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Sistema de Ecuaciones No Lineales
Mg. Hermes Pantoja Carhuavilca
Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingenieria Industrial
Métodos Computacionales
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Sistema deEcuaciones No
LinealesMg. HermesPantoja C.
IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Universidad Nacional Mayorde San Marcos
Facultad de IngenieriaIndustrial
Agenda
IntroducciónIntroducción
Localización de RaícesLocalización de Raíces
Métodos de SoluciónBisecciónRegula FalsiMétodo de la secanteMétodo del Punto FijoMétodo de NewtonMétodo de Muller
Sistema de ENLIntroducciónMétodo del Punto FijoMétodo de Newton
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Sistema deEcuaciones No
LinealesMg. HermesPantoja C.
Introducción3 Introducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Antecedente
I La finalidad principal de las matemáticas aplicadas esdeterminar valores de x que cumplan con f (x) = 0. Aestos valores les denominamos raíces o ceros de laecuación.
I Para polinomios de primer a tercer orden existenfórmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sinembargo para grados superiores la situación se complica.
I En muchos casos no se puede resolver la ecuación deforma analítica salvo por aproximaciones sucesivas.
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaíces
4 Localización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Métodos Gráficos
Los métodos Gráficos son utiles porque proporcionan unvalor inicial a ser usado por otros métodos
EjemploLocalice gráficamente las raíces de f (x) = 0, siendo
f (x) = |x | − ex
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaíces
5 Localización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Solución:
En primer lugar, se debe reescribir la ecuación
f (x) = 0 . . . (1)
a una forma equivalente
f1(x) = f2(x) . . . (2)
Siendo f1 y f2 funciones cuyas gráficas sean más simple quela de f . Asimismio las raíces de (1) serán soluciones de (2),i.e, los puntos de intersección de f1 y f2.
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaíces
6 Localización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Continuación...
De la ecuación, entonces f (x) = 0⇔ |x | = ex
Haciendo: f1(x) = |x |, f2(x) = ex , graficando f1 y f2.Del gráfico verificamos que el punto(único) de intersección,x∗, se sitúa en el intervalo 〈−1, 0〉.
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
7 Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Métodos de los Intervalos
I Estos métodos empiezan con un intervalo que contienea la raíz y un procedimiento es usado para reducir elintervalo que contiene a la raíz.
I Ejemplos de métodos de intervalos :I Método de la BisecciónI Método de Falsa posición
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
8 Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Métodos de Solución
Muchos métodos son disponibles para resolver ecuaciones nolineales
I Método de BisecciónI Método de NewtonI Método de la SecanteI Método de Falsa PosiciónI Método de MullerI Iteración del Punto Fijo
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
9 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Teorema
Teorema (Bolzano)Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] tal quef (a) ∗ f (b) < 0. Entonces existe c ∈ 〈a, b〉 tal que f (c) = 0.
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
10 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Método de la Bisección
Requisitos:f (x) es continua en el intervalo [a, b] , f (a) y f (b) debentener signo opuesto.
Definición (Método de la Bisección:)Dado un intervalo [a, b] que contiene un cero de f (x) , encada iteración, el método de la Bisección reduce el intervaloque contiene al cero a un 50%.Los requisitos garantizan la existencia de al menos una raíz ren [a, b] tal que f (r) = 0 y el método de Bisección converge
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
11 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Continuación...
Cálculo de las raíces f (x) = 0Primera Iteración:Punto medio:x1 =
a + b2
Evaluación de la funciónen el punto medio f (x1)Determinación delnuevo intervalo debúsqueda.
Si (f (x1).f (a) < 0) entonces: b ← x1Si (f (x1).f (a) > 0) entonces: a← x1 ⇐ (En el dibujo)
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
12 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Continuación...
Segunda Iteración:Punto medio:x2 =
a + b2
Evaluación de la funciónen el punto medio f (x2)Determinación delnuevo intervalo debúsqueda.
