UNIVERSIDAD NACIONAL

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

TALLER IProfesor: H. Fabian Ramirez

Repaso de Algebra Lineal y Superficies en el Espacio Rn

1. Las fuerzas F1, F2, . . . , F6 actuan sobre un objeto P , como se ilustra en la figura 1. Trace lafuerza que se necesita para impedir que P se mueva.

2. Dados los vectores A, B y C en la figura 2, construya el vector A−B+ 2C

3. Use Propiedades del producto cruz para demuestrar la ley de los senos para el triangulo dela figura 3, es decir, demuestre que

senA

a=

senB

b=

senC

c

Ayuda: a+ b+ c = 0

4. Usando la figura 4. Demuestre la ley de los cosenos.

figura 3 figura 4

Figura 1

Figura 2

5. Muestre que u · u ≥ 0 para todo vector u, que u · u = 0 si y solo si u = 0.

6. Sean x y y dos vectores. Demuestre∣

∣

∣‖x‖ − ‖y‖

∣

∣

∣≤ ‖x− y‖

7. Demuestre que |A×B|2 + |A ·B|2 = |A|2|B|2.

8. Use el producto cruz entre vectores para hallar el area del triangulo de vertices (2,−3, 1),(1,−1, 2) y (−1, 2, 3)

9. Sin usar el producto cruz, determine un vector unitario perpendicular al plano generadopor A = 2i− 6j− 3k y B = 4i+ 3j− k.

10. Cual es el volumen del paralelepıpedo con lados 2i+ j− k, 5i− 3k e i− 2j+ k?

11. Hallar los puntos de interseccion de la recta x = 3 + 2t, y = z + 8t, z = −2 + t con losplanos coordenados.

12. Encuentre la proyeccion del vector A = i− 2j+ 3k sobre el vector B = i+ 2j+ 2k.

13. Calcule el trabajo W realizado al mover un objeto a lo largo del vector r = 3i+ j− 5ksi se aplica la fuerza F=2i-j-k. Sol: W=10

14. Encuentre un vector unitario u paralelo a la suma de los vectores r1 = 2i + 4j − 5k yr2 = −2i− 2j+ 3k.

15. Suponga que r1 = 2i−j+k, r2 = i−3j−2k, r3 = −2i+j−3k. Escriba r4 = −i+3j+2kcomo una combinacion lineal de r1, r2 y r3.

1

16. Hallar el punto de interseccion de la recta x−32 = y−1

3 = z, con el plano 2x+ y − z = 1.

17. Sea L la interseccion de los planos 3x + y − 4z = 5 y 2x + 3y − z = 4. Si Π es el planox− 2y + 3z = 1 encuentre L ∩Π.

18. Determine los angulos α, β y θ que el vector r = xi + yj + zk forma con las direccionespositivas de los ejes coordenados (figura 5), y demuestre que cos2 α+ cos2 β + cos2θ = 1.

19. Los vectores basicos a1,a2 y a3 estan dados en terminos de los vectores basicos b1, b2 y b3

por las relaciones

a1 = 2b1 + 3b2 − b3, a2 = b1 − 2b2 + 2b3, a3 = −2b1 + b2 − 2b3

Suponga que F = 3b1 − b2 + 2b3. Exprese F en terminos de a1,a2 y a3.figura 5

20. Considere un tetraedro como el de la figura 6. Sean V1, V2, V3 y V4, vectores cuyas direccionesson perpendiculares a caras del tetraedro en la direccion hacia fuera. Ademas sus magnitudesson iguales a las areas de las caras del tetraedro, respectivamente. Demuestre que

V1 + V2 + V3 + V4 = 0

21. Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30, como se muestra enla figura. ¿Que fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por larampa? W = 300libras

22. Para cerrar una puerta corrediza, una persona tira de una cuerda con una fuerza constantede 50 libras y un angulo constante de 60, como se muestra en la figura. Hallar el trabajorealizado al mover la puerta 12 pies hacia la posicion en que queda cerrada.W = 300libras−pie

Figura 6

23. Caza de submarinos Dos barcos maniobran tratando de determinar el curso de un subma-rino para preparar un ataque aereo. Como se muestra, el barco A esta en (4, 0, 0), mientrasque el barco B esta en (0, 5, 0). Todas las coordenadas estan dadas en miles de pies. El barcoA localiza al submarino en la direccion del vector 2i + 3j − (1/3)k y el barco B lo localizaen la direccion del vector 18i− 6j− k Cuatro minutos antes, el submarino se encontraba en(2,−1,−(1/3) El ataque estara preparado en 20 minutos. Si el submarino se mueve en lınearecta con velocidad constante, ¿hacia que posicion deben dirigir los barcos el ataque?

24. Rescate de un helicoptero Dos helicopteros, H1 y H2 vuelan juntos. En el instantet = 0 se separan y siguen distintas trayectorias rectas dadas por

H1 : x = 6 + 40t, y = −3 + 10t, z = −3 + 2t

H2 : x = 6 + 110t, y = −3 + 4t, z = −3 + t.

El tiempo t se mide en horas y todas las coordenadas se miden en millas. Debido a fallasmecanicas, H2 detiene su vuelo en (446, 13, 1) y, en un intervalo de tiempo despreciable,

2

aterriza en (446, 13, 0). Dos horas despues, H1 recibe un aviso del aterrizaje forzoso deH1 y se dirige hacia H2 a 150 mi/h. ¿Cuanto tiempo tardara H1 en alcanzar a H2.?

25. Muestre que las rectas

x = b1 + ta1, y = b2 + ta2, z = b3 + ta3,

x = d1 + sc1, y = d2 + sc2, z = d3 + sc3,

se cortan o son paralelas si y solo si

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 c1 b1 − d1

a2 c2 b2 − d2

a3 c3 b3 − d3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

26. ¿Que conjunto de puntos en el espacio describe la ecuacion

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z 1

x1 y1 z1 1

x2 y2 z2 1

x3 y3 z3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0?

27. Una camara de television de 120 libras esta colocada en un trıpode, como se muestra enla figura 6. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trıpode como un vector. F1 =(0,−10,−40),F2 = (5

√3, 5,−40),F3 = (−5

√3, 5,−40)

28. Use vectores para mostrar que la distancia de Q(x0, y0, z0) al plano ax+ by + cz + d es:

D =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2

29. Use el ejercicio anterior para demostrar que la distancia entre los planos paralelos ax+ by+cz + d1 y ax+ by + cz + d2 es:

D =|d2 − d1|

‖ai+ bj+ ck‖ figura 6

30. Encuentre una ecuacion de la esfera que es tangente a los planos x + y + z = 3 yx+ y + z = 9 si los planos 2x− y = 0 y 3x− z = 0 pasan por el centro de la esfera.

31. Determine una ecuacion para el plano paralelo al plano 2x − y + 2z = −4 si el punto(3, 2− 1) equidista de ambos planos.

32. Hallar una ecuacion para la superficie generada por todos los puntos (x, y, z) que estana cuatro unidades del plano 4x− 3y + z = 1

33. Hallar la ecuacion estandar de la esfera con el centro en (−3, 2, 4) que es tangente alplano dado por 2x+ 4y − 3z = 8

34. Determinar si la declaracion es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por que o dar unejemplo que pruebe que es falsa.

a) Si v = a1i+b1j+c1k es cualquier vector en el plano dado por a2x+b2y+c2z+d2 = 0,entonces a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

b) Todo par de rectas en el espacio o se cortan o son paralelas.

c) Dos planos en el espacio o se cortan o son paralelos.

d) Si dos rectas L1 y L2 son paralelas a un plano P entonces L1 y L2 son paralelas.

e) Dos planos perpendiculares a un tercer plano en el espacio son paralelos.

f ) Un plano y una recta en el espacio se intersecan o son paralelos.

3

35. Demuestre que la distancia D de un punto Q a una recta en el espacio esta dada por

D =‖PQ× u‖

‖u‖

donde u es un vector de direccion para la recta y P es un punto sobre la recta.

FUNCIONES VECTORIALES

36. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales

f (t) = (t2, ln(t− 2),√4− t) R/ (2, 4)

g(t) = ( 1t+2 ,

et√9−t2

, ln(1− t))

R/ (−3,−2) ∪ (−2, 1)

37. Trace la imagen de las siguientes funciones

a) f(t) = (1 + t3, t2)

b) g(t) = (4 cos t, 5 sen t)

c) r(t) = (cos t, sen t, t), con t ≥ 0.

38. Halle una funcion vectorial que represente a las siguientes curvas

a) 9x2 + 4y2 = 36

b) y = x2 − 4x+ 7

39. Halle una funcion vectorial que represente a la curva de interseccion de las siguientessuperficies.

a) x2 + y2 = 16 y z = xy R/ : f (t) = (4 cos t, 4 sen t, 16 cos t sen t), t ∈ R

b) z = 16x2 + 9y2 y y = x2, R/ : g(t) = (t, t2, 16t2 + 9t4), t ∈ R

40. Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los intervalos que seindican

a) f (t) = (√4− t2, ln(3− t), et−3), con t ∈ [−2, 3)

b) f (t) =

(

2 arc sen t

3t, t sen(

π

t),cos(2πt)

t

)

, si t ∈ (0, 1)

(π

3, t− 1, ln t+ 1

)

, si t ∈ [1, 2]

c) f (t) =

(

sen t,t

1− t, 2t

)

, si t ∈ [0, 1)

(

− 1, 0, 3)

, si t ∈ [1, 2]

d) f (t) =

(

4t2 + 5,arc sen t

t, sen t sen(

1

t)

)

, si t 6= 0

(

5, 0, 0)

, si t = 0

e) f (t) =

(

t2 − 4

|t− 3| − 1,et−2 − 1

t

)

, si t = 2

41. La imagen de la funcion vectorial r(t) = (et−1, e−2(t−1)) describe la trayectoria de unapartıcula que se mueve en el plano xy.

a) Trace la grafica de la trayectoria de la partıcula. (R: y = 1x2 , x ≥ 0)

b) Dibuje los vectores velocidad y aceleracion para t = 1.

4

c) Halle la ecuacion vectorial de la recta tangente a la curva imagen de r en el puntoA(e, e−2).

42. Dada la funcion vectorial r(t) =(

1− 2t, t2; 2e2(t−1))

. Halle la ecuacion vectorial de la

recta tangente a la curva descrita por r en el punto en que el vector r′(t) es paralelo alvector r(t). R/: l(x, y, z) = (−1, 1, 2)− s(−2, 2, 4).

43. Sean las curvas C1 y C2 dadas por las funciones vectoriales

C1 : f (t) =(1− t2

2, 2t+ 1, 1 + e2−t

)

C2 : g(t) =(2t− 1

2, 4− t, 3− et+1

)

a) Halle el punto de interseccion de las curvas C1 y C2 R/: f (2) = g(−1) = (− 32 , 5, 2)

b) Calcule la medida del angulo que forman las curvas C1 y C2 en su punto de

interseccion. R/: θ = arc cos(

−√33

)

44. La fuerza que actua sobre una partıcula de masam = 2 en el plano esta dada en funciondel tiempo t por la ecuacion

F(t) =(

2(cos t− t sen t), 2(sen t+ t cos t))

Cuando t = 0 la posicion y la velocidad de la partıcula son f (0) = (2, 0) y v(0) = (1, 0).Halle la velocidad y la posicion de la partıcula como funciones de t. Ayuda: Ley deNewton, F(t) = ma(t). R: f (t) = (t sen t+ cos t+ t+ 1,−t cos t+ sent)

45. Una partıcula inicia su movimiento en f (0) = (2, 0, 0) con velocidad inicial v(0) = i− j+ k.Su aceleracion es a(t) = (2t, 3t2, 6t). Determine la funcion velocidad y la posicion de la

partıcula en cualquier instante t. R: f (t) =(

t3

3 + t+ 2, t4

4 − t, t3 + t)

46. Halle una parametrizacion para la curva C :

x2 + y2 + z2 = R2 R > 0

z = a 0 < a < R

47. Halle la longitud de arco de las siguientes curvas

a) α(t) =( t2

2+ t,

t2

2− t,

√2

2ln t)

, (t > 0), desde t = 1 hasta t = 2. R/√22 (3+ ln(2))

b) α(t) =(

ˆ t

1

cosu√2udu,

ˆ t

1

senu√2u

du, 4t1/2)

, desde t = 1 hasta t = 4. R/ 3√2

48. Halle la longitud de la curva α(t) = (t, 1 + t2) , desde el punto en que los vectores α(t)y α′(t) son paralelos de sentidos opuestos hasta el punto en que los mismos vectores

son ortogonales. R/√52 − 1

4 ln(√5− 2)

49. Una partıcula se mueve en el espacio de modo que en cualquier instante t su posiciones α(t) = (2t cos t, 2t sen t,−t2 + 2t)

a) Determine la rapidez de la partıcula en el instante t = 1 R/ 2√2

b) Si la partıcula toca al plano xy en el instante t = 0, halle otro instante t1 en quela partıcula toca nuevamente el plano xy. R/ t = 2

c) Halle el espacio recorrido por la partıcula desde t = 0 hasta t = t1.

50. En los siguientes ejercicios, represente la curva dada mediante la interseccion de dossuperficies. Halle ecuaciones parametricas para cada curva.

a) x2 + z2 = 4, y2 + z2 = 4 (primer octante) R/ x = t, y = t, z =√4− t2

5

b) x2+y2+z2 = 16, xy = 4 (primer octante) R/ x = t, y = 4t , z = 1

t

√−t4 + 16t2 − 16

51. Sea C una curva en el espacio dada por α(t) =

ˆ t

0

β(u)du donde β(u) = (u cos(u), u sen(u), 1).

Calcule la longitud de arco de la curva C desde el punto α(0) hasta el punto α(1).

52. Halle las ecuaciones de los planos normal principal, rectificante y osculador de la curvainterseccion de las superfices

x2 + y2 + z2 = 6 x2 − y2 + z2 = 4

en el punto A(1, 1, 2). R/: P0 : y = 1. PN : 2x − z = 0, PR : x + 2z − 5 = 0 Planoosculador: y = 1

53. Relacione la ecuacion con la superficie definida por ella. Ademas, identifique el tipo decada superficie (paraboloide, elipsoide, etcetera).

a) x2 + y2 + 4z2 = 10

b) z2 + 4y2 − 4x2 = 4

c) 9y2 + z2 = 16

d) y2 + z2 = x2

e) x = y2 − z2

f ) x = −y2 − z2

g) x2 + 2z2 = 8

h) z2 + x2 − y2 = 1

i) x = z2 − y2

j ) z = −4x2 − y2

k) x2 + 4z2 = y2

l) 9x2 + 4y2 + 2z2 = 36

54. Trace las superficies de:

a) x2 + 4z2 = 16

b) 36z2 + 9x2 + 4y2 = 36

c) z = 18− x2 − 9y2

d) 4x2 + 9z2 = 9y2

e) z2 − x2 − y2 = 1

f ) x2 − y2 = z

g) z = y2

h) z − ey = 0

i) z = sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π

j ) 9x2 + 9y2 + 9z2 − 6x+ 18y + 1 = 0

k) x2+2y2+ z2−4x+4y−2z+3 = 0.

l) x2+y2+z2+9x−2y+10z+19 = 0

m) 5x2 + (y − 5)2 + 5z2 = 25

n) y + x2 + 4z2 = 4

n) yz = 1

55. Hallar la ecuacion cartesiana de la esfera que tiene los puntos (5,−2, 3) y (0, 4,−3)como extremos de un diametro.

56. Exprese el area A de la seccion transversal del elipsoide

x2 +y2

4+z2

9= 1

determinada por el plano z = c como funcion de c. (El area de una elipse con semiejesa y b es πab).

6

57. Use rebanadas perpendiculares al eje z para calcular el volumen del elipsoide del ejer-cicio anterior.

58. Determine las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados en el sistemade coordenadas esfericas: P = (1, 0, 0), Q = (2, π/2, π/2) M = (1, π/3, 3π/4), N =(4, 7π/4, arc cos(l/4)).

