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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN FÍSICO MATEMÁTICO

TÍTULO DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PRESENTADO:

LOS PRODUCTOS NOTABLES EN EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO.

PROPUESTA: GUÍA DIDÁCTICA CON ESTRATEGIAS ACTIVAS

AUTOR:

CHILAN CHOEZ DOUGLAS EDUARDO

TUTOR:

ING. TORRES GANGOTENA MARIO Msc.

Guayaquil, abril del 2019

ii

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA: LICENCIATURA EN FÍSICO MATEMÁTICO

DIRECTIVOS

Dr. Santiago Galindo Mosquera, MSc. Dr. Pedro Rizzo Bajaña, MSc.

DECANO VICE-DECANO

Lcdo. Jorge Encalada Noboa, MSc. Ab. Sebastián Cadena Alvarado

GESTOR(A) DE CARRERA SECRETARIO

vi

DEDICATORIA

Dedico este proyecto a mi familia, especialmente a mi madre, que con su

apoyo incondicional me dieron la motivación necesaria para alcanzar este

logro en mi vida, a mi novia por darme ánimos y fortaleza para culminar la

presente investigación.

Douglas Chilan Choez

vii

AGRADECIMIENTO

Agradezco a Dios Todopoderoso por regalarme el don de la sabiduría,

paciencia e inteligencia para poder realizar este proyecto, a mi familia por

el tiempo que no pude compartir con ellos por alcanzar esta meta de mi

vida profesional, a mi Tutor que contribuyo con sus conocimientos para

realizar este trabajo investigativo.

Douglas Chilan Choez

viii

ÍNDICE

PORTADA………………………………………………………………….……..I

DIRECTIVOS ............................................................................................. ii

AUTORIZACIÓN DE LA AUTORIA INTELECTUAL ... ¡Error! Marcador no

definido.

DEDICATORIA ......................................................................................... vi

AGRADECIMIENTO ................................................................................ vii

ÍNDICE ................................................................................................... viii

ÍNDICE DE CUADROS ............................................................................ xii

ÍNDICE DE GRÁFICOS .......................................................................... xiii

ÍNDICE DE IMÁGENES .......................................................................... xiv

ÍNDICE DE ANEXOS ............................................................................... xv

RESUMEN.............................................................................................. xvi

ABSTRACT ........................................................................................... xvii

Introducción ........................................................................................... xviii

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA

1.1. Planteamiento del Problema de Investigación ..................................1

1.1.1. Situación conflicto......................................................................3

1.2. Formulación del Problema ...............................................................5

1.3. Sistematización ................................................................................5

1.4. Objetivos de la Investigación............................................................5

1.4.1. Objetivo General........................................................................5

1.4.2. Objetivos Específicos ................................................................6

1.5. Justificación e Importancia ...............................................................6

1.6. Delimitación del Problema ...............................................................8

1.7. Premisas de la investigación ............................................................9

1.8. Operacionalización de las variables ...............................................10

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. Antecedentes de la investigación ...................................................12

2.2. Marco Teórico – Conceptual ..........................................................14

ix

2.2.1. Algebra ....................................................................................14

2.2.1.1. Importancia del álgebra .....................................................15

2.2.2. Productos Notables .................................................................16

2.2.2.1. Importancia de los productos notables ..............................17

2.2.2.2. Tipos de productos notables .............................................17

2.2.2.2.1. Binomio Elevado al cuadrado ........................................18

2.2.2.2.2. Productos de Binomios Conjugados o producto de la

suma por su diferencia. .....................................................................19

2.2.2.2.3. Producto de binomios con un término en común ...........21

2.2.2.2.4. Binomio elevado al cubo ................................................23

2.2.2.2.5. Trinomio elevado al cuadrado ........................................25

2.2.2.3. Errores comunes que presentan los estudiantes en el

desarrollo de los productos notables ....................................................26

2.2.3. Temas de la malla curricular del bachillerato que tienen relación

con los productos notables ...................................................................27

2.2.3.1. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita .............28

2.2.3.2. Operaciones con funciones de variable real ......................30

2.2.3.3. Funciones cuadráticas ......................................................31

2.2.3.4. Límites ..............................................................................33

2.2.3.5. Derivadas ..........................................................................34

2.2.4. Aprendizaje significativo ..........................................................36

2.2.4.1. Definición ..........................................................................36

2.2.4.2. Condiciones para alcanzar un aprendizaje significativo ....38

2.2.4.2.1. Actitud o predisposición del aprendiz .............................38

2.2.4.2.2. Material potencialmente significativo ..............................38

2.2.4.3. Características del aprendizaje significativo ......................39

2.2.4.4. Proceso para lograr un aprendizaje significativo ...............39

2.2.4.5. Tipos de aprendizaje significativo......................................40

2.2.4.5.1. Aprendizaje Representacional .......................................40

2.2.4.5.2. De conceptos .................................................................41

2.2.4.5.3. Aprendizaje de proposiciones ........................................41

2.2.5. Desarrollo del aprendizaje significativo en el ámbito educativo42

2.2.5.1. El aprendizaje significativo en el rendimiento académico ..42

2.2.5.2. Formas de aplicar el aprendizaje significativo en el aula ...43

x

2.2.6. Ventajas del Aprendizaje Significativo .....................................44

2.2.7. Fundamentación Filosófica ......................................................45

2.2.8. Fundamentación Epistemológica .............................................46

2.2.9. Fundamentación Pedagógica – Didáctica ................................47

2.2.10. Fundamentación Psicológica ................................................48

2.2.11. Fundamentación Sociológica ...............................................49

2.3. Marco Contextual ...........................................................................50

2.4. Marco Legal ...................................................................................51

2.4.1. Constitución Política de la República del Ecuador ...................51

2.4.2. Ley Orgánica de Educación Intercultural .................................52

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA

3.1. Diseño de la investigación ................................................................55

3.2. Modalidad de la investigación ...........................................................55

3.3. Tipos de investigación ......................................................................56

3.4. Métodos de investigación .................................................................56

3.5. Técnicas de investigación .................................................................57

3.6. Instrumentos de investigación ...........................................................57

3.7. Población y Muestra ........................................................................58

3.7.1. Población ....................................................................................58

3.7.2. Muestra ......................................................................................59

3.8. Análisis e interpretación de los resultados de la encuesta aplicada a

los estudiantes de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” .....................61

3.9. Análisis de la encuesta aplicada a los Docentes de Matemáticas de la

Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” ......................................................71

3.10. Análisis e interpretación de resultados de la entrevista aplicada al

Rector de la Unidad Educativa “Eloy Alfaro”. ...........................................81

3.11. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..................................83

3.11.1. Conclusiones: ...........................................................................83

3.11.2. Recomendaciones ....................................................................84

CAPÍTULO IV

PROPUESTA

4.1. Título de la Propuesta .......................................................................85

4.2. Justificación ......................................................................................85

xi

4.3. Objetivos de la propuesta .................................................................86

4.3.1. Objetivo General de la propuesta ...............................................86

4.3.2. Objetivos Específicos de la propuesta ........................................86

4.4. Aspectos Teóricos de la propuesta ...................................................86

4.4.1. Aspecto Pedagógico ...................................................................86

4.4.2. Aspecto Legal .............................................................................87

4.4. Factibilidad de su aplicación: ............................................................87

a. Factibilidad Técnica .......................................................................87

b. Factibilidad Financiera ...................................................................88

c. Factibilidad Humana ......................................................................88

4.5. Descripción de la Propuesta .............................................................88

4.6. Referencias Bibliográficas.................................................................98

ANEXOS ............................................................................................... 111

xii

ÍNDICE DE CUADROS

CUADRO No 1: Operacionalización de las variables ............................... 10

CUADRO No 2: Escala Likert .................................................................. 57

CUADRO No 3: Población de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” ... 58

CUADRO No 4: Muestra de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” ...... 59

CUADRO No 5: Pregunta 1 Encuesta dirigida a Estudiantes ................... 60





CUADRO No 10: Pregunta 6 Encuesta dirigida a Estudiantes ................. 65




CUADRO No 14: Pregunta 10 Encuesta dirigida a Estudiantes ............... 69

CUADRO No 15: Pregunta 1 Encuesta dirigida a Docentes .................... 70









CUADRO No 24: Pregunta 10 Encuesta dirigida a Docentes .................. 79

xiii

ÍNDICE DE GRÁFICOS

GRÁFICO No 1: Pregunta 1 Encuesta dirigida a estudiantes .................. 60









GRÁFICO No 10: Pregunta 10 Encuesta dirigida a estudiantes .............. 69

GRÁFICO No 11: Pregunta 1 Encuesta dirigida a docentes .................... 70









GRÁFICO No 20: Pregunta 10 Encuesta dirigida a docentes .................. 79

xiv

ÍNDICE DE IMÁGENES

IMAGEN No 1: Demostración Geométrica de (𝑎 + 𝑏)2 ............................ 19

IMAGEN No 2: Demostración Geométrica de (𝑎 − 𝑏)2 ............................ 19

IMAGEN No 3: Demostración Geométrica de (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) ................... 21

IMAGEN No 4: Demostración Geométrica de (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) ................... 22

IMAGEN No 5: Demostración Geométrica de (𝑎 + 𝑏)3 ............................ 24

IMAGEN No 6: Demostración Geométrica de (𝑎 − 𝑏)3 ............................ 24

IMAGEN No 7: Demostración Geométrica de (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 ...................... 26

IMAGEN No 8: Mapa de contenidos conceptuales de 1ro BGU ............... 28

IMAGEN No 9: Elementos de una función cuadrática .............................. 32

xv

ÍNDICE DE ANEXOS

ANEXO 1: Formato de evaluación de la Propuesta de Titulación .......... 112

ANEXO 2: Acuerdo de Plan de Tutoría .................................................. 113

ANEXO 3: Informe de avance de Gestión Tutorial ................................. 114

ANEXO 4: Informe de Tutoría ................................................................ 117

ANEXO 5: Rúbrica de evaluación de trabajo de titulación ..................... 118

ANEXO 6: Certificado de Porcentaje de Similitud .................................. 119

ANEXO 7: Rúbrica de evaluación de la memoria escrita Trabajo de

Titulación ............................................................................................... 120

ANEXO 8: Carta dirigida al plantel ......................................................... 121

ANEXO 9: Carta de autorización del Colegio ......................................... 122

ANEXO 10: Fotos de estudiantes aplicando la encuesta ....................... 123

ANEXO 11: Fotos de la aplicación a la entrevista al Rector ................... 124

ANEXO 12: Certificado de Practica Docentes ........................................ 125

ANEXO 13: Certificado de Vinculación con la Comunidad ..................... 126

ANEXO 14: Instrumentos de investigación ............................................ 127

ANEXO 15: Fotos de Tutorías ............................................................... 129

ANEXO 16: Ficha de registro de Tesis ................................................. 130

xvi

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

CARRERA: FÍSICO MATEMÁTICO

TÍTULO DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PRESENTADO LOS PRODUCTOS NOTABLES EN EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO

Autor: Douglas Eduardo Chilan Choez

Tutor: Ing. Mario Torres Gangotena MSc. Guayaquil, abril 2019

RESUMEN

El presente proyecto indaga acerca de la influencia que tienen los productos notables en el desarrollo de ejercicios de mayor complejidad, resalta la importancia que tiene el aprendizaje significativo para comprender y relacionar de mejor manera los conceptos algebraicos básicos con los productos notables para que sean aplicados en la resolución de los temas que se encuentra en la malla curricular del bachillerato. Permitió identificar que tan solo un número reducido de estudiantes pueden resolver por simple inspección los productos notables memorizando las reglas algebraicas, por lo cual se elaboró una guía didáctica con estrategias activas que estimule a los estudiantes a desarrollar los productos notables de manera interactiva. Palabras Claves: aprendizaje significativo, productos notables, guía

didáctica.

xvii

UNIVERSITY OF GUAYAQUIL FACULTY OF PHILOSOPHY, LETTERS AND EDUCATION SCIENCES

CAREER PHYSICS MATHEMATICS

TITLE OF RESEARCH WORK PRESENTED THE NOTABLE PRODUCTS IN SIGNIFICANT LEARNING

Author: Douglas Eduardo Chilan Choez

Advisor: Ing. Mario Torres Gangotena MSc. Guayaquil, april 2019

ABSTRACT

This project investigates the influence of notable products in the development of more complex exercises, highlights the importance of meaningful learning to better understand and relate the basic algebraic concepts with the notable products to be applied in the resolution of the topics found in the curriculum of the baccalaureate. It allowed to identify that only a small number of students can solve by simple inspection the remarkable products memorizing the algebraic rules, for which a didactic guide with active strategies was elaborated that stimulates the students to develop the remarkable products in an interactive way.

Keywords: meaningful learning, remarkable products, educational guide

xviii

Introducción

El dominio para resolver productos notables constituye un pilar

fundamental para abordar otros temas de mayor complejidad que se

encuentran en la malla curricular del bachillerato, pero la memorización

tradicional de los pasos para resolverlos hace que este tema no se aprenda

de forma significativa y no se considera que la aplicación de este método

tradicional solo es asimilado por un determinado número de estudiantes.

Esta problemática se detectó en los estudiantes del Primer Año de

Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”, los cuales

presentan un déficit al momento de identificar y desarrollar los diferentes

casos de los productos notables lo que les dificulta en gran manera

relacionarlos con otros temas en los que se vinculan directamente.

Por lo tanto, fue necesario elaborar una guía didáctica con

estrategias activas que sirva como material de apoyo para los docentes y

como medio de motivación para los estudiantes, la cual fomenta el

aprendizaje significativo fortaleciendo la memoria a largo plazo para que el

educando se sienta capacitado de resolver cualquier problema en los que

intervienen, simplificando el proceso de resolución. Esto contribuirá a

mejorar el rendimiento académico en la asignatura de matemáticas y

convertirá al estudiante en un ente activo del proceso educativo.

Este trabajo investigativo fue elaborado bajo la siguiente estructura:

Capítulo I: EL PROBLEMA: se detalla el planteamiento del problema de

manera macro y micro, la situación conflicto lo que nos permitió identificar

y formular el problema de investigación, así como los objetivos que

direccionan este proyecto, realizar la respectiva justificación y el cuadro de

operacionalización de las variables.

xix

Capítulo II: MARCO TEÓRICO: se realizó las respectivas

fundamentaciones conceptuales, contextuales, filosóficas, pedagógicas,

epistemológicas, psicológicas, sociales y legales para dar un sustento

estructural y lógico a las variables de estudio.

Capítulo III: METODOLOGÍA: se establece y detalla cómo se aplicará los

métodos, modalidades, tipos, técnicas e instrumentos de investigación que

se aplicarán para recolectar información y poder realizar las respectivas

conclusiones y recomendaciones de este trabajo investigativo.

Capítulo IV: PROPUESTA: comprende el desarrollo de la Propuesta de

investigación, Referencias Bibliográficas y los Anexos.

1

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA

1.1. Planteamiento del Problema de Investigación

Una de las grandes dificultades que presentan los estudiantes en el

proceso de aprendizaje del Álgebra es el dominio para identificar y

desarrollar productos notables, esto se evidenció en la encuesta aplicada a

los estudiantes del Primer Año de Bachillerato de la Unidad Educativa

Fiscal “Eloy Alfaro”. Para Cervantes (2013) los productos notables son

multiplicaciones algebraicas que se realizan aplicando reglas para

simplificar su proceso de resolución, y que por lo general el profesor sólo

se limita a inducir a los estudiantes a la memorización de dichas reglas, sin

realizar ninguna demostración objetiva que desarrolle en ellos la habilidad

de análisis y síntesis para que tengan más seguridad al momento de

desarrollarlos.

El Tercer Estudio Regional Comparativo y Explicativo (TERCE)

realizado por la UNESCO señala en su informe Aportes de la Enseñanza

de las Matemáticas (Flotts, y otros, 2016) que en los últimos años la

educación en América Latina y el Caribe ha tenido muchos avances, se ha

reducido los índices del analfabetismo y se ha mejorado la cobertura

escolar, pero sin embargo aún existe un bajo rendimiento académico en la

asignatura de matemáticas, esto a pesar de que en los currículos

educativos de los quince países participantes de este estudio tienen como

objetivo principal formar estudiantes que sean capaces de razonar,

analizar, interpretar y crear su propia información para solucionar

problemas de la vida cotidiana y contribuir al desarrollo del país,

entendiéndose como tal que la enseñanza de la matemática se debe

enfocar en un aprendizaje significativo. Este objetivo que predomina en los

currículos educativos de América Latina no se estaría cumpliendo a

2

cabalidad por parte de los docentes de matemáticas, ya que en la mayoría

de los casos aún aplican métodos y técnicas tradicionales que sólo incitan

a la memorización de reglas o algoritmos que deben ser repetidos

estrictamente.

“Las distintas orientaciones curriculares organizan los contenidos de

manera progresiva y fomentan el desarrollo de experiencias significativas

de aprendizaje que serán insumos para niveles superiores” (Aportes para

la enseñanza de las matemáticas, 2016, pág. 27), esta articulación de

contenidos en la malla curricular se evidencia claramente en la asignatura

de matemáticas, en donde por lo general para resolver un problema se

necesita conocimientos previos, el estudiante al no desarrollar la capacidad

de aprender significativamente se verá dificultado de poder avanzar con el

aprendizaje de nuevos temas.

