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UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

TESIS DOCTORAL

DESARROLLO DE UN CÓDIGO DE SIMULACIÓN POR MONTE CARLO

PARA LA CALIBRACIÓN DE SISTEMAS DE DETECCIÓN

EN ESPECTROMETRÍA DE RADIACIÓN GAMMA

Néstor Armando Cornejo Díaz

Badajoz, 2009

Edita: Universidad de Extremadura Servicio de Publicaciones Caldereros 2. Planta 3ª Cáceres 10071 Correo e.: [email protected] http://www.unex.es/publicaciones

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

TESIS DOCTORAL

Desarrollo de un código de simulación por Monte Carlo

para la calibración de sistemas de detección

en espectrometría de radiación gamma

Memoria presentada por D. Néstor Armando Cornejo Díaz para optar

al Grado de Doctor por la Universidad de Extremadura

Badajoz, 2009

D. Miguel Jurado Vargas, Profesor Titular de Universidad del área de Física

Atómica, Molecular y Nuclear, miembro del Departamento de Física de la

Universidad de Extremadura

INFORMA

Que la presente memoria, titulada: “Desarrollo de un código de simulación por

Monte Carlo para la calibración de sistemas de detección en espectrometría de

radiación gamma”, ha sido realizada por D. Néstor Armando Cornejo Díaz bajo su

dirección en el Departamento de Física de la Universidad de Extremadura.

Y para que conste a efectos oportunos, firma el presente informe en Badajoz, a 20

de enero de 2009.

Fdo.: M. Jurado Vargas

i

AGRADECIMIENTOS

Mostrar gratitud a quienes la han merecido es lo menos que puede hacerse

cuando se reconoce la importancia de los demás en la obra de nuestras vidas.

Es un gesto natural que brota de forma espontánea, desde lo más profundo de

nuestra naturaleza humana. Plasmar nuestros agradecimientos en una memoria

de tesis doctoral no es, sin embargo, una tarea obvia. La probabilidad de alguna

omisión involuntaria es siempre elevada y las consecuencias de ello serían muy

graves. ¿Cuándo comenzó todo? Esa es la pregunta que debemos definir en

primer lugar. A veces, el camino es largo y difícil, y afortunadamente la cantidad

de personas a agradecer hace insuficiente el pequeño espacio que, por lógicas

razones, está reservado para este fin.

Quienes han intervenido en mi educación, instrucción y formación profesional

nunca serán olvidados, aún cuando los años emborronen las fórmulas en mi

memoria.

A aquellos que han proporcionado consejos y recomendaciones enriquecedoras

para el trabajo, a quienes han dedicado parte de su tiempo al logro de los

resultados contenidos en esta memoria, a los que me han apoyado, brindado su

amistad, y transmitido el aliento necesario, a los usuarios entusiastas de

DETEFF, a todos ellos, mi agradecimiento. Mi agradecimiento al director de

esta tesis sería redundante, pues está ya presente en cada una de las categorías

anteriores.

A mi familia, por el tiempo robado, no tengo forma de agradecer.

A mis padres, mi agradecimiento por absolutamente todo.

iii

A ti, madre.

A ti, padre.

Toda la gloria del Mundo cabe en un grano de maíz

José J. Martí y Pérez

v

Índice general Agradecimientos............................................................................................................................... i

1. Introducción ............................................................................................................................... 1

2. Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma ........................................ 5

2.1 Introducción ........................................................................................................................ 5

2.2 Detectores empleados en espectrometría de radiación gamma ........................................... 7

2.2.1 Centelleadores de cristales iónicos inorgánicos ........................................................ 7

2.2.2 Detectores de semiconductor .................................................................................. 10

2.2.3 Consideraciones generales para la simulación estadística ...................................... 12

2.3 Respuesta de los detectores a la radiación gamma ............................................................ 14

2.3.1 Procesos de interacción de la radiación gamma....................................................... 14

2.3.2 Componentes de un espectro de radiación gamma .................................................. 20

2.4 Calibración de los sistemas de detección .......................................................................... 26

2.4.1 Calibración en energía ............................................................................................. 26

2.4.2 Calibración en resolución ........................................................................................ 27

2.4.3 Calibración en eficiencia.......................................................................................... 28

2.4.4 Correcciones al efecto de suma por coincidencias................................................... 33

3. El método Monte Carlo .......................................................................................................... 37

3.1 Introducción ...................................................................................................................... 37

3.2 Obtención de números aleatorios. Secuencias de números seudoaleatorios..................... 38

3.2.1 Obtención de secuencias de números aleatorios ...................................................... 38

3.2.2 Requisitos de las secuencias de números seudoaleatorios ....................................... 42

3.2.3 Pruebas de aleatoriedad............................................................................................ 44

3.3 Muestreo de variables aleatorias ....................................................................................... 45

3.3.1 Variables aleatorias discretas ................................................................................... 45

3.3.2 Variables aleatorias continuas.................................................................................. 46

3.4 Simulación del transporte de las radiaciones ionizantes.................................................... 53

3.4.1 Generación de partículas.......................................................................................... 56

3.4.2 Muestreo del punto de interacción .......................................................................... 57

3.4.3 Muestreo del tipo de interacción y de las partículas secundarias............................ 59

3.4.4 Estimación de incertidumbres................................................................................. 59

3.4.5 Técnicas de reducción de varianza........................................................................... 62

3.5 Códigos de simulación Monte Carlo ................................................................................. 68

vi

4. Descripción del código DETEFF ........................................................................................... 71

4.1 Introducción al código DETEFF. Resumen histórico de su desarrollo ............................ 71

4.2 Interfaz de usuario............................................................................................................ 75

4.2.1 Datos de los detectores ............................................................................................ 75

4.2.2 Datos de las fuentes ................................................................................................. 76

4.2.3 Datos de los filtros ................................................................................................... 76

4.2.4 Datos estadísticos .................................................................................................... 77

4.2.5 Herramientas............................................................................................................ 77

4.2.6 Resultados de la simulación..................................................................................... 77

4.2.7 Sistema de ayuda ..................................................................................................... 78

4.3 Generador de números seudoaleatorios............................................................................. 78

4.3.1 Resultados de las pruebas estadísticas empíricas.................................................... 80

4.3.2 Evaluación del funcionamiento de los generadores en el programa DETEFF......... 84

4.4 Generación de fotones en el interior de la fuente .............................................................. 87

4.5 Análisis geométrico........................................................................................................... 93

4.5.1 Determinación de la incidencia de los fotones en el volumen activo del detector... 93

4.5.2 Correcciones por atenuación fotónica en su recorrido hacia el detector................. 94

4.5.3 Redondeamiento de las esquinas del detector......................................................... 96

4.6 Simulación de los procesos físicos en el interior del detector......................................... 100

4.6.1 Tipos de interacción. Secciones eficaces ............................................................... 100

4.6.2 Muestreo del recorrido de los fotones y del punto de interacción ......................... 105

4.6.3 Muestreo del tipo de interacción............................................................................ 106

4.6.4 Seguimiento de las partículas secundarias............................................................. 107

4.7 Salidas del código ........................................................................................................... 126

4.8 Incertidumbre estocástica................................................................................................ 127

4.8.1 Estimación de la incertidumbre estocástica ........................................................... 127

4.8.2 Figura de Mérito ................................................................................................... 127

4.8.3 Técnicas de reducción de varianza en el código DETEFF .................................... 128

5. Resultados de verificación y validación del código DETEFF............................................ 131

5.1 Introducción .................................................................................................................... 131

5.2 Resultados de las comparaciones con otros códigos ....................................................... 132

5.2.1 Comparaciones para detectores de NaI.................................................................. 132

5.2.2 Comparación para un detector de CsI.................................................................... 134

5.2.3 Comparaciones para detectores de Ge ................................................................... 136

5.2.4 Comparación para un detector de Si ...................................................................... 145

5.3 Resultados de los ejercicios de validación experimental ............................................... 147

5.3.1 Estudio del Instituto de Metrología de la República Checa................................... 147

5.3.2 Ejercicio de intercomparación EUROMET 428 .................................................... 148

vii

5.3.3 Estudios experimentales con un detector HPGe .................................................... 153

6. Aplicaciones del código DETEFF ........................................................................................ 159

6.1 Introducción .................................................................................................................... 159

6.2 Transferencia de eficiencia en muestras de agua............................................................. 160

6.3 Estudio de la influencia de algunos parámetros geométricos de los detectores de HPGe en la eficiencia................................................................................................. 161

6.4 Transferencia de eficiencia en la calibración de un detector coaxial de HPGe .............. 162

6.5 Simulación Monte Carlo de las correcciones por autoabsorción en muestras ambientales ..................................................................................................................... 163

6.6 Investigación de la radiactividad inducida en el acelerador lineal ADONE para la gestión de la chatarra tras su desmantelamiento.................................................. 164

6.7 Cuantificación de la actividad de isótopos radiactivos en el marco de la vigilancia radiológica ambiental...................................................................................................... 166

7. Conclusiones .......................................................................................................................... 171 Bibliografía .................................................................................................................................. 175 A. Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina.................................................... 185

A.1 Método de Kahn ............................................................................................................... 185

A.2 Método de Koblinger........................................................................................................ 189

A.3 Método de Newton - Raphson.......................................................................................... 193

A.4 Método de Everett – Cashwell.......................................................................................... 197

B. Ventanas de interfaz del código DETEFF........................................................................... 201 C. Implementación del generador Mersenne Tuwister en PASCAL..................................... 213 D. Funciones de distribución de probabilidad generadas con el código MCNP4C para la

energía de la radiación de frenado....................................................................................... 217

ix

Índice de figuras

2.1 Estructura de bandas energéticas en un cristal centelleador inorgánico.................................... 8

2.2 Parámetros importantes para la simulación estadística de detectores ..................................... 13

2.3 Secciones eficaces de interacción de fotones en Ge................................................................ 15

2.4 Función de dispersión para Ge................................................................................................ 18

2.5 Sección eficaz diferencial de la dispersión inelástica para Ge ................................................ 19

2.6 Espectro ideal de altura de pulsos en Ge (2 MeV) .................................................................. 21

2.7 Dependencia de la energía de los fotones secundarios con el ángulo de salida en la dispersión inelástica....................................................................................................... 24

2.8 Espectro ideal de altura de pulsos en un detector de HPGe (40.0 keV) .................................. 24

2.9 Espectro de la radiación gamma del 60Co en un detector de HPGe ........................................ 25

2.10 Esquema de transiciones isoméricas en cascada ..................................................................... 34

3.1 Representación de las probabilidades de una variable aleatoria discreta ................................ 45

3.2 Diagrama de flujo general para el muestreo de una variable aleatoria discreta a partir de una variable uniformemente distribuida ............................................................................ 46

3.3 Representación gráfica del teorema que sustenta el método estándar de muestreo de una variable aleatoria continua...................................................................................................... 47

3.4 Diagrama de flujo del método de rechazo............................................................................... 48

3.5 Diagrama de flujo del método de sustitución con rechazo...................................................... 49

3.6 Diagrama de flujo del método combinado de inversión – rechazo ......................................... 50

3.7 Diagrama de flujo del método de descomposición con muestreo directo ............................... 51

3.8 Ejemplo de diagrama de flujo general para el cálculo de la energía depositada ..................... 56

4.1 Esquema de las versiones del código DETEFF ...................................................................... 73

4.2 Esquema de bloques con la estructura del código DETEFF ................................................... 74

4.3 Imagen de correlación gráfica en 2D, correspondiente al generador TC ................................ 82

4.4 Imagen de correlación gráfica en 2D, correspondiente al generador MT ............................... 82

4.5 Valores de eficiencia calculados con los generadores CL y TC ............................................ 85

4.6 Tiempos de CPU para los generadores estudiados.................................................................. 86

4.7 Sistema de coordenadas para la simulación de fuentes cilíndricas ......................................... 87

4.8 Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes cilíndricas ............. 88

4.9 Sistema de coordenadas para la simulación de fuentes rectangulares..................................... 88

4.10 Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes rectangulares ......... 89

4.11 Sistema de coordenadas para la simulación de fuentes con geometría Marinelli.................... 90

4.12 Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en recipientes Marinelli.......... 90

4.13 Representación del vector director unitario con sus coordenadas esféricas y cartesianas....... 91

4.14 Diagrama del procedimiento de muestreo del vector director del fotón ................................. 92

x

4.15 Variables para considerar el redondeamiento de las esquinas del detector............................. 97

4.16 Radiografía del detector de HPGe, modelo GMX-40195-P, de la firma CANBERRA ......... 98

4.17 Desviación relativa por el efecto de redondeamiento de las esquinas en función de la distancia entre la fuente puntual y la ventana del detector............................................. 99

4.18 Secciones eficaces macroscópicas de interacción en NaI. .................................................... 104

4.19 Diagrama de la secuencia para el muestreo del tipo de interacción...................................... 106

4.20 Secciones eficaces macroscópicas del efecto fotoeléctrico en Cs y I, en el cristal de CsI.... 109

4.21 Diagrama de flujo para el muestreo de la energía de la radiación característica tras la ocurrencia del efecto fotoeléctrico en CsI ............................................................................ 110

4.22 Curvas de eficiencia en un detector HPGe tipo n, considerando y sin considerar la emisión de radiación X característica............................................................................... 111

4.23 Curvas de eficiencia en un detector HPGe tipo p, considerando y sin considerar la emisión de radiación X característica............................................................................... 112

4.24 Efecto de la radiación X característica en la eficiencia, para un detector HPGe del tipo n .. 112

4.25 Diagrama para el muestreo de los fotones secundarios tras la dispersión inelástica............. 114

4.26 Sistemas de coordenadas en la simulación de la dispersión inelástica.................................. 115

4.27 Alcance máximo de los electrones para diferentes materiales .............................................. 118

4.28 Probabilidad normalizada de transmisión de electrones en Ge............................................. 118

4.29 Fracción de la energía transmitida por los electrones en Ge................................................. 119

4.30 Efecto del escape de electrones en la eficiencia ................................................................... 120

4.31 Espectro de la radiación de frenado obtenido en Ge para electrones de 1.5 MeV................ 121

4.32 Ajustes del número medio de fotones de frenado por cada electrón de energía E0............... 123

4.33 Efecto de la radiación de frenado en la eficiencia................................................................. 125

5.1 Detector NaI(Tl) y muestra cilíndrica, según el archivo de entrada de datos de MCNP4C.. 133

5.2 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para un detector de NaI(Tl) ... 133

5.3 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para un detector de CsI(Tl).... 135

5.4 Modelo de detector de HPGe (ICRM) .................................................................................. 136

5.5 Geometría con fuente Marinelli (agua de 3.0 g.cm-3) ........................................................... 137

5.6 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para el detector HPGe (ICRM) ...................................................................................................................... 138

5.7 Imagen del detector HPGe CG 4018 simulado con el código MCNP4C.............................. 141

5.8 Geometría Marinelli simulada con el detector HPGe CG 4018............................................ 142

5.9 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para el detector HPGe CG 4018 y fuentes puntuales a 25 cm, 10 cm y 5 cm.............................................. 143

5.10 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para el detector HPGe CG 4018 con la fuente puntual a 1 cm y el recipiente Marinelli ............................... 143

5.11 Imagen del detector Si(Li) SL 80175 (80mm2) simulado con el código MCNP4C.............. 145

5.12 Valores de EPAT obtenidos con DETEFF y con MCNP4C para el detector Si(Li) SL 80175.................................................................................................................... 146

xi

5.13 Valores de EPAT calculados y determinados experimentalmente para las fuentes puntuales del ejercicio EUROMET 428 ............................................................................... 150

5.14 Valores de EPAT calculados y determinados experimentalmente para las fuentes cilíndricas del ejercicio EUROMET 428 ............................................................................. 151

5.15 Valores medios de las desviaciones absolutas en el ejercicio EUROMET 428 .................... 152

5.16 Dimensiones de la muestra Marrinelli utilizada en la validación experimental .................... 154

5.17 Valores de eficiencia calculados con DETEFF y obtenidos experimentalmente para las geometrías: filtro, Petri doble y puntual a 5 cm.................................................................... 156

5.18 Valores de eficiencia calculados con DETEFF y obtenidos experimentalmente para las geometrías: Marinelli y puntual a 20 cm .............................................................................. 156

6.1 Bomba de vacío del anillo acumulador del acelerador ADONE........................................... 164

6.2 Gráfico de Z-Score para el LVRA durante el ejercicio de intercomparación del IAEA....... 168

6.3 Gráfico de U-Test para el LVRA durante el ejercicio de intercomparación del IAEA......... 168

6.4 Relación A1/A2 para el LVRA durante el ejercicio de intercomparación del IAEA ........... 169

A.1 Funciones ( )1g x , ( )1h x en el método de Kahn ................................................................. 187

A.2 Funciones ( )2g x , ( )2h x en el método de Kahn ............................................................... 188

A.3 Diagrama de flujo del método de Kahn................................................................................ 188

A.4 Diagrama de flujo del método de Koblinger. ....................................................................... 192

A.5 Función de probabilidad acumulativa para la dispersión Compton de fotones de 1MeV .... 195

A.6 Función de probabilidad acumulativa para la dispersión Compton de fotones de 0.1MeV . 195

A.7 Diagrama de flujo para el método de Newton - Raphson..................................................... 196

A.8 Diagrama de flujo del método de Everett – Cashwell .......................................................... 200

B1 Opciones para la gestión de archivos de datos y resultados. ................................................. 202

B2 Ventana de entrada de datos para la simulación de los detectores centelleadores................. 202

B3 Ventana de entrada de datos para la simulación de los detectores de semiconductor. .......... 203

B4 Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes cilíndricas........................ 204

B5 Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes rectangulares. .................. 205

B6 Ventana de entrada de datos para las fuentes con geometría Marinelli ................................. 206

B7 Ventana de entrada de datos para la modelización de filtros................................................ 207

B8 Ventana de entrada de datos estadísticos............................................................................... 207

B9 Ventana para el cálculo de los coeficientes de atenuación. ................................................... 208

B10 Ventana para la selección del sonido de aviso de fin de la simulación. ................................ 208

B11 Visualización del espectro matemático durante las simulaciones ......................................... 209

B12 Ventana con los resultados de la simulación ......................................................................... 210

B13 Ventana para seleccionar el contenido de la ayuda ............................................................... 211

B14 Indicaciones sobre las funciones de los botones de aceleración........................................... 211

xiii

Índice de tablas

3.1 Ejemplos de probabilidades e intervalos de confianza en una distribución normal ................ 60

3.2 Ejemplos de códigos de Monte Carlo de uso múltiple............................................................ 69

4.1 Parámetros incluidos en DETEFF para la modelización de los detectores ............................. 75

4.2 Parámetros incluidos en DETEFF para la modelización de las fuentes .................................. 76

4.3 Probabilidades de las sumas de dos dados .............................................................................. 80

4.4 Resultados del test Kolmogorov Smirnov aplicado a la prueba de dos dados ........................ 81

4.5 Resultados de las pruebas estadísticas del paquete “DIEHARD”........................................... 83

4.6 Desviaciones relativas entre los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total calculados con diferentes generadores y los obtenidos con el generador CL, utilizando un procesador (CPU) Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz. ................................................. 84

4.7 Desviaciones relativas entre los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total calculados con diferentes generadores y los obtenidos con el generador CL, utilizando un CPU Intel Dual Core 3 GHz. ................................................................................................. 84

4.8 Parámetros del detector HPGe utilizado en el estudio del redondeamiento de las esquinas ... 99

4.9 Coeficientes de ajuste para las secciones eficaces correspondientes al NaI.......................... 102

4.10 Coeficientes de ajuste para las secciones eficaces correspondientes al CsI ......................... 102

4.11 Coeficientes de ajuste para las secciones eficaces correspondientes al Ge........................... 103

4.12 Coeficientes de ajuste para las secciones eficaces correspondientes al Si ............................ 103

4.13 Coeficientes de ajuste de las secciones eficaces para la formación de pares de electrón – positrón ............................................................................................................... 104

4.14 Energías de las líneas de rayos X característicos correspondientes a las capas K ................ 107

4.15 Rendimientos de fluorescencia y emisiones relativas de fotones de rayos X........................ 108

4.16 Probabilidades de emisión de rayos X característicos y valores medios de energía ........... 108

4.17 Parámetros utilizados en la simulación de detectores de HPGe durante la evaluación de la importancia del seguimiento de la radiación de rayos X característica........................ 111

4.18 Parámetros de las funciones de ajuste para la función de dispersión .................................... 113

4.19 Número medio de fotones de frenado en función de la energía inicial de los electrones...... 122

4.20 Valores de la FDM obtenidos con MCNP4C y con DETEFF............................................... 127

5.1 Resultados de los cálculos de eficiencia para un detector de NaI (3” x 3”) y una fuente puntual a 10cm del cristal..................................................................................................... 132

5.2 Datos básicos del detector de NaI(Tl) considerado en la comparación con MCNP4C ......... 132

5.3 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos con el código MCNP4C para un detector de NaI(Tl) de 3”x 3” ........................................... 134

5.4 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos con el código MCNP4C para un detector de CsI(Tl) de 3”x3” ............................................ 135

5.5 Datos del detector de HPGe considerado en el ejercicio del ICRM..................................... 136

5.6 Comparación con MCNP4C para el modelo de detector de HPGe del ICRM..................... 139

xiv

5.7 Comparación con PENELOPE para el modelo de detector de HPGe del ICRM................. 139

5.8 Participantes en el ejercicio internacional de comparación de códigos de simulación Monte Carlo aplicados a la espectrometría de radiación gamma ......................................... 140

5.9 Comparación de los valores de EPAT obtenidos con DETEFF con las medianas de los valores de EPAT reportados por los participantes en el ejercicio de intercomparación....... 140

5.10 Datos básicos del detector de HPGe modelo GC 4018......................................................... 142

5.11 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos con el código MCNP4C para un detector HPGe modelo GC 4018 de CANBERRA .......... 144

5.12 Datos básicos del detector de Si(Li) modelo SL 80175....................................................... 145

5.13 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos con el código MCNP4C, para un detector Si(Li) modelo SL 80175.............. 146

5.14 Valores de EPAT experimentales y calculados, para una fuente puntual a 25cm de un detector de HPGe, modelo GC 4018, de la firma CANBERRA ..................................... 147

5.15 Participantes en el ejercicio internacional de comparación de códigos de transferencia de eficiencia en espectrometría de radiación gamma, EUROMET 428 ............................... 148

5.16 Características del detector HPGe dadas por el fabricante y tras su ajuste considerando los valores experimentales de EPATpara una fuente puntual a 10cm........................................ 149

5.17 Resultados experimentales de EPAT para la fuente puntual a 10 cm del detector ............... 149

5.18 Datos de las geometrías cilíndricas utilizadas en el ejercicio EUROMET 428 .................... 150

5.19 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos experimentalmente en el ejercicio EUROMET 428....................................... 151

5.20 Descripción del contenido de la solución patrón utilizada en la validación experimental.... 154

5.21 Factores de corrección al efecto de sumas por coincidencias para las geometrías del estudio ............................................................................................................................ 155

5.22 Dimensiones de los parámetros del detector, según se especifican por el fabricante y tras el proceso de ajuste..................................................................................................... 155

5.23 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos experimentalmente ............................................................................................................... 157

6.1 Instituciones que cuentan con el código DETEFF................................................................ 159

6.2 Resultados de actividad calculada a partir de la transferencia de eficiencias con el código DETEFF, para un detector de Ge(Li) de 2” x 2” y diferentes volúmenes de H2O en fuentes cilíndricas y rectangulares, para 661.66 keV........................................................................ 160

6.3 Productos de activación esperados en el acelerador ADONE............................................... 165

D.1 Valores de la función de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de frenado en NaI...................................................................................................................... 217

D.2 Valores de la función de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de frenado en CsI ...................................................................................................................... 218

D.3 Valores de la función de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de frenado en Ge ....................................................................................................................... 219

1

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN La espectrometría de radiación gamma es una de las técnicas más utilizadas en la caracterización

cualitativa y cuantitativa de las muestras con contenido radiactivo. Es una técnica no destructiva,

que permite el análisis simultáneo de múltiples elementos, con requisitos mínimos en la

preparación de las muestras y un balance muy favorable entre la información proporcionada y los

costes asociados. Se ha convertido, por tanto, en una herramienta insustituible no sólo para las

investigaciones de Física Nuclear, sino además, en áreas como la vigilancia radiológica del medio

ambiente, el control radiológico de los alimentos, la caracterización radiológica de materiales y la

vigilancia radiológica individual.

En las estimaciones de actividad mediante la espectrometría de radiación gamma es necesario

conocer la eficiencia de detección del sistema en el pico de absorción total, la cual depende de la

energía de los fotones, la composición química de la muestra, su densidad y la geometría de

medida. Previamente a los trabajos de cuantificación se requiere, por tanto, realizar la calibración

del sistema en relación con la eficiencia. Ahora bien, la calibración experimental implica ejecutar

medidas con fuentes de referencia cuyas actividades estén debidamente certificadas. Ello puede

demandar un número considerable de fuentes patrón, para cada una de las energías, geometrías,

materiales y densidades de las muestras a analizar. Por otro lado, la preparación de muestras de

calibración idénticas a las muestras de interés puede ser un proceso engorroso, sobre todo en las

matrices sólidas y en las líquidas cuando no es posible despreciar la precipitación de los reactivos.

Otro problema consiste en encontrar radionúclidos adecuados atendiendo a su energía, esquema de

desintegración y período de semidesintegración.

Las dificultades relacionadas con la preparación de las fuentes de calibración, unidas a las

limitaciones económicas y en ocasiones de Seguridad Radiológica para la adquisición sistemática

del material radiactivo de referencia, hacen que sea necesario contar con métodos de cálculo

alternativos para la calibración en eficiencia. Aunque han sido publicados numerosos

procedimientos semi-empíricos, su validez está limitada a determinadas geometrías del sistema

muestra – detector y a rangos específicos de energía, por lo que no pueden proporcionar los

niveles de exactitud requeridos en todas las situaciones de interés para los laboratorios analíticos.

En este sentido, el empleo de la simulación estocástica se ofrece como una solución más flexible.

Capítulo 1 Introducción

2

La simulación por ordenador mediante el método Monte Carlo es una técnica establecida en las

investigaciones de Física de las radiaciones ionizantes. Los primeros trabajos que dieron a conocer

el método datan de los finales de la década de 1940, y estuvieron vinculados al estudio del

transporte de la radiación neutrónica. Su aplicación en la calibración de sistemas de espectrometría

de radiación gamma se produjo a partir de la década siguiente. El desarrollo ulterior del método,

con la incorporación de novedosas técnicas de reducción de varianzas, las precisiones realizadas

paulatinamente a las secciones eficaces de interacción y el desarrollo vertiginoso de los medios

informáticos, hacen que la simulación estadística sea una herramienta de extraordinario valor para

la calibración de los sistemas de espectrometría gamma. Sin embargo, los programas disponibles

de simulación por Monte Carlo son códigos de propósito múltiple, cuya aplicación requiere de

habilidades de programación, del estudio previo de las no triviales reglas para la creación de sus

archivos de datos y de los métodos de la simulación estadística. Por otro lado, al estar concebidos

para resolver disímiles problemas, estos códigos realizan la simulación detallada de cada uno de

los procesos asociados al transporte de las radiaciones ionizantes, por lo que sus tiempos de

ejecución son inaceptablemente largos de no utilizarse adecuadamente las técnicas de reducción

de varianzas pertinentes. La aplicación de estas técnicas demanda además el conocimiento estricto

de los fundamentos físicos del sistema simulado y de los métodos estadísticos que se utilizan.

Todos estos factores han contribuido a que, aún en la actualidad, no pocos le resten valor práctico

al método Monte Carlo para la calibración de los sistemas de espectrometría de radiación gamma

en los laboratorios analíticos.

Precisamente, el objetivo fundamental que nos proponemos con el presente trabajo es desarrollar y

validar un código de simulación por Monte Carlo específico para el cálculo de la eficiencia de

detección en sistemas de espectrometría de radiación gamma, que sea aplicable a los tipos de

detectores y configuraciones de medida más comunes, de fácil manejo y con un balance “exactitud

- tiempo de ejecución” aceptable para su uso práctico. Con ello se pretende contribuir a la

generalización de la simulación estocástica como herramienta ampliamente demandada para suplir

el déficit de patrones radiactivos y complementar, de esta forma, las calibraciones en eficiencia en

los laboratorios que emplean la espectrometría de la radiación gamma como técnica de medida.

