universidad de murcia departamento de matematicas · 2.4 otros ejemplos de conjuntos d ebilmen te...

UNIVERSIDAD DE MURCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Propiedades de loscompactos de Eberlein

FERNANDO GARCIA CASTANO

JULIO 2001

A mi familia.

Agradecimientos

A continuacion deseo expresar mi agradecimiento a todas aquellas personasque han contribuido a la realizacion de esta memoria y a las que tanto meapoyaron durante los difıciles anos en los que curse la carrera.

A mis tıos y primos que me hicieron sentir como en casa.

A mis padres Fernando y Ma Dolores, a mi abuelo Fernando, a mi hermanoJose y a Aleimis porque siempre han estado a mi lado y han sido un pilarmuy fuerte donde apoyarme.

A Candy, Emilio, Esther y Candy porque siempre me han dado animos paraseguir, aun cuando las cosas parecıan no acabar.

A Noelia, de manera muy especial, por la paciencia y el apoyo que me siguedando.

Como no agradecer a D. Jose Orihuela Calatayud todo el tiempo que meha dedicado y su ayuda tanto en el plano academico como en el personal.Tambien a todos los miembros del departamento de matematicas que siempreque les he pedido ayuda no han dudado en darmela.

Durante el ultimo ano he disfrutado de una beca de la Fundacion Seneca, desu proyecto de ayuda a Grupos de Alto Rendimiento.

Por ultimo deseo tener un especial recuerdo para mi abuela Ma Dolores queno pudo ver como acababa la carrera y para mi abuela Carmen.

v

Indice General

Agradecimientos v

Introduccion ix

1 Preliminares 1

1.1 Requisitos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Angelicidad de los compactos de Eberlein 9

2.1 Compactos de Eberlein. Definicion y primeros ejemplos. . . . 9

2.2 Compacidad en Cp(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Conjuntos debil compactos de C(K) . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Otros ejemplos de conjuntos debilmente compactos . . . . . . 22

3 Inmersion de los compactos de Eberlein 25

3.1 Otras caracterizaciones y propiedades de los compactos deEberlein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Pares conjungados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Inmersion en c0(Γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Inmersion en un espacio de Banach reflexivo . . . . . . . . . . 62

3.5 Compactos de Eberlein uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Propiedades topologicas de los compactos de Eberlein 71

4.1 Funciones separadamente continuas . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 Aplicaciones: metrizabilidad y fragmentabilidad . . . . . . . . 74

4.3 Caracterizaciones internas de los compactos de Eberlein . . . . 78

4.4 Bases σ-discretas y network σ-aisladas . . . . . . . . . . . . . 85

4.5 Propiedades de renormamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

vii

viii

5 Estado actual de los compactos de Eberlein. Conexiones conpropiedades geometricas 995.1 Una vision global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Normalidad y la propiedad de Lindelof . . . . . . . . . . . . . 1095.3 Otras propiedades topologicas y geometricas . . . . . . . . . . 116

A 123A.1 A modo de ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Bibliografıa 133

Introduccion

Los subconjuntos debilmente compactos de espacios de Banach han recibidouna constante atencion por topologos y analistas desde que Amir y Lin-denstrauss probaron en 1968 su famosa caracterizacion para estos compactosque asegura que pueden sumergirse en un cubo muy especial. Sustituir latopologıa debil de un espacio de Banach por la topologıa producto de di-chos cubos ha llevado a caracterizaciones internas de dichos compactos y aldescubrimiento de otras clases relacionadas de conjuntos compactos de enor-me interes. Es esta una parte del Analisis Funcional donde confluyen demanera natural tecnicas topologicas y geometricas y es nuestro objetivo enesta memoria mostrar algunas de ellas desarrollando un estudio sistematicode los subconjuntos debilmente compactos de espacios de Banach. La no-cion de compacidad debil es, al menos, tan antigua como el libro de Banach(1932), si no mas; pero los estudios puramente topologicos de conjuntos debilcompactos son relativamente recientes. Uno de los primeros es de Corson yLindenstrauss [C-L] en 1966, donde aparece la siguiente afirmacion:

Conjeturamos que los subconjuntos puntualmente compactos de c0(Γ) son, no solo

ejemplos de conjuntos debil compactos de espacios de Banach, si no que cada

conjunto debil compacto de un espacio de Banach es homeomorfo (quizas homeo-

morfismo lineal) a un subconjunto de c0(Γ) para algun conjunto Γ.

Esta conjetura fue probada por Amir y Lindenstrauss [Am-L] en 1968, dondese introduce el termino de compacto de Eberlein. En esta tesina se recopilany prueban esta y otras propiedades para los conjuntos debil compactos de unespacio de Banach, llamados compactos de Eberlein.

ix

x Introduccion

Definicion 2.1.1Un espacio topologico compacto K se dice que es compacto de Eberlein si eshomeomorfo a un subconjunto debil compacto de un espacio de Banach.

El trabajo esta dividido en 5 capıtulos y un apendice. En el capıtulo 1se dan las definiciones iniciales y se enuncian algunos resultados clasicos deanalisis funcional que utilizamos a lo largo de la tesina.En el capıtulo 2 se dan los primeros ejemplos y se estudia la propiedad deangelicidad. En los espacios topologicos angelicos las nociones de compa-cidad, compacidad secuencial y compacidad numerable van a coincidir, unprimer ejemplo de espacio topologico angelico es Cp(K) donde K es un es-pacio topologico compacto. Esta ultima afirmacion es el teorema 2.2.10 yse debe a Grothendieck. Como consecuencia; Un espacio de Banach con sutopologıa debil es angelico. Esto nos lleva a que todo compacto de Eberleines angelico.En el capıtulo 3 se prueba la conjetura de Corson y Lindenstrauss. Engeneral se estudian inmersiones de los compactos de Eberlein en espacios deBanach particulares. Para esto se introduce el concepto de emparejamien-to, que nos permite dar una prueba topologica del mencionado resultado deAmir y Lindenstrauss siguiendo a Gul’ko [N]. Esto es, probaremos que Kes un compacto de Eberlein si y solo si K es homeomorfo a un subconjun-to compacto del cubo [0, 1]Γ tal que ∀ε > 0, |γ; |x(γ)| > ε| es finito paracada x ∈ K. Analizaremos algunas propiedades topologicas de los compac-tos de Eberlein y las relacionaremos con una nueva clase, los compactos deEberlein uniformes que son aquellos homeomorfos a subconjuntos debilmentecompactos de espacios de Hilbert. Por ejemplo demostraremos que;

• La imagen mediante una aplicacion continua de un compacto de Eber-lein sigue siendo compacto de Eberlein, [Be-Ru-W];

• Si K es un compacto de Eberlein, entonces para cada subconjunto cerra-do C ⊂ X, y para cada punto c ∈ C existe una sucesion de abiertos novacıos Un : n ∈ N de C convergente a c;

• Los compactos de Eberlein siempre se pueden sumergir como subcon-juntos debil compactos de un espacio de Banach reflexivo, [Da-Fi-J-Pe].

El capıtulo 4 comienza con la prueba del teorema de Namioka sobre conti-nuidad conjunta; Para K y H dos espacios topologicos compactos y

Introduccion xi

f : K ×H −→ [−1, 1] una funcion separadamente continua. Entonces existeun Gδ denso, Ω ⊂ K, tal que f es conjuntamente continua en el conjuntoΩ ×H. Este teorema de funciones continuas se aplica al estudio de los em-parejamientos y se obtienen tres resultados importantes para los compactosde Eberlein;

• Cualquier compacto de Eberlein, contiene un subconjunto Gδ, denso ymetrizable;

• Si K es un debil compacto del espacio de Banach (X, ‖ · ‖), entoncesla norma ‖ · ‖ fragmenta al compacto K;

• Para un compacto de Eberlein K son equivalentes ser metrizable y sa-tisfacer la condicion de cadena numerable.

En la segunda mitad de este capıtulo probamos el teorema de Rosenthal; Unespacio topologico compacto K es un compacto de Eberlein si y solo si existeuna familia U σ-puntualmente finita, formada por abiertos Fσ y que distin-gue los puntos de K. Probaremos tambien el teorema de Hansell viendo que;Todo compacto de Eberlein tiene una network σ-aislada; y el teorema de Tro-yanski; Los conjuntos convexos y debil compactos de un espacio de Banachson la envoltura convexa y cerrada de sus puntos fuertemente expuestos.En el capıtulo 5 se dan tambien las definiciones de otras clases de compac-tos que estan muy relacionados con los compactos de Eberlein. En ocasionesla definicion de algunas de estas clases de compactos viene a generalizar al-guna propiedad de los compactos de Eberlein. Algunos de estos espacios yase han definido anteriormente, como los compactos de Preiss-Simon, com-pactos de Talagrand y compactos de Eberlein uniforme. Ademas se definenlos compactos de Corson, de Valdivia, fragmentables, Radon-Nikodym, qua-si Radon-Nikodym, Stegall, co-Namioka, Gul’ko y compactos con subespaciodenso completamente metrizable. Estas clases de compactos se relacionanmediante implicaciones estrictas (como representamos en un diagrama). Seenuncian algunas propiedades que cumplen estos compactos y se relacionancon las propiedades que cumplen los compactos de Eberlein. Por ejemplo, laclase de compactos de Eberlein es perfecta ya que estos son estables a travesde imagenes continuas, productos numerables y subespacios cerrados. Se ob-serva que las clases de compactos de Talagrand, Gul’ko, Corson y fragmenta-ble son tambien perfectas. Sin embargo no se sabe si la clase de compactos deRadon-Nikodym es perfecta porque es un problema abierto (formulado por

xii Introduccion

Namioka [1987]) si la imagen continua de un compacto de Radon-Nikodymsigue siendo compacto de Radon-Nikodym. La clase compactos de Valdiviano es perfecta, ya que no es estable para subespacios cerrados ni a travesde funciones continuas. Probaremos los teoremas de Baturov y Reznichenkoque relacionan la normalidad y la propiedad de Lindelof en la topologıa debilde un espacio de Banach.En el apendice A se prueban dos resultados clasicos sobre la topologıa debil∗

de un espacio de Banach, como son, el teorema de Josefson-Nissenzweig y elteorema de Hagler-Johnson, que ponen de manifiesto lo lejos que estan lastopologıas debiles y de la norma en general.

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo meramente introductorio vamos a englobar algunos resul-tados clasicos del analisis funcional, los cuales utilizaremos a lo largo de latesina o bien nos motivaran para estudiar conexiones entre las topologıasdebiles y de la norma en un espacio de Banach.

1.1 Requisitos previos

Comenzamos esta seccion siguiendo [H-H-Z].

(I) La topologıa debil y debil∗:

Todos los espacios topologicos que consideramos en este trabajo son Haus-dorff y completamente regulares, a no ser que se indique lo contrario. De-notaremos por (X, ‖ ‖) (o simplemente por X) a los espacios de Banach, ypor (X∗, ‖ ‖∗) su espacio de Banach dual. Se define la topologıa debil delespacio de Banach X a la topologıa de convergencia puntual sobre elementosde X∗. Esta topologıa esta generada por una base consistente en conjuntos:

U(x0; f1, . . . , fn; ε) = x ∈ X : |fi(x− x0)| < ε para i = 1, . . . , n

donde x0 ∈ X, f1, . . . , fn ∈ X∗ y ε > 0.Cuando aparezca (X,w) significara que consideramos X con la topologıadebil. De manera analoga podemos definir la topologıa debil∗ del espacio deBanach dual X∗ como la topologıa de convergencia puntual sobre elementosdel predual, X. Esta topologıa esta generada por una base consistente en

1

2 Preliminares

conjuntos:

U(f0; x1, . . . , xn; ε) = f ∈ X∗ : |(f − f0)(xi)| < ε para i = 1, . . . , n

donde f0 ∈ X∗, x1, . . . , xn ∈ X y ε > 0.Cuando aparezca (X∗, w∗) significara que consideramos X∗ con la topologıadebil∗.Si X es de dimension finita, las topologıas anteriores coinciden con la inicialdada por la norma. En caso de dimension infinita nunca coinciden, y ademasse puede comprobar que w y w∗ nunca son metrizables, de hecho no cumplenel primer axioma de numerabilidad.Para un espacio de Banach X, podemos considerar la aplicacion

π : X −→ X∗∗

dada por π(x)(f) = f(x) para cada f ∈ X∗ y cada x ∈ X. A esta aplicacionπ se le llama la inmersion canonica de X en X∗∗ y es una inmersion isometricade X en su imagen. Por eso a veces identificamos elementos de X con suimagen en X∗∗. Un espacio de Banach X se dice reflexivo si π es biyectiva,en este caso se suele escribir X = X∗∗.Recordemos que para un espacio de Banach X, se dice que:

• Un subconjunto M ⊂ X es debil acotado si supx∈M |f(x)| < +∞ paracada f ∈ X∗;

• Un subconjunto M ⊂ X∗ es debil∗ acotado si supf∈M |f(x)| < +∞para cada x ∈ X;

• Un subconjunto M ⊂ X es acotado si supx∈M ‖ x ‖< +∞.

Por el principio de acotacion uniforme se tiene que para M ⊂ X coincide elser acotado y debil acotado. De manera analoga para M ⊂ X ∗ coincide elser acotado y debil∗ acotado.

(II) Conjuntos convexos y compactos:

Sea X un espacio vectorial y A ⊂ X un subconjunto, se dice que:

• A es convexo si dados a, b ∈ A se tiene que λa+(1−λ)b ∈ A para todoλ ∈ [0, 1];

• A es equilibrado si αA ⊂ A para cada |α| ≤ 1;

Requisitos previos 3

• A es absolutamente convexo si es convexo y equilibrado.

En caso de que A no sea convexo, existe un conjunto convexo que contienea A con la propiedad de ser el convexo mas pequeno que lo contiene. A eseconjunto se le llama envoltura convexa de A y se denota conv(A). De manerasimilar existe un conjunto absolutamente convexo que contiene a A con lapropiedad de ser el absolutamente convexo mas pequeno que lo contiene. Aese conjunto se le llama envoltura absolutamente convexa de A y se denotaΓ(A).Sea C ⊂ X convexo del espacio de Banach X, un punto c ∈ C se dice quees extremal de C si dados x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1] tal que k = λx + (1 − λ)y,entonces λ = 0 o λ = 1. El conjunto de todos los puntos extremales de C sedenota por ext(C).El teorema de Krein-Milman asegura que si K ⊂ X convexo y debil compac-to, entonces ext(K) 6= φ , mas aun, K = conv(ext(K)).Sea C ⊂ X un subconjunto de un espacio de Banach, un slice V de C es lainterseccion de C con un semiespacio abierto de X, es decir, V = C ∩ x ∈X : f(x) > α para cualesquiera f ∈ X∗, α > 0.El lema de Choquet afirma que si K ⊂ X es convexo y debil compacto delespacio de Banach X y k ∈ Ext(K), entonces los slices de K forman unabase de entornos de k para la topologıa debil heredada por K.El teorema de Krein-Smulian asegura que para cualquier espacio de BanachX, si K ⊂ X es un debil compacto, entonces conv(K)

wes debil compacto

(lo mismo ocurre para Γ(K)w).

(III) Renormamiento:

Recordemos que una aplicacion p : X −→ R se dice que es un funcional:

• positivamente homogeneo si p(αx) = αp(x) para cada x ∈ X,α > 0;

• sublineal si p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para cada x, y ∈ X.

Si ademas, p(αx) = |α|p(x) para x ∈ X,α ∈ R, se dice que p es una semi-norma.Dado un espacio de Banach X, se pueden definir nuevas normas o seminor-mas a partir de ciertos subconjuntos C ⊂ X. Si C es absolutamente convexoy absorbente (

⋃∞n=1 nC = X), entonces la aplicacion, PC : X −→ R+ dada

por:PC(x) = infλ > 0 : x ∈ λC para cada x ∈ X

4 Preliminares

es una seminorma. En caso de que C no sea absorbente, la aplicacion PC esuna seminorma pero definida sobre el espacio vectorial generado por C, esdecir, span(C) = ∪+∞

n=1nC ⊂ X. A esta aplicacion se le llama el funcional deMinkowski asociado a C. Si C ⊂ X es un subconjunto absolutamente con-vexo y acotado, entonces PC es una norma. En la situacion anterior, si C esademas cerrado, se tiene que la bola unidad de la norma PC coincide con C. SiX es un espacio de Banach y C ⊂ X un subconjunto absolutamente convexo,cerrado y acotado, entonces denotaremos por (XC , ‖ ‖C) = (span(C), PC).En el caso en que ademas C es absorbente se tiene (XC , ‖ ‖C) = (X,PC).

(IV) Teorema de Hahn-Banach:

Tambien hemos de recordar el teorema de Hahn-Banach; Este asegura quesi X es un espacio vectorial, Y ⊂ X subespacio y p un funcional sublinealpositivamente homogeneo sobre X, entonces para cualquier funcional linealf sobre Y tal que f(y) ≤ p(y) para cada y ∈ Y , existe un funcional lineal Fsobre X tal que F|Y = f y F (x) ≤ p(x) para x ∈ X.Como consecuencia se tiene que si X un espacio de Banach y C ⊂ X sub-conjunto cerrado y convexo tal que c0 6∈ C, entonces existe un f ∈ X∗ talque

f(c0) > supf(c) : c ∈ CEste es el llamado teorema de separacion de Hahn-Banach.El teorema de Mazur afirma que si X es un espacio de Banach y C ⊂ X esun subconjunto convexo, entonces:

Cnorma

= Cw

Recordemos que un subconjunto de un Banach A ⊂ X es w-compacto en Xsi y solo si A ⊂ X∗∗ es w∗-compacto en X∗∗. El teorema de Alaoglu aseguraque para cualquier espacio de Banach X la bola unidad del dual, BX∗ , esw∗-compacta; tambien es cierto que si X es un espacio de Banach separable,entonces (BX∗ , w∗) es metrizable.El teorema de Goldstine, afirma que si X es un espacio de Banach, entonces

BXw∗

= BX∗∗ ⊂ X∗∗.Como consecuencia de los ultimos resultados se puede afirmar que un espaciode Banach X es reflexivo si y solo si BX es debil compacta.

(V) Espacios vectoriales ordenados:

Se puede generalizar el teorema de Hahn-Banach al caso en que el espacio de


llegada no es R, sino un espacio de Riesz completo de Dedekind. Esto es loque probaremos ahora y para ello seguiremos [My]. Antes de comenzar hayque ver unas nociones nuevas. Un conjunto no vacıo M , con una relacion ≤se dice que es un conjunto ordenado si se cumplen las siguientes condiciones:

• x ≤ x para cada x ∈M .

• Si x ≤ y e y ≤ x, entonces x = y.

• Si x ≤ y e y ≤ z, entonces x ≤ z.

Un conjunto ordenado (M,≤) se dice que es un retıculo si para cada doselementos x, y ∈M , existe:

• la menor cota superior denotada por x ∨ y = sup(x, y);

• la mayor cota inferior denotada por x ∧ y = inf(x, y).

Un espacio vectorial real E que sea tambien un conjunto ordenado se diceque es un espacio vectorial ordenado si el orden y la estructura de espaciovectorial son compatibles en el siguiente sentido.Si x, y ∈ E tal que x ≤ y se cumple:

• x + z ≤ y + z para todo z ∈ E;

• ax ≤ ay para todo a ∈ R+.

Un subconjunto A ⊂ E se dice que esta acotado en el orden ≤ si existene1, e2 ∈ E tales que e1 ≤ A ≤ e2.Si el espacio vectorial ordenado (E,≤) es un retıculo, entonces se le llamaespacio de Riesz. En este caso, se dice que E es completo de Dedekind sicada conjunto no vacıo y acotado en orden tiene supremo e ınfimo en E.Un ejemplo de espacio de Riesz completo de Dedekind es L∞[0, 1]; Com-probemos que es cierto, si A ⊂ L∞[0, 1] y existen f1, f2 ∈ L∞[0, 1] tal quef1 ≤ A ≤ f2 (orden puntual para casi todo punto) existe A′ ⊂ A numerabletal que supA = supA′ ∈ L∞[0, 1]. La construccion es la siguiente, dividimosel intervalo [0, 1] en I1 = [0, 1

2] e I2 = [1

2, 1], existen Ωi ⊂ Ii tal que λ(Ωi) = 0

y supA(t) : t ∈ Ii \Ωi = ri ∈ R, definimos g1 = r1χI1 +r2χI2, dividiendo denuevo cada Ii en dos subintervalos iguales obtenemos g2 y ası sucesivamenteconstruimos la sucesion (gn)n = A′ donde para cada gn dividimos [0, 1] en 2n

intervalos y se cumple que supA = supA′ ∈ L∞[0, 1], de manera analoga se

6 Preliminares

construye el ınfimo.A partir de ahora E denotara un espacio de Riesz completo de Dedekind yX un espacio vectorial real. Un operador θ : X −→ E se dice:

• sublineal si ∀x, y ∈ X se cumple θ(x+ y) ≤ θ(x) + θ(y);

• positivamente homogeneo si ∀t ≥ 0 se cumple θ(tx) = tθ(x).

Sea K ⊂ X un subconjunto convexo y no vacıo, θ : X −→ E se dice que esconvexa (respectivamente concava) si θ(tx + (1− t)y) ≤ tθ(x) + (1− t)θ(y)(respectivamente ≥) para todo x, y ∈ K y 0 ≤ t ≤ 1.

Lema 1.1.1. Sea θ : X −→ E sublineal, K ⊂ X un subconjunto convexo yno vacıo, y τ : K −→ E concava con τ ≤ θ (puntualmente) sobre K. Paracada x ∈ X consideramos:

λ(x) = infθ(x + tk)− tτ(k) : t ≥ 0, k ∈ K

Entonces λ es sublineal con λ ≤ θ. Mas aun, si T : X −→ E es lineal,entonces T ≤ λ si y solo si T ≤ θ y τ ≤ T sobre K.

Demostracion. Sea x ∈ X, t ≥ 0 y k ∈ K, entonces

θ(x+ tk)− tτ(k) ≥ θ(tk)− θ(−x)− tτ(k) ≥ −θ(−x)

Se obtiene de aquı que λ(x) ≥ −θ(−x) y, por definicion, λ(x) ≤ θ(x). Pordefinicion de ınfimo se obtiene que λ es positivamente homognea. Para probarque λ(x+ y) ≤ λ(x) + λ(y), consideramos x, y ∈ X, k1, k2 ∈ K y s, t > 0, setiene:

θ(x + tk1)− tτ(k1) + θ(y + sk2)− sτ(k2) ≥≥ θ(x + y + (s+ t)w)− (s+ t)τ(w) ≥ λ(x+ y)

donde w = 1s+t

(tk1 + sk2) ∈ K, con esto tenemos que λ(x)+λ(y) ≥ λ(x+y).Probemos la segunda parte del lema, sea T : X −→ E lineal, si T ≤ λ setiene que T ≤ θ, ademas para k ∈ K:

−T (k) = T (−k) ≤ λ(−k) ≤ θ(−k + k)− τ(k) = −τ(k)

con lo cual T (k) ≥ τ(k). Ahora, si T ≤ θ y τ ≤ T sobre K, consideramosx ∈ X y para cada k ∈ K y t ≥ 0 se tiene:

T (x) = T (x+ tk)− tT (k) ≤ θ(x+ tk)− tτ(k)

por lo que T (x) ≤ λ(x).


Teorema 1.1.2 (Hahn-Banach). Para cada operador sublineal θ : X −→E existe un operador lineal T : X −→ E tal que T ≤ θ.

Demostracion. Consideramos la familia M = ψ : X −→ E sublineal , ψ ≤θ, con el orden puntual. Sea K ⊂ M una cadena arbitraria, para cadax ∈ X definimos:

τ(x) = infψ(x) : ψ ∈ KVeamos que τ es una cota inferior para la cadena enM, con lo queM tendraun elemento minimal que denotaremos por T . Sea ψ ∈ K, 0 ≤ ψ(x)+ψ(−x),por lo que −θ(−x) ≤ −ψ(−x) ≤ ψ(x) y entonces se tiene que −θ(−x) ≤τ(x). Ademas τ ≤ θ y τ(x + y) ≤ τ(x) + τ(y), por lo que es cota inferior deK enM.Considero ahora el elemento minimal T ∈ M, claramente T ≤ θ, hay queprobar que T es lineal. Fijo y ∈ X, considero K = y y τ(y) = T (y),definimos λ como en el lema 1.1.1 y T en lugar de θ. Se tiene entonces queλ ≤ T , y como T es minimal λ = T , ahora para cada x ∈ X, por definicionde λ (con t = 1):

T (x) = λ(x) ≤ T (x+ 1y)− 1T (y)

por lo queT (x) + T (y) ≤ T (x + y) ≤ T (x) + T (y)

y llegamos a que T (x+ y) = T (x) + T (y).

Teorema 1.1.3. Consideramos el operador sublineal θ : X −→ E, K ⊂ Xsubconjunto convexo y no vacıo, τ : K −→ E concava tal que τ ≤ θ sobreK. Entonces existe un operador lineal T : X −→ E tal que T ≤ θ y τ ≤ Tsobre K.

Demostracion. Definimos λ como en el lema 1.1.1, por el teorema 1.1.2 existeT : X −→ E lineal tal que T ≤ λ, entonces T ≤ θ y τ ≤ K sobre K denuevo por el lema 1.1.1.

Teorema 1.1.4 (Kantorovich). Sea θ : X −→ E sublineal e Y ⊂ X unsubespacio de X. Cada operador lineal T0 : Y −→ E satisfaciendo T0 ≤ θsobre Y tiene una extension T sobre todo X tal que T ≤ θ.

Demostracion. Considero K = Y y τ = T0, utilizando el teorema 1.1.3 quedaprobado porque para cada y ∈ Y se tiene:

T0(y) ≤ T (y)

8 Preliminares

T0(−y) ≤ T (−y)⇒ −T0(y) ≤ −T (y)⇒ T0(y) ≥ T (y)

de lo que se cumple T0(y) = T (y) para cada y ∈ Y .

Capıtulo 2

Angelicidad de los compactosde Eberlein

En este capıtulo definimos los compactos de Eberlein y estudiamos una desus propiedades mas relevantes como es la angelicidad. Como aplicacion,en la tercera seccion obtenemos la caracterizacion de Grothendieck para lossubconjuntos debil compactos de los C(K).

2.1 Compactos de Eberlein. Definicion y pri-

meros ejemplos.

Definicion 2.1.1. Un espacio topologico compactoK se dice que es compactode Eberlein si es homeomorfo a un subconjunto debil compacto de un espaciode Banach.

Dado un conjunto no vacio Γ, consideramos el espacio vectorial c0(Γ)dado por los elementos (xγ)γ∈Γ ∈ RΓ tales que dado cualquier ε > 0, existesolo una cantidad finita de elementos γ ∈ Γ cumpliendo |xγ| ≥ ε. Dichoespacio vectorial con la norma del supremo es un espacio de Banach. Jugaraun papel muy importante en nuestro estudio de los compactos de Eberlein,ya que podremos hacer una inmersion de cualquier compacto de Eberleinen c0(Γ). Ademas en dicho espacio de Banach sobre los conjuntos acotadosla topologıa puntual y la debil coinciden, y como consecuencia todos lossubconjuntos acotados y puntualmente compactos de c0(Γ) seran compactosde Eberlein. Probamos la ultima afirmacion:

9

10 Angelicidad de los compactos de Eberlein

Demostracion. Sea (xα)α∈D ⊂ c0(Γ) una red cumpliendo limα∈D xα = 0 pun-tualmente y ‖ xα ‖∞≤ M . Supongamos que y ∈ c0(Γ)∗ = l1(Γ), entoncesy(x) =

∑

γ x(γ)y(γ). Sea ε > 0, entonces existe un subconjunto finito A ⊂ Γtal que

∑

γ∈Γ\A |y(γ)| < ε2M

, por tanto

|y(xα)| ≤∑

γ∈A

|xα(γ)y(γ)|+M∑

γ∈Γ\A

|y(γ)| ≤∑

γ∈A

|xα(γ)y(γ)|+ ε

2

Entonces como existe un α0 tal que∑

γ∈A |xα(γ)y(γ)| < ε2

para cada α > α0,se tiene que |y(xα)| < ε para dichos α > α0.

Otro espacio de Banach es l∞(Γ) que viene dado por los elementos (xγ)γ∈Γ ∈RΓ tales que supγ∈Γ |x(γ)| < +∞. Utilizando la prueba anterior se obser-va que en l∞(Γ) los subconjuntos acotados y puntualmente compactos sonw∗compactos. A continuacion dos ejemplos de compactos de Eberlein.Sea K un espacio topologico discreto, es decir, para cada punto k ∈ K existeun conjunto abierto U ⊂ K tal que U ∩K = k. Considero su compactifi-cacion por un punto K ′ = K ∪ ∞ y defino la aplicacion

T : K ′ −→ c0(K′)

dada por T (k) = ek donde ek es el k−esimo vector unitario de c0(K′) y

T (∞) = 0. Considerando la topologıa puntual en c0(Γ), T es un homeomor-fismo en su imagen y, utilizando el razonamiento anterior, en T (K ′) coincidenlas topologıas puntual y debil por lo que K ′ es compacto de Eberlein.Para obtener otro ejemplo de compacto de Eberlein considero el espacio deBanach l2(Γ), que viene dado por los elementos (xγ)γ∈Γ ∈ RΓ tales que

∑

γ∈Γ

|x(γ)|2 < +∞

y su norma

‖ (xγ)γ∈Γ ‖2= (∑

γ∈Γ

|x(γ)|2) 12

l2(Γ) es de hecho un espacio de Hilbert, y por lo tanto un espacio de Banachreflexivo. Como consecuencia la bola unidad cerrada Bl2(Γ) es debil compactay obtenemos otro ejemplo de compacto de Eberlein. Este compacto de Eber-lein proporciona un contraejemplo para el recıproco del siguiente resultado.En el caso de que Γ = N los espacios de Banach anteriores se denotan porc0, l∞ y l2 respectivamente.

Compactos de Eberlein. Definicion y primeros ejemplos 11

Proposicion 2.1.2. Todo espacio topologico compacto y metrizable es uncompacto de Eberlein.

Demostracion. Si K es compacto metrizable, entonces por el teorema deinmersion de Urysohn K ⊂ [0, 1]

(ver [K] para detalles) y ası podemossuponer K ⊂ l∞ y si definimos T : l∞ −→ c0 dado por T (xn) = ( 1

nxn)n

tenemos que T (K) es puntualmente compacto y acotado, por tanto K eshomeomorfo a un debil compacto de c0.

Proposicion 2.1.3. Si X es separable, entonces (BX∗, w∗) es un compactode Eberlein.

Demostracion. Vamos a probar que si X es separable entonces (BX∗ , w∗) esmetrizable y aplicando el resultado anterior acabamos. Recordemos que SX

es la esfera unidad y sea (xn)n∈ ⊂ SX denso, definimos la siguiente funcion:

d(f, g) =

+∞∑

n=1

|f(xn)− g(xn)|2n

para cada f, g ∈ BX∗

para comprobar que es una metrica basta ver que d(f, g) = 0 si y solo sif = g, ya que por definicion se ve que es simetrica y que se cumple ladesigualdad triangular. Si d(f, g) = 0, entonces f = g en un conjunto densode SX , entonces por continuidad f = g en SX , y se tiene que f = g en todoX. Vamos a comprobar que la topologıa generada en BX∗ por esa metricacoincide con la topologıa w∗ en BX∗ . Consideramos la aplicacion identidad:

Id : (BX∗, w∗) −→ (BX∗, d)

Veamos que es continua, consideramos Bd(f, ε) = g ∈ BX∗ : d(f, g) < εentorno de f en (BX∗ , d), y fijo n0 ∈ N tal que 2−n0 < ε

4, probaremos que

U(f ; x1, . . . , xn0 ;ε

2n0) ⊂ Bd(f, ε)

Sea g ∈ U(f ; x1, . . . , xn0 ;ε

2n0), entonces

d(f, g) =

+∞∑

n=1

|f(xn)− g(xn)|2n

=

n0∑

n=1

|f(xn)− g(xn)|2n

+

++∞∑

n=n0+1

|f(xn)− g(xn)|2n

≤n0∑

n=1

ε

2n2n0

++∞∑

n=n0+1

2

2n< ε

. Entonces resulta que la aplicacion Id es continua. Como (BX∗ , w∗) escompacto y (BX∗ , d) es Hausdorff, se tiene que Id es homeomorfismo.


2.2 Compacidad en Cp(K)

Continuamos en esta seccion estudiando las distintas nociones de compaci-dad, despues veremos que en los espacios angelicos todas coinciden y acaba-remos viendo que los espacios de Banach con la topologıa debil son angelicos.Como aplicacion, se obtiene que los compactos de Eberlein son tambienangelicos, otra consecuencia de la angelicidad es que la topologıa de los com-pactos de Eberlein viene dada por sucesiones. Todos los resultados de estaseccion estan en [F].

Definicion 2.2.1. Sea X un espacio topologico y (xα)α∈Γ ⊂ X una red, sedice que x ∈ X es punto de aglomeracion de dicha red si existe una subredde la anterior que converge al punto x.

Definicion 2.2.2. Sea A ⊂ X subconjunto, se dice que:

(i) A es compacto (K) si cada red en A tiene una subred convergente a unpunto de A.

(ii) A es numerablemente compacto (NK) si cada sucesion de A tiene unpunto de aglomeracion en A.

(iii) A es sucesionalmente compacto (SK) si cada sucesion de A tiene unasubsucesion convergente a un punto de A.

A partir de las anteriores se puede definir relativamente compacto (RK),relativamente numerablemente compacto (RNK) y relativamente sucesional-mente compacto (RSK) que se refieren a las nociones anteriores de compacto,numerablemente compacto y sucesionalmente compacto pero donde la subredconverge en X, o con el punto de aglomeracion en X o con la subsucesionconvergente en X, respectivamente.

Los conceptos anteriores se relacionan solo mediante las siguientes impli-caciones:

K −−−→ NK ←−−− SKy

y

y

RK −−−→ RNK ←−−− RSK

Para ver que las implicaciones solo van en un sentido, observamos los siguien-tes ejemplos:

Compacidad en Cp(K) 13

Ejemplo 2.2.3. Consideramos el espacio de Banach (l∞, ‖ ‖∞), entoncesla bola unidad cerrada del dual con la topologıa debil∗ es compacta y no essucesionalmente compacta.

Demostracion. Por el teorema de Alaoglu se tiene que (Bl∗∞, w∗) es compacta.

Pero veremos que no es sucesionalmente compacta, ya que si consideramosla sucesion (en)n∈

⊂ Bl∗∞

donde cada en es una sucesion de ceros salvo enel lugar n que tiene un uno. Si tuviese una subsucesion debil∗ convergente,(enk

)k∈ , se cumplirıa que para cada sucesion acotada (xn)n ⊂ R la subsuce-

sion (xnk)k ⊂ R debe converger, ya que:

enk((xn)n∈

) = xnk

lo cual no es cierto sin mas que tomar la sucesion (xn)n con xnk= (−1)k.

Con el ejemplo anterior queda probado que numerablemente compactono implica sucesionalmente compacto, ya que (Bl∗

∞, w∗) es compacto, y por

tanto numerablemente compacto, y hemos visto que no es sucesionalmentecompacto.Dado un elemento (ξr)r∈ ∈ [0, 1] se define su soporte como

supp((ξr)r∈ ) = r ∈ R : ξr 6= 0

Ejemplo 2.2.4. Considero el conjunto:

A = (ξr)r∈ ∈ [0, 1] : ξr = 0 salvo para una cantidad numerable ⊂ [0, 1]

dotado de la topologıa de convergencia coordenada a coordenada. EntoncesA es sucesionalmente compacto pero no es compacto.

Demostracion. Para comprobar que es sucesionalmente compacto considero(an)n∈

⊂ A, entonces existe un conjunto D ⊂ R numerable conteniendo elsoporte de cada an tal que:

(a′n)n∈ ⊂ [0, 1]D que es metrico y compacto

donde (a′n)n∈ es la restriccion de (an)n∈

a D, por lo que existe una sub-sucesion de (a′n)n∈

que converge puntualmente a a ∈ [−1, 1]D. Entoncesa = (ad)d∈D y considero a′ = (a′r)r∈ donde:

a′r = ad si r = d ∈ D


a′r = 0 en otro caso

Entonces existe una subsucesion de (an)n que converge hacia a′ ∈ A. Pero Ano es compacto ya que la clausura de A viene dada por:

A = (ξr)r∈ ∈ R : 0 ≤ ξr ≤ 1 para cada r ∈ R = [0, 1]

De este ejemplo se obtiene que numerablemente compacto no implica com-pacto, ya que A es sucesionalmente compacto, por lo que es numerablementecompacto, pero hemos probado que no es compacto.

Definicion 2.2.5. Sea Z un espacio topologico, X un conjunto y A ⊂ ZX .Se dice que X y A tienen la propiedad de intercambio del lımite doble (enZ), y lo indicaremos por A ∼ X, si dadas las sucesiones (xn)n∈

⊂ X y(fn)n∈

⊂ A, se cumple:

limm

limnfm(xn) = lim

nlimmfm(xn) , siempre que existan estos lımites.

Antes de seguir recordemos que para espacios topologicos X,Z se define:

C(X,Z) = f : X −→ Z, continua ⊂ ZX

Cp(X,Z) indica que estamos considerando el conjunto C(X,Z) con la to-pologıa de convergencia puntual sobre puntos de X, es decir la topologıainducida por ZX . Tambien podemos considerar el conjunto

C(X) = f : X −→ R, continua

y el espacio topologico Cp(X).

Teorema 2.2.6. SeaK un espacio topologico compacto, Z un espacio metricocompacto y A ⊂ C(K,Z). Son equivalentes:

(i) A es relativamente numerablemente compacto en Cp(K,Z).

(ii) A ∼ K.

(iii) A es relativamente compacto en Cp(K,Z).

(iv) AZK

⊂ C(K,Z).

Demostracion.


(i)⇒ (ii) Suponiendo que A es relativamente numerablemente compacto enCp(K,Z), considero las sucesiones (kn) ⊂ K y (fn) ⊂ A, de manera queexistan los lımites dobles. Por la hipotesis, existen k ∈ K y f ∈ C(K,Z)puntos de aglomeracion de las respectivas sucesiones anteriores. En tal caso,f(kn) ∈ Z es un punto de aglomeracion de (fm(kn))m ⊂ Z, pero si exis-te el limm fm(kn), el punto de aglomeracion es el propio lımite, es decir,limm fm(kn) = f(kn). Repitiendo este argumento:

limn

limmfm(kn) = f(k) = lim

mlim

nfm(kn)

Con lo cual queda probado que A ∼ K.

(iii)⇔(iv) Para probar el sentido ⇒ de la equivalencia basta pensar que to-da red en A tiene una subred puntualmente convergente a una funcion deC(K,Z), entonces los lımites de redes en A deben converger a funciones deC(K,Z) por la unicidad del lımite. En sentido contrario, ⇐, es mas sencillo

porque el cerrado AZK

⊂ ZK es compacto por el teorema de Tichonov (ver

[K] para detalles), por tanto AZK

⊂ C(K,Z) es compacto, con lo que A esrelativamente compacto en Cp(K,Z).

(ii)⇒(iv) Hay que demostrar que si A ∼ K entonces AZK

⊂ C(K,Z). Sea

f ∈ AZK

y supongamos que no es continua. Entonces debe existir al menosun punto k0 ∈ K y un entorno abierto U de f(k0) ∈ Z tal que:

Para cada entorno V de k0 ∈ K, existe otro punto k ∈ V con f(k) 6∈ U.(2.1)

Para f1 ∈ A arbitraria, por su continuidad y la condicion (2.1), existe unk1 ∈ K tal que

d(f1(k1), f1(k0)) ≤ 1 y f(k1) 6∈ U

donde d es la metrica para Z. Como f ∈ AZK

, existe f2 ∈ A cumpliendo qued(f2(ki), f(ki)) ≤ 1

2para i = 0, 1. Ademas como f2 es continua, razonando

como para f1 existe un punto k2 ∈ K con

d(fj(k2), fj(k0)) ≤1

2para j = 1, 2 y f(k2) 6∈ U

Procediendo por induccion, obtenemos dos sucesiones (kn) ⊂ K y (fn) ⊂ Acumpliendo:


(a) d(fn(ki), f(ki)) ≤ 1n

para i = 0, 1, . . . , n− 1

(b) d(fj(kn), fj(k0)) ≤ 1n

para j = 1, . . . , n

(c) f(kn) 6∈ UPor ser Z metrico compacto, no es restrictivo suponer que la sucesion (f(kn)) ⊂Z converge a un punto z0 6∈ U (aplicando (c)). Ademas, por (a) se cumple quelimn fn(ki) = f(ki) y por la condicion (b) obtenemos limm fj(km) = fj(k0),juntando todo podemos escribir:

f(k0) = limnfn(k0) = lim

nlimmfn(km) = lim

mlim

nfn(km) = lim

mf(km) = z0

donde la tercera igualdad se debe a la hipotesis (ii). Pero hemos llegado aun absurdo porque U es un entorno de f(k0), y por las igualdades anterioresf(k0) = z0 6∈ U . Por todo esto f debe ser continua.

(iii) ⇒ (i) Esta claro por el esquema que relaciona los distintos tipos de com-pacidad.

El resultado anterior se sigue cumpliendo si suponemos que K es solonumerablemente compacto ya que esta es la condicion que hemos utilizadopara K en la prueba.

Proposicion 2.2.7. Sea X un espacio topologico arbitrario, Z un espacio

metrico compacto y A ⊂ C(X,Z). Si A ∼ X entonces cada f ∈ AZX

eslımite puntual de una sucesion de elementos de A.

Demostracion. La demostracion la haremos en dos etapas.

