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Universidad Nacional de La Plata – Facultad de Ciencias Exactas – Departamento de Matematica

Analisis Matematico I

Evaluacion Final - Agosto de 2016.

Nombre:Numero de alumno:Direccion correo electronico:

Ejercicio 1. Sea f una funcion continua y con derivada continua en R. Supongamos que para todo x y hse verifica:

f(x+ h)− f(x) = hf ′(x)

Probar que f(x) = ax+ b, en donde a y b son constantes.

Ejercicio 2. Estudiar la convergencia de∑n≥1

(√n+ a− 4

√n2 + 2n

), a ∈ R+.

Ejercicio 3. Sean f y g funciones con tres derivadas. El polinomio de Taylor de f de grado 2 alrededor dex = 1 es P2,1,f (x) = 1+x+x2. El polinomio de Taylor de g de grado 2 alrededor de x = 1 es P2,1,g(x) = −x2.Calcular el polinomio de Taylor de h(x) = f(x)g(x) de grado 2 alrededor de x = 1.

Ejercicio 4. Encontrar el dominio de convergencia de la serie∑n≥0

3n+2(n+ 2)xn.

Calcular la funcion suma.

Ejercicio 5. 1. Calcular (usando integrales de una variable) el area de un sector circular de radio r yangulo θ ≤ π.

2. Se va a realizar un cantero de flores en forma de sector circular de radio r y angulo central θ ≤ π. Elarea esta estipulada, debe ser A. Encuentre r y θ de manera que el perımetro del cantero de flores seamınimo.

Departamento de Matematica – UNLP Pag. 1 de 1

18-12-2014

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS-UNLP

ANALISIS MATEMATICO I. EXAMEN FINAL.

Apellido y nombres:Carrera:Numero de alumno:

1. Supongamos que existen una funcion continua f definida en todo los reales y unaconstante K cumpliendo la ecuacion:∫ x

0f(t) dt =

∫ 1

xt2f(t) dt + x2 + K .

Encontrar una expresion explıcita para f y el valor de la constante K.

2. Analizar la convergencia de la serie

∞∑n=1

√n ln(cosh(1/n)) .

Observacion: Recordar que cosh(x) = 12(ex + e−x) es el coseno hiperbolico.

3. Sea f una funcion definida en un intervalo (a, b). Mostrar que si f tiene un maximolocal en x0 ∈ (a, b) y f es derivable en x0, entonces f ′(x0) = 0.

4. Sea f : [1,∞)→ IR una funcion continua cumpliendo 0 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ [1,∞).

a. Si tenemos∫∞1 f(x) dx < ∞, mostrar que el volumen del solido generado por

la region acotada por f(x) con x ∈ [1,∞) al rotar alrededor del eje x resultafinito.

b. Dar un ejemplo de una funcion f tal que el volumen de revolucion mencionadoen el inciso a. sea finito y ademas cumpla∫ ∞

1

f(x)4√x

dx =∞ .

5. Hallar la suma de la serie

1

2+

3

22+

5

23+ . . . +

2n− 1

2n+ . . .

1

Facultad de Ciencias Exactas – UNLP – 2016

ANALISIS MATEMATICO I

EXAMEN FINAL- 02/05/16

Apellido: Nombres:

Carrera: Numero de alumno:

1. Sea f derivable en (a, b) y x0 ∈ (a, b). ¿Es cierto que f ′(x0) = lımx→x0

f ′(x)? En caso

afirmativo, justificar. En caso negativo, mostrar un ejemplo para el que esto no secumple.

2. Sin resolver la integral, estudiar en un entorno del 0 a la funcion

F (x) = sin(2x)∫ x

0

1√t cos t

dt.

3. Estudiar la convergencia de la siguiente integral∫ 1

0

lnα x

x− 1dx, α > 0.

4. (a) Estudiar la convergencia de la serie numerica∞∑n=1

(−1)n+1 1

3nn(n+ 1). En caso de

ser convergente, calcular el valor exacto de la suma.