En el Capítulo 2 se describen brevemente las características y el principio de funcionamiento de

los detectores más utilizados para la detección de la radiación gamma, abordando los aspectos más

relevantes de los procesos de interacción de este tipo de radiación con la materia. A partir de esta

información se analizan los elementos que conforman la función respuesta de los detectores, se

comentan las calibraciones necesarias para poder extraer información cuantitativa de los espectros

de amplitud de pulsos y se indica el papel de la simulación estadística para este fin. Los

fundamentos de la simulación estadística mediante el método Monte Carlo son tratados en el

Capítulo 3, donde se estudian las propiedades de las secuencias de números aleatorios y las

técnicas para su obtención. Se explican los procedimientos para muestrear variables aleatorias a


3

partir de números aleatorios uniformemente distribuidos y se explica la secuencia general de la

simulación del transporte de las radiaciones ionizantes, incluyendo los procedimientos utilizados

en cada una de sus etapas, la incertidumbre asociada y algunos de los procedimientos más

empleados para su reducción. En el Capítulo 4 mostramos la implementación en el código

DETEFF de los principios descritos en los capítulos anteriores. Se presenta la interfaz de usuario y

la estructura del programa, y a partir de esta última se detallan los procedimientos utilizados en

cada una de las etapas de la simulación, es decir: la generación de números aleatorios, la selección

del punto de surgimiento de los fotones en la muestra y el muestreo de su vector de dirección, los

procedimientos de análisis geométrico, el seguimiento de las partículas secundarias, y el

tratamiento de las incertidumbres, incluyendo las técnicas de reducción de varianzas que se

aplican.

Los resultados de los ejercicios de verificación y validación del código se muestran en el Capítulo

5. En el Capítulo 6 se resumen algunas de las principales aplicaciones realizadas con el programa.

Finalmente, se presentan las conclusiones más importantes del presente trabajo, resaltando sus

principales aportaciones.


4

5

CAPÍTULO 2

DESCRIPCIÓN DE LA TÉCNICA DE ESPECTROMETRÍA DE RADIACIÓN GAMMA

2.1 Introducción La interacción de las radiaciones ionizantes con la materia conduce generalmente a una

transferencia de energía que origina efectos físicos y químicos. Esta transferencia de energía

ocurre básicamente a través de los procesos de ionización y excitación, en los que se basan la

mayoría de los métodos de detección y cuantificación de las radiaciones ionizantes. Algunos

métodos de medida se fundamentan en los cambios que se producen como resultado final de la

energía depositada por las radiaciones ionizantes, como cambios químicos, transformaciones de

las estructuras cristalinas y calentamiento de sólidos y líquidos.

En el año 1895 Wilhelm Röntgen descubrió los rayos X por la fluorescencia que originaban en un

material cercano al tubo de rayos catódicos con el que realizaba sus experiencias. De forma casi

simultánea, en el año 1896, Henry Becquerel descubrió la radiactividad natural. También de forma

accidental notó un ennegrecimiento en películas fotográficas ubicadas en las cercanías de los

materiales estudiados. Así surgieron los primeros detectores de radiaciones ionizantes, que se

basaron en la fluorescencia y en la ionización de la sal de AgBr en las emulsiones fotográficas.

Durante las primeras décadas del siglo XX, el desarrollo de los detectores gaseosos permitió la

realización de medidas cuantitativas instantáneas de la radiación gamma mediante la colección de

las cargas eléctricas producidas en un gas al ser ionizado por esta radiación. La aparición de los

contadores proporcionales en 1940 fue un paso importante en el desarrollo de la espectrometría de

la radiación gamma, particularmente de bajas energías. Uno de los principales inconvenientes de

estos detectores gaseosos era su baja sensibilidad para la detección de la radiación gamma. Esta

dificultad fue superada ampliamente en el año 1948 con el surgimiento de los cristales

centelleadores de NaI (Tl). La rápida generalización de los detectores de NaI (Tl) y su aplicación

práctica a numerosos campos del conocimiento fue posible gracias a su enorme sensibilidad, al

amplio rango de energías que permiten estudiar y a su “aceptable” resolución energética, que

posibilitó la separación de las diferentes contribuciones en fuentes gamma de energías múltiples.

Más tarde, el surgimiento y desarrollo de los detectores de semiconductor, a partir de los años 60,

constituyó una verdadera revolución en la espectrometría de la radiación gamma. La excelente

resolución energética de estos detectores facilita el procesamiento e interpretación de espectros

complejos de líneas múltiples, ampliando el horizonte de aplicaciones de esta técnica.

Capítulo 2 Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma

6

La desventaja fundamental de los primeros detectores de semiconductor de Ge(Li), dada por la

necesidad de su enfriamiento constante a la temperatura del nitrógeno líquido, quedó superada con

la comercialización de cristales hiperpuros, como el HPGe, en los que el enfriamiento sólo se

requiere durante su funcionamiento. Por otro lado, el desarrollo alcanzado por las tecnologías

asociadas a la producción de isótopos radiactivos y por la metrología de radionucleidos ha

posibilitado la disponibilidad de fuentes patrones cada vez más fiables y precisas para la

calibración de estos sistemas de medida.

En la actualidad son numerosas las aplicaciones que encuentra la espectrometría de la radiación

gamma, apoyada en sus enormes ventajas sobre otros métodos de análisis. En particular, ésta es

una técnica no destructiva que no requiere de una preparación especial de las muestras a medir,

permitiendo la cuantificación simultánea de los diferentes radionucleidos contenidos en las

mismas. El empleo de la espectrometría de la radiación gamma es ya común e insustituible en las

investigaciones de Física Nuclear, por ejemplo: durante el estudio de interacciones y modelos

nucleares [Lövestam, 2007], [Karadag, et. al., 2007], en la confirmación experimental de períodos

de semidesintegración radiactiva [Bienvenu, et. al., 2007], o en la obtención de datos nucleares

[Kossert, et. al., 2006]. Es cada vez más importante el papel de la espectrometría de la radiación

gamma en investigaciones aplicadas, como en estudios de datación isotópica [Chao, et. al., 2007],

análisis por activación neutrónica [Figueiredo, et. al., 2002] o en estudios relacionados con la

conservación del medioambiente [Orescanin, et. al., 2007]. Sería difícil imaginar el desarrollo de

la Protección Radiológica sin la contribución de la espectrometría de la radiación gamma,

particularmente en los estudios de contaminantes radiactivos en el medio ambiente, tanto de origen

natural como artificial [Cornejo Díaz, et. al., 1995], [Komura, et. al., 2007], [Tomás, et. al., 2007],

[Povinec, et. al., 2008], [Tyler, 2008], el control radiológico de los alimentos [Tomás, et. al.,

2002], [Scheibel y Appoloni 2007] y la caracterización radiológica de materiales, como los de

construcción [Brígido, et. al., 2005].

En este capítulo describiremos brevemente las características y el principio de funcionamiento de

los detectores más utilizados en la detección de la radiación gamma, abordando los aspectos más

relevantes de los procesos de interacción de la radiación gamma con la materia para comprender su

respuesta. A partir de esta información, analizaremos de forma genérica los elementos que

conforman la función respuesta de los detectores, es decir, el espectro de amplitud de pulsos vs.

energía. Las calibraciones necesarias para poder extraer información cuantitativa de los espectros

de amplitud de pulsos y el papel de la simulación estadística para este fin serán abordados al final

del capítulo.


7

2.2 Detectores empleados en espectrometría de radiación gamma

Los tipos de detectores más utilizados en espectrometría de radiación gamma son los de materiales

centelleadores de cristales iónicos inorgánicos, como el NaI(Tl) y el CsI(Tl) y los de

semiconductor, como los de Ge(Li), Si(Li) y HPGe. A continuación describiremos brevemente las

principales características de estos detectores, los procesos físicos más relevantes que tienen lugar

en los mismos durante la detección de la radiación gamma y las principales implicaciones para la

simulación estadística de la deposición de energía en estos materiales.

2.2.1 Centelleadores de cristales iónicos inorgánicos En los materiales centelleadores, parte de la energía depositada por las radiaciones ionizantes se

transforma en fotones de bajas energías, que pueden estar en la zona visible del espectro y cuya

intensidad guarda una relación aproximadamente lineal con la energía absorbida en el cristal. La

capacidad alcanzada en la obtención de materiales centelleadores adecuados y el desarrollo de los

tubos fotomultiplicadores electrónicos para la cuantificación de su señal luminosa, permitieron

impulsar la espectrometría de la radiación gamma con la introducción de esta técnica de recuento.

Los centelleadores de cristales iónicos inorgánicos tienen estructuras reticulares generalmente

cúbicas y muchas de sus propiedades están determinadas por interacciones de tipo electrostático

entre sus átomos. Estos materiales son aislantes y sus electrones pueden ocupar sólo niveles

discretos de energía. En su estado estable, los electrones están unidos a los átomos en la estructura

reticular del cristal, en la denominada banda de valencia. Cuando los electrones adquieren

suficiente energía, por ejemplo tras la interacción de las radiaciones ionizantes, pueden superar la

energía de enlace del retículo y migrar en el interior del cristal, pasando a la llamada banda de

conducción. El paso de un electrón de la banda de valencia a la banda de conducción deja un

déficit de carga negativa en la banda de valencia, que se denomina hueco. En los cristales puros los

electrones no pueden ocupar estados de energía entre la banda de valencia y la banda de

conducción, por lo que a este espacio se le denomina banda prohibida. Por ejemplo, en el NaI la

banda prohibida tiene un ancho aproximado de 8 eV. En estos cristales, el salto posterior de un

electrón de la banda de conducción a la banda de valencia con la emisión de un fotón es un

proceso ineficiente, además, el ancho típico de la banda prohibida es tal que el fotón resultante

estaría en la zona ultravioleta del espectro, cuya detección es más difícil que en la zona de luz

visible. Para lograr la emisión eficiente de luz en la zona visible del espectro es necesaria la

existencia de determinados estados energéticos intermedios entre la banda de valencia y la banda

de conducción. Estos estados se logran con la incorporación de pequeñas cantidades (del orden de

1000 ppm) de impurezas adecuadas, conocidas como activadores.


8

Estados excitadosdel centro activador

Banda de conducción

Banda de valencia

Estado básicodel centro activador

Banda prohibida

Fotón decentelleo

Estados excitadosdel centro activador

Banda de conducción

Banda de valencia

Estado básicodel centro activador

Banda prohibida

Fotón decentelleo

El paso de una partícula cargada por el medio de detección formará una cantidad importante de

pares electrón – hueco1, originados por el salto de electrones de la banda de valencia a la banda de

conducción. Los huecos positivos se desplazarán con rapidez hacia los sitios de los activadores y

los ionizarán, pues la energía de ionización de la impureza será menor que la de los sitios del

retículo puro. A su vez, los electrones se moverán libremente por el cristal hasta encontrar alguno

de estos centros activadores ionizados. La captura del electrón en este sitio puede dar lugar a un

centro activador neutro, pero en estado excitado. Si la transición al estado básico es permitida, ésta

ocurrirá rápidamente (con vidas medias del orden de 10-7s) y con una elevada probabilidad de

emisión de un fotón de luminiscencia. Uno de los factores que condicionan la selección de la

impureza es la longitud de onda de los fotones emitidos, que debe estar en la zona visible del

espectro. Estos fotones tienen una probabilidad muy baja de ser absorbidos en el cristal, pues su

energía es muy inferior a la requerida para formar un par electrón - hueco. La Figura 2.1 muestra, a

modo de ejemplo, los estados energéticos en un cristal centelleador inorgánico activado.

Figura 2.1: Estructura de bandas energéticas en un cristal centelleador inorgánico activado Figura 1

El centelleo del NaI activado con talio fue dado a conocer en 1948 por Hofstadter [Hofstadter,

1948], quien logró el crecimiento de pequeños cristales en un tubo de cuarzo y observó su elevada

luminiscencia con relación a los centelleadores orgánicos. Estudios posteriores hallaron que la

eficiencia absoluta de centelleo en el NaI(Tl) era de un 13% a temperatura ambiente y que la

luminiscencia provenía casi en su totalidad de los centros de Tl, con una longitud de onda de unos

410 nm (3 eV), [Van Sciever y Bogard 1958]. Esto significa, que cada fotón de 1.0 MeV que

deposite completamente su energía en el cristal debe producir unos 4.3 x 104 fotones de centelleo,

de aproximadamente 3 eV. Conociendo que la cantidad de pares de electrón – hueco producidos

por fotones de 1.0 MeV debe ser de unos 5.0 x 104, o sea, que se requieren 20 eV por par, es

posible concluir que en el NaI(Tl) existe una elevada probabilidad de emisión de luz durante la

recombinación electrón – hueco en los centros activadores de Tl+. Por otro lado, el

1 Como promedio se requiere una energía aproximadamente igual a 3 veces el ancho de la banda prohibida

para formar un par electrón – hueco. En el NaI esto significa que una partícula cargada debe perder alrededor de 20 eV por cada par electrón – hueco que origine.


9

comportamiento de la intensidad de la luz de centelleo con la energía absorbida en el cristal es

prácticamente lineal en el rango de interés para la espectrometría de la radiación gamma

[Miyajima et. al., 1993]. En la actualidad es posible fabricar detectores de NaI(Tl) de diversos

tamaños, con un alto grado de homogeneidad. Estas propiedades, unidas al elevado coeficiente de

absorción de la radiación gamma en el NaI, debido esencialmente al elevado número atómico del

Yodo (Z = 53), hacen que el NaI(Tl) sea el material centelleador de referencia, utilizado en

diversas aplicaciones donde se requiere la medida eficiente de la radiación gamma: Medicina

Nuclear, evaluación de la contaminación interna con sustancias radiactivas, control de procesos

industriales mediante transmisión o dispersión de la radiación gamma, vigilancia radiológica del

Medio Ambiente, etc.

Otro de los haluros alcalinos más utilizados como material centelleador es el Yoduro de Cesio,

activado con sodio o con talio, con propiedades muy diferentes en ambos casos. Es precisamente

el CsI el material centelleador de mayor coeficiente de absorción de la radiación gamma por

unidad de volumen, gracias a su elevada densidad (4.51 g.cm-3). Este material es más maleable que

el NaI, permitiendo la construcción de detectores de diferentes formas y tamaños. Sin embargo, la

eficiencia del CsI(Tl) y del CsI(Na) en la emisión de luz por unidad de energía absorbida es menor

que en el NaI(Tl) y la vida media de los estados excitados de los centros activadores es algo mayor

que en el NaI(Tl).

En general, puede decirse que el principio de funcionamiento de los detectores centelleadores es

un proceso complejo y no muy eficiente de conversión de la energía de la radiación ionizante en

portadores de carga eléctrica, a partir de la luminiscencia del medio detector. La eficiencia de

registro de la luz de centelleo dependerá de diversos factores, tales como el tamaño del cristal, el

lugar de la interacción de la radiación gamma dentro de éste, la reflexión de la luz en la superficie

del cristal, el acople óptico con el tubo fotomultiplicador y las posibles diferencias en la

sensibilidad del foto-cátodo. Por otro lado, el número de fotoelectrones producidos por cada

cuanto gamma es una magnitud aleatoria con distribución de Poisson, cuya desviación estándar se

puede estimar a partir de las eficiencias de los diferentes procesos de conversión de la energía de la

radiación ionizante en portadores de carga eléctrica. Por ejemplo: si se asume de forma

conservadora que en un detector de NaI(Tl) el 70% de la luz de centelleo llega al foto-cátodo y que

la eficiencia cuántica de éste es del 25%, se tiene que la cantidad de fotoelectrones2 producidos a

partir del registro de un fotón de 1 MeV será de unos 7.6x103, con una desviación estándar de 87

fotoelectrones, lo que implica una desviación estándar relativa del 1.1 %. La amplitud de la señal a

la salida del tubo foto-multiplicador es proporcional al número de fotoelectrones, por lo que la

fluctuación estadística de éste provocará variaciones en la amplitud de los impulsos originados por

eventos con igual deposición de energía. De esta forma la resolución energética, definida

2 Este es el número mínimo de cargas eléctricas en la cadena de procesamiento de la señal, porque en lo

adelante se producirá la multiplicación de los electrones en el tubo foto-multiplicador.


10

formalmente como el ancho del pico de absorción total a la mitad de su altura (FWHM) dividido

por el valor esperado de la altura de los impulsos, puede estimarse a partir de la desviación

estándar relativa del número de fotoelectrones. Asumiendo que el pico de absorción total es

Gaussiano, el valor de FWHM es 2.35 veces la desviación estándar, por lo que en nuestro ejemplo

la resolución energética por fluctuaciones estadísticas en los portadores de carga será del 2.6 %.

Otros factores como la dependencia espacial de la reflexión de la luz de centelleo en la superficie

del cristal, la falta de homogeneidad en el cristal, las variaciones de sensibilidad en la superficie

del foto-cátodo, la falta de linealidad de la eficiencia de centelleo con la energía depositada y las

fluctuaciones en la amplificación de cargas dentro del tubo foto-multiplicador, contribuyen a

empeorar la resolución de los detectores centelleadores.

Precisamente, la resolución energética constituye una de las principales desventajas de los

detectores centelleadores con relación a los detectores de semiconductor, cuyo principio de

funcionamiento abordamos a continuación.

2.2.2 Detectores de semiconductor Siguiendo el modelo de la Figura 2.1, los materiales semiconductores están constituidos por

estructuras cristalinas con un ancho de banda prohibida en el rango aproximado de 1 – 5 eV. Los

materiales más utilizados en la espectrometría de la radiación gamma son el Si y el Ge, ambos del

grupo IV de la Tabla Periódica, en los que los electrones forman parte de los enlaces covalentes

que constituyen las fuerzas interatómicas dentro del cristal, con un ancho de la banda prohibida

igual a 1.12 eV en el Si y 0.74 eV en el Ge. Estos pequeños espesores de la banda prohibida hacen

que la energía mínima requerida para la formación de un par electrón – hueco sea

considerablemente menor que la requerida en el NaI, en concreto, 3.61 eV en Si y 2.98 eV en Ge

[Knoll, 1989]. Aplicando el procedimiento del punto anterior para calcular la resolución energética

debida a las fluctuaciones estadísticas del número de portadores de carga eléctrica, se tiene que

ésta será inferior al 0.4 % en el Ge, para radiación gamma de 1 MeV. Considerando además que en

los detectores de semiconductor no es posible asumir una total independencia entre los eventos de

ionización a lo largo de la trayectoria de las partículas de las radiaciones ionizantes [Fano, 1946],

este valor se reduce a 0.1 % aproximadamente, al aplicar a la varianza del número de portadores de

carga (obtenida a partir de la distribución de Poisson) una corrección o factor de Fano igual a 0.06,

según [Zulliger y Aitken, 1970].

En los semiconductores puros los pares electrón-hueco son originados por la excitación térmica

(en ausencia de la radiación ionizante), siendo el número de electrones en la banda de conducción

igual al número de huecos en la banda de valencia. Los semiconductores de tipo n se obtienen

añadiendo impurezas que forman centros donantes de electrones, por ejemplo, añadiendo átomos

del grupo V de la Tabla Periódica, como el fósforo. Cuando la cantidad de los centros donantes es


11

muy superior al número inicial de electrones y huecos en el semiconductor intrínseco, la cantidad

de huecos se reduce considerablemente, siendo los electrones los portadores mayoritarios de

cargas eléctricas y los huecos los portadores minoritarios. En los semiconductores de tipo p, por el

contrario, las impurezas que se añaden crean centros con afinidad de electrones, por ejemplo,

utilizando átomos del grupo III de la Tabla Periódica, como el boro. Los portadores mayoritarios

de carga son en este caso los huecos, reduciéndose considerablemente del número de electrones en

la banda de conducción. Cuando el dopaje es muy elevado y la concentración de portadores

minoritarios es mínima, los semiconductores del tipo n se denotan como n+ y los del tipo p como

p+. Estos semiconductores con alto dopaje tienen una elevada conductividad eléctrica y se utilizan

como contactos rectificadores en los detectores de semiconductor.

Los detectores de semiconductor tienen una estructura del tipo P-I-N, en la cual la región

intrínseca (I) está constituida por una zona libre de portadores de carga3, a la que se aplica un

voltaje inverso a través de los contactos rectificadores formados con semiconductores del tipo p+ y

n+. Cuando la radiación gamma interactúa dentro de la región intrínseca libera portadores de carga

eléctrica (pares electrón – hueco) que se mueven hacia los electrodos correspondientes por la

acción del campo eléctrico aplicado. La carga resultante de este desplazamiento es integrada, por

ejemplo, con un amplificador operacional sensible a carga y convertida en un impulso de voltaje

cuya amplitud es proporcional a la energía depositada por la radiación.

La profundidad de la zona “libre de portadores” es inversamente proporcional a la concentración

neta de impurezas, por lo que se requiere de materiales extremadamente puros para obtener los

volúmenes que demanda la detección eficiente de la radiación gamma. Desde comienzos de los

años 1970 los niveles de pureza requeridos en el Si y en el Ge comenzaron a lograrse

artificialmente mediante la compensación de cristales de tipo p con impurezas de tipo n (balance

de impurezas), a través de la difusión de átomos de Li. Los detectores así obtenidos se denotan

como Si(Li) o Ge(Li) y pueden estar en geometría plana o coaxial. La geometría coaxial permite

un mayor volumen de detección, al obtenerse mediante la difusión del Li desde toda la superficie

lateral (extremos abiertos) o desde toda la superficie lateral y una de las caras (extremo cerrado) en

cristales cilíndricos de tipo p. Sólo queda un núcleo cilíndrico central de tipo p no compensado con

el Li. Este núcleo, denominado “Core” en inglés, no forma parte del volumen activo y se emplea

como electrodo central sobre el que se crea un contacto eléctrico del tipo p+. La alta movilidad de

los iones de Li en el Ge a temperatura ambiente conduce a una de las mayores desventajas de los

detectores de Ge(Li), pues necesitan ser enfriados permanentemente a la temperatura del nitrógeno

líquido (77 K) para que no se rompa el balance de impurezas. Esta desventaja fue superada con la

comercialización del detector de germanio de alta pureza, denotado como HPGe. No obstante,

tanto los detectores de Ge(Li) como los de Si(Li) y HPGe, requieren ser enfriados a la temperatura

3 La reducción de los portadores de carga entre los electrodos es necesaria para reducir la corriente de

fondo por estimulación térmica.


12

del nitrógeno líquido durante su funcionamiento para reducir a un nivel aceptable el ruido

electrónico que se origina por la estimulación térmica de los portadores de carga.

Para la detección de la radiación gamma de energía en el orden de los cientos de keV o superior se

necesita disponer de detectores con el mayor número atómico y el mayor volumen de detección

posibles, por lo que los detectores coaxiales de HPGe son los detectores de semiconductor más

utilizados para este fin. Los detectores de HPGe más comunes son de tipo p, con contactos

exteriores de tipo n+ (obtenidos por ejemplo, mediante la difusión de iones de litio) que originan

una capa inactiva o capa muerta de Ge (contacto n+ + zona de transición) del orden de los 600 μm

o más. Existen detectores de HPGe de tipo n, cuyos contactos exteriores son del tipo p+ (logrados

por ejemplo, mediante la implantación de átomos de boro) con una capa muerta de Ge de apenas

algunas fracciones de μm, por lo que pueden ser utilizados además en la espectrometría de la

radiación gamma de bajas energías, hasta unos 5.0 keV [Gilmore y Hemingway, 1995]. En los

detectores coaxiales de HPGe se realiza una perforación cilíndrica en su eje principal para formar

el electrodo central (denominado indistintamente “Hole” o “Core”) en cuya superficie se forma el

otro de los contactos eléctricos, que puede ser del tipo p+ o n+ si el detector es de tipo p o de tipo n,

respectivamente. Con el objetivo de aumentar la eficiencia de detección de la radiación gamma

emitida por muestras pequeñas de muy baja actividad, se construyen detectores de HPGe de pozo,

en los que el ángulo sólido entre la muestra y el volumen activo del detector es aproximadamente

igual a 4π sr. Por otro lado, el bajo número atómico del Si (Z=14) y su aceptable ruido por

estimulación térmica, hacen que los detectores planos de Si(Li) sean destinados preferiblemente a

la espectroscopía de las radiaciones X y gamma de energías inferiores a los 150 keV.

2.2.3 Consideraciones generales para la simulación estadística Como veremos en el Capítulo 3, para la simulación del transporte de la radiación gamma en los

detectores centelleadores y de semiconductor es necesario reproducir en el ordenador, con un

elevado grado de exactitud, los procesos físicos de interacción mediante los cuales se produce la

deposición de la energía de los fotones gamma en el volumen activo del detector.

Es importante contar con una base de datos actualizada con las secciones eficaces de interacción

para todo el rango de energías de interés y para cada uno de los materiales que conforman el

detector, incluyendo aquellos que forman parte de los soportes y el encapsulado. En la

cuantificación de la energía depositada no se requiere considerar la interacción de la radiación

gamma con los átomos de las impurezas, tales como el Tl en los detectores de NaI(Tl) o el Li en

los detectores de Ge(Li), debido a que las mismas se hallan en concentraciones muy bajas,

aproximadamente 1000 ppm en el caso del NaI(Tl) y < 1015cm-3 en Ge(Li) [Knoll, 1989].


13

LD

DG

EW

tF

tL

DW

EC

ES

DC

RD

RH

LH

LD

DG

DC

EC

RD

EW

LEYENDA

DC: Diámetro de la carcasa externaEC: Espesor de la carcasa externaEW: Grosor de la ventanaDW: Diámetro de la ventanaDG: Distancia cristal – ventanaLD: Longitud del cristalRD: Radio del cristalRE: Radio de curvatura de la esquinaLH: Altura del core inactivoRH: Radio del core inactivotF: Anchura de la capa muerta frontaltL: Anchura de la capa muerta lateraltI : Espesor de la capa muerta internaES: Espesor del soporte del detector

DETECTOR COAXIAL DE HPGe DETECTOR DE CENTELLEO

DW

RE

tILD

DG

EW

tF

tL

DW

EC

ES

DC

RD

RH

LH

LD

DG

DC

EC

RD

EW

LEYENDA

DC: Diámetro de la carcasa externaEC: Espesor de la carcasa externaEW: Grosor de la ventanaDW: Diámetro de la ventanaDG: Distancia cristal – ventanaLD: Longitud del cristalRD: Radio del cristalRE: Radio de curvatura de la esquinaLH: Altura del core inactivoRH: Radio del core inactivotF: Anchura de la capa muerta frontaltL: Anchura de la capa muerta lateraltI : Espesor de la capa muerta internaES: Espesor del soporte del detector

DETECTOR COAXIAL DE HPGe DETECTOR DE CENTELLEO

DW

RE

tI

Generalmente se considera que la eficiencia de producción y colección de las cargas eléctricas es

uniforme en todo el volumen activo del detector; sin embargo, debe valorarse cuidadosamente el

caso de algunos detectores, como los de HPGe de pozo, en los que el campo eléctrico en el interior

del volumen activo puede presentar inhomogeneidades importantes [Laborie, et. al., 2002],

[Hernández y El-Daoushy, 2003]. Por otro lado, en los detectores coaxiales de HPGe, las esquinas

son habitualmente redondeadas durante el proceso de producción, pues en las esquinas rectas el

campo eléctrico es tan débil que las cargas eléctricas producidas no pueden ser colectadas con

tiempos razonables de integración [Gilmore y Hemingway, 1995].

Un requisito indispensable para alcanzar resultados satisfactorios con la simulación estadística es

el conocimiento exacto de las dimensiones de cada una de las componentes estructurales del

detector [Korun, et. al. 1997], [García-Talavera, et. al., 2000], [Jurado Vargas et. al., 2002a],

[Jurado Vargas et. al., 2003]. Es habitual que los fabricantes no puedan proporcionar esta

información con el grado de exactitud requerida [Sánchez, et. al., 1991], [Lépy, et. al., 2000], por

lo que es necesario aplicar procedimientos específicos para optimizar la geometría del detector a

partir de medidas experimentales con fuentes de diferentes energías [Helmer, et. al., 2003],

[Hurtado et. al., 2004], [Dryak y Kovar, 2006]. Como puede deducirse de los puntos 2.2.1 y 2.2.2,

la simulación de los detectores de semiconductor demanda el conocimiento de un mayor número

de parámetros que la simulación de los detectores centelleadores. La Figura 2.2 muestra los

esquemas de los detectores centelleadores y de semiconductor con los parámetros más importantes

para la simulación estadística de la energía depositada por la radiación gamma.

Figura 2.2: Parámetros importantes para la simulación estadística de la energía depositada por la radiación gamma en los detectores de semiconductor y de centelleo Figura 2


14

2.3 Respuesta de los detectores a la radiación gamma

2.3.1 Procesos de interacción de la radiación gamma El conocimiento de los procesos básicos de interacción de los fotones es esencial para comprender

y simular la respuesta de los detectores de radiación y en particular de los sistemas de

espectrometría de la radiación gamma. A pesar de que son numerosos los procesos involucrados

en la cadena de eventos que conduce a un impulso eléctrico a la salida de un sistema de detección,

las características más importantes de un espectro diferencial de altura de pulsos, resultante de la

detección de la radiación gamma, pueden ser interpretadas a partir de las interacciones

fundamentales que ocurren dentro del volumen activo del detector.

En el rango de energías de interés (decenas de keV a unidades de MeV) existen tres procesos

básicos mediante los cuales los fotones pueden interactuar con los materiales, entregando toda o

parte de su energía en eventos discretos. Estos procesos son el efecto fotoeléctrico, la dispersión

inelástica y la producción de pares de electrones y positrones en el campo eléctrico del átomo. La

Figura 2.3 muestra, a modo de ejemplo, la dependencia energética de la probabilidad de ocurrencia

de cada uno de estos procesos en Ge, según [Berger et. al., 1999].