En nuestro país el último informe presentado por el Instituto Nacional

de Evaluación (INEVAL) expresa que “en el ciclo 2016 - 2017 se obtuvo un

promedio general de 7.52 en la Prueba Ser Bachiller dentro de los cuatro

campos evaluados” (Caballero, y otros, 2017, pág. 4). Matemáticas obtuvo

7.33, siendo el promedio más bajo de los cuatros disciplinas evaluadas, así

mismo el más alto porcentaje de insuficiencia recayó sobre esta asignatura

con un 32,4%. Dentro de los cinco grupos temáticos que se evaluaron en

matemáticas los que tienen relación con los productos notables son: La

resolución de problemas estructurados que alcanzó un 46% de acierto, y

las relaciones entre variables y sus representaciones que obtuvo un 41 %.

En la última prueba Ser Bachiller aplicada en el Régimen Costa en

el mes de enero el promedio en el campo de dominio matemático fue de

7,29 ubicándose como el más bajo de los cuatro campos evaluados, de

igual forma en la Zona 8 Distrito 09D02 se ubicó esta asignatura en el último

lugar con 7.10; la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” perteneciente a este

distrito se encuentra por debajo del promedio del Régimen Costa al obtener

un 6.77 de promedio y un 49.6% de deficiencia.

3

En estos resultados se refleja de manera clara el bajo rendimiento

académico en el área de matemáticas, especialmente en lo que respecta a

ejercicios con expresiones algebraicas, los cuales son la base para resolver

los problemas de razonamiento numérico que se plantean en los tópicos de

esta asignatura.

Esta carencia de conocimientos algebraicos en los estudiantes se

debe principalmente a que los docentes utilizan metodologías tradicionales

tales como la memorización y la repetición que limitan al estudiante a ser

sólo un receptor de información y no el creador de su conocimiento, lo que

no estaría de acuerdo a las nuevas exigencias del currículo que establece

que:

“…el docente debe diseñar tareas motivadoras que partan de

situaciones - problema reales y se adapten a los diferentes ritmos y

estilos de aprendizaje de cada estudiante, favorezcan la capacidad de

aprender por sí mismo y promuevan el trabajo en equipo, haciendo uso

de métodos, recursos y materiales didácticos diversos” (Ministerio de

Educación, 2016, pág. 13).

En la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”, después de aplicar una

encuesta a los estudiantes del Primer Año de Bachillerato de la sección

matutina, se evidenció que sólo el 6% de los consultados afirman que los

docentes los motivan a utilizar recursos didácticos, tales como las

actividades lúdicas o el uso de material concreto para reforzar conceptos y

procedimientos en la resolución de ejercicios con operaciones algebraicas.

1.1.1. Situación conflicto

El dominio para resolver productos notables constituye un pilar

fundamental para abordar otros temas de aplicación que se encuentran en

la malla curricular del Bachillerato, y por ende el estudiante al no poder

resolver ejercicios de esta índole no tendrá un aprendizaje significativo.

4

Debido al vacío que arrastra el estudiante para desarrollar productos

notables se verá impedido o aumentará la complejidad para resolver los

temas en los que intervienen como base para simplificar su proceso de

resolución, evidenciando claramente que no ha desarrollado la capacidad

de aprender significativamente, esta situación hace que el docente se vea

en la necesidad de reforzar la forma de desarrollar productos notables lo

que no le permite avanzar con lo planificado.

La memorización tradicional de los pasos para resolver productos

notables hace que este tema no se aprenda de una forma significativa, y si

a esto le sumamos que desde la casa se plantea el estereotipo de que el

Álgebra es una de las partes más difíciles de las matemáticas, se estaría

dando lugar a que el estudiante pierda el interés y se desmotive, más aún

cuando los docentes no aplican estrategias motivadoras que permitan a los

estudiantes desarrollar con facilidad la habilidad para resolver productos

notables.

Esta problemática se ha detectado en los estudiantes del Primer Año

de Bachillerato después de aplicarles una encuesta, los resultados

demostraron que tan sólo un 38% de los educandos consultados pueden

definir lo que es producto notable, de igual manera que tan sólo un 8% de

ellos ha podido memorizar las reglas para resolverlos, por lo que al pedirles

que completen la regla para resolver un binomio elevado al cubo un 60%

respondió incorrectamente y un 38% dejó los espacios en blanco.

Los estudiantes presentan carencias de conocimientos al momento

de identificar los nombres de los productos notables, lo que les dificulta en

gran manera relacionarlos con otros temas en los que se vinculan

directamente como lo son: Los casos de la factorización; este vacío también

les impide resolver ejercicios o problemas en los que la solución tiene que

ver con los productos notables.

5

1.2. Formulación del Problema

¿Cómo incide en el rendimiento académico la aplicación de

estrategias didácticas para resolver problemas y ejercicios en los que

intervienen los productos notables por medio de una guía didáctica que

fomente el aprendizaje significativo en los estudiantes del Primer Año de

Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” de la ciudad de

Guayaquil del periodo lectivo 2017- 2018?

1.3. Sistematización

La sistematización del problema de investigación permite plantear

subpreguntas que orientan a buscar una solución más rápida al problema

planteado:

¿Qué relación tienen los productos notables con los temas de la

malla curricular del Primer Año de Bachillerato?

¿Cómo influye el aprendizaje significativo en el rendimiento

académico de los estudiantes?

¿Qué tipo de estrategias didácticas facilitarían mejorar la

comprensión de los productos notables?

1.4. Objetivos de la Investigación

1.4.1. Objetivo General

Aplicar estrategias didácticas en la resolución de problemas y

ejercicios en los que intervienen los productos notables por medio de una

guía didáctica que fomente el aprendizaje significativo para que mejore el

rendimiento académico en los estudiantes.

6

1.4.2. Objetivos Específicos

• Identificar la relación que tienen los productos notables con otros

temas de la malla curricular del Bachillerato.

• Determinar la influencia de las estrategias didácticas en el

rendimiento académico de los estudiantes.

• Elaborar una guía didáctica como un aporte al aprendizaje

significativo para resolver productos notables.

1.5. Justificación e Importancia

La Matemática es una asignatura fundamental en la formación

académica del estudiante, ya que por medio de ella se desarrolla el

pensamiento lógico, se forma una concepción científica y competencias de

indoles cotidianas; al ser una materia que organiza su contenido de manera

progresiva contribuye a llevar al educando a procesos mentales más

complejos, así mismo cada tema aporta significativamente a los insumos

de niveles superiores, como por ejemplo: Los productos notables sirven

para reducir procedimientos al momento de hacer operaciones como la

factorización de polinomios, funciones, derivadas, integrales, entre otros.

El actual Currículo expresa que: “Se debe fomentar metodologías

centradas en la actividad y participación de los estudiantes que favorezca

el pensamiento crítico y racional” (Ministerio de Educación, 2016, pág. 14).

Pero tradicionalmente en el proceso de enseñanza de las

Matemáticas, en particular de los productos notables se induce al

estudiante a que memorice cada uno de las diferentes reglas con la

finalidad de que estos los puedan resolver a corto plazo por simple

inspección y no se considera que la aplicación de este método tradicional

alcanza a ser asimilado por un determinado número de estudiantes,

7

además los limita y no permite el desarrollo del pensamiento crítico y

racional que es lo que establece el nuevo currículo.

Al no desarrollar la habilidad de resolver productos notables

aplicando las reglas de forma memorística, el estudiante busca otras

formas de solucionarlos comúnmente por medio de las operaciones

algebraicas básicas, lo que implica extender el proceso provocando que

esta tarea sea más compleja ocasionando desmotivación y frustración lo

que se evidencia a corto plazo en su rendimiento académico.

Por lo cual, “el desafío del docente es promover instancias en los

que los estudiantes puedan experimentar de forma activa la aplicación de

conceptos, hechos, habilidades y procesos” (Aportes para la enseñanza de

las matemáticas, 2016, pág. 27).

La vigente Reforma Curricular en nuestro país enfatiza en mejorar la

calidad educativa, para esto elaboró una malla curricular que responde a

las necesidades actuales, en donde se integran las diferentes ciencias

relacionándolas con el mundo real para lograr una mejor comprensión de

conceptos permitiendo tener un aprendizaje significativo con las diferentes

asignaturas; en comparación con la anterior Reforma del año 1996 que

presentaba carencias de relación entre los contenidos y las destrezas que

debían desarrollarse (Ministerio de Educación, 2016). Por lo que es

necesario que los docentes apliquen estrategias didácticas que permitan

alcanzar este propósito de la educación ecuatoriana.

“Con bases matemáticas sólidas se da un aporte significativo en la

formación de personas creativas, autónomas, comunicadoras y

generadoras de nuevas ideas” (Curriculo de los niveles de educación

obligatoria, 2016, pág. 219), desde este punto de vista se propone que la

enseñanza de las matemáticas no solo debe aprenderse de forma abstracta

si no fomentar un aprendizaje aplicado a la realidad del mundo actual para

8

que el estudiante desarrolle la habilidad de aprender de forma significativa

a lo largo de su vida. .

Actualmente el déficit que presentan los estudiantes del Primer Año

de Bachillerato en cuanto al desarrollo de productos notables es

preocupante, por lo que ese necesario implementar estrategias didácticas

que despierten el interés de los estudiantes y los motive a resolver de una

forma innovadora problemas y ejercicios de Álgebra en los que intervienen

las entidades notables, cumpliendo así con el paradigma educativo que

establece el Art. 343 de la Constitución: “…..El sistema tendrá como centro

al sujeto que aprende, y funcionará de manera flexible y dinámica,

incluyente, eficaz y eficiente”.

Por lo cual se elaborará una guía didáctica que recopile estrategias

activas de desarrollo de productos notables que fomenten un aprendizaje

significativo, para que los estudiantes puedan relacionarlos con ejercicios y

problemas en los que intervienen como parte su solución, reduciendo su

proceso de desarrollo y grado de complejidad, permitiendo de esta manera

mejorar su rendimiento académico en matemáticas.

1.6. Delimitación del Problema

Campo: Educación

Área: Matemáticas

Aspectos: Didáctico - Metodológico

Título: Los productos notables en el aprendizaje significativo

Propuesta: Guía didáctica con estrategias activas

Contexto: Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”

9

1.7. Premisas de la investigación

Para desarrollar la presente investigación de la mejor manera y

alcanzar el objetivo propuesto, se plantean las siguientes premisas:

➢ Importancia de aprender álgebra

➢ Dificultades que presentan los estudiantes en el desarrollo de

productos notables.

➢ La enseñanza de los productos notables de forma tradicional impide

el desarrollo del pensamiento crítico y racional.

➢ Demostración analítica y geométrica de las reglas de los productos

notables para lograr un aprendizaje significativo

➢ Relación de los productos notables con otros temas de la malla

curricular del Primer Año de Bachillerato

➢ El aprendizaje significativo permite mejorar el rendimiento

académico

➢ Condiciones para poder alcanzar un aprendizaje significativo en los

estudiantes

➢ Ventajas del aprendizaje significativo para el desarrollo cognitivo del

estudiante

10

1.8. Operacionalización de las variables

OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES

Cuadro No. 1

VARIABLES

Dimensión

conceptual

Dimensión

Operacional INDICADORES

1.Variable

Independiente

Productos

Notables

Forma de

simplificar el

proceso para

multiplicar

binomios

Proceso para

resolver

productos

notables

Reglas algebraicas

Cálculo de áreas

Estrategias

Metodológicas

Temas de la

Malla Curricular

de Primero de

Bachillerato que

se relacionan

con los

productos

notables

Ecuaciones de

segundo grado

Operaciones con

funciones de variable

real

Funciones

cuadráticas

Límites

Derivadas

Tipos de

productos

notables

Binomio al cuadrado

Productos de

binomios conjugados

Productos entre

binomios con un

término en común

Binomio elevado al

cubo

2.Variable

Dependiente

Aprendizaje

Relación de

los conceptos

nuevos con

Generalidades

del aprendizaje

significativo

Definición

Condiciones para

lograr un aprendizaje

significativo

11

Significativo los adquiridos

anteriormente

Características del

aprendizaje

significativo

Proceso para lograr

un aprendizaje

significativo

Tipos de

aprendizaje

significativo

Representacional

De conceptos

Proporcional

El aprendizaje

significativo en

el rendimiento

académico

Formas de aplicar el

aprendizaje

significativo en el aula

El aprendizaje

significativo en el

ámbito educativo

Ventajas del

aprendizaje

significativo

Fuente: Investigación Elaborado por: Douglas Chilan Choez

12

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. Antecedentes de la investigación

Después de revisar el Repositorio de la Facultad de Filosofía, Letras

y Ciencias de la Educación de la Universidad de Guayaquil, se encontró

que existen varias tesis que se refieren al aprendizaje significativo, pero

ninguna se relaciona con el tema de “Los productos notables en el

aprendizaje significativo”, por lo que se considera la originalidad del

presente proyecto.

Posteriormente se realizó una investigación en varias páginas de

distintas Universidades, encontrando en la Universidad Nacional de

Huancavelica en Perú la tesis con el tema “Cálculo de áreas rectangulares

en el aprendizaje significativo de productos notables en estudiantes de la

Institución Educativa Mixto “ Ramón Castilla y Marquesado” Huancavelica”,

presentada por Sedano Escobar Marcial y Bernardo Asto Humberto en el

año 2017, la cual tiene como objetivo principal determinar el impacto que

tiene la enseñanza de los productos notables por medio de demostraciones

de cálculo de áreas que incentiven al aprendizaje significativo y que permita

a los estudiantes construir sus propios conceptos a partir del análisis, para

esto se aplicó el método científico, diseño cuasi experimental

correspondiente a una investigación de tipo aplicativo de nivel explicativo,

en donde se seleccionó a dos paralelos que sirvieron como grupo

experimental y de control respectivamente para recolectar información por

medio de pruebas de entrada y salida.

En el Repositorio de la Universidad Central del Ecuador se encontró

la tesis con el tema: “Fichas Dienes en el desarrollo del aprendizaje

13

significativo de las sumas, restas de polinomios y productos notables en la

asignatura de matemáticas, con los/as estudiantes de novenos años

paralelo “A” y “B” de EGB, del colegio Nacional “Conocoto”, Conocoto,

D: M. Quito, periodo 2016-2017”, realizada por Gastezzi Tapia Maura

Emma, en la cual abordó la enseñanza de los productos notables

apoyándose en las Fichas Dienes como material concreto, logrando por

medio de su manipulación que los estudiantes alcancen un aprendizaje

significativo al relacionar la teoría con la práctica, ayudando a que el

estudiante desarrolle la capacidad de análisis y síntesis. En este proyecto

se aplicó un estudio cuali-cuantitativo con una modalidad de investigación

bibliográfica y de campo, ya que se trabajó directamente con los

estudiantes seleccionados como muestras, con los cuales comprobó el

desconocimiento de este recurso didáctico y de su eficacia para alcanzar

un aprendizaje significativo.

Estos proyectos resaltan la importancia de aprender productos

notables de forma significativa por medio de la aplicación de estrategias

didácticas que permiten al educando ser un ente activo dentro del proceso

de enseñanza, motivándolos continuamente a relacionar la teoría con la

práctica, ayudando a reducir la complejidad al momento de aprender

nuevos temas que tienen relación directa con los productos notables.

Por lo tanto, a partir de estas investigaciones se cuenta con un

sustento estructural como base para identificar la influencia que tiene en el

rendimiento académico de los estudiantes del bachillerato el saber resolver

de forma correcta los productos notables sin necesidad de recurrir a la

forma mecánica y tradicional.

14

2.2. Marco Teórico – Conceptual

2.2.1. Álgebra

El matemático árabe Al-Juarismi en el siglo IX escribió un libro

titulado como lim al-jabr w’al muqabala que se traduce como la ciencia de

restauración y reducción, entendiéndose como: trasponer y combinar

términos semejantes, refiriéndose a las ecuaciones. Al traducir al latín

al-jabr se produjo el nombre de esta importante rama de las matemáticas

que en la actualidad conocemos como Álgebra (Swokowsski & Cole, 2018).

Para Valencia Cárdenas (2013) el álgebra forma parte de las

matemáticas al igual que la geometría, análisis matemático y la teoría de

números, con la única diferencia que hace énfasis en el estudio de las

estructuras, las relaciones y las cantidades empleando una combinación de

números y letras que sirven como variables lo que ha permitido la

formulación de las leyes generales de la aritmética, como por ejemplo

a+b=b+a, esta estructura beneficia a la exploración de las propiedades de

los números reales.

Hasta el siglo XVII el álgebra se consideró una abstracción de la

aritmética, porque permitía obtener valores desconocidos por medio de la

aplicación y resolución de las operaciones aritméticas básicas,

entendiéndose esto como la simple solución de ecuaciones. Actualmente

el álgebra se centra en el estudio de las estructuras algebraicas, lo cual es

la reunión de varias operaciones definidas que permiten ejecutar

operaciones internas (entre sus mismos elementos) o externas (entre los

elementos de otros conjuntos) (Oriol Esteve , 2014).

De lo expuesto anteriormente se concluye que el álgebra es la

combinación de números y letras que en su conjunto con los símbolos de

las operaciones aritméticas permiten deducir reglas y leyes matemáticas en

formas de ecuaciones, las letras al recibir el nombre de variables pueden

15

ser reemplazadas por cualquier número real, lo que permite llevar a

conclusiones más generales, es por esto que el álgebra se la estima como

una sintetización y a su vez una generalización de la aritmética.

2.2.1.1. Importancia del álgebra

En diferentes ocasiones al plantear un problema no se conoce el

valor de algunos de los datos que intervienen, como por ejemplo en la

resolución de problemas de física en donde el valor de una magnitud varia,

esta magnitud desconocida recibe el nombre de variable y para

representarla lo hacemos por medio de letras, las cuales a su vez permiten

formar ecuaciones para darle una solución.

