universidad de sevilla escuela tÉcnica superior...

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

Departamento de Matemática Aplicada II Departamento de Ingeniería Química y Ambiental

Proyecto Fin de Carrera

‘MODELADO Y SIMULACIÓN DE UN REACTOR DE LECHO FLUIDO PARA LA COMBUSTIÓN DE

PARTÍCULAS DE CARBÓN’

Presentado por Lidia Montes Mateo para la obtención del título de Ingeniero Químico

Directores del Proyecto: D. Emilio Freire Macías D. Alberto Gómez Barea

Sevilla, Diciembre de 2004.

Modelado y Simulación de un Reactor de Lecho Fluido para la Combustión de Partículas de Carbón Lidia Montes Mateo

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A mis padres y a mi hermana, que fueron lo primero que me brindó la buena suerte.


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ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCIÓN.

1.1. Objeto del proyecto. 1.2. Antecedentes.

1.3. Motivación.

1.4. Estructura del presente Proyecto Fin de Carrera.

1.4.1. Modelado de reactores de lecho fluido. 1.4.2. Presentación del problema y su estructura matemática. 1.4.3. Resolución de los modelos con MATLAB. 1.4.4. Validación de los modelos desarrollados. 1.4.5. Conclusiones. 1.4.6. Organización y uso del CD.

2. MODELADO DE REACTORES DE LECHO FLUIDO.


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2.1. Introducción

2.2. Elementos básicos de la teoría de fluidización.

2.2.1. Clasificación de partículas 2.2.2. Regímenes de fluidización. 2.2.3. Comportamiento de sólidos en lechos fluidos.

2.3. Modelado de reactores según la teoría de 2 fases.

2.3.1.Modelo de Davidson y Harrison. 2.3.2.Modelo de Kunii y Levenspiel.

3. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA Y DE SU ESTRUCTURA MATEMÁTICA.

3.1. Introducción. 3.2. Descripción general del modelo.

3.3. Balance de población.

3.4. Ecuaciones de conservación.

3.4.1. Fase burbuja. 3.4.2. Gas intersticial de la fase emulsión. 3.4.3. Modelo de partícula.

3.5. Simplificaciones del modelo general.

3.5.1. Análisis de las ecuaciones de conservación en el caso en que la difusión de reactivos es el paso limitante y no existe reacción homogénea en la fase burbuja (M-Model). 3.5.2. Análisis de las ecuaciones de conservación en el caso en que la difusión de reactivos es el paso limitante y existe reacción homogénea en la fase burbuja (Rx-Model).

4. RESOLUCIÓN DE LOS MODELOS CON MATLAB.

4.1. Presentación de MATLAB. 4.2. Análisis matemático del M-Model.


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4.2.1. Presentación de la función del M-Model. 4.2.2. Método de Davidenko. 4.2.3. Resolución del M-Model con el método de Davidenko. 4.2.4. Métodos de resolución alternativos.

4.3. Análisis matemático del Rx-Model.

4.3.1. Presentación de la función del Rx-Model. 4.3.2. Funciones de Matlab: ode45 y fsolve. 4.3.3. Teorema fundamental del cálculo. 4.3.4. Resolución del Rx-Model.

5. VALIDACIÓN DE LOS MODELOS DESARROLLADOS.

5.1. Análisis crítico sobre el modelo original. 5.2. Validación del M-Model. 5.3. Validación del Rx-Model. 5.4. Conclusiones.

6. ORGANIZACIÓN Y USO DEL CD.

6.1. Contenido y organización del CD. 6.2. Archivos generales. 6.3. M-Model.

6.3.1. Carpeta Davidenko. 6.3.2. Carpeta MATCONT.

6.4. Rx-Model.

7. NOTACIÓN.


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8. REFERENCIAS. 1. INTRODUCCIÓN


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1.1. OBJETO DEL PROYECTO El presente proyecto tiene como objetivo mostrar, analizar y resolver eficientemente distintos modelos conocidos para un reactor de lecho fluido aplicado a la combustión de partículas de carbón. Todos los modelos que aparecen en el proyecto han sido formulados y publicados con anterioridad por D. Alfredo L. Gordon y D. Neal R. Amundson, profesores del Departamento de Ingeniería Química y Ciencia de los Materiales de la Universidad de Minnesota (Estados Unidos) [1,2]. La carencia de una resolución matemática apropiada y extensible a otro tipo de modelos, nos llevó a abordar este proyecto que, en cualquier caso, siempre puede llevarse más allá mediante un estudio matemático más sofisticado. Se detallan también los posibles desacuerdos e incorrecciones encontradas durante el estudio pormenorizado de los modelos antes citados. La finalidad principal es el desarrollo de una herramienta computacional numérica mediante el programa MATLAB que permita resolver los modelos planteados así como realizar un estudio de sensibilidad de los distintos parámetros que intervienen. Este procedimiento de trabajo no es exclusivo de la combustión de partículas de carbón en lecho fluido. Pretende ser un método genérico que permita resolver otros modelos con ecuaciones de conservación similares. A partir de las ecuaciones propias de otros casos (conservación de materia y energía) pueden obtenerse resultados análogos que podrán ser analizados desde el punto de vista de la ingeniería. 1.2. ANTECEDENTES Como se ha comentado con anterioridad, el modelado del proceso de combustión de partículas de carbón mediante un reactor de lecho fluido, ha sido estudiado con anterioridad por A. L. Gordon y N. R. Amundson, cuyas publicaciones han sido tomadas como referencia [1,2].


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Este proyecto pretende desarrollar la herramienta computacional que apoye los resultados de los modelos propuestos en los artículos publicados en la revista Chemical Engineering Science durante los años 1976 y 1978, titulados “Modelling of Fluidized Bed Reactors – Combustión of Carbon Particles IV and V”. En estos artículos se propone un modelo genérico para la simulación del combustor de lecho fluido basado en los estudios hidrodinámicos anteriores desarrollados por Davidson y Harrison en los que se asume que el reactor está dividido en dos fases denominadas fase burbuja (dilute phase) y fase emulsión (dense phase). Gordon y Amundson proponen un conjunto de ecuaciones de conservación en cada una de las fases citadas, y un tercer bloque que modela la fase sólida de cada partícula. Este modelo genérico es excesivamente complejo desde el punto de vista de la resolución matemática. Basándose en observaciones de tipo empírico y operacional, Gordon y Amundson realizan las simplificaciones de su propio modelo que resultan mucho más manejables desde el punto de vista de su análisis, y que son aplicables para ciertas condiciones de trabajo del lecho. Estos modelos simplificados, que serán explicados posteriormente, reciben el nombre de M-Model y Rx-Model. Ambos son casos muy específicos de la combustión de partículas de carbón, siendo el modelo Rx bastante más general que el denominado M-Model. 1.3. MOTIVACIÓN Los modelos de comportamiento anteriormente citados datan de mediados de la década de los setenta. Las publicaciones realizadas en ese momento incluían una resolución matemática de los modelos simplificados antes presentados. La intención de este proyecto es la utilización de las posibilidades y capacidades actuales para resolver problemas de carácter similar. En el pasado, la limitación en el terreno de la informática obligaba al cálculo de soluciones a través de métodos iterativos cuya resolución era tediosa. En la actualidad, la velocidad de cálculo se multiplica a límites extraordinarios que permiten obtener resultados en tiempo récord. Este desarrollo del cálculo numérico ha permitido de igual forma, el correspondiente desarrollo de nuevos métodos de resolución matemática.


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MATLAB es un medio muy poderoso para el estudio de ecuaciones diferenciales. Posee muchas capacidades de actuación a una velocidad muy rápida. Su uso es generalizado en el campo de la matemática y está extendido internacionalmente a nivel académico. Proporciona un entorno de trabajo muy amigable y un lenguaje de programación relativamente asequible. Por estas razones ha sido elegido para llevar a cabo este proyecto fin de carrera. 1.4. ESTRUCTURA DE ESTE PROYECTO FIN DE CARRERA 1.4.1. Modelado de reactores de lecho fluido. En este primer capítulo se describe de manera general el comportamiento de los reactores de lecho fluido. La comprensión en materia de funcionamiento, condiciones de operación y capacidades de actuación es fundamental para entender los modelos que serán presentados a posteriori. El fenómeno de la fluidización es complejo y existen distintas teorías acerca del mismo. Aquí serán presentadas las más conocidas y extendidas a nivel de estudio de este tipo de sistemas. De igual forma, se hará mención a otros puntos importantes de esta clase de reactores, como es todo lo que concierne al comportamiento de partículas según sus características, regímenes de fluidización en el lecho, etc. 1.4.2. Presentación del problema y su estructura matemática. Este apartado describe detalladamente el modelo utilizado para la descripción del fenómeno de combustión en lecho fluido de partículas de carbón. Todas las ecuaciones, así como todos los parámetros que aparecen en las mismas, serán presentados con rigor. A partir del modelo general, serán descritos los casos particulares que conducen a la simplificación del mismo, así como las condiciones bajo las que estos nuevos modelos reducidos son aplicables. 1.4.3. Resolución de los modelos con MATLAB.


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Una vez conocido el modelo seleccionado para trabajar, se procede al tratamiento de las ecuaciones que lo describen. La existencia de distintas simplificaciones implica el uso de diferentes métodos de actuación a la hora de su tratamiento. El modelo más simple (M-Model) es validado a través de la utilización del Método de Davidenko. De forma paralela, un software de continuación denominado MATCONT que puede ser integrado en MATLAB, dará resultados análogos. El Rx-Model necesitará una programación algo más compleja dentro del entorno MATLAB. Para este caso, se pondrán de manifiesto las posibilidades del programa en lo relativo a la resolución de ecuaciones diferenciales a través de las funciones aportadas por el mismo. 1.4.4. Validación de los modelos desarrollados. Cada uno de los modelos descritos recibirá un tratamiento matemático muy distinto al que fue utilizado originariamente por sus autores. En este capítulo se comparan los resultados obtenidos en las publicaciones con las soluciones obtenidas mediante MATLAB. Asimismo, se ponen de manifiesto ciertas incoherencias o erratas encontradas en los artículos, que pueden conducir a resultados dispares. 1.4.5. Conclusiones. Las conclusiones extraídas a lo largo de todo el trabajo y estudio durante la realización de este proyecto fin de carrera, son presentadas en este capítulo. Se presentan también las alternativas y posibles extensiones del mismo. 1.4.6. Organización y uso del CD. Los archivos creados en MATLAB para la resolución de los modelos propuestos se adjuntan en un CD ligado a esta memoria. En este capítulo se describe la estructura del CD, el procedimiento de utilización del mismo y unas indicaciones de cada uno de los


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m-files donde se comentan los datos requeridos y los resultados proporcionados por los mismos.


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2. MODELADO DE REACTORES DE LECHO FLUIDO. 2.1. INTRODUCCIÓN. Un reactor de lecho fluido se utiliza para reacciones donde intervengan un sólido y un fluido (generalmente un gas). En estos reactores la corriente de gas se hace pasar a través de las partículas sólidas, a una velocidad suficiente para suspenderlas. Con el movimiento rápido de partículas se obtiene un alto grado de uniformidad en la temperatura evitando la formación de zonas calientes. Los sistemas de lecho fluido tienen la ventaja de poder trabajar con estas partículas sólidas suspendidas en una corriente de aire, siendo sus propiedades similares a las de un líquido. Por esta razón, los reactores de lecho fluido son ampliamente utilizados en la industria, tanto en procesos catalíticos como no catalíticos. La utilización de este tipo de equipos está cada vez más extendida por sus ventajas respecto a otro tipo de reactores, principalmente:

- Elevados valores de los coeficientes de transferencia de calor que permiten reducir las superficies de transferencia, lo que implica unidades más compactas.

- Existe un control de la contaminación ya que valores de temperatura inferiores

minimizan la formación y emisión de óxidos de nitrógeno.

- En combustores, el dióxido de azufre producido puede minimizarse con la adición de caliza al reactor.


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El tamaño de las partículas sólidas que pueden ser fluidizadas varía desde tamaños inferiores a una micra, hasta varios centímetros de diámetro. La velocidad de entrada del gas está generalmente comprendida ente 0.15 y 6 m/s. Esta velocidad está referenciada respecto al reactor libre de partículas, y recibe el nombre de velocidad superficial (U0). El reactor tiene normalmente forma de cilindro vertical. Un recipiente de este tipo permite tener espacio suficiente para una expansión vertical de los sólidos y para la separación del material posiblemente arrastrado. Las características relativas al diseño de este tipo de reactores varían según las condiciones de operación, el espacio disponible y el uso del mismo. La distribución del gas a la entrada del reactor es un parámetro indispensable a tener en cuenta, ya que una mala distribución puede acarrear caídas de partículas sólidas que no son bien fluidizadas hacia la parte inferior del recipiente. Un sistema de lecho fluido no constituye un solo equipo aislado, sino que está formado de distintos componentes de los cuales el más importante es el recipiente de fluidización. En él puede distinguirse la ya citada zona de distribución de gas en la parte inferior, a continuación la zona de lecho fluidizado, y finalmente el espacio de separación. Otros componentes del sistema son la alimentación y descarga de los sólidos, el separador de polvo para los gases de salida y todo lo relativo a la instrumentación. 2.2. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE FLUIDIZACIÓN 2.2.1. Clasificación de partículas. El tamaño de las partículas sólidas que pueden ser fluidizadas puede variar, como se ha indicado con anterioridad, entre tamaños comprendidos entre 1 µm y 6 cm. La distribución de tamaños de los sólidos de trabajo y la diferencia de densidad entre las partículas y el gas utilizado, determina el comportamiento de los sólidos en el proceso de fluidificación. Esta forma de comportamiento queda plasmada en la Figura 1, donde se realiza una clasificación de los tipos de partículas según Geldart [4].


