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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL SUR

GUÍA DE ESTUDIO PARA MATEMÁTICAS II

(ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA)

Elaborada por los profesores:

Guadalupe Xochitl Chávez Pérez

Antonio García Flores

Teresa Manuel Hernández

Andrés Martínez Palacios

Jesús Ramírez Vega

Carlos Gabriel Sánchez Lordméndez

Agosto de 2017

2

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL SUR

Guía de estudio para preparar el examen extraordinario de MATEMÁTICAS II

Basado en el programa actualizado de 2016

Impreso en Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades. Plantel Sur.

Autores:

Guadalupe Xochitl Chávez Pérez (Coordinadora)

Antonio García Flores

Teresa Manuel Hernández

Andrés Martínez Palacios

Jesús Ramírez Vega

Carlos Gabriel Sánchez Lordméndez

Planeación y edición

Ernesto Márquez Fragoso

Agosto de 2017

3

INTRODUCCIÓN

La presente guía es un material didáctico elaborado por profesores de la Academia de

Matemáticas del plantel Sur, con el objetivo de apoyarte en la preparación de tu evaluación

extraordinaria de Matemáticas II.

Este trabajo se sustenta en los principios filosóficos y el Modelo Educativo del Colegio de

Ciencias y Humanidades (CCH) y considera los Programas de Estudio Actualizados del año

2016. Contiene las cuatro unidades del curso:

1. Ecuaciones cuadráticas

2. Funciones cuadráticas y aplicaciones

3. Elementos básicos de geometría plana

4. Congruencia, semejanza y teorema de Pitágoras

INSTRUCCIONES

En cada unidad encontrarás una presentación, conceptos clave, sugerencias de actividades con

base en los temas del programa; además, para cada tema desarrollado se señalan los objetivos,

se da una breve explicación, se exponen ejemplos resueltos, se proponen ejercicios con

soluciones, se incluyen ejercicios de autoevaluación y se proponen algunos textos de consulta.

Para que logres el éxito en esta asignatura, debes estudiar los ejemplos resueltos, resolver los

ejercicios propuestos y verificar tus resultados. Si algún ejercicio no lo entiendes o no lo puedes

resolver, puedes acudir con los profesores del Programa Institucional de Asesorías (PIA),

ubicado en la planta alta del edificio “IM”.

“Sólo los educados son libres” Επίκτητος

4

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 3

INSTRUCCIONES ...................................................................................................................... 3

ÍNDICE .................................................................................................................................... 4

UNIDAD 1. ECUACIONES CUADRÁTICAS ...................................................................... 6

Presentación ......................................................................................................................... 6

Conceptos clave ................................................................................................................... 7

Resolución de ecuaciones cuadráticas de las formas: 𝒙𝟐 = 𝒃, 𝒂𝒙𝟐 = 𝒃, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 = 𝒄,

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 = 𝟎, 𝒂𝒙 + 𝒃𝟐 + 𝒄 = 𝒅, 𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ............................................................. 8

Solución por factorización ................................................................................................. 11

Solución completando el trinomio cuadrado perfecto ....................................................... 19

Solución utilizando la fórmula general .............................................................................. 22

Problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas ........................................................... 28

Respuestas a los ejercicios ................................................................................................. 31

Autoevaluación tipo examen extraordinario...................................................................... 33

UNIDAD 2. FUNCIONES CUADRÁTICAS Y APLICACIONES ..................................... 36

Presentación ....................................................................................................................... 36

Conceptos clave ................................................................................................................. 36

Problemas que conducen a Funciones Cuadráticas ........................................................... 38

Gráficas de funciones cuadráticas ..................................................................................... 42

Problemas que involucran funciones cuadráticas .............................................................. 48



UNIDAD 3. ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA PLANA.................................... 58

Presentación ....................................................................................................................... 58

Conceptos claves ............................................................................................................... 58

Construcción con regla y compás ...................................................................................... 60

Ángulos .............................................................................................................................. 61

Geometría del triángulo ..................................................................................................... 64

Polígonos ........................................................................................................................... 73

Ángulos interiores de un polígono..................................................................................... 75

Círculo y Circunferencia ................................................................................................... 82



5

UNIDAD 4. CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS. ............. 91

Presentación ....................................................................................................................... 91

Conceptos claves ............................................................................................................... 92

Congruencia ....................................................................................................................... 94

Semejanza ........................................................................................................................ 103

Semejanza de triángulos .................................................................................................. 105

Criterios de semejanza de triángulos ............................................................................... 107

Razón entre perímetros y entre áreas de triángulos semejantes ...................................... 110

Teorema de Pitágoras ...................................................................................................... 115

Respuestas a los ejercicios ............................................................................................... 120

Autoevaluación tipo examen extraordinario.................................................................... 123

Bibliografía básica ............................................................................................................... 129

Bibliografía complementaria ............................................................................................... 129

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas

6

UNIDAD 1. ECUACIONES CUADRÁTICAS

Presentación

- Utilizarás los métodos de factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y

fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable.

- Determinarás cuando una ecuación cuadrática no tiene solución real.

- Resolverás problemas que involucren en su solución ecuaciones de segundo grado con

una variable.

Un poco de historia

Fue Al Kjwarizmi astrónomo, geógrafo y matemático quien determinó las primeras reglas del

cálculo algebraico: la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación,

previo cambio de signo, y la anulación de términos idénticos en ambos miembros. También

estudió las ecuaciones de segundo grado.

Las ecuaciones de primer y segundo grado se resolvían con un método prácticamente idéntico

al que usamos hoy en día. Sin embargo, la solución no apareció en Europa hasta el s. XII, en el

libro Tratado de Medidas y Cálculos, del matemático judeo-español Abraham Bar Hiyya Ha-

Nasi. Siglos después, todos los libros de matemáticas de nivel medio superior incluyen la famosa

fórmula general o llamada comúnmente “chicharronera”.

Temas que comprende la unidad:

• Problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita.

• Resolución de ecuaciones cuadráticas de las formas: 𝑥2 = 𝑏, 𝑎𝑥2 = 𝑏, 𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑐,

𝑎𝑥2 + 𝑏 = 0, 𝑎(𝑥 + 𝑏)2 + 𝑐 = 𝑑, (𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐) = 0.

• Métodos de solución de la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0:


7

a) Factorización.

b) Método de completar un trinomio cuadrado perfecto.

c) Fórmula general para resolver una ecuación cuadrática.

• Discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 y naturaleza de las raíces.

• Problemas de aplicación.

Conceptos clave

Ecuación de segundo grado. Son aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

donde a, b y c son números reales cualesquiera, tales que 𝑎 ≠ 0.

Diferencia de cuadrados. Es un binomio en el cual sus términos se están restando y además

están elevados al cuadrado; es decir son binomios que tienen la forma:

𝑎2 − 𝑏2

La diferencia de cuadrados se obtiene multiplicando dos binomios conjugados, es decir:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

Binomios conjugados. Son dos binomios que sólo se diferencian en un signo, por ejemplo:

• 𝑎 − 𝑏 y 𝑎 + 𝑏

• 3𝑥 + 6 y 3𝑥 − 6

Trinomio cuadrado perfecto. Es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, es decir, es un

trinomio de la forma:

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Se refiere a la fórmula que se

puede emplear para resolver este tipo de ecuaciones; es:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Discriminante de una ecuación de segundo grado. En una ecuación cuadrática, se refiere al

valor de:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐


8

Resolución de ecuaciones cuadráticas de las formas: 𝒙𝟐 = 𝒃, 𝒂𝒙𝟐 = 𝒃, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 = 𝒄,

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 = 𝟎, 𝒂(𝒙 + 𝒃)𝟐 + 𝒄 = 𝒅, (𝒙 + 𝒃)(𝒙 + 𝒄) = 𝟎

Ejemplo 1. Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado

𝑥2 = 100

Esta es una ecuación de segundo grado ya que la podemos escribir como 𝑥2 − 100 = 0.

Además, observa que la forma de la ecuación es 𝑥2 = 𝑏. En este caso, como queremos despejar

𝑥 extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación y obtenemos:

√𝑥2 = ±√100

𝑥 = ±10

Así que las raíces o soluciones de la ecuación son −10 y 10.

Ejemplo 2. Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado

5𝑥2 = 100


9

Observa que es una ecuación de segundo grado y la podemos escribir como 5𝑥2 − 100 = 0.

Además, observa que la forma de la ecuación es 𝑎𝑥2 = 𝑏. En este caso primero despejamos 𝑥2:

𝑥2 =100

5= 20

𝑥2 = 20

Ten en cuenta que ahora se tiene una ecuación de la forma 𝑥2 = 𝑏, como en el ejemplo 1, así

que la solución de la última ecuación se obtendrá de la misma manera que en el caso de la

ecuación de ejemplo 1; extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación:

√𝑥2 = ±√20

𝑥 = ±2√5

Así que las soluciones de la ecuación son 2√5 y −2√5.

Ejemplo 3. Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:

3𝑥2 − 5 = 8

Observa que esta es una ecuación de segundo grado y la podemos escribir como 5𝑥2 − 13 = 0;

además que su forma es 𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑐. Para resolver esta ecuación transponemos1 el −5 y

tenemos:

3𝑥2 = 13

Ahora tenemos una ecuación similar a la del ejemplo 2 así que resolvemos la ecuación de la

misma manera:

𝑥2 =13

3

𝑥 = ±√13

3

Así que las soluciones de la ecuación son √13

3 y −√

13

3.

1 Transponer es llevar un término de un lado de la ecuación al otro.


10


3(𝑥 − 3)2 + 3 = 6

Este caso es similar al mostrado en el ejemplo 3 sólo que en vez de tener 𝑥2 se tiene (𝑥 − 3)2.

Sin embargo, este tipo de ecuaciones se puede resolver virtualmente de la misma manera que la

ecuación mostrada en el ejemplo 3. Primero despejamos el término (𝑥 − 3)2:

3(𝑥 − 3)2 = 6 − 3

(𝑥 − 3)2 =3

3

√(𝑥 − 3)2 = ±√1

𝑥 − 3 = ±1

𝑥 = 3 ± 1

Así que las soluciones de la ecuación son 4 y 2.


(𝑥 − 4)(𝑥 + 5) = 0

Podemos comprobar que esta es una ecuación de segundo grado realizando la multiplicación de

binomios:

𝑥2 + 5𝑥 − 4𝑥 − 20 = 0

𝑥2 + 𝑥 − 20 = 0

Esta ecuación podría resolverse a través de la fórmula general, sin embargo, la ecuación original

está expresada como la multiplicación de dos factores cuyo producto es cero, proposición que

nos lleva a afirmar que sólo se cumple si cualquiera o los dos factores son iguales con cero,

generando las ecuaciones:

𝑥 − 4 = 0

𝑥 = 4

𝑥 + 5 = 0

𝑥 = −5


11

Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

1) 𝑥2 = 8

2) 𝑥2 − 13 = 0

3) 𝑥2 + 13 = 25

4) 4𝑥2 = 25

5) −9𝑥2 = −64

6) 15𝑥2 + 9 = 18

7) 2(𝑥 − 3)2 + 6 = 14

8) −3(𝑥 − 4)2 + 5 =11

3

9) (𝑥 + 1)2 = 0

10) (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) = 0

11) (𝑥 − 8)(𝑥 + 7) = 0

12) (𝑥 − 5)(𝑥 − 5) = 0

Solución por factorización

Para resolver factorizando una ecuación cuadrática debes recordar que la factorización

depende de la estructura algebraica.

Ejemplo 6. Si tienes la ecuación de segundo grado 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0

Ecuación cuya estructura corresponde a un trinomio cuadrático que resulta de la multiplicación

de dos binomios con un término común y que para encontrarlos se buscan dos números cuyo

producto sea 2 que es el término independiente y su suma sea – 3. Tales números son – 1 y – 2,

por lo que la ecuación queda expresada como:

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 0

Al factorizarla, la ecuación queda expresada como la multiplicación de dos factores cuyo

producto es cero, proposición que nos lleva a afirmar que solo se cumple si cualquiera o los dos

factores son iguales con cero, generando las ecuaciones:

𝑥 − 1 = 0 ó 𝑥 − 2 = 0

Al despejar la variable de las ecuaciones generadas se obtienen las raíces de la ecuación

cuadrática, es decir:


12

𝑠𝑖 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1

𝑠𝑖 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2

Por lo que las raíces o soluciones de la ecuación 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 son 1 y 2.

Ejemplo 7. Si tienes una ecuación de segundo grado como:

25𝑥2 − 16 = 0

Esta ecuación tiene una estructura que corresponde a la de una diferencia de cuadrados. La

factorización de una diferencia de cuadrados es la multiplicación de dos binomios conjugados;

para encontrar dichos binomios se extrae la raíz cuadrada a 25x2 y la raíz cuadrada de 16. Tales

raíces son 5𝑥 y 4, por lo que la ecuación queda factorizada como

(5𝑥 + 4)(5𝑥 − 4) = 0

La ecuación queda expresada como la multiplicación de dos factores cuyo producto es cero,

proposición que nos lleva a afirmar que solo se cumple si cualquiera o los dos factores son

iguales con cero, generando las ecuaciones:

5𝑥 − 4 = 0

𝑥 =4

5

5𝑥 + 4 = 0

𝑥 = −4

5

Por lo que las raíces o soluciones de la ecuación son 4

5 y −

4

5.


4𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0

Ecuación cuya estructura corresponde a la de un trinomio cuadrado perfecto el cual resulta de

la multiplicación de un binomio elevado al cuadrado o multiplicado por si mismo. Para

encontrar su forma factorizada, se extrae la raíz cuadrada de 4𝑥2 y la raíz cuadrada de 9. Tales

raíces cuadradas son 2x y 3 y como el signo del coeficiente del término lineal es negativo, la

ecuación queda factorizada como:

(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3) = 0



13



2𝑥 − 3 = 0

𝑥 =3

2

2𝑥 − 3 = 0

𝑥 =3

2

como te podrás dar cuenta las dos raíces son iguales por lo se dice que 3

2 es la raíz de

multiplicidad 2 de la ecuación 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0.


10𝑥2 + 4𝑥 = 0

Ésta se factoriza determinando el factor común 2𝑥 y dividiendo cada término del polinomio

10𝑥2 + 4 entre él para obtener los factores, es decir

10𝑥2

2𝑥= 5𝑥

4𝑥

2𝑥= 2

quedando la ecuación factorizada como:

2𝑥(5𝑥 + 2) = 0

2𝑥 = 0

𝑥 = 0

5𝑥 + 2 = 0

𝑥 = −2

5

Por lo que se tiene que 0 y −2

5 son las raíces de la ecuación 10𝑥2 + 4𝑥 = 0.