Si (f (x2).f (a) < 0) entonces: b ← x2Si (f (x2).f (a) > 0) entonces: a← x2 ⇐ (En el dibujo)
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
13 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Continuación...
Tercera Iteración:Punto medio:x3 =
a + b2
Evaluación de la funciónen el punto medio f (x3)Determinación delnuevo intervalo debúsqueda.
Si (f (x3).f (a) < 0) entonces: b ← x3Si (f (x3).f (a) > 0) entonces: a← x3 ⇐ (En el dibujo)
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
14 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
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Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Ejemplo:
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
15 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Ejemplo:
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
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16 Bisección
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Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
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Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Número de Iteraciones
¿Cuántas iteraciones deben realizarse para asegurar que laraíz buscada dista menos de ε de la solución exacta?Al comenzar el intervalo de búsqueda mide: L0 = (b − a)Tras la primera iteración el nuevo intervalo de búsquedamide: L1 =
12L0 =
12(b − a)
Tras la segunda iteración el nuevo intervalo de búsquedamide: L2 =
12L1 =
122 (b − a)
. . .Tras la n-ésima iteración el nuevo intervalo de búsquedamide: Ln =
12Ln−1 =
12n (b − a)
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Métodos deSolución
17 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
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Continuación...
Si se toma como raíz aproximada tras n iteraciones el puntomedio del intervalo de búsqueda (punto xn+1) la distancia ala raíz exacta x∗ será menor que 1
2Ln.Luego:
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Métodos deSolución
18 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Continuación...
Una precisión mayor que ε se asegura realizando un númerode iteraciones (n) tal que:
|x∗ − xn+1| ≤b − a2(n+1)
< ε −→ 2n+1 >b − aε
−→ (n + 1) ln(2) > ln(b − a
ε
)−→ n >
ln(b − a
ε
)ln(2)
− 1
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
19 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Ejemplo
EjemploEncontrar la raíz de la función f (x) = x3 − 3x + 1 en elintervalo [0, 1]
Solución:I f (x) es continuaI f (0) = 1, f (1) = −1 −→ f (a) ∗ f (b) < 0I Podemos usar el método de Bisección para encontrar la
raíz.
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
20 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Ejemplo:
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Métodos deSolución
21 Bisección
Regula Falsi
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Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Algoritmo de la Bisección
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Métodos deSolución
22 Bisección
Regula Falsi
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Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Análisis del Método de Bisección
Teorema (Teorema de la Bisección)Si f es continua en [a, b], y existe s, una única raíz def (x) = 0. Si f (a) ∗ f (b) < 0 entonces:
|s − xk+1| ≤b − a2k+1 k = 0, 1, 2, . . .
y la sucesión {xk} converge a la raíz s.
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Métodos deSolución
23 Bisección
Regula Falsi
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Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Ejemplo
EjemploUsar el método de la bisección para aproximar la raízf (x) = e−x − ln x, comenzando en el intervalo [1, 2] con unaprecisión de 3 c.d.eSolución: a = 1; b = 2x1 =
a + b2 = 1.5
f (x1) = −0.1823 < 0; f (1) > 0; f (2) < 0De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo[1,1.5]a=1; b=1.5La nueva aproximación es x2 =
1 + 1.52 = 1.25
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Métodos deSolución
24 Bisección
Regula Falsi
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Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
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Con una precisión de 3 cifras decimales exactas:Tol = 0.5 ∗ 10−3
n ≥ln( 2− 10.5 ∗ 10−3
)ln 2 − 1 = 9.9658
Para alcanzar la precisión se requiere como mínimo: 10iteraciones. Tras 10 iteraciones se alcanza la precisióndeseada.