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Figura 1. Clasificación de las partículas según Geldart en fluidización con aire (condiciones ambientes).

En esta gráfica se observa que existen cuatro tipos de comportamientos posibles:

Sólidos tipo A (aeratable): son partículas de un tamaño medio y densidad baja. Este tipo de partículas no contemplan ningún problema en el proceso de fluidización.

Sólidos tipo B (sand-like): comprende un gran rango de tamaños de partículas y

de densidad. La fluidización se produce de forma apropiada para un régimen gaseoso intenso.

Sólidos tipo C (cohesive): Son partículas cohesivas difíciles de fluidificar debido

a que las fuerzas de atracción entre partículas son de orden mayor que la fuerza proporcionada por el gas. Este tipo de partículas muestran una tendencia a adherirse y a medida que se incrementa el flujo de gas provocan la abertura de canales que se extienden desde la zona del distribuidor hasta la superficie. Si no se formaran estos canales, todo el lecho se elevaría como un bloque.

Sólidos tipo D (spoutable): son grandes sólidos de alta densidad difíciles de fluidizar. Es necesario el uso de distribuidores apropiados para evitar caminos preferenciales. Si no se forman canales de paso para el gas, el lecho entero actúa como un pistón en el reactor.


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Para todos los grupos de partículas, a medida que la velocidad del gas aumenta, la densidad del conjunto del lecho disminuye y la turbulencia crece. En lechos de pequeño tamaño, para partículas sobre todo del tipo B y D, las burbujas pueden llegar a alcanzar un tamaño similar a la mitad del diámetro del reactor [5]. Como podrá verificarse más adelante, atendiendo a las características propias de nuestro problema (diámetro y densidad de partículas, y densidad del aire de entrada), las partículas de carbón utilizadas en los modelos pueden ser clasificadas como tipo D dentro del gráfico proporcionado por Geldart. 2.2.2. Regímenes de fluidización Además de las características propias de las partículas, el gas que suspende el lecho juega un papel fundamental en el proceso de fluidización. Su velocidad a la entrada del reactor (U0) será clave en la determinación del régimen burbujeante. La velocidad terminal de una partícula es la velocidad que alcanza la misma cuando desciende a través de un fluido. Para una partícula situada en un lecho fluido y para cualquier tipo de régimen de trabajo, existe una correlación muy extendida, que permite su cálculo [6]:

1

**2 *0.5

2.335 1.74418 st

p p

Ud d

φ−

⎡ ⎤−= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

siendo

( )

12 3

* gt t

s g

U Ug

ρµ ρ ρ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )13

*2

g s gp p

gd d

ρ ρ ρ

µ

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

La velocidad de mínima fluidización es la velocidad del gas en el instante en el que el peso de la carga de sólidos iguala la resistencia de fricción de las partículas. En ese


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instante el lecho puede considerarse aún fijo, y la velocidad puede ser calculada a partir de la ecuación de Ergún [6]. Existen diferentes regímenes de fluidización atendiendo a la velocidad del gas. El tipo de partículas también condiciona el comportamiento de las mismas en el recipiente. Por orden creciente de la velocidad del gas se conocen los siguientes tipos:

- Lecho fijo: la velocidad del gas no supera la velocidad de mínima fluidización de las partículas, y en consecuencia, no se produce fluidización de las mismas.

- Régimen burbujeante: el gas tiene una velocidad superior a la de mínima

fluidización. Aparecen burbujas de gas que ascienden a través del lecho. El gas no alcanza la velocidad terminal de las partículas, lo que implicaría la presencia de arrastres. Será el régimen de trabajo del modelo aquí propuesto.

- Régimen turbulento: un lecho fluido que trabaje en régimen turbulento debe

operar por encima de la velocidad terminal de algunas o todas las partículas que lo forman. En este caso, sería necesario el retorno de los sólidos al lecho para mantener el balance.

- Régimen rápido: la velocidad del gas es aún más alta. Desaparecen las burbujas

de gas entre el material sólido, para dar paso a una circulación de gas en la que los sólidos son arrastrados, siendo necesaria la captación y el retorno de los mismos al lecho.

- Régimen de arrastre neumático: hay un transporte de las partículas de sólido a

alta velocidad que obliga a la recirculación de las mismas al lecho. Los sólidos se extienden hasta la salida y no ocupan más del 10 por ciento del volumen del lecho. No existen burbujas y la velocidad de transferencia de masa es muy alta.

La Figura 2 representa de manera muy gráfica el comportamiento de los sólidos (perfiles de concentración) en el lecho fluido para valores crecientes de la velocidad de entrada del gas según lo descrito anteriormente:


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Figura 2. Comportamiento de sólidos en lecho fluido a velocidad del gas creciente. 2.2.3. Comportamiento de sólidos en lechos fluidos. Según Rowe y Patridge [7], los sólidos presentes en los lechos fluidos se mezclan debido a la turbulencia creada por el desplazamiento de las burbujas de gas y por el arrastre que se crea en la parte posterior de las mismas. De esta forma la mezcla será tanto más intensa, cuanto más alta sea la velocidad del gas. En líneas generales, se establecerá un flujo de sólidos ascendente en el lecho y otro flujo descendente que recorrerá las paredes del reactor. Los sólidos presentes en este tipo de reactores pueden sufrir una disminución de su tamaño debido a tres mecanismos principales:

- Rozamiento entre partículas: se produce con el encuentro aleatorio de las mismas en el lecho. Su contribución a la reducción global de tamaño es pequeña.

- Impacto entre partículas: tiene lugar en las zonas donde la velocidad del gas es

elevada. Aumenta la probabilidad de rotura de las partículas por choque.

- Decrepitación térmica: las tensiones a las que son sometidas las partículas como consecuencia de los efectos térmicos pueden provocar la reducción de las mismas a tamaño cristalino.


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2.3. MODELADO DE REACTORES SEGÚN LA TEORÍA DE LAS

DOS FASES. 2.3.1. Modelo de Davidson y Harrison El modelo planteado en este proyecto está basado en las consideraciones desarrolladas por Davidson y Harrison, que asumen una división del reactor de lecho fluido en dos fases ya citadas: fase burbuja (dilute o bubble phase) y fase emulsión (dense phase). La fase burbuja se considera incompresible, y está integrada por la fase gaseosa que recorre el lecho. Se asume que en la misma la cantidad de sólido es nula. La presión en esta fase se considera uniforme. La fase emulsión comprende las partículas sólidas del interior del reactor y el gas intersticial entre las mismas. La densidad de esta segunda fase se considera homógenea y constante. Otras hipótesis básicas de este modelo son:

a) La porosidad de la fase emulsión es constante y su valor se considera igual al de la porosidad en condiciones de mínima fluidización.

b) Existe un intercambio de materia y calor entre las dos fases citadas.

c) Las burbujas que atraviesan el lecho están libres de partículas, su tamaño es

homogéneo y se distribuyen de manera uniforme a través de todo el lecho.

Considerando el valor de la porosidad constante en la fase emulsión, puede calcularse el volumen de las partículas y el gas intersticial que forman parte de la misma:

i mf mfV Vε=

( )1p mf mfV Vε= −


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El volumen correspondiente a la fase burbuja (dilute phase) puede calcularse a partir de la fracción en volumen de burbujas en el lecho (δ):

1d mfV V δδ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

El modelo de Davidson y Harrison permite también realizar un cálculo de los valores de velocidad del gas en cada una de las fases a partir de distintas hipótesis. Para el desarrollo del modelo es necesario el conocimiento de los siguientes valores de velocidades:

Velocidad de mínima fluidización (Umf): se calcula a partir de la ecuación de Ergún para condiciones de mínima fluidización en el equipo [6].

( ) ( )23

2 3 3

150 11.75p g s g mfp mf g p mf g

mf mf

d g d U d Uρ ρ ρ ερ ρµ ε µ ε µ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Velocidad superficial del gas de alimentación (U0): es la velocidad con la que el gas entra en el lecho.

Velocidad relativa de ascensión de burbujas (Ubr): el modelo de Davidson y

Harrison asume que la fluidodinámica de una burbuja del lecho fluido puede asimilarse al caso de un líquido estancado. Para esa situación particular, ese valor de Ubr está correlacionado a través de la expresión de Nicklin (1961):

( )120.711br bU gd=

Velocidad absoluta del gas en la fase burbuja (Ud): se calcula a través de una relación entre las tres velocidades anteriores.

0d mf brU U U U= − +


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Velocidad absoluta del gas intersticial de la fase emulsión (Ui): se utiliza la

expresión de Bukur [8].

( )1mf

imf

UU

ε δ=

−

La fracción relativa de burbujas en el lecho puede ser calculada a partir de los valores de las velocidades anteriores de la forma:

0

2mf

d mf

U UU U

δ−

=+

Esta expresión es aplicable al caso de burbujas lentas para partículas tipo D según la clasificación de Geldart. Se denomina burbuja lenta a aquella que viaja más lentamente que el gas de la fase emulsión. En este caso se forma un cortocircuito de gas que atraviesa la misma de abajo hacia arriba. Este comportamiento en el lecho se produce siempre que

1br

d

uu

p

Cuando la relación anterior sea superior a uno estaremos hablando de burbujas rápidas. En ellas, todo el flujo que las atraviesa es recirculado formando una nube. Según el modelo de Davidson y Harrison, esta nube es de forma esférica. 2.3.2. Modelo de Kunii y Levenspiel Uno de los modelos simplificados más conocido acerca del comportamiento de un lecho fluido burbujeante es el propuesto por los investigadores Daizo Kunii y Octave Levenspiel [6]. Este modelo se basa en la existencia de las dos fases descritas por el modelo hidrodinámico de Davidson y Harrison algunos años antes.


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El modelado de las fases está basado en la existencia de un conjunto de postulados enunciados a continuación de manera general. El punto más interesante de este modelo es la explicación referente a la interacción entre las distintas fases que componen el lecho.

• Modelado de la fase burbuja. Postulado 1. El lecho fluido está constituido por dos fases, una fase gaseosa incompresible y viscosa y otra fase particulada sin viscosidad y de densidad constante (son las dos fases ya descritas en el modelo de Davidson y Harrison). Postulado 2. Las etapas de una burbuja creada en el plato distribuidor son tres:

- Burbujas de pequeño tamaño que coalescen de forma rápida a poca distancia del plato.

- Burbujas de tamaño medio con nubes de tamaño comparable al de la propia

burbuja.

- Burbujas grandes que se desplazan a gran velocidad con nubes despreciables. Postulado 3. La velocidad de las burbujas es la definida en el modelo de Davidson y Harrison (Ud). Postulado 4. El tamaño de las burbujas es elegido como parámetro del modelo. Se define el diámetro efectivo de burbuja. Esto contradice la ya explicada evolución del tamaño de una burbuja en el lecho. Se asume la hipótesis de que la zona de formación y coalescencia de burbujas es suficientemente corta como para asumir un tamaño de burbuja constante en el resto del lecho. Postulado 5. El contenido de sólidos en la fase burbuja se asume nulo y por tanto la porosidad en esta fase es igual a uno. En la fase emulsión, la fracción de sólido es igual a la que existía en condiciones de mínima fluidización.

• Modelado de la fase emulsión. Postulado 1. Además de las fases denominadas burbuja y emulsión, existe una nube que rodea las burbujas y cuya base inferior está formada por una estela. La estela está


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formada por sólidos cuya concentración es considerada igual a la que existe en la fase emulsión. Postulado 2. Se utilizan las expresiones del modelo de Davidson y Harrison para la determinación de la fracción volumétrica de la nube en relación al volumen ocupado por la burbuja. Postulado 3. Las burbujas llevan una estela compuesta de sólidos en su camino a través del lecho. La concentración de partículas sólidas en esa estela es igual a la concentración de la fase emulsión. Por el contrario, el flujo característico de la nube es turbulento. En consecuencia, la velocidad del gas y sólido que contiene son iguales a la de la burbuja. Postulado 4. La fase emulsión tiene características de mínima fluidificación.

• Modelado de la transferencia de materia entre las fases. En un reactor de lecho fluido existen dos tipos de intercambio de materia que deben ser considerados:

a) Transporte entre la partícula sólida y el gas que la rodea. Este transporte no se considera controlante y es despreciado en el modelo propuesto por Kunii y Levenspiel.

b) Mecanismo de difusión molecular modelado a través de la existencia de dos

coeficientes de transferencia de materia correspondientes al intercambio entre la burbuja y la nube (Kbc) y entre la nube y la fase emulsión (Kce).

El modelo de Kunii y Levenspiel [6] establece un conjunto de correlaciones para el cálculo de estos coeficientes, y la relación entre los mismos para alcanzar un valor de un coeficiente global de transferencia de materia entre la fase burbuja y la fase emulsión (Kbe). Todos los coeficientes están dados por unidad de volumen de burbuja y tienen unidades de s-1.


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( ) ( ) ( )1 1 1

be bc ceb b bK K K

+

siendo

( )12

54

4.510.4mf

bc bb

b

U DKd d

⎛ ⎞⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12

36.78 mf Dce b

b

DUK

dε⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

De la misma forma se obtienen los coeficientes de transferencia de energía correspondientes a los binomios nube-fase emulsión (Hce)b, fase burbuja-nube (Hbc)b y, finalmente el coeficiente global fase emulsión-fase burbuja (Hbe)b. En el caso de la transferencia de calor, el valor del flujo energético entre la fase emulsión y la nube es muy superior al existente entre esta última y la fase burbuja. Es por eso que el coeficiente de transferencia global burbuja-emulsión, puede aproximarse al valor de (Hbe)b obtenido mediante la correlación siguiente:

( ) ( )

12

52

4.5 10.4mf g g g g gbe bcb b

bb

U c k cH H

d d

ρ ρ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟≈ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠


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3. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA Y DE SU ESTRUCTURA

MATEMÁTICA.