Según Swokowski y Cole (2018) el álgebra al utilizar como

fundamento la combinación de números y letras permite crear y expresar

fórmulas que pueden ser aplicables en la economía, la ingeniería y hasta

en diferentes ámbitos sociales, puesto que contribuyen a resolver de forma

rápida diferentes conflictos como lo puede ser la instalación de líneas

telefónicas, el cálculo de las constantes de crecimiento poblacional, el

efecto del costo de un artículo en relación con su demanda, entre otros,

estos son claros ejemplos de la importancia y utilidad que recae sobre el

álgebra.

Se considera también que el álgebra fortalece el razonamiento lógico

y ayuda a desarrollar el pensamiento abstracto, por medio de ello podemos

describir características generales de un objeto matemático de estudio que

permitirá analizarlo de forma abstracta para darle solución.

Por lo tanto, es necesario que los estudiantes del Primer Año de

Bachillerato comprendan lo fundamental que es esta rama de las

matemáticas y que las técnicas que se aprenden en esta asignatura

representan una base esencial para poder realizar pruebas de ingreso a la

universidad; pero también se debe recalcar que su aplicación no solo se

16

limita al desarrollo de ejercicios, sino que abarca también diversos aspectos

de la vida cotidiana, que con los avances de la actualidad no solo se

necesita conocimientos básicos de aritmética, dado que la naturaleza

general del álgebra se ve reflejada en la cantidad de fórmulas que se

aplican en la ciencia e industria.

2.2.2. Productos Notables

La Real Academia Española (2017) define a la palabra “producto”

como el resultado de efectuar una multiplicación y a “notable” como lo que

sobresale por ser repetitivo en su línea de acción, por lo tanto, los productos

notables son multiplicaciones algebraicas de uso frecuente que cumplen

con características específicas que permiten deducir normas para

resolverlas por simple inspección sin necesidad de realizar todo el proceso

de multiplicación.

En esto concuerda el Diccionario ilustrado de conceptos

matemáticos que expresa que a los productos notables se los denomina

así porque aparecen frecuentemente en el álgebra por lo que se han

establecidos reglas que permiten calcularlos de forma rápida sin necesidad

de resolverlos (Soto Apolinar , 2011).

Por su parte el Dr. José Becerra (s.f.) de la Universidad Autónoma

de México, expresa que tanto en aritmética como en el álgebra las

multiplicaciones deben seguir un proceso establecido para poder

desarrollarlas, pero en el caso particular del álgebra se presentan

multiplicaciones de uso frecuente que mediante la aplicación de reglas

específicas permite resolverlos directamente sin aplicar la multiplicación

término a término, a este tipo de multiplicación algebraica se la denomina

como productos notables.

17

2.2.2.1. Importancia de los productos notables

Para Brenda Castro (2014) los productos notables tienen como fin

reducir el proceso de las multiplicaciones algebraicas que cumplen con

características determinadas en su desarrollo.

Esta característica fundamental de los productos notables beneficia

a la resolución de problemas en donde se ven involucrados, como lo es en

el caso de la física, la ingeniera y la industria en general, como por ejemplo

en el caso de un terreno nos permite calcular, medir y contar las áreas con

las que cuenta un perímetro determinado, es decir, nos permite calcular su

superficie. También ayuda a calcular la deformación de diferentes

estructuras, así como también se los aplica en el cálculo de una potencia

de una corriente eléctrica.

Los estudiantes al desarrollar la capacidad de relacionar los

diferentes temas del bachillerato y los casos de factorización con los

productos notables están dando paso al aprendizaje significativo,

fortaleciendo la memoria a largo plazo y su importancia dentro del campo

de las matemáticas.

2.2.2.2. Tipos de productos notables

Para Javier Vázquez (2013) los tipos de productos notables son:

• Binomio elevado al cuadrado

• Producto de binomios conjugados

• Productos de binomios con un término en común

• Binomio elevado al cubo

• Trinomio elevado al cuadrado

18

2.2.2.2.1. Binomio elevado al cuadrado

Un binomio es aquel que consta de dos términos y pueden estar

separados por el signo + (más) o – (menos). Para resolver este tipo de

binomio se lo debe multiplicar por sí mismo, el resultado que se obtiene es

un trinomio que en factorización se lo conoce como trinomio cuadrado

perfecto, este trinomio siempre su primer y tercer término van hacer

positivos, en cambio el signo del segundo término dependerá del signo que

tenga el binomio (IGER, 2014).

2.2.2.2.1.1. Deducción de la regla algebraica para resolver un

binomio elevado al cuadrado

Para deducir la regla algebraica hacemos uso de la definición de la

potenciación 𝑎2 = 𝑎 ∙ 𝑎, lo que permite expresar cada binomio de la

siguiente forma (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) y a (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏),

para efectuar la multiplicación de forma vertical.

Después de haber realizado la multiplicación término a término tanto

para el binomio separado por el signo más como para el de signo menos

se observa que la respuesta es un trinomio donde el primer y tercer término

están elevados al cuadrado y el segundo término es el doble producto de

los términos que conforman el binomio, deduciendo así que:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer

término, más/menos el doble producto del primer término por el

segundo término, más el cuadrado del segundo término” (Santillana,

2016, pág. 126).

a + b

a + b

a² + ab

+ ab + b²

a² +2ab + b²

a - b

a - b

a² - ab

- ab + b²

a² -2ab + b²

19

2.2.2.2.1.2. Demostración geométrica de un binomio elevado al

cuadrado

Por medio de la descomposición del área de un cuadrado se puede

demostrar este producto notable. Para el caso del binomio (𝑎 + 𝑏)2,

utilizamos un cuadrado de lado a+b:

IMAGEN No 1

Demostración geométrica de (𝒂 + 𝒃)𝟐

Fuente: Matemáticas 9 Alto rendimiento (Santillana)

En cambio, para el binomio (𝑎 − 𝑏)2, hacemos uso de un cuadrado

de lado a-b:

IMAGEN No 2

Demostración geométrica de (𝒂 − 𝒃)𝟐


2.2.2.2.2. Productos de Binomios Conjugados o producto de la

suma por su diferencia.

Dos binomios son conjugados cuando tienen los mismos términos

con la única diferencia que el signo que separa a cada binomio va hacer

20

opuesto, es decir si un binomio tiene signo positivo el otro tendrá negativo.

El resultado de efectuar esta multiplicación será otro binomio cuyos

términos estarán elevados al cuadrado y siempre se encontrarán

separados por el signo menos, este resultado en factorización se conoce

como diferencia de cuadrados.

2.2.2.2.2.1. Deducción de la regla algebraica para resolver el

producto de binomios conjugados

Para deducir la regla algebraica que define al producto entre

binomios conjugados realizamos la multiplicación algebraica de forma

vertical entre los binomios (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏):

a + b

a - b

a² + ab

- ab - b²

a² - b²

Al realizar esta multiplicación se observa que el segundo término se

anula y se forma un binomio donde sus términos son los mismos con los

cuales se realizó la multiplicación con la diferencia que están elevados al

cuadrado y separados por un signo menos. Por lo que se puede concluir

que:

“El producto entre binomios conjugados o producto de la suma

por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos

términos” (Santillana, 2016, pág. 129)

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

2.2.2.2.2.2. Demostración geométrica del producto de binomios

conjugados

Para demostrar geométricamente el producto de binomios

conjugados hacemos uso de un rectángulo de lados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏):

21

IMAGEN No 3

Demostración geométrica de (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)


2.2.2.2.3. Producto de binomios con un término en común

Consisten en dos binomios que son semejantes, es decir que tienen

un término en común, por lo general es el primer término y está

representado por una variable, al realizar el producto entre estos binomios

se obtiene como resultado un trinomio que en factorización es conocido

como trinomio de la forma x2+bx+c.

2.2.2.2.3.1. Deducción de la regla algebraica para calcular el

producto de binomios con un término en común.

Realizamos la multiplicación colocando los binomios de forma

vertical, haciendo uso de los siguientes ejemplos: (𝑥 + 3)(𝑥 + 2);

(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) y (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) respectivamente.

En cada uno de los resultados obtenidos para los casos que

presenta este binomio se observa que el término común de cada binomio

x + 3

x + 2

x² + 3x

+ 2x + 6

x² + 5x + 6

x - 3

x - 2

x² - 3x

- 2x + 6

x² - 5x + 6

x + 3

x - 2

x² + 3x

- 2x - 6

x² + x - 6

22

siempre esta elevado al cuadrado, también se identifica que el segundo

término es el resultado de la suma de los términos no comunes

acompañados del término común y el tercer término se obtiene realizando

el producto entre los términos no comunes, por lo que se puede concluir

que:

“El producto de dos binomios con un término en común es igual

al cuadrado del término común, más el producto de la suma de los dos

términos no comunes por el término común, más el producto de los

términos no comunes” (Santillana, 2016, pág. 131).

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

En donde a y b pertenecen a los números enteros.

2.2.2.2.3.2. Demostración geométrica del producto de binomios

con un término en común

Para comprobar este producto notable haremos uso de un

rectángulo de lado (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏):

IMAGEN No 4

Demostración geométrica de (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)


23

2.2.2.2.4. Binomio elevado al cubo

En aritmética se conoce que todo exponente indica el número de

veces en que se debe multiplicar la base por sí misma, en este caso se

debe multiplicar tres veces el binomio, dándonos como resultado un

polinomio constituido por cuatro términos que en factorización se conoce

como cubo perfecto.

2.2.2.2.4.1. Deducción de la regla para calcular un binomio

elevado al cubo

Para deducir la regla de este producto notable se aplica la definición

de la potenciación, por lo tanto: (𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) y

(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) y realizamos la multiplicación de

forma vertical para cada caso:

En los resultados obtenidos (resaltados con rojo) después de realizar

la multiplicación de estos binomios de forma vertical, se observa que el

tercer y cuarto término están elevados al cubo y que el segundo y tercer

término siempre es el triple producto con la diferencia que en el segundo

término es el producto del cuadrado del primer término por el segundo y el

tercer término es el producto del primer término por el cuadrado del

segundo, además los signos que separa a los términos del resultado

dependerá del signo que tenga el binomio elevado al cuadrado, por lo que

se puede deducir que:

a - b

a - b

a² - ab

- ab + b²

a² -2ab + b²

a - b

a³ -2 a²b + ab²

- a²b +2 ab² - b³

a³ -3 a²b +3 ab² - b³

24

“Un binomio elevado al cubo es igual al cubo del primer

término, más/menos el triple producto del cuadrado del primer

término por el segundo término, más el triple del primer término por

el cuadrado del segundo término, más/ menos el cubo del segundo

término” (Santillana, 2016, pág. 133).

(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2±𝑏3

2.2.2.2.4.2. Demostración geométrica de un binomio elevado al

cubo

Para realizar esta demostración se utiliza un cubo de aristas (a+b)

para el caso de un binomio elevado al cubo con signo positivo (𝑎 + 𝑏)3:

IMAGEN No 5

Demostración geométrica de (𝒂 + 𝒃)𝟑


Y para el caso del binomio elevado al cubo con signo negativo

(𝑎 − 𝑏)3 hacemos uso de un cubo de aristas (a-b):

IMAGEN No 6

Demostración geométrica de (𝒂 − 𝒃)𝟑


25

2.2.2.2.5. Trinomio elevado al cuadrado

Un trinomio es un polinomio formado por tres términos, después de

resolver la potencia que indica que se debe multiplicar dos veces por sí

mismo este trinomio, se obtiene un polinomio de seis términos, en donde

tres términos estarán elevados al cuadrado y los otros tres restantes serán

el doble producto de cada uno de los términos.

2.2.2.2.5.1. Deducción de la regla algebraica para resolver un

trinomio elevado al cuadrado

Para deducir la regla de este producto notable, se aplica la definición

de la potencia y multiplicaremos de forma vertical apoyándonos en los

siguientes ejemplos:

• (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐):

a + b + c

a + b + c

a² + ab + ac

+ ab + b² + bc

+ ac + + bc + c²

a² +2 ab +2 ac + b² +2 bc + c²

• (𝑎 − 𝑏 − 𝑐)2 = (𝑎 − 𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑏 − 𝑐)

a - b - c

a - b - c

a² - ab - ac

- ab + b² + bc

- ac + + bc + c²

a² -2 ab -2 ac + b² +2 bc + c²

De los resultados obtenidos se observa que la respuesta está

conformada por seis términos en donde tres de ellos están elevados al

26

cuadrado y son siempre positivos, mientras que los otros tres términos son

todos los dobles productos posibles que se pueden formar con los términos

del trinomio, por lo que se deduce la siguiente regla:

“El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados

de los términos, más/menos el doble producto del primer término

por el segundo término, más/menos el doble producto del segundo

término por el tercer término, más/menos el doble producto del

primer término por el tercer término” (Santillana, 2016, pág. 129)

(𝑎 ± 𝑏 ± 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ± 2𝑎𝑏 ± 2𝑎𝑐 ± 𝑏𝑐

2.2.2.2.5.2. Demostración geométrica de un trinomio elevado al

cuadrado

Para demostrar este producto notable hacemos uso de un cuadrado

de lado (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2

IMAGEN No 7

Demostración geométrica de (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐


2.2.2.3. Errores comunes que presentan los estudiantes en el

desarrollo de los productos notables

Para Méndez Olave (2013) los principales errores que suelen

cometer los estudiantes en el desarrollo de productos notables son:

• No relacionar el modelo algebraico de las reglas con ejercicios que

tienen una estructura distinta.

27

• Cuando resuelven binomios o trinomios elevados al cuadrado y

binomios elevados al cubo aplican su seudoconcepto, interpretando

que el exponente se debe distribuir para cada término, o a su vez

solo elevan al cuadrado o al cubo el coeficiente que acompaña a

cada variable.

• Al realizar el producto entre binomios, hacen mal uso de la propiedad

distributiva, realizando la multiplicación término a término según la

posición en la que se encuentra cada uno.

2.2.3. Temas de la malla curricular del bachillerato que tienen

relación con los productos notables

El nuevo currículo que se aplica desde el año 2016 hace énfasis a

ver al estudiante como el centro de proceso de enseñanza aprendizaje, su

metodología fomenta la participación activa de los estudiantes para

fortalecer el pensamiento crítico y racional, así como también el trabajo

individual y cooperativo que despierte el interés por la lectura e

investigación (Ministerio de Educación, 2016).

También hace hincapié en que las instituciones educativas deben

desarrollar métodos que permitan tener en cuenta los distintos tipos de

aprendizaje que presente el alumnado, para que estos pueden aprender a

su propio ritmo de forma individual y colectiva.

Según el Acuerdo Ministerial Nro. MINEDUC-ME-2016-00020-A,

establece que la carga horaria de la asignatura de Matemáticas para el

Primer Año de Bachillerato es de 5 horas semanales, en el Segundo Año

de Bachillerato es de 4 horas, y en Tercer Año de Bachillerato es de 3

horas.

28

Los contenidos de la asignatura de Matemáticas en el Bachillerato

tienen un enfoque más práctico, busca la solución de problemas mediante

la elaboración y construcción de modelos matemáticos.

En el siguiente mapa de contenidos conceptuales se establece la

importancia y la relación de los productos notables con otros temas de

matemáticas en el bachillerato:

IMAGEN No 8

Mapa de contenidos conceptuales de 1ro BGU

Fuente: Currículo de los niveles de educación obligatoria (MINEDUC)

2.2.3.1. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Una ecuación de segundo grado o también conocida como

cuadrática es la que se representa de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, para

Ramírez Juárez (2013) esta forma de representar la ecuación se la conoce

como general o canónica, en donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 pertenecen a los números

reales y 𝑎 tiene que ser diferente de cero.

29

Según Zill & Dewar (2012) una ecuación cuadrática se puede

resolver por factorización, complementación de cuadrados y por la fórmula

cuadrática según sea el ejercicio que se presente.

“Las soluciones de una ecuación cuadrática también son conocidas

como raíces o ceros de la ecuación, y son los valores de la variable X, que

hacen cierta la igualdad” (Ramírez Juárez , 2013, pág. 1).

Los productos notables intervienen en las ecuaciones cuadráticas

cuando se presentan ejercicios en donde dadas sus raíces o ceros se pide

calcular la ecuación. Como en los siguientes casos:

a) Dada las soluciones x=5 y x=12, encontrar la ecuación cuadrática:

Solución:

𝑥 = 5 ∧ 𝑥 = 12

𝑥 − 5 = 0 ∧ 𝑥 − 12 = 0

(𝑥 − 5) (𝑥 − 12) = 0

𝑥2 − 17𝑥 + 60 = 0

b) Dada la solución única x=9, encontrar la ecuación cuadrática: Solución:

𝑥 = 9

(𝑥 − 9)2

(𝑥 − 9) (𝑥 − 9) = 0

𝑥2 − 18𝑥 + 81 = 0

En estos casos, se observa la aplicación de los productos notables,

en el primer ejercicio se emplea un producto entre binomios con un término

en común y en el otro ejercicio un binomio elevado al cuadrado, por lo que

se identifica la importancia de reconocer y resolver productos notables para

dar solución a problemas de este tipo en las ecuaciones cuadráticas.

30

2.2.3.2. Operaciones con funciones de variable real

Al igual que en la aritmética, con las funciones de variable real se

pueden realizar operaciones tales como la adición, sustracción, producto y

cociente. Para resolver estas operaciones se aplican las mismas

condiciones de las operaciones con expresiones algebraicas.