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Métodos deSolución
25 Bisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
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Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Tabla
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
26 Bisección
Regula Falsi
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Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Algoritmo
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSolución
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Regula Falsi
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Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
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Observaciones
VentajasI Simple y fácil de implementarI Se evalua solo una función por iteraciónI el tamaño del intervalo que contiene el cero es reducido
al 50% después de cada iteración.I El número de iteraciones pueden ser determinado a
prioriI No se necesita la derivada.I La función no tiene que ser diferenciable
DesventajasI LentaI Aproximaciones intermedias buenas podrían ser
descartadas
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
28 Regula Falsi
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Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Método Regula Falsi (Motivación)
¿Cúal es la recta que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))?
y =f (b)− f (a)
b − a (x − a) + f (a)
¿Cual es la intersección de la recta con el eje X .
c = a − f (a)b − a
f (b)− f (a)
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
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29 Regula Falsi
Método de la secante
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Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Método Regula Falsi
1. Determinar un intervalo [a,b] tal que f(a) tiene signodistinto de f(b).
2. Hallar el punto c que divide el intervalo [a,b] en partesproporcionales a f(a) y f(b).
c = a − f (a)b − a
f (b)− f (a)=
af (b)− bf (a)
f (b)− f (a)
3. La intersección de esta recta con el eje X es unaaproximación a la raíz
4. Elegir, entre [a,c] y [c,b], un intervalo en el que lafunción cambie de signo.
5. Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la precisióndeseada.
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30 Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Método Regula Falsi
c =af (b)− bf (a)
f (b)− f (a)
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Métodos deSoluciónBisección
31 Regula Falsi
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Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Algoritmo
Algoritmo del Método de Regula Falsi
1. a0 = a, b0 = b2. Para n = 0, 1, . . . , hacer:
I mn =anf (bn)− bnf (an)
f (bn)− f (an)I Si f (an)f (mn) < 0, tomar an+1 = an, bn+1 = mn; en
caso contrario, tomar an+1 = mn, bn+1 = bn
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
32 Regula Falsi
Método de la secante
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Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Ejemplo
EjemploUsar el método Posición Falsa para aproximar la raízf (x) = e−x − ln x, comenzando en el intervalo [1, 2].Solución: a = 1; b = 2x1 = a − f (a)
b − af (b)− f (a)
= 1− f (1)2− 1
f (2)− f (1)=
1.397410482f (x1) = −0.087384509 < 0; f (1) > 0; f (2) < 0De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo[1,1.397410408]a=1; b=1.397410408La nueva aproximación es x2 =1.321130513.
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Regula Falsi
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Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Método de la secante
Dada una función f (x) contínua en el intervalo [a, b] dondeexiste una única raiz, es posible determinar una aproximaciónde la raiz a partir de la intersección de la secante de la curvaen dos puntos x0 y x1 con el eje X.
xn+1 = xn − f (xn)
[ xn − xn−1f (xn)− f (xn−1)
]; n ≥ 1
xn+1 =xn−1f (xn)− xnf (xn−1)
f (xn)− f (xn−1)
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
34 Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Universidad Nacional Mayorde San Marcos
Facultad de IngenieriaIndustrial
Método de la secante
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
35 Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Universidad Nacional Mayorde San Marcos
Facultad de IngenieriaIndustrial
Algoritmo
Algoritmo del Método de la Secante
1. x0 = a, x1 = b2. Para n = 1, 2, . . ., hacer
xn+1 =xn−1f (xn)− xnf (xn−1)
f (xn)− f (xn−1)
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Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
36 Método de la secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Facultad de IngenieriaIndustrial
Ejemplo
EjemploUsar el método de la secante para aproximar la raízf (x) = e−x2 − x, comenzando con x0 = 0 , x1 = 1.Solución:Tenemos que f (x0) = 1 y f (x1) = −0.6321Sustituimos en la fórmula de la secante para calcular laaproximación x2
x2 = x1 − f (x1)(x1 − x0
f (x1)− f (x0)) =
= 1− f (1)(1− 0
f (1)− f (0)) = 0.6127
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Regula Falsi
Método de la secante
37 Método del Punto Fijo
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Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Método del Punto Fijo
Definición (Punto Fijo)Un punto fijo de una función g es número p tal queg(p) = p.