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3.1. INTRODUCCIÓN. En este apartado se describe el modelo de combustión al que se realizará el estudio matemático posterior. Se ha elegido un reactor de lecho fluido ya que las ecuaciones que modelan las fases son mucho más complejas que en el caso de otro tipo de reactores. Basándonos en los artículos ya citados, el modelo será particular del caso de combustión de partículas de carbón, pero podría ser igualmente extensible a otro tipo de reacciones. Se pretende resolver el problema matemático sin perder de vista las soluciones físicas. Es por ello que se hace énfasis en la comprensión de los parámetros que intervienen así como en la interpretación de las soluciones obtenidas. 3.2. DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MODELO Como ha sido explicado con anterioridad, el modelo a tratar consiste en el conjunto de dos fases (fase emulsión y fase burbuja) que describen el comportamiento de la combustión de partículas de carbón en un reactor continuo de lecho fluido no isotermo. Las partículas de carbón sufren dos reacciones heterogéneas diferentes: oxidación con el oxígeno procedente del aire, y reducción con el dióxido de carbono producido en el sistema. Ambas reacciones producen monóxido de carbono que se oxidará gracias al oxígeno del aire de entrada (reacción homogénea). Las tres reacciones descritas son:

C (s) + 0.5 O2 (g) CO (g) (1)

CO (g) + 0.5 O2 (g) CO2 (g) (2)

C(s) + CO2 (g) 2 CO (g) (3)


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La primera y la tercera son reacciones gas-sólido, mientras que la segunda corresponde a una reacción gas-gas homogénea. Los gases (oxígeno, monóxido de carbono y dióxido de carbono) se difunden en el lecho hasta llegar a las partículas, en cuya superficie el oxígeno y el dióxido de carbono pueden llegar a reaccionar. Asimismo, el monóxido de carbono fruto de la primera reacción puede combinarse con el oxígeno. El punto exacto donde se produce esta reacción entre el oxígeno y el monóxido de carbono es desconocido. Si la reacción se produce en la zona adyacente a la superficie de las partículas de carbono o en el gas intersticial de la fase emulsión dependerá probablemente de las condiciones del lecho. En cualquier caso existen dos situaciones límites:

- el monóxido de carbono se oxida en la superficie de las partículas de carbono. - el monóxido de carbono se oxida homogéneamente en la fase gaseosa: esta será

la condición de partida aunque asumimos que puede contener incorrecciones importantes.

Las dos reacciones heterogéneas que se presentan se asumen de primer orden respecto a la concentración del gas. La reacción homogénea será considerada de segundo orden.

21 1 ,O sr k C=

2 22 2 , , 2 , ,O I CO I O D CO Dr k C C k C C= =

23 3 ,CO sr k C=

Las constantes cinéticas ki corresponden a expresiones del tipo Arrhenius. El planteamiento de las ecuaciones de conservación de masa y energía que darán forma al modelo debe considerar tres bloques principales:

1. Ecuaciones de conservación de la fase burbuja (dilute phase) formada por burbujas esféricas de tamaño uniforme exentas de partículas.

2. Ecuaciones de conservación del gas intersticial perteneciente a la fase emulsión

(dense phase).


28

3. Ecuaciones de conservación de las partículas de carbono suspendidas en el gas intersticial de la fase emulsión.

Debido al proceso de la combustión las partículas disminuyen su tamaño en el tiempo. En un instante determinado del proceso, el lecho contiene partículas con tiempos de residencia diferentes y una distribución de tamaños determinada. Aunque todo el sistema se considere en régimen estacionario, cada partícula tiene su propio estado transitorio y por tanto su radio y su temperatura variarán a lo largo del tiempo, aunque en todas las partículas se consideren las mismas condiciones en las fronteras. El balance de población planteado en el apartado siguiente permitirá obtener una expresión de la distribución de partículas en el lecho. Las partículas alimentan el lecho con un flujo constante, y se asume que éstas son consumidas en su totalidad. En general, las concentraciones de los reactivos en las fases gaseosas son pequeñas y los cambios en el volumen y en las propiedades físicas se asumen despreciables. Las variaciones de los valores de las propiedades con la temperatura también pueden asumirse despreciables. Las reacciones heterogéneas se asumen mucho más rápidas que la difusión del gas hacia el interior de las partículas. Por tanto, puede considerarse que las reacciones tienen lugar en la superficie de las partículas. Adicionalmente, la conducción de calor a través de las partículas se asume suficientemente elevada como para despreciar los gradientes de temperatura dentro de las mismas. 3.3. BALANCE DE POBLACIÓN Las partículas de carbón se alimentan al lecho con temperatura y flujo constante. Bajo condiciones de régimen permanente, el peso de sólidos en el lecho se mantiene constante. En este sistema, las partículas de carbón se consumen y pierden masa debido al fenómeno de la combustión. Para el estudio del caso general, se desprecia la existencia de cenizas y se asume que las reacciones heterogéneas tienen lugar en la superficie de las partículas. Igualmente se considera que no existen reacciones entre partículas sólidas. En consecuencia, la densidad de las partículas se mantiene constante. Para modelar el comportamiento global de las partículas se realiza un balance poblacional de las mismas entre tamaños comprendidos entre r y r+∆r. La integración


29

de la ecuación diferencial correspondiente al balance da la distribución del tamaño de partículas en el lecho [1]:

30

3( )( )b

i

F rP rWR r R−

=

Para alcanzar este resultado ha sido necesaria la adopción de un conjunto de hipótesis:

- El tamaño de las partículas sólidas en la alimentación es constante, y su radio se denomina Ri.

- La constante de elutriación k(r) se considera nula, por lo que no existe flujo de

arrastre de partículas. En la práctica, algunas partículas pueden ser arrastradas debido a los valores elevados de la velocidad superficial del gas. Sin embargo, se asume que el lecho está provisto de un separador ciclónico que devolverá estas partículas al lecho.

- No existe flujo de extracción de partículas sólidas del lecho (overflow).

La distribución de tamaños se normaliza a través de la expresión:

0

( ) 1iR

bP r dr =∫

En general el valor de R(r) depende de las concentraciones y las temperaturas en las distintas fases y no puede ser resuelto independientemente. Es necesario resolverlo de manera simultánea con las otras ecuaciones de conservación. 3.4. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN


30

El modelado del sistema requiere la formulación de las ecuaciones de conservación para el caso de transferencia de masa y energía. Estas ecuaciones se presentan en el artículo citado [1], y son adimensionalizadas posteriormente para su tratamiento matemático. En el presente proyecto se dará prioridad a estas últimas, puesto que son las que nos permitirán alcanzar resultados en MATLAB. Sin embargo, es conveniente conocer de dónde proceden y sobre todo, cual es el significado de los términos que las componen. Con todas las consideraciones explicadas anteriormente, los balances de materia y energía por fases y componentes adimensionales son los detallados a continuación (según el modelo de Gordon y Amundson). Las ecuaciones se presentan ya adimensionalizadas. Las variables y agrupaciones adimensionales se presentan en las tablas siguientes:

Medida de referencia

Variable Adimensional

Altura

fL

*

f

zzL

=

Tiempo

f

i

LU

*i

f

ULθθ =

Concentración

0jC

*

0*jn

jnj

CC

C=

Temperatura

0*T

*

0*n

nTTT

=

Radio

iR

*

i

rrR

=

El subíndice n se refiere a cualquiera de las tres fases consideradas en el modelo:

- d: fase burbuja (dilute phase). - i: gas intersticial de la fase emulsión. - p: partículas sólidas de carbón.

Grupos Adimensionales

2f

ji i

DLU R

∆ =


31

( )be fbid

g g i

H LH

c Uρ=

''01

11

ik RKD

=

'' 0*02 1

2f

i

k C LK

U=

''03

33

ik RKD

=

0*1s

s

M CMρ

=

i

d

UUU

=

d

i

VV

α =

0*1

g

s s j

kM c C D

λ =

0

i

f

WUF L

τ =

c c fc

g g i i

h A LH

c VUρ=

( ), ,f

di j be b ji

LK K

U=

( ) 0*1

0*i

jg g

H CL

c Tρ−∆

=

0*i

ig

ENR T

=

ss i

WWVρ

=

j jMγ λ= ∆

s s

g g

cc

ρρρ

=

3.4.1. Fase burbuja.


32

Se denominan con la letra y las concentraciones adimensionales de los distintos gases en la fase burbuja. La letra ‘x’ representa la concentración adimensional de dichos compuestos en el gas intersticial de la fase emulsión. Las ecuaciones de conservación en la fase burbuja se definen para cada uno de los componentes gaseosos que entran en juego:

Número

Componente

1 Oxígeno molecular 2 Monóxido de carbono 3 Dióxido de carbono

La cuarta ecuación corresponde al balance de energía en esta fase. Se observa que todas ellas están formadas por tres sumandos que indican:

- Variación de la concentración del componente o la temperatura con la altura del lecho.

- Término correspondiente a la difusión de reactivos en la fase. Incluye el

coeficiente adimensional de transferencia de materia o calor. - Término reactivo, donde se incluye una expresión exponencial tipo Arrhenius.


33

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 4 1 2

0

44 4 2 2 2 4 1 2

4

exp / 0

(0)

1...3

exp / 0

(0) 1

jid j j j

j j

id

dyK U x y K U N y y y

dz

y y

j

dy H U x y K L U N y y ydz

y

α− + − + − =

=

=

− + − + − =

=

3.4.2. Gas intersticial de la fase emulsión. Utiliza la misma notación indicada en la fase burbuja. Incluye las concentraciones de gases en la fase burbuja con superíndice cero que implica condiciones iniciales. Estos valores de concentración de gases dependientes de la posición, se promedian y se incluyen en el término convectivo de estas ecuaciones. En estos balances están incluidos los datos referentes a la población de partículas sólidas en la fase emulsión.

10 2

2 2 2 4 1 20

12

4 4 4 4 4 2 2 2 4 1 20

( ) 3 (( ) ( ) / ) exp( / ) 0

1...3

1 ( ) 3 (( ( ) ) ( ) / ) ( ) exp( / ) 0

j j id j j s js j b j

id s p b c ws

y x K y x W D C x p r r dr K N x x x

j

x H y x W T r x p r r dr H T x K L N x x x

α α

α ργ

− + − + − + − =

=

− + − + − + − + − =

∫

∫


34

3.4.3. Modelo de partícula.

o Concentración de productos y reactivos en la superficie de las partículas.

1 1 1 1 3 3 3exp( / ) 3 exp( / ) 0

1...3

j js j p s j p sx C K r N T C K r N T C

j

α α− + − + − =

=

o Ratio de consumo (velocidad de disminución de tamaño).

1 1 1 3 3 3( ) exp( / ) exp( / )

(0) 1

p s p sdrR r K DM N T C K DM N T Cd

r

θ= = − − − −

=

o Temperatura.

1 1 1 1 3 3 3 3 42

0

3 exp( / ) 3 exp( / ) 3 ( )3

(0)

p p s p s pp

p p

dT DL K N T C DL K N T C x TdrTd r d r r r

T T

γθ θ ρ ρ

− − −+ = + +

=

siendo

1

0

( )y y z dz= ∫


35

3.5. SIMPLIFICACIONES DEL MODELO GENERAL. 3.5.1. Análisis de las ecuaciones de conservación en el caso en que la difusión de reactivos es el paso limitante y no existe reacción homogénea en la fase burbuja (M-Model). El primer caso de estudio simplificado del modelo general es el denominado M-Model. En él, la difusión de reactivos es el paso limitante. La velocidad de transferencia de masa de oxígeno y dióxido de carbono en el gas es mucho más lenta que la velocidad de reacción en la superficie de las partículas de carbón. Se considera además que no existe reacción homogénea entre el oxígeno y el monóxido de carbono en la fase burbuja. Esta última hipótesis es una práctica común en lechos catalíticos donde se asume que no existen partículas dentro de las burbujas. Más adelante se comprobará que esta suposición está bastante alejada de la realidad. Eliminando la reacción homogénea del sistema, queda eliminado por tanto, el sumando correspondiente al término reactivo de la fase burbuja. El modelo en esta fase queda:


36

( )

( )

0

44 4

4

(0)

1...3

(0) 1

jid j j

j j

id

dyK U x y

dz

y y

j

dy H U x ydz

y

= −

=

=

= −

=

La resolución de este tipo de ecuaciones es muy sencilla ya que pueden ser integradas explícitamente. El resultado es de la forma:

0

4 4 4

( ) ( ) exp( )

( ) (1 )exp( )

j j j j id

id

y z x y x UK z

y z x x UH z

= + − −

= + − −

Los perfiles de concentración y temperatura de los gases se integran para obtener un valor promedio en el lecho, tal y como se ha explicado con anterioridad. El resultado del cálculo de los promedios es:

0

4 44

( )

(1 )

j j jjid

id

Py x y xK

Qy x xH

= + −

= + −


37

donde

[ ]

[ ]

1 1 exp( )

1 1 exp( )

id

id

P UKU

Q UHU

= − −

= − −

Al asumir que la difusión de reactivos a través del gas es un paso limitante, la ecuación referente a la temperatura de una partícula también puede ser modificada. Según las simplificaciones propuestas por Gordon y Amudson, se obtiene una expresión de la temperatura de la partícula en función del radio de la misma. Esto quiere decir que partículas con tamaños diferentes tendrán temperaturas superficiales distintas, ya que se adoptó la hipótesis de gradiente térmico nulo dentro de las mismas. La ecuación resultante es:

3 31 14

0

3 3 ( )

(1)

pp p

p p

dT DL xDL xT x Tdr r Br

T T

γρ ρ

⎡ ⎤+ = − + + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

Se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden con una condición inicial. Puede integrarse y obtener una solución.

