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DINÁMICA DE

SISTEMAS LINEALES

DE CONTROL 1

PROFESOR

Oscar Páez Rivera

2003

Departamento de Ingeniería EléctricaUniversidad de Santiago de Chile

Dinámica de sistemas lineales de control 1 Pagina ds.2

Dinámica de sistemas lineales de control

1 Entorno del texto

Cuando se está diseñando un proceso, es frecuente que el Ingeniero de control se pregunte:

En cuanto tiempo se llenaría este estanque a un flujo de relleno dado?

En cuanto tiempo aumentará 10 °C la temperatura de un reactor de tal materia prima al aplicar un flujo de vapor dado al serpentín?

En cuanto tiempo se puede notar el efecto de un cambio en el flujo de alimentación de un molino?

Es capaz de reaccionar la masa de un reactor a la inversión del giro del agitador a una frecuencia dada?

Estas y muchas otras preguntas de producción tienen que ver con la forma en que reaccionan los procesos ante cambios en las variables que los manejan. Estos cambios se deben representar en una ventana gráfica cuyo eje horizontal esta dado por el tiempo empleado en el cambio y en el eje vertical se considera la amplitud de la variable involucrada en dicho cambio. Esta ventana es una generalización de la pantalla de un Osciloscopio o un papel de registrador.

Se emplea un enfoque matemático apropiado para el Ingeniero de diseño de sistemas de control.

2 Descripción de sistemas lineales

Considérese un sistema productivo real cuya instrumentación permita registrar la evolución en el tiempo de las variables: Entrada (U(t)) y la salida (y(t)). Para muchos de estos sistemas es posible encontrar una descripción lineal matemática entre estas variables, que constituye el modelo del proceso. La aproximación entre el modelo y el sistema real puede ser aceptable y al modelo se le llama sistema lineal, por cumplir con las propiedades de los espacios vectoriales. En este texto, se analizan (desde el punto de vista de control) sistemas lineales de primer y segundo orden y a partir de ellos se obtiene una generalización para sistemas de orden superior. En adelante se llamará sistema al modelo matemático

Un sistema lineal puede describirse mediante ecuaciones diferenciales; funciones de transferencia y ecuaciones de estado. En este texto se consideran sistemas invariantes en el tiempo, de parámetros constantes y además de una entrada y una salida. Las descripciones señaladas son las siguientes:

a) Ecuaciones diferenciales (ds1

Oscar Páez Rivera Profesor Asociado Departamento Ingeniería Eléctrica Universidad de Santiago


b) Funciones de transferencias (ds2

H(s) llamada función de transferencia, es la Transformada de Laplace de la respuesta y(t) cuando la entrada U(t) es un impulso de DIRAC y las condiciones iniciales son nulas.

c) Variables de estados: X es la variable de estado del sistema lineal si se cumple con:

(ds3

Debe establecerse que cualquier sistema esta expresado en variables de estado si admite la descripción:

(ds3_a

Siendo x ,u vectores.

3 Dinámica de sistemas.

Dinámica y estática son conceptos contrapuestos y tienen que ver con la evolución en el tiempo.

Una situación es dinámica, cuando hay cambios asociados al transcurso del tiempo. La dinámica de un sistema se refiere a como cambia la salida cuando existe un cambio en la entrada. Este cambio puede analizarse en términos de dos escalas.

a)La escala de amplitud: Se refiere a la escala física a la que está referida la magnitud de la variable de salida.

b)La escala temporal: Cualquier fenómeno tiene su propia unidad de tiempo; unos son más lentos que otros. La escala de tiempo es aquella que permite apreciar

claramente el desarrollo del cambio (por ejemplo, la respuesta al escalón).

En la figura ds1 se muestra un sistema constituido por un estanque y un calefactor a vapor. El sistema está operando inicialmente con una apertura de la válvula de control de 20%. Con dicha

apertura, el flujo de vapor ha estabilizado la temperatura del líquido en 30ºC. Se ordena abrir bruscamente la válvula a un 50%; Esto se completa en 0.4 seg. La temperatura

evoluciona, de modo que en 8 min. Se estabiliza en aproximadamente 80ºC.