Los productos notables por lo general se presentan en la adición,

sustracción y multiplicación entre funciones, para resolver ejercicios tales

como los que se presentan a continuación:

Dada la función 𝑓(𝑥) =𝑥+5

𝑥−3 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 encontrar:

a) (𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5

𝑥 − 3− ( 𝑥 + 3)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 − (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

𝑥 − 3

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 − (𝑥2 − 9)

𝑥 − 3

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 − 𝑥2 + 9

𝑥 − 3

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =−𝑥2 + 𝑥 + 14

𝑥 − 3

b) (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5

𝑥 − 3+ 𝑥 + 3

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 + (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

𝑥 − 3

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5 + 𝑥2 − 9

𝑥 − 3

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =𝑥2 + 𝑥 − 4

𝑥 − 3

31

c) (𝒇 ∙ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)

(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) =𝑥 + 5

𝑥 − 3( 𝑥 + 3)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)

𝑥 − 3

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =𝑥2 + 8𝑥 + 15

𝑥 − 3

En estos ejercicios se observa claramente la importancia de saber

identificar y desarrollar productos notables para simplificar el proceso de

resolución de estas operaciones con funciones de variable real; en el caso

de las sumas y restas con funciones por lo general se presentan las

identidades notables cuando interviene fracciones, en cambio en la

multiplicación casi siempre estarán presentes.

2.2.3.3. Funciones cuadráticas

Según Tax (2014), las principales características de las funciones

cuadráticas son:

a) Su dominio está definido por todos los números reales

b) Es continua

c) Siempre corta al eje de las ordenadas en un solo punto

d) En el eje de las abscisas puede tener hasta máximo dos cortes

e) Su gráfica representa una parábola

f) La forma general de una función cuadrática completa está dada por

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, también se pude presentar de forma

incompleta

g) Si a es mayor que cero la parábola apuntará hacia arriba, si es menor

que cero apuntará hacia abajo.

Los elementos de una función cuadrática son:

32

IMAGEN No 9

Elementos de la función cuadrática

Fuente:http://funcuadratica.blogspot.com/2012/10/elementos-caracteristicos.html

Los cortes de la parábola con el eje x o de las abscisas también se

los conoce como raíces de la función.

Las funciones cuadráticas tienen una estrecha relación con las

ecuaciones de segundo grado, por lo que al igual que en las ecuaciones

cuadráticas las raíces sirven para determinar la ecuación, así mismo

permiten calcular también la función generadora, como en el caso

siguiente:

• Dados los cortes con el eje de las abscisas x=9 y x=2, determinar su

función:

Solución:

𝑥 = 9 ∧ 𝑥 = 2

𝑥 − 9 = 0 ∧ 𝑥 − 2 = 0

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 9) (𝑥 − 2)

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 11𝑥 + 18

De la misma forma que en las ecuaciones cuadráticas, se debe

identificar el tipo de producto notable que se debe desarrollar para dar

solución al ejercicio, en este caso es un producto entre binomios con un

término en común, el resultado es la función cuadrática que se buscaba.

33

2.2.3.4. Límites

La ´palabra límite proviene del latín limes que se traduce como

frontera o borde. La Real Academia de la Lengua expresa que el “Límite

dentro de una secuencia infinitas de magnitudes, es la magnitud fija a la

que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia” (2017,

párrf. 1).

Para Soto: “El límite de una función 𝑓 cuando la variable independiente

tiende a un valor constante 𝑘 se denota por:

lim𝑥→𝑘

𝑓(𝑥) = 𝑀

Donde M representa el valor al cual se acerca conforme los valores de x

se aproximan más al valor 𝑘, en caso de que le límite exista.”

(Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos, 2011, pág. 91)

En algunos casos los límites pueden ser indeterminados, y para

eliminar esta indeterminación se utilizan artificios matemáticos; los casos

más comunes de indeterminación que se presentan al desarrollar límites

son (Matemáticas 1 BGU, 2016):

0

0 ,

∞

∞ , ∞ ∙ 0 , ∞ − ∞ , 1∞ , 00 , ∞0

Para solucionar algunas de estas indeterminaciones se hace uso de

los productos notables, como en el ejemplo que se plantea a continuación:

• Encontrar el siguiente límite de:

lim𝑥→2

2 − 𝑥

√2 − √𝑥

Al reemplazar comúnmente el límite:

lim𝑥→2

2 − 𝑥

√2 − √𝑥=

2 − 2

√2 − √2=

0

0

34

El resultado es una indeterminación, por lo que para poder resolver

este límite debemos aplicar la conjugada debido a que tenemos raíces en

el denominador:

lim𝑥→2

(2 − 𝑥)

(√2 − √𝑥)∙

(√2 + √𝑥)

(√2 + √𝑥)=

Después de aplicar la conjugada, en el denominador queda una

multiplicación entre binomios que en identidades notables se conoce como

productos de binomios conjugados:

lim𝑥→2

(2 − 𝑥)(√2 + √𝑥)

(√2 − √𝑥)(√2 + √𝑥)=

(2 − 𝑥)(√2 + √𝑥)

(√2)2

−(√𝑥)2 =

(2 − 𝑥)(√2 + √𝑥)

2 − 𝑥

lim𝑥→2

√2 + √𝑥 = √2 + √2 = 2√2

Particularmente en los ejercicios de límite en donde se presenta la

indeterminación 0/0 y aparecen raíces en el denominador se aplica la

conjugada la cual tiene relación directa con el producto de binomios

conjugados, notándose claramente la importancia de identificar y

desarrollar identidades notables para simplificar el proceso.

2.2.3.5. Derivadas

El concepto de derivada es uno de los más primordiales en análisis

matemático, para Ávila (s.f.) la derivada es el resultado de un límite y

gráficamente representa en la función a la pendiente de la línea tangente

en un punto determinado. La derivada puede representarse de las

siguientes formas:

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) = 𝑦´ = 𝑓´(𝑥) = 𝐷𝑥𝑦

“La derivada de una función 𝑓 en un punto 𝑥0, detonada por 𝑓´(𝑥0), es

𝑓′(𝑥0) = limℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ

Siempre que le límite exista” (Thomas, 2010, pág. 123).

35

Al calcular la derivada de una función aplicando su definición, por lo

general siempre aparecen productos notables de binomios elevados al

cuadrado y al cubo dependiendo del grado de la función, como se planteará

en el siguiente ejemplo:

• Encontrar la primera derivada de la siguiente función:

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 − 2

Reemplazamos en la fórmula:

𝑓′(𝑥0) = limℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

2(𝑥 + ℎ)3 + (𝑥 + ℎ)2 + 5(𝑥 + ℎ) − 2 − (2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 − 2)

ℎ

Después de reemplazar en la fórmula general de la derivada, se

identifica que se debe desarrollar las siguientes identidades notables:

binomio elevado al cubo y binomio elevado al cuadrado:

𝑓 ´(𝑥) = limℎ→0

6𝑥2ℎ + 6𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 5ℎ

ℎ


ℎ(6𝑥2 + 6𝑥ℎ + ℎ2 + 2𝑥 + ℎ + 5)

ℎ


6𝑥2 + 6𝑥ℎ + ℎ2 + 2𝑥 + ℎ + 5

𝑓 ´(𝑥) = 6𝑥2 + 6𝑥(0) + 02 + 2𝑥 + 0 + 5

𝑓 ´(𝑥) = 6𝑥2 + 2𝑥 + 5

En el desarrollo de este ejercicio se evidencia la importancia de

identificar y resolver productos notables correctamente para disminuir el

proceso de resolución, de la misma forma en que se observó en las

operaciones con funciones, funciones y ecuaciones cuadráticas y límites,

que son temas de la malla curricular del bachillerato.

36

En estos temas que se encuentran en la malla curricular del

Bachillerato se identificó el papel fundamental que juegan los productos

notables, considerando que ya de por sí representan para los estudiantes

gran dificultad para desarrollarlos, es imprescindible reforzarlos por medio

de estrategias didácticas activas que fomenten el aprendizaje significativo,

puesto que representan la base para resolver de forma simplificada los

ejercicios en los cuales intervienen.

2.2.4. Aprendizaje significativo

El reto de todo docente es hacerse entender por medio de

estrategias didácticas que den un valor significativo a los contenidos con el

fin de que los conocimientos que adquieran los estudiantes les sirvan para

aplicarlos en la resolución de problema de su entorno y no solo sea una

repetición memorística y sistemática que carezcan de sentido práctico

La teoría del aprendizaje significativo es la propuesta que hizo David

Ausubel en 1963 en un contexto en el que, ante el conductismo

imperante, se planteó como alternativa un modelo de

enseñanza/aprendizaje basado en el descubrimiento, que privilegiaba el

activismo y postulaba que se aprende aquello que se descubre

(Rodríguez Palmero , 2011, pág. 30).

Esta teoría es en la actualidad una de las más primordiales en el

campo educativo dado que se centra en el educando y constituye un pilar

fundamental del enfoque constructivista, que es el que se plantea en el

currículo vigente como método de enseñanza aprendizaje.

2.2.4.1. Definición

El aprendizaje significativo es el proceso según el cual se relaciona un

nuevo conocimiento o una nueva información con la estructura cognitiva

de la persona que aprende de forma no arbitraria y sustantiva y no literal.

37

Dicha estructura requiere de unos aspectos relevantes presentes en la

misma, que reciben el nombre de subsumidores o ideas de anclaje

(Blanco Valbuena, 2016, pág. 61).

En esta definición se resaltan dos condiciones imprescindibles para

adquirir un aprendizaje significativo, por un lado, está la del sujeto que

aprende, que debe presentar predisposición y una buena aptitud para

aprender de forma significativa; y por otro la del facilitador que debe

presentar un material asimilable por el aprendiz que despierte la curiosidad

y desarrolle la capacidad de relación, análisis y síntesis.

Para Rodríguez Palmeiro el aprendizaje significativo es:

“….una teoría psicológica del aprendizaje, porque se ocupa de los

procesos mismos que el individuo pone en juego para generar su

conocimiento; centra la atención en lo que ocurre en el aula cuando los

estudiantes aprenden; en la naturaleza de ese aprendizaje; en las

condiciones que requiere para que este se reproduzca; en sus resultados

y consecuente mente en su evaluación; aborda todos y cada uno de los

elementos, factores y condiciones y tipos que garantizan su adquisición,

la asimilación y la retención de contenido que la escuela ofrece al

alumnado, de modo que adquiera significado para el mismo” (2011,

págs. 30 , 31).

Esta concepción establece la importancia que tiene el educando en

el proceso de enseñanza, el cual debe construir significativamente sus

conceptos para que pueda aprender para la vida; y hace referencia al

ambiente que el educador debe crear si lo que pretende es alcanzar y

fomentar el aprendizaje significativo en sus estudiantes.

Las definiciones expuestas se basan en la teoría de David Ausubel

y en resumen establecen que el aprendizaje significativo se da a cabo

cuando el individuo es capaz de relacionar la información nueva con los

38

conocimientos que ya posee, es decir este último asume el papel de

prerrequisito, por lo que el objetivo del aprendizaje debe ser más que repetir

teorías y conceptos de forma memorística.

2.2.4.2. Condiciones para alcanzar un aprendizaje significativo

El aprendizaje significativo para poder llevarse a cabo requiere de

dos condiciones esenciales: “La primera, relacionada con la actitud o

predisposición del aprendiz de aprender de manera significativa, y la

segunda, contempla la presentación de un material potencialmente

significativo” (Blanco Valbuena, 2016, pág. 61).

2.2.4.2.1. Actitud o predisposición del aprendiz

“Si el individuo no muestra la intención o disposición para establecer

relaciones sustantivas y no arbitrarias entre su estructura cognitiva y el

nuevo material, el aprendizaje no se produce de manera significativa,

incluso aunque existan los subsumidores adecuados y pertinentes y el

material sea lógicamente significativo” (Rodriguez Palmero, Moreira,

Caballero Sahelices, & Greca, 2010, pág. 13).

Es una condición que depende totalmente del estudiante, y es

primordial para alcanzar el aprendizaje significativo, si el estudiante no tiene

una buena disposición para aprender, este tipo de aprendizaje no puede

darse, ya que depende de la estructura cognoscitiva que haya desarrollado

el estudiante.

2.2.4.2.2. Material potencialmente significativo

Implica que el material que vaya a utilizar el docente pueda

relacionarse fácilmente con el nuevo contenido que se pretende enseñar,

pero este material no debe estar al pie de la letra, sino tener un significado

lógico que permita al estudiante relacionarlo de forma intencional con las

ideas que posee su estructura cognoscitiva de manera pertinente.

39

Para Rivera: “El material presentado debe tener una estructura

interna organizada, que sea susceptible de dar lugar a la construcción de

significado. Es decir, que no importa solo el contenido, sino también la

forma en que este presentado” (Aprendizaje significativo, 2013, pág. s/p).

2.2.4.3. Características del aprendizaje significativo

Las principales características del aprendizaje significativo según

David Ausubel (1983) son:

• Causa una interacción entre los conceptos más importantes de la

estructura cognitiva (conjunto de conceptos e ideas que un individuo

posee sobre un determinado campo de conocimiento) y la nueva

información que está adquiriendo, para que obtengan significado.

• El nuevo conocimiento se integra a la estructura cognitiva del

individuo de forma no arbitraria y sustancial (no al pie de la letra).

• Beneficia a la diferenciación, evolución y estabilidad de los

subsunsores (conceptos que ya están asimilados y sirven como

base para comprender nuevos conceptos).

• Es un aprendizaje a largo plazo.

2.2.4.4. Proceso para lograr un aprendizaje significativo

Según David Ausubel para lograr un aprendizaje significativo, se

debe seguir el siguiente proceso (Torres, 2013):

• Diferenciación progresiva: Es el conjunto de conceptos e ideas

que se organizan alcanzando nuevos significados, jerarquizándolos

según su importancia, para esto se deben presentar ideas generales

40

y de a poco ir incrementando los contenidos, creando oportunidades

que permitan integrar la información en diferentes entornos.

• Reconciliación integradora: Se produce cuando los conocimientos

previos se relacionan con la nueva información, lo que implica que

ha habido una reorganización de conceptos en donde las ideas

nuevas se concretan sobre las bases de los prerrequisitos (ideas

previas).

• Organizadores previos: Son todas aquellas estrategias didácticas

que utiliza el docente como apoyo para que el estudiante puede

relacionar con facilidad los conocimientos que posee con la nueva

información, en ocasiones se hace uso de organizadores gráficos al

final de la clase, para que el estudiante concrete su experiencia y

fortalezca el aprendizaje de forma significativa.

2.2.4.5. Tipos de aprendizaje significativo

Ausubel, Novak y Hanesian identificaron tres tipos de aprendizaje

significativo, basándose según el medio por el que se adquiere el nuevo

conocimiento, en: representacional, de conceptos y de proposiciones

(Pozo, 2016).

2.2.4.5.1. Aprendizaje Representacional

Es el más importante, pues de él depende los demás tipos de

aprendizaje, y radica en dar un significado a los objetos o símbolos que se

perciben, por lo que Ausubel afirma que: “ Ocurre cuando se igualan en

significados símbolos arbitrarios con sus referentes (objetos, eventos,

conceptos) y significan para el alumno cualquier significado al que sus

referentes aludan” (1983, pág. 5).

41

2.2.4.5.2. De conceptos

Para Ausubel los conceptos se definen como: “objetos, eventos,

situaciones o propiedades de que posee atributos de criterios comunes y

que se designan mediante algún símbolo o signos” (1983, pág. 61), desde

esta concepción se podría establecer que también se trata de un

aprendizaje representacional.

En general los conceptos se adquieren a través de los procesos de

formación y asimilación. La formación de conceptos es donde se obtienen

las características esenciales de los conceptos por medio de la

experimentación directa y la asimilación se lleva a cabo a medida que la

persona va enriqueciendo su léxico, pues las características que definen

los conceptos se combinan con las ideas o conocimientos previos que

posee, por lo cual puede distinguir el color, tamaño, forma, etc., que

concretan a un objeto específico (Valencia Cárdenas, 2013).

2.2.4.5.3. Aprendizaje de proposiciones

“Este tipo de aprendizaje va más allá de una simple asimilación de

lo que representan las palabras, combinadas o aisladas, puesto que exige

captar el significado de las ideas expresadas en forma de proposiciones”

(Ausubel, 1983, pág. 6).

Desde esta definición el aprendizaje de proposiciones involucra la

mezcla de diversas palabras que en su conjunto forman un referente

unitario, posteriormente éstas se combinan de tal manera que la idea

resultante va más allá que la suma del significado individual de cada

palabra, creando un nuevo significado que es almacenado en la estructura

cognoscitiva del individuo.

42

2.2.5. El desarrollo del aprendizaje significativo en el ámbito

educativo

El Dr. Alexander Ortiz docente de la Universidad de Magdalena en

Colombia, expresa que:

“El aprendizaje significativo se basa en preparar al estudiante a partir

del propio campo de actuación futura, o sea, desde la comunidad y la

sociedad, por lo que constituye un imperativo utilizar una metodología

problémica y desarrolladora en el proceso pedagógico, lo cual garantiza

la apropiación creativa y autónoma de los conocimientos por parte de los

estudiantes” (2012, pág. 6)

Esta concepción destaca lo imprescindible que es preparar a los

estudiantes para la vida y no para rendir una prueba; que los conocimientos

que adquieran no sólo sean conceptos aislados, sino que estén

relacionados con las necesidades actuales que se presentan, para que

adquieran significado y puedan apropiarse de esta información y utilizarla

a largo plazo en diferentes contextos.