3𝑥2 + 2𝑥 − 21 = 0


14

Ecuación cuya estructura corresponde a la de un trinomio de segundo grado, el cual resulta de

la multiplicación de dos binomios y que para encontrarlos se puede multiplicar al coeficiente

del término cuadrático 3 por el término independiente −21 cuyo producto es −63 y se buscan

dos números cuyo producto sea −63 y su suma sea 2, que es el coeficiente del término lineal.

Tales números son – 7 y 9 y con ellos se expresa al término lineal 2𝑥 utilizando estos números

como coeficientes de dos términos lineales que generan un polinomio con cuatro términos:

3𝑥2 − 7𝑥 + 9𝑥 − 21

Este último se factoriza por agrupación, quedando la ecuación factorizada como sigue:

𝑥(3𝑥 − 7) + 3(3𝑥 − 7) = 0

(3𝑥 − 7)(𝑥 + 3) = 0




3𝑥 − 7 = 0

𝑥 =7

3

𝑥 + 3 = 0

𝑥 = −3

Ejercicio 2. Contesta cada una de las siguientes preguntas

1) ¿Qué es una ecuación cuadrática?

2) ¿Cuándo se considera una ecuación cuadrática completa?

3) ¿Cuándo se considera incompleta?


15

4) Aparte de factorizar para resolver ecuaciones cuadráticas, ¿Qué otras formas para

resolverlas conoces?

5) ¿Cuál es el número de raíces que tiene una ecuación cuadrática?

Elige la opción que corresponde a la de la respuesta correcta:

6) La factorización de 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 0 es:

A) (𝑦 − 3)(𝑦 + 3) = 0

B) (𝑦 − 9)(𝑦 + 1) = 0

C) (𝑦 − 1)(𝑦 + 9) = 0

D) (𝑦 − 3)(𝑦 − 3) = 0

7) La factorización de 𝑥2 + 14𝑥 + 49 = 0 es:

A) (𝑥 + 7)2 = 0

B) (𝑥 + 7)(𝑥 − 7) = 0

C) (𝑥 + 2)(𝑥 + 7) = 0

D) (𝑥 − 7)2 = 0

8) La factorización de 72𝑦 + 16 + 81𝑦2 = 0 es:

A) (4 + 9𝑦)2 = 0

B) (4 + 9𝑦)(4 − 9𝑦) = 0

C) (4 + 𝑦)(4 + 72𝑦) = 0

D) (4 − 9𝑦)2 = 0


16

9) La factorización de 100𝑥2 − 20𝑥 + 1 = 0 es:

A) (10𝑥 + 1)(10𝑥 + 1) = 0

B) (10𝑥 + 20)(10𝑥 − 1) = 0

C) (10𝑥 − 1)(10𝑥 − 20) = 0

D) (10𝑥 − 1)(10𝑥 − 1) = 0

10) La factorización de 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 es:

A) (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) = 0

B) (𝑥 + 5)(𝑥 − 10) = 0

C) (𝑥 − 5)(𝑥 − 5) = 0

D) (𝑥 + 10)(𝑥 − 5) = 0

11) La factorización de 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 es:

A) (𝑥 + 1)(3𝑥 + 2) = 0

B) (3𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = 0

C) (𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 0

D) (3𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0

12) La factorización de 𝑥2 + 11𝑥 + 24 = 0 es:

A) (𝑥 + 4)(𝑥 + 6) = 0

B) (𝑥 + 3)(𝑥 + 8) = 0

C) (𝑥 + 2)(𝑥 + 12) = 0

D) (𝑥 + 11)(𝑥 + 24) = 0

13) Las raíces de la ecuación 𝑥2 − 11𝑥 − 26 = 0, son:

A) −11 y −26

B) 11 y 26.

C) 13 y −2

D) −13 y 2


17

14) Las raíces de la ecuación 𝑥2 − 9𝑥 = 0, son:

A) −1 y −9

B) 0 y 9

C) 3 y −3

D) 9 y 1

15) Las raíces de la ecuación 9𝑥2 − 49𝑥 = 0, son:

A) 7 y −7

B) 7

3 y −

7

3

C) 3 y −3

D) 49

9 y 0

16) Las raíces de la ecuación 4𝑎2 + 3𝑎 − 10 = 0, son:

A) 5

4 y −2

B) 2 y −5

4

C) 3 y −10

D) 10 y −3

17) Las raíces de la ecuación 9𝑦2 + 6𝑦 + 1 = 0, son:

A) 9 y 6

B) 6 y 1

C) 1

3 de multiplicidad 2

D) −1


18) Las raíces de la ecuación 4𝑚2 − 4𝑚 + 1 = 0, son:

A) 4 𝑦 -1

B) −4 y 1

C) 1


D) −1



18

19) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son 9 y 7, la ecuación factorizada es:

A) (𝑥 + 7)(𝑥 − 9) = 0

B) (𝑥 − 7)(𝑥 − 9) = 0

C) (𝑥 + 9)(𝑥 − 7) = 0

D) (𝑥 + 7)(𝑥 + 9) = 0

20) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son −2 y 3

2, la ecuación factorizada es:

A) (𝑥 + 2) (𝑥 −3

2) = 0

B) (𝑥 − 2) (𝑥 +3

2) = 0

C) (𝑥 −3

2) (𝑥 − 2) = 0

D) (𝑥 +3

2) (𝑥 − 2) = 0

21) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son 0 y −4, la ecuación factorizada es:

A) (𝑥 + 4)𝑥 = 0

B) 𝑥(𝑥 − 4) = 0

C) (𝑥 − 0)(−4) = 0

D) 4(𝑥 − 0) = 0

22) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son 3 y 4, la ecuación es:

A) 𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 0

B) 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0

C) 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0

D) 𝑥2 + 7𝑥 + 12 = 0

23) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son -1 y 3, la ecuación es:

A) 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

B) 𝑥2 + 3𝑥 − 1 = 0

C) 𝑥2 − 𝑥 + 3 = 0

D) 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0


19

24) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son −5 y −7, la ecuación es:

A) 𝑥2 − 5𝑥 + 7 = 0

B) 𝑥2 + 5𝑥 − 7 = 0

C) 𝑥2 + 12𝑥 + 35 = 0

D) 𝑥2 − 12𝑥 + 35 = 0

25) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son 1 y 1

2, la ecuación es:

A) 𝑥2 +𝑥

2+ 1 = 0

B) 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0

C) 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0

D) 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0

Solución completando el trinomio cuadrado perfecto

En ocasiones, la ecuación de segundo grado no es fácil de factorizar por alguno de los

procedimientos mostrados en los ejemplos anteriores, por lo que hay que buscar otra forma de

factorizarla, lo cual se logra completando un trinomio cuadrado perfecto que es el producto de

un binomio por sí mismo, es decir, de elevar al cuadrado un binomio.


6𝑥2 − 𝑥 − 15 = 0

Primero divides toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático, que en este caso es

6, quedando:

6𝑥2

6−

𝑥

6−

15

6=

0

6

𝑥2 −1

6𝑥 −

5

2= 0

Enseguida completas el trinomio cuadrado perfecto para el binomio 𝑥2 −1

6𝑥, para ello:

Obtienes la mitad del coeficiente del término lineal:

−1

6÷ 2 = −

1

12


20

Elevas este término al cuadrado:

(−1

12)

2

=1

144

y lo sumas y restas a la ecuación original para obtener:

𝑥2 −1

6𝑥 +

1

144−

1

144−

5

2= 0

Ahora ya tienes la certeza de que 𝑥2 −1

6𝑥 +

1

144 es un trinomio cuadrado perfecto, el cual puedes

factorizar como (𝑥 −1

12)

2

y al reducir los términos independientes −1

144−

5

2 como −

361

144, se

tiene que la ecuación de segundo grado queda expresada como:

(𝑥 −1

12)

2

−361

144= 0

que es una diferencia de cuadrados y que al factorizarla deja a la ecuación expresada como:

(𝑥 −1

12−

19

12) (𝑥 −

1

12+

19

12) = 0




𝑥 −1

12−

19

12= 0

𝑥 −5

3= 0

𝑥 =5

3

𝑥 −1

12+

19

12= 0

𝑥 +3

2= 0

𝑥 = −3

2

Por lo que se tiene que 5

3 y −

3

2 son las raíces de la ecuación 6𝑥2 − 𝑥 − 15 = 0.


8𝑥2 + 14𝑥 − 15 = 0


21

Primero divides toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático, que en este caso es

8, quedando:

𝑥2 +14

8𝑥 −

15

8= 0

Enseguida completas el trinomio cuadrado perfecto para el binomio 𝑥2 +14

8𝑥, para ello:

Obtienes la mitad del coeficiente del término lineal:

14

8÷ 2 =

14

16=

7

8

Elevas este término al cuadrado:

(7

8)

2

=49

64

y lo sumas y restas a la ecuación original para obtener:

𝑥2 +14

8𝑥 +

49

64−

49

64−

15

8= 0

Ahora ya tienes la certeza de que 𝑥2 +14

8𝑥 +

49

64 es un trinomio cuadrado perfecto, el cual puedes

factorizar como (𝑥 +7

8)

2

y al reducir los términos independientes −49

64−

15

8 como −

169

64, se tiene

que la ecuación de segundo grado queda expresada como:

(𝑥 +7

8)

2

−169

64= 0

que es una diferencia de cuadrados y que al factorizarla deja a la ecuación expresada como:

(𝑥 +7

8−

13

8) (𝑥 +

7

8+

13

8) = 0




𝑥 +7

8−

13

8= 0 𝑥 +

7

8+

13

8= 0


22

𝑥 −3

4= 0

𝑥 =3

4

𝑥 +5

2= 0

𝑥 = −5

2


4 y −

5

2 son las raíces de la ecuación

8𝑥2 + 14𝑥 − 15 = 0.

Ejercicio 3

1) Al resolver la ecuación 𝑥2 − 10𝑥 + 9 = 0 completando el trinomio cuadrado perfecto, el

paso correcto al completarlo es:

A) 𝑥2 − 10𝑥 + 9 − 9 = 0

B) 𝑥2 − 10𝑥 + 25 − 25 = 0

C) 𝑥2 − 10𝑥 + 20 − 20 + 9 = 0

D) 𝑥2 − 10𝑥 + 25 − 25 + 9 = 0

2) Al resolver la ecuación 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 completando el trinomio cuadrado perfecto, el

paso correcto al completarlo es:

A) 𝑥2 + 3𝑥 + 9 + 9 − 10 = 0

B) 𝑥2 + 3𝑥 + 9 − 9 − 10 = 0

C) 𝑥2 + 3𝑥 +9

4−

9

4− 10 = 0

D) 𝑥2 + 3𝑥 +9

4+

9

4− 10 = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones, completando el trinomio cuadrado perfecto:

3) 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0

4) 𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0

5) 𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0

6) 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0

Solución utilizando la fórmula general

Como sabes, existe una fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, sin

embargo, debes saber que esta fórmula proviene de completar el trinomio cuadrado perfecto


23

y factorizar la ecuación general 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, proceso que puedes consultar en algún

texto de álgebra o consultar con algún profesor e incluso hacerlo siguiendo los pasos

descritos en el ejemplo anterior.

Así, para la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, se tiene:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Donde fácilmente puedes observar que: 𝑎 es el coeficiente del término cuadrático, 𝑏 es el

coeficiente de término lineal y 𝑐 es el término independiente.

Ejemplo 13. Si tienes la ecuación cuadrática del ejemplo 6

𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0

si la resuelves aplicando la fórmula general, primero se necesita identificar los parámetros 𝑎, 𝑏

y 𝑐 de la ecuación igualada con cero, que son en este caso:

𝑎 = 1

𝑏 = −3

𝑐 = 2

enseguida sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:

𝑥 =−(−3) ± √(−3)2 − 4(1)(2)

2(1)

𝑥 =3 ± √9 − 8

2=

3 ± √1

2=

3 ± 1

2

𝑥 =3 + 1

2= 2 𝑥 =

3 − 1

2= 1

Por lo que se tiene que 1 y 2 son las raíces de la ecuación 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0, valores que

coinciden con los valores obtenidos en el ejemplo 6, resuelto por factorización.

Observa además el valor del discriminante:


24

𝐷 = (−3)2 − 4(1)(2) = 1

El cual fue positivo y que las soluciones de la ecuación fueron números reales distintos.

Ejemplo 14. Si tienes la ecuación cuadrática del ejemplo 7:

25𝑥2 − 16 = 0

si la resuelves aplicando la fórmula general, identificas los parámetros 𝑎, 𝑏 y 𝑐 de la ecuación

igualada con cero, que son en este caso:

𝑎 = 25

𝑏 = 0

𝑐 = −16

sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:

𝑥 =−0 ± √02 − 4(25)(−16)

2(25)

𝑥 =0 ± √0 + 1600

50=

±√1600

50=

±40

50

𝑥 =40

50=

4

5 𝑥 = −

40

50= −

4

5


5 y −

4

5 son las raíces de la ecuación 25𝑥2 − 16 = 0, valores que



𝐷 = 02 − 4(25)(16) = 1600


Ejemplo 15. Si tienes la ecuación cuadrática del ejemplo 9:

10𝑥2 + 4𝑥 = 0


25



𝑎 = 10

𝑏 = 4

𝑐 = 0


𝑥 =−4 ± √42 − 4(10)(0)

2(10)

𝑥 =−4 ± √16 − 0

20=

−4 ± √16

20=

−4 ± 4

20

𝑥 =−4 + 4

20= 0 𝑥 =

−4 − 4

20= −

8

20= −

2

5

Por lo que se tiene que 0 y −2

5 son las raíces de la ecuación 10𝑥2 + 4𝑥 = 0, valores que



𝐷 = 42 − 4(10)(0) = 16


Ejemplo 16. Si tienes la ecuación cuadrática:

𝑥2 − 4𝑥 − 7 = 0



𝑎 = 1

𝑏 = −4

𝑐 = −7


26


𝑥 =−(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(−7)

2(1)

𝑥 =4 ± √16 + 28

2=

4 ± √44

2

𝑥 =4 + √44

2= 2 + √11 𝑥 =

4 − √44

2= 2 − √11

Como te darás cuenta, nos encontramos con la raíz cuadrada no exacta, la cual no tendrá

necesidad de extraer ya que al ser un número irracional no tendrás un resultado correcto si la

aproximas por lo que se tiene que 2 + √11 y 2 − √11 son las raíces de la ecuación 𝑥2 − 4𝑥 −

7 = 0.


𝐷 = (−4)2 − 4(1)(−7) = 44

El cual fue positivo y que las soluciones de la ecuación fueron números reales distintos a pesar

de que su valor no tiene raíz cuadrada exacta.