Etapa 1: Probaremos en esta etapa que dadas funciones g1, g2, . . . gn ∈ ZX yε > 0, existe un conjunto finito L ⊂ X tal que:

miny∈L

maxk≤nd(gk(x), gk(y)) < ε para todo x ∈ X (2.2)

Consideramos pues el conjunto B = (g1(x), g2(x), . . . , gn(x)) : x ∈ X ⊂Zn, que es relativamente compacto en el espacio metrico compacto (Zn, d∞).Ademas como la familia B∞(g1(x), g2(x), . . . , gn(x); ε) : x ∈ X forma unrecubrimiento por abiertos de B, debe existir un subconjunto L ⊂ X finitotal que:

B ⊂ B ⊂ ∪y∈LB∞(g1(y), . . . , gn(y); ε)

lo que nos da (2.2).


Etapa 2: Partimos ahora del elemento f ∈ AZX

y construyamos la sucesionque converge. Elegimos f1 := f y, por la primera etapa, existe L1 ⊂ X finitotal que:

miny∈L1

d(f1(x), f1(y)) < 1 para cada x ∈ X

Como f ∈ AZX

, para L1 ⊂ X finito existe f2 ∈ A tal que:

d(f2(y), f1(y)) ≤1

2para cada y ∈ L1

Aplicamos ahora la primera etapa a f1, f2 y ε = 12

y ası sucesivamente porrecurrencia encontramos funciones f1, . . . , fn, · · · ∈ A y subconjunto finitosL1, L2, . . . , Ln, · · · ⊂ X verificando:

miny∈Ln

maxk≤nd(fk(x), fk(y)) ≤

1

npara cada x ∈ X

d(fn+1(y), f1(y)) ≤1

n + 1para cada y ∈ ∪k=1,...,nLk

Con esta construccion podemos asegurar que si definimos D = ∪n∈ Ln ⊂ X,

entonces:

a) Para cada y ∈ D se tiene que limk fk(y) = f(y)

b) Fijado x ∈ X, para cada n ∈ N existe un yn ∈ D tal que:

maxk≤n

d(fk(x), fk(yn)) ≤ 1

n

y ası tenemos que, para cada x ∈ X existe una sucesion (yn) ⊂ D cumpliendo:

limnfk(yn) = fk(x) para cada k = 1, 2, . . .

Probemos ahora que la sucesion construida (fn) ⊂ A converge puntualmentehacia la funcion f del comienzo. Fijo un punto x ∈ X, y considero lasucesion (fk(x)) ⊂ Z que es metrico compacto, entonces basta probar queel unico punto de aglomeracion de esa sucesion es f(x). Sea y un punto deaglomeracion, entonces existe una subsucesion (fkj

(x))j tal que limj fkj(x) =

y ∈ Z. Entonces podemos escribir:

y = limjfkj

(x) = limj

limnfkj

(yn) = limn

limjfkj

(yn) = limnf(yn) = f(x)


donde la segunda y la quinta igualdad se deben a la condicion b), la terceraigualdad se da por la hipotesis A ∼ X y la cuarta por la condicion a), con loque queda probado que y = f(x) y hemos terminado.

Vistas ya las distintas nociones de compacidad y su relacion para espaciosde funciones continuas, estudiemos la definicion de espacio angelico y veamoscomo coinciden todas las nociones de compacidad en estos espacios.

Definicion 2.2.8. Un espacio topologico X se dice que es angelico si paracada subconjunto A ⊂ X que sea relativamente numerablemente compacto,se cumple:

(i) A es relativamente compacto.

(ii) Para cada punto x ∈ A existe una sucesion (an) ⊂ A tal que limn an = x.

Se observa de la definicion que en los espacios angelicos compactos latopologıa viene dada por sucesiones.

Proposicion 2.2.9.

(1) En un espacio angelico X se cumple:

(a) Coinciden las nociones de conjunto compacto, numerablemente com-pacto y sucesionalmente compacto.

(b) Coinciden las nociones de conjunto relativamente compacto, relativa-mente numerablemente compacto y relativamente sucesionalmente com-pacto.

(c) Si A ⊂ X es relativamente numerablemente compacto y sucesionalmen-te cerrado, entonces es compacto.

(d) Si (xn)n ⊂ X es una sucesion con x como punto de aglomeracion y elconjunto xn : n ∈ N es relativamente (numerablemente) compacto,entonces existe una subsucesion de (xn)n que converge a x.

(2) La angelicidad es una propiedad hereditaria para subespacios.

Demostracion.


(1) Vamos a probar las afirmaciones (a), (b), (c) y (d), aunque la afirmacion(c) es consecuencia directa de la definicion de espacio angelico. Las afirma-ciones (a) y (b) son consecuencias del esquema de la primera pagina, de ladefinicion de espacio angelico y de la afirmacion (d).Vamos a probar pues la afirmacion (d). Sea (xn) ⊂ X la sucesion que tienea x ∈ X como punto de aglomeracion y xn : n ∈ N relativamente com-pacto. Si xn = x para una cantidad infinita de ındices, esa es la subsucesionbuscada. Supongamos pues que xn 6= x para cualquier ındice. En ese caso,como x ∈ xn y, por la definicion de espacio angelico, existe una sucesion(yk)k∈

⊂ xn convergente hacia el punto x. Podemos escribir entoncesyk = xnk

con nk < nl si k < l (esto se puede hacer para, al menos, algunasubsucesion de (yk)), entonces (xnk

) es una subsucesion de (xn) y converge ax.

(2) Sea X un espacio topologico angelico e Y ⊂ X un subespacio, veamos quees tambien angelico. Sea A ⊂ Y relativamente numerablemente compactohay que probar:

(i) A es relativamente compacto en Y .

(ii) Si y ∈ AY, entonces existe una sucesion (an) ⊂ A tal que limn an = y ∈ Y .

La condicion (ii) resulta evidente ya que si y ∈ AY ⊂ A

X, como X es

angelico, entonces existe una sucesion (an) ⊂ A tal que limn an = y ∈ Y .Comprobemos que la condicion (i) es cierta o, lo que es equivalente, queA es relativamente compacto en Y , sea (aα) ⊂ Y una red en Y , como Aes relativamente compacto en X, entonces existe una subred (aαβ

) ⊂ A tal

que converge a un punto x ∈ X. Entonces x ∈ aαβ con lo que, al ser X

angelico, existe una sucesion (a′n) ⊂ (aαβ) ⊂ A tal que limn a

′n = x ∈ X.

Pero como A es relativamente numerablemente compacto en Y , la sucesion(a′n) ⊂ A ⊂ Y tiene un punto de aglomeracion y en Y , de lo que se obtieneque y = x, es decir, la red (aα) ⊂ Y tiene un punto de aglomeracion en Y ,que es lo que querıamos probar.

Estudiamos ahora un tipo de espacios angelicos relevantes para el estudiode los compactos de Eberlein.

Teorema 2.2.10 (Grothendiek). Sea K un espacio topologico compacto,entonces Cp(K) es un espacio angelico.

Demostracion. Como Cp(K) = Cp(K,R) ⊂ Cp(K,R), donde R = [−∞,+∞]es la compactificacion de la recta real. Vamos a probar que Cp(K,R) es


un espacio angelico y, por el resultado anterior, habremos acabado. Paraello veamos que cumple las condiciones de la definicion: Sea A ⊂ Cp(K,R)relativamente numerablemente compacto, por el teorema 2.2.6 se tiene que

A es relativamente compacto. Sea ahora f ∈ A K

, como A es relativamentenumerablemente compacto, aplicando de nuevo el teorema 2.2.6, se cumpleque A ∼ K y, aplicando entonces la proposicion 2.2.7 existe una sucesion(fn)n ⊂ A tal que limn fn = f puntualmente sobre K y hemos acabado.

Si considero el comentario que hay despues de 2.2.6 y esta ultima demos-tracion se puede asegurar que si X es numerablemente compacto entoncesCp(X) es tambien angelico.

Corolario 2.2.11 (Eberlein-Smulian). Sea X un espacio de Banach, en-tonces (X,w) es angelico.

Demostracion. Basta recordar que para un espacio de Banach X, la bolaunidad cerrada del dual BX∗ es w∗-compacta en X∗ y podemos sumergir:

(X,w) ⊂ Cp(BX∗)

Entonces utilizando el resultado anterior Cp(BX∗) es angelico y, por tanto(X,w) es tambien angelico.

Aplicando de nuevo la proposicion 2.2.9 apartado (2) se tiene que:

Corolario 2.2.12. Todo compacto de Eberlein es angelico

2.3 Conjuntos debil compactos de C(K)

Dado K un espacio topologico compacto, podemos considerar el espacio deBanach (C(K), ‖ ‖∞) donde:

‖ f ‖∞= supk∈K

|f(k)| < +∞

por tanto, podemos considerar tambien el propio espacio con la topologıadebil (C(K), w). Veamos un criterio para encontrar subconjuntos compactosde (C(K), w), este criterio esta tambien en [F].

Teorema 2.3.1 (Grothendieck). Sea K un espacio topologico compacto yA ⊂ C(K) un subconjunto, entonces son equivalentes:

Conjuntos debil compactos de C(K) 21

(i) A es compacto en (C(K), w)

(ii) A es ‖ ‖∞ acotado y compacto en Cp(K)

Demostracion.

(i)⇒(ii) Si A es w-compacto, entonces es w-acotado y, por el principio deacotacion uniforme, sera ‖ ‖∞-acotado. Por otra parte la topologıa deconvergencia puntual en C(K) es mas gruesa que la debil con lo cual A esCp(K)-compacto.

(ii)⇒(i) Recordemos que (C(K), ‖ ‖∞)∗ =M(K), dondeM(K) es el espaciode medidas de Radon en K, con lo cual los elementos deM(K) son medidasσ-aditivas.Consideramos pues A ⊂ Cp(K) subconjunto ‖ ‖∞-acotado y Cp(K)-compacto.Despues del corolario 2.2.11, para ver que A es debil compacto en C(K) bas-ta probar que es sucesionalmente compacto. Tomemos (fn) ⊂ A, como A esCp(K)-compacto, si utilizamos el teorema 2.2.10 sera sucesionalmente com-pacto y existira una subsucesion (fnk

) ⊂ A y una funcion f ∈ A tal quelimk fnk

= f puntualmente sobre K. Ademas como (fnk) ⊂ A es uniforme-

mente acotada, si µ ∈ M(K), se cumple:

limk< µ, fnk

>= limk

∫

K

fnkdµ =

∫

K

fdµ =< µ, f >

donde hemos utilizado en la segunda igualdad el teorema de la convergenciadominada de Lebesgue. Ası limk fnk

= f ∈ A en la topologıa debil de C(K)y hemos acabado.

Del resultado anterior obtenemos mas ejemplos de compactos de Eberlein.

Corolario 2.3.2. Todo subconjunto H ⊂ C(K) puntualmente compacto y‖ · ‖∞ acotado es compacto de Eberlein.

Hay que remarcar que es el comportamiento sucesional lo que permite laprueba del teorema de Grothendieck. Ya que, como veremos en el siguienteejemplo, el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue no es ciertopara redes. Recordemos que el teorema de la convergencia dominada deLebesgue afirma que si (X,Σ, µ) es un espacio de medida, g : X −→ [0,+∞]una funcion integrable y f, f1, f2, ... son funciones Σ-medibles definidas en Xcon valores en [−∞,+∞] cumpliendo

f(x) = limnfn(x)


y|fn(x)| ≤ g(x), n = 1, 2, ...

para casi todo punto x ∈ X respecto a µ. Entonces f y f1, f2, .... son inte-grables y se cumple: ∫

fdµ = limn

∫

fndµ

Ejemplo 2.3.3. Existe una red de funciones (fπ)π∈A ⊂ C([0, 1]) en lashipotesis del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, pero cum-pliendo:limπ fπ(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1] y

∫ 1

0fπdλ = 1 para todo π ∈ A.

Demostracion. Basta considerar el conjunto:

A = π : π es una particion finita de [0, 1]

ordenado por inclusion, es decir, si π1 = (0 = t0, t1, . . . , tn+1 = 1) y π2 =(0 = s0, s1, . . . , sm+1 = 1) son dos particiones, entonces π1 π2 si si : i =1, . . . , m + 1 ⊂ tj : j = 1, . . . , n + 1. Esto nos da un conjunto dirigido ypodemos definir:

fπ(x) = 1 para x ∈ [0, 1] \ πfπ(x) = 0 para x ∈ π

con lo que se tiene:

limπ

fπ(x) = 0 para cada x ∈ [0, 1]

∫ 1

0

fπdλ = 1 para todo π ∈ A

2.4 Otros ejemplos de conjuntos debilmente

compactos

A lo largo de este capıtulo hemos estudiado distintos ejemplos de compactosde Eberlein. Para llegar a ellos hemos probado algunos criterios para obte-ner subconjuntos debil compactos en ciertos espacios de Banach tales como

Conjuntos debil compactos de C(K) 23

c0(Γ), l2(Γ) y C(K). Vamos a ver que hay mas criterios de este tipo paraotros espacios de Banach distintos a los anteriores.Sea Ω un conjunto y Σ una σ−algebra de subconjuntos de Ω. Denotare-mos por ca(Σ) al espacio vectorial formado por las medidas numerablementeaditivas sobre Σ. Dado µ ∈ ca(Σ) consideramos la norma ‖ µ ‖1= |µ|(Ω),donde |µ| es la variacion de µ. Con esta norma se tiene que (ca(Σ), ‖‖1) esun espacio de Banach.Tomemos ahora λ ∈ ca(Σ) no negativa, para cada A, B ∈ Σ se define lapseudo λ−distancia entre A y B como

dλ(A,B) = λ(A∆B)

donde A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) es la diferencia simetrica de A y B. Enesta situacion, un subconjunto K ⊂ ca(Σ) se dice que es uniformementeλ−continuo si dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para E, F ∈ Σ con dλ(E, F ) ≤δ, se verifica que |µ(E)− µ(F )| ≤ ε para todo µ ∈ K.

Teorema 2.4.1. Para un subconjunto K ⊂ ca(Σ), son equivalentes:

(i) K es relativamente debil compacto.

(ii) K es acotado y existe λ ∈ ca(Σ) no negativa tal que K es uniformementeλ−continuo.

Dada λ ∈ ca(Σ) no negativa, considero L1(λ) como el conjunto de funcio-nes f : Ω −→ R λ−medibles tal que

∫|f |dλ < ∞. Identificamos funciones

que son iguales para casi todo punto y trabajamos con clases de equivalencia.Podemos considerar la norma ‖ f ‖1=

∫|f |dλ y (L1(λ), ‖‖1) es un espacio

de Banach.

Teorema 2.4.2 (Dunford-Pettis). Dada λ ∈ ca(Σ) no negativa y K ⊂L1(λ), son equivalentes:

(i) K es relativamente debil compacto.

(ii) K es acotado y dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si λ(A) ≤ δ entonces∫

A|f |dλ ≤ ε para todo f ∈ K.

Sea Ω un espacio topologico Hausdorff compacto y Σ la σ−algebra desubconjuntos de Borel de Ω. Por rca(Σ) denotaremos el espacio de medidasde Borel regulares sobre Ω, una medida µ ∈ rca(Σ) precisamente cuandopara cualquier conjunto de Borel B ⊂ Ω:

|µ|(B) = sup|µ|(K) : K ⊂ B es compacto


Teorema 2.4.3 (Dieudonne-Grothendieck). Para que un conjunto aco-tado K ⊂ rca(Σ) sea relativamente debil compacto es necesario y suficienteque dada una sucesion de subconjuntos abiertos y disjuntos de Ω, (On)n∈

,se cumpla

limnµ(On) = 0 uniformemente para µ ∈ K

Las demostraciones de los resultados anteriores se pueden consultar en[D1]. Tambien puede consultarse la prueba del siguiente resultado.

Teorema 2.4.4 (Rainwater). Sea X un espacio de Banach y (xn)n∈ ⊂ X

una sucesion acotada. Entonces (xn)n∈ converge debilmente a x ∈ X si y

solo si converge puntualmente sobre ext(BX∗).

Este resultado puede generalizarse de la siguiente manera.

Teorema 2.4.5. Sea X un espacio de Banach, K ⊂ X acotado y compactopara la topologıa de convergencia puntual sobre ext(BX∗). Entonces K esdebil compacto.

El teorema de Grothendieck para C(K) se puede obtener como aplicaciondel resultado anterior ya que ext(BC(K)∗) = ±δk : k ∈ K y, por tanto, latopologıa de convergencia puntual sobre ext(BC(K)∗) coincide con la topologıade convergencia puntual sobre K.El resultado anterior esta muy relacionado con el problema frontera. Paraun espacio de Banach X, un subconjunto B ⊂ SX∗ = f ∈ X∗ :‖ f ‖= 1 sedenomina una frontera si para cada x ∈ X existe f ∈ B tal que f(x) =‖ x ‖.Un ejemplo de frontera es el conjunto ext(BX∗). Denotaremos por τp(B) latopologıa sobre X de convergencia puntual sobre B.

Problema 2.4.6 (Frontera). Sea A ⊂ X acotado y τp(B) compacto, estambien debil compacto?.

Hoy dıa es aun un problema abierto, aunque se sabe que la respuesta espositiva si A es convexo ([S]; ver tambien [Go]), o si B = ext(BX∗), [Ba-T], osi X no contiene ninguna copia isomorfa de l1(Γ) con |Γ| = ℵ1, [Ca-Ma-Ve].B. Cascales y G. Godefroy prueban en [Ca-Go] que la respuesta es tambienpositiva si considero el espacio de Banach C(K). Es mas, tambien pruebanque si B ⊂ SC(K)∗ es una frontera entonces (C(K), τp(B)) es un espacioangelico.

Capıtulo 3

Inmersion de los compactos deEberlein

Este capıtulo esta dividido en cinco secciones en la primera damos la defi-nicion de emparejamiento y lo aplicamos a los compactos de Eberlein, comoconsecuencia obtenemos una caracterizacion para estos compactos y otraspropiedades. En la siguiente se profundiza sobre el estudio de pares con-jugados que jugaran un papel crucial en la seccion siguiente, ademas comoprimera aplicacion se prueba que la imagen continua de un compacto deEberlein sigue siendo compacto de Eberlein. En la tercera seccion probamosque cada compacto de Eberlein es homeomorfo a un debil compacto de algunc0(Γ). Como consecuencia obtenemos el teorema de Preiss-Simon. En lacuarta seccion probamos que un compacto de Eberlein es homeomorfo a undebil compacto de un espacio de Banach reflexivo, una particularizacion deesta situacion son los compactos de Eberlein uniformes que estudiamos en laquinta seccion.

3.1 Otras caracterizaciones y propiedades de

los compactos de Eberlein

Identificamos I = [−1, 1] en todo el trabajo y χ0 es el cardinal numerable.Comenzamos con la nocion de emparejamiento, seguimos [N].

25

26 Inmersion de los compactos de Eberlein

Definicion 3.1.1. Un emparejamiento < , > entre dos espacios topologicosX,Y es una aplicacion < , >:X × Y −→ I verificando:

i) X separa puntos de Y , es decir, si < x, y1 >=< x, y2 > para todox ∈ X ⇒ y1 = y2 ∈ Y .

i’) Y separa puntos de X, es decir, si < x1, y >=< x2, y > para todoy ∈ Y ⇒ x1 = x2 ∈ X.

ii) Es continua en la primera variable, es decir, < ·, y >:X −→ I escontinua para cada y ∈ Y .

ii’) Es continua en la segunda variable, es decir, < x ,· >:Y −→ I escontinua para cada x ∈ X.

En esta situacion se dice que X, Y estan emparejados. Por las condicionesii) y ii’) se dice que <,> es separadamente continua. Se dice que <,> esconjuntamente continua si es continua para la topologıa producto de X × Y .

Los emparejamientos aparecen en los espacios de Banach de manera na-tural, por ejemplo dado un espacio de Banach X puedo considerar el empa-rejamiento <,>: BX×BX∗ −→ I dado por < x, f >= f(x), donde consideroa BX y BX∗ con las normas de X y X∗ respectivamente. El mismo empare-jamiento sirve si considero a BX dotada de la topologıa debil y a BX∗ dotadade la topologıa debil∗.Con los emparejamientos vamos a obtener nuevas caracterizaciones para loscompactos de Eberlein.

Teorema 3.1.2. Para un espacio topologico compacto K son equivalentes:

(i) K es un compacto de Eberlein.

(ii) K esta emparejado a otro espacio topologico compacto H.

(iii) Existe un espacio topologico compactoH tal que K ⊂ Cp(H) es compacto.

Demostracion.

(i)⇒(ii) Supongamos que K es un subconjunto debil compacto de un espaciode Banach X, no es restrictivo suponer que X esta generado por K. Consi-deremos BX∗ la bola unidad de X∗, entonces el espacio topologico (BX∗, w∗)es compacto y puedo considerar la aplicacion <,>: K×BX∗ −→ R dada por< k, f >= f(k), que cumple i),i’),ii) y ii’) de la definicion anterior, ademascomo R es homeomorfo a (−1, 1) hemos acabado.

Otras caracterizaciones y propiedades de los compactos de Eberlein 27

(ii)⇒(iii) Entonces existe un compacto H y un emparejamiento <,>: K ×H −→ [−1, 1]. Construimos la correspondiente aplicacion Φ : K −→ Cp(H)dada por Φ(k) =< k, · >, esta aplicacion es inyectiva y continua. Veamosesto ultimo, dado Φ(k0) ∈ Cp(K) y U(Φ(k0); h1, . . . , hn; ε) un abierto, vamosa probar que

Φ−1(U) = k ∈ K : | < k0, hi > − < k, hi > | < ε, i = 1, . . . , n ⊂ K

es abierto. Pero:

Φ−1(U) =n⋂

i=1

< ·, hi >−1 (B(< k0, hi >, ε))

y cada < ·, hi >−1 (B(< k0, hi >, ε)) es abierto por la continuidad separada

de <,>. Queda probado que Φ es un homeomorfismo en su imagen, por loque K puede ser identificado con un subconjunto compacto de Cp(H).

(iii) ⇒ (i) Si K ⊂ C(H) es uniformemente acotado, por el teorema de Grot-hendiek, K ⊂ C(H) es compacto de Eberlein. Pero si K no es uniforme-mente acotado, considero el homeomorfismo ϕ : R −→ (−1, 1) y el conjuntoϕ(K) = ϕ k : k ∈ K el cual es homeomorfo a K y este sı que es unifor-memente acotado, entonces ϕ(K) vuelve a ser compacto de Eberlein y portanto K tambien lo es.

Observacion 3.1.3. Para que un compacto K sea un compacto de Eber-lein es suficiente que exista una funcion <,>: K ×H −→ I separadamentecontinua, con H compacto y que separe puntos de K a traves de <,>.

Demostracion. En las hipotesis del corolario, podemos definir la misma fun-cion Φ de la prueba anterior, por lo que K es compacto de Eberlein.

Proposicion 3.1.4. Para un espacio topologico compacto K se cumple:

(i) K esta emparejado con otro compacto mediante un emparejamiento con-juntamente continuo si y solo si es metrizable.

(ii) K es compacto de Eberlein si y solo si esta emparejado con otro compactoH mediante un emparejamiento con valores en un espacio metrico compacto;es decir, existe <,> K×H −→ Z separadamente continua, H separa puntosde K y donde Z es un espacio metrico compacto.

Demostracion.


(i) Claramente si K es compacto metrizable, me sirve el emparejamiento d :K×K −→ I donde d es una metrica compatible con la de K y acotada por 1.En el otro sentido, si <,>: K×H −→ I es un emparejamiento conjuntamentecontinuo, considero la aplicacion Φ : K −→ (C(H), ‖‖∞) que es continua einyectiva. La inyectividad de Φ viene dada porque H separa puntos de K atraves de <,>. Para ver que es continua, considero k0 ∈ K y ε > 0, veamosque existe Uk0 ⊂ K abierto conteniendo a k0 tal que Φ(Uk0) ⊂ B∞(Φ(k0), ε).Fijado (k0, h0) ∈ K ×H existe un entorno Uk0 ×Wh0 de (k0, h0) tal que:

| < k0, h0 > − < k, h > | < ε

2

para todo (k, h) ∈ Uk0 ×Wh0, entonces

| < k0, h > − < k, h > | ≤ | < k0, h > − < k0, h0 > |+

+| < k0, h0 > − < k, h > | < ε

2+ε

2= ε

Repitiendo este argumento para cada (k0, h) con h ∈ H construimos unafamilia de entornos Uh

k0×Wh tales que Wh : h ∈ H es un cubrimiento por

abiertos de H que es compacto, podemos extraer un subcubrimiento finitoWh1, . . . ,Whn

de H. Ahora, para cada Whiconsidero el correspondiente

entorno de k0, Uhi

k0definido anteriormente y defino un nuevo entorno de k0,

U = ∩ni=1U

hi

k0⊂ K. Vamos a comprobar que Φ(U) ⊂ B∞(Φ(k0), ε), sea

f ∈ Φ(U) entonces existe k ∈ U tal que Φ(k) = f . Para cualquier h ∈ Hexiste i0 ∈ 1, . . . , n tal que h ∈ Wi0 por lo que (k, h) ∈ U i0

k0×Whi0

y seconcluye que | < k0, h > − < k, h > | < ε.Ya probado que Φ : K −→ (C(H), ‖ · ‖∞) es continua e inyectiva, al ser Kcompacto es homeomorfo a (Φ(K), ‖ · ‖∞) y, por lo tanto, metrizable.

(ii) Sean K y H espacios topologicos compactos y <,> un emparejamientocon valores en un compacto metrizable (Z, d). Por el apartado anterior,existe un espacio topologico compacto L y un emparejamiento conjuntamentecontinuo <,>1: Z × L −→ I y podemos definir la aplicacion:

<,>′: K × (H × L) −→ I

dado por < k, (h, l) >′=<< k, h >, l >1 que es separadamente continua yH × L separa puntos de K.

Estamos en disposicion de probar ahora la siguiente propiedad:


Proposicion 3.1.5. Si Knn∈ es una sucesion de compactos de Eberlein,entonces

∏+∞n=1Kn es tambien compacto de Eberlein.

Demostracion. Basta definir la siguiente aplicacion:

<,>:∏

Kn ×∏

Hn −→ I

dada por < (kn)n, (hn)n >=∏+∞

n=1 < kn, hn >n donde Hn es el compactoemparejado a Kn y <,>n el correspondiente emparejamiento de Kn y Hn convalores en I. Se tiene que <,> es un emparejamiento donde I

es compactometrizable y utilizando el resultado anterior, apartado (ii), acabamos.

En 3.1.2 (iii) podemos debilitar la hipotesis de compacidad de H y ası de-bilitar las condiciones para que un espacio topologico compacto sea compactode Eberlein, [Pr]. Para ello probaremos primero el lema angelico, [F].

Lema 3.1.6 (angelico). Sean X, Y espacios topologicos, X numerablementecompacto e Y angelico y Hausdorff. Si f : X −→ Y es una aplicacioncontinua e inyectiva, entonces f es un homeomorfismo de X en su imagen.

Demostracion. Basta probar que f es una aplicacion cerrada. Recordemosque una sucesion converge a un punto x si y solo si cada subsucesion tienea x como punto de aglomeracion. Sea entonces C ⊂ X vamos a probar quef(C) = f(C), la inclusion f(C) ⊂ f(C) se obtiene por la continuidad def . Fijamos entonces y ∈ f(C), como C es relativamente numerablementecompacto, entonces f(C) es relativamente numerablemente compacto y, alser Y angelico, existe (cn)n∈

⊂ C tal que (f(cn))n∈ converge a y, veamos

que (cn)n∈ converge a f−1(y) y tendremos que y ∈ f(C). Considero (cnk

)k

una subsucesion cualquiera de (cn)n, al ser C relativamente numerablementecompacto, existe un punto x0 ∈ X que es punto de aglomeracion de dichasubsucesion. Por la continuidad de f , f(x0) es punto de aglomeracion de(f(cnk

))k, por lo que f(x0) = y, entonces f−1(y) = x0 es punto de aglomera-cion de (cnk

)k, lo que prueba que la sucesion converge a f−1(y).

Proposicion 3.1.7. Si el subconjunto K ⊂ Cp(H) es compacto y H esnumerablemente compacto, entonces K es compacto de Eberlein.

Demostracion. Sea K ⊂ Cp(H) un subconjunto compacto y H es nume-rablemente compacto. Considero la relacion de equivalencia R en H dadapor:

hRh′ ⇔ f(h) = f(h′) para cada f ∈ K


Consideramos la aplicacion P : H −→ H/R dada por P (h) = [h]; conside-ramos entonces la topologıa cociente sobre H/R. Por la continuidad de Pse tiene que H/R es numerablemente compacto tambien. Ademas para cadaf ∈ K podemos definir la aplicacion f : H/R −→ R dada por f([h]) := f(h),donde h ∈ [h]. Se cumple entonces que f = f P y que f es continua si ysolo si f es continua.Considero ahora K = f : f ∈ K ⊂ Cp(H/R), y la aplicacion continua ybiyectiva T : K −→ K dada por T (f) := f , se tiene que K es compacto yhomeomorfo a K. Con todo esto podemos definir la aplicacion continua einyectiva:

T ′ : H/R −→ Cp(K)

definida por T ′([h])(f) := f(h). Aplicando el lema angelico, T ′ es un ho-meomorfismo en su imagen, por lo que H/R es homeomorfo a un compactode Cp(K), es decir, H/R es compacto. Defino ahora el emparejamiento<,>: K × H/R −→ R dado por < f, [h] >= f([h]) y se tiene que K escompacto de Eberlein, por lo que K es tambien compacto de Eberlein.

Se dice que un espacio topologico X es σ−compacto si X = ∪+∞n=1Kn

donde cada subconjunto Kn ⊂ X es compacto.

Corolario 3.1.8. Si el conjunto K ⊂ Cp(H) es compacto y H es un espaciotopologico σ−compacto, entonces K es compacto de Eberlein.

Demostracion. Puedo expresar H = ∪∞n=1Kn con cada Kn ⊂ H compacto y

definir la aplicacion:

Ψ : K −→+∞∏

n=1

Cp(Kn)

dada por Ψ(f) = (f |Kn)n∈

, se observa que Ψ es inyectiva y continua, porlo que es un homeomorfismo del compacto K en su imagen. Si denotamospor πm la m−esima proyeccion, πm :

∏+∞n=1 Cp(Kn) −→ Cp(Km) se tiene

que πm(Ψ(K)) es compacto en Cp(Km) por lo que es compacto de Eberlein.Entonces K es homeomorfo al subespacio

∏+∞n=1 πn(Ψ(K)) ⊂ ∏+∞

n=1Cp(Kn)que es compacto de Eberlein, se concluye que K es compacto de Eberlein.

Corolario 3.1.9. Si el conjunto K ⊂ Cp(H) es compacto y H es un espaciotopologico con un subconjunto denso σ−compacto, entonces K es compactode Eberlein.


Demostracion. La prueba es exactamente la misma del resultado anterior.

Se dice que un espacio topologico X es σ−numerablemente compacto siX = ∪+∞

n=1Kn donde cada subconjunto Kn ⊂ X es numerablemente compac-to.

Corolario 3.1.10. Si el conjunto K ⊂ Cp(H) es compacto y H es un espaciotopologico con un subconjunto denso σ−numerablemente compacto, entoncesK es compacto de Eberlein.

Demostracion. Utilizando el razonamiento de la prueba anterior llegamos aque cada πn(Ψ(K)) es un compacto de Cp(Kn) donde Kn es numerablementecompacto, por lo que πn(Ψ(K)) es compacto de Eberlein debido a 3.1.7.

Al haber debilitado la hipotesis de compacidad para H en el teorema3.1.2 (ii), podemos hacer lo mismo en 3.1.2 (iii). De hecho se tiene quesi H tiene un subconjunto denso σ−numerablemente compacto y K es unespacio topologico compacto emparejado con H, entonces K es compacto deEberlein. Para ello consideramos el emparejamiento <,>: K ×H −→ I conK compacto y la aplicacion Φ : K −→ Cp(H) continua e inyectiva, entoncesK es homeomorfo a un compacto de Cp(H) y aplicando 3.1.10 acabamos.Vamos a ver caracterizaciones y propiedades de los compactos de Eberlein Ken funcion de las propiedades de sus correspondientes espacios de funcionesC(K), [H-H-Z].

Teorema 3.1.11. Un compacto K es de Eberlein si y solo si existe un debilcompacto L ⊂ C(K) que separa puntos de K.

Demostracion.

⇒ Sea K ⊂ (X,w) un compacto de Eberlein de manera que span(K) = X en-tonces podemos considerar la aplicacion <,>: K× (BX∗ , w∗) −→ [−1, 1] quees separadamente continua y tal que BX∗ separa puntos de K mediante <,>y viceversa. Consideramos la correspondiente aplicacion Φ : BX∗ −→ Cp(K)asociada a la anterior que sabemos que es un homeomorfismo en su imageny definimos L = Φ(BX∗) ⊂ Cp(K), veamos que es el que buscamos. Clara-mente separa puntos de K y es debil compacto en C(K) como consecuenciadel teorema de Grothendiek.


⇐ Consideramos ahora L ⊂ C(K) debil compacto y que separa puntos de K.Podemos entonces considerar la funcion:

<,>: K × L −→ R dada por <,> (k, l) = l(k)

que es, evidentemente separadamente continua, y que L separa puntos de Kmediante <,>, se concluye que K es compacto de Eberlein.

Veamos ahora otro concepto muy relacionado con el de compacto de Eber-lein:

Definicion 3.1.12. Un espacio de Banach X se dice que es debil compac-tamente generado si existe un subconjunto K ⊂ X debil compacto tal quespanK = X.

Teorema 3.1.13. Un compacto K es de Eberlein si y solo si C(K) es debilcompactamente generado.

Demostracion.

⇒ Si K es compacto de Eberlein, utilizando el resultado anterior existe unsubconjunto L ⊂ C(K) debil compacto que separa puntos de K. Consideroel conjunto V = L ∪ 1 y los sucesivos conjuntos V n = u1u2 . . . un : ui ∈V para n = 1, 2, . . . que son tambien debil compactos. Ahora el espaciospan∪nV

n es una subalgebra de C(K) que contiene a las constantes ysepara los puntos de K. Por el teorema de Stone-Weierstrass se tiene quespan∪nV n = C(K). Ahora bien, puedo definir Kn = 1

nvn : vn ∈ V n

que sera debil compacto para cada n ∈ N, con lo que si considero K ′ =∪nKn ∪ 0 ⊂ C(K) es, tambien debil compacto y se tiene que:

spanK ′ = span∪nV n = C(K)

⇐ Si existe L ⊂ C(K) que es debil compacto total, claramente va a separarpuntos de K.

Al hilo de la ultima definicion podemos probar el siguiente resultado, quenos dara otro ejemplo de compacto de Eberlein.

Proposicion 3.1.14. Sea X un espacio de Banach debil compactamentegenerado, entonces (BX∗ , w∗) es compacto de Eberlein.


Demostracion. Sea K el compacto de Eberlein tal que spanK = X, sepuede definir el emparejamiento <,>: K × BX∗ −→ R dado por < k, g >=g(k) y acabamos.

Hay situaciones en analisis funcional en las que se busca espacios de Ba-nach en los que la bola unidad cerrada del dual sea w∗-sucesionalmente com-pacta, por el capıtulo 2 y el resultado anterior se ve que si un espacio deBanach es debil compactamente generado obtenemos un ejemplo, esto se es-tudia en el capıtulo 13 de [D1].Hay que recordar que un espacio topologico tiene la propiedad de Lindelof side cada recubrimiento por abiertos del espacio, se puede extraer un subre-cubrimiento numerable. La propiedad de Lindelof es una generalizacion delconcepto de compacidad.

Teorema 3.1.15. Sea K un compacto de Eberlein, entonces C(K) es Lin-delof para la topologıa debil.

El resultado anterior es una consecuencia inmediata del teorema 3.1.13y del resultado de Preiss-Talagrand que enunciamos y probamos despues deestudiar las aplicaciones usco.

Definicion 3.1.16. Sean X, Y espacios topologicos y φ : X −→ 2Y unaaplicacion multivaluada. Se dice que φ es superiormente semicontinua sipara cada x ∈ X y W ⊂ Y abierto con φ(x) ⊂ W , existe un entorno de x,U ⊂ X, tal que φ(U) ⊂ W . Tal aplicacion se dice que es usco si para cadax ∈ X el conjunto φ(x) ⊂ Y es no vacio y compacto en Y .

Consideramos el conjunto N con la topologıa discreta, y el espacio desucesiones de numeros naturales, N

, con la topologıa producto. Este ultimoespacio es metrico y separable, por lo que es tambien Lindelof. Un elementoσ ∈ N

lo denotaremos por (σ(n))n∈ , donde σ(n) ∈ N.

Proposicion 3.1.17. Sea (X, τ) un espacio topologico angelico. Para unaaplicacion φ : N

−→ 2(X,τ), son equivalentes:

(i) φ es usco.

(ii) Dada una sucesion (σn)n∈ ⊂ N

con limn σn = σ, si elijo xn ∈ φ(σn)para cada n ∈ N, la sucesion (xn) ⊂ X tiene un punto de aglomeracionx ∈ φ(σ).

Demostracion.


(i)⇒(ii) Supongamos que no es cierto, es decir, siendo φ usco existe una suce-sion (σn)n∈

⊂ N

con limn σn = σ y xn ∈ φ(σn) donde la sucesion (xn) ⊂ Xno tiene un puntos de aglomeracion en φ(σ). Por compacidad existen abier-tos U1, U2, . . . Uk de X con φ(σ) ⊂ U1∪U2∪· · ·∪Uk y xn 6∈ Ui para cualquieri = 1, . . . , k y cualquier n ≥ m0 para algun m0 ∈ N. Por hipotesis existe unabierto V ⊂ N

conteniendo a σ tal que φ(σ) ⊂ φ(V ) ⊂ ∪ki=1Ui, pero como

limn σn = σ, a partir de un n0 se tiene que σn ∈ V por lo que φ(σn) ⊂ φ(V ),y entonces xn ∈ ∪k

i=1Ui para n ≥ n0 lo que es absurdo. Se concluye que lasucesion (xn) tiene, al menos, un punto de aglomeracion x ∈ φ(σ).

(ii)⇒(i) De (ii) se observa que cada sucesion (xn) ⊂ φ(σ) tiene un puntode aglomeracion en φ(σ), por lo que φ(σ) es numerablemente compacto.Como (X, τ) es angelico, en este coinciden los conjuntos compactos y losnumerablemente compactos y, por tanto, φ(σ) es compacto. Para comprobarque φ es superiormente semicontinua razonaremos por reduccion al absurdo,supongamos que existe un elemento σ ∈ N

y un abierto V ⊂ X conteniendoa φ(σ), tal que ningun abierto U ⊂ N

que contenga a σ cumpla φ(U) ⊂ V .Considero pues una base de entornos numerable para σ ∈ N

, Un+∞n=1, y

elijo una sucesion (σn)n con σn ∈ Un para cada n ∈ N, tal que existen xn ∈φ(σn) con xn 6∈ V (hay que recordar que todos los espacios topologicos queconsideramos son completamente regulares). Pero, por hipotesis, la sucesion(xn) tiene un punto de aglomeracion en φ(σ) lo que es absurdo ya que xn 6∈ Vpara cada n ∈ N.

Proposicion 3.1.18. Sea X un espacio de Banach y φ : N

−→ 2(X,w) unaaplicacion usco cumpliendo φ(N

) = X. Entonces (X,w) es Lindelof.

Demostracion. Para probar que X es w-Lindelof, considero Uγ : γ ∈ Γun cubrimiento de (X,w) por abiertos. Para cualquier σ ∈ N

se cumpleque φ(σ) ⊂ X ⊂ ∪γUγ y como φ(σ) es w-compacto, existe un subconjuntoΓσ ⊂ Γ finito, tal que φ(σ) ⊂ ∪γ∈Γσ

Uγ . Al ser φ superiormente semicontinua,existe un entorno Wσ de σ tal que φ(Wσ) ⊂ ∪γ∈Γσ

Uγ . Como N

es Lindelofy Wσ : σ ∈ N

es un cubrimiento para tal espacio, existe entonces unasucesion σn ⊂ N

tal que N

= ∪n∈ Wσn . Y podemos escribir:

X = φ(N

) ⊂ ∪n∈ φ(Wσn) ⊂ ∪n∈

∪γ∈Γσn Uγ

Donde la familia F = Uγ : γ ∈ Γσn , n ∈ N es numerable y hemos acabado.


Teorema 3.1.19 (Preiss-Talagrand). Si X es un espacio de Banach debilcompactamente generado entonces es Lindelof para la topologıa debil.