EjemploPara calcular los puntos fijos de la función g(x) = x2 − 6,consideramos la ecuación g(x) = x, i.e. x2 − x − 6 = 0.Puntos fijos: 3 y −2.Conexiones entre dos problemas: búsqueda de los puntosfijos y búsqueda de las raícesSi g tiene punto fijo p, entonces f (x) = g(x)− x tiene uncero en p. Si f tiene una raíz p, entonces g(x) = x − f (x)tiene punto fijo p (También g(x) = x + 5f (x) tiene puntofijo p). Hay muchas formas de construir g que tiene puntofijo p.
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
38 Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Método del Punto Fijo
1. Transformar la ecuación f (x) = 0 en una ecuaciónequivalente de punto fijo: x = g(x).
2. Tomar una estimación inicial x0 del punto fijo x∗ de g.(x∗ punto fijo de g si g(x∗) = x∗).
3. Para k = 1, 2, 3, . . . hasta que converja, iterarxn+1 = g(xn).
Teorema (Sobre la existencia y unicidad del punto fijo)
a) Sea g ∈ C [a, b] tal que g(x) ∈ [a, b] para todox ∈ [a, b]. Entonces g tiene un punto fijo en [a, b].
b) Sea g ∈ C [a, b] tal que g(x) ∈ [a, b] para todox ∈ [a, b], g ′ existe en todo punto de 〈a, b〉 y existek ∈ 〈0, 1〉 tal que |g ′(x)| ≤ k para todo x ∈ 〈a, b〉.Entonces el punto fijo de g en [a, b] es único.
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
39 Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Facultad de IngenieriaIndustrial
Convergencia
Convergencia
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
40 Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Divergencia
Divergencia
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Sistema deEcuaciones No
LinealesMg. HermesPantoja C.
IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
41 Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Ejemplos
EjemploVerificar si la función g(x) =
x2 − 13 cumple las condiciones
del teorema en el intervalo [−1, 1]; en el intervalo [3, 4].Calcular los puntos fijos de g.
EjemploConsidere la función f (x) = x5 + x − 1 en el intervalo [0, 1].Construir una función g que cumpla con las condiciones delteorema y que tenga el punto fijo p. Probar las siguientesfunciones
I g(x) = 1− x5
I g(x) =1
x4 + 1I g(x) = 5√1− x
73
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
42 Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Teorema
Teorema (Iteración de punto fijo)Sea g ∈ C [a, b] tal que g(x) ∈ [a, b] para todo x ∈ [a, b],existe g ′ en 〈a, b〉 y existe k ∈ 〈0, 1〉 tal que |g ′(x)| ≤ k paratodo x ∈ 〈a, b〉. Entonces, para cualquier númerop0 ∈ [a, b], la sucesión {pn}∞n=1 definida por
pn = g(pn−1), n ≥ 1
converge al punto fijo de la función g en [a, b]. Presentadocomo cota de error
|pn − p| ≤ kn
1− k |p0 − p1|, n ≥ 1
73
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
43 Método del Punto Fijo
Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Ejemplo
EjemploUsar el método del punto fijo para aproximar las raices def (x) = x2 − 2x − 3, comenzando con x0 = 4.Solución:Existen muchas formas de cambiar la ecuación f (x) = 0 a laforma x = F (x) , efectuando manipulaciones algebraicassimples.Para el ejemplo, sea:
x = F (x) =√2x + 3
Evaluamos la función F en un punto inicial x0x1 = F (x0) = F (4) = 3.31662x2 = F (x1) = F (3.31662) = 3.03439
73
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IntroducciónIntroducción
Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
44 Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Método de Newton
El método de Newton-Raphson, también llamadosencillamente método de Newton, es el método más famosopara hallar los ceros de una función. A diferencia del métodode la bisección, necesita que se evalúe la derivada f ′(x)además de la propia función.