Ejemplo 17. Si tienes la ecuación cuadrática:

𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0



𝑎 = 1

𝑏 = −2

𝑐 = 2


𝑥 =−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(2)

2(1)


27

𝑥 =2 ± √4 − 8

2=

2 ± √−4

2

como te darás cuenta, nos encontramos con la raíz cuadrada de un número negativo la cual no

es un número real sino un número imaginario, teniendo entonces:

𝑥 =2 ± √4 − 8

2=

2 ± √−4

2

𝑥 =2 ± 2𝑖

2

𝑥 =2 + 2𝑖

2= 1 + 𝑖 𝑥 =

2 − 2𝑖

2= 1 − 𝑖

por lo que se tiene que las raíces de la ecuación no son reales sino complejas, es decir, 1 + 𝑖 y

1 − 𝑖 son las raíces de la ecuación 𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0.


𝐷 = (−2)2 − 4(1)(2) = −4

El cual fue negativo y que las soluciones de la ecuación fueron números complejos distintos.

Ejercicio 4

1) Al resolver la ecuación general 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 en la fórmula general.

A) Las raíces son reales y repetidas.

B) Las raíces son complejas.

C) Las raíces son reales y diferentes.

2) Al resolver la ecuación general 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 en la fórmula general.




3) Al resolver la ecuación general 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 en la fórmula general.





28

Resuelve utilizando la fórmula general, las ecuaciones:

4) 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0

5) 𝑥2 + 6𝑥 + 6 = 0

6) 2𝑥2 − 7𝑥 − 15 = 0

7) 3𝑥2 + 6𝑥 − 5 = 0

8) 𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0

Problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas

A partir del siguiente problema, trata de identificar las relaciones que existen entre los datos que

se te proporcionan y los resultados que debes obtener.

Ejemplo 18. Se construye una calle que cruza en diagonal sobre un terreno rectangular, de tal

manera que éste queda dividido en dos partes iguales en forma de triángulo.

Si la longitud de la calle es de 500 m., ¿cuáles son las longitudes del ancho y largo del terreno,

si ambas suman 700m?

Iniciamos la solución usando una figura que simula al problema y donde podrás observar que la

calle divide al terreno en dos triángulos rectángulos congruentes donde 𝑥 simboliza el ancho y

700– 𝑥 al largo.

Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

𝑥2 + (700 − 𝑥)2 = 5002

𝑥2 + 490000 − 1400𝑥 + 𝑥2 = 250000

𝑥2 + 490000 − 1400𝑥 + 𝑥2 − 250000 = 0


29

2𝑥2 − 1400𝑥 + 240000 = 0

Simplificando:

𝑥2 − 700𝑥 + 120000 = 0

Este modelo corresponde a una ecuación de segundo grado, el cual se puede resolver mediante

factorización, para lo cual buscamos dos números que multiplicados den 120000 y sumados

– 700, quedando:

(𝑥 − 300)(𝑥 − 400) = 0

Relación que se cumple con:

𝑥 − 300 = 0 ⇒ 𝑥 = 300

Y con:

𝑥 − 400 = 0 ⇒ 𝑥 = 400

Por lo tanto, las medidas de los lados del terreno son: 300 y 400 metros.

Ejemplo 19. Raúl Márquez quiere instalar un telón rectangular en un teatro. Si sabe que necesita

252 m2 de tela y que la altura del escenario es 10 metros menos que el doble de su ancho ¿Cuáles

son las medidas de la tela que necesita?

Incógnitas y datos Ecuación

Ancho: 𝑥

Altura: 2𝑥 − 10

(2𝑥 − 10)𝑥 = 252

2𝑥2 − 10𝑥 = 252

2𝑥2 − 10𝑥 − 252 = 0

Resuelve la ecuación para lo cual te recomendamos que dividas a la ecuación entre 2, que es el

coeficiente del término cuadrático 𝑥2. Después de hacerlo la ecuación queda:

2𝑥2

2−

10𝑥

2−

252

2= 0

𝑥2 − 5𝑥 − 126 = 0


30

Resuélvela y da solución al problema.

Ejemplo 20. El cuadrado LMNO tiene lados de longitud

2𝑥 + 1 y los dos cuadrados más pequeños tienen lados de

medida 3 y 6 unidades respectivamente. ¿Cuál es el valor de

𝑥 si sabes que el área de la región sombreada es 76 unidades

cuadradas?

Considera que el área total del cuadrado es:

(2𝑥 + 1)2 = (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1

Ahora considera que el área del cuadrado pequeño es 32 = 9, mientras que el área del cuadrado

mediano es 62 = 36. Por último, considera que, según los datos, si al área total se le restan las

áreas de los cuadrados de lados 3 y 6 se obtiene 76 u2, con lo cual podremos escribir la siguiente

ecuación:

4𝑥2 + 4𝑥 + 1 − 9 − 36 = 76

Que es una ecuación de segundo grado. Al igualarla a cero se obtiene:

4𝑥2 + 4𝑥 − 120 = 0

Al resolver esta ecuación obtendrás como posibles soluciones:

𝑥1 = −6

𝑥2 = 5

Como el valor negativo conllevaría a que el cuadrado tuviera lados negativos, podemos concluir

que la solución es 𝑥 = 5.

Ejercicio 5. Resuelve los siguientes problemas cuyo modelo es una ecuación cuadrática.

1) ¿Cuáles son los dos números enteros cuya suma es 23 y la suma de sus cuadrados es

277?

2) Si el área de un terrero de forma rectangular es de 105 m2 ¿Cuál es su perímetro si su

largo excede 1 m al doble de su ancho?

3

6

2x + 1

L M

N O

Figura 1. Cuadrado LMNO


31

3) Un auditorio tiene 600 asientos. El número de asientos de cada fila es menor en 10

unidades que el doble del número de filas ¿Cuál es el número de asientos en cada

fila?

4) ¿Cuáles son los factores negativos de 189 tales que su diferencia es 12?

5) El perímetro de un terreno rectangular es de 34 m y su área de 60 m2. ¿Cuáles son sus

dimensiones?

Respuestas a los ejercicios

Ejercicios 1

Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta

1 ±2√2 7 5,1

2 ±√13 8 10

3,14

3

3 ±2√3 9 −1

4 ±

5

2

10 3, −5

5 ±

8

3

11 8, −7

6 ±

3

√15= ±

√15

5

12 5

Ejercicios 2

Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta

1 8 A 15 D 22 B

2 9 D 16 A 23 A

3 10 C 17 D 24 C

4 11 B 18 C 25 C


32

5 12 B 19 B

6 D 13 C 20 A

7 A 14 B 21 A

Ejercicios 3

Ejercicio 1 2 3 4 5 6

Respuesta D C 3, −5 2 ± √3 4, −3 1, −1

3

Ejercicios 4

Ejercicio 1 2 3 4 5 6 7 8

Respuesta C A B 2, −5 −3 ± √3 5, −3

2 −1 ±

2√6

3 −2 ± 𝑖

Ejercicios 5

Ejercicio 1 2 3 4 5

Respuesta 14,9 44 20 −9, −21 5,12


33

Autoevaluación tipo examen extraordinario

1. En una hoja aparte (hoja de operaciones) escribe el desarrollo de tus respuestas.

2. Para cada ejercicio elige la opción que corresponde a tu resultado y escríbela en la casilla

correspondiente en la tabla de respuestas.

3. Compara tus respuestas con las que vienen el final y decide si ya estás listo(a) para presentar

tu examen extraordinario.

1. Los enteros A, B y C son enteros consecutivos ordenados de menor a mayor, A es menor y

C es el mayor. ¿Cuáles de los siguientes valores podría tomar A si sabes que A2 = C?

I. -1

II. 0

III. 2

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III

2. El perímetro de un rectángulo es 6𝑝. Si uno de los lados es de longitud 𝑝

2 ¿cuál es el área

del rectángulo?

A) 4

2p

B) 4

52

p C)

2

52

p

D) 4

112

p E)

2

112

p

3. La suma de dos números es 11 y su producto 30. Elige el modelo que representa al problema.

A) 11)30( xx B) 30)11( xx C) 11)30( xx

D) 30)11( xx E) 30)11)(30( xx

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


34

4. Si una de las raíces de la ecuación cuadrática 2𝑥2 + 𝑏𝑥 − 18 = 0 es – 6, ¿cuál es el valor

numérico de 𝑏?

A) b = 3 B) b = 6 C) b = -3 D) b = 9

5. La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halla la ecuación cuadrática

que representa esta situación.

A) 𝑥2 + ( 10 − 𝑥)2 = 58

B) 𝑥2 + ( 10 + 𝑥)2 = 58

C) 𝑥2 + 10 + 𝑥2 = 58

D) 𝑥2 + 10 − 𝑥2 = 58

6. Calcula las raíces de la siguiente ecuación cuadrática 3

8𝑥2 + 2 = 5

A) 9

8 ,

−9

8 B) √8 , −√8 C)

−𝟓𝟔

𝟑 ,

𝟓𝟔

𝟑 D) √14 , −√14

7. Al factorizar la ecuación cuadrática 𝑥2 − 13𝑥 − 48 = 0, se obtiene:

A) (𝑥 + 3)(𝑥 + 16) = 0 B) (𝑥 − 3)(𝑥 − 16) = 0

C) (𝑥 + 3)(𝑥 − 16) = 0 D) (𝑥 − 3)(𝑥 + 16) = 0

8. Para vallar una finca rectangular de 750 m2 se han utilizado 110 m de cerca. ¿Cuáles son

las dimensiones de la finca?

𝐴) 𝑥 = 10 , 𝑦 = 75 B) 𝑥 = 15 , 𝑦 = 50 C) 𝑥 = 30 , 𝑦 = 25

D) 𝑥 = 25 , 𝑦 = 30

9. ¿Cuáles son las raíces de la ecuación 02542

x ?


35

A)

2

5

2

5

2

1

x

x

B)

2

5

2

5

2

1

x

x

C)

2

5

2

5

2

1

x

x

D)

4

5

4

5

2

1

x

x

E) 5

5

2

1

xx

10. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene como raíces 3

15 y ?

A) 051432

xx B) 051432

xx C) 051432

xx

D) 051432

xx E) 051532

xx

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D B D D A B C D B A

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones

36

UNIDAD 2. FUNCIONES CUADRÁTICAS Y APLICACIONES

Presentación

En esta unidad se avanza en el concepto de función al introducir un nuevo tipo de variación que

conlleva conceptos como concavidad y simetría. El objetivo es identificar funciones cuadráticas,

graficarlas y resolver problemas que involucren una función de este tipo.

El concepto de función ha sido considerado como uno de los conceptos más importantes de la

matemática, en parte porque a nivel histórico se ha consolidado como un modelo de procesos

de variación.

La primera mujer que registra la historia de la Matemática fue Hipatia (350-415), quien

trabajó en la biblioteca de Alejandría y escribió varios documentos acerca de las propiedades

geométricas de la parábola.

Conceptos clave

Variable independiente: Variable que puede cambiar libremente su valor sin que se vea

afectada por alguna otra variable. Generalmente, una variable independiente es la entrada de

una función y normalmente se denota por el símbolo x, en tanto que frecuentemente y se

reserva para la variable dependiente.

Variable Dependiente: Su valor depende de la función dada y el valor elegido para la variable

independiente.

Función: En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado 𝑋 (llamado

dominio) y otro conjunto de elementos 𝑌 (llamado condominio) de forma que a cada elemento

𝑥 del dominio le corresponde un único elemento 𝑦 = 𝑓(𝑥) del codominio (los que forman el

recorrido, también llamado rango o ámbito).


37

Registros de una función numérica (tabla), gráfica y expresión algebraica: Existen tres

formas de representar una función y éstos son la tabular (elaborar una tabla), gráfica (construir

su gráfica) y algebraica (mediante su regla de correspondencia).

Función Variable Variable

Independiente Dependiente

Fig. 2 Función


38

Problemas que conducen a Funciones Cuadráticas

1. El Huerto. En el jardín de una residencia se quiere destinar una

zona rectangular para hacer un huerto (Fig. 3) y se dispone de 56

metros lineales de malla de acero para cercar la zona. ¿Cuáles

deben ser las dimensiones del rectángulo si se desea abarcar la

mayor área posible? Para contestar realiza lo siguiente:

¿Qué forma tiene la zona que se desea abarcar?

_______________________________________

¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? ________________________________________

Si el perímetro del rectángulo mide 56 metros, ¿cuánto suman la base y la altura? ___________

¿Recuerdas cómo se obtiene el área de un rectángulo? _______________________________

Si representamos el área con 𝒚 y la base del rectángulo con 𝒙, entonces una expresión algebraica

para la altura es: _______________________

Así tenemos que el área del rectángulo es:

y = x(28 – x)

o bien,

y = -x2 + 28x

Esta igualdad es un modelo algebraico para el área del rectángulo que estamos considerando.

Representa en el lenguaje del Álgebra, la relación entre todas las posibles medidas de la base y

el área correspondiente.

El modelo que obtuvimos es un modelo polinomial cuadrático o de segundo grado, porque el

exponente con el que aparece la variable 𝑥 es 2.

En este modelo intervienen dos variables: 𝑥 y 𝑦. El valor de 𝑦 depende del valor de 𝑥; por tal

razón decimos que 𝑦 es la variable dependiente y 𝑥 la variable independiente.

Fig. 3 Huerto


39

Lo anterior significa que el Área del terreno de nuestro problema depende de su base.

Completa la tabla 1:

x base (m) y área (m2) Operación 𝑦 = 𝑥(28 – 𝑥)

0 0 𝑦 = 0(28 – 0) = 0(28) = 0

4 96 𝑦 = 4(28 – 4) = 4(24) = 96

8

12

16

20

24

28

Tabla 1. Problema "El Huerto"

¿Para qué valores de la base se obtiene la menor área del terreno? _______________________

¿Cuál es la mayor área del terreno? _______________________________________________

Grafica estos puntos en un plano cartesiano, coloca en el

eje x el valor de la base y en el eje y el valor del área.

¿Tendrá sentido unir los puntos?

_______________________________________

¿Por qué? _______________________________

¿Cómo se llama este tipo de gráfica? ___________

Marca el punto más alto de la curva e indica cuáles sus coordenadas ( , ).

Ahora ya puedes decir cuáles son las medidas de la base y la altura con las que se abarca la

mayor área posible ___________________________________________________________

Gráfica 1: Problema "El Huerto"


40

2. La editorial. Una editorial vende a los expendios de revistas una publicación científica a $60 el ejemplar, y cada 50 ejemplares que excedan los

500, el precio de venta disminuye $2, ¿cuántos ejemplares extras debe adquirir un expendio para que la editorial tenga un ingreso máximo? Para que

te ayudes a contestar, completa la siguiente tabla.