Demostracion. Sea K el compacto de Eberlein tal que spanK = X, noes restrictivo suponer (debido al teorema de Krein-Smulian) que K es debilcompacto, convexo y equilibrado. Definimos ahora la siguiente aplicacion:

φ : N

−→ 2X∗∗

dada por

φ(σ) = ∩nσ(n)K +1

nBX∗∗ para cada σ = (σ(n))n ∈ N

La idea de la prueba es la siguiente, primero veremos que en realidad, laimagen de φ va a X, despues probaremos que la aplicacion φ es usco y queφ(N

) = X. Con esto y aplicando el resultado anterior llevamos la propiedadLindelof de N

a (X,w).Dado σ ∈ N

, se tiene que:

φ(σ) = ∩nσ(n)K +1

nBX∗∗ ⊂ ∩nX +

1

nBX∗∗ = X

‖‖∗∗= X (3.1)

donde la ultima igualdad se debe a que X es Banach y, por tanto, ‖ ‖∗∗-cerrado en X∗∗, ademas para cada σ ∈ N

se tiene que 0 ∈ φ(σ). Veamosahora que φ es usco; para ello considero una sucesion (αn)n∈

⊂ N

con-vergiendo puntualmente a α ∈ N

. Fijo tn ∈ φ(αn) para n ∈ N y hayque probar que (tn)∞n=1 ⊂ X tiene un punto de aglomeracion en φ(α) ⊂(X,w). Utilizaremos la siguiente notacion αn = (an

1 , an2 , . . . , a

np , . . . ) ∈ N

y α = (a1, a2, . . . , ap, . . . ) ∈ N

, como αn converge puntualmente a α,se tiene que fijado p ∈ N existe un np ∈ N tal que para todo n ≥ np

se cumple ani = ai para i = 1, 2, . . . , p. Considero un nuevo elemento

β = (maxn(an1 ),maxn(an

2 ), . . . ,maxn(anp), . . . ) ∈ N

, entonces se cumple quetn ∈ φ(αn) ⊂ φ(β) para todo n = 1, 2, . . . . Como φ(β) es compacto, existeun elemento t ∈ φ(β) que es punto de aglomeracion de (tn). Veamos quedicho punto de aglomeracion esta, de hecho, en φ(α); pero eso es cierto yaque para cada p ∈ N

tn ∈ apK +1

pBX∗∗ para n ≥ np


ası

t ∈ apK +1

pBX∗∗

por lo que

t ∈ ∩∞p=1(apK +1

pBX∗∗) = φ(α)

con lo que llegamos a que φ es usco La ultima condicion que falta es queφ(N

) = X, pero eso se debe a que

∩ε>0((∪∞n=1nK) +B(0, ε)) = ∪nnK = span(K) = X

Al hilo del teorema 3.1.19, podemos comentar que Corson en su trabajosobre la topologıa debil de los espacios de Banach, [Co], se preguntaba siun espacio de Banach X es debil compactamente generado si y solo si es deLindelof para la topologıa debil. Esta cuestion es recogida ası mismo porLindenstrauss en [Li] y Talagrand da una solucion completa al problema. Ensentido general, un espacio topologico (X, τ) se dice que es K-analıtico siexiste una aplicacion φ : N

−→ 2(X,τ) usco que sea sobreyectiva. Un espaciotopologico compacto K es un compacto de Talagrand si y solo si C(K) esdebilmente K-analıtico. Despues de la proposicion anterior queda claro que siK es un compacto de Talagrand, entonces C(K) es Lindelof para la topologıadebil. Vamos a estudiar un ejemplo de un compacto de Talagrand que no escompacto de Eberlein quedando ası resuelta la pregunta de Corson.Antes de estudiar el ejemplo hay que ver algunas propiedades de los espaciosK-analıticos. Un espacio topologico P se dice que es polaco si es metrico,separable y completo.

Proposicion 3.1.20. Un espacio topologico X es K-analıtico si y solo siexiste un espacio topologico polaco (P, ρ) y una usco sobreyectiva Φ′ : P −→2X .

Demostracion. Dado que N

es metrico, separable y completo basta probar laimplicacion ⇐ del resultado. Para ello vamos a ver que existe una aplicacionf : N

−→ P continua y sobreyectiva. Considero la sucesion densa (xn)n ⊂X, y las bolas cerradas de centro cada xn y radio 1

2que denotaremos por

C(n1) ∀n1 ∈ N. Para cada conjunto cerrado C(n1) considero los elementosde la sucesion inicial que estan contenidos en dicho conjunto, de manera que


la bola cerrada de centro cada uno de estos elementos y radio 14

quede dentrode C(n1) y los volvemos a numerar. Definimos C(n1, n2) como la bola cerradacontenida en C(n1) de centro xn2 y radio 1

4. De esta manera construimos una

coleccion de conjuntos C(n1, n2, . . . , nk) cerrados y no vacıos cumpliendo:

(i) C(n1, n2, . . . , nk) tienen de diametro menor que 1k.

(ii) C(n1, n2, . . . , nk−1) =⋃∞

nk=1 C(n1, n2, . . . , nk)

(iii) X = ∪∞n1=1C(n1)Dada una sucesion σ ∈ N

, tenemos una sucesion decreciente de conjuntoscerrados C(σ(1), σ(2), . . . , σ(k))k cuya interseccion es un unico punto, de-bido a que X es metrico completo. Definimos entonces la aplicacion f de lasiguiente manera; dada σ ∈ N

sera

f(σ) =+∞⋂

k=1

C(σ(1), σ(2), . . . , σ(k)) = x ∈ X

Debido a las propiedades (i), (ii) y (iii) anteriores se concluye que f es con-tinua y sobreyectiva.Para acabar la prueba considero la aplicacion usco sobreyectiva Φ : N

−→2X dada por Φ = Φ′ f .

Para el estudio de los espacios K−analıticos seguiremos [Fa].

Proposicion 3.1.21.

(i) La imagen continua de un espacio topologico K−analıtico es K−analıtico.

(ii) Un subespacio cerrado de un espacio topologico K−analıtico es K−analıtico.

(iii) Sea Ynn∈ una sucesion de espacios topologicos K−analıticos tales queexiste otro espacio topologico Y cumpliendo que cada Yn ⊂ Y , se cumple:

(iii.a) El producto∏+∞

n=1 Yn es K−analıtico.

(iii.b) La union ∪+∞n=1Yn es K−analıtica.

(iii.c) La interseccion ∩+∞n=1Yn es K−analıtica.

Demostracion.

(i) Sea f : X −→ Y continua y sobreyectiva donde X es un espacio topologicoK−analıtico, entonces existe φ : N

−→ 2X usco sobreyectiva. Definimosφ′ : N

−→ 2Y dada por φ′(σ) = f(φ(σ)), vamos a comprobar que es usco


sobreyectiva. Se observa que Y = ∪σ∈ φ′(σ) y que φ′(σ) es compacto en

Y , veamos que φ′ es superiormente semicontinua; para ello considero unasucesion (σn) ⊂ N

con limn σn = σ ∈ N

, elijo yn ∈ φ′(σn) para cadan ∈ N, hay que probar que dicha sucesion tiene un punto de aglomeraciony ∈ φ′(σ). Fijado n ∈ N, yn ∈ φ′(σn) por lo que existe xn ∈ φ(σn) tal quef(xn) = yn, por hipotesis la sucesion (xn) tiene un punto de aglomeracionx ∈ φ(σ), entonces por la continuidad de f se tiene que y = f(x) ∈ φ′(σ) esun punto de aglomeracion de (yn).

(ii) Sea X un espacio topologico K−analıtico, Z ⊂ X un subespacio cerra-do, considero un elemento z0 ∈ Z y defino una aplicacion multivaluadaφ : N

−→ 2Z dada por φ(σ) = (φ′(σ) ∩ Z) ∪ z0 donde φ′ : N

−→ 2X esusco sobreyectiva. Se observa que Z = ∪σ∈

φ(σ) y que cada φ(σ) es com-pacto en Z, veamos que φ es superiormente semicontinua. Sea (σn) ⊂ N

una sucesion con limn σn = σ y elegimos zn ∈ φ(σn) = (φ′(σn) ∩ Z) ∪ z0,comprobemos que (zn) tiene un punto de aglomeracion en φ(σ) ⊂ Z. Sizn = z0 para una cantidad infinita de n ∈ N habremos acabado, supongamosentonces que zn 6= z0 para cada n ∈ N, es decir, zn ∈ φ′(σn) ∩ Z, entoncesla sucesion (zn) tiene un punto de aglomeracion z en φ′(σ), pero como Zes cerrado, dicho punto de aglomeracion debe estar tambien en Z, es decir,z ∈ Z ∩ φ′(σ) ⊂ φ(σ).

(iii.a) Consideramos una sucesion Ynn∈ de espacios topologicosK−analıticos,existen entonces aplicaciones usco sobreyectivas φn : N

−→ 2Yn para cadan ∈ N. Dichas aplicaciones me permiten definir φ : (N

)

−→ 2ΠYn da-da por φ((αn)n∈

) = Π∞n=1φn(αn). Como (N

)

es polaco, basta comprobarque φ es usco. Se tiene que

∏+∞n=1 Yn = ∪α∈(

) φ(α) y φ(α) ⊂

∏+∞n=1 Yn

es compacto debido al teorema de Tychonov. Veamos que es tambien su-periormente semicontinua, para ello considero α = (αn)n∈

⊂ (N

)

y unabierto U ⊂ ΠnYn conteniendo a φ(α). No es restrictivo suponer que U =U1×U2×· · ·×Uk×Yk+1×Yk+2×. . . con Ui abierto de Yi conteniendo a φi(αi)para i = 1, . . . , k. Existen abiertos de Vi ⊂ N

tal que αi ∈ Vi y φi(Vi) ⊂ Ui

para i = 1, . . . , k. Definiendo el abierto V = V1×V2×· · ·×Vk×N

×N

× . . .que contiene a α se cumple φ(V ) ⊂ U y hemos acabado.

(iii.b) Consideramos una sucesion Ynn de espacios K−analıticos, compro-baremos que Y = ∪+∞

n=1Yn lo es tambien. Consideramos las aplicaciones uscoφn : Pn −→ 2Yn sobreyectivas definidas sobre espacios polacos; la union dis-junta

⋃n Pn que tambien es un espacio polaco. Con esto podemos definir


otra nueva usco sobreyectiva

Φ :

⋃

n

Pn −→ 2∪nYn

y acabamos.

(iii.c) En este caso hay que probar que ∩+∞n=1Yn es K− analıtico. Igual que

antes∏Yn es K− analıtico y definimos

Z = (yn)n ∈∏

Yn : y1 = y2 = · · · =

que es cerrado en∏Yn, aplicando (ii) Z es K− analıtico. Considero la

aplicacion continua y sobreyectiva Ψ : Z −→ ∩+∞n=1Yn dada por Ψ((yn)n) = y1

y se concluye que ∩+∞n=1Yn es K− analıtico.

Las propiedades anteriores las utilizaremos en el siguiente resultado quees una caracterizacion para los C(K) debilmente K− analıticos.

Proposicion 3.1.22. Para un espacio topologico compacto K, son equiva-lentes:

(i) Cp(K) es K− analıtico.

(ii) C(K) es debilmente K− analıtico.

(iii) Existe un subespacio K− analıtico Y ⊂ Cp(K) que separa puntos de K,es decir, si k, k′ ∈ K son distintos, existe un f ∈ Y tal que f(k) 6= f(k′).

Demostracion.

(ii)⇒(i) Se cumple porque la topologıa puntual es mas debil que la topologıadebil.

(i)⇒(ii) Suponemos entonces que Cp(K) es K− analıtico, aplicando (ii) del re-sultado anterior, se tiene que la bola unidad cerrada BCp(K) es K− analıtica,

por lo que existe φ : N

−→ 2BCp(K) usco sobreyectiva, hay que comprobarque considerando a 2(BC(K),w) como conjunto de llegada, sigue siendo usco.Para ello elegimos una sucesion (σn)n ⊂ N

con limn σn = σ ∈ N

, elegimosxn ∈ φ(σn) para cada n ∈ N, hay que demostrar que (xn)n tiene un punto deaglomeracion x ∈ φ(σ) ⊂ (BC(K), w). Sabemos que (xn)n tiene un punto deaglomeracion x ∈ φ(σ) ⊂ BCp(K) y se observa que xn, x ∈ ∪+∞

n=1φ(σn) ∪ φ(σ)para todo n ∈ N donde este ultimo conjunto es numerablemente compacto,


y al ser Cp(K) espacio angelico coinciden las nociones de compacidad y com-pacidad sucesional, por lo que existe una subsucesion de (xn)n que convergea x ∈ φ(σ) en la topologıa puntual, y como estamos en BC(K) que es acotado,dicha subsucesion converge para la topologıa debil debido al teorema de laconvergencia dominada de Lebesgue.

(iii)⇒(i) Si Y ⊂ Cp(K) es K−analıtico, tambien lo son RY , Y × Y , Y ± Y =f ± g : f, g ∈ Y e Y · Y = f · g : f, g ∈ Y , donde (f · g)(k) = f(k) · g(k)para cada k ∈ K. Se sigue que la menor algebra W que contiene a Yy a todas las funciones constantes es K−analıtica. Del teorema de Stone-Weierstrass se tiene que W es ‖‖∞ −denso en C(K). Consideramos B =f ∈ W :‖ f ‖∞≤ 1 que es cerrado en (W, τp) por lo que es K−analıtico yademas (W, τp)× (B, τp)

es tambien K−analıtico. Construimos la siguienteaplicacion continua y sobreyectiva Ψ : (W, τp)×(B, τp)

−→ Cp(K) dada porΨ(f, (fn)n) = f +

∑+∞n=1

fn

2n . Para comprobar que es sobreyectiva tomamoscualquier g ∈ C(K), como W es denso, existe f ∈ W tal que ‖ f −g ‖∞< 1

22 ,existe f1 ∈ W con ‖ g−f−f1 ‖∞< 1

23 , existe f2 ∈ W con ‖ g−f−f1−f2 ‖∞<124 , . . . , existe fn ∈ W tal que ‖ g − f − f1 − . . . fn ‖∞< 1

2n+2 . Podemosconsiderar ‖ fn ‖∞< 1

2n para n = 1, 2, . . . por lo tanto g = Ψ(f, (2nfn)n).

Ejemplo 3.1.23. Definimos las siguientes familias de subconjuntos de N

:

A0 = σ : σ ∈ N

∪ φ ⊂ P(N

)

An = A ⊂ N

: σ, δ ∈ A y σ 6= δ ⇒ σ|n = δ|n y σ|n+1 6= δ|n+1 ⊂ P(N

)

donde σ|n = (σ(1), ..., σ(n)) ⊂ Nn para cada n ∈ N.Consideramos A = ∪nAn y el conjunto

K = χA : A ∈ A ⊂ 0, 1

.

K es compacto como subconjunto de 0, 1

que es compacto de Talagrandpero no de Eberlein.

Demostracion. Comenzaremos probando que K ⊂ 0, 1

es compacto, pe-ro debido al teorema de Tychonov, bastara probar que es puntualmentecerrado. Denotaremos Γ = N

, sea (χAα)α∈I una red en K que converge

a f ∈ 0, 1Γ, se observa que f = χA donde A ⊂ Γ, hay que comprobar queA ∈ A. Si A tiene un solo punto de Γ se concluye que A ∈ A, suponga-mos entonces que existen σ, δ ∈ A distintos, entonces existe α ∈ I tal queσ, δ ∈ Aα ∈ An para algun n ∈ N, por lo que σ|n = δ|n pero σ|n+1 6= δ|n+1.


Vamos a probar que A ∈ An, sean σ1, σ2 ∈ A distintos, entonces para α ∈ Isuficientemente grande se tiene que σ, δ, σ1, σ2 ∈ Aα ∈ A, como σ|n = δ|ny σ|n+1 6= δ|n+1 se concluye que Aα ∈ An por lo que σ1|n = σ2|n peroσ1|n+1 6= σ2|n+1 y hemos acabado.Para comprobar que el compacto K es de Talagrand hay que ver que C(K)sea debilmente K−analıtico, definimos pues la aplicacion continua πσ : K −→0, 1 dada por πσ(k) = k(σ) = χA(σ) para cada σ ∈ Γ. Con esto considero laaplicacion multivaluada φ : Γ −→ 2Cp(K) dada por φ(σ) = πσ, 0, y se obser-va que φ(σ) ⊂ Cp(K) es compacto. Veamos que φ es superiormente semicon-tinua, para ello considero U ⊂ Cp(K) abierto con πσ, 0 ⊂ U , hay que encon-trar un abierto V ⊂ Γ conteniendo a σ tal que φ(V ) ⊂ U . Como 0 ∈ U , exis-ten A1, . . . , Am ∈ A tal que si f ∈ C(K) y |f(χAi

)| = |0(χAi)− f(χAi

)| < εpara i ∈ 1, . . . , m se cumple que f ∈ U . Ademas puedo coger ni ∈ N talque si δ ∈ Γ, δ 6= σ y δ|ni

= σ|nientonces δ 6∈ Ai, sea n = maxn1, . . . , nm

y considero δ ∈ Γ distinto a σ con δ|n = σ|n, entonces δ 6∈ A1 ∪ · · · ∪Am porlo que πδ ∈ U y se tiene que σ(1) × · · · × σ(n) × N× N× · · · = V ⊂ Γes abierto y φ(V ) ⊂ U . Hemos probado que el subespacio Y = πσ : σ ∈Γ∪0 ⊂ Cp(K) es K−analıtico y, utilizando el teorema 3.1.22 se tiene que(C(K), w) es K−analıtico.Para acabar de demostrar el ejemplo hay que ver que K no es compacto deEberlein. Recordemos que K ⊂ 0, 1

pero que, en ocasiones, conside-raremos K como un espacio de subconjuntos de N

dotado de la topologıapuntual heredada de 0, 1

. En lo que queda de prueba seguiremos [O-S-V].

Definicion 3.1.24. Una metrica d definida sobre un espacio topologico (X, τ)se dice que es τ−inferiormente semicontinua si cada conjunto

(x, y) : d(x, y) ≤ a ⊂ X ×X

es cerrado para todo a ∈ R+.

Definicion 3.1.25. Sea (X, τ) un espacio topologico y d una metrica definidasobre el. Se dice que (X, τ) esta fragmentado por d si para cada subconjuntono vacıo A ⊂ X y cada ε > 0 existe un τ−abierto U ⊂ X tal que U ∩ A esno vacıo y diamd(U ∩ A) < ε.

Para el intervalo I = [−1, 1] y para cualquier conjunto Γ considero lametrica dΓ sobre IΓ definida por

dΓ(x, y) = sup|x(γ)− y(γ)| : γ ∈ Γ


para x, y ∈ IΓ. En [N2] se prueba que cualquier compacto K ⊂ IΓ estafragmentado por dΓ si y solo si para cualquier subconjunto numerable A ⊂ Γla pseudometrica dA es separable sobre K.

Definicion 3.1.26. Un subconjunto K ⊂ IΓ se dice que es solido si satisfaceque para x ∈ K e y ∈ IΓ si

y(γ) = x(γ) o y(γ) = 0 para cada γ ∈ Γ

entonces y ∈ K.

Proposicion 3.1.27. Un subconjunto K ⊂ IΓ solido y compacto esta frag-mentado por dΓ si y solo si K ⊂ c0(Γ).

Demostracion. SiK esta fragmentado por dΓ, entonces cada x ∈ K pertenecea c0(Γ). En otro caso, podrıamos encontrar un subconjunto A ⊂ Γ infinitonumerable, un numero ε > 0 y un elemento x ∈ K tal que |x(γ)| > ε∀γ ∈ A. Para cada subconjunto P ⊂ A definimos el punto xP ∈ K dado porxP (γ) = x(γ) si γ ∈ P y xP (γ) = 0 en otro caso. El subconjunto de K dadopor xP : P ⊂ A es no numerable y se cumple que dA(xP , xQ) > ε si P 6= Q.Por lo tanto. dA no es separable sobre K y la metrica dΓ no fragmenta a K.En el otro sentido, cada subconjunto debil compacto de un espacio de Banachesta fragmentado por la norma (capıtulo 4); si K ⊂ c0(Γ) entonces K es debilcompacto y por tanto la norma de c0(Γ) induce la metrica dΓ sobre K.

Para demostrar que el compacto de Talagrand K no es compacto deEberlein, vamos a probar que no puede ser fragmentado por metricas infe-riormente semicontinuas. Una vez hecho esto habremos acabado porque tododebil compacto esta fragmentado por la norma del espacio de Banach que locontiene, debido al teorema de Namioka (capıtulo 4).Supongamos que para el compacto de Talagrand K existe una metrica d quees inferiormente semicontinua y que lo fragmenta. Entonces d induce unatopologıa sobre K mas fina que la heredada de 0, 1

[J-N-R2]. Por tantola aplicacion identidad de (K0 \0, d) sobre K0 \0 es continua y el ultimoespacio tiene la topologıa discreta. Por tanto es un homeomorfismo, y dadoσ ∈ N

existe δσ > 0 tal que d(σ, x) > δσ > 0 para cada x ∈ K0.En lo que sigue trabajaremos con los numeros δσ y veremos que, en algunsentido, la discretizacion de K0 se extiende sobre todo el compacto K. Ne-cesitaremos tres lemas.


Lema 3.1.28. Para todo σ ∈ N

, existe un nσ ∈ N tal que si A,B ∈ Km

con m ≥ nσ y σ ∈ (A \B) ∪ (B \ A), entonces d(A,B) ≥ δσ

2.

Demostracion. Es necesario observar que cualquier sucesion (An)n∈ ⊂ K

con An ∈ Kn tiene un punto de aglomeracion en K0. Puede ocurrir dos cosas,la primera que exista un elemento σ ∈ N

cumpliendo que σ ∈ An, ∀n ∈ N,en este caso σ es un punto de aglomeracion de la sucesion. La otra posi-bilidad es que ∀σ ∈ N

∃n ∈ N : σ 6∈ An, en este caso la aplicacion nula esun punto de aglomeracion de la sucesion.Razonaremos ahora por reduccion al absurdo. Por ellos suponemos que ellema no es cierto, podemos encontrar entonces una sucesion creciente de en-teros positivos m1 < m2 < . . . y subconjuntos An y Bn en Kmn

tal queσ ∈ An, σ 6∈ Bn, y d(An, Bn) < δσ

2.

La sucesion (An) converge hacia σ en K y (Bn) tiene un punto de aglo-meracion x en K0 diferente de σ. Por ser d inferiormente semicontinua, setiene que d(σ, x) ≤ δσ

2, lo que contradice la eleccion previa de los numeros

δσ.

Hay que observar que si un subconjunto H ⊂ N

no esta contenido en unsubconjunto σ−compacto de N

y H = ∪n∈ Hn, entonces existe un r ∈ N

tal que Hr no esta contenido en un subconjunto σ−compacto de N

.

Lema 3.1.29. Existe un subconjunto Σ′ ⊂ N

que no esta contenido enun σ−compacto y p, q ∈ N tales que para todo A,B ∈ Km con m ≥ q y((A \B) ∪ (B \ A)) ∩ Σ′ 6= φ, entonces d(A,B) ≥ 1

2p.

Demostracion. Consideramos la identidad

N

=⋃

n,k∈

σ ∈ N

: δσ >1

ny nσ < k

donde nσ viene dado por el lema anterior. Como N

no es σ−compacto, vana existir enteros positivos p, q ∈ N tales que:

Σ′ = σ ∈ N

: δσ >1

py nσ < q

no esta contenido en un subconjunto σ−compacto.


Lema 3.1.30. Considero un subconjunto Ω ⊂ N

que no este contenido enun subconjunto σ−compacto de N

y q ∈ N. Entonces existe una sucesionfinita (s1, . . . , sk) con k ≥ q tal que:

n ∈ N : ∃σ ∈ Ω : σ|k+1 = (s1, . . . , sk, n) ⊂ N es infinito

Demostracion. Fijamos q y escribimos

Ω =⋃

(b1,...,bq)∈

q

σ ∈ Ω : σ|q = (b1, . . . , bq)

Como Ω no esta contenido en un subconjunto σ−compacto, existe algun(a1, . . . , aq) ∈ Nq tal que

Ωq = σ ∈ Ω : σ|q = (a1, . . . , aq)no esta contenido en un subconjunto σ−compacto. Supongamos ahora quela afirmacion del lema es falsa. Entonces el conjunto

m ∈ N : ∃σ ∈ Ωq, σ(q + 1) = m= m ∈ N : ∃σ ∈ Ω, σ|q+1 = (a1, . . . , aq, m)

es finito. Denotamos por aq+1 al elemento maximo de dicho conjunto. En-tonces se cumple que

Ωq ⊂ σ ∈ Ω : σ(i) ≤ ai, i = 1, . . . , q + 1Procediendo por recurrencia, suponemos encontrados enteros aq+1, . . . , aq+n

tales queΩq ⊂ σ ∈ Ω : σ(i) ≤ ai, i = 1, . . . , q + n

Para cada sucesion finita (s1, . . . , sq+n) con si ≤ ai, i = 1, . . . , q + n, elconjunto

m ∈ N : ∃σ ∈ Ω, σ|q+n+1 = (s1, . . . , sq+n, m)es finito, y lo denotamos por N(s1, . . . , sq+n). El conjunto de enteros

⋃

N(s1, . . . , sq+n) : si ≤ ai, i = 1, . . . , q + n

es finito y podemos encontrar su maximo, que lo denotaremos por aq+n+1.Se tiene que

Ωq ⊂ σ ∈ Ω : σ(i) ≤ ai, i = 1, . . . , q + n+ 1Finalmente consideramos la sucesion (an) ⊂ N

tal que Ωq esta contenido enel conjunto compacto σ ∈ Ω : σ(i) ≤ ai, i = 1, 2, . . . , lo que es absurdo.


Aplicamos el ultimo lema al conjunto Σ′ y a q ∈ N dados por el lema quele precede. Existe entonces una sucesion finita (s1, . . . , sk) con k ≥ q tal que:

P = n ∈ N : ∃σ ∈ Σ′ : σ|k+1 = (s1, . . . , sk, n) ⊂ N es infinito

Hay que observar que para un espacio metrico (X, ρ) se dice que una funcionf : (X, ρ) −→ R es ρ−Lipschitziana si existe N ∈ R+ tal que |f(x)−f(y)| ≤N · ρ(x, y) para cada x, y ∈ X. Denotaremos por Lρ(X) al conjunto defunciones reales ρ−Lipschitzianas, y la norma ‖ · ‖Lip dada por:

‖ f ‖Lip= infN ∈ R+/|f(x)− f(y)| ≤ N · ρ(x, y) ∀x, y ∈ X

Consideraremos el espacio de Banach Lρ(X) dotado de la norma ‖ · ‖∞+ ‖ · ‖Lip. En [G-M] y [J-N-R2] podemos encontrar la prueba del siguienteresultado:

Teorema 3.1.31 (Ghoussoub-Maurey). SeaK un espacio topologico com-pacto y d una metrica inferiormente semicontinua sobre K. Entonces K ⊂Ld(K)∗ es w∗−compacto y ‖ · ‖∗ de Ld(K)∗ coincide con la metrica sobre K.

Aplicamos el resultado anterior a Kk y se tiene que Kk ⊂ Ld(Kk)∗ y la

norma ‖ · ‖∗ de Ld(Kk)∗ fragmenta tambien a Kk. Ahora, si σ ∈ N

cada eσ

denota la proyeccion canonica de 0, 1

sobre la coordenada σ−esima. Lafamilia de funciones

F = 1

2peσ : σ ∈ Σ′ ⊂ Ld(Kk)

donde p viene dado por el penultimo lema, es un subconjunto acotado deLd(Kk). De hecho, basta probar que cumplen la condicion de Lipschitz.Tomamos un par de elementos A,B ∈ Kk y fijamos un elemento σ ∈ Σ′, setiene:

|eσ(A)− eσ(B)| = 0 si σ ∈ A ∩B o σ 6∈ A ∪ B,|eσ(A)− eσ(B)| = 1 si σ ∈ (A \B) ∪ (B \ A).

En cualquier caso, se tiene que

| 12peσ(A)− 1

2peσ(B)| ≤ d(A,B)

porque d(A,B) > 12p

si σ ∈ (A \ B) ∪ (B \ A). Ahora llegaremos a una

contradiccion. Sea R la aplicacion restriccion de [0, 1]

sobre [0, 1]F . Ob-tenemos el subconjunto R(Kk) compacto y solido del cubo [0, 1]F , que esta


fragmentado por dF , pero no esta contenido en c0(F). De hecho, para ca-da q ∈ P existe algun σq ∈ Σ′ con las primeras k + 1 coordenadas igual a(s1, . . . , sk, q), y el conjunto A = σq : q ∈ P esta contenido en Kk y R(A)no esta en c0(F).

3.2 Pares conjungados

A lo largo de esta seccion seguiremos [N].

Definicion 3.2.1. Sea X un espacio topologico, definimos:

(i)El peso de X, w(X), como el menor cardinal de una base para la topologıade X.

(ii) El caracter de densidad de X, d(X), como el menor cardinal de unsubconjunto denso de X.

Claramente d(X) ≤ w(X), ademas si d(X) = χ0 decimos que X es un es-pacio topologico separable. Si m es un cardinal definimos m∗ = maxm,χ0.

Lema 3.2.2. Sean K y H compactos emparejados, entonces:

d(K)∗ = w(K)∗ = d(H)∗ = w(H)∗

Demostracion. Es suficiente probar que w(K)∗ ≤ d(H)∗ ya que por simetrıatendremos que w(K)∗ ≤ d(H)∗ ≤ w(H)∗ ≤ d(K)∗ ≤ w(K)∗. ConsideramosA ⊂ H denso donde |A| = d(H) y definimos Φ : K −→ IA dado porΦ(k)(a) =< k, a > para k ∈ K, a ∈ A, donde < , > es el emparejamiento deK y H. Entonces Φ es continua por ser < , > separadamente continua y estambien inyectiva ya que A denso en H y H separa puntos de K a traves delemparejamiento. Ademas, al ser K compacto, Φ es un homeomorfismo de Ken su imagen, con lo cual w(K) = w(Φ(K)) ≤ w(IA) = |A|∗ = d(H)∗, dondew(IA) = |A|∗ se asegura porque estamos considerando IA con la topologıapuntual, y una subbase de esta es S = f : f(a) ∈ V : V ∈ Ω, a ∈ A,donde Ω es una base numerable de I.

Como consecuencia del resultado anterior obtenemos una propiedad paralos compactos de Eberlein. Esta relaciona el caracter de densidad y el pesode un compacto de Eberlein K (que en este caso es lo mismo) con el caracterde densidad de los espacios topologicos Cp(K) y C(K) correspondientes.

Pares conjungados 47

Teorema 3.2.3. Sea K un compacto de Eberlein, entonces se cumple que:

d(K) = w(K) = d(Cp(K)) = d(C(K))

Demostracion. Utilizaremos la siguiente afirmacion

Afirmacion 3.2.4. Sea K un espacio topologico compacto, entonces

d(Cp(K)) = d(C(K))

Demostracion de la afirmacion. Dado que la topologıa de convergencia uni-forme es mas fina que la de convergencia puntual, un subconjunto denso enC(K) es denso en Cp(K), por lo que d(Cp(K)) ≤ d(C(K)). Probemos ladesigualdad contraria, para ello utilizo el lema de inmersion, ver [K] paradetalles, y se tiene que w(K) ≤ d(Cp(K)). Por lo que considero una base Bde K con |B| = w(K). Por la regularidad de K, dados dos puntos distintosk1, k2 ∈ K existen elementos B1, B2 ∈ B tal que B1 ∩ B2 = φ. Debido allema de Urysohn, debe existir una funcion continua fB1,B2 : K −→ [0, 1]tal que fB1,B2(B1) = 0 y fB1,B2(B2) = 1. Considero la familia F ′ formadapor ese tipo de funciones, y por la funcion constante igual a 1. Sea F losproductos finitos de elementos de F ′ y P = span (F) que es un algebrade funciones continuas sobre K. Utilizando el teorema de Stone-Weierstrassse observa que P

‖‖∞= C(K), ademas como |P | = w(K), concluimos que

d(C(K)) ≤ w(K).

Continuemos con la demostracion del teorema 3.2.3, por el lema anteriorpara cualquier compacto de Eberlein K se cumple que d(K) = w(K), y siutilizamos la prueba de la afirmacion anterior se tiene:

d(K) = w(K) ≤ d(Cp(K)) = d(C(K)) ≤ w(K)

Y se concluye la demostracion.

Vamos a restringir nuestro estudio a ciertos subconjuntos cerrados de loscompactos emparejados, es decir, a los pares conjugados.

Definicion 3.2.5. Sean K y H espacios topologicos compactos emparejadosy A, B dos subespacios cerrados de K y H respectivamente. Se dice que(A,B) es un par conjugado si:

(i) Para cada k ∈ K, existe un p(k) ∈ A verificando < k, b >=< p(k), b >para cada b ∈ B.


(i’) Para cada h ∈ H, existe un q(h) ∈ B verificando < a, h >=< a, q(h) >para cada a ∈ A.

Lema 3.2.6. Sean K, H, A, B, p y q como en la definicion anterior. En-tonces se cumple:

i) El emparejamiento entre K y H induce un emparejamiento entre A y B.

ii) p(k) y q(h) definidos en i) e i’) anteriores son unicos.

iii) Las aplicaciones p : K −→ A y q : H −→ B son retracciones continuasde K sobre A y H sobre B respectivamente.

iv) Para cada k ∈ K y h ∈ H se cumple:

< p(k), h >=< p(k), q(h) >=< k, q(h) >

Demostracion.

i) Consideramos < , >:A× B −→ I la restriccion del emparejamiento inicialal subconjunto A×B ⊂ K×H. Dicha restriccion es separadamente continuasobre A y sobre B. Veamos que A separa puntos de B, sean u, v ∈ B talque < a, u >=< a, v > para cada a ∈ A, entonces para cada k ∈ K setiene que < k, u >=< p(k), u >=< p(k), v >=< k, v > ya que p(k) ∈ Ay por la condicion i) de la definicion anterior se concluye que u = v ∈ B.Analogamente se tiene que B separa puntos de A y hemos acabado.

ii) Esta condicion es una consecuencia inmediata de la definicion de p y q yde que A separe puntos de B y B separe puntos de A.

iii) Evidentemente las aplicaciones p y q son retracciones sobre A y B respec-tivamente, solo hay que probar que son continuas. Probaremos unicamenteque p es continua ya que la prueba para q es igual. Antes de probar que p escontinua probaremos la siguiente afirmacion:Fijado b ∈ B, la aplicacion T : K −→ I dada por T (k) =< p(k), b > escontinua.Fijo k0 ∈ K y veamos que T es continua en k0, sea (kα) una red en K queconverge a k0, por las propiedades de p tenemos que:

limαT (kα) = lim

α< p(kα), b >= lim

α< kα, b >=

=< k0, b >=< p(k0), b >= T (k0)

ya que < , > es separadamente continua, con lo que T es continua en k0.De manera similar vamos a probar que p : K −→ A es continua, fijo k0 ∈ K y


sea (kα) una red en K que converge a k0. Supongamos pues que (p(kα))α ⊂ Ano converge a p(k0) ∈ A. Como A es compacto la red anterior tiene un puntode aglomeracion a ∈ A, y podemos suponer que en realidad, (p(kα)) convergeal punto a ∈ A distinto de p(k0) . Por el parrafo anterior y por la continuidadseparada del emparejamiento se tiene que fijado b ∈ B:

limα< p(kα), b >=< a, b >

limα< p(kα), b >= lim

αT (kα) = T (k0) =< p(k0), b >

y, por unicidad del lımite:

< p(k0), b >=< a, b > para cada b ∈ B

pero claro, como p(k0) y a son puntos de A, y B separa puntos de A a travesdel emparejamiento, se concluye que p(k0) = a lo que es absurdo.

iv) Esta propiedad se sigue de la definicion de p y q.

A las aplicaciones p y q anteriores se les denomina las retracciones canonicasdel par conjugado (A,B). Ademas si tenemos pares conjugados (A,B) y(A′, B′) tales que A ⊂ A′ y B ⊂ B′, se suele escribir (A,B) ⊂ (A′, B′).

Lema 3.2.7 (Compatibilidad de las retracciones). Sean K y H compac-tos emparejados y (A,B), (A′, B′) pares conjugados tal que (A,B) ⊂ (A′, B′),y sean p, q, p′, q′ las retracciones canonicas de (A,B) y (A′, B′) respectivamen-te. Entonces se cumple que p = p p′ y q = q q′.

Demostracion. Consideramos k ∈ K, b ∈ B ⊂ B ′, entonces:

< p p′(k), b >=< p′(k), q(b) >=< p′(k), b >=< k, b >=< p(k), b >

por las propiedades de p y p′. Con lo cual, p p′(k) = p(k) ∈ A para cadak ∈ K, ya que B separa puntos de A. Analogamente se tiene para q y q ′.

Teorema 3.2.8. Sean K y H compactos emparejados y E, F subconjuntoscerrados de K y H respectivamente tales que w(E) ≤ m y w(F ) ≤ m, dondem ≥ χ0. Entonces existe un par conjugado (A,B) con (E, F ) ⊂ (A,B) y

w(A) ≤ m,w(B) ≤ m

Demostracion. Haremos la prueba en dos etapas.


Etapa 1: Vamos a probar que existe un subconjunto cerrado E1 de K talque E ⊂ E1, w(E1) ≤ m y, para cada k ∈ K, existe un e1 ∈ E1 tal que< k, f >=< e1, f > para todo f ∈ F .Sea D ⊂ F subconjunto denso con |D| ≤ m y considero la aplicacionΦ : K −→ ID dada por Φ(k)(d) =< k, d > para cada k ∈ K y d ∈ Dque es continua. Entonces tenemos que d(Φ(K)) ≤ w(Φ(K)) ≤ w(ID) ≤ m.Por lo tanto puedo encontrar un subconjunto G de K de cardinalidad menoro igual a m tal que Φ(G) = Φ(K). Definimos el subconjunto cerrado deK, E1 = E ∪G y veamos que se cumple E ⊂ E1, w(E1)

∗ = d(E1)∗ ≤ m y

Φ(K) = Φ(E1). La primera igualdad de la linea anterior es cierta, ya queE1 es un cerrado de un compacto de Eberlein, con lo cual es tambien com-pacto de Eberlein, por lo que, esta emparejado a otro compacto y podemosutilizar el lema 3.2.2. La desigualdad que le sigue es consecuencia de la car-dinalidad de G y de que d(E) ≤ w(E) ≤ m. Probemos entonces la igualdadΦ(K) = Φ(E1), para ello es suficiente probar la inclusion Φ(K) ⊂ Φ(E1),sea k ∈ K entonces Φ(k) ∈ Φ(K) = Φ(G), por lo tanto existe una red(gα) ⊂ G tal que Φ(gα) converge a Φ(k). Ademas como E1 es compactopuedo suponer que gα converge a un punto e1 ∈ E1. Por la continuidad se-parada del emparejamiento se tiene que limα < gα, d >=< e1, d > para cadad ∈ D ⊂ F ⊂ H, por lo tanto limα Φ(gα)(d) = Φ(e1)(d) para cada d ∈ D,entonces limα Φ(gα) = Φ(e1) en ID con la topologıa puntual, pero claro:

limα

Φ(gα) = Φ(e1) y limα

Φ(gα) = Φ(k)

y, por la unicidad del lımite, tenemos que Φ(k) = Φ(e1) ∈ Φ(E1).Veamos que hemos acabado la primera etapa. Sea k ∈ K, entonces existee1 ∈ E1 tal que Φ(k) = Φ(e1) por lo que, para cada d ∈ D se tiene que< k, d >= Φ(k)(d) = Φ(e1)(d) =< e1, d > y, por la continuidad de <,> ycomo D = F se tiene que < k, f >=< e1, f > para cada f ∈ F .

Etapa 2: Repitiendo el razonamiento de la etapa anterior y su dual en Hrepetidas veces obtenemos dos sucesiones de conjuntos cerrados con pesos nosuperiores a m:

E = E0 ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ K

F = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ H

cumpliendo las dos condiciones siguientes:


(a) Para cada k ∈ K y n ∈ N existe un en ∈ En tal que < x, f >=< en, f >para cada f ∈ Fn−1

(b) Para cada h ∈ H y n ∈ N existe un fn ∈ Fn tal que < e, h >=< e, fn >para cada e ∈ En

Definimos A =⋃∞

n=1En y B =⋃∞

n=1 Fn, claramente obtenemos que (E, F ) ⊂(A,B) y w(A), w(B) ≤ m. Vamos a probar que (A,B) es un par conjugado,probemos la primera condicion de la definicion de par conjugado; fijamosk0 ∈ K, busquemos un p(k0) ∈ A tal que < k0, b >=< p(k0), b > para cadab ∈ B. Para este k0 ∈ K, utilizando el apartado (a) consideramos la sucesion(kn)n∈

⊂ A y sea z un punto de aglomeracion de dicha sucesion. Fijadoj ∈ N se tiene:

< k0, b >=< kn, b > cuando j ≤ n y b ∈ Fj−1

por continuidad:

< k0, b >=< z, b > para b ∈ Fj−1, j ∈ N

entonces

< k0, b >=< z, b > para b ∈∞⋃

n=1

Fn

de nuevo, por continuidad tenemos que:

< k0, b >=< z, b > para b ∈ B

por lo tanto, definiendo p(k0) = z hemos acabado. De manera identica seprueba la segunda condicion de par conjugado.

Teorema 3.2.9. Sean K y H dos compactos emparejados, µ un ordinallımite y (Aα, Bα), α < µ una familia de pares conjugados tal que (Aα, Bα) ⊂(Aβ, Bβ) cuando α ≤ β < µ. Definimos los siguientes conjuntos:

Aµ =⋃

α<µ

Aα y Bµ =⋃

α<µ

Bα

Entonces (Aµ, Bµ) es un par conjugado. Ademas para cada k ∈ K y h ∈ H,se tiene que pµ(k) = limα<µ pα(k) y qµ(h) = limα<µ qα(h) donde pα, qα sonlas retracciones canonicas de (Aα, Bα) para α ≤ µ.


Demostracion. Probemos que (Aµ, Bµ) cumple la condicion primera de ladefinicion de par conjugado, sea k ∈ K y z ∈ Aµ un punto de aglomeracionde la red (pγ(k))γ<µ. Fijamos α < µ, entonces para cada b ∈ Bα se cumpleque < k, b >=< pγ(k), b > para α ≤ γ < µ. Entonces por continuidad< k, b >=< z, b > para cada b ∈ Bα, α < µ. De nuevo por continuidad< k, y >=< z, y > para cada y ∈ Bµ, y acabamos definiendo pµ(k) =z. Probemos el ultimo parrafo; utilizando el lema 3.2.6 y el razonamientoanterior, el punto de aglomeracion de la red (pγ(k))γ<µ ⊂ Aµ que es compactoes unico e igual a pµ(k), por lo tanto pµ(k) = limα<µ pα(k), y de formaanaloga, qµ(h) = limα<µ qα(h) para cada k ∈ K y h ∈ H.

Teorema 3.2.10. Sea K un compacto de Eberlein con d(K) = w(K) = m >χ0 y (kα) ⊂ K denso. Entonces existe una familia (Aα, Bα), 1 ≤ α < µ depares conjugados tal que:

(i) (Aα, Bα) ⊂ (Aβ, Bβ) si α ≤ β < µ

(ii) kα ∈ Aα+1 para cada α < µ

(iii) Si α es un ordinal lımite entonces:

Aα =⋃

β<α

Aβ y Bα =⋃

β<α

Bβ

(iv) w(Aα) ≤ |α|∗ y w(Bα) ≤ |α|∗ para cada α < µ.