0 3( 1) 3( 1) 4 1 1 3 3( )( ) 1(1 )

E Ep p

M x L x L x ET r T r rM E

ρλρλ

− − + +⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ −

donde


38

1 3(2 )E

x xλ

=+

De esta forma, la integral que aparece en las ecuaciones de balance del gas intersticial de la fase emulsión puede ser resuelta. Las ecuaciones correspondientes a balances de materia y energía dentro del gas intersticial de la fase emulsión quedan de la siguiente manera:

01 1 1 3 1 3 2 2 2 4 1 2

4 2 3 1 2 4 3 4 2 2 2 4 1 2

( )(1 ) 5 5 exp( / ) 0

(1 )(1 ) 5(2 ) 5( ) ( ) exp( / ) 0

j j j j j

c ws

y x P G x G x K N x x x

x Q G G x G G x H T x K L N x x x

α α α α

α

− + + + + − =

− + + + + + + − + − =

donde los parámetros adimensionales Gi se definen como sigue:

1

02

3 1

4 3

s

s p

s

s

G W D

G W MDT

G W DL

G W DL

ρ

=

=

=

=

En consecuencia, todo el sistema original del M-Model ha sido reducido a un conjunto de ecuaciones cuyas incógnitas son las concentraciones correspondientes a los reactivos presentes en el gas intersticial de la fase emulsión, y a la temperatura de dicha fase (xj). Manipulando estas ecuaciones se alcanza una expresión dependiente de una única variable que será el punto de partida para el estudio pormenorizado de este caso particular.


39

5 2 4 2 21 5 2 3 4 6 2 1

6 1 1

10 ( )( ) (5 10 ) (1 ) 1 0( ) ( )c ws

G G G N NF x G L G G G L x Q H TG v x v x

α⎡ ⎤ ⎡ ⎤+

= + + − − + + − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

siendo

2 1 7 8 11

5 6 1 5 6

( )( ) ln( )K x G G xv xG G x G G

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Los nuevos parámetros adimensionales Gi se definen de la forma:

5

6 5 1

7 5 1 6

8 6 6 1

1

5

2 (10 )

2 ( 5 )

G P

G G G

G G G G

G G G G

α= +

= +

= −

= −

La ecuación simplificada ha quedado reducida a una única variable que es la concentración de oxígeno en el gas intersticial de la fase emulsión. Las concentraciones de monóxido de carbono, dióxido de carbono y la temperatura de los gases en esa fase se despejan de las expresiones siguientes:


40

24

1

3 5 6 1

5 6 12

2 1 2 4

( )

2( )

exp( / )

Nxv x

x G G x

G G xxK x N x

=

= −

−=

−

Pese a que el M-Model es un modelo simplificado y relativamente sencillo de abordar matemáticamente, puede llegar a ser muy rico en el análisis de los parámetros que forman parte del mismo. El estudio de las relaciones entre parámetros puede darnos una idea de la influencia de las distintas variables dentro del sistema. Para la resolución de la ecuación simplificada en x1, se han utilizado dos procedimientos de distinto grado de rigor que nos han conducido a resultados equivalentes.

1. Resolución de la ecuación mediante el Método de Davidenko. 2. Resolución de la ecuación mediante el uso de MATCONT, paquete de

MATLAB para el estudio de sistemas dinámicos. 3.5.2. Análisis de las ecuaciones de conservación en el caso en que la difusión de reactivos es el paso limitante y existe reacción homogénea en la fase burbuja (Rx-Model).

Las hipótesis tomadas como partida en las simplificaciones del caso anterior no siempre se satisfacen, y por tanto, los resultados desprendidos de la resolución del mismo no se adaptan a la realidad. Concretamente, la reacción que efectivamente existe en la fase burbuja y que en el M-Model había sido despreciada, juega un papel importante en el proceso. Se considera pues, un modelo de comportamiento basado en la existencia de una reacción homogénea en la fase burbuja entre el monóxido de carbono y el oxígeno, así como de un control en la transferencia de materia que llega a la superficie de las partículas de carbón. Es el denominado Rx-Model.


41

Las ecuaciones de conservación quedan de la siguiente manera:

o Fase burbuja.

( ) ( )2 2 2 4 1 2

0

exp / 0

(0)

1...3

jid j j j

j j


dz

y y

j

α− + − + − =

=

=

( ) ( )44 4 2 2 2 4 1 2

4

exp / 0

(0) 1

iddy H U x y K L U N y y ydz

y

− + − + − =

=

o Gas intersticial de la fase emulsión.

01 1 2 2 2 4 1 2( ) 5 exp( / ) 0

1...3

j j id j j s j jy x K y x W Dx K N x x x

j

α α α− + − + + − =

=

0 04 4 4 1 1 3 3 4 2 2 2 4 1 21 ( ) 5 (2 ) 5 ( ) ( ) exp( / ) 0id s p s p c wsx H y x W D MT L x W D MT L x H T x K L N x x xα ρ ρ− + − + + + + + − + − =


42

El método de resolución de este caso es diferente al del M-Model y requiere un estudio más profundo y exhaustivo. Se sigue el siguiente esquema iterativo:

a) Supuestos unos valores de las variables xi (se toman los obtenidos a partir del estudio del M-Model) se resuelven las ecuaciones de conservación del gas en la fase burbuja, obteniendo las correspondientes concentraciones y temperatura yi.

b) Se calculan los promedios en la dirección axial del lecho de las yi obtenidas.

c) Con los valores promediados, se resuelven las ecuaciones correspondientes a los

balances del gas de la fase emulsión. Se comparan los valores obtenidos con los supuestos, que habían sido adquiridos de la solución del M-Model. Si los valores de las xi difieren (y lo harán al haberse ampliado la generalidad del modelo), se repite el procedimiento hasta alcanzar la convergencia.

4. RESOLUCIÓN DE LOS MODELOS CON MATLAB.


43

4.1. PRESENTACIÓN DE MATLAB. MATLAB es el nombre abreviado de Matrix Laboratory, y corresponde a un potente programa de cálculo numérico a partir de vectores y matrices. Es una herramienta computacional muy poderosa y atractiva a la hora de resolver problemas, programar y resolver gráficamente. Se ha escogido el tratamiento de este proyecto en MATLAB por tratarse de un lenguaje relativamente sencillo e intuitivo. El estudio de las ecuaciones de los modelos planteados con MATLAB permite su extensión a casos de similares características, así como amplias posibilidades a la hora de representar las soluciones, lo cual es siempre ventajoso a la hora de la interpretación de resultados. Los modelos ya descritos, aunque similares, serán tratados de forma bien distinta en lo que a su estudio se refiere. En los apartados siguientes se presentan las ecuaciones de conservación en la forma en la que serán tratadas en el programa, así como las funciones de MATLAB y los principios matemáticos que apoyarán su resolución [9]. Seguidamente se procederá a la búsqueda de resultados que serán analizados posteriormente. 4.2. ANÁLISIS MATEMÁTICO DEL M-MODEL. 4.2.1. Presentación de la función del M-Model.


44

Recordemos que la ecuación general que representa el M-Model es:

5 2 4 2 21 5 2 3 4 6 2 1

6 1 1

10 ( )( ) (5 10 ) (1 ) 1 0( ) ( )c ws

G G G N NF x G L G G G L x Q H TG v x v x

α⎡ ⎤ ⎡ ⎤+

= + + − − + + − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

siendo

2 1 7 8 11

5 6 1 5 6

( )( ) ln( )K x G G xv xG G x G G

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Esto puede expresarse de la forma:

1 11

( ) 0( )cF x a bx

v x= + − =

siendo

1 11

1

( )( ) ln( )

dx e xv xf x

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

donde

5 2 4

5 26

10 ( ) 1 c wsG G Ga G L Q H T

Gα+

= + + + +

3 4 6 25 10b G G G L= − −

2(1 )cc Q H Nα= + +


45

2 82

5 6

K GdG G

=

7

8

GeG

=

5

6

GfG

=

La condición para que la ecuación, expresada a través de los nuevos coeficientes, tenga solución es que el argumento del interior del logaritmo sea positivo. Deben buscarse valores de x1 que satisfagan la condición:

1 1 1( )( ) 0x x e x f+ − p

lo cual se satisface cuando

1e x f− p p

Se conocen las expresiones de e y f, y los valores de las variables de las que dependen son perfectamente compatibles con esta solución. En consecuencia, para definir nuestro radio de acción debemos limitarnos a los valores de x1 comprendidos entre –e y f. Así aseguraremos que el logaritmo neperiano de la ecuación sea positivo en todos los casos y que la solución a la ecuación sea real. La publicación de Gordon y Amundson propone un estudio de la función anterior representativa del M-Model para la determinación de las posibles soluciones múltiples existentes, debido a la existencia de múltiples reacciones en el proceso físico. En referencia a criterios de diseño, es importante asegurar la existencia de una única solución en régimen permanente. El primer punto del estudio, ya tratado con anterioridad en el proyecto, es la determinación del intervalo de x1 que satisface un argumento positivo del logaritmo de la función. Se concluye que el valor de la concentración adimensional de oxígeno en el gas de la fase emulsión debe estar comprendido entre –e y f .


46

El estudio de la unicidad de la solución de la ecuación propuesta pasa por comprobar que la derivada de la ecuación en cualquier punto del rango es diferente a cero. Esto implica que no existen máximos o mínimos y que la función es creciente o decreciente en el intervalo, dando una solución única que satisface F(x1)=0. La derivada de la función a estudiar es del tipo:

11 2

1 1

( )(́ )( )

dv xcF x bv x dx

= +

Para asegurar la unicidad de la solución debe darse que dicha derivada no alcance un máximo o un mínimo, luego:

12

1 1

( )( )

dv xc bv x dx

≠ −

Es a partir de esta expresión, cuando se encuentran ciertas incoherencias en el artículo nombrado:

• Tanto 1

1

( )dv xdx

como 21( )v x se consideran positivas a partir de todas las

definiciones aportadas con antelación. Sólo resta que los parámetros b y c tengan signos idénticos para consumar la desigualdad. Sin embargo, y a diferencia de lo que se asegura en el artículo, esto no se produce para ningún valor de U0 seleccionado dentro del rango. El parámetro c siempre es positivo y, por el contrario, el parámetro b siempre es negativo. Esto implica que la condición que asegura la unicidad de soluciones no se cumple dentro del rango previsto y, en consecuencia, pueden existir soluciones múltiples de la ecuación.

• El estudio del signo del parámetro b ocupa un puesto significativo en el artículo

de Gordon y Amundson. Aunque no es relevante para este caso, ya que se comprueba que el parámetro b tiene un signo distinto al esperado, es de rigor mostrar la relación correcta entre los grupos adimensionales que forman dicho parámetro y que en la publicación está expresado con numerosos errores. Para un valor de b>0, debe cumplirse que


47

3 4 6 25 10 0G G G L− − f

Lo que implica que:

2

3.07(1 ) (1 exp( ))1(1 )

mf mf id

mf i mf

DL UKU R U

ε δδ ε

− − −+

−f

La Figura 3, cuyo método de obtención se detalla a continuación, recoge una representación aproximada de las curvas que componen la solución a la ecuación propuesta para distintos valores de U0 comprendidos dentro de un rango. En ella se observa la existencia de soluciones únicas, dobles o incluso triples para valores crecientes de esta velocidad superficial. Para los casos estudiados del M-Model donde la velocidad superficial del gas de entrada era relativamente elevada, se ha comprobado que la solución de la ecuación para x1 era múltiple. Para resolver la ecuación propuesta se trabajará con el método de Davidenko (cuyo fundamento será explicado en el apartado siguiente), el cual necesita un punto de la curva (o un punto muy próximo a la misma) para comenzar el procedimiento de continuación. Este punto, a priori, es desconocido. A partir de unos datos representativos del comportamiento del modelo, creamos con MATLAB unas curvas que representen la función general del M-Model para un rango dado de valores de x1. Esto se consigue simplemente otorgando valores a x1 y calculando F(x1). Mediante el comando plot (x,y) se consiguen las curvas que, aunque no muy precisas, nos pueden ayudar a alcanzar los primeros valores de partida para el uso del método de Davidenko. Es necesario obtener los valores de x1 para los que F(x1) llega a ser nulo. El primer paso es la adopción de los datos necesarios para la definición del proceso. Todos ellos pueden ser variados en función de las características del sistema en cuestión:

Valores numéricos de los parámetros usados en la resolución del modelo

26cA m= 21.17tA m=

0* 31 0.0048 /C mol m=


48

02 0C = 03 0C =

1460sJc

kgK=

1140gJc

kgK=

20.00006 /D m s= 1 15000g

E KR

=

2 12000g

E KR

=

3 25000g

E KR

=

22.50cJh

sm K=

'' 701 1.55 10 /k m s= ⋅

3'' 802 3.09 10 m kgk

mols= ⋅

'' 703 1.55 10 /k m s= ⋅

0.6mfL m= 12 /sM kg mol=

1 /cq kg s= 323cfT K= 373wsT K=

81 2.21 10 JH

mol−∆ = ⋅

82 5.71 10 JH

mol−∆ = ⋅

83 3.50 10 JH

mol−∆ = − ⋅

0.4mfε =

26.75 10gJk

msK−= ⋅

54.15 10gkgms

µ −= ⋅

30.35 /g kg mρ = 3800 /s kg mρ =


49

Estos datos de partida son introducidos por el usuario del programa a partir de la puesta en marcha de un m-file de MATLAB denominado datosrequeridos.m (Anexo I), donde además de las magnitudes anteriormente indicadas se piden los valores correspondientes a:

- Diámetro efectivo de burbuja (db). - Radio inicial de las partículas de carbón (Ri).