El aprendizaje significativo no se puede alcanzar de manera

unilateral, sino que debe haber un intercambio de ideas entre los principales

actores del proceso educativo (estudiante y docente), en este intercambio

de ideas es donde el docente asume el papel de mediador y conductor con

el objetivo de dar sentido al aprendizaje, es decir asegurar que las ideas

previas se relacionen correctamente con la nueva información, para ampliar

y reforzar la construcción del nuevo conocimiento de manera organizada.

2.2.5.1. El aprendizaje significativo en el rendimiento académico

El rendimiento académico es un indicador de aprendizaje, el cual se

mide por medio de evaluaciones que permiten determinar de forma

cuantitativa, o en ciertos casos cualitativamente, el nivel de conocimiento

43

que ha adquirido el estudiante. En este sentido el rendimiento académico

se convierte en una “escala imaginaria de medida” para el aprendizaje

alcanzado en el aula (Lerner Matiz, 2012).

El aprendizaje significativo al ser donde se relaciona la nueva

información con las ideas previas que se posee, es decir donde se

adquieren nuevas habilidades y destrezas de forma significativa, se vincula

directamente con el rendimiento académico, dado que al ser una medida

de las capacidades que posee el educando, se manifiesta por medio de los

conocimientos, conceptos, habilidades, destrezas, entre otras actitudes

que demuestra durante el desarrollo de la clase (Cordova Aguilar, López

de Batres, & Melara Crespín, 2015).

2.2.5.2. Formas de aplicar el aprendizaje significativo en el aula

En la práctica docente es fundamental tener en cuenta ciertas

estrategias que permiten desarrollar en los estudiantes de manera eficaz el

aprendizaje significativo en la asignatura de matemáticas, entre ellas

tenemos (Gomez, 2017):

• Plantear actividades originales y relevantes de acuerdo al tema y

complejidad del mismo que permitan relacionarlos fácilmente con

actividades de la vida cotidiana para su fácil asimilación.

• Fomentar el trabajo colaborativo por medio de ejercicios o problemas

para tomar decisiones y formular algoritmos que los ayuden a

resolverlos, apoyándose en los conocimientos básicos matemáticos

que poseen.

• Motivar a los estudiantes a la búsqueda de alternativas de solución

haciendo uso de diferentes recursos como los pueden ser los

materiales concretos y softwares educativos que fomenten a la

44

adquisición, experimentación y ampliación de conceptos

algebraicos.

• Realizar permanentemente actividades, tales como situaciones

problemas o actividades lúdicas, que desarrollen la conciencia

crítica, lógica, reflexiva y abstracta en los estudiantes.

• Hacer una retroalimentación constante es fundamental para

relacionar los conceptos, lo que facilita el aprendizaje significativo.

• Conformar procesos de evaluación y coevaluación entre los

educandos, logrando que el aprendizaje significativo no sea visto

como una competencia, con la finalidad de que todos contribuyan a

la formación del nuevo conocimiento.

Para la MSc. Carmen Espinoza (2014),Catedrática de la Universidad

de San Sebastián en Chile, una forma de aplicar el aprendizaje significativo

es relacionándolo con el “ Aprendizaje Basado en Problemas” en donde a

través de situaciones problemas, se induce al estudiante a formar debates

dentro del aula de clases, para esto el estudiante se basa en la información

que ya conoce, lo que permite crear hipótesis y sintetizar la información

para dar solución a dicho problema.

2.2.6. Ventajas del Aprendizaje Significativo

Para Calderón (2017) el aprendizaje significativo ofrece las

siguientes ventajas en el ámbito educativo:

• La nueva información se retiene por más tiempo en la estructura

cognoscitiva del estudiante, es decir, el aprendizaje es a largo plazo.

45

• Al tener como base los conocimientos previos, facilita la adquisición

de los nuevos conceptos al establecer una relación entre ellos, lo

que permite asimilarlos con facilidad.

• Favorece a la rápida retroalimentación al momento de aplicar el

conocimiento en la resolución de problemas de su entorno.

• Permite la participación activa de los estudiantes, debido a que la

asimilación y la construcción del nuevo conocimiento los obtendrá

por medio de las actividades que realice con guía del docente.

• Permite incorporar los nuevos conocimientos significativamente

permitiendo la reflexión, análisis y síntesis; evitando la memorización

de conceptos y la repetición sistemática.

• Despierta la motivación por aprender de manera autónoma.

2.2.7. Fundamentación Filosófica

Las matemáticas al ser una ciencia formal que parte de axiomas y

sigue el razonamiento lógico, permite estudiar las propiedades y relaciones

entre entidades abstratas como números, figuras geométricas o símbolos

matemáticos, contribuyendo a deducir lenguajes formales que sirven como

herramientas para plantear problemas de manera no ambigua en contextos

específicos.

Las ciencias naturales han hecho un uso exclusivo de las

matemáticas para explicar diversos fenómenos observables, por lo que es

casi imposible pasar por alto las grandes extenciones que tiene esta

asignatura en diversos contextos, y a su vez facilita las condiciones

necesarias para poder relacionarlas con elementos y situaciones de la vida

cotidiana que permitan su comprensión, desarrollando así el pensamiento

lógico y crítico.

46

Una de las funciones que tiene la Filosofía en el ámbito educativo,

especialmente en las matemáticas, es la formación de una conciencia

crítica la misma que reincide sobre la práctica más que en el razonamiento,

“pues consiste en que a partir del conocimientos que posea de su entorno

el ser humano sea capaz de transformarlos por medio de la práctica, la

participación y la propuesta de nuevos espacios de reflexión” (Correa

Lozano, 2012, pág. 74).

Esta función apunta directamente a un aprendizaje significativo, que

a través de la práctica directa utilizando los recursos necesarios que se

encuentren en le entorno permitan comprender eficazmente los diversos

concpetos matemáticos. .

Para Correa Lozano: “La educación, junto con la reflexión filosófica,

deben ayudarnos a crear situaciones que lleven a la persona a darse

cuenta y a ubicarse en su propia realidad, para desde ahí criticar los hechos

y luego actuar sobre ellos” (2012, pág. 80).

2.2.8. Fundamentación Epistemológica

En el ámbito educativo la epistemología se refiere al conocimiento

que se produce durante el proceso de enseñanza aprendizaje, analiza los

métodos, técnicas y procedimientos, aplicados a través de la planificación,

que ayudan a estructurar una secuencia lógica para aprender de manera

significativa, en pocas palabras permite identificar como se da el

conocimiento en los individuos y que factores ayudan a incrementarlo.

Existen diversas posturas epistémicas en el contexto educativo,

entre ellas la que da aporte al presente trabajo investigativo, por estar

relacionada estrechamente con el aprendizaje significativo, es la dialéctica,

esta establece que tanto el objeto como el sujeto deben estar en

permanente interacción para que por medio de la actividad continua

construya su propio conocimiento, teniendo en cuenta que el conocimiento

47

es progresivo y va evolucionando a medida que el sujeto descubra nuevas

características del objeto de estudio (Azócar Añez, 2015).

En la práctica es el docente el encargado de proponer y aplicar

técnicas, estrategias y métodos que incentiven al estudiante a adueñarse

del conocimiento para que estén preparados a los requerimientos del

mundo actual, contextualizando la información según los avances

científicos y tecnológicos.

Por lo tanto, la epistemología aplicada en la educación propone que

el conocimiento sea cualitativo, es decir que sea de calidad y no una simple

acumulación de información. A demás implica que el conocimiento debe

ser integral por lo que el docente debe considerar la parte afectiva, moral y

social del educando durante el desarrollo del proceso de enseñanza

aprendizaje.

2.2.9. Fundamentación Pedagógica – Didáctica

Para la Doctora Rosa Celi: “El profesor debe ser un mediador que

ayuda a otros a aprender, pensar, sentir, actuar y desarrollarse como

personas” (2013, pág. 35).

La enseñanza no solo se trata de la transmisión de información, si

no de fomentar y desarrollar un pensamiento crítico que conduzca al

análisis y síntesis de calidad ante la gran cantidad y diversidad de

conocimiento que se genera en la sociedad actual, teniendo en cuenta que

la experiencia humana no solo se genera a partir del pensamiento, sino que

también está relacionada con la parte afectiva del individuo, las cuales al

trabajar en conjunto (pensamiento y la parte afectiva) dan significado a la

experiencia adquirida.

Para esto el docente debe cambiar las estrategias tradicionales de

enseñanzas en las cuales el educando es solo un receptor de información,

48

por nuevas estrategias que fomenten un aprendizaje significativo,

colaborativo y motivacional que promuevan la interacción activa entre

estudiantes y docentes, ubicando al rol del docente como un mediador del

proceso enseñanza aprendizaje.

El método Heuristico facilita la adquisición del aprendizaje

significativo, debido a que permite desarrollar en el estudiante cierta

autonomía durante el proceso de búsqueda de soluciones a las situaciones

problemas que se le plantean, ya que el docente por medio de preguntas

guía a los estudiantes para que reflexionen sobre la situación planteada;

así mismo este método permite presentar los contenidos adaptándolos al

nivel psicoevolutivo del estudiante, esto facilita que los educandos

establezcan relaciones entre los concpetos.

David Ausubel en su Teoría del Aprendizaje Significativo establece

la importancia de conocer la estructura cognitiva del educando, es decir,

identificar como el estudiante opera con sus conceptos y proposiciones; y

no solamente la cantidad de información que posee; esta propuesta permite

elaborar herramientas de tipo metacognitivas lo que ayuda a orientar de

mejor manera el desarrollo de la labor docente apoyándose en las

experiencias propias de los estudiantes que ayuden a construir su

conocimientos (Sylva Lazo, 2013).

2.2.10. Fundamentación Psicológica

En el actual modelo educativo, que rige desde el 2016, el estudiante

es el encargado de seleccionar, procesar, clasificar y tomar decisiones con

la información que adquiere, para enlazarla con conocimientos anteriores

formando una cadena que le permitirá recordar con facilidad lo que se le ha

enseñado, prevaleciendo de esta manera la importancia de formar bases

sólidas de conocimientos.

49

Según Castorina y Dubrovsky “una teoría psicológica puede ayudar

a los educadores a reflexionar sobre algunas facetas enigmáticas de su

práctica” (2014, pág. 81), lo que permite cambiar los métodos y técnicas de

la enseñanza tradicional en donde el estudiante solo era un ente receptivo,

para que este tome el papel que le corresponde dentro del proceso

educativo.

La teoría del aprendizaje significativo de Ausubel establece la

importancia de la construcción de significados como un componente

fundamental del aprendizaje, tomando en consideración los factores que

inciden en el proceso de enseñanza.

2.2.11. Fundamentación Sociológica

En el ámbito social la educación es un pilar fundamental ya que

constituye la base de la formación y del desarrollo de las relaciones

humanas, contribuye al progreso de la sociedad, por lo que sin educación

la humanidad no evolucionaría.

Para Isidro Hinojal: “La educación no es un hecho social cualquiera,

la función de la educación es la integración de cada persona en la sociedad,

así como el desarrollo de sus potencialidades individuales” (2013, pág. 12).

Por lo que la Educación y la Sociedad son conceptos que están

estrechamente relacionados, la educación de forma individual guía al

perfeccionamiento personal y colectivamente aporta al progreso social.

Durante el desarrollo del aprendizaje, el estudiante selecciona la

información que le parece más importante y la conserva para sí mismo, en

este un proceso el entorno en el que se desenvuelve juega un papel

fundamental, ya que este puede producir estímulos negativos o positivos

en el estudiante. Esta interacción del estudiante con su entorno es el que

permite desarrollar el aprendizaje significativo.

50

La teoría del aprendizaje significativo de David Ausubel permite

comprender al conocimiento como el resultado de la interacción del

individuo con el mundo real, esta teoría ha permitido transformar los

objetivos educativos y adaptarlos a los requerimientos que demanda la

sociedad actual ayudando a responder de forma efectiva a las necesidades

de un mundo globalizado; por lo que el enfoque de las destrezas con

criterios de desempeño del área de matemáticas no tienen que ser

desarrollados de forma abstracta, si no de manera creativa para que el

estudiante pueda procesar y relacionar la gran cantidad de información con

el contexto actual, siendo estos los elementos más esenciales del proceso

educativo. Por lo tanto, la educación no puede desarrollarse de manera

aislada en la sociedad, se debe adapatar a las necesidades de la misma.

2.3. Marco Contextual

La Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” pertenece a la Zona 8,

Distrito 1 Circuito 5, y está ubicada en la Cdla. 9 de octubre Avenida

Rigoberto Ortiz entre Alberto Avellan y Pedro Asaad de la Provincia del

Guayas, Cantón Guayaquil, Parroquia Ximena; y está conformada por los

cursos de Educación General Básica Superior y Bachillerato, funciona en

las jornadas: matutina, vespertina y nocturna; su infraestructura presenta

condiciones óptimas y está construida sobre una superficie de 2240 metros

cuadrados; actualmente cuenta con 2842 estudiantes de los cuales 1077

son mujeres y 1765 son hombres. Al ser una institución que está ubicada

en una zona urbana, la mayor parte de sus estudiantes provienen de

familias de clase baja.

Fue creada el 28 de marzo de 1960 por medio de la Resolución 130

expedido por el Dr. Leónidas Ortega Moreira quien desempeñaba sus

funciones como Ministro de Educación Pública, estableciendo a la

institución con una modalidad de estudio presencial y exclusivamente para

varones; pero a partir del año 2013 por orden ministerial comenzó a

funcionar como colegio mixto, su primer rector fue el Dr. Francisco Ravira

51

Suárez, desde sus inicios se ha implantado como una de las instituciones

fiscales de renombre del sur de la ciudad de Guayaquil,

Las especialidades que actualmente ofrece esta Unidad Educativa

son el Bachillerato en Ciencias, en Informática y en Contabilidad. En sus

58 años de vida institucional ha formado estudiantes que han sido

protagonistas del cambio social, con una conciencia crítica para que

contribuyan al desarrollo del país, fortaleciendo el ámbito tecnológico y del

emprendimiento, inculcando en ellos sólidos valores éticos y morales.

2.4. Marco Legal

2.4.1. Constitución Política de la República del Ecuador

Título II. Derechos

Capítulo II. Derechos del Buen Vivir

Sección quinta

Educación

Art. 26.- La educación es un derecho de las personas a lo largo de

su vida y un deber ineludible e inexcusable del Estado. Constituye un área

prioritaria de la política pública y de la inversión estatal, garantía de la

igualdad e inclusión social y condición indispensable para el buen vivir. Las

personas, la familia y la sociedad tienen el derecho ya la responsabilidad

de participar en el proceso educativo.

Art. 27.- La educación se centrará en el ser humano y garantizará

su desarrollo holístico, en el marco del respeto a los derechos humanos, al

medio ambiente sustentable y a la democracia; será participativa,

obligatoria, intercultural, democrática, incluyente y diversa, de calidad y

calidez; impulsará la equidad de género, la justicia la solidaridad y la paz;

estimulará el sentido crítico, el arte y la cultura física, la iniciativa individual

y comunitaria, y el desarrollo de competencias y capacidades para crear y

trabajar.

52

La educación es indispensable para el conocimiento, el ejercicio de

los derechos y la construcción de un país soberano, y constituye un eje

estratégico para el desarrollo nacional.

Art. 28.- La educación responderá al interés público y no estará al

servicio de intereses individuales y corporativos. Se garantizará el acceso

universal, permanencia, movilidad y egreso sin discriminación alguna y la

obligatoriedad en el nivel inicial, básico y bachillerato o su equivalente.

Es derecho de toda persona y comunidad interactuar entre culturas

y participar en una sociedad que aprende. El estado promoverá el diálogo

intercultural en sus múltiples dimensiones.

Título VII. Régimen del Buen Vivir

Capítulo I. Inclusión y equidad

Sección Primera

Educación

Art. 343.- El sistema nacional de educación tendrá como finalidad el

desarrollo de las capacidades y potencialidades individuales y colectivas

de la población, que posibiliten el aprendizaje, y la generación y la

utilización de conocimientos, técnicas, saberes, artes y cultura. El sistema

tendrá como centro al sujeto que aprende, y funcionará de manera flexible

y dinámica, incluyente, eficaz y eficiente.

2.4.2. Ley Orgánica de Educación Intercultural

Título I. De los Principios Generales

Capítulo Único. Del Ámbito, Principios y Fines

Art.2.- Principios. - La actividad educativa se desarrolla a tendiendo

a los siguientes principios generales, que son los fundamentos filosóficos,

conceptuales y constitucionales que sustentan, definen y rigen las

decisiones y actividades en el ámbito educativo:

53

b) Educación para el cambio. - La educación constituye un

instrumento de transformación de la sociedad; contribuye a la

construcción del país, de los proyectos de vida y de la libertad de

sus habitantes, pueblos y nacionalidades; reconoce a las y los seres

humanos, en particular a las niñas, niños y adolescentes; como

centro del proceso de aprendizajes y sujetos de derecho; y se

organiza sobre la base de los principios constitucionales;

c) Libertad. - La educación forma a las personas para la

emancipación, autonomía y el pleno ejercicios de sus libertades. El

estado garantizará la pluralidad en la oferta educativa;

g) Aprendizaje permanente. – La concepción de la educación como

un aprendizaje permanente, que se desarrolla a lo largo de toda la

vida;

n) Comunidad de aprendizaje. – La educación tiene entre sus

conceptos aquel que reconoce a la sociedad como un ente que

aprende y enseña y se fundamenta en la comunidad del aprendizaje

entre docentes y educandos, considerada como espacios de diálogo

social e intercultural e intercambio de aprendizajes y saberes;

s) Flexibilidad. – La educación tendrá una flexibilidad que le permita

adecuarse a las diversidades y realidades locales y globales,

perseverando la identidad nacional y la diversidad cultural, para

sumirlas e integrarlas en el concierto educativo nacional, tanto en

sus conceptos como en sus contenidos, base científica –

tecnológicas y modelos de gestión;

dd) Articulación. – Se establece la conexión, fluidez, gradación

curricular entre niveles del sistema, desde lo macro hasta lo micro

curricular, con enlaces en los distintos niveles educativos y sistemas

y subsistemas del País;

54

ll) Pertinencia. – Se garantiza a las y los estudiantes una formación

que responda a las necesidades de su entorno social, natural y

cultural en los ámbitos local, nacional y mundial.