Demostracion. Al ser K un compacto de Eberlein, existe otro espacio to-pologico compacto H emparejado con K, y de ese emparejamiento obten-dremos la familia de pares conjugados. Sea µ un ordinal tal que |µ| = m,vamos a construir esta familia por induccion transfinita: Definimos A0 = φB0 = φ que, evidentemente, cumplen las condiciones del teorema. Sea α < µy supongamos que para β < α los conjuntos (Aβ, Bβ) han sido definidos sa-tisfaciendo las cuatro propiedades, construyamos el par (Aα, Bα).Supongamos que α es un ordinal lımite, entonces definimos Aα =

⋃

β<αAβ y

Bα =⋃

β<αBβ y, por el resultado anterior, (Aα, Bα) es un par conjugado y,claramente, se cumplen las cuatro propiedades.Supongamos ahora que α = β0 + 1, es decir, un ordinal aislado. Podemosencontrar subconjuntos densos M0 ⊂ Aβ0 y L0 ⊂ Bβ0 tal que |M0| ≤ β0 y

|L0| ≤ β0. Consideramos los conjuntos: E = M0

⋃kγ : γ ≤ β0 y F = L0

= Bβ0 , cerrados con w(E) ≤ |β0| y w(F ) ≤ |β0| y, por el teorema 3.2.8, existeun par conjugado (A,B) tal que (E, F ) ⊂ (A,B), w(A) ≤ |β0| ≤ |β0 + 1| yw(B) ≤ |β0| ≤ |β0 + 1| . Ademas, satisface las cuatro condiciones.


Vamos a aplicar el estudio de los pares conjugados para probar que laimagen continua de un compacto de Eberlein sigue siendo un compacto deEberlein. El siguiente teorema es un refortalecimiento del teorema 3.2.8:

Teorema 3.2.11. Consideramos dos espacios topologicos compactos K y Hemparejados, una aplicacion continua y sobreyectiva f : K −→ Z y doscerrados E y F de K y H respectivamente, con w(E) ≤ m y w(F ) ≤ m,donde m ≥ χ0. Entonces existe un par conjugado (A,B) tal que (E, F ) ⊂(A,B), w(A) ≤ m, w(B) ≤ m y, si f(k) = f(k′) entonces f(p(k)) = f(p(k′))para cada k, k′ ∈ K, donde p : K −→ A es la retraccion canonica.

Demostracion. Construiremos primero, por induccion, una sucesion adecua-da de pares conjugados (Ai, Bi)i=0,1,... y seguidamente definiremos los con-juntos A = ∪i=0,1,...Ai y B = ∪i=0,1,...Bi. El primer elemento de la sucesion(A0, B0) con las propiedades (E, F ) ⊂ (A0, B0), w(A0) ≤ m y w(B0) ≤ mlo construyo utilizando el teorema 3.2.8. Suponemos construido hasta el ele-mento (Ai, Bi) de la sucesion, con w(Ai) ≤ m y w(Bi) ≤ m y pi : K −→ Ai

la retraccion canonica, busquemos el siguiente elemento (Ai+1, Bi+1). Sea Bi

una base para Ai con |Bi| ≤ m, y sea Ai = (U, V ) ∈ Bi × Bi : f(p−1i (U)) ∩

f(p−1i (V )) 6= φ. Claramente |Ai| ≤ m y, para cada α = (U, V ) ∈ Ai

podemos elegir uα ∈ p−1i (U) y vα ∈ p−1

i (V ) tal que f(uα) = f(vα). Denuevo por el teorema 3.2.8, existe un par conjugado (Ai+1, Bi+1) tal queAi ∪ uα : α ∈ Ai ∪ vα : α ∈ Ai ⊂ Ai+1, Bi ⊂ Bi+1 y w(Ai+1) ≤ m,w(Bi+1) ≤ m.Definimos ahora A = ∪i=0,1,...Ai y B = ∪i=0,1,...Bi, probemos que el par(A,B) cumple la tesis del teorema. Por el teorema 3.2.9, se tiene que(E, F ) ⊂ (A,B), w(A) ≤ m y w(B) ≤ m. Ademas p(k) = limi→∞ pi(k)para cada k ∈ K donde p : K −→ A es la retraccion canonica. Para probarla ultima condicion para p sera clave la construccion que hemos hecho en lasucesion anterior de pares conjugados.Supongamos que tenemos k, k′ ∈ K con f(k) = f(k′) pero f(p(k)) 6= f(p(k′))y llegaremos a una contradiccion. Como Z es un espacio topologico Hausdorffy f es sobreyectiva existen entornos abiertos U de p(k) y V de p(k ′), ambosen K, tal que f(U) ∩ f(V) = φ. Ademas (p−1

i pi(k))i=0,1,... es una sucesiondecreciente de compactos ya que si x ∈ p−1

j pj(k), entonces pj(x) = pj(k), porlo que, utilizando el lema de compatibilidad de retracciones, para i < j :

pi(x) = pipj(x) = pipj(k) = pi(k)


esto prueba que x ∈ p−1i pi(k). Tambien se tiene que:

∩i=0,1,...(A ∩ p−1i pi(k)) = A ∩ p−1p(k) = p(k) ⊂ U

lo que implica que para una eleccion de i suficientemente grande se cum-ple que A ∩ p−1

i pi(k) ⊂ U , de la misma manera para una eleccion de jsuficientemente grande se cumple que A ∩ p−1

j pj(k′) ⊂ V. Fijo pues i que

cumpla A ∩ p−1i pi(k) ⊂ U y A ∩ p−1

i pi(k′) ⊂ V, entonces existen U , V miem-

bros de la base Bi de Ai tal que pi(k) ∈ U , pi(k′) ∈ V con A ∩ p−1

i (U) ⊂U y A ∩ p−1

i (V ) ⊂ V, como k ∈ p−1i (U) y k′ ∈ p−1

i (V ) se cumple quef(p−1

i (U)) ∩ f(p−1i (V )) 6= φ, con lo cual para α = (U, V ) ∈ Ai existen

uα ∈ Ai+1 ∩ p−1i (U) ⊂ A ∩ p−1

i (U) ⊂ U y analogamente vα ∈ V tal quef(uα) = f(vα), esto contradice el hecho de que f(U) ∩ f(V) = φ.

Recordemos el concepto de espacio topologico cociente. Dado X espaciotopologico e Y subconjunto suyo, X/Y denota el cociente de X obtenidoidentificando Y con un punto llamado [Y ]. Ademas la aplicacion cocienteπ : X −→ X/Y que identifica el conjunto Y con el punto [Y ], me da losabiertos del espacio cociente X/Y , es decir, U es abierto en X/Y si y solo siπ−1(U) es abierto en X. Se puede ver que si X es un compacto Hausdorff e Yes cerrado, entonces X/Y es Hausdorff. Si Y = φ, entonces X/φ = X ∪ φdonde φ es un punto aislado no perteneciente a X. El siguiente teoremaes tambien conocido como el teorema de Benyamini-Rudin-Wage.

Teorema 3.2.12 (Imagen continua). Sea K un compacto de Eberlein yf : K −→ Z una aplicacion continua y sobreyectiva en el espacio topologicoZ. Entonces Z es tambien compacto de Eberlein.

Demostracion. Probaremos el resultado por induccion sobre w(K) ≥ χ0.

Si w(K) = χ0. Al ser f continua, Z = f(K) es un compacto y, por ser ftambien sobreyectiva se cumple que w(Z) ≤ w(K) = χ0 (ver [E]), entoncesZ es un compacto con base numerable, con lo cual Z es metrizable y seconcluye que es un compacto de Eberlein.

Si w(K) = m > χ0. Supongamos que el teorema se cumple para compactosde Eberlein con peso menor que m, sea µ el menor ordinal tal que |µ| = m,veamos que el teorema se cumple para K. Al ser K un compacto de Eberleinesta emparejado a otro compacto H, entonces utilizando el resultado anteriory razonando como en la prueba del teorema 3.2.10, podemos obtener unafamilia (Aα, Bα) : α < µ de pares conjugados cumpliendo:


(i) (Aα, Bα) ⊂ (Aβ, Bβ) para α ≤ β < µ, donde A0 = B0 = φ

(ii) ∪α<µAα es denso en K

(iii) Si α es un ordinal lımite, entonces:

Aα = ∪β<αAβ y Bα = ∪β<αBβ

(iv) w(Aα) ≤ |α|∗

(v) Si k, k′ ∈ K y f(k) = f(k′), entonces para cada α < µ se cumple

f(pα(k)) = f(pα(k′))

donde pα : K −→ Aα es la correspondiente retraccion canonica.

Sean pues (pα, qα) las retracciones canonicas para (Aα, Bα). En la prueba delteorema 3.3.1 se probara que para ε > 0 y f ∈ C(H), el conjunto

α :‖ (f − f qα)|Bα+1 ‖> ε es finito.

Teniendo esto en cuenta, como para k ∈ K y ε > 0 se cumple:

α : suph∈H

| < pα+1(k), h > − < pα(k), h > | > ε =(3.2)

α : suph∈H

| < k, qα+1(h) > − < k, qα(h) > | > ε =(3.3)

α : suph∈H

|(< k, > qα+1)(h)− ((< k, > qα+1) qα)(h)| > ε ⊂

α : suph∈Bα+1

|(< k, > qα+1)(h)− ((< k, > qα+1) qα)(h)| > ε

donde (3.2) se cumple por las propiedades de las retracciones, (3.3) se cumpleteniendo en cuenta que (< k, > qα+1)(h) =< k, qα+1(h) > es continua yque qα+1 qα(h) = qα(h).Se observa entonces que el ultimo conjunto anterior es finito, con lo cual elconjunto:

α : suph∈H

| < pα+1(k), h > − < pα(k), h > | > ε (3.4)

es finito. Para cada n ∈ N y α < µ definimos el conjunto:

Anα+1 = k : sup

h∈H

| < pα+1(k), h > − < pα(k), h > | ≤ 1

n ∩ Aα+1


donde An1 = φ. Entonces cada An

α+1 es cerrado, Aα ⊂ An+1α+1 ⊂ An

α+1 ⊂ Aα+1

y ∩n∈ An

α+1 = Aα, para probar la ultima igualdad basta probar la inclusion⊂, si a ∈ ∩n∈

Anα+1, entonces por un lado a ∈ Aα+1, con lo cual pα+1(a) = a.

Por otro lado para todo entero positivo n se cumple

suph∈H

| < pα+1(a), h > − < pα(a), h > | ≤ 1

n

y utilizando la observacion anterior, en realidad se tiene

suph∈H

| < a, h > − < pα(a), h > | ≤ 1

n

para cada n ∈ N,con lo cual a = pα(a) ∈ Aα. Ademas hay que fijarse que,por (3.4), fijado n y k se cumple pα+1(k) 6∈ An

α+1 para, como mucho, unacantidad finita de α′s.Sea Cα = f(Aα), y definimos rα : Z −→ Cα como rα(f(k)) = f(pα(k)),por la propiedad (v) de la sucesion de los pares conjugados esta funcionesta bien definida, ademas rα es una retraccion continua. Definimos tambienCn

α+1 = f(Anα+1), entonces se cumple:

Cα ⊂ Cn+1α+1 ⊂ Cn

α+1 ⊂ Cα+1 y tambien ∩n∈ Cn

α+1 = Cα (3.5)

Ahora, utilizando la propiedad (iv) y la hipotesis de induccion, se tiene queCα = f(Aα) es un compacto de Eberlein, tambien como w(Cα) ≤ w(Aα) < my la aplicacion cociente: πα+1

n : Cα+1 −→ Cα+1/Cnα+1 es continua y sobre-

yectiva, tambien por la hipotesis de induccion Cα+1/Cnα+1 = πα+1

n (Cα+1) estambien compacto de Eberlein para cada α < µ y cada n ∈ N.Entonces fijado n entero positivo y α < µ existe un emparejamiento

< , >n,α: Cα+1/Cnα+1 ×W n

α+1 −→ [0,1

n]

donde W nα+1 es un compacto. Consideramos tambien la aplicacion continua

snα+1 = πα+1

n rα+1 : Z −→ Cα+1 −→ Cα+1/Cnα+1

Considero ahora W = ∪disjuntan∈

,α<µW

nα+1, que es Hausdorff y localmente com-

pacto. Entonces puedo denotar por W+ su compactificacion por un punto,e.d., W+ = W ∪∞ es un compacto. Practicamente hemos acabado porquevamos a definir una aplicacion:

< , >1: Z ×W+ −→ R


veremos que es un emparejamiento y habremos terminado. Para z ∈ Z yw ∈ W+ definimos:

< z,w >1=

0 si w =∞,< sn

α+1(z), w >n,α − < [Cnα+1], w >n,α si w ∈ W n

α+1.

hay que aclarar que [Cnα+1] es la clase de Cn

α+1 en el cociente Cα+1/Cnα+1.

Si nos fijamos, | < z,w >1 | ≤ 1n

para cada w ∈ W nα+1 y z ∈ Z, ademas fijado

w la aplicacion z −→< z,w >1 es continua. Veamos que tambien lo es en laotra variable. Fijamos z ∈ Z, la aplicacion w −→< z,w >1 es continua alrestringirnos a cada W n

α+1, probemos que tambien lo es para w = ∞. Dadoε > 0, veamos que hay un entorno de∞ enW+ tal que | < z,w >1 | ≤ ε en eseentorno, sea k ∈ K tal que z = f(k), si tenemos un w con | < z,w >1 | > ε,entonces para algun n se verifica; ε < 1

ny sn

α+1(z) 6= [Cnα+1],con lo cual, para

algun n se cumple; n < 1ε

y rα+1(z) = f(pα+1(k)) 6∈ Cnα+1, con lo cual, para

algun n se verifica; n < 1ε

y pα+1(k) 6∈ Anα+1, y la ultima afirmacion es cierta

solo para una cantidad finita de α′s y n′s. Entonces habra una cantidadfinita de w tal que | < z,w >1 | > ε, por lo que hay un complementario deun compacto en W+ tal que | < z,w >1 | ≤ ε.Para acabar de probar que Z es compacto de Eberlein falta demostrar queW+ separa puntos de Z a traves de <,>1. Sean z, z′ ∈ Z tal que <z,w >1=< z′, w >1 para cada w ∈ W+, veamos que z = z′. De la suposicionque hemos hecho obtenemos que

snα+1(z) = sn

α+1(z′)

para cada α < µ y cada n entero positivo. Esto significa que:

rα+1(z) = rα+1(z′) , o bien rα+1(z), rα+1(z

′) ⊂ Cα

para cada α < µ (en la segunda opcion hemos utilizado la ultima igualdadde (3.5)). Probemos por induccion que rα(z) = rα(z′) para cada α < µ. Unavez visto esto, como existen k, k′ ∈ K tal que z = f(k) y z′ = f(k′), entoncespodremos escribir:

z = f(k) = limα<µ

f(pα(k)) = limα<µ

rα(z) = limα<µ

rα(z′) = z′ (3.6)

donde la segunda igualdad viene dada por la propiedad (ii) de la sucesion deemparejamientos.


Como C0 = φ, entonces r0(z) = r0(z′). Supongamos ahora que rα(z) = rα(z′)

para cada α < β < µ. Si β es un ordinal lımite, entonces por la definicion derα y las propiedades de las retracciones se cumple que:

rβ(z) = limα<β

rα(z) = limα<β

rα(z′) = rβ(z′)

En cambio, si β = α + 1, se verifica que:

rβ(z) = rα+1(z) = rα+1(z′) = rβ(z′) , o bien, rβ(z), rβ(z′) ⊂ Cα

Pero claro, si rβ(z) ∈ Cα, entonces se cumple la igualdad (3.7) siguiente

rβ(z) = (3.7)

rα(rβ(z)) = (3.8)

f(pαpα+1(k)) = (3.9)

f(pα(k)) =

= rα(z)

donde (3.8) se verifica por definicion de rα y (3.9) se cumple por el lema decompatibilidad de retracciones. Por tanto el hecho de que rβ(z), rβ(z′) ⊂Cα implica, utilizando la hipotesis de induccion, que se cumpla: rβ(z) =rα(z) = rα(z′) = rβ(z′) y hemos acabado.

Corolario 3.2.13. La union finita de compactos de Eberlein es compacto deEberlein.

3.3 Inmersion en c0(Γ)

El lema de inmersion (ver [K] para los detalles) asegura que cualquier espaciotopologico K compacto y Hausdorff puede verse, a traves de un homeomorfis-mo, como un subespacio topologico de un cubo de la forma [0, 1]Γ, para algunconjunto de ındices Γ. Vamos a ver que para los compactos de Eberlein esecubo puede ser especial, vamos a introducir cualquier compacto de EberleinK a traves de un homeomorfismo como un subconjunto debil compacto deun c0(Γ

′) para un cierto conjunto de ındices Γ′. Este es el llamado teoremade Amir-Lindenstrauss, [N].

Inmersion en c0(Γ) 59

Teorema 3.3.1. Sea K un compacto de Eberlein, entonces existe un con-junto Γ y una aplicacion lineal, continua e inyectiva:

T : (C(K), ‖ ‖∞) −→ (c0(Γ), ‖ ‖∞)

que es tambien continua para las topologıas de convergencia puntual.

Demostracion. Vamos a probar el teorema por induccion sobre w(K) = m ≥χ0.Si m = χ0, podemos encontrar una sucesion (kn)n∈

densa en K y definimosla aplicacion T : C(K) −→ c0 dada por T (f)(n) = 1

nf(kn), se observa que

T es lineal, inyectiva y acotada. Tambien se cumple que si consideramos lastopologıas puntuales en los dos espacios la aplicacion T sigue siendo continua.Por lo tanto asumimos que w(K) = m > χ0 y que el teorema se cumple paracompactos de Eberlein cuyos pesos son menores que m. Sea µ el ordinalmas pequeno tal que |µ| = m. Podemos encontrar entonces un subconjuntodenso kα : α < µ ⊂ K, y por el el teorema 3.2.10 existe una familia(Aα, Bα) : 1 ≤ α < µ de pares conjugados satisfaciendo las condiciones(i),(ii), (iii) y (iv). Por hipotesis de induccion, para cada α < µ, existeuna aplicacion Tα : C(Aα) −→ c0(Γα) inyectiva, lineal y continua que estambien continua con la topologıa puntual, y se puede suponer que ‖ Tα ‖≤ 1.Definimos Γ =

⋃µ

α=0 Γα+1 considerando la union disjunta y pα la retraccioncanonica de K en Aα. Definimos entonces T : C(K) −→ l∞(Γ) como sigue,para cada f ∈ C(K)

T (f)|Γ1 = T1(f |A1)

T (f)|Γα+1 = Tα+1((f − f pα)|Aα+1) para α > 0

Obtenemos entonces una funcion que es lineal, acotada y continua para latopologıa puntual por la hipotesis de induccion. Falta probar:

(a)T (f) ∈ c0(Γ) para cada f ∈ C(K).

(b)T es inyectiva.

(a) Dado que ‖ Tα ‖≤ 1 es suficiente probar que para cada ε > 0, el conjuntoα :‖ (f−fpα)|Aα+1 ‖> ε es finito. Supongamos que esto no es cierto, existeentonces una sucesion de ordinales α1 < α2 < · · · < µ tales que, para cada i,existe un ki ∈ Aαi+1 ⊂ Aαi+1

satisfaciendo que |f(ki)−f(pαi(ki))| > ε. Como

K es compacto podemos suponer que la sucesion ki converge a un puntok ∈ ∪∞i=1Aαi

y lo mismo para pαi(ki) que converge a un punto y ∈ ∪∞

i=1Aαi.

Sea j > i, por el lema de compatibilidad se tiene que pαipαj

(kj) = pαi(kj).


Tomando lımite en j, vemos que pαi(y) = pαi

(k) para cada i. Por lo tanto, porel teorema 3.2.9 tenemos que p(k) = p(y), donde p es la retraccion canonica

sobre⋃∞

i=1Aαi. Pero k, y ∈

⋃∞i=1Aαi

, por tanto k = p(k) = p(y) = y, porotro lado, |f(ki)− f(pαi

(ki))| > ε para cada i, con lo cual |f(k)− f(y)| ≥ ε,lo que es absurdo si k e y son iguales.

(b) Supongamos Tf = 0, entonces se cumple que f |A1 = 0 y (f−fpα)|Aα+1 =0 para cada α > 0. Vamos a probar, por induccion sobre α, que f |Aα

= 0.Esto es cierto para α = 1, supongamos que tambien lo es para f |Aβ

= 0siempre que β < α < µ, hay que probar que tambien se cumple para α.Si α es un ordinal lımite, sabemos que f se anula sobre

⋃

β<αAβ el cual esdenso en Aα, entonces por la continuidad de f, f |Aα

= 0. Si α = β + 1entonces de (f − f pβ)|Aβ+1

= 0, obtenemos que f |Aβ+1= f pβ|Aβ+1

= 0 yaque pβ(Aβ+1) ⊂ Aβ. La afirmacion esta probada, por tanto f |

α<µ Aα= 0.

Entonces por (ii) de 3.2.10 tenemos que f(kα) = 0 para cada α y, finalmentef = 0 ya que (kα) es denso en K.

Teorema 3.3.2 (Amir-Lindenstrauss). Sea K un compacto de Eberlein,entonces K es homeomorfo a un subconjunto debil compacto de c0(Γ) paraalgun conjunto Γ.

Demostracion. Al ser K un compacto de Eberlein, esta emparejado con otrocompacto H, entonces H es tambin compacto de Eberlein y existe una apli-cacion lineal, acotada e inyectiva T : C(H) −→ c0(Γ) para algun conjuntoΓ, donde T es tambin continua con las topologıas puntuales. Consideramosla aplicacion Φ : K −→ Cp(H) de la prueba de 3.1.2 que es un homeomor-fismo en su imagen, entonces K es homeomorfo a T (Φ(K)) que ademas espuntualmente compacto, y como es acotado, tambien es debil compacto.

El poder ver un compacto de Eberlein a traves de un homeomorfismocomo subconjunto de c0(Γ) nos permite probar que es tambien compacto dePreiss-Simon, [Ar].

Definicion 3.3.3. Sea X un espacio topologico, una sucesion de subconjun-tos An : n ∈ N se dice que converge a un punto x ∈ X si cada entorno dex contiene todos los An a partir de un n suficientemente grande.

Definicion 3.3.4. Un espacio topologico X se dice que es un espacio dePreiss-Simon si para cada subconjunto cerrado C ⊂ X, y para cada punto c ∈C existe una sucesion de abiertos no vacios Un : n ∈ N de C convergentea c.

Inmersion en c0(Γ) 61

Teorema 3.3.5 (Preiss-Simon). Todo compacto de Eberlein es compactode Preiss-Simon.

Demostracion. Sea K un compacto de Eberlein, ya que cada subconjuntocerrado H ⊂ K es tambien un compacto de Eberlein, es suficiente probarel teorema para H = K. Sea pues k ∈ K, como podemos suponer quek ∈ K ⊂ c0(Γ), vamos a demostrar primero el teorema para k(α) = 0 paracada α ∈ Γ. La siguiente afirmacion juega un papel crucial:

Afirmacion 3.3.6. Para cada entorno abierto U de k en K y cada ε > 0podemos encontrar un conjunto finito B ′ ⊂ Γ y un conjunto abierto no vacioV de K con V ⊂ U y tal que |x(α)| ≤ ε para cada α ∈ Γ \ B ′ y todox = (x(α))α∈Γ ∈ V .

Demostracion. Fijamos un entorno abierto U de k en K y un ε > 0, hayque observar que cada elemento x de U ⊂ K ⊂ c0(Γ) tiene un numerofinito de coordenadas B = γ1, . . . , γk ⊂ Γ donde |x(γj)| > ε. Considerola coleccion Ω de esos subconjuntos finitos de Γ, probaremos que tiene unelemento maximal B′ ⊂ Ω y entonces

V = x ∈ U : |x(α)| > ε para cada α ∈ B ′

es el abierto buscado. Considero pues una cadena creciente de elementos deΩ:

B1 ⊂ B2 ⊂ · · · ⊂ Bn ⊂ . . .

vamos a probar que B = ∪+∞i=1Bi es una cota superior de la cadena en Ω. Si

pruebo que B es finito, significara que llega un momento que la cadena seestabilizara en algun Bk y entonces hay un elemento x de U tal que |x(α)| > εpara α ∈ Bk = B, por lo que B ∈ Ω. Supongamos pues que B es infinito,entonces no es restrictivo suponer que la cadena es estrictamente creciente.Considerando B1, elijo un elemento x1 ∈ U tal que |x1(α)| > ε para α ∈B1. Considerando B2, elijo un elemento x2 ∈ U tal que |x2(α)| > ε paraα ∈ B2 ⊃ B1. Se puede hacer esto para cada n, y obtenemos una sucesion(xn)n∈

⊂ U ⊂ K tal que |xn(α)| > ε para α ∈ Bn ⊃ Bn−1 ⊃ · · · ⊃ B1. Alser K puntualmente compacto, esa sucesion tiene un punto de aglomeraciony ∈ K ⊂ c0(Γ). Pero esto no puede ser porque por la construccion de lasucesion (xn)n∈

, se cumple que y tiene una cantidad infinita de coordenadasdonde es mayor o igual a ε.


Volviendo a la demostracion del teorema, vamos a buscar una sucesionde conjuntos abiertos Vn : n ∈ N convergente hacia k ∈ K. La idea esconstruir cada Vn de manera que todos sus elementos tengan las coordenadasmenor o igual que 1

nsalvo para una cantidad finita de coordenadas que llamo

Bn. Defino entonces Vn+1 de tal manera que en las coordenadas Bn seanmenores que 1

n+1y en el resto son menores o iguales que 1

n+1salvo para

una cantidad finita que llamo Bn+1, y ası sucesivamente. La construccion lahacemos por induccion:Tomamos U1 = K y B1 = φ, sea n > 1 y supongamos definidos Bn−1 ⊂ Γfinito y Un−1 ⊂ K abierto, definimos el abierto de K:

Un = x ∈ Un−1 : |x(α)| < 1

npara todo α ∈ Bn−1

Utilizando la afirmacion anterior, para ε = 1n

podemos elegir un conjuntoabierto Vn ⊂ K y un conjunto finito B′

n ⊂ Γ tal que Vn ⊂ Un y |x(α)| ≤ 1n

para todo α ∈ Γ\B′n y para todo x ∈ Vn. Tomemos pues Bn = Bn−1∪B′

n ⊂ Γcomo conjunto finito. Los conjuntos Un, Vn y Bn ya estan definidos y cumplenque Vn+1 ⊂ Un+1 ⊂ Un y Bn ⊂ Bn+1. Probemos que Vn : n ∈ N es lafamilia de abiertos que converge al punto k. Considero un entorno de k

U(0;α1, . . . , αm; ε) = x ∈ K : |x(αi)| < ε : i = 1, . . . , m

Defino C = α1, . . . , αm ⊂ Γ y fijo n0 ∈ N tal que C ∩ (∪+∞i=1Bi) = C ∩ Bn

para todo n > n0, no es restrictivo suponer que 1n< ε para todo n > n0.

Estamos en disposicion de probar que Vn ⊂ U para todo n > n0 + 1. Seax ∈ Vn, entonces |x(α)| ≤ 1

n< ε para todo α ∈ Γ\Bn. Supongamos entonces

que α ∈ Bn ∩ C, por la construccion anterior se tiene que x ∈ Vn ⊂ Un yentonces |x(α)| < 1

n< ε para cada α ∈ Bn−1, pero como C ∩Bn−1 = C ∩Bn

para todo n > n0 + 1 hemos acabado.Si elegimos ahora otro punto 0 6= k ∈ K ⊂ c0(Γ), la familia Vn + k : n ∈ Nes una familia de abiertos que converge a k, donde los Vn son los anterioresque convergen a 0.

3.4 Inmersion en un espacio de Banach refle-

xivo

Vemos ahora que todo compacto de Eberlein puede verse, salvo homeomor-fismo, como subespacio debil compacto de un espacio de Banach reflexivo.

Inmersion en un espacio de Banach reflexivo 63

Se utiliza la tecnica de Davis, Figiel, Johnson y Pelczynski en [Da-Fi-J-Pe],aunque las pruebas se siguen de [D1].

Lema 3.4.1 (Grothendieck). Sea X un espacio de Banach, K ⊂ X undebil cerrado y supongamos que para cada ε > 0 existe un debil compactoKε ⊂ X tal que K ⊂ Kε + εBX . Entonces K es debil compacto.

Demostracion. Sea Kw∗

el cierre de K en (X∗∗, w∗), si probamos que Kw∗

⊂X habremos acabado porque K

w∗

⊂ K1 +BXw∗

⊂ K1w∗

+BXw∗

= K1+BX∗∗

que es w∗-compacto por el teorema de Alaoglu y donde la ultima igualdadse debe al teorema de Goldstine. Por tanto K

wserıa debil compacto, pero

como K es debil cerrado se tendrıa que K = Kw

y por tanto debil compacto.

Fijamos pues ε > 0, como Kεw∗

= Kε ya que cada Kε es debil compacto, setiene:

Kw∗

⊂ Kε + εBXw∗

⊂ Kεw∗

+ εBXw∗

= Kε + εBX∗∗

y ası:

Kw∗

⊂ ∩ε>0(Kε + εBX∗∗) ⊂ ∩ε>0(X + εBX∗∗) = X‖·‖∗∗

= X

donde ‖ ‖∗∗ es la norma del bidual.

Para un espacio de BanachX en ocasiones es mas comodo utilizar σ(X,X ∗)como sımbolo para indicar la topologıa debil. Esto ocurre en la prueba delsiguiente teorema.

Teorema 3.4.2 (Inmersion en un reflexivo). Sea X un espacio deBanach tal que K ⊂ X es debil compacto. Entonces existe un subconjuntoC ⊂ X absolutamente convexo y debil compacto tal que K ⊂ C, K ⊂ XC estambien debil compacto y el espacio de Banach XC es reflexivo.

Demostracion. Por el teorema de Krein-Smulian podemos suponer que K esabsolutamente convexo. Para cada n ∈ N considero Bn = 2nK + 1

2nBX quees absolutamente convexo, debil cerrado, acotado y 0 ∈ Interior(Bn) 6= φ(ya que 1

2nBX ⊂ Bn). Por todo esto, si consideramos ‖ ‖n el funcional deMinkowski asociado a cada Bn, y tenemos que cada ‖ ‖n es una norma enX cuya bola unidad es Bn para cada n ∈ N y dicha norma es equivalente ala que habıa (ya que 1

2nBX ⊂ Bn ⊂ 2n+1BX). Definimos

C := x ∈ X :

∞∑

n=1

‖ x ‖2n≤ 1


que es cerrado, acotado y absolutamente convexo (C = ∩nx ∈ X :∑n

k=1 ‖x ‖2n≤ 1) y su funcional de Minkowski ‖ ‖C coincide con ‖ x ‖C= (

∑∞n=1 ‖

x ‖2n)12 , ademas XC es un espacio de Banach. Observemos lo siguiente:

1) K ⊂ C, ya que si k ∈ K ⇒ 2nk ∈ 2nK ⇒ 2nk ∈ Bn ⇒‖ k ‖2n≤ ( 12n )2 ⇒

∑∞n=1 ‖ k ‖2n≤

∑∞n=1(

12n )2 < 1

2) C es debil compacto en X, esto se sigue del lema de Grothendieck ya queC ⊂ 2nK + 2−nBX para n ∈ N.

3) En C coinciden las topologıas σ(X,X∗) y σ(XC , X∗C).

Para ello observemos que la aplicacion T : XC −→ (∑

n(X, ‖ ‖n))l2 dadapor T (x) = (x, x, x, . . . ) es una inmersion isometrica, ademas se tiene que(∑

n(X, ‖ ‖n))∗l2 es isometrico a (∑

n(X∗, ‖ ‖∗n))l2 y en este espacio lassucesiones con numero finito de coordenadas no nulas, (

∑

n(X∗, ‖ ‖∗n))ϕ,es denso. Ası en el acotado C coinciden la topologıa σ(XC , X

∗C) y la de

convergencia puntual sobre (∑

n(X∗, ‖ ‖∗n))ϕ y esta ultima topologıa no esmas que la σ(X,X∗) sobre C. En efecto, la accion sobre T (x) = (x, x, . . . )de (x∗1, x

∗2, . . . , x

∗n, 0, 0, . . . ) es

∑n

i=1 x∗i (x).

Como BXC= C que es σ(XC , X

∗C)-compacto se concluye que XC es reflexivo.

Se observa que un compacto de Eberlein puede verse, salvo homeomor-fismo, dentro de un espacio de Banach reflexivo. Antes de ver otra caracte-rizacion para los compactos de Eberlein ([H-H-Z]), hay que ver un resultadoprevio que es consecuencia inmediata de la prueba del teorema anterior.

Corolario 3.4.3. Sea X un espacio de Banach y K ⊂ X un debil compacto.Entonces existe un espacio de Banach reflexivo Y y un operador lineal yacotado T : Y −→ X tal que K ⊂ T (BY ).

Demostracion. Situandonos en el marco de la prueba anterior consideramosla inclusion i : (XC , ‖ ‖C) −→ (X, ‖ ‖) si llamamos T := i, tenemosque el operador T es lineal, para ver que es acotado basta darse cuenta que‖ T (x) ‖=‖ x ‖≤ 2

√3 ‖ x ‖C , probemos la desigualdad:

Al ser K acotado, podemos suponer K ⊂ BX (o al menos para alguna ho-motecia, y la desigualdad quedara igual salvo la constante de la homotecia).Entonces podemos escribir Bn = 2nK + 1

2nBX ⊂ 2n+1BX , por lo que:

‖ x ‖≤ 2n+1 ‖ x ‖n⇒

Inmersion en un espacio de Banach reflexivo 65

⇒ 1

22‖ x ‖2

∞∑

n=1

1

22n≤

∞∑

n=1

‖ x ‖2n⇒

⇒‖ x ‖2 1

12≤‖ x ‖2C⇒

⇒‖ x ‖≤ 2√

3 ‖ x ‖CAhora, si consideramos Y := XC como ya tenemos probado que es reflexivo,solo nos queda ver que K ⊂ T (BY ) pero esto sigue de:

K ⊂ C = BXC= i(BXC

) = T (BXC) = T (BY )

Corolario 3.4.4. Sea K un espacio topologico compacto, son equivalentes:

(i) K es compacto de Eberlein.

(ii) Existe un espacio de Banach reflexivo Y y un operador lineal y acotadoT : Y −→ C(K) tal que T (Y ) = C(K).

Demostracion.

(i) ⇒ (ii) Sea K es compacto de Eberlein, utilizando el teorema 3.1.14 existeotro compacto de Eberlein H tal que C(K) = spanH. Utilizando el resul-tado anterior, existe un espacio de Banach reflexivo Y y un operador linealy acotado T : Y −→ C(K) tal que H ⊂ T (BY ). Utilizando esto podemosescribir:

spanH ⊂ spanT (BY ) = T (spanBY )por lo que

C(K) = spanH ⊂ T (spanBY ) ⊂ T (Y ) ⊂ C(K)

y queda probado que C(K) = T (Y ).

(ii) ⇒ (i) Tenemos que:

spanT (BY ) = T (Y ) = C(K)

como Y es reflexivo se tiene que BY ⊂ Y es debil compacto, ademas comoT : Y −→ C(K) es lineal y acotado, tambien es debil-debil-continuo, comoconsecuencia T (BY ) ⊂ C(K) es debil compacto, por lo que C(K) es debilcompactamente generado por lo tanto K es compacto de Eberlein.

Esta ultima caracterizacion se puede ver como la caracterizacion del teore-ma 3.1.13 pero describiendo el debil compacto que genera al correspondienteC(K), que en este caso es T (BY ).


3.5 Compactos de Eberlein uniformes

Una vez visto que los compactos de Eberlein pueden verse, salvo homeomor-fismo, como subconjuntos debil compactos de un espacio de Banach reflexi-vo, vamos a estudiar una clase de compactos mas particular, los compactoshomeomorfos a subconjuntos debil compactos de un espacio de Hilbert. Co-menzamos con la siguiente definicion, en esta seccion seguimos [H-H-Z].

Definicion 3.5.1. Un espacio topologico compacto K se dice que es compactode Eberlein uniforme si es homeomorfo a un subconjunto debil compacto deun espacio de Hilbert.

La clase de los compactos de Eberlein uniformes es estrictamente maspequena que la de los compactos de Eberlein. D. Kutzarova y S. Troyanskiconstruyeron un ejemplo de un espacio de Banach reflexivo X que no admiteninguna norma equivalente uniformemente diferenciable Gateaux (ver [K-T]).El espacio (BX∗, w∗) es un compacto de Eberlein que no es compacto deEberlein uniforme (ver [H-H-Z]).Al igual que los compactos de Eberlein, los compactos de Eberlein uniformesse pueden sumergir en c0(Γ) pero con una condicion anadida.

Teorema 3.5.2 (Benyamini-Stardbird). Sea K un espacio topologicocompacto, lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) K es compacto de Eberlein uniforme.

(ii) K es homeomorfo a un conjunto debil compacto, K ⊂ c0(Γ), para algunconjunto de ındices Γ, con la propiedad de que dado ε > 0 existe un N(ε) ∈ N

satisfaciendo:

|γ ∈ Γ : |k(γ)| > ε| < N(ε) para cada k ∈ KDemostracion.

(i)⇒(ii) Al ser K compacto de Eberlein uniforme, existe K ⊂ l2(Γ) debilcompacto y homeomorfo a K. Entonces existe m ∈ N con K ⊂ mBl2(Γ),

y dado ε > 0 y k ∈ K, si denotamos S = γ ∈ Γ : |k(γ)| > ε, podemosescribir:

m2 ≥∑

γ∈S

|k(γ)|2 ≥ |S|ε2

La conclusion se sigue porque la identidad de l2(Γ) a c0(Γ) restringida a Kque es debil-debil continua.

Compactos de Eberlein uniformes 67

(ii)⇒(i) Supongamos entonces que K es homeomorfo a un debil compactoK ⊂ c0(Γ) tal que para cada ε > 0, existe N(ε) ∈ N tal que |γ ∈ Γ : |k(γ)| >ε| < N(ε) para todo k ∈ K. Podemos asumir, sin perdida de generalidad,que ‖ k ‖≤ 1 para cada k ∈ K. Sea f : [−1, 1] −→ [−1, 1] una funcion

continua, estrictamente creciente e impar tal que f( 1n) ≤ (2nN( 1

n+1))−

12 ,

para cada n ∈ N. Definimos una nueva funcion:

ϕ : K ⊂ c0(Γ) −→ l2(Γ)

dondek −→ (ϕ(k)(γ))γ∈Γ = (f(k(γ)))γ∈Γ

Veamos que ϕ esta bien definida, es mas, veamos que ϕ(K) ⊂ Bl2(Γ). Para

ello, dado k ∈ K y n ∈ N, escribimos:

An = γ ∈ Γ :1

n+ 1< |k(γ)| ≤ 1

n

Entonces ‖ ϕ(k) ‖2l2(Γ)=∑

γ∈Γ |f(k(γ))|2 =∑+∞

n=1

∑

γ∈An|f(k(γ))|2 ≤

≤+∞∑

n=1

|An||f(1

n)|2 ≤

+∞∑

n=1

|An|(2nN(1

n + 1))−1 <

<

+∞∑

n=1

N(1

n + 1)2−nN(

1

n + 1)−1 = 1

Por tanto ϕ lleva K a Bl2(Γ) y es inyectiva y continua para las topologıas deconvergencia puntual de c0(Γ) y l2(Γ), pero estas coinciden con las topologıasdebiles en los conjuntos acotados de estos espacios.

Para acabar la seccion veamos un ultimo teorema para compactos deEberlein uniformes que nos da propiedades analogas a las de los compactosde Eberlein.

Teorema 3.5.3 (Benyamini-Starbird). Sea K un espacio topologico com-pacto, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) K es compacto de Eberlein uniforme.

(ii) Existe un espacio de Hilbert H y un operador T : H −→ C(K) lineal yacotado tal que T (H) es denso en C(K).


(iii) (BC(K)∗, w∗) es compacto de Eberlein uniforme.

Demostracion.

(i)⇒(ii) Utilizando un argumento similar a la prueba de la proposicion ante-rior probaremos la siguiente afirmacion:K es homeomorfo a un subconjunto debil compacto K ⊂ l2(Γ) para algun Γ,cumpliendo 0 6∈ K y

∑

γ∈Γ |k(γ)| ≤ 1 para cada k ∈ K.Por la ultima proposicion K es homeomorfo a K ′ ⊂ c0(Γ) para algun con-junto de ındices Γ, con la condicion de que dado ε > 0, existe N(ε) ∈ N talque:

|γ ∈ Γ : |k(γ)| > ε| < N(ε) para cada k ∈ K ′

No es restrictivo suponer que ‖ k ‖≤ 1 para cada k ∈ K ′ y consideramosf : [−1, 1] −→ [−1, 1] continua, estrictamente creciente e impar tal quef( 1

n) ≤ (2n+2N( 1

n+1))−1 para cada n ∈ N. Definimos la aplicacion:

ϕ : K ′ ⊂ c0(Γ) −→ l2(Γ)

Dada por (ϕ(k)(γ))γ∈Γ = (f(k)(γ))γ∈Γ para cada k ∈ K ′. Veamos que ϕ estabien definida, es mas, se cumplen las condiciones de la afirmacion. Para ello,dados k ∈ K ′ y n ∈ N, consideramos

An = γ ∈ Γ :1

n+ 1< |k(γ)| ≤ 1

n

Entonces se cumple

‖ ϕ(k) ‖l1(Γ)=∑

γ∈Γ

|f(k(γ))| =+∞∑

n=1

∑

γ∈An

|f(k(γ))| ≤

≤+∞∑

n=1

|An||f(1

n)| ≤

+∞∑

n=1

N(1

n + 1)

1

2n+2N(

1

n + 1)−1 =

1

4

Ademas como

‖ ϕ(k) ‖l2(Γ)≤‖ ϕ(k) ‖l1(Γ)≤1

4

entonces ϕ(K ′) ⊂ Bl2(Γ). Al igual que en la prueba de la proposicion anteriorK ′ es homeomorfo a ϕ(K ′) ⊂ l2(Γ). Ahora bien, si 0 ∈ ϕ(K ′), existe x ∈l1(Γ) ⊂ l2(Γ) tal que 0 6∈ x + ϕ(K ′) ⊂ Bl1(Γ) ⊂ Bl2(Γ) y ademas ϕ(K ′) eshomeomorfo a x+ ϕ(K ′). Por tanto queda probada la afirmacion.

