resultados de medida I-V, en toda su extensión, proporcionando además una

formulación funcional (continua) de esas características. En la mayoría de los casos la

convergencia ha sido rápida, estabilizándose el proceso tras cuatro o cinco pasos de

iteración. Es decir, en este número de pasos el error cuadrático medio se hace

prácticamente invariable y mínimo y el indicador de convergencia es del orden de, o

inferior a, 10-10.

En algunos casos, como el de la célula de silicio multicristalino con contactos LGBG

(CI3), la convergencia sólo ha sido posible tras una mejora de los datos: cuando un

grupo de datos experimentales presenta una repetición del valor de tensión o de

corriente es preferible quedarse con el promedio del grupo, evitando así dar un peso

excesivo a ese grupo en el error global del ajuste. Por otra parte, los datos deben

obtenerse en el primer cuadrante y estar repartidos a lo largo de la curva. Esta

condición deberá ser contemplada por los programas de medida automática o, en su

defecto, supervisada directamente antes de someter las medidas al proceso de ajuste.

Además de las incertidumbres de los parámetros, se puede obtener una importante

información de las matrices normalizada y de correlación que se han determinando

como se describe en §2.9.4

Los elementos de las matrices MN se miden en una misma escala de importancia y son

por ello comparables entre sí como las matrices de correlación. Esto no es posible

directamente con los elementos de M o de M-1. Los elementos de la diagonal principal

de las matrices normalizadas son todos 1 y los no diagonales, positivos o negativos, de

valor absoluto inferior a 1. Están acotados al intervalo [-1,+1] como se comprueba en

todas las matrices presentadas de los diferentes ejemplos.

Durante el proceso iterativo se puede observar como varían los determinantes de las

matrices normalizada y de correlación desde el paso inicial al paso final. Esta

evolución se ha presentado en la Tabla 3.17. Siendo siempre positivos, en todos los

casos experimentados los determinantes decrecen y se aproximan más a 0,


102

reduciéndose a veces hasta en un orden de magnitud. En el caso de CI3 los valores

son notablemente más pequeños desde el principio (del orden de 10-4 frente a otros

ejemplos con valores en torno a 10-2, lo que indica correlaciones entre parámetros

globalmente más importantes. Esto se puede relacionar también con el proceso

iterativo y su convergencia que ha sido lenta: Se han requerido 16 iteraciones frente a

4-5 de otros casos. Merece destacarse así mismo que, en todos los casos, el

determinante de la matriz de correlación ha resultado ser superior al de la matriz

normalizada (MN) en un factor de entre 1,5 y 6 veces, aproximadamente.

Algunas parejas de parámetros suelen presentar correlaciones importantes, por

ejemplo (rS y VOC), (gP e ISC ) o (rS y c2). Así, en la célula CI2 los coeficientes de

correlación entre éstas son de 0,58; 0,40 y -0,97, respectivamente pero de 0,98 0,91 y -

0,88 en CI3. Por el contrario, los coeficientes de correlación suelen ser bastante bajos

entre parámetros que tienen efecto importante en regiones distintas de la característica

I-V. Así es, por ejemplo, entre (VOC e ISC), (rS e ISC) o (gP y VOC).

Se presenta en la Figura 3.24 el coeficiente de correlación de la corriente de

cortocircuito ISC con los parámetros VOC, rS, gP, y c2 para diferentes células (en

diferentes colores).

Se puede apreciar la baja correlación existente entre la corriente de cortocircuito ISC y

la tensión de circuito abierto VOC, o con la resistencia serie rS, mientras que el

coeficiente de correlación es más alto entre los pares (ISC, gp) y (ISC, c2).

Figura 3.24: Coeficiente de correlación entre ISC y VOC, rS, gP o c2 para diferentes

células (CI1 a CI5)

-1-0,6-0,20,20,6

1

Voc rs gp c2

Parámetros P(Voc,rs,gp,c2) correlados con Isc

Coe

ficie

nte

de c

orre

laci

ón

CI1CI2CI3CI4CI5


103

Figura 3.25: Coeficiente de correlación entre gP y ISC, VOC, rS, o c2 para diferentes


En la Figura 3.25 se da el coeficiente de correlación de gP con los parámetros ISC, VOC,

rS y c2. Los pares (ISC, gP) y (c2, gP) presentan, generalmente, un valor alto del

coeficiente de correlación debido a que sus efectos son concurrentes en la misma

región de las características I-V (zonas de tensiones bajas e intermedias,

respectivamente). Esto ocurre para la mayoría de las células estudiadas.

Por el contrario, los coeficientes de correlación de los pares (gp, rs) y (gp, VOC), en

particular de este último, son usualmente más reducidos por no tener esos parámetros

su influencia primordial en la misma región.

Figura 3.26: Coeficiente de correlación entre rS y ISC, VOC, gP, o c2 para diferentes


-1

-0,6

-0,2

0,2

0,6

1

Isc Voc rs c2C

oefic

ient

e de c

orre

laci

ón

Parámetros P(Isc,Voc,rs,c2) correlados con gp

CI1

CI2

CI3

CI4

CI5

-1-0,6-0,20,20,6

1

Isc Voc gp c2

Coe

ficie

nte d

e cor

rela

ción

Parámetros P(Isc,Voc,gp,c2) correlados con rs

CI1CI2CI3CI4CI5


104

En la Figura 3.26 se da el coeficiente de correlación de rS con los parámetros ISC, VOC,

gP y c2. Los pares (rS, VOC,) y (rS, c2) presentan un alto coeficiente de correlación. Para

(rS, VOC,) debido a que los dos parámetros son relevantes en la misma región de las

características I-V. Para (rS, c2) a que c2 tiene su máximo efecto en la zona del codo

(intermedia), donde también es concurrente con los efectos de rS . Esto ocurre para la

mayoría de las células estudiadas.

Cuando el proceso de ajuste implica a cinco parámetros, como hasta aquí se ha

planteado, la matriz de covarianzas es estable y robusta y el proceso de iteración

converge a pesar de que algunos coeficientes de correlación son altos. Sin embargo,

cuando el número de parámetros aumenta, variando m1 o m2 o ambos, la matriz M del

sistema, así como la de covarianzas, tiende, con frecuencia, a tener un determinante

aproximándose a 0 y ocasionando una evolución caótica del vector incremental Δp y

del resultante vector para el término independiente T, de modo similar a como se verá

en detalle en el Capítulo 5: En lugar de una solución sucesiva y progresivamente

mejor aproximada, se desencadena un proceso oscilante y habitualmente divergente.

En el ejemplo CI5 (Tabla 3.19) se obtiene una incertidumbre relativa muy importante

(superior al 50%) para la corriente de saturación inversa de la segunda exponencial,

I02. Eso, en este caso, va unido a un reducido valor de c2 (frente a 1) y quiere decir que

la influencia de la segunda exponencial es pequeña, es decir, la solución del sistema

es casi independiente de este parámetro. Esto es lo esperable en células de silicio de

buena calidad en que la primera exponencial suele preponderar. Sin embargo, en otros

ejemplos (como CI3) se dan incertidumbres del mismo orden para ambas corrientes de

saturación, en este caso motivadas por matrices características más próximas a la

singularidad y por la existencia de varios coeficientes de correlación bastante

próximos a 1 o -1. En otros ejemplos, como CI2, se aprecia que la segunda

exponencial está determinada con menor incertidumbre que la primera, por ser

dominante, aunque, además en este caso (también en el CI4), todas las incertidumbres

son bastante reducidas.

De los parámetros extraídos y los resultados obtenidos en los diferentes ejemplos se

puede dar interpretaciones físicas sobre la calidad y la fabricación de las células


105

solares estudiadas. La normalización de parámetros permite comparar a este respecto

células de diferente área y tecnología.

Uno de los requisitos de una célula de buena calidad es que el valor de gP sea muy

pequeño (o igual a cero). Es el caso de los ejemplos CI1 y CI5 (ambos con gP =0), CI2

(gP=1,76.10-2) y CI4 (gP=1,6.10-2). Para CI3 obtenemos un valor relativamente alto

(gP=4,86.10-2). La escasez de datos experimentales (para CI4, por ejemplo) en la zona

de bajas tensiones hace difícil distinguir claramente, en un ajuste, entre las influencias

de la conductancia paralelo y de la corriente de saturación I02, pues ambas se producen

en la misma zona.

Las corrientes inversas de saturación cumplen I01<< I02 (de otra forma el primer

término no sería apreciable). Para estudiar su influencia en el comportamiento de la

célula, se han calculado y comparado en la Tabla 3.23 sus contribuciones en circuito

abierto: En todos los ejemplos tenemos igualdad entre la suma de componentes y la

fotocorriente. Las contribuciones de I1 son mayores que las de I2 en los ejemplos CI1,

CI5, como debe ocurrir en buenas células de silicio. La célula CI2 en que la

contribución de la segunda exponencial es más importante es de GaSb. Como ya se

dijo, cuanto menor es la contribución de Ig, mejor. Si gP no es muy grande, como en

los casos analizados, su valor da aproximadamente la pérdida de potencia relativa

debida a la conductancia en paralelo.

Del mismo modo, cuanto menor valor de la resistencia serie, más potencia máxima y

mejor célula. Al usar la resistencia serie normalizada se tiene una lectura directa de su

importancia. Por ejemplo, para CI1 (rS = 0,108) y CI5 (rS = 0,104) tenemos una

pérdida aproximada del 10% en la potencia máxima. Para CI2 (rS = 1,64. 10-2), CI3 (rS

= 0), CI4 (rS = 1,26. 10-2) la resistencia serie y su efecto de pérdida son notablemente

más pequeños.


106

3.7 Conclusiones

El método ilustrado nos permite extraer los parámetros físicos de curvas I-V en

iluminación de células solares y generadores fotovoltaicos, como se ha mostrado en

los diversos ejemplos de dispositivos de una gran variedad de tecnologías de

fabricación y de tamaños. De estos parámetros se puede dar interpretaciones físicas

sobre sus calidades y su fabricación. La normalización de los parámetros nos permite

hacer estas comparaciones y análisis directamente.

El método da los parámetros, sus incertidumbres y el error estándar del ajuste para

expresar la bondad del ajuste. La convergencia del sistema de ecuaciones establecido

para el conjunto de cinco parámetros que minimizan la distancia ortogonal es rápida.

La formulación aproximada utilizada evita la alta complejidad añadida, sin mejora

apreciable de la eficacia del ajuste, que tendría la búsqueda punto a punto de los

situados, con precisión, sobre direcciones ortogonales.

La expresión obtenida para la distancia ortogonal es aproximada, pero la aproximación

afecta muy poco a los resultados como se ha ilustrado en el ejemplo CI1, con tal de

utilizar la misma para todos los puntos experimentales. Así, se tiene que la distancia

ortogonal equivale a la distancia vertical ponderada con un “peso” local wi calculable

analíticamente en primera aproximación.

La resolución proporciona las matrices características, en especial la matriz de co-

varianzas, que se utilizan como fuente de información sobre el desarrollo del proceso

y sus posibles problemas de convergencia, así como sobre los errores estándar

(incertidumbres) y las correlaciones entre los parámetros.

Sobre el método hay que decir también que las posibilidades de solución y

convergencia disminuyen mucho cuando el número de parámetros aumenta. En la

práctica, esto significa que suele ser discutible pretender ajustar datos I-V de

iluminación con un número de parámetros superior a 5.

CAPÍTULO 4

CRITERIOS DE AJUSTE

Capítulo 4 Criterios de ajuste 4.1 Introducción

111

4.1. Introducción

En este capítulo se trata de describir y comparar diferentes criterios para una elección

adecuada del error de ajuste, de acuerdo con la definición del problema presentada en el

Capítulo 2. Aunque se trata de un problema muy general, se ha particularizado para el

caso de la característica I-V en iluminación de una célula con el fin de concretar, e

ilustrar mediante ejemplos, las consideraciones relevantes en su planteamiento. En esta

particularización como se comentó en los capítulos anteriores se supondrá que las

magnitudes físicas experimentales (en general, las variables x e y) son adimensionales,

están normalizadas y se designan, respectivamente, por los símbolos v e i puesto que

corresponden al voltaje y corriente de la célula.

Sea una colección de pares experimentales ve-ie, para nd pares, y un modelo teórico

ic = F(vc), donde el subíndice c recuerda que las magnitudes son calculadas. Se pretende

ajustar los resultados experimentales a esta expresión teórica, que incluye una colección

de parámetros ajustables (pj, j=1,..., Np) como se explicó en el §2.3 y §3.4.2

En general, el ajuste tendrá como objetivo la determinación del mínimo de una

desviación cuadrática media experimentos-modelo. Para ello debe definirse, en primer

lugar, cuál es la desviación individual a considerar, lo que implica establecer una

correspondencia entre puntos individuales experimentales y los puntos del modelo

calculado. Esto es lo que denominamos criterio de ajuste, La elección puede estar

relacionada con el conocimiento de las características experimentales en cuanto a la

exactitud presumida para las dos variables (i, v) que intervienen. A modo de ejemplo, en

los problemas más específicamente estadísticos, los valores concretos de la variable x

pueden estar perfectamente definidos y es la variable y la que en determinaciones

experimentales puede estar sujeta a dispersión. En nuestro caso, sin embargo, puede

decirse, en general, que tanto la determinación experimental de v como la de i están

afectadas de una cierta dispersión o error no sistemático

En primer lugar se presentan diferentes criterios de correspondencia de puntos

individuales experimental-modelo que pueden aplicarse. Se busca la función o

desviación cuadrática, que deberá hacerse mínima, y finalmente se determina mediante


112

algunos ejemplos cuál de los criterios posibles sería más apropiado, más eficaz, sobre

todo, computacionalmente.

Como se dijo, estas cuestiones se abordan en este apartado para el caso concreto de la

curva i-v de iluminación de una célula solar usando el modelo de cálculo establecido en

el Capítulo 3. Se trata en todo momento de establecer proyecciones de las conclusiones

para que tengan una validez más general.

4.2. Relaciones de correspondencia experimento-modelo y expresiones de la

desviación

4.2.1. Introducción

La desviación en corriente o en tensión son las más inmediatas y, por tanto, las más

utilizadas. Al analizarlas en detalle se aprecian posibles variantes, al mismo tiempo que

se buscan los matices diferenciales entre los posibles tratamientos y definiciones de las

desviaciones de corriente o de tensión.

Consideremos algunos de los distintos casos. Se ilustrarán gráficamente y, para aligerar

la notación, utilizaremos los siguientes convenios:

i) Un par genérico de valores experimentales se denotará v-i, su variable paramétrica

asociada v'=v±rSi, y su correspondiente par calculado, vc-ic con v'c=vc±rSic, siendo el

signo superior para el caso de iluminación y el inferior para el caso de oscuridad

ii) Se prescindirá también de la especificación de los parámetros pj en las expresiones

funcionales. Será sobreentendido un juego concreto y fijo de parámetros, antes de

proceder a analizar variaciones respecto de éstos, lo que tendría lugar sólo en el proceso

posterior de minimización de la desviación como se hizo en el capítulo anterior. Y, así,

obviaremos también los paréntesis en la especificación del valor de la variable

paramétrica (v') para el que se calcula una función, designando, por ejemplo, por F ≡

F(v') al valor calculado para v'=v±rSi y por Fc ≡ F(v'c) al calculado para v'c=vc±rSic.

Capítulo 4 Criterios de ajuste 4.2 Relaciones de correspondencia…

113

Conviene aclarar también que, generalmente, F será calculable directamente pues

depende de los valores conocidos, experimentales, v e i. Fc corresponde al punto

homólogo vc-ic cuya definición puede dar lugar a relaciones implícitas.

El objetivo será pues expresar la desviación propuesta, para cada criterio, en función del

par experimental y otros valores calculados para él: v, i, F, h, etc.

4.2.2 Desviación sólo en corriente

El primer criterio que denominaremos criterio 1, es la desviación en corriente εc1. Es

una de las desviaciones más usadas, por su expresión y cálculo directos:

iFc −=1ε (4.1)

Esta desviación no representa, como podría pretenderse, la diferencia de corrientes entre

dos puntos de la misma vertical en la representación i-v sino entre dos puntos de la

misma vertical en la representación i-v’, en la que el eje de tensiones, v’, sufre un

desplazamiento variable (rsi) respecto del eje v. En efecto, el criterio implícito de

correspondencia experimental-modelo es:

( )⎩⎨⎧

≠−===

⇒′=′viFrvv

FFivv

Sc

ccc

m (4.2)

Lo que se ilustra en la Figura 4.1 para datos en iluminación y dos casos, con i por

debajo (i<F, desviación positiva) y por encima (i>F, desviación negativa) de la curva

modelada, respectivamente. En ambos la desviación considerada es mayor que la

correspondiente en vertical.