59. Escriba la ecuacion de la esfera (x− 1)2 + y2 + z2 = 1 en coordenadas esfericas.

60. Sean P y Q dos puntos en R3, cuyas coordenadas en el sistema cilındrico son (rl, θ1, z1)

y (r2, θ2, z2), respectivamente. Demuestre que la distancia d entre estos dos puntos es

d =√

r21 + r22 − 2r1r2 cos(θ1 − θ2) + (z2 − z1)2

61. Sean P y Q dos puntos en R3, cuyas coordenadas en el sistema esferico son (r1, θ1, φ1)

y (r2, θ2, φ2) , respectivamente. Demuestre que la distancia d entre estos dos puntos es

d =√

r21 + r22 − 2r1r2[sinφ sinφ cos(θ1 − θ2) + cosφ1 cosφ2

62. Las cuatro figuras son graficas de la superficie cuadrica z = x2 + y2. Asociar cada unade las cuatro graficas con el punto en el espacio desde el cual se ve el paraboloide. Loscuatro puntos son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (10, 10, 20).

63. Dibujar la region limitada por las graficas de las ecuaciones.

a) z = 2√

x2 + y2, z = 2

b) z =√4− x2, y =

√4− x2, x = 0, y = 0, z = 0

c) x2 + y2 = 1, x+ z = 2, z = 0

d) z =√

4− x2 − y2, y = 2z, z = 0

64. Hallar una ecuacion para la superficie de revolucion generada al girar la curva sobre eleje dado

65. Hallar una ecuacion de una directriz dada la ecuacion de su superficie de revolucion.

a) x2 + y2 − 2z = 0,

b) x2 + z2 = cos2 y

c) x2 + 2y2 + z2 = 3y

d) y2 + z2 − 4x = 0

e) y = ex2+z2

f ) x2 + y2 = sen2 z

7

66. Determine los puntos donde la recta x−22 = y+2

−3 = z−63/2 interseca al elipsoide x2

9 + y2

36 +z2

81 = 1

67. Usar el metodo de las capas para encontrar el volumen del solido que se encuentradebajo de la superficie de revolucion y sobre el plano xy.

a) La curva z = 4x− x2 en el plano xz se gira en torno al eje z.

b) La curva z = sin y, (0 ≤ y ≤ π en el plano yz se gira en torno al eje z.

68. Diseno de maquinas La parte superior de un buje de caucho, disenado para absorberlas vibraciones en un automovil, es la superficie de revolucion generada al girar la curvaz = 1

2y2 + 1 (0 ≤ y ≤ 2) en el plano yz en torno al eje z.

a) Hallar una ecuacion de la superficie de revolucion.

b) Todas las medidas estan en centımetros y el buje es fijo en el plano xy. Usar elmetodo de capas para encontrar su volumen.

c) El buje tiene un orificio de 1 centımetro de diametro que pasa por su centro y enparalelo al eje de revolucion. Hallar el volumen del buje de caucho.

69. Explicar por que la curva de interseccion de las superficies x2 + 3y2 − 2z2 + 2y = 4 y2x2 + 6y2 − 4z2 − 3x = 2 se encuentra en un plano.

70. Determinar si la declaracion es Verdadera o Falsa. Si es falsa, explicar por que o darun ejemplo que pruebe su falsedad.

a) Una esfera es un elipsoide.

b) La directriz de una superficie de revolucion es unica.

c) Todas las trazas de un elipsoide son elipses.

d) Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hiperboloides.

e) La grafica de cualquier ecuacion de la forma F (x, y, z) = 0 es siempre una superficiede dos dimensiones en el espacio.

f ) La grafica en el espacio de una ecuacion de la forma f(x, y) = 0 es un “cilindro”consistente en rectas verticales que pasan por la curva f(x, y) = 0 en el plano xy.

g) Si a > 0, entonces la grafica en el espacio de la ecuacion x2+y2 = a2 es un cilindro.

h) La grafica en el espacio de 4y2 + 9z2 = 36 es un cilindro elıptico.

i) La grafica de 4x2 + 4y2 + z2 = 4 es un elipsoide.

j ) La grafica de z2 = x2 + y2 es un cono.

k) La grafica de la ecuacion x2

a2 + y2

b2 − z2

c2 = 1 es un hiperboloide de una hoja.

l) La grafica de la ecuacion z2

c2 − x2

a2 − y2

b2 = 1 es un hiperboloide de una hoja.

m) Si c > 0, entonces la grafica de y2

b2 − x2

a2 = zc es un paraboloide hiperbolico.

n) La grafica en el espacio de la ecuacion z = ax2+by2 es un paraboloide elıptico si ay b son ambos positivos, pero es un paraboloide hiperbolico si esos dos coeficientesson ambos negativos.

n) El punto P con coordenadas esfericas (8, 56π,13π) tiene coordenadas rectangulares

(2, 2√3,−12).

o) El paraboloide con ecuacion en coordenadas rectangulares z = x2 + y2 tiene ecua-cion en coordenadas esfericas ρ = cscφ cotφ.

p) La grafica de la ecuacion en coordenadas esfericas ρ = 2 cosφ es una esfera deradio 1.

8

71. Pregunta Las siguientes preguntas se relacionan con las graficas posibles de la ecuacionde segundo grado

Ax2 +By2 + Cz2 +Dx+ Ey + Fz +H = 0 (1)

a) ¿En que condiciones de los coeficientes A, B y C es la grafica a) un elipsoide; b)un paraboloide; c) un hiperboloide?

b) ¿En que condiciones de los coeficientes es la grafica un cono o un cilindro?

c) Ademas de elipsoides, paraboloides, hiperboloides, conos y cilindros, ¿cuales sonlas otras posibilidades para la grafica de la ecuacion en (1)? De un ejemplo queilustre cada posibilidad.

72. Pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies “ topologicas” clasicas. La esferay el toro tienen “interior” y “exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior?Explicar.

73. Asociar la ecuacion dada en terminos de coordenadas cilindricas o esfericas con sugrafica

a) r = 5

b) ρ = 5

c) r2 = z

d) θ = π4

e) φ = π4

f ) ρ = 4 secφ

74. Dibujar el solido que tiene la descripcion dada en coordenadas cilındricas

a) 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4

b) −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ z ≤ r cos θ

c) 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ a, r ≤ z ≤ a

d) 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4, z2 ≤ −r2 + 6r − 8

9

75. Convertir la ecuacion rectangular a una ecuacion a) en coordenadas cilındricas y b) encoordenadas esfericas.

a) x2 + y2 + z2 − 2z = 0

b) x2 + y2 = z

c) y = 4

d) x2 − y2 = 9

e) 4(x2 + y2) = z2

f ) x2 + y2 = 4y

76. Dibujar el solido que tiene la descripcion dada en coordenadas esfericas

a) 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π/6, 0 ≤ ρ ≤ a secφ

b) 0 ≤ θ ≤ 2π, π/4 ≤ φ ≤ π/2, 0 ≤ ρ ≤ 1

c) 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2, 0 ≤ ρ ≤ 2

d) 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ π/2, 1 ≤ ρ ≤ 3

77. Determinar si la declaracion es Verdadera o Falsa. Si es falsa, explicar por que o dar unejemplo que pruebe que es falsa

a) Las coordenadas esfericas la grafica de θ = c es un semiplano y no un plano entero

b) En coordenadas cilındricas, la ecuacion r = z es un cilindro.

c) Las ecuaciones ρ = 2 y x2 + y2 + z2 = 4 representan la misma superficie.

d) Las coordenadas cilındricas de un punto (x, y, z) son unicas.

e) Las coordenadas esfericas de un punto (x, y, z) son unicas.

78. Identificar la curva de interseccion de las superficies (en coordenadas cilındricas) z = sin θ yr = 1.

79. Identificar la curva de interseccion de las superficies (en coordenadas esfericas ρ = 2 secφ yρ = 4.

80. Pruebe que la proyeccion en el plano yz de la curva de interseccion de las superficies x = 1−y2y x = y2 + z2 es una elipse

81. Demuestre que la proyeccion en el plano xy de la interseccion del plano z = y y el paraboloidez = x2 + y2 es una circunferencia.

82. Una esfera de radio 2 esta centrada en el origen. Se perfora un agujero de diametro 2 atraves de la esfera, donde el eje del agujero coincide con el eje z. Describa la region solidaque queda en a) coordenadas cilındricas; b) coordenadas esfericas.

10

Funciones en varias variables

1. Relacione las figuras con el dominio de una de las funciones

a) f(x, y) =√

y − x2

b) f(x, y) = ln (x− y2)

c) f(x, y) =√x+

√y − x

d) f(x, y) =√xy

e) f(x, y) =x4 + y4

xy

f ) f(x, y) =

√

x

y− 1

g) f(x, y) = sin−1 (xy)

h) f(x, y) =

√

x2 + y2 − 1

y − x

2. Relacione las curvas de nivel con su respectiva funcion grafica.

11

3. Determine el dominio y rango de la funcion f(x, y) =√

36− x2 − y2

4. Dado f(x, y) = 6 + 13

√

36− 9x2 − 4y2

a) Encuentre el dominio y rango de la funcion.

b) Trace la grafica de f .

5. Determine analıtica y graficamente el dominio de las siguientes funciones

a) f(x, y) = ln(y2 − x2) + arcsin(y − 2)−√

9− x2 − y2

b) g(x, y) =

√16−x2−y2

ln(x2+y2−4) +

√y2−1√x2−y2

c) f(x, y) =√y senx

d) g(x, y) =√

sen(x2 + y2) + arc sen( yx )

e) f(x, y) = y3+ln(x)(x−4)3+y6

6. Si f(x+ y, x− y) = xy + y2, halle f(x, y)

7. Para el paraboloide elıptico z = f(x, y) = (x − 1)2 + (y − 1)2 haga un bosquejo de lagrafica utilizando curvas de nivel para c = 1, 2, 3, 4.

8. Sea f(x, y) = 8− x2 − 2y haga un bosquejo de la grafica utilizando curvas de nivel.

9. Bosqueje las superficies de nivel de la funcion f(x, y, z) =

√

x2 +y2

4+ z2

10. Encuentre una ecuacion para la curva de nivel de la funcion f(x, y) que pasa por elpunto dado.

a) f(x, y) = y2 arctan(x2), punto P (1, 4)

b) f(x, y) =

ˆ y

x

dt

1 + t2, punto P (−

√2,√2)

c) f(x, y) =

∞∑

n=0

(x

y

)n

, punto P (1, 2)

11. Encuentre una ecuacion para la superficie de nivel de la funcion f(x, y, z) que pasa porel punto dado.

a) f(x, y, z) =√x− y − ln(z), punto P (3,−1, 1)

b) f(x, y, z) =

ˆ y

x

dt√1 + t2

+

ˆ z

2√2

du√u2 − 1

, punto P (0, 1/2, 2)

c) f(x, y, z) =

∞∑

n=0

(x+ y)n

n!zn, punto P (ln 2, ln 4, 3)

12. Una companıa fabrica una caja rectangular cerrada de modo que su volumen sea de36m3. El material para la base y la tapa cuesta $12 el metro cuadrado; para los lados deenfrente y de atras. $10 el metro cuadrado; y los otros dos lados $8 el metro cuadrado.

12

a) Si C denota el costo total de la caja, determine C en funcion de las dimensionesde la base de la caja.

b) Calcule el costo total de construir una caja cuyas dimensiones de la base son: largo2 metros y ancho 3 metros.

13. Trace la grafica de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 3−√

x2 + y2 − 4y + 4

b) g(x, y) = 4 +√

9 + x2 + y2

c) h(x, y) = 3 +√

x2 + y2 − 4x− 6y + 12

d) j(x, y) = 5− 34

√

16x+ 4y − 4x2 − y2 − 4

14. Demostrar que los siguientes limites NO existe

a) lım(x,y,z)→(0,0,0)

x3 + yz2

x4 + y2 + z2

b) lım(x,y,z)→(0,0,0)

x2 + y2 − z2

x2 + y2 + z2

c) lım(x,y,z)→(0,0,0)

x4 + yx3 + z2x2

x4 + y4 + z4

d) lım(x,y,z)→(0,0,0)

x2y2z2

x6 + y6 + z6

e) lım(x,y,z)→(0,0,0)

x2z3y

x6 + z6

15. Demostrar que los siguientes limites SI existe

a) lım(x,y,z)→(0,0,0)

y3 + xz2

x2 + y2 + z2b) lım

(x,y,z)→(0,0,0)

xy + xz + yz√

x2 + y2 + z2

16. Determine los siguientes Limites

a) lım(x,y)→(0,0)

xy2

x3 + y3

b) lım(x,y)→(−2,3)

2xy2 − 3

x2 + y2

c) lım(x,y)→(−1,−1)

x3y3 − 1

x2y2 − 1

d) lım(x,y)→(0,0)

2x2y

x4 + y2

e) lım(x,y)→(0,0)

cosx− 1− x2/2

x4 + y4

f ) lım(x,y)→(0,0)

x2 − xy√x−√

y

g) lım(x,y)→(−1,2)

1− e(2x+y)2

sin2(2x+ y)

h) lım(x,y)→(−3,2)

ln(43 + 7xy))

arctan(3xy + 18)

i) lım(x,y)→(0,0)

4xy√

x2 + y2

j ) lım(x,y)→(0,0)

9y2(x+ 1) + 3x2

3y2 + x2

k) lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2

l) lım(x,y,z)→(0,0,0)

xy + yz + xz

x2 + y2 + z2

m) lım(x,y)→(0,0)

1− cos(x2 + y2)

x2 + y2

n) lım(x,y)→(0,0)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

n) lım(x,y)→(0,1)

tan−1( x2 + 1

x2 + (y − 1)2

)

o) lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2√

x2 + y2

p) lım(x,y)→(1,1)

x− y

x3 − y

17. Demuestre usando la definicion ǫ− δ que

a) lım(x,y)→(1,2)

x+ y2 = 5

b) lım(x,y)→(3,−1)

x2 + 2xy = 3

18. Usando la definicion ǫ− δ determine si existen los siguientes limites

13

a) lım(x,y)→(0,0)

4xy3

x2 + y2

b) lım(x,y)→(0,0)

x2√

x2 + y2

c) lım(x,y)→(0,0)

3x2y

x2 + y2

d) lım(x,y)→(0,0)

x4y

x4 + y4

19. Determine la continuidad de las siguientes funciones

a) f(x, y) =

2xy

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

b) f(x, y) =

sin(xy)

xy(x, y) 6= (0, 0)

1 (x, y) = (0, 0)

c) f(x, y) =

xy2

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

d) f(x, y) =

x3y3

x2y + (y − x)2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

e) f(x, y) =

2x2+y2

ln 2 − 1

x2 + y2+

cosx

1 + x2(x, y) 6= (0, 0)

2 (x, y) = (0, 0)

f ) f(x, y) =

x3y

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

20. Dada la funcion f(x, y) =

arctan(x4 + y4

x2 + y2

)

(x, y) 6= (0, 0)

A (x, y) = (0, 0)

Calcule el valor de A

para que la funcion f sea continua en (0, 0).

21. Sea f(x, y) =

y(x− 3)

4y2 + (x− 3)2(x, y) 6= (3, 0)

2 (x, y) = (3, 0)

a) Determine los puntos donde la

funcion no es continua. b) Indique el tipo de discontinuidad que presenta f .