Empleando el registrador TIR, se ha logrado graficar el movimiento del vástago de la válvula de control. Se aprecia que el cambio no es instantáneo ni brusco como se ve en la figura ds2

Del experimento se concluye:

I. El fenómeno del movimiento de la válvula ocurre en un lapso de 0.4 seg. y la unidad de dicha escala puede fijarse de 0.1 segundo; sin embargo, al registrar el fenómeno en la escala de tiempo del cambio de temperatura, no es posible apreciar la transición del vástago.

II. El fenómeno de variación de temperatura ocurre en 8 minutos. La unidad temporal adecuada es de 1 minuto (600 veces mayor que la unidad anterior).

III. Tomando 1 minuto como unidad temporal; el cambio de la válvula ocurre instantáneamente.



4 Escalas de variables y puntos de trabajo

Rangos y unidades:

Las variables son representaciones matemáticas de las magnitudes físicas que intervienen en los procesos, debido a esto, es muy importante la escala en la que se desarrollan los cambios que analiza la dinámica. Una variable x se mueve en un rango (a,b) de la magnitud a la que pertenece, la misma naturaleza propone las unidades a emplear. En el ejemplo del calentamiento por vapor, la variable T de temperatura del estanque se mueve en el rango de 20 a 80 °C, la unidad básica es un grado Celsius.

En control automático es importante definir escalas y unidades que sirvan para controlar, esto implica definir:

El rangoLa unidad El origenLa variable coherente con las definiciones.

Rangos de variables y escalas:

Magnitudes positivas: Existen rangos en los que ambos extremos correspondientes son positivos (o ambos negativos) por ejemplo:

La temperatura de un líquidoEl nivel de un estanque El flujo que aporta una bomba centrifugaLa presión aplicada a una matriz en el estampado

En tales casos se recomienda definir una escala de 0 a 100% correspondiendo el 50% (mitad de

la escala) al valor Obviamente la unidad de esta nueva escala es .

Magnitudes positivas y negativas: Existen rangos en los que los extremos correspondientes son positivos y negativos y el valor positivo de la variable tiene un sentido y el valor negativo de la variable tiene otro sentido, por ejemplo:

La temperatura del agua entorno del punto de congelamientoLa posición de un cilindro en torno de la mitad de su recorrido (afuera y adentro) El flujo que circula en un pistón.La presión de respiración (para inspirar y expirar)El flujo de calor para calentar y enfriar.

En tales casos se recomienda emplear una escala física simétrica (-a, +a) y definir una nueva escala de -50 a +50% correspondiendo el 0% (mitad de la escala) al valor 0. Obviamente la unidad de

esta nueva escala es .

Variables incrementales:



Sea X la variable asociada al rango (a,b); y sea x la nueva variable x definida por ; x vale 0 cuando X=a (valor inferior del rango); además x vale b-a cuando X=b valor superior del rango). Esta transformación mantiene las unidades originales pero cambia el cero al valor inferior del rango. La siguiente transformación permite obtener una variable cuya unidad es un uno por ciento del rango b-a y también tiene su cero en el valor inferior de X

(ds4

Sea X la variable asociada al rango (a,b); y sea z la nueva variable x definida por ; z

vale 0 cuando (valor medio del rango) ; además z vale cuando X=b (valor

superior del rango). La siguiente transformación permite obtener una variable cuya unidad es un uno por ciento del rango b-a y también tiene su cero en el valor medio del rango de X

(ds5

Además cuando X=b, esta variable adopta el valor 50% y cuando X=a esta variable adopta el valor de -50%

5 Puntos de equilibrio y linealizaciones

Los sistemas, o mejor dicho, los modelos matemáticos lineales, son descripciones para los cuales existen muchas herramientas de análisis. Desafortunadamente, los sistemas reales no son lineales. Se pueden encontrar rangos tales que sus variables cumplen las propiedades de linealidad, al interior de esos rangos las descripciones del párrafo 2 son validas.