Tesis doc

Figura

respecti

curva m

Este cr

modelad

continua

Aparent

parámet

punto e

su v'>1.

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114

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±′=′

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iente -1/rS

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c

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respecto a

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e este análi

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l criterio

(4.3)

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115

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vo respecto

do de v creci

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2) de la curv

4.2 Relaciones

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nte sólo los

uste, los a

esa como:

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pequeña o

el segundo

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de ésta qu

iente.

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va modelad

s de correspon

specto de v

(4.3) es v

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errores est

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ada, (F'), ne

negativa) y

caso εc2 es,

so εc1, sino

ue es inferio

ntos experim

da.

ndencia…

v' para el

válida si

la curva

ada en el

tándar, y

por esa

(4.4)

egativa y

y grande

en valor

que está

or a 1 y

mentales


116

4.2.3 Desviación combinada por tramos

Dado que las dos variables tienen errores experimentales, el uso exclusivo de los

criterios anteriores no se hace cargo adecuadamente de todos los aspectos del problema,

como se comentó en el Capítulo 1. En el ejemplo de la Figura 4.3 puede verse cómo la

contribución de los puntos donde la pendiente de la curva es grande dominaría el error

del ajuste si sólo se atendiera al error en corriente.

Figura 4.3 Característica teórica de una célula solar (línea gruesa) generada con el

modelo de dos exponenciales. Los puntos simulan medidas afectadas por errores con

distribuciones gausianas en voltaje y en corriente cuyas desviaciones son

proporcionales a VOC y a ISC, respectivamente. Las líneas de trazos muestran la

distancia vertical a la curva, y la línea fina es la longitud (valor absoluto) de estos

segmentos relacionada con la contribución al error para el ajuste en corriente

Así pues, en la región casi horizontal debería considerarse dominante el error de

corriente, y el de voltaje en la región de tensión elevada. Esto sugiere que se pueden

combinar los dos criterios [Hao03], [Hao04] dividiendo la característica en dos o más

tramos, en cada uno de los cuales se adopta una desviación distinta como ilustra la

Figura 4.4.

Varias consideraciones son necesarias para el uso de criterios mixtos. En primer lugar,

sólo pueden plantearse si se utilizan variables adimensionales, pues al construir el error

global deben agregarse magnitudes homogéneas. Otro requisito es que los resultados de

I/Isc, εi

V/Voc

Ca

es

de

La

ho

di

F

l

r

La

ca

en

tra

la

de

an

co

pa

di

ex

apítulo 4 Crite

stos método

ependientes

a combinac

orizontal, p

istancia orto

Figura 4.4

la recta ob

respecto de

a combinac

aracterística

n dos octant

amo en que

as desviacio

esviaciones

nteriores a

ontinuación

aralelo del

istinción ad

xpresiones d

erios de ajuste

os (los valo

s de la elecc

ción de crit

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ogonal que,

Representa

blicua, se m

la curva en

ción de tra

as I-V en ilu

tes iguales s

e i ≥ v, se ut

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para el ca

caso de o

icional: la c

del criterio 3

e

ores de los

ción de los tr

erios de for

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como verem

ación análog

muestra la

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uminación)

separados p

tilizarían la

nsión. Por o

ser cohere

ones, que l

aso de ilum

oscuridad p

consideració

3 como:

117

parámetros

ramos

rmulación s

proximación

mos, es el m

ga a la de la

desviación

vertical.

simple (y

sería la resu

por la recta

as desviacio

otro lado, l

entes. Esto

lamaremos

minación (n

porque, en

ón logarítm

4

s que se rec

sencilla, co

n de imple

más indicado

a Figura 4.3

n horizonta

también m

ultante de la

i = v en co

ones de corr

los criterios

limitaría l

criterio 3

no continua

éste, habit

mica del eje d

4.2 Relaciones

cuperen) no

omo los de

ementación

o en la may

3, salvo en q

al de punto

más razonab

a división d

ordenadas n

riente y en e

s a utilizar

la casuístic

y criterio 4

amos el trat

tualmente,

de corriente

s de correspon

o deberían

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fácil al cri

yoría de los

que, por deb

os experim

ble, al men

del primer cu

normalizada

el tramo do

r para unas

ca derivada

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tamiento si

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es). Se prese

ndencia…

ser muy

vertical y

iterio de

casos.

bajo de

mentales

nos para

uadrante

as. En el

onde i≤v,

u otras

a de las

sumen a

imbólico

irse una

entan las


118

( ) ( )⎩⎨⎧

−−=−⇒−−=−=−⇒==

⇒′=′iFrvviFrvv

iFiiFFivv

ScSc

cccc

(4.5.a)

Sus desviaciones relativos son:

viiFrviiF

Svc

ic

≤−−=

>−=

para ) ( para

,3

,3

εε

(4.5.b)

Por el criterio 4 se tiene:

( )( )⎩

⎨⎧

′−−≅=≤

′−+≅==>FiFvviivi

FiirFFivvvi

cc

cSccc

;:para;:para

(4.6.a)

Y sus desviaciones:

viF

iF

viF-ri F

vc

Sic

≤′−

−=

>′

−=

para

para 1

,4

,4

ε

ε

(4.6.b)

4.2.4 Distancia sobre la normal a la curva modelo

El caso de la distancia ortogonal se presentó con detalle en el §2.3.1 y se particularizó

en §3.3 para el caso de iluminación.

La elección del criterio podría estar simplemente fundada en la comodidad de desarrollo

y cálculo de las expresiones resultantes en uno u otro caso. Como se verá a continuación

no hay diferencias sustanciales en este sentido, ni grandes diferencias en resultados

prácticos, por lo que este último criterio debería ser considerado el más eficaz desde

cualquier punto de vista, incluido el de su generalización a otros tipos de datos y

modelos.

Capítulo 4 Criterios de ajuste 4.3 Ejemplo de resultados…

119

4.3. Ejemplo de resultados con distintos criterios de ajuste

Se utiliza el modelo normalizado (3.14) de dos exponenciales de la curva I-V de

iluminación para extraer los parámetros normalizados definidos en (3.7). Para las

desviaciones sólo en corriente y el ajuste por tramos cerca del cortocircuito se usa la

expresión εC1 (4.1), mientras que la expresión εC3 (4.5b) se usa en el ajuste por tramos

cerca del circuito abierto. El método de cálculo desarrollado en el Capítulo 3 ha sido

usado para la expresión de la distancia ortogonal εO (3.19). Para la distancia vertical

hemos utilizado el esquema de cálculo de la distancia ortogonal pero poniendo el peso

wi correspondiente a cada punto en la expresión del error (3.19) igual a 1, en lugar de

ser variable y dependiente de la derivada de la función como en la distancia ortogonal.

Así, las expresiones de las derivadas se simplifican. Por último, para el caso por tramos

se ha usado la primera bisectriz (i = v) como la frontera de los dos tramos en cada uno

de los cuales la desviación se calcula con las expresiones ya citadas.

Se han implementado los ajustes con los criterios de: corriente, combinado por tramos y

de distancia ortogonal mediante hojas de cálculo Excel y se han aplicado a uno de los

ejemplos ya presentado: el ejemplo de la célula denominada CI1 de la curva I-V de

iluminación

Las diferencias, comentadas con anterioridad, entre los resultados obtenidos con los

diferentes criterios se exponen a continuación.

4.3.1 Resultados

En la Figura 4.5 trasladada aquí por comodidad se presentaron los puntos i-v

experimentales medidos en iluminación para la célula solar CI1 presentada como

Ejemplo 1 en el Capítulo 3.


120

Figura 4.5 Datos experimentales corriente-tensión de iluminación (célula CI1)

Se recogen en la Tabla 4.1 los parámetros y errores estándar del ajuste obtenidos con los

diferentes criterios utilizados, y en la Tabla 4.2 los errores relativos de los parámetros

extraídos como se definió en §2.10 (ver también Anejo3). En el caso de la distancia

vertical se ha necesitado 8 iteraciones (indicador de convergencia ha variado de -1,33 a

-1,32.10-10), por tramos se han requerido menos de 10 iteraciones hasta conseguir la

convergencia del proceso (indicador de convergencia varia de -0,12 a -6.10-10). Por el

caso de la distancia ortogonal eran 13 iteraciones como se presento el §3.5.1

Tabla 4.1. Parámetros obtenidos con distintos criterios (célula CI1)

Criterio ISC (A) VOC (V) rS c2 RMS

Vertical 0,1382 0,6153 0,1151 0,4277 1,97.10-2

Tramos 0,1373 0,6160 0,1340 0,1764 7.10-3

Ortogonal 0,1373 0,6162 0,1319 0,1790 4,1.10-3

Con todos los criterios gp se ha obtenido el valor 0

Célula CI1

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Tensión (V)

Cor

rien

te (A

)

Ca

C

σ(

Pa

fís

co

La

ap

En

só

apítulo 4 Crite

Cr

Ve

Tr

Or

on σ(gP)= 1

σ(gP)=7,6.10

ara esta célu

sicas, ya qu

omo se expl

as siguient

plicación de

n la Figura

ólo en corrie

Figura 4.6

cerca del c

erios de ajuste

Tab

riterio

ertical

ramos

rtogonal

1,3.10-2 en e

0-3 para dist

ula, y con l

ue el ajuste

licó en el §3

es figuras

e los diferen

4. 6 se pre

ente, y en la

6: Desviació

ircuito abie

e

bla 4.2. Err

σ(ISC)/ISC

0,62

0,39

0,23

el criterio p

ancia norm

los criterios

matemátic

3.5.1

recogen la

ntes criterios

esenta la de

a Figura 4.8

ón por tram

erto.

121

rores relativ

% σ(VOC)/

0,0

0,3

0,1

por tramos,

al.

s vistos, el v

o tiende a d

as desviacio

s de ajuste.

esviación p

8 la distancia

mos: en corr

os de cada p

/VOC% σ(

06

31

17

σ(gP)= 3,0

valor de gp

dar un valo

ones para

or tramos,

a ortogonal

iente cerca

4.3 Ej

parámetro

rS)/rS% σ(

4,99

7,79

4,4 34

1.10-2 para

se fija a 0 p

or negativo

cada punto

en la Figur

.

del cortocir

jemplo de resu

(c2)/c2%

22,45

59,41

4,90

distancia v

por conside

en todos lo

o obtenidas

ra 4.7 la de

rcuito y en

ultados…

vertical y

eraciones

os casos,

s tras la

esviación

tensión

Tesis doc

Figur

exper

4.3.2 Co

Según

corrient

F’ es, e

estándar

así, una

En cam

zona de

ctoral: Nuevos

ra 4.7. D

rimentales.

omentarios

la Figura 4

te, el proces

en valor ab

r del ajuste

a sobreestim

mbio, se obs

e tensiones

s procedimien

Desviación

Fi

4.7 se pue

so da lugar

bsoluto, mu

y puede ori

mación del er

erva en las

altas, tend

ntos de análisi

sólo en

igura 4.8. D

de interpre

a valores m

uy elevado.

iginar el fra

rror estánda

Figuras 4.6

ería a hace

is de los datos

122

corriente

Desviación o

etar que en

muy grandes

. Esto prod

acaso de la c

ar del ajuste

6 y 4.8 que

erse importa

s corriente-ten

en todo e

ortogonal.

n el caso d

s del error e

duce una so

convergenci

e, y de los p

e cuando el

ante, las am

nsión de…

el conjunt

de desviaci

en algunos

obreestimac

ia y, no obs

arámetros.

error de co

mplitudes d

o de dato

ones sólo

puntos don

ción del err

stante, si no

orriente, en

de la curva

os

en

nde

ror

es

la

se

Capítulo 4 Criterios de ajuste 4.3 Ejemplo de resultados…

123

suavizan de nuevo los criterios por tramos u ortogonal lo mantienen dentro de límites

más razonables.

En el caso de ajuste por tramos, para la zona en que la desviación en corriente se hace

demasiado grande se utiliza la desviación en voltaje, que conduce a una medida más

razonable del error estándar y permite alcanzar sin problemas la convergencia.

Se aproxima así al último caso, desviación ortogonal, para el que se observa una

distribución equitativa del error que, además, produce un buen desarrollo del proceso de

convergencia.

El error del ajuste, RMS, es más elevado para la desviación vertical (2.10-2); cuando

medimos la desviación por tramos es algo menor (6,9. 10-3) y mejora aún más cuando el

error es ortogonal (4,1. 10-3). Esto apunta a que el criterio de mínima distancia ortogonal

es preferible.

En la Tabla 4.2 se compararon los diferentes parámetros obtenidos con los 3 criterios

estudiados. ISC y VOC son del mismo orden en los tres casos. Se constata que el valor de

rS es más bajo en el caso de la distancia vertical. Por el contrario, el valor de c2 en el

caso vertical es aproximadamente el doble que en los casos de la distancia ortogonal y

por tramos, para los que está en un mismo rango. Se puede deducir entonces que el

parámetro c2 es menos preciso en el ajuste por tramos visto que se obtiene en la frontera

entre las dos regiones y el error estándar de c2 en este caso es grande (σ(c2)=0,105)

respeto a su error estándar en el caso de la distancia ortogonal ((σ(c2)=0,063). El valor

del error es aun mas alto cuando la distancia es vertical (σ(c2)=0,144) por la zona del

codo donde entra la influencia del error de la zona de tensiones altas. Por último, el

parámetro gP es nulo pero se puede medir su error estándar. Se ve que gP es más preciso

en el caso de la distancia ortogonal.

Según estos resultados el método ortogonal es también el más fiable porque conduce a

un conjunto de parámetros con menor incertidumbre.


124

4.4. Conclusiones

En este capítulo se han presentado diferentes criterios para calcular la desviación ε. Se

destacan los criterios que más se utilizan en los procesos de ajuste de características I-V.

Asimismo, se han proporcionado expresiones matemáticas para los diferentes criterios

(sólo aproximadas en algunos casos) que pueden simplificar mucho los cálculos.

El más usado es el criterio de corriente o distancia vertical, porque la expresión del

modelo es casi explícita en la corriente. Se presentan también la distancia combinada,

concebido como una aproximación al de distancia ortogonal que maneja expresiones

menos complicadas. El criterio de la distancia ortogonal se presenta brevemente por

haber sido tratado con detalle en el Capítulo 2 y 3.

Con el ejemplo de la característica I-V de iluminación de una célula solar, se hace una

comparación del error estándar de ajuste en tres casos: la distancia vertical, combinada

o por tramos y ortogonal.

Se ha tratado de investigar sistemáticamente sus propiedades, comparando los

resultados con ellos obtenidos, de forma que puedan orientar la elección del criterio en

su momento.

La distancia ortogonal a la curva modelo, no teniendo especiales dificultades de

aplicación tras las aproximaciones introducidas, es el más apropiado por conducir a un

ajuste con menor error y a valores de los parámetros más precisos.

CAPÍTULO 5

AJUSTE DE CURVAS I-V EN OSCURIDAD

Capítulo 5 Ajuste de curvas I-V en oscuridad 5.1 Introducción

125

5.1. Introducción

En oscuridad, la característica I-V de la célula solar, según el modelo de dos

exponenciales, se escribe:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−= 1exp1exp)(

101

202

t

S

t

SPS Vm

IRVI

VmIRV

IGIRVI (5.1)

Y una célula solar en oscuridad, se representa por el circuito equivalente de la Figura

5.1. Se indica en el circuito el nuevo convenio de signos utilizado para la corriente y la

tensión del dispositivo que justifican que ahora v’ sea v-irs en vez de v+irs como en

iluminación.

Figura 5.1: Modelo eléctrico de una célula solar en oscuridad

Debido fundamentalmente a que el orden de magnitud de las corrientes varía

notablemente y a que las distintas componentes de corriente no están enmascaradas por

otra mayor (como la fotocorriente en el caso de iluminación), el ajuste de la

característica de oscuridad presenta peculiaridades diferenciadas del ajuste de la

característica de iluminación [Ara86], [Nie82]. Son diferentes (más difíciles, como se

verá) los problemas matemáticos planteados y las estrategias para resolverlos. Sin

embargo, el marco conceptual presentado en capítulos anteriores es plenamente

aplicable aquí.