22. Determine si la funcion dada es continua en el punto (0, 0).

f(x, y) =

√

15x2 + 15y2 + 16−√

16− x2 − y2

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

2 (x, y) = (0, 0)

23. Dada la funcion f(x, y) = ln(4x2 + 9y2 − 36). Halle el conjunto donde f es continua.

24. Determinar si la declaracion es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por que o dar unejemplo que demuestre que es falsa

a) El dominio de la funcion f definido por la formula f(x, y) =√

25− x2 − y2 es elconjunto de todos los puntos (x, y) cuya distancia al origen (0, 0) es menor que 5.

b) La grafica de la funcion f de dos variables es el conjunto de todos los puntos enel espacio con coordenadas de la forma (x, y, f(x, y)).

c) La grafica de la funcion f(x, y) = 2− 12x− 1

3y es un plano.

d) La grafica de la funcion g(x, y) = 14

√

4− 4x2 − y2 es un elipsoide.

e) Una curva de nivel de una funcion f de dos variables es precisamente lo mismoque una curva de contorno de f .

f ) Si k es una constante, entonces la grafica de la funcion x2 + y2 − z2 = k es unhiperboloide de una hoja, debido a que solo hay un signo menos en el lado izquierdode la ecuacion.

g) Si lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0, entonces lım(x,0)→(0,0)

f(x, 0) = 0

14

h) Si lım(x,y)→(0,0)

f(0, y) = 0, entonces lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0

i) Si f es continua para todo x y para todo y distintos de cero, y f(0, 0) = 0 entonceslım

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0

j ) Si lım(x,y)→(2,3)

f(x, y) = 4, entonces lım(x,3)→(2,3)

f(x, 3) = 4

k) Si lım(x,3)→(2,3)

f(x, 3) = 4, entonces lım(x,y)→(2,3)

f(x, y) = 4

l) Si lım(x,3)→(2,3)

f(x, 3) = lım(2,y)→(2,3)

f(2, y) = 4, entonces lım(x,y)→(2,3)

f(x, y) = 4

m) Si lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0, entonces para cualquier numero real k, lım(x,y)→(0,0)

f(kx, y) =

0.

25. Determine si la funcion f(x, y) =

x+ y x ≥ 2

0 x < 2es continua en los conjuntos dados

en el plano xy. (a) x2 + y2 < 1, (b) x ≥ 0 (c) y > x

26. Determine si la funcion f(x, y) = xy√x2+y2−25

es continua en los conjuntos dados en el

plano xy. (a) y ≥ 3, (b) |x|+ |y| < 1 (c) (x− 2)2 + y2 < 1

27. Demuestre que lım(x,y)→(0,0)

1

xsin(xy) = 0 (Ayuda: |sen(w)| ≤ |w| para valores pequenos)

15

UNIVERSIDAD NACIONAL

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

TALLER IIProfesor: H. Fabian Ramirez

Derivadas parciales

1. Encuentra la derivada direccional del campo escalar f(x, y, z) = ex cos y+ ey sin z en elpunto P (2, 1, 0) en direccion al punto Q(−1, 2, 2). b) ¿En que direccion es maxima laderivada direccional? c) ¿Cual es el valor de ese maximo?

2. Suponga que ψ(x, y, z) = xy2z y F = xi+ j+xyk. Encuentre∂3

∂x2∂y(ψ F ) en el punto

P (1, 2, 2).

3. Encuentre un vector normal unitario a la superificie −x2yz2 + 2xy2z = 1 en el puntoP (1, 1, 1).

4. Encuentre una ecuacion para el plano tangente a la superificie x2yz − 4xyz2 = −6 en elpunto P (1, 2, 1).

5. Encuentre el angulo entre las superificies z = x2 + y2 y z = (x −√66 )2 + (y −

√66 )2 en el

punto(√

612 ,

√6

12 ,112

)

.

6. Sea R la distancia desde un punto fijo A(a, b, c) a cualquier punto P (x, y, z). Demuestre que∇R es un vector unitario en la direccion AP .

7. Sea P cualquier punto sobre una elipse cuyos focos son los puntos A y B, como se ilustraen la figura. Demuestre que las rectas AP y BP forman angulos iguales con la tangente ala elipse en P .

8. Obtenga todas las derivadas parciales de las funciones indicadas

a) f(x, y) = arc sen yx + arc cos x

y

b) f(x, y) = (2x+ 3y)x + (2x+ 3y)y

c) f(x, y) = xyx

+ yxy

+ (xy)x(yx)y

d) f(x, y, z, u) = xy+z+uzx+y+u

9. Sea f(x1, x2, . . . xn) = ln(x1x2 . . . xn). Calcule

n∑

i=1

∂f

∂xi

10. Sea g : R → R una funcion continua y positiva definida en R. Considere la funcionf : R2 → R dada por

f(x, y) =

ˆ y

x

g(t)dt

¿Para que puntos (x, y) ∈ R2 se tiene que f(x, y) > 0?

¿Para que puntos (x, y) ∈ R2 se tiene que f(x, y) < 0?

¿Cual es el nivel cero de f(x, y)?

Calcule las derivadas parciales de la funcion f .

11. Calcule las derivadas parciales de cada una de las funciones, donde g : R → R unafuncion continua.

16

a) f(x, y) =

ˆ y

xy

(x2 + y2)g(t)dt

b) f(x, y) =

ˆ yˆ x

1

g(g)dtg(t)dt

c) f(x, y, z) =

ˆ x+y+z

xyz

g(t)dt

d) f(x, y, z) =

ˆ

ˆ

ˆ y

x

g(t)dt

x+y+z

g(t)dt

x+y+z

g(t)dt

12. Para cada una de las siguientes funciones, en las que g, h : R → R son funcionesdefinidas en R, diferenciables (es decir, tal que g′(t) y h′(t) existen para todo t ∈ R),calcule sus derivadas parciales.

a) f(x, y) =(

ln(1 + x2))(ln(1+g2(x)))h

2(y)

b) f(x, y, z) = g(g(x)g(g(y)g(h(z))))

c) f(x, y, z) = (g(x))(h(y))g(z)

d) f(x, y, Z) = yz(sen(1 + h2(x)))(x2+1)

13. Sea ψ una funcion real de variable real, diferenciable en R Demuestre que la funciondada satisface la expresion indicada.

a) f(x, y) = x2ψ(3x+ y2), 2xy ∂f∂x − 3x∂f

∂y = 4yz

b) f(x, y) = ex+yψ(xey), x∂f∂x − ∂f

∂y = z(x− 1)

c) f(x, y) =x+ y

x2 + y2∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0

d) z = sin(x2 + y2), y∂2z

∂x2− x

∂2f

∂y∂x− ∂z

∂y= 0

14. Sea f : R2 → R la funcion f(x, y) =

x2y

x4 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

Demuestre que

esta funcion no es continua en (0, 0) y Demuestre que esta funcion posee derivadasdireccionales en (0, 0) en todas direcciones, es decir, calcule Dvf donde v = (a, b) ∈ R

2

un vector unitario dado. Ahora conteste la siguiente pregunta ¿una funcion f : U ⊂R

n → R es diferenciable en el punto x0 ∈ U si las derivadas direccionales ∂f∂xi

(x0)existen para todo vector v ∈ R

n?

15. Identifique las expresiones dadas como derivadas direccionales de funciones de variasvariables en la direccion de un vector unitario v. Obtenga la derivada direccional quese indica.

a) lımt→0

x2(y −√3t/2)(z − t/2)− x2yz

t

b) lımt→0

(y + t)2 cos3(xy + xt)− y2 cos3(xy)

t

16. Sea f : U ⊂ Rn → R una funcion diferenciable definida en el conjunto abierto U de Rn.

Sea u ∈ Rn un vector no nulo de R

n, no necesariamente de norma 1 y sea v = u

‖u‖ .Demuestre que

∂f

∂v=

1

‖u‖∂f

∂u

Verifique este resultado con la funcion f(x, y) = x2 + y2, y el vector u = (1, 1).

17. Calcule la derivada direccional de la funcion dada en la direccion del vector indicado.

a) f(x, y) = x3√

1 + 3 tan6(x2 + x102), v = (0, 1).

17

b) f(x, y) = 3x+ 2y + 7z en la direccion del vector u = (3, 2,−5).

c) f(x, y, z) = x ln y + y ln z + z lnx, en el punto p = (1, 1, 1), en la direccion delvector v = (a, a, a) (a > 0)

18. Calcule la derivada direccional de la funcion f(x, y) = 5x2y3 en el punto p = (1, 1)

a) en la direccion del vector que va de p al punto (3,−2),

b) en la direccion del vector que va de p al origen,

c) en la direccion del vector tangente al cırculo x2 + y2 = 2 en p,

d) en la direccion del vector p.

19. Calcule la derivada direccional de la funcion f(x, y) = x sen y en el punto (3, O), en ladireccion del vector tangente a la parabola y = x2 en el punto (1, 1).

20. Demuestre que la derivada direccional de la funcion f(x, y) =x2 + y2

xen los puntos

del cırculo x2 + y2 − 2y = 0, en la direccion de la normal a este cırculo, es igual a cero.

21. Sea f(x, y) = x2 + y2. ¿En que direccion es igual a cero la derivada de esta funcion enel punto (1, 1)?, ¿En que direccion es igual a cero la derivada de esta funcion en lospuntos del cırculo unitario x2 + y2 = 1?

22. En cada uno de los siguientes ejercicios, se da una funcion f : U ⊂ R2 → R y un punto

p ∈ U . Compruebe que la derivada direccional de f en p, en la direccion de (la tangentea) la curva de nivel que pasa por p (es decir, la curva f(x, y) = f(p)) es igual a cero.

a) f(x, y) = 5x2 + 6y2, p = (−1, 0)

b) f(x, y) = sinxy, p = (2, 3)

c) f(x, y) = exey, p = (0, 0)

23. Sea f : U ⊂ R2 → R una funcion diferenciable definida en el conjunto abierto U de

R2 y sea p ∈ U . Suponga que

∂f

∂x(p) = 3.

∂f

∂y(p) = 4. ¿En que direccion se tiene

que∂f

∂v(p) = 2?, ¿en que direccion se tiene

∂f

∂v(p) = 0?, ¿en que direccion se tiene

∂f

∂v(p) = −5? ¿Hay alguna direccion en la que

∂f

∂v(p) = 6?

24. Seaf : U ⊂ R3 → R una funcion diferenciable definida en el conjunto abierto U de R

3

y sea p ∈ U . Suponga que∂f

∂x(p) = 6,

∂f

∂y(p) = 0,

∂f

∂z(p) = 8. Demuestre que

∂f

∂v= 10

es el maximo valor que puede tomar la derivada direccional de f en p, y que este selogra en la direccion del vector unitario u = (3/5, O, 4/5). ¿Cual es el mınimo valor

(absoluto) que puede tomar∂f

∂v?, ¿en que direccion se tiene este valor?

25. Sea f : U ⊂ R2 → R una funcion diferenciable definida en el conjunto abierto U de

R2 y sea p ∈ U . Suponga que

∂f

∂u(p) = 3.

∂f

∂v(p) = 2, donde u = (1/

√2,−1/

√2),

v = (√3/2, 1/2). Calcule las derivadas parciales de f en p.

26. Sea f : R3 → R la funcion f(x, y, z) = z − x2 − y.

a) Determine los puntos (x, y, z) ∈ R3 en que el gradiente de esta funcion forma un

angulo de π/3 con el vector u = (2, 1, 1).

b) Determine los puntos (x, y, z) ∈ R3 donde el gradiente de esta funcion este en la

direccion del vector u = (1, 1, 1).

c) Detemine los puntos (x, y, z) ∈ R3 en que el gradiente de esta funcion es perpen-

dicular al vector u = (2,−1, 1).

18

27. Considere las funciones f(x, y) = 3x2 + 2y2, g(x, y) = 7 lnx +√3y. Demuestre que la

derivada de la funcion f en el punto p = (1, 1) en la direccion del gradiente de la funciong en p es igual a la derivada de la funcion g en p en la direccion del gradiente de lafuncion f en p. ¿Ocurre lo mismo con las funciones f(x, y) = x2 + y2, g(x, y) = 2x+ y,en el punto p = (2, 1)?

28. Para cada una de las siguientes funciones z = f(x, y) o w = F (x, y, z), determine unvector normal a su grafica en el punto indicado.

a) f(x, y) = −128π2 en un punto cualquiera p = (x0, y0)

b) f(x, y) = ey cosx en el punto p = (0, 1)

c) f(x, y) = sen(senx cos y) en el punto p = (π, π)

d) x2y2 + x2z2 + y2z2 + xyz − 4 = 0 en el punto p = (1, 1, 1)

e) xy + xz + zx − 3xyz = 0 en el punto p = (1, 1, 1)

29. En los siguientes ejercicios se da una funcion z = f(x, y) o una ecuacion de una superficieS y un vector n ∈ R

3. Determine el (los) punto(s) de la grafica de la funcion (si loshay) para los que el vector n es un vector normal

a) f(x, y) = 2x2 + 3xy + 5y2, n = (3, 2,−3)

b) f(x, y) = ln(1 + x+ 2y), n = (−1,−3, 4)

c) f(x, y) = sen√

x2 + y2, n = (0, 0,−3)

d) x2 + y2 + z2 = 4, n = (2, 2, 2)

e) x2 + 2y2 + 3z2 = 1, n = (−2, 3, 6)

f ) x2 + 4y2 − z2 = 1, n = (0, 3, 4)

30. hallar la ecuacion del plano tangente y de la recta normal a la superficie z = x2y+ex2+y2

en el punto en que x = 1, y = 1.

31. En los siguientes ejercicios se da la ecuacion de una superficie en el espacio tridimen-sional y un punto p de ella. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie enel punto p.

a) z2 + 3z − x2 − y2 − 2 = 0, p = (1, 1, 1)

b) x− y2 − z2 = 0, p = (0.0, 0)

c) x2 + y2 + z2 − 4x− 8y − 16z + 54 = 0, p = (1, 2, 3)

32. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie z = x2 + y2 que sea paraleloal plano 3x+ 8y − 5z = 10.

33. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie z = x2 + xy que sea perpen-dicular a los planos x+ y − z = 3 y 2x− y + z = 4.

34. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie z = 3x2 − 8xy + 5y2 en elpunto en que la recta normal tenga por vector paralelo a v = (−1, 0, 2).

35. Halle la ecuacion del plano tangente a la superficie z = x2+y2−4x que sea perpendiculara la recta x = 3 + 4t, y = −2t, z = 1 + t, t ∈ R.

36. Determine las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide x2 + 3y2 + 5z2 = 1 quesean paralelos al plano tangente a la superficie z = xy en el punto p = (1, 1, 1),

37. Hallar los puntos del elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 6 en los que la recta normal que pasapor ellos es perpendicular al plano 4x− 6y + 3z = 7.

38. Determine las ecuaciones de Jos planos tangentes al elipsoide x2 + y2 + 2z2 = 2 en lospuntos de interseccion de este con la recta x = 3t, y = 2t, z = t, t ∈ R

19

39. Demostrar que el plano 2x− 6y+3z− 49 = 0 es tangente a la esfera x2 + y2 + z2 = 49.¿En que punto? Hallar el otro plano tangente a la esfera que sea paralelo al dado.

40. Los puntos A = (2, 5, 3) y B = (−1,−2,−3) son los extremos de un diametro de unaesfera. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a esta esfera en los puntos A y B.

41. Obtenga la diferencial de la funcion dada

a) f(x) = sen3 x2

b) f(x, y, z, u, w) = xyz + xzw + yuw + zuw

c) w = e−z2

cos(x2 + y4)

d) g(r, θ) = r2 cos θ

42. Calcule aproximadamente el incremento de la funcion f(x, y) =x2 − y2

3x+ 2ycuando el

punto (x, y) de su dominio pasa de (2, 1) a (2.05, 1.1).

43. Sea f : R2 → R, f(x, y) =

x3y2 − xy3

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

a) Calcule las derivadas parciales

b)∂2f

∂x∂y(0, 0) y

∂2f

∂y∂x(0, 0) usando directamente la delinicion de derivadas parciales

44. Sea f : R2 → R, f(x, y) =

xy

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)Demuestre

a) f es discontinua en (0, 0)

b) Calcule las derivadas parciales, existen?

c) ¿Explique en pocas palabras porque f NO es diferencable en (0, 0)?

d) *Demuestre matematicamente porque f no es direnciable

45. Demuestre matematicamente que las siguientes funciones f : R2 → R son diferenciablesen el punto dado

a) f(x, y) = x2 + y2 en un punto arbitrario (x0, y0).

b) f(x, y) = xy2 en el origen (0, 0).

46. Demuestre que la funcion f : R2 → R, dada por f(x, y) =√

x2 + y2 ES continua en(0, 0), pero NO es diferenciable en el (0, 0).