- Temperatura de entrada de los gases al reactor (T0).

- Gravedad (g).

- Velocidad superficial de entrada de los gases en el reactor (U0).

- Temperatura inicial en la superficie de las partículas (Tp

0). A partir de todos los datos de partida y mediante el fichero adimensional.m se calculan todos los parámetros adimensionales descritos en el apartado 3.4 y que son necesarios para manejar valores numéricos en las ecuaciones de conservación utilizadas. De igual forma el fichero agrupaciones.m calcula dará los valores correspondientes a las Gi y a los coeficientes comprendidos entre “a” y “f”. Los resultados de la ejecución de estos dos ficheros, para los datos de partida considerados para una velocidad superficial del gas de 25 m/s (aproximadamente 10 veces la velocidad de mínima fluidización) son los que se exponen en la tabla siguiente:

Grupos Adimensionales

2f

ji i

DLU R

Λ = = 0.2239

( )be fbid

g g i

H LH

c Uρ= = 22.1337

'' 0*02 1

2f

i

k C LK

U= = 138360

( ) 0*11

1 0*g g

H CL

c Tρ−∆

= = 8.8622

( ) 0*12

2 0*g g

H CL

c Tρ−∆

= = 22.8972


50

( ) 0*13

3 0*g g

H CL

c Tρ−∆

= = -14.0351

i

d

UUU

= = 1.3956

d

i

VV

α = = 9.9352

0*1s

s

M CMρ

= = 7.2 10-5

c c fc

g g i i

h A LH

c VUρ= =0.0125

( ), ,f

di j be b ji

LK K

U= =1.2511

22 0*

g

ENR T

= = 40

ss i

WWVρ

= = 1.5

s s

g g

cc

ρρρ

= =2927.3

Para obtener todos los valores de todos los parámetros adimensionales ha sido necesario adicionalmente, el cálculo de todas las velocidades ya mencionadas y los coeficientes de transferencia de materia y calor entre fases. Sin embargo, estos valores adimensionales variarán en función del valor escogido de U0 en el lecho. Todos ellos serán múltiplos (entre 2.5 y 12 veces) de la velocidad de mínima fluidización. La representación de la función F(x1) vs x1 debe realizarse entre un rango determinado de valores de x1. Para seleccionar el rango adecuado se ha realizado un estudio de la ecuación en cuestión. Se representa finalmente F(x1) vs x1 para distintos valores del parámetro U0. Para cada valor de U0 definido en datosrequeridos.m se calculan todos los parámetros adimensionales, los Gi y las agrupaciones anteriores. Una vez conocidos los valores de e y f para ese valor de la velocidad superficial, se puede trabajar con el rango de x1 que hace positivo el logaritmo de la ecuación. Con el simple comando plot(x,y), MATLAB es capaz de dibujar la función de manera aproximada, suficiente para poder tomar un punto de partida en la ejecución posterior del método de Davidenko (archivo Fig3individual.m del Anexo I). Para unos valores de:

0* 300T K=


51

0* 500pT K= 0.005iR m=

0.05bd m= Se obtienen las siguientes curvas parametrizadas en U0.

Figura 3. M-Model para distintos valores de la velocidad superficial del gas de entrada.

Ya es posible partir de un punto perteneciente (o muy próximo) a las curvas reales para resolver exactamente la ecuación por el método de Davidenko. Recordemos que los valores de la velocidad superficial U0 han sido tomados entre límites comprendidos entre 2.5 y 12 veces el valor de la velocidad de mínima fluidización, que para los datos considerados es aproximadamente de 2.6 m/s.


52

4.2.2. Método de Davidenko. El método de Davidenko es un método matemático de continuación para resolver ecuaciones de la forma

1( , ) 0F x y =

donde ‘x1’es la incógnita e ‘y’ representa un parámetro del modelo. La secuencia de actuación en MATLAB está recogida en el archivo davidenko.m. La obtención de las raíces de una ecuación de ese tipo siguiendo el método de Davidenko sigue los pasos siguientes:

1. Búsqueda de un punto que pertenezca a la curva o esté muy próximo a la misma.

40 0( , ) 10F x y −≤

2. Cálculo de un vector tangente a la curva en ese punto donde la norma del mismo

sea superior a un valor dado.

0 0

0 0

0 0

( , )( , )

( , )

( , )( , )

y x x yx y

x y x y

F FT

F F−

=

donde

0 0 0 0

2 2( , ) ( , )( , ) ( ) 0.0001x y x y x y x yF F F F= + ≥

3. Predicción de un nuevo punto: con el punto inicial perteneciente a la curva y el

valor de la tangente en dicho punto, calculamos un nuevo valor de (x,y) para un valor de h suficientemente pequeño para no alcanzar irregularidades.


53

0 01 1 0 0 ( , )( , ) ( , ) x yx y x y hT= + 4. Corrección del nuevo punto mediante la aplicación del método de Newton

fijando x1 o y1 según si:

2 0 0 1 0 0( , ) ( , )T x y T x y≤ o si

1 0 0 2 0 0( , ) ( , )T x y T x y≤

siendo T1 y T2 las componentes del vector tangente T.

El programa va a elegir los puntos sucesivos que irán formando la curva a partir de los vectores tangentes que impliquen un menor desplazamiento. Con un paso suficientemente pequeño estamos garantizando la continuidad de la curva. Para llevarlo a cabo es preciso el cálculo de las derivadas de la función respecto a la incógnita y respecto al parámetro. Es necesaria también una buena elección del punto de partida que debe necesariamente pertenecer a la curva o estar muy próximo a la misma. 4.2.3. Resolución del M-Model con el método de Davidenko. Para la obtención de los valores de x1 (concentración adimensional de oxígeno en el gas intersticial de la fase burbuja) de la ecuación del M-Model a partir del método de Davidenko se han creado dos m-files en MATLAB.


54

El primero de ellos es la secuencia de pasos del método de Davidenko, que se adjunta en el Anexo I. El segundo archivo corresponde a la función que va a ser llamada por dicho método y que contiene a la propia función, y a las derivadas respecto a la incógnita y al parámetro. La llamada de MATLAB en la Command Window es de la forma:

[sol, cambio]=davidenko(‘fun’,[x0;y0],h,n)

El significado de los parámetros se detalla a continuación:

- sol: son los puntos de la curva. - cambio: son los puntos donde cambia el método de Newton.

- fun: corresponde a la función y a las derivadas parciales. 'fun' ha de devolver un

vector. - [x0;y0]: son las condiciones iniciales.

- h: es el tamaño del paso.

- n: es el número de puntos a calcular.

El siguiente paso es la elección de los parámetros más significativos del modelo para la obtención de las curvas que nos permitan tener una visión amplia del comportamiento en el reactor en función de la variación de ciertas magnitudes. El propósito de esta forma de trabajo, es obtener la representación de la variable elegida (x1) respecto a los parámetros del modelo. De esta forma se abre la posibilidad de estudiar el modelo desde un punto de vista físico, es decir, observando la variación de valor de las variables a calcular cuando se toman distintos valores de los diferentes parámetros relacionados con el comportamiento del sistema. Para unos datos de partida dados, se ha estudiado la variación de los valores de xi en función de la temperatura inicial en la superficie de las partículas (Tp

0) y de la temperatura inicial de alimentación de los gases al reactor (T0). Se han elegido estos dos parámetros por ser bastante representativos de un problema de este tipo. Además, aparecen ligados a la función de manera lineal, lo que permite calcular la derivada de la función de forma relativamente simple. A continuación se presentan los resultados obtenidos mediante la aplicación del método de Davidenko a cada uno de lo parámetros seleccionados.


55

Resolución del M-Model con el método de Davidenko. Parámetro 1: Temperatura superficial inicial de las partículas de carbón.

Una vez detallado el método de Davidenko y, conociendo un punto aproximado de la curva de trabajo, se pretende estudiar cómo varía la concentración de oxígeno adimensional en el gas intersticial de la fase burbuja (x1) con respecto a diferentes parámetros. El primero de ellos es la temperatura inicial en la superficie de las partículas (Tp

0). Para dibujar la curva mediante continuación a partir de este parámetro es necesario crear un m-file (tparticulas.m en Anexo I) donde aparezca definida la función a estudiar, así como las derivadas parciales referidas a la incógnita principal (x1) y al parámetro (Tp

0). Para comenzar el proceso iterativo es necesario escoger una pareja de valores iniciales. Para un valor de la velocidad superficial inicial elegido (por ejemplo U0=25 m/s), atendiendo a la figura 3 se puede escoger aproximadamente como datos iniciales, los siguientes valores:

x1 = 0.62 Tp

0 = 500/300

El valor de la temperatura inicial de la superficie de las partículas se adimensionaliza dividiéndolo por el valor de la temperatura inicial de los gases en Kelvin. Mediante una llamada al procedimiento de Davidenko del tipo:

[sol,cambio]=davidenko(‘tparticulas’,[0.62;1.667],0.001,100) se genera la curva deseada.


56

Figura 4. Efecto de la temperatura inicial de las partículas sobre la composición de oxígeno en

el gas de la fase emulsión.

Según las condiciones de operación de este tipo de sistemas, es lógico concluir que el valor adimensional de Tp

0 será siempre positivo, por lo que sólo nos quedaremos con la zona derecha de la gráfica. Se observa que para ciertos valores de dicha temperatura existe más de un valor posible de x1. Todos ellos son soluciones matemáticas pero sólo uno representará las condiciones físicas del proceso. Las relaciones entre las incógnitas xi son conocidas, y permiten la construcción de curvas similares en función de la concentración de otros compuestos o la temperatura en el gas de la fase emulsión. La concentración adimensional de dióxido de carbono en el gas de la fase emulsión (x3) se obtiene una vez conocida la secuencia de resultados de x1 según la relación:

3 5 6 12( )x G G x= − Para dibujar la curva de esta nueva concentración frente al parámetro, basta con sustituir cada valor de x1 en la expresión anterior y representarlo frente al valor de Tp

0 al que va relacionado.


57

La curva para una velocidad superficial de entrada de gases de 25 m/s queda de la forma que muestra la Figura 5.

Figura 5. Efecto de la temperatura inicial de las partículas sobre la composición de dióxido de

carbono en el gas de la fase emulsión.

De nuevo se observa que para ciertos valores de la temperatura superficial inicial de las partículas de carbón, existe multiplicidad de soluciones (hasta 3) en x3. Sólo una de ellas tendrá significado físico en el sistema de trabajo. Para el caso de x4 (temperatura de los gases intersticiales en la fase emulsión) la relación es

24

1( )Nx

v x=

y la representación gráfica para U0=25m/s aparece en la Figura 6.


58

Figura 6. Efecto de la temperatura inicial de las partículas sobre la temperatura del gas de la fase emulsión.

Finalmente, para el caso de la concentración adimensional de monóxido de carbono (x2), la relación es del tipo:

5 6 12

2 1 2 4exp( / )G G xx

K x N x−

=−

para cuya representación es necesario conocer los valores correspondientes de x1 y x4. Gráficamente obtenemos la Figura número 7.


59

Figura 7. Efecto de la temperatura inicial de las partículas sobre la composición de monóxido de carbono en el gas de la fase emulsión.

Este análisis puede realizarse para cualquier valor de U0 dentro del rango dado y para cualquier par de condiciones iniciales que cumplan las especificaciones.

Resolución del M-Model con el método de Davidenko. Parámetro 2: Temperatura inicial de entrada de gases al reactor.

El estudio del sistema respecto al parámetro anterior es relativamente sencillo debido a que éste sólo aparece en una ocasión, y de forma lineal, en uno de los sumandos de la ecuación principal. El segundo parámetro a estudiar es la temperatura inicial de entrada del oxígeno al reactor (T0). Este caso es completamente opuesto en ese sentido ya que existe una dependencia más que clara en multitud de expresiones adimensionales respecto de esta temperatura.


60

La forma de proceder es análoga a la precedente, con la dificultad añadida de que el método de Davidenko necesita la definición de la derivada de la función respecto al parámetro, que en este caso será más compleja que en el anterior. El archivo que contiene la definición de la función general con sus derivadas respectivas lleva el nombre de tinicial.m. Para hacer más sencillo el trabajo se realiza la derivada respecto a la inversa de la temperatura inicial (T0) ya que la ecuación general puede expresarse de la forma:

1 1 21

( , ) 1( )CyF x y Q Ay Bx y

v xα= + + + −

donde “y” representa la inversa de la temperatura de entrada inicial de los gases en Kelvin. Asimismo,

0* 0* 0*5 5 3 1 5 2 1

6 6

10 10 ( ) ( )[ ]s p sws

g g g g

G W MDT G W D H C G H CA TG c G cρ

ρ ρ−∆ −∆

= + + +

0* 0* 0*1 3 1 6 2 15 10 ( ) ( )[ ]s s

g g g g g g

W DC W D H C G H CBc c cρ ρ ρ

−∆ −∆= − −

2 (1 )cg

EC Q HR

α= + +

donde las variables que aparecen con asterisco, no están adimensionalizadas y deben ser incorporadas con sus unidades correspondientes. Para comenzar a trabajar con este método, de nuevo es necesario otorgar una pareja de valores iniciales al programa para comenzar el proceso iterativo. Para una velocidad de entrada del gas de 25 m/s, y según los datos adoptados con antelación, pueden considerarse como condiciones iniciales una temperatura de 300K para T0 y una concentración de x1 de 0.62. La llamada al proceso de continuación tendrá la misma forma que el caso anterior:


61

[sol, cambio]=davidenko(‘tinicial’,[0.62;0.00333],-0.001,70)

El resultado será de la forma mostrada en la Figura 8.