Al abordar este caso se utilizó en un principio, como en el de iluminación, un

procedimiento de ajuste por tramos y se aplicó con éxito a varias características

experimentales. Pero, en conjunto, los resultados distaron mucho de ser satisfactorios:

Con frecuencia el proceso iterativo no convergía y el error cuadrático ε2, cuyo mínimo

se buscaba, oscilaba. Otra desventaja residía en la arbitrariedad en la definición de las

I

I01m1

I02m2

GP

RS

V

I

I01m1

I02m2

GP

RS

V


126

diferentes zonas, para la estimación de parámetros iniciales, problema no trivial y de

difícil automatización, y al cual el método se mostró bastante sensible.

Para mejorar el procedimiento se ha buscado, también, el ajuste por mínima distancia

cuadrática media ortogonal a toda la característica I-V. El método desarrollado para el

caso de iluminación requiere algunas adaptaciones para ser aplicado a datos de

oscuridad.

Según el tipo de datos disponibles, el modelo se ajustará para una representación lineal

o, preferentemente, logarítmica. Esto está relacionado con el número de parámetros que

pueden ajustarse y condicionado por la cantidad y calidad de los datos.

Aunque los datos de corriente cubran varios órdenes de magnitud, si se representan en

una escala única (lineal) no podrán extraerse todos los parámetros. Esto sólo será

posible con suficientes garantías de confiabilidad si las medidas de corriente se

desarrollan a lo largo de varios órdenes de magnitud y si, además, se representan en

forma apropiada para que destaquen efectos distintos. Ésta es la justificación del uso de

la expresión logarítmica de la característica para medidas de oscuridad. También es ésta

su ventaja: proporciona más información fiable sobre los rangos de baja tensión y muy

baja corriente. En iluminación, esa información se esconde bajo la incertidumbre

experimental de las pequeñas diferencias entre corrientes elevadas muy próximas a la

corriente de cortocircuito.

En torno a estas ideas se desarrolla el procedimiento, que se describe como un método

iterativo de resolución del sistema de ecuaciones cuya matriz característica es

(transformada de) la matriz de covarianzas llamada también matriz de error. Se

comienza con la deducción de las expresiones del ajuste cuando la escala de corriente es

logarítmica, forma preferida para la curva de oscuridad. También se consideran dos

formas alternativas de deducir parámetros iniciales suficientemente aproximados. El

procedimiento de ajuste global con muchos parámetros, en problemas no lineales, es

decir, cuando la matriz de error es variable (dinámica) y dependiente de los propios

parámetros que se pretenden determinar, suele ser esencialmente caótico, salvo quizá

cuando el conjunto de valores iniciales está muy próximo a la solución final. En estos

casos de convergencia insegura del sistema, la matriz es casi singular (determinante

próximo a cero) por la elevada correlación entre algunos parámetros. También, en estos

Capítulo 5 Ajuste de curvas I-V en oscuridad 5.1 Introducción

127

casos, las (co)varianzas de los parámetros suelen ser elevadas. Estos comportamientos

se ilustran con ejemplos, en los que también se muestra cómo el ajuste está

condicionado por la cantidad y calidad de los datos experimentales y se proponen

soluciones a los problemas de convergencia.

5.2 Modelo normalizado de dos exponenciales

El modelo original se expresa como en (5.1) y contiene hasta seis parámetros. Los

coeficientes de idealidad m1 y m2 pueden considerarse preestablecidos o no.

Dependiendo de si se consideran las dos exponenciales o una sola, y de si se ajustan los

valores de m1 y m2 o no, se tiene un modelo de 3, 4, 5 ó 6 parámetros. Parte del trabajo

desarrollado se ha encaminado a dilucidar los conjuntos de parámetros significativos

que pueden ser extraídos de un conjunto dado de puntos experimentales.

En el caso de oscuridad, aparentemente, no hay magnitudes características de corriente

y tensión para normalizar respecto de ellas, como en el caso de iluminación. Sin

embargo, para poder hablar de distancia entre puntos hay que trabajar con ejes

cartesianos sin dimensiones. En la práctica este proceso de normalización es similar al

que se realiza automáticamente cuando se trata de representar gráficamente una

función: se eligen escalas de corriente I y de voltaje V que optimicen la visualización de

los detalles de forma que la relación de aspecto de la representación sea equilibrada.

Esto significa elegir, con algún grado de libertad, valores máximos representables de la

corriente I, sea IM, y de la tensión V, sea VM. Los valores elegidos serán algo superiores

a los extremos experimentales pero, en su escritura, tienen un mínimo razonable de

cifras significativas. Por ejemplo, si el punto experimental más alto es V=0,883V, e

I=1,58 A, no tiene mucho sentido tomar los propios valores máximos como fondo de

escala, aunque matemáticamente sea irrelevante. Quizá, VM = 0,9 V e IM = 1,6 A o

cualquier otro par similar.

Definidos VM e IM para cada caso particular no habrá, en este caso, y a diferencia del

caso de iluminación, ninguna condición, sesgos físicos ni interrelación que deban

cumplir los parámetros normalizados salvo la de ser todos ellos no negativos.


128

Para manejar variables y parámetros de cálculo que no tengan grandes variaciones en

órdenes de magnitud, y sólo por esta razón, conviene definir:

( )

202

2101

1

2

11

22

11

exp;exp

;

1;

;;

kIIck

IIc

mmk

VmVk

VmVk

IVG

VIRg

VIRr

irvV

IRVvVVv

IIi

MM

t

M

t

M

M

MP

MMPP

M

MSS

SM

S

MM

==

===

===

−=−

=′==

(5.2)

Para el modelo normalizado en el caso de oscuridad, de modo similar al de iluminación,

§3.5, se obtiene entonces:

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] vgkvkckvkci

vFi

P ′+−−′−−+−−′−−=

′=

222111 exp)1exp(exp)1exp(

(5.3)

Lo que representa una expresión con sus cuatro parámetros normalizados c1, c2, rS y gP

en lugar de I01, I02, RS y RP (ó GP = 1/RP) si se prefijan m1 y m2. Si se prefiere un modelo

más general (con más parámetros) se usarán adicionalmente k1 y/o k2.

5.3. El criterio ortogonal en representación logarítmico-lineal

En el caso de curvas I-V de oscuridad es más habitual, y aconsejable, la representación

semilogarítmica (lineal en x – V -, logarítmica en y – I -, siempre con variables y ejes

normalizados). Esto es así porque la corriente de oscuridad varía, aproximadamente, de

forma exponencial con el voltaje. Durante la medida, esto se traduce en que los valores

de voltaje están tomados básicamente en una escala lineal, definida por el máximo

voltaje a medir, mientras que los de corriente recorren varias escalas con errores

absolutos variables. Así, es el logaritmo de la corriente quien puede suponerse afectado

por una distribución normal de errores, más que la corriente en sí. Y es el ajuste por

mínimos cuadrados en esta representación logarítmico-lineal el que deberá proporcionar

el significado estadístico adecuado de los parámetros extraídos [Pre92]

Capítulo 5 Ajuste de curvas I-V en oscuridad 5.3 El criterio ortogonal en representación…

129

Como el concepto del ajuste tomando como criterio la mínima distancia ortogonal se ha

detallado anteriormente en § 3.3 (caso de iluminación) y en §2.3.1, se aplican aquellas

expresiones a este caso de oscuridad que aquí tratamos.

Son necesarios algunos cambios respecto de las expresiones utilizadas en el caso de

iluminación, ya que:

-En la representación gráfica, los datos experimentales de corriente (o los valores de la

función genérica del modelo) deben escalarse logarítmicamente (ye ∝ lnie, yc ∝ lnFc

respectivamente) en tanto que los de tensión se mantienen en escala lineal (xe ∝ ve, xc ∝

vc).

-La configuración euclidiana del plano de representación, que implica la normalización

de los ejes x e y para obtener un área gráfica cuadrada de lado unidad, se logra mediante

la transformación de datos y valores calculados de corriente en la forma:

min,max,

min,

min,max,

min,

min,max,

min,

lnlnlnln

;lnln

lnlnlnln

lnln

ee

ecc

ee

ee

ee

eee ii

iFy

IIII

iiii

y−

−=

−−

=−

−=

(5.4a)

Y los de tensión, como en el caso de iluminación, en la forma:

max,max,

;e

cc

e

ee V

VxV

Vx == (5.4b)

de modo que los rangos de valores experimentales sobre ambas ordenadas varían entre 0

y 1. Ver ilustración en la Figura 5.2

Tesis do

Figur

punto

repre

La relac

define l

Capítulo

criterio

Capítulo

La apro

caracter

caso de

octoral: Nue

ra 5.2. Ilus

os experime

esentación g

ción fundam

la distancia

o 2 (y en la

de la míni

o 4.

oximación

rística I-V, ε

iluminación

evos proced

tración esqu

entales (e)

gráfica semi

mental es l

a entre pun

a Figura 5.3

ma distanc

a la desvi

εO (2.5) – d

n (expresión

dimientos d

uemática de

a sus corr

-logarítmic

la expresión

ntos corresp

3 adaptada

ia ortogona

ación ortog

definida en

n (3.19)) y

de análisis d

130

e las distanc

respondient

a y normali

n de la pen

pondientes,

al caso de

al cuadrátic

gonal del p

§2.3.1 – s

en el caso d

de los datos

cias ortogon

tes sobre la

izada.

ndiente de

representad

la curva I-V

a por los m

punto expe

e calcula de

de oscuridad

corriente-t

nales de un

a curva mo

la recta sob

da en la F

V oscuridad

motivos exp

erimental re

e manera d

d (ver Figur

tensión de…

conjunto d

odelo (c) e

bre la que

igura 2.2 d

d). Se elige

plicados en

especto de

diferente en

ra 5.3).

…

de

en

se

del

el

el

la

el

Ca

En

co

Se

Es

apítulo 5 Ajus

Figura 5.

oscuridad

n éste, se

ontinuación

e calculan la

=tanα

s decir:

ste de curvas I

.3. Ilustrac

en represen

calcula co

en (5.5a):

as tangentes

tan =εε

β

vF

ii

c

c

e

e⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dd:con

ln

1

min,

max,

I-V en oscurid

ción esquem

ntación gráfi

omo sigue.

εε = yO

s:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=xy

x

ε

ε

εε

vv

vF

vF

c

c

c

c

c

′=

=

dd

dd

lndlnd

dad

131

mática de

fica semi-log

. Tomando

αβα

2tg1 tgtg1

+

−

(lnln

ma,

=−

=

=′ vvec

e

cy

vviF

c

ε

vF

vv

Fii

c

c

c

e

e

⎜⎜⎝

⎛′

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1dd

1

n

1

min,

max,

5.3 El cr

la distanci

garítmica y

o la expres

αβ

)(

ln

min,ax

−

−

′ ecsv

e

e

iFri

i

e

vFr

vF

c

cs

c

c

c

=⎟⎟⎠

⎞−

dd

dd

iterio ortogon

ia ortogona

normalizad

sión (2.5)

)e

vFr

vFc

s

c

′+

′=

dd1

dd

nal en represen

al en el c

da.

de εO, rep

(5

(5

ntación…

aso

petida a

5.5a)

5.5b)


132

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′

′+′

=

−≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=−=−

≅−−

⋅=

<<−

vFF

FrF

Fii

FiF

FiF

FFFi

FiiF

ii

FriF

iFrii

c

sc

e

e

c

ec

FiFc

ec

c

cce

c

eec

e

ecs

ec

ecs

e

e

cec

ddcon

11

ln

1tg

1lnlnlnlnln

porque ln)ln(ln

)(lntg

min,

max,

min,

max,

min,

max,

α

β

(5.6)

Reemplazadas en (5.5a) tendremos la expresión de εO. Suprimiendo, por innecesario

ahora, el subíndice c y abreviando con un símbolo específico (Ln) la longitud de

normalización para el eje gráfico vertical, tendremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )iFwFFLFr

iFF

nS

O lnln1

lnln222

−⋅≡′+′+

−=ε

con

( ) ( ) 222min

max

)'(1

1ylnFFLFr

wiiL

nse

en

+′+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

(5.7)

siendo w el peso local (el denominador es en todo punto ≥ 1, por lo que w ≤ 1) como se

explicó en §3.6.

5.4 Desarrollo del procedimiento de ajuste

Un proceso sistemático ha sido definido en el caso de oscuridad. El sistema de

ecuaciones, no-lineal, se resuelve mediante un proceso iterativo de sistemas lineales

aproximados. Para extraer los parámetros, el proceso debe ser convergente y el error

estándar del ajuste (RMS= 2Oε ) llegar a su mínimo, de la manera más rápida y segura

posible. Pero la matriz dinámica, definida en (2.10a), en muchos de los casos

experimentados, evoluciona hasta ser casi-singular y el proceso iterativo no converge,

tornándose caótico.

Capítulo 5 Ajuste de curvas I-V en oscuridad … 5.4 Desarrollo del procedimiento de ajuste

133

Con la sistematización del proceso se puede ir con cierta seguridad a un número

razonable de parámetros, compatible con el conjunto de datos.

Se utiliza el modelo básico normalizado (5.3). Se ha desarrollado el proceso en una hoja

de cálculo (Excel) como sigue:

• En la primera fase se considera sólo un término exponencial, quedando cuatro

parámetros. Se obtienen unos valores iniciales (rs0, k10, c10 y gp0) mediante

ajustes parciales de las zonas de altas (rs0, k10, c10) y bajas (gp0) tensiones,

respectivamente.

• Con estos parámetros se inicia la segunda fase, un proceso iterativo de ajuste

global (del conjunto completo de datos) con cuatro parámetros. Se obtienen los

valores (rs, k1, c1 y gp).

• En la tercera fase se introduce la segunda exponencial en el modelo. Los dos

parámetros que se añaden al conjunto anterior serían por tanto (c2, k2). Sin

embargo es conveniente comenzar fijando k2 o ligándolo al valor de k1

(típicamente a un valor mitad de k1, es decir m2 doble de m1) realizándose el

proceso iterativo de ajuste con cinco parámetros. Si en la primera iteración c2

resulta negativo, se interpreta que no hay lugar para una segunda exponencial

físicamente coherente con los datos y el procedimiento se da por finalizado con

el conjunto de cuatro parámetros y una exponencial obtenido en la segunda fase.

Si c2 es positivo se completa el proceso iterativo de ajuste con cinco parámetros

y dos exponenciales ligadas por la relación preestablecida entre sus coeficientes

característicos.

• El último paso consiste en ajustar con seis parámetros, buscando variaciones del

sexto (k2) desligándolo de k1. Este es el paso que con mayor frecuencia falla por

problemas de convergencia. En cuyo caso se estudia la correlación entre los

parámetros para intentar averiguar las razones y sortear el problema con alguno

de los procedimientos indicados a continuación en los ejemplos prácticos.


134

En todas las fases del proceso la información que nos aporta la matriz normalizada y la

matriz inversa es importante para establecer las incertidumbres (errores estándar) de los

parámetros y para el cálculo de la matriz de correlación.

5.4.1. Expresiones para el ajuste inicial

Se propone un método para definir un conjunto de valores iniciales de parámetros

mediante ajustes lineales de subconjuntos de datos en las zonas de altas y bajas

tensiones. De cada zona se extraen valores de los parámetros más influyentes. A

continuación se explican con más detalle los procedimientos.

No considerar la segunda exponencial significa que c2 en (5.3) se hace nulo con k2

indeterminado. Se considera entonces la función modelo siguiente:

( ) ( )[ ] ( ) vgkvkciF P ′+−−′−−=≅ 111 exp1exp (5.8)

Para la zona de tensiones altas (v’ más próximo a 1 que a 0) los efectos dominantes son

el de resistencia serie (rS) y la recombinación de primera exponencial (c1, k1). Además,

la exponencial de exponente –k1 será despreciable frente a la de exponente - k1(1-v’). Se

aproxima el modelo (5.3) o (5.8) a:

( )[ ]vkcF ′−−≅ 1exp 11 (5.9a)

En forma logarítmica y explicitando la variable v’ [ver primeras de (5.2) y (5.3)] será:

( ) irkvkcF S111 1lnln −−−≅ (5.9b)

Esta expresión (5.9b) puede servir para determinar lnc1 y rS, con k1 prefijado, pero

también para determinar k1 si no se quiere prefijar. En principio, se debería optar casi

siempre por esta segunda opción. Con ello, del ajuste parcial de la zona de altas

tensiones pueden obtenerse tres de los parámetros iniciales: c10, k10 y rs0.

Capítulo 5 Ajuste de curvas I-V en oscuridad … 5.4 Desarrollo del procedimiento de ajuste

135

En la segunda región, que corresponde a las tensiones bajas (muy próximas a 0), se hace

un ajuste con un modelo básico lineal del que se determina únicamente gP.