Existe un cuarto proceso de interacción: la dispersión coherente (Rayleigh). En esta interacción el

fotón es dispersado por toda la envoltura electrónica del átomo, sin que se produzca la excitación

de éste. Toda la masa del átomo recibe el impulso de retroceso, siendo despreciable la variación

de energía y momento del fotón incidente. Este proceso no contribuye por tanto a la entrega de

energía a los electrones del medio, y su probabilidad de ocurrencia es al menos un orden de

magnitud inferior a la del efecto predominante para la energía de los fotones incidentes. Por otro

lado, el efecto de la dispersión coherente en los fotones incidentes tiende a cancelarse debido a

que, si bien un número de fotones puede dispersarse en una dirección determinada, un número

similar puede abandonar dicha dirección tras la dispersión [Debertin y Helmer, 1988].


15

Ge (Z=32)

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1,00E+03

1,00E+04

1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 1,00E+01 1,00E+02

Energía [MeV]

cm2 .g

-1

Dispersión inelástica

Efecto fotoeléctricoFormación de pares

Total sin dispersión coherente

Ge (Z=32)

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1,00E+03

1,00E+04

1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 1,00E+01 1,00E+02

Energía [MeV]

cm2 .g

-1

Dispersión inelástica

Efecto fotoeléctricoFormación de pares

Total sin dispersión coherente

Figura 2.3: Secciones eficaces de interacción de fotones en Ge Figura 3 2.3.1.1 Efecto fotoeléctrico En el proceso fotoeléctrico el fotón incidente pierde toda su energía, y la mayor parte de esta

energía se transmite a un electrón de la envoltura atómica. La energía cinética del electrón

“arrancado” del átomo es prácticamente igual a la diferencia entre la energía del fotón incidente y

la energía de enlace del electrón en la capa de la cual fue arrancado. Aunque una fracción de la

energía es absorbida por el retroceso del núcleo atómico, ésta es despreciable en comparación con

la energía de la radiación gamma y del fotoelectrón. Si la energía del fotón incidente es superior a

la energía de la capa K del átomo (11.1 keV para Ge), la interacción ocurrirá con mayor

probabilidad con los electrones de esa capa. Como consecuencia de este proceso, el átomo queda

con un déficit de un electrón en la capa donde ocurrió el efecto fotoeléctrico, produciéndose la

emisión de rayos X característicos o de electrones Auger al completarse dicha capa con electrones

de otras capas más externas en el átomo. Esta secuencia de eventos ocurre en un espacio de tiempo

muy inferior al tiempo de respuesta de los sistemas de detección, por lo que si los rayos X

característicos son absorbidos en el propio detector mediante otros efectos fotoeléctricos, la

energía del fotón incidente se absorberá totalmente, generando una señal eléctrica única

proporcional a esta energía.

Como se aprecia en la Figura 2.3, el proceso fotoeléctrico es el modo predominante de interacción

de la radiación electromagnética de energías relativamente bajas. La probabilidad de este efecto

disminuye rápidamente con el aumento de la energía de los fotones. Por otro lado, la probabilidad

aumenta con el incremento del número atómico del material, por lo que uno de los parámetros


16

importantes en la selección de los detectores de radiación gamma es precisamente su número

atómico efectivo. Si bien no existe una expresión analítica única para describir la probabilidad del

efecto fotoeléctrico en un átomo ( τ ) para todos los rangos de energía y número atómico, es

posible escribir la siguiente aproximación cuando la energía de los fotones es superior a la energía

de enlace de los electrones en la capa K del átomo:

( )

n

3Zkh

τ ≅ ⋅ν

(2-1),

siendo k una constante de proporcionalidad, y n varía entre 4 y 5 en el rango de energías de

interés.

2.3.1.2 Dispersión inelástica Este proceso es con frecuencia el mecanismo de interacción predominante en el rango de energías

de las fuentes radiactivas. En la Figura 2.3 se observa cómo este tipo de interacción es el de mayor

probabilidad en Ge para energías de los fotones entre los 200 keV y las unidades de MeV. El fotón

incidente es dispersado por un electrón de la envoltura atómica con una pérdida parcial de su

energía y en un ángulo θ con relación a su dirección inicial. Para la caracterización cinemática del

proceso se asume que el electrón está libre y en reposo, por lo que de las leyes de conservación de

la energía y el impulso se obtiene la ecuación que relaciona la energía del fotón dispersado con el

ángulo de dispersión [Compton, 1923]:

( )'

20

hh h1 1 cosm c

νν = ν+ − θ (2-2),

donde: hν’ y hν son las energías de los fotones dispersado e incidente, respectivamente, m0c2 es la

masa en reposo del electrón y θ es el ángulo de dispersión del fotón.

La energía cinética del electrón emitido (Ec) puede estimarse entonces según:

( )C

20

hE h h1 1 cosm c

ν= ν − ν+ − θ (2-3)

Según se deduce de la ecuación (2-3), la energía máxima entregada al electrón nunca alcanzará el

valor de la energía del fotón incidente, estando en el rango entre cero (para θ = 0) y

20

hh h1 2m c

νν − ν+ (para θ = π).


17

La probabilidad de dispersión en un átomo, en un ángulo determinado, puede obtenerse a partir de

la sección eficaz diferencial de la dispersión inelástica INddσθ

, que puede escribirse según [Hubbell,

1997] como:

( )IN KNd d S x, Zd dσ σ= ⋅θ θ

(2-4),

donde:

KNddσ

θ es la sección eficaz diferencial de la dispersión no coherente, o dispersión Compton,

de la radiación electromagnética no polarizada en un electrón libre en reposo, que según [Klein y

Nishina, 1929] se expresa como:

( )( )

( )( ) ( )

2 222KNe 2 2

1 cos 1 cosd r 1 sind 1 cos 1 1 cos1 1 cos

⎡ ⎤+ θ α − θσ ⎢ ⎥= π⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ θθ ⎢ ⎥+ θ + α − θ⎡ ⎤+ α − θ⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2-5),

siendo: 2

15e 2

0 e

1 er 2.818 10 m4 m c

−= ⋅ = ⋅π ⋅ε

el radio clásico del electrón y 2

e

hm c

να = la energía

del fotón incidente (en unidades de la masa en reposo del electrón).

S(x,Z) es una corrección a la fórmula de Klein-Nishina para considerar el efecto de la

energía de enlace del electrón en el átomo. Z es el número atómico del material y la variable x es

la medida de la transferencia de impulso al electrón:

( )sin 2xθ

=λ

(2-6),

siendo λ la longitud de onda del fotón incidente, dada en Å.

La Figura 2.4 muestra el comportamiento de S(x, Z) en función de la variable x, en el caso

particular del Ge. Puede observarse que esta función tiene forma sigmoidea y está en el rango entre

0 y Z, favoreciéndose las dispersiones que ocurren con la mayor transferencia de impulso. En otros

términos, las dispersiones de los fotones con ángulos próximos a cero tienen una probabilidad más

baja de ocurrencia y este efecto se hace más notable a medida que disminuye la energía de los

fotones incidentes. En [Hubbell, et. al., 1975] y [Hubbell, et. al., 1977] se describe detalladamente

la función S(x, Z), se ofrece en forma de tablas para 0.005 Å-1 ≤ x ≤ 109 Å-1 y 1 ≤ Z ≤ 100 y se

compara con resultados experimentales. Para facilitar las simulaciones estadísticas, en [Baró, et.

al., 1994] se brindan los ajustes de la función S(x, Z) con funciones analíticas en los intervalos:

0.005 Å-1 ≤ x ≤ 109 Å-1 y 1 ≤ Z ≤ 92.


18

Ge-32

0

5

10

15

20

25

30

35

0,010 0,100 1,000 10,000 100,000

x

S(x,

Z)

1Å−[ ]

Ge-32

0

5

10

15

20

25

30

35

0,010 0,100 1,000 10,000 100,000

x

S(x,

Z)

1Å−[ ]

La Figura 2.5 muestra la dependencia de la sección eficaz diferencial de la dispersión inelástica en

un átomo de Ge ( INddσθ

) con el ángulo de dispersión para dos valores de energía de los fotones

incidentes. Puede observarse que a medida que aumenta la energía de los fotones disminuye el

ángulo medio de dispersión, con la consiguiente variación en el recorrido medio de los fotones

dispersados dentro del volumen activo del detector, para una geometría de medida determinada.

La probabilidad de ocurrencia de la dispersión inelástica en un átomo (σIN) dependerá del número

de electrones disponibles, por lo que aumentará linealmente con el número atómico Z. La

dependencia con la energía puede apreciarse en la Figura 2.3. Pudiera escribirse analíticamente, de

forma aproximada, como:

INZkh

σ ≅ ⋅ ⋅ν

(2-7),

siendo k una constante de proporcionalidad.

Figura 2.4: Gráfico de la función de dispersión para Ge Figura 4


19

0,0

0,5

1,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

1.0 MeV0.1 Mev

0,0

0,5

1,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

1.0 MeV0.1 Mev

θ [ radianes]θ [ radianes]

Figura 2.5: Gráficos de la sección eficaz diferencial normalizada de la dispersión inelástica en función del ángulo de dispersión para Ge Figura 5

2.3.1.3 Formación de pares electrón - positrón La formación de pares electrón – positrón en el campo del núcleo atómico4 es energéticamente

posible cuando la energía de los fotones incidentes es superior a la masa en reposo del par electrón

– positrón, es decir, 1.022 MeV. En esta interacción, que ocurre bajo la acción del campo eléctrico

del núcleo, el fotón desaparece y en su lugar se crea un par electrón – positrón. La energía total del

par de partículas será igual a la energía del fotón incidente, de modo que, toda la energía del fotón

en exceso de los 1.022 MeV se transforma en energía cinética del par electrón – positrón. Debido a

que el positrón es una partícula inestable, una vez en reposo en el campo de un electrón se

producirá la aniquilación de ambos, con la emisión de dos fotones, cada uno con una energía

aproximada5 de 0.511 MeV. Al igual que en el caso de la dispersión inelástica, la energía del fotón

incidente no se deposita completamente en el lugar de la interacción. La energía cinética del par

electrón – positrón se absorberá prácticamente de forma local, excepto la energía que pudiera

emitirse en forma de radiación de frenado; sin embargo, los dos fotones de 0.511 MeV llevarán su

energía a otro lugar, para interactuar probablemente mediante dispersión inelástica o efecto

fotoeléctrico. Es posible que los dos fotones de aniquilación escapen del volumen activo del

detector o que escape uno de ellos e incluso que después de una segunda interacción escape una

fracción de la energía de alguno de ellos. Debido a que el tiempo en el que se produce el frenado y

4 La formación de pares electrón – positrón en el campo de la envoltura electrónica del átomo sólo es posible

para energías de los fotones superiores a 4mc2. 5 Ambos fotones de aniquilación tienen energías ligeramente diferentes como consecuencia del impulso del

par electrón – positrón antes de la aniquilación.


20

aniquilación del positrón es muy inferior al tiempo de respuesta de los sistemas de detección, esta

radiación de aniquilación ocurre en coincidencia virtual con el proceso de formación de pares.

En la Figura 2.3 se muestra la dependencia de la sección eficaz de la formación de pares con la

energía. La sección eficaz de la formación de pares en el campo del núcleo atómico varía

aproximadamente según la segunda potencia del número atómico y el logaritmo de la energía del

fotón incidente:

( )2k Z ln hκ ≅ ⋅ ⋅ ν (2-8),

siendo k una constante de proporcionalidad.

A continuación veremos cómo puede interpretarse un espectro de altura de pulsos a partir del

conocimiento de los procesos de interacción descritos.

2.3.2 Componentes de un espectro de radiación gamma El espectro de radiación gamma emitido por una fuente consiste en líneas discretas muy estrechas,

mientras que el espectro de amplitud de pulsos medido en un espectrómetro de radiación gamma

es una distribución continua en la que se superponen una serie de componentes discretas o picos

con forma aproximadamente gausiana. Este no es un espectro de fotones propiamente, sino más

bien un espectro de la energía cinética transmitida por los fotones a los electrones del detector y

absorbida en el volumen activo del detector durante el tiempo de resolución de la cadena

electrónica del sistema de medida.

Para estudiar las componentes del espectro de amplitud de pulsos supondremos primeramente que

sobre un detector de Ge incide una radiación gamma monoenergética, con energía igual a 2.0

MeV. En la Figura 2.3 se pueden apreciar los tipos fundamentales de interacción que ocurrirán en

el volumen activo del detector: la dispersión inelástica, la formación de pares y el efecto

fotoeléctrico, en una proporción aproximada de 193:8:1. Si sobre el detector incide un número

estadísticamente significativo de fotones se obtendrá una distribución de la energía absorbida en el

volumen activo del detector similar a la que se muestra en la Figura 2.66.

Cuando toda la energía de los fotones es absorbida en el volumen activo del detector se produce el

pico indicado como A, correspondiente en nuestro caso a una energía E1 = 2.0 MeV. La absorción

total de los fotones puede ocurrir si estos interactúan mediante efecto fotoeléctrico, a través de

6 Este espectro de energía absorbida en el volumen activo del detector difiere en algo de un espectro real.

En un espectro real las componentes discretas aparecerán como “Gaussianas” y no como líneas sobre la parte continua del espectro, debiéndose esto esencialmente a las fluctuaciones estadísticas en el número de cargas eléctricas colectadas por unidad de energía depositada en el volumen activo del detector, a las fluctuaciones en la eficiencia de colección de cargas y al ruido de la cadena electrónica.


21

E1E2E3E4

A

D

CEF

B

G

E5

H

E6

I

E7 E1E2E3E4

A

D

CEF

B

G

E5

H

E6

I

E7

varias dispersiones inelásticas seguidas de un evento fotoeléctrico, o mediante la formación de

pares con la absorción de ambos fotones de aniquilación, y si además no se produce ningún escape

de energía en forma de radiación X característica o de radiación de frenado. El pico resultante de

esta pérdida total de energía se denomina pico de absorción total (fotopico) y es la característica

distintiva de todo espectro de amplitud de pulsos.

Figura 2.6: Espectro ideal de altura de pulsos en Ge para radiación gamma de 2.0 MeV Figura 6

La posición del pico de absorción total (ubicación en el eje x o número del canal central) y su

intensidad (cantidad de cuentas en la unidad de tiempo) son los parámetros utilizados para

determinar la energía y la intensidad de la radiación gamma, respectivamente. El escape de la

radiación X característica produce pequeños picos desplazados a la izquierda del pico de absorción

total, coincidiendo este desplazamiento con el valor de la energía de la radiación característica que

escapa del cristal. Los picos de escape de la radiación característica se hacen menos relevantes a

medida que aumenta la energía de la radiación gamma, fundamentalmente porque disminuye la

probabilidad de escape de estos fotones al originarse a mayores profundidades en el volumen

activo del detector.

Cuando los fotones incidentes interactúan con el volumen activo del detector mediante la

dispersión inelástica y se escapan los fotones secundarios, se produce una absorción parcial de la

energía de la radiación incidente (E1), formándose el continuo indicado como B. De acuerdo con

la ecuación (2-3), la energía depositada en el cristal estará entre cero para θ = 0o y

20

E1E1 E11 2m c

−+

cuando θ = 180o, por lo que el continuo de la dispersión inelástica simple se


22

extenderá en todo ese rango. La energía máxima que se absorbe en el cristal tras la dispersión

inelástica de los fotones incidentes será en nuestro caso: E2 = 1.77 MeV. Es en este valor de

energía donde está el extremo del continuo, denominado borde Compton, que se indica con la letra

C en la Figura 2.6. La forma del continuo de la dispersión inelástica, formando un pequeño pico7

en el borde Compton se debe esencialmente a la dependencia de la energía del fotón secundario

con el ángulo de dispersión (Ver la Figura 2.7). Es decir, a partir de un ángulo de dispersión de

unos 120º, la energía de los fotones dispersados sufre muy poca variación. Si después de

producirse la dispersión inelástica de los fotones incidentes tienen lugar otras interacciones de los

fotones secundarios en el volumen activo del detector, con el escape ulterior de alguna fracción de

energía, se forma la zona indicada con la letra D y conocida como zona de dispersión múltiple,

porque a ella contribuye esencialmente el proceso de dispersión inelástica. Debe señalarse que la

zona de dispersión múltiple se extiende desde cero hasta la energía de los fotones incidentes.

Cuando los fotones incidentes interactúan mediante el proceso de formación de pares electrón –

positrón y escapa alguno de los fotones de aniquilación, se produce el pico indicado con la letra E,

o pico de escape simple, el cual está desplazado aproximadamente8 unos 0.511 MeV a la izquierda

del pico de absorción total. En nuestro ejemplo: E3 = E1 – 0.511 MeV = 1.489 MeV. El pico

marcado con la letra F corresponde a la energía absorbida en el volumen activo del detector

cuando escapan los dos cuantos de aniquilación. Se denomina pico de escape doble y está

desplazado 1.022 MeV a la izquierda del pico de absorción total, siendo en nuestro caso: E4 = E1

– 1.022 MeV = 0.978 MeV. Una característica que permite identificar a los picos de escape es que

no poseen barrera Compton a su izquierda. La absorción incompleta de los fotones de

aniquilación, por ejemplo tras su dispersión inelástica, contribuye a la región continua del espectro

(B) en el intervalo [E1-1.022 MeV, E1].

Para reducir los niveles de radiación de fondo, el sistema de detección se rodea con un blindaje

adecuado, generalmente construido con plomo y acero. Este blindaje representa, sin embargo, una

fuente importante de radiación dispersada que incide en el detector. La dispersión de los fotones

también ocurre en el soporte de la fuente, dentro de la propia fuente y en la estructura que soporta

al detector. Cuando los fotones que sufren dispersión inelástica en los materiales que rodean al

detector se absorben totalmente en éste, producen el denominado pico de retrodispersión (letra H

en la Figura 2.6). Este pico estará en la zona de energías dada por la ecuación 2-2 para ángulos de

dispersión superiores a 120o. El pico se produce debido a que, como se observa en la Figura 2.7, la

7 El borde Compton es suavizado y más bajo en un espectro real debido a las fluctuaciones estadísticas

durante la colección de las cargas eléctricas y al procesamiento de las señales por la cadena electrónica del sistema. Otra causa de la disminución de la pendiente Compton es el efecto Doopler causado por el impulso de los electrones antes de la dispersión.

8 El pico de escape simple estará desplazado unas decenas de eV hacia la derecha debido al movimiento del positrón en el campo eléctrico del detector de semiconductor. Por otro lado, la resolución en el pico de escape simple es algo más pobre que en el pico de escape doble o que en el pico de absorción total, debido a que ambos fotones de aniquilación tienen energías ligeramente diferentes como consecuencia del impulso del par electrón – positrón antes de la aniquilación.


23

energía de los fotones secundarios sufre muy poca variación a partir de un ángulo de dispersión

aproximadamente igual a 120º. Se puede apreciar además que a partir de este ángulo, la energía de

los fotones dispersados es prácticamente independiente de la energía de los fotones primarios. Esta

última observación implica que aún en el caso de fuentes gamma de múltiples energías, el pico de

retrodispersión tendrá una localización definida en el espectro. Ahora bien, la forma y la

intensidad relativa del área de retrodispersión dependerán de las energías de los fotones, de los

materiales que rodean al detector, de su geometría y dimensiones.

Otro efecto ocasionado por los materiales que rodean al detector se produce cuando los fotones

emitidos por la fuente, con energías superiores a 1.022 MeV interactúan con estos materiales

mediante la formación de pares. En este caso, alguno de los cuantos de aniquilación puede ser

absorbido completamente en el volumen activo del cristal. Surge entonces un pequeño pico de

aniquilación, indicado con la letra G, cuya energía E5 es igual a 0.511 MeV9. Este pico es

generalmente muy bajo, por lo que normalmente no se alcanza a distinguir su barrera Compton.

Por otro lado, si los fotones que emite la fuente son absorbidos mediante efecto fotoeléctrico en las

paredes del blindaje que rodea al detector y la radiación X característica que se emite es absorbida

en el volumen activo del detector, podrá producirse un pico como el indicado con la letra I en la

Figura 2.6. Si el material del blindaje es el Pb, la radiación X característica de la capa K tendrá una

energía de aproximadamente 72 keV, por lo que de no cubrirse las paredes interiores del blindaje

con materiales adecuados10 será muy probable que aparezca este pico en E7 = 0.072 MeV.

Para concluir con este análisis general del espectro de amplitud de pulsos, supongamos que sobre

el detector de Ge incide una radiación gamma monoenergética de 40.0 keV. Según se puede ver en

la Figura 2.3, los efectos posibles mediante los cuales los fotones entregarán energía a los

electrones del volumen activo del detector serán en este caso: el efecto fotoeléctrico y la dispersión

inelástica, en una proporción aproximada de 98:2. Este predominio del efecto fotoeléctrico

provoca que apenas se aprecie el continuo Compton, cobrando mayor relevancia los picos de

escape de la radiación X característica originada en los átomos del detector. En la Figura 2.8 se

ofrece un espectro ideal de amplitud de pulsos, obtenido a partir de la simulación estadística de la

medida de la radiación gamma de 40.0 keV en un detector de HPGe. Se aprecian las líneas de

escape de la radiación característica Kα y Kβ del Ge y un pequeño continuo Compton, cuyo borde

está apenas en 5.4 keV. En este caso no se observa la zona de dispersión múltiple, por ser la

dispersión inelástica muy poco probable en estas bajas energías. 9 Este pico será algo más ancho de lo esperado debido a una ligera diferencia en la energía de ambos

fotones de aniquilación, como consecuencia del impulso del par electrón – positrón. El centro del pico estará ligeramente desplazado hacia la izquierda debido a la energía de enlace del electrón donde ocurre la aniquilación.

10 Generalmente las paredes interiores de los blindajes de Pb se cubren sucesivamente con materiales de menor energía en la capa K, como el Cd y el Cu. De esta forma, la radiación X característica del Pb es absorbida con una gran probabilidad por el recubrimiento de Cd y al mismo tiempo, la radiación característica emitida por el Cd es absorbida por la capa siguiente de Cu. La radiación X característica del Cu, de apenas unos 8.0 keV, es la que sale de la pared interior del blindaje.


24

40.0 keV30.1 keV

29.0 keV

5.4 keV

Pico de Absorción total

Pico de escapede Kα (9.9 keV)

Pico de escapede Kβ (11.0 keV)

Barrera Compton

40.0 keV30.1 keV

29.0 keV

5.4 keV

Pico de Absorción total

Pico de escapede Kα (9.9 keV)

Pico de escapede Kβ (11.0 keV)

Barrera Compton

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Ángulos en grados

Ener

gía

en M

eV

0.5 MeV1.0 MeV2.0 MeV

Figura 2.7: Dependencia de la energía de los fotones secundarios con el ángulo de salida en la dispersión inelástica, para tres energías de los fotones primarios Figura 7

En los espectros reales, obtenidos durante la medida de radionucleidos con varias emisiones

gamma o de fuentes con múltiples radionucleidos, se produce la superposición de cada una de las

componentes analizadas en este apartado. A modo de ejemplo, la Figura 2.9 muestra un espectro

real correspondiente a una fuente de 60Co ubicada a 10cm de la superficie de un detector de HPGe

de tipo p.

Figura 2.8: Espectro ideal de altura de pulsos en un detector de HPGe para radiación gamma de 40.0 keV Figura 8


25

10

100

1000

1

182.0

Energía [keV]364.4 546.8 729.2 911.6 1094.0 1276.4

Pico de aniquilación511.0 keV

Picos de absorcióntotal

Pico de retrodispersión

Bordes Compton

Dispersión múltiple

Picos de escape simple

10

100

1000

1

182.0

Energía [keV]364.4 546.8 729.2 911.6 1094.0 1276.4

Pico de aniquilación511.0 keV

Picos de absorcióntotal

Pico de retrodispersión

Bordes Compton

Dispersión múltiple

Picos de escape simple

Figura 2.9: Espectro correspondiente a la radiación gamma del 60Co, en un detector de HPGe11Figura 9

Para obtener información cuantitativa de los espectros de altura de pulsos es necesario realizar tres

pasos básicos: a) identificar los picos de absorción total y hacer corresponder su posición,

expresada en el número de orden del canal central, con un valor de energía; b) calcular el área de

cada pico de interés mediante la selección de los canales significativos y la suma de las cuentas en

cada uno de ellos; c) calcular la actividad de cada uno de los radionucleidos en la muestra medida

a partir de las áreas de los picos de absorción total y de los tiempos reales de medida. Todas estas

operaciones están sustentadas en la calibración previa del sistema de espectrometría, cuyos

aspectos esenciales describiremos en el punto siguiente.

11Cortesía del Laboratorio de Vigilancia Radiológica Ambiental del Centro de Protección e Higiene de las

Radiaciones. La Habana, Cuba.


26

2.4 Calibración de los sistemas de detección

2.4.1 Calibración en energía Tanto en los detectores de cristales centelleadores como de semiconductor existen pequeñas

desviaciones de la relación lineal entre la amplitud de los impulsos eléctricos a la salida del

sistema electrónico y la energía de la radiación incidente. Estas desviaciones se deben

esencialmente a la falta de uniformidad en el proceso de formación y colección de cargas eléctricas

dentro del detector, a la dependencia direccional de la aceleración de los electrones en los cristales

de semiconductor durante el proceso de colección de cargas, así como a la falta de linealidad del

sistema de amplificación y análisis de la señal. Debido a lo anterior se requiere de calibraciones

periódicas que hagan corresponder la energía de la radiación gamma con la altura del pulso

(número del canal central) en el pico de absorción total.

Para realizar las calibraciones se utilizan fuentes con emisiones gamma cuyas energías sean

conocidas con un alto grado de exactitud, y que cubran el rango de energías de interés [Browne y

Firestone, 1986], [Firestone, 2003], [BIPM, 2004]. Con los puntos obtenidos (energía, canal) es

posible ajustar una función adecuada, generalmente lineal o cuadrática, que se utilizará para

identificar las energías de los picos de absorción total de emisores desconocidos. Algunos autores

han publicado métodos y funciones de ajuste para considerar la falta de linealidad en la cadena de

amplificación y análisis de los impulsos, especialmente útiles para los sistemas de espectrometría

menos modernos [Greenwood, et. al., 1970], [Dryák, 1986].

Es recomendable que las fuentes de calibración presenten la misma geometría que las muestras a

medir, que el tiempo de medida durante las calibraciones sea tal que la posición del pico de

absorción total se determine con una precisión inferior a 0.2 keV y que las medidas de calibración

se realicen como mínimo con una frecuencia diaria12 [IEC, 1995].

Una vez seleccionados los picos de interés y establecidos los valores de energía correspondientes

es posible identificar los radionucleidos presentes en la muestra medida haciendo uso de las tablas

de datos nucleares, por ejemplo: [Firestone, 2003], [BIPM, 2004]. Para el cálculo ulterior de las

áreas de los picos de absorción total, mediante algún sistema automático de análisis de espectros,

es necesario que el sistema haya sido calibrado en resolución, puesto que de ésta dependerá la

selección de los parámetros que determinan la forma del pico a integrar.

12 Debe tenerse en cuenta la variación de la calibración en energía con el tiempo, con la tasa de recuento y

con la temperatura ambiente.


27

2.4.2 Calibración en resolución

La resolución energética determina la posibilidad de diferenciar adecuadamente dos picos cercanos

en el espectro. Formalmente se define la resolución como:

FWHMRh

=ν

(2-9),

siendo FWHM la anchura del pico a la mitad de su altura (en unidades de energía) y hν la energía

de la radiación gamma correspondiente.

Como se vio en los puntos 2.2.1 y 2.2.2, la anchura del pico depende de procesos de naturaleza

estadística durante la producción y colección de las cargas eléctricas y la transmisión de la señal al

resto del sistema. En los detectores de semiconductor, por ejemplo, se distinguen tres componentes

fundamentales que son independientes y se adicionan en cuadratura [Debertin y Helmer, 1988],

[Knoll, 1989]:

( ) ( ) ( )2 2 22P C R

FWHM FWHM FWHM FWHM= + + (2-10),

siendo ( )PFWHM la anchura del pico debida a las fluctuaciones estadísticas en la producción de

cargas eléctricas, ( )CFWHM la anchura del pico debida a las fluctuaciones en la colección de

cargas eléctricas y ( )RFWHM la anchura del pico por el ruido electrónico de la cadena de

amplificación y procesamiento de los impulsos.

( )PFWHM depende de la energía de la radiación gamma según la relación13:

PFWHM 2.35 F h= ⋅ ⋅ ν ⋅ε (2-11),

donde: F es el factor de Fano (ver punto 2.2.2), hν es la energía de la radiación gamma incidente y

ε es la energía requerida para crear un par electrón – hueco, [Debertin y Helmer, 1988].

13Esta ecuación muestra la marcada diferencia que existe entre la resolución de los detectores

centelleadores y de semiconductor, dada en lo fundamental por el factor de Fano y la energía requerida para formar los portadores de carga eléctrica.