(b) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anteriorpor su suma cuarta.

5. Enuncie y demuestre el Teorema de Rolle.




Apellido: Nombres:


1. Sea f una funcion continua en el intervalo [−2, 2]. Supongamos que la grafica de f ′

es la siguiente

Si f(1) = 0, esbozar la grafica de f .

2. Hallar la derivada de la funcion F (x) =∫ x0 sin(1/x)f(t)dt. ¿Bajo que condiciones

dicha derivada existe?

3. Estudiar la convergencia de la siguiente integral∫ π/2

0

tanx

xαdx, α > 0.


(n + 1)(−2)n

πn−1. En caso de ser

convergente, calcular el valor exacto de la suma.

(b) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anteriorpor su suma quinta.

5. Enuncie y demuestre el Criterio del cociente.


Analisis Matematico I (ciencias)

Evaluacion Final - Mayo 2016


Ejercicio 1. .

a. Sean f y g funciones continuas en [a, b], derivables en (a, b), tales que f ′(x) y g′(x) no se anulan en unmismo punto y, ademas, con g(a) 6= g(b). Probar que existe c ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g′(c)

b. Calcular

lımx→1

arctan2(x)− arctan2(1)

ln(x)

Ejercicio 2. Sean∑n≥1

an y∑n≥1

bn series convergentes. Supongamos que los terminos de la sucesion {cn}n

cumplen an ≤ cn ≤ bn. Probar que∑n≥1

cn converge.

Ejercicio 3. .

Calcular

∫ 1

−1

1 + x2

1 + x4dx.

Sugerencia: considerar la relacion x− 1

x= t.

Ejercicio 4. Encontrar la funcion y(x) que es solucion de la ecuacion diferencial ordinaria con valoresiniciales: {

y′(x) = 1+y2

1+x2

y(0) = 1

Explicitar el dominio de la solucion.

Ejercicio 5. Sea P un punto en el primer cuadrante (x > 0 y y > 0) sobre el astroide

x2/3 + y2/3 = a2/3

Probar que el segmento de la recta tangente al astroide en P delimitado por el primer cuadrante tienelongitud constante.


5-3-2015




1. Demostrar la siguiente desigualdad:

ln(x + 1) ≤ x− x2

2(x + 1), ∀x ≥ 0.

2. Sea f : [a, b]→ IR una funcion continua. Probar que hay un punto c ∈ (a, b) tal que∫ b

af(x) dx = f(c)(b− a).

3. Sea h : (−1, 1)→ IR una funcion con derivada segunda continua tal que h(0) = 1 yh′(0) = 0. Demostrar:

lımx→∞

[h(

1

x

)]x2

= eh′′(0)/2.

4. Construir una sucesion { zn }n≥1 cumpliendo las siguientes condiciones:

zn > 0, ∀n ≥ 1.

Para cada n ≥ 1, llamemos A(zn) al area limitada por el eje y, la parabolay = x2 + 1 y la recta tangente a esta parabola en el punto x = zn. Entonces sepide que se cumpla:

∞∑n=1

A(zn) = 1.

5. Probar que la integral impropia ∫ ∞0

xt−1e−x dx

converge para todo t > 0.




Apellido: Nombres:


1. Sea f una funcion continua y positiva en (a, b) con∫ b

af(x)dx = 0. Probar que

f(x) = 0 para todo x ∈ (a, b).

2. Sea {xn} una sucesion de numeros no nulos tales que lımn→+∞

|xn+1||xn|

= λ, 0 ≤ λ < 1.

Calcular lımn→+∞ xn. Que puede decir acerca de Σ xn?

3. Estudiar para que valores de α, β ∈ IR la siguiente integral es convergente∫ ∞

0xαeβx dx

4. Sean a0, a1, ..., an numeros reales. Probar que para algun x ∈ [0, 1] se cumple

n∑k=0

akxk =

n∑k=0

akk + 1

.

5. Enuncie y demuestre el Criterio de la derivada primera.




Apellido: Nombres:


1. Sea g una funcion definida por g(x) = 1 + x+∫ x3

0

sin t

2tdt.