I Es lejos uno de los métodos más usados para resolverecuaciones.
I A partir de una estimación inicial x0 se efectúa undesplazamiento a lo largo de la tangente hacia suintersección con el eje x, y se toma ésta como lasiguiente aproximación.
73
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
45 Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Interpretación Geométrica
La ecuación de la rectatangente es:
y−f (xn) = f ′(xn)(x−xn)
Cuando y = 0, x = xn+1o sea
0− f (xn) = f ′(xn)(xn+1 − xn)
o
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn)
73
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
46 Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Continuación...
Más concretamente el método de Newton consiste engenerar las sucesión{
xi+1 = xi −f (xi )
f ′(xi )
}∞i=0
a partir de un valor x0 dado.Si denotamos
g(x) = x − f (x)
f ′(x)
Estamos en presencia de un caso particular del método delPunto Fijo.
73
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Localización deRaícesLocalización de Raíces
Métodos deSoluciónBisección
Regula Falsi
Método de la secante
Método del Punto Fijo
47 Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Ejemplo
EjemploAproximar la solución de la ecuación x2 − 4 = 0 utilizando elmétodo de Newton, x0 = 1, x0 = 3
73
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48 Método de Newton
Método de Muller
Sistema de ENLIntroducción
Método del Punto Fijo
Método de Newton
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Propiedad
PropiedadSi la función g(x) = x − f (x)
f ′(x)definida en [a, b] toma
valores en [a, b], es de clase C1([a, b]) y además:
|g ′(x)| =
∣∣∣∣ f ′′(x).f (x)
(f ′(x))2
∣∣∣∣ < 1, ∀x ∈ [a, b]
entonces la sucesión dada por{xi+1 = xi −
f (xi )
f ′(xi )
}∞i=0
obtenida a partir de cualquier punto x0 ∈ [a, b] convergehacia la única solución de la ecuación f (x) = 0 en [a, b].
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49 Método de Muller
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Método de Muller
El método de Muller es similar al método de la secante, peroa diferencia de éste; el método de Müller hace uso de unaparábola para aproximar a la raíz. El método consiste enobtener los coeficientes de la parábola que pasan por los trespuntos, Dichos coeficientes se sustituyen en la fórmulacuadrática para obtener el valor donde la parábola intersectaal eje x; es decir, la raíz estimada. La aproximación sefacilita al escribir la ecuación de la parábola en una formaconveniente.
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50 Método de Muller
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Método de Muller
I Utiliza tres aproximaciones: x0, x1, x2.I Determina la siguiente aproximación x3 encontrando la
intersección con el eje X de la parábola definida por lospuntos (x0, f (x0)), (x1, f (x1)), (x2, f (x2)).
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Método de Muller
Se considera el polinomio
P(x) = a(x − x2)2 + b(x − x2) + c
Se puede encontrar a, b y c resolviendo
f (x0) = a(x0 − x2)2 + b(x0 − x2) + c
f (x1) = a(x1 − x2)2 + b(x1 − x2) + c
f (x2) = a(x2 − x2)2 + b(x2 − x2) + c
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53 Método de Muller
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Continuación...
Otra Formah0 = (x1 − x0), h1 = (x2 − x1)
δ0 =f (x1)− f (x0)
x1 − x0, δ1 =
f (x2)− f (x1)
x2 − x1
Luego:a =
δ1 − δ0h0 + h1
b = ah1 + δ1
c = f (x2)
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54 Método de Muller
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El método de Müller converge bastante rápidamente.Además, se puede utilizar en el caso de raíces complejas.Para evitar overflows cuando a es muy pequeño, esconveniente escribir x − x2 como
x − x2 =2c
−b ∓√b2 − 4ac
. . . (∗)
tomando el signo que haga máximo el módulo deldenominador. El método de Müller puede tomar comovalores de comienzo números complejos, en cuyo caso sirvepara obtener raíces complejas.