28

Las fluctuaciones en la colección de las cargas eléctricas, debidas al efecto combinado de la

presencia de impurezas e imperfecciones en el cristal con la falta de homogeneidad del campo

eléctrico, determinan la componente ( )CFWHM , que pudiera reducirse incrementando el voltaje

de trabajo del detector14. Según [Gilmore y Hemingway, 1995], ( )CFWHM pudiera tener una

relación lineal con la energía de la radiación incidente. Por otro lado, el ruido electrónico, dado en

lo fundamental por las vibraciones térmicas aleatorias de los electrones y por la naturaleza

estadística de los procesos que originan las corrientes eléctricas, tiene una contribución a la

anchura del pico ( ( )RFWHM ) que no depende de la energía de la radiación incidente.

La calibración en resolución se requiere cuando el cálculo del área neta de los picos de absorción

total se realiza de forma automática mediante algún programa de cálculo apropiado, pues uno de

los parámetros requeridos por los algoritmos de cálculo es la anchura del pico de absorción total

para cada valor de energía. Pudiera realizarse entonces el ajuste de los puntos de calibración

(FWHM, energía de la radiación gamma) con una función analítica adecuada.

Una vez calculada el área neta o la cantidad de cuentas en el pico de absorción total, el cálculo de

la tasa de emisión de la línea gamma correspondiente o de la actividad de la fuente en cuestión

demanda el conocimiento de la eficiencia absoluta del sistema de medida en el pico de absorción

total, a menos que se cuente con una fuente patrón idéntica a la evaluada.

2.4.3 Calibración en eficiencia

El término “eficiencia” es muy general y encierra al menos cinco conceptos más específicos que

explicaremos a continuación:

Eficiencia absoluta en el pico de absorción total: viene dada por el cociente entre el número de

fotones que depositan toda su energía en el volumen activo del detector, y el número de fotones

generados por la fuente en todo el ángulo sólido 4π sr. Este es el valor de eficiencia utilizado

en las estimaciones de actividad. En adelante la denominaremos EPAT y la representaremos

como “ε”.

Eficiencia absoluta total: viene dada por el cociente entre el número de fotones que interactúan

con el volumen activo del detector y el número de fotones emitidos por la fuente en todo el

ángulo sólido 4π sr. En adelante la representaremos como “εT ”.

14El voltaje de trabajo máximo tiene un límite dado por las corrientes de fugas a través de la superficie del

cristal de semiconductor.


29

Eficiencia intrínseca en el pico de absorción total: cociente entre el número de fotones que

dejan toda su energía en el volumen activo del detector y el número de fotones incidentes en el

detector. En adelante la representaremos como “εi”.

Eficiencia intrínseca total: cociente entre el número de fotones que interactúan con el volumen

activo del detector y el número de fotones que inciden en el detector. En adelante la

representaremos como “εiT”.

Eficiencia relativa al NaI: Especialmente útil para detectores de semiconductor. Se define

como el cociente de las eficiencias absolutas en el pico de absorción total, correspondientes al

detector dado y a un detector de NaI(Tl) de 7.62 cm x 7.62 cm. Ambas eficiencias se

determinan con una fuente puntual de 1332 keV a una distancia de 25 cm del detector.

La actividad A de una fuente radiactiva se determina mediante [Debertin y Helmer, 1988]:

n

ii 1

NA Ct =

= ⋅γ ⋅ ⋅ ε ∏ (2-12),

siendo: N el número de cuentas netas en el pico de absorción total, γ la probabilidad de emisión de

un fotón con la energía de interés por cada desintegración radiactiva de la fuente, t el tiempo de

recuento, ε la eficiencia absoluta en el pico de absorción total (“EPAT”) para la energía dada y Ci

los coeficientes de corrección debidos al decaimiento radiactivo antes y durante la medida, al

efecto de suma por coincidencias, a las sumas aleatorias y a las pérdidas de cuentas por saturación.

Para una energía determinada y una geometría de recuento específica, es posible desglosar la

EPAT según15:

__

i 4Ωε = ε ⋅ ⋅ψπ

(2-13),

donde: εi es la eficiencia intrínseca del detector en el pico de absorción total, _

Ω es el ángulo sólido

medio entre la muestra y el volumen activo del detector y _

ψ es la transmisión media de la

radiación gamma en su camino desde la fuente hasta el volumen activo del detector, considerando

la autoabsorción en la fuente, y la atenuación en los materiales del encapsulado y en la capa

muerta del detector.

15La eficiencia intrínseca del detector en el pico de absorción total no es independiente de la geometría de

medida, pues la probabilidad de interacción en el interior del detector dependerá, entre otros factores, del recorrido de los fotones en el volumen activo y por consiguiente del vector de dirección de estos fotones.


30

De la expresión (2-13) es posible deducir que la EPAT depende de la energía de la radiación

gamma, del material, configuración y dimensiones del detector, de la geometría de recuento, así

como del material, densidad, configuración y dimensiones de la fuente radiactiva. Por esto, para la

cuantificación de la actividad mediante la expresión (2-12) es necesario realizar previamente la

calibración en eficiencia del sistema de medida, en función de los parámetros antes mencionados.

Los puntos obtenidos durante la calibración con valores discretos de energía se ajustan con

funciones analíticas apropiadas para facilitar la interpolación ulterior a cualquier valor de energía

según se requiera. En principio, pudieran efectuarse medidas de calibración con fuentes de

referencia cuya actividad sea conocida, pero ello conlleva una serie de inconvenientes que

abordaremos a continuación.

La determinación experimental de la eficiencia para cada una de las matrices, geometrías y

energías investigadas en el trabajo rutinario de los laboratorios analíticos, y en especial de aquellos

dedicados a la vigilancia radiológica ambiental, al control de alimentos o a la vigilancia

radiológica ocupacional, puede demandar un número considerable de fuentes patrón. Por otro lado,

la preparación de muestras de calibración idénticas a las muestras de interés suele ser un proceso

engorroso, sobre todo en las matrices sólidas y en las líquidas cuando no es posible despreciar la

precipitación de los reactivos. Otro problema consiste en encontrar radionucleidos adecuados

atendiendo a su energía, esquema de desintegración y período de semidesintegración. Por ejemplo,

muchos de los radionucleidos que se utilizan en fuentes de calibración tienen cortos períodos,

como: 54Mn (312.3 d), 57Co (271.8 d), 85Sr (64.9 d), 88Y (106.6 d), 109Cd (462.6 d), 113Sn (115.1 d), 139Ce (137.6 d), 203Hg (46.6 d), lo que provoca una pérdida gradual de puntos de calibración, con el

consiguiente incremento de la incertidumbre asociada a los procedimientos de interpolación. Las

dificultades asociadas a la preparación de las fuentes de calibración, unidas a las limitaciones

financieras y en ocasiones de Seguridad Radiológica para la adquisición sistemática del material

radiactivo de referencia, han estimulado la búsqueda constante de métodos alternativos para el

cálculo de las EPAT.

Aunque se han dado a conocer no pocas aproximaciones analíticas y métodos semiempíricos para

el cálculo de la EPAT [Freeman y Jenkin, 1966], [Mowatt, 1969], [Harvey, 1970], [Williams,

1966], [Griffiths, 1971], estos sólo son aplicables a determinados tipos de detectores, rangos de

energía y geometrías de recuento, por lo que no pueden proporcionar los niveles de exactitud

requeridos en todas las situaciones de interés para los laboratorios analíticos. Una contribución

importante al desarrollo de los métodos semiempíricos fue el trabajo de Moens [Moens et. al.,

1981], donde se expresó la idea de la transferencia de eficiencia a partir del cálculo de eficiencias

absolutas totales, mediante la expresión:


31

T,xx ref

T,ref

⎛ ⎞εε = ε ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ε⎝ ⎠

(2-14),

siendo: xε la EPAT para la muestra de interés, refε la EPAT obtenida experimentalmente para

una fuente de referencia, T,xε la eficiencia absoluta total calculada para la geometría de interés y

T,refε la eficiencia absoluta total calculada para la geometría de referencia. En estas dos últimas no

se incluye la contribución de la radiación dispersada fuera del volumen activo del detector. Si bien

estas eficiencias totales sin contribución de “fotones dispersados” no se pueden obtener

experimentalmente16, su cálculo es posible mediante la integración de las funciones analíticas que

describen la probabilidad de interacción de cada fotón gamma en el volumen activo del detector, y

cuya forma general es:

( )( ) ( )

VT

V

x r ', 'x r ', 'D D i i1 e e d ' dV '1

4 dV '

−

Ω

μ ⋅ Ω−μ ⋅ Ω ∑− ⋅ ⋅ Ω ⋅ε = ⋅

π

∫ ∫

∫ (2-15),

siendo: V el volumen de la fuente, Ω el ángulo sólido entre un elemento de volumen dV ' de la

fuente (centrado en el punto r ' ) y el cristal activo, Dμ el coeficiente lineal de atenuación (sin

considerar la dispersión coherente) del material del detector para la energía de los fotones,

( )Dx r ', 'Ω la trayectoria rectilínea dentro del detector para un fotón originado en el punto r ' en

la dirección 'Ω , iμ el coeficiente lineal de atenuación (sin incluir la dispersión coherente) de cada

material “i” interpuesto entre el punto de emisión del fotón y el volumen activo del detector y

( )ix r ', 'Ω la trayectoria rectilínea dentro de cada material interpuesto entre el punto de origen del

fotón ( r ' ) y el volumen activo del detector en la dirección 'Ω .

La expresión (2-14) supone que la relación T

εε

es independiente de la geometría de medida y de

la composición de la muestra, dependiendo sólo de la energía de la radiación gamma y de los

materiales del detector y su configuración. Apoyándose en este “teorema de Moens”, diversos

autores han contribuido al desarrollo del método de transferencia de eficiencias, algunos

16 Debido a esto se denominan eficiencias totales virtuales.


32

resolviendo la ecuación (2-15) mediante el procedimiento de integración numérica tradicional de

Gauss – Legendre, por ejemplo: [Aaltonen, et. al., 1994], [Wang, et. al. 1997], [Piton, et. al.,

2000], y otros resolviendo la integral mediante el método Monte Carlo, por ejemplo: [Green, et.

al., 1975], [Haase, et. al., 1995], [Vidmar, 2005]. En [Vidmar y Likar, 2005] se brinda además un

método aproximado para adicionar la contribución de la radiación dispersada en muestras

cilíndricas a la eficiencia total virtual calculada según la expresión (2-15).

Otro método conocido desde hace varias décadas para el cálculo de la EPAT, y al que por su

importancia para el trabajo de tesis doctoral dedicaremos el siguiente capítulo, es el de la

simulación estadística o método Monte Carlo [Cashwell y Everett, 1959], [Kalos y Whitlock,

1986]. Se basa en la simulación del transporte de las radiaciones a partir del muestreo de sus

procesos de interacción mediante la generación de números aleatorios. Cada partícula es seguida a

lo largo de su recorrido, compilándose la energía depositada en el volumen activo del detector por

cada fotón gamma emitido. En correspondencia con las leyes estadísticas, la respuesta del detector

puede caracterizarse con un grado aceptable de incertidumbre al simularse un número significativo

de partículas. El método Monte Carlo posibilita la simulación del sistema de medida con un

elevado grado de detalle (ver punto 2.2.3), por lo que la exactitud que permite alcanzar supera a la

lograda con los métodos semiempíricos [Lépy, et. al., 2000], [Lépy et. al., 2001].

Como vimos al inicio de este apartado, al aplicar la ecuación (2-12) en el cálculo de la actividad es

necesario considerar los factores de corrección pertinentes. Para las medidas de bajas tasas de

recuento, como las que se realizan en los laboratorios analíticos de control ambiental, suelen

utilizarse configuraciones geométricas de elevada eficiencia. En estos casos, la corrección al efecto

de “suma por coincidencias” suele ser importante para determinados radionucleidos.


33

2.4.4 Correcciones al efecto de suma por coincidencias El efecto de “suma por coincidencias” ocurre cuando dos o más partículas, producidas de forma

secuencial durante un único proceso de desintegración radiactiva, interactúan con el detector en un

intervalo de tiempo inferior al tiempo requerido por el sistema de medida para distinguir dos

señales independientes (∼μs). En este caso se produce una señal global en lugar de los impulsos

correspondientes a las partículas incidentes en el detector. El efecto de suma por coincidencias no

depende entonces de la actividad de la muestra, sino de la probabilidad de que dos partículas o más

sean absorbidas en el volumen activo del detector dentro del tiempo de resolución de la cadena de

medida. Esta probabilidad dependerá del esquema de desintegración del radionucleido de interés17

y de las eficiencias de detección de las partículas correspondientes, por lo que las configuraciones

de recuento de alta eficiencia, como las utilizadas en los laboratorios ambientales, son más

susceptibles al efecto de suma por coincidencias.

Las coincidencias de los fotones gamma pueden ocurrir con: otros fotones gamma, con fotones de

rayos X característicos que siguen a la captura electrónica o a los procesos de conversión interna,

con fotones de aniquilación originados durante las desintegraciones β+, y con partículas cargadas

como electrones Auger, de conversión y partículas β. Las coincidencias de los fotones gamma con

rayos X de bajas energías o con partículas cargadas suelen ser despreciables en el caso de los

detectores de semiconductor de tipo p, debido al espesor de la capa inactiva o contacto n+; sin

embargo, esta afirmación no es válida en el caso de los detectores de tipo n.

Como resultado del efecto de suma por coincidencias, algunos impulsos pueden perderse o no ser

incluidos en el pico de absorción total correspondiente (“summing out”), mientras otros impulsos

pudieran añadirse y formar picos de suma “summing in”. Para calcular la actividad real de la

muestra con la expresión (2-12) a partir de la EPAT y la tasa de recuento en el pico de absorción

total, es necesario entonces aplicar el factor de corrección correspondiente. El factor de corrección

sería mayor que la unidad para los picos afectados por la pérdida de cuentas por coincidencias

(“summing out”) y menor que la unidad para los picos que reciben la contribución de impulsos por

la coincidencia de fotones de menor energía (“summing in”).

Existen procedimientos de cálculo para obtener las correcciones al efecto suma en el caso de

fuentes puntuales, a partir de expresiones analíticas que relacionan la eficiencia total y en el pico

de absorción total con las probabilidades de emisión de las partículas correspondientes. Algunas

expresiones para esquemas de desintegración sencillos aparecen por ejemplo en [Debertin y

Schötzig, 1979]. Para esquemas de desintegración más complejos se han publicado métodos más

elaborados como en [Semkow, et. al., 1990], donde las ecuaciones para las correcciones a las

17Los esquemas complejos de desintegración radiactiva implican muchas combinaciones posibles de sumas

de dos o más partículas coincidentes en el tiempo de resolución del sistema de medida, incrementando considerablemente el efecto.


34

coincidencias γ - γ están dadas en notación matricial, de forma que es posible extraer correcciones

de primer orden (cuando hay sólo dos fotones gamma en coincidencia) o de orden ilimitado. Esta

metodología se amplia en [Korun y Martinčič, 1993] para considerar las coincidencias de los

cuantos gamma con los fotones de rayos X característicos, mediante la introducción de niveles

virtuales en los esquemas de desintegración. En [Jutier, et. al., 2007] se recoge un formalismo

matemático basado en el balance de la probabilidad total de desintegración, que posibilita calcular

las correcciones al efecto suma para fuentes puntuales de cualquier radionucleido, partiendo de las

eficiencias totales y en el pico de absorción total para las energías de interés. La aplicación de

estos formalismos requiere, sin embargo, la determinación previa de las curvas de eficiencia, ya

sean calculadas u obtenidas experimentalmente utilizando fuentes de referencia no afectadas por

las sumas en coincidencia. Por ejemplo, en el esquema de la Figura 2.10, los factores de corrección

“summing out” para fuentes puntuales pueden calcularse según [Debertin y Schötzig, 1979] como:

1T2

1C1

γ =− ε

, 2

1T1

2

1C P1P

γ =− ε

(2-16),

siendo: Cγi el factor de corrección para el pico correspondiente a la línea “i”, Pi la probabilidad de

emisión del fotón “i” y εTi la eficiencia total en el pico “i”.

Figura 2.10: Esquema de transiciones isoméricas en cascada Figura 10

El factor de corrección al efecto suma por coincidencias para una matriz y geometría de medida

dadas puede determinarse experimentalmente para fuentes calibradas, a partir de la siguiente

relación de eficiencias en el pico de absorción total [Debertin y Schötzig, 1979], [Quintana y

Fernández, 1995]:

γ1 (P1)

γ2 (P2)


35

M

RSC

M

RCC

C

⎛ ⎞ε⎜ ⎟ε⎝ ⎠=⎛ ⎞ε⎜ ⎟ε⎝ ⎠

(2-17),

donde: el numerador denota el cociente de las eficiencias para la geometría de medida estudiada

“M” y una geometría de referencia “R” con efecto suma despreciable, obtenido con un

radionucleido libre de emisiones en cascadas para la energía de interés. Por otro lado, el

denominador denota la relación de eficiencias aparentes (incluyendo el efecto de coincidencia)

para ambas geometrías, obtenida con el radionucleido para cuyo pico de absorción total se calcula

la corrección al efecto suma.

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones se necesita conocer el factor de corrección al efecto

suma en fuentes extensas no calibradas, con vistas a corregir la actividad aparente obtenida

mediante la expresión (2-12). En estos casos no siempre es posible utilizar las fórmulas aplicables

a fuentes puntuales18, como las indicadas en las expresiones (2-16). Ello es debido a que la EPAT

y la eficiencia total de cada elemento de volumen de la fuente extensa varían en dependencia de la

ubicación de dicho elemento de volumen dentro de la fuente. Esta dificultad se supera en grado

aceptable con la aplicación de factores de corrección a la dependencia espacial de las eficiencias,

ya sean obtenidos experimentalmente, como en [Blaauw y Gelsema, 2003], o mediante cálculo

como en [Wang et. al., 1996] y más recientemente en [Vidmar y Korun, 2006].

Otra posibilidad para calcular los factores de corrección al efecto de suma por coincidencias para

fuentes no calibradas es mediante la simulación estadística o método Monte Carlo. Los procesos

de desintegración radiactiva pueden considerarse como cadenas de Markov [Kalos y Whitlock,

1986], en los que el estado futuro del sistema depende sólo del estado actual, por lo que la

emisión de partículas por cada desintegración se simula con números aleatorios, y las

probabilidades para cada transición se calculan con las razones de ramificación correspondientes

en el esquema de desintegración. Seguidamente se simula estadísticamente el transporte de las

partículas generadas, registrándose la energía depositada en el cristal en cada proceso de

desintegración que involucre a la línea de interés. En principio se emplea el mismo procedimiento

que en el cálculo de las eficiencias, con la peculiaridad de que las simulaciones comienzan con el

muestreo de grupos de partículas por cada desintegración. Algunos ejemplos de la aplicación del

método Monte Carlo al cálculo de los factores de corrección a las sumas por coincidencias se

encuentran en: [Décombaz et. al., 1992], [García-Talavera, et. al. 2001], [García-Toraño, et. al.

2005] y [Johnston, et. al. 2006].

18 Según [Wang et. al., 1996] el error pudiera estar en el orden de las unidades de %.


36

En el siguiente capítulo abordaremos precisamente los principios del método Monte Carlo y las

principales características y procedimientos en los que nos hemos apoyado para el desarrollo del

código de simulación objeto del presente trabajo de tesis doctoral.

37

CAPÍTULO 3

EL MÉTODO MONTE CARLO

3.1 Introducción La toma de decisiones sobre la base de la observación de fenómenos aleatorios se remonta a la

antigüedad, cuando los israelitas lanzaban una especie de dado para “adivinar” la voluntad de los

dioses (Urim o Thummim) ante una situación determinada [Van Dam, 2000]. El empleo de

variables aleatorias en los cálculos matemáticos tiene varios siglos de historia. Por ejemplo, en

1777 se describió un método para estimar el valor de la constante π a partir del número de veces

que una aguja, lanzada al azar sobre una superficie plana, intercepta alguna de las líneas paralelas

dibujadas de manera equidistante en dicha superficie [Buffon, 1777]. Numerosas aplicaciones de

las variables aleatorias se sucedieron tras el experimento de Buffon, especialmente a partir del

siglo siguiente. Así, por ejemplo, en 1899 se utilizó el muestreo de recorridos aleatorios “random

walks” en una dimensión para obtener soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales de tipo

parabólico [Rayleigh, 1899] y en 1901 Lord Kelvin aplicó el muestreo de variables aleatorias a la

resolución de integrales durante sus trabajos sobre la teoría cinética de los gases [Kelvin, 1901].

La simulación estadística de los procesos físicos a partir del muestreo de las variables aleatorias

que los caracterizan, se consolidó a partir de la Segunda Guerra Mundial, cuando un grupo de

científicos del Proyecto Manhattan, hoy Comisión de Energía Atómica de los Estados Unidos,

aplicó este procedimiento al estudio del transporte de neutrones y al cálculo de su coeficiente de

multiplicación en materiales físiles. Ellos acuñaron la simulación estadística con el nombre de

“Método Monte Carlo” [Metropolis y Ulam, 1949]. El nombre Monte Carlo se debe al de la ciudad

del principado de Mónaco, célebre por su casino, y considerada como la cuna de los juegos de

azar. Es obvio que la asociación se debe sólo a la naturaleza aleatoria de los procesos simulados.

Aunque los fundamentos teóricos del método Monte Carlo se conocían desde hacía mucho tiempo

y algunos problemas de Estadística se resolvían en ocasiones utilizando muestras aleatorias, su

aplicación práctica sólo ha sido posible durante las últimas décadas con el desarrollo alcanzado por

los medios de cálculo. Así, desde la utilización del primer ordenador en la simulación del

transporte de neutrones [Mayer, 1951], el método Monte Carlo se ha convertido en una

herramienta importante no sólo para la Física, sino para áreas tan diversas del conocimiento como

la Química, la Biología, la Economía y las ingenierías.

Capítulo 3 El método Monte Carlo

38

Los fundamentos del método Monte Carlo han sido ampliamente publicados, como por ejemplo,

en: [Cashwell y Everett, 1959], [Sóbol, 1976], [Kalos y Whitlock, 1986], [Lux y Koblinger, 1991],

[Binder y Heerman, 1992] y [Gentile, 1998]. En este capítulo nos centraremos en las cuestiones

más importantes para la simulación del transporte de las radiaciones ionizantes. Ya que el método

se apoya en las secuencias de números aleatorios, dedicaremos un apartado a las propiedades que

éstas deben cumplir y a las técnicas para su obtención. Abordaremos los procedimientos para

muestrear variables aleatorias a partir de números aleatorios uniformemente distribuidos y

analizaremos la secuencia general de la simulación del transporte de las radiaciones ionizantes,

incluyendo los procedimientos utilizados en cada una de sus etapas. Al finalizar el capítulo

abordaremos el tema de la incertidumbre estadística asociada al método Monte Carlo y algunos de

los procedimientos más utilizados para su reducción.

3.2 Obtención de números aleatorios. Secuencias de números seudoaleatorios La simulación estadística se basa en la creación de un modelo estocástico del sistema bajo estudio,

de forma que los valores buscados de las magnitudes físicas que caracterizan al sistema se deducen

a partir de los valores esperados de determinadas variables aleatorias. Estas variables se obtienen a

su vez como combinaciones de otras variables aleatorias que describen los diferentes procesos

acontecidos en el sistema. Obviamente, dichas combinaciones dependerán del modelo estocástico

construido. Se requiere entonces el muestreo reiterado de cada una de las variables aleatorias de

los diferentes procesos, a partir de sus funciones de densidad de probabilidad.

Como veremos en el apartado 3.3, el muestreo de una variable aleatoria con cualquier distribución

estadística es posible transformando convenientemente las realizaciones de una variable aleatoria

estándar. Este es precisamente un patrón básico de la simulación estadística. De hecho, cualquier

simulación estadística se apoya en la continua generación de variables aleatorias a partir de

secuencias de números aleatorios con distribución uniforme en el intervalo (0,1). A partir de esta

secuencia se desarrollará todo el proceso de simulación.

3.2.1 Obtención de secuencias de números aleatorios Existen varias formas de obtener secuencias de números aleatorios:

A través de tablas de números aleatorios,

Mediante generadores físicos de números aleatorios acoplados a ordenadores,

Mediante algoritmos matemáticos.


39

Las tablas de números aleatorios se confeccionan a partir de las cifras aleatorias obtenidas con

dispositivos físicos como: la ruleta, las tarjetas enumeradas, o los equipos basados en el ruido

electrónico. En las publicaciones de tablas estadísticas aparecen frecuentemente tablas de números

aleatorios distribuidos uniformemente en el intervalo (0, 1). Es posible utilizar estas tablas en

cálculos manuales de algoritmos sencillos, pero no son adecuadas para simulaciones de mediana

complejidad en un ordenador, debido a que ocuparían un espacio importante en la memoria19 y

harían extremadamente lentos los cálculos.

Ejemplos de generadores físicos de números aleatorios son la ruleta, el dado y la moneda. Estos no

son adecuados, sin embargo, para la simulación estadística con ordenadores, pues al ser

dispositivos mecánicos resultan demasiado lentos. En este caso, para obtener variables aleatorias

con generadores físicos se prefieren aquellos de tipo electrónico, como los basados en el ruido de

las lámparas electrónicas o los que cuentan los impulsos eléctricos de un detector durante el

registro de las radiaciones emitidas por una fuente radiactiva apropiada. A pesar de su gran

rapidez, los generadores físicos de tipo electrónico tienen una serie de inconvenientes: es difícil

comprobar la “calidad” de los números aleatorios, se requiere de un control periódico por los

posibles desajustes que pueden ocurrir durante su funcionamiento, es imposible repetir la misma

secuencia de números aleatorios para realizar estudios de verificación o validación, pues los

números generados no se guardan en la memoria del ordenador20, y los costes asociados a su

implementación dificultan su generalización.

Mediante algoritmos matemáticos especiales, del tipo recurrente:

es posible obtener secuencias de números aleatorios de una forma muy conveniente para su

aplicación en los ordenadores. Estas secuencias son conocidas como secuencias de números

seudoaleatorios, pues tienen un período finito y el algoritmo de su obtención es de tipo

determinista, donde cada número de la secuencia está determinado por su predecesor o por un

conjunto de números predecesores. Los algoritmos matemáticos que se utilizan para tal fin se

denominan generadores de números seudoaleatorios. Tienen importantes ventajas sobre las tablas

y los generadores físicos, ya que ocupan poco espacio en la memoria del ordenador, su

portabilidad es elevada, tienen una alta velocidad de trabajo, y requieren de una única

comprobación, pues es posible repetir las mismas secuencias al mantener constantes los

parámetros iniciales.

En los algoritmos de los generadores se utilizan normalmente números enteros, ya que su

aritmética es exacta y rápida. Por ejemplo: se generan enteros Ni entre 0 y m−1, y se realiza la

19Lo más probable es que no se conozca con antelación la cantidad exacta de números aleatorios que se

necesitará durante la simulación. 20Si los números generados se almacenan en la memoria del ordenador se pierde la ventaja de estos

generadores sobre las tablas.

( ) { }n n 1 n kX f X ,...,X , 1 k n− −= ≤ <


40

transformación ii

Nmγ = para obtener valores reales en el intervalo [0, 1). A continuación

describimos algunos ejemplos de generadores de números seudoaleatorios:

3.2.1.1 Generadores de Congruencia Lineal Estos generadores son los más utilizados y los más conocidos. Se basan en la relación de

recurrencia:

i i 1N (a N c) mod m−= ⋅ + (i 1)≥ (3-1),

donde Ni es un número entero, a es el multiplicador y m el módulo, .

La secuencia es periódica y el periodo depende de los valores de a, c y m, así como del valor

inicial N0, denominado “Semilla”. De esta forma, el período máximo que se puede alcanzar es

igual a m. Las características de las secuencias de números seudoaleatorios obtenidos con los

generadores de congruencia lineal, y en particular la formación de planos en el espacio k-

dimensional, son ampliamente comentadas en la bibliografía, por ejemplo en [Marsaglia, 1970], y

en [Knuth, 1998].

3.2.1.2 Generadores de Fibonacci Los generadores de Fibonacci se basan en una recurrencia del tipo:

i 1 i r i sN (N N ) mod m•+ − −= (3-2),

Donde: r y s son enteros dados ( )r s< y • denota alguna de las operaciones: +,−,×, o la adición de

vectores binarios mediante la operación “OR – exclusivo” ( ⊕ ).