Encontrar, si existe, la recta tangente a la grafica de la funcion g−1(x) en x = 1.Justificar los calculos realizados.


0

arctanx

xαdx


(−1)n1

4n+1n. En caso de ser

convergente, calcular el valor exacto de la suma.

(b) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anteriorpor su suma cuarta.





Apellido: Nombres:


1. Sea F dada por F (x2 + 2x) = sin(3πx). Calcular F ′(0), F ′′(0).

2. Demostrar que lımx→+∞xn

ex= 0.

3. Encontrar el polinomio de Taylor alrededor de x = 0 de grado 2 de la funcion

f(x) =

{e−1/x2

si x = 00 si x = 0

Que puede decir en general del polinomio de grado n y del error que se comete?

4. Estudiar la convergencia absoluta y condicional de∫ +∞

0

sinx3√xdx.

5. Calcular, si existe, la funcion suma de la siguiente serie de potencias

1 +2

3(x− 2) + 3

(x− 2)2

32+ ...+ (n+ 1)

(x− 2)n

3n+ ...

Justificar todos los pasos.

2-6-2015




1. a. Probar que la siguiente serie diverge

∞∑k=2

1

ln(ln(k))

b. Hallar un m tal que Sm ≥ 100, siendo Sm la suma parcial m-esima.

2. Hallar la funcion cuya grafica pasa por el punto (0,−2) y la pendiente de la rectatangente en cualquier punto (x, y) es igual a la ordenada del punto aumentada en 3unidades.

3. Sea φ : (0,∞) → IR una funcion dos veces derivable, estrictamente creciente yconcava. Ademas, supongamos que la funcion f : IR→ IR, f(t) = φ(et) es convexa.

a. Dar un ejemplo de una funcion φ cumpliendo estas hipotesis.

b. Demostrar

lımx→∞

φ′′(x)

φ′(x)= 0.

4. Calcular el siguiente lımite

lımx→0+

1

x

∫ x

0sen

(1

t

)dt

Pista: Una forma de empezar es usar partes con t2(

1t2

sen(1t

)).




Apellido: Nombres:


1. Sea g una funcion definida en IR tal que g(0) = 0, g′(0) = 0, g′′(0) = 2 y g((n)(0) = 0,para todo n ≥ 2. Sea f la funcion definida por

f(x) =

cos x− 1

x2g(x) si x = 0

0 si x = 0

Encontrar, si existe, la recta tangente a la grafica de la funcion f en x = 0.

2. Hallar la derivada de la funcion F (x) =∫ x0 exf(t2)dt. ¿Bajo que condiciones dicha

derivada existe?

3. Estudiar la convergencia de la serie numerica∞∑n=0

(−1)n2

(n+ 1)2.

(a) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anteriorpor su suma sexta.

(b) Puede estimar el valor∑∞

n=02

(n+1)2?


0

arctanx

xαdx





Apellido: Nombres:


1. Dada la funcion f : IR− {0} → IR definida por f(x) = 3 sin2 ( 1x) se puede redefinir

continua en x = 0? Justificar los calculos.

2. Dadas las funciones f(x) = cos2 x, g(x) = e2x−1; ordenarlas en el intervalo [0, π/2].

3. Analizar la convergencia de la siguiente integral∫ +∞

0e−

√xln2 xdx.

4. Estudiar la convergencia de la sucesion

1, 1 +1

2, 1 +

1

2 + 12

, 1 +1

2 + 12+ 1

2

, ...

Justificar.

5. Calcular exactamente∞∑n=1

n

en. Justificar todos los pasos.

5-8-2015




1. En la figura se observa una circunferencia de radio uno. Para valores del anguloa ∈ [0, π], definimos f(a)= longitud del segmento que une (x(a), y(a)) con (1, 0).

Analizar para que valores de p > 0 converge∫ π

0

da

(f(a))p.