Despreciando en (5.8) los términos exponenciales queda, para i y v próximas a 0:

vgvgi pp ≅′≅ (5.10)

Obteniéndose así el cuarto de los parámetros iniciales (gp0). En la práctica, gpv’ es la

diferencia entre la corriente normalizada y el término exponencial en (5.8), que puede

calcularse usando los resultados del ajuste de la primera zona. Así, es más bien esa

diferencia la que se ajusta a la recta gpv, pudiéndose además apreciar el rango máximo

al que puede extenderse este ajuste parcial.

Se completa así la obtención del juego inicial de cuatro parámetros normalizados (c10,

k10, rS0, y gp0)

5.4.2 Expresiones para el ajuste por mínima distancia ortogonal. Proceso iterativo.

Tras definir los parámetros iniciales (rS0, c10, k10 y gp0) en la primera fase, se inicia el

proceso iterativo. En las siguientes fases se trabaja con todos los datos experimentales y

se utiliza el modelo normalizado (5.3). En la segunda fase, el ajuste se hace con el

modelo reducido a la parte lineal y la primera exponencial (5.8) y se trata de refinar los

mismos 4 parámetros del conjunto inicial. La matriz del sistema será de dimensiones

4×4.

El sistema de ecuaciones linealizado, para cada paso de la iteración, es similar al que se

usó en el caso de iluminación en §3.4.2 y se desarrolló también en §2.5:

TMpTpM 1−=Δ⇒=Δ (5.11)

Donde:

j

OOj

j

O

l

Ojl p

Tpp

M∂∂

−=∂∂

∂∂

=εεεε ; (5.12)

Los elementos de la matriz, M, y del vector término independiente, T, del sistema (5.11)

están formados por los valores medios de los productos indicados (o sumas de


136

productos, extendidas a todos los puntos experimentales, divididas por el número de

estos). Las derivadas se calculan en el Anejo2, para cada par (I-V) del conjunto de

datos.

El proceso iterativo suele converger rápidamente y se obtienen los cuatro parámetros

refinados ( PS grkc y;; 11 ) junto con sus indicadores estadísticos deducidos de la matriz

inversa M-1.

La tercera fase comienza, como se ha dicho, con la introducción de la segunda

exponencial condicionada a una ligadura de k2 con k1: k2= k1/2 de modo que sólo c2 es

variable independiente. Queda, pues, el modelo con cinco parámetros ( PS grkc ;;; 11 y

c2). Los valores iniciales serán los obtenidos del ajuste con cuatro parámetros y un valor

inicial 0 para c2. Si después de la primera iteración c2<0, la célula solar estará bien

representada con el modelo de una exponencial. Si c2>0 continuamos el proceso

iterativo y buscamos la convergencia del sistema matricial 5×5 para extraer los cinco

parámetros. Se procede como en la segunda fase, buscando el mínimo de la suma

cuadrática de los errores dados en (5.7). Tras obtener los cinco parámetros, se admite la variación independiente de k2 de forma

que el sistema constará ahora de seis ecuaciones (matriz 6×6). Esta última fase tomará

como valores iniciales los resultantes de la fase precedente ( PS grkc ;;; 11 y c2) y el

valor inicial de k2= k1/2.

Cuando el número de parámetros es de cinco o más la convergencia del sistema

matricial dinámico suele presentar dificultades. En los ejemplos que siguen, se estudian

las soluciones que pueden adoptarse y se comentan los resultados. Para ello, se

utilizarán las herramientas matemáticas presentadas en el segundo capítulo.

5.5. Ejemplo de ajuste. Aplicación del método iterativo

Célula CO1

En este apartado se ilustra el método establecido de extracción de parámetros con un

conjunto de datos I-V de oscuridad. Se trata de los medidos para la célula solar llamada

Capítulo 5 Ajuste de curvas I-V en oscuridad … 5.6 Otros Resultados y Ejemplos

137

CO1. Es una célula de silicio, de área 4 cm2, tipo n/p, fabricada en el Instituto de

Energía Solar (es similar al dispositivo CI1, estudiado en el Capítulo 3, pero no

exactamente el mismo). Los datos experimentales se presentan en la Figura 5.4

Figura 5. 4: Datos experimentales I-V en oscuridad en representación semi-

logarítmica (Célula CO1)

Se obtienen los datos normalizados i y v mediante los valores máximos, para la

representación gráfica, de la corriente IM = 0,75 A y de la tensión VM = 0,99 V. Como se

trabaja, en el caso de oscuridad, con representaciones semi-logarítmicas, se toma

además lni-lnimin en lugar de i para el eje vertical (y) y se normaliza el eje con Ln= 13,5,

de forma que el rango gráfico de la ordenada también es unitario (de 0 a 1). Cuando sea

necesario deducir los valores de los coeficientes de idealidad m1 y m2 se considerará

Vt = 0,02586 V por las condiciones de temperatura de trabajo (300 K).

Se recogen los resultados del ajuste inicial en la Tabla 5.1 y en la Figura 5.5.

Tabla 5.1. Parámetros iniciales normalizados. Célula CO1

rS0 gp0 c10 k10

0,146 3,6.10-5 26,5 22,4

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Cor

rien

te (A

)

Tensión (V)

Célula CO1


138

Figura 5.5: Ajuste inicial de los datos experimentales (célula CO1)

En la segunda fase del proceso se utilizan todos los datos experimentales. Con el

conjunto de parámetros iniciales de la Tabla 5.1 se inicia el proceso iterativo, como se

explicó en §5.4. En cada iteración se modifica el valor de cada parámetro en Δp (5.11)

para la obtención de un nuevo conjunto de ellos, llegando al mínimo error requerido

cuando el vector T se hace nulo. Es un proceso de convergencia rápida porque la matriz,

de orden 4×4, es robusta y las correlaciones entre parámetros, de dos en dos, son

apreciables pero ninguna es demasiado próxima a 1 o a -1. El error estándar del ajuste,

(RMS= 2Oε ), va disminuyendo hasta un valor constante que no puede mejorarse. Los

errores estándar se calculan a partir de la matriz de covarianzas (M-1 estática).

En el primer paso de iteración, la matriz normalizada MN del sistema, el vector

normalizado TN y el vector Dm son los recogidos en la Tabla 5.2.

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Cor

rien

te n

orm

aliz

ada


Datos experimentales

Curva ajustada

Célula CO1


139

Tabla 5.2: Matriz normalizada MN (cuatro primeras columnas) y vectores TN y Dm del

sistema para 4 parámetros (célula CO1)

rs gp c1 k1 TN Dm

rs 1 -0,0002 -0,3642 0,1796 1,6.10-5 1,0.10-1

gp -0,0002 1 0,1406 -0,2186 -5,5.10-3 734

c1 -0,3642 0,1406 1 -0,9534 -3,1.10-3 1,2.10-3

k1 0,1796 -0,2186 -0,9534 1 4.10-3 1,3.10-2

La Tabla 5.3 muestra la evolución de RMS, el indicador de convergencia y de los

parámetros para este caso.

Tabla 5.3. Proceso de iteración con cuatro parámetros (célula CO1)

rs gp c1 k1 RMS Indicador de

convergencia

Parámetros

iniciales 1,46.10-1 3,64.10-5 26,54 22,41 0,009142826

1ª iteración 1,49.10-1 3,01.10-5 29,68 22,90 0,00671336 -0,362

2ª iteración 1,49.10-1 3,06.10-5 29,90 22,90 0,006696013 -0,003

3ª iteración 1,49.10-1 3,07.10-5 29,95 22,90 0,006696475 6,9.10-5

4ª iteración 1,49.10-1 3,07.10-5 29,95 22,91 0,006696538 9,4.10-6

5ª iteración 1,49.10-1 3,07.10-5 29,96 22,91 0,006696547 1,25.10-6

6ª iteración 1,49.10-1 3,07.10-5 29,96 22,91 0,006696548 1,64.10-7

7ª iteración 1,49.10-1 3,06.10-5 29,96 22,91 0,006696548 2,2.10-8

8ª iteración 1,49.10-1 3,06.10-5 29,96 22,91 0,006696548 2,9.10-9

El error medio, εm, se mantiene, en general, muy próximo a 0, pero no nulo. Su valor, al

final del proceso es, por ejemplo, de: εm = 3,4.10-4.

Durante el proceso, el vector residual T, que contiene las desviaciones respecto de la

nulidad de cada derivada paramétrica del error cuadrático medio, también va

cambiando. Cuando se ha establecido el final del proceso (después de la 8ª iteración) el

vector queda TN = (-9,3. 10-13; 5,6. 10-11; -1,8. 10-11; 2,9. 10-11). Las desviaciones son

mucho más pequeñas lógicamente que al inicio.


140

En seis iteraciones el error RMS pasa de 9,1.10-3 a 6,7.10-3 sin variación apreciable

después. Se utiliza un indicador de convergencia que muestra el progreso en la

reducción del error en cada iteración y se calcula como 1-RMSi/RMSi-1. donde i denota

el número de la iteración. Éste pasa de –3,6.10-1 a 2,9.10-9 desde i=1 a i=8. Los

resultados del error RMS están presentados con una precisión de siete decimales para

poner en evidencia la convergencia en los últimos dígitos.

Los parámetros finales, junto con sus errores estándar calculados de acuerdo con §3.4.2

y el error global del ajuste se recogen en la Tabla 5.4. El ajuste final se presenta en la

Figura 5.6.

Tabla 5.4. Parámetros finales (4) normalizados, con sus errores estándar absolutos y

relativos (célula CO1)

rS gp c1 k1

0,149 3,07.10-5 30,0 22,9

σ(rS) σ(gp) σ(c1) σ(k1)

1,4.10-2 1,2.10-6 4,4 0,33

σ(rs)/rs% σ(gp)/gp% σ(c1)/c1% σ(k1)/k1%

9,1 3,9 15 1,5

Con RMS = 6,7.10-3

La extracción de los 4 parámetros es fácil y rápida. Para apreciar el significado del

valor de RMS (error estándar del ajuste) debe compararse con la unidad, que es el

tamaño de la arista del cuadrado de representación gráfica, o quizá con mayor

propiedad, con el tamaño de su diagonal (1,42). Respecto a los parámetros, es de

destacar que dos de ellos (rS y c1) se obtienen con incertidumbres razonables, en torno

al 10% o superiores, mientras que los otros dos (gP y k1) son bastante más precisos

(incertidumbre inferior al 5%). Otro método para apreciar la bondad del ajuste es dar

el coeficiente de correlación o R de Pearson, entre wLni y wLnF, siendo w el peso en

cada punto, i la corriente normalizada y F la función teórica. En este caso el

coeficiente de Pearson es muy próximo a 1 (0,99966) así como su cuadrado, R2 o

coeficiente de determinación (0,99931): esto nos informa sobre la estrecha relación

entre la corriente normalizada experimental y la función teórica que mejor se ajusta a

ella.

Ca

En

(5

Se

co

pr

lo

ca

La

Se

co

apítulo 5 Ajus

n la tercera

5.3). Se añad

e ajusta el

onjunto inic

rimera itera

os datos adm

aso contrari

a matriz nor

Tabla 5

rs

gp -0

c1 -

k1 0

c2 -

e procede c

on los valor

ste de curvas I

Figura

a fase se inc

de el par (c2

modelo con

cial de pará

ción, el nue

miten una s

o, no tendrí

rmalizada c

5.5: Matriz

rs

1 -0

0,0002

0,363 0

0,180 -

0,009 0

omo en el a

res intermed

I-V en oscurid

5.6: Ajuste

cluye en el

2, k2).

n cinco par

ámetros es

evo valor de

segunda exp

ía sentido.

característic

inicial MN d

gp

0,0002 -

1 0

0,136

0,212 -

0,749 0

ajuste con c

dios que se m

dad …

141

e de los dato

modelo la

rámetros, li

el final de

e c2 obtenid

ponencial,

a del sistem

del sistema

c1

0,363

0,136

1

0,954

0,466

cuatro parám

muestran en

os de CO1 c

segunda ex

gando k2 al

la fase ant

do es positiv

por lo que

ma se muestr

para cinco

k1

0,180

-0,212

-0,954

1

-0,623

metros y tam

n la Tabla 5

5.6 Otros R

con 4 parám

xponencial,

l valor de k

terior junto

vo (c2= 0,03

se prosigu

ra en la Tab

parámetros

c2

-0,009

0,749

0,466

-0,623

1

mbién se ob

5.6. Tras las

Resultados y E

metros

como se de

k1, con k2 =

con c20 =

3) lo que in

ue con el aj

bla 5.5

s (célula CO

TN inici

-6.10-1

3,6.10-1

-1,2.10-

1,9.10-1

1,7.10-

btiene conve

s iteraciones

Ejemplos

efinió en

= k1/2. El

0. En la

dica que

uste. En

O1)

al 2 10 -10 10 -3

ergencia,

s el error


142

global pasa de 6,7.10-3 a 4,8.10-3 y el indicador de convergencia de –6.10-1 a 4,2.10-08

después de 13 iteraciones.

Tabla 5.6. Proceso de iteración con 5 parámetros (célula CO1)

rs gp c1 k1 c2 RMS Indicator de

convergencia 1,48.10-1 3,07.10-5 29,96 22,91 0 0,006696548

1,81.10-1 2,06.10-5 52,34 25,16 2,66.10-2 0,010701724 -0,598

1,72.10-1 2,38.10-5 57,83 24,96 3,58.10-2 0,004800245 0,551

1,74.10-1 2,38.10-5 58,70 24,98 3,77.10-2 0,00476564 0,007

1,73.10-1 2,38.10-5 58,15 24,95 3,71.10-2 0,004765526 2,4.10-5

1,73.10-1 2,38.10-5 58,38 24,95 3,74.10-2 0,004765398 2,7.10-5

1,73.10-1 2,38.10-5 58,27 24,96 3,73.10-2 0,004765434 -7,6.10-6

1,73.10-1 2,38.10-5 58,32 24,96 3,73.10-2 0,004765413 4,5.10-6

1,73.10-1 2,38.10-5 58,30 24,96 3,73.10-2 0,004765422 -1,9.10-6

1,73.10-1 2,38.10-5 58,31 24,96 3,73.10-2 0,004765418 9,2.10-7

1,73.10-1 2,38.10-5 58,30 24,96 3,73.10-2 0,00476542 -4,2.10-7

1,73.10-1 2,38.10-5 58,30 24,96 3,73.10-2 0,004765419 2,0.10-7

1,73.10-1 2,38.10-5 58,30 24,96 3,73.10-2 0,004765419 -9,1.10-8

1,73.10-1 2,38.10-5 58,30 24,96 3,73.10-2 0,004765419 4,2.10-8

Se observa que el error aumenta, transitoriamente, en el segundo paso de iteración y

luego baja continuadamente con ligeras oscilaciones en los últimos decimales, en cada

paso, buscando el mejor conjunto de parámetros hasta llegar al mínimo deseado.

En la Tabla 5.6 el error RMS se ha dado, como en casos precedentes, con una precisión

exagerada, de siete cifras significativas, únicamente para poner en evidencia la

convergencia en los últimos dígitos. Los nuevos resultados con 5 parámetros y sus

errores estándar obtenidos se muestran en la Tabla 5.7 y la Figura 5.7

Ca

Se

re

pa

5,

(d

nú

au

au

re

di

apítulo 5 Ajus

Tabla 5

0

σ

1,

σ(r

RMS

e aprecia la

elativos han

ara c1 ha au

,2%. Para e

disminución

úmero de p

umentar las

umentan la

esultados m

ifiere del de

ste de curvas I

5.7. Los cin

rS

0,173

σ(rS)

1.10-2

rs)/rs% σ

6,3

=4,8.10-3 y

Figura

a mejora de

n empeorado

umentado de

el nuevo pa

n) de RMS e

parámetros.

s incertidum

as posibilid

muy próximo

e error que,

I-V en oscurid

nco parámet

gp

2,4.10-5

σ(gp)

1,2.10-6

σ(gp)/gp%

5,2

y εm =1,3.10

5.7: Ajuste

e RMS (de

o, en genera

el 15% al 20

arámetro, c2

es lógica y

. Pero tam

mbres indiv

dades de

os al mejor

sin embargo

dad …

143

tros normali

(célula C

c1

58

σ(c1)

12

σ(c1)/c1

20

0-4

e de los dato

6,7.10-3 a 4

al, salvo el

0%, para k1

2, se obtiene

esperable: e

mbién lo es

viduales de

combinacio

r ajuste. Nó

o a veces, s

izados con s

CO1)

2

σ

0

1% σ(k1

2

os de CO1 c

4,8.10-3). En

de rS que h

pasa de 1,5

e una incer

el ajuste sól

que, glob

cada parám

ones de p

ótese que es

e maneja in

5.6 Otros R

sus desviaci

k1

5,0

σ(k1)

,56

1)/k1% σ

2,3

con 5 parám

n cuanto a l

ha disminuid

5% a 2,3%

rtidumbre d

lo debe mej

almente, la

metro: Esto

parámetros

ste concept

ndistintamen

Resultados y E

iones estánd

c2

0,037

σ(c2)

1,2.10-2

σ(c2)/c2%

33

metros

los errores

do de 9,1%

y para gp de

del 33%. La

jorar al aum

a tendencia

sólo signi

que propo

to de incert

nte.