Número de

disminución

de $2(x)

Precio por revista Número de

Ejemplares

Ingresos (y=f(x)) Diferencias Diferencias de

diferencias

0 60 500 (60)(500) = 30000 30000 − 31900

= −1900

−1900 − (−1700)

= −200

1 60 − 2(1) = 58 500 + 50(1) =

550

(60 − 2(1))(500 + 50(1)) =

(58)(550) = 31900

31900 − 33600

= −1700

−1700 − (−1500)

= −200

2 60 − 2(2) = 56 500 + 50(2) =

600

(60 − 2(2))(500 + 50(2)) =

(56)(600) = 33600

33600 − 35100

= 1500

3 60 − 2(3) = 54 500 + 50(3) =

650

(60 − 2(3))(500 + 50(3)) =

(54)(650) = 35100

4

Tabla 2. "La editorial"


41

i. Traza la gráfica en el plano de

“La editorial”.

ii. Explica el significado de los

valores que obtuviste en las

dos últimas columnas de la

Tabla 2 “La editorial”.

iii. Recuerda que, si las diferencias de las diferencias se mantienen constantes esto implica

que se trata de una función cuadrática, ¿la situación que se está trabajando es función

cuadrática?

iv. Encuentra el modelo algebraico de ingresos en función del número de disminución de

$2, utiliza lo realizado en la Tabla 2 “La editorial” y generaliza.

v. Escribe la función en forma general, para ello sólo tienes que multiplicar los binomios y

reducir términos semejantes.

Por lo anterior, podemos decir que la expresión algebraica de una función cuadrática en su forma

general es:

Gráfica 2. "La editorial"


42

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con 𝑎 ≠ 0

y que su gráfica es una parábola.

Gráficas de funciones cuadráticas

Para graficar una función cuadrática pasaremos la función de la forma general

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a la forma estándar, 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘,

donde el vértice de la parábola es el punto (ℎ, 𝑘). Asimismo, podemos calcular los ceros

de la función, si es que éstos existen, al igualar la función a cero y obteniendo una

ecuación cuadrática a resolver.

Si 𝑎 < 0 la parábola abre hacia abajo (cóncava hacia abajo)

Si 𝑎 > 0 la parábola abre hacia arriba (cóncava hacia arriba)

El eje de simetría es 𝑥 = ℎ. Para obtener dos puntos simétricos de la parábola se puede

sustituir 𝑥 = ℎ ± 1 en 𝑓(𝑥). Recordar que en la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

𝑐 representa el punto de intersección con el eje “y” (ordenada al origen).

Ejemplos. Grafica las siguientes funciones cuadráticas:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 5

Transformemos la ecuación general a su forma estándar, esto es, la función está en forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 y la vamos a escribir en forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 completando los

cuadrados, como sigue:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 5


43

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 5 − 4

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 − 9

∴ 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 − 9 es la forma deseada y en esta expresión tenemos que:

𝑎 = 1, ℎ = −2 y 𝑘 = −9

Por lo que el vértice de la parábola es el punto )9,2( y como, 𝑎 > 0 la parábola abre hacia

arriba (cóncava hacia arriba), su eje de simetría es 𝑥 = −2 y los ceros de la función o raíces de

la parábola se obtienen igualando la función a cero y resolviendo:

La ecuación 𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 0 la podemos resolver por varios métodos, utilizaremos el de

factorización.

(𝑥 + 5)(𝑥 − 1) = 0

𝑥 + 5 = 0 o (𝑥 − 1) = 0

𝑥 = −5 o 𝑥 = 1

∴ Los ceros de la función son −5 y 1, esto es, los puntos (−5,0) y (1,0).

Por lo que su gráfica es:

Trinomio

cuadrado

perfecto

El trinomio se

puede

expresar así

Es el resultado de

los dos

números

Se resta para

no alterar la

función


44

Nota: observa que el punto de intersección con el eje "𝑦" es −5

2) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 6𝑥 + 3

Para pasar a la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, primero factorizamos de la siguiente manera:

𝑓(𝑥) = −2(𝑥2 + 3𝑥) + 3

Completamos cuadrados en el paréntesis y restamos (9

4) (−2) para que no se altere la

expresión:

𝑓(𝑥) = −2 (𝑥2 + 3𝑥 +9

4) + 3 − (

9

4) (−2)

𝑓(𝑥) = −2 (𝑥2 + 3𝑥 +9

4) + 3 +

18

4

𝑓(𝑥) = −2 (𝑥 +3

2)

2

+15

2

De donde 𝑎 = −2, ℎ = −3

2, y 𝑘 =

15

2

Entonces el vértice es 𝑉 (−3

2,

15

2), el eje de simetría es 𝑥 = −

3

2, como 𝑎 = −2 < 0 la parábola

es cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). La intersección con el eje “y” es en 3.

Los ceros de la función los obtenemos resolviendo la ecuación −2𝑥2 − 6𝑥 + 3 = 0 por fórmula

general, como 𝑎 = −2, 𝑏 = −6 y 𝑐 = 3 al sustituir en 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 nos queda:

Gráfica 3. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓


45

𝑥 =−(−6)±√(−6)2−4(−2)(3)

2(−2) → 𝑥 =

6±√36+24

−4 → 𝑥 =

6±√60

−4 → 𝑥 =

6±7.74

−4 →

𝑥1 =6+7.74

−4=

13.74

−4= −3.44 𝑥2 =

6−7.74

−4=

−1.74

−4= 0.44

Entonces su gráfica es:

3) 𝑓(𝑥) = 7𝑥2 + 14𝑥

Factoriza el 7 como factor común: ____________________________________________

Completa cuadrados y realiza lo necesario para que no se altere la función

____________________________________________________________________________

_______

Escribe la función en la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 ___________________________

La función en forma estándar te debió haber quedado 𝑓(𝑥) = 7(𝑥 + 1)2 − 7, de donde vemos

que 𝑎 = 7 > 0, es cóncava hacia arriba. Su vértice es 𝑉(−1, −7) ya que ℎ = −1 y 𝑘 = −7,

su eje de simetría es 𝑥 = −1.

Resuelve la ecuación 7𝑥2 + 14𝑥 = 0, para obtener los ceros de la función.

Con lo anterior bosqueja la gráfica de la función:

Gráfica 4. 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑


46

4) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 1

Está función se puede expresar como: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 0)2 − 1, completa lo siguiente:

𝑎 = ___ > ___, ℎ = ____ y 𝑘 = ____, por lo que el vértice es 𝑉(____, ____), la ecuación del eje

de simetría es: 𝑥 = _____, abre hacia arriba, y siempre podemos obtener dos puntos simétricos

de la parábola con evaluar en 𝑥 = ℎ ± 1; así que al evaluar la función en 𝑥 = 1 y en 𝑥 = −1

obtenemos los puntos 𝐴(1,2) y 𝐵(−1,2) respectivamente; la intersección con el eje “𝑦” está

en −1. Los ceros de la función los obtenemos al resolver la ecuación 3𝑥2 − 1 = 0,

3𝑥2 = 1

𝑥2 =1

3

𝑥 = ±√1

3

De donde 𝑥1 = −0.58 y 𝑥2 = 0.58 son los ceros de la función, o bien son los cortes

con el eje X.

Por lo anterior su gráfica es:

Gráfica 5. 𝒇(𝒙) = 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙


47

5) (𝑥) = −𝑥2

Se puede expresar como 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 0)2 + 0 que es de

la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, de donde 𝑎 = −1 < 0,

ℎ = 0 y 𝑘 = 0 por lo que su vértice es 𝑉 = (0,0), su eje

de simetría es 𝑥 = 0, es cóncava hacia abajo y dos de sus

puntos son: 𝐴(1, −1) y 𝐵(−1, −1), su intersección con el

eje “ y ” es 0, que es también el único cero de la función.

Ejercicio 1. Grafica las siguientes parábolas y marca dos puntos simétricos de ellas, éstos

pueden ser los ceros de cada función (si es que existen).

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 8𝑥 − 5 2) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 8𝑥 + 3

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4 4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 8𝑥

5) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 6𝑥 6) 𝑓(𝑥) = −5𝑥2 + 2

7) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 1 8) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

9) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 9𝑥 + 1 10) 𝑓(𝑥) =1

2𝑥2 − 6𝑥

Gráfica 6.𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏

Gráfica 7. 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐


48

Problemas que involucran funciones cuadráticas

A partir del planteamiento de una función cuadrática como modelo matemático,

se pueden resolver problemas determinando el vértice de la parábola. A este tipo

de problemas se les conoce como: “PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y

MÍNIMOS”

Observa las siguientes parábolas

Ejemplos

1. La ganancia semanal de una empresa se relaciona con el número de artículos producidos cada

semana y esto se puede representar por la función:

𝑃(𝑥) = −2𝑥2 + 96𝑥 − 52

Donde 𝑃(𝑥) representa la ganancia semanal en pesos y x el número de artículos producidos

por semana.

a) Representa gráficamente esta situación.

b) Si la empresa produce 26 artículos en una semana ¿Cuál será su ganancia?

c) Determina cuántos artículos deberá producir la empresa a la semana para que obtenga

una ganancia máxima.

Solución

Para graficar la función cuadrática determinemos primero su vértice, esto lo haremos al escribir

el modelo algebraico en forma estándar:

𝑃(𝑥) = −2𝑥2 + 96𝑥 − 52

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-4 -2 0 2 4

VérticeMáximo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -2 0 2 4Vértice

Mínimo


49

Factorizamos en 𝑥

𝑃(𝑥) = −2(𝑥2 − 48𝑥) − 52

Completando cuadrados

𝑃(𝑥) = −2(𝑥2 − 48𝑥 + 576) − 52 + 1152

𝑃(𝑥) = −2(𝑥 − 24)2 + 1100

De donde el vértice es 𝑉(24,1100), eje de simetría 𝑥 = 24, la parábola se abre hacia abajo, y

dos puntos de ella son (25,1098), (23,1098), el punto de intersección con el eje 𝑦 es (0, −52).

Observa que, así como sustituimos 𝑥 = 25 y 𝑥 = 23 en 𝑃(𝑥), podemos sustituir cualquier

valor de “𝑥” y éste nos estaría representando el número de artículos que se producen a la semana

y 𝑃(𝑥) corresponde a las ganancias, por lo que podemos contestar la pregunta del inciso b)

sustituyendo 𝑥 = 26 en 1100)24(2)(2 xxP

𝑃(𝑥) = −2(26 − 24)2 + 1100

𝑃(𝑥) = −2(2)2 + 1100

𝑃(𝑥) = −8 + 1100

𝑃(𝑥) = 1092

Entonces, si la empresa produce 26 artículos a la semana, su ganancia será de $1092.

Dibujamos en un plano cartesiano la

información anterior y esto es la

representación gráfica del problema, lo que

contesta el inciso a).

Para contestar el inciso c) en la gráfica podemos observar que el punto máximo de la parábola

es el vértice 𝑉(24,1100), lo que significa que cuando x toma el valor de 24 artículos, la

ganancia máxima es de $1100, cualquier otro valor de x nos dará una ganancia menor a $1100.

Entonces la respuesta de c) es 24 artículos.

Gráfica 8. Problema Ganancias


50

2. Una rana describe en un salto una trayectoria parabólica, si la longitud de su salto fue de 40

cm y la altura máxima alcanzada de 30 cm. Determina una ecuación para el salto de la rana.

Solución

La gráfica del salto de la rana se puede representar como:

Gráfica 9. Salto de la rana

Observa que la ordenada del vértice representa la máxima altura del salto y las coordenadas de

éste son 𝑉(20,30) entonces en la ecuación de la parábola de forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘

podemos sustituir el valor de ℎ y 𝑘 por 20 y 30 respectivamente.

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 20)2 + 30

Para encontrar el valor de 𝑎 podemos sustituir los valores de 𝑥 y 𝑓(𝑥) por el punto que tiene

coordenadas )0,0( esto lo podemos hacer porque es un punto de la parábola, entonces:

0 = 𝑎(0 − 20)2 + 30

0 = 𝑎(400) + 30

−30 = 𝑎400

−30

400= 𝑎

∴ 𝑎 = −3

40 Entonces la ecuación requerida es: 𝑓(𝑥) = −

3

40(𝑥 − 20)2 + 30 forma estándar.

La cual se puede expresar como: 𝑓(𝑥) = −3

40𝑥2 + 3𝑥 forma general.


51

3. Se desea cercar un espacio rectangular de jardín con 200 m de alambre. ¿Cuáles serán

las dimensiones del sitio para que éste ocupe la máxima área del jardín?

Solución

Lo primero que vamos a determinar es la función que representa esta situación. Esta función

será de la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 donde 𝑥 representará el ancho del rectángulo. Ahora,

recordemos cómo calcular el perímetro y el área de un rectángulo.

Área = (largo)(ancho)

Perímetro = 2(largo)+2(ancho)

Como solo tenemos 200 m para cercar este terreno y si llamamos x al ancho, entonces el

Perímetro de este rectángulo debería medir 200 m y el largo lo podemos determinar como sigue:

200 = 2(𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜) + 2 x

Si despejamos largo tenemos:

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 =200 − 2𝑥

2

∴ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 100 − 𝑥

Si sustituimos el largo, 100 − 𝑥, y el ancho, 𝑥, en la fórmula para calcular el área de un

rectángulo tenemos:

𝐴 = 𝑥(100 − 𝑥)

Simplificando:

𝐴 = 100𝑥 − 𝑥2

Por lo que la función cuadrática que representa este problema es:

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 100𝑥

la cual se puede expresar en forma estándar como:

𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 50)2 + 2500

La gráfica de esta función es:

largo

ancho


52

Gráfica 10. Problema “Área del jardín”

Lo que indica que el máximo de esta parábola se alcanza para 50x , como x representa el

ancho del rectángulo, entonces el ancho debe ser 50 m y el largo 50 m, estas dimensiones nos

darán el espacio rectangular máximo, recuerda que un cuadrado es un caso particular de un

rectángulo.

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas.

1. Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, la fórmula

2832 ttS nos da la altura en metros de la piedra después de t segundos.

a) Grafica la trayectoria de la piedra.

b) Determina en cuantos segundos, la piedra alcanza su máxima altura.

c) ¿Qué altura alcanza la piedra a los 3 segundos?

2. Se dispone de 60 m de alambre para cercar un jardín en forma rectangular, pero uno de

los lados corresponderá a la pared de la casa. ¿Qué dimensiones del jardín nos darán el área

máxima?

3. Determina la ecuación que representa la trayectoria del salto parabólico, de un atleta que

alcanza una altura máxima de 2 m y una longitud de 3.40 m.