Como puede deducirse de la ecuación (3-2), este tipo de generador necesita iniciar la secuencia

con otro generador (por ejemplo, uno congruente lineal) y mantener en la memoria los últimos s

números generados. El período máximo que puede alcanzarse seleccionando adecuadamente el

valor de los parámetros, la operación matemática a realizar, así como los s valores iniciales de la

secuencia es del orden de sm 2⋅ . Para la operación ⊕ el período máximo será s2 -1. Debe tenerse

en cuenta que el funcionamiento de este generador depende en gran medida de la selección de sus

parámetros y de los valores iniciales de la secuencia. Un ejemplo de generador del tipo Fibonacci

con operación ⊕ es el denominado R250 [Kirkpatrick y Stoll, 1981].

m 0, 0 a m, 0 c m> < < ≤ <


41

3.2.1.3 Generadores de desplazamiento de bits Estos generadores se basan en la representación de los números enteros de 32 ó 64 bits como

elementos del espacio vectorial con componentes en la base mod 2. Para estos vectores la

operación de adición, implementada con la función XOR (OR-exclusivo), puede combinarse con

el desplazamiento de bits para crear ciertas transformaciones lineales en el espacio vectorial. De

esta forma, cada nuevo número entero aleatorio Ni se obtiene manipulando convenientemente los

bits del número anterior Ni−1. Un representante típico de estos generadores es el generador

XORSHIFT, que utiliza tanto la adición de vectores binarios como el desplazamiento de bits. Una

variante posible de este generador en Pascal, que proporciona un período igual a 232 -1 con

números enteros de 32 bits, es por ejemplo:

( )N N xor N shl 1 3= ; ( )N N xor N shr 1 7= ; ( )N N xor N shl 5= (3-3),

siendo N un número entero de 32 bits, [Marsaglia, 2003]. 3.2.1.4 Otros generadores basados en los tipos anteriores Entre los generadores más conocidos por su excelente funcionamiento y elevado período están los

de Multiplicación con Acarreo [Marsaglia, 2003] y sus variantes. La idea básica en estos

generadores es que en la fórmula (3-1), correspondiente a los generadores de congruencia lineal, la

constante “c” se sustituye por un término dependiente del número entero obtenido en la secuencia

anterior, por lo que se le denomina acarreo. Con estos generadores pueden lograrse períodos T ≈

m a⋅ e incluso superiores, donde el significado de m y a es igual que en la ecuación (3-1). Otro

de los generadores que proporcionan secuencias muy consistentes es el denominado Mersenne

Twister [Matsumoto y Nishimura, 1998], que combina el principio de las series de Fibonacci con

operaciones lógicas y los desplazamientos de bits. Este generador tiene un período

extremadamente grande, T ≈ 219937 -1 y una de sus principales fortalezas es su uniformidad hasta

en el espacio de 623 dimensiones para vectores generados con números de 32 bits (Ver el punto

3.2.2.4). Algunos trabajos, como [Deng et. al., 2008], demuestran que es posible mejorar las series

de números seudoaleatorios combinando adecuadamente los números que se obtienen con

diferentes tipos de generadores.

Como hemos visto, la mayoría de los generadores en la actualidad tienen períodos iguales o

superiores a 232. No obstante, las secuencias de números seudoaleatorios deben cumplir una serie

de requisitos para que puedan ser utilizadas como secuencias de números aleatorios con

distribución uniforme en el intervalo (0, 1).


42

i

n

ni 1

1 1lim 1n 2

P→+∞

=

⎛ ⎞⋅ ξ = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

3.2.2 Requisitos de las secuencias de números seudoaleatorios Cualquier serie de números seudoaleatorios tiene una naturaleza determinista, pues sus elementos

son conocidos con antelación. Por ello, para que pueda ser utilizada como serie de números

aleatorios es necesario que cualquier subconjunto 1 n,...,γ γ de esta serie tenga las características

del subconjunto equivalente de realizaciones de una magnitud aleatoria. A continuación

describiremos las características básicas de las magnitudes aleatorias uniformemente distribuidas

en el intervalo (0,1), que constituyen requisitos para las secuencias de números seudoaleatorios.

3.2.2.1 Valor medio El valor medio de una variable aleatoria ξ uniformemente distribuida en el intervalo (0,1) es igual

a 12 . Partiendo de la ley de los grandes números, se tiene entonces que para cualquier selección

de realizaciones independientes 1 n,...,ξ ξ de la variable ξ se cumple que:

(3-4)

Para cualquier subconjunto { }ni i 1=γ de la serie de números seudoaleatorios deberá cumplirse

entonces que:

(3-5)

3.2.2.2 Valor de la varianza La varianza de una variable aleatoria ξ uniformemente distribuida en el intervalo (0,1) es igual a

112

. Deberá cumplirse entonces, para cualquier subconjunto de la serie de números

seudoaleatorios { }ni i 1=γ , que:

(3-6),

siendo ( )_ n

ii 1

1nn =

γ = ⋅ γ∑ el valor medio del subconjunto.

i

n

ni 1

1 1limn 2→+∞

=

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠γ∑

( )2

_n

ini 1

1 1lim nn 12→+∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟γ − γ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑


43

3.2.2.3 Uniformidad Para una variable aleatoria ξ distribuida uniformemente en el intervalo (0, 1) se cumple que:

( ) ( )P I V Iν νξ∈ = = ν ,

siendo Iν un segmento de longitud21 1ν ≤ introducido en el intervalo (0, 1).

Si se denota como Nν a la cantidad de elementos del subconjunto { }Ni i 1=γ de números seudo-

aleatorios que “caen” en el segmento Iν , entonces si la serie { }i i 1+∞=γ está distribuida

uniformemente en el intervalo (0, 1) deberá cumplirse para cada subconjunto o selección { }Ni i 1=γ

que:

( )N

Nlim V IN→∞

νν= = ν

Puede apreciarse que, el cumplimiento del requisito de uniformidad de la secuencia de números

seudoaleatorios implica el cumplimiento de los requisitos del valor medio y del valor de la

varianza.

3.2.2.4 Uniformidad en el espacio k-dimensional Denotemos como ( ) ( )( )(k)

1 kv ,...,≡ ξ ξ un vector aleatorio de dimensión k, cuyas componentes

iξ son variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el intervalo (0, 1), para

todas las ˆi k∈ . Si Ck es un cubo unitario en Rk, k 1 2 kC 0,1 0,1 ... 0,1=< > × < > × × < > , el vector

aleatorio ( )kv estará uniformemente distribuido en Ck y para cualquier subconjunto kG C⊂ de

volumen finito se cumplirá que ( )( ) ( )kP v G V G∈ = . Para una serie de números seudo-aleatorios

{ }i i 1+∞=γ distribuida uniformemente en el espacio k-dimensional se cumplirá que si se seleccionan

al azar k N⋅ de sus elementos y se construyen N puntos ( )( )( )k

i k i 1 k i 1w ,...,⋅ + +≡ γ γ en el espacio k-

dimensional, la cantidad de puntos ( )kiw que caerán en cualquier subconjunto kG C⊂ (denotada

como NG) será tal que: ( )GN

Nlim V GN→∞

= .

Este requisito es importante en las simulaciones de procesos de múltiples dimensiones. Puede

lograrse, por ejemplo, alternando regularmente los elementos de varias series diferentes de

números seudoaleatorios.

21 V(I) se refiere al volumen de I, en el caso unidimensional se trata de la longitud del segmento I.


44

3.2.3 Pruebas de aleatoriedad Antes de utilizar un generador de números seudoaleatorios es necesario verificar que las series de

números que produce satisfacen los requisitos de las series de números aleatorios, o al menos los

requisitos mínimos relacionados con el problema que se desea resolver. Con este fin se realizan las

denominadas pruebas de aleatoriedad.

Las pruebas de aleatoriedad se basan en los métodos de la Matemática Estadística, y pueden ser

empíricas o teóricas. Las primeras se realizan a muestras de la secuencia de números producidos

por el generador, mientras que las segundas se aplican a toda la secuencia. Ejemplos de pruebas

empíricas son los ensayos de uniformidad de los valores de la secuencia de números seudo-

aleatorios mediante las pruebas de 2χ y de los momentos de orden k, y las pruebas de

correlaciones o de las sumas para evaluar la independencia de los términos en la secuencia. Las

pruebas teóricas parten del estudio de los algoritmos de los generadores y permiten establecer las

propiedades estadísticas de toda la secuencia, como por ejemplo la formación de hiperplanos en el

espacio k-dimensional por las secuencias generadas con el método de congruencia lineal. En la

bibliografía especializada es posible encontrar conjuntos de pruebas estadísticas de aleatoriedad,

como por ejemplo la batería de ensayos Diehard en [Marsaglia, 1995], las pruebas empíricas y

teóricas en [Knuth, 1998] y el método de las discrepancias de las sumas en [Matsumoto y

Nishimura, 2003].


45

0 p1 p1+ p2 p1+ p2+ p31 - pn 10 p1 p1+ p2 p1+ p2+ p31 - pn 10 p1 p1+ p2 p1+ p2+ p31 - pn 1

3.3 Muestreo de variables aleatorias Como hemos dicho, el método Monte Carlo se apoya en la generación y combinación de las

variables aleatorias que conforman el modelo estocástico del sistema. En el apartado anterior

hablamos de la obtención de una variable aleatoria estándar, uniformemente distribuida en el

intervalo (0,1). En este apartado nos referiremos al muestreo de variables aleatorias con cualquier

distribución estadística mediante transformaciones apropiadas de la variable aleatoria estándar.

3.3.1 Variables aleatorias discretas Ejemplos de variables aleatorias discretas son: la cara que resultará en el lanzamiento de un dado o

de una moneda, el tipo de proceso que ocurre durante la interacción de la radiación gamma, etc.

Sea η una variable aleatoria discreta, que puede tomar cualquier valor xi con probabilidad

pi ˆ(i n)∈ , o sea:

(3-7)

,

El muestreo de la variable η a partir de una variable γ uniformemente distribuida en el intervalo

(0,1) puede realizarse dividiendo este intervalo en segmentos de longitud pi, según se representa en

la Figura 3.1. La ubicación del valor generado de γ en alguno de los segmentos indicará el valor de

la variable η según:

(3-8)

Figura 3.1: Representación de las probabilidades de una variable aleatoria discreta

igura 11

( ) ( )n

i i ii 1

ˆP = x = p , p 1, i n=

η = ∈∑

{ }( )1 2 i 1 1 2 i 0 ip p ... p p p ... p p 0 x−+ + + < γ ≤ + + + = ⇒ η =


46

γ

S 0 ?>+

-

S = γ

k 1=

kS S p= −

k k 1= +

kxη =

γ

S 0 ?>+

-

S = γ

k 1=

kS S p= −

k k 1= +

kxη =

El algoritmo típico para el muestreo22 de la variable η en este caso es el representado en la Figura

3.2.

Figura 3.2: Diagrama de flujo general para el muestreo de una variable aleatoria discreta η a partir de una variable γ uniformemente distribuida en el intervalo (0,1) Figura 12

3.3.2 Variables aleatorias continuas Abordaremos aquí los métodos para transformar una variable aleatoria uniformemente distribuida

en el intervalo (0,1) en una variable aleatoria con una distribución de densidad de probabilidad

determinada por una función continua f.

3.3.2.1 Método directo o de inversión

El método de inversión o método directo se basa en el siguiente teorema [Virius, 1985] (Ver la

Figura 3.3):

Sea la variable η con función de densidad de probabilidad f(x) en el intervalo )a, b⎡⎣ . Entonces

cada valor de la variable η se puede obtener a partir de una variable γ uniformemente distribuida

en el intervalo )0,1⎡⎣ mediante la ecuación:

22 Este algoritmo puede hacerse más eficiente si se reorganizan los valores de probabilidad, de forma que

1 2 np p ... p≥ ≥ ≥ .


47

a b

F(x)

x0

1

η

F(η)

a b

F(x)

x0

1

η

F(η)

a

1 dxb a

η

γ =−∫

( ) 1f xb a

=−

( ) ( )a

f x dx Fη

γ = ⋅ = η∫ (3-9)

Es posible escribir:

Figura 3.3: Representación gráfica del teorema que sustenta el método estándar de muestreo de una variable aleatoria continua Figura 13

La secuencia de cálculo es entonces la siguiente:

1. Generar la variable aleatoria γ uniformemente distribuida en el intervalo )0,1⎡⎣ ,

2. Hallar la solución de la ecuación (3-9), que será la realización de la variable aleatoria η,

distribuida según f.

Por ejemplo, si la variable η está distribuida uniformemente en el intervalo ( )a,b , su densidad de

probabilidad es constante en ese intervalo: . Sustituyendo en (3-9) se tiene:

(3-10)

De donde obtenemos:

( )a b aη = + γ ⋅ − (3-11)

En general, la velocidad del muestreo directo dependerá de la complejidad en la resolución de la

ecuación . No siempre se conoce la expresión analítica de la función , por lo que la

ecuación (3-9) tiene que resolverse mediante distintos métodos: procedimientos numéricos como

el método de Newton – Raphson (Ver el punto A3 del Apéndice A), aproximaciones de la función

( )1F− γ como en el método de Everett – Cashwell para el muestro del ángulo del fotón dispersado

tras el efecto Compton (Ver el punto A4 del Apéndice A), o a través de métodos alternativos como

los que se desarrollarán en los puntos siguientes.

( ) ( ) ( )a

0 P x F f x dx 1η

≤ ≤ η = η = ⋅ ≤∫

( )Fγ = η ( )1F− γ


48

f(x)

a b

C

f(x)

a b

C1 2,γ γ

( )1 1a b aη = + γ −

( )12

f?

Cη

γ <

+

-

1η = η

1 2,γ γ

( )1 1a b aη = + γ −

( )12

f?

Cη

γ < ( )12

f?

Cη

γ <

+

-

1η = η

3.3.2.2 Método de rechazo En caso que la variable η esté definida en un intervalo finito (a, b) y que su función de densidad de

probabilidad esté acotada en todo el intervalo de definición: , es posible

aplicar el método de rechazo o método de Neumann [Neumann, 1951], cuyo diagrama de flujo se

muestra en la Figura 3.4. Su secuencia es la siguiente:

1. Generar dos valores de la variable aleatoria γ, uniformemente distribuida en el

intervalo (0,1),

2. Obtener un valor posible de la variable η uniformemente distribuida en (a, b), como:

,

3. Evaluar el valor en la función de densidad de probabilidad. Si se cumple que

( )1 2f Cη > γ ⋅ , entonces aceptar el valor de η1, de lo contrario repetir toda la secuencia.

Figura 3.4: Diagrama de flujo del método de rechazo (C>0) Figura 14

Debe señalarse que el método de rechazo puede aplicarse igualmente a la generación de variables

aleatorias multidimensionales. Como puede verse, el método es menos eficiente cuanto más

alejada esté la constante C de los valores de la función f(x). Por esta razón en ocasiones es

preferible utilizar el método de sustitución con rechazo, que analizaremos a continuación.

( ) ( ){ }f x C x a, b≤ ∀ ∈

( )1 1a b aη = + γ ⋅ −

1 2 ,γ γ

1η


49

a b

ϕ (x)

f (x)

a b

ϕ (x)

f (x)

1 2,γ γ

( )11 1

−η = Φ γ ⋅ Δ

( )( )

12

1

f ?

ηγ <

ϕ η

+

-

1η = η

1 2,γ γ

( )11 1

−η = Φ γ ⋅ Δ

( )( )

12

1

f ?

ηγ <

ϕ η

+

-

1η = η

3.3.2.3 Método de sustitución con rechazo

Si la variable η está definida en un intervalo finito (a, b) y su función de densidad de probabilidad

se puede aproximar con una función ( )xϕ , tal que y existe

la integral de en todo el intervalo [ ]a,b , cumpliéndose que:

Entonces la variable η puede obtenerse mediante el siguiente procedimiento (Figura 3.5):

1. Generar dos valores de la variable aleatoria γ uniformemente distribuida en el intervalo

(0,1),

2. Calcular el valor posible de la variable η mediante el método directo, resolviendo la

ecuación:

3. Evaluar el cociente . Si es mayor que 2γ , aceptar el valor η1, de lo contrario repetir la

secuencia.

Figura 3.5: Diagrama de flujo del método de sustitución con rechazo Figura 15

Puede verse que cuando la función ( )xϕ es constante el método es equivalente al de rechazo. En

ocasiones es conveniente escribir la función de densidad de probabilidad como el producto de dos

funciones. En ese caso pudiera aplicarse el método combinado de inversión – rechazo que

trataremos a continuación.

( ) ( ) ( ){ }0 f x x x a,b< ≤ ϕ ∀ ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }-1

ax dx, b y y y 0,

ηΦ η = ϕ ⋅ Φ = Δ ∃ Φ ∀ ∈ Δ∫

( )f x

( )xϕ

1 2 ,γ γ

( )11 1

−η = Φ γ ⋅Δ

( )( )

1

1

f ηϕ η


50

3.3.2.4 Método combinado inversión - rechazo Si la variable η está definida en un intervalo finito (a, b) y su función de densidad de probabilidad

puede escribirse como: , donde la integral de función g(x) existe

en todo el intervalo [ ]a,b y la función h(x) está acotada en todo el intervalo ( )a, b , tal que:

, y

Entonces, para generar la variable η a partir de una variable aleatoria γ uniformemente distribuida

en el intervalo (0,1) pudiera aplicarse el siguiente algoritmo, cuyo diagrama de flujo se muestra

en la Figura 3.6:

1. Generar dos valores uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1),

2. Calcular el valor posible de la variable η resolviendo la ecuación ,

3. Evaluar el valor obtenido en la función ( )h x . Si se cumple que ( )1 2h Cη > γ ⋅ , entonces

aceptar el valor η1, calculado para la variable aleatoria η, de lo contrario repetir la secuencia.

Figura 3.6: Diagrama de flujo del método combinado inversión – rechazo Figura 16

El método de inversión con rechazo es la base del método de Kahn para el muestreo de la

distribución de Klein – Nishina (Ver el punto A1 del Apéndice A).

La función de densidad de probabilidad de una variable pudiera escribirse también como la suma

de varias funciones, como por ejemplo, en el método de Koblinger para muestrear el ángulo de

salida del fotón tras la dispersión Compton (Ver el punto A2 del Apéndice A). En ese caso, para

muestrear la variable aleatoria correspondiente pudiera aplicarse el método que explicamos a

continuación.

( ) ( ) ( ) ( ){ }f x g x h x x a, b= ⋅ ∀ ∈

( ) ( ) ( )a

G g x dx, G b 1η

η = ⋅ =∫ ( ) ( ){ }0 h x C x a,b< ≤ ∀ ∈

1 2,γ γ

( )11 1G−η = γ

( )12

h?

Cη

γ <

+

-

1η = η

1 2,γ γ

( )11 1G−η = γ

( )12

h?

Cη

γ <

+

-

1η = η

( ) ( ){ }1 G 0,1−∃ γ ∀γ ∈

1 2 ,γ γ

( )11 1G−η = γ


51

i

N

i 1p 1

==∑

( ) ( )2 k kk ka

1 1x dxp p

ηγ = ϕ = ⋅Φ η∫

1 2,γ γ

S 0 ?>+ -

1S = γ

i 1=iS S p= −

i i 1= + k i=

( )1k k 2p−η = Φ ⋅ γ

( ) { }i i

b

aˆp x dx , i N= ϕ ⋅ ∀ ∈∫1 2,γ γ

S 0 ?>+ -

1S = γ

i 1=iS S p= −

i i 1= + k i=

( )1k k 2p−η = Φ ⋅ γ

( ) { }i i

b

aˆp x dx , i N= ϕ ⋅ ∀ ∈∫

3.3.2.5 Método de descomposición Si la variable η está definida en un intervalo finito (a, b), tal que su función de densidad de

probabilidad ( )f x se puede escribir mediante la suma de N términos o funciones no negativas:

, , denotando , donde:

Entonces la variable η puede muestrearse mediante el siguiente procedimiento (Figura 3.7):

1. Generar dos valores de la variable aleatoria γ uniformemente distribuida en el intervalo

(0,1),

2. Con el valor , seleccionar el término k con una probabilidad pk, utilizando el

método de muestreo de variables aleatorias discretas especificado en el punto 3.3.1,

3. Con el valor 2γ calcular η, a partir de la función de densidad de probabilidad: .

Pudiera aplicarse, por ejemplo, alguno de los métodos ya indicados en los puntos del 3.3.2.1

al 3.3.2.4. En caso de existir la función inversa de , es posible resolver la ecuación:

⇒

Figura 3.7: Diagrama de flujo del método de descomposición con muestreo directo Figura

17

En ocasiones se requiere muestrear variables aleatorias multidimensionales, como por ejemplo la

dirección de una partícula de la radiación ionizante, o bien su punto de origen en una región

determinada del espacio. Con este fin es posible partir del método básico que describimos a

continuación.

( ) ( )i

N

i 1f x x

== ϕ∑ ( ) ( ){ }i x 0, i N, x a,b

∧ϕ ≥ ∀ ∈ ∈ ( )i i

b

ap x dx= ϕ ⋅∫

( )1k kp x− ⋅ϕ

( )1k k 2p−η = Φ ⋅ γ

1 2 ,γ γ

1γ ( )ˆk N∈

( )k xΦ


52

3.3.2.6 Método de muestreo de variables multidimensionales Si η es una variable aleatoria de n dimensiones ( )1 2 n, ,...,η ≡ η η η , dada por su función de

densidad de probabilidad , entonces es posible definir un método

de muestreo a partir de la siguiente expresión:

(3-12),

donde: es la función marginal de densidad de probabilidad de la variable aleatoria 1η ,

(3-13), y son las funciones de densidad condicionadas de las variables aleatorias iη para valores conocidos de las variables aleatorias .

Las funciones de densidad condicionadas pueden calcularse según:

(3-14),

siendo las funciones marginales de densidad

de probabilidad de las variables . Nótese que .

El procedimiento de muestreo de la variable aleatoria es el siguiente:

1. Generar el valor de 1η a partir de la función marginal de densidad de probabilidad ,

2. Generar los valores de iη sucesivamente a partir de las funciones de densidad condicionadas

En la generación de cada valor de ( )i ˆ i nη ∈ es posible utilizar alguno de los métodos indicados

en los puntos del 3.3.2.1 al 3.3.2.5.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 3 3 1 2 n n 1 n 1f x f x f x / x f x / x , x ... f x / x ,..., xη −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) n1 2 nf x , x x , x ,..., x Rη ≡ ∈

( )1 1f x

( ) ( )1 1 2 n 1 nf x dx ... dx f x ,..., x+∞ +∞

η

−∞ −∞

= ∫ ∫

( )i i 1 i 1f x x ,..., x −

( )1 i 1,..., i 2,3,..., n−η η =

( ) ( )( )

1...i 1 ii i 1 i 1

1...i 1 1 i 1

f x ,..., xf x / x ,..., x

f x ,...x−− −

=

( ) ( )1...i 1 i i 1 n 1 nf x ,..., x dx ... dx f x ,..., x+∞ +∞

+ η

−∞ −∞

= ∫ ∫( ) ( )i

1 i,...,η ≡ η η ( ) ( )1...n 1 n 1 nf x ,..., x f x ,..., xη=

( )1 2 n, ,...,η ≡ η η η

( )1 1f x

( )i i 1 i 1f x ,..., , i 2,..., n−η η =


53

3.4 Simulación del transporte de las radiaciones ionizantes Como hemos comentado, la base de cualquier análisis por simulación estadística es crear un

modelo estocástico lo más similar posible al sistema real de interés, de forma que se pueda

caracterizar el comportamiento estadístico de cada uno de los procesos que lo conforman. Estos

procesos se muestrean de forma aleatoria y se combinan tal como ocurre en el sistema real. Una

vez que el número de muestras es lo suficientemente elevado se puede obtener una conclusión

sobre el comportamiento del sistema estudiado con un nivel aceptable de incertidumbre. La

secuencia pudiera resumirse en cinco etapas generales:

a) Definición del objetivo y alcance de la simulación;

b) Construcción del modelo estocástico del sistema a simular, definición de los procesos que

lo conforman, sus interrelaciones y las variables de salida que caracterizan al sistema;

c) Selección o construcción de las funciones de densidad de probabilidad (fdp) de las

variables asociadas a cada uno de los procesos estocásticos;

d) Muestreo de las variables aleatorias, su combinación según el modelo estocástico y

acumulación de los resultados obtenidos en variables temporales o de salida;

e) Cálculo de los valores de las variables de salida y de la incertidumbre asociada.

La simulación del transporte de las radiaciones ionizantes se aplica a diversos problemas en los

que resulta engorrosa la resolución de las ecuaciones de Boltzman por otros métodos, como por

ejemplo en: la optimización de parámetros de reactores nucleares, la obtención de coeficientes

dosimétricos para la Protección Radiológica, la dosimetría clínica y la planificación de

tratamientos de Radioterapia, los cálculos de blindajes contra las radiaciones ionizantes, el estudio

de la respuesta de detectores de radiaciones ionizantes, entre otros. En estos casos, la aplicación

del método Monte Carlo al transporte de las radiaciones ionizantes se sustenta en un conjunto de

postulados básicos que son [Virius 1985]:

I. No ocurren interacciones entre las partículas de las radiaciones ionizantes23. Por

consiguiente, la simulación del transporte de las radiaciones puede verse como un proceso de

Markov [Grinstead y Snell, 2006], que se basa en el seguimiento sucesivo de partículas y

trayectorias independientes. Por otro lado, todas las trayectorias se consideran realizaciones

de un único proceso aleatorio, por lo que generalmente no es necesario incluir las

dependencias con el tiempo.

23Las interacciones entre las partículas incidentes dejan de ser despreciables a partir de valores

extremadamente grandes de densidades de flujo y de energía de dichas partículas. Los valores concretos dependen del tipo de partículas y del medio por el que pasan.


54

II. El movimiento de las partículas se describe a partir de sus interacciones con los átomos del

medio. Es necesario entonces conocer la probabilidad de ocurrencia de cada tipo de

interacción posible, en función de la energía24 de la radiación incidente. Estas probabilidades

se obtienen de las secciones eficaces de interacción publicadas en forma de tablas, gráficos o

funciones analíticas, para cada uno de los átomos que conforman el medio. Por ejemplo,

durante la incidencia de partículas no cargadas en un medio homogéneo constituido por m

átomos diferentes, donde es posible la ocurrencia de n interacciones diferentes en cada uno

de ellos, la probabilidad de interacción por unidad de recorrido de la radiación o sección

eficaz macroscópica total Σ , estará dada por la ecuación25:

(3-15),

siendo: ( )Ei

jσ la sección eficaz microscópica de la interacción “j” en el átomo “i” para la

energía “E” de la radiación incidente, ( )iT Eσ la sección eficaz microscópica total para el

átomo “i” y la energía “E” de la radiación incidente, y iδ la densidad de átomos “i” en el

medio.

Las incertidumbres asociadas a las secciones eficaces de interacción deben tenerse en cuenta

a la hora de evaluar la exactitud del modelo. La selección de la biblioteca de datos atómicos y

nucleares a utilizar es entonces una cuestión importante a tener en cuenta, partiendo del

objetivo y alcance de la simulación.

III. La dirección y energía de las partículas secundarias producto de los procesos de interacción

de la radiación incidente con los átomos del medio pueden obtenerse de las secciones

eficaces diferenciales de interacción. Por ejemplo, conociendo la sección eficaz diferencial de

interacción:

( ) ( )2 ''

''E

d E,E ,E,E ,

dE dΩ

σ Ωσ Ω =

⋅ Ωr

rr

r (3-16),

es posible construir la función de densidad de probabilidad para la dirección Ω

r y la energía

E’ de las partículas secundarias según:

24En ocasiones se requiere conocer las probabilidades de interacción en función de la dirección de la

radiación incidente, como en el caso de determinados cristales con anisotropía espacial. 25En medios no homogéneos es necesario tener en cuenta la variación de δ en el volumen de interés.

( ) ( ) ( ) ( )j 1

E E E E

m ni i iT Ti j

i: 1,

=

δ

=Σ = ⋅σ σ = σ∑ ∑


55

( ) ( )( )

'' 'E

'E

E, E ,f E,E ,

EΩ

Ω

σ ΩΩ =

σ

rr

rr

(3-17),

donde: ( )Eσ es la sección eficaz de interacción para la energía E de la radiación incidente,

dada por la doble integral de la sección eficaz diferencial en todo el rango posible de energías

y direcciones de las partículas secundarias :

( ) ( )' ''E

'E

E E, E , d dEΩ

Ω

σ = σ Ω ⋅ Ω ⋅∫ ∫ rr

r r (3-18)

IV. Entre una interacción y otra, las partículas se mueven con velocidad y dirección constante. La

curvatura de las trayectorias por la influencia de los campos gravitacional y magnético de la

Tierra puede considerarse despreciable teniendo en cuenta la elevada velocidad y corta

trayectoria de las partículas. En ocasiones, sin embargo, se realizan simulaciones de sistemas

bajo campos artificiales de gran intensidad, donde no es posible despreciar su influencia. Otra

excepción ocurre cuando se simulan partículas muy inestables, como el mesón 0π , con un

tiempo de vida media del orden de 10-16s. En estos casos es necesario considerar la posible

desintegración de las partículas durante su recorrido.

V. Las partículas secundarias se producen en el mismo punto donde ocurre la interacción de las

partículas incidentes. En ocasiones los productos de la interacción pueden emitirse con cierto

retraso, como en el caso de la fisión nuclear con neutrones; sin embargo, el desplazamiento

del núcleo atómico suele considerarse despreciable.