Por otra parte, en los procesos industriales es normal que ellos operen con valores constantes durante una gran parte del tiempo de trabajo. El vector formado por el valor de todas las variables involucradas en dicha condición recibe el nombre de punto de operación que además resulta ser un punto de equilibrio.Definición: Se dice punto de operación al vector formado por el valor de todas las variables involucradas en una condición de operación.

Definición: se dice que un punto de operación es un punto de equilibrio si al llevar el proceso ha dicho punto, permanece allí mientras no sea perturbado.

Linealización en torno de un punto de equilibrio



A continuación se presentan algunas construcciones de modelos lineales validos en un entorno de un punto de equilibrio. Cuando se habla de un entorno, se mantiene el concepto matemático de vecindad es decir pequeñas excursiones de las variables alrededor del punto considerado.

5.1 Caso de (ds6

El punto de equilibrio esta dado por (U0,Y0) tal que , al aplicar la linealización se tiene:

Al emplear (ds6 en esta ecuación (condición de equilibrio), se llega a:

Definiendo unas nuevas variables incrementales y=Y-Y0 u=U-U0 se tiene finalmente:

(ds7

5.2 Caso de (ds8

El punto de equilibrio esta dado por :(U0,Y0) tal que

Definiendo a al aplicar la linealización se tiene:

Puesto que V0=0 y entonces

Definiendo unas nuevas variables incrementales y=Y-Y0 u=U-U0 se tiene finalmente:



(ds9

5.2 Ejemplo Considérese el sistema hidráulico de la Figura ds3, la ecuación diferencial que describe el comportamiento no lineal es la siguiente

Se define un punto de operación Qe0, H0 tal que , se definen las variables incrementales qe=Qe- Qe0; h=H –H0 con ello se tiene finalmente

(ds10

6 Respuesta al escalón

Lo que interesa es poder predecir como cambiara una variable de proceso ante un cambio en la variable de entrada, obviamente hay demasiadas posibilidades de cambios en la entrada, afortunadamente hay una forma de cambio llamada escalón, que permite descubrir la dinámica de los fenómenos.

a) Definición de un escalón



Un escalón es en realidad un cambio brusco en una variable, en términos matemáticos, un escalón es una discontinuidad; pero en el mundo físico no son posibles estas discontinuidades, a continuación se verá una definición más propia de la Ingeniería.

Sea tm la menor cantidad de tiempo en que se puede dividir y observar con certeza un intervalo de tiempo. Así, cualquier función del tiempo se puede medir en alguno de esos intervalos.

Se dice que U(t) cambia en escalón en el instante ktm si :

(ds11

b) Escalones reales

Sea Tf el tiempo que toma un fenómeno en cambiar su salida de un valor sostenido a otro valor sostenido. Si la entrada que provoco este cambio migro de un valor sostenido al nuevo valor sostenido

en un lapso de tiempo igual o inferior a ; entonces se trata de un escalón real.

La asignación de cambio en escalón es, en realidad, arbitraria y depende de las escalas de tiempo que están en juego. El criterio es que visto desde la escala de tiempo más lenta el cambio en la entrada se vea como instantáneo.

c) Curva de reacción ; Tiempo de respuesta y sobrepaso

Para los sistemas lineales asintóticamente estables, la respuesta sostenida a un escalón es otro escalón.

Sean las condiciones iniciales nulas. Se llama curva de reacción a la curva de respuesta a un escalón en condiciones iniciales nulas. Las figuras ds2 y ds3 son algunos ejemplos de curvas de reacción.

Lo que se describirá a continuación es aplicable a todas las curvas de reacción. Obsérvese la curva de la Figura ds4, se trata de la respuesta de un proceso a un escalón en la

entrada. Debido a la condición de estabilidad asintótica, en esta curva se alcanza un valor final constante.