47. Justifique brevemente porque las funciones f(x, y) = e−(x2+y2) y g(x, y) = cos(x+y2+z3) son diferenciables.

48. Para cada una de las siguientes funciones, escriba la expresion del residuo de la defini-cion de diferenciabilidad en el punto en cuestion, Pruebe que la funcion es diferenciable.

a) f(x, y) = 4x− 10y, p = (x0, y0)

b) f(x, y) = 4x2y3, p = (1, 1)

c) f(x, y) = x sen y, p = (0, 0)

d) f(x, y, z) = ex+y+z, p = (0, 0, 0)

49. Considere la funcion f : R2 →→ R, f(x, y) = |x|+ |y|. ¿Que aspecto tiene la grafica def? Demuestre que esta funcion NO es diferenciable en el origen. ¿En que otros puntosno es diferenciable?

20

50. (A manera de recapitulacion: ¿que implica que?). Sea f : U ⊂ R2 → R una funcion

definida en el conjunto abierto U de R2, y sea p un punto de U . A continuacion se dan

8 afirmaciones sobre la funcion f .

a) f es diferenciable en p.

b) f es continua respecto de su primera variable en p.

c) f es continua respecto de su segunda variable en p.

d) f es continua en p en la direccion de algun vector v ∈ R2.

e) f es continua en p en la direccion de todo vector v ∈ R2.

f ) f tiene derivadas parciales en p.

g) f tiene derivadas direccionales en p en la direccion de cualquier vector v ∈ R2.

h) f tiene derivadas parciales continuas en alguna bola B contenida en U con centroen p.

Llene el siguiente cuadro, indicando con una V en la lınea i y columna j, cuando laafirmacion de la lınea i implique la afirmacion de la columna j, y con una F cuando nola implique. Por ejemplo, la afirmacion (a) implica laafirmacion (f), pero la afirmacion(f) no implica la (a). Estas respuestas ya aparecen en la tabla.

51. Considere la funcion f : R2 → R.

f(x, y) =

(x2 + y2) sin 1√x2+y2

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

a) Demuestre que las derivadas parciales de esta funcion estan dadas por

∂f

∂x=

(2x) sin 1√x2+y2

− x√x2+y2

cos 1√x2+y2

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

∂f

∂x=

(2y) sin 1√x2+y2

− y√x2+y2

cos 1√x2+y2

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

b) Demuestre que las derivadas parciales de f son discontinuas en el origen, probandoque el lımite de ellas cuando (x, y) tiende a (0, 0) no existe.

c) Constate que el residuo de la defincion de diferenciabilidad aplicada a f en elorigen se ve como

r(h1, h2) = (h21 + h22) sen1

√

h21 + h22

21

d) Demuestre que

lım(h1,h2)→(0,0)

r(h1, h2‖(h1, h2)‖

= 0

y concluya entonces que la funcion es diferenciable en el origen.

e) Responda VERDADERO o FALSO: ¿Si una funcion f : U ⊂ R2 → R es diferen-

ciable en el punto (x0, y0) ∈ U , entonces implica que las derivadas parciales de fsean continuas en (x0, y0).?

52. Considere la superficie en R3 definida implıcitamente por F (x, y, z) = xyz + ln(xyz)−

z = O Hallar la ecuacion del plano tangente en p = (1, 1, 1).

53. Hallar la ecuacion del plano tangente a la superficie dada implıcitamente por

F (x, y, z) = 36x2 + 9y2 + 4z2 − 72x− 36y − 24z + 72 = 0

en el punto p = (1, 4, 3).

54. Suponga que la expresion

ˆ y+z

xz

g(t)dt+

ˆ z2

3x+y

h(t)dt = 0

donde g, h : R → R son funciones continuas, define implıcitamente una funcion diferen-ciable z = f(x, y). Halle sus derivadas parciales.

55. Para pensar Utilizar la grafica de la superficie para determinar el signo de la derivadaparcial indicada.

a) fx(4, 1)

b) fy(4, 1)

c) fx(−1,−1)

d) fy(−1,−2)

56. Dada la funcion f(x, y) = 3x2y+x+y. Usando la definicion de derivada parcial calculefx(1, 1) y fy(−1, 1).

57. Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones

a) f(x, y) = x3 − 2x2y2 + 3

b) g(x, y) = ex2−y2

+ ln(x2 + y2 − 4)

c) h(x, y, z) = 2 cos(xy2) + tan(yz)− ln(x2 − 4y) +√xyz

d) f(x, y, z) =

ˆ z

x

et2

dt+

ˆ x

−y

cos(t2)dt+ arctan(xyz) + 8

e) f(x, y, z) = x

ˆ z2

x2

1

1 + cos2 tdt+ yz3

58. Considere una recta tangente a la superficie

f(x, y) = ex sen(6πy) − 2x3 + arctan(xy)− xy

1 + x2

la cual se encuentra en un plano P paralelo al plano yz, pasa por un punto donde y = 1y tiene pendiente −12π. Encuentre la ecuacion del plano P.

22

59. Encuentre los puntos de la superficie f(x, y) = xy(1 − x − y) donde el plano tangentees paralelo al plano coordenado xy.

60. Considere el hiperboloide de una hoja z =√

x2 − y2 − 4

a) Encuentre el plano tangente al hiperboloide en el punto A(−6, 2,√28)

b) Halle la ecuacion vectorial de la recta normal al hiperboloide en ei puntoA(−6, 2,√28).

c) Determine los puntos sobre el hiperboloide en donde los planos tangentes sonparalelos al plano Q : 2x+ y + z = 0.

61. Demuestre que el plano tangente al elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 en un punto (x0, y0, z0)

tiene por ecuacion Q =x0x

a2+y0y

b2+z0z

c2= 1

62. Se construye una caja rectangular cerrada de manera que su volum en sea 36 piescubicos. El costo del material de la tapa y de la base es de $10 el pie cuadrado, el delmaterial para las partes de enfrente y de atras es de $9 el pie cuadrado y el materialpara los otros lados es de $7 el pie cuadrado.

a) Determine la funcion de costo C(x, y) , donde x y y son las medidas del largo y elancho de la base de la caja respectivamente.

b) Calcule Cx(3, 4) y Cy(3, 4) e interprete los resultados.

63. Sea C la curva de interseccion del paraboloide z = 12− x2 − y2 con el plano x = 2.

a) Halle la ecuacion vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (2, 2, 4)

b) Halle la ecuacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y) = x2

6 + y2

8 que esperpendicular a la recta tangente obtenida en a).

64. Dada la funcion f : R2 → R.

f(x, y) =

x2(y − 4)

x+ ysi x+ y 6= 0

0 si x+ y = 0

a) Analice la continuidad de f en el punto (−4, 4)

b) Halle∂f

∂x(−4, 4) y

∂f

∂y(−4, 4), si existen

65. (Muy interesante) Dada la funcion f(x, y) = |x2− 4x+ y2− 6y+4|, halle los puntosen los cuales fy(x, y) no existe.

66. En los siguientes ejercicios, determine las derivadas parciales indicadas en caso de queexistan.

a) fx(1,−1) y fy(1, 0) donde f(x, y) =

1 + cos(πxy)

x+ ysi x+ y 6= 0

0 si x+ y = 0

b) fx(0,−1) y fy(0, 1) donde f(x, y) =

x2y2

y + exsi y 6= −ex

0 si y = −ex

c) fx(0, 0) y fy(0, 0) donde f(x, y) =

x3 − y3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

23

d) fx(−1, 1) y fy(−1, 1) donde f(x, y) =

x3 + y2

y2 + xsi y2 + x 6= 0

0 si y2 + x = 0

67. Considere una esfera con centro en el origen y radio 13. Una recta tangente trazada aesta esfera en un punto en el primer octante donde x = 3 esta en el plano paralelo alplano xz y tiene pendiente −1/4. Encuentre la ecuacion del plano. R:y = 4

68. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuacion del plano tangente y de larecta normal a cada una de las superficies en el punto indicado.

a) z = e2x cos(3y), P (1, π/3,−e2)b) z = ln(

√

x2 + y2), P (−3, 4, ln 5)

c) z = x ln y, (1, 1, 0)

69. Halle los puntos de la superficie donde el plano tangente es paralelo al plano coordenadoxy.

a) z = x3 − 12xy + 8y3

b) f(x, y) = x3yey−3x

c) Halle la ecuacion del plano tangente a la superficie z = 4xy − x4 − y4 que esparalelo al plano Q : 8x− 8y + z + 28 = 0

d) Encuentre el angulo entre la recta L = (−2, 5, 12) + t(4, 1,−3) : t ∈ R y lanormal a la esfera x2 + y2 + z2 = 121 en el punto de interseccion de ia recta y laesfera.

70. ¿En que puntos del grafico de la ecuacion x2 + 4y2 + 16z2 − 2xy = 12, son los planostangentes paralelos al plano xz?

71. Halle un vector tangente a la curva de interseccion de las superficies x2−3xz+y2z = 1y 3xy + 2yz + 6 = 0 en el punto (1,−2, 0).

72. Demuestre que el plano tangente a la esfera x2 + y2 + z2 = 1 en un punto (x0, y0, z0)de la esfera (z0 > 0) tiene por ecuacion xx0 + yy0 + zz0 = 1

73. Halle sobre el cilindro (x+ y)2 + (y − z)2 = 4 el lugar geometrico de los puntos en loscuales la normal es paralela al plano xy.

74. Determine el valor de m para que el plano x − 2y − 2z + m = 0 sea tangente a lasuperficie de ecuacion x2 + 4y2 + 16z2 − 144 = 0

75. Verifique en cada caso que D12f(x, y) = D21f(x, y).

a) f(x, y) = x4 + 4x3y − 3x2y2 + 6xy3 + 9y4

b) f(x, y) = exy senx cos y

c) f(x, y) = xe−y2

+ x sec y

d) f(x, y, z) = ln(

1+x1+z

)

− exy

76. Si f(x, y) = (y + ax)2ey+ax . Pruebe que fxx = a2fyy

77. Dada la funcion z = 15x

5 − 2x3 + 25x+ ax3y2 + bxy4 + cxy2

a) Determine los valores de a, b y c de modo que∂2z

∂x2y∂2z

∂y2sean iguales y de signos

opuestos.

b) Halle los puntos de la superficie representativa de dicha funcion en los que el planotangente es horizontal.

24

78. Sea la funcion f(x, y) = eax+byg(x, y). Si gx(x, y) = gy(x, y) = 1. Halle los valores delas constantes a y b, tales que fx(x, y) = fy(x, y) y 1 + fxy(x, y) = a+ fyx(x, y)

79. Para k una constante positiva y g(x, t) =x

2√kt

, sea f(x, y) =

ˆ g(x,y)

0

e−u2

. Pruebe

que k∂2f

∂x2=∂f

∂t

80. Dada la funcion f(x, y) =

ex + ey +xy

y2 + x2si (x, y) 6= (0, 0)

2 si (x, y) 6= (0, 0)

Halle∂2f

∂x2(0, 0) y

∂2f

∂x∂y(0, 0) si es que existen

81. La distribucion de la temperatura sobre una placa metalica viene dada por la funcion

T (x, y) = 10(xe−y2

+ e−(x−2)2)

Si una mosca se situa en el punto P0(2, 0). se pide:

a) Determinar la razon de cambio de la temperatura al desplazarse hacia el puntoQ(2, 2).

b) ¿En que direccion desde el punto P0 debe m overse la m osca para que la temperatura dism inuya lo mas rapidam ente posible?. Si sigue esta direccion, ¿cuales la rapidez de cam bio de la tem peratura?

c) ¿En que direccion desde el punto P0 debe moverse la mosca para que la tempe-ratura aumente lo mas rapidamente posible?. Si sigue esta direccion, ¿cual es larapidez de cambio de la temperatura?

d) Si la mosca no quisiera apreciar ningun cambio de temperatura, ¿que direcciondebe tomar?

82. La altura de una montana sobre el nivel del mar es dada por la ecuacion z = 900 −2x2 − 2y2, donde x e y medidas en metros son las coordenadas este-oeste y sur-norterespectivamente. Un hombre se encuentra en el punto A(6, 5, z0).

a) ¿A que altura se encuentra el hombre?

b) ¿En que direccion desde ei punto A debe cam inar el hombre para escalar lamontana lo mas rapido posible?. Si sigue esta direccion, ¿cual es la rapidez decambio del hombre? (considere la unidad de tiempo en segundo).

c) ¿Cual es la direccion que apunta a la cima de la montana desde el punto A? Sisigue esta direccion, ¿cual es el valor de la pendiente de la m ontana?

d) Sı el hombre se mueve en la direccion sur-oeste, ¿esta ascendiendo o descendiendo?,¿cual es su rapidez?

83. Calcule el valor de la derivada direccional de la funcion z = f(x, y) = x5 + xy + y3 enel punto A(1, 6), en la direccion de la curva y = g(x) = 4x2 + 2.

84. Considere una funcion f(x, y), tal que

∇f(x, y) =(

4x3 + 2xy4 + yexy,−3y2 + 4x2y3 + xexy)

y f(0, 0) = 21. La temperatura en un punto (x, y) de una placa rectangular con centroen el origen esta dada por

T (x, y) = f(x, y) + y3 − exy

a) Determine la direccion en que una arana debe ir, partiendo dej punto B(1, 1) dela placa, para que se enfrıe lo mas rapidamente posible.

25

b) ¿Cual es la rapidez de la arana en esta direccion?

85. * Sea f((x, y, z) = x2y2(2z+1)2. Halle la derivada direccional de f en el punto (1, 1,−1),en la direccion de la recta tangente a la curva de interseccion de las superficies

S1 : x2 + y2 + 2(y − x)− 2 = 0 S2 : x− y − 2z − 2 = 0

de modo que al mirar la curva, desde el origen, el sentido es horario.

86. Una partıcula rastreadora de calor esta situada en el punto (5, 4) de una placa metalicacuya tem peratura en (x, y) es T (x, y) = 100 − x2 − 3y2. Halle la trayectoria de lapartıcula al moverse de forma continua en la direccion de mas rapido crecimiento de latemperatura.

87. Dada la funcion f(x, y) = (2by − x)3. Calcule el valor de b para que el valor de laderivada direccional maxima de f , en el punto (−1, 0) sea igual a 3

√17 .

88. Sea f(x, y) = x2y. ¿Que angulo form a el vector direccion con la parte positiva del ejex, si la derivada direccional en el punto (1,−1) es 2?

89. Halle los puntos de la superficie S :x2

4+ y2 +

z2

4= 11, en los cuales el plano tangente

a S es paralelo al plano Q : x + 2y + 3z = 3. Para cada uno de los puntos obtenidos,escriba la ecuacion general del piano tangente.

90. Sea C la curva de interseccion del paraboloide z = 9− x2 − y2 con el plano x = 1.

a) Halle la ecuacion vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (1, 2, 4).

b) Halle la ecuacion del plano tangente a la superficie S : 4x2 + 3y2 − 24z = 0, quees perpendicular a la recta tangente obtenida en (a).

91. Halle las intersecciones del plano tangente a la superficie x2/3 + y2/3 + z2/3 = b2/3 conlos ejes coordenados y demuestre que x2 + y2 + z2 = b2.

92. Dada la funcion f(x, y) =

x2y2

(y2 + x2)2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) 6= (0, 0)

Demuestre que fx(0, 0) y

fy(0, 0) existen, pero que f NO es diferenciable en (0, 0).

93. Halle el valor aproximado de las siguientes cantidades utilizando diferenciales

a) 3√

6(1, 98)3 + (4, 1)2

b) ln[

(1, 1)3 + (2, 3)3]

− ln 9 R/ = 0, 43

c) sen(32) cos(59) R/ = 0, 273

94. Sea f(x, y) = (x3 + y3)√

x2 + y2, ¿es f diferenciable en (0, 0)? (Ayuda:Demuestre quelas derivadas parciales son continuas)

95. Dada la funcion f(x, y) =

3√xy +

xy2

y2 + x2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) 6= (0, 0)

¿Es f diferenciable en los puntos (0, 0), (0, 1), (1, 1)? Justifique. R/ NO,NO,SI.

96. Dada la funcion f(x, y) =

ex + ey +xy

y2 + x2si (x, y) 6= (0, 0)

2 si (x, y) 6= (0, 0)

¿Es diferenciable en (0, 0)? R/. NO

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97. Sea la funcion f(x, y) =√

|xy|. Determine el conjunto de puntos donde f no es dife-renciable. no es diferenciable en los eje x e y.