Art. 3.- Fines de la educación. – Son fines de la educación:

d) El Desarrollo de capacidades de análisis y conciencia crítica para

que las personas se inserten en el mundo como sujetos activos con

vocación transformadora y de construcción de una sociedad justa,

equitativa y libre;

Título II. De los Derechos y Obligaciones

Capítulo Cuarto. De los Derechos y Obligaciones de las y los

Docentes

Art. 11.- Obligaciones. - Las y los docentes tienen las siguientes

obligaciones:

i) Dar apoyo y seguimiento pedagógico a las y los estudiantes, para

superar el rezago y dificultades en los aprendizajes y en el desarrollo

de competencias, capacidades, habilidades y destrezas;

55

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA

3.1. Diseño de la investigación

El presente proyecto de acuerdo a sus características corresponde

a una investigación de tipo bibliográfica, porque se recolecto la información

necesaria para dar sustento a este trabajo investigativo; la modalidad que

se empleará será la cuali-cuantitativa, ya que se recopilará datos

estadísticos por medio de una encuesta que se aplicará a un grupo

reducido de individuos en este caso a los estudiantes del Primer Año de

Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “ Eloy Alfaro” de la ciudad de

Guayaquil, la cual constará de un cuestionario de diez preguntas en la

escala de Likert; y apoyándonos en el método de Análisis- Síntesis para

interpretar los resultados obtenidos y poder redactar las conclusiones y

recomendaciones.

3.2. Modalidad de la investigación

Este trabajo investigativo se basa en el enfoque Cuali-cuantitativo.

Para Sánchez Valtierra (2016) el enfoque mixto o cuali.cuantitativo es un

conjunto de procesos sistemáticos, empíricos y críticos que se combinan

en un estudio, contribuyendo a la recolección de información de tipo

cualitativa y cuantitativa, con el propósito de obtener una visión más

completa del fenómeno que se está investigando.

El presente proyecto es cualitativo, porque se partió desde una

pregunta de investigación que se formuló en concordancia con la

metodología que se pretende aplicar; también es cuantitativa porque se

recopilará los resultados obtenidos al aplicar los instrumentos de

investigación en una tabla de datos, por lo tanto, al realizar la mezcla de

56

estos enfoques dándoles igual importancia permite maximizar las ventajas

de cada una de ellas, proporcionando un aporte sustancial y significativo a

este proyecto.

3.3. Tipos de investigación

Según finalidad de este proyecto el tipo de investigación que se

aplicará será la bibliográfica. Para Manuel Rodríguez (2014) la

investigación bibliográfica es un proceso ordenado que recopila

información de diferentes materiales empíricos que pueden ser impreso,

gráfico, físico o virtuales; para analizarlas y clasificarlas como fuentes

conceptuales y metodológicas para un trabajo investigativo en particular.

Este proyecto sigue este tipo de investigación porque las teorías que

se plantearán serán recopiladas de datos y documentos comprobados y

actualizados, tales como: libros (físicos y virtuales), revistas, artículos

científicos, folletos y páginas web.

Según el objetivo gnoseológico, esta investigación es descriptiva,

porque se busca describir las características de la población de estudio, así

como los hechos o causas que intervienen para dar solución al problema

planteado en este proyecto.

3.4. Métodos de investigación

El método de análisis – síntesis permite reconocer y descifrar los

componentes de una realidad, para posteriormente organizar la

información más relevante según criterios establecidos para la

investigación.

El inductivo - deductivo, va desde lo particular (inducción) a lo

general (deducción), esto permite establecer un procedimiento lógico que

orienta a alcanzar el propósito de la investigación.

57

Este proyecto se apoya en el método de análisis – síntesis porque

se partió desde la definición de los productos notables para establecer la

relación que tiene con otros temas de la malla curricular del Bachillerato y

su importancia en la aplicación en diferentes ámbitos de la sociedad, así

mismo del inductivo -deductivo dado que se consideró a las operaciones

algebraicas básicas como prerrequisito para elaborar y aplicar la Guía

didáctica con estrategias activas.

3.5. Técnicas de investigación

De acuerdo a la metodología utilizada se utilizarán como técnicas de

investigación: la encuesta dirigida a los estudiantes y docentes de

matemáticas del Primer Año de Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal

“Eloy Alfaro” de la ciudad de Guayaquil, y la entrevista que se la realizará

al Rector de la Institución Educativa.

Para López Roldan y Fachelli (2015):

La encuesta permite recoger datos por medio de la utilización de un

cuestionario aplicado a las personas seleccionadas como muestras para

identificar el grado de información que poseen acerca de un tema

específico.

La entrevista consiste en un diálogo que se aplica directamente a

una persona sobre un tema específico con el fin de obtener información

concreta sobre el fenómeno de estudio.

3.6. Instrumentos de investigación

Como instrumento de investigación se utilizará un cuestionario de

diez preguntas elaboradas estrictamente para que sean respondidas bajo

la escala de Likert.

58

El cuestionario se realiza de forma escrita por medio de un formato

realizado en un papel el cual contiene una serie de preguntas que deben

ser llenadas por el encuestado sin intervención del encuestador (Arias,

2016).

La Escala Likert es una herramienta de medición psicométrica que

permite estimar las cualidades e identificar el grado de satisfacción de una

persona encuestada por medio de las interrogantes que se le aplican

(Llauradó, 2014).

La escala que se utilizará en el instrumento de investigación será la

siguiente:

CUADRO No 2

Escala Likert

ESCALA DE VALORES ALTERNATIVAS

5 SIEMPRE

4 CASI SIEMPRE

3 ALGUNAS VECES

2 POCAS VECES

1 NUNCA

3.7. Población y Muestra

3.7.1. Población

“La población, o en términos más precisos la población objetivo, es un

conjunto finito o infinito de elementos con características comunes para

los cuales serán extensivas las conclusiones de la investigación. Esta

queda delimitada por el problema y por los objetivos de estudio”. (Arias,

2016, pág. 81)

La población de estudio de este trabajo investigativo está

conformada por el Rector que es la Autoridad Principal, los tres docentes

de matemáticas y los estudiantes del Primer Año de Bachillerato de la

59

Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” de la Ciudad de Guayaquil, Sección

matutina, la cual consta de cinco paralelos distribuidos de la siguiente

forma: dos de la especialidad de ciencias con 36 y 40 estudiantes

respectivamente, dos de informática con 45 estudiantes cada uno y uno de

contabilidad con 42 estudiantes, dando un total de 208 estudiantes.

CUADRO No. 3

Población del Primero Año de Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”

Ítem Estratos Frecuencias Porcentajes

1 ESTUDIANTES 208 98.11%

2 DOCENTES 3 1.41%

3 AUTORIDADES 1 0.48%

Total 212 100%

Fuente: Secretaría del Plantel Elaborado por: Douglas Chilan Choez

3.7.2. Muestra

“La muestra es un subconjunto representativo y finito que se extrae

de la población accesible” (Arias, 2016, pág. 83)

Para la aplicación de la encuesta, en caso de la autoridad y de los

docentes de matemáticas de la Unidad Educativa se considera como

muestra a la población total, pero para los estudiantes se aplicará la fórmula

para estimar la muestra, la cual detallaremos a continuación:

Fórmula

Fórmula de Muestreo para población finita. (Arias, 2016, pág. 88)

Z: es una constante que depende del nivel de confianza que asignemos.

El nivel de confianza indica la probabilidad de que los resultados de nuestra

investigación sean ciertos

60

N = Población = 208

P = Probabilidad de éxito = 0,5

Q = Probabilidad de fracaso = 0,5

P*Q= Varianza de la Población= 0,25

E = Margen de error = 5,00%

NC (1-α) = Confiabilidad = 95%

Z = Nivel de Confianza = 1,96

𝑛 = 1,962 ∗ 0,25 ∗ 208

0.052(208 − 1) + 1,96² ∗ 0,25

𝑛 = 3.8416 ∗ 52

0.0025(207) + 3,8416 ∗ 0,25

𝑛 = 199,7632

0,5175 + 0,9604

𝑛 = 199,7632

1,4779

𝑛 = 135

Después de haber realizado los respectivos cálculos se aplicará la

encuesta a 135 estudiantes del Primer año de Bachillerato de la sección

matutina correspondiente a los dos paralelos de la especialidad de

informática y uno de ciencias, así mismo a la Autoridad principal y a los tres

docentes de matemáticas de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”.

CUADRO No. 4

Muestra del Primer Año de Bachillerato de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”

Ítem Estratos Frecuencias Porcentajes %

1 Estudiantes 135 97,12%

2 Docentes 3 .2,15%

3 Autoridades 1 0.73%

Total 139 100%

Fuente: Datos de la fórmula Elaborado por: Douglas Chilan Choez

61

3.8. Análisis e interpretación de los resultados de la encuesta aplicada

a los estudiantes de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”

Pregunta 1.- ¿Aplicas los productos notables para resolver operaciones

algebraicas con fracciones?

CUADRO No. 5

Pregunta 1 de la Encuesta dirigida a los Estudiantes

Ítem Alternativas Frecuencias Porcentajes

1

Siempre 41 31%

Casi Siempre 45 33%

Algunas veces 28 21%

Muy pocas veces 18 13%

Nunca 3 2%

TOTAL 135 100%

Fuente: Encuesta a estudiantes Elaborado por: Douglas Chilan Choez

GRÁFICO No. 1

Pregunta 1 de la Encuesta Dirigida a Estudiantes


Análisis: La mayoría de los estudiantes consideran que casi siempre

tienen que aplicar los casos de productos notables para resolver y

simplificar el proceso de desarrollo de las operaciones con fracciones

algebraicas, lo que les ayuda a optimizar el tiempo cuando se les aplica una

evaluación.

31%

33%

21%

13% 2%

SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS VECES MUY POCAS VECES NUNCA

62

Pregunta 2.- ¿Las operaciones algebraicas básicas intervienen en la

resolución de los productos notables?

CUADRO No. 6



2

Siempre 26 19%

Casi Siempre 35 26%



Nunca 6 4%

TOTAL 135 100%


GRÁFICO No. 2



Análisis: La mayoría de los estudiantes opinan que sólo algunas veces las

operaciones algebraicas básicas intervienen en la resolución de los

productos notables, lo que demuestra que existe una memorización de las

reglas para resolverlas y no una relación significativa entre conceptos que

ayuden a una mejor comprensión y asimilación.

19%

26%35%

16%4%


63

Pregunta 3.- ¿Las estrategias didácticas favorecen al desarrollo de los

productos notables?

CUADRO No. 7



3

Siempre 23 17%

Casi Siempre 50 37%



Nunca 10 7%

TOTAL 135 100%


Gráfico No. 3



Análisis: La mayor parte de los estudiantes aseveran que casi siempre las

estrategias didácticas que aplican los docentes, les ayudan a tener una

mejor comprensión del desarrollo de los productos notables lo que les

permite recordar con facilidad su proceso de resolución.

17%

37%23%

16%7%


64

Pregunta 4.- ¿Relacionas los conceptos matemáticos básicos con otros de

mayor complejidad?

CUADRO No. 8



4

Siempre 13 10%

Casi Siempre 38 28%



Nunca 12 9%

TOTAL 135 100%


Gráfico No. 4



Análisis: Un pequeño porcentaje de los estudiantes encuestados afirman

que tienen facilidad para relacionar los conceptos matemáticos aprendidos

previamente con otros de mayor complejidad, lo que les permite formar una

secuencia lógica para dar rápida solución a los problema de aplicación.

10%

28%

24%

29%

9%


65

Pregunta 5.- ¿Resuelves por simple inspección los diferentes casos de

productos notables?

CUADRO No. 9



5

Siempre 15 11%

Casi Siempre 20 15%



Nunca 13 10%

TOTAL 135 100%


GRÁFICO No. 5



Análisis: La mayoría de los estudiantes encuestados afirman que muy

pocas veces pueden resolver por simple inspección los diferentes casos de

productos notables, lo que evidencia claramente que han sido inducidos a

la memorización estricta de las reglas algebraicas para su resolución.

11%

15%

20%44%

10%


66

Pregunta 6.- ¿Tu docente de matemáticas aplica estrategias didácticas

para aprender a desarrollar los productos notables de manera interactiva?

CUADRO No. 10



6

Siempre 32 24%

Casi Siempre 35 26%



Nunca 11 8%

TOTAL 135 100%


GRÁFICO No. 6



Análisis: Gran parte de los estudiantes manifiestan que casi siempre sus

docentes de matemáticas utilizan durante el desarrollo de las clases

estrategias didácticas que fomentan una mejor comprensión del desarrollo

de los productos notables para facilitar su aplicación en otros temas.

24%

26%23%

19%

8%


67

Pregunta 7.- ¿Tu profesor de matemáticas utiliza actividades lúdicas

(juegos) para afianzar el proceso de solución de los productos notables?

CUADRO No. 11



7

Siempre 15 11%

Casi Siempre 15 11%



Nunca 36 27%

TOTAL 135 100%


GRÁFICO No. 7



Análisis: La tercera parte de los estudiantes encuestados manifiestan que

muy pocas veces los docentes utilizan como estrategia didáctica las

actividades lúdicas como medio para afianzar el desarrollo de los productos

notables para que puedan ser aplicados en ejercicios de mayor complejidad

11%

11%

24%27%

27%


68

Pregunta 8.- ¿El docente hace un repaso de los conceptos anteriormente

estudiados antes de iniciar un tema nuevo?

CUADRO No. 12



8

Siempre 41 30%

Casi Siempre 42 31%



Nunca 8 6%

TOTAL 135 100%


GRÁFICO No. 8



Análisis: La mayor parte de los estudiantes encuestados sostienen que

casi siempre antes de iniciar una nueva clase, el docente les realiza un

repaso de los conceptos estudiados anteriormente con el propósito que

establezcan la relación entre los temas aprendidos.

30%

31%

20%

13%6%


69

Pregunta 9.- ¿Identificas y desarrollas con facilidad productos notables

aplicando estrategias didácticas?

CUADRO No. 13



9

Siempre 31 23%

Casi Siempre 46 34%



Nunca 12 9%

TOTAL 135 100%


GRÁFICO No. 9



Análisis: La mayor parte de los estudiantes encuestados afirma tener casi

siempre facilidad para identificar y desarrollar productos notables por

simple inspección, lo que demuestra en su mayoría la dificultad que existe

para memorizar las reglas algebraicas para su resolución.

23%

34%18%

16%

9%


70

Pregunta 10.- ¿El desarrollar correctamente productos notables facilita

resolver ejercicios de mayor complejidad en donde son parte de la

solución?

CUADRO No. 14



10

Siempre 44 33%

Casi Siempre 43 32%



Nunca 11 8%

TOTAL 135 100%


GRÁFICO No. 10



Análisis: La mayor parte de los estudiantes encuestados considera que el

saber identificar y desarrollar correctamente los productos notables

siempre les ayuda a resolver de forma simplificada ejercicios de mayor

complejidad que se presentan en el bachillerato.

33%

32%

18%

9%8%


71

3.9. Análisis de la encuesta aplicada a los Docentes de Matemáticas

de la Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”

Pregunta 1.- ¿Sus estudiantes aplican los productos notables para resolver

operaciones algebraicas con fracciones?

CUADRO No. 15

Pregunta 1 de la Encuesta dirigida a los Docentes


1

Siempre 0 0%

Casi Siempre 1 33%

Algunas veces 2 67%


Nunca 0 0%

TOTAL 3 100%

Fuente: Encuesta a los docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez

GRÁFICO No. 11

Pregunta 1 de la Encuesta Dirigida a los Docentes

Fuente: Encuesta a docentes Elaborado por: Douglas Chilan Choez

Análisis: Los docentes de matemáticas encuestados manifiestan en su

mayoría que solo algunas veces sus estudiantes identifican y aplican los

productos notables para simplificar el proceso de resolución de operaciones

con fracciones algebraicas.

0%33%

67%

0%0%


72

Pregunta 2.- ¿Realiza demostraciones para que los estudiantes

comprendan que las operaciones algebraicas básicas intervienen en la

resolución de productos notables?

CUADRO No. 16



2

Siempre 2 67%

Casi Siempre 1 33%

Algunas veces 0 0%


Nunca 0 0%

TOTAL 3 100%


GRÁFICO No. 12



Análisis: La mayoría de los docentes encuestados afirman realizar siempre

demostraciones matemáticas para que sus estudiantes comprendan y

relacionen cuales son las operaciones algebraicas básicas que intervienen

en los productos notables.

67%

33%

0%0%0%


73

Pregunta 3.- ¿Las estrategias didácticas favorecen el desarrollo de los

productos notables?