En la curva se aprecian oscilaciones en torno del valor final, hay una desviación máxima del valor final y un lapso de tiempo en que se estabiliza la curva de respuesta.



c1 Tiempo de respuesta :

Definiendo un tubo de un ancho dado en cierto porcentaje en torno del valor final se define el tiempo de respuesta “tr”al instante cuando la curva entra a la banda (o tubo) y no vuelve a salir. Salvo otra indicación se asume una banda de 5% del valor final, tal como se representa en la Figura, obsérvese que el tiempo de respuesta divide la operación en una parte transciente y otra permanente .Esta ultima parte tiene sentido mientras dure el escalón.

Este concepto de tiempo de respuesta se generaliza para otro tipo de entradas (rampas, sinusoides, señales periódicas, etc.), definiendo la banda porcentual en torno de la respuesta sostenida y determinando cuando la curva de respuesta entra en dicha banda y no vuelve a salir.

c2 Sobrepaso :

Cuando la curva de reacción excede el valor final, entonces existe un sobrepaso “OS” definido por :

(ds12

No todas las curvas de reacción presentan sobrepaso, la respuesta al calentamiento del experimento anterior no lo tiene (Figura ds2).

c) Ganancia estática de posición



Sean U0, Y0 los valores sostenidos de U;Y en el punto de equilibrio ; sea U el cambio sostenido a la entrada. Sea y el cambio sostenido a la salida.

Se define como ganancia estática de posición al cuociente :

(ds13

e) Otros conceptos básicos.

Escala natural de respuesta en el tiempo : Es el lapso de tiempo en el cual el fenómeno ocurre completamente.

Estabilidad asintótica : La estabilidad se define en torno a un punto de equilibrio. En un sistema lineal no degenerado*, el punto

dado por las condiciones iniciales igual a “0” es el punto de equilibrio. Esto quiere decir que si se deja el sistema en dicha situación con entrada nula, entonces permanecerá constantemente en esa situación. (* Un sistema lineal no degenerado se describe por “n” ecuaciones linealmente independientes para “n” componentes del estado). Un sistema tiene estabilidad asintótica o es asintótica mente estable, si al aplicarle un escalón a la entrada, éste se estabiliza en otra cantidad proporcional al monto del escalón aplicado. Una definición más formal está planteada en “Ingeniería de control moderno”. Ogata. En este texto carece de interés el análisis de sistemas inestables; salvo indicación explícita, el texto se refiere a sistemas asintótica mente estable.

Ventana de observación :

Es la escala de tiempo y de amplitud necesaria para poder visualizar completamente el fenómeno, es decir, esta constituida por la escala natural de tiempo y de amplitud.

Tiempo de subida (rise time) : Lapso de tiempo que emplea el sistema en llegar entre el 10% y el 90% del valor final, luego de someterse a un escalón.

6 Preguntas y ejercicios

6.1 Obtenga la ecuación diferencial que corresponde a

6.2 Obtenga la descripción en variables de estado de



6.3 Obtenga la descripción en variables de estado de

Respuesta

6.4 Diseñe un experimento para determinar la ventana de observación del ejemplo de la Figura ds1

6.5 Cual es la ganancia estática de posición del ejemplo de la Figura ds1

6.6 Sea un estanque de agua de proceso con volumen máximo de 6000 litros y un área A de 1.5 m2 . Se pide determinar un modelo lineal en torno de un punto de operación de un caudal de salida Qe0 de 10 gpm (galones por minuto). Refiérase al ejemplo de 5.2.

6.7 Se desea controlar la temperatura del estanque de la Figura ds1 en el rango de (30; 80ºC). Suponga que existe una proporcionalidad entre el porcentaje de apertura de la válvula de control y la temperatura a que se estabiliza el estanque. Determinar un par de variables incrementales de entrada y salida (r; c), tal que estén en % y que cubran los rangos (20; 50%) de Z recorrido del vástago de la válvula de control y (30; 80ºC) de la temperatura T del estanque. Desarrollar las ecuaciones de transformación (Z; T) (r; c).

6.8 En el circuito eléctrico de la Figura ds5 se conecta en t=0 el voltaje U periódico con la forma de onda que oscila entre 9 y 3 volts. Determinar el tiempo de respuesta para la corriente sabiendo que L es 1mH y R 2 Ω.