98. Sea u = f(x, y) donde x = es , y = et Demuestre que

∂2u

∂s2+∂2u

∂t2= x2

∂u2

∂x2+ y2

∂2u

∂y2+ x

∂u

∂x+ y

∂u

∂y

99. Una piscina tiene 22 pies de ancho, 56 pies de largo, 5 pies de profundidad en unextremo y 12 pies en el otro extremo, siendo el fondo un plano inclinado. Si la piscinaesta llenandose con un caudal de 20 pies3/seg , ¿a que velocidad se esta elevando elnivel de agua cuando dicho nivel es de 7 pies en el extremo mas profundo?

100. En un instante dado, la longitud de un cateto de un triangulo es 20 pies y esta au-mentando a razon de 2 pies/seg. y la longitud del otro cateto es 24 pies y esta dis-minuyendo a razon de 4 pies/seg. Encuentre la rapidez de cambio de la medida delangulo agudo opuesto al cateto de longitud de 24 pies en el instante dado.

101. Un filtro conico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior,se encuentra llena de una solucion. La solucion va pasando a un vaso cilindrico de3 cm de radio. Cuando la profundidad de la solucion en el filtro es 12 cm y el radio4 cm, su nivel esta bajando a razon de 2cm/seg y el radio va decreciendo a razon de2/3 cm/seg. Halle la rapidez con que esta subiendo la solucion en el vaso, para dichasmedidas.

102. Sea f : D ⊂ R2 → R una funcion diferenciable, tal que f(18, 0) = 4 y fx(18, 0) =

fy(18, 0) = 3 Si H(x, y, z) = f(x2 − y2 + z2, y2 − z2 + x2), halle la ecuacion del planotangente a la superficie S : H(x, y, z) = 0 en el punto P0(3,−4, 5)

103. Sea f una funcion diferenciable, tal que f(2, 2) = 2, fx(2, 2) = −2 y fy(2, 2) = 4. Sig(x) = f(x, f(x, f(x, x))), halle g(2) y g′(2).

104. Determinar si existe o no una funcion f(x, y) con las derivadas parciales dadas. fx(x, y) =2x+ y y fy(x, y) = x− 4y

105. Encontrar el angulo de inclinacion θ del plano tangente a la superficie en el punto dado.

a) 3x2 + 2y2 − z = 15, (2, 2, 5)

b) 2xy − z3 = 0, (2, 2, 2)

106. Encontrar el (los) punto(s) sobre la superficie en la cual el plano tangente es horizontal

a) z = 4x2 + 4xy − 2y2 + 8x− 5y − 4

b) z = xy +1

x+

1

y

107. Encontrar∂u

∂x,∂u

∂yy∂u

∂zsi u es una funcion diferenciable de x, y y z definida implıci-

tamente por −xyz + x2yu+ 2xy3u− u4 = 8.

108. Determine la linealizacion L(x, y) de la funcion en cada punto.

a) f(x, y) = e2y−x en (0, 0) y en (1, 2)

b) f(x, y) = x3y4 en (1, 1) y en (0, 0)

c) f(x, y, z) = tan−1 xyz en (1, 0, 0) y en (1, 1, 1)

109. Solo hay un punto en el que el plano tangente a la superficie

z = x2 + 2xy + 2y2 − 6x+ 8y

es horizontal. Encuentrelo.

27

110. Encuentre una funcion z = f(x, y) tal que

∂z

∂x= 2xy3 + 2y +

1

x

∂z

∂y= 3x2y2 + 2x+ 1

111. Dada la funcion f(x, y) =

x3y2 − xy3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) 6= (0, 0)

a) Demuestre que fx y fy son continuas excepto tal vez en el origen.

b) Utilice coordenadas polares para demostrar que fx y fy son continuas tambien en(0, 0).

c) Demuestre que todas las derivadas parciales de segundo orden de f estan definidasy son continuas excepto quizas en el origen.

d) Demuestre que las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f existen en elorigen, pero que fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0).

e) Considere el comportamiento sobre lıneas rectas para demostrar que ninguna delas cuatro derivadas parciales de segundo orden de f es continua en el origen.

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UNIVERSIDAD NACIONAL

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

TALLER IIIProfesor: H. Fabian Ramirez

Maximos- Mınimos y Integrales Multiples

1. ¿Porque la funcion f(x, y) =x√

1− x2 − y2

ycon dominio D = (x, y) ∈ R

2 : x2+ y2 ≤1, y > 0 no tiene maximo ni mınimo?,

2. Basandose en la grafica de la funcion f(x, y) =√

1− x2

4 − y2, indique en que punto(s)

alcanza el valor maximo y mınimo.

3. La empresa Vectorial S.A. produce un solo producto en dos plantas ubicadas en Bogotay Medellin. Los costos mensuales totales de produccion en cada planta son

CB(x) = 50x2 + 1000 y CM (y) = 8y3 − 400y + 2000

donde x e y son las cantidades producidas en cada planta. El precio del mercado para elproducto es de 2000 pesos la unidad. ¿Cuantas unidades deberıa producir mensualmentela empresa en cada planta para generar la mayor utilidad posible?. R/: 20B, 10M

Ayuda: La funcion utilidad (a maximizar) viene dada por U(x, y) = I(x, y)− C(x, y)

4. Un fabricante que posee derechos exclusivos sobre una nueva y completa maquina-ria industrial planea vender una cantidad limitada de las maquinas tanto a empresasnacionales como extranjeras. El precio que el fabricante espera fijar a las maquinasdependera del numero de maquinas disponibles. (Por ejemplo, si solo unas cuantasmaquinas se ponen en el mercado, las ofertas de los compradores potenciales que com-piten entre sı tenderan a subir el precio). Se calcula que si el fabricante suministra xmaquinas al mercado nacional e y maquinas al mercado extranjero, estas se venderana 60 − x

10 + y20 miles de dolares cada una en el mercado local y a 70 − y

5 + x20 miles

de dolares en el exterior. Si el fabricante puede producir las maquinas a un costo deUS$ 20000 cada una, ¿cuantas maquinas deberıa enviar a cada mercado para generarla mayor utilidad posible?

Ayuda: U(x, y) = I(x, y)− C(x, y) R/: 300N, 200I

5. Analice para que valores de a ∈ R la funcion f(x, y) = a(x−1)(y−2)−(x−1)2−(y−2)2

alcanza los extremos. Maximo para a ∈ (−2, 2). Silla a ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞)

6. Sea f : R3 → R una funcion de dos variables, tal que su matriz hessiana en el puntoP0(m,n) es

Hess(f(m,n))

m+ 3 m− 1 0

1 5 −2

0 −2 1

¿Para que valores de m, f(P0) es un valor minimo relativo?¿Para que valor de m, f esdiferenciable y f(P0) es un valor minimo relativo? ¿ R/ m ∈ (−3,∞). Diferenciable sim = 2

7. Sea f : R2 → R una funcion de dos variables, tal que su matriz hessiana en un puntogenerico (x, y) es

Hess(f(x, y))

4− x 3x

1 1

.

29

Si (a, a) es un punto crıtico de f ¿para que valores de a el punto (a, a, f(a, a)) es unpunto de silla? R/. a > 1.

8. Sea f : R2 → R una funcion con derivadas parciales de primer y segundo orden conti-nuas en R

2 tal que A(2,−1) es un punto crıtico de f . En cada caso, indique si el puntocrıtico corresponde a un extremo relativo o a un punto de silla.

a) fxx(2,−1) = −3, fxy(2,−1) = 2 fyy(2,−1) = −8

b) fxx(2,−1) = 25, fxy(2,−1) = 10 fyy(2,−1) = 8

c) fxx(2,−1) = −4, fxy(2,−1) = 6 fyy(2,−1) = 9

9. En los siguientes ejercicios, halle los extremos absolutos de la funcion en la region Dindicada

a) f(x, y) = x2 + xy − y2 − 6x, D es la placa rectangular 0 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 3

b) f(x, y) = 4x3 − 2x2y + y2, D es la region limitada por la parabola y = x2 y larecta y = 9.

c) f(x, y) = 4x2y − x3y − x2y2 D es la region triangular limitada por x = 0, y = 0,x+ y − 6 = 0

d) * f(x, y) = (x2 + y2)e−(x2+y2) Ayuda: llame r = x2 + y2

10. * Consideremos la funcion z = f(x, y) dada implıcitamente en la expresion

F (x, y, z) = x3 + y3 + z3 − 3x− 3y + z + 4 = 0

halle los extremos locales. R/: P1(1, 1), P2(1,−1), P3(−1, 1), P4(−1,−1)

11. Halle la mınima distancia del origen al cono z2 = (x− 1)2 + (y − 1)2. R/ =√102

12. Halle los extremos de la funcion f(x, y, z) = xyz. sujeta a las condiciones x+y−z−3 = 0y x− y − z − 8 = 0. R/ Maximo P (11/4,−5/2,−11/4)

13. El cono z2 = x2 + y2 es cortado por el plano z = 1 + x + y en una curva C. Halle lospuntos de C que estan mas proximos y mas alejados del origen.R/: P (−1 +

√2/2,−1 +

√2/2,−1 +

√2) cerca y Q(−1 −

√2/2,−1 −

√2/2,−1 −

√2)

lejos

14. Un disco circular tiene la forma de una region acotada por el cırculo x2 + y2 = 1. Si Tes la temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) del disco y T (x, y) =2x2 + y2 − y, encuentre los puntos mas calientes y mas frıos del disco.R/: P1(

√3/2,−1/2) y P2(−

√3/2,−1/2) caliente y Q(0, 1) frio.

15. * Sea P0(x0, y0, z0) (x0 > 0, y0 > 0 , z0 > 0) un punto sobre la superficie x2

4 + y2

8 + z2

16 = 1

a) Calcule el volumen del solido limitado por los planos cartesianos y el plano tan-gente al elipsoide en el punto P0.

b) Halle P0 que esta sobre el elipsoide de modo tal que el volumen del solido seamınimo.

16. Una organizacion internacional debe decidir como gastar los US 4000 que se le hanasignado para aliviar la extrema pobreza en el departamento de Cundinamarca. Esperandividir el dinero entre comprar trigo a US 5 el saco y arroz a US 10 el saco. Para elnumero P de personas que se alimentaran se compraran x sacos de trigo y y sacos dearroz. P esta dado por

P (x, y) = x+ 2y +x2y2

2(108)

¿Cual es el numero maximo de personas que pueden alimentarse, y como la organizaciondebe asignar su dinero? R/ 832 personas, 400 sacos de trigo y 200 sacos de arroz

30

17. Un cilindro circular recto cerrado con un volumen de 8000 pies cubicos se construyecon dos clases de material. La tapa y la base del cilindro se hacen de un metal quecuesta $16 el pie cuadrado. La cara lateral se cubre con un metal que cuesta $S20 elpie cuadrado. Calcule las dimensiones del cilindro para que el costo de construccion seamınimo. R/ altura = 80

3√25πy radio = 50

3√25πCosto = 9600 3

√25π

18. Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores maximo y mınimo de lafuncion, sujeto a la restriccion dada.

a) f(x, y, z) = xyz, restriccion 1x + 1

y + 1z = 1. R/. (3, 3, 3) es punto crıtico.

b) f(x, y) = 25− x2 − y2, restriccion x2 + y2 − 4y = 0 R/. Valor mınimo f(0, 4) = 9Valor maximo f(0, 0) = 25

19. Sea C la curva de interseccion de las superficies S1 : x2+z2 = 2y, S2 : x−y+z+3 = 0.Encuentre los puntos de la curva C que estan mas alejados y mas cercanos al plano xz.R/. P1(3, 9, 3) es el punto mas alejado y P2(−1, 1,−1) el mas cercano.

20. La empresa Ramirez S.A vende dos productos: Vifer y Difer. Su utilidad en soles alvender x unidades de Vifer y y de Difer es

U(x, y) = 20x+ 40y − 0.1(x2 + y2)

Si la empresa puede vender un maximo de 400 unidades de los dos productos, ¿que com-binacion le producira la maxima utilidad? R. Vender 150 unidades de Vifer y 250 uni-dades de Difer.

21. Una sonda espacial de forma del elipsoide 4x2 + y2 +4z2 = 16 entra en la atmosfera dela tierra y su superficie comienza a calentarse. Pasada una hora, la temperatura en elpunto (x, y, z) sobre la superficie de la sonda es

T (x, y, z) = 8x2 + 4yz − 16z + 600.

Determınese el punto mas caliente de la sonda.R/ :P1(4/3,−4/3,−4/3) y P2(−4/3,−4/3,−4/3)

22. Si T (x, y, z) = x + 2y + 3z representa la temperatura en cada punto del cilindro x2 +y2 − 2 = 0, halle las temperaturas extremas en la curva formada por la intersecciondel plano y + z = 1 y el cilindro. R/: Temperatura mınima en A(−1, 1, 0) y max. enB(1,−1, 2)

23. Muchas aerolıneas requieren que el equipaje de mano tenga una distancia lineal (sumadel largo, el ancho y el alto) de no mas de 45 pulgadas, con un requerimiento adicionalde que sea posible colocarlo bajo el asiento de enfrente. Si asumimos que el equipajetiene aproximadamente la forma de una caja rectangular y una dimension no es masde la mitad de otra dimension (para asegurar que cabe debajo del asiento), ¿cuales sonlas dimensiones del equipaje que guarda el volumen maximo?

24. Una empresa planea gastar 10000 dolares en publicidad en radio y television. Se sabeque el minuto de publicidad en la television cuesta 3000 dolares, mientras que en laradio cuesta 1000 dolares. Si x es el numero de minutos de publicidad que contrata enla television y y el numero de minutos que contrata en la radio, su ingreso por ventases

G(x, y) = −2x2 − y2 + xy + 4x+ 6y + 10

¿Cuantos minutos debe contratar en radio y cuanto en television para maximizar suingreso por ventas? R/:. 2 en TV y 4 en radio.

25. Sea g : R → R una funcion diferenciable. Suponga que g tiene solamente una raız en elpunto x0 y que g′(x0) > 0. Estudie la naturaleza de los puntos crıticos de las siguientesfunciones f : R2 → R

31

a) f(x, y) =

ˆ y

x

g(t)dt

b) f(x, y) =

ˆ y

−x

g(t)dt

c) f(x, y) =

ˆ −y

x

g(t)dt

d) f(x, y) =

ˆ −y

−x

g(t)dt

26. Sea g : R → R una funcion diferenciable. Suponga que la grafica de g cruza al eje xsolamente en el origen de coordenadas. Estudie la naturaleza de los puntos criticos dela funcion f : R2 → R

f(x, y) =

ˆ x−1

0

g(t)dt+

ˆ y−1

0

g(t)dt

en cada uno de los siguientes casos: a). g′(0) > 0, b). g′(0) < 0.

27. Sea g : R → R una funcion diferenciable. Suponga que esta funcion no tiene raıces.Determine la naturaleza de los puntos crıticos de la funcion f : R2 → R

f(x, y) =

ˆ (x−1)2

0

g(t)dt+

ˆ (y−1)2

0

g(t)dt

en cada uno de los siguientes casos: a). g(0) > 0, b). g(0) < 0.

28. Sea g : R → R una funcion diferenciab1e tal que g(1) = g(2). Considere la funcionf : R2 → R

f(x, y) =

ˆ x+y

xy

g(t)dt.

Demuestre que f tiene un punto critico en (1, 1). Estudie la naturaleza de este puntocrıtico en cada uno de los siguientes casos:

a). g(1) = 0, g′(1) = 1, g′(2) = 2 b). g(1) = 3, g′(1) = 3, g′(2) = 4

29. Sea g : R → R una funcion diferenciable. Suponga que la grafica de g pasa por el origenDemuestre que la funcion f : R3 → R

f(x, y, z) = z2 +

ˆ y

−x

g(t)dt

tiene un punto crıtico en (0, 0, 0). Determine la naturaleza de este punto crıtico supo-niendo que g′(0) 6= 0.

30. Determinar los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = x2 + 3y2, en la region K =(x, y) : x2 − 2x+ y2 − 3 ≤ 0.