Figura 8. Efecto de la inversa de temperatura del gas de entrada sobre la composición de

oxígeno en el gas de la fase emulsión.

Para el valor inicial de trabajo del sistema de 1/300 en abscisas, puede contemplarse de nuevo la multiplicidad de soluciones respecto a la concentración x1 que por supuesto coinciden con los hallados en los casos anteriores. El procedimiento para la obtención de las concentraciones x2, x3 y x4, a partir de las relaciones ya descritas, es análogo al precedente. Las gráficas se dibujan a partir de los archivos contenidos en la carpeta xi. Los resultados pueden observarse en las Figuras 9, 10 y 11.


62

Figura 9. Efecto de la inversa de temperatura del gas de entrada sobre la composición de

monóxido de carbono en el gas de la fase emulsión.


63

Figura 10. Efecto de la inversa de temperatura del gas de entrada sobre la composición de dióxido de carbono en el gas de la fase emulsión.

Figura 11. Efecto de la inversa de temperatura del gas de entrada sobre la temperatura en el

gas de la fase emulsión. 4.2.4. Métodos de resolución alternativos: MATCONT

MATCONT es un paquete de continuación de MATLAB para el estudio numérico interactivo de ecuaciones diferenciales ordinarias parametrizadas. Entre sus capacidades está la de calcular curvas de equilibrio. En este caso, se intentarán reproducir los resultados obtenidos con Davidenko para el M-Model con este programa. Para conseguir una curva de equilibrio es necesario partir de un punto de equilibrio, que será el punto inicial tomado en el método de Davidenko. Se define la función a tratar con la incógnita (x=x1) y el parámetro (y=1/T0). Para ambos se completa el valor inicial ya comentado. Es necesario también dar todos los valores de las magnitudes de las ecuaciones usadas en el cómputo. Pueden insertarse como parámetros pero es necesario conocer su valor numérico. Para los datos de partida conocidos, la función se define de la forma:

x’ = 1+alfaq +ay +byx – (py/V)


64

V = log (dx(x+e)/(f-x))

Y los datos a completar en la Continuer Window son:

t interval 1000 InitStepSize 0.0001 MinStepSize 0.00001MaxStepSiz

e 0.1

La elección de estos datos puede ser crucial para el buen funcionamiento del programa, pero la forma de comprobarlo es algo rudimentaria ya que requiere ensayo y error. Para el punto inicial y las magnitudes asumidas (obtenidos de los archivos de MATLAB correspondiente a los números adimensionales y las agrupaciones):

x 0.62 y 0.006 a 36532 b -40170 p 97578 d 32341 e -0.6075f 0.8038

alfa

9.9352

q 0.7165 La variable ‘y’ se elige como parámetro libre, seleccionándola con respecto a las otras en la ventana de Starter. En esa misma ventana se completan los valores iniciales para ‘x’ e ‘y’, así como los valores fijos del resto de los parámetros. El resultado obtenido por este programa es idéntico al que se desprendía del uso de Davidenko (ver Figura 12 y comparar con Figura 8). Claramente, si la curva es idéntica en el caso de x1, lo será igualmente para las xi restantes. En cualquier caso, los dos métodos presentan una serie de ventajas e inconvenientes:


65

- El método de Davidenko exige la derivación de la ecuación general respecto de

la incógnita y respecto del parámetro. MATCONT sólo necesita la definición de la función.

- Con el uso de Davidenko todo se estandariza. A partir de los datos iniciales se

calculan los parámetros adimensionales, posteriormente las agrupaciones, y todo ello se introduce en la definición de la función que toma Davidenko para ejecutarse. En el caso de MATCONT es necesario detener el proceso en el archivo de las agrupaciones, tomar los valores numéricos y definirlos como parámetros en la función.

Figura 12. Efecto de la inversa de temperatura del gas de entrada sobre la concentración de

oxígeno en el gas de la fase emulsión mediante Matcont.


66

4.3. ANÁLISIS MATEMÁTICO DEL Rx-MODEL 4.3.1. Presentación de la función del Rx-Model. Recordemos las ecuaciones de conservación de este modelo:

o Fase burbuja.

( ) ( )2 2 2 4 1 2

0

exp / 0

(0)

1...3

jid j j j

j j


dz

y y

j

α− + − + − =

=

=

( ) ( )44 4 2 2 2 4 1 2

4

exp / 0

(0) 1

iddy H U x y K L U N y y ydz

y

− + − + − =

=

o Gas intersticial de la fase emulsión.


67

01 1 2 2 2 4 1 2( ) 5 exp( / ) 0

1...3

j j id j j s j jy x K y x W Dx K N x x x

j

α α α− + − + + − =

=

0 04 4 4 1 1 3 3 4 2 2 2 4 1 21 ( ) 5 (2 ) 5 ( ) ( ) exp( / ) 0id s p s p c wsx H y x W D MT L x W D MT L x H T x K L N x x xα ρ ρ− + − + + + + + − + − =

En el caso del Rx-Model, las herramientas matemáticas necesarias son más amplias. Asimismo es necesario tener un conocimiento más detallado acerca de las funciones que ofrece MATLAB para realizar cierto tipo de cálculos. A continuación se explica la secuencia de pasos matemáticos que resuelven el Rx-Model según las etapas explicadas en el apartado anterior. Se trata de un proceso iterativo que puede resolver el sistema para cualquier conjunto de valores de partida. En concreto, los xi seleccionados corresponden a los obtenidos a partir del M-Model y, como se verá posteriormente, en ciertos casos difieren bastante de los nuevos xi calculados por el nuevo procedimiento.


68

4.3.2. Funciones de Matlab: ode45 y fsolve.

Función ode45 en Matlab. Las ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) se resuelven en Matlab a través del paquete “ode”. Existen numerosos tipos de resolución en función de la precisión requerida, de los parámetros disponibles y del tipo de problema a tratar. Se utiliza una orden en la Command Window del tipo:

Valores iniciales de xi (M-Model)

Resolución de ecuaciones de conservación de gases en la fase burbuja (ode45)

Cálculo de los valores promedios de las yi obtenidas en la dirección axial del lecho (Teorema Fundamental del Cálculo)

Resolución de ecuaciones de conservación de gases en la fase emulsión (fsolve)

Comparación del vector xi supuesto con el nuevo xi’ calculado

xi = xi’ Solución del

problema

xi ≠xi’ Tomar vector xi’ de valores iniciales y

comenzar la iteración


69

[T,Y]=solver(odefun,[tspan],[y0]) donde

- T: es el vector que representa los valores del tiempo, que viene determinado según el intervalo dado y la separación entre los límites.

- Y: es el vector que representa las soluciones del problema. Tendrá tantas

componentes en cada instante de tiempo como incógnitas. - solver: es el tipo de comando de Matlab que resolverá el sistema. En este caso se

ha elegido a opción ode45, que tiene una precisión media y se ajusta al problema. Debe ser siempre la primera opción a contemplar cuando se resuelven problemas de esta índole.

- odefun: es el nombre del archivo de la función que contiene la definición del

sistema.

- [tspan]: corresponde al vector que determina el intervalo de integración. Para obtener puntos espaciados en el tiempo de forma uniforme puede hacerse de la forma [t0:intervalo:tf].

- [y0]: es el vector de valores iniciales.

Este comando integra el sistema de ecuaciones diferenciales desde t0 a tf con las condiciones iniciales dadas por y0. La opción ode45 es un método de resolución en un solo paso, que necesita únicamente la solución en el instante de tiempo inmediatamente anterior. Está basada en la fórmula explícita de Runge-Kutta.

Función fsolve en Matlab. Una vez que los perfiles de concentración y temperatura de la fase burbuja son hallados y promediados según el proceso anteriormente descrito, se procede al cálculo de las concentraciones y temperaturas propias de los gases de la fase emulsión. Para ello es necesaria la resolución de las cuatro ecuaciones de balance descritas en el Rx-Model para esta región. Se trata de un sistema de cuatro ecuaciones algebraicas no lineales. La función fsolve de Matlab resuelve este tipo de sistemas de ecuaciones no lineales de la forma:


70

( ) 0F x =

donde ‘x’ es el vector de incógnitas y ‘F(x)’ es la función que devuelve el vector de resultados. El comando de Matlab que debe implementarse en la Command Window es del tipo:

x=fsolve(fun,[x0])

donde

- x: es el vector de valores de salida (solución del sistema). - fsolve: es el esquema que encuentra un cero en las ecuaciones no lineales.

- fun: es el nombre del archivo que contiene el sistema de ecuaciones no lineales a resolver.

- [x0]: es el vector de valores iniciales de las variables buscadas.

Existen varias limitaciones para el uso de este método. En primer lugar, la función debe ser continua en el intervalo de trabajo. Además, cuando fsolve obtiene una solución, da únicamente dicho valor sin calcular soluciones múltiples. 4.3.3. Teorema fundamental del cálculo. El teorema fundamental del cálculo tiene el siguiente enunciado:

“Sea f una función continua en el intervalo [a,b], y sea

( ) ( )x

a

F x f u du= ∫


71

entonces, F(x) es derivable y

( ) 0F a =

y

( ) ( )dF x f xdx

= [ ],x a b∀ ∈

La utilización del teorema fundamental del cálculo en este problema se debe a la necesidad de promediar las variables obtenidas mediante la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de la fase burbuja. El cálculo del promedio de variables es de la forma:

1

0

( )y y z dz= ∫

Si definimos

*

0

( ) ( )z

y z y u du= ∫

entonces,

*(1)y y=

Y, que según el teorema fundamental del cálculo puede expresarse como:

*

( )d y y zdz

=


72

En este caso, podemos incluir en el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias cuatro incógnitas más (desde y5 a y8) cuyas derivadas respecto de la cota z son los valores desde y1 a y4. El resultado en z=1 serán los promedios de estas últimas. 4.3.4. Resolución del Rx-Model. Una vez comprendidos todos los pasos a seguir y las herramientas que van a permitir su ejecución, no queda más que resolver el problema siguiendo el esquema dado. MATLAB proporciona un entorno de trabajo muy amigable para este tipo de secuencias, pudiendo ver en cada etapa los resultados intermedios si fuera preciso. Se sigue el modelo de comportamiento ya descrito:

o Se toman como valores iniciales de partida, los valores correspondientes a la resolución del M-Model mediante continuación. Es necesario recordar que para ciertas condiciones iniciales (de temperaturas) la solución para x1, y en consecuencia para las demás xi, era múltiple. Cualquiera de ellas es una solución matemática del modelo, pero no todas serán solución física. Debe escogerse aquella que pueda adaptarse mejor a las condiciones operacionales

según nuestro propio criterio. Para los parámetros iniciales supuestos y la velocidad de entrada de gases habitual (U0=25 m/s), se ha escogido el siguiente vector de valores iniciales:

x0=[0.73 0.2450 1.2621 3.7819]

o Con los valores seleccionados para el vector x0 se resuelven los balances correspondientes a la fase burbuja (sistema de ecuaciones en derivadas ordinarias) para la obtención de los perfiles de concentración de gases en el fluido de la fase emulsión (yi(z)). Mediante la estrategia ya explicada para la aplicación del teorema fundamental del cálculo se conseguirán también los valores de los perfiles de dichas concentraciones y temperaturas. El archivo que define la función que incluye el sistema de denomina dilutetotal.m y está en función de todas las variables adimensionales descritas hasta el momento. Se resuelve el sistema a través de la opción ode45 ya descrita con un intervalo de


73

tiempo de [0:0.01:1] y unos valores iniciales para las concentraciones de gases de la fase burbuja de:

y0 = [1 0 0 1 0 0 0 0]

Esto es debido a que en la fase burbuja para el punto z=0 (es decir, la entrada al reactor), sólo existe oxígeno. Para los demás gases (CO y CO2) la concentración es nula en este punto. Asimismo, la temperatura de entrada de los gases es T0. La temperatura de referencia para adimensionalizar todas las demás es ella misma, luego el cuarto elemento de este vector toma valor igual a 1. Los cuatro últimos elementos del vector corresponden a los valores iniciales necesarios para completar la aplicación del teorema fundamental del cálculo para la obtención de las yi promediadas.

o Una vez hallados los perfiles de concentración de los gases que forman parte de la fase burbuja y sus correspondientes promedios, se procede a resolver los balances relativos a los gases de la fase emulsión. Estas cuatro ecuaciones algebraicas se resolverán con el ya conocido método fsolve de Matlab. Para ello sólo es necesario introducir en el comando descrito, el nombre de la función que contiene el sistema (pasofinal.m) y el vector de x0 que servirá de punto de partida para el cálculo final de los puntos. Es necesario completar el bucle para la ejecución de un número de iteraciones determinadas, es decir, si

el vector solución x0’ no es igual al vector x0 tomado como punto de partida, es necesario resolver todo el proceso al completo hasta encontrar el vector solución que satisfaga este criterio. El archivo de MATLAB procedimiento.m recoge la automatización completa del proceso para un número dado de iteraciones.