6.9 La Figura ds6 muestra la curva de reacción de una caldera. Se ha aplicado un escalón de 4mA en la entrada y se logra la curva oscilatoria. Se pide determinar el tiempo de respuesta a 10% del valor final, el porcentaje de sobrepaso. Determinar un par de variables incrementales de entrada y salida (r; c), tal que estén en % y que cubran los rangos (8; 16 mA) de U corriente de entrada y (400; 1200 PSI) de la presión de salida de la caldera. Desarrollar las ecuaciones de transformación (Z; T) (r; c) se desea que 0% corresponda a 12 mA.



Solución de ecuaciones diferenciales lineales

Este texto busca sintetizar algunos resultados de uso frecuente en la solución de ecuaciones diferenciales lineales y su aplicación a la dinámica de sistemas de control

7. Definiciones

El símbolo “p” se entiende como el operador diferenciador; es decir :

(ed1

El operador p aplicado a la función exponencial

(ed2

Las notaciones L(p), M(p) designan a polinomios en “p” de orden n, m. Así, L(p)y = M(p)u designa la ecuación diferencial general :

(ed3Esta ecuación debe constar de coeficientes reales para representar procesos físicos.

Se llama homogénea a la ecuación diferencial siguiente

(ed4

y se obtiene de la ecuación general (ed3 cuando u es cero para todo t 0 . La interpretación desde el punto de vista de procesos es que esta ecuación representa la evolución autónoma de fenómenos en base a la energía propia disponible y que se expresan en las condiciones iniciales . Su solución yh se llama respuesta homogénea de la ecuación y expresa los modos propios de respuesta del proceso descrito.

La ecuación algebraica L(x) = 0 con x C se llama la ecuación característica de la ecuación diferencial y se obtiene reemplazando en la ecuación homogénea el operador p por una variable algebraica x.



Para la ecuación diferencial . Se llaman condiciones iniciales al conjunto de valores siguientes:

8. Propiedades y resultados previos

8.1 (ed5

8.2 (ed6que se obtiene aplicando 8.1 sucesivamente en la ecuación diferencial y factorizando por : et

9. Solución de ecuaciones homogéneas

Sea la ecuación . Que representa a un sistema autónomo. A continuación se revisan casos que dependen de la ecuación característica.

Si entonces satisface a (SE1

Demostración :

Este resultado es muy importante y puede decirse en palabras:“Si la ecuación característica se satisface para el valor ;

entonces ket satisface la ecuación homogénea.”

Si entonces (SE2

Satisfacen



Demostración : Ya se sabe que y1h satisface , ahora se debe ver que pasa con y2h

“Si la ecuación característica presenta una raíz doble en ; entonces ket ; ktet satisfacen la ecuación homogénea.”

Si , entonces (SE3

Satisfacen a . Esto se demuestra generalizando el resultado anterior.

Si , entonces satisface a (SE4

Demostración : Sea d=(bt+)

Nota: es fácil probar que la ecuación diferencial homogénea se satisface también con :

o



“Si la ecuación característica presenta raíces complejas conjugadas;entonces eatcos(bt+) satisface la ecuación homogénea.Donde a: parte real raíz ; b: parte imaginaria de la raíz.

Si entonces satisface la ecuación (SE5

Este es un caso particular de lo anterior con a=0, en palabras:

“Si la ecuación característica presenta raíces imaginarias puras;entonces la ecuación homogénea se satisface con una función

sinusoidal con frecuencia dada por la parte imaginaria”.

10 Solución Forzada de ecuaciones diferenciales

Se revisaran algunos casos importantes para la ecuación :

Si Con C0 = constante; entonces 0

0p a

by satisface a

(SE6La demostración es trivial, en palabras:

“La respuesta forzada a una constante es otra constante”

Si , entonces , entonces

satisface (SE7 Demostración

Así al reemplazar en y aplicando la independencia lineal de las funciones, se tiene :

“La respuesta forzada a una rampa es otra rampa superpuesta a un escalón”

Si U(t) = cos(t), entonces satisface

(SE8


n 3


La entrada U(t) es la parte real de e jwt ; la solución forzada es la parte real de la solución de la siguiente ecuación.