31. Determinar los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = x2y3(1−x− y), en la regionK = (x, y) : |x|+ |y| ≤ 1

INTEGRALES DOBLES

1. Utilizar una integral doble para hallar el volumen del solido indicado.

32

2. Establecer una integral doble para encontrar el Volumnen de una region solida limitadapor las graficas de las ecuaciones. NO EVALUAR.

a) b)

c) z = x2 + y2, z = 18− x2 − y2.

d) z = sin2 x, z = 0, 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 5

3. Calcule

¨

D

2y − 1

x+ 1dA , donde D es la region limitada por las rectas x = 0, y = 0 y

2x− y = 4 R/=36− 42 ln 3

4. Calcule

¨

R

(⌊x⌋+ ⌊y⌋)dA, donde R = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2. R/=4

5. Calcule

¨

D

sin(

πy−πy3

3

)

dA, en la region limitada por las graficas de y = 0, y =√1 + x

y y =√1− x. R/= 3

π

6. Calcule

¨

D

xey

ydA, en la region limitada por las graficas de x =

√y, x = −y y y = 1

y = 3. R/=− 12 (e

3 + e)

7. Calcule

ˆ 1

0

ˆ 1

y

tan(x2)dxdyR/= 12 ln(sec(1))

8. Calcule

ˆ 1

0

ˆ −√x

−1

ey3

dydx R/= e−13e

9. Calcule

ˆ 2

0

ˆ 4

y2

2√x3dxdy. R/= 170

ln 2

10. Halle el valor de la integral

ˆ 0

−1/4

ˆ12+

√x+ 1

4

12−

√x+ 1

4

ey2

dydx+

ˆ 2

0

ˆ12+

√x+ 1

4

−1+√x+1

ey2

dydx+

ˆ 8

2

ˆ 2

−1+√x+1

ey2

dydx, R/ =3

2(e4−1)

33

11. Dada la suma de integrales dobles

I =

ˆ 3

2

ˆ

y2

1

cos((x+ y)3)dxdy +

ˆ 4

3

ˆ

y2

y3

cos((x+ y)3)dxdy +

ˆ 6

4

ˆ 2

y3

cos((x+ y)3)dxdy

a) Cambie el orden de integracion y exprese I en una sola integral

b) Calcule el area de la region de integracion D. R/= 32

12. Trazar la region de integracion y evaluar la integral

a)

ˆ 2

0

ˆ 2

x

x√

1 + y3dydx b)

ˆ 2

0

ˆ 4

y2

√x sinxdxdy R/=sin(4) −

4 cos(4)

13. Evaluar la integral iterada impropia

a)

ˆ 3

0

ˆ ∞

0

x2

1 + y2dydx b)

ˆ ∞

1

ˆ ∞

1

1

xydxdy c)

ˆ ∞

0

ˆ ∞

0

xye−(x2+y2)dxdy

14. La figura I muestra las curvas de nivel de una funcion f en una region cuadrada R. Aproximarla integral empleando los 16 cuadrados y tomando un punto de cada cuadrado como (xi, yi).

ˆ 2

0

ˆ 2

0

f(x, y)dydx ≈Fig 1

15. Utilizar una integral doble para calcular el area de la region sombreada

16. Evalue

¨

R

(x+ y)dA sobre la region que se muestra en la figura 4

17. Halle el volumen del solido limitado por el plano xy, el plano x + y + z = 2 y el cilindroparabolico y = x2 R/= 81

20

18. Encuentre el volumen del solido que se encuentra debajo del plano x + z = 0, por encimadel plano z = 0 e interior al cilindro x2 + y2 = 9 R/=18

19. Halle el volumen del solido comprendido entre los cilindros x2 + y2 = 16 y x2 + z2 = 16R/= 1024

3

20. Halle el volumen del solido limitado por las superficies y =√x, y = 2

√x, x+ z = 6, z = 2.

R/= 12815

fig 4

21. Determine el volumen dei solido limitado por las superficies y = 0, y = 4, x = 0 , x = y,z =

√y, z = 2

√y. R/= 64

5

22. * Calcule el area de la region R limitada por las graficas de y = − 3x2 , y = 4 − x2

4 ,y = 1− x2, y = x2 − 1 y y ≥ 0. R/= 902

96

23. Halle

ˆ 2

0

ˆ

√8−x2

x

1

5 + x2 + y2dydx

34

24. Encuentre el volumen del solido que esta bajo el hemisferio z =√

1− x2 − y2 y sobrela region acotada por la grafica de la circunferencia x2 + y2 − y = 0

25. Calcule el volumen del cuerpo limitado por la superficie cilindrica z = e−x2

y los planosy = 0, y = x, y x = 1. R/= e−1

2e

26. Grafique el dominio de integracion de la expresion y luego calcule su area R/= 56

I =

ˆ 1

0

ˆ

y2+34

y2

f(x, y)dxdy +

ˆ 3/4

0

ˆ 0

−x

f(x, y)dydx+

ˆ 1

3/4

ˆ −√4x−3

−x

f(x, y)dydx

27. Calcule el volumen del solido limitado superiormente por la superficie z =√

4− x2 − y2

e inferiormente por la region limitada por la grafica de la circunferencia r = 2 cos θ.R/= 8π

3 − 329

28. Calcule el volumen del solido S que esta limitado inferiormente por el plano xy, superior-mente por la superficie x2+y2+4z2 = 16 y lateralmente por el cilindro x2+y2−4y = 0.R/= 32

9 (3π − 4)

29. Sea ψ : R4 → R4 una transformacion definida por ψ(y1, y2, y3, y4) = (x1, x2, x3, x4) ,

dondex1 = 3y1 − y2 x2 = 2y2, x3 = y3 − y4, x4 = y4

Calcule el Jacobiano de ψ.

30. Calcule

¨

R

ey−xy+x dxdy, donde R es el triangulo limitado por la recta x+y = 2 y los ejes

coordenados. R/=e− e−1

31. Halle el area de la region limitada por las curvas xy = 1, xy = 3, x−xy = 1, x−xy = 3.R/=6 ln(6)− 14 ln 2

32. * Calcule

¨

R

x

ydxdy, donde R es la region limitada por las hiperbolas xy = 1, xy = 2

y por las rectas y = x, y = 4x. R/= 34

33. *Halle la integral de la funcion f(x, y) = x2y2 sobre la region R limitada por lashiperbolas equilateras xy = 1, xy = 2 y las rectas y = x, y = 3x (la region situada enel primer cuadrante). R/= 7

6 ln 6

34. * Halle la integral de la funcion f(x, y) = x−3 sobre la region limitada por las parabolasy = x2, y = 2x2, y2 = x, y2 = 2x. R/= 1

3 ln 2

35. * Calcule

¨

R

(

√

4− x2 − y2+x)

dA, donde la region R = (x, y) ∈ R2 : x2+y2 ≤ 2y.

R/= 8π − 32

9

36. Calcule

¨

R

√

1− x2

a2− y2

b2dA donde R =

(x, y) ∈ R2 : x2

a2 + y2

b2 ≤ 1

R/= 2abπ3

37. * Halle el volumen del solido S limitado por el cono z2 = x2+y2 y el cilindro x2+y2−2y = 0. R/= 64

9

38. * Halle el volumen del solido S que esta limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y elhiperboloide x2 + y2 − z2 = 1 R/=4

√3π

39. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la superficie esferica x2 + y2 +z2 = 4, inferiormente por el plano xy y lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 1R/= 2

3 (8− 3√3)π

35

40. Encuentre el centro de masa de una lamina homogenea (de densidad constante) quetiene la forma de la region limitada por la parabola y = 2−3x2 y la recta 3x+2y−1 = 0.R/=( 14 ,

45 )

41. En los siguientes ejercicios encuentre el centro de masa de una lamina que tiene lafuncion de densidad ρ y la forma de la region limitada por las curvas dadas.

a) x2 − y2 = 1, x = 3, ρ(x, y) = x

b) y = x3, y =√x, ρ = 2x

c) y2 = x, x = y + 2, ρ = x2y2

42. Encuentre Ix y Iy para la lamina homogenea que tiene la forma de la region D acotada porla curva y =

√x y por las rectas y = 0, x = 4. R/=Ix = 64

15 , Iy = 2567

43. Halle el momento polar de inercia de la region F en el plano xy limitado por x2 − y2 = 1,x2 − y2 = 9, xy = 2, xy = 4, la densidad ρ = 1. Sugerencia: hacer u = x2 − y2, v = 2xyR/=8

44. * Halle el area de la parte de la esfera x2+y2+z2 = 4 que se encuentra arriba del paraboloidex2 + y2 = 3z. R/=4π

45. Determine el area de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 2ay que es cortada por un mantodel cono y2 = x2 + z2 Sugerencia: A(S) en xz R/=2πa2.

46. Encuentre el area de la parte del paraboloide x2 + y2 = 8 − z que esta comprendida entre

los conos x2 + y2 = 7z2, x2 + y2 = z2

4 y z > 0. Ver figura 1 R/Leidy=π6 (17

√17− 5

√5)

47. * Halle el area de la parte del cono y2 + z2 = 3x2 que se encuentra arriba del plano yz einterior al cilindro y2 + z2 = 4y Ver figura 2 R/= 8π√

3

48. * Calcule el area de la parte del cilindro x2 + y2 = 16 que se encuentra entre los planosz = x, z = 2x, en el primer octante. Sugerencia: A(S) en xz R/=16.

49. Encuentre el area de la superficie de las porciones del cono z2 = 14 (x

2+y2) que estan dentrodel cilindro (x− 1)2 + y2 = 1. Fig 5.

50. * Hallar

ˆ ∞

0

e−5x − e−10x

xdx R/=ln(2)

51. * Hallar

ˆ 2

0

(

tan−1(πx)− tan−1(x))

dx.

52. ¿Que region R en el plano xy maximiza el valor de

¨

(9− x2 − y2)dA?

53. ¿Que la region R en el plano xy minimiza el valor de

¨

(x2 + y2 − 4)dA?

Fig 1

Fig 2

Fig 5

54. VERDADERO O FALSO. Si es falsa, explicar por que o dar un ejemplo que demuestreque es falsa

a) El volumen de una esfera x2 + y2 + z2 = 1 es V = 8

ˆ 1

0

ˆ 1

0

√

1− x2 − y2dxdy

b)

ˆ b

a

ˆ d

c

f(x, y)dydx =

ˆ d

c

ˆ b

a

f(x, y)dxdy

c)

ˆ 1

0

ˆ x

0

f(x, y)dydx =

ˆ 1

0

ˆ y

0

f(x, y)dxdy

d) Si

¨

R

f(r, θ)dA > 0 entonces f(r, θ) > 0 para todo (r, θ) en R.

36

e) Dada una particion interior de la region plana R que consiste en rectangulos

R1, R2, . . . , Rn que estan dentro de R, el valor de la integral doble

¨

R

f(x, y)dA

se aproxima con la suma de Riemann que tiene un termino f(x∗i , y∗i )∆Ai para

cada rectangulo de la particion interior.

f ) Si f es integrable, entonces la suma de Riemannk∑

i=1

f(x∗i , y∗i )∆Ai puede hacerse

arbitrariamente cercana al valor de la integral doble

¨

R

f(x, y)dA escogiendo una

particion interna de R con una norma suficientemente pequena.

g) La descripcion a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) de la region R lleva a evaluar la

integral doble

¨

R

f(x, y)dA integrando primero respecto de x y despues respecto

de y.

h) La descripcion h1(y) ≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d de la region R lleva a evaluar la

integral doble

¨

R

f(x, y)dA integrando primero respecto de y y despues respecto

de x.

i) Dada una region R en el plano xy, el problema de calcular el area A de R esequivalente al problema de calcular el volumen de cierto solido que se encuentrearriba de R.

j ) Si R es la region tal que satisfacen las desigualdades r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ), α ≤ θ ≤ β.

entonces

¨

R

f(x, y)dA se transforma en otra iterada en coordenadas polares que

se integra primero respecto de θ y despues respecto de r.

55. Demuestre que

ˆ ∞

0

e−x2

dx =

√π

2Ayuda: Calcule V = lım

b→∞Vb pero usando dos formas diferentes para Vb, primero

Vb =

¨

R

e−x2−y2

dA, R = (x, y) : −b ≤ x ≤ b,−b ≤ y ≤ b

Vb =

¨

S

e−x2−y2

dA, S = (x, y) : x2 + y2 ≤ b

56. Elija y evalue la integral correcta que represente al volumen V del solido.

a) 4

ˆ 2

0

ˆ

√4−x2

0

(4− y)dydx

b) 2

ˆ 2

−2

ˆ

√4−x2

0

(4− y)dydx

c) 2

ˆ 2

−2

ˆ

√4−x2

0

(4− y)dxdy

a) 4

ˆ r

−r

ˆ

√r2−x2

−√r2−x2

(r2 − y2)1/2dydx

b) 8

ˆ r

0

ˆ

√r2−y2

0

(r2 − y2)1/2dxdy

c) 8

ˆ r

0

ˆ

√r2−x2

0

(r2 − x2)1/2dydx

57. Halle

ˆ 1

0

ˆ tan−1 x

0

xdydx R/=π4 − 1

2

58. Halle

ˆ ∞

0

ˆ ∞

x

e−y

ydydx

37

59. Halle

ˆ 1

0

ˆ 3√y

y

cos(x2)dxdy

60. Evalue

¨

R

sen(x + 2y) cos(x − 2y)dA sobre la region R dado por x = 0 y = 0 y

x+ 2y = 2π. R/: π2

61. Calcule

¨

R

cos( 12 (x− y))

3x+ ydA donde R es la region acotada por las graficas de y = x,

y = x− π, y = −3x+ 3, y = −3x+ 6.

62. Calcule

¨

R

(x2+y2) sen(xy)dA donde R es la region acotada por las graficas de x2−y2 =

1, x2 − y2 = 9, xy = 2, xy = −2.

63. Calcular el area en la region del primer cuadrante acotada por las curvas xy = 2, xy = 4y xy3 = 3, xy3 = 6.

64. Sea R la region en el primer cuadrante acotada por las circunferencias x2+y2 = 2x, x2+

y2 = 6x, y las circunferencias x2 + y2 = 2y, x2 + y2 = 8y. Calcule

¨

R

1

(x2 + y2)2dxdy

65. La region R se encuentra en el semiplano superior del plano xy y esta limitada por las

parabolas y2 = 4(1− x), y2 = 4(1 + x) y el eje x. Calcule

¨

R

√

x2 + y2dA, al hacer el

cambio de variable x = u2 − v2, y = 2uv

66. Conteste

38

39

UNIVERSIDAD NACIONAL

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

TALLER IVProfesor: H. Fabian Ramirez

Calculo Vectorial

INTEGRALES TRIPLES

1. Calcule

˚

D

3dV , donde D esta limitado por las superficies z = 0, y = 0, y = x,

x+ y = 2, x+ y + z = 3 R/=5

2. Calcule

˚

D

z2dV , donde D esta limitado por las superficies z = 0, x2 + z = 1,

y2 + z = 1. R/= 13

3. Calcule

˚

D

x2dV , donde D esta limitado por las superficies y2 + z2 = 4ax, y2 = ax,

x = 3a R/=27a5(

3√3+2π2

)

(tomar parte interna del solido)

4. Calcule la integral

ˆ

√π/4

0

ˆ

√π/4

x

ˆ 4

2

cos(6y2)dzdydx. R/=− 16

5. * Encuentre el volumen del solido limitado, por arriba, por el paraboloide z = 4−x2−y2y, por abajo, por el plano z = 4− 2x. R/=π

2

6. * Encuentre el volumen del solido en el primer octante acotado inferiormente por elplano xy, superiormente por el plano z = y, lateralmente por el cilindro y2 = x, y elplano x = 1. R/= 1

4

7. (Interesante) Calcule el volumen del solido limitado por los planos z = −1, z = 1 y porel hiperboloide x2 + y2 − z2 = 1. R/= 8π

3

8. * Calcule el volumen del solido interior a los cilindros y2 = 2x, x2 + y2 = 4x (par-te mayor) debajo del plano x + z = 5 y por encima del plano z = 0. R /=6π + 224

159. ** Si se sabe que el volumen de una bola de radio 3 es 36π, calcule el volumen del solido D

encerrado por el elipsoide x2

36 + y2

16 + z2

25 = 1 Ayuda: transforme el elipsoide en una esferade coordenada uvw de radio 3. Rs/=160π.