Compactos de Eberlein uniformes 69

Vamos a construir ahora el espacio de HilbertH y el operador lineal y acotadoT : H −→ C(K) con T (H) = C(K). Sea eγγ∈Γ la base de vectoresunitarios de l2(Γ) y para cada n ∈ N considero An = Γ× · · · × Γ

︸︷︷︸

n veces

, sea A =

∪+∞n=0An con A0 = φ y considero el espacio de Hilbert:

H = (∑

A

l2(Γ))2 = h = (hA)A∈A : hA ∈ l2(Γ) y∑

A∈A

‖ hA ‖2l2(Γ)< +∞

Definimos el operador T : H −→ C(K) dado por

T (h)(k) =

+∞∑

n=1

1

2nTn(h)(k)

donde h ∈ H, k ∈ K y

Tn(h)(k) =∑

A=(γ1,...,γn)∈An

n∏

i=1

k(eγi)k(hA)

Probemos primero que T (h)(k) ∈ R para cada h ∈ H y k ∈ K. Para ellofijado k ∈ K, h ∈ H con ‖ h ‖≤ 1 y n ∈ N tenemos:

|∑

A=(γ1,...,γn)∈An

n∏

i=1

k(eγi)k(hA)| ≤

≤∑

A=(γ1,...,γn)∈An

n∏

i=1

|k(eγi)| = (

∑

γ∈Γ

|k(eγ)|)n ≤ 1

Tambien se observa que T es lineal y acotada, de hecho, hemos visto antesque ‖ T ‖≤ 1. Mas aun, T (h) ⊂ C(K) lo que es equivalente a probar queTn(h) ⊂ C(K) para cada n ∈ N. Para simplificar la notacion haremos laprueba solo para T1(h). Considero una sucesion (kn)n∈

⊂ K que convergea un punto k0 ∈ K, es decir, limn ‖ kn − k0 ‖l2(Γ)= 0. Sea ε > 0 y fijamos


Γ′ ⊂ Γ finito tal que∑

γ∈Γ\Γ′ |k0(eγ)||k0(hγ)| < ε, podemos escribir:

|∑

γ∈Γ′

kn(eγ)kn(hγ)−∑

γ∈Γ

k0(eγ)k0(hγ)| ≤

≤∑

γ∈Γ′

|kn(eγ)kn(hγ)− k0(eγ)k0(hγ)|+∑

γ∈Γ\Γ′

|k0(eγ)||k0(hγ)| <

<∑

γ∈Γ′

‖ hγ ‖l2(Γ)‖ kn(eγ)kn − k0(eγ)k0 ‖l2(Γ) +ε ≤

≤ (∑

γ∈Γ′

‖ hγ ‖2l2(Γ))12 (

∑

γ∈Γ′

‖ kn(eγ)kn − k0(eγ)k0 ‖2l2(Γ))12 + ε ≤

≤‖ h ‖H [∑

γ∈Γ′

(|kn(eγ)| ‖ kn − k0 ‖l2(Γ) +|kn(eγ)− k0(eγ)| ‖ k0 ‖l2(Γ))2]

12 + ε ≤

≤‖ h ‖H [(∑

γ∈Γ′

|kn(eγ)|2 ‖ kn − k0 ‖2l2(Γ))12 +

+(∑

γ∈Γ′

|kn(eγ)− k0(eγ)|2 ‖ k0 ‖2l2(Γ))12 ] + ε ≤

≤‖ h ‖H [‖ kn − k0 ‖l2(Γ)‖ kn ‖l2(Γ) + ‖ kn − k0 ‖l2(Γ)‖ k0 ‖l2(Γ)] + ε =

=‖ h ‖H‖ kn − k0 ‖l2(Γ) (‖ kn ‖l2(Γ) + ‖ k0 ‖l2(Γ)) + ε ≤ 2ε

para n ≥ n0, para n0 suficientemente grande, entonces

|∑

γ∈Γ

kn(eγ)kn(hγ)−∑

γ∈Γ

k0(eγ)k0(hγ)| < 2ε, para n ≥ n0

Ahora, el conjunto T (H) contiene a todos los polinomios en las variablescoordenadas k(eγ). Esos polinomios separan puntos de K y no tienen ninguncero en comun ya que 0 6∈ K. Por tanto T (H) es denso en C(K) por elteorema de Stone-Weierstrass.

(ii)⇒(iii) El operador dual T ∗ : C(K)∗ −→ H∗ es inyectivo y w∗−w∗−continuoen H∗. Por lo tanto BC(K)∗ es homeomorfo a un subconjunto debil compactode un espacio de Hilbert, ya que (H∗, w) = (H∗, w∗) por ser H reflexivo.

(iii)⇒(i) Se sigue del hecho de que K es w∗−cerrado en BC(K)∗.

Capıtulo 4

Propiedades topologicas de loscompactos de Eberlein

Este capıtulo esta dividido en cinco secciones. Comenzamos estudiando pro-piedades de los compactos de Eberlein relacionadas con alguna metrica. Estaspropiedades son consecuencias del teorema de Namioka, que se prueba en laprimera seccion, y relaciona la continuidad de una funcion coordenada a coor-denada con la continuidad en todo el producto. Como consecuencia de esteresultado se obtienen en la segunda seccion tres resultados de propiedadesmetricas. En la tercera seccion se enuncia y demuestra el teorema de Mis-cenko y el teorema de Rosenthal que son caracterizaciones de compactos me-trizables y compactos de Eberlein (respectivamente) y se ve la diferencia quehay entre ambos. En la cuarta seccion comparamos los espacios metrizablesy los compactos de Eberlein mediante el teorema de Bing-Nagata-Smirnovy su correspondiente para compactos de Eberlein. Y en la quinta seccionse prueba una propiedad para los subconjuntos debil compactos convexos enrelacion a sus puntos fuertemente expuestos.

4.1 Funciones separadamente continuas

Para probar el teorema de Namioka nos hace falta demostrar el siguienteresultado que es consecuencia del teorema de la convergencia dominada deLebesgue. Seguimos [Ar].

Proposicion 4.1.1. Sea H un compacto, A ⊂ C(H) con ‖ g ‖∞≤ 1 paracada g ∈ A y supongamos que A contiene una sucesion (gn)n∈

convergente

71

72 Propiedades topologicas de los compactos de Eberlein

a una funcion f ∈ Cp(H). Entonces f ∈ conv(A)‖‖∞

.

Demostracion. Vamos a probar primero que f ∈ Aw, para ello vamos a ver

que si elegimos un funcional T ∈ C(H)∗, entonces:

limnT (gn) = T (f)

Recordando que el dual de C(H) son las medidas σ-aditivas, debe existir unamedida µ tal que:

T (g) =

∫

gdµ para cada g ∈ C(H)

Ahora, como (gn)n∈ converge puntualmente a f y esta uniformemente aco-

tada, utilizando el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, secumple:

limnT (gn) = lim

n

∫

gndµ =

∫

fdµ = T (f)

Por lo que f ∈ Aw ⊂ conv(A)w

= conv(A)‖‖∞

.

Teorema 4.1.2 (Namioka). Sean K y H dos espacios topologicos compac-tos y f : K ×H −→ [−1, 1] una funcion separadamente continua. Entoncesexiste un Gδ denso, Ω ⊂ K, tal que f es conjuntamente continua en el con-junto Ω×H.

Demostracion. A partir de la funcion f del enunciado consideramos la fun-cion F : K −→ C(H) dada por F (k) = f(k, ·). Ademas para cada k ∈ Kpodemos definir la oscilacion local de F en k ∈ K como:

α(k) = infdiam(F (U)) : U entorno abierto de k

Para cada n ∈ N definimos Wn = k ∈ K : α(k) < 1n y Ω = k ∈ K : α(k) =

0 = ∩n∈ Wn, hay que comprobar que Ω cumple la tesis del teorema. Para

probar que es un Gδ considero k ∈ Wn entonces α(k) < 1n

con lo cual existeun entorno abierto U de k tal que diam(F (U)) < 1

npero claro, esto significa

que α(k′) < 1n

para cada k′ ∈ U por lo que U ⊂ Wn, que es lo que querıamosdemostrar. Veamos ahora que f es conjuntamente continua en el conjuntoΩ×H. Sea (k0, h0) ∈ Ω×H, y (kα, hα) una red en Ω×H convergente hacia(k0, h0). Entonces dado cualquier ε > 0, existe un α0 tal que si α ≥ α0 se

Funciones separadamente continuas 73

tiene que |f(kα, hα)− f(k0, hα)| < ε2, ya que k0 ∈ Ω y limα kα = k0. Ademas

como f(k0, ·) es continua, existe un α1 tal que |f(k0, hα)−f(k0, h0)| < ε2

paratodo α ≥ α1 ya que limα hα = h0. Sea α′ = maxα0, α1, para todo α ≥ α′

se cumple:

|f(kα, hα)− f(k0, h0)| ≤ |f(kα, hα)− f(k0, hα)|+ |f(k0, hα)− f(k0, h0)| < ε

Para acabar la demostracion hay que probar que Ω es denso en K. Paraello supondremos que es falso y, tras unas consideraciones, haremos unaconstruccion con la que llegaremos a una contradiccion. Suponemos pues queΩ 6= K pero, como K es compacto y, por tanto, espacio de Baire existe unε > 0 tal que k ∈ K : α(k) < ε 6= K. Por lo tanto para cada k ∈ U = K \k ∈ K : α(k) < ε se tiene que α(k) ≥ ε, entonces α(k) ≥ ε para cada k ∈ Uque es un compacto de K. Por lo tanto se puede suponer que α(k) ≥ ε paratodo k ∈ K. Utilizando esta ultima propiedad construiremos por, induccion,una sucesion (Un)n∈

de abiertos de K y otra sucesion (kn)n∈ de puntos de

K cumpliendo:

1. ki ∈ Ui

2. Ui+1 ⊂ Ui

3. Para cada k ∈ Ui+1 y g ∈ Hi = conv(F (k1), . . . , F (ki)) ⊂ C(H) se cumpleque:

d∞(F (k), g) ≥ ε

3

Para n = 1 definimos U1 = K y k1 ∈ K arbitrario, evidentemente se cum-plen las condiciones 1, 2 y 3. Supongamos que la construccion es cier-ta para n, es decir, existen puntos k1, . . . , kn ∈ K y conjuntos abiertosU1, . . . , Un ⊂ K cumpliendo 1, 2 y 3. Veamos como podemos elegir el puntokn+1 y el abierto Un+1 de la construccion:Claramente el conjunto Hn = conv(F (k1), . . . , F (kn)) es un subconjuntocompacto del espacio metrico (C(H), d∞). Mas aun, Hn es totalmente acota-do por la metrica d∞. Esto nos permite elegir un conjunto finito An ⊂ Hn talque d∞(g, An) <

ε12

para cada g ∈ Hn. Para cada g ∈ An definimos P (g) =g′ ∈ C(H) : d∞(g, g′) ≤ 5ε

12 y a la union de estos como Kn = ∪g∈An

P (g).Si g′′ ∈ C(H) y d∞(g′′, Hn) ≤ ε

3, entonces d∞(g′′, An) ≤ ε

3+ ε

12= 5ε

12, por lo

tanto g′′ ∈ Kn. Teniendo esto en cuenta ocurre que si g′′ ∈ C(H) \ Kn yg′ ∈ Hn se cumple:

d∞(g′′, g′) ≥ d∞(g′′, g)− d∞(g′, g) ≥ 5ε

12− ε

12≥ ε

3donde g ∈ An. (4.1)


Como el conjunto P (g) es cerrado en Cp(H) y F : K −→ Cp(H) es continua,el conjunto F−1(P (g)) = k ∈ K : d∞(g, F (k)) ≤ 5ε

12 = T (g) es cerrado en

K y se cumple que si k1 , k2 ∈ T (g), entonces:

d∞(F (k1), F (k2)) < ε (4.2)

Si existiese una abierto V de K enteramente contenido en T (g), entonces, por(4.2) para cada k ∈ V ⇒ α(k) < ε, contradiciendo el hecho de que α(k) ≥ εpara cada k ∈ K. Por lo tanto Un 6⊂ T (g) para cada g ∈ An, entoncesel conjunto abierto Un \ (∪g∈An

T (g)) ⊂ Un es no vacıo y, existe un abiertono vacıo Un+1 tal que Un+1 ⊂ Un y Un+1 ∩ (∪g∈An

T (g)) = φ. Ahora bien,si k ∈ Un+1 se tiene que F (k) 6∈ ∪g∈An

P (g) = Kn y, por tanto, utilizando(4.1) se tiene que d∞(g, F (k)) ≥ ε

3para cada g ∈ Hn. Si tomamos kn+1

cualquier punto de Un+1 hemos completado la induccion porque se cumplenlas tres condiciones. Podemos pues considerar las dos sucesiones (kn) y (Un)de puntos de K y de abiertos de K respectivamente cumpliendo las trescondiciones.Por las propiedades 1 y 2 de las sucesiones y la compacidad de K existe algunpunto k0 ∈ ∩n∈

Un = ∩n∈ Un que es punto de aglomeracion de la sucesion

(kn). Por tanto, al ser F continua, se cumple que F (k0) ∈ (F (kn))n∈ ,

pero como F (K) es un compacto en Cp(H) donde H es compacto, por elteorema 2.2.10, existe una sucesion de elementos de B = (F (kn))n∈

queconverge puntualmente a F (k0), aplicando la proposicion 4.1.1 se cumple

que F (k0) ∈ conv(B)‖‖∞

, pero esto es absurdo, porque si k0 ∈ Un+1 entoncesd∞(F (k0), Hn) ≥ ε

3por la condicion 3 de las sucesiones para cada n ∈ N, y

como conv(B) = ∪n∈ Hn, entonces d∞(F (k0), conv(B)) ≥ ε

3contradiciendo

el hecho de que F (k0) ∈ conv(B)‖‖∞

.

4.2 Aplicaciones: metrizabilidad y fragmen-

tabilidad

Para relacionar el teorema de Namioka con los compactos de Eberlein bastarecordar los emparejamientos del capıtulo 3 y observaremos la similitud entrelas funciones f y F de la seccion anterior con las funciones <,> y Φ de dichocapıtulo. Como consecuencia obtenemos tres nuevas propiedades para loscompactos de Eberlein, [N3].

Aplicaciones: metrizabilidad y fragmentabilidad 75

Teorema 4.2.1. Sea K un compacto de Eberlein, entonces existe un sub-conjunto Ω ⊂ K que es Gδ, denso y metrizable.

Demostracion. Considero el compacto H, el emparejamiento <,> K×H −→[−1, 1] y la aplicacion Φ : K −→ C(H). Utilizando el teorema de Namiokapara la funcion <,>, existe un Gδ denso Ω ⊂ K tal que <,>: Ω × H −→[−1, 1] es continua. Como Ω es homeomorfo a Φ(Ω) ⊂ Cp(H), la idea esprobar que en Φ(Ω) coinciden la topologıa puntual y la topologıa asociada a‖ ‖∞.Sea z0 ∈ Ω y ε > 0, considero B∞(Φ(z0), ε) ⊂ C(H) abierto basico de Φ(z0)en (C(H), ‖ ‖∞), vamos a buscar un entorno abierto de Φ(z0) en la topo-logıa puntual que denotaremos por UΦ(z0) y que cumpla que UΦ(z0) ∩Φ(Ω) ⊂B∞(Φ(z0), ε)∩Φ(Ω), entonces como la topologıa puntual es mas debil que lade ‖ · ‖∞ se tiene que ambas topologıas coincidiran sobre Φ(Ω).Fijo (z0, y0) ∈ Ω×H entonces por continuidad existe Uz0 ×Wy0 entorno de(z0, y0) tal que se cumple:

| < z0, y0 > − < z, y > | < ε

2para cada (z, y) ∈ Uz0 ×Wy0

Ademas al ser < z0, > continua existe un entorno W ′y0

de y0 ∈ H tal que:

| < z0, y0 > − < z0, y > | <ε

2para cada y ∈ W ′

y0

Por lo tanto definiendo Vy0 = Wy0 ∩W ′y0

, se tiene que para (z, y) ∈ Uz0 × Vy0

se cumple:

| < z0, y > − < z, y > | ≤ | < z0, y > − < z0, y0 > |+

+| < z0, y0 > − < z, y > | < ε

2+ε

2= ε

Si hacemos esto para (z0, y) para cada y ∈ H, obtenemos un cubrimiento deH por abiertos Vy : y ∈ H con lo cual se puede extraer un subrecubrimientofinito de H:

Vy1 , . . . , Vyn

y podemos definir:

U = ∩ni=1U

yiz0

entorno de z0 ∈ Ω y ademas H = ∪ni=1Vyi


tal que:

| < z0, y > − < z, y > | < ε para cada (z, y) ∈ U ×H (4.3)

Con esto se acaba la demostracion porque Φ(U) es entorno abierto de Φ(z0)en Cp(H) y, por la condicion (4.3) se tiene que:

Φ(z0) ∈ Φ(U) ⊂ B∞(Φ(z0), ε) ∩ Φ(Ω)

Observacion 4.2.2. En realidad hemos probado que la aplicacion

Φ : Ω −→ (C(K), ‖ ‖∞) es continua

Teorema 4.2.3. Supongamos que K es un debil compacto del espacio deBanach (X, ‖ · ‖), entonces la norma ‖ · ‖ fragmenta al compacto K, esdecir, para cualquier cerrado C ⊂ K y cualquier ε > 0 existe un abierto Ude K tal que diametro‖·‖(C ∩ U) < ε .

Demostracion. Haremos la prueba para K, ya que cualquier subconjuntocerrado de K sera tambien compacto. Considero el emparejamiento:

<,>: K × BX∗ −→ [−1, 1]

dado por < k, x∗ >= x∗(k). Por el teorema de Namioka existe Ω ⊂ Kun Gδ denso tal que la aplicacion <,> restringida al producto Ω × BX∗ escontinua. Teniendo en cuenta la observacion 4.2.2, se tiene que la inclusion i :Ω −→ (C(BX∗), ‖ · ‖∞) inducida por la aplicacion <,> anterior es continua.Sea pues ε > 0, y x ∈ Ω ⊂ K un punto de continuidad para i, entoncesexiste un entorno de x abierto U ⊂ Ω ⊂ K tal que diametro‖·‖∞(K ∩ U) =diametro‖·‖∞(U) = diametro‖·‖(U) < ε.

Teorema 4.2.4. Para un compacto de Eberlein K son equivalentes:

(i)K es metrizable.

(ii)K es separable.

(iii)K es soporte de alguna medida de probabilidad de Borel.

(iv)K satisface la condicion de cadena numerable.

Demostracion.

Aplicaciones: metrizabilidad y fragmentabilidad 77

(i) ⇒ (ii)Siempre se cumple que un compacto metrizable es separable.

(ii) ⇒ (i)Utilizando el teorema 3.2.3, se tiene que (C(K), ‖‖∞) es separable,de lo que se obtiene que K es metrizable ya que puedo verlo, salvo homeo-morfismo, como subconjunto de una homotecia de la bola (BC(K)∗, w

∗) quees metrizable.

(ii) ⇒ (iii)Recordemos que K es soporte de una medida de probabilidadde Borel µ, si µ(G) > 0 para cada G ⊂ K abierto no vacıo. Pero estoocurre porque como K es separable entonces existe un subconjunto densonumerable xn ⊂ K, consideramos las deltas de Dirac correspondientes,δxn

, donde recordamos que δxnes una medida dada por:

δxn(A) = 1 sii xn ∈ A y δxn

(A) = 0 sii xn 6∈ A

definimos la medida de probabilidad de Borel:

µ =+∞∑

n=1

1

2nδxn

entonces K es soporte de µ por la densidad de los (xn)n∈ en K

(iii) ⇒ (iv)Que el espacio K satisfaga la condicion de cadena numerable(c.c.c. para abreviar) significa que toda coleccion de abiertos disjuntos es, alo mas, numerable. Sea µ la medida de la cual K es soporte, y sea Gi : i ∈ Iuna coleccion de abiertos disjuntos de K, entonces se cumple que:

∑

i∈I

µ(Gi) ≤ µ(∪i∈IGi) ≤ µ(K) <∞

con lo cual el conjunto i ∈ I : µ(Gi) > 0 es, a lo mas, numerable y, al serK soporte, el conjunto i ∈ I : Gi 6= φ es, a lo mas, numerable.

(iv) ⇒ (ii)Utilizaremos que la imagen continua de un espacio con la c.c.c. esc.c.c, todo metrizable con la c.c.c. es separable y que un subespacio densode uno que tenga la c.c.c. va a heredar la c.c.c. Para la segunda afirmacionrazonamos de la siguiente manera, como un espacio metrico tiene una baseσ−discreta, y cada familia discreta es disjunta, dicho espacio metrico va atener una base numerable, por lo que el espacio va a ser separable. La terceraafirmacion viene de la siguiente observacion, sean U1, U2 ⊂ E ⊂ F abiertosde E y este subespacio denso de F , se tiene que U1 = V1 ∩ E y U2 = V2 ∩ E


para V1, V2 abiertos de F . Si U1 y U2 son disjuntos, entonces V1 y V2 debenser tambien disjuntos ya que de no ser ası V1 ∩ V2 es un abierto de F quedebe cortar a E por la densidad de este, lo que es absurdo ya que U1 y U2

son disjuntos en E. Veamos ahora que K es separable.Sea K un compacto de Eberlein, por la observacion 4.2.2 y la prueba delteorema precedente se observa que Φ : Ω −→ (C(H), ‖ · ‖∞) es continua,pero como Ω posee la c.c.c. ⇒ (Φ(Ω), ‖ · ‖∞) posee la c.c.c. ⇒ Φ(Ω) es‖ · ‖∞ separable ⇒ Φ(Ω) es Cp(H) separable y, como Ω es denso en K ⇒Φ(K) es Cp(H) separable, ademas como Φ es homeomorfismo en su imagenconcluimos que K es separable.

Utilizando el resultado anterior se puede afirmar que el producto nonumerable de compactos de Eberlein no tiene por que ser un compacto deEberlein. Para ello basta considerar [0, 1] que es un espacio topologicocompacto, separable y no metrizable por lo que no puede ser compacto deEberlein.

4.3 Caracterizaciones internas de los compac-

tos de Eberlein

Un compacto metrizable es un compacto de Eberlein, pero el recıproco noes cierto ya que puedo considerar (Bl2(Γ), w) con Γ no numerable que escompacto pero no es metrizable. En esta seccion veremos que, aunque sondistintos, los compactos metrizables y los compactos de Eberlein estan muyrelacionados, [H-H-Z].

Definicion 4.3.1. Una familia A de subconjuntos de X se dice que es pun-tualmente finita si para cada x ∈ X el conjunto A ∈ A : x ∈ A es finito.La familia A se dice que es σ−puntualmente finita si A = ∪n∈

An dondecada familia An es puntualmente finita.

Definicion 4.3.2. Una familia A de subconjuntos de X se dice que distinguepuntos de X si para cada x, y ∈ X con x 6= y, existe un elemento de la familiaA ∈ A tal que:

x, y ∩ A = x, o bien, x, y ∩ A = y

Se dice que A distingue fuertemente puntos de X si, en la situacion anterior,existe un elemento de la familia A ∈ A tal que x ∈ A y ademas y 6∈ A.

Caracterizaciones internas de los compactos de Eberlein 79

Vamos a demostrar el teorema de Miscenko, el cual, caracteriza a loscompactos metrizables. Para ello veamos previamente el siguiente lema.

Lema 4.3.3. Sea B una base para la topologıa de un espacio topoogico com-pacto K tal que cada k ∈ K esta en una cantidad numerable de elementosde B. Entonces B es numerable y, por tanto, K es metrizable.

Demostracion. Si demostramos que K es separable habremos acabado yaque, si (kn)n∈

es una sucesion densa en K, entonces la base B la podemosexpresar como B = ∪n∈

Bn donde Bn = B ∈ B : kn ∈ B. Por la hipotesis,cada Bn es numerable y, por tanto, la base B tambien es numerable, con locual, K es metrizable (ver [K] para detalles). Construyamos pues la sucesiondensa:Vamos a construir por induccion una sucesion de conjuntos numerables C1 ⊂C2 ⊂ . . . cuya union sea densa en K, elegimos como C1 cualquier conjunto deun solo elemento de K, supongamos la construccion hecha para C1 ⊂ C2 ⊂· · · ⊂ Cn, construyamos el elemento siguiente de la cadena. Consideramos lafamilia Bn = B ∈ B : B ∩ Cn 6= φ, por las caracterısticas de B y por serCn numerable, resulta que Bn es numerable. Para cada coleccion finita Γ deelementos de Bn con ∪B∈ΓB 6= K, anadimos a Cn un elemento de K \∪B∈ΓB,de esta manera construimos el siguiente conjunto numerable Cn+1, llamamosC = ∪n∈

Cn, que es un conjunto numerable. Probemos que C es denso enK y habremos acabado. Supongamos que no es cierto, es decir, C 6= K yllegaremos a una contradiccion, tomemos un elemento k0 ∈ K \C y definimosla familia F = B ∈ B : B ∩ C 6= φ y ademas k0 6∈ B. Igual que antes,como C es numerable y por la hipotesis sobre la base B se obtiene que lafamilia F es numerable, ademas F cubre C. Sea Γ un subcubrimiento finitode F para C que es compacto, entonces Γ ⊂ Bn para algun n ∈ N, sinembargo, k0 6∈ ∪B∈ΓB. Entonces por la construccion de Cn+1, se tiene queCn+1 contiene algun elemento de K \ ∪B∈ΓB contradiciendo el hecho de queΓ cubre C ⊃ Cn+1.

Teorema 4.3.4 (Miscenko). Un espacio topologico compacto K es metri-zable si y solo si existe una familia U σ-puntualmente finita, formada porabiertos Fσ y que distingue fuertemente los puntos de K.

Demostracion.

⇒ Sea (K, d) el espacio metrico compacto, denotamos por Un una familiafinita formada por las bolas abiertas de radio 1

nque cubren K. Si definimos

U = ∪n∈ Un hemos acabado porque cumple las condiciones del enunciado.


⇐ Consideramos U = ∪n∈ Un, donde cada Un es una familia puntualmente

finita de abiertos Fσ, entonces por la normalidad de K cada U ∈ U lo puedoexpresar como U = ∪i∈

Ui = ∪i∈ Ui, con Ui abierto y Ui ⊂ Ui+1 para

cada i ∈ N. Considero la familia formada por todos los Ui construidos deesta manera para cada U ∈ U , que es de nuevo σ-puntualmente finita. Sidefinimos por U∗ la familia de intersecciones finitas de los elementos de lafamilia anterior, obtenemos otra vez una familia σ-puntualmente finita y queademas esta formada por abiertos. Probemos que U ∗ es una base para latopologıa de K y, por el lema anterior habremos acabado la prueba. Sea Bun entorno de k0 ∈ K, para cada k ∈ K \ B existe un elemento Vk ∈ U∗ talque k0 ∈ Vk y k 6∈ Vk. Entonces k ∈ K \Vk que es abierto, con lo cual, existeun abierto Uk de K tal que k ∈ Uk ⊂ K \Vk, y por tanto Uk ∩Vk = φ. Puedoconstruir un Uk para cada k ∈ K \B y obtengo un cubrimiento por abiertos(Uk) de K \ B y podemos tomar un subcubrimiento finito del cubrimientoUk : k 6∈ B. Sea V la interseccion finita de los correspondientes Vk de U∗,con lo cual V ∈ U∗, ademas V ⊂ B y k0 ∈ V ⊂ B.

Teorema 4.3.5 (Rosenthal). Un espacio topologico compactoK es un com-pacto de Eberlein si y solo si existe una familia U σ-puntualmente finita,formada por abiertos Fσ y que distingue los puntos de K.

Demostracion.

⇒ Sea K un compacto de Eberlein, por el teorema 3.3.2 podemos suponer queK ⊂ c0(Γ) es debil compacto. Sea (In)n∈

la sucesion de intervalos cerradosde la forma [r, s] con r, s ∈ Q y r < 0 < s.Para cada γ ∈ Γ y n ∈ N definimos Un,γ = k ∈ K : k(γ) 6∈ In, utilizando lasproyecciones en cada coordenada γ se observa que cada Un,γ es un Fσ abiertoen K. Si definimos Un = Un,γ : γ ∈ Γ, podemos considerar U = ∪n∈

Un

hay que probar que U es σ-puntualmente finita y que separa puntos de K.Pero cada Un es puntualmente finita, porque si I = [r, s], entonces para cadak ∈ Un,γ se tiene que |k(γ)| > min [|s|, |t|] > 0 y, por tanto, el conjuntoγ : k ∈ Un,γ es finito, ya que k ∈ c0(Γ). Veamos que U separa puntos deK, sean k, k′ ∈ K con k 6= k′, entonces existe alguna coordenada γ tal quek(γ) 6= k′(γ), entonces para algun n el conjunto k(γ), k′(γ) ∩ In tiene ununico elemento, con lo cual el conjunto k, k′∩Un,γ tiene un unico elemento.

⇐ Supongamos ahora que tenemos la familia U que es σ-puntualmente finita,formada por abiertos Fσ y que separa los puntos de K, sea pues U = ∪n∈

Un,donde cada subfamilia Un es puntualmente finita. Ademas podemos suponer


que la sucesion de familias Un : n ∈ N es disjunta y utilizando el lema deUrysohn, fijado U ∈ Un, existe una funcion continua fU : K −→ [0, 1

n] tal

que:fU(k) = 0⇔ k 6∈ U

Esto es cierto porque fijado U ∈ Un que es abierto, podemos escribir U =∪+∞

i=1Fi donde Fi = Fi, entonces para cada i ∈ N existe una funcion fi :K −→ [0, 1

n] tal que fi(k) = 0 si k ∈ K \ U y fi(k) = 1

nsi k ∈ Fi, y defino la

funcion fU(k) :=∑+∞

i=1fi(k)2i .

Consideramos la aplicacion Φ : K −→ l∞(U) dada por Φ(k)(U) = fU(k), quees continua si consideramos la topologıa de convergencia puntual en l∞(U),tambien se cumple que Φ(K) ⊂ c0(U) ya que U es σ−puntualmente finita.Veamos que tambien es inyectiva, para eso supongamos que k 6= k′ son dospuntos de K, entonces existe un conjunto U ∈ U tal que k, k′ ∩ U es ununico punto, con esto fU(k) 6= fU(k′), con lo cual Φ(k) 6= Φ(k′). Comoconclusion K es homeomorfo a un subconjunto puntualmente compacto dela bola unidad de c0(U), se concluye que K es homeomorfo a un subconjuntodebil compacto de c0(U).

Utilizaremos el teorema de Rosenthal para probar una nueva caracteri-zacion para los compactos de Eberlein, [Fa]. Hay que recordar que dado unconjunto indicado (xα)α∈Γ ⊂ R, se define su soporte como:

supp((xα))α∈Γ) = α ∈ Γ : xα 6= 0

Teorema 4.3.6. Sea K un espacio topologico compacto, son equivalentes:

i) K es compacto de Eberlein.

ii) Existe un conjunto Γ y subconjuntos Γn ⊂ Γ, uno para cada n ∈ N cum-pliendo que ∪∞

n=1Γn = Γ y una aplicacion Φ : K −→ [0, 1]Γ continua einyectiva, tal que para cada k ∈ K y cada n ∈ N el conjunto suppΦ(k) ∩ Γn

es finito.

Demostracion.

i) ⇒ ii) Si K es compacto de Eberlein, por el teorema de Rosenthal existeuna familia U = ∪n∈

Un de abiertos Fσ de K tal que U separa puntos deK y es σ-puntualmente finita. Para cada elemento U ∈ U encontramos unafuncion fU : K −→ [0, 1] continua tal que fU(k) > 0 solo para puntos k ∈ U .Definimos pues la funcion Φ : K −→ [0, 1]U dada por Φ(k)(U) = fU(k), para


k ∈ K y U ∈ U . Se observa que la funcion Φ es continua ya que cada fU

es continua, ademas es inyectiva porque U separa puntos de K. Veamos quetambien cumple la ultima condicion, tomando k ∈ K y n ∈ N, se cumple:

suppΦ(k) ∩ Un = U ∈ U : Φ(k)(U) 6= 0 ∩ Un = U ∈ Un : k ∈ U

y sabemos que este ultimo conjunto es finito. Definiendo Γ := U y Γn := Un

para cada n ∈ N hemos acabado.

ii) ⇒ i) Tomamos Γ,Γn y Φ de la hipotesis y definimos Ψ : [0, 1]Γ −→ [0, 1]Γ

dada por Ψ(x)(γ) = 1nx(γ) para γ ∈ Γn \ ∪i=1,...,n−1Γi y para n ∈ N. Esta

aplicacion Ψ es continua e inyectiva, por lo que si definimos T := Ψ Φ y escontinua e inyectiva del compacto K en el Hausdorff c0(Γ), por lo que es unhomeomorfismo de K en su imagen dentro de c0(Γ) pero, como T (K) ⊂ c0(Γ)es acotado, K es homeomorfo a T (K) que es un debil compacto de c0(Γ).

Si comparamos la prueba anterior en el sentido (i) ⇒ (ii) con la pruebadel teorema de Rosenthal a partir de la familia U , vemos como partiendo delas mismas hipotesis llego a distintas conclusiones y la unica diferencia enestos caminos es como defino la funcion fU . En este resultado, la funcion fU

tiene su imagen en [0, 1] y pruebo la condicion (ii). Pero si defino fU con suimagen en [0, 1

n] para cada U ∈ Un, como ocurre en la prueba del teorema de

Rosenthal, obtenemos que K es homeomorfo a un debil compacto de c0(U).Veamos otra caracterizacion para los compactos de Eberlein que es conse-cuencia del teorema de Rosenthal. Antes hay que decir que dado un conjuntode ındices Γ y f ∈ 0, 1Γ, se define el soporte:

supp(f) = γ ∈ Γ : f(γ) 6= 0 = supp(f(γ))γ∈Γ

Teorema 4.3.7. Sea K ⊂ 0, 1Γ un compacto para algun conjunto deındices Γ 6= φ, supongamos que para cada k ∈ K existe una sucesion (kn)n ⊂K con supp(kn) finito para todo n ∈ N y tal que limn kn = k. Entonces Kes compacto de Eberlein si y solo si existen conjuntos Γi ⊂ Γ, i ∈ N conΓ = ∪+∞

i=1 Γi tal que para cada k = χA ∈ K y cada i ∈ N el conjunto A ∩ Γi

es finito.

Demostracion.

⇐ Vamos a probar que K es homeomorfo a un subconjunto debil compac-to de c0(Γ). Para ello definimos T : K ⊂ [0, 1]Γ −→ c0(Γ) dado por


T (k)(γ) = 1nk(γ) si γ ∈ Γn \ ∪n−1

i=1 Γi, esta aplicacion esta bien definida por-que supp(k) ∩ Γn es finito para cada n ∈ N. Ademas T es puntualmentecontinua e inyectiva, entonces K es homeomorfo a un subconjunto puntual-mente compacto y acotado de c0(Γ), concluimos que K es homeomorfo a unsubconjunto debil compacto de c0(Γ).

⇒ Supongamos ahora que K es compacto de Eberlein, considero la familia

B0 = W (M,L) : M,L ⊂ Γ disjuntos y finitos

donde

W (M,L) = χA ∈ K : M ⊂ A ⊂ Γ \ Ly M,L pueden ser vacıos. Se tiene que cada W (M,L) es abierto y cerradoy que B0 es una base para la topologıa de K. Utilizando el teorema deRosenthal, encontramos una familia U = ∪+∞

n=1Un formada por abiertos Fσ,que distingue puntos de K y tal que cada subfamilia Un es puntualmentefinita. Lo que haremos ahora es construir otra familia V con la propiedadanadida de que cada elemento es abierto y cerrado a la vez. Para esto fijamosn ∈ N y un elemento U ∈ Un, al ser este conjunto un Fσ podemos escribirU = ∪+∞

i=1Fi con cada Fi cerrado. Por compacidad podemos cubrir cada Fi

por una cantidad finita de elementos de B0 que son subconjuntos de U , por loque concluimos que hay conjuntos W U

1 ,WU2 , . . . de B0 tal que U = ∪+∞

i=1WUi .

Definimos ahora V = ∪+∞n=1Vn donde Vn = WU

i : U ∈ Um; i,m ∈ 1, . . . , n.La nueva familia V esta formada por elementos abiertos y cerrados, distinguepuntos de K y cada Vn es puntualmente finita. Defino ahora la familiaB1 = V ∪K \U : U ∈ V, probaremos que es una subbase para topologıa deK. Fijamos φ 6= Ω ⊂ K abierto y un elemento x ∈ Ω, para cada y ∈ K \ Ωexiste Uy ∈ V tal que |x, y∩Uy| = 1. Por compacidad podemos seleccionary1, . . . , yj, yj+1, . . . , ym ∈ K \ Ω tal que yi 6∈ Uyi

para i ∈ 1, . . . , j, yi ∈ Uyi

para i ∈ j + 1, . . . , m y K \ Ω ⊂ ∪ji=1(K \ Uyi

) ∪ ∪mi=j+1Uyi

. Entonces x ∈∩j

i=1Uyi∩∩m

i=j+1(K\Uyi) ⊂ Ω, que es lo que querıamos probar. Sea B2 la base

construida a partir de B1, es decir, B2 = B1 ∩ · · · ∩ Bm : Bi ∈ B1, m ∈ N.Ademas podemos escribir S1 = χU , χK\U : U ∈ V1 ∪ 1 ∪ 0, como cadaU ∈ V1 es abierto y cerrado se tiene que S1 ⊂ Cp(K, 0, 1) es compacto.Para probar esto ultimo considero una red (χAα

)α∈I ⊂ S1 y veamos que hayuna subred que tiene un punto de aglomeracion. No es restrictivo suponerque podemos extraer una subred (χAαβ

)β tal que Aαβ∈ V1 para cada β,

entonces dado σ ∈ Γ se tiene que σ ∈ Aαβpara una cantidad finita de β, por


lo que limβ χAαβ= 0 ∈ S1.

Dado i ∈ N podemos suponer definido Si y definimos entonces

Si+1 = minf, g,maxf, g : f, g ∈ Si ∪ χU , χK\U : U ∈ Vi+1

de nuevo se tiene que Si+1 ⊂ Cp(K, 0, 1) es compacto. Esto ultimo loprobaremos por induccion, como S1 es compacto, vamos a suponer que Si

tambien lo es y lo probaremos para Si+1. Para ello consideramos una red(hα)α∈I ⊂ Si+1, no es restrictivo suponer que hay una cantidad infinita deα ∈ I tal que hα = maxfα, gα donde fα, gα ∈ Si. Por hipotesis de in-duccion existen f, g ∈ Si tales que f es punto de aglomeracion de (fα)α yg es punto de aglomeracion de (gα)α. Para facilitar la notacion podemossuponer que g es lımite de (gα)α y f es lımite de (fα)α, vamos a compro-bar que maxf, g es punto de aglomeracion de (maxfα, gα = hα)α. Seaσ ∈ Γ y maxf, g(σ) = f(σ), entonces a partir de α suficientemente grandemaxfα, gα(σ) = fα(σ) por lo que limα maxfα, gα(σ) = maxf, g(σ) pa-ra cada σ ∈ Γ.Sea Ω ∈ B2, entonces Ω = B1 ∩ · · · ∩ Bm, con Bi ∈ B1, podemos suponerB1, . . . , Bi ∈ V y Bi+1, . . . , Bm ∈ K \ V, donde B1 ∈ Vn1 , . . . , Bi ∈ Vni

yBi+1 ∈ K \ Vni+1

, . . . , Bm ∈ K \ Vnm, como χΩ = minχB1 , . . . , χBm

enton-ces χΩ ∈ Si+1 donde i = maxnj : j ∈ 1, . . . , m por lo que χΩ ∈ ∪+∞

i=1Si.Veamos ahora que C(K, 0, 1) = ∪+∞

i=1Si, sea φ ∈ C(K, 0, 1), enton-ces φ = χA donde A es abierto y cerrado en K, entonces por compaci-dad existen B1, . . . , Bm ∈ B2 tales que A = B1 ∪ · · · ∪ Bm, por tanto,χA = maxχB1 , . . . , χBm

∈ Si para i suficientemente grande, por lo queCp(K, 0, 1) = ∪+∞

i=1Si es σ−compacto.Dado σ ∈ Γ considero la aplicacion πσ ∈ Cp(K, 0, 1) definida anterior-mente, para cada i ∈ N definimos Γi = σ ∈ Γ : πσ ∈ Si, probaremosque los Γi definidos son los conjuntos deseados. Para ello elijo χA ∈ K ei ∈ N y supongamos que A ∩ Γi es infinito, considero una sucesion γnnde elementos distintos de A ∩ Γi. Se observa que para cada conjunto fini-to F ⊂ Γ con χF ∈ K se cumple limn πγn

(χF ) = limn χF (γn) = 0. Como(πγn

)n ⊂ Si es compacto, tiene un punto de aglomeracion Ψ ∈ Si. Entoncespara alguna subsucesion Ψ(χF ) = limk πγnk

(χF ) = 0, para cada conjunto fini-to F ⊂ Γ. Pero por la hipotesis del teorema, dado χA ∈ K existe (kn)n ⊂ Kcon supp(kn) finito tal que limn kn = χA, donde kn = χBn

y Bn ⊂ Γ es finito,entonces 0 = limk πγnk

(χBn) = Ψ(χBn

) por lo que Ψ(χA) = 0. Por otro ladose tiene que πγn

(χA) = χA(γn) = 1 para cada n ∈ N de lo que se obtiene que

Bases σ-discretas y network σ-aisladas 85

Ψ(χA) = 1, lo que me lleva a una contradiccion. Se concluye que cada A∩Γi

debe ser finito.