Sea = ejt la solución de la ecuación diferencial, donde es un complejo a calcular.

Es fácil ver quepn = (j)nejt

Luego se tiene que

Por lo tanto, se cumple el enunciado.

“La respuesta forzada ante una excitación sinusoidal es otra ecuación sinusoidal cuya amplitud y desfase respecto de la original depende de ”

11. Solución completa de ecuaciones diferenciales

Sea con U(t) dado y las siguientes condiciones iniciales

Procedimiento :

Se determina la respuesta forzada yp(t).Se factoriza L(x).Se asocian soluciones a los factores de L(x) : yh1(t) ; y2h(t) ; ... ; ynh(t). para

obtener la respuesta homogénea Se compone la solución total de la forzada =>



A partir de la expresión anterior se obtienen las soluciones derivadas de y(t) ; se evalúan en t=0 y se plantea el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

De allí se calculan los coeficientes Ci que determinan en forma única a y(t) con respecto a las condiciones iniciales dadas.

Ejemplo : Dado que y(0) = 1 ; y(1)(0) = 0 ; y(2)(0) = 0 . Resolver (p3+6p2+11p+6)y(t)=3t-1

i) Respuesta forzada. al calcular

ii) Factorización.

iii) Solución homogénea.

iv) Solución total.

v) Sistemas de ecuaciones

De donde

la respuesta final es :



12 sistemas lineales y ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales resultan ser las más adecuadas para expresar la ocurrencia de fenómenos que se desarrollan en el tiempo (típico de los procesos industriales), ya que si y(t) representa la amplitud de una variable , py(t) representa su cambio en el tiempo(velocidad de cambio) , p2y(t) representa la aceleración de cambio y así sucesivamente.

Una vez construido un modelo lineal de un sistema real A dado la ecuación diferencial

correspondiente pasa a ser el sistema A (esta economía del lenguaje es ampliamente usada). Por provenir del mundo físico Newtoniano, esta ecuación diferencial debe cumplir con:

a. Ser de coeficientes realesb. L(x) de un orden mayor o a lo sumo igual que M(x).

Por lo visto anteriormente, si es raíz de L(x)=0, entonces et es una solución de L(p)y=0.Por lo tanto el primer problema es saber si L(x)=0tiene una raíz, el teorema fundamental del álgebra garantiza que una ecuación algebraica tiene siempre al menos una raíz. Por otra parte el teorema del residuo establece que la división L(x) por (x-) es exacta, vale decir:

de donde se deduce que

Ahora se aplica el mismo procedimiento a N(x) hasta concluir que:

Los factores (x-i) pueden componerse de valores i reales o complejos, sin embargo, debido a que los coeficientes de la ecuación diferencial deben ser reales, la existencia de una raíz i =a + jb implica la existencia de una raíz i+1 =a – jb es decir la compleja conjugada. En la factorización se genera un termino de segundo orden [(x-a)2 + b2]. Así la forma final de L(x) es:

Sistemas en cascada:

Sea un sistema A dado por L(p)W=U. Sea un sistema B dado por N(p)Y=W entonces se puede considerar un tercer sistema C dado por L(p) N(p)Y=U

Se concluye que todo sistema lineal se puede interpretar como una composición en cascada de sistemas de primer y segundo orden. Esto justifica un análisis detallados de estos sistemas elementales.



13 Ejercicios propuestos

13.1.- Resolver la siguiente ecuación diferencial.

con y(0) = 0 ; y(1)(0) = 0 ; y(2)(0) = 0

Respuesta :

13.2.- Resolver : con y(0) = 0 ; y(1)(0) = 0

Respuesta :

13.3.- Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales.

a) con y y y( ) ; ( ) ; ( )( ) ( )0 0 0 0 0 01 2

b) ( )p p p p y4 3 22 2 3 6 6 con

13.4 Demuestre que: Si , entonces, satisface la ecuación

13.5 Demuestre que: Si , entonces las n soluciones , satisfacen la ecuación

13.6 Si y e demuestre que =0


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