CUADRO No. 17



3

Siempre 1 33%

Casi Siempre 2 67%

Algunas veces 0 0%


Nunca 0 0%

TOTAL 3 100%


GRÁFICO No. 13



Análisis: Gran parte de los docentes encuestados afirman que casi

siempre las estrategias didácticas ayudan a que sus estudiantes

comprendan como desarrollar los productos notables fácilmente sin

necesidad de recurrir a la memorización de las reglas algebraicas.

33%

67%

0%0%0%


74

Pregunta 4.- ¿Sus estudiantes relacionan fácilmente los conceptos

matemáticos básicos con otros de mayor complejidad?

CUADRO No. 18



4

Siempre 0 0%

Casi Siempre 1 33%

Algunas veces 2 67%


Nunca 0 0%

TOTAL 3 100%


GRÁFICO No. 14



Análisis: Los docentes de matemáticas en su mayoría consideran que sólo

algunas veces sus estudiantes relacionan con facilidad los conceptos

matemáticos básicos con lo de mayor complejidad, lo que demuestra la

importancia de aplicar estrategias didácticas que fomenten el aprendizaje

significativo

0%

33%

67%

0%0%


75

Pregunta 5.- ¿Sus estudiantes resuelven por simple inspección los

diferentes casos de productos notables?

CUADRO No. 19



5

Siempre 1 33%

Casi Siempre 0 0%

Algunas veces 2 67%


Nunca 0 0%

TOTAL 3 100%


GRAFICO No. 15



Análisis: Los docentes de matemáticas encuestados en su gran mayoría

considera que sólo un determiando número de estudiantes han podido

memorizar las reglas algebraicas lo que le permite resolver los productos

notables por simple inspección.

33%

67%


76

Pregunta 6.- ¿Aplica estrategias didácticas para que sus estudiantes

comprendan mejor el desarrollo de los productos notables?

CUADRO No. 20



6

Siempre 1 33%

Casi Siempre 2 67%

Algunas veces 0 0%


Nunca 0 0%

TOTAL 3 100%


GRÁFICO No. 16



Análisis: Los docentes en su gran mayoría afirman que casi siempre

aplican estrategias didácticas durante la explicación de los productos

notables para que sus estudiantes comprendan mejor su desarrollo y

aplicación en ejercicios con los cuales se relaciona directamente.

33%

67%


77

Pregunta 7.- ¿Utiliza actividades lúdicas (juegos) durante el desarrollo de

la clase para afianzar el proceso de solución de los productos notables?

CUADRO No. 21



7

Siempre 1 33%

Casi Siempre 0 0%

Algunas veces 0 0%


Nunca 0 0%

TOTAL 3 100%


GRÁFICO No. 17



Análisis: La gran mayoria de los docentes manifiesta que muy pocas veces

aplican durante el desarrollo de sus clases actividades lúdicas como

estrategias didácticas que fomenten el desarrollo de los productos notables,

lo que implica que en gran parte solo se limitan a que memoricen las reglas

para su solución.

33%

0%0%67%

0%


78

Pregunta 8.- ¿Con qué frecuencia realizas repaso de los conceptos

anteriormente estudiados antes de iniciar un tema nuevo de clases?

CUADRO No. 22



8

Siempre 2 67%

Casi Siempre 1 33%

Algunas veces 0 10%


Nunca 0 0%

TOTAL 3 100%


GRÁFICO No. 18



Análisis: Los docentes aseguran que siempre realizan un breve repaso de

los temas anteriormente estudiados antes de iniciar un nuevo conocimiento

con el propósito de que puedan relacionarlos y alcancen un aprendizaje

significativo.

67%

33%

0%0%0%


79

Pregunta 9.- ¿Sus estudiantes identifican y desarrollan con facilidad

productos notables aplicando estrategias didácticas?

CUADRO No. 23



9

Siempre 1 33%

Casi Siempre 2 67%

Algunas veces 0 0%


Nunca 0 0%

TOTAL 3 100%


GRÁFICO No. 19



Análisis: La mayor parte de los docentes considera que cuando aplican

estrategias didácticas casi siempre sus estudiantes desarrollan e identifican

con mayor facilidad los diferentes casos de los productos notables para

resolver problemas de aplicación.

33%

67%

0%0%0%


80

Pregunta 10.- ¿Resaltas a tus estudiantes la importancia de desarrollar

correctamente los productos notables al resolver ejercicios de mayor

complejidad en donde son parte de la solución?

CUADRO No. 24



10

Siempre 3 100%

Casi Siempre 0 0%

Algunas veces 0 0%


Nunca 0 0%

TOTAL 135 100%


GRÁFICO No. 20



Análisis: De manera unánime los docentes afirman que siempre resaltan

la importancia de desarrollar correctamente los productos notables permite

simplificar el proceso en ejercicios de mayor complejidad en donde

intervienen directamente.

100%


81

ENTREVISTA

3.10. Análisis e interpretación de resultados de la entrevista aplicada

al Rector de la Unidad Educativa “Eloy Alfaro”.

Entrevistador: Douglas Eduardo Chilan Choez

Lugar: Rectorado

Entrevistado: MSc. Marcos Monserrate Canales

Cargo: Rector

1. ¿Qué es para Ud. el aprendizaje significativo?

Es el aprendizaje en el cual los contenidos aprendidos permiten

conocer para que sirven o cómo podemos aplicarlos en la vida diaria.

2. ¿Considera Ud. que el aprendizaje significativo es esencial para

mejorar el rendimiento académico de los estudiantes en la

asignatura de matemáticas?

Este tipo de aprendizaje le da mayor importancia a esta asignatura,

así sabrán los estudiantes para que sirven los diferentes algoritmos

matemáticos

3. ¿Cree Ud. que en la actualidad es necesario que los docentes

de matemáticas apliquen estrategias didácticas?

Siempre he creído que se deben aplicar estrategias didácticas para

la mejor comprensión y asimilación de esta asignatura.

82

4. ¿Según su criterio cuáles podrían ser los factores que inciden

en el bajo rendimiento académico de las matemáticas?

La falta de motivación para aprender y enseñar matemáticas,

docentes que han sido asignados a dar matemáticas sin ser

profesionales especializados y la falta de recursos didácticos.

5. ¿Los profesores actualmente fomentan el aprendizaje

significativo en sus clases?

Puedo decir que el docente tiene al menos el conocimiento de lo

que es el aprendizaje significativo, pero le faltan estrategias para su

aplicación constante en el aula.

6. ¿Cuáles podrían ser las principales causas que impiden a los

docentes implementar estrategias didácticas en sus clases?

Desconocimiento de las estrategias didácticas que se pueden aplicar

en el aula según la necesidad de los estudiantes

Poca motivación y conocimiento del docente para incluirlas en su

planificación

Falta de capacitación constante lo que conlleva a una

desactualización.

83

3.11. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

3.11.1. Conclusiones:

• Los productos notables intervienen de manera significativa para

resolver simplificadamente ejercicios y problemas en los que son

parte de su solución por lo cual es necesario aplicar estrategias

didácticas que fomenten su fácil resolución.

• Pocas veces los docentes aplican estrategias didácticas

innovadoras para enseñar productos notables, por lo que aún

predomina la forma tradicional en la que se induce al estudiante a

memorizar las reglas para su resolución.

• Existe una retroalimentación constante por parte de los docentes

sobre los conceptos básicos algebraicos, pero no se resalta su

importancia y la relación que tienen con otros temas.

• El aprendizaje significativo juega un papel primordial en la

enseñanza de las matemáticas por lo tanto es importante que los

docentes utilicen estrategias didácticas que estimulen a los

estudiantes a relacionar conceptos matemáticos básicos con los de

mayor complejidad.

• Con la aplicación de la guía didáctica con estrategias activas se

evidenció en los estudiantes una mejor comprensión y facilidad para

resolver productos notables siendo esto reflejado en su rendimiento

académico.

84

3.11.2. Recomendaciones

• Los docentes de matemáticas deben resaltar siempre la importancia

que tiene los productos notables para resolver problemas y ejercicios

de mayor complejidad.

• Se debe innovar constantemente las estrategias que se aplican en

el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas evitando

en gran manera inducir al estudiante sólo a la memorización.

• Antes de iniciar cada clase es fundamental que los docentes

identifiquen los prerrequisitos que necesitan reforzar sus estudiantes

para que no queden vacíos en ellos y pueden asimilarlos con

facilidad al relacionarlos con otros temas.

• Los docentes deben emplear en el desarrollo de sus clases

actividades que fomenten el aprendizaje significativo, estas

actividades deben seguir un orden lógico y coherente que permitan

al estudiante relacionar fácilmente los conceptos.

• Por último, se recomienda a los docentes complementar sus clases

haciendo uso de la guía didáctica con estrategias activas que se

planteó en este proyecto.

85

CAPÍTULO IV

LA PROPUESTA

4.1. Título de la Propuesta

Guía didáctica con estrategias activas

4.2. Justificación

El actual paradigma educativo, establecido en el nuevo currículo del

año 2016, ubica al estudiante como el protagonista del proceso de

enseñanza aprendizaje, por lo tanto, es necesario innovar la labor docente

aplicando nuevas estrategias y técnicas de aprendizaje que despierten el

interés de los educandos y disminuya la apatía por la asignatura de

matemáticas, que se manifiesta en diferentes situaciones que ponen en

riesgo su rendimiento académico.

En virtud de lo expuesto anteriormente, la guía didáctica con

estrategias activas tiene como finalidad incentivar que los docentes motiven

a los estudiantes, para fortalecer el proceso de enseñanza - aprendizaje de

los productos notables y mejorar su rendimiento académico. El diseño y

aplicación de esta guía es aspirar que la asignatura de Matemáticas en el

tema de Productos Notables, se vuelva más metódica, participativa,

dinámica e interactiva con el fin de que los estudiantes formen bases

sólidas que le permitan aplicar sus conocimientos en la vida profesional.

Considero que es la mejor forma de estimular el interés en los

estudiantes del Primer Año de Bachillerato de la sección matutina de la

Unidad Educativa Fiscal “Eloy Alfaro” de la Ciudad de Guayaquil, para que

puedan resolver con facilidad cualquier ejercicio o problemas en los que

intervienen los productos notables, por lo cual esta guía didáctica es de

considero que será de mucha utilidad para los docentes y estudiantes, ya

86

que contiene una serie de ejercicios prácticos desarrollado con una

metodología activa que promueven el aprendizaje significativo.

4.3. Objetivos de la propuesta

4.3.1. Objetivo General de la propuesta

Innovar el desarrollo de los productos notables aplicando una guía

didáctica con estrategias activas para fomentar el aprendizaje significativo.

4.3.2. Objetivos Específicos de la propuesta

• Incorporar actividades lúdicas durante el desarrollo de la clase para

fomentar el aprendizaje significativo en los estudiantes.

• Socializar la propuesta planteada con las autoridades de la Unidad

Educativa Fiscal “Eloy Alfaro”.

• Aplicar la guía didáctica con estrategias activas a los estudiantes del

Primer Año de Bachillerato.

4.4. Aspectos Teóricos de la propuesta

4.4.1. Aspecto Pedagógico

Una guía didáctica es un material potencialmente pedagógico que

orienta al estudio de una asignatura, promueve el aprendizaje autónomo y

optimiza el desarrollo del proceso enseñanza aprendizaje.

Las estrategias activas ayudan a enseñar de manera novedosa.

permiten al educando participar de forma activa y creativa en el proceso de

enseñanza, fortalece su memoria compresiva y reflexiva, impulsan el

aprendizaje significativo y lo convierten en el centro del proceso educativo

(Tavarez Vásquez, 2014).

87

Una guía bien elaborada permite cumplir fácilmente con el Ciclo de

Aprendizaje (ERCA), es decir posibilita la adquisición de Experiencias

previas, consta de actividades que conducen a la Reflexión y a la

Conceptualización, y de ejercicios practicos para la Aplicación.

4.4.2. Aspecto Legal

La Constitución en el Art. 343 establece que:

El sistema nacional de educación tendrá como finalidad el desarrollo de

las capacidades y potencialidades individuales y colectivas de la

población, que posibiliten el aprendizaje, y la generación y la utilización

de conocimientos, técnicas, saberes, artes y cultura. El sistema tendrá

como centro al sujeto que aprende, y funcionará de manera flexible y

dinámica, incluyente, eficaz y eficiente.

La LOEI, establece en el Art. 11, literal i) como obligación del

docente:

Dar apoyo y seguimiento pedagógico a las y los estudiantes, para

superar el rezago y dificultades en los aprendizajes y en el desarrollo de

competencias, capacidades, habilidades y destrezas

4.4. Factibilidad de su aplicación:

a. Factibilidad Técnica

La presente propuesta tiene factibilidad técnica, porque se cuenta

con los recursos necesarios para su desarrollo tales como:

impresora, computador, internet y hojas; para realizar su aplicación

se tiene la autorización del Rector de la Unidad Educativa de utilizar

las instalaciones de la institución, así como la colaboración de los

docentes que imparten la asignatura de matemáticas y de los

estudiantes del Primer Año de Bachillerato.

88

b. Factibilidad Financiera

Es factible en la parte financiera, porque la inversión económica es

muy baja, ya que la guía será elaborada y aplicada utilizando

recursos propios del investigador .

c. Factibilidad Humana

Para ejecutar la propuesta se cuenta con la aprobación del Rector

quien cedió el permiso para utilizar la Unidad Educativa, con el apoyo

de los docentes de matemáticas quienes estuvieron prestos a

brindar información sobre las falencias de los estudiantes en lo que

respecta a los productos notables, también se contó con la

colaboración de los estudiantes del Primer Año de Bachillerato en

Informática y Ciencias a quienes se les explicó y aplicó la guía

didáctica.

4.5. Descripción de la Propuesta

La propuesta fue aplicada en una clase demostrativa a los

estudiantes del Primer Año de Bachillerato haciendo uso de la guía

didáctica como recurso metodológico, en presencia del Rector y de los

docentes de matemáticas.

La guía didáctica consta de la siguiente estructura:

➢ Portada

➢ Introducción

➢ Beneficiarios

➢ Requisitos previos

➢ Desarrollo de la propuesta

90

INTRODUCCIÓN

Esta Guía Didáctica tiene como fin promover el desarrollo de los

productos notables aplicando estrategias activas que incitan al aprendizaje

significativo, favoreciendo la memoria a largo plazo. Innovando de esta

manera la forma tradicional de enseñar los productos notables en donde

prevalecía la memorización de las reglas algebraicas.

Al resolver los productos notables de forma lúdica se estimula a los

estudiantes a que sean más participativos y dinámicos, convirtiéndose en

los protagonistas del proceso de aprendizaje, contribuyendo a mejorar su

rendimiento académico.

La presente Guía detalla paso a paso como desarrollar los Productos

Notables aplicando el esquema del tan conocido juego de tres en raya, lo

que despertará el interés de los estudiantes por aprender, eliminando de

esta manera el estereotipo que induce a la memorización de reglas

preestablecidas.

BENEFICIARIOS

Los beneficiarios de esta Guía Didáctica con Estrategias Activas

serán los docentes de matemáticas que contarán con un material de apoyo

para complementar sus clases, los estudiantes del bachillerato que tendrán

un modelo detallado que le servirá para recordar de forma rápida como

resolver productos notables y también el público en general que desea

aprender, comprender y dominar este tema fundamental del álgebra.

91

REQUISITOS PREVIOS

Para hacer uso de esta guía es fundamental recordar el desarrollo de las

operaciones algebraicas básicas, tales como: la adición, sustracción y

multiplicación entre expresiones algebraicas.

Adición y sustracción con expresiones algebraicas

Recuerda:

✓ Signos iguales se suman y se escribe en la respuesta el mismo signo

✓ Signos diferentes se restan y se escribe en la respuesta el signo de

mayor valor absoluto

Ejemplos:

Ejercicio 1: 𝟓𝒂𝟐𝒃 + 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃 =

Desarrollo:

a) Observamos que los dos términos coinciden en su parte literal y

exponente

5𝑎2𝑏 + 12𝑎2𝑏

b) Agrupamos los coeficientes

(5 + 12)𝑎2𝑏

c) Como los coeficientes tiene igual signo, efectuamos la suma y se

conserva la parte literal y exponente

17𝑎2𝑏

Para poder sumar o restar expresiones algebraicas, sus términos

deben tener la misma parte literal y exponentes, si cumple esta

condición se suman o restan los coeficientes, según sea el caso, y se

conserva la parte literal con sus exponentes.

92

Ejercicio 2: 𝟐𝟒𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝟏𝟕𝒙𝟐𝒚𝟑 =

Desarrollo:

a) Observamos que los dos términos coinciden en su parte literal y

exponente

24𝑥2𝑦3 − 17𝑥2𝑦3

b) Agrupamos los coeficientes

(24 − 17)𝑥2𝑦3

c) Como los coeficientes tienen diferentes signos, efectuamos la

resta y se conserva la parte literal y exponente

7𝑥2𝑦3

Ejercítate

Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones con expresiones

algebraicas:

a) 8𝑏3𝑐 + 17𝑏3𝑐

b) 15𝑥𝑦3𝑧2 − 23𝑥𝑦3𝑧2

c) 48𝑝𝑞 + 12𝑝𝑞

d) 29𝑎5𝑏3 + 17𝑏3𝑎5

e) −8𝑝𝑞3 + 36𝑝𝑞3

f) 64𝑐4𝑑4 − 32𝑐4𝑑4

93

Producto entre expresiones algebraicas

Recuerda:

Ley de signos

✓ Cuando se multiplica signos iguales la respuesta siempre será

positiva

+ ∙ + = +

− ∙ − = +

✓ Cuando se multiplica signos diferentes la respuesta siempre será

negativa

− ∙ + = −

+ ∙ − = −

Ejemplos:

1. (𝟓𝒂𝒃𝟑𝒄)(−𝟏𝟓𝒂𝟐𝒄)

Desarrollo:

a) Identificamos los coeficientes y las letras que se repiten

(5𝑎𝑏3𝑐)(−15𝑎2𝑐)

b) Agrupamos los coeficientes y sumamos los exponentes de las letras

que sean iguales

(5)(−15)𝑎1+2𝑏3𝑐1+1

c) Efectuamos la multiplicación, teniendo en cuenta la ley de signos.