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Dado los puntos en valor creciente: x0 < x2 < x1; evaluamosen (∗) y obtenemos x3. Los nuevos puntos seran: x1, x2, x3.Observacion: Si se empieza en x2 ,obtenemos x0 y x1 como
x1 = x2 + hx2
x0 = x2 − hx2
h es el incremento.
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Algoritmo
Dato Inicial: xr , h, MaxIterx2 ← xrx1 ← xr + h ∗ xrx0 ← xr − h ∗ xrPara i=1 hasta MaxIterh0 ← x1 + x0h1 ← x2 − x1d0 ← (f (x1)− f (x0))/h0d1 ← (f (x2)− f (x1))/h1a← (d1 − d0)/(h1 + h0)b ← a ∗ h1 + d1c ← f (x2)
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rad ← sqrt(b ∗ b − 4a ∗ c)Si | − b + rad | > | − b − rad | entoncesden← −b + radCaso Contrarioden← −b − radFin Six3 ← x2 + (2 ∗ c)/denx0 ← x1x1 ← x2x2 ← x3Fin Para
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EJEMPLO
EjemploUtilizando el método de Muller, aproximar
f (x) = x3 − 13x − 12; xr = 5
Consideremos ahora de la siguiente manera:h = 0.1x0 = xr − h ∗ xr = 5− 0.1 ∗ 5 = 4.5x2 = xr = 5x1 = xr + h ∗ xr = 5 + 0.1 ∗ 5 = 5.5
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EJEMPLO
Primera Iteración:Conocido x0 = 4.5, x1 = 5.5, x2 = 5, hallamos x3
f (x0) = f (4.5) = 20.6250; f (x1) = f (5.5) = 82.8750
f (x2) = f (5) = 48
Calculando:h0 = x1 − x0 = 1; h1 = x2 − x1 = −0.5δ0 =
f (x1)− f (x0)
x1 − x0=
82.8750− 20.62501 = 62.2500
δ1 =f (x2)− f (x1)
x2 − x1=
48− 82.8750−0.5 = 69.7500
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Hallando los coeficientes:
a =δ1 − δ0h0 + h1
=69.7500− 62.2500
1 + (−0.5)= 15
b = ah1 + δ1 = 15 + 69.7500 = 62.2500
c = f (x2) = f (5) = 48
Luego:
x3 = x2+2c
−b ∓√b2 − 4ac
= 5+2 ∗ 48
−62.25∓√62.252 − 4 ∗ 15 ∗ 48
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Dado que:
| − 62.25−√62.252 − 4 ∗ 15 ∗ 48|︸ ︷︷ ︸93.7946
> | −62.25 +√62.252 − 4 ∗ 15 ∗ 48︸ ︷︷ ︸30.7054
|
tenemos:
x3 = 5 +2 ∗ 48
−62.25−√62.252 − 4 ∗ 15 ∗ 48
= 3.9765
Ahora, los nuevos x0, x1 , x2 son:
x0 ← x1
x1 ← x2
x2 ← x3
Segunda Iteración:
x3 = 4.0011
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Sistema de ENL62 Introducción
Método del Punto Fijo
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Sistema de ENL
Dada la función
F : Rn −→ Rn
(x1, . . . , x2) −→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn))
El objetivo es determinar una solución x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) delsistema de n ecuaciones con n incognitas
f1(x1, . . . , xn) = 0...fn(x1, . . . , xn) = 0
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Sistema de ENL63 Introducción
Método del Punto Fijo
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En su forma matricial
F (x) = 0
con
x =
x1x2...xn
, F (x) =
f1(x)f2(x)...fn(x)
, 0 =
00...0
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Sistema de ENL64 Introducción
Método del Punto Fijo
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La resolución de sistemas de ecuaciones no lineales porprocesos analíticos puede ser bastante difícil o imposible. Enese caso tenemos la necesidad de utilizar métodos numéricospara obtener una solución aproximada. Consideraremos lossiguientes métodos iterativos:
I Método del Punto FijoI Método de Newton
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Método del Punto Fijo
Fórmula de recurrenciax (k+1) = G(x (k)), k = 0, 1, 2, . . . ,
donde
G(x) =
g1(x)g2(x)...gn(x)
que determina una sucesión de aproximaciones para una raízx∗ de la ecuación F (x) = 0, a partir de una aproximacióninicial
x =
x (0)
1x (0)
2...x (0)
n
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66 Método del Punto Fijo
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Definiciones
Definición
I Norma 1: ∀x ∈ Rn, ||x ||1 =n∑
i=1|xi |
I Norma 2 o norma euclidiana: ∀x ∈ Rn,
||x ||2 =
√√√√ n∑i=1
x2i
I Norma Infinita:∀x ∈ Rn, ||x ||∞ = max1≤i≤n|xi |.