Ejemplos

dar

estándar

a 6,3%:

e 3,9% a

a mejora

mentar el

a sea de

fica que

orcionan

tidumbre


144

Ese aumento global de las incertidumbres paramétricas individuales se relaciona, en

buena medida, con la disminución de los determinantes de las matrices normalizadas: El

de la matriz MN (Tabla 5.5) pasa de 0,0450 para la final de 4 parámetros a 0,00477 para

la inicial de 5 parámetros y a 0,00379 para la correspondiente estática. En las mismas

condiciones, el determinante de la matriz de correlación pasa sucesivamente de 0,0281 a

0,00123 y a 0,000494.

En la última fase, se parte del conjunto anterior de cinco parámetros (rS, c1, k1 gp y c2) y

se admite la variabilidad independiente de k2 con lo que el sistema pasa a ser de orden 6

(seis parámetros independientes). Se procede de la misma manera, iniciando las

iteraciones con los valores de la Tabla 5.6 y el de k2 = k1/2 ≅ 12,5. Tras el primer paso

se obtienen incrementos de parámetros que, aunque son solución matemática del

sistema en su aproximación lineal, están lejos de serlo del real, no lineal: suelen ser

excesivamente grandes y dar lugar, a valores negativos, físicamente inaceptables de

algunos parámetros. De continuar el proceso iterativo generan una evolución del

sistema que puede calificarse de caótica. En el presente caso, por ejemplo, se obtienen,

para iniciar el segundo paso los de la Tabla 5.8:

Tabla 5.8: Resultado del primer paso de iteración. (célula CO1)

rs gp c1 k1 c2 k2

0,14 5.10-6 -20,6 19,84 -0,52 -9,88

c1, k2 y c2 son negativos e inaceptables.

Para entender mejor los problemas de convergencia del sistema de seis parámetros se

analizan las matrices normalizada y de correlación, 6×6, a la luz de la teoría establecida

en el Capítulo 2.

Consideremos la matriz de correlaciones presentada en la Tabla 5.9. Los coeficientes de

correlación vienen dados por la matriz que se muestra a continuación. Se aprecia la

estrecha relación entre c2 y k2 (0,997) y entre c1 y k1 (0,983). Menos estrechas, pero

también elevadas son las correlaciones entre gp y k2 (0,905) c2 y k1 (0,884) y c2 y gp

(0,879). Los parámetros muy correlados entre sí llevan casi la misma información


145

matemática y son difícilmente distinguibles como par de parámetros independientes.

Los parámetros que presentan más altas correlaciones con el resto (excepto con rS) son

k2 y c2, como puede apreciarse en las dos últimas columnas (o filas) de la matriz de

correlación. Cabe atribuir este hecho a que son los dos parámetros característicos de la

segunda exponencial, cuyo efecto debe apreciarse, sobre todo, en la región intermedia,

colindante por ambos lados con las de influencia decisiva de la primera exponencial y

de la corriente de fugas en paralelo, respectivamente.

Debe notarse también que el determinante de esta matriz de correlación es tan pequeño

(próximo a 0) como: 1,6.10-7, que puede compararse con el de 4,9.10-4 obtenido al

trabajar con 5 parámetros.

Tabla 5.9: Matriz de correlación con seis parámetros (célula CO1)

rs gp c1 k1 c2 k2

rs 1 0,344 0,761 0,704 0,503 0,481

gp 0,344 1 0,584 0,664 0,879 0,905

c1 0,761 0,584 1 0,983 0,806 0,778

k1 0,704 0,664 0,983 1 0,884 0,858

c2 0,503 0,879 0,806 0,884 1 0,997

k2 0,481 0,905 0,778 0,858 0,997 1

Se han seguido las directrices expuestas en §2.8, que consisten en una aproximación por

partes dentro de cada paso de iteración, tratando, en cada parte, de ajustar un conjunto

reducido de parámetros, manteniendo los demás constantes. Se ha trabajado sobre la

pareja (c2, k2) luego sobre la pareja (c1, k1) para conseguir la convergencia, pero sin

demasiado éxito. En cada paso disminuye RMS: con la mejora de la pareja (c2, k2) va de

4,76.10-3 a 4,66.10-3 y con la mejora de la pareja (c1, k1) va de 4,66.10-3 a 4,62.10-3).

Pero con ello no mejora apreciablemente la convergencia del análisis global posterior

(nuevamente con 6 parámetros).

También, en una línea similar, se ha propuesto otra solución para el problema de

convergencia que consiste en separar el sistema en dos sistemas restringidos, de tres


146

parámetros cada uno, y de distinto carácter. Se toman c1, c2, y gP en el primer sistema

porque son los coeficientes multiplicadores de las funciones fi de la función teórica de

ajuste F (2.3), lo que da un carácter lineal a este subsistema. Por otra parte, k1, rS y k2

integran el segundo, que es el estrictamente no lineal, porque estos parámetros lo son de

las propias funciones fi. y modifican sus expresiones.

La resolución se realiza restringiendo el sistema: i) cuando se extraen c1, c2, y gP, se

fijan k1, rS y k2, y en el siguiente paso ii) se fijan c1, c2, gP y se extraen k1, rS y k2. Estos

ajustes parciales permiten trabajar con matrices más robustas y estables, con menos

grados de libertad. Se itera con una secuencia alternante no agotando cada subsistema

hasta convergencia. Porque en cada caso la mejora principal se da en el primer paso:

Por ejemplo, RMS disminuye de 4,62.10-3 a 4,54.10-3. Tras este salto, en cada iteración

la variación es muy pequeña, por ejemplo en la 15ª iteración se tiene todavía un valor de

4,50.10-3. Así pues, la convergencia es muy lenta

Por otra parte cuando, a continuación, se retoma el sistema global con los seis

parámetros variables y alimentándolo con los seis valores así deducidos, la primera

iteración ha dado nuevamente parámetros negativos, de modo similar a lo mencionado

anteriormente (ver Tabla 5.8)

Consideramos la matriz normalizada MN y el vector normalizado TN del sistema, Dm

siendo la diagonal de la matriz M, dados en la Tabla 5.10:

Tabla 5.10: MN inicial del sistema con seis parámetros (célula CO1)

rs gp c1 k1 c2 k2 TN Dm

rs 1 -0,0002 -0,3879 0,2163 -0,0118 0,0049 -1,5.10-9 9,9.10-2

gp -0,0002 1 0,0778 -0,1236 0,6534 -0,7448 -3.10-9 876

c1 -0,3879 0,0778 1 -0,9589 0,4376 -0,3496 1,9.10-9 4,4.10-4

k1 0,2163 -0,1236 -0,9589 1 -0,5831 0,4828 5,5.10-5 10-2

c2 -0,0118 0,6534 0,4376 -0.5831 1 -0,9879 -5,1.10-9 0,286

k2 0,0049 -0,7448 -0,3496 0,4828 -0,9879 1 -1,6.10-4 7.10-3

El determinante de MN es ~ 6,3.10-6 (inverso ~ 1,6.105) y el de la matriz de correlación

(normalizada de M-1) ~ 1,6.10-7.


147

Cada vez que se retoma el sistema global éste no converge porque los vectores TN no se

han reducido lo suficiente (hasta casi el vector 0, en todas sus componentes) ver Tabla

5.10. Al multiplicarlos por una matriz M-1 de determinante muy elevado, el resultado es

siempre el de incrementos de parámetros desmesurados y desviaciones muy fuertes de

la linealidad del sistema (sobre todo motivado por alguno de los incrementos de k1, k2

y/o rs), y la consiguiente parada del proceso, desde la primera iteración, para evitar una

evolución caótica sin sentido.

Como solución a estos problemas en el caso de 6 parámetros, se utilizaron finalmente

vectores incrementales proporcionales a los teóricos, de la forma pΔλ , siendo λ < 1

una constante a determinar en cada caso como se detalló en (2.24) y evitando así que el

proceso se vuelva caótico desde la primera iteración: Puede lograrse que el valor de

RMS disminuya gradualmente y que los parámetros no salten a valores negativos; el

proceso se ha hecho más lento aunque también más seguro. Esa propuesta nos ha dado

los resultados de la Tabla 5.11.

Tabla 5.11. Los seis parámetros normalizados del modelo convencional (célula CO1)

rs gp c1 k1 c2 k2

0,172 2,3.10-5 54,5 25 1,6.10-2 11,2

σ(rs) σ(gp) σ(c1) σ(k1) σ(c2) σ(k2)

1,1.10-2 3,9.10-6 13,4 0,79 4.10-2 3,6

σ(rs)/rs% σ(gp)/gp% σ(c1)/c1% σ(k1)/k1% σ(c2)/c2% σ(k2)/k2%

7 17 25 3,2 236 32

Con RMS = 4,5.10-3

Los errores estándar de los parámetros normalizados son aceptables a pesar de que σ(k2)

es grande, salvo en el caso de σ(c2) que supera el propio parámetro lo que significa que

es muy impreciso y que hay una infinidad de soluciones para el conjunto de parámetros

extraídos que se acercan al mínimo del error cuadrático medio deseado.

Los parámetros originales del modelo convencional se definen a partir de los

parámetros normalizados y se muestran en la Tabla 5.12 con sus errores relativos:

Tesis do

Tab

RS(

0,2

σ(RS)/R

7

El ajust

parámet

superior

incertid

parámet

El ajust

F

En este

también

parámet

significa

converg

indepen

del ejem

octoral: Nue

bla 5.12 Los

(Ω) G

23 1

RS(%) σ(G

7

te presenta

tros origina

r al propio

dumbres de

tros de los e

e final se m

Figura 5.8: A

ejemplo, el

n de c2 son

tros son

ativamente

gencia. Al

ndientes. La

mplo 1 sería

evos proced

s seis parám

Gp (Ω-1)

1,7.10-5

GP)/GP(%)

17

a un error R

ales son mu

o parámetro

los factore

exponentes

muestra en la

Ajuste final

l error relat

grandes au

muy impr

el error gl

contrario

as solucione

an rentables

dimientos d

metros origin

I01(A)

7,6.10-10

σ(I01)/I01(%

103

RMS = 4,5

uy elevadas,

o). Ello es

es pre-expo

(m1 y m2), d

a Figura 5.8

l con 6 pará

tivo del últi

unque el de

recisos, y

obal. Hemo

de cuando

es sugeridas

s si la dismi

de análisis d

148

nales del mo

m1

0 1,5

%) σ(m1)/m

3,2

5.10-3. Las

, como las d

debido a

onenciales (

de efecto m

8.

ámetros de l

mo paráme

e c2 destaca

los refina

os ajustado

o se han

en el Capít

nución de R

de los datos

odelo conve

1 I

5 1,

m1(%) σ(I0

2

incertidum

de I01 y, esp

la superpo

(c1 y c2, re

muy notable.

la célula sol

etro ajustado

a por su imp

amientos d

4 y 5 pará

tratado de

tulo 2 y pue

RMS fuera

corriente-t

encional (cé

I02(A)

,6.10-7

02)/I02(%) σ

596

mbres de al

pecialmente

sición, en

spectivame

lar CO1

o, k2, así co

portancia. E

del ajuste

ámetros sin

e extraer

estas en prác

apreciable,

tensión de…

élula CO1)

m2

3,4

σ(m2)/m2(%

32

lgunos de l

e, I02 (6 vec

estos, de l

nte) y de l

omo los de c

Es decir, es

no mejo

problemas

6 parámet

ctica a lo la

al aumenta

…

%)

los

ces

las

los

c1 y

stos

oran

de

tros

argo

ar el


149

número de parámetros. No ha sido el caso al pasar de 5 a 6 ni en los diversos

refinamientos introducidos para resolver este último caso: la variación de RMS es del

orden del 0,2% y la varianza de los parámetros ha empeorado, en general, como se

aprecia en la Tabla 5.13. En esta tabla se presentan para comparación los resultados de

incertidumbres (en valores absolutos y relativos) en los casos de 5 y 6 parámetros,

correspondiendo la diferencia a la liberación de k2 de la ligadura con k1 que se establece

en el caso de 5 parámetros (k2 = k1/2). Puede apreciarse claramente el crecimiento de las

incertidumbres para todos los parámetros, pero especialmente notable para c2 y k2. La

incertidumbre de k2 en el caso de 5 parámetros se ha estimado a partir de la de k1 por la

mencionada ligadura impuesta entre ambos.

Tabla 5.13. Comparación de incertidumbres obtenidas con cinco y seis parámetros

(célula CO1)

Incertidumbres σ(rS) σ(gp) σ(c1) σ(k1) σ(c2) σ(k2)

Caso de 6

parámetros

1,1.10-2

(6,7%)

3,8.10-6

(16,6%)

14

(25,2%)

0,81

(3,3%)

4.10-2

(242%)

3,7

(32,5%)

Caso de 5

parámetros

1,1.10-2

(6,3%)

1,2.10-6

(5,2%)

12

(19,7%)

0,6

(2,3%)

1,2.10-2

(33%)

0,3

(2,3%)

Se comparan también los valores de RMS en los casos de 5 y 6 parámetros, que son,

respectivamente, 4,8.10-3 y 4,5.10-3: La mejora es sólo ligeramente apreciable. No

obstante se observó en el caso de 5 parámetros que RMS presenta un salto desfavorable

(de 6,6.10-3 a 1,1. 10-2) en la primera iteración, luego hay otras oscilaciones mucho más

pequeñas hasta convergencia. Ocurre porque se trabaja esencialmente con un sistema

no-lineal. En el caso de 6 parámetros donde las oscilaciones son mucho más exageradas

se llega hasta una tendencia caótica. Se puede controlar cuando en el proceso se usa la

solución ofrecida, utilizando un vector λΔp colineal con el incremental Δp

inicialmente obtenido.

Tesis do

5.6 Otr

5.6.1 Re

Se pres

oscurida

ilumina

errores

variació

convenc

continua

• Célula

Célula d

aplicaci

experim

Los resu

octoral: Nue

os Resultad

esultados

sentan a c

ad realizado

ación los pa

estándar,

ón, en porce

cional (sin

a) ajustada

a CO2

de antimoni

iones termo

mentales se p

Figura 5.9

ultados del

Tabl

evos proced

dos y Ejem

continuación

os por el p

arámetros p

σ(pj), así

entaje. Tam

normalizar)

a los datos

iuro de galio

ofotovoltaica

presentan en

9: Datos exp

ajuste inicia

a 5.14. Pará

rS0

0,10

dimientos d

mplos:

n varios ej

procedimien

pj normaliz

como los

mbién se pre

), sus error

experiment

o de estruct

as, encapsu

n la Figura

perimentale

al por zonas

ámetros inic

gp0

5,6.10-3

de análisis d

150

jemplos de

nto descrito

zados y sus

errores rel

esenta una t

res y una fi

tales (en pun

tura p (zinc)

ulada y con

5.9.

s corriente-

s se recogen

ciales norm

c10

3,1

de los datos

e ajuste de

o. Para cada

s incertidum

lativos, σ(p

abla con lo

igura con la

ntos).

) sobre n (te

una capa a

-tensión de o

n en la Tabl

alizados. (c

1

corriente-t

e caracterís

a caso, se

mbres expr

pj)/pj, o co

s parámetro

a curva teó

eluro), área

antirreflecta

oscuridad (c

a 5.14.

célula CO2)

k10

11,2

tensión de…

sticas I-V

dan como

resadas com

oeficientes

os del mode

rica (en lín

0,49 cm2, p

ante. Los da

célula CO2)

…

de

en

mo

de

elo

nea

para

atos

)

Ca

Lo

ex

Si

Se

co

apítulo 5 Ajus

os resultado

xperimental

Tab

R

i se trata de

e concluye

on los parám

ste de curvas I

os del ajust

les se dan en

bla 5.15: Lo

rS

0,118

σ (rS)

4,1.10-3

σ (rS)/rS%

3,4

RMS =1,8.10

añadir una

que este eje

metros del m

Tabla 5.