Mediante este método pueden calcularse los valores deseados de todas las concentraciones de gases en todas las fases fluidas definidas en el modelo. Los resultados no son exactamente análogos a los obtenidos a partir del M-Model y en algunos casos difieren de manera significativa. Es importante resaltar que el número de iteraciones necesarias para alcanzar una convergencia con una exactitud de 5 decimales en los valores de las variables, debe ser superior a 200. Al ser MATLAB una potente herramienta de cálculo numérico, esta operación está finalizada en algunos segundos. Conviene resaltar también que el uso de otros valores iniciales del M-Model para el vector x0, llevan a la obtención de una convergencia análoga a la anteriormente explicada (nos referimos al caso estudiado de U0 = 25 m/s). Esto quiere decir que, mientras que el modelo más simplificado puede responder a soluciones múltiples, el modelo ampliado según el mecanismo propuesto, converge en una solución única para los tres posibles vectores de partida utilizados.


74

Para valores de velocidad de entrada del gas superiores a 11 veces la velocidad de mínima fluidización (U0> 28 m/s), las soluciones obtenidas del vector x correspondiente a las concentraciones y temperatura de gases en la fase emulsión, son múltiples. Para el valor de velocidad de entrada manejado, según este procedimiento, se obtienen los perfiles de concentración en la fase burbuja durante la longitud adimensional del reactor que se muestran en la Figura 13.

Figura 13. Perfiles de concentración de reactivos y productos en la fase burbuja en la longitud adimensional del reactor para el Rx-Model.

Si se incluye también el valor de la temperatura, se obtiene la representación dada por la Figura 14.


75

Figura 14. Perfiles de concentración de reactivos y productos, y perfil de temperatura de partículas en la fase burbuja en la longitud adimensional del reactor para el Rx-Model.

Estos perfiles se obtienen una vez alcanzada la solución del problema tras el proceso iterativo. Los valores del vector x0 definitivo, serán sustituidos en las ecuaciones correspondientes al balance de materia y energía en la fase burbuja. Para una longitud adimensional del lecho comprendida entre 0 y 1 se obtendrán los distintos valores de concentración y temperaturas en esa fase. Se observa un decrecimiento lógico de la cantidad de oxígeno durante todo el trayecto, así como un aumento en la cantidad de productos. La formación de CO crece rápidamente en la base del reactor y posteriormente cae, volviendo a subir de nuevo lentamente.


76

5. VALIDACIÓN DE LOS MODELOS DESARROLLADOS. 5.1. ANÁLISIS CRÍTICO DEL MODELO ORIGINAL.


77

Se han encontrado pequeñas incoherencias en el estudio detallado de los artículos, que en algún caso han llevado a alguna que otra parada importante en el desarrollo del trabajo global. Se detallan a continuación los errores encontrados y las soluciones propuestas, así como las posibles causas que pueden llevar a un desacuerdo respecto a los resultados propuestos por estos dos investigadores. En el tratamiento de los datos aportados por los artículos existen las incorrecciones que a continuación se detallan, y que son imprescindibles corregir para el conocimiento y buen funcionamiento de los métodos de resolución de los modelos.

El apartado 4.2.1, en el que se presenta la función a tratar en el M-Model, recoge con detalle las discordancias en el análisis de unicidad de la misma con respecto al artículo publicado. Ese capítulo demuestra la existencia de multiplicidad de soluciones en el rango de trabajo, lo cual será posteriormente validado por los resultados obtenidos.

Los datos de partida empleados para los modelos son los utilizados como ejemplo en los artículos descritos. Se han utilizado los mismos datos para tener una comparación objetiva respecto a los resultados obtenidos. Existe un error en relación al valor del parámetro adimensional λ. El valor expresado en la publicación no corresponde a ese parámetro, sino al valor de la conductividad térmica del gas expresada en J m-1 s-1 K-1.

La representación gráfica de la Figura 3 en la que aparecen las soluciones de la

ecuación general del M-Model para distintos valores del parámetro U0, no se corresponde con total exactitud a la representación proporcionada por Gordon y Amundson. Las curvas son cualitativamente idénticas pero las

soluciones de x1 están algo desplazadas. Esto puede ser debido a un cálculo intermedio de ciertos coeficientes de transferencia de materia o calor en base a algún criterio distinto a los ya explicados.

Las ecuaciones de balance en la fase burbuja y en el gas de la fase emulsión del Rx-Model están planteadas en el segundo artículo con ciertas erratas. Para su correcta formulación sólo es necesario remitirse a las ecuaciones de conservación aquí detalladas.

Detrás de los artículos publicados por Gordon y Amundson sobre combustión de partículas en lecho fluido, existe una labor de investigación muy completa y compleja. Desgraciadamente, las publicaciones corresponden al año 1976, y después de las mismas, el interés de estos investigadores por el tema decayó.


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5.2. VALIDACIÓN DEL M-MODEL. Este proyecto no pretende revelar conclusiones en lo que a la manera de operación de un lecho fluido se refiere. La pretensión es la de mostrar una herramienta matemática que permita conocer el comportamiento de las ecuaciones que modelan el lecho a partir de unos datos de geometría y de características de los reactivos dados para los modelos aquí presentados, de la forma más rápida posible. Es evidente que cuanto más riguroso sea dicho modelo, la aproximación a la realidad será mayor, aunque la complejidad matemática también crecerá. En cualquier caso, los resultados jamás podrán ajustarse completamente a lo obtenidos de manera empírica, sobre todo teniendo en cuenta que los fenómenos que ocurren dentro de un reactor de lecho fluido son, en muchos puntos, desconocidos. Los dos modelos presentados son una aproximación de la realidad a distinto grado de detalle. La resolución del M-Model ha servido de base para la obtención de soluciones en el modelo Rx. Puede comprobarse que los resultados obtenidos para las mismas condiciones de partida en ambos casos son sensiblemente distintos, y que incluso la manipulación del modelo matemático requiere un tratamiento a otro nivel. Tanto el método de Davidenko como el método de continuidad proporcionado por MATCONT dan soluciones idénticas a nuestro problema. La aplicación de Davidenko es más explícita e intuitiva teniendo en cuenta que se conocen todos los pasos realizados para alcanzar una solución. En el caso de MATCONT se conoce el fundamento pero no exactamente el procedimiento desarrollado. La obtención de soluciones análogas apoya los resultados finales. En la aplicación del M-Model (en sus dos vertientes, a través de Davidenko y a través del paquete MATCONT) se obtenían soluciones múltiples. En algunos casos, para la velocidad de entrada de gases al reactor, estas soluciones eran triples. Esto implica que hay tres posibles vectores representativos de las concentraciones y la temperatura de los gases en la fase emulsión. En un primer momento y ante la existencia únicamente de este modelo, este hecho puede crear una incertidumbre relativa a la interpretación física de los resultados. En todos los casos nos encontramos con valores cuyos órdenes de magnitud responden a casos reales probables.


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La conclusión más importante en el estudio de este modelo es que tanto Davidenko como MATCONT son capaces de aportar soluciones al M-Model con la posibilidad de variación de parámetros. Esto quiere decir que, para cualquier parámetro que influya en el proceso, estos métodos permiten la representación de la variable principal frente a distintos valores de los mismos lo cual puede dar una riqueza de interpretación física muy importante a nuestro problema. 5.3. VALIDACIÓN DEL Rx-MODEL. Al tratarse de un modelo más complejo y completo, la interpretación de Rx-Model es mucho más amplia que en modelo más simplificado Para comenzar el proceso iterativo en este caso es necesario un vector de valores iniciales que recordemos que era:

x0=[0.73 0.2450 1.2621 3.7819] Este vector procede de una de las tres soluciones que se desprenden del M-Model para una velocidad de trabajo U0 de 25 m/s y será el punto de arranque del modelo siguiente. Según el procedimiento ya explicado, el nuevo vector solución tras la aplicación del proceso iterativo del Rx-Model es:

x0´=[0.7581 0.0036 0.2402 7.661]

Las diferencias cuantitativas son notables. La variación en las concentraciones es significativa, y puede ser debida a la consideración de la reacción homogénea entre el monóxido de carbono y el oxígeno molecular dentro del sistema. Sin embargo, lo que más llama la atención es el cambio de temperaturas experimentado. Se produce prácticamente una duplicación de la misma. Si deshacemos el cambio adimensional, implica unos valores de 861.57ºC en el caso del M-Model y de más de 2000ºC en el caso del Rx-Model. Este valor de temperatura es muy alto y se sale del rango normal de operación de este tipo de sistemas. El lecho fluido se caracteriza precisamente por tener altos coeficientes de transferencia de calor que permiten mantener la temperatura en el lecho de forma homogénea, lo cual implica unidades más compactas y temperaturas más bajas.


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Podría plantearse la duda de que quizás el vector de valores iniciales escogido para comenzar el proceso iterativo del Rx-Model no es el adecuado. De hecho, como se ha comentado con anterioridad, existen 3 soluciones matemáticas e incluso físicamente posibles que se desprenden del M-Model. Quizás alguna de las dos restantes podría llevarnos a valores coherentes del vector x0. La respuesta, desgraciadamente, es negativa. Para los datos dados, las tres soluciones del M-Model aplicadas al modelo Rx, convergen en el mismo resultado. Esto significa que para el rango de composiciones de trabajo, la solución matemática del Rx-Model es única. Sin embargo, esta situación no puede generalizarse para todos los casos prácticos considerados dentro del estudio. Existen situaciones cuya velocidad de entrada de gases es diferente (recordemos que U0 estaba comprendida entre 2.5 y 12 veces la velocidad de mínima fluidización, lo que implica entre 6.25 y 30 m/s aproximadamente), y cuya solución no es múltiple en el M-Model. Si tenemos en cuenta la Figura 3, se observa que para velocidades inferiores a 21 m/s la solución es única. Para una U0 de justamente 21 m/s la solución es doble, y a partir de este valor la solución se hace triple. Como se ha comentado con anterioridad, en el caso de una velocidad inicial de 25 m/s existen tres soluciones en el M-Model que desembocan en un único comportamiento en el modelo Rx. Por otra parte, existe un valor límite inferior de la velocidad U0 a partir del cual las soluciones del modelo Rx se hacen múltiples. Se comprueba que para un valor de esta velocidad superior a once veces la velocidad de mínima fluidización, las soluciones proporcionadas por este modelo son, al menos, dos. Para una velocidad inicial de 28.3 m/s, las soluciones alcanzadas son los dos vectores siguientes:

x0´=[0.7940 0.0065 0.2027 6.7608]

x0´=[0.9035 0.1874 0.0028 2.6623]

En un primer momento podría pensarse que la segunda solución tiene más sentido desde el punto de vista físico del problema, ya que son razonables, bajo cierto modelo de comportamiento, los valores de concentración y sobre todo de temperaturas obtenidos. En cualquier caso son soluciones matemáticas extraídas de la aplicación del Rx-Model. Sin embargo, este tipo de soluciones son inextensibles al modelo más simplificado conocido (M-Model) ya que las concentraciones calculadas salen fuera del rango que hace positivo el logaritmo de la ecuación general.


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Esto no significa que no sea una solución posible ya que comprende un modelo más genérico y no tiene por qué englobar un caso más específico. En ese caso, la temperatura de trabajo del reactor (aproximadamente 525ºC) sería mucho más baja. La combustión de las partículas en el lecho se produciría con una alta concentración promedio de oxígeno, y los valores de los productos de reacción serían más favorables al monóxido que al dióxido de carbono. En el artículo de referencia existe una figura que representa los perfiles de concentraciones de gases en la fase burbuja para el M-Model. Esta gráfica ha sido reproducida para el Rx-Model y corresponde a las figuras 12 y 13 del presente proyecto. Puede observarse que la evolución de las curvas es idéntica en el caso de las concentraciones (decrecimiento de la concentración de oxígeno en beneficio de la formación de monóxido y dióxido de carbono) a excepción de un primer tramo en el que el Rx-Model presenta algo de inestabilidad. Sin embargo, en lo que respecta a la temperatura adimensional de las partículas, la gráfica publicada del M-Model registra un valor de 4 mientras que la obtenida a través del modelo Rx supera el valor de 6. En cualquier caso, la evolución cualitativa de ambas curvas es idéntica. 5.4. CONCLUSIONES. El estudio exhaustivo llevado a cabo en el presente proyecto se centra en dos casos particulares del modelo genérico presentado, denominados como ya se conoce, M-Model y Rx-Model. El estudio matemático de las ecuaciones de balance del modelo genérico es mucho más complicado y requiere una capacidad matemática de cálculo fuera de las intenciones de este trabajo. El modelo de trabajo para la resolución de las ecuaciones de conservación del lecho con MATLAB, supera con creces los métodos inevitablemente más rudimentarios de resolución matemática aportados en los artículos referenciados [1,2]. Es una aplicación más rápida y más general, que permite la resolución de ecuaciones de similares características sea cual sea el tipo de lecho empleado o el tipo de partícula tratada. La ampliación y generalización de las funciones es siempre posible, por lo que el problema queda abierto a posibles tratamientos futuros más complejos.


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6. ORGANIZACIÓN Y USO DEL CD. 6.1. CONTENIDO Y ORGANIZACIÓN DEL CD. El CD que acompaña la presente memoria recoge todos los archivos de MATLAB que permiten llevar a cabo la resolución de los modelos propuestos. El acceso a los mismos es sencillo siempre que se disponga del entorno MATLAB. Pulsando sobre los iconos se tiene acceso a las sentencias que constituyen los m-files, pero estos sólo serán modificables si son abiertos desde el programa. Las figuras pueden visualizarse directamente cliqueando sobre las mismas. La estructura de las carpetas incluidas pretende ser coherente con los pasos seguidos en la redacción del presente proyecto. Existen cuatro carpetas fundamentales cuyo contenido de detalla a continuación:

Archivos generales: recoge todos los m-files relativos a la adquisición de datos y tratamiento adimensional de los mismos.

M-Model: en esta carpeta se encuentran todos los archivos que conducen a la

resolución de dicho modelo así como las gráficas obtenidas a partir del mismo.