Un ejemplo de secuencia general en la simulación del transporte de las radiaciones ionizantes se

muestra en la Figura 3.8. Se trata de un modelo simplificado para el cálculo de la energía

depositada por un tipo de partículas no cargadas en un medio de volumen V. Se utiliza una pila26

para almacenar temporalmente las partículas secundarias hasta su seguimiento. La terminología

empleada es la siguiente:

E, 0rr

y 0ωr

representan: la energía inicial, el punto de origen y el vector de dirección de las

partículas antes de su interacción, respectivamente. rr representa la posición de la partícula.

i i iE , r y ωr r representan: la energía, la posición y el vector de dirección de la partícula “i” tras la

interacción, respectivamente. E’ es la variable que “acumula” la energía que se va entregando al

medio durante el seguimiento de las historias originadas por cada partícula incidente.

26Se guarda la energía, la posición y el vector de dirección de cada partícula secundaria en espera de su

seguimiento. El orden no es relevante en este caso.


56

INICIOGeneración de una partícula: E, 0 0r , ω

r r

Muestreo del puntode interacción: rr

Determinación del tipo de interacción

r V∈r

¿Dentro del medio?(¿ ?)

Muestreo depara cada partícula i

i iE , ωr

Seguimiento de lapartícula i=1

1 0 1 0 1E E , r r , = = ω = ωr r r r

Almacenamiento en la pila de los parámetros:de cada partícula i,

i i iE , r , ωr r

( )i 2≥

¿Número de partículas >1?

-+ +

¿PartículasSecundarias?

-

-

+¿Pila vacía?

Incremento de la energía total depositada en el medio

Incremento de la energía E’depositada en V

¿Número máximo departículas?

-

FIN

+

Extracción de unapartícula i de la pila

i 0 i 0 iE E , r r , = = ω = ωr r r r

+

-

Cálculo del valor esperado de energía depositada porpartícula

E’ = 0

¿ E’ 0 ?

+

-≠

INICIOGeneración de una partícula: E, 0 0r , ωr rGeneración de una partícula: E, 0 0r , ωr r

Muestreo del puntode interacción: rr

Determinación del tipo de interacción

r V∈r¿Dentro del medio?

(¿ ?)r V∈r¿Dentro del medio?

(¿ ?)

Muestreo depara cada partícula i

i iE , ωrMuestreo depara cada partícula i

i iE , ωri iE , ωr

Seguimiento de lapartícula i=1

1 0 1 0 1E E , r r , = = ω = ωr r r r

Almacenamiento en la pila de los parámetros:de cada partícula i,

i i iE , r , ωr r

( )i 2≥

¿Número de partículas >1?

-+ +

¿PartículasSecundarias?

-

-

+¿Pila vacía?¿Pila vacía?

Incremento de la energía total depositada en el medio

Incremento de la energía E’depositada en V

¿Número máximo departículas?

-

FIN

+

Extracción de unapartícula i de la pila

i 0 i 0 iE E , r r , = = ω = ωr r r r

+

-

Cálculo del valor esperado de energía depositada porpartícula

E’ = 0

¿ E’ 0 ?

+

-≠

Figura 3.8: Ejemplo de diagrama de flujo general para el cálculo de la energía depositada en un medio de volumen V Figura 18

A continuación comentaremos brevemente algunas de las etapas de la secuencia en la Figura 3.8.

3.4.1 Generación de partículas Es necesario conocer la distribución espacial de la fuente, así como la distribución direccional y

energética de las partículas emitidas. Con frecuencia la fuente se especifica mediante la densidad

de probabilidad de que en cada punto del espacio ocurra la emisión de una partícula con una

energía determinada y en una dirección dada. Simular la fuente significa entonces seleccionar de

forma aleatoria un punto de origen , una dirección de emisión y una energía de la partícula

emitida, acorde con las funciones correspondientes de densidad de probabilidad. Por lo general se

combina el procedimiento de muestreo recogido en el punto 3.3.2.6 con algunos de los métodos de

muestreo indicados en los puntos del 3.3.2.1 al 3.3.2.5. Una vez generada la partícula se procede

al muestreo de su recorrido libre, que determina el punto donde ocurre la interacción con los

átomos del medio.

0rr

0ωr


57

3.4.2 Muestreo del punto de interacción Las partículas, tras su emisión o entre interacciones recorren una distancia o recorrido libre “t”,

que es una magnitud aleatoria con función de densidad de probabilidad dada por:

( ) ( )( ) ( )( )t

0

f t, E r t , E exp r u ,E du , t R, t 0⎧ ⎫⎪ ⎪= Σ ⋅ − Σ ⋅ ∈ ≥⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∫r r (3-19),

o sea, con función de distribución :

( ) ( )( )t

0

F t,E 1 exp r u , E du⎧ ⎫⎪ ⎪= − − Σ ⋅⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∫ r (3-20),

siendo: ( ) 0 0r u r u= + ⋅ω

r r r el punto de ocurrencia de la interacción, ( )( )r u , EΣ

r la sección eficaz

macroscópica total en el punto ( )r ur

para la energía E de las partículas incidentes.

Si el medio es homogéneo, la función de distribución del recorrido libre (3-20) puede escribirse

como:

( ) ( )E tF t, E 1 e−Σ ⋅= − (3-21)

Aplicando el método directo o de inversión, indicado en el punto 3.3.2.1, se llega a la conocida

fórmula27 para el muestreo del recorrido libre de las partículas:

( )1 1t lnE

= ⋅Σ γ

(3-22)

Es evidente que la generación de los recorridos libres según la expresión (3-19) puede ser

compleja en el caso de medios no homogéneos. Una solución frecuente consiste en diseñar el

modelo de simulación de forma que sea posible asumir que el medio es homogéneo por partes, es

decir, que se compone de n subregiones homogéneas (Vi) donde:{ }i j ˆV V , (i, j n), (i j) ∩ = ∅ ∈ ≠ .

Si en cada una de estas regiones las secciones macroscópicas totales son constantes:

( )( ) ( )i ir u , E EΣ = Σr y se adopta, para cada partícula, una trayectoria rectilínea que pasa

sucesivamente por 2 k1

, ...,,i i iV V V ( )ˆk n∈ regiones28, con el punto de origen 0rr en la región

1iV ,

entonces es posible seguir el procedimiento siguiente:

27El término 1- γ se sustituye preferiblemente por γ , pues ambos son equivalentes. 28La cantidad de regiones que atraviese la trayectoria de cada partícula dependerá de su vector de dirección.


58

1. Se genera un recorrido libre, con la expresión (3-22), asumiendo que la región de origen

1iV es homogénea e infinita.

2. Si el punto de interacción: 0 0r r t= + ⋅ωr r r pertenece a

1iV se culmina el proceso, de lo

contrario se encuentra el punto de intersección 1rr

de la trayectoria rectilínea de la partícula

con la frontera de 1i

V y a partir de este punto se genera un recorrido libre, nuevamente con la

expresión (3-22), asumiendo entonces que la región 2i

V es homogénea e infinita.

3. Si el punto de interacción: 1 0r r t= + ⋅ωr r r

pertenece a 2i

V se culmina el proceso, de lo

contrario se encuentra el punto de intersección 2rr

con la frontera de 2i

V y se genera un

recorrido libre a partir de este punto, asumiendo igualmente que la región 3i

V es homogénea

e infinita.

4. Toda la secuencia se repite hasta que se encuentre un punto de interacción 0p 1r r t−= + ⋅ωr r r

que pertenezca a la región ( )pi

ˆV p k∈ o bien hasta que se transite por todas las regiones

posibles en la trayectoria de la partícula y el punto 0k 1r r t−= + ⋅ωr r r no pertenezca a

kiV .

Las partículas que atraviesan la superficie del medio pueden regresar a éste, o bien alejarse,

dejando de ser importantes para la simulación. Por ello, las propiedades geométricas del medio en

el que seguimos las interacciones de las radiaciones ionizantes tienen un papel determinante en el

grado de complejidad del proceso de simulación. El cálculo de los puntos de intersección de

cualquier línea recta con la superficie de cuerpos irregulares puede ser una cuestión de suma

complejidad, cuya solución pudiera sólo ser posible a partir de aproximaciones geométricas.


59

3.4.3 Muestreo del tipo de interacción y de las partículas secundarias

Una vez que se genera la partícula y se muestrea su recorrido libre, se tiene el punto donde ocurre

la interacción con los átomos del medio. Si se conocen las secciones eficaces macroscópicas

( )j EΣ correspondientes a cada tipo de interacción j ( )ˆj n∈ , es posible representar el tipo de

interacción como una magnitud aleatoria discreta, cuya probabilidad de ocurrencia es

( ) ( )( )

jj

Ep E

EΣ

=Σ

, siendo ( )EΣ la sección eficaz macroscópica total deducida según la expresión

(3-15). El método a seguir en este caso para el muestreo del tipo de interacción es el indicado en

el punto 3.3.1.

El muestreo de las partículas secundarias consiste en la selección aleatoria de su energía y

dirección y puede realizarse, según comentamos en el postulado general III, mediante la función

de densidad de probabilidad construida a partir de las secciones eficaces diferenciales

correspondientes según las ecuaciones (3-16) y (3-17).

3.4.4 Estimación de incertidumbres En la simulación estadística, los valores buscados de las magnitudes de interés se obtienen a partir

de valores esperados de las variables aleatorias correspondientes. Por ejemplo, en el diagrama de

la Figura 3.8, la energía depositada por partícula en el medio de volumen V se calcula como la

esperanza matemática de la energía depositada por cada partícula generada.

Si el valor de la magnitud buscada es m y el modelo de simulación es correcto, entonces el valor

esperado de la variable aleatoria correspondiente, denotada por ejemplo como η , será también m.

Si la varianza de η es finita, tal que 2D bη = , y de conformidad con la Ley de los Grandes

Números [Grinstead y Snell, 2006] expresamos la esperanza matemática de la variable η a través

de su media aritmética29 , ( iη son realizaciones independientes de η ),

entonces, de acuerdo con el Teorema Central del Límite [Valiota y Delieutraz, 2004] cuando el

valor de N es grande, la variable η se aproxima a una variable con distribución normal, con valor

medio igual a m y desviación estándar igual a bN

. Esta afirmación es equivalente a la

conocida relación: 29 El valor medio real de la variable η , dado por la expresión ( ) ( )E f dη = η⋅ η ⋅ η∫ , se estima a partir de la

media aritmética, pues por lo general la función de densidad de probabilidad ( )f η se desconoce. Durante

la simulación se realiza el muestreo de ( )f η de manera implícita.

i

N

i 1

1N =

η = η∑ ( )ˆi N∈


60

N

ii 1

2k t2

0

k b1 2P m e dtN N

−α

=

α⎧ ⎫⋅⎪ ⎪⋅ η − < ≈ α = ⋅ ⋅⎨ ⎬ π⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∫ (3-23)

La siguiente tabla recoge, a modo de ejemplo, algunos de los valores más utilizados de y kαα .

Tabla 3.1: Ejemplos de valores de probabilidad ( α ) y sus correspondientes valores de kα en una distribución normal con valor medio igual a 0 y desviación estándar igual a 1.

α kα α kα 0.50 0.674 0.975 2.200 0.68 1.000 0.990 2.576 0.90 1.645 0.9975 3.000 0.95 1.960 0.999 3.300

La expresión (3-23) es de suma importancia para el método Monte Carlo. Permite calcular el

valor medio de la variable aleatoria y la incertidumbre asociada. De este modo, toda simulación

estadística se basa en la búsqueda de N valores independientes de una variable aleatoria cuya

media aritmética será muy próxima al valor de la magnitud estudiada, con una desviación estándar

de la forma: bN

.

El valor de la constante b será específico para el modelo de simulación y determinará su velocidad

de convergencia. Debido a que el valor de b no se conoce a priori, la varianza de una población o

conjunto de realizaciones de la variable η se estima durante la simulación estadística mediante el

estadígrafo 2S (para valores grandes de N):

( )2 2 2i

N2

i 1

_1SN 1 =

= ⋅ η − η ≈ η − η− ∑ (3-24),

donde: 2 2N

ii 1

_ 1N =

η = ⋅ η∑ y iη son los valores obtenidos de la variable ηdurante la simulación.

La varianza de η se estima entonces como:

2

2 SSNη = (3-25),

siendo la magnitud Sη la desviación estándar estimada para la media aritmética η . Como puede

deducirse de las expresiones (3-23) y (3-25), la desviación estándar de η es proporcional a

1N

, por lo que para reducir en un orden su valor es necesario incrementar en cien veces el

número de realizaciones de la variable η .


61

Partiendo de (3-24), la incertidumbre relativa puede expresarse como:

N

2

2 N

121

22 ii 1

2

ii 1

_S 1 1R 1

N Nη =

=

⎡ ⎤⎢ ⎥η⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥η⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥= = ⋅ − = −⎢ ⎥⎜ ⎟η η ⎢ ⎥⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ η⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

∑ (3-26)

De la expresión anterior se puede deducir que 2R es proporcional a 1N . Considerando que N

es directamente proporcional al tiempo de simulación30 T, entonces el producto: 2R T⋅ debe

acercarse a un valor constante a partir de un valor grande de N. Este hecho permite definir una

Figura de Mérito (FDM) para caracterizar la fortaleza del código de simulación, dada por la

siguiente expresión [Los Alamos, 2005]:

21FDM

R T=

⋅ (3-27)

La ecuación (3-27) indica que cuanto mayor sea la Figura de Mérito, más rápida será la

convergencia de la simulación estadística para un valor prefijado de R. Como veremos en el

apartado siguiente, una de las formas de incrementar el valor de la FDM es aplicando las

denominadas técnicas de reducción de varianza, orientadas a reducir el valor de la desviación

estándar de la variable η para un tiempo dado de simulación.

Hasta ahora nos hemos referido a las incertidumbres que pueden ser estimadas mediante métodos

estadísticos. Sin embargo, existen otras fuentes de incertidumbre asociadas al método Monte Carlo

que deben tenerse en cuenta a la hora de juzgar la calidad de los resultados obtenidos. Entre estas

fuentes de incertidumbre están: las simplificaciones y aproximaciones de los modelos estocásticos,

las aproximaciones y los posibles errores en los códigos de simulación, la incertidumbre en los

valores de las secciones eficaces de interacción, y la preparación insuficiente de los usuarios de los

códigos para realizar las simulaciones e interpretar adecuadamente los resultados. Por lo general

estas fuentes de incertidumbre son difíciles de cuantificar y la estimación de la incertidumbre

combinada [CSN, 2002] suele ser una tarea compleja. Por ello, es inevitable que el grado de

confianza requerido para la utilización de los códigos de simulación por Monte Carlo se adquiera y

fundamente a partir de su verificación y validación. Las pautas generales de los procesos de

verificación y validación pueden encontrarse por ejemplo en [FDA, 2002]. En el Capítulo 5 nos

referiremos a los resultados de los ejercicios de verificación y validación realizados al código

DETEFF, desarrollado en el marco del presente trabajo de tesis doctoral.

30 T se refiere al tiempo de trabajo del procesador.


62

La documentación de los códigos, el entrenamiento de los usuarios en su manejo y la creación de

foros de intercambio y retroalimentación son algunas de las medidas básicas a tener en cuenta por

los creadores de programas de simulación por Monte Carlo para facilitar el proceso de validación y

mejora continua de los productos desarrollados.

3.4.5 Técnicas de reducción de varianza

El diagrama de flujo de la Figura 3.8 corresponde a una simulación análoga, en la que se siguen

fielmente las leyes físicas. De esta forma, las partículas generadas pueden no interactuar en el

volumen de interés, con lo que se pierde tiempo de simulación y aumentan las fluctuaciones

estadísticas. Por lo general, las simulaciones análogas o directas, utilizando funciones de densidad

de probabilidad reales, requieren de un tiempo demasiado elevado para producir resultados

estadísticamente satisfactorios.

La reducción de la incertidumbre sin incrementar el número de historias, o sea, sin aumentar el

tiempo de trabajo del procesador (en lo adelante CPU, como acrónimo de su nombre en inglés:

Central Processing Unit), se logra mediante las simulaciones no análogas. Las simulaciones no

análogas están dirigidas a aumentar la FDM (3-27) y, como su nombre indica, utilizan funciones

de densidad de probabilidad que no se ajustan a las leyes físicas. Al forzar la ocurrencia de

determinados procesos o situaciones, disminuyen su carácter aleatorio, por lo que producen

resultados sesgados. Con el fin de corregir este sesgo artificial se introducen pesos estadísticos a

las historias de las partículas. De esta forma, se siguen partículas virtuales, y cuando ocurre un

evento de recuento se adiciona el peso estadístico de la partícula correspondiente en lugar de la

partícula completa. Los métodos que se aplican en las simulaciones no análogas se conocen como

técnicas de reducción de varianza. Estas pueden ser de diferentes tipos. A continuación,

exponemos las más utilizadas.

3.4.5.1 Métodos de truncamiento Son las técnicas más simples. Agilizan los cálculos mediante el truncamiento de aquellas partes

del espacio de fase31 que no contribuyen significativamente a la solución, terminando las historias

menos significativas de las partículas y reduciendo de esta forma el tiempo promedio dedicado a

cada historia. El truncamiento es similar a la ruleta rusa, que veremos más adelante, con la

particularidad de que la probabilidad de supervivencia es cero.

31 Se refiere al espacio dado por los vectores ( )r,p, tr r , donde rr es el vector de posición de la partícula, pr

su impulso y t el tiempo.


63

Truncamiento geométrico En el truncamiento geométrico o espacial, la historia de la partícula termina cuando ésta entra en

una región dada del espacio, desde la cual tiene muy poca probabilidad de contribuir a la magnitud

aleatoria buscada.

Corte por energía crítica En el truncamiento o corte por energía crítica la historia de la partícula termina cuando su energía

se hace inferior a un valor crítico predefinido, que a su vez puede estar en función del espacio.

Debe tenerse cuidado de no eliminar partículas cuya contribución a la solución pueda ser

importante, por ejemplo como consecuencia de un incremento de las secciones eficaces de

interacción para bajas energías.

3.4.5.2 Métodos de control de población

Ruleta rusa La ruleta rusa tiene como objetivo reducir el número de partículas cuya contribución al resultado

no es significativa. De esta forma, aunque se incremente ligeramente la desviación estándar por

historia, la reducción del tiempo de cálculo es más relevante para la FDM. El método consiste en

generar un número aleatorio γ y compararlo con un valor umbral λ . Si γ < λ entonces la

partícula cuyo peso estadístico inicial era W0 sobrevive con un peso estadístico 0WW = λ, de lo

contrario la partícula es eliminada ( )W 0= . Por ejemplo: en el caso de aplicar la ruleta rusa para

reducir la cantidad de partículas que pasan de una región del espacio de fase de mayor importancia

0I a una región de menor importancia 1I , el valor umbral puede determinarse como: 10

IIλ = .

Multiplicación de partículas (splitting) La multiplicación de partículas tiene como finalidad incrementar el número de partículas en una

región determinada del espacio de fase. Es ventajosa siempre que la reducción lograda en la

desviación estándar sea más importante para la FDM que el incremento del tiempo de simulación

por historia. De esta forma, si el número de partículas se incrementa en N, el peso estadístico de

cada una de ellas se reducirá en la misma cantidad 0WW N= . La multiplicación de partículas

pudiera aplicarse si, por ejemplo, éstas pasan de una región del espacio de fase 0I de menor

importancia a otra 1I de mayor importancia. En este caso, 10

IN I= si el cociente es un número


64

entero. De ser fraccionario se genera un número aleatorio γ uniformemente distribuido en el

intervalo (0,1) y si 1 10 0

I II I

⎡ ⎤γ < − ⎢ ⎥⎣ ⎦ entonces el número de partículas N será igual a 1

0

I 1I⎡ ⎤ +⎢ ⎥⎣ ⎦

, de

lo contrario será 10

II

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

3.4.5.3 Métodos de muestreo modificado

Estratificación Generalmente, en las simulaciones por Monte Carlo existen regiones dentro del espacio de fase

que no son significativas para el problema a resolver. Con el objetivo de no gastar tiempo de CPU

se utiliza entonces la técnica de estratificación, que consiste en el muestreo de las regiones del

espacio de fase a partir de su importancia relativa.

En numerosas aplicaciones, por ejemplo, el ángulo sólido entre la fuente y el volumen de interés es

muy pequeño, por lo que el muestreo análogo (isotrópico) de las partículas puede ser muy

ineficiente en términos del tiempo de cálculo requerido. Es necesario entonces “favorecer”

aquellas direcciones comprendidas dentro del ángulo sólido de interés. En coordenadas esféricas,

es posible estimar este ángulo sólido como:

Máx2 .

0 0

sin d dθπ

Ω = θ⋅ θ⋅ ϕ∫ ∫ (3-28),

siendo Má x.θ el ángulo polar máximo que delimita el contorno del volumen de interés desde

cualquier punto de la fuente y ϕ el ángulo azimutal. Se tiene entonces que:

( )Máx.2 1 cosΩ = π⋅ − θ (3-29)

Las funciones de densidad de probabilidad de ϕ y θ , para el muestreo de las direcciones de las

partículas dentro del ángulo sólido Ω , se obtienen siguiendo el método del punto 3.3.2.6 para el

muestreo de variables multidimensionales:

[ ]{ }1f (x) x 0, 22ϕ = ∈ π

π y [ ]{ }Máx.

Máx.

sin xf (x) x 0,1 cosθ = ∈ θ

− θ (3-30)


65

En este caso, el peso estadístico deberá ser multiplicado por la probabilidad de emisión de las

partículas dentro del ángulo sólido Ω :

Máx.0

1 cosW W2

− θ⎡ ⎤= ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (3-31)

Interacciones forzadas

Existe una cierta probabilidad de que las partículas abandonen el volumen de interés sin

interactuar en éste. Este puede ser un inconveniente en los cálculos de la energía impartida al

medio o del número de partículas que ceden su energía en una región determinada. Con el objetivo

de mejorar la estadística de la simulación, en ocasiones se fuerza la ocurrencia de las interacciones

de las partículas dentro del volumen de interés, por ejemplo, a partir de la función de densidad de

probabilidad modificada32:

( ) ( )( )( )( )Máx.

exp E xf x

1 exp E dΣ ⋅ −Σ ⋅

=− −Σ ⋅

(3-32),

donde Máx.d es la longitud máxima de la trayectoria rectilínea que la partícula puede recorrer sin

interactuar dentro del volumen de interés, y ( )EΣ es la sección eficaz macroscópica total de

interacción de las partículas en el medio de interés, acorde con la expresión (3-15).

En lugar de realizar el muestreo del recorrido libre ( t ) de las partículas según la fórmula (3-22), se

utiliza la expresión (3-33) deducida de la función de densidad de probabilidad normalizada (3-32).

( ) ( )( )Máx.

1 1t lnE 1 1 exp E d

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅

Σ ⎡ ⎤− γ − −Σ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ (3-33),

siendo γ un número aleatorio, uniformemente distribuido en el intervalo (0,1).

De acuerdo con la fórmula (3-33) el valor máximo posible de t es Máx.d Este sesgo en el recorrido

libre medio se compensa multiplicando el peso estadístico de la partícula por la probabilidad de

interacción dentro del volumen de interés, o sea:

( )( )0 Máx.W W 1 exp E d⎡ ⎤= ⋅ − −Σ ⋅⎣ ⎦ (3-34)

32 Esta expresión es válida para un medio homogéneo.


66

Captura implícita en el punto de interacción

En ocasiones, cuando las partículas se absorben en una determinada región del espacio, no

contribuyen a la variable que se estudia. En estos casos, para no desperdiciar tiempo de CPU,

durante el muestreo del tipo de interacción (según el procedimiento indicado en el punto 3.4.3) se

suelen considerar sólo las interacciones que conducen a la dispersión o a la multiplicación de

partículas. El sesgo producido por este muestreo no análogo del tipo de interacción se corrige

modificando el peso estadístico de las partículas resultantes de la interacción según:

( ) ( )( )0

aE EW W

E⎡ ⎤Σ − Σ

= ⋅ ⎢ ⎥Σ⎣ ⎦ (3-35),

siendo ( )a EΣ la suma de las secciones eficaces macroscópicas que conducen a la absorción de las

partículas y que no intervienen en el muestreo del tipo de interacción y ( )EΣ la sección eficaz

macroscópica total de interacción de las partículas según (3-15).

Captura implícita en el recorrido libre medio

La captura implícita también puede aplicarse durante el muestreo del punto de interacción de las

partículas. En este caso, en lugar de muestrear el punto de interacción, se muestrea directamente el

lugar de la dispersión mediante la ecuación:

( ) ( )( )a

1 1t lnE E

= ⋅γΣ − Σ

(3-36),

donde γ es un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo (0,1), y ( )a EΣ y

( )EΣ tienen igual significado que en (3-35). El peso estadístico de las partículas secundarias tras

la dispersión se deberá reducir entonces según:

( )0 aW W exp t= ⋅ −Σ ⋅ (3-37)

Transformación exponencial

En ocasiones se requiere modificar la probabilidad de interacción de las partículas en una

dirección determinada. Por ejemplo, durante las simulaciones para las evaluaciones de blindajes

gruesos, la reducción artificial de la probabilidad de interacción en la dirección perpendicular a la

superficie del blindaje posibilita una mejor estadística de partículas al otro lado del mismo. Los

estudios de retro-dispersión, por el contrario, requieren que aumente la probabilidad de interacción

de las partículas en la dirección perpendicular a la superficie.


67

La modificación de la probabilidad de interacción de las partículas en una dirección dada se

realiza, por ejemplo, mediante la transformación exponencial, en la que la sección eficaz

macroscópica total de interacción se obtiene según:

( ) ( ) ( )* E E 1 C cosΣ = Σ ⋅ − ⋅ θ (3-38),

Siendo ( )EΣ la sección eficaz macroscópica total de interacción de las partículas según (3-15), θ

el ángulo entre la dirección de interés y la trayectoria de la partícula y C una constante que

caracteriza el tipo de transformación ( ( )C 1,1∈ − ).

El muestreo del recorrido libre de las partículas se realiza entonces según la siguiente expresión:

( ) ( )

1 1t lnE 1 C cos

= ⋅Σ ⋅ − ⋅ θ γ

(3-39),

donde γ es un número aleatorio, uniformemente distribuido en el intervalo (0,1).

Según (3-39), cuando 1 C 0− < < ó 0 C 1< < , el recorrido libre medio de las partículas en la

dirección de interés se reduce o se incrementa, respectivamente. Este sesgo en la probabilidad de

interacción de las partículas se corrige modificando el peso estadístico de las partículas tras la

interacción, según:

( )( )( )0

exp C E cos tW W

1 C cos− ⋅Σ ⋅ θ ⋅

= ⋅− ⋅ θ

(3-40),

El nuevo peso estadístico de la partícula según la expresión (3-40) garantiza que la probabilidad de

interacción en el intervalo [ ]t, t dt+ se mantenga constante, es decir:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )* *0W E exp E t W E exp E t⋅Σ ⋅ −Σ ⋅ = ⋅Σ ⋅ −Σ ⋅ (3-41)

Como puede apreciarse, la transformación exponencial con parámetros aC Σ=Σ

y cos 1θ = ,

combinada con la captura implícita en el punto de interacción es una técnica de reducción de

varianzas equivalente a la captura implícita en el recorrido libre medio.


68

3.5 Códigos de simulación Monte Carlo Con el aumento de la velocidad de procesamiento de datos, la simulación estadística se está

convirtiendo en la opción más flexible y fiable para el cálculo de la eficiencia en sistemas de

espectrometría de la radiación gamma. A nivel comercial existen códigos Monte Carlo

multipropósito o de aplicación múltiple que, en principio, pudieran ser utilizados para este fin

[García-Talavera, et. al., 2000], [Helmer et. al. 2003], [Hurtado et. al., 2004], [Peyres y García-

Toraño, 2007], [Ródenas, et. al., 2007]. Estos códigos siguen en mayor o menor grado los

principios generales que hemos indicado en el presente capítulo. Esencialmente se diferencian

entre sí, en las bases de datos escogidas para las secciones eficaces de interacción, en los modelos

físicos aplicados al transporte de las partículas y en la interrelación con los usuarios. La Tabla 3.2.

resume algunas de las características de varios de estos códigos de Monte Carlo de uso múltiple.

El empleo adecuado de los códigos de uso múltiple o multipropósito requiere, sin embargo,

conocimientos de lenguajes de programación, de técnicas de simulación estadística, o en el mejor

de los casos, de las reglas no triviales para la creación de los archivos con los datos de entrada

[GEANT4, h. p.], [Salvat, et. al., 2006], [Briesmeister, 2000], [Halbleib y Mehlhorn, 1986],

[Nelson et. al., 1985]. Otra limitación importante para el uso de los códigos de propósito múltiple

en los laboratorios analíticos son los tiempos de cómputo requeridos, que pueden ser de unas horas

hasta algunos días, para obtener valores de eficiencia con desviaciones estándar inferiores al 1%,

en ordenadores ordinarios. A todas estas dificultades se une la necesidad obvia de validar cada uno

de los modelos creados por los usuarios. De esta forma, los códigos multipropósito no encuentran

fácilmente un uso práctico en laboratorios analíticos de servicios rutinarios, como los dedicados a

la vigilancia radiológica, donde existe una demanda creciente de métodos para el cálculo de la

eficiencia (ver detalles en [OIEA, 2000]).