53


Ejercicio 1

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 8𝑥 − 5

2) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 8𝑥 + 3

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4

4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 8𝑥


54

5) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 6𝑥

6) 𝑓(𝑥) = −5𝑥2 + 2

7) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 1

8) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

9) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 9𝑥 + 1

10) 𝑓(𝑥) =1

2𝑥2 − 6𝑥


55

Ejercicio 2

1. a)

b) Primero, pasemos la función 𝑆 = −8𝑡2 + 32𝑡 a su forma estándar

𝑆 = −8(𝑡2 − 4𝑡 + 4) + 32

𝑆 = −8(𝑡 − 2)2 + 32

De donde podemos ver que el vértice es 𝑉(2,32); por lo tanto, a los 2 segundos la piedra alcanza

su máxima altura de 32 metros.

c) La altura que alcanza la piedra a los 3 segundos es en 𝑆(3), esto es,

𝑆(3) = −8(3)2 + 32(3) = −72 + 96 = 24 metros.

2. Las dimensiones del jardín que dan el área máxima son 15 m de ancho y 30 m de largo.

3. La ecuación de la trayectoria del salto del atleta es: 𝑓(𝑥) = −0.69(𝑥 − 1.7)2 + 2


• En una hoja aparte (hoja de operaciones) escribe el desarrollo de tus respuestas.

• Para cada ejercicio elige la opción que corresponde a tu resultado y escríbela en la casilla

correspondiente en la tabla de respuestas.

• Compara tus respuestas con las que vienen el final y decide si ya estás listo(a) para presentar

tu examen extraordinario.


56

1. La gráfica de la función cuadrática 𝑦 = − (𝑥 +1

2)

2

+ 3 tiene su vértice en las coordenadas

A) (−1

2, −3) B) (−

1

2, 3) C) (

1

2, −3) D) (0,3)

2. La función que se representa en la gráfica de la derecha, está

dada por:

A) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 3

B) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3

C) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 − 3

D) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

3. Un granjero tiene 600 metros de malla de alambre, para construir un corral con forma de

rectángulo. El corral tendrá como uno de sus lados a una pared, por lo que no requiere malla

en esa parte. Si el granjero desea que el área que encierre el corral sea la máxima posible,

¿de qué dimensiones debe ser? Identifica la expresión que modela el área del corral en

función del lado más corto.

A) 𝐴 = 𝑥 (600 – 𝑥) B) 𝐴 = 𝑥 (600 – 2𝑥)

C) 𝐴 = 2𝑥 (600 – 𝑥) D) 𝐴 = 2𝑥 (600 – 2𝑥)

4. Al transformar la función cuadrática, de su forma general 𝑦 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 16 a su forma

estándar, queda como:

A) 𝑦 = 2(𝑥 − 3)2 − 2 B) 𝑦 = 2(𝑥 + 3)2 + 2

C) 𝑦 = 2(𝑥 + 3)2 − 2 D) 𝑦 = 2(𝑥 − 3)2 + 2

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


57

5. El vértice de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 4 tiene coordenadas V (-3, -5),

por lo tanto, en ese punto la función

A) tiene un máximo. B) tiene un mínimo.

C) tiene una raíz real. D) tiene una raíz imaginaria

6. Las raíces de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12 son:

A) 𝑥1 = −3 𝑥2 = 4 B) 𝑥1 = −2 𝑥2 = 6

C) 𝑥1 = 3 𝑥2 = −4 D) 𝑥1 = −12 𝑥2 = 1

7. Considera la función cuadrática 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 − 2. El valor de 𝑓(−1) es:

A) 0 B) −4 C) −6 D) 4

8. La concavidad de la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 9𝑥 + 1 es hacia

A) abajo B) la derecha C) arriba D) la izquierda

9. Determina las intersecciones con el eje X de la gráfica de la función 𝑦 = 𝑥2 – 3𝑥 – 10

A) 𝑥1 = 3, 𝑥2 = −10 B) 𝑥1 = 5, 𝑥2 = −2

C) 𝑥1 = 10, 𝑥2 = 3 D) 𝑥1 = −5, 𝑥2 = −2

10. Determina el valor de la siguiente función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 4 en su punto mínimo

A) -3 B) 3 C) -5 D) 5

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B D B C B C C A B C

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana

58

UNIDAD 3. ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA PLANA

Presentación

La necesidad del ser humano de describir la naturaleza lo llevó a estudiar las propiedades de las

figuras que observaba, naciendo de ésta manera la geometría plana. La cual estudia las

propiedades de las superficies y figuras planas como los triángulos, las rectas, los polígonos, los

cuadriláteros y la circunferencia. Esta geometría también recibe el nombre de geometría

euclidiana, en honor del matemático griego Euclides quien, por encargo de Ptolomeo Rey de

Egipto, reunió y ordenó los teoremas y demás proporciones geométricas en una obra llamada

“Elementos” constituida por 13 libros, por lo cual se le considera el padre de la geometría

(Amazonaws, 2010).

En esta unidad se estudiarán algunos conceptos y relaciones geométricas a través de

construcciones con regla y compás, realizando diversos ejercicios de problemas geométricos.

Conceptos claves

Ángulos: Se llama ángulo a la región comprendida entre dos segmentos unidos en un solo punto

llamado vértice.

Círculo: superficie plana limitada por una línea curva llamada circunferencia.

Recta: Es una sucesión continua de puntos alineados en una misma dirección. Si prolongamos

el segmento indefinidamente por ambos extremos, obtenemos una recta.

Perímetro: Se llama perímetro a la distancia alrededor de cualquier figura en dos dimensiones.

Área: Se considera área de una figura a la superficie que es rodeada por el perímetro

Polígono: Es una figura geométrica cerrada que está compuesta por muchos lados. Dichos lados

pueden ser todos iguales o desiguales.


59


60

Ejercicio 1

1. En el siguiente recuadro se muestra un pentágono formado por diversos elementos

básicos de la geometría. Escribe cada número en los espacios correspondientes al

elemento geométrico.

Construcción con regla y compás

2. Construye la bisectriz del ángulo 𝐴𝐵𝐶, así como la mediatriz de cada segmento que

forman al ángulo 𝑃𝑄𝑅 .

3. Traza un ángulo congruente al ángulo ABC del ejercicio anterior.

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común, conocido como el quinto

postulado de Euclides, del cual se estudiará más adelante.

___ Punto

___ Recta

___ Segmento

___ Plano


61

Por otro lado, dos rectas que se cortan en un punto y dividen al plano en cuatro regiones. Si

estas cuatro regiones tienen la misma amplitud, decimos que las dos rectas son

perpendiculares.

4. Usando regla y compás, traza una perpendicular y otra que sea paralela al segmento AB.

La perpendicular que pase por el punto P, en cada inciso.

a) b)

Ángulos

5. Llena la Tabla 3 con la información necesaria, guíate de la terminología, definición o

ejemplos dados.

Terminología Definición Ejemplos

Ángulo agudo 𝛉 0 < 𝜃 < 90°

Ángulo __________ 𝛉 95°; 157°

Ángulo recto 𝛉 𝛉=

Ángulos _______________ α, β α+β= 90°

Ángulos suplementaros α, β

Tabla 3. Ángulos

Ejemplo

a) Halla el complemento del ángulo de 80°.

Justificación:

La condición i) se puede simbolizar como:

A B A B


62

i) ∠𝛼 + ∠𝛽 = 90 [por ser complementarios]

La condición ii) nos indica que uno de ellos, por ejemplo, el ∠𝛼 mide 80°, por lo

tanto, tenemos

ii) 80° + ∠𝛽 = 90°

Despejamos ∠𝛽 obteniendo:

∠𝛽 = 90°- 80°

∠𝛽 = 10°

El resultado que se obtuvo, es el complemento del ángulo de 80°

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios siguiendo la solución del inciso a).

1) Halla el suplemento de un ángulo de 123°.

2) Si el complemento de un ángulo b es 3b, encuentra el valor del ángulo b.

3) Halla el ángulo que sea 16° menos que su suplemento.

Como se ha mencionado, dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas no

tienen ningún punto en común. Tal definición fue dada por Euclides de Alejandría,

matemático griego que vivió alrededor de los 300 a.C. Dentro de los 5 postulados que

escribió Euclides, el quinto es uno de los más importantes en la historia de la geometría, en

el cual se indica que “por un punto exterior a una recta dada puede trazarse una, y solo una

paralela a la recta dada”.

Con lo anterior podemos concluir que, si dos rectas son paralelas a una tercera, entonces las

tres rectas son paralelas entre sí (Jiménez Douglas, 2005).

Ejercicio 3

1) En las siguientes rectas paralelas cortadas por una transversal se forman 8 ángulos.

Identifica las dos rectas paralelas como l1y l2, mientras que a la transversal llámala m

2

8

3 4

5 6

7

1


63

a) Indica qué nombre se les da a las siguientes parejas de ángulos y cuáles son las

propiedades de dichos ángulos.

Nombre Propiedad

1 y 4 opuestos por el vértice congruentes_________

5 y 3 _________________ __________________

3 y 6 _________________ __________________

5 y 8 _________________ __________________

1 y 8 _________________ __________________

6 y 7 _________________ __________________

Ejemplo

Determinar el valor de yx , .

Justificación

Ejercicio 4. Resuelve los siguientes problemas sabiendo que las rectas 1l y 2l son paralelas,

guíate por el ejemplo resuelto.

i) 2𝑥 = 3𝑥 − 20° por ser ángulos alternos

internos son iguales

Despejando x

2𝑥 − 3𝑥 = −20° −𝑥 = −20° multiplicamos por -1 𝑥 = 20°

ii) 2𝑥 = 𝑦 + 10° por ser ángulos

correspondientes son iguales

iii) Sustituimos el valor de x en ii)

2(20°) = 𝑦 + 10° Despejando y, tenemos:

40° = 𝑦 + 10° 40° − 10° = 𝑦 𝑦 = 30°


64

1) Determina el valor de yx ,

Justificación

120

2) Determina el valor de x

Justificación

Geometría del triángulo

En la Tabla 4 se muestra la clasificación de los triángulos según la medida de sus lados y

ángulos, así como la relación que hay entre ellas. Dibuja los triángulos que falten en los

espacios en blanco.

3𝑥

𝑥

l1 L2

2𝑥


65

Tabla 4. Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos.

De acuerdo a la clasificación anterior de los triángulos, llena la Tabla 5.

Según la medida de sus ángulos Según la medida de sus lados

Acutángulo

Equilátero

Tabla 5. Clasificación de triángulos

Ejercicio 5

1. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta.

A) Algunos triángulos acutángulos son isósceles. V F


66

B) Todos los triángulos acutángulos tienen un ángulo obtuso. V F

C) Algunos triángulos rectángulos son equiláteros. V F

D) Algunos triángulos obtusángulos son equiláteros. V F

2. Analiza y reflexiona las siguientes preguntas

A) ¿Existen triángulos que sean al mismo tiempo equiláteros y rectángulos? ___

¿Porqué? _________________________________________________________________

B) ¿Existen triángulos que sean rectángulos e isósceles a la vez? ___

¿Por qué? _________________________________________________________________

C) ¿Todo triángulo rectángulo es isósceles? ___

¿Por qué? _________________________________________________________________

D) ¿Algunos triángulos obtusángulos son escálenos? ___

¿Por qué? _________________________________________________________________

E) ¿Todos los triángulos equiláteros son isósceles? ___

¿Por qué? _________________________________________________________________

F) ¿Todos los triángulos isósceles son acutángulos? ___

¿Por qué? _________________________________________________________________


67

3. María debe construir un triángulo escaleno como parte de la tarea escolar de

matemáticas II. En la papelería hay una oferta en que se venden tres palillos a un precio muy

económico, pero ya están cortados. Las medidas de los tres palillos son 4.5cm, 3.6 cm y 8.5

cm respectivamente.

a) ¿Es posible formar un triángulo? ______

¿Por qué?

____________________________________________________________

___________________________________________________________________

4. ¿Existe alguna regla establecida para la construcción de triángulos? _____

Explica:

_____________________________________________________________

Ejemplo

a) Determinar en la siguiente figura el valor de los ángulos exteriores que se marcan

como α´, β´ y γ´

Justificación

i) Llama a los ángulos exteriores α´, β´ y

γ´ respectivamente.

ii) La suma de los ángulos exteriores del

triángulo es igual a 360°, por lo tanto,

α´+β´+γ´=360°

iii) Dos ángulos suplementarios suman 180°,

por lo tanto, α+ α´=180° → α´=180° - α → α´=180 – 70 = 110°

β+β´=180° → β´=180°- β → β´=180 – 45 = 135°

γ+γ´=180° → γ´=180 °- γ → γ´=180 - 65 = 115°


68

Ejercicio 6. Resuelve los ejercicios que a continuación se presentan sobre ángulos internos

y externos, guíate del ejercicio resuelto.

1) En la siguiente figura AB||CD, si α=30° y 𝛉=100°, determina la medida de los ángulos

que faltan.

Justificación:

2) Halla la medida de los ángulos exteriores del siguiente polígono irregular.

Justificación:

3) Con los datos que se proporcionan en la figura calcula el valor de x e y.

Justificación


69

Ejercicio 7

1) Relacionas las siguientes columnas de la Tabla 6 colocando el inciso correspondiente.

__ Mediatriz a) Segmento de recta que se traza desde un vértice de un triángulo

al punto medio de su lado opuesto.

__ Bisectriz b) Es el punto donde se intersectan las medianas de un triángulo

__ Mediana c) Se le denomina al punto donde concurren las alturas de un

triángulo.

__ Altura d) Conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos

extremos de un segmento

__ Circuncentro e) Es el punto en el que se cortan las mediatrices de un triángulo

__ Incentro f) Segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo

al lado opuesto.

__ Baricentro g) Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo

concurren en un punto que equidista de los lados del triángulo

__ Ortocentro e) Es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo.

Tabla 6. Los centros del triángulo.

2) Construye la bisectriz del siguiente ángulo y justifica cómo son los ángulos

formados entre ella.

https://www.ecured.cu/index.php?title=Mediatrices_de_un_tri%C3%A1ngulo&action=edit&redlink=1


70

3) En la siguiente figura dibuja el incentro y circuncentro.

a) Describe las similitudes o diferencias que observas entre ambos trazos:

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

b) Dibuja de nuevo el incentro y el circuncentro en el siguiente triángulo. Observa los

resultados obtenidos y compáralos con el inciso anterior, ¿existe alguna similitud

con tus nuevos resultados? ¿por qué?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

c) Dibuja en los triángulos del inciso a) y b) un círculo que toque los 3 vértices (círculo

circunscrito) y un círculo que toque los tres lados del triángulo (círculo inscrito). ¿Es

posible realizar los trazos solicitados? ¿por qué?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________


71

4) En el siguiente triángulo dibuja.

- Con color azul las medianas.

- Con color anaranjado las mediatrices.

- Con color verde las bisectrices.

- Con color café las alturas.

- Une el baricentro, el circuncentro y el ortocentro.

¿Qué observas? _____________________________________________

a esta recta se le llama “Recta de Euler”.