RS(Ω)

3,9.10-2

ΔRS /RS(%

3,4

I-V en oscurid

te con cuat

n la Tabla 5

s cuatro par

6,

σ3 6,

% σ (g

0-3

a segunda ex

emplo no a

modelo conv

.16: Paráme

GP

1,8

%) ΔGP

Figura 5.

dad …

151

tro parámet

5.15.

rámetros no

gP

,1.10-3

σ (gP)

,5.10-5

gP)/ gP%

1,1

xponencial

dmite la seg

vencional es

etros origina

P(Ω-1)

88.10-2

P/GP%

1,1

.10: Ajuste

tros conside

ormalizados

c1

3,99

σ(c1)

0,146

σ(c1)/c1%

3,7

se obtiene e

gunda expo

s el de la Ta

ales y errore

I01(A)

2,13.10-5

ΔI01/I01(%

12,3

final de la c

5. Otros Re

erando todo

s y errores (c

k1

12,

σ(k

8,7.1

% σ(k1)/

0,7

el valor de c

onencial. As

abla 5.16 y

es (célula C

m

1,0

) Δ m1/ m

0,7

célula CO2

esultados y Ej

o el rango d

célula CO2)

1

14

k1)

10-2

/k1%

71

c2=-0,03 (ne

sí, el resulta

la Figura 5.

CO2)

m1

44

m1 (%)

71

jemplos

de datos

egativo).

ado final

.9.


152

• Célula CO3

Se trata de una célula fabricada en el IES de la misma tecnología de CI1 (pero no se

trata del mismo dispositivo). Los resultados experimentales se presentan en la Figura

5.11, apreciándose la ausencia de medidas para voltajes por debajo de 240mV.

Figura 5.11: Datos experimentales corriente-tensión de oscuridad (célula CO3)

Se recogen los parámetros del ajuste inicial de las zonas de bajas y altas tensiones en la

Tabla 5.17.

Tabla 5.17. Parámetros iniciales normalizados (célula CO3)

rS0 gp0 c10 k10

9,7.10-3 3,18.10-5 1,21 20,2

El ajuste global (con todos los datos experimentales) al modelo con cuatro parámetros

proporciona los resultados de la Tabla 5.18.

Tabla 5.18: Los cuatro parámetros normalizados y errores (célula CO3)

rS gP c1 k1

8,3.10-3 3,17.10-5 1,19 20,2

σ (rS) σ (gP) σ(c1) σ(k1)

5,2.10-3 1,3.10-6 0,07 0,17

σ (rS)/rS% σ (gP)/ gP% σ(c1)/c1% σ(k1)/k1%

62 4,1 5,6 0,86

RMS =3,3.10-3

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Cor

rien

te (A

)

Tensión (V)

Célula CO3

Capítulo 5 Ajuste de curvas I-V en oscuridad … 5. Otros Resultados y Ejemplos

153

La introducción de la segunda exponencial es admisible, en este caso, dado que se

obtiene un valor positivo de c2. Así el resultado del ajuste con cinco parámetros (y k2

ligado a k1 mediante la relación k2 = k1/2) es el mostrado en la Tabla 5.19.

Tabla 5.19: Los cinco parámetros normalizados con sus desviaciones estándar

(célula CO3)

rS gp c1 k1 c2

1,8.10-2 2,2.10-5 1,41 21,2 4,1.10-3

σ(rS) σ(gp) σ(c1) σ(k1) σ(c2)

4,5.10-3 2,3.10-6 0,09 0,3 1,2.10-3

σ(rs)/rs% σ(gp)/gp% σ(c1)/c1% σ(k1)/k1% σ(c2)/c2%

24 11 6 1,3 29

RMS =2,3.10-3

Se observa que al introducir esta segunda exponencial (con k2 condicionado por k1) el

error estándar del ajuste mejora aunque la incertidumbre de los parámetros no

necesariamente lo hace, la de unos mejora (por ejemplo la de rs) pero la de otros

empeora (gp).

Una vez obtenido el mejor ajuste con 5 parámetros, sólo el hecho de levantar la

restricción k2 = k1/2 (m2=2m1), para comenzar la aproximación al mejor ajuste con 6

parámetros, da lugar a una matriz casi-singular. Como se recoge en la Tabla 5.20, los

elementos del vector independiente TN son pequeños pero el cuarto (9,6.10-6) y el sexto

(-3,4.10-5) son grandes respecto del resto (6,2.10-11, 3,1.10-10, etc.) pero, especialmente,

también respecto al determinante de MN de 6 parámetros (det MN = 1.10-6) lo que es un

indicador de posibles dificultades de convergencia.

Tabla 5.20: Matriz normalizada MN del sistema para 6 parámetros inicial (célula CO3)

rs gp c1 k1 c2 k2 TN

rs 1 -0,0002 -0,456 0,090 -0,010 0,002 4,7.10-10

gp -0,0002 1 0,170 -0,331 0,854 -0,917 -2,2.10-9

c1 -0,456 0,170 1 -0,859 0,428 -0,338 1,1.10-10

k1 0,090 -0,331 -0,859 1 -0,681 0,577 9,6.10-6

c2 -0,010 0,854 0,428 -0,681 1 -0,988 -3,9.10-9

k2 0,002 -0,917 -0,338 0,577 -0,988 1 -3,4.10-5


154

Se analiza en lo que sigue la matriz de correlación con cinco parámetros (Tabla 5.21) y

su evolución cuando pasamos al ajuste con seis parámetros (Tabla 5.22).

Se ve en la Tabla 5.21 que la correlación más elevada se da entre c1 y k1: es del orden de

0,939, próxima a 1 aunque no excesivamente, porque son parámetros de la misma

influencia zonal (de una misma componente exponencial), entre c2 y k1 es de 0,905,

aparentemente alta pero no afecta especialmente a la convergencia. El determinante de

esa matriz de correlación es del orden de 5.10-4. Cuando se pasa de 5 a 6 parámetros el

proceso similar al que utilizamos al pasar de cuatro a cinco parámetros no converge y se

vuelve caótico. Este último se puede corregir como lo veremos después de este análisis.

Tabla 5.21: Matriz de correlación con cinco parámetros (célula CO3)

rs gp c1 k1 c2

rs 1 -0,365 0,830 0,754 0,593

gp -0,365 1 -0,484 -0,646 -0,872

c1 0,830 -0,484 1 0,939 0,760

k1 0,754 -0,646 0,939 1 0,905

c2 0,593 -0,872 0,760 0,905 1

Para 6 parámetros (Tabla 5.22), se observa también que el añadido del parámetro k2

(última fila y columna) implica varias correlaciones importantes, pero sobre todo la de

k2 con c2 (0,998) y las de k2 y c2 con gp (0,965 y 0,947) o la de c2 con k1 (0,931). El

determinante de esta nueva matriz de correlación ha sufrido, además, un descenso muy

importante (hasta un valor de 1,3.10-8 desde el 5,0.10-4 anterior) respecto al de la matriz

de 5 parámetros. c2, k2 y gp tienen su influencia principal en la misma región, de voltajes

pequeños. Por otro lado, el coeficiente de correlación entre c2 y k1 es importante a pesar

de su influencia primordial en zonas diferentes.


155

Tabla 5.22: Matriz de correlación con seis parámetros (célula CO3)

rs gp c1 k1 c2 k2

rs 1 0,516 0,896 0,807 0,645 0,619

gp 0,516 1 0,587 0,803 0,947 0,965

c1 0,896 0,587 1 0,920 0,740 0,709

k1 0,807 0,803 0,920 1 0,931 0,909

c2 0,645 0,947 0,740 0,931 1 0,998

k2 0,619 0,965 0,709 0,909 0,998 1

El paso de cinco a seis parámetros se ha efectuado, finalmente, de la misma manera que

en el ejemplo CO1 obteniéndose los parámetros normalizados de la Tabla 5.23 y los

convencionales de la Tabla 5.24. Presentamos la gráfica del ajuste final en la Figura

5.12

Tabla 5.23 Los seis parámetros normalizados del modelo convencional (célula CO3)

rs gp c1 k1 c2 k2

1,8.10-2 2,13.10-5 1,41 21,14 3,4.10-3 10,25

σ(rs) σ(gp) σ(c1) σ(k1) σ(c2) σ(k2)

5,7.10-3 1,04.10-5 0,12 0,62 1,2.10-2 6,4

σ(rs)/rs% σ(gp)/gp% σ(c1)/c1% σ(k1)/k1% σ(c2)/c2% σ(k2)/k2%

31 49 8 3 338 63

Con RMS =2,28.10-3

Tabla 5.24 Los seis parámetros originales del modelo convencional (célula CO3)

RS(Ω) Gp (Ω-1) I01(A) m1 I02(A) m2

0,137 2,8.10-6 9,3.10-11 1,38 1,21.10-8 2,84

σ(RS)/RS(%) σ(GP)/GP(%) σ(I01)/I01(%) σ(m1)/m1(%) σ(I02)/I02(%) σ(m2)/m2(%)

31 49 70 3 982 63


156

Figura 5.12: Ajuste final de la célula CO3

5.6.2 Comentarios:

Se ha aplicado el método de extracción de parámetros con éxito a todos los ejemplos.

La célula CO2, por ejemplo, ha resultado admitir un modelo restringido a una

exponencial con errores bastante aceptables. Para la célula CO3 hay una escasez de

datos en la zona de voltajes por debajo de 300 mV, zona donde se puede definir mejor

la conductancia paralelo, sin embargo se ha podido extraer un valor para este parámetro

a pesar de ello.

En todos los ejemplos RMS mejora de una fase a otra. Los errores absolutos son de un

orden razonable, pero los errores relativos de algunos parámetros pueden crecer de una

fase a otra. Y a veces tanto que invalidan los resultados de las fases con mayor número

de parámetros, cuando empiezan a darse evoluciones caóticas debido al problema de la

no-linealidad. Este caos se ha podido controlar como se ha visto en los ejemplos

estudiados.

En el paso de 4 a 5 parámetros el proceso ha sido convergente, sin dificultades, en todos

los casos. Se ha observado también que los errores relativos (incertidumbres) empeoran

cuando se incrementa el número de parámetros de 4 a 5, aunque, lógicamente, el error

estándar del ajuste disminuye.

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

corr

ient

e nor

mal

izad

a


Datos experimentales

Curva teórica

Célula CO3


157

En el paso de 5 a 6 parámetros se aprecia la mejora de RMS. Es lógica y esperable

porque el ajuste sólo debe mejorar al aumentar el número de parámetros. En cuanto a

los errores estándar relativos han empeorado. Esto sólo significa que aumentan las

posibilidades de combinaciones de parámetros que proporcionan resultados muy

próximos al mejor ajuste.

En todos los casos cuando se introduce el sexto parámetro (variable k2) el error estándar

del ajuste RMS se queda con el mismo valor porque se inicia el proceso, con los

parámetros provenientes de la fase anterior (de 5 parámetros y k2 ligado a k1). Pero los

errores estándar de los parámetros aumentan, sobre todo para c2, cuyo error llega a más

de 900% por ejemplo en el caso de la célula CO3, superando con creces el propio valor

del parámetro que resulta, por tanto, muy impreciso.

Como solución a la convergencia en el proceso de extracción de 6 parámetros, se utilizó

un vector λΔp proporcional al Δp inicialmente obtenido siendo λ un coeficiente a

determinar (λ<1) condicionado a que el error estándar RMS disminuya gradualmente y

evitando así que el proceso se vuelva caótico desde la primera iteración. Con esta

solución los parámetros no saltan a valores negativos y el proceso se hace más lento

aunque también más seguro.

5.6.3. Comparación de una célula, Cz, en iluminación y en oscuridad

Se han ajustado resultados experimentales de la célula Cz con los modelos establecidos

en iluminación y en oscuridad por el fin de comparar los parámetros obtenidos y

comprobar la fiabilidad de los modelos. Se presentan a continuación los resultados por

separado.

Resultados de iluminación. Célula CzI

Célula de substrato de silicio Cz con estructura (n+/p) de área 10,24 cm2. Los resultados

experimentales se presentan en la Figura 5.13


158

Figura 5.13: Datos experimentales corriente-tensión de iluminación

(célula CzI)

Los resultados del modelo normalizado se presentan en la Tabla 5.25 y los del ajuste

final en iluminación en la Figura 5.14.

Tabla 5.25: Parámetros del modelo normalizado con sus errores (célula CzI)


0,254 0,581 4,2.10-2 2,7.10-2 0,324


1,9.10-4 3,9.10-4 2,7.10-3 2,1.10-3 2,6.10-2


0,08 0,07 6,5 7,9 8,1

RMS = 1,54.10-3

Convergencia rápida (indicador de convergencia –1,05.10-11 al cabo de 4 iteraciones)

Figura 5.14: Ajuste final de la célula CzI

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Cor

rien

te (A

)

Tensión (V)

Célula CzI

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Cor

rien

te n

orm

aliz

ado


Célula CzICélula CzI


159

Resultados de oscuridad. Célula CzO.

Se procede al ajuste en oscuridad de nuestra célula Cz. Sus datos experimentales se

presentan en la Figura 5.15

Figura 5.15: Datos experimentales corriente-tensión de oscuridad (célula CzO)

Como los resultados de iluminación se han obtenido prefijando m1 y m2 respectivamente

a 1 y 2, hemos utilizado una hoja específica donde k1 y k2 están también prefijados, y

relacionados con k2=k1/2. Quedan a definir entonces los cuatro parámetros (rS, gP, c1 y

c2).

Se presentan los cuatro parámetros obtenidos en la Tabla 5.26.

Tabla 5.26: Los cuatro parámetros normalizados con sus desviaciones estándar

(célula CzO)

rS gp c1 c2

7.10-2 9,3.10-3 4,96 0,43

σ(rS) σ(gp) σ(c1) σ(c2)

1,9.10-3 4,6.10-5 0,17 9,4.10-3

σ(rs)/rs% σ(gp)/gp% σ(c1)/c1% σ(c2)/c2%

2,75 0,5 3,4 2,2

RMS =1,34.10-3

Y la gráfica del ajuste se ve en la Figura 5.16.

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Cor

rien

te (A

)

Tensión (V)

Célula CzO


160

Figura 5.16: Ajuste final de la célula CzO

Se procede ahora a la comparación de los resultados de ambos casos para demostrar la

fiabilidad del método. Así tenemos en la Tabla 5.27 los parámetros del modelo

convencional sin normalizar en el caso de iluminación y en la Tabla 5.28 los del caso de

oscuridad.

Tabla 5.27: Parámetros del modelo convencional sin normalizar y sus errores relativos

en iluminación (célula CzI)

RS(Ω) GP(Ω-1) I01(A) I02(A)

9,6.10-2 1,2. 10-2 2,9.10-11 1,1.10-6

ΔRS /RS (%) ΔGP /GP (%) ΔI01 /I01 (%) ΔI02 /I02 (%)

6,6 8,0 5,9 8,9

RMS =1,54.10-3

Tabla 5.28: Parámetros del modelo convencional sin normalizar y sus errores relativos

en oscuridad (célula CzO)

RS(Ω) GP(Ω-1) I01(A) I02(A)

6,6.10-2 9,8.10-3 2,2.10-11 7,5.10-7

ΔRS/RS (%) ΔGP/GP (%) ΔI01/I01 (%) ΔI02/I02 (%)

2,8 0,5 3,4 2,2

RMS = 1,34.10-3

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Datos experimentalesCurva téorica

Cor

rien

te n

orm

aliz

ada


Célula CzO

Capítulo 5 Ajuste de curvas I-V en oscuridad … 5. 7Conclusiones

161

El error del ajuste RMS en el caso de oscuridad y en el caso de iluminación son muy

próximos.

Se observa que los valores de los cuatro parámetros son inferiores en oscuridad respecto

de los correspondientes en iluminación, aunque de órdenes de magnitud similares, con

diferencias relativas entre el 20% y el 40% aproximadamente. Estas diferencias son,

para todos ellos, superiores a los errores relativos calculados en un caso u otro. También

es de destacar que los errores relativos son claramente inferiores, también para los

cuatro parámetros, calculados en oscuridad respecto de iluminación. Esto último puede

deberse a que el número de parámetros realmente ajustados ha sido de 4 en el caso de

oscuridad pero de 5 en el de iluminación. Y, como se ha visto en las discusiones

anteriores, el aumento del número de parámetros suele llevar consigo un aumento de sus

incertidumbres relativas. Finalmente, puede destacarse que las diferencias relativas de

GP están en el rango del 20% mientras que las de RS son más importantes (en el rango

del 40%). Esto último puede ser debido a la naturaleza distribuida de este parámetro,

cuyo valor puede variar según las condiciones de funcionamiento de la célula [Ara86].