A continuación describiremos la implementación, en el código específico DETEFF, de los

principios tratados en el presente capítulo. Abordaremos los procesos físicos considerados,

relevantes para los cálculos de la eficiencia en sistemas de espectrometría de radiación gamma, y

explicaremos los métodos empleados en su simulación. Además, mostraremos las características

generales del código, que lo convierten en una herramienta de fácil manejo y lo suficientemente

rápida como para encontrar uso práctico en laboratorios analíticos.


69

Tabla 3.2: Ejemplos de códigos de simulación Monte Carlo, de uso múltiple 1

Código Datos generales

EGS4

Partículas: Fotones, electrones y positrones. Inicialmente para altas energías. Geometría: Flexible, definida por los usuarios. Origen: Stanford Linear Acelerador Center. Estados Unidos Requisitos: Habilidades de programación en FORTRAN o MORTRAN Referencia: [Nelson et. al., 1985]

ETRAN

Partículas: Fotones, electrones y positrones Geometría: Mediante combinación de cilindros y láminas paralelas semi-infinitas. Origen: National Institute of Standards and Technology. Estados Unidos Requisitos: Manejo de archivos de datos de entrada. Interpretación de resultados Referencia: [Berger y Seltzer, 1968]

ITS (compuesto por TIGER, CYLTRAN y ACCEPT)

Partículas: Fotones, electrones y positrones. Métodos de ETRAN. Geometría: Composición mediante láminas paralelas (TIGER), cilindros (CYLTRAN) y cuerpos geométricos elementales (ACCEPT). Origen: Sandia National Laboratory. Estados Unidos. Requisitos: Manejo de archivos de entrada de datos. Interpretación de resultados Referencia: [Halbleib y Mehlhorn, 1986]

MCNP

Partículas: Neutrones, fotones, electrones, positrones, partículas elementales y núcleos ligeros. Métodos de ETRAN para el transporte de electrones y positrones. Geometría: Flexible, definida por los usuarios mediante superficies y celdas. Origen: Los Alamos National Laboratory. Estados Unidos. Requisitos: Manejo de archivos de entrada de datos. Interpretación de resultados Referencia: [Briesmeister, 2000]

PENELOPE

Partículas: Fotones, electrones y positrones Geometría: Combinación de láminas paralelas y cilindros semi-infinitos. Origen: Universidad de Barcelona, España. Requisitos: Habilidades de programación en Fortran 77. Manejo de archivos de datos de entrada mediante el uso de los programas PENCYL y PENSLAB. Interpretación de resultados. Referencia: [Salvat, et. al., 2006]

GEANT 4

Partículas: Fotones, electrones (inicialmente altas energías), partículas elementales. Geometría: Combinación de geometrías básicas Origen: CERN Requisitos: Habilidades de programación en C++. Referencia: [GEANT4, h. p.]


70

71

CAPÍTULO 4

DESCRIPCIÓN DEL CÓDIGO DETEFF 4.1 Introducción al código DETEFF. Resumen histórico de su desarrollo DETEFF es un código Monte Carlo, diseñado en lenguaje PASCAL, para el cálculo de eficiencias

de detección en sistemas de espectrometría de radiación gamma, empleando la simulación

estadística de los procesos físicos que tienen lugar en el sistema fuente – detector. Incluye

detectores de NaI, CsI, Ge y Si, así como fuentes en geometrías puntuales, cilíndricas, de prismas

rectangulares, planas y del tipo Marinelli, con energías en el rango de 10 – 2000 keV.

DETEFF ha sido desarrollado y validado en el marco del presente trabajo de tesis doctoral, con el

objetivo de facilitar la aplicación del método Monte Carlo como herramienta cada vez más

necesaria durante las calibraciones en eficiencia de los sistemas de detección en espectrometría de

la radiación gamma. El esfuerzo se ha concentrado en obtener un sistema de fácil manejo para el

usuario, lo suficientemente rápido como para encontrar uso práctico en los laboratorios de ensayos

analíticos y permitir suplir el déficit de patrones radiactivos. Su aplicación es de particular interés

en laboratorios de vigilancia radiológica ambiental y en laboratorios en función de emergencias

nucleares o radiológicas. Puede ser de utilidad además en la docencia relativa a la espectrometría

de radiación gamma. DETEFF ha evolucionado con éxito por diferentes etapas de desarrollo,

verificación y validación, demostrando ser un programa de fácil manejo y rápido en la realización

de los cálculos.

La primera versión del código fue creada para trabajar en el sistema operativo MS-DOS y no

incluía la geometría Marinelli de medida. En esta primera versión los modelos de detectores eran

muy simples. Al ser concebido fundamentalmente para la simulación de detectores de NaI y

Ge(Li) no permitía, por ejemplo, la modelización de la ventana de entrada de los detectores HPGe

de tipo n. Esta versión del código DETEFF se verificó y validó esencialmente mediante la

comparación con los resultados de simulaciones de otros autores, como: [Belluscio, et. al., 1974] y

[Giannini, et. al., 1970] y con las medidas experimentales de actividad en muestras acuosas

rectangulares y cilíndricas de diferentes volúmenes [Cornejo Díaz y Mann, 1996].

Capítulo 4 Descripción del código DETEFF

72

La segunda versión del código incluyó una mejora en la interfaz con el usuario, al incorporar un

sistema de ventanas, construidas con el paquete TURBO VISION de la firma BORLAND, para la

entrada de los datos de las fuentes y los detectores. Se sustituyó el método de Newton – Raphson

(Ver el punto A3 del Apéndice A) por el de Everett – Cashwell (Ver el punto A4 del Apéndice A)

para el muestreo más rápido de los ángulos y energías de los fotones tras la dispersión no

coherente, simulada con la fórmula de Klein – Nishina. Esta versión se verificó mediante la

comparación con la versión anterior para cada tipo de detector y geometría, en el rango de energías

de 300 a 1850 keV y se validó a través de medidas experimentales, por ejemplo: con un detector

de HPGe del tipo p y diferentes geometrías cilíndricas, en el rango de energías de 300 a 1333 keV

[Cornejo Díaz y Pérez Sánchez, 1998].

La tercera versión del código se compiló con el paquete DELPHI 3.0 de la firma BORLAND para

trabajar sobre WINDOWS e incorporó un modelo de detector más complejo, incluyendo los

parámetros ya indicados en la Figura 2.2. A partir de esta versión fue posible entonces la

simulación de detectores de HPGe del tipo n y se extendió el rango de energías hasta 60 keV.

Entre las aplicaciones de esta versión están los estudios sobre la influencia de los parámetros

geométricos de los detectores de HPGe en la eficiencia [Jurado Vargas et. al., 2002a], el cálculo de

las correcciones a la autoabsorción de muestras ambientales en geometrías cilíndricas, para un

rango de energías de 60 – 2000 keV [Jurado Vargas et. al., 2002b] y las estimaciones de

eficiencias de recuento en la medida de actividad de piezas y partes durante el desmantelamiento

de un acelerador lineal de electrones [Mora et. al. 2007]. Entre las validaciones realizadas al

código en esta etapa están la comparación con los resultados del ejercicio de intercomparación

EUROMET 428 [Lépy et. al., 2001] cuyos resultados fueron publicados en [Jurado Vargas et. al.,

2003] y la participación en un ejercicio de intercomparación del Organismo Internacional de

Energía Atómica [IAEA, 2007].

En la cuarta versión de DETEFF se incorporaron numerosas modificaciones: se incluyó la

geometría Marinelli de las muestras, se implementó un procedimiento para considerar el

redondeamiento de las esquinas de los detectores y se sustituyó el generador congruente lineal de

números seudoaleatorios del paquete de Borland – DELPHI por el generador más eficaz

“Mersenne Twister” [Matsumoto y Nishimura, 1998]. Además, se actualizaron los datos de las

secciones eficaces de interacción y se realizaron nuevos ajustes numéricos para facilitar su

utilización. Por otra parte, se sustituyó el método de Everett – Cashwell [Everett y Cashwell, 1970]

por el método combinado de Kahn + Koblinger [Kahn, 1954], [Koblinger, 1975] corregido

mediante la función de dispersión [Baró, et. al., 1994] para el muestreo de la dispersión no

coherente de los fotones (Ver los puntos A1, A2, A4 del Apéndice A), y se incorporó un módulo

para el seguimiento de la radiación característica del Ge, con el objetivo de mejorar la exactitud

de las simulaciones para energías inferiores a 100 keV y extender el límite inferior a 10 keV.

Finalmente, se incluyeron dos módulos para el seguimiento de la radiación de frenado y el escape

Capítulo 4 Descripción del código DETEF

73

de electrones a través de la superficie del cristal, mejorando la exactitud de las simulaciones en el

intervalo de 1500 – 2000 keV. Durante la verificación del programa en esta etapa se realizó una

comparación con el código de uso múltiple MCNP4C [Briesmeister, 2000] para detectores de NaI,

CsI, Si, y HPGe, y diferentes geometrías de medida. Además se compararon los resultados del

código con los obtenidos por códigos de uso múltiple durante ejercicios internacionales de

intercomparación. Por otro lado, se realizó un ejercicio de validación experimental para diferentes

geometrías de medida y un detector HPGe del tipo p, en un rango de 59.54 a 1836.06 keV

[Cornejo Díaz y Jurado Vargas, 2008].

La Figura 4.1 muestra el esquema resumen del desarrollo del código DETEFF, con las

características fundamentales en cada una de sus etapas o versiones. El año entre paréntesis indica

el inicio del desarrollo de la versión correspondiente.

Figura 4.1: Versiones del código DETEFF con algunas de sus características. Geometrías: P- fuentes puntuales, C – fuentes cilíndricas, PR: fuentes rectangulares, PL – fuentes planas, M – fuentes en geometría Marinelli; Interacciones: EF – efecto fotoeléctrico, FP – formación de pares, DNC – dispersión no coherente; Partículas secundarias que se siguen: FDNC: fotones tras la dispersión no coherente, FFP – fotones de aniquilación tras la formación de pares, RX – rayos X característicos para los materiales entre paréntesis, RF – radiación de frenado, EE – escape de electrones. Figura 19

Versión 1(1995)

PlataformaMS-DOS

GeometríasP, C, PR, PL

InteraccionesEF, DNC: Newton, FP

Partículas secundariasFDNC, FFP, RX (NaI, CsI)

Rango100 – 1850 keV

Versión 2(1998)

PlataformaMS-DOS

TURBO - VISION


InteraccionesEF, FP,

DNC: Everett - Cashwell



Versión 3(2001)

PlataformaWINDOWSDELPHI 3






Versión 4(2007)


GeometríasP, C, PR, PL, M


DNC: Kahn + Koblinger

Partículas secundariasFDNC, FFP,

RX (NaI, CsI, Ge), RF, EE


Versión 1(1995)

PlataformaMS-DOS


InteraccionesEF, DNC: Newton, FP



Versión 2(1998)

PlataformaMS-DOS

TURBO - VISION






Versión 3(2001)







Versión 4(2007)


GeometríasP, C, PR, PL, M


DNC: Kahn + Koblinger

Partículas secundariasFDNC, FFP,

RX (NaI, CsI, Ge), RF, EE



74

INICIOInicio del generadorInicialización de variables

INICIALIZACION

Muestreo del punto de origenMuestreo del vector directorAsignación de la energía y el peso estadístico iniciales

GENERACION DE FOTONES

GEOMETRIA

¿ Incide el fotón en el detector ?

Calculo de la atenuación del fotón Ajuste del peso estadístico del fotón

si

¿Interacción dentro del volumen activo?

no

FISICA

Muestreo del recorrido

Muestreo del tipo de interacciónRegistro de la energía depositada Muestreo de los fotones secundarios

¿Necesidad de seguir fotones secundarios?

1

CONTROL ESTADISTICO

¿Número total de fotones?

¿Número total de experimentos?

Incremento del número de exp. Número de fotones = 0

no

si

2

2

Datos del detectorDatos de la fuenteDatos del filtroOpciones de estadística

INTERFAZ DE USUARIO

1no

3

3 4

4

5si

2

5

7

3

SI

1

6

si

no

no

REGISTRO Y SALIDAS

2Adición del peso estadístico del fotón al bin de energía. Energía depositada = 0

6

7Cálculo de eficienciasCálculo de incertidumbres

FIN

¿Se deposita energía en el detector ? 6no si

INICIOInicio del generadorInicialización de variables

INICIALIZACION

Muestreo del punto de origenMuestreo del vector directorAsignación de la energía y el peso estadístico iniciales

GENERACION DE FOTONES

GEOMETRIA

¿ Incide el fotón en el detector ?

Calculo de la atenuación del fotón Ajuste del peso estadístico del fotón

si

¿Interacción dentro del volumen activo?

no

FISICA

Muestreo del recorrido

Muestreo del tipo de interacciónRegistro de la energía depositada Muestreo de los fotones secundarios

¿Necesidad de seguir fotones secundarios?

11

CONTROL ESTADISTICO

¿Número total de fotones?

¿Número total de experimentos?

Incremento del número de exp. Número de fotones = 0

no

si

22

2

Datos del detectorDatos de la fuenteDatos del filtroOpciones de estadística

INTERFAZ DE USUARIODatos del detectorDatos de la fuenteDatos del filtroOpciones de estadística

INTERFAZ DE USUARIO

11no

33

33 44

44

55si

22

55

77

33

SI

11

66

si

no

no

REGISTRO Y SALIDAS

22Adición del peso estadístico del fotón al bin de energía. Energía depositada = 0

66

77Cálculo de eficienciasCálculo de incertidumbres

FIN

¿Se deposita energía en el detector ? 66no si

La estructura del código DETEFF se resume en la Figura 4.2. Como puede apreciarse, el mismo

está compuesto por siete módulos principales con funciones bien definidas. A continuación

describiremos cada uno de estos módulos, con especial énfasis en los procedimientos de

simulación. Los resultados de las validaciones y algunas de las aplicaciones más importantes del

código serán abordados en los Capítulos 5 y 6, respectivamente.

Figura 4.2: Esquema de bloques con la estructura del código DETEFF Figura 20


75

4.2 Interfaz de usuario DETEFF proporciona un sistema de opciones estándar para el manejo de los archivos de datos y

de resultados (Ver Figura B1 del Apéndice B). Los datos relacionados con la modelización de los

sistemas de medida se agrupan en: datos de los detectores, datos de las fuentes, datos de filtros y

datos estadísticos. A continuación abordaremos estas y otras opciones relacionadas con los

resultados de las simulaciones y con las herramientas y sistemas de ayuda incorporados.

4.2.1 Datos de los detectores Los datos para la modelización de los detectores (Ver la Figura 2.2) pueden ser introducidos a

través de las ventanas que se muestran en las Figuras B2 y B3 del Apéndice B. Estos parámetros

se resumen en la siguiente Tabla.

Tabla 4.1 Parámetros incluidos en DETEFF para la modelización de los detectores 2

Detectores

Parámetros Centelleadores De semiconductor

Diámetro del cristal activo

Longitud del cristal activo

Radio de curvatura del redondeamiento de las esquinas

-

Espesor de la capa inactiva frontal -

Espesor de la capa inactiva lateral -

Diámetro del núcleo central inactivo “core” -

Longitud del núcleo central inactivo “core” -

Espesor de la capa inactiva alrededor del “core” -

Distancia cristal – ventana o cristal – cubierta de Al

Diámetro de la cubierta de Al

Espesor de la cubierta frontal de Al

Espesor de la cubierta lateral de Al

Diámetro de la ventana de entrada

Espesor de la ventana de entrada

Coeficiente lineal de atenuación de la ventana de entrada (Calculado automáticamente para materiales predefinidos)

Resolución (para la energía seleccionada)

Nota: La no existencia de ventana de entrada se le indica al código igualando a cero el parámetro: “diámetro de la ventana de entrada”.


76

4.2.2 Datos de las fuentes Las ventanas para la entrada de los parámetros de las fuentes se presentan en las Figuras B4 – B6

del Apéndice B. Las configuraciones principales consideradas en DETEFF son: cilíndricas,

rectangulares y del tipo Marinelli. Como puede notarse, las fuentes puntuales y planas son casos

particulares de las fuentes cilíndricas y rectangulares. Los parámetros para las diferentes

geometrías se especifican en la Tabla 4.2. Las fuentes se consideran centradas axialmente con

relación al detector.

Tabla 4.2 Parámetros incluidos en DETEFF para la modelización de las fuentes 3

Geometría Parámetros Cilíndrica Rectangular Marinelli Energía de los fotones incidentes

Altura del volumen activo de la fuente

Coeficiente lineal de atenuación de la fuente (Calculado automáticamente para materiales predefinidos)

Espesor de las paredes de la fuente

Coeficiente lineal de atenuación de las paredes (Calculado de forma automática para materiales predefinidos)

Distancia fuente - detector

Diámetro del volumen activo de la fuente

- -

Ancho y largo del volumen activo de la fuente

- -

Diámetro exterior del volumen activo de la fuente

- -

Diámetro interior del volumen activo de la fuente

- -

Profundidad del hueco central - -

4.2.3 Datos de los filtros El programa permite considerar la atenuación producida por cualquier material adicional que se

ubique entre la fuente y el detector. Este material se introduce con frecuencia para reducir la

probabilidad de contaminación del detector, al impedir el contacto directo de éste con la muestra a

medir. Para este material, que en DETEFF se denomina “filtro”, se debe definir su espesor y el

coeficiente lineal de atenuación correspondiente a la energía de interés (Ver la Figura B7 del

Apéndice B). En caso de que se coloquen capas de diferentes materiales entre la fuente y el

detector, se deberá definir un coeficiente lineal de atenuación efectivo ( effμ ) para este filtro

hipotético, cuyo espesor será igual a la suma de los espesores de las capas que lo conforman:


77

eff

S

S

n

i ii 1

n

ii 1

=

=

μμ =

∑

∑ (4-1)

siendo iμ y Si el coeficiente lineal de atenuación (sin considerar la dispersión coherente) y el

espesor correspondiente a la capa i, respectivamente. Con n se denota al número total de capas o

materiales interpuestos entre la fuente y el detector.

4.2.4 Datos estadísticos Para estimar la incertidumbre estadística en los valores de eficiencia, el código divide el proceso

de simulación en experimentos independientes. De esta forma, al finalizar la simulación se

calculan los valores medios de las eficiencias obtenidas en cada uno de los experimentos y las

desviaciones estándar correspondientes. La ventana para la entrada del número de experimentos a

considerar y la cantidad de fotones a simular en cada uno de ellos se muestra en la Figura B8 del

Apéndice B. La opción “Randomize” le indica a DETEFF que debe inicializar el generador de

números seudoaleatorios antes de comenzar cada simulación. Si no se selecciona esta opción

DETEFF producirá siempre la misma secuencia de números seudoaleatorios.

4.2.5 Herramientas Para facilitar la entrada de datos de los detectores y las fuentes se incluye una ventana para el

cálculo de los coeficientes lineales de atenuación en algunos de los materiales más comunes en los

laboratorios analíticos dedicados a la vigilancia radiológica ambiental (Ver la Figura B9 del

Apéndice B). En el apartado 4.6 analizaremos la forma en que DETEFF calcula las secciones

eficaces de interacción. Otra de las posibilidades que brinda el código es la selección de un sonido

para indicar el fin de cada simulación. La ventana correspondiente se muestra en la Figura B10 del

Apéndice B.

4.2.6 Resultados de la simulación El código permite visualizar el espectro matemático de distribución de pulsos en tiempo de

ejecución (Ver la Figura B11 del Apéndice B). Esta opción, creada con fines docentes, permite

apreciar la forma del continuo Compton, así como la contribución de los diferentes picos

producidos por el escape de los rayos X característicos y los fotones de aniquilación tras la


78

formación de pares electrón – positrón. Los botones de desplazamiento del cursor permiten ver el

número de cuentas y la energía media de cada canal del espectro.

Los resultados aparecen en la ventana principal del código una vez que culmina la simulación. Si

durante la simulación se ha estado visualizando el espectro de altura de pulsos, entonces es posible

acceder a los resultados a través del menú principal, como se muestra en la Figura B12 del

Apéndice B. En esta figura pueden verse los datos incluidos en el informe de resultados. En el

apartado 4.7 realizamos la descripción de las salidas que brinda el programa.

4.2.7 Sistema de ayuda El código tiene un sistema de ayuda para explicar sus diferentes opciones, propiciando su uso

adecuado y la correcta interpretación de los resultados. La Figura B13 del Apéndice B muestra una

de las ventanas de la ayuda general que facilita la selección de cada uno de los tópicos de su

contenido. Además de esta ayuda se incluye la explicación de cada opción de menú y de cada uno

de los botones de aceleración, cada vez que el indicador del ratón pasa por encima de estos

elementos. En la Figura B14 del Apéndice B aparece, por ejemplo, el significado del botón sobre

el que se encuentra el indicador del ratón.

4.3 Generador de números seudoaleatorios El generador de números seudoaleatorios que se utilizó en las primeras versiones del código

DETEFF es el generador congruente lineal de 32 bits incluido en el paquete de Borland Delphi 3.

La fórmula (3-1) indica su algoritmo, con los valores a = 134775813, c = 1 y m = 232, con un

período igual a 232 ≈ 4.3x109. Este período es adecuado para casi la totalidad de las situaciones

simuladas con DETEFF, donde es suficiente la generación de 108 números aleatorios para obtener

desviaciones estándar relativas del orden del 0.1% en los resultados de eficiencia. Este generador

ha mostrado un funcionamiento aceptable con el código [Cornejo Díaz y Pérez Sánchez, 1998],

[Jurado Vargas et. al., 2003] y fue utilizado con éxito en la resolución de integrales de sexto orden

mediante el método Monte Carlo, durante el cálculo de factores dosimétricos para la radioterapia

metabólica [Cornejo Díaz, et. al., 2006].

El desarrollo de la versión 4.0 de DETEFF incluyó un estudio para evaluar la posibilidad de

aplicar otros generadores de números seudoaleatorios en la simulación estocástica de los sistemas

de espectrometría de la radiación gamma (durante las calibraciones en eficiencia) y seleccionar el

más eficaz para el código. Teniendo en cuenta que no existe un generador ideal, adecuado para

todos los propósitos, y que la “calidad” de cada generador de números seudoaleatorios está


79

estrechamente relacionada con la naturaleza del problema donde se aplica, el estudio se llevó a

cabo en dos etapas: primero se verificaron las propiedades básicas de los generadores mediante

pruebas estadísticas empíricas y luego se implementaron en el programa DETEFF, con el objetivo

de comparar su funcionamiento en esta aplicación.

Los generadores considerados en el estudio, además del Congruente Lineal (CL), fueron los

siguientes:

Generador XorShift (XorS), o generador de desplazamientos de bits [Marsaglia, 2003] (ver el

punto 3.2.1.3), con período 232 -1 94.3 x1 0≈ y secuencia:

( )N N xor N shl 1 = ( )N N xor N shr 3= ( )N N xor N shl 1 0=

Generador de Multiplicación con Acarreo (McA) [Marsaglia, 2003] (Ver el punto 3.2.1.4),

con el siguiente algoritmo general:

n n 1 n 1N a N c mod m; n 1− −= ⋅ + ≥ (4-2),

n 1 n 1n

a N cc

m− −⋅ +⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4-3),

donde: a m 1⋅ − ( km 2= ) debe ser un número primo, para que el período sea k 1a 2 1−⋅ − .

Se adoptó la implementación para Pascal propuesta en [Debord, 2008], que consiste en la

concatenación de dos números aleatorios enteros de 16 bits, obtenidos según las ecuaciones

(4-2) y (4-3). El primero con a1 = 18000 y el segundo con a2 = 30903. Ambos con

módulo m = 216, c0 = 0 y semilla de 16 bits a partir de la división de un número entero de 32

bits. El período de este generador es ( ) ( )1 215 15 17a 2 1 a 2 1 6x10⋅ − ⋅ ⋅ − ≈ .

Generador Mersenne Twister (MT) (Ver el punto 3.2.1.4), con el algoritmo basado en

[Matsumoto y Nishimura, 1998] y ligeras modificaciones según [Vergara, 2008] para su

implementación en Pascal (Ver el Apéndice C). El período de este generador es ≈ 219937 -1.

Generador Universal de Listas Virtuales (ULV), que emplea variables dinámicas para generar

números aleatorios a partir de las direcciones y el contenido de la memoria RAM del sistema.

Se adoptó la implementación en Pascal dada en [Debord, 2008]. Este generador no tiene

período definido.

Generador basado en la Teoría del Caos (TC) [Barberis, 2007]. Según el autor no tiene

período y se basa en la recurrencia:

( )n n 1 n 1x r x 1 x− −= ⋅ ⋅ − (4-4),


80

para r = 4, con la transformación:

n n2y arcsin x= ⋅π

(4-5),

siendo xn y yn números reales en el intervalo (0,1).

4.3.1 Resultados de las pruebas estadísticas empíricas A las secuencias de números seudoaleatorios de los generadores estudiados se les aplicó un

conjunto de pruebas estadísticas empíricas básicas, que evaluaron: el valor medio, los momentos,

la uniformidad y la independencia entre los términos. Luego, cada generador se sometió a una

evaluación más rigurosa mediante el conocido paquete DIEHARD de 15 pruebas estadísticas

[Marsaglia, 1995], que permiten juzgar factores como la independencia entre números

consecutivos, la independencia entre grupos y secuencias de bits, así como la uniformidad en

espacios de varias dimensiones. Los criterios estadísticos se obtuvieron en cada caso según las

pruebas: Student, Chi-cuadrado y Kolmogorov – Smirnov [Cornejo Díaz, et. al., 2009].

Con relación a las pruebas del valor medio, los momentos y la uniformidad, no se observaron

diferencias estadísticas significativas entre las secuencias de números seudoaleatorios de cada uno

de los generadores estudiados y las secuencias de números aleatorios ideales en el intervalo (0,1).

Sin embargo, el generador TC no pasó la prueba básica de la independencia de los términos, que

se implementó a través del test de las sumas de los dados, según [Knuth, 1998]. A continuación

comentamos brevemente los fundamentos de esta prueba y los resultados obtenidos.

La suma de dos números aleatorios enteros consecutivos entre 1 y 6 está en el intervalo entre 2 y

12, con un total de 36 combinaciones diferentes. La Tabla 4.3 recoge los posibles valores de las

sumas con sus probabilidades correspondientes.

Tabla 4.3: Probabilidades de las sumas de dos dados 4 Suma (k) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidad 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36

Para cada generador se simuló un total de n lanzamientos (n = 100000), con 2n números aleatorios.

Denotando como Yk la cantidad de veces en que la suma de los dados es igual a k

{ }k N, 2 k 12∈ ≤ ≤ y como pk la probabilidad de obtener el valor k (segunda fila de la tabla 4.3)

se construyó la estadística:


81

( )212k k

kk 2

Y n pV

n p=

− ⋅=

⋅∑ (4-6),

que debe comportarse como una variable con distribución 2χ con 10 grados de libertad, si los

dados no están cargados, o sea, si los números de la secuencia son independientes.

Con el valor de V según la ecuación (4-6) se obtuvo la probabilidad de que una variable x con

distribución 2χ y 10 grados de libertad sea igual o inferior a V. La prueba se repitió 10 veces para

cada generador y se aplicó el test Kolmogorov – Smirnov, según [Knuth, 1998], al conjunto de los

10 valores ( )2 10p x V ν=χ≤ de cada generador, evaluándose las diferencias máximas positivas

KS+ y negativas KS- entre los valores ( )2 10p x V ν=χ≤ y la frecuencia de su aparición en la

secuencia de 10 simulaciones33. La Tabla 4.4 muestra los valores de probabilidad 10KS+ y 10KS−

para las diferencias KS+ y KS- respectivamente, con 10 grados de libertad.

Tabla 4.4: Resultados del test Kolmogorov Smirnov aplicado a la prueba de dos dados 5

Probabilidad

Generador 10KS+ 10KS−

CL 0,377 0.727 XorS 0.647 0.276 McA 0.673 0.307 MT 0.417 0.321

ULV 0.673 0.307 TC 1.000 1.000

La prueba de los dados se repitió considerando 3, 4, 5 y 6 dados. Los resultados fueron similares a

los indicados en la Tabla 4.4. Se aprecia que en el caso del generador TC las diferencias KS+ y

KS- son con total certeza superiores a las que deberían obtenerse si el estadígrafo V, construido

según la ecuación (4-6), siguiera una distribución 2χ . Como resultado de la falta de

independencia entre los elementos consecutivos de la serie de números seudoaleatorios producida

con el generador TC, la prueba de correlación gráfica básica a este generador no muestra puntos

uniformemente distribuidos en el volumen de interés ((0,1) x (0,1)), sino que se aprecian patrones

muy bien definidos, como en la Figura 4.3. A modo de comparación, en la Figura 4.4 se muestra

una distribución típica de puntos obtenida con una secuencia de números seudoaleatorios del

generador MT. Imágenes similares se obtienen tras aplicar la prueba de correlación gráfica básica

a los generadores: CL, XorS, McA y ULV.

Los resultados de las pruebas estadísticas del paquete DIEHARD, según [Marsaglia, 1995],

aplicadas a los generadores estudiados se muestran en la Tabla 4.5.