5) Escribe cuáles son las propiedades de los triángulos isósceles.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Ejemplo

a) Hallar los ángulos x, y, z, w, tomando en cuenta que los triángulos AOB, BOC, COD

y DOA son isósceles.


72

Justificación

Ejercicio 8

1) Empleando las propiedades de los triángulos isósceles, determina el valor de x si 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ =𝐶𝐴̅̅ ̅̅

y 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ =𝐵𝐸̅̅ ̅̅ .

Justificación:

i) 2𝑤 + 60° = 180° Por propiedades de los

triángulos isósceles

despejamos w:

𝑤 = 180°−60°

2 ; 𝑤 = 60°

ii) 2𝑧 + 80° = 180° Por propiedades de los


despejamos z:

𝑧 = 180°−80°

2; 𝑧 = 50°

iii) 2𝑦 + 100° = 180° Por propiedades de los


despejamos y:

𝑦 = 180°−100°

2; 𝑦 = 40°

iv) 60° + 80° + 100° + 𝑂 = 360° Por formar

un ángulo perigonal. despejamos O:

𝑂 = 360° − 240° 𝑂 = 120°

v) 2𝑥 + 120° = 180° Por propiedades de los


despejamos x:

𝑥 = 180°−120°

2; 𝑥 = 30°

Por lo tanto 𝑥 = 30°, 𝑦 = 40°, 𝑧 = 50°, 𝑤 = 60°


73

2) Si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , determina el valor de x, α y β Justificación:

Polígonos

Podemos definir a un polígono (del griego poli y gonos) como una figura plana delimitada

por segmentos de recta y tiene muchos ángulos.

Los polígonos se denotan mediante letras mayúsculas ubicadas en los vértices del mismo y

se clasifican en regulares e irregulares.

Fig 4. Polígonos

En un Polígono es necesario considerar los siguientes elementos característicos.

a. Lado: cada uno de los segmentos de la línea poligonal cerrada.

b. Vértice: Son las intersecciones de dos lados consecutivos del polígono.

c. Diagonal: Son aquellas rectas que unen dos vértices no consecutivos.

d. Ángulos Internos: Son los que están formados por dos lados consecutivos


74

e. Ángulos externos Son los formados por un ángulo y la prolongación del lado

contiguo y adyacente

f. Perímetro (p): Es la suma de todos los segmentos de recta del polígono.

Además de las características anteriores, en un polígono regular se pueden distinguir:

g. Centro: punto que equidista de todos los vértices.

h. Ángulo central: Es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los

extremos de un lado.

i. Apotema (a): segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada

lado.

Se clasifican de acuerdo al número de lados, por ejemplo, un polígono de tres lados es un

triángulo, uno de 6 lados es un hexágono, etc. Te invito a investigar al respecto para que

puedas conocer más acerca de los polígonos y su clasificación.

Ejercicio 9

1) Dibuja las diagonales de la siguiente figura 5.

Fig 5. Hexágono


75

2) ¿Existe alguna forma de conocer las diagonales sin dibujarlas?

3) ¿Cuántas diagonales tiene un tetra decágono (14)? ___________________________

4) ¿Y un Triacontágono (30)?

______________________________________________

Ángulos interiores de un polígono

Para conocer el valor total de los ángulos interiores de un polígono, basta con saber que en

un triángulo la suma de sus ángulos internos es de 180º. Por lo tanto, si en un cuadrado se

forma dos triángulos como se muestra en la figura 3.2, la sumatoria de sus ángulos internos

es de 360°

Fig 6. Ángulos interiores de un polígono regular

De tal manera que, para conocer la suma de los ángulos internos de un polígono, es necesario

saber cuántos triángulos se forman en la figura y realizar la sumatoria de los ángulos.

Ejemplo

¿Cuántos triángulos se forman en el siguiente dodecágono al trazar todas las diagonales desde

un solo vértice? Indica la sumatoria de ángulos interiores del dodecágono.

i) Tomamos el vértice A de referencia en el

dodecágono y comenzamos a trazar las diagonales

desde ese punto.


76

ii) Trazamos todas las diagonales desde el punto A,

como se observa en la Figura 7.

iii) En un dodecágono se forman 10 triángulos, ya que la

sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es

de 180°, multiplicamos los 10 triángulos por 180°.

Por lo tanto, la suma de los ángulos internos de un

dodecágono mide 180°. Fig 7.

Ejercicio 10

1) Las siguientes figuras son polígonos regulares: Indica 1) ¿Cuántos triángulos se forman

en cada una? 2) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cada figura regular? 3)

¿Cuánto suma 𝑥 + 𝑦’?

Área de un polígono Regular:

El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema

dividido entre dos (𝐴 =1

2𝑎 ∗ 𝑝)

Área de un polígono irregular:

Para calcular el área de un polígono irregular cualquiera debemos basarnos en métodos

indirectos.


77

Para conocer el área de triángulos irregulares, basta con aplicar

la fórmula de Herón.

Herón de Alejandría, quien vivió hacia el siglo III a. de C. Son

conocidas varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por

la llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de

un triángulo conocidos los tres lados. No es necesario por tanto conocer la altura ni ninguno

de los ángulos. Si llamamos s al semiperímetro y a, b, c a los tres lados [recursostic, 2016]:

𝑺 =𝒂 + 𝒃 + 𝒄

𝟐. 𝑨 = √𝑺(𝑺 − 𝒂)(𝑺 − 𝒃)(𝑺 − 𝒄)

De tal manera que el área de un polígono irregular será la suma de las áreas de sus

componentes.

Ejemplo. Fórmula de Herón.

Determinar el área del triángulo de lados 𝑎 = 5, 𝑏 = 3 y 𝑐 = 6

Justificación

i) Aplicando la fórmula de Herón determinamos el área del triángulo ya que es un

triángulo irregular:

𝑺 =a + b + c

2. A = √S(S − a)(S − b)(S − c)

ii) donde S es llamado semiperímetro

𝑺 =5+3+6

2 = 7


78

iii) Ya teniendo el semiperímetro, calculamos el área

A = √7(7 − 5)(7 − 3)(7 − 6)

A= 2√14

Ejemplo. Área de polígonos regulares.

La longitud de un lado de un hexágono regular es 4 cm. Calcular su apotema y su área.

Justificación

i) Dibujamos el hexágono con centro O,

trazamos la apotema y dos diagonales

como se observa en la Figura 8 A.

Fig 8 A.

ii) Por ser un polígono regular, las

diagonales miden lo mismo, formándose

así dos triángulos equiláteros con lado

4cm y ángulos internos de 60° como se

muestra en la Figura 8 B.

Fig 8 B.

iii) Por lo que el triángulo AOB tiene ángulos internos de 30°, 60° y 90° como se

muestra en la figura. Por lo tanto, AB=2, OA=4 y aplicando el teorema de

Pitágoras determinamos el valor de la apotema


79

Fig 8 C.

iv) Como es un polígono regular, calculamos el área sabiendo que es igual al perímetro

(p) por apotema (𝑎) entre dos.

Ejercicio 11

1) Si un edificio cuadrado y un edificio con forma de hexágono regular tienen el mismo

perímetro (p), ¿Cuál de los dos edificios tiene mayor área?

Nota: Toma como perímetro de ambas figuras el de un cuadrado.

2) Si el área de un cuadrado es de 81, calcula:

a) su lado, b) su perímetro, c) su diagonal.

Calculamos la apotema

𝑎 = √𝑂𝐴2 − 𝐴𝐵2

𝑎 = √42 − 22

𝑎 = √12

𝑎 = 2√3

Calculamos el perímetro

𝑝 = 𝑛𝑥𝑙

𝑝 = 6𝑥4

𝑝 = 24

Calculamos el área:

𝐴 =1

2𝑎 ∗ 𝑝

𝐴 =1

2(2√3)(24)

𝐴 = 24√3


80

3) Determina el área de la parte gris de la siguiente figura.

4) Calcula el área de una banqueta de 1.20 m de ancho y que rodea una plaza rectangular

de 90 m de largo y 65 m de ancho.

Ejemplo. Áreas de polígonos irregulares

Obtén el área de la siguiente figura:

Debido a que no es una figura regular, dividiremos la figura

en figuras conocidas.

Hemos dividido la figura en un rectángulo de lado 3 y 2, un

triángulo rectángulo y un rectángulo de lado 2 y 7.


81

Obtenemos el área de cada figura, comenzando por el

rectángulo de base 2 y altura 3

Área del rectángulo 1:

A= ba

A= 2.3 = 6 u2

Área rectángulo 2:

𝐴 = 𝑏𝑎

𝐴 = 2.7 = 14 𝑢2

Área del triángulo

A= 𝑏ℎ

2

A= 4

2 = 2u2

Sumamos las áreas para determinar el área total

Área del rectángulo 1 + área del rectángulo 2 + área del

triángulo

A total= 6u2 + 14 u2+ 2 u2

A total = 22u2


82

Ejercicio 12

1) Determina el área de las siguientes figuras: Justificación

a)

b) Justificación

Círculo y Circunferencia

Ejercicio 13

1) En la siguiente figura escribe en el recuadro el nombre de cada una de las rectas y

segmentos señalados.


83

2) Construye la recta tangente a la circunferencia en el punto B.

3) Construye las rectas tangentes a la circunferencia desde el punto C.

4) Traza las mediatrices de las cuerdas que se señalan y localiza el centro de la

circunferencia.


84

5) Para confirmar lo mencionado en el recuadro, dibuja dichos resultados en las

siguientes circunferencias.

Ejemplo

Halla el diámetro de un círculo de 78.5 cm2 de área.

Resultados importantes:

a. La perpendicular en el punto medio de una cuerda pasa por

el centro de la circunferencia.

b. La perpendicular en el punto de tangencia pasa por el centro

de la circunferencia.

Punto de tangencia

cuerda

Justificación:

𝐴 = 𝜋𝑟2 Área de una circunferencia

Despejando r:

𝑟 = √𝐴

𝜋

Sustituyendo valores obtenemos:

𝑟 = √78.5

3.1416

𝑟 = 5

𝑑 = 2𝑟 el diámetro es dos veces el radio

𝑑 = 2(5)

𝑑 ≈ 10 𝑐𝑚


85

Ejercicio 14

1) En la clase de física se han realizado diferentes mediciones de objetos dentro de los

cuales estaba un balón. He rodeado con una cuerda la circunferencia del balón, el cual

mide 93.5 cm de longitud. ¿Cuál es el radio del balón?

2) Halla el diámetro de una circunferencia cuya longitud es 12.5 cm

Ejemplo

Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio r = 10 u.

Solución:

Ejercicio 15

1) Se inscribe un semicírculo en un rectángulo de base 14 cm. Encuentra el área sombreada.

d = 2r = 2 (10) = 20 u Por ser el diámetro el doble del

radio

d2 = l2 + l2 Por el teorema de Pitágoras

d2 = 2 l2

2 l2 = (20)2 = 400

l2 = 400

2 = 200

A = l2 = 200 u2


86

2) En la figura se muestra un semicírculo con centro en el punto O, cuyo diámetro es 20

cm y un sector circular con centro en el punto P. Encuentra el área sombreada.


Ejercicio 1

1. 2 Punto

4 Recta

5 Segmento

6 Plano

Ejercicio 2

1. 1) 𝛼 = 57°, 2) 𝑏 = 22.5, 3) 𝛽 = 82°

Ejercicio 3

Nombre Propiedad

1 y 4 opuestos por el vértice congruentes

5 y 3 conjugados internos suplementarios

3 y 6 Alternos internos congruentes

5 y 8 Opuestos por el vértice congruentes

1 y 8 Alternos externos congruentes

6 y 7 Opuestos por el vértice congruentes

Ejercicio 4

1) 𝑥 = 60°, 𝑦 = 60° 2) 𝑥 = 36°


87

Ejercicio 6

1) 𝛽 = 80°, 𝜌 = 70°, 𝜔 = 30°

2) 𝑥 = 35, 𝐴 = 130°, 𝐵 = 125°, 𝐶 = 110°, 𝐷 = 105°, 𝐸 = 70°

3) 𝛼 = 45°, 𝑥 = 135°, 𝑦 = 135°

Ejercicio 7

1) d, e, a, f, e, g, b, c

Ejercicio 8

1) 𝑥 = 20°

2) 𝑥 = 57.5°, 𝛼 = 122.5°, 𝛽 = 17.5°

Ejercicio 10

1) hexágono 4 triángulos, octágono 6 triángulos

2) hexágono 720°, octágono 1080°

3) 𝑥 + 𝑦 = 150°

Ejercicio 11

1. Área cuadrado= 1

16𝑝2 Área hexágono=

√3

24𝑝2

2. l = 9u P = 36u d = 12.73u

3. A=34 u2

4. A = 377.76u2

Ejercicios 12

1) a) A = 21.65 u2 b) A= 6.20 u2

Ejercicios 14

1. r = 14.88 cm

2. d = 4 cm

Ejercicios 15

1. A= 21 cm2

2. A= 257cm2


88


Instrucciones:

1. Lee con atención cada pregunta o problema.

2. Escribe tus procedimientos, de forma clara y ordenada, en las hojas blancas.

4. Identifica el inciso de la respuesta correcta y escríbelo en la tabla siguiente.

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. Dado los valores de la terna de los segmentos, determina con cuáles se puede construir un

triángulo.

A) 4, 4 y 9 B) 3, 4, 6 C) 5, 6, 12 D) 6, 7, 14

2. Se tienen los ángulos A = 3x + 15 y B = 2x – 10. ¿Cuánto miden A y B, si son

suplementarios?

A) 125° y 45° B) 35° y 145 C) 120° y 60° D) 65° y 135°

3. Determina el nombre del punto D de la siguiente figura.

A) Circuncentro B) Baricentro

C) Ortocentro D) Incentro

4. Una altura y una mediana coinciden en todo triángulo

A) isósceles B) rectángulo C) escaleno D) acutángulo


89

5. En la siguiente figura las rectas AB y CD son paralelas, encuentra el valor de “y”.

A) -8 B) -12 C) 30 D) 32

6. Calcula el perímetro de un cuadrado si su diagonal mide

√98

A) 19.79 B) 28 C) 39.59

D) 49

7. Calcula el área de una banqueta de 1.20 de ancho que rodea a una plaza rectangular de

90 m de largo y 65 de ancho.

A) 187.44 m2 B) 377.76 m2 C) 5850 m2 D) 6037.40 m2

8. ¿Cuál es área de un tapete en forma de hexágono regular de 40 cm de lado?

A) 240.0 cm2 B) 2,078.5 cm2 C) 4,156.9 cm2 D) 4,800.0 cm2

9. Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y

29.6 cm respectivamente. ¿Cuánto mide el diámetro circunferencia?