Rx-Model: análogo al anterior.

En el CD que se adjunta se encuentran todos los archivos que serán detallados a continuación. Todos ellos incluyen las definiciones, comentarios y aclaraciones correspondientes que hacen más sencilla su comprensión. 6.2. ARCHIVOS GENERALES. Esta carpeta contiene los m-files de MATLAB relacionados con la adquisición de datos por parte del programa a través del usuario. Se incluyen también los archivos relativos al cálculo de los números adimensionales precisos para completar las ecuaciones de balance.


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Para el tratamiento de cualquiera de los modelos (incluido el M-Model mediante MATCONT) es necesario el uso de los archivos que a continuación se detallan. Para la realización del proyecto se han tomado los datos relativos a un problema ficticio. Estos datos son los mismos con los que trabajan los autores de los artículos. Se ha hecho de esta forma para poder comparar resultados de una forma más exacta. Sin embargo, los valores de los parámetros pueden variar según el tipo de lecho, las cargas de reactivos en el mismo, etc. Los archivos incluidos en esta carpeta son los siguientes:

a) datosrequeridos.m: este archivo pide al usuario, a través de sentencias de input, los valores de las siguientes variables (todas ellas definidas como globales):

Ac = Área de transferencia de calor en m2 At = Sección transversal del lecho en m2 C1o = Concentración de oxígeno en el gas de entrada en mol/m3 C2o = Concentración de monóxido de carbono en el gas de entrada en mol/m3 C3o = Concentración de dióxido de carbono en el gas de entrada en mol/m3 cs = Calor específico medio de las partículas sólidas en J/kg K cg = Calor específico medio del gas en J/kg K D = Difusividad molecular de los reactivos en la mezcla gaseosa en m2/s E1 = Energía de activación de la reacción 1 en K E2 = Energía de activación de la reacción 2 en K E3 = Energía de activación de la reacción 3 en K hc = Coeficiente de transferencia de calor del serpentín sumergido en el lecho en J/s m2 K ko1 = Factor de frecuencia de la reacción 1 en m/s ko2 = Factor de frecuencia de la reacción 2 en m3 kg/mol s ko3 = Factor de frecuencia de la reacción 3 en m/s Lmf = Altura del lecho fluido en condiciones de mínima fluidización en m Ms = Peso molecular de las partículas qc = Flujo de agua a través del serpentín en kg/s Tcf = Temperatura del agua entrante al serpentín en K Tws = Temperatura de ebullición en el serpentín en K MenosEntalpia1 = Calor de la reacción 1 en J kg/mol MenosEntalpia2 = Calor de la reacción 2 en J kg/mol MenosEntalpia3 = Calor de la reacción 3 en J kg/mol Emf = Porosidad en la fase emulsión kg = Conductividad térmica del gas en J/m s K ViscosidadGas = Viscosidad del gas en kg/m s DensidadGas = Densidad del gas en kg/m3 DensidadSolido = Densidad del sólido en kg/m3 db = Diámetro de burbuja en m Ri = Radio inicial de las partículas en m To = Temperatura del aire en la alimentación en K g = Valor de la gravedad en m/s2 Uo = Velocidad superficial del gas en m/s


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Tpo = Temperatura de las partículas en la alimentación en K

b) adimensional.m: este archivo calcula el valor de todos los números adimensionales que aparecen en las ecuaciones de conservación (apartado 3.4) a partir de los datos introducidos por el usuario a través del archivo de datos requeridos. De igual forma, calcula ciertos valores de parámetros (principalmente relativos a las velocidades que intervienen en el problema) que serán necesarios a lo largo del procedimiento.

c) agrupaciones.m: es un m-file muy sencillo en el que se calculan los valores de los parámetros adimensionales ‘Gi’ (definidos a partir de las expresiones adimensionales calculadas en adimensional.m), así como el valor numérico de los parámetros ‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, ‘e’ y ‘f’, que permiten escribir de manera más simplificada la ecuación general del M-Model. Se le ha denominado agrupaciones.m ya que no se trata de ningún cálculo importante para el problema, sino que es tan sólo una unión de las expresiones ya conocidas con la idea de hacer más sencilla la presentación del problema.

Estos archivos generales se ejecutarán en MATLAB de forma consecutiva y en el orden en que aquí se presentan. Con ellos se obtendrán los valores numéricos de todos los parámetros que intervienen en el sistema y que aparecen en las ecuaciones de conservación. 6.3. M-MODEL. La carpeta M-Model contiene dos subcarpetas que corresponden a la resolución de dicho modelo a través del método de Davidenko (carpeta Davidenko) y a través del paquete de continuación MATCONT (carpeta MATCONT). Cada uno de estos métodos de trabajo tiene un procedimiento diferente a seguir. 6.3.1. Carpeta Davidenko.


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En esta subcarpeta están incluidos todos los m-files necesarios para resolver el M-Model a través del método de Davidenko. Previamente, es necesario haber obtenido el valor numérico de todos los parámetros definidos en el apartado anterior de archivos generales. Una vez conocidos dichos valores, es necesario definir la función que se pretende resolver mediante este método de continuación. Como se ha descrito a lo largo de esta memoria, el método de Davidenko ha sido aplicado a dos de los parámetros que intervienen en el sistema: la temperatura superficial inicial de las partículas de carbón (Tp

0) y la temperatura inicial de entrada de gases al reactor (T0). Es necesario definir estas dos funciones en función de la incógnita (concentración x1) y uno de estos dos parámetros. De igual forma, el método de Davidenko necesita para su ejecución, la derivada de la función con respecto a la incógnita y al parámetro.

a) tparticulas.m: es el archivo que corresponde a la definición de la función del M-Model respecto a la incógnita (concentración de oxígeno en los gases, x1) y al parámetro (Tp

0). Esta función será llamada por Davidenko mediante la ejecución del mismo. Se emite un vector de salida con tres componentes, el primero correspondiente al valor de la función en el punto de las condiciones iniciales, y los otros dos relativos a las dos derivadas ya descritas.

b) tinicial.m: realiza la misma función que el archivo anterior con la diferencia de

que, en este caso, el parámetro considerado es la temperatura inicial de entrada de gases al reactor (T0). La definición de la derivada respecto al parámetro es bastante más complicada que en el caso anterior.

c) davidenko.m: este archivo contiene las sentencias que ejecutan el método de continuación de Davidenko. La llamada al mismo a través de la Command Window ha sido detallada en el apartado 4.2.3. Cuando se pretende resolver el M-Model a partir de este comando, no es necesario realizar ninguna acción con la función anteriormente definida. Es el mismo Davidenko quien la llama y quien toma los valores de la misma, y de sus derivadas para el vector de condiciones iniciales, y para los puntos sucesivos calculados de la curva.

6.3.2. Carpeta MATCONT. El procedimiento de trabajo de resolución del M-Model mediante el paquete MATCONT es algo diferente a lo que viene siendo la tónica general en MATLAB. Este software de continuación, así como sus instrucciones de uso, pueden obtenerse de manera gratuita en Internet.


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El entorno de trabajo es algo distinto al entorno de MATLAB. Como se ha explicado en el apartado 4.2.4, sólo es necesaria la definición de la función a tratar y no de sus derivadas, lo que lo hace más sencillo en comparación con Davidenko. Sin embargo, es necesario tomar los valores numéricos de todos los parámetros definidos en la carpeta de Archivos Generales para introducirlos manualmente en el mismo. No es posible integrar dichos archivos con la función definida. En esta carpeta se presentan las gráficas y resultados obtenidos a raíz de la aplicación del programa de la forma ya explicada (apartado 4.2.4). 6.4. Rx-MODEL. La carpeta Rx-Model contiene todos los archivos necesarios para la resolución de dicho modelo. Como ha sido explicado en el apartado 4.3, se trata de un método de resolución iterativo que MATLAB es capaz de resolver de forma casi instantánea. Tras la adquisición de los datos a través de los m-files de Archivos Generales, es necesaria la ejecución de los comandos ode45 y fsolve. Las funciones necesarias para poder llevarlos a cabo son:

a) dilutetotal.m: este archivo recoge el sistema de ecuaciones que modela la conservación de materia y energía en la fase burbuja. De igual forma contiene la estrategia relativa al uso del teorema fundamental del cálculo para la obtención de los valores de concentración promedio necesarios posteriormente en las ecuaciones relativas a la fase emulsión. La aplicación de ode45 a esta función, proporciona un vector dy de ocho componentes cuyos cuatro primeros términos corresponden a los perfiles de concentración de cada una de las especies implicadas, y cuyos cuatro últimos caracterizan el valor promedio de la concentración de dichos reactantes.

b) pasofinal.m: esta función contiene el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro

incógnitas que modela la concentración de gases y la temperatura en el fluido dentro de la fase emulsión. La función está formulada como un vector de cuatro componentes, cada uno de los cuales corresponde a un reactante de dicha fase, o a la temperatura de la misma. La aplicación de fsolve sobre esta función permite obtener los resultados relativos a la concentración de especies gaseosas y temperatura en la fase emulsión.


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c) procedimiento.m: es el archivo que automatiza el procedimiento de resolución del Rx-Model. Tras la adquisición por parte del programa de los datos demandados en Archivos Generales, la ejecución de este m-file realiza el proceso de forma continua. La puesta en marcha del mismo exige la introducción de los valores iniciales relativos a las concentraciones de reactivos y temperatura en el gas de la fase emulsión. Como primera aproximación, serán utilizados los resultados extraídos del M-Model. De igual forma es necesario aportar las condiciones iniciales relativas a las concentraciones y temperatura de gases de la fase burbuja (también tomadas del M-Model). A continuación el programa realizado ejecuta el esquema presentado en el apartado 4.3.1, para un número de iteraciones determinado.


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7. NOTACIÓN.


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cA Área de transferencia de calor

tA Sección transversal del lecho

gc Calor específico del gas

sc Calor específico de las partículas sólidas 0jC Concentración de la especie j en el gas de entrada

,j nC Concentración del componente j en la fase n

bd Diámetro efectivo de burbuja

pd Diámetro de una particular de carbón D Difusividad molecular de los reactivos en una mezcla de gases

iE Energía de activación de la reacción i

0F Flujo de entrada de sólidos g Gravedad ( )bc bH Coeficiente global de transferencia de calor entre la nube y la fase burbuja por unidad de volumen de la fase burbuja ( )be bH Coeficiente global de transferencia de calor entre la fase burbuja y la fase emulsión por unidad de volumen de la fase burbuja

ch Coeficiente de transferencia de calor del serpentín sumergido en el reactor ( )bc bK Coeficiente global de transferencia de materia entre la nube y la fase burbuja por unidad de volumen de la fase burbuja ( )be bK Coeficiente global de transferencia de materia entre la fase emulsión y la fase burbuja por unidad de volumen de la fase burbuja ( )ce bK Coeficiente global de transferencia de materia entre la nube y la fase emulsión por unidad de volumen de la fase burbuja

gk Conductividad térmica del gas

ik Constante de velocidad de la reacción i ''0ik Factor de frecuencia de Arrhenius

fL Altura del lecho fluidizado

mfL Altura del lecho en condiciones de mínima fluidización

sM Peso molecular de las partículas

bp Distribución de sólidos en el lecho

cq Flujo de agua a través del serpentín r Radio de una partícula en cualquier instante de tiempo ir Velocidad de la reacción i

iR Radio inicial de las partículas ( )R r Ratio de consumo de las partículas 0*T Temperatura del gas de alimentación

cfT Temperatura de entrada del agua en el serpentín


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0pT Temperatura de las partículas en la alimentación

wsT Temperatura de ebullición del líquido del serpentín

brU Velocidad relativa de ascensión de burbujas

dU Velocidad absoluta del gas en la fase burbuja

iU Velocidad absoluta del gas en la fase emulsión

mfU Velocidad de mínima fluidización

0U Velocidad superficial del gas

tU Velocidad terminal

iV Volumen de gas intersticial

mfV Volumen del lecho en condiciones de mínima fluidización

pV Volumen total de partículas W Peso de las partículas en el lecho δ Fracción en volumen de burbujas en el lecho

mfε Porosidad de la fase emulsión ( )iH∆ Calor de reacción de la reacción i

gρ Densidad del gas

sρ Densidad del sólido

sφ Esfericidad del sólido µ Viscosidad del gas 8. REFERENCIAS.


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[1] Alfredo L. Gordon & Neal R. Amundson. Modelling of Fluidized Bed Reactors IV. Combustion of Carbon Particles. Chemical Engineering Science, 1976.

[2] Alfredo L. Gordon, Hugo S. Caram & Neal R. Amundson. Modelling of

Fluidized Bed Reactors V. Combustion of Carbon Particles – an Extension. Chemical Engineering Science, 1978.

[3] Alan W. Weimer & David E. Clough. Modeling a Low Pressure Steam-Oxygen Fluidized Bed Coal Gasifying Reactor. Chemical Engineering Science, 1981.

[4] Geldart. Powder Techno, 7, 285-292. (1973).

[5] Robert H. Perry & Don W. Green. Manual del Ingeniero Químico. Tomo III, Capítulo 17. Mc Graw-Hill, 2001.

[6] Kunii D. & Levenspiel O. Fluidization Engineering. John Wiley, New York 1969.

[7] Rowe & Patridge. Particle Movement Caused by Bubbles in a Fluidized Bed. Third Congress of European Federation of Chemical Engineering. Londres, 1962.

[8] Bukur D. Thesis, Universidad de Minnesota, 1974.

[9] E.B. Magrab, S. Azarm, B. Balachandran, J.H. Duncan, K.E. Herold & G.C. Walsh. An Engineer’s Guide to MATLAB, 2000.


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