10. (Poderoso). Halle el volumen del solido limitado por las superficies x2+y2 = 9, z = 9−x2−y2,x2 + y2 + (z − 16)2 = 9 en la region y − x > 0. Rc/= 171

4 π.

11. Halle el volumen del solido sobre el cono z2 = x2+y2 e interior a la esfera x2+y2+z2 = 2az.Re/=πa3

12. Halle el volumen del cono de helado seccionado en una esfera de radio 6 por un cono con unsemi-angulo de 30. ver Figura. Re/=72π(2−

√3).

13. (Interesante) Calcule

˚

D

√

x2 + y2 + z2dV donde D es el solido limitado a la derecha

por la esfera x2 + y2 + z2 = 2ay (a > 0) y a la izquierda por el cono y =√x2 + z2.

Re/=a4π(

8−√2

5

)

14. (Interesante) Utilice coordenadas esfericas para calcular el volumen del solido limitado

por las superficies x =√

y2 + z2, x =

√

y2 + z2

3y el plano x = 4. R/= 128

3 π

40

15. (Poderoso) Sea S un solido interior del cilindro y2+z2 = 4 y limitado por las superficiescilındricas x = z2 y x− 6 = (z − 2)2. Halle el volumen de S. Rc=40π

16. Calcule I =

˚

D

(

1 − x2

a2− y2

b2− z2

c2

)

dxdydz donde D es el solido encerrado por el

elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1. Rse/= 8π2abc

15

17. Halle el volumen del solido interior a las superficies x2 + z2 = 4y, x2 + z2 = 5 − y yexterior al cilindro x2 + z2 = 1. Rc/= 45π

8

18. Calcule

˚

D

√

16− y2 − 4x2dV sobre el solido D limitado superiormente por el para-

boloide z = 16− y2 − 4x2 e inferiormente por el plano z = 7. Rc/=(

1664+197√7

30

)

π

19. Halle el volumen de la region limitado por los cilindros hiperbolicos xy = 1, xy = 9,xz = 4, xz = 36, yz = 25, yz = 49 R/=64

20. ** Calcule

˚

D

√

x2 + y2 + z2dV , donde D es el solido limitado por las superficies

z =√

x2 + y2, z = 3. Rcyci/=(

27√2− 27

2

)

π

21. Encuentre el centro de masa de un objeto material homogeneo limitado por los planoscoordenados, el plano x + y = 1 y el paraboloide z = 4 − x2 − 4y2. R/=m =1912 , (

3395 ,

2795 ,

53 )

22. Un cuerpo esta limitado por dos superficies esfericas concentricas cuyos radios soniguales a r y R (R > r). Teniendo en cuenta que la densidad del material es inversamenteproporcional a la distancia desde el centro de las esferas, halle la masa total del cuerpo.R/=2π(R2 − r2)

23. Halle el momento estatico de la parte comun de las esferas x2 + y2 + z2 ≤ R2 yx2 + y2 + z2 ≤ 2Rz respecto al plano xy. La densidad en cualquier punto del cuerpo esigual a la distancia entre este punto y el plano xy. R/= 419

180R5π Camilo= 59

480R5π

24. Si D es la region limitada por los planos x = 1, x = 2 y por los cilindros y2 + z2 = 4,

y2 + z2 = 9, calcule

˚

D

ex√

y2 + z2dxdydz R/= 56eπ

3 (e− 1), 38π3 (e2 − e)

25. Demuestre que

ˆ ∞

−∞

ˆ ∞

−∞

ˆ ∞

−∞

√

x2 + y2 + z2e−(x2+y2+z2)dxdydz = 2π

26. Halle el volumen de la regionR que esta entre los paraboloides z = x2+y2, z = 4(x2+y2)y los planos z = 1, z = 4. dani 45π

8 y oscar 9π

27. Encuentre el volumen del solido T que esta bajo el paraboloide z = x2 + y2 y sobre eltriangulo R en el plano xy con vertices en (0, 0, 0), (1, 1, 0) y (2, 0, 0). dani 4

3

28. Encontrar el volumen y centroide de la region solida que se halla dentro de la esferaρ = 3, bajo el cono φ = π/3 y arriba del plano (cono) φ = π/2. dani V = 9π, (0, 0, 9

16 )

29. considere los siguientes solidos y plantee, pero NOOO evalue, las integrales que produ-cen el volumen V del solido utilizando los ordenes de integracion indicados.

41

30. Calcule

˚

D

(4z+2x−2y)dV donde D es el paralelepıpedo 1 ≤ y+z ≤ 3, −1 ≤ −y+z ≤ 1,

0 ≤ x− y ≤ 3. daniela 84

31. Determine el volumen del solido que se muestra en la Figura 3. daniela 17π3 (1−

√3)

32. Encuentre el area de la superficie de la porcion de la grafica de x = yz dentro del cilindroy2 + z2 = 1

33. Encuentre los lımites de integracion para evaluar la integral triple de una funcion f(x, y, z)sobre el tetraedro D con vertices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 1).

34. Halle el volumen de la region del primer octante acotada por los planos coordenados, elplano y + z = 2 y el cilindro x = 4− y2. (Fig 4)

35. Halle

ˆ 2

0

ˆ 4−x2

0

ˆ x

0

sin(2z)

4− zdydzdx

36. Encuentre a tal queˆ 1

0

ˆ 4−a−x2

0

ˆ 4−x2−y

a

dzdydx =4

15

37. ¿Para que valor de c ocurre que el volumen del elipsoide x2 + y2

4 + z2

c2 = 1 es igual a 8π?

Fig 3

Fig 4.

38. Calcule los volumenes de los siguientes solidos

42

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Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

TALLER VProfesor: H. Fabian Ramirez

Calculo Vectorial

TEOREMAS FUNDAMENTALES

1. Sea C el cuarto de cırculo C definido por x = 4 cos t, y = 4 sin t, 0 ≤ t ≤ π/2. Calcule

a)

ˆ

C

xy2dx b)

ˆ

C

xy2dy c)

ˆ

C

xy2ds

2. Calcule

ˆ

C

(x+ y)ds a lo largo de los caminos indicados

a) El triangulo con vertices (0, 0), (4, 0) y (0, 3) recorrido en sentido antihorario.R/=30

b) El cırculo x2+ y2 = 2x desde (0, 0) a (2, 0) recorrido en sentido horario. R/=π+2

c) El cırculo x2 + y2 = 16 desde (4, 0) a (−4, 0) recorrido en sentido antihorario.R/=32

3. * Jaimito piensa pintar una cerca de un parque por ambos lados. La cerca tiene comobase la curva C : x2/3 + y2/3 = (40)2/3 (x > 0 , y > 0) y altura para cada punto(x, y) ∈ C esta dada por la funcion f(x, y) = 4 + y

2 . Si le proporcionan la pintura yle van a pagar US 100 por pintar 20m2, ¿cual es su ganancia de Jaimito para salir defiesta? (plc)R/=US 7200

4. Dibuje una muestra representativa de vectores del campo vectorial F(x, y) = 13 (−y, x)

5. Calculeˆ

C

[

x( 1− x2

x2 + z2

)1/2

dx+ y( 1− y2

y2 + z2

)

dy + z( 1− z2

2x2 + z2

)

dz

]

donde C es la curva de interseccion de las superficies x = y y 2x2 + z2 = 1 en el primeroctante, recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj. (plc) R/=− 1

4

6. Calcule

ˆ

C

(x2, y2, z2)·dr, donde C es la curva interseccion de las superficies x2+y2+z2 = 16

y x2 + y2 = 4y, z ≥ 0 recorrida en sentido horario. (plc) R/= 0

7. Calcule

ˆ

C

F ·dr , donde F(x, y, z) = (−yx, x2+ z, exy +tan(z)) y C es la curva interseccion

de lasx2

4+y2

9= 1 y 9x2 + 4y2 + z2 = 49 en el primer octante, recorrida en el sentido

contrario al de las agujas del reloj. R/=(12 + 3√13))

8. Calcule

ˆ

C

(x + z,−y − z, x − y) · dr , siendo C la curva de interseccion entre la esfera

x2 + y2 + z2 = 16 y el cilindro x2 + y2 = 4x (Fc) R/=0

9. * Calcule

I =

ˆ

C1

(y−z)dx+(x−z)dy+(y−x)dz+ˆ

C2

(

3+2x sen(y

x)−y cos(y

x))

dx+x cos(y

x)dy

43

siendo C1 el segmento de recta que va de (1, 2, 2) a (−1, 0, 2) y C2 el arco de la semielipsesuperior 4x2 + y2 − 16x+ 12 = 0 que va de (1, 0) a (3, 0). R/=6 + 6 = 12

10. Calcule

ˆ

C

F · dr siendo F(x, y) = (ey + yex, xey + ex) y C es la curva descrita en cada

caso.a) C es el segmento de recta que va de (a, 0) a (−a, 0) sobre el eje x. R/=−2a

b) C es la trayectoria que va de (a, 0) al punto (−a, 0) sobre la mitad superior de la elipseb2x2 + a2y2 = a2b2. R/=−2a

c) C es la circunferencia x2 + y2 = a2 recorrida en sentido horario. R/=0

11. Calcule

ˆ

C

xdx+ ydy + zdz

x2 + y2 + z2donde C es el arco de la curva x = 2t, y = 2t + 1, z = t2 + t

que une los puntos P1(0, 1, 0) y P2(2, 3, 2). R/=12 ln(17)

12. Calcule

ˆ

α

x2dy − y2dx

x5/3 + y5/3donde α es la cuarta parte de la astroide x = R cos3 t, y = R sen3 t

desde el punto (R; 0) hasta el punto (0, R) (Fig 2). R/= 3πR4/3

16

Fig. 2

13. Calcule

ˆ (4,4,4)

(1,1,1)

xdx+ ydy + zdz√

x2 + y2 + z2 − x− y + 2za lo largo de la recta que une los puntos

(1, 1, 1) y (4, 4, 4). R/=3√3

14. Determine la masa y la coordenada z del centro de masa de un alambre en forma de helicedescrita por la curva r(t) = (cost, sen t; t) entre t = 0 y t = 2π , si la densidad es ρ(x, y, z) =

x2 + y2 + z2 R/m = 2√2(π + 4π3

3 ), z = 3(π+2π3)3+4π2

15. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerza F(x, y) = (y2, x) al mover una partıculadesde (0, 0) hasta (2, 0) a lo largo de la curva C descrita por el conjunto S =

(x, y) ∈ R2 :

y = 1− |1− x| Fig 3. R/=− 13

Fig. 3

16. Halle la masa del arco de la curva C : x = et cos t, y = et sen t, z = et desde el puntocorrespondiente a t = 0 hasta un punto cualquiera t = t0, si la densidad del arco esinversamente proporcional al cuadrado del radio polar, y en el punto (1, 0, 1) la densidades igual a 1. R/= kp = 2 m =

√3(1− e−t0

17. Halle el momento de inercia sobre el eje y de un alambre semicircular que tiene la formax2 + y2 = 1 , y ≥ 0, si su densidad es ρ(x, y) = |x|+ |y|. Determine tambien la masa yel centro de masa del alambre. R/ (plc) Iy = 2, m = 4, (x, y) = (0, 2+π

8 )

18. Sea F(x, y) =(

yexy − 1x2y , xe

xy − 1xy2

)

un campo de fuerzas Halle el trabajo que

realiza F al mover una partıcula desde el punto (1, 1) hasta el punto (2, 2) siguiendo latrayectoria compuesta por C1 ∪ C2 ∪ C3, donde

C1 : es la semicircunferencia (x− 2)2 + (y − 1)2 = 1, y ≥ 1

C2 : es la recta que une (3, 1) con (4, 4)

C3 : es la recta que une (4, 4) con (2, 2) (Fc) R/=e4 − e− 34

19. Halle el trabajo realizado por la fuerza F(x, y, z) = (y, z, x) al desplazar una partıculaa lo largo de la curva C, interseccion de las superficies z = xy y x2 + y2 = 1, recorridaen el sentido que vista desde encima del plano xy, es el contrario al de las agujas delreloj. (plc) R/=−π

20. Halle el trabajo realizado por la fuerza F(x, y, z) = (2x−y+ z, x+y− z2, 3x−2y+4z)

al desplazar una partıcula alrededor de la elipse(x− 2)2

4+

(y − 3)2

9= 1, recorrida en

44

el sentido que, vista desde encima del plano, es el contrario al de las agujas del reloj.(plc3) R/=12π

21. * Sea F(x, y) =(

yexy − 1x2y , xe

xy − 1xy2

)

un campo de fuerzas Halle el trabajo que

realiza F al mover una partıcula desde el punto (1, 1) hasta el punto (2, 2) siguiendo latrayectoria compuesta por C1 ∪ C2 ∪ C3, donde

C1 : es la semicircunferencia (x− 2)2 + (y − 1)2 = 1, y ≥ 1

C2 : es la recta que une (3, 1) con (4, 4)

C3 : es la recta que une (4, 4) con (2, 2) (Fc) R/=e4 − e− 34

22. Calcule

ˆ

C

F · dr siendo F(x, y) = (ey + yex, xey + ex) y C es la curva descrita en cada

caso.

a) C es el segmento de recta que va de (a, 0) a (−a, 0) sobre el eje x. R/=−2a

b) C es la trayectoria que va de (a, 0) al punto (−a, 0) sobre la mitad superior de laelipse b2x2 + a2y2 = a2b2. R/=−2a

c) C es la circunferencia x2 + y2 = a2 recorrida en sentido horario. R/=0

23. * Calcule

I =

ˆ

C1

(y−z)dx+(x−z)dy+(y−x)dz+ˆ

C2

(

3+2x sen(y

x)−y cos(y

x))

dx+x cos(y

x)dy

siendo C1 el segmento de recta que va de (1, 2, 2) a (−1, 0, 2) y C2 el arco de la semielipsesuperior 4x2 + y2 − 16x+ 12 = 0 que va de (1, 0) a (3, 0). R/=6 + 6 = 12

24. * Calcule

ˆ

C

(x+ z,−y− z, x− y) · dr , siendo C la curva de interseccion entre la esfera

x2 + y2 + z2 = 16 y el cilindro x2 + y2 = 4x (Fc) R/=0

25. Sea D la region interior al rectangulo de vertices (7, 4), (−7, 4), (−7,−4) y (7,−4) yexterior al cuadrado de vertices (2, 2), (−2, 2), (−2,−2) y (2,−2). Al denotar con C a

la frontera de esta region, calcule la integral de lınea

ˆ

C

4xydx+(2x2+4x)dy R/=384π

26. (Integral de lınea para el calculo del area de una region) Si D ⊂ R2 es una

region limitada por un camino cerrado C, entonces el area de la region D esta dada por

A(D) =1

2

˛

C

xdy − ydx

27. Usando el ejercicio anterior, calcule el area de la region limitada por y = 4−x2 e y = x2− 4R/= 64

3 π

28. ** Sea S la region exterior al cırculo unitario C2 que esta limitada por la izquierda por laparabola y2 = 4(x+ 4) y por la derecha por la recta x = 4. (Fig. 3). Utilizando el teoremade Green. calcule

ˆ

C1

− y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy

donde C1 es la frontera exterior de S orientada como se muestra en la figura. R/=2π

45

29. Calcule la integral

ˆ

C

(xy + x+ y)dx+ (xy + x− y)dy, donde C es la curva de

a) la elipsex2

a2+y2

b2= 1 R/=0

b) la circunferencia x2 + y2 = ax R/=−a3π8

30. Si Ω es la region del primer cuadrante del plano xy limitado por las curvas 4y = x, y = 4x,xy = 4, halle el area de Ω. R/=4 ln 4

31. Halle el area de la region interior a la circunferencia x2+y2 = 4 y exterior a las circunferencias(x− 1)2 + y2 = 1

4 , (x+ 1)2 + y2 = 14 , x

2 + (y − 1)2 = 14 , x2 + (y + 1)2 = 1

4 . R/=3π

32. Diremos que una funcion ψ : D ⊂ R2 → R

3 (D conjunto abierto) es una parametrizacion

propia de R3, si

a) ψ es uno a uno (inyectiva)

b) ψ es diferenciable de clase al menos C2 y ψu y ψv son vectores linealmente indepen-dientes (necesarios para la existencia de los planos tangentes)

Pruebe si las siguientes funciones son parametriaciones propias

i) Sea D = (u, v) ∈ R2 : u2+v2 < 1. La funcion ψ : D ⊂ R

2 → R3 una funcion definida

por ψ(u, v) = (u, v,√1− u2 − v2). ¿ψ es parametrizacion propia de R

3?

ii) Sea D = (u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, 0 < v < π

2 . La funcion ψ : D ⊂ R2 → R

3 unafuncion definida por ψ(u, v) = (cosu sin v, sinu sin v, cos v) es una parametrizacionpropia de R

3.