Utilizando este resultado puede hacerse otra prueba de que el compactode Talagrand K del ejemplo 3.1.23 no es compacto de Eberlein, para ello hayque ver previamente el siguiente lema.

Lema 4.3.8. Considero Γn ⊂ N

subconjuntos tales que ∪+∞n=1Γn = N

.Entonces existen n,m ∈ N y un conjunto infinito A ∈ Am tales que A ⊂ Γn.

Demostracion. Como N

con la topologıa producto es completamentemetrizable, es entonces un espacio de Baire. Por lo tanto existe un n ∈ N talque Γn tiene interior no vacıo. Esto significa que existe una sucesion finitas, de longitud m, de enteros positivos tal que σ ∈ N

: σ|m = s ⊂ Γn.Entonces para cada i ∈ N, existe un σi ∈ N

tal que σi|m = s y σi(m+1) = iy σi ∈ Γn; definimos A = σi : i ∈ N y se tiene que A es infinito, A ∈ Am yA ⊂ Γn.

Demostracion. Para ver que K no es compacto de Eberlein fijo χA ∈ Ky como A ∈ A es numerable puedo poner A = σnn∈ . Considero lossiguientes conjuntos B1 = σ1, B2 = σ1, σ2, . . . ordenados por inclusion,y la sucesion (kn)n ⊂ K dada por kn = χBn

. Se cumple entonces que cadasupp(kn) es finito y limn χBn

(σ) = χA(σ) para cada σ ∈ Γ. Podemos suponerque K es compacto de Eberlein y aplicar el teorema anterior por lo queexisten Γi ⊂ Γ tal que Γ = ∪+∞

i=1 Γi donde cada conjunto A ∩ Γi es finito, locual es absurdo debido al lema anterior.

4.4 Bases σ-discretas y network σ-aisladas

En la seccion anterior hemos caracterizado los espacios topologicos compactosmetrizables y los compactos de Eberlein segun el tipo de familias de abiertosque tengan. En esta seccion lo hacemos con un tipo de familias mas parti-culares; a los espacios metrizables les asociamos una base σ-discreta y a loscompactos de Eberlein les asociamos una network σ-aislada. Comenzamoscon algunas nociones previas.

Definicion 4.4.1. Una familia U de subconjuntos de un espacio topologicoX se dice que:


(i) Es discreta si cada punto x ∈ X tiene un entorno que corta, a lo mas, aun elemento de la familia U .

(ii) Es σ-discreta si podemos escribir:

U = ∪+∞n=1Un

donde cada subfamilia Un es discreta.

En relacion a la definicion anterior se caracterizan los espacios topologicosmetrizables, para ver la prueba puede consultarse [K].

Teorema 4.4.2 (Bing-Nagata-Smirnov). Un espacio topologico X es me-trizable si y solo si es T1, regular y tiene una base σ-discreta.

Antes un probar un homologo del resultado anterior para los compactosde Eberlein necesitamos ver algunas nociones y resultados nuevos.

Definicion 4.4.3.

(i) Sea ε > 0, una familia U = Uγ : γ ∈ Γ de subconjuntos de un espaciometrico (X, d) se dice que es ε-discreta si d(x1, x2) ≥ ε para cualesquierax1 ∈ Uγ1 , x2 ∈ Uγ2 con γ1 6= γ2.

(ii) Una familia U = Uγ : γ ∈ Γ de subconjuntos de un espacio topologicoX se dice que es aislada si cada punto de ∪γ∈ΓUγ tiene un entorno que cortacomo mucho a un elemento de U , es decir, Uγγ∈Γ es discreto en su union.

(iii) Una familia U = Uγ : γ ∈ Γ de subconjuntos de un espacio topologicoX se dice que es σ-aislada, si se puede expresar como union numerable defamilias aisladas.

(iv) Para un espacio topologico X, se define una network como una coleccionde subconjuntos U de X tal que cada abierto es union de elementos de U .

Con respecto al apartado (i) de la definicion anterior, vamos a probar elsiguiente lema que utilizaremos mas adelante:

Lema 4.4.4. Si U = Uγγ∈Γ es una familia discreta de subconjuntos de unespacio metrico (X, d), para cada γ puedo descomponer:

Uγ = ∪+∞n=1U

(n)γ

donde la familia U (n) = U (n)γ : γ ∈ Γ es 1

n-discreta en X.


Demostracion. Basta definir:

U (n)γ = x ∈ Uγ : B(x,

1

n) ∩ Uβ = φ para todo β 6= γ

para cada n ≥ 1 y γ ∈ Γ, donde B(x, 1n) es la bola abierta.

Definicion 4.4.5. Sea (X, τ) un espacio topologico y d un metrica definidasobre el. Se dice que X tiene un cubrimiento numerable de conjuntos dediametro localmente pequeno si para cada ε > 0 X puede ser expresado comouna union:

X = ∪+∞n=1X

εn

donde cada conjunto no vacıo X εn tiene la propiedad de que para cada x ∈ X ε

n

existe un τ -abierto U que contiene a x, y que cumple diametrod(U∩Xεn) ≤ ε.

En esta situacion se dice que (X, τ) tiene la propiedad d-SLD.

En la situacion de la definicion anterior, si (X, ‖ ‖) es un espacio deBanach y A ⊂ X cumple que (A,w) tiene la ‖ ‖-SLD, entonces se dice queA tiene la JNR. El siguiente paso en esta seccion es probar que un compactode Eberlein tiene la JNR, para ello utilizaremos algunas propiedades demos-tradas anteriormente. Comenzamos probando la propiedad JNR para c0(Γ),[O-M-T].

Proposicion 4.4.6. El espacio de Banach (c0(Γ), ‖ ‖∞) tiene la JNR.

Demostracion. Vamos a probar que dado ε > 0 existe una familia numerableCε

nn∈ de subconjuntos de c0(Γ) tales que c0(Γ) = ∪+∞n=1C

εn y para cada

n ∈ N, si x ∈ Cεn existe un abierto puntual V tal que x ∈ V ⊂ c0(Γ) y

ademas:diam‖‖∞(V ∩ Cε

n) < ε

Fijado ε > 0, si considero x ∈ c0(Γ) puedo definir el subconjunto de Γ,L(x, ε) = γ ∈ Γ : |x(γ)| ≥ ε. Podemos construir el subconjunto de c0(Γ):

Dn,ε = x ∈ c0(Γ) : |L(x, ε)| = n

y se cumple que c0(Γ) = ∪+∞n=1Dn,ε. Esta particion de c0(Γ) no es lo sufi-

cientemente buena, hay que hacer una particion sobre cada Dn,ε. Sea puesx ∈ Dn,ε, defino ρ(x, ε) = sup|x(γ)| : γ 6∈ L(x, ε) < ε, defino el saltos(x, ε) = ε− ρ(x, ε) > 0 y la nueva particion viene dada por:

Dn,m,ε = x ∈ Dn,ε : s(x, ε) >1

m


Se cumple ∪+∞m=1Dn,m,ε = Dn,ε y para x ∈ Dn,m,ε, defino el abierto puntual

V x = y ∈ c0(Γ) : |x(γ)− y(γ)| < 1

m, γ ∈ L(x, ε)

veamos que diam‖‖∞(V ∩Dn,m,ε) < ε. Ello se sigue de que L(x, ε) = L(y, ε)para y ∈ V ∩Dn,m,ε ya que, en ese caso

‖ x− y ‖∞≤‖ (x− y)|Γ\L(x,ε) ‖∞ + ‖ (x− y)|L(x,ε) ‖∞≤ 2ε + ε = 3ε

ya que 1m< s(x, ε) < ε. Sea pues γ ∈ L(x, ε), entonces |x(γ)| ≥ ε y si se

cumple que γ 6∈ L(y, ε) entonces |x(γ)| ≥ |y(γ)| y ademas |y(γ)| ≤ ρ(y, ε) < ε,podemos escribir:

|x(γ)− y(γ)| ≥ ||x(γ)| − |y(γ)|| =

= |x(γ)| − |y(γ)| ≥ ε− ρ(y, ε) = s(y, ε) >1

m

lo que contradice el hecho de que y ∈ V . Esto prueba que L(x, ε) ⊂ L(y, ε)y como estos conjuntos son finitos y con la misma cardinalidad, se tiene queL(x, ε) = L(y, ε).

Recordemos que si K ⊂ X es un subconjunto compacto para la topologıadebil del espacio de Banach X, existe otro espacio de Banach reflexivo Y talque K ⊂ Y es compacto para su topologıa debil. El siguiente paso es probarque cualquier espacio reflexivo Y tiene la JNR, para ello vamos a encontrar unoperador T : Y −→ c0(Γ) lineal y acotado con condiciones suficientementebuenas como para transferir la JNR de c0(Γ) a Y . Para encontrar dichooperador razonamos de la siguiente manera, como Y es reflexivo tambien vaa ser debil compactamente generado, por lo que (BY ∗, w∗) es compacto deEberlein (3.1.14). Utilizando que Y ⊂ C(BY ∗, w∗) y el teorema 3.3.1 existeun operador T : Y −→ c0(Γ) inyectivo, lineal y acotado. Vamos a transferirla JNR de c0(Γ) a Y a traves de este operador T . Para ello hay que comprobarque T ∗(c∗0(Γ)) = Y ∗, pero esto es equivalente a que T ∗∗ : Y ∗∗ −→ l∞(Γ) seainyectivo lo que es cierto porque Y ∗∗ = Y y T es inyectivo. Probemos dichaequivalencia.

Lema 4.4.7. Consideramos el operador S : X −→ Y , se cumple que S∗ esinyectivo si y solo si S(X) = Y .

Demostracion.


⇒ Sea y ∈ Y \S(X), entonces existe f ∈ Y ∗ tal que f(y) 6= 0 pero f(S(X)) =0. Entonces S∗(f)(x) = f(S(x)) = 0 para cada x ∈ X, por lo que S∗(f) = 0,es decir, f = 0 lo que es absurdo.

⇐ Sea f ∈ Y ∗, si S∗(f) = 0 se tiene que S∗(f(x)) = f(S(x)) = 0 paracada x ∈ X por lo que f = 0 ya que S(X) = Y , concluimos que S∗ esinyectiva.

Lema 4.4.8. Consideramos un operador T : X −→ Y tal que T ∗(Y ∗) = X∗,sea (xn)n∈

⊂ X una sucesion acotada tal que (T (xn))n∈ ⊂ Y converge a

T (x), entonces se cumple que x ∈ xn : n ∈ Nw.

Demostracion. Sea f ∈ T ∗(Y ∗), entonces f = T ∗(y∗) para algun y∗ ∈ Y ∗

y se cumple que xn(T ∗(y∗)) = y∗(T (xn)) converge a y∗(T (x)) = x(T ∗(y∗)).Como (xn)n∈

es una sucesion acotada, es una familia equicontinua de formascontinuas y lineales sobre X∗ y que convergen puntualmente sobre elementosde T ∗(Y ∗), por el primer teorema de Ascoli se concluye que (xn)n∈

convergepuntualmente a x sobre elementos de X∗.

En un espacio de Banach reflexivo Y podemos considerar dos metricas,la metrica ρ dada por la propia norma ‖ ‖Y y la metrica d definida pord(x, y) =‖ T (x) − T (y) ‖∞ donde T : Y −→ c0(Γ) es el operador descritoanteriormente. Debido a 4.4.6 el espacio topologico (Y, w) tiene la d−SLD.Hay que tratar de relacionar las metricas d y ρ para que Y tenga la JNR,esta relacion se obtiene del siguiente resultado.

Proposicion 4.4.9. El espacio (Y, d) tiene la ρ−SLD.

Demostracion. Para probar que (Y, d) tiene la ρ−SLD es suficiente encon-trar una familia fn : (Y, d) −→ (Y, ρ), n ∈ N de funciones continuas ta-

les que y ∈ fn(y) : y ∈ Y ρ. Ya que en ese caso, para ε > 0, definimosYn,ε = y ∈ Y : ρ(fn(y), y) ≤ ε

6 y se cumple que Y = ∪+∞

n=1Yn,ε y fi-jado y ∈ Yn,ε existe η > 0 tal que si y′ ∈ Bd(y, η) ∩ Yn,ε se tiene queρ(y, y′) ≤ ρ(y, fn(y)) + ρ(fn(y), fn(y

′)) + ρ(fn(y′), y′) ≤ ε2. Para construir

las funciones fn considero una base σ−discreta B = ∪+∞n=1Bn de (Y, d), des-

cribo Bn = V nγ : γ ∈ Γn donde los V n

γ son disjuntos. Para cada γ ∈ Γn

y n ∈ N elijo un unico vnγ ∈ V n

γ y sea Dn = ∪γ∈ΓnV n

γ podemos definirfn : Dn ⊂ Y −→ Y dada por fn(y) = vn

γ si y ∈ V nγ , que es continua. Dado

y ∈ Y puedo elegir una sucesion (vnkγk

)k∈ que es d−convergente hacia y, por

el lema anterior se tiene que y ∈ vnkγkw = fnk

(y) : y ∈ Dnkw por lo tanto


y ∈ conv(fnk(y) : y ∈ Dnk

)ρ. Considero gn1,...,nk

: Dn1,...,nk= ∩p

i=1Dni⊂

Y −→ Y combinaciones convexas racionales de las funciones fnkanteriores,

que tambien son continuas y se cumple que

y ∈ gn1,...,nk(y) : y ∈ Dn1,...,nk

ρ

El estudio general de cuando es posible tener operadores T : Y −→ c0(Γ)con la propiedad anterior se puede encontrar en [On2]

Teorema 4.4.10. Todo espacio de Banach reflexivo tiene la JNR.

Demostracion. Sea Y un espacio de Banach reflexivo, como (Y, d) tiene laρ−SLD dado ε > 0 puedo escribir Y = ∪+∞

n=1Yn,ε donde para cada n ∈ N ey ∈ Yn,ε existe Bd(y, η) tal que diamρ(Bd(y, η) ∩ Yn,ε) < ε. Haciendo unanueva particion puedo escribir que dado ε > 0, Y = ∪+∞

n=1Yn,ε, (δn,ε)n ⊂ R+

tal que si y ∈ Yn,ε se cumple diamρ(Yn,ε ∩ Bd(y, δn,ε)) < ε. Fijado ahoraε > 0 y n ∈ N, como c0(Γ) tiene la JNR, dado δn,ε > 0 puedo escribir c0(Γ) =∪+∞

p=1Cp,δn,εy descomponer Yn,ε = ∪+∞

m=1(T−1(Cm,δn,ε

)∩Yn,ε), llamemos Yn,m,ε =T−1(Cm,δn,ε

) ∩ Yn,ε. Tenemos Y = ∪+∞n,m=1Yn,m,ε que cumple que si y ∈ Yn,m,ε,

existe V ⊂ Y debil abierto conteniendo a y tal que diamd(Yn,m,ε ∩ V ) < δn,ε,por lo tanto Yn,m,ε∩V ⊂ Yn,ε∩Bd(y, δn,ε) por lo que diamρ(Yn,m,ε∩V ) < ε.

Teorema 4.4.11. Todo subconjunto debil compacto de un espacio de Banachtiene la JNR.

Demostracion. Sea X un espacio de Banach y K ⊂ X un subconjunto debilcompacto. Recordemos que por el teorema 3.4.2 podemos asegurar que existeun espacio de Banach reflexivo (XC , ‖‖C) de interpolacion entre K y X. Porel resultado anterior XC tiene la JNR y como K ⊂ XC se tiene que K tienetambien la JNR para (XC , ‖‖C) ademas, por la prueba del teorema 3.4.2, enK coinciden σ(X,X∗) y σ(XC , X

∗C) y se verifica que ‖ x ‖≤ M ‖ x ‖C para

todo x ∈ XC para alguna constante M > 0. Concluimos que K tiene la JNRpara X.

Se puede probar este ultimo resultado sin pasar por el espacio de Banachreflexivo XC , para ello hay que transferir la JNR de c0(Γ) al espacio deBanach debil compactamente generado X = span(K) y, en ese caso, hay quemodificar convenientemente el operador T : X −→ c0(Γ).


Recordemos que una familia de subconjuntos B de un espacio topologico(X, τ) es una network si cada abierto es union de elementos de B . Ademassi d es una metrica para X, se dice que B es una network τ −σ−aislada para(X, d) si B = ∪+∞

n=1Bn es una network para (X, d) y cada Bn es τ−aislada,es decir, si Bn = Bγ

n : γ ∈ Γn y x ∈ ∪γ∈ΓnBγ

n, existe un τ−abierto Uconteniendo a x que corta como mucho un unico elemento de Bn. Seguimos[On]

Teorema 4.4.12. Sea (X, τ) un espacio topologico y d un metrica definidapara el. Si (X, τ) tiene la d-SLD, entonces (X, d) tiene una network τ -σ-aislada.

Demostracion. Fijado m ∈ N, considero:

X = ∪+∞i=1X

mi

donde cadaXmi tiene localmente d-dimetro menor o igual a 1

m. Por el teorema

de Bing-Nagata-Smirnov, puedo considerar una base σ-discreta B = ∪+∞n=1Bn

para la topologıa de d. Fijado n ∈ N describimos la familia

Bn = Bγn : γ ∈ Γn

que es discreta en (X, d). Por el lema 4.4.4, existen familias 1m

-discretasBγ

n,mγ∈Γntal que Bγ

n = ∪m∈ Bγ

n,m para cada γ ∈ Γn, escribimos Bγn,m,i =

Bγn,m ∩ Xm

i para n,m, i ∈ N y γ ∈ Γn. Fijados n, i,m ∈ N y tomandox ∈ Xm

i , existe un τ -entorno abierto de x, llamado U , tal que diametrod(U ∩Xm

i ) < 1m

, por lo tanto U corta como mucho a un solo elemento de la fa-milia Bγ

n,m,iγ∈Γn. Como consecuencia la familia Bγ

n,m,iγ∈Γnes discreta en

(Xmi , τ), con lo cual es τ -aislada, y se cumple:

Bγn = ∪+∞

m=1Bγn,m = ∪+∞

m=1 ∪+∞i=1 (Bγ

n,m ∩Xmi ) = ∪i,mB

γn,m,i

Por lo tanto puedo escribir:

B = ∪n,m,iBγn,m,i : γ ∈ Γn

es una network τ -σ-aislada para la topologıa d.

El resultado que buscamos para los compactos de Eberlein es el siguiente.

Teorema 4.4.13. Todo compacto de Eberlein tiene una network σ-aislada.


Demostracion. Sea K un compacto de Eberlein y X un espacio de Banachcon K ⊂ X debil compacto. Utilizando los resultados anteriores se tiene que(K, ‖ ‖) tiene un network, U , w-σ-aislada. Como la topologıa debil sobre Kes mas debil que la topologıa dada por la norma, obtenemos que U es unanetwork σ-aislada para (K,w).

El resultado anterior va solo en una direccion. El recıproco no es ciertoy lo podemos observar en el siguiente ejemplo que es el mismo que 3.1.23.Para los detalles hemos seguido [O-S-V].

Ejemplo 4.4.14. Definimos las siguientes familias:

A0 = σ : σ ∈ N

∪ φ

An = A ⊂ N

: σ, δ ∈ A y σ 6= δ ⇒ σ|n = δ|n y σ|n+1 6= δ|n+1donde σ|n = (σ(1), ..., σ(n)) ⊂ Nn. Consideramos los compactos de 0, 1

:

Kn = K(An) = χA : A ∈ An

K = K(A) = ∪nKn donde A = ∪nAn

Entonces K tiene un network σ−aislada, pero no es compacto de Eberlein.

Demostracion. Comprobaremos que cada Kn es compacto de Eberlein, porlo que tiene una network σ-aislada. Como consecuencia K tendra tambienuna network σ-aislada pero ya probamos en 3.1.23 que K no es compacto deEberlein. Antes de nada comprobemos que cada Kn ⊂ 0, 1

es compacto,debido al teorema de Tichonov basta observar que es cerrado. Sea (χAα

)α∈I

una red en Kn que converge puntualmente a f ∈ 0, 1

, f = χA paraA ⊂ N

, hay que probar que A ∈ An. Si A = σ habriamos acabado,supongamos entonces que hay σ, δ ∈ A distintos, entonces σ, δ ∈ Aα paraalgun α ∈ I. Pero como Aα ∈ An para todo α ∈ I, se tiene que σ|n = δ|npero σ|n+1 6= δ|n+1, por lo que A ∈ An. Vamos a comprobar que cadaKn es compacto de Eberlein. Se cumple que K0 ⊂ c0(N

) es puntualmentecompacto y acotado, por lo que es debil compacto. Para n ≥ 1 definimos laaplicacion

Tn : l∞(N

) −→ l∞(N

)

dada porTn(f)(σ) = ((σ(1) + 1) . . . (σ(n+ 1) + 1))−1f(σ)

Propiedades de renormamiento 93

que es puntualmente continua e inyectiva. Entonces Kn es homeomorfo aTn(Kn) ⊂ c0(N

) que es puntualmente compacto y acotado, por lo que esdebil compacto en c0(N

).

De este ejemplo tambien se observa que la union numerable de compactosde Eberlein no tiene por que ser compacto de Eberlein.

4.5 Propiedades de renormamiento

Hay ocasiones en las que se estudia las condiciones geometricas de un espaciode Banach, o lo que es lo mismo, que propiedades tiene la bola unidad cerra-da de dicho espacio. Una de estas propiedades es la de tener una metricaequivalente que sea localmente uniformemente rotunda. Un camino para lle-gar a esto es a traves de la propiedad sJNR que estudiaremos en esta seccion.Comprobaremos que un subconjunto debil compacto de un espacio de Ba-nach tiene la sJNR, y con esto obtendremos una propiedad para los puntosfuertemente expuestos de un subconjunto debil compacto y convexo de unespacio de Banach, [O-M-T].

Definicion 4.5.1. Un espacio de Banach X tiene la sJNR si dado ε > 0existe una descomposicion

X = ∪n∈ Xε

n

tal que para cada x ∈ Xn, existe un slice S(x∗, Xn, α) cumpliendo que x ∈S(x∗, Xn, α) y diam‖‖(S(x∗, Xn, α)) < ε.

Hay que recordar que S(x∗, Xn, α) = x′ ∈ Xn : x∗(x′) > α, dondex∗ ∈ X∗ y α ∈ R.

Teorema 4.5.2. El espacio de Banach (c0(Γ), ‖ ‖∞) tiene la sJNR.

Demostracion. Comenzamos como en la prueba de la JNR. Fijado ε > 0 seax ∈ c0(Γ) consideramos el subconjunto de Γ, L(x, ε) = γ ∈ Γ : |x(γ)| > εy construimos el subconjunto de c0(Γ):

Dn,ε = x ∈ c0(Γ) : |L(x, ε)| = n

que cumple c0(Γ) = ∪+∞n=0Dn,ε. Dado x ∈ Dn,ε, considero γx

1 , . . . , γxn ∈ L(x, ε)

y como |x(γxi )| > ε para todo i ∈ 1, . . . , n, van a existir numeros ai, bi ∈ Q

con ε < ai < bi y m ∈ N tal que:


(i) |x(γxi )| ∈ (ai, bi)

(ii) bi − ai <1m< ε

(iii) |ε− ai| > n−1m

,para cada i ∈ 1, . . . , n.Para encontrar dichos numeros sea 0 < λ ∈ R tal que λ < min1≤i≤n

|x(γxi )|−ε

n

y elijo ai, bi ∈ Q, m ∈ N cumpliendo

|x(γxi )| ∈ (ai, bi) ⊂ (|x(γx

i )| − λ, |x(γxi )|+ λ) y

1

m< λ

Con esta eleccion se cumplen las condiciones anteriores, para ver la (iii)observamos:

ai − ε > |x(γxi )| − λ− ε > (n− 1)λ >

n− 1

m

Ahora podemos definir

Da1,b1,...,an,bn

n,m,ε = x ∈ Dn,ε : ai, bi, m : cumplen (i), (ii) y (iii)

y descomponemos

Dn,ε = ∪m∈

ai,bi∈ ;1≤i≤nDa1,b1,...,an,bnn,m,ε

Fijado ahora x ∈ Da1,b1,...,an,bnn,m,ε elijo λi ∈ −1, 1 tal que λix(γ

xi ) = |x(γx

i )| yconsidero x∗ =

∑ni=1 λiδγx

i∈ c0(Γ)∗, definimos el slice:

S(x∗, Da1,b1,...,an,bn

n,m,ε , R) donde R =n∑

i=1

ai

Dicho slice es el que buscabamos. Para comprobarlo veamos que si y ∈S entonces λiy(γ

xi ) > ε para cada i ∈ 1, . . . , n, de esto se obtiene que

L(x, ε) = L(y, ε) y habremos acabado. Supongamos entonces que existe uni0 ∈ 1, . . . , n para el que λi0y(γ

xi0) ≤ ε, por lo tanto:

x∗(y) = λ1y(γx1 ) + · · ·+ λny(γ

xn) ≤

≤ ε +n∑

j=1,j 6=i0

bj < ai0 −n− 1

m+

n∑

j=1,j 6=i0

bj ≤

≤n∑

i=1

aj = R

lo que es absurdo porque y ∈ S y entonces x∗(y) > R.


Teorema 4.5.3. Todo subconjunto debil compacto de un espacio de Banachtiene la sJNR.

Demostracion. Vamos a llevar la propiedad de la sJNR de c0(Γ) a un debilcompacto K de un espacio de Banach X a traves de un espacio de Banachreflexivo como hicimos en la seccion anterior para la JNR. Sea Y un espacio deBanach reflexivo, por lo tanto sera debil compactamente generado y podemosconstruir un operador T : Y −→ c0(Γ) lineal, acotado e inyectivo. En elespacio de Banach reflexivo Y podemos considerar de nuevo la metrica ρdada por la propia norma ‖ ‖Y y la metrica d definida por d(x, y) =‖ T (x)−T (y) ‖∞. En 4.4.9 ya probamos que (Y, d) tiene la ρ−SLD por lo que puedoescribir que dado ε > 0, Y = ∪+∞

n=1Yn,ε, y existen δn,ε > 0 tal que si y ∈ Yn,ε secumple diamρ(Yn,ε∩Bd(y, δn,ε)) < ε. Fijado ahora ε > 0 y n ∈ N, como c0(Γ)tiene la sJNR, dado δn,ε > 0 puedo escribir c0(Γ) = ∪+∞

p=1Cp,δn,εy descomponer

Yn,ε = ∪+∞m=1(T

−1(Cm,δn,ε) ∩ Yn,ε), llamemos Yn,m,ε = T−1(Cm,δn,ε

) ∩ Yn,ε. Ytenemos Y = ∪+∞

n,m=1Yn,m,ε que cumple que si y ∈ Yn,m,ε, existe un slice S ⊂ Y(antiimagen de un slice de c0(Γ) a traves de T ) tal que diamd(Yn,m,ε ∩ S) <δn,ε, por lo tanto Yn,m,ε∩S ⊂ Yn,ε∩Bd(y, δn,ε) por lo que diamρ(Yn,m,ε∩S) < ε.Concluimos que todo espacio de Banach reflexivo tiene la sJNR.De igual manera que en 4.4.10 podemos llevar la propiedad sJNR del espaciode interpolacion reflexivo XC al debil compacto K ⊂ X.

Definicion 4.5.4. Sea (X, ‖‖) un espacio de Banach, decimos que ‖‖ eslocalmente uniformemente rotunda si para cada x ∈ X y toda sucesion(xn)n∈

⊂ X tal que limn ‖ xn+x2‖= limn ‖ xn ‖=‖ x ‖ se cumple que

limn ‖ x− xn ‖= 0.

De la prueba 4.5.3 se deduce que un espacio de Banach X debil compac-tamente generado tiene la sJNR. En estos espacios obtendremos, debido alsiguiente teorema, una norma equivalente localmente uniformemente rotun-da. Este teorema es el resultado principal de [O-M-T] y en este artıculo loque se busca son, precisamente, tecnicas para renormar espacios de Banachcon metricas equivalentes localmente uniformemente rotundas.

Teorema 4.5.5. Un espacio de Banach tiene la sJNR si y solo si admiteuna norma equivalente localmente uniformemente rotunda.

Hemos visto que conexiones tiene la propiedad sJNR con los renorma-mientos localmente uniformemente rotundos y, nos podemos preguntar queconexiones hay cuando el espacio de Banach tiene solo la JNR. En este ultimo


caso no hay renormamientos equivalentes localmente uniformemente rotun-dos pero si que hay otras propiedades de tipo topologico.

Definicion 4.5.6. Un espacio de Banach X se dice que tiene la propiedadKadec si en SX coinciden las topologıas relativas de la norma de X y latopologıa debil.

Proposicion 4.5.7. Si X es un espacio de Banach con norma localmenteuniformemente rotunda, entonces tiene la propiedad de Kadec.

Demostracion. Sea (xn) ⊂ SX una sucesion que converge debilmente a x ∈SX , considero fx ∈ SX∗ tal que fx(x) = 1. Se tiene que

1 ≥‖ x + xn

2‖≥ lim

nfx(

x+ xn

2) = 1

por lo que limn ‖ x+xn

2‖= 1 y limn ‖ x− xn ‖= 0.

El recıproco del resultado anterior no es cierto ya que existen espacios deBanach con la propiedad Kadec que no admiten ninguna norma equivalentelocalmente uniformemente rotunda, [Ha3]Un espacio de Banach X con la propiedad de Kadec tiene la JNR, para com-probar esto se puede consultar [H] y [J-N-R]. El recıproco de la afirmacionanterior es un problema abierto en la actualidad. Tambien se cumple que siX es un espacio de Banach con la JNR, existe F : X −→ R+ debilmente einferiormente, cumpliendo que F (tx) = |t|F (x) para t ∈ R y x ∈ X y que‖ x ‖≤ F (x) ≤ C ‖ x ‖ para algun C ∈ R y para todo x ∈ X. Ademas en elconjunto SF = x ∈ X : F (x) = 1 coinciden la topologıa heredada por lanorma y por la topologıa debil, [Ra]Recapitulando, las relaciones que hemos considerado son las siguientes:

sJNR ⇔ Norma localmente uniformemente rotunda ⇒ Kadec ⇒ JNR

Gracias a los renormamientos localmente uniformemente rotundos de un es-pacio de Banach debil compactamente generado, vamos a obtener una pro-piedad para los subconjuntos debil compactos y convexos de un espacio deBanach. A eso dedicaremos el resto de esta seccion, pero antes recordare-mos dos resultados clasicos, el teorema de Bishop-Phelps y el teorema deKrein-Milman.

Definicion 4.5.8. Sea K ⊂ X un subconjunto convexo, cerrado y acotadode un espacio de Banach X.


(i) Un punto k ∈ K se dice que es un punto extremal de K si no puede serexpresado como combinacion lineal convexa de dos puntos distintos de K. Elconjunto de puntos extremales de K sera denotado por ext(K).

(ii) Un punto k ∈ K se dice que es un punto expuesto de K si existe unelemento f ∈ X∗ tal que f(k) ≥ f(k′) para cualquier k 6= k′ ∈ K. Elfuncional lineal f se dice que expone al punto k.

(iii) Un punto k ∈ K se dice que es un punto fuertemente expuesto de Ksi existe f ∈ X∗ que expone a k y si una sucesion (kn) ⊂ K satisface quelimn f(kn) = f(k), entonces limn ‖ kn − k ‖= 0. En este caso se dice que fexpone fuertemente a k.El conjunto de puntos fuertemente expuestos lo denotaremos por strexp(K),y el conjunto de funcionales f ∈ X∗ que exponen fuertemente a algun puntode K por SE(K).

La prueba de los siguientes resultados pueden consultarse en [B] y en[H-H-Z], respectivamente.

Teorema 4.5.9 (Bishop-Phelps). Sea K un subconjunto convexo, cerradoy acotado del espacio de Banach X, entonces el conjunto de funcionales quealcanzan su maximo sobre K es denso en X∗.

Teorema 4.5.10 (Krein-Milman). Sea K un subconjunto convexo y debilcompacto del espacio de BanachX, entonces ext(K) 6= φ y K = conv(ext(K)).

Una generalizacion del teorema de Bishop-Phelps y que puede consultarseen [D3] es el siguiente teorema.

Teorema 4.5.11 (Lindenstrauss). Sean X e Y espacios de Banach y K ⊂X un subconjunto convexo y debil compacto. Entonces la coleccion de todoslos operadores T : X −→ Y lineales y acotados que alcanzan su maximo ennorma sobre K es densa en B(X, Y ).

Teorema 4.5.12 (Troyanski). Los conjuntos K convexos y debil compactosde un espacio de Banach X cumplen que K = conv(strexp(K)).

Demostracion. No es restrictivo suponer que X es debilmente compactamen-te generado y que X = span(K). Utilizando el comentario que hay despuesde la definicion 4.5.4 y el teorema 4.5.5 se puede afirmar que X tiene unanorma equivalente localmente uniformemente rotunda. Razonaremos porreduccion al absurdo, supongamos que existe un punto k ∈ K \ C donde


C = conv(strexp(K)). Podemos suponer que supk∈K‖ k ‖ = 1. Entoncesexistira un funcional f ∈ X∗ tal que supf(k) : k ∈ K = 1 y un δ > 0cumpliendo que |f(c)| < 1 − δ para cada c ∈ C. Definimos Y = (X ⊕ R)l2

que tambien tiene una norma equivalente uniformemente rotunda. ElegimosM ∈ R tal que 2 < M < 2

δy definimos el isomorfismo T : X −→ Y da-

do por T (x) = (x,Mf(x)). Vamos a probar que si S ∈ B(X, Y ) tal que‖ T − S ‖< 1, entonces S es tambien isomorfismo. Supongamos que no escierto, por lo que existe un x ∈ SX con S(x) = 0. Ahora, para cualquiery ∈ SX

‖ T (y) ‖2=‖ y ‖2 +|Mf(y)|2 = 1 +M2|f(y)|2 > 1

por lo que

1 > sup‖ S(y)− T (y) ‖: y ∈ SX ≥‖ S(x)− T (x) ‖> 1

lo que es absurdo. Ademas sup‖ T (k) ‖: k ∈ K ≥ M ; de hecho existek0 ∈ K tal que f(k0) = 1, entonces ‖ T (k0) ‖2=‖ k0 ‖2 +M2|f(k0)|2 ≥ M2.Ahora, si c ∈ C

‖ T (c) ‖2=‖ c ‖2 +M2|f(c)|2 ≤ 1 +M2(1− δ)2 =

= 1 + (M −Mδ)2 ≤ 1 + (M − 2)2 ≤ (M − 1)2

Concluimos entonces que los operadores que estan suficientemente cerca deT son isomorfismos de X en su imagen y no pueden alcanzar su maximosobre C.Consideramos ahora S : X −→ Y un isomorfismo que alcanza su maximoen norma en k ∈ K. Considero g ∈ Y ∗ satisfaciendo ‖ g ‖= 1 y g(S(k)) =max‖ S(k′) ‖; k′ ∈ K =‖ S(k) ‖. Entonces el punto k es un puntoexpuesto por g S. Supongamos ahora que tengo una sucesion (kn) ⊂ K talque limn g(S(kn)) = g(S(k)) =‖ S(k) ‖= max‖ S(k′) ‖; k′ ∈ K. Entoncescomo ‖ g ‖≤ 1, se tiene:

2 ‖ S(k) ‖≥ limn‖ S(k) + S(kn) ‖≥ lim

ng(S(k) + S(kn)) = 2 ‖ S(k) ‖

Utilizando ahora que la norma de Y es localmente uniformemente rotundase tiene que limn ‖ S(k)− S(kn) ‖= 0, como S es un isomorfismo

limn‖ kn − k ‖= 0

Se concluye que k es un punto fuertemente expuesto de K y en ese punto Salcanza el maximo sobre K lo que nos lleva a una contradiccion.

Capıtulo 5

Estado actual de los compactosde Eberlein. Conexiones conpropiedades geometricas

n este capıtulo describimos otros tipos de espacios topologicos compactos queestan relacionados con los compactos de Eberlein. En la segunda seccion pro-bamos los teoremas de Baturov y Reznichenko que relacionan la normalidady la propiedad de Lindelof en la topologıa debil de un espacio de Banach.En la tercera seccion aparecen resultados que ligan propiedades topologicasy geometricas. El texto esta sacado casi ıntegramente de [Sh] aunque hemosseguido tambien [O], [Ka], [Ar] y [FGHZ]. Todas las referencias a que nosreferiremos han aparecido en los ultimos 15-20 anos.

5.1 Una vision global

Un Σ-producto es un conjunto

Σ(Γ) = f ∈ RΓ : |γ ∈ Γ : f(γ) 6= 0| ≤ ℵ0 ⊂ RΓ

para algun conjunto de ındices Γ. Un espacio topologico compacto K es uncompacto de Corson si mediante un homeomorfismo puede verse comosubconjunto de un Σ-producto. Un espacio topologico compacto K se dicecompacto de Valdivia si existe un subconjunto K0 ⊂ RΓ, para un conjuntode ındices Γ, tal que K es homeomorfo a K0 y K0 ∩ Σ(Γ) es denso en K0.Dado un espacio topologico (X, τ) y d una metrica sobre X, decimos que

99

100 Estado actual de los compactos de Eberlein

(X, τ) esta fragmentado por d si para cada A ⊂ X no vacio y ε > 0, existeU ∈ τ con U ∩ A 6= φ y diamd(U ∩ A) < ε. Un espacio topologico es frag-mentable si esta fragmentado por alguna metrica. Jayne y Rogers, [J-R]probaron que esta nocion es muy util en la construccion de selectores de fun-ciones multivaluadas superiormente semicontinuas.Un espacio topologico Hausdorff compacto K se dice compacto de Radon-Nikodym si esta fragmentado por una metrica inferiormente semicontinua.Recordemos que d : K × K −→ [0,∞) es inferiormente semicontinua si(x, y) : d(x, y) ≤ r es cerrado para cada r ∈ R+.Un espacio topologico Hausdorff compactoK se dice compacto quasi Radon-Nikodym si esta fragmentado por un funcion f : K × K −→ [0, 1] infe-riormente semicontinua tal que f(x, y) = 0 si y solo si x = y y tal quef(x, y) = f(y, x).Dados X, Y espacios topologicos y una aplicacion multivaluada Φ : X −→2Y , una funcion φ : X −→ Y se dice que es una seleccion de Φ si φ(x) ∈ Φ(x)para cada x ∈ X. Un espacio topologico compacto K es un espacio deStegall si para cada espacio de Baire X y cada usco Φ : X −→ 2K existeuna seleccion φ de Φ que es continua en un Gδ denso de X, esta propiedadfue considerada por primera vez por Stegall, ver [St3].Para X, Y espacios topologicos, denotaremos por N(X, Y ) la siguiente pro-piedad; para cada f : X × Y −→ Z separadamente continua con Z espaciometrico, existe un Gδ denso G ⊂ X tal que f es conjuntamente continua enG× Y . Un espacio topologico compacto K se dice que es co-Namioka sipara cada espacio de Baire X, se cumple N(X,K).Un espacio topologico compacto K se dice disperso si cada subconjuntono vacio de K tiene un punto aislado.Recordemos que un espacio de Banach X se dice debilmente K-analıtico siexiste una usco sobreyectiva Φ : N

−→ 2(X,w).Un espacio topologico compacto K se dice que es compacto de Talagrandsi C(K) es debilmente K-analıtico.Un espacio topologico compacto K se dice que es compacto de Gul’ko siexiste una usco sobreyectiva Φ : Σ −→ 2(C(K),w) donde Σ ⊂ N

.Un espacio topologico compacto K se dice que es compacto de Preiss-Simon si para cada punto no aislado existe una sucesion de conjuntos abier-tos convergente hacia el.Un espacio topologico compacto K es un compacto de Eberlein uniformesi es homeomorfo a un subconjunto debil compacto de un espacio de Hilbert.Un espacio topologico compacto K se dice que tiene un subespacio denso

Una vision global 101

completamente metrizable si existe H ⊂ K subespacio con H = K y talque existe una metrica completa sobre H cuya topologıa coincide con la he-redada de K. En el siguiente diagrama relacionamos los conceptos anterioresmediante sus correspondientes implicaciones:

Eberlein uniforme

disperso EberleinTalagrand

Preiss-Simon

Radon-Nikodym

quasi

Radon-

Nikodym

8

HHHHj9

?1

CCCCCCCW

2

3

XXXXXz5

-6

Gul’ko

7

CCCCCCW

4

fragmentable?

10

11

Corson

@@

@@R12

Valdivia

HHHHHj16

Stegall

13co-Namioka

) 17

15

compacto con subespacio densocompletamente metrizable

CCCCCCCCCCW

14

La implicacion 1 viene de las definiciones. Las implicaciones 2, 3 y 10 fueronestablecidas por Namioka, [N2], 11 y 14 por Ribarska, [Ri], 12 se debe aGul’ko (ver [Ne]). La implicacion 8 viene de las definiciones y la 9 se pruebapor Namioka. La implicacion 13 fue probada por Namioka, [N2] y 15 fueprobada por Debs (ver [D]). Las implicaciones 4 y 5 se deben a Talagrand(ver [T]) y se ha probado en la seccion 3.1, 7 se obtiene de las definiciones.La implicacion 6 esta probada en la seccion 3.3, 16 se obtiene tambien de las


definiciones y 17 se debe a Deville y Godefroy (ver [De-Go]). Se sabe que lasimplicaciones 5, 7 y 12 son estrictas, ver ejemplo 3.1.23, [T] y [T2], pero sepuede ver en [A] y [V] que un compacto de Corson que sea disperso es tambiencompacto de Eberlein. G. Gruenhage (ver [G]) establecio que cada compactode Gul’ko contiene un subconjunto denso completamente metrizable (sin el’completamente‘ fue obtenido por [L]) lo que respondıa a una cuestion deTalagrand. Namioka, [N2] probo que cada compacto Radon Nikodym tieneun subconjunto denso completamente metrizable.Veamos algunas propiedades mas para los compactos de Eberlein. La pruebade las dos proximas propiedades se puede consultar en [Am-L].

Teorema 5.1.1. Si K es compacto de Eberlein y X es la imagen continuade un metrico separable, entonces Cp(X,K) es de Lindelof.