5.7 Conclusiones

Se ha presentado un método de extracción de parámetros de la célula a partir de datos

de la característica I-V de oscuridad usando el modelo de dos exponenciales con

factores de idealidad variables o fijos (por tanto, según los casos, con cuatro, cinco o

seis parámetros ajustables). El ajuste se realiza por minimización de la distancia

ortogonal en un plano de representación (y-x) logarítmico-lineal normalizado a la

relación de aspecto 1:1. El proceso es sencillo de implementar, habiéndose realizado en

hojas de cálculo Excel.

Excepto para los factores de idealidad, en el primer paso los valores iniciales requeridos

por el método se obtienen por ajustes parciales en dos zonas extremas, ajustes

asintóticos, a funciones tangenciales aproximadas en los extremos del margen de datos.

El procedimiento óptimo encontrado y aplicado ha sido el de tratar de aumentar

sucesivamente el número de parámetros de 4 a 5 y de 5 a 6, tomando en cada caso los

finales de una fase como los iniciales de la siguiente.


162

Durante el proceso iterativo, se resuelve un sistema de ecuaciones linealizado a uno

matricial. A partir de la matriz de covarianzas (inversa de la matriz del sistema) se

deducen los errores, o incertidumbres, y correlaciones de los parámetros normalizados.

Mediante la inversión de las expresiones de normalización se obtienen los parámetros

originales de las características así como sus errores absolutos y relativos.

Se ha apreciado que se extraen cuatro y cinco parámetros, habitualmente sin ningún

problema de convergencia. Sin embargo, los problemas aparecen muy frecuentemente

cuando se intentan obtener los seis parámetros del modelo más completo. Esto es

debido a que la matriz del sistema tiende a ser casi-singular. Sin embargo se puede

mejorar el ajuste analizando la información contenida en la propia matriz. Los

elementos de la matriz de correlación nos permiten ver las ligaduras entre parámetros y

así definir el número de verdaderos grados de libertad del sistema de ecuaciones.

Basándose en este análisis, para los casos que dan problemas en la extracción de los seis

parámetros, se pueden intentar diferentes métodos para conseguir la convergencia:

sistemas restringidos o ajuste alternativo por zonas tal como se ha indicado en los

diferentes ejemplos detallados. Por otro lado, reemplazando el vector incremento por

otro proporcional con factor ajustable se consigue una convergencia lenta pero

controlada en el caso de 6 parámetros.

Una estrategia sistemática que conduce a óptimos resultados es la siguiente: 1) se

resuelve el sistema en dos zonas restringidas, para extraer valores iniciales (para 4

parámetros); 2) mediante ajuste en todo el rango de datos, pero manteniendo el número

de parámetros en cuatro, se refinan éstos y se precisa la primera exponencial; 3) se

analiza la posibilidad de mejorar el ajuste con una segunda exponencial de pre-factor

(c2) positivo de modo que, si es así, se incorpora al modelo mientras que se mantiene el

de una sola exponencial si es negativo. Frecuentemente, esto conduce a un juego de

parámetros iniciales desde el que el sistema global converge sin problema con cuatro o

cinco parámetros finales, 4) El modelo en sí está pensado para extraer seis parámetros,

pero en la práctica se ha revelado muy difícil, o muy lento, llegar a ello: Tomando los

cinco parámetros finales del paso 3) como iniciales del nuevo paso se procede a utilizar

un vector λΔp co-lineal con el teórico Δp ajustado de forma que el error estándar

calculado para el nuevo ajuste se reduzca lo máximo posible. El proceso se repite, en

general, con escasa mejora en cada paso.

Capítulo 5 Ajuste de curvas I-V en oscuridad … 5. 7Conclusiones

163

También se ha constatado la importancia de que los datos experimentales cubran un

rango amplio de la curva I-V. La razón, cualitativa, es muy simple: Un parámetro cuya

incidencia es notable en un rango del que escasean los datos será detectable con

dificultad e inseparable de otro concurrente en el mismo rango.

CONCLUSIONES

Conclusiones

167

El objetivo de la tesis ha sido en primer lugar la revisión de los procesos de ajuste de

características IV mediante el método de mínimos cuadrados, estudiando su

fundamentación matemática y estadística.

Respecto al planteamiento matemático, la resolución del sistema de ecuaciones no-

lineales se ha realizado mediante un método iterativo matricial. La inversa de la matriz

del sistema en el entorno de la solución buscada junto con el error estándar del ajuste

informan sobre los errores estándar (o incertidumbres) de los parámetros buscados,

cuantificando la bondad del ajuste. A su vez, el análisis de las matrices normalizadas (o

de correlación) permite extraer información sobre el problema de la convergencia del

sistema y, eventualmente, resolverlo.

Todo método de ajuste se basa en la adopción de un criterio para la definición de la

distancia medidas – modelo. Se han comparado diferentes criterios: distancia vertical,

combinación de tramos y distancia ortogonal; resultando ser este último el mejor y el

más fiable pues conduce a un error de ajuste más pequeño que los obtenidos con los

otros dos.

Sin embargo, este criterio conduce a relaciones implícitas y no-lineales que complican

su aplicación. Mediante desarrollos lineales, se han elaborado aproximaciones explícitas

de las diferentes distancias, que se expresan como la diferencia entre el valor de la

corriente medida y la de un punto sobre la curva – escogido de forma que la tensión

corregida es la misma – afectado por un peso relacionado con la pendiente de ésta. El

uso de esta aproximación conduce a resultados muy parecidos al de las expresiones

completas y es mucho más fácil de implementar, eliminando los principales

inconvenientes del criterio basado en la distancia estrictamente ortogonal.

Con ello se ha desarrollado un procedimiento de ajuste robusto y sencillo para curvas de

iluminación y de oscuridad. Se ha ilustrado el funcionamiento del método, utilizando

medidas sobre dispositivos de una gran variedad de tecnologías de fabricación y

tamaños. La simplicidad matemática del planteamiento permite una implementación

directa, que se ha realizado en hojas de cálculo Excel.

Los resultados han sido satisfactorios en general. Los parámetros físicos se obtienen

junto con sus incertidumbres o errores estándar.


168

En iluminación, se ha usado el modelo de dos diodos para células – con factores de

idealidad fijos - y de uno para sistemas - con factor de idealidad variable -extrayéndose

cinco parámetros. El ajuste es satisfactorio en todos los casos y la convergencia segura.

Los ajustes requieren un conjunto inicial de parámetros cuya elección es bastante

crítica, pues si está muy alejado del mínimo buscado el proceso no puede encontrar el

carril de la convergencia. Se ha desarrollado un procedimiento de parámetros iniciales

sencillo y fiable mediante ajuste por tramos.

Para las características corriente-tensión de oscuridad, se usan los modelos de una y dos

exponenciales con factores de idealidad ajustables en la representación semi-logarítmica

habitual.

Para este caso se utiliza también el criterio ortogonal aproximado. Los parámetros

iniciales se extraen del mismo modo que en las curvas de iluminación.

El método se estructura de tal manera que se va obteniendo un número creciente de

parámetros: se comienza con cuatro, prefijando los factores de idealidad. A partir de

este ajuste se obtiene el valor de uno de éstos: estos cuatro o cinco parámetros se

obtienen sin problemas de convergencia. Sin embargo, éstos aparecen con frecuencia al

aumentar a seis el número de parámetros.

Estos problemas se han analizado mediante las matrices normalizada y de correlación,

revelando las correlaciones entre los parámetros. A menudo esto permite superar el

problema de convergencia controlando el proceso iterativo, realizándolo por etapas en

que alguno de los parámetros se mantiene fijo, o reduciendo proporcionalmente

(variación de amplitud, no de dirección) del “vector incremental de parámetros”.

Cuando ha sido posible, se han comparado las soluciones de los ajustes para curvas de

iluminación y de oscuridad para demostrar su fiabilidad.

Como tareas futuras que podrían continuar este trabajo, podemos mencionar:

• Extender el método establecido a diferentes medidas de interés para dispositivos

fotovoltaicos: por ejemplo, la respuesta espectral, decaimiento de la

fotoconductividad...

Conclusiones

169

• El método y las soluciones sugeridas deben profundizarse para intentar remediar

el carácter caótico que adquiere el proceso iterativo cuando se aumenta el

número de parámetros.

• Del ajuste combinado de características de iluminación y de oscuridad,

realizadas posiblemente a diferentes temperaturas y niveles de iluminación, se

puede extraer información muy precisa sobre los dispositivos, requiriéndose el

empleo de modelos más sofisticados.

• La raíz del problema está en las correlaciones existentes entre los parámetros

que hacen que la matriz del sistema sea casi singular: un método que no se

basara en la representación matricial podría verse libre de estos problemas, lo

que supone cambiar la filosofía del procedimiento.

ANEJOS

ANEJO 1

DERIVADAS PARAMÉTRICAS DE LA DESVIACIÓN ORTOGONAL EN EL

CASO DE ILUMINACIÓN

Anejo 1 Derivadas paramétricas de la desviación ortogonal en el caso de iluminación

175

A1) Derivadas paramétricas de la desviación ortogonal en el caso de iluminación:

Para minimizar la desviación cuadrática media ( 2ε ), siendo ε dada aproximadamente

por (3.19), se ha establecido en el Capítulo 3 un método de cálculo que usa el sistema

matricial (3.22) o (3.28). Los elementos de la matriz M se obtienen, según (3.29) y

(3.21), a partir de las distintas derivadas parciales de la desviación respecto de cada

parámetro y para cada punto experimental.

Se expresan a continuación las derivadas de ε respecto a cada uno de los parámetros

para el modelo general de dos exponenciales con resistencias serie y paralelo y haciendo

caso omiso de la última aproximación expresada en (3.21). Esto hace que debamos

detallar también la función F', derivada de la función F (3.14) respecto a v’, y sus

derivadas respecto a todos los parámetros.

El hecho de ser la variable v’ función a su vez de uno de los parámetros (rs) fuerza a

considerar distintamente la derivada de ε respecto de éste o de cualquiera de los otros

(pj ≠ rs):

sjssss

sjjjj

rprr

FFr

FFr

rppF

FpF

Fp

=∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

≠∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

para ''d

d

para''d

d

εεεε

εεε

(A1.1)

La expresión de la función derivada F’, teniendo en cuenta (3.13) y (3.14), es:

( ) ( )[ ]

1;1

;1

1'

32

222

1

111

312121

−=′−

−=′−

−=′

′−′−−′−′−′=′≡∂∂

fEEkf

EEkf

ffrgffcfFvF

SCOC

SCOC

SP

(A1.2)

Las derivadas de la función F respecto de c2 y gP se obtienen de forma directa:

( ) 31212

2 1; ffrgFFff

cFF S

Pgpc +−−=

∂∂

≡′+−=∂∂

≡′ (A1.3)


176

Y, para la derivada respecto de rS, se tiene:

( ) ( )[ ]iffrgffcfrFF rsSPrsrsrsS

rs +−′−−−−=∂∂

≡′ 11'

2'

12'

1 1 (A1.4)

Con:

( )

( )SCSC

OCrs

SCSC

OCrs

EfiEE

kf

EfiEE

kf

2222

2'2

1111

1'1

1

1

−−

−=

−−

−= (A1.5)

La derivada de F respecto de ISC es:

( ) ( )[ ]

SCSCSC

SiSPiiiSCSC

iSCSC

Ii

II

Ii

rfrgffcfIi

IiF

Ii

iF

IF

−=

−=

∂∂

+′−−−−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅′≡

∂∂

∂∂

=∂∂

2

1'

2'

12'

1

que ya

1 (A1.6)

Con:

22

22'2

11

11'1

1

1

frE

Erkf

frE

Erkf

SSC

SOCi

SSC

SOCi

′=−

−=

′=−

−= (A1.7)

Y la derivada respecto de VOC:

( ) ( )

OCOCOC

OCVocSPVocVocVoc

OCVoc

Vv

VV

Vv

Vvfrgffcf

VFF

−=

−=

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′−−−−=

∂∂

≡′

2

1'

2'

12'

1

que ya

1 (A1.8)

Donde:

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ]( )SCOC

SSCSOCVoc

SCOC

SSCSOCVoc

EVfrEirEkf

EVfrEirEkf

2

2222'2

1

1111'1

111

111

−−−−

=

−−−−

= (A1.9)

Finalmente, para las derivadas de la desviación, se tiene:


177

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )[ ] ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′′

′+′−

′−−′−′

′+′−=

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′′

′+′−

′−−′−−′

′+′−−=

∂∂

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

′+′−

′′−−′′′−−′−′

′+′−=

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′′

′+′−

′−−′−′

′+′−=

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′′

′+′−

′−−′−′

′+′−=

∂∂

Voc

S

SSVoc

SOC

i

S

SSi

SSCSC

S

SrsSSrs

SS

gp

S

SSgp

SP

c

S

SSc

S

FFFr

frrfFFFrV

FFFr

FrrFFFFrI

iI

FFr

FFrFFrrFFFFrr

FFFr

FrrFFFFrg

FFFr

FrrFFFFrc

2222

2222

2222

2222

2222222

1

1

1

1

1

111

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

εε

εε

εε

εε

εε

(A1.10)

Con las expresiones de las derivadas segundas siguientes:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) VocSPVocVocVocOC

Voc

iSPiiii

rsSPrsrsrss

rs

Sp

gpc

frgffcfvF

VF

frgffcfvF

iF

ffrgffcfvF

rF

frvF

gFff

vF

cF

,1,2,12,1

,1,2,12,1

1,1,2,12,1

1212

2

1dd

dd

1dd

dd

1dd

dd

11dd

dd;

dd

dd

′′−−′′−′′−′′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

′′−−′′−′′−′′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

′−′′−−′′−′′−′′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

+′−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′′−′−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

(A1.11)

Siendo:

22

22

2,2

11

11

1,1

1dd

dd

1dd

dd

fE

Eikvf

rf

fE

Eikvf

rf

SC

SCOC

srs

SC

SCOC

srs

′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

222

,2

111

,1

dd

dd

dd

dd

frkvf

if

frkvf

if

SOCi

SOCi

′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

(A1.12)


178

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−+−

′−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−+−

′−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′≡′′

SSC

SCSOC

OCOCVoc

SSC

SCSOC

OCOCVoc

rE

EirkV

fvf

Vf

rE

EirkV

fvf

Vf

11

11dd

dd

11

11dd

dd

2

22

22,2

1

11

11,1

Puesto que en el capítulo 3 se ha contemplado también el caso de cinco parámetros con

una sola exponencial pero de k (o m≠1) ajustable, se añaden a continuación, para

contemplar este caso, las únicas derivadas adicionales que deberán tenerse en cuenta (el

parámetro k sustituye, por convenio, al anterior prefijado kOC1 y el anterior parámetro c2

tomará el valor prefijado 0):

( )[ ]kSPkk frgfkFF 1

'1 1 ′−−=

∂∂

≡′ (A1.13)

Con:

SC

SCSSk E

fErEirvf1

111'1 1

)1()1(−

−−−−= (A1.14)

En el Capítulo 3 y a la vista de las expresiones (A1.10), la aproximación final de las

derivadas proviene de despreciar en estas el último sumando, proporcional al propio ε

individual. Esto hace que tanto εO como sus derivadas paramétricas equivalen, en la

aproximación de primer orden, a las de εy ponderadas por la misma función de peso wi,

como se ve en la siguiente expresión traslada aquí por comodidad.

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )∑∑==

Δ+≡Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+≅

⋅=∂

∂≅

∂∂

+∂

∂=

∂∂

+∂

∂=

∂∂

+∂

∂=

∂∂

pp n

jjijiy

n

jj

ijiyiy

ijij

iyi

j

iiO

j

iyi

j

iiyi

j

iyi

j

iiy

j

iyi

j

iO

pfppF

fwp

w

pw

pw

pww

pw

pw

pw

p

10,

10,,

,

,,

,,

,,,

que ya

lnln

εεε

ε

εε

εε

εεε

(A1.15)

Se puede apreciar que las expresiones se simplifican grandemente sin afectar

apreciablemente a los resultados ni a su proceso de obtención, como se ha comprobado


179

en el Capítulo 3. Bien al contrario, los términos proporcionales a ε pueden considerarse

como una especie de “ruido numérico” que en ocasiones colabora a la inestabilidad del

proceso de aproximaciones sucesivas.