2. Hallar numeros a,b y c para que exista el siguiente lımite

lımx→0

(1 + x)1/3 − a− bx− cx2

x3

Para los valores encontrados, calcular el lımite.

3. Probar la desigualdad:

6x− 6 ≤ (1 + 4√x+ x) ln(x), ∀x ≥ 1.

4. Decidir si la integral∫ 3π

π

sen(x)

xdx es positiva o negativa. Justificar.



Evaluacion Final - Febrero 2016


Ejercicio 1. -Sea f : (−π, π)→ R definida como:

f(x) =

log(sin(x))− log(x) si 0 < x < π,0 si x = 0,log(− sin(x))− log(−x) si − π < x < 0.

1. Probar que f es una funcion par.

2. Probar que f es continua en su dominio.

3. ¿ La funcion f es derivable en x = 0 ?

Ejercicio 2. -

Encontrar, si existen, el punto o los puntos sobre la elipsex2

4+ y2 = 1 que estan mas cerca del punto

(1, 0). Justificar los pasos seguidos.

Ejercicio 3. -

1. Verificar que la funcion f(x) =1

1 + e−xdefinida en R satisface la EDO y′ = y(1− y).

2. Resolver la EDO {y′ = y(1− y)y(0) = 1

3

Ejercicio 4. -

1. Usando derivacion implıcita, encontrar la derivada de la funcion inversa del seno:

u : (−1, 1)→ (π

2,

3π

2); u(sin(x)) = x, x ∈ (

π

2,

3π

2).

2. Calcular

∫ 1

−1u(x) dx, donde u es la funcion del ıtem anterior.

Ejercicio 5. -

1. Probar que la serie∑n≥0

(−1)n

2n+ 1converge.

2. Aproximar el lımite de la serie con un error menor a 0,1.

3. Calcular el valor exacto de la serie. Pista: escribir como serie a la funcion 11+x2 .





Apellido: Nombres:


1. Dada la funcion f(x) = e3/x2encontrar todas las rectas tangentes que pasan por

(0, 0). Justificar los calculos.

2. Decidir, sin calcular la integral, si es verdadera la siguiente desigualdad

∫ 1

0

ln2 x

x3dx ≥ π.

3. Dada la serie de potencias

x− x3

3+

x5

5+ ...+ (−1)n

x2n+1

2n+ 1...

encontrar su suma en el dominio de convergencia adecuado. Justificar.

4. Demostrar que si un ≥ 0 y∞∑n=1

un < ∞, entonces∑∞

n=1 u2n < ∞ y

∑∞n=1

un

1+un< ∞.

8-4-2015




1. Sea f : [a, b] → IR una funcion continua y derivable en (a, b). Supongamos quef(a) = f(b) = 0. Probar que existe un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

2. ¿Cuantas soluciones tiene la ecuacion∫ x

1

dt

ln4(t + 1) + 10= e−x

en el intervalo [1,∞)?

3. Sea f : [a, b]→ IR una funcion con derivada continua tal que f ′(x) > 0, ∀x ∈ [a, b].Probar que vale la siguiente formula:

bf(b)− af(a) =∫ b

af(x)dx +

∫ f(b)

f(a)f−1(y)dy.

4. Calcular∞∑n=1

n2

(n + 1)!. Pista: Usar n2 = n(n− 1) + n.

5. Analizar la convergencia de

∫ ∞1

√t + cos2(t)

ln(t + et + 5)dt.




Apellido: Nombres:



∫ 0

−2xex dx ≥ −2

e.

2. Estudiar la convergencia de la siguiente integral∫ +∞

1sinα

(1

x

)dx, α > 0.

3. Sea {an} una sucesion creciente y acotada en IR. Probar que es convergente. Cuales su lımite?

4. Sea {an} una sucesion de numeros positvos, supongamos que∑

an diverge. Estudiarla convergencia de las siguientes series numericas

a)∞∑n=1

an1 + an

.

b)∞∑n=1

an1 + nan

.

c)∞∑n=1

an1 + n2an

.