Una aplicacion multivaluada Φ : X −→ 2Y es inferiormente semicontinuasi el conjunto x ∈ X : Φ(x) ∩ U 6= φ es abierto en X para cada abiertoU ⊂ Y .

Teorema 5.1.2. Sea X un espacio topologico metrico separable y K uncompacto de Eberlein, entonces para cada aplicacion multivaluada Φ : X −→2K que sea inferiormente semicontinua con Φ(x) no vacio, convexo y cerradopara cada x ∈ X, se puede obtener una seleccion continua.

Recordemos que si tenemos un conjunto X y dos topologıas τ1, τ2 paraese conjunto, se dice que τ1 es mas fina que τ2, τ2 ≤ τ1, si cada τ2-abierto deX es tambien τ1-abierto.

Definicion 5.1.3. Sea X un conjunto y τ1, τ2 dos topologıas sobre el, decimosque X tiene la propiedad L(τ1, τ2) si para cualquier x ∈ X existe un conjuntonumerable S(x) conteniendo al propio x tal que si A ⊂ X, entonces

Aτ2 ⊂ ∪S(x) : x ∈ Aτ1

Hay que remarcar que si τ1 ≤ τ2, entonces la propiedad L(τ1, τ2) se obtienepor definicion de clausura. Por tanto la situacion interesante sera cuandoτ1 ≥ τ2, en particular cuando τ1 es una topologıa metrica.

Teorema 5.1.4. Sea (K, τ) un espacio topologico compacto y d una metricasobre K que es τ -inferiormente semicontinua, son equivalentes:

i) K tiene la propiedad L(d, τ).


ii) K es compacto de Eberlein.

Esta caracterizacion se debe a Luis Oncina, [On3].Para estudiar mas a fondo la relacion entre compactos de Eberlein, Tala-grand, Gul’ko y Corson, recordamos en el siguiente resultado algunas pro-piedades estudiadas de los compactos de Eberlein.

Teorema 5.1.5. Sea K un compacto de Eberlein, se cumple:

(i) K es un espacio angelico.

(ii) K es homeomorfo a un subconjunto debil-compacto de c0(Γ) para algunconjunto de ındices Γ.

(iii) d(K) = w(K) = d(C(K)) = d(Cp(K))

(iv) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) K es metrizable.

(b) K es separable.

(c) K es el soporte de alguna medida de Borel.

(d) K cumple la condicion de cadena numerable.

(v) K contiene un Gδ denso y metrizable.

(vi) C(K) es Lindelof para la topologıa debil.

(vii) Si X es la imagen continua de un metrico separable, entonces Cp(X,K)es Lindelof.

(viii) Si X es metrico separable entonces para cada aplicacion multivaluadaΦ : Y −→ 2K que sea inferiormente semicontinua con Φ(x) no vacio, convexoy cerrado para cada x ∈ X, se puede obtener una seleccion continua.

De estas propiedades sabemos lo siguiente:

(i) Es cierta para los compactos de Corson y por consiguiente para todassus subclases. [T]

(ii) El espacio c0(Γ) puede ser sustituido por un espacio c1(Γ) con la topo-logıa de convergencia puntual para representar los compactos de Tala-grand y Gul’ko. [Me]


(iii) Es cierto para los compactos de Gul’ko. [T] y [Va]

(iv) Es cierto para los compactos de Gul’ko [Arg-Me-Ne],[Ne] y constituıauno de los problemas propuestos por M. Talagrand en [T]. Los com-pactos de Corson se comportan muy patologicamente con relacion aesta propiedad [Arg-Me-Ne], [Ne].

(v) Es cierto para los compactos de Gul’ko [G],[L] y ha sido una de lascuestiones planteadas por M. Talagrand en [T] que ha dado lugar auna mayor numero de resultados con ella relacionados [L-So], [Me],[So] y [St]. Los compactos de Corson no la verifican en general [Ne].

(vi) Gul’ko probo que es cierto para los compactos de Gul’ko y para los deCorson en la topologıa de convervencia puntual (ver [A-P]).

(vii) Es cierto para los compactos de Talagrand [M].

(viii) Es cierto para los compactos de Talagrand [M].

Ademas hemos probado que los compactos de Eberlein son estables a travesde imagenes continuas (3.2.12), de productos numerables (3.1.5) y para su-bespacios cerrados. Esto se suele expresar diciendo que la clase de los com-pactos de Eberlein es perfecta, otros ejemplos de clases perfectas son, la clasede los compacto de Talagrand (ver [T]), compactos de Gul’ko (ver [T]) y loscompactos de Corson, los detalles de todos estos ejemplos se pueden ver en[Ne] y [P].Recordemos que dadosX, Y espacios topologicos, una aplicacion f : X −→ Yse dice perfecta si es continua, cerrada y f−1(y) ⊂ X es compacto para caday ∈ Y .Ribarska, [Ri], establecio las siguientes propiedades para los espacios frag-mentables:

Teorema 5.1.6.

(i) Todo subespacio de un espacio fragmentable es fragmentable.

(ii) Sea A = An : n ∈ N una familia de subespacios cerrados fragmentablesdel espacio topologico X, si se cumple que:

X = ∪∞n=1An

entonces X es fragmentable.


(iii) El producto de una cantidad numerable de espacios fragmentables es frag-mentable.

(iv) La imagen de un espacio fragmentable por una aplicacion perfecta siguesiendo fragmentable; en particular, la imagen de un espacio compacto frag-mentable por una aplicacion continua es fragmentable.

(v) La imagen inyectiva y continua de un espacio fragmentable es fragmenta-ble.

(vi) Un espacio compacto fragmentable tiene un subespacio denso que es com-pletamente metrizable.

(vii) Sea X un espacio y U = ∪∞n=1Un un cubrimiento por abiertos de X,

cumpliendo que para cada dos x, y ∈ X distintos existe algun n ∈ N tal quex e y pertenecen, como mucho, a una cantidad finita de elementos de Un, y|V ∩ x, y| = 1 para algun V ∈ Un, entonces X es fragmentable.

(viii) Los compactos de Gul’ko son fragmentables.

(ix) Los compactos fragmentables son espacios de Stegall.

Gruenhage (ver [G]) probo que cada compacto de Gul’ko satisface lashipotesis de (vii), lo que da (viii). El apartado (ix) fue probado por Namio-ka, [N2]. Ribarska, [Ri], dio tambien una caracterizacion interna de espaciosfragmentables. De este resultado se tiene que la clase de compactos fragmen-tables es perfecta.Los siguientes resultados fueron probados por Namioka, [N2]:

Teorema 5.1.7. Un espacio compacto K es Radon-Nikodym si y solo sisatisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

(i) Existe un espacio de Banach X tal que K es homeomorfo a un conjuntoH ⊂ (X∗, w∗) que se fragmenta por la norma de X∗.

(ii) K es homeomorfo a un subconjunto H ⊂ [0, 1]Γ tal que para cada subcon-junto numerable A ⊂ Γ, la proyeccion πA(H) es separable para la topologıade convergencia uniforme sobre A.

(iii) K es homeomorfo a un subconjunto H ⊂ [0, 1]Γ que es fragmentable porla metrica uniforme d, dada por

d(x, y) = sup|x(γ)− y(γ)| : γ ∈ Γ

Bernardo Cascales, Isaac Namioka y Jose Orihuela prueban en [C-N-O]el siguiente resultado:


Teorema 5.1.8. Un espacio topologico compacto K es compacto de Radon-Nikodym si y solo si es homeomorfo a un subconjunto H ⊂ [0, 1]Γ que esLindelof con respecto a la topologıa de convergencia uniforme sobre subcon-juntos numerables de Γ.

Recordemos que un espacio topologico es normal si para cada pareja decerrados disjuntos existe una pareja de abiertos disjuntos que contienen acada uno de los cerrados. Se dice que un espacio topologico es perfectamentenormal si es normal y cada subconjunto cerrado es un Gδ.

Teorema 5.1.9.

(i) Todo subconjunto cerrado de un espacio compacto Radon-Nikodym vuelvea ser un compacto Radon-Nikodym.

(ii) El producto numerable de compactos Radon-Nikodym vuelve a ser com-pacto Radon-Nikodym.

(iii) Cada espacio Radon-Nikodym (o mas generalmente, fragmentable) es su-cesionalmente compacto.

(iv) Todo compacto de Radon-Nikodym contiene un subconjunto Gδ denso ymetrizable.

(v) Un espacio compacto Radon-Nikodym perfectamente normal es metrizable.

(vi) Si K es un compacto de Radon-Nikodym, entonces (BC(K)∗, w∗) es un

compacto de Radon-Nikodym.

(vii) Un espacio Hausdorff cociente de un compacto de Radon-Nikodym esfragmentable por alguna metrica.

El apartado (vi) del resultado anterior es tambien cierto si se sustituyeRadon-Nikodym por fragmentable. En cuanto al apartado (vii) no se sabe siun espacio cociente Hausdorff de un compacto de Radon-Nikodym es tambiencompacto de Radon-Nikodym. En relacion a esto Arvanitakis dio la defini-cion de compacto quasi Radon-Nikodym. Se cumple que el Hausdorff cocientede un compacto quasi Radon-Nikodym sigue siendo quasi Radon-Nikodym,consecuentemente el Hausdorff cociente de un compacto Radon-Nikodym esquasi Radon-Nikodym, (ver Namioka[1987] y [Arv]).Orihuela, Schachermayer y Valdivia ([O-S-V]), e independientemente Rezni-cenko (sin publicar), probaron el siguiente:

Teorema 5.1.10. Un espacio topologico compacto es un compacto de Eber-lein si y solo si es a la vez Radon-Nikodym y Corson.


El resultado anterior implica que un compacto de Gul’ko es un compactode Eberlein si y solo si es Radon-Nikodym, por lo tanto el ejemplo 3.1.23 pro-porciona un ejemplo de un compacto de Gul’ko que no es Radon-Nikodym,lo que es una respuesta a una cuestion planteada por Namioka, [N2].El resultado anterior se puede generalizar de la siguiente manera: Cada es-pacio compacto quasi Radon-Nikodym que sea tambien compacto de Corsones compacto de Eberlein ([Arv]). Ademas mencionaremos que no se sabesi todo compacto quasi Radon-Nikodym es necesariamente un compacto deRadon-Nikodym.Todo compacto disperso es Radon-Nikodym. El siguiente teorema, probadoen 1987 por Reznicenko (sin publicar), prueba que los compactos Radon-Nikodym cero-dimensionales estan muy cerca de los compactos dispersos.Recordemos que un espacio topologico es cero-dimensional si tiene una basepara la topologıa formada por conjuntos que son, a la vez, abiertos y cerrados.

Teorema 5.1.11. Cada espacio compacto Radon-Nikodym cero-dimensionales homeomorfo a un subespacio de Y

para algun compacto disperso Y .

El siguiente problema esta abierto.

Problema 5.1.12 (Namioka (1987)). La imagen mediante funciones con-tinuas de un compacto Radon-Nikodym, es compacto Radon-Nikodym?.

Recordemos que un espacio es pseudocompacto si toda funcion real ycontinua definida sobre ese espacio esta acotada. Baturov y Reznicenko sedieron cuenta que si un compacto Radon-Nikodym K es Frechet-Urysohn, esdecir, los puntos de la clausura son lımites de sucesiones, entonces todos lossubespacios pseudocompactos de K son cerrados, y K es Preiss-Simons.Los Σ−productos se empezaron a estudiar a mediados del siglo pasado. Laclase de los espacios topologicos compactos que estan dentro de Σ(Γ) paraalgun Γ comenzo a interesar ya que, debido a Amir y Lindenstrauss [Am-L],estos espacios contienen a todos los compactos de Eberlein. E. Michael y M.E. Rudin introdujeron la nocion de compacto de Corson para los compactosde Σ(Γ) y, en los 80 fueron establecidas algunas propiedades de dichos espa-cios. S. Argyros, S. Mercourakis y S. Negrepontis [Arg-Me-Ne] observaronque algunas propiedades observadas de los compactos de Corson se cumplıantambien para un clase mayor de espacios. Esta clase fue profundamente estu-diada por Valdivia [V1] [V2] y a esa clase de espacios se les llamo compactosde Valdivia. Seguiremos [Ka] para las propiedades de los compactos de Val-divia. Recientemente O.F.K. Kalenda ha obtenido varios resultados para


este tipo de compactos, hay propiedades de una fuerte no estabilidad paraesta clase de compactos en [Ka1, Ka2, Ka3] y algunos resultados positivos deestabilidad en [Ka4]. Se pueden encontrar interrelaciones entre compactos deValdivia y espacios de Asplund en [Ka5]. De [Ka1] se obtiene una propiedadfuerte de no estabilidad de los compactos de Valdivia a traves de funcionescontinuas. Se puede ver un resultado positivo para imagenes continuas yabiertas de compactos de Valdivia, [Ka4].

Teorema 5.1.13. Sea K un espacio topologico compacto, son equivalentes:

(i) Toda imagen continua de K es compacto de Valdivia.

(ii) K es compacto de Corson.

El siguiente problema sigue estando abierto.

Problema 5.1.14. Es la imagen continua y abierta de un compacto de Val-divia de nuevo compacto de Valdivia?

Respecto al producto de compactos de Valdivia tenemos los siguientesresultados.

Teorema 5.1.15. El producto de compactos de Valdivia sigue siendo com-pacto de Valdivia.

Teorema 5.1.16. Sea Kα : α ∈ I una familia de espacios compactos novacıos, tal que cada Kα tiene un subconjunto Gδ denso. Sea K =

∏

α∈I Kα,entonces K es compacto de Valdivia si y solo si cada Kα es compacto deValdivia.

Problema 5.1.17. Consideramos K y L compactos tales que K × L escompacto de Valdivia, son K y L compactos de Valdivia?.

Teorema 5.1.18.

(i) La suma finita topologica de compactos de Valdivia siguen siendo compac-tos de Valdivia.

(ii) La compactificacion por un punto de cualquier suma topologica de com-pactos de Valdivia vuelven a ser compacto de Valdivia.

El siguiente resultado relaciona el compacto de Valdivia K con el espaciode Banach asociado C(K).

Teorema 5.1.19. Si K es un compacto de Valdivia, entonces (BC(K)∗, w∗)

es compacto de Valdivia.

El recıproco del resultado anterior es cierto si K tiene un Gδ denso.

Normalidad y la propiedad de Lindelof 109

5.2 Normalidad y la propiedad de Lindelof

Un espacio vectorial topologico localmente convexo (o e.v.l.c. para abreviar),E[τ ], es un espacio vectorial E con una topologıa τ Hausdorff donde la aplica-cion suma y la aplicacion producto por un escalar son continuas y ademas, latopologıa τ tiene una base de entornos convexos para el origen. Recordamosque para un e.v.l.c., E[τ ], la topologıa debil sobre E[τ ] es la topologıa masdebil que hace que todos los funcionales del dual E[τ ]′ sean continuos, deno-taremos por (E[τ ], w) al espacio E dotado de la topologıa debil. El siguienteresultado fue probado por Reznicenko, [Re]. Recordemos que un espacio Xes colectivamente normal si para cada familia discreta Fα : α ∈ A de sub-conjuntos cerrados de X, existe una familia discreta Uα : α ∈ A de abiertostal que Fα ⊂ Uα para cada α ∈ A.

Teorema 5.2.1.

(i) Si E[τ ] es un e.v.l.c. que es imagen mediante una aplicacion lineal ycontinua de un e.v.l.c. metrico. Entonces (E[τ ], w) es normal si y solo si(E[τ ], w) es colectivamente normal.

(ii) Si E[τ ] es un e.v.l.c. metrico y (E[τ ], w) es normal, entonces (E[τ ], w) esLindelof. En particular, si X es un espacio de Banach y (X,w) es normal,entonces (X,w) es Lindelof.

La ultima afirmacion de (ii) resuelve un viejo problema de principio delos sesenta y vamos a desarrollar la prueba de este resultado.Recordemos que si X es un espacio topologico, entonces l(X) es el grado deLindelof, es decir, el menor cardinal infinito θ tal que cada cubrimiento porabiertos de X tiene un subcubrimiento de cardinalidad menor o igual queθ. En la misma situacion se define el grado de discretizacion de X, e(X),como el menor cardinal infinito θ tal que la cardinalidad de cada subconjuntocerrado de X y discreto es menor o igual que θ. Baturov, [Ba] establecio lasiguiente fuerte restriccion sobre los espacios topologicos que pueden verseinmersos en un espacio de Banach con la topologıa debil.

Teorema 5.2.2 (Baturov). Sea X un espacio de Banach e Y ⊂ (X,w) unsubconjunto, si todos los subconjuntos de Y discretos y cerrados son nume-rables, entonces Y es Lindelof. Mas generalmente:

l(Y ) = e(Y )


El resultado anterior se obtiene como consecuencia del siguiente teoremasacado de [Ar].

Teorema 5.2.3. Sea K un espacio topologico compacto. Entonces para cadasubespacio X ⊂ Cp(K) se cumple que e(X) = l(X).

Demostracion. Comenzamos probando que e(X) ≤ l(X), consideramos unsubconjunto H = hγγ∈Γ discreto y cerrado, veamos que |Γ| ≤ l(X). Fi-jado γ puedo encontrar un abierto Uγ tal que Uγ ∩ H = hγ, considero elcubrimiento por abiertos de X dado por

C = Hc ∪ (∪γ∈ΓUγ)

Entonces existe un subcubrimiento de cardinalidad menor o igual a l(X),pero si obtengo un subcubrimiento de C que cubra X preciso todos los Uγ

para cubrir los puntos de H, entonces puedo reducir C, a lo mas en H c, porlo que |Γ| ≤ l(X) y se tiene que e(X) ≤ l(X).Antes de probar la otra desigualdad probaremos la siguiente propiedad; existeuna aplicacion f : K −→ M perfecta y sobreyectiva donde M es un espaciotopologico metrico y separable. Al ser K compacto es suficiente probar queexiste f : K −→M continua y sobreyectiva. Utilizando el lema de inmersionde Urysohn (ver [K]) existe un conjunto Γ tal que K ⊂ [0, 1]Γ, fijado cualquiersubconjunto numerable Γ0 ⊂ Γ la proyeccion p0 : [0, 1]Γ −→ [0, 1]Γ0 es conti-nua, sobreyectiva y [0, 1]Γ0 es metrico separable. Considero la restriccion dedicha aplicacion a K, esa restriccion p0|K : K ⊂ [0, 1]Γ −→ p0(K) ⊂ [0, 1]Γ0

es continua sobreyectiva, y p0(K) es metrico separable.Para probar la otra desigualdad comprobaremos que si l(X) > τ entoncestambien e(X) > τ . Supuesto l(X) > τ , existe un cubrimiento C de X sinsubcubrimientos de cardinalidad menor o igual a τ . Podemos asumir que loselementos de C son de la forma:

W (k1, . . . , kr;O1, . . . , Or) = f ∈ Cp(K) : f(ki) ∈ Oi, i = 1, . . . , r

donde ki son puntos de X y Oi son abiertos de R, elementos de una base nu-merable que fijamos en R. Vamos a denotarWr(k;O) = W (k1, . . . , kr;O1, . . . , Or),para k = (k1, . . . , kr) ∈ Xr y O = O1×· · ·×Or un elemento de la base de Rr.Sea entonces B = Oi : i ∈ N la base numerable de R, entonces la familiaB1 = ∏r

i=1Oli : li, r ∈ N es numerable y los podemos numerar y escribirB1 = On ⊂ Rrn : n ∈ N. Con esto podemos reescribir C = ∪+∞

n=1Cn, donde

Cn = Wrn(k;O) : O = On ⊂ Rrn


ademas para cada n ∈ N podemos considerar

An = k ∈ Krn : Wrn(k;On) ∈ Cn

Para cada aplicacion f ∈ Cp(K) y l ∈ N podemos considerar f l : K l −→ Rl

dada por f l(k1, . . . , kl) = (f(k1), . . . , f(kl)). Usando esta notacion, el hechode que C cubra X es equivalente a escribir:

• Para cada f ∈ X, existe n ∈ N y k ∈ An tal que f rn(k) ∈ On.El hecho de que ninguna subfamilia de C de cardinalidad menor o igual queτ cubra X puede escribirse como:

•• Si Bn ⊂ An y |Bn| ≤ τ ∀n ∈ N, entonces existe un elemento g ∈ X tal quegrn(Bn) ∩ On = φ, ∀n ∈ N.Vamos a construir un conjunto F = fα : α < τ + 1 ⊂ X que sera cerradoy discreto, con lo que habremos acabado. Lo haremos por induccion:Elegimos f0 ∈ X arbitrario, y supongamos que existe α < τ + 1 tal quepara cada β < α las funciones fβ han sido ya determinadas. Fijado n ∈ N,tomamos una aplicacion sobreyectiva y perfecta φrn

: Krn −→Mn donde Mn

es un espacio metrizable y separable.Para cada coleccion finita β1, . . . , βl < α podemos considerar la aplicacion

fn(β1,...,βl)

= f rn

β1∆ . . .∆f rn

βl∆φrn

: Krn −→ Rrn·l ×Mn

que es el producto diagonal de las aplicaciones f rn

β1, . . . , f rn

βly φrn

, dada por:

fn(β1,...,βl)

(k1, . . . , krn) =

= (f rn

β1(k1, . . . , krn

), . . . , f rn

βl(k1, . . . , krn

), φrn(k1, . . . , krn

) ∈ Rrn·l ×Mn

Como φrnes perfecta, se tiene que fn

(β1,...,βl)tambien lo es, [E]. Como

Rrn·l × Mn es hereditariamente separable, podemos encontrar un subcon-junto numerable Sn

(β1,...,βr)⊂ An tal que fn

(β1,...,βr)(Sn

(β1,...,βr)) es denso en

fn(β1,...,βr)(An). Considero el conjunto

Bαn =

⋃

β1,...,βl<α

Sn(β1,...,βl)

⊂ An

y se cumple |Bαn | ≤ τ , y esto se puede hacer para cada n ∈ N, por lo que

utilizando la condicion ••, existe fα ∈ X tal que f rnα (Bα

n ) ∩ On = φ ∀n ∈ N.Con esto acabamos la construccion del conjunto F , vamos a probar ahora


que es discreto y cerrado en X.Supongamos que no es ası, entonces existe g ∈ X tal que cada entorno suyocontiene infinitos elementos de F . Ademas por la condicion • existe unn ∈ N y k ∈ Krn se tiene que g ∈ Wrn

(k;On), es decir, grn(k) ∈ On. Existeα′ < τ + 1 tal que g es punto lımite de fα : α < α′, elijo α0 el menor detales α′ y considero el conjunto:

P = fα ∈ Wrn(k;On) : α < α0 ⊂ F

Se cumple que k ∈ (grn)−1(On) ∩⋂

f∈P(f rn)−1(f rn(k)) por lo que esteultimo conjunto no es vacıo, y puedo definir:

T =⋂

f∈P

(f rn)−1(f rn(k)) \ (grn)−1(On)

Podemos distinguir dos situaciones:

(1) T = φ. En ese caso sea φrn(k) = m, como φrn

: Krn −→ Mn es perfec-ta, entonces φ−1

rn(m) es compacto y como (grn)−1(On) es abierto, existe un

conjunto finito fβ1 , . . . fβs ⊂ P tal que :

Φ =s⋂

i=1

(f rn

βi)−1(f rn

βi(k)) ∩ φ−1

rn(m) ⊂ (grn)−1(On)

El conjunto Φ es la antiimagen del punto (f rn

β1(k), . . . , f rn

βs(k), m) mediante

la aplicacion fn(β1,...,βs)

, dicha aplicacion es perfecta, de hecho cerrada, mien-

tras (grn)−1(On) es un entorno del conjunto Φ. Ya que k ∈ An ∩ Φ, elconjunto (grn)−1(On) contiene la antiimagen de algun punto del conjuntof rn

β1,...,βs(Sn

β1,...,βs). Por lo que existe un punto k′ ∈ Sn

β1,...,βsque queda dentro

de (grn)−1(On). Entonces, por construccion, la funcion fα, para α > maxβi :i = 1, . . . , s, no pertenece al entorno Wrn

(k′;On), mientras que la funcion gsi que pertenece a dicho entorno. Definimos α∗ = maxβi : i = 1, . . . s. Cla-ramente, α∗ < α0, y como g es un punto lımite del conjunto fα : α < α0,concluimos que g es tambien punto lımite del conjunto fα : α < α∗, con-tradiciendo la eleccion de α0.

(2) T 6= φ. Tomamos un punto k′′ ∈ T, entonces grn(k′′) 6= grn(k), ya quegrn(k) ∈ On. Al mismo tiempo f rn(k′′) = f rn(k) para todo f ∈ P . Esto noslleva a que g no pertenece a la clausura de P , de nuevo es una contradiccion.Concluimos que F es cerrado y discreto en X con lo que hemos acabado.


En conexion con 5.2.1(ii) Baturov, [Ba] planteo el siguiente:

Problema 5.2.4. Sea X es un espacio de Banach e Y ⊂ (X,w) un subes-pacio denso. Si Y es normal, es tambien Lindelof?.

El mismo dio una respuesta positiva en el caso particular de que Y es debilK-analıtico. Reznicenko (sin publicar) probo que la respuesta es tambienpositiva en el caso de ser Y subconjunto convexo de (X,w) y se puede aplicar,por ejemplo, a (BX , w). Vamos a probar esta ultima afirmacion, y para elloseguiremos [Ar].

Teorema 5.2.5 (Reznichenko). Sea X un espacio de Banach y C ⊂ (X,w)convexo y normal, entonces e(C) ≤ ℵ0.

Una vez probado el resultado anterior, si aplicamos el teorema de Baturovhabremos acabado. Para probar el teorema de Reznichenko hay que estudiaralgunos resultados previos.

Lema 5.2.6 (Lema de factorizacion). Sea X = [0, 1]Γ, Y ⊂ X un sub-espacio denso y una aplicacion continua f : Y −→ R. Entonces existe unsubconjunto numerable Γ0 ⊂ Γ y una funcion continua g : pΓ0(Y ) −→ R,donde pΓ0 : [0, 1]Γ −→ [0, 1]Γ0 es la proyeccion canonica, cumpliendo queg(pΓ0(y)) = f(y) ∀y ∈ Y .

Demostracion. Supongamos que f : [0, 1]Γ −→ R, sea ε > 0 y x ∈ [0, 1]Γ,entonces existe un entorno Vx de x tal que la oscilacion

o(f, Vx) = inf|f(y)− f(z)| : y, z ∈ Vx < ε

Obtenemos un cubrimiento de [0, 1]Γ = ∪x∈[0,1]ΓVx, y por compacidad po-demos extraer un subcubrimiento finito tal que ∪p

i=1Vxi= [0, 1]Γ. Cada

abierto es de la forma Vxi= W (xi, γ

i1, . . . , γ

iji, δi), definimos el conjunto finito

Γε = ∪pi=1γi

1, . . . , γiji. Entonces dados z, y ∈ [0, 1]Γ tal que z|Γε

= y|Γε,

entonces existe xi0 tal que z, y ∈ Vxi0y o(f, Vxi0

) < ε. Si hacemos to-

mar a ε todos los valores 1n

donde n ∈ N, tenemos un subconjunto nume-rable Γ0 = ∪∞n=1Γ 1

ncumpliendo que para cada par x, y ∈ [0, 1]Γ tal que

pΓ0(x) = pΓ0(y) entonces f(x) = f(y).

Lema 5.2.7. Sea C un subconjunto convexo de un espacio vectorial to-pologico localmente convexo E, H = hα : α < w1 ⊂ C, 0 < t < 1 yT = thα + (1 − t)hβ : α, β < w1, α 6= β. Si H ∩ T = φ, entonces H escerrado y discreto en C; ademas, hα 6= hβ si α 6= β con α, β < w1.


Demostracion. Si hα = hβ entonces hα ∈ H ∩ T , contradiciendo la hipotesis.

Dado c ∈ C con c ∈ H \ c y un entorno U de c, existe otro entorno convexode c, V ⊂ U y en V hay una cantidad infinita de elementos de H y, al serconvexo, se tiene que V ∩ T 6= φ por lo que U ∩ T 6= φ, llegamos entonces aque H ∩ T 6= φ lo que es contradictorio con la hipotesis y ası H es discretoy cerrado en E.

Lema 5.2.8. Sea X un conjunto, V un subconjunto del cubo IX , H ⊂ Vno-numerable, cerrado y discreto en V . Entonces existe un conjunto F =fα : α < w1 ⊂ H y un numero t ∈ (0, 1), tal que F ∩ T = φ, dondeT = tfα + (1− t)fβ : α, β < w1, α 6= βDemostracion. Los conjuntos

W (f, ε,K) = g ∈ V : |g(x)− f(x)| < ε, para cada x ∈ Kdonde f ∈ V , 0 < ε < 1 y K ⊂ X es finito, forman una base para V . Paracada f ∈ H existe un conjunto finito Kf ∈ X y εf > 0 tal que:

W (f, εf , Kf) ∩H = fAl ser H no-numerable, podemos elegir un conjunto no-numerable F = fα :α < w1 ⊂ H tal que para cada α < w1 se cumpla εfα

≥ ε para algun ε > 0.Fijamos t = ε

3y para cada α < w1 se define:

Wα = W (fα,ε2

3, Kfα

)

Vamos a observar que el numero fijado t, cumple la tesis del teorema. Comose tiene que fα ∈ Wα, basta probar que Wα ∩ T = φ para α < w1, dondeT = tfα +(1− t)fβ : α, β < w1, α 6= β. En otras palabras, debemos probarque si β, γ < w1, entonces tfβ + (1 − t)fγ 6∈ Wα para cualquier α < w1.Vamos a diferenciar dos casos:Caso 1: Sea α 6= γ, entonces fγ 6∈ W (fα, ε, Kfα

) por lo que existe un puntox∗ ∈ Kfα

verificando que |fα(x∗)−fγ(x∗)| > ε, por esto podemos escribir que

|tfβ(x∗) + (1− t)fγ(x∗)− fα(x∗)| = |t(fβ(x∗)− fγ(x

∗)) + (fγ(x∗)− fα(x∗)| ≥

|fα(x∗) − fγ(x∗)| − t|fβ(x∗) − fγ(x

∗)| ≥ ε − ε32 ≥ ε

3> ε2

3Lo que indica que

tfβ + (1− t)fγ 6∈ Wα.Caso 2: Sea γ = α, entonces β 6= α y se tiene que fβ 6∈ W (fα, ε, Kα),entonces existe x∗ ∈ Kfα

para el cual |fα(x∗)−fβ(x∗)| ≥ ε, con esto tenemos:

|tfβ(x∗) + (1− t)fα(x∗)− fα(x∗)| = |tfβ(x∗)− tfα(x∗)| ≥ tε = ε2

3Con esto se

concluye que tfβ + (1− t)fα 6∈ Wα.


Teorema 5.2.9. Sea V ⊂ IX convexo y denso, si V es normal entoncese(V ) ≤ ℵ0.

Demostracion. Sea V ⊂ IX , convexo y normal y supongamos que e(V ) > ℵ0,fijamos entonces un subconjunto F ⊂ V cerrado, discreto y no numerable.Por el lema anterior, existe un conjunto H = fα : α < w1 ⊂ F y unnumero t ∈ (0, 1) tal que H ∩ T = φ, donde:

T = tfα + (1− t)fβ : α, β < w1, α 6= β

Como H es cerrado en V y V es normal, existe g : V −→ I una aplicacioncontinua, tal que g(H)∩ g(T ) = φ, como V ⊂ IX es denso, podemos utilizarel lema de factorizacion, y existe un subconjunto X0 ⊂ X numerable tal que:

p0(H) ∩ p0(T ) = φ

donde p0 : IX −→ IX0 es la proyeccion canonica a traves de la cual factorizala funcion g. Llamamos hα = p0(fα), H0 = hα : α < w1 y T0 = thα +(1− t)hβ : α, β < w1, α 6= β. Claramente H0 = p0(H) y T0 = p0(T ) y, porlo anterior, H0 ∩ T0 = φ. Por el lema 6.1.24, H0 es un subconjunto cerrado,discreto y no-numerable de p0(V ) y esto contradice el hecho de que p0(V ) esun espacio metrico y separable.

Teorema de Reznichenko. Haremos la prueba para (X,w), que es la demos-tracion de 5.2.21 y la respuesta al problema 5.2.4. Sea X un espacio deBanach con (X,w) normal, probaremos que e(X) ≤ ℵ0. Para ello utili-zaremos el resultado anterior. Veamos que (X,w) ⊂ RH es denso, dondeH ⊂ X∗ es una base algebraica. Considero un elemento (xh)h∈H ⊂ RH , yun entorno para ese elemento W = (yh)h∈H : |yhi

− xhi| < εi; i = 1, . . . , p

Fijamos entonces los elementos de H, h1, . . . , hp. Y definimos el funcionalf : spanh1, . . . , hp −→ R dado por f(hi) = xhi

. Dicho funcional es lineal yw∗−continuo en spanh1, . . . , hp que es w∗−cerrado, utilizando el teoremade Hahn-Banach lo extiendo a un funcional w∗−continuo en X∗, de lo quese concluye que f ∈ X y se obtiene la densidad.

Si K es un subconjunto compacto y convexo de un e.v.l.c. E[τ ] y ext(K)tiene una base numerable, entonces K tambien tiene una base numerable([Co2]; ver tambien [Ha]). Mas recientemente Reznicenko, ver [Re2], des-arrollo una interesante tecnica topologica para trabajar con conjuntos con-vexos compactos. En particular, aplico esta tecnica para obtener una pruebapuramente topologica de la siguiente generalizacion del resultado anterior.


Teorema 5.2.10. Si K es un subconjunto compacto y convexo del e.v.l.c.E[τ ] y ext(K) es Lindelof, entonces:

w(K) = w(ext(K))

Reznicenko se hizo la pregunta natural de si el resultado anterior siguesiendo cierto sin la hipotesis de que ext(K) fuese Lindelof. Mencionamostambien el siguiente problema abierto.

Problema 5.2.11. Los espacios compactos convexos perfectamente norma-les, son metrizables?

Se desconocen resultados consistentes acerca de este problema. Comolos espacios compactos convexos son conexos por arcos y localmente conexospor arcos, cualquier contraejemplo de 5.2.11 serıa un contraejemplo para lasiguiente pregunta formulada por Rudin; Los espacios compactos, localmenteconexos y perfectamente normales, son metrizables?. Para mas informacionsobre esta ultima pregunta leer [G2].

5.3 Otras propiedades topologicas y geometricas

Es tambien digna de mencion la siguiente caracterizacion de espacios compac-tos que tienen subespacios densos completamente metrizables, en terminosde espacios de Banach del tipo C(K), la prueba puede verse en [St].

Teorema 5.3.1. Para un espacio topologico compacto K, son equivalentes:

(i) K tiene un subespacio denso completamente metrizable.

(ii) El espacio de Banach (C(K), ‖ ‖∞) tiene un Gδ denso F tal que cadafuncion f ∈ F alcanza un maximo sobre un unico punto de K.

Dados dos espacios topologicos X, Y , se dice que Y es una compactifica-cion de X si Y es compacto y X ⊂ Y es subespacio topologico. Un espaciotopologico X de Tychonov se dice que es Cech-completo si es un Gδ densode alguna compactificacion suya Hausdorff.Un espacio X es Namioka si, para cualquier Y espacio compacto, Z espaciometrico y f : X × Y −→ Z aplicacion separadamente continua, existe un Gδ

denso, D ⊂ X, tal que:

f |D×Y : D × Y −→ Z es continua

Otras propiedades topologicas y geometricas 117

Namioka [1974] probo que cada espacio Cech-completo es Namioka (por su-puesto, no utilizo esta terminologıa). Saint Raymond, [Sa] probo que cadaespacio de Namioka tiene la propiedad de Baire. Tambien establecio quecada espacio metrico con la propiedad de Baire es un espacio de Namio-ka. El primer resultado de Saint Raymond justifica la definicion de espaciode co-Namioka. Talagrand, [T3], probo que cada compacto de Eberlein esco-Namioka, y mas tarde Debs ([D]) extendio el resultado a compactos deCorson. Talagrand, [T3], dio un contraejemplo de un espacio topologicocompacto que no es co-Namioka y ademas busco una caracterizacion para es-pacios co-Namioka. Mas tarde Deville, [De], probo que βN no es un espaciode co-Namioka. Bouziad descubrio que la imagen continua de un co-Namiokasigue siendo co-Namioka y que el producto cartesiano de co-Namioka siguesiendo co-Namioka. Un espacio topologico compacto K se dice diadico sies imagen continua de un cubo de Cantor generalizado DΓ, entonces se tie-ne que los espacios diadicos son co-Namioka [Bo]. Ademas demostro quesi K es compacto de Valdivia, entonces para cada compacto co-Namioka Hse tiene que K × H es compacto co-Namioka, [Bo2]. Ademas si X es unconjunto, se dice que x es un punto de acumulacion de X si x ∈ X \ x,tambien se define el conjunto derivado de X, X ′, es decir, el conjunto de lospuntos de acumulacion de X, tambien X (2) es el segundo conjunto derivado,X(2) = (X ′)′,... y X (α) es el α-esimo conjunto derivado. Deville, [De], proboque todos los ordinales compactos son co-Namioka, tambien lo son los com-pactos dispersos X con X (w1) = φ. La pregunta de Deville sobre si todos loscompactos dispersos son co-Namioka fue resuelta negativamente por Haydon,[Ha2], quien construyo un compacto disperso X tal que X (w1) era un unicopunto y X no era co-Namioka. En particular, esto prueba que los compactosRadon-Nikodym no son, en general, espacios co-Namioka. Estudiemos aho-ra la conexion entre fragmentabilidad y la propiedad co-Namioka, a travesdel espacio de Banach asociado C(K). Recordemos que todo compacto deEberlein tiene una network σ−aislada. En el contexto de los espacios deBanach se dice que un espacio de Banach es descriptivo si tiene una networkpara la topologıa de la norma que es σ−aislada para la topologıa debil. Estaclase de espacios son ampliamente estudiados en el artıculo de Hansell [H].Recordando las definiciones dadas en el capıtulo 4 se tienen las siguientesimplicaciones:

sJNR⇔< LUR >⇒< Kadec >⇒ Descriptivo⇔ JNR

Hansell prueba en [H] que si un espacio de Banach X es descriptivo, entonces


(X,w) es Cech analıtico. Antes de dar la definicion de espacio topologicoCech analıtico, veamos el concepto de esquema de Souslin. Un subconjuntoA de un espacio X se dice que es un esquema de Souslin si existe una coleccionde subconjuntos S(σ|n) : σ ∈ N

∧ n ∈ N ⊂ P(X) verificando que

A =⋃

σ∈

∩n∈ S(σ|n)

Esta situacion aparece, por ejemplo, para cualquier espacio X que seaK−analıtico viendolo como subconjunto de su compactificacion de Stone-Cech y con conjuntos S(σ|n) cerrados. Un subconjunto A de un espaciotopologico X se dice que es boreliano si pertenece a la Σ−algebra generadapor los subconjuntos abiertos (o cerrados) de X. Un espacio topologico sedice que es Cech analıtico si se puede obtener como esquema de Souslin conconjuntos borelianos en su compactificacion. Un espacio topologico X se diceσ−fragmentable respecto a una metrica d si dado ε > 0 puedo descomponerX =

⋃∞n=1Xn,ε tal que ∀C 6= φ, C ⊂ Xn,ε existe un abierto W tal que

W ∩ C 6= φ y diamd(W ∩ C) < ε. Jayne, Namioka y Rogers probaron quecualquier espacio de Banach X Cech analıtico para su topologıa debil, estambien σ−fragmentable con respecto a esta topologıa y la metrica dadapor la norma. Con relacion a esto podemos afirmar que no se conoce ningunespacio de Banach σ−fragmentable sin una norma equivalente Kadec. MatıasRaja probo que un espacio de Banach X tiene la JNR si y solo si existe unafuncion F : X −→ R+ homogenea, inferiormente semicontinua (respecto ala topologıa debil) y simetrica tal que ‖ ‖≤ F ≤ M · ‖ ‖ para algunaconstante M > 0 tal que sobre la pseudoesfera S = x ∈ X : F (x) = 1coinciden la topologıa debil y la topologıa dada por la norma. No se sabe sidicha funcion verifica la desigualdad triangular o es equivalente a otra con lasmismas propiedades y que sı que cumpla la desigualdad triangular. Existenejemplos de espacios C(K) con norma Kadec y sin norma equivalente LUR,en casos en que K es del tipo arbol [Ha3] o K es del tipo compacto totalmenteordenado [Ha-J-N-R]. Se cumple que si un espacio Cp(K) es σ−fragmentable,entonces K es co-Namioka.Hay una estrecha relacion entre la diferenciabilidad de una norma en unespacio de Banach y el ser debil compactamente generado.

Definicion 5.3.2. Sea f una funcion a valores reales sobre un espacio deBanach X. Se dice que f es:


(i) diferenciable Gateaux en x ∈ X si existe lx ∈ X∗ tal que

limt→0

f(x+ th)− f(x)

t= lx(h) ∀h ∈ X

(ii) uniformemente diferenciable Gateaux en x ∈ SX si

limt→0

suph∈SX

(f(h+ tx)− f(h)

t− lh(x)) = 0

Se cumple que si un espacio de Banach es debil compactamente generadoentonces existe una norma equivalente diferenciable Gateaux. J. Lindens-trauss se pregunto si la diferenciabilidad de la norma de un espacio de Bana-ch X implica que algun espacio que contenga a X sea debil compactamentegenerado. El mismo se dio la respuesta, siendo esta negativa. Sin embargo sıes cierto para los espacios que tienen una norma equivalente uniformementediferenciable Gateaux, seguimos ahora el reciente trabajo de [FGHZ].

Definicion 5.3.3. Decimos que un espacio de Banach X esta generado porotro espacio de Banach Y (o que X es Y -generado) si existe un operadorlineal y acotado T : Y :−→ X cuya imagen es densa en X. Si P es unapropiedad de los espacios de Banach, decimos que X es P-generado si existeun espacio de Banach Y con la propiedad P tal que X es Y -generado.