A) 58 cm B) 51 cm C) 44 cm D) 37

10. En un cuadrado de lado 12 cm, se trazan 4 arcos de circunferencia como

muestra la figura. Calcula el área sombreada

A) 30.9 cm2 B) 113 cm2 C) 144 cm2 D) 452.3 cm2


90

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B B C A C B B C D A

Unidad 4. Congruencia, semejanza y teorema de Pitágoras

91

UNIDAD 4. CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE

PITÁGORAS.

Presentación

En esta unidad de “Congruencia, semejanza y teorema de Pitágoras”, se pretende que, a partir

del conocimiento básico de conceptos de la Geometría, introducir al alumno al razonamiento

deductivo y a la comprensión del porqué de las demostraciones. El Propósito es Aplicar los

conceptos de congruencia y semejanza y usar el Teorema de Pitágoras en la resolución de

problemas que involucren triángulos. Argumentando deductivamente sobre la validez de

algunas afirmaciones geométricas y procesos en la resolución de problemas

El objetivo es que el alumno valore la importancia de proporcionar una argumentación como

la vía que otorga validez al conocimiento geométrico. Aplique conceptos, procedimientos y

resultados de la Geometría Euclidiana para resolver problemas de congruencia, semejanza y

del teorema de Pitágoras.

El mayor mérito de los sabios griegos fue el transformar la

geometría al cambiar el enfoque de la misma de empírico a

deductivo. Se menciona que uno de los protagonistas de esta

transformación fue también Tales de Mileto, filósofo, astrónomo y

matemático griego nació en Mileto en el año 624 a. de C. y murió

a la edad de 78 años (548-545 a. de C). Entre los resultados más

conocidos de Tales se encuentra el teorema que lleva su nombre,

relativo a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos

rectas cortadas por un sistema de paralelas.


92

Tales de Mileto fue el primer geómetra griego uno de los siete sabios de Grecia y tuvo como

discípulo y protegido a Pitágoras posteriormente Platón en su academia lugar donde impartió

sus enseñanzas se podía leer la siguiente inscripción: NADIE ENTRE QUE NO SEPA

GEOMETRÍA. Platón sostiene en el Timeo que dios dio a todas las cosas la mayor perfección

posible componiendo sus elementos (fuego, tierra, aire y agua) por medio de los cuerpos

geométricos más perfectos. Platón contempló la geometría más con ojos de poeta que con

mirada científica.

La figura de Pitágoras, nacido en la isla griega de Samos, está

envuelta en un halo de leyenda y misterio casi de tipo religioso.

Viajó por Egipto y Babilonia (y se dice que llegó a la India),

impregnándose de conocimientos matemáticos, astronómicos y

filosóficos. Tras ese viaje retornó al mundo griego, instalándose en

Crotona, ciudad de la región de Magna Grecia, al sur de Italia.

Allí fundó la sociedad secreta de los Pitagóricos que alcanzó más de

600 adeptos. Pitágoras es universalmente conocido por el famoso

Teorema (En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos) que, sin embargo, ya era conocido varios siglos antes en China y

aplicado tanto en Egipto (para medir campos) como en Babilonia (se conservan tablillas con

“ternas pitagóricas”).

Conceptos claves

Congruencia: En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen los lados

iguales y el mismo tamaño.

Congruencia de triángulos: Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes

tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Criterios de Congruencia: Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para

que sean congruentes se establecen a través de los llamados teoremas de congruencia los

cuales son:

● 1° Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados

respectivos y el ángulo comprendido entre ellos.


93

● 2° Caso ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos

respectivos y el lado entre ellos.

● 3° Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.

Lados homólogos. Se dicen ángulos homólogos aquellos que son iguales y Lados

Homólogos los opuestos a los ángulos homólogos.

Razón. Se llama razón de semejanza (escala) al cociente entre dos longitudes

correspondientes.

r = a' / a

Proporción. Se llama proporción a la igualdad de dos razones.

Cateto. Un cateto, en geometría, es cualquiera de los dos lados menores de un triángulo

rectángulo, los que conforman el ángulo recto.

Hipotenusa. La hipotenusa es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo y además

es el lado opuesto al ángulo recto.


94

Congruencia

La congruencia de triángulos se basa en el estudio de la igualdad entre triángulos, es decir,

gracias a esto podemos saber si esos dos triángulos o más son congruentes (iguales) entre sí.

Dicho de modo sencillo, nos permite comparar varios triángulos y saber si son iguales (si

tienen los mismos ángulos en sus vértices y si sus lados miden lo mismo).

Entonces, sabemos que, si dos triángulos tienen tres ángulos y tres lados iguales entre sí, son

iguales (o congruentes), ahora bien, es necesario en todos los casos verificar uno a uno todos

esos elementos, para ello vamos a utilizar los llamados criterios de congruencia, viendo cada

una de las posibilidades por separado:


95

1º LLL (lado, lado, lado)

Considerando dos triángulos de lados a, b y c y a’, b’ y c’, se dice que son congruentes, si

sus lados son iguales entre sí, es decir:

2º LAL (lado, ángulo, lado)

Considerando los mismos triángulos de lados a, b y c y a’, b’ y c’ respectivamente, se dice

que son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo que se forma con la unión de estos

(en el vértice).

En este caso hemos subrayado en negrita los lados congruentes que forman los ángulos α y

α’, también congruentes entre ellos, es decir, que tienen la misma amplitud.

3º ALA (ángulo, lado, ángulo)

Teniendo un lado igual (que mida lo mismo, es decir, que sea congruente), y con los

ángulos que se forman en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos

se les denomina adyacentes al lado y los denominaremos α y β y α´ y β´ para los del otro

triángulo.


96

Ejercicio 1

Considera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o ángulos

respectivamente congruentes. ¿En qué casos se puede asegurar la congruencia del par de

triángulos? Indica el criterio utilizado en cada caso:

1)

2)


97

3)

4)

Ejemplo. En los siguientes casos demostraremos la congruencia entre triángulos.

1)

Solución

El 𝑅𝑍̅̅ ̅̅ es una altura al 𝑇𝑆̅̅̅̅ por lo cual se forman 2 triángulos rectángulos por consiguiente el

segmento 𝑅𝑇̅̅ ̅̅ ≡ 𝑅𝑆̅̅̅̅ y el �̂� es congruente al �̂�, por lo tanto, el ΔRST es un triángulo isósceles

y entonces el 𝑇𝑍̅̅̅̅ ≡ 𝑍𝑆̅̅̅̅ . Aplicando el criterio de LLL de congruencia finalizamos

demostrando que el triángulo ΔRZS es congruente con el ΔRZT.


98

2)

Solución

El ΔRST es isósceles por consiguiente el �̂� es igual al �̂�, entonces el 𝑅𝑍̅̅ ̅̅ es una perpendicular

al 𝑇𝑆̅̅̅̅ por lo cual se forman 2 triángulos rectángulos, por consiguiente, el 𝑅𝑇̅̅ ̅̅ ≡ 𝑅𝑆̅̅̅̅ y el �̂� es

congruente con el �̂�.

Aplicando el criterio de LLL de congruencia finalizamos demostrando que el triángulo ΔRST

es un triángulo isósceles y que el ∆𝑅𝑍𝑆 ≡ ∆ 𝑅𝑍𝑇.

3)

Solución

El ángulo con vértice en E es congruente con el ángulo con vértice en X por lo que es igual

de 900. El �̂� es congruente con el �̂� el 𝐷𝑍̅̅ ̅̅ es congruente con 𝐹𝑌̅̅̅̅ por lo tanto, aplicando el

criterio de ALA podemos concluir que 𝛥𝐷𝐸𝐹 ≡ 𝛥𝑋𝑌𝑍.

Ejercicio 2

1) En el siguiente ejercicio establece la definición de congruencia entre dos triángulos.

Explica con tus propias palabras lo que significan los criterios de congruencia LAL, ALA y

LLL.


99

LAL

ALA

LLL

2) En los ejercicios siguientes Analiza la situación e indique cuál de los 3 postulados

sobre la congruencia (LLL, LAL o ALA) podrían usarse para probar que los triángulos

son congruentes

I.

II.

III.


100

3) Construye un triángulo congruente al siguiente, explicando la forma en que lo

construiste

4) Con el criterio de congruencia LLL, construye un triángulo congruente al siguiente.

Ejercicio 3

En los siguientes ejercicios analiza la situación e indica cuál de los tres criterios (LLL,

ALA y LAL) se puede utilizar para demostrar que los triángulos son congruentes, como en

el ejemplo.


101

a) En la figura 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ biseca a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅

Justifica que ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ 𝐴𝐶𝐷

Justificación:

Con los datos que se proporcionan tenemos que:

∗ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ divide en 2 partes iguales (biseca) al segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , por

lo que 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐷𝐶̅̅ ̅̅

∗ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es congruente a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ por lo que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅

∗ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ es lado común de los dos triángulos que se forman, por

lo que 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐷̅̅ ̅̅

Por lo anterior, el criterio mediante el cual se puede justificar que ∆𝐴𝐵𝐷 ≡ ∆𝐴𝐶𝐷 es el LLL

1) En la figura, 𝑅𝑇̅̅ ̅̅ biseca al ángulo 𝑄𝑅�̂� y 𝑅𝑇̅̅ ̅̅ biseca al ángulo 𝑄𝑇�̂�.

Justifica que ∆𝑅𝑇𝑄 ≅ ∆𝑅𝑇𝑆

2) En la figura 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ ⊥ 𝑀𝑂̅̅ ̅̅ ̅ y 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ biseca al ángulo 𝑀𝑃�̂� y, por lo tanto, es isósceles.

Justifica que ∆𝑀𝑃𝑁 ≅ ∆𝑁𝑃𝑂

3) En la figura 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ se bisecan. Justifica que

∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐸𝐷𝐶


102

Ejemplo Justificación

x + 8 = 3x Ec. 1

Por ser lados iguales

3y – 6 = 2x + 7 Ec. 2

De la ecuación 1 se tiene que:

3x – x = 8, de donde

Ejercicio 4. En cada una de las siguientes figuras los triángulos son congruentes. Halla el

valor de 𝑥, 𝑦.

1) Justificación

2) Justificación

x = 4


103

Semejanza

En geometría, el término “semejante” se usa en el sentido de que al comparar dos o más

figuras se dice que tienen la misma forma. Entenderemos como figuras semejantes aquellas

que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Así, los círculos que

se muestran enseguida son claramente semejantes. Lo mismo sucede con los triángulos

equiláteros.

¿Dos triángulos congruentes como el ∆𝐴𝐵𝐶 𝑦 𝑒𝑙 ∆𝑃𝑄𝑅 son semejantes? Explica tu

respuesta.


104

Ejemplo

Dadas las figuras siguientes, indica si son semejantes, y explica por qué.

Las cruces son figuras semejantes pues tienen la misma forma, aunque diferente tamaño.

A B P Q

C D R S

El trapecio ABCD es semejante al trapecio PQRS, pues tienen la misma forma, aunque

diferente tamaño.

Nótese que los ángulos correspondientes del trapecio ABCD son iguales a los ángulos

correspondientes del trapecio PQRS, es decir, �̂� = �̂�, �̂� = �̂�, �̂� = �̂�, �̂� = �̂� Y que los lados

correspondientes del trapecio ABCD son más pequeños que los lados correspondientes del

trapecio PQRS.

Ejercicio 5

1) Explica cuando dos figuras son semejantes.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_____________________________________________


105

2) Figuras semejantes: En las siguientes figuras indica cuales son semejantes y cuales no

lo son y explica por qué.

Semejanza de triángulos

La semejanza está identificada a la proporcionalidad, dado que los lados correspondientes

de polígonos semejantes son proporcionales y sus ángulos, iguales.

Por ejemplo, consideremos los ∆𝐴𝐷𝐸 𝑦 ∆𝐹𝐵𝐶 de la siguiente figura.


106

Observa que sus ángulos respectivos son iguales y que cada lado del triángulo FBC mide el

doble que el respectivo del ∆𝐴𝐷𝐸. Los triángulos anteriores son semejantes, lo que se denota

como ∆𝐹𝐵𝐶 ≈ ∆𝐴𝐷𝐸. A los pares de lados, uno de cada triángulo que se oponen a los

ángulos congruentes (también uno en cada triángulo) se les llama lados homólogos o

correspondientes; así, 𝐹𝐵̅̅ ̅̅ es el lado homólogo de 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es el lado homólogo de 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , y 𝐹𝐶̅̅̅̅

es el lado homólogo de 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ .

Asimismo, observa que sus lados son proporcionales esto es,

24

8

AD

FB ; 2

83.6

66.13

DE

BC ; 2

6

12

AE

FC

la razón de semejanza es 2

O bien si comparamos los lados del triángulo ADE con los lados homólogos del triángulo

FBC obtenemos;

2

1

8

4

FB

AD ;

2

1

66.13

83.6

BC

DE ;

2

1

12

6

FC

AE

la razón de semejanza es 1

2

La razón de semejanza de los lados homólogos o correspondientes se llama también razón o

constante de proporcionalidad.


107

Ejercicio 6.

1) Dos triángulos son semejantes cuando __________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

2) Justifique la semejanza de los siguientes triángulos haciendo uso de la definición

Criterios de semejanza de triángulos

Ejercicio 7

1) Explica lo que significan los criterios de semejanza LAL, AA y LLL.

LAL ______________________________________________________

___________________________________________________________

AA _______________________________________________________

____________________________________________________________

LLL ________________________________________________________

_____________________________________________________________


108

2) Los siguientes triángulos son semejantes. Encuentra la razón de semejanza al comparar

el triángulo pequeño con el grande.

3) Indica porqué criterio los siguientes triángulos son semejantes. Justifica tu respuesta.

a)


109

b)

c)


110

Razón entre perímetros y entre áreas de triángulos semejantes

Ejercicio 8

1) Explica cómo es la razón entre los perímetros de triángulos semejantes y la razón de

semejanza.

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_______________________________________________________

2) Los triángulos ABC y DEF son semejantes encuentra el perímetro de cada triángulo y la

razón entre sus perímetros. Explica cómo es la razón entre los perímetros y la razón entre

los lados de los triángulos.

3) Explica cómo es la razón entre las áreas de triángulos semejantes.

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_______________________________________________________

4) Los triángulos MNL y PQR son semejantes encuentra el área de cada triángulo y la razón

entre sus áreas. Explica cómo es la razón entre las áreas y la razón entre los lados de los

triángulos.


111

5) Encuentra el valor de x. ¿Son semejantes las figuras que se forman con la sombra del

árbol y la vara? Razona la respuesta. En caso afirmativo, halla la razón de semejanza.

¿Cuál sería la escala entre ambas?

Halla sus áreas y perímetros. Halla la razón de sus áreas. Halla la razón de sus perímetros.

6) Dado que los siguientes triángulos son semejantes encuentra el valor de x.


112

En la siguiente figura, AB DE . Halla el valor de x.

7) Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 7 metros y, en el mismo plano,

una barra vertical que mide 2 metros de altura proyecta una sombra de 1.5 metros.

Teorema de Tales

Teorema de Tales

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus

lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado


113

En el ∆𝐸𝐹𝐶 como

𝐷𝐺̅̅ ̅̅ // 𝐹𝐶̅̅̅̅ entonces

∆𝐸𝐹𝐶~∆𝐸𝐷𝐺 de donde:

EG

EC

DG

FC

ED

EF

Ejercicio 9

En los siguientes ejercicios determina el valor de x.

1)

2)


114

3)

4)

5)


115

6) En el siguiente triángulo, 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ // 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ hallar el valor de x.

Teorema de Pitágoras

Consideremos un triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades.


116

Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto se

llama hipotenusa, la cual mide 5 unidades en este caso.

El área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los cuadrados menores, es decir:

Esta relación se cumple en todo triángulo rectángulo y recibe el nombre de Teorema de

Pitágoras.

Ejercicio 10

Enuncia el teorema de Pitágoras con los datos de las siguientes figuras

1)

z

x

Teorema: _______________________

y

2) m

n o

Teorema:_____________________________

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo la suma de las áreas de

los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al

área del cuadrado construido sobre la hipotenusa


117

Ejemplo.

Contesta de acuerdo a los datos que se proporcionan, acerca de un triángulo rectángulo.

¿Cuánto mide un cateto si la hipotenusa y el otro cateto miden 20 y 12 respectivamente?

Solución

Hipotenusa = 20, cateto = 12. Teorema de Pitágoras

Sustituyendo se tiene

Ejercicio 11. Contesta cada pregunta, de acuerdo a los datos que se proporcionan, acerca

de un triángulo rectángulo.

1. ¿Cuál es el valor de la hipotenusa si los catetos miden 6 y 8?

2. ¿Cuál es el valor de la hipotenusa si los catetos miden 5 y 7?

3. ¿Cuánto mide la hipotenusa si los catetos miden √5 y 3?

4. ¿Cuánto mide un cateto si el otro cateto y la hipotenusa miden √3 y 3√3

respectivamente?

5. ¿Cuánto mide un cateto si el otro cateto mide √5 y la hipotenusa √17 ?

Ejemplo. Indica si en la siguiente tercia sus medidas corresponden a los lados de un

triángulo rectángulo. Justifica tu respuesta.

2, 6,2√10 Justificación:

(2√10)2

= (2)2 + (6)2

4(10) = 4 + 36

40 = 40

∴ es un triángulo rectángulo


118

Ejercicio 12. Indica cuáles de las siguientes ternas son medidas posibles de los lados de un

triángulo rectángulo y cuáles no. Justifica tus respuestas.

1) 4, 2, 20

2) 12, 5 y 13

3) 36, 64, 110

4) 1, 1, 2

5) 5, 6, 8

Ejemplo

a) Para darle mayor estabilidad a una antena de 72m de altura, en una estación radiofónica

se desea colocar tirantes de 120 m. Si se proyecta tender los tirantes desde la parte más alta

de la torre ¿A qué distancia del pie de ésta deben construirse las bases de concreto para fijar

dichos tirantes?

Justificación

Ejercicio 13. Resuelve los siguientes problemas, como en el siguiente ejemplo.

1) Un terreno mide 2 000 m de largo por 1 500 m de ancho, pero se localiza en medio una

colina que impide una medición directa ¿cuánto mide la diagonal de este terreno?


119

2) Un salón mide 3 m de altura, 6 m de ancho y 10m de largo (𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ). Si un insecto debe

caminar desde A (una esquina) hasta B (el punto medio del lado 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ). ¿Cuál es la distancia

mínima que deberá caminar el insecto para ir de A a B?

3) Se tiene una pirámide de base cuadrada. Si los triángulos son equiláteros y sus lados

miden 2 m. ¿Cuál es la altura de la pirámide?

4) Para determinar el ancho AC de un río, un hombre tomó las medidas indicadas en la

figura siguiente en metros. El 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 𝑦𝐵𝐷̅̅ ̅̅ perpendicular a 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , ¿cuáles

la anchura del río?


120

5) En una urbanización se han protegido 310 ventanas cuadradas de 126 cm de lado

con una cinta adhesiva especial, como se ve en la figura. ¿Cuántos metros de cinta

se han empleado?


Ejercicio 1

1) Criterio de LLL.

2) Criterio de LLA.

3) Criterio de LLA

4) Criterio de ALA

Ejercicio 4

1) x = 6 y = 48

2) x = 22 y = 11

Ejercicio 5

1. Dos figuras son semejantes si sus segmentos correspondientes, u homólogos, son

proporcionales y sus ángulos iguales.

2. Las mesas son semejantes porque tienen la misma forma y diferente tamaño. Los caballos

son también semejantes pues tienen la misma forma y su razón de semejanza es uno pues

tienen el mismo tamaño. El paralelogramo y el rombo no son semejantes pues no tienen la

misma forma. Así como el triángulo rectángulo y el isósceles.

Ejercicio 6

1. Cuando dos triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son congruentes y los

lados correspondientes son proporcionales.

2. El ∆𝐴𝐷𝐸~∆𝐹𝐵𝐶 porque sus ángulos homólogos respectivos son iguales; 35°, 70° y 75° y

sus lados correspondientes son proporcionales, esto es:

𝐴𝐷̅̅ ̅̅

𝐹𝐵̅̅ ̅̅=

𝐷𝐸̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅=

𝐴𝐸̅̅ ̅̅

𝐹𝐶̅̅ ̅̅ es decir,

7

21=

4

12=

10

30


121

Ejercicio 7

1. Los criterios de semejanza de triángulos son

LAL: dos triángulos son semejantes si un ángulo de un triángulo es congruente con un

ángulo del otro, y los lados que forman estos ángulos son proporcionales.

AA: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos respectivos son congruentes.

LLL: Dos triángulos son semejantes si sus lados respectivos son proporcionales.

2. Al comparar el triángulo pequeño entre el grande se obtienen las siguientes proporciones:

1.8

2.4=

2.7

3.6=

3

4 de donde la razón de semejanza es: 𝑟 =

3

4= 0.75

3. a) El criterio de semejanza de los triángulos es LLL, porque sus lados homólogos son

proporcionales, esto es:

12

3=

16

4=

20

5 o bien

3

12=

4

16=

5

20

b) El criterio de semejanza que cumplen los triángulos es LAL, porque tienen un lado

homólogo congruente, 90° y los lados que lo forman son proporcionales, esto es:

5

10=

9

18

c)El criterio de semejanza que cumplen los triángulos es AA, porque tienen dos ángulos

congruentes, 28° y 124°.

Ejercicio 8

1. La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes y la razón de su semejanza es

la misma; esto es tienen la misma razón.

2. Como los triángulos son semejantes, la razón de semejanza r del ∆𝐴𝐵𝐶 con respecto a

∆𝐷𝐸𝐹 esta dada por

𝑟 =4

8=

4

8=

2

4= 0.5

Por otra parte, el perímetro del ∆𝐴𝐵𝐶 es P1= 10 y el perímetro del ∆𝐷𝐸𝐹 es P2 = 20.

La razón entre los perímetros de los triángulos ΔABC y ΔDEF es:

𝑟 =𝑃1

𝑃2=

10

20= 0.5


122

Por lo tanto, las razones entre los perímetros de los triángulos y la razón de su semejanza es

la misma.

3. La razón entre las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de

semejanza.

4. Sea A1 la razón del ∆𝑀𝐿𝑁 y A2 el área del ∆𝑄𝑃𝑅, denotemos a r’ la razón entre sus

áreas por lo cual 𝑟 ′ =6

54=

1

9 . Por otra parte, la razón de semejanza del ∆𝑀𝐿𝑁 y el

∆𝑄𝑃𝑅 es:

𝑟 =𝑀𝐿̅̅ ̅̅

𝑄𝑃̅̅ ̅̅=

𝐿𝑁̅̅ ̅̅

𝑃𝑅̅̅ ̅̅=

𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅

𝑄𝑅̅̅ ̅̅=

1

3

por lo que la razón entre las áreas r’ es igual al cuadrado de la razón de semejanza, esto es:

𝑟 ′ = 𝑟2 = (1

3)

2=

1

9.

5. Las figuras que se forman son semejantes, el valor de x = 8, la razón de semejanza es

r= 5.333. La escala del árbol a la vara es 8:1.5. Las áreas de la figura del árbol es A1=48 y

la de la vara es A2 = 1.6875. La razón del área es 𝑟 ′ =𝐴1

𝐴2=

48

1.6875= 28.444 . Los

perímetros de la figura del árbol es P1=34.42 y la de la vara P2= 6.454. La razón de los

perímetros es 𝑟 ′′ =𝑃1

𝑃2=

34.42

6.454= 5.333. De donde concluimos que la razón de

semejanza es igual a la razón entre sus perímetros, esto es, r = 5.333 = r´´. y la razón de

semejanza es igual al cuadrado de la razón entre las áreas, es decir, r´= r2 =

.

6. Como los triángulos son semejantes se tiene 4.5

3=

𝑋

5 de donde x = 7.5

7. Como se forman los triángulos semejantes ABC y ECD se tiene 21

𝑋=

18

6 de donde x=7

8. Como se forman triángulos semejantes con las sombras que se proyectan se tiene la

proporción de donde la altura del árbol h = 9.33

Ejercicio 9

1) x = 2.666 2) x = 2.4 3) x = 10.5 4) x = 10 5) x = 5.333 6) El valor de x = 12


123

Ejercicio 10

1) z2 = x2 + y2 2) o2 = m2 + n2

Ejercicio 11

1) 2) 𝑐 = √74 3) 𝑐 = √14 4) 𝑏 = √24 5) 𝑏 = √12

Ejercicio 12

1) no es un triángulo rectángulo 2) es un triángulo rectángulo 3) no es triángulo rectángulo

4) no es triángulo rectángulo 5) no es triángulo rectángulo

Ejercicio 13

1) La diagonal del terreno mide 2,500 metros 2) La distancia mínima que deberá caminar el

insecto para ir de A a B es de √70 = 8.366 3) La altura de la pirámide es de √2 = 1.4142

4) La anchura del río es de 16 5) Se han empleado 552.39 metros de cinta.


1. En una hoja aparte (hoja de operaciones) escribe el desarrollo de tus respuestas.

2. Para cada ejercicio elige la opción que corresponde a tu resultado y escríbela en la

casilla correspondiente en la tabla de respuestas.

3. Compara tus respuestas con las que vienen el final y decide si ya estás listo(a) para

presentar tu examen extraordinario.

RESPUESTAS

1 2 3 4 5

RESPUESTAS

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1.- ¿Cuál criterio de congruencia de triángulos permite deducir en la figura que y – 8 = 25º

y que x + 7 = 35º?


124

A) LLL B) LAL

C) ALA D) AAA

2.-Si se unen los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cómo son, entre sí, los

triángulos que se forman?

A) semejantes B) congruentes C) recíprocos D) proporcionales

3.-Si los triángulos de la figura son semejantes, ¿cuánto vale la constante de

proporcionalidad?

A) 𝑘 = 4 B) 𝑘 = 3 C) 𝑘 = −2 D) 𝑘 = 1

4.- En la siguiente figura, la recta AD es la bisectriz de <BAC y que 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶. El criterio

con el que se puede justificar que ∆𝐵𝐴𝐷 ≅ ∆𝐶𝐴𝐷 es

A) Ángulo-Ángulo-Ángulo.

B) Ángulo-Lado-Ángulo.

C) Lado- Ángulo-Lado.

D) Lado-Lado-Lado.

P

y - 8 350

Q 250 x + 7 R


125

5.- Identifica el par de triángulos congruentes.

I II III IV

a) I - II b) I - III c) II - III d) II - IV

6. Determina el valor de “x” si los dos triángulos son semejantes

A) x = 6 B) x = 5 C) x = 4 D) x = 3

= 64o


126

7. En el siguiente triangulo, AB // DE. Calcula el valor de x.

A) x = 4 B) x = 6

C) x = 12 D) x = 1

8. ¿Cuál es el área de la figura que se muestra a continuación?

A) 252 m2 B) 225 m2 C) 144 m2 D) 126 m2

9. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y un cateto miden 29 y 20 cm respectivamente.

¿Cuánto mide el otro cateto?

A) 21 cm B) 35 cm C) 49 cm D) 81 cm

10. En una fotografía, dos triángulos se ven de altura 4.2 y 3.8 cm respectivamente. Si la

altura real del mayor es de 1.68 m, ¿cuál es la altura real del menor?

A) 0.84 m B) 1.25 m C) 1.52 m D) 1.85 m


127

11. La ciudad A se encuentra 17 km al oeste y 8 km al norte de la ciudad B. ¿Cuál es la

distancia lineal entre las dos ciudades?

A) 9.30 km

B) 10.17 km

C) 18.78 km

D) 22.41 km

12. Para que el siguiente triángulo sea rectángulo, ¿cuál debe ser el valor de x?

A) 4 B) 6 C) 16

D) 18

13. Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y

29.6 cm respectivamente. ¿Cuánto mide el diámetro circunferencia?

A) 58 cm B) 51 cm C) 44 cm D) 37 cm

14. Dado el siguiente esquema, calcula la distancia “x” a la que se encuentra el bote de la

playa

A) 114.8 m

B) 173.0 m

C) 259.8 m

D) 300.0 m


128

15. Calcula el perímetro de un cuadrado si su diagonal mide √98.

A) 19.79 B) 28 C) 39.59 D) 49

RESPUESTAS

1 2 3 4 5

C A A C A

RESPUESTAS

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B D D A C C B D C B

129

Bibliografía básica

Aguilar, M. A., et al (2009). Álgebra. México, Pearson.

Swokowski, E. y Cole, J. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México:

Cengage.

Smith, S., et al (2001). Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. México: Addison

Wesley.

Bibliografía complementaria

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Burrill Gail F., Cummins Jerry J., Kanold Timothy D., Boyd Cindy J., Malloy Carol, (2004)

Geometría Integración aplicaciones y conexiones. México: McGraw-Hill Interamericana.

Cidead. (25/05/2017). Matemáticas 1° ESO. Recuperado de:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_poligonos

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Clemens Stanley R., O’Daffer Phares G., Cooney Thomas J., (1998). Geometría. México:

Pearson Educación.

Cuellar J. Antonio, (2016) Matemáticas II. México: McGraw-Hill Interamericana.

Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. Life is a Story Problem.org. (2009-

04-03). Función. Recuperado de http://www.allmathwords.org/es/f/function.html.

Jiménez Douglas (2005), Geometría el encanto de la Forma. Venezuela: CEC, SA.

Nichols Eugene D., Palmer William F., Schacht Jhon F., (1971). Geometría Moderna.

México: Compañía Editorial Continental.

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