5. Enuncie y demuestre el criterio de derivadas segundas.




Apellido: Nombres:


1. Sea f la funcion definida por

f(x) =

e−1/(tan2 x) si x = 00 si x = 0


2. Sea {xn} una sucesion de numeros no nulos tales que lımn→+∞

|xn+1||xn|

= λ, 0 ≤ λ < 1.

Calcular lımn→+∞ xn. Que puede decir acerca de Σ xn?


0

(sinx

x

)2

dx.

4. Dado q ∈ IN, probar la siguiente igualdad justificando cada paso

∫ 1

0

1

1 + xqdx =

∞∑n=0

(−1)n

qn+ 1

5. Enuncie y demuestre el Criterio de la derivada primera.



Evaluacion Final - Marzo 2016 - segundo llamado.


Ejercicio 1. Calcular ∫ π2

0

1

1 + cos(x)dx

Ejercicio 2. .

1. Enunciar el Teorema de Weierstrass.

Dar un contraejemplo del resultado si falla la hipotesis sobre regularidad de la funcion.

Dar un contrajemplo del resultado si falla la hipotesis sobre el dominio de la funcion.

2. Sea f : R+0 = {x ∈ R : x ≥ 0 } → R+ una funcion continua tal que lım

x→∞f(x) = 0. Probar que f tiene

un maximo absoluto en su dominio.

Ejercicio 3. Probar que si f es una funcion continua en R y satisface:

f(x) =

∫ x

a

f(t) dt, para cierto a ∈ R,

entonces f es identicamente nula.

Ejercicio 4. -

1. Probar que arctan(1

x) =

π

2− arctan(x).

2. Calcular lımx→∞

(2

πarctan(x)

)x

.

Ejercicio 5. -

1. Usando solidos de revolucion, calcular el volumen de un cono de base de radio R y altura H.

2. La arena esta cayendo sobre una pila conica de arena a razon de 12m3/min, de tal manera que eldiametro de la base de la pila es siempre 3/2 la altura. Encontrar la velocidad a la cual la altura seincrementa cuando la pila tiene 2 metros de alto.





Apellido: Nombres:


1. Cuantas rectas tangentes a la grafica de la funcion f(x) = x3+x pasan por el punto(0, 1)? Justificar los calculos.

2. Calcular el siguiente lımite. Justificar.

lımx→0

e2x − e−2x − 4x

sin x− x.

3. Calcular, si existe, el area entre las graficas de las funciones f(x) =x2

x2 + 1y g(x) =

1.

4. Sin resolver la integral, dar el valor de

lımh→0

1

2h

∫ h

0x2 lnxdx.


(n+ 1)3n

n!. Justificar todos los pasos.




Apellido: Nombres:


1. Calcular, si existe, el area entre las graficas de las funciones f(x) =x2

x2 + 1y g(x) =

1.

2. Sin resolver la integral, estudiar en un entorno del 0 a la funcion

F (x) = 2 sin x∫ x

0

1

t cos tdt.


0

lnα x

x− 1dx, α > 0.

4. Enuncie y demuestre el criterio del cociente.


(−1)n−1

n. Justificar todos los pasos.




Apellido: Nombres:



f(x) =

exp(x− 1)

xg(x) si x = 0

0 si x = 0



∫ 1

0

− lnx

x4dx ≤ e.

3. Calcular el area de la region limitada por la curva y2 = x2

1−x2 y sus asıntotas.


(−1)n1

2n+1n(n+ 1). En caso de

ser convergente, calcular el valor exacto de la suma.

(b) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anteriorpor su suma sexta.

5. Enuncie y demuestre el Teorema del valor medio.

ANALISIS MATEMATICO I (2016)

Examen final - Octubre de 2016

1. Esbozar la grafica de la funcion arctan

(1 + x

1− x

).

2. Encontrar la solucion general de la ecuacion diferencial ordinaria y′(x) = x+ y(x).

3. Averiguar para que valores de p y q la integral

∫ ∞0

1

xp + xqdx converge.