Atendiendo a la definicion anterior se observa que el espacio de Banach Xes debil compactamente generado si y solo si es reflexivo-generado. Ademas siun espacio de BanachX esta contenido en otro espacio de Banach que es debilcompactamente generado, entonces X es K−analıtico y no necesariamentedebil compactamente generado.En el estudio de los compactos de Eberlein uniformes la nocion de espacioreflexivo-generado se transforma en Hilbert-generado. Veamos que relacionhay entre estos espacios y los espacios contenidos en algun espacio Hilbert-generado. Hay un ejemplo de Rosenthal de un espacio que no es Hilbert-generado pero si es subespacio de un Hilbert-generado, ver [R]. Se cumple queun espacio de Banach X es un subespacio de un espacio Hilbert-generado si ysolo si admite una norma equivalente uniformemente diferenciable Gateaux.En la afirmacion anterior el termino de subespacio no puede ser suprimido,aunque para cualquier compacto K, el espacio de Banach C(K) es Hilbert-generado si y solo si admite una norma equivalente uniformemente Gateauxdiferenciable. Se observa que entre el concepto de Hilbert-generado y ser un


subespacio de un Hilbert-generado hay cuatro conceptos mas distintos, estosforman el resultado principal de [FGHZ].

Teorema 5.3.4. Para un espacio de Banach X consideramos las siguientesafirmaciones:

(i) X es Hilbert-generado.

(ii) X es superreflexivo-generado.

(iii) X esta generador por la suma l2 de espacios superreflexivos.

(iv) X admite una norma equivalente fuertemente uniformemente diferencia-ble Gateaux.

(v) X es debil compactamente generado y admite una norma equivalente uni-formemente diferenciable Gateaux.

(vi) X es un subespacio de un espacio Hilbert-generado.Entonces (i)⇒ (ii)⇒ (iii)⇒ (iv)⇒ (v)⇒ (vi).Ademas dichas implicaciones no son, en general, reversibles.

La condicion (vi) del resultado anterior es equivalente a que (BX∗, w∗) esun compacto de Eberlein uniforme. La condicion (v) es equivalente a queexiste un operador T : X∗ −→ (c0(Γ), w) lineal, inyectivo y continuo tal queT ((BX∗, w∗)) es un compacto de Eberlein uniforme.Veamos las definiciones correspondientes a los espacios que hay entre losHilbert-generados y los subespacios de los Hilbert-generados.

Definicion 5.3.5. Sean X e Y espacios de Banach. Decimos que Y estafinitamente representado en X si para cada subespacio F ⊂ Y de dimensionfinita y cada ε > 0 existe un operador lineal e inyectivo T : F −→ X tal que‖ T ‖ ‖ T−1 ‖< 1 + ε.

Definicion 5.3.6. Un espacio de Banach X se dice superreflexivo si cadaespacio de Banach finitamente representable en X es reflexivo.

Se cumple que una norma ‖ ‖ es uniformemente diferenciable Gateauxsi, para cada h ∈ X

sup‖ x+ th ‖ + ‖ x− th ‖ −2; x ∈ SX = o(t) cuando t→ 0

En esta expresion el comportamiento asintotico del supremo depende solode h, y esta condicion no puede ser evitar a menos X sea superreflexivo.Sin embargo, en ocasiones ocurre que esta expresion es uniforme sobre unsubconjunto denso y acotado. Esto motiva la siguiente definicion.


Definicion 5.3.7. Sea M ⊂ X acotado. Decimos que la norma ‖ ‖ esM−uniformemente diferenciable Gateaux si

ρM(t) := sup‖ x+th ‖ + ‖ x−th ‖ −2; x ∈ SX , h ∈M = o(t) cuando t→ 0

Decimos que la norma ‖ ‖ es fuertemente uniformemente diferenciable Ga-teaux si es M−uniformemente diferenciable Gateaux para algun subconjuntoM ⊂ X acotado y denso.

Considerando el concepto de fuertemente uniformemente diferenciableGateaux llegamos a la escala de propiedades distintas entre ser Hilbert-generado y ser subespacio de un Hilbert-generado.

Apendice A

A.1 A modo de ejemplo

En este apendice estudiamos principalmente dos resultados, el teorema deJosefson-Nissenzweig y el teorema de J. Hagler y W.B Johnson. Ya comen-tamos en primer capıtulo que si el espacio de Banach X es de dimensioninfinita, la topologıa asociada a la norma y la topologıa debil∗ en X∗ no coin-ciden. El teorema de Josefson-Nissenzweig afirma ademas que ni siquiera lassucesiones convergen a la vez en ambas topologıas.Por el teorema de Alaoglu la bola (BX∗, w

∗) es compacta, pero en general noes sucesionalmente compacta, como pone de manifiesto el ejemplo 2.2.3. Elteorema de Hagler y Johnson nos da una condicion suficiente para que seasucesionalmente compacta.Para las pruebas seguiremos [D1], haremos la prueba propuesta por J. Haglery W.B. Johnson. Comenzamos estudiando que espacios de Banach contienenuna copia isomorfa de l1.

Definicion A.1.1. Una sucesion (xn)n∈ ⊂ X se dice que es equivalente a

la base de vectores unitarios de l1 si existen α, β ∈ R+ tales que:

α

n∑

i=1

|λi| ≤‖n∑

i=1

λixi ‖≤ β

n∑

i=1

|λi|

para cualesquiera escalares λ1, . . . , λn y para cualquier n ∈ N.

El hecho de que un espacio de Banach X tenga una sucesion equivalentea la base de vectores unitarios de l1, es lo mismo que decir que contiene unacopia isomorfa de l1.

123

124 Apendice A

Definicion A.1.2. Fijado un conjunto Ω, decimos que la sucesion (Ωn)n∈

de subconjuntos de Ω es un arbol de subconjuntos de Ω si, para cada n ∈ N,los subconjuntos de Ωn, Ω2n y Ω2n+1 son disjuntos.

Graficamente se puede ver:

Ω1

Ω2

XXXXXX Ω3

Ω4

QQ Ω5

""

Ω6

QQΩ7

Donde los conjuntos que estan en la misma fila son disjuntos y cada conjuntoda lugar a otros dos subconjuntos suyos en la fila inmediatamente inferior,es decir, Ωi da lugar a Ω2i y Ω2i+1 que son, a su vez, disjuntos.

Proposicion A.1.3. Sea Ω un conjunto, (Ωn) un arbol de subconjuntos deΩ, B ⊂ l∞(Ω) acotado y δ > 0. Supongamos que tenemos una sucesion,(bn) ⊂ B, tal que cuando 2n−1 ≤ k < 2n entonces (−1)kbn(w) ≥ δ paratodo w ∈ Ωk. Entonces se tiene que (bn) es equivalente a la base de vectoresunitarios de l1 para l∞(Ω).

Demostracion. Fijamos λ1, ..., λn ∈ R, claramente se tiene que:

‖n∑

j=1

λjbj ‖∞≤ supb∈B

‖ b ‖∞n∑

j=1

|λj|

No es restrictivo suponer que λ1 < 0, entonces se tiene que λ1

|λ1|b1(w) =

(−1)b1(w) ≥ δ, por lo que λ1b1(w) ≥ |λ1|δ para todo w ∈ Ω1.Los valores que alcanza λ2b2 sobre Ω2 y los que alcanza sobre Ω3 son opuestosy en ambos conjuntos |λ2b2| ≥ |λ2|δ. Por lo tanto en alguno de ellos se cumpleque

λ1b1 + λ2b2 ≥ δ(|λ1|+ |λ2|)En el conjunto Ωi donde estamos, en una parte λ3b3 toma valores positivos yen otra toma valores negativos (Ωi da lugar a Ω2i y Ω2i+1). Pero en cualquierade ellos se tiene que |λ3b3| ≥ |λ3|δ. En el conjunto donde λ3b3 es positivo, setiene que

λ1b1 + λ2b2 + λ3b3 ≥ δ(|λ1|+ |λ2|+ |λ3|)

A modo de ejemplo 125

si continuamos este argumento llegamos a que, para la sucesion (bn) se cum-ple:

δn∑

j=1

|λj| ≤‖n∑

j=1

λjbj ‖∞≤ supb∈B

‖ b ‖∞n∑

j=1

|λj|

como conclusion se tiene que (bn) es una sucesion equivalente a la base devectores unitarios de l1.

A las sucesiones del tipo del enunciado anterior se les denomina sucesionesde tipo Rademacher.Las sucesiones acotadas (xn) equivalentes a la base de vectores unitarios de l1estan en un espacio de Banach X, sin embargo los criterios que utilizaremospara comprobar si una sucesion es o no equivalente a dicha base se enuncianpara sucesiones acotadas (bn) ⊂ l∞(Ω) para Ω un conjunto arbitrario. Paraligar ambas situaciones, consideramos la aplicacion:

Φ : X −→ l∞(BX∗)

dada por Φ(x) = (x(x∗))x∗∈BX∗que es una inmersion isometrica, entonces

podemos identificar la sucesion acotada (xn) ⊂ X con la sucesion acotada(Φ(xn)) ⊂ l∞(BX∗).

Definicion A.1.4. Se dice que la sucesion (xn) del espacio de Banach X esdebil de Cauchy si para cada x∗ ∈ X∗ se tiene que (x∗(xn))n ⊂ R converge.

El siguiente resultado relaciona el concepto de sucesion equivalente a labase de vectores unitarios de l1 y el de sucesion debil de Cauchy. Nos serade utilidad mas adelante y su prueba viene como conclusion del capıtulo 11de [D1].

Teorema A.1.5 (Rosenthal). Toda sucesion acotada en un espacio de Ba-nach X contiene una subsucesion debil de Cauchy si y solo si X no contieneninguna copia isomorfa de l1.

Para probar el teorema de Josefson y Nissenzweig necesitamos el siguientelema relacionado con los espacios de Banach que tienen una copia de l1.Recordemos que una sucesion (x∗n) ⊂ X∗ se dice que es debil∗-nula si convergepuntualmente a cero sobre elementos de X.

Lema A.1.6. Supongamos que X∗ contiene una copia (isomorfa) de l1 yademas ninguna sucesion debil∗-nula es equivalente a la base de vectores uni-tarios de l1. Entonces X contiene una copia de l1.

126 Apendice A

Demostracion. Como X∗ contiene una copia (isomorfa) de l1, podemos consi-derar una sucesion (y∗n) ⊂ BX∗ equivalente a la sucesion de vectores unitariosde l1. Definimos:

δ(y∗n) = sup‖x‖=1

lim supn

|y∗n(x)|

que δ(y∗n) > α significa que para algun x ∈ SX , el valor de |y∗n(x)| exceda deα para una cantidad infinita de valores de n. Por nuestra hipotesis, se tieneque δ(y∗n) > 0. Ademas podemos construir otra sucesion (z∗n), donde:

z∗n =∑

i∈An

λiy∗i para cada n ∈ N

donde (An) es una sucesion de subconjuntos finitos y disjuntos de N tal que∑

i∈An|λi| = 1 para cada n ∈ N. A la sucesion construida se le denomina

cubo de l1 normalizado para (y∗n). La sucesion (z∗n) es tambien equivalente ala base de vectores unitarios de l1 y se cumple:

0 < δ(z∗n) ≤ δ(y∗n)

Para la sucesion del principio podemos tambien definir:

ε(y∗n) = infδ(z∗n) : (z∗n) es un cubo de l1 normalizado para (y∗n)

y obtenemos que:ε(y∗n) ≤ ε(z∗n)

Para continuar probaremos la siguiente observacion:

Observacion A.1.7. Si (v∗n) es una sucesion en BX∗ equivalente a la basede vectores unitarios de l1, entonces podemos encontrar un cubo de l1 nor-malizado (y∗n) para (v∗n) tal que:

δ(y∗n) = δ(z∗n)

para cada cubo de l1 normalizado (z∗n) para (y∗n).

Demostracion de la observacion. De hecho, por la definicion de ınfimo, po-demos encontrar un cubo de l1 normalizado (y∗n,1) para (v∗n) tal que:

δ(y∗n,1) ≤3

2ε(v∗n)


De igual manera, podemos encontrar un cubo de l1 normalizado (y∗n,2) para(y∗n,1) tal que:

δ(y∗n,2) ≤5

4ε(y∗n,1)

Podemos definir la sucesion (y∗n) dada por y∗n = y∗n,n. Entonces (y∗n) es uncubo de l1 normalizado para (v∗n), y se cumple:

δ(y∗n) ≤ δ(y∗n,k) y ε(y∗n,k) ≤ ε(y∗n) para cada k ∈ N

Por tanto podemos afirmar que:

δ(y∗n) ≤ lim infk

δ(y∗n,k) ≤ lim infk

ε(y∗n,k) ≤ ε(y∗n) ≤ δ(y∗n)

y la observacion queda probada.

En lo que queda de demostracion, vamos a considerar la sucesion (y∗n)de la observacion anterior, ademas δ = ε(y∗n) = δ(y∗n), y construiremos unasucesion (xn) ⊂ X que este en las hipotesis de la proposicion A.1.3.Fijado ε > 0, existe un x1 ∈ SX y un subconjunto infinito N1 ⊂ N, tal quepara cada n ∈ N1:

y∗n(x1) < −δ + ε

Consideramos 0 < ε′ < ε3

y dividimos N1 en dos subconjuntos infinitos ydisjuntos enumerados por sucesiones crecientes (mk) y (nk) de enteros posi-tivos. La sucesion ( 1

2(y∗nk− y∗mk

))k es un cubo de l1 normalizado para (y∗n);por tanto existe un punto x2 ∈ SX y un conjunto infinito de valores de k ∈ N

para los que:1

2(y∗nk− y∗mk

)(x2) > δ − ε′

Tambien se tiene que (y∗nk) e (y∗mk

) son tambien cubos de l1 normalizadospara (y∗n), de manera que para todos salvo una cantidad finita de valores dek se tiene:

|y∗nk(x2)|, |y∗mk

(x2)| < δ + ε′

se sigue que para los valores de k que cumplen las dos desigualdades anterioresa la vez (y hay una cantidad infinita de ellos) tenemos:

y∗nk(x2) > δ − 3ε′ y y∗mk

(x2) < −δ + 3ε′

128 Apendice A

Veamos la primera desigualdad (la segunda se prueba igual). Supongamosque k satisface:

1

2(y∗nk− y∗mk

)(x2) > δ − ε′, |y∗nk(x2)|, |y∗mk

(x2)| < δ + ε′

peroy∗nk

(x2) < δ − 3ε′

entonces podrıamos escribir:

δ − ε′ < 1

2(y∗nk− y∗mk

)(x2) =1

2(y∗nk

(x2)− y∗mk(x2)) <

<1

2(δ − 3ε′ + δ + ε′) = δ − ε′

lo cual es absurdo.Teniendo en cuenta que ε′ < ε

3podemos ver que los subconjuntos de N1:

N2 = nk : y∗nk(x2) > δ − ε

N3 = mk : y∗mk(x2) < −δ + ε

son disjuntos. Consideramos ahora 0 < ε′ < ε7, entonces podemos descompo-

ner N2 en dos subconjuntos disjuntos e infinitos que enumero como sucesio-nes crecientes de enteros positivos (nk(1)) y (nk(2)). De manera analogadescompongo N3 en sucesiones (mk(1)) y (mk(2)). Entonces la sucesion(1

4(y∗nk(1) − y∗nk(2) + y∗mk(1) − y∗mk(2))) es un cubo de l1 normalizado para (y∗n).

Por lo tanto existe un punto x3 ∈ SX tal que para una cantidad de valoresde k, se tiene:

1

4(y∗nk(1) − y∗nk(2) + y∗mk(1) − y∗mk(2))(x3) > δ − ε′

Por supuesto las sucesiones (y∗nk(1)), (y∗nk(2)), (y∗mk(1)) y (y∗mk(2)) son cubos de

l1 normalizados para (y∗n), y por tanto para todos salvo para una cantidadfinita de k se tiene:

|y∗nk(1)(x3)|, |y∗nk(2)(x3)|, |y∗mk(1)(x3)|, |y∗mk(2)(x3)| < δ + ε′

Seguimos con aquellos valores de k para los cuales se satisfacen las cuatrodesigualdades anteriores a la vez (de nuevo hay una cantidad infinita), y paraestos se cumplen:

y∗nk(1)(x3), y∗mk(1)(x3) > δ − 7ε′


y∗nk(2)(x3), y∗mk(2)(x3) < −δ + 7ε′

Igual que antes establecemos la primera desigualdad; las siguientes son igua-les. Supongamos que tenemos k tal que:

1

4(y∗nk(1) − y∗nk(2) + y∗mk(1) − y∗mk(2))(x3) > δ − ε′,

|y∗nk(1)(x3)|, |y∗nk(2)(x3)|, |y∗mk(1)(x3)|, |y∗mk(2)(x3)| < δ + ε′,

peroy∗nk(1)(x3) < δ − 7ε′

Entonces:

δ − ε′ < 1

4(y∗nk(1) − y∗nk(2) + y∗mk(1) − y∗mk(2))(x3) <

<1

4(δ − 7ε′ + δ + ε′ + δ + ε′ + δ + ε′) = δ − ε′

lo cual es una contradiccion. Teniendo en cuenta la eleccion ε′ < ε7, tenemos

los subconjuntos de N2:

N4 = nk(1) : y∗nk(1)(x3) > δ − ε

N5 = nk(2) : y∗nk(2)(x3) < −δ + εque son disjuntos e infinitos, y los subconjuntos de N3:

N6 = mk(1) : y∗mk(1)(x3) > δ − ε

N7 = mk(2) : y∗mk(2)(x3) < −δ + εque son disjuntos e infinitos. La continuacion del procedimiento es clara.Podemos entonces definir los subconjuntos de BX∗:

Ωn = y∗k : k ∈ Nn

y obtenemos un arbol de subconjuntos de BX∗ . Ademas , la sucesion obtenida(xn) ⊂ SX cumple que si 2n−1 ≤ k < 2n, entonces (−1)kxn(y∗) ≥ δ − ε, paracada y∗ ∈ Ωk. Hemos obtenido entonces una sucesion tipo Rademacher.Utilizando la proposicion A.1.3, se tiene que (xn) es equivalente a la base devectores unitarios de l1, es decir, X contiene una copia isomorfa de l1.

130 Apendice A

Se define la sucesion de funciones de Rademacher como (rn) donde cadafuncion esta definida en [0, 1] y toma sus valores en [−1, 1] de la siguientemanera:r1 es la funcion constante 1; r2 es 1 en [0, 1

2) y −1 en [1

2, 1]; r3 es 1 en [0, 1

4),

y [12, 3

4) pero es −1 en [ 1

4, 1

2) y en [3

4, 1]; y ası sucesivamente.

Teorema A.1.8 (Josefson-Nissenzweig). Sea X un espacio de Banachde dimension infinita, entonces existe una sucesion debil∗-nula de vectoresunitarios de X∗.

Demostracion. Hagamos primero la prueba para un espacio de Banach realX. Supongamos que en X∗ las sucesiones debil∗-nulas son norma nulas. En-tonces puede ocurrir que X∗ contenga una copia isomorfa de l1 o que no lacontenga. En caso negativo, el teorema de Rosenthal afirma que cada suce-sion acotada en X∗ tiene una subsucesion debilmente de Cauchy, la cual pornuestra hipotesis, es norma convergente, por lo tanto X∗ es de dimensionfinita, por lo que X es de dimension finita y llegamos a un absurdo.Entonces llegamos a que X∗ contiene una copia isomorfa de l1, en este casoninguna sucesion debil∗-nula puede ser equivalente a la base de vectores uni-taria de l1, ya que las sucesiones debil∗-nula son norma-nulas. Por el lemaanterior, X contiene una copia isomorfa de l1. Vamos a utilizar esto paraconstruir una sucesion en X∗ que sea debil∗-nula pero que no sea norma-nula:Se observa que hay una correspondencia biunıvoca entre las sucesiones debil∗-nulas, (y∗n), de un espacio de Banach dual Y ∗ y los operadores lineales yacotados de Y en c0. Comprobemos la siguiente observacion:

Observacion A.1.9. Como l1 ⊂ X, la aplicacion inclusion de l1 en c0 seextiende de manera lineal y acotada a un operador T de X en c0.

Veamos porque podemos extender i : l1 −→ c0 al superespacio X. Pri-mero observamos el operador R : l1 −→ L∞[0, 1] dado por R(en) = rn,donde en es el n-esimo vector unitario y rn es la n-esima funcion de Rade-macher; R es un isomorfismo de l1 en su imagen. Consideramos el operadorL : L∞[0, 1] −→ c0 dada por L(f) =

∫ 1

0f(t)rn(t)dt, que es un operador lineal,

acotado y bien definido por la ortonormalidad de (rn). Mas aun,

i = L R

Utilizando el teorema de Kantorovich (teorema 1.1.4) y que L∞[0, 1] es unespacio de Riesz completo de Dedekind puedo extender R a un operador


lineal y acotado N de X en L∞[0, 1]. Consideramos L N = T .Una vez probado esto defino la sucesion buscada (x∗n) dada por x∗n(x) =Tn(x), para cada x ∈ X. Con esto llegamos a una contradiccion con lahipotesis inicial, por ello debe existir una sucesion (x′n) ⊂ X∗ debil∗−nula

que no es norma nula, definiendo xn = x′

n

‖x′n‖

obtenemos la sucesion deseada.Para el caso en que X es un Banach complejo, X es tambien un Banachreal, sea (x∗n) la sucesion debil∗-nula de funcionales lineales de norma 1 ydefinimos z∗n(x) = x∗n(x) − ix∗n(ix), entonces la sucesion (z∗n) es debil∗-nulapero no norma-nula.

Se sabe que si X∗ es separable, entonces X es separable, el recıproco noes cierto, basta considerar l1 y l∞. Sigamos ahora con el teorema de J. Haglery W.B. Johnson, que nos da mas contraejemplos para este recıproco. Paraello veamos antes un poco mas de notacion:Si A ⊂ X∗, entonces la envoltura convexa debil∗ cerrada se denotara porconv(A)

∗y el conjunto de los puntos de aglomeracion de A para la topologıa

debil∗ se denotara por Aa. Para una sucesion (x∗n)n∈ denotaremos cualquier

subsucesion, (x∗kn), por (x∗n)n∈M donde M = kn ⊂ N es una subsucesion.

Necesitamos ahora el siguiente:

Lema A.1.10. Consideramos una sucesion (x∗n) ⊂ BX∗ sin subsucesionesdebil∗ convergentes. Entonces para cualquier subsucesion M de N:

0 < δ(M) = supM0,M1,x

infy∗,z∗|y∗(x)− z∗(x)|

donde M0,M1 son subsucesiones de M , y∗ ∈ conv(((x∗n)n∈M0)a)

∗,

z∗ ∈ conv(((x∗n)n∈M1)a)

∗y x ∈ BX .

Demostracion. Consideramos la sucesion (x∗n) ⊂ BX∗ , entonces cada subsu-cesion (x∗n)n∈M debe tener al menos dos puntos de aglomeracion distintosy∗, z∗. Sean W (y∗), W (z∗) dos debil∗ entornos cerrados y disjuntos paray∗ y z∗ respectivamente. Para una cantidad infinita de valores de n tene-mos x∗n ∈ W (y∗), y para otra cantidad infinita de valores de n tenemosx∗n ∈ W (z∗). Denotemos el conjunto de los primeros n como M0 y el se-

gundo como M1. Entonces conv((x∗n)n∈M0)∗

y conv((x∗n)n∈M1)∗

son conjun-tos convexos disjuntos y debil∗ compactos, el primero contenido en W (y∗)

y el segundo en W (z∗). Como consecuencia se tiene que conv((x∗n)n∈M0)∗

y conv((x∗n)n∈M1)∗

pueden ser separados por ε para algun funcional debil∗

continuo y de norma uno para algun ε > 0.

132 Apendice A

Teorema A.1.11 (Hagler-Johnson). Si X∗ contiene una sucesion acotadasin subsucesiones debil∗ convergentes, entonces X contiene un subespacioseparable con dual no separable.

Demostracion. Sea F el conjunto de sucesiones finitas de 0 y 1 y φ ∈ F esla sucesion vacıa. Si ϕ, χ ∈ F , decimos que ϕ ≥ χ si ϕ es una sucesion conel mismo numero de elementos que χ o con alguno mas y, si los |χ| primeroselementos de ϕ coinciden con χ. Dado χ ∈ F , el miembro de F cuyos |χ|primero terminos coinciden con los de χ y cuyo siguiente termino es i (=0 o1) se denota por χi. Y denotamos por ∆ al conjunto de todas las sucesionesinfinitas de 0 y 1. Si ξ ∈ ∆, entonces podemos asociarle la sucesion (ξn) ⊂ Fdonde ξn esta formado por los n primeros elementos de ξ.Sea (x∗n) una sucesion de BX∗ que no tiene subsucesiones debil∗ convergen-tes. Por el lema anterior, existen subsucesiones N0, N1 ⊂ N y un elementoxφ ∈ BX tal que:

(y∗ − z∗)(xφ) ≥δ(N)

2

para cualquier y∗ ∈ conv(((x∗n)n∈N0)a)

∗, para z∗ ∈ conv(((x∗n)n∈N1)

a)∗. De

nuevo, por el lema anterior, existen subsucesiones N0,0 y N0,1 de N0 y sub-sucesiones N1,0 y N1,1 de N1 y elementos x0, x1 ∈ BX tal que:

(y∗ − z∗)(xi) ≥δ(Ni)

2

para cada y∗ ∈ conv(((x∗n)n∈Ni,0)a)

∗, para z∗ ∈ conv(((x∗n)n∈Ni,1

)a)∗. Conti-

nuando esta construccion, vemos que para cualquier ϕ ∈ F existe una sub-sucesion Nϕ de N de la que podemos extraer subsucesiones Nϕ,0, Nϕ,1 paralas que existe un xϕ ∈ BX tal que:

(y∗ − z∗)(xϕ) ≥ δ(Nϕ)

2

para cualquier y∗ ∈ conv(((x∗n)n∈Nϕ,0)a)

∗, para z∗ ∈ conv(((x∗n)n∈Nϕ,1)

a)∗.

Consideramos la siguiente:

Observacion A.1.12. Existe un ϕ0 ∈ F y un δ > 0 tal que para cada χ ≥ ϕ0

se tiene que δ(Nχ) ≥ δ.

Una vez probada la observacion, hemos acabado con la demostracion deeste teorema. De hecho, si la observacion es cierta, cambiando ındices, pode-mos asumir ϕ0 = φ de manera que, para cada ϕ ∈ F si y∗ ∈ conv(((x∗n)n∈Nϕ,0)

a)∗


y z∗ ∈ conv(((x∗n)n∈Nϕ,1)a)

∗, entonces:

(y∗ − z∗)(xϕ) ≥ δ

para algun xϕ ∈ BX . Como F es numerable, el espacio vectorial cerra-do generado por los xϕ (para ϕ ∈ F), X0, es separable. Por otro lado, sipara cada ξ ∈ ∆ consideramos la sucesin correspondiente (ξn) ⊂ F , en-tonces podemos encontrar un x∗ξ ∈ ∩∞j=0((x

∗n)Nϕj

)a; esto es consecuencia de

que ((x∗n)Nϕj)a es una sucesion decreciente de conjuntos debil∗ compactos no

vacıos. Ahora, si ξ y η son elementos distintos de ∆ con las correspondientessucesiones (ξn) y (ηn) de F , entonces a partir de algun j se tiene ξj 6= ηj;sea j0 = maxj; ηj = ξj y sea ϕ = ηj0 = ξj0, entonces x∗ξ ∈ ((x∗n)n∈Nϕ,0)

a yx∗η ∈ ((x∗n)n∈Nϕ,1)

a (o viceversa), y se cumple:

‖ x∗ξ − x∗η ‖X0≥ (x∗ξ − x∗η)(xϕ) ≥ δ,

y X∗0 es no separable por que ∆ es no numerable. Probemos entonces la

observacion:Si la observacion no fuera cierta, existirıa una sucesion de elementos de F :

ϕ1 ≤ ϕ2 ≤ .... ≤ ϕn ≤ ....

tal que para cada k ∈ N se tiene que

δ(Nϕk) <

1

k

Si elegimos una sucesion M ⊂ N tal que el n-esimo termino sea en n-esimotermino de Nϕn

, entonces la cola de M a partir del n-esimo elemento es unasubsucesion de Nϕn

, de lo que se sigue que δ(M) ≤ δ(Nϕn) < 1

npara cada

n ∈ N. Pero entonces se cumple que δ(M) = 0 lo que contradice el lemaanterior.

134 Apendice A

Bibliografıa

[A] K. Alster, Some remarks on Eberlein compact, Fund. Math. 104, 43-46,(1984).

[Arv] Alexander D. Arvanitakis, Some remarks on Radon Nikodym compactspaces. Preprint.

[A-P] K. Alster y R. Pol, On function spaces of compact subspaces de Σproducts of the real line, Fund. Math. 107,135-143 (1980).

[Am-L] D. Amir y J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets inBanach spaces, Ann. Math. (2), numero 88, paginas 35-46 (1968).

[Ar] A.V. Arkhangel’skii, Topological function spaces, Mathematics and itsapplications (Soviet series) vol 78, Kluwer academic publishers Dordre-cht Boston London (1992).

[Ar2] A.V. Arhangel’skii, General Topology II: Compactness, Homologies ofGeneral Spaces, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1996).

[Arg-Me-Ne] S. Argyros, S. Mercourakis, S. Negrepontis, Analytic propiertiesof Corson compact spaces, Proc. Fifth Prague Topological Symposium,12-23, Berlein Helderman (1982).

[B] Richard D. Bourgin, Geometric aspects of convex sets with the Radon-Nikodym property, Lectures notes in mathmatics volumen 993, Springer-Verlag (1983).

[Ba] D. P. Baturov, Some properties of the weak topology of Banach spaces,Moscow Univ. Math. Bull 45, n 6, 36-37, (1990).

[Ba-T] J. Bourgain y M. Talagrand, Compacite extremale, Proc. Amer.Math. Soc., 80, 68-70 (1980).

135

136 Bibliografıa

[Bo] Ahmed Bouziad, Une classe d’espaces co-Namioka, C.R. Acad.Sci. ParisSer. 1 Math. 310, n 11, 779-782 (1990).

[Bo2] Ahmed Bouziad, Notes sur la propiete de Namioka, Trans. Amer.Math. Soc. 344, n2, 873-883, (1994).

[Be-Ru-W] Y. Benyamini, M. E. Rudin y M. Wage, Continuous images ofweakly compact subsets of Banach spaces, Pacific J. Math. 70, 309-324,(1977).

[C] Donald L. Cohn, Measure theory, Cambridge: Birkhauser-Boston, Ja-nuary (1997).

[C-N-O] B. Cascales, I. Namioka y J. Orihuela, The Lindelof property inBanach spaces. Preprint.

[Ca-Go] B. Cascales y G. Godefroy, Angelicity and the boundary problem,Mathematika, 45, 105-112 (1998).

[Ca-Ma-Ve] B. Cascales, G. Manjabacas y G. Vera, A Krein-Smulian typeresult in Banach spaces, Oxford Quarterly Journal Math. (2), 48, 161-167 (1997).

[Co] H. H. Corson, The weak topology of Banach spaces, Trans. Amer. Math.Soc. 101, 1-15 (1961).

[Co2] H. H. Corson, Metrizability of compact convex sets, Trans. Amer.Math. Soc. 151, 589-596, (1970).

[C-L] H.H. Corson and J. Lindenstrauss, On weakly compact subsets of Ba-nach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 17, 407-412, (1966).

[D] G. Debs, Pointwise and uniform convergence on a Corson compact space,Topology and its Applications 23, 299-303, (1986).

[Da-Fi-J-Pe] J. Davis, T. Figiel, W.B. Johnson y A. Pelczynski, Factoringweakly compact operators, J. Funct. Ana. 17, 311-327 (1974).

[De] R. Deville, Pointwise and uniform convergence on a compact space, Bull.Polish Acad. Sci. Math. 37, 1989, n 7-12, 507-515 (1990).

Bibliografıa 137

[De-Go] R. Deville y G. Godefroy, some applications of proyective resolutionsof identity, Proc. London Math. Soc 67, 183-199, (1993).

[D1] Joseph Diestel, Sequences and series in Banach spaces, Graduate Textsin Mathematics, 92. Springer-Verlag New York-Berlin (1984).

[D2] Joseph Diestel, Vector measures, American mathematical society, Mat-hematical surveys numero 15 (1977).

[D3] Joseph Diestel, Geometry of Banach spaces, Lecture notes in mathema-tics volumen 485. Springer-Verlag, Berlin-New York (1975)

[D-Sw] Dunford y Schwartz, Linear Operator Part I, Wiley (1957).

[E] Ryszard Engelking, General topology, Polska akademia nauk, instytutmatematyczny, Monofrafic matematyczne Tom 60, Warszawa (1977).

[F] Klaus Floret, Weakly compact sets, Lecture notes in mathematics volu-men 801, Springler-Verlag (1978).

[Fa] M. Fabian, Differentiability of convex functions and topology-Weak As-plund spaces, John Wiley and Sons (1997).

[FGHZ] M. Fabian, G. Godefroy, P. Hajek y V. Zizler, Hilbert generatedspaces, preprint.

[G] Gary Gruenhage, A note on Gul’ko compact spaces, Proc. Amer. Math.Soc. 100, num. 2, 371-376, (1987).

[G2] Gary Gruenhage, Perfectly normal compacta, cosmic spaces, and somepartition problems, Opens problems in topology, 85-95, North-Holland,Amsterdam, (1990).

[G-M] N. Ghoussoub and B. Maurey, Hδ−embeddings in Hilbert space andoptemization on Gδ−sets, Mem. Amer. Math. Soc. 349, (1986).

[Go] G. Godefroy, Five lectures in geometry of Banach spaces, In seminaron Functional Analysis, 1987, Chapter 1, 9-67. Universidad de Murcia(1998).

[H] R. W. Hansell, Descriptive sets and the topology of nonseparable Banachspaces, preprint (1989).

138 Bibliografıa

[H-H-Z] Petr Habala, Petr Hajek y Vaclav Zizler, Introduction to Banachspaces, MATFYZPRESS, vydavatelstvi Matematicko-fyzikalni fakultyUniverzity Karlovy (1996).

[Ha] R. Haydon, An extreme point criterion for separability of a dual Banachspace, and a new proof of a theorem of Corson, Quart. J. Math. Oxford(2), N 107, 379-385, (1976).

[Ha2] R. Haydon, A counterexample to several questions about scattered com-pact spaces, Bull. London Math. Soc. 22, n 3, 261-268, (1990).

[Ha3] R. Haydon, Trees in renorming theory, Proc. London Math. Soc (3)78, n 3, 541-584, (1999).

[Ha-J-N-R] Haydon R, Jayne J, Namioka I, Rogers C A, Continuous func-tions on totally ordered spaces that are compact in their order topologies,J. Funct. Anal. 178, n 1, 23-63, (2000).

[J-N-R] J.E.Jayne, I. Namioka, C.A. Rogers, σ−Fragmentable Banach spa-ces, Mathematika 39, 161-188, 197-215, (1992).

[J-N-R2] J. E. Jayne, I. Namioka and C. A. Rogers, Norm fragmentedw∗−compact sets, in: Seminar on Functional Analisys 2, University ofMurcia, to appear.

[J-R] J. E. Jayne and C. A. Rogers, Borel selectors for upper semicontinuousset-valued maps, Acta Math. 155, n 1-2, 41-79, (1985).

[K] John L. Kelley, General topology, Springer-Verlag, New York HeidelbergBerlin (1955).

[K-T] D. Kutzarova y S. Troyanski, Reflexive Banach spaces without equiva-lent norms which uniformly convex or uniformly differentiable in everydirection, Studia Math. 72, 91-95, (1982).

[Ka] O.F.K. Kalenda, Valdivia compact spaces in topology and Banach spacestheory, Extracta mathematicae Vo. 15 Num 1, 1-85, (2000).

[Ka1] O.F.K. Kalenda, Continuous images and other topological propertiesof Valdivia compacta, Fund. Math. 162 (2), 181-192, (1999).

Bibliografıa 139

[Ka2] O.F.K. Kalenda Valdivia compacta and equivalent norms, StudiaMath. 138 (2), 179-191, (2000).

[Ka3] O.F.K. Kalenda Valdivia compacta and subspaces of C(K) spaces, Ex-tracta Math., preprint.

[Ka4] O.F.K. Kalenda A characterization of Valdivia compact spaces, Co-llectanea Math. 51 (1), 59-81, (2000).

[Ka5] O.F.K. Kalenda Valdivia compacta and biduals of Asplund spaces, inGeneral topology in Banach spaces, preprint.

[L] A.G. Leinderman, Everywhere dense metrizable subspaces of Cor-son compacta, Trans. from Mathematicheskie Zametki, 38-3, 440-449,(1985).

[Li] J. Lindenstrauss, Weakly compact sets-their topological properties andthe Banach spaces they generate, Ann. Math. Studies 69, Princeton Uni-versity Press 235-276 (1972).

[L-So] A.G. Leiderman, G.A. Sokolov, Adequate families of sets and Corsoncompacts, Com. Math. Univ. Caroline, 25-2, 233-246 (1984).

[M] W. Marciszewski, Lindelof property in function spaces and related selec-tion theorem, Proc. Amer. Soc. 101-1,233-246, (1984).

[Me] S. Mercourakis, On weakly countably determined Banach spaces, Trns.Amer. Math. Soc. 1,307-327 (1987).

[My] Peter Meyer-Niebeg, Banach Lattices, Springer-Verlag Berlin Heidel-berg (1991).

[N] Isaac Namioka, Eberlein and Radon-Nikodym compact spaces, Preprint.

[N2] Isaac Namioka, Radon-Nikodym compact spaces and fragmentability,Mathematika 34, 258-281, (1987).

[N3] Isaac Namioka, Separate continuity and joint continuity, Pac. J. Math.51, 515-531 (1974).

[Na] L.B. Nakhmanson, The Lindelof property and the tightness of a locallyconvex space, Math. Notes 47, n 5-6, 573-577, (1990).

140 Bibliografıa

[Ne] S. Negrepontis, Banach spaces and topology, Handbook of set theoretictopology. Elsevier Publ. (1984).

[O] Jose Orihuela, Conjuntos debilmente compactos, Publicaciones deAnalisis Matematico. Universidad Complutense de Madrid. Colloqium1986-87. Seccion 1, No 1.

[O-M-T] J. Orihuela, A. Molto y S. Troyanski, Locally uniformly rotund re-norming and fragmentability, Proc. London Math. Soc. (3) 75 619-640(1997).

[O-S-V] J. Orihuela, W. Schachermayer y M. Valdivia, Every Radon-Nikodym Corson compact space is Eberlein compact, Studia mathemati-ca 98, 2, (1991).

[On] L. Oncina, Descriptive Banach spaces and Eberlein compacta, Tesis doc-toral, Universidad de Murcia, (1999).

[On2] L. Oncina, The JNR property and the Borel structure of a Banachspace, Serdica Math. J. 26, 13-32, (2000).

[On3] L. Oncina, A new characterization of Eberlein compacta, Studia Math.146 (1), (2001).

[P] R. Pol, On pointwise and weak topology in function spaces, preprint 4/84,Warsaw University, (1984).

[Pr] J.D. Pryce, A device of J. Withley’s applied to pointwise compactness inspaces of continuous functions, Proc. London Math. Soc. (3) 23, 533-546,(1971).

[R] H.P.Rosenthal, The heredity problem for weakly compactly generated Ba-nach spaces, Compositio Math. 28, 83-111, (1974).

[Ra] M. Raja, Kadec norms and Borel sets in a Banach space, Studia Math.136, 1-16, (1999).

[Re] E. A. Reznichenko, Normality and collective normality of function spa-ces, Moscow Univ. Math. Bull. 45, n 6, 25-26, (1990).

[Re2] E. A. Reznichenko, Convex compact spaces and their maps, TopologyApl. 36, n2, 117-141, (1990).

Bibliografıa 141

[Ri] N. K. Ribarska, Internal characterization of fragmentable spaces, Mat-hematika, n 2, 243-257, (1987).

[S] S. Simons, A convergence theorem with boundary, Pacific J. Math, 40,703-708 (1972).

[Sa] J. Saint-Raymond, Topological games and Namioka spaces, Proc. Amer.Math. Soc. 87, n 3, 499-504, (1983).

[Sh] Dimitri B. Shakhmtov, Compact spaces and their generalizations, Re-cent progress in general topology (Prague 1991), 571-640, North-Holland, Amsterdam (1992).

[So] G.A. Sokolov, On some classes of compact spaces lying in Σ-products,Comment. Math. Univ. Caroline, 25-2,219-231, (1984).

[St] Ch. Stegall, The topology of certain spaces of measures , Preprint.

[St2] C. Stegall, The Radon-Nikodym property in conjugate Banach spaces,Trans. Amer. Math. Soc. 206, 213-223, (1975).

[St3] C. Stegall, More Gateaux differentiability spaces, Lecture Notes inMath. 1166, Springer, Berlin, (1985).

[T] M. Talagrand, Espaces de Banach faiblement K-analytiques , Ann. ofMath. 110,407-438 (1979).

[T2] M. Talagrand, A new countably determined Banach space, Israel J.Math. 47, 75-80, (1984).

[T3] M. Talagrand, Baire spaces and Namioka spaces, Math. Ann. 270, n 2,159-164, (1985).

[V] M. Valdivia, Resolutions of the identity in certain Banach spaces, Co-llect. Math. 104, 43-46, (1979).

[V1] M. Valdivia, Proyective resolutions of identity in C(K) spaces, Arch.Math. 54, 493-498, (1990).

[V2] M. Valdivia, Simultaneous resolutions of the identity operator in normedspaces, Colletc. Math. 42 (2), 265-284, (1991).

142 Bibliografıa

[Va] L. Vasak, On one generalization of weakly compactly generated Banachspaces, Studia Math. 70,11-19 (1980).

universidad de murcia departamento de matematicas · 2.4 otros ejemplos de conjuntos d ebilmen te...

Documents