33. Determine el area de la parte del paraboloide hiperbolico z = y2 − x2 que se encuentra

dentro del cilindro x2 + y2 = 1 . R/= (5√5−1)π6

34. Encuentre el area de la parte del plano x + y − z = 0 que se encuentra dentro del cilindro

circular x2 + y2 − ax = 0 (a > 0). R/=√3πa2

4

35. Considere la superficie z = 2 − x2 − y, donde su dominio de definicion es el triangulo Dlimitado por las rectas x = 0, y = 1, y = x. Halle el area de la superficie. R/= 1

2 ln(√2 +√

3) +√26

36. Determine el area de una superficie esferica de radio a R/=4πa2

37. * Calcule el area del pedazo de cilindro x2 + y2 = 8y que se encuentra dentro de la esferax2 + y2 + z2 = 64. R/=256

38. Calcule

¨

S

x2zdS donde S es la superficie dada por S : z =√

1− x2 − y2 R/=π4

39. Calcule

¨

S

(x2 + y2)dS donde S es la superficie del cono S : z2 = 3(x2 + y2) entre z = 0 y

z = 3 R/=9π

40. Calcule

¨

S

(xz)dS donde S es la parte del cilindro S : x2 + y2 = 1 entre los planos z = 0 y

z = x+ 2 R/=2π

Rotacional y Divergencia

41. (muy interesante) Sea F = − y

x2 + y2i+

x

x2 + y2j. a) Calcule ∇×F b) Evalue

˛

F · dralrededor de cualquier trayectoria cerrada, que encierre el origen y que no encierre el

origen. ∇× F = 0 y

˛

F · dr = 2π, 0

46

42. Dada φ = 6x3y2z. Encuentre ∇ · ∇φ o bien ∇2φ o div (∇φ).

43. Demuestre que ∇2( 1r ) = 0 y despues demuestre que div(r

r3) = 0

44. Determine la constante a de modo que div(F) = 0 donde F = (−4x−6y+3z)i+(−2x+y − 5z)j+ (5x+ 6y + az)k. R/=a = 3

45. Suponga queA = x2z2i−2y2z2j+xy2zk. Encuentre divA, rot A, en el punto P (1,−1, 1)y halle rot (rot A). R/=divA(1,−1, 1) = 7, rot A(1,−1, 1) = 2i + j y rot (rot A) =(y2 − 2x2)i+ (2xy + 4y2)j+ (2xz − 8yz)k. ,

46. Sea F = P i+Qj+Rk y r = xi+ yj+ zk Suponga que ∇×F = 0. Evalue ∇ · (F× r).R=∇ · (F× r) = r · rot F = 0

47. Supongamos que ψ tiene segundas derivadas parciales. Demuestre que rot ∇ψ = 0.

48. Sea F es un campo vectorial con segundas derivadas parciales continuas Demuestre:

a) Si F es conservativo, entonces rot F = 0.

b) div(rot F) = 0

49. Encuentre rot (rf(r)), donde f(r) es diferenciable.

50. Suponga que v = w× r. Demuestre que rot v = 2w, donde w es un vector constante

51. a) Encuentre constantes a, b y c, de modo que

F = (−4x− 3y + az)i+ (bx+ 3y + 5z)j+ (4x+ cy + 3z)k

sea irrotacional. a = 4, b = −3 y c = 5. b) Demuestre que F es conservativo y halle lafuncion potencial de F.

52. Demuestre que si ψ(x, y, z) es cualquier solucion de la ecuacion de Laplace , entoncesψ es un vector que es tanto solenoidal (div∇ψ = 0) como irrotacional (rot ∇ψ = 0)

53. Suponga que ψ = 2xyz2, F = xyi − zj + x2k y C es la curva x = t2, y = 2t y z = t3,

de t = 0 a t = 1. Evalue las integrales de lınea

ˆ

C

ψdr y

ˆ

C

F × dr. R: 811 i +

45 j + k,

− 910 i− 2

3 j+75k

Teorema divergencia

54. Verifique que el teorema de divergencia para F = 4xi − 2y2j + z2k tomada sobre laregion limitada por x2 + y2 = 4, z = 0 y z = 3. R/=84π

55. Evalue

¨

S

r · ndS, donde S es una superficie cerrada. R/=3V ol(S)

56. Usando el teorema de divergencia calcular

I =

¨

S

xdydz + ydzdx+ 2zdxdy,

donde S es una superficie que consiste en la superficie del paraboloide x2 + y2 = 1− z,0 < z < 1, y el disco x2 + y2 < 1, z = 0. R/=2π

47

57. Usando el teorema de divergencia calcular

I =

¨

S

x3dydz + x2ydzdx+ x2zdxdy,

donde S es la superficie cerrada que consiste en el cilindro x2 + y2 = a2, 0 < z < b, y losdiscos circulares x2 + y2 < a2, z = 0 y x2 + y2 < a2, z = b. R/= 5

4πa4b

58. SeaD la region solida limitada o acotada por los planos coordenados y el plano 2x+2y+z = 6

y sea F = xi+ y2j+ zk. Hallar

¨

S

F · nds donde S es la superficie de D. R/= 632

59. Sea D el solido limitado o acotado por el cilindro x2 + y2 = 4 el plano x+ z = 6 y el plano

xy. Hallar

¨

S

F · n donde S es la superficie de D y F = (x2 + sin z)i+ (xy + cos z)j+ eyk

R/=−12π

60. Demuestre que

˚

V

(f∇2g − g∇2f)dV =

¨

S

(f∇g − g∇f) · ndS. (ayuda: Aplique T. Div

a f∇g y g∇f )

61. Demuestre que

˚

V

∇f dV =

¨

S

fn dS (ayuda: Aplique T. Div a fC donde C un vector

constante )

62. (GUAUUU) Sea S una superificie cerrada, y sea que r denote al vector de posicion decualquier punto (x, y, z) medido desde un origen O. Demuestre que

¨

S

n · rr3

dS =

0 si O /∈ S

4π si O ∈ S

63. Sea D la region limitada o acotada por la esfera ρ = 2 Hallar el flujo dirigido hacia afueradel campo vectorial F = 2x3i+ 2y3j+ 2z3k a traves de la esfera. R/= 768

5 π

64. Sea S la superficie de la region T limitada por los planos z = 0, y = 0, y = 2, y el cilindro

parabolico z = 1− x2. Calcule

¨

S

F ·ndS donde F = (x+cos y)i+ (y+ sen z)j+ (z+ ex)k.

R/=8

65. () Sea S la superficie del cilindro solido D limitado por los planos z = 0 y z = 3, y el cilindrox2+y2 = 4. Sea F = (x2+y2+z2)(xi+yj+zk), Calcule el flujo hacia el exterior. R/=300π

66. Suponga que la region D en el espacio esta limitada por la superficie S suave y cerra-da, con una parametrizacion que proporciona el vector exterior unitario normal a S.Demuestre que

V ol(D) =1

3

¨

S

xdydz + ydxdz + zdxdy

48

Stokes: Comparacion grafica del teorema de Green y el teorema de Stokes.

67. Sea C el triangulo orientado situado en el plano 2x + 2y + z = 6 como se muestra en la

Figura. Evaluar

ˆ

C

F · dr donde F(x, y, z) = −y2i+ zj+ xk. R/=−9

68. Verifique que el teorema de Stokes para F = (2x − y)i − yz2j − y2zk, donde S es la mitadsuperior de la superficie de la esfera x2+y2+z2 = 1, y C es su frontera. Sea R la proyeccionde S sobre el plano xy. R/=π

69. Demostrar que si r es un vector de posicion, entonces

˛

C

dr = 0 (Ayuda: Aplique TS a

F = φa donde a es constante)

70. Un lıquido es agitado en un recipiente cilındrico de radio 2, de manera que su movimientose describe por el campo de velocidad

F(x, y, z) = −y√

x2 + y2i+ x√

x2 + y2j

como se muestra en la figura. Hallar

¨

S

(rot F) · n donde S es la superficie superior del

recipiente cilındrico. R/=16π

71. Sea S la parte del paraboloide z = 4− x2 − y2 que permanece sobre el plano xy, orientadohacia arriba. Sea C su curva frontera en el plano xy orientada en el sentido contrario al de

las manecillas del reloj. Calcule

¨

S

(rot F) · n donde F = 2zi+ xj+ y2k. R/=4π

72. Evalue

˛

C

F · Tds donde C es la elipse en la que el plano z = y + 3 interseca al cilindro

x2 + y2 = 1. Oriente la elipse en sentido contrario al movimiento de las manecillas del relojcomo y considere a F(x, y, z) = 3zi+ 5xj− 2yk. R/=2π

73. Evalue

¨

S

(∇×F) ·ndS donde F = 3zi+5xj−3yk y S es la parte de la superficie parabolica

z = x2 + y2 que se encuentra bajo el plano z = 4 y cuya orientacion esta dada por el vectorunitario superior normal. R/=20π

74. () Determinar la circulacion del campo F = (x2 − y)i + 4zj + x2k alrededor de la curva C

en que el plano z = 2 corta al cono z =√

x2 + y2 en sentido contrario a las manecillas delreloj. R/=4π

EJERCICIOS DE CURVAS (APENDICE)

Funciones vectoriales

75. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales

f (t) = (t2, ln(t− 2),√4− t) R/ (2, 4)

g(t) = ( 1t+2 ,

et√9−t2

, ln(1− t))

R/ (−3,−2) ∪ (−2, 1)

49

76. Trace la imagen de las siguientes funciones

a) f(t) = (1 + t3, t2)

b) g(t) = (4 cos t, 5 sen t)

c) r(t) = (cos t, sen t, t), con t ≥ 0.

77. Halle una funcion vectorial que represente a las siguientes curvas

a) 9x2 + 4y2 = 36

b) y = x2 − 4x+ 7

78. Halle una funcion vectorial que represente a la curva de interseccion de las siguientessuperficies.

a) x2 + y2 = 16 y z = xy R/ : f (t) = (4 cos t, 4 sen t, 16 cos t sen t), t ∈ R

b) z = 16x2 + 9y2 y y = x2, R/ : g(t) = (t, t2, 16t2 + 9t4), t ∈ R

79. Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los intervalos que seindican

a) f (t) = (√4− t2, ln(3− t), et−3), con t ∈ [−2, 3)

b) f (t) =

(

2 arc sen t

3t, t sen(

π

t),cos(2πt)

t

)

, si t ∈ (0, 1)

(π

3, t− 1, ln t+ 1

)

, si t ∈ [1, 2]

c) f (t) =

(

sen t,t

1− t, 2t

)

, si t ∈ [0, 1)

(

− 1, 0, 3)

, si t ∈ [1, 2]

d) f (t) =

(

4t2 + 5,arc sen t

t, sen t sen(

1

t)

)

, si t 6= 0

(

5, 0, 0)

, si t = 0

e) f (t) =

(

t2 − 4

|t− 3| − 1,et−2 − 1

t

)

, si t = 2

80. La imagen de la funcion vectorial r(t) = (et−1, e−2(t−1)) describe la trayectoria de unapartıcula que se mueve en el plano xy.

a) Trace la grafica de la trayectoria de la partıcula. (R: y = 1x2 , x ≥ 0)

b) Dibuje los vectores velocidad y aceleracion para t = 1.

c) Halle la ecuacion vectorial de la recta tangente a la curva imagen de r en el puntoA(e, e−2).

81. Dada la funcion vectorial r(t) =(

1− 2t, t2; 2e2(t−1))

. Halle la ecuacion vectorial de la

recta tangente a la curva descrita por r en el punto en que el vector r′(t) es paralelo alvector r(t). R/: l(x, y, z) = (−1, 1, 2)− s(−2, 2, 4).

82. Sean las curvas C1 y C2 dadas por las funciones vectoriales

C1 : f (t) =(1− t2

2, 2t+ 1, 1 + e2−t

)

C2 : g(t) =(2t− 1

2, 4− t, 3− et+1

)

a) Halle el punto de interseccion de las curvas C1 y C2 R/: f (2) = g(−1) = (− 32 , 5, 2)

50

b) Calcule la medida del angulo que forman las curvas C1 y C2 en su punto de

interseccion. R/: θ = arc cos(

−√33

)

83. La fuerza que actua sobre una partıcula de masam = 2 en el plano esta dada en funciondel tiempo t por la ecuacion

F(t) =(

2(cos t− t sen t), 2(sen t+ t cos t))

Cuando t = 0 la posicion y la velocidad de la partıcula son f (0) = (2, 0) y v(0) = (1, 0).Halle la velocidad y la posicion de la partıcula como funciones de t. Ayuda: Ley deNewton, F(t) = ma(t). R: f (t) = (t sen t+ cos t+ t+ 1,−t cos t+ sent)

84. Una partıcula inicia su movimiento en f (0) = (2, 0, 0) con velocidad inicial v(0) = i− j+ k.Su aceleracion es a(t) = (2t, 3t2, 6t). Determine la funcion velocidad y la posicion de la

partıcula en cualquier instante t. R: f (t) =(

t3

3 + t+ 2, t4

4 − t, t3 + t)

85. Halle una parametrizacion para la curva C :

x2 + y2 + z2 = R2 R > 0

z = a 0 < a < R

86. Halle la longitud de arco de las siguientes curvas

a) α(t) =( t2

2+ t,

t2

2− t,

√2

2ln t)

, (t > 0), desde t = 1 hasta t = 2. R/√22 (3+ ln(2))

b) α(t) =(

ˆ t

1

cosu√2udu,

ˆ t

1

senu√2u

du, 4t1/2)

, desde t = 1 hasta t = 4. R/ 3√2

87. Halle la longitud de la curva α(t) = (t, 1 + t2) , desde el punto en que los vectores α(t)y α′(t) son paralelos de sentidos opuestos hasta el punto en que los mismos vectores

son ortogonales. R/√52 − 1

4 ln(√5− 2)

88. Una partıcula se mueve en el espacio de modo que en cualquier instante t su posiciones α(t) = (2t cos t, 2t sen t,−t2 + 2t)

a) Determine la rapidez de la partıcula en el instante t = 1 R/ 2√2

b) Si la partıcula toca al plano xy en el instante t = 0, halle otro instante t1 en quela partıcula toca nuevamente el plano xy. R/ t = 2

c) Halle el espacio recorrido por la partıcula desde t = 0 hasta t = t1.

89. En los siguientes ejercicios, represente la curva dada mediante la interseccion de dossuperficies. Halle ecuaciones parametricas para cada curva.

a) x2 + z2 = 4, y2 + z2 = 4 (primer octante) R/ x = t, y = t, z =√4− t2

b) x2+y2+z2 = 16, xy = 4 (primer octante) R/ x = t, y = 4t , z = 1

t

√−t4 + 16t2 − 16

90. Sea C una curva en el espacio dada por α(t) =

ˆ t

0

β(u)du donde β(u) = (u cos(u), u sen(u), 1).

Calcule la longitud de arco de la curva C desde el punto α(0) hasta el punto α(1).

91. Halle las ecuaciones de los planos normal principal, rectificante y osculador de la curvainterseccion de las superfices

x2 + y2 + z2 = 6 x2 − y2 + z2 = 4

en el punto A(1, 1, 2). R/: P0 : y = 1. PN : 2x − z = 0, PR : x + 2z − 5 = 0 Planoosculador: y = 1

51