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Método de Newton
Formula de recurrencia:
x (k+1) = x (k) − J−1F (x (k))F (x (k)) k = 0, 1, . . . ,
donde
JF (x) =
∂f1∂x1
(x) . . .∂f1∂xn
(x)
... . . . ...∂fn∂x1
(x) . . .∂fn∂xn
(x)
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68 Método de Newton
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Ejemplo
EjemploDado el sistema no lineal
2x1 − x2 = e−x1
−x1 + 2x2 = e−x2
Se pide:1. Localizar gráficamente las raices.2. Aproximar la solución utilizando el método de Newton.
Considerar x (0) = [0.5 1]T . Hallar el error cometido.3. Aproximar la solución utilizando el método del Punto
Fijo. Considerar x (0) = [0.5 1]T . Hallar el errorcometido.
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Solución
Arreglando:f1(x1, x2) = 2x1 − x2 − e−x1 = 0f2(x1, x2) = −x1 + 2x2 − e−x2 = 0
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Continuación...
Solucion: (2)
F (x) =
[2x1 − x2 − e−x1
−x1 + 2x2 − e−x2
]=
[00
]
x (k+1) = x (k) − J−1F (x (k))F (x (k)); JF (x) =[
2 + e−x1 −1−1 2 + e−x2
]∆ = 3 + 2(e−x1 + e−x2) + e−x1−x2
J−1F (x) =
1∆
[2 + e−x2 1
1 2 + e−x1
]
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71 Método de Newton
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Continuación...
Iteración:1
x (0) =
[0.51
]F (x (0)) =
[−0.60651.1321
]
J−1F (x (x0)) =
[0.4578 1.9340.1934 0.5040
]
x (1) =
[0.51
]︸ ︷︷ ︸
x (0)
−[−0.05880.4533
]︸ ︷︷ ︸
∆x (0)
Error=||∆x (0)|| = 0.4533
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72 Método de Newton
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Continuación...
Solución: 3Algoritmo del Punto Fijo:
x1 =x2 + e−x1
2 = g1(x1, x2)
x2 =x1 + e−x2
2 = g2(x1, x2)
G(x1, x2) =
[g1(x1, x2)g2(x1, x2)
]Prueba de la convergencia:
JG =
∂g1∂x1
∂g1∂x2
∂g2∂x1
∂g2∂x2
[0.5,1]
=
[−0.3033 0.5
0.5 −0.1839
]
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Continuación...
||JG ||∞ = 0.8033 . Por lo tanto Converge.
x (k+1)1 =
x (k)2 + e−x (k)
1
2
x (k+1)2 =
x (k)1 + e−x (k)
2
2Primera Iteración:x (0) = [0.5 1]T
x (1)1 =
1 + e−0.5
2 = 0.8033
x (1)2 =
0.5 + e−1
2 = 0.4339
x (1) = [0.8033 0.4359]