4. Sea {an}n≥1 una sucesion de numeros positivos. Supongamos que

n (an − an+1) > λan+1 para todo n ≥ N,

donde λ es una constante mayor a 1. Probar que entonces la serie∑n≥1

an converge.

1




Apellido: Nombres:


1. Sea 0 < β < 1. Demostrar que si f satisface que |f(x)| ≥ |x|β para todo x y f(0) = 0entonces f no es derivable en 0.

2. Estudiar para que valores de α ∈ IR la siguiente integral es convergente

∫ ∞0

tα−1

et − 1dt.

3. Es cierto que si f es acotada en [a, b] entonces f es integrable en [a, b]? Justifique.

4. Demostrar el teorema del valor medio.


(−1)n

(n+ 1)22n+3.




Apellido: Nombres:


1. Sea f una funcion continua en [a, b] con∫ b

af 2(x)dx = 0. Probar que f(x) = 0 para

todo x ∈ [a, b].

2. Estudiar para que valores de α ∈ IR la siguiente integral es convergente∫ ∞

0

e−x − 1

xαdx.

3. Demostrar que si f ′ = 0 entonces f es constante.

4. Dada la serie de potencias

(x− 5)

5− (x− 5)2

2× 52+

(x− 5)3

3× 53+ ...+ (−1)n+1 (x− 5)n

n× 5n+ ...

encontrar su suma en el dominio de convergencia adecuado. Justificar.


(−1)n+1

n(n+ 1)5n.

23-9-2015




1. Si f : [0,∞) → IR es una funcion continua y positiva y la integral∫∞0 f(x) dx

diverge, demostrar que existe un numero real λ tal que∫ λ

0f(x)dx = 100000.

¿Hay mas de un numero λ cumpliendo esto? Justifique enunciando los teoremasnecesarios.

2. Supongamos que (an)n es una sucesion tal que an ∈ [0, 1]. Demostrar que∑∞n=1 an

converge si y solo si∑∞n=1 arcsin(an) converge.

3. Usando el teorema valor medio, calcular:

lımn→∞

(n+ 1)1/3 − n1/3

4. Hallar los valores de t ≥ 0 tales que la siguiente integral sea convergente∫ 1

0

dx

| ln(x)|(1− x)t.

5. Sea f una funcion definida en un intervalo (a, b). Mostrar que si f tiene un mınimolocal en x0 ∈ (a, b) y f es derivable en x0, entonces f ′(x0) = 0.




Apellido: Nombres:


1. Supongamos que f y g son dos funciones continuas en el intervalo [a, b] y que f(a) <g(a) pero f(b) > g(b). Demostrar que f(x) = g(x) para algun x ∈ [a, b].

2. Hallar la derivada de la funcion F (x) =∫ x0 xf(t)dt. ¿Bajo que condiciones dicha

derivada existe?

3. ¿Existe c ∈ IR tal que el area comprendida entre las funciones f(x) =√x− c,

g(x) =1

x− cy el eje x sea maxima? Justificar.

4. Estudiar la convergencia de la serie

1− 1

2+

2

3− 1

3+

2

4− 1

4+

2

5− 1

5+ ....

5. Dada la serie de potencias∞∑n=1

cos(nπ

2)nxn−1

3n

a) Encontrar el dominio de convergencia.

b) Hallar la funcion suma.




Apellido: Nombres:



f(x) =

sinx

x2g(x) si x = 0

0 si x = 0


2. Demostrar la siguiente desigualdad

1

e2≤ 1

4

∫ 2

−2e−t2/2dt ≤ 1.

Justificar todos los pasos.

3. Estudiar la convergencia de la serie numerica∞∑n=0

(−1)n3

(n+ 2)2.

(a) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anteriorpor su suma decima.

(b) Puede estimar el valor∑∞

n=03

(n+2)2?

4. Dada la serie de potencias∞∑n=0

sin(nπ

2)nxn−1

4n

a) Encontrar el dominio de convergencia.

b) Hallar la funcion suma.