−75𝑎3𝑏3𝑐2

Para efectuar el producto entre expresiones algebraicas, se

multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de la parte

literal, siempre y cuando estas sean iguales.

94

2. (−𝟏𝟒𝒙𝟑𝒚)(−𝟏𝟎𝒙𝟒𝒚𝟓𝒛)

Desarrollo:

a) Identificamos los coeficientes y las letras que se repiten

(−14𝑥−3𝑦)(−10𝑥4𝑦5𝑧)

b) Agrupamos los coeficientes y sumamos los exponentes de las letras

que sean iguales

(−14)(−10)𝑥−3+4𝑦1+5𝑧

c) Efectuamos la multiplicación, teniendo en cuenta la ley de signos.

140𝑥𝑦6𝑧

Ejercítate

Resuelve las siguientes multiplicaciones con expresiones

algebraicas:

a) (8𝑎𝑏𝑐)(12𝑎𝑏𝑐𝑑)

b) (4𝑥𝑦3𝑧2)(−22𝑦2𝑧3)

c) (−12𝑝7𝑞)(−7𝑝𝑞7)

d) (−𝑎5𝑏3)(18𝑏−7𝑎−4)

e) (−9𝑝𝑞3)(3𝑝−5𝑞6)

f) (6𝑏5𝑐4𝑑4)(−3𝑐−2𝑑−4)

95

RESOLUCIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES APLICANDO EL

ESQUEMA DEL JUEGO DE TRES EN RAYA

Los productos notables son multiplicaciones algebraicas que cumplen

condiciones fijas y se pueden resolver por simple inspección por medio de

la memorización de reglas preestablecidas.

El juego de tres en raya es una actividad lúdica muy popular que se

práctica entre dos personas con la ayuda de un papel y lápiz, en el cual se

dibuja una especie de cuadricula de tres cuadrados de cada lado en dónde

se ubican “0” y ”X”, el primer jugador que logre ubicar tres de estos símbolos

de manera horizontal, vertical o diagonal gana el juego.

El esquema de este popular juego nos permite resolver productos notables

de una manera dinámica y divertida sin necesidad de memorizar las reglas

para su resolución. A continuación, se resolverá de forma detallada cada

uno de los casos de los productos notables:

• Binomio elevado al cuadrado

• Producto de binomios con un término en común

• Binomio de productos conjugados

• Binomio elevado al cubo

• Trinomio elevado al cuadrado

96

GUÍA #1

Binomio elevado al cuadrado

(2𝑏 + 3𝑐)2

Al estar elevado al cuadrado nos indica que se debe multiplicar dos veces

el binomio: (2𝑏 + 3𝑐)2 = (2𝑏 + 3𝑐)(2𝑏 + 3𝑐), a partir de esto

realizaremos el siguiente proceso:

1. Dibujamos el esquema del juego de tres en rayas

2. Ubicamos en los extremos del esquema a cada uno de los términos

que forman el binomio con su respectivo signo:

3. Multiplicamos de forma vertical cada uno de los términos que están

en los extremos y ubicamos la respuesta en la cuadricula que está

en medio:

2𝑏

2𝑏

+3𝑐

+3𝑐

2𝑏

2𝑏

+3𝑐

+3𝑐

4𝑏2 +9𝑐2

97

4. Efectuamos la multiplicación de manera diagonal con cada extremo

y escribimos la respuesta en el casillero superior e inferior del centro

respectivamente:

5. Sumamos de forma vertical las cuadriculas del centro y ubicamos la

respuesta en el cuadro que está en medio de ellos:

6. El resultado de resolver el binomio (2𝑏 + 3𝑐)2 son los términos

que se encuentran en línea horizontal central (resaltado de

color rojo):

Por lo tanto (2𝑏 + 3𝑐)2 = 4𝑏2 + 12𝑏𝑐 + 9𝑐2

2𝑏

2𝑏

+3𝑐

+3𝑐

4𝑏2 +9𝑐2

+6𝑏𝑐 2𝑏

2𝑏

+3𝑐

+3𝑐

4𝑏2 +9𝑐2

+6𝑏𝑐

+6𝑏𝑐

2𝑏

2𝑏

+3𝑐

+3𝑐

4𝑏2 +9𝑐2

+6𝑏𝑐

+6𝑏𝑐

+12𝑏𝑐

2𝑏

2𝑏

+3𝑐

+3𝑐

4𝑏2 +9𝑐2

+6𝑏𝑐

+6𝑏𝑐

+12𝑏𝑐

98

GUÍA #2

Productos de binomios con un término en común

(𝑎 + 4)(𝑎 − 7)






en medio:

𝑎

𝑎

+4

−7

𝑎

𝑎

+4

−7

𝑎2 −28

99



respectivamente:



6. El resultado de resolver (𝑎 + 4)(𝑎 − 7) son los términos que se

encuentran en línea horizontal central (resaltado de color rojo):

Por lo tanto (𝑎 + 4)(𝑎 − 7) = 𝑎2 − 3𝑎 − 28

𝑎

𝑎

+4

−7

𝑎2 −28

−7𝑎

+4𝑎

𝑎

𝑎

+4

−7

𝑎2 −28

−7𝑎

𝑎

𝑎

+4

−7

𝑎2 −28

−7𝑎

+4𝑎

−3𝑎

𝑎

𝑎

+4

−7

𝑎2 −28

−7𝑎

+4𝑎

−3𝑎

100

GUÍA #3

Productos de binomios conjugados

(𝑥 + 8)(𝑥 − 8)






en medio:

𝑥

𝑥

+8

−8

𝑥

𝑥

+8

−8

𝑥2 −64

101



respectivamente:



6. El resultado de resolver (𝑥 + 8)(𝑥 − 8) son los términos que se


Por lo tanto (𝑥 + 8)(𝑥 − 8) = 𝑥2 − 64

𝑥

𝑥

+8

−8

𝑥2 −64

−8𝑥

+8𝑥

𝑥

𝑥

+8

−8

𝑥2 −64

−8𝑥

𝑥

𝑥

+8

−8

𝑥2 −64

−8𝑥

+8𝑥

0

𝑥

𝑥

+8

−8

𝑥2 −64

−8𝑥

+8𝑥

0

102

GUÍA #4

Binomio elevado al cubo

(𝑦 − 5)3



2. Elevamos al cuadrado los términos ubicados en la parte inferior del

esquema:



en medio:

𝑦

𝑦

−5

−5

𝑦

𝑦2

−5

+25

𝑦3 −125

𝑦

𝑦2

−5

(−5)2

103



respectivamente:


respuesta en el cuadro que está en medio de ellos y la multiplicamos

por tres:

6. El resultado de resolver (𝑥 + 8)(𝑥 − 8) son los términos que se


Por lo tanto (𝑦 − 5)3 = 𝑦3 − 15𝑦2 + 75𝑦 − 125

𝑦

𝑦2

−5

+25

𝑦3 −125

+25𝑦

−5𝑦2

𝑦

𝑦2

−5

+25

𝑦3 −125

+25𝑦

𝑦

𝑦2

−5

+25

𝑥3 −125

+25𝑦

−5𝑦2

3(+25𝑦 − 5𝑦2)

𝑦

𝑦2

−5

+25

𝑦3 −125

+25𝑦

−5𝑦2

+75𝑦 − 15𝑦2

104

GUÍA #5

Trinomio elevado al cuadrado

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2

La definición de la potencia establece que el exponente indica las

veces que se debe multiplicar la base, por lo tanto multiplicaremos

dos veces este trinomio, para esto haremos uso de tres esquemas

del juego de tres en raya:



que forman el trinomio con su respectivo signo, de la siguiente

manera:

a) En el primer esquema colocamos el primer y segundo término

b) En el segundo esquema el segundo y tercer término

c) En el tercer esquema el tercer y primer término

𝑎

+𝑏

+𝑏

𝑎

𝑏

+𝑐

+𝑐

𝑏 +𝑎 𝑐

+𝑎 𝑐

105


en el extremo derecho de cada esquema y ubicamos la respuesta

en la cuadricula que está en medio:

4. Efectuamos la multiplicación en cada esquema de manera diagonal

con cada extremo y escribimos la respuesta en el casillero superior

e inferior del centro respectivamente:

5. En cada uno de los esquemas sumamos de forma vertical las

cuadriculas del centro y ubicamos la respuesta en el cuadro que está

en medio de ellos:

𝑎

+𝑏

+𝑏

𝑎

𝑏

+𝑐

+𝑐

𝑏 +𝑎 𝑐

+𝑎 𝑐

𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝒃𝟐

𝑎

𝑎

+𝑏

+𝑏

𝒂𝟐

𝑏

𝒃𝟐

𝑏

+𝑐

+𝑐

+𝑎 𝑐

+𝑎 𝑐

𝒄𝟐

𝑎

𝑎

+𝑏

+𝑏

𝒂𝟐

𝑏

𝒃𝟐

𝑏

+𝑐

+𝑐

+𝑎 𝑐

+𝑎 𝑐

𝒄𝟐

+𝑐𝑎 +𝑏𝑐 +𝑎𝑏

+𝑐𝑎 +𝑏c +𝑎𝑏

+𝑐𝑎 +𝑏𝑐 +𝑎𝑏

+𝑏𝑐 +𝑎𝑏 +𝑐𝑎

+𝟐𝒄𝒂 +𝟐𝒃𝒄

𝑎

𝑎

+𝑏

+𝑏

𝒂𝟐

𝑏

𝒃𝟐

𝑏

+𝑐

+𝑐

+𝑎 𝑐

+𝑎 𝑐

𝒄𝟐


+𝟐𝒂𝒃

106

6. El resultado de resolver (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 son la suma de los términos

que se encuentran en línea horizontal central (resaltado de

color rojo):

Por lo tanto (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐

Ejercítate

Resuelve los siguientes productos notables utilizando el esquema

del juego tres en raya:

a) (8𝑎 + 12𝑏)2

b) (4𝑥 − 5𝑦2)2

c) (3𝑥 + 5)(3𝑥 − 5)

d) (𝑎5 − 9𝑏)(𝑎5 − 3𝑏)

e) (𝑝 + 4)(𝑝 − 7)

f) (2𝑎 + 𝑏)3

g) (1

3𝑥 + 𝑦)

2

h) (2𝑎 + 𝑏)2

i) (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)2

j) (2𝑥3 + 𝑦2)2

k) (3𝑎2𝑏 + 2)(3𝑎2 − 2)

l) (𝑎2𝑏2 − 5)(𝑎2𝑏2 − 7)

m) (𝑥2 + 2𝑦 − 𝑧)3

n) (𝑥6 + 11)(𝑥6 − 5)

o) (𝑥2𝑦3𝑧 + 2𝑥𝑦2)3

p) (6𝑏2 − 𝑐5)2

q) (2𝑥𝑦𝑧 + 14)3

r) (6𝑚2 − 𝑛2𝑝)(6𝑚2 + 𝑛2𝑝)

s) (𝑝𝑞 + 𝑡𝑠)3

t) (𝑚𝑛2 + 6)(𝑚𝑛2 + 4)

u) (3

2𝑥𝑦2 − 2𝑥 + 𝑦)

2

v) (𝑚2 − 2𝑛 + 6𝑝)2

w) (𝑥2 −1

3) (𝑥2 +

9

4)

x) (6𝑥2 − 5𝑦 − 3)2

y) (5𝑏3 + 3𝑐3)3

z) (4𝑥 + 5𝑦)(4𝑥 − 5𝑦)

+𝟐𝒄𝒂 +𝟐𝒃𝒄

𝑎

𝑎

+𝑏

+𝑏

𝒂𝟐

𝑏

𝒃𝟐

𝑏

+𝑐

+𝑐

+𝑎 𝑐

+𝑎 𝑐

𝒄𝟐


+𝟐𝒂𝒃

+𝑎𝑏 +𝑏𝑐 +𝑐𝑎

107

4.6. Referencias Bibliográficas

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Veracruz del cantón Pastaza”. Tesis de Maestria, Universidad Técnica de

Ambato, Ambato. Obtenido de

http://repositorio.uta.edu.ec/jspui/handle/123456789/6018

Vázquez, J. (2013). Productos Notables y Factorización. Recuperado el 30 de junio de

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Zill, D. G., & Dewar, J. M. (2012). Älgebra, Trigonometría y geometría analítica (Tercera

ed.). (S. G. López Hernández, Ed., & M. d. Carril Villareal, Trad.) México D. F.,

México: Mc Graw Hill.

111

A

N

E

X

O

S

121

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO

ANEXO 8

122


ANEXO 9

123


CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO

ANEXO 10

APLICACIÓN DE LA ENCUESTA A LOS ESTUDIANTES DEL PRIMER AÑO DE

BACHILLERATO ESPECIALIZACÓN INFORMÁTICA PARALELO A

APLICACIÓN DE LA ENCUESTA A LOS ESTUDIANTES DEL PRIMER AÑO DE

BACHILLERATO ESPECIALIZACÓN INFORMÁTICA PARALELO B

124

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA: FÍSICO MATEMÁTICO

ANEXO 11

EXPLICACIÓN DEL USO DE LA GUÍA DIDÁCTICA A LOS ESTUDIANTES DEL PRIMER

AÑO DE BACHILLERATO ESPECIALIZACÓN INFORMÁTICA PARALELO A

DESPEJANDO LAS DUDAS SOBRE EL USO DE LA GUÍA DIDÁCTICA A LOS

ESTUDIANTES DEL PRIMER AÑO DE BACHILLERATO ESPECIALIZACÓN

INFORMÁTICA PARALELO A

125

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA: FÍSICO MATEMÁTICO

ANEXO 12

EXPLICACIÓN DE NUESTRA PROPUESTA Y TRABAJO DE INVESTIGACIÓN AL

MSC. MARCO MOSERRATE RECTOR DE UNIDAD EDUCATIVA” ELOY ALFARO”

EL MSC. MARCO MONSERRATE RESPONDIENDO A LAS PREGUNTAS DE LA

ENTREVISTA

126


ANEXO 13

127


ANEXO 14

128


CARRERA FÍSICO MATEMÁTICO

ANEXO 15

130


ANEXO 16

REVISIÓN DEL TRABJO DE INVESTIGACIÓN POR PARTE DEL MSC, MARIO

TORRES (TUTOR) EN LA OFICINA DE CARRERA

SEÑALANDO LAS PARTES A CORREGIR DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

131


REPOSITORIO NACIONAL EN CIENCIA Y

TECNOLOGÍA

FICHA DE REGISTRO DE TESIS/TRABAJO DE GRADUACIÓN

TÍTULO Y SUBTÍTULO: Los productos notables en el aprendizaje significativo. Propuesta: Guía

didáctica con estrategias activas

AUTOR(ES) (apellidos/nombres): Chilan Choez Douglas Eduardo

REVISOR(ES)/TUTOR(ES)

(apellidos/nombres):

Ing. Torres Gangotena Mario, MSc.

Ing. Víctor Barros Barros, MSc.

INSTITUCIÓN: Universidad de Guayaquil

UNIDAD/FACULTAD: Filosofía, Letras y Ciencias de la educación

MAESTRÍA/ESPECIALIDAD: Físico Matemático

GRADO OBTENIDO: Licenciatura en Físico Matemático

FECHA DE PUBLICACIÓN: No. DE PÁGINAS: 151

ÁREAS TEMÁTICAS: Educación y tendencias educativas

PALABRAS CLAVES/ KEYWORDS: Palabras Claves: aprendizaje significativo, productos notables, guía

didáctica

Keywords: meaningful learning, remarkable products, educational guide

RESUMEN/ABSTRACT

RESUMEN El presente proyecto indaga acerca de la influencia que tienen los productos notables en el desarrollo de ejercicios de mayor complejidad, resalta la importancia que tiene el aprendizaje significativo para comprender y relacionar de mejor manera los conceptos algebraicos básicos con los productos notables para que sean aplicados en la resolución de los temas que se encuentra en la malla curricular del bachillerato. Permitió identificar que tan solo un número reducido de estudiantes pueden resolver por simple inspección los productos notables memorizando las reglas algebraicas, por lo cual se elaboró una guía didáctica con estrategias activas que estimule a los estudiantes a desarrollar los productos notables de manera interactiva. ABSTRACT This project investigates the influence of notable products in the development of more complex exercises, highlights the importance of meaningful learning to better understand and relate the basic algebraic concepts with the notable products to be applied in the resolution of the topics found in the curriculum of the

ANEXO 17

132

baccalaureate. It allowed to identify that only a small number of students can solve by simple inspection the remarkable products memorizing the algebraic rules, for which a didactic guide with active strategies was elaborated that stimulates the students to develop the remarkable products in an interactive way

ADJUNTO PDF: SI NO

CONTACTO CON AUTOR/ES: Teléfono: 0960034462 E-mail: [email protected]

CONTACTO CON LA INSTITUCIÓN: Nombre:

Teléfono:

E-mail:

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