ANEJO 2

DERIVADAS PARAMÉTRICAS DE LA DESVIACIÓN ORTOGONAL EN EL

CASO DE OSCURIDAD

Anejo 2 Derivadas paramétricas de la desviación ortogonal en el caso de oscuridad

183

A2) Derivadas paramétricas de la desviación ortogonal en el caso de oscuridad

De manera similar al método de cálculo desarrollado para la curva de iluminación, se

utiliza el sistema matricial (5.11) para ajustar la curva de oscuridad. Los elementos de la

matriz se obtienen, como expresa (5.12), a partir de las derivadas paramétricas de la

desviación ε (5.7) que se repite aquí por comodidad

( ) ( ) ( )( ) wiF

FFLFr

iF

nS

⋅−≡′+′+

−= lnln

1

lnln222

ε

(A2.1)

Las diferentes derivadas de la desviación son (para cualquiera de los parámetros p ≠ rs y

para el propio rs):

sssss

s

rw

rF

FrF

Frrp

pF

FpF

Fprp

∂∂

+∂′∂

′∂∂

+∂∂

∂∂

==

∂′∂

′∂∂

+∂∂

∂∂

=≠

lndd:

dd:

εεεε

εεε

(A2.2)

Desarrollando cada término en (A2.2) teniendo en cuenta la forma (A2.1) se tiene, en

primer lugar, para la derivada parcial de la desviación ε respecto a F : 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′⋅⋅+=

∂∂

FFw

FFw

Fεε

(A2.3)

Y para la derivada respecto a F’ :

( )( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′+⋅−=′∂

∂FF

FLFrrw

F nss11 22εε

(A2.4)

La componente específica que aparece en la expresión de dε/drs es:

( ) ( ) ( ) ( )( )22222

11ln21ln

nSS

nS

S

LFrFwr

FFLFrr

w ′+⋅′−=∂

′+′+∂−=

∂∂

(A2.5)

Por otra parte, teniendo en cuenta la expresión (5.3) de F que, por comodidad, se

reproduce a continuación:


184

( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] vgkvkckvkc

vgfcfcF

p

p

′+−−′−−+−−′−−

=′++=

222111

2211

exp1expexp1exp

(A2.6)

Se obtienen las derivadas parciales de F respecto a los parámetros:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 2222

1111

222111

2222

1111

exp1exp1

exp1exp1

)1(exp1exp'

exp1exp

exp1exp

kvkvckF

kvkvckF

gvkkcvkkcirv

vF

rF

vgF

kvkfcF

kvkfcF

PSS

P

−−′−−′−−=∂∂

−−′−−′−−=∂∂

+′−−+′−−−=∂∂

′∂∂

=∂∂

′=∂∂

−−′−−==∂∂

−−′−−==∂∂

(A2.7)

Por último, teniendo en cuenta la expresión de F’:

( )[ ] ( )[ ] pgvkkcvkkcF +′−−+′−−=′ 1exp1exp 222111 (A2.8)

las derivadas parciales de F’ respecto a los parámetros son:

Anejo 2 Derivadas paramétricas de la desviación ortogonal en el caso de oscuridad

185

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

( )( ) ( )

( )( ) ( ) vkvkckF

vkvkckF

vkkcvkkcirFgF

vkkcF

vkkcF

S

P

′−−′−−=∂

′∂

′−−′−−=∂

′∂

′−−+′−−−=∂

′∂

=∂

′∂

′−−=∂

′∂

′−−=∂′∂

111exp

111exp

1exp1exp

1

1exp

1exp

2222

1111

22221

211

222

111

(A2.9)

Como se dijo en los Capítulos 3 y 5, en todas las derivadas del error respecto de los

parámetros acaba apareciendo un término absolutamente dominante (que procede del

primer término de ∂ε/∂F) y un conjunto de ellos secundarios (proporcionales a cada ε

local y, por tanto, de media prácticamente nula). Eso hace posible utilizar las

expresiones alternativas (y en la práctica muy bien aproximadas) que reducen las

derivadas de la desviación a las derivadas de la función (F o lnF) afectadas por una

misma función de peso multiplicador, w. Así, en este caso de oscuridad, teniendo en

cuenta (A2.1) y (A2.3) se tiene, para cualquier parámetro, pj:

jjj pFw

pF

Fw

p ∂∂

=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅

∂∂ lnε

(A2.10)

Que, como se puede apreciar, constituye una notable simplificación de los cálculos, sin

detrimento de la fiabilidad de los resultados.

Puesto que en los ejemplos se ha manejado el caso de cinco parámetros con k1 y k2

ligados (k2 = ½ k1), conviene particularizar también las expresiones de las derivadas

para este caso: Se mantienen todas las expresiones anteriores, excepto las de derivadas

respecto de k1 y no se consideran derivadas respecto de k2, puesto que no es un

parámetro independiente, así que si cambiamos el valor de k2 por ½ k1 la función F será

( )( ) ( )[ ] ( ) vgkvkckvkcF p ′+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−−+−−′−−=

2exp1

2expexp1exp 11

2111

(A2.11)


186

Y su derivada F’ respecto de v’:

( )[ ] ( ) pgvkkcvkkcF +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−−+′−−=′ 1

2exp

21exp 11

2111

(A2.12)

Finalmente la derivada respecto de k1 se calculará como:

1111 d

d:kF

FkF

Fkkp

∂′∂

′∂∂

+∂∂

∂∂

==εεε

con

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−−′−−−−′−−′−−=

∂∂

2exp1

2exp1

21exp1exp1 11

21111

kvkvckvkvckF

y

( )( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+′−−′−−=

∂′∂ '1

2exp'1

21

21111exp 11

21111

vkvkcvkvkckF

(A2.13)

ANEJO3

CALCULO DE INCERTIDUMBRES

Calculo de incertidumbres

189

A3.1. Introducción

Se resumen los detalles del cálculo de incertidumbres o errores de los diferentes casos

de iluminación y oscuridad.

Se ha definido en el Capítulo 2 el error estándar del ajuste (2.12) cuya expresión por

comodidad trasladamos aquí:

∑=−

=⋅−

=dn

ii

pdpd

d

nns

nnn

1

2ajuste

1 εσ (A3.1)

Los errores estándar de los parámetros normalizados vienen dados por los elementos

diagonales de la matriz de co-varianzas y se definen como:

( )( )

d

jjs

jp n

Mp

j

1ajuste 2var

−

=≡σ

σ (A3.2)

A3.2. Incertidumbres de relaciones funcionales de parámetros

Se trata aquí de obtener relaciones genéricas aproximadas para las incertidumbres y

correlaciones de nuevos parámetros que se deduzcan de los preestablecidos mediante

ciertas relaciones funcionales. Típicamente será el caso de dos parámetros genéricos,

Pi y Pj, expresables en función de algunos de los np parámetros normalizados (o,

generalizando, de todos) pl, l = 1,…,np.

( ) ( )pp njjnii ppPPppPP ,,;,, 11 LL ≡≡ (A3.3)

Supondremos que, sobre estos últimos, interpretados como variables estadísticas, se

conoce el conjunto de valores esperados medios, lp , y de covarianzas o correlaciones

(incluyendo en el término las varianzas, 2lpσ ):


190

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) p

llplllll

klppkkllkl nlklppppppp

pppppppp

l

kl ,,1,1,correl;,covarvar

,correl,covar22 L=≥

≡≡−≡≡

=−−≡

σ

σσ

(A3.4)

Y admitiremos que, habiendo sido obtenidos los parámetros pl con incertidumbres

relativamente pequeñas, las funciones (A3.3) pueden aproximarse mediante

desarrollos de orden no superior al segundo en el entorno del conjunto de valores

medios lp :

( )

( )

( )( )∑∑∑= ==

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+≅

p p

l

p

l

n

l

n

kkkll

pkl

jin

lll

pl

jiljiji pppp

ppP

pppP

pPP1 1

,2

1

,,, 2

1 (A3.5)

De modo que, teniendo en cuenta las relaciones (A3.4) y que ( ) 0=− ∀ lll pp , para el

valor esperado medio de cualquiera de los nuevos parámetros se tiene:

( )

( )

( )

( )∑∑∑

∑∑

= >=

= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

+≅

p

kl

l

p

l

l

p p

kl

l

n

l lkklpp

pkl

jin

lp

pl

jilji

n

l

n

kklpp

pkl

jiljiji

pppp

PpP

pP

pppp

PpPP

1

,2

1

22,

2

,

1 1

,2

,,

,correl21

,correl21

σσσ

σσ

(A3.6)

Lo que implica diferencias de segundo orden entre el valor medio de la función y el de

la función particularizada en los valores medios.

Despreciando también términos de orden superior al producto de dos incertidumbres

se obtiene, para la covarianza:


191

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )( )

( )∑∑∑∑

∑∑

∑∑

= == =

≅

= =

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅

∂∂

=−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

≅

⋅−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂⋅++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

≅

≅⋅−⋅=−−=

p p

kl

l

p p

ll

p p

kl

ll

ll

p

l

p

l

n

l

n

kklpp

pk

j

l

in

l

n

kllll

pk

j

pl

i

ji

n

l

n

kklpp

pkl

ij

pkl

jipjpi

n

kkk

pk

jn

lll

pl

i

jijijjiiji

pppP

pPpppp

pP

pP

PPpppp

PPpp

PPPP

pppP

pppP

PPPPPPPPPP

1 11 1

0

1 1

22

11

,correl

,correl21

,covar

σσ

σσ

(A3.7)

Y, para las varianzas e incertidumbres (basta hacer i = j en la anterior):

( )

( )

( )∑∑

∑∑

= =

= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅∂∂

≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅∂∂

≅=

p p

kl

l

i

p p

kl

l

i

n

l

n

kklpp

pk

i

l

iP

n

l

n

kklpp

pk

i

l

iPi

pppP

pP

pppP

pPP

1 1

1 1

2

,correl

,correlvar

σσσ

σσσ

(A3.8)

Nótese que si la correlación de cualquier par de parámetros fuera despreciable (con

l≠k; la de cada uno consigo mismo será siempre +1) resultaría:

( )

∑=

≠∀ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

≅=p

l

l

i

n

lp

pl

iPklkl p

Ppp1

22

2:0,correl Si σσ (A3.9)

Y en otro hipotético caso extremo:

( )

( )[ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

≅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

≅

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅∂∂

=

±=

∑

∑

=

=∀

p

l

l

i

p

l

l

i

l

n

lp

pl

iP

n

lp

pl

iP

pk

i

l

ikl

klkl

pP

pP

pP

pPpp

pp

1

2

1

2

,

sign,correlsign

y 1,correl

Si

σσ

σσ

(A3.10)


192

Resultados, estos últimos, que pueden interpretarse como estimaciones con “margen

de seguridad” por exceso para cualquier caso práctico. Son, las (A3.10), expresiones

frecuentemente usadas en la estimación de incertidumbres y errores de funciones de

variables aleatorias. También, en esta tesis se ha hecho así.

A3.3. Cálculo de incertidumbres en el caso de iluminación

En el caso de iluminación los parámetros normalizados pj en (3.7) tienen los errores

estándar σ(ISC), σ(VOC), σ(rs), σ(gP), σ(c2) que se extraen de la matriz de covarianzas.

A partir de esos resultados y de las relaciones existentes entre los parámetros

normalizados y los parámetros originales (3.5), (3.7), se deducen los errores estándar

de cada parámetro original mediante la expresión (A3.10) que, en lo sustancial,

reproducimos a continuación:

( ) ( ) pl

n

l l

jj nljp

pP

Pp

,...,1y,1

=∂

∂= ∑

=

σσ (A3.11)

Donde Pj es un parámetro original del modelo convencional, que puede ser función de

los np parámetros normalizados, pl. Así, detallamos las expresiones de las

incertidumbres relativas en lo que sigue para cada parámetro original:

2,1con )()( )(

)()(:0 si;)()()()(

)()(:0 si;)()()()(

0

0

0

0 =+=

===++=

===++=

iII

ii

II

gVIGGg

VV

gg

II

GG

rIVRRr

II

VV

rr

RR

SC

SC

i

i

i

i

POC

SCPPP

OC

OC

P

P

SC

SC

P

P

SSC

OCSSS

SC

SC

OC

OC

S

S

S

S

σσσ

σσσσσσ

σσσσσσ

(A3.12)

El error relativo σ(IL)/IL se calcula a partir de la segunda de (3.9) que puede reducirse

a:

( )[ ] ( )[ ] SPSOCSOCSPL rgrkirkirgi +≅−+−++= 11exp1exp1 202101 (A3.13)


193

Donde se han despreciado, frente a 1, los términos con factores i01 e i02 (lo que solo

sería incorrecto para valores de rS inusualmente próximos a 1). Además, según la

relación (3.7) entre iL e IL, tendremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++≅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

++≅+=

⇒=

pSSPSC

SC

L

LSp

p

p

S

S

SP

SP

SC

SC

L

L

SC

SC

L

L

SCLL

grrgII

IIrg

gg

rr

rgrg

II

ii

II

II

IiIσσσσ

σσσσσσ

:nulo ó si

1

(A3.14)

Como suele ocurrir que gP, rS y gPrS = GPRS << 1, los segundos sumandos también

serán con frecuencia despreciables frente al primero y, habitualmente:

( ) ( )SC

SC

L

L

II

II σσ

≅ (A3.15)

Se desarrolla a continuación el primer término del segundo miembro en la tercera

ecuación de (A3.12). Siendo la relación entre ci e i0i la siguiente:

( ) ( )[ ] SOCiOCiii rkkic −−−≡ 1exp1exp0

(A3.16)

y que la segunda exponencial es muy pequeña respecto de 1, se deduce la expresión de

σ(i0i)/i0i como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )OC

OCOCi

i

iOCi

i

i

OCi

OCi

i

i

i

i

VVk

cck

cc

kk

cc

ii σσσσσσσ

+=+=+≅expexp

0

0

(A3.17)

Con (A3.11) y (A3.17) el error relativo de I0i puede ponerse como:

2,1con )()()( )(

0

0 =++≅ iII

VVk

cc

II

SC

SC

OC

OCOCi

i

i

i

i σσσσ (A3.18)


194

La forma de obtener σ(ci)/ci es distinta para c2 y c1. Para c2 se obtiene directamente

del proceso matricial, pero para c1 se calcula mediante:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2

1

121

111c

rggrcccrgcc SPPS

SPσσσσ +−+

=⇒−−−= (A3.19)

A3.4. Cálculo de incertidumbres en el caso de oscuridad

En el caso de oscuridad se define el error de ajuste del mismo modo. Se extraen los

errores estándar de los parámetros normalizados σ(rs), σ(gP), σ(c2), σ(c1), σ(k2), σ(k1)

de la matriz de covarianzas. Quedan por definir los errores relativos de los parámetros

originales. Para desarrollar los cálculos, se traslada aquí el conjunto de ecuaciones

(5.2):

( )

202

2022101

1011

2

11

22

11

00

expexp;expexp

;

1

;

kIIkick

IIkic

mmk

VmVk

VmVk

IVG

VIRg

IIi

VIRr

MM

t

M

t

M

M

MP

MMPP

M

ii

M

MSS

====

===

==

==

(A3.20)

Donde IM y VM (a diferencia de ISC y VOC de los casos de iluminación) son valores

preestablecidos (fijos) y, por tanto, de incertidumbre nula.

Se deducen entonces los errores relativos de RS y GP como:

P

P

M

M

P

P

P

P

S

S

M

M

S

S

S

S

gg

VI

Gg

GG

rr

IV

Rr

RR

)()()(

)()()(

σσσ

σσσ

==

== (A3.21)

Las σ(ci) están dadas directamente por la matriz de co-varianzas con lo que los

σ(i0i)/i0i se calculan como sigue:


195

( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )ii

i

i

i

i

i

i

i kcc

kk

cc

ii σσσσσ

+=−−

+≅expexp

0

0 (A3.22)

Las relaciones entre i0i e I0i tienen lugar también mediante un factor constante, IM, con

lo que el error relativo de I0i se deduce como:

)()()(

2,1con )()(

0

0

0

0

0

0

ii

i

i

i

i

i

i

i

kcc

II

iii

II

σσσ

σσ

+≅

==

(A3.23)

σ(k2) y σ(k1) son los valores extraídos de la matriz de errores. A partir de la ecuación

(A3.20), se deducen los errores σ(m1) y σ(m2) y luego se calculan σ(m1)/m1 y

σ(m2)/m2. En el caso de que la temperatura no sea conocida se ajustan los valores

miVt, definiéndose entonces σ(miVt)/miVt).

i

i

ti

ti

i

i

i

i

kk

VmVm

ikk

mm

)( )( ó 2,1con

)( )(

σσ

σσ

=

=

=

(A3.24)

BIBLIOGRAFíA

199

A

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