5. Enuncie y demuestre el Teorema Fundamental del Calculo.

15-12-2016




1. Sea f : [0, 1] → IR una funcion continua estrictamente decreciente cumpliendo quef(0) = 1 y f(1) = 0. Si c es la pendiente de la recta punteada en la figura, probarque hay un valor de c tal que el area de la region A es igual al area de la region B.

2. Si f : IR→ IR tiene derivada tercera continua, demostrar

f(x) = f(0) + xf ′(0) +x2

2f ′′(0) +

∫ x

0

t2

2f ′′′(x− t)dt.

Pista: Empezar notando f(x)− f(0) =∫ x0 f ′(x− t)dt.

3. Probar que si∞∑n=1

|an| converge, entonces∞∑n=1

an tambien converge.

4. Hallar los valores de t ∈ IR tales que la siguiente integral sea convergente∫ 1

0xt−1(1− x)t dx.

5. Calcular

lımx→∞

x(

1

e−(

x

x + 1

)x )Pista: Teorema del valor medio


Examen final - Febrero de 2017

Apellido y nombre:

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1. En un campo se quiere limitar un area de 864m2 por medio de un cerco rectangular que ademastenga una valla divisoria - de partes iguales - paralela a uno de los lados del cerco. ¿ Cuales son lasdimensiones mas convenientes para que el gasto sea mınimo?

2. Sea {an}∞n=1 una sucesion de numeros positivos. Demostrar que, si

lımn→∞

an+1

an= L < 1,

entonces la serie

∞∑n=1

an es convergente.

3. Supongamos que f : [0,∞)→ R cumpla f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (0,∞). Probar la desigualdad

xf(x

2

)≤∫ x

0

f(t)dt, ∀x ∈ [0,∞).

4. Encontrar, si existe, una solucion para el problema de valores iniciales:{y′(x) = (y(x)2 + 4)xy(0) = 2

5. Sea f continua en el intervalo [0, 1]. ¿Es cierto que existe algun numero z en el intervalo tal que

f(z) =

∫ 1

0

f(t) dt ?

En caso afirmativo probarlo, dar un contraejemplo en caso negativo.

1


Examen final - Marzo 2017

Apellido y nombre:

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1. Sea g una funcion definida en IR tal que g(0) = 0, g′(0) = 0, existen g′′ en un entorno de 0 y g′′′(0).

Sea f la funcion definida por

f(x) =

{ln2 |x|g(x) si x 6= 0

0 si x = 0


2. Demostrar el Teorema de Rolle.

3. Sea f continua en [0, 1], calcular

lımx→0+

x

∫ 1

x

f(t)

tdt.

4. Supongamos que F sea una primitiva de f en R y lımx→∞

F (x) = ∞. Hallar

i)

∫ a

−axf(x2)dx, a ∈ R, ii)

∫ ∞−∞

xf(x2)dx

5. Para que valores de α > 0 la serie

∞∑n=1

1

nα+1/nes convergente?

1


Examen final - Marzo 2017- 2do. llamado

Apellido y nombre:

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1. Si Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + . . .+ 1/n, demostrar que

lımn→∞

Sn

ln(n)= 1.

Pista: Recordar la prueba del criterio de la integral.

2. Probar que para cada c ∈ R hay una unica funcion cumpliendo:{f ′(x) = cf(x),f(0) = 1

3. Dada f : (a, b)→ R una funcion dos veces derivable tal que f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b).

i) Probar que f es convexa si y solo si su funcion inversa f−1 es concava.

ii) ¿El inciso anterior es cierto si se quita la hipotesis de f ′ positiva?

4. Graficar g(x) = ln(| sen(x)|)− x, para x ∈ [0, 2π].

5. Sean f : [a, b] → R y g : [a, b] → R dos funciones continuas. Si f(x) > 0 para x ∈ [a, b], demostrarque hay un c ∈ [a, b] tal que ∫ b

a

g(x)f(x)dx = g(c)

∫ b

a

f(x)dx.

1

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