33Los valores de p deben estar uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1)


82

0 10

1

a0 1

0

1

0 10

1

a0 1

0

1

b0 1

0

1

0 10

1

b

00 1

1

00 1

1

Figura 4.3: Gráfico de distribución de puntos ( ) j kj 1 k(x , x )⋅− ⋅

{ }1 j n ;≤ ≤ κ∈ Ν (n = 105),

obtenidos con el generador TC, a) k = 2, b) k = 3. El número de picos es igual a 2k-1.Figura 21 Figura 4.4: Distribución de puntos ( ) jj 1(x , x )−

{ }1 j n≤ ≤ (n = 105) del generador MT Figura

22 Como puede observarse en la Tabla 4.5 y en particular, en los resultados de los tests OPSO, OQSO

y DNA, en los números seudoaleatorios obtenidos con el generador TC sólo son independientes

los bits menos significativos. Lo anterior explica los pobres resultados de este generador en las

pruebas básicas que evalúan la independencia de números reales, como por ejemplo, las pruebas

de las sumas y de correlación gráfica, comentadas con anterioridad. Por otro lado, los generadores

CL y XorS proporcionan secuencias de números seudoaleatorios en las que la independencia de

las secuencias de bits puede comprobarse sólo en los bits más significativos. Este hecho pudiera

ser poco relevante en aquellas aplicaciones que utilizan secuencias de números reales, pues la falta

de aleatoriedad deberá aparecer tras algunos lugares detrás del punto decimal. Las secuencias de

bits obtenidas con los generadores McA, MT y ULV pasan todas las pruebas de la batería

DIEHARD.

Los resultados de las pruebas estadísticas empíricas proporcionan cierto nivel de confianza con

relación al uso de los generadores MT, McA, ULV, XorS, y CL en la simulación de los sistemas

de espectrometría de radiación gamma. Por otro lado, sugieren que el generador TC pudiera no ser

adecuado para estos fines. Algunas variables, como la velocidad, el período y los requerimientos


83

para la inicialización de las secuencias de números seudoaleatorios deben evaluarse también a la

hora de seleccionar un generador para una aplicación determinada.

Tabla 4.5: Resultados de las pruebas estadísticas del paquete “DIEHARD”, [Marsaglia, 1995]6

Generadores Prueba CL XorS McA MT ULV TC

Birthday Spacing (repeticiones de espacios entre números de 24 bits)

(1 – 24) al (6 – 29) Si Si Si Si (4 – 27) al

(9 – 32)

The Overlaping 5- Permutation (cantidad de ordenamientos de 5 enteros de 32 bits)

Si Si Si Si Si No

Binary Rank 31 x 31 (rango de matrices de 31 x 31 bits) Si No Si Si Si Si

Binary Rank 32 x 32 (rango de matrices de 32 x 32 bits) Si No Si Si Si Si

Binary Rank 6 x 8 (rango de matrices de 6 x 8 bits)

(1 – 8) al (14 – 21)

(1 – 8) al (17 – 24) Si Si Si (15 – 22) al

(25 – 32) Bit Stream (palabras de 20 bits solapados, que faltan)

No Si Si Si Si No

OPSO (palabras de 2 letras solapadas de 10 bits, que faltan)

(1 – 10) al (6 – 15)

(1 –10) al (14 – 23) Si Si Si (21 – 30) al

(23 – 32)

OQSO (palabras de 4 letras solapadas de 5 bits, que faltan)

(1 – 5) al (5 – 9)

(1 – 5) al (19 – 23) Si Si Si (22 – 26) al

(28 – 32)

DNA (palabras de 10 letras solapadas de 2 bits, que faltan)

(1 – 2) al (5 – 6) Si Si Si Si (19 – 20) al

(31 – 32)

Count the 1’s (palabras de cinco letras solapadas, definidas con la cantidad de “1” en un byte)

(1 – 8) al (15 – 22)

(1 – 8) al (16 – 23) Si Si Si (17 – 24) al

(25 – 32)

Parking Lot (distribución de números reales en 2 dimensiones)

Si Si Si Si Si No

Minimum Distance (distribución de números reales en 2 dimensiones)

Si Si Si Si Si No

3D Spheres (distribución de números reales en 3 dimensiones)

Si Si Si Si Si No

Sqeeze (secuencia de números reales) Si Si Si Si Si No

Overlapping Sums (sumas de números reales solapados)

Si Si Si Si Si No

Runs (incrementos y decrementos en secuencia de números reales)

Si Si Si Si Si No

Craps (número de victorias y cantidad de lanzamientos en juego de 2 dados)

Si Si Si Si Si No

Nota: Las pruebas: OPSO, OQSO y DNA se consideran variantes de una denominada “Monkey”. Entre paréntesis se indican los grupos de bits para los que resulta satisfactoria la prueba.


84

4.3.2 Evaluación del funcionamiento de los generadores en el programa DETEFF

Los generadores estudiados se implementaron en el código DETEFF con el objetivo de realizar

una evaluación más específica de su funcionamiento durante la simulación estocástica de sistemas

de espectrometría de radiación gamma [Cornejo Díaz, et. al., 2009]. Se realizaron cálculos con dos

procesadores diferentes: Centrino Duo T5600 (2 x 1.83 GHz) e Intel Dual Core (2 P4 3GHz), para

un detector de HPGe tipo p y una muestra de agua en geometría Marinelli, con energías de

radiación gamma entre 59 y 1800 keV. Los parámetros del detector y la fuente se seleccionaron

iguales que en uno de los ejercicios de validación experimental del código DETEFF, durante el

cual se había utilizado el generador CL [Cornejo Díaz y Jurado Vargas, 2008]. El número de

fotones a generar se seleccionó igual a 1x108 para mantener las desviaciones estándar relativas en

el orden del 0.2%. Las Tablas 4.6 y 4.7 recogen los resultados obtenidos con el procesador

Centrino Duo e Intel Dual Core, respectivamente. Estos resultados se presentan en forma de

desviaciones relativas entre los valores de eficiencia calculados con los generadores MT, McA,

ULV, XorS y TC y los calculados con el generador CL. En la Figura 4.5 se muestran los valores

correspondientes de eficiencia para los generadores CL y TC, obtenidos con el procesador

Centrino Duo.

Tabla 4.6: Desviaciones relativas entre los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total calculados con diferentes generadores y los obtenidos con el generador CL, utilizando un procesador (CPU) Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz. 7

Desviación (%) Energía MT McA ULV XorS TC

59.54 -0.01 -0.01 -0.04 0.06 -4.46 245.35 -0.15 -0.04 0.00 -0.07 -5.99 661.66 -0.19 0.10 0.00 0.00 4.28 1033.50 -0.03 -0.06 -0.16 -0.14 3.65 1332.49 -0.33 0.09 0.23 -0.09 -4.09 1836.06 0.27 0.09 0.00 0.18 0.66

Tabla 4.7: Desviaciones relativas entre los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total calculados con diferentes generadores y los obtenidos con el generador CL, utilizando un CPU Intel Dual Core 3 GHz. 8

Desviación (%) Energía MT McA ULV XorS TC

59.54 - 0.04 - 0.01 - 0.04 - 0.04 - 4.48 245.35 0.04 0.11 0.11 0.07 - 5.89 661.66 0.00 0.10 0.10 - 0.10 4.28 1033.50 0.06 0.09 0.21 0.10 3.87 1332.49 - 0.23 0.09 0.09 0.09 - 4.01 1836.06 0.16 0.11 0.11 0.23 0.63


85

1,00E-03

6,00E-03

1,10E-02

1,60E-02

2,10E-02

2,60E-02

0 500 1000 1500 2000

Energía (keV)

Efic

ienc

ia

Figura 4.5: Valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total calculados con el generador CL (puntos) y con el generador TC (triángulos). Las líneas discontinuas unen los valores del generador CL. Figura 23 De acuerdo con las Tablas 4.6 y 4.7, tras aplicar el test de Student para la igualdad de los valores

medios, las desviaciones relativas entre los valores de eficiencia calculados con los generadores

CL, MT, McA, ULV y XorS no son estadísticamente significativas. Sin embargo, como se

esperaba de las pruebas anteriores, el generador TC introduce un sesgo significativo en los valores

de eficiencia.

La Figura 4.6 muestra los tiempos de CPU requeridos para una de las energías. Para el resto de las

energías los gráficos son muy similares, indicando que la velocidad de los generadores CL, MT,

McA, ULV y XorS estudiados no constituye el factor determinante en su selección. El tiempo

requerido por estos generadores para producir la secuencia de números seudoaleatorios en cada

simulación constituye una pequeña fracción, del orden de un 1 % del tiempo de cálculo total.

En principio, cualquiera de los generadores: CL, MT, McA, ULV o XorS pudiera utilizarse en la

simulación estocástica de los sistemas de espectrometría de radiación gamma durante las

calibraciones en eficiencia. Según las pruebas estadísticas empíricas realizadas, los de mejor

funcionamiento son los generadores: MT, McA y ULV. La selección del MT para su

implementación en la Versión 4 del programa DETEFF se basó además en los factores que

analizaremos a continuación.


86

0,00E+00

1,00E+02

2,00E+02

3,00E+02

4,00E+02

5,00E+02

Tiem

po d

e C

PU (s

)

CL MT McA XorS ULV TCGeneradores

Figura 4.6: Tiempos de CPU de los generadores estudiados para la energía de 661.66 keV, simulada con el procesador Centrino Duo Figura 24

Si bien el generador ULV produce secuencias de números seudoaleatorios sin período y puede ser

utilizado en criptografía, pues el estado “n+1” no puede ser determinado del estado “n”, este

generador no permite repetir la misma secuencia de números aleatorios, porque aunque se

mantenga constante la semilla (valor inicial), la secuencia se inicializa con valores diferentes

según el contenido de la memoria RAM. Esto puede ser un inconveniente durante los procesos de

depuración de errores y de validación de los códigos de simulación estocástica. El generador MT

se inicializa con cualquier semilla y su período es muy superior al período del generador McA

estudiado, cuya semilla debe ser un número mayor que 216, por lo que pudiera necesitar de un

algoritmo complementario, por ejemplo, en el caso de inicializarse la secuencia con el reloj del

ordenador.

La implementación del generador MT en lenguaje Turbo Pascal, según [Vergara, 2008], se

muestra en el Apéndice C. Este generador permite la obtención de números reales uniformemente

distribuidos en el intervalo [0,1).


87

X

Y

Z

Hm

Dm

X

Y

Z

Hm

Dm

4.4 Generación de fotones en el interior de la fuente Para muestrear el punto de origen del fotón en la fuente se asume una distribución uniforme de la

actividad, por lo que el punto de origen es una variable uniformemente distribuida en todo el

volumen de la fuente a simular. Las coordenadas del punto de origen de cada fotón son por tanto

generadas a partir del método de inversión indicado en el punto 3.3.2.1, combinado con el método

de muestreo de variables multidimensionales, según el punto 3.3.2.6. Como función de densidad

de probabilidad se ha utilizado la función que describe un elemento de volumen, normalizada con

el volumen de la fuente34. Seguidamente son analizados los procedimientos de muestreo para

geometrías cilíndricas, rectangulares y de tipo Marinelli.

Para las fuentes cilíndricas, el sistema de coordenadas que se utiliza es el indicado en la Figura 4.7.

Este sistema tiene como origen el centro geométrico de la fuente y el detector es colocado sobre la

misma, con objeto de que la coordenada “Z” del vector director de los fotones generados no adopte

valores negativos. Denotando por Hm y Dm la altura y el diámetro de la fuente, respectivamente,

el procedimiento empleado para el muestreo del punto de origen ( )0 0 0 0r x , y , z≡ur

de los fotones

en coordenadas cilíndricas es el indicado en el diagrama de la Figura 4.8. En esta secuencia son

generados tres números aleatorios 1 2 3, , γ γ γ , uniformemente distribuidos en el intervalo [0,1)

para obtener las componentes ϕ (ángulo azimutal), ρ (radio) y Z (altura).

Figura 4.7: Sistema de coordenadas utilizado por DETEFF en la simulación de fuentes cilíndricas Figura 25

34 Se refiere al volumen activo de la fuente


88

1γ

12ϕ = π ⋅ γ 2γ

2D m

2ρ = ⋅ γ 3γ

( )0 3H mz 1 2

2= ⋅ − ⋅ γ

0x co s= ρ ⋅ ϕ

0y s in= ρ ⋅ ϕ

1γ

12ϕ = π ⋅ γ 2γ

2D m

2ρ = ⋅ γ 3γ

( )0 3H mz 1 2

2= ⋅ − ⋅ γ

0x co s= ρ ⋅ ϕ

0y s in= ρ ⋅ ϕ

X

Y

Z

Lm Am

Hm

X

Y

Z

Lm Am

Hm

Figura 4.8: Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes cilíndricas

Figura 26

Para las fuentes rectangulares, el sistema de coordenadas utilizado es el que se indica en la Figura

4.9. Al igual que para las fuentes cilíndricas, el sistema tiene su origen en el centro geométrico de

la fuente y el detector se sitúa sobre la misma.

Figura 4.9: Sistema de coordenadas utilizado por DETEFF en la simulación de fuentes rectangulares Figura 27


89

1γ

( )0 1Amx 2 12

= ⋅ ⋅ γ − 2γ

( )0 2Lmy 2 12

= ⋅ ⋅ γ − 3γ

( )0 3Hmz 2 1

2= ⋅ ⋅ γ −

1γ

( )0 1Amx 2 12

= ⋅ ⋅ γ − 2γ

( )0 2Lmy 2 12

= ⋅ ⋅ γ − 3γ

( )0 3Hmz 2 1

2= ⋅ ⋅ γ −

Denotando por Hm, Am y Lm la altura, el ancho y el largo de la fuente35, respectivamente, el

procedimiento para el muestreo del punto de origen ( )0 0 0 0r x , y , z≡ur

de los fotones en

coordenadas rectangulares es el indicado en el diagrama de la Figura 4.10. Al igual que en la

geometría cilíndrica, se generan tres números aleatorios 1 2 3, , γ γ γ , uniformemente distribuidos

en el intervalo [0,1).

Figura 4.10: Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes rectangulares Figura 28

Para las fuentes con geometría Marinelli, el sistema de coordenadas que se utiliza es el que se

muestra en la Figura 4.11. La fuente aparece invertida con el objetivo de que la coordenada “Z”

del vector director de cada fotón generado sea un número mayor o igual a cero. El eje de

coordenadas en este caso tiene su origen sobre el eje principal del recipiente, en la base del hueco.

Denotando por Hm la altura de la fuente36 en el recipiente Marinelli, Hd la profundidad del hueco

central del recipiente, en el que se introduce el detector, Or el radio más externo de la fuente e Ir el

radio interno o radio del hueco central, el procedimiento para el muestreo del punto de origen

( )0 0 0 0r x , y , z≡ur

de los fotones es el indicado en el diagrama de la Figura 4.12. En esta secuencia

se generan como máximo cuatro números aleatorios 1 2 3 4, , ,γ γ γ γ , uniformemente distribuidos en

el intervalo [0,1).

Tras generar el punto de origen del fotón en la fuente, se muestrea su vector director, el cual

indicará la dirección de emisión del fotón. Este vector tiene una distribución uniforme en todo el

ángulo sólido 4π sr. Lo anterior equivale a muestrear un punto uniformemente distribuido en la

superficie de una esfera de radio unitario, centrada en el origen del sistema de coordenadas. El

muestreo del vector director se realiza entonces en coordenadas esféricas a partir de dos números

aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [0,1). La Figura 4.13 representa las

coordenadas del vector director en el sistema de coordenadas esféricas y cartesianas.

35, 35 Se refiere al volumen activo de la fuente.


90

X

Y

Z

HmHd

Or

Ir

X

Y

Z

HmHd

Or

Ir

γ1, γ2, γ3, γ4 γ1, γ2, γ3

( )21V Or Hm Hd= π⋅ ⋅ − ( )2 2

2V Hd Or Ir= π⋅ ⋅ − T 1 2V V V= +

( )¿ Hm Hd ?>

( )0 1z Hd Hm Hm= − + ⋅ γ( )0 2z Hd Hm= − ⋅ γ0 2z Hd= ⋅ γ

( )2 2 23Ir Or Irρ = + γ ⋅ − 3Orρ = ⋅ γ ( )2 2 2

2Ir Or Irρ = + γ ⋅ −

42φ = π⋅ γ 32φ = π⋅ γ0x cos= ρ⋅ ϕ

0y sin= ρ⋅ ϕ

+ -

-+1

1T

V¿ ?V

⎛ ⎞γ >⎜ ⎟⎝ ⎠

γ1, γ2, γ3, γ4 γ1, γ2, γ3

( )21V Or Hm Hd= π⋅ ⋅ − ( )2 2

2V Hd Or Ir= π⋅ ⋅ − T 1 2V V V= +

( )¿ Hm Hd ?>

( )0 1z Hd Hm Hm= − + ⋅ γ( )0 2z Hd Hm= − ⋅ γ0 2z Hd= ⋅ γ

( )2 2 23Ir Or Irρ = + γ ⋅ − 3Orρ = ⋅ γ ( )2 2 2

2Ir Or Irρ = + γ ⋅ −

42φ = π⋅ γ 32φ = π⋅ γ0x cos= ρ⋅ ϕ

0y sin= ρ⋅ ϕ

+ -

-+1

1T

V¿ ?V

⎛ ⎞γ >⎜ ⎟⎝ ⎠

Figura 4.11: Sistema de coordenadas utilizado por DETEFF en la simulación de fuentes con geometría Marinelli Figura 29

Figura 4.12: Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes con

geometría Marinelli Figura 30


91

Z

Y

X

θ

ϕ

wz

wx

wy

wuuv

Z

Y

X

θ

ϕ

wz

wx

wy

wuuv

Figura 4.13: Representación del vector director unitario wuuv

con sus coordenadas esféricas ( ), θ ϕ y cartesianas (wx, wy, wz) Figura 31

El procedimiento utilizado en DETEFF para el muestreo del vector director aparece representado

en el diagrama de flujo de la Figura 4.14. Se emplea el método de inversión indicado en el punto

3.3.2.1, combinado con el método de muestreo de variables multidimensionales, según el punto

3.3.2.6. Como función de densidad de probabilidad se utiliza la función que describe un elemento

de área en una superficie esférica con radio unitario, centrada en el punto de origen del fotón y

normalizada con el área de dicha superficie. La distribución de probabilidad para cada variable de

las coordenadas esféricas (θ,ϕ) es deducida entonces de sus funciones marginales de densidad de

probabilidad según:

Máx Máx2 2. .

0 0 0 0

dS sin d d S sin d d d sin dθ θπ π

= θ⋅ θ⋅ ϕ⇒ = θ⋅ θ⋅ ϕ = ϕ⋅ θ⋅ θ∫ ∫ ∫ ∫ (4-7),

( )´

0

1 1P ´ d ´2 2

ϕ

ϕ ≤ ϕ = ⋅ ϕ = ϕπ π∫ (4-8),

( )Máx. Máx.

´

0

1 1 cos ´P ´ sin d1 cos 1 cos

θ− θθ ≤ θ = ⋅ θ ⋅ θ =

− θ − θ∫ (4-9)

El muestreo de las funciones de distribución de probabilidad (4-8) y (4-9) se realiza en el intervalo

(0 ≤ P < 1). Para geometrías cilíndricas y rectangulares Máx 2

πθ = , mientras que para fuentes en

geometría Marinelli Máxθ = π .


92

γ1, γ2

¿GeometríaMarinelli?

2sin 1 cosθ = − θ

1cos 1 2θ = − γ 1cos θ = γ

22ϕ = π⋅ γ

-+

xw sin cos= θ⋅ ϕ yw sin sin= θ⋅ ϕ zw cos= θ, ,

γ1, γ2

¿GeometríaMarinelli?

2sin 1 cosθ = − θ

1cos 1 2θ = − γ 1cos θ = γ

22ϕ = π⋅ γ

-+

xw sin cos= θ⋅ ϕ yw sin sin= θ⋅ ϕ zw cos= θ, ,

Figura 4.14: Diagrama del procedimiento de muestreo del vector director de emisión del fotón, siendo 1γ , 2γ dos números aleatorios con distribución uniforme en el intervalo [0,1) Figura 32

En el caso de las geometrías cilíndricas y rectangulares, por razones geométricas apreciables en las

figuras 4.7 y 4.9, no es necesario muestrear el vector director en todo el espacio (4π sr.). En estos

casos, con el objetivo de agilizar las simulaciones, el vector director se genera sólo en el semi-

espacio definido por el valor no negativo de la coordenada “Z”, de conformidad con el método de

estratificación comentado en el punto 3.4.5.3. Esta técnica de reducción de varianza requiere la

asignación de un peso estadístico a cada fotón generado, como corrección al sesgo introducido.

De acuerdo con la expresión (3-31), el peso estadístico de los fotones generados en las fuentes

cilíndricas y rectangulares es 0

1W 2= , mientras que el peso estadístico de los fotones generados

en fuentes con geometría Marinelli es 0W 1= .


93

4.5 Análisis geométrico Debido a que en DETEFF los modelos de detectores y fuentes están construidos con planos y

cilindros, la realización de los cálculos geométricos se simplifica y requiere poco tiempo de

trabajo del CPU. A continuación describiremos brevemente los procedimientos utilizados por el

código, siguiendo los postulados básicos I y IV del apartado 3.4.

4.5.1 Determinación de la incidencia de los fotones en el volumen activo del detector

Una vez que el fotón se genera en la fuente, es necesario verificar que éste incide en el volumen

activo del detector, o sea, que existe algún punto de intersección de la trayectoria rectilínea del

fotón con la superficie exterior del volumen activo del cristal. La trayectoria del fotón se describe

mediante la ecuación de una recta:

0r r t w= + ⋅r r r (4-10),

siendo: rr el vector de posición del fotón, 0rr

el punto de origen del fotón en la fuente, wr el

vector de dirección del movimiento del fotón y “t” el recorrido del fotón desde el punto de origen

0rr

hasta el punto rr .

Las dos superficies circulares planas del cristal (inferior y superior) pueden representarse mediante

las ecuaciones37:

Iz z= ∩ 2 2 2x y R+ ≤ (4-11),

y Sz z= ∩ 2 2 2x y R+ ≤ (4-12),

siendo R el radio del volumen activo del detector, y ZI y ZS las coordenadas de las superficies

planas del cristal en el eje “Z”.

Por otro lado, la superficie cilíndrica lateral del cristal puede escribirse como:

2 2 2x y R+ = ∩ I Sz z z≤ ≤ (4-13),

Entonces, para cualquier punto de intersección de la recta (4-10) con alguna de las superficies

planas del detector, dadas por las ecuaciones (4-11) y (4-12) debe cumplirse:

I 0

z

z zt

w−

= ó s 0

z

z zt

w−

= , ( ) ( ){ }0 022 2

x yt 0, x t w y t w R≥ + ⋅ + + ⋅ ≤ (4-14),

37x,y,z son coordenadas en el sistema cartesiano de las Figuras 4.7, 4.9 y 4.11 para fuentes cilíndricas,

rectangulares y en geometría Marinelli, respectivamente.


94

Para que exista un punto de intersección de la recta (4-10) con la superficie lateral del detector

deberá haber al menos un número t 0≥ que sea solución de la ecuación cuadrática:

( ) ( )2 2 2 2 2 20 0 0 0x y x yw w t 2 x w y w t x y R 0+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + − = (4-15),

tal que:

I 0 Szz z t w z≤ + ⋅ ≤ (4-16)

Cada vez que se genera un fotón, se incrementa en uno el número de fotones simulados. Si el fotón

no incide en el volumen activo del detector se considera que tiene una probabilidad despreciable

de contribuir a la eficiencia absoluta en el pico de absorción total, por lo que de conformidad con

el método de truncamiento geométrico (punto 3.4.5.1) se termina su historia y se genera otro fotón.

Si, por el contrario, se comprueba su incidencia en el volumen activo del detector, entonces se

ajusta su peso estadístico (ver el punto siguiente) para tener en cuenta las posibles interacciones

antes de llegar al medio de detección, y se continúa su seguimiento a partir del punto de entrada en

el detector.

4.5.2 Correcciones por atenuación fotónica en su recorrido hacia el detector

Debido a que DETEFF ha sido concebido específicamente para el cálculo de la eficiencia absoluta

en el pico de absorción total, utiliza un método no análogo para considerar las pérdidas de cuentas

en el pico de absorción total debidas a la interacción de los fotones en los diferentes materiales

encontrados entre el punto de origen en la fuente y el volumen activo del detector. Estos materiales

pueden ser el propio material de la fuente, las paredes del recipiente que la contiene, cualquier

material interpuesto entre la fuente y el detector, la ventana de entrada del detector, la cubierta y el

soporte del detector, así como la capa muerta en los detectores de semiconductor.

El método de reducción de varianzas utilizado puede deducirse del “muestreo modificado

mediante interacciones forzadas”, comentado en el punto 3.4.5.3, sólo que en este caso sucede

todo lo contrario: los volúmenes por los que atraviesan los fotones no son de interés para los

resultados de la simulación, y la simulación detallada en esos volúmenes hace menos eficientes los

cálculos. De esta forma, en el punto de entrada al volumen activo del detector el peso estadístico

de los fotones se reduce acorde con la probabilidad de transmisión en su recorrido desde el punto

de origen en la fuente. El peso estadístico de cada fotón se calcula entonces según la conocida

ecuación:

0

ndi i

i 1W W exp ⋅

=

⎛ ⎞= ⋅ − μ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (4-17),


95

siendo: 0W el peso estadístico inicial del fotón, iμ el coeficiente lineal de atenuación (sin

considerar la dispersión coherente) del material “i” para la energía inicial de los fotones, di el

recorrido del fotón en el material38 “i” y n la cantidad de materiales considerados. El coeficiente

lineal de atenuación representa la sección eficaz macroscópica total de interacción de los fotones.

Se calcula sumando las secciones eficaces macroscópicas de los procesos de interacción

considerados. Como veremos en el apartado 4.6, estos valores se obtienen a partir de la base de

datos XCOM [Berger, et. al., 1999].

4.5.2.1 Recorrido de los fotones en el interior de la fuente

Las superficies de las fuentes cilíndricas se representan con ecuaciones similares a las indicadas

para los detectores, (ecuaciones (4-11) a (4-13)) haciendo la sustitución

I SHm Hm Dmz , z , R2 2 2

−= = = , según los parámetros de la Figura 4.7.

Según la Figura 4.9, las seis superficies planas de las fuentes rectangulares se representan como:

Amx2

= ∩ Lm Lm Hm Hmy z2 2 2 2

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ ∩ ≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4-18)

Amx2

−= ∩ Lm Lm Hm Hmy z2 2 2 2

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ ∩ ≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4-19)

Lmy2

= ∩ Am Am Hm Hmx z2 2 2 2

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ ∩ ≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4-20)

Lmy2

−= ∩ Am Am Hm Hmx z2 2 2 2

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ ∩ ≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4-21)

Hmz2

= ∩ Am Am Lm Lmx y2 2 2 2

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ ∩ ≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4-22)

Hmz2

−= ∩ Am Am Lm Lmx y2 2 2 2

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ ∩ ≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4-23)

Por otro lado, de acuerdo con la Figura 4.11, las superficies de interés en la geometría Marinelli

son:

z 0= ∩ 2 2 2x y Ir+ ≤ (4-24)

2 2 2x y Ir+ = ∩ 0 z Hd≤ ≤ (4-25)

z Hd= ∩ 2 2 2 2Ir x y Or≤ + ≤ (4-26)

38 Nótese que estos materiales se consideran medios homogéneos


96

El recorrido del fotón en la fuente se calcula como la distancia entre el punto de origen

( )0 0 0 0r x , y , z≡ur

y el punto de intersección de la recta (4-10) con una de estas superficies que

describen los límites del volumen activo de la fuente. Este punto de intersección se obtiene por

ejemplo, buscando las soluciones de ecuaciones similares a la (4-14) para superficies planas, ó a la

(4-15) para superficies cilíndricas.

4.5.2.2 Recorrido de los fotones en otros medios

En DETEFF, la distancia recorrida por los fotones en medios como la pared del recipiente, los

filtros interpuestos entre la fuente y el detector, la ventana de entrada del detector, la cubierta y el

soporte del detector, o la capa muerta (en el caso de detectores de semiconductor), se calcula de

forma similar al recorrido en el interior de la fuente. En el caso de materiales entre superficies

planas perpendiculares a alguno de los ejes de coordenadas, como son: las paredes de las fuentes

rectangulares, la ventana de entrada del detector, la capa muerta frontal en los detectores de

semiconductor, o los filtros interpuestos entre una fuente cilíndrica o rectangular y el detector, una

vez verificado el paso del fotón por ambos planos, el recorrido d se calcula simplemente mediante

la fórmula:

j

sdw

= , { }jw 0≠ (4-27),

siendo s el espesor del material y jw la componente del vector director en el eje “j” perpendicular

a los planos que contienen el material.

4.5.3 Redondeamiento de las esquinas del detector Como comentamos en el punto 2.2.3, el redondeamiento de las esquinas en los detectores de

semiconductor se realiza durante su proceso de fabricación con el objetivo de eliminar las zonas

cuyo potencial eléctrico es muy débil, para conseguir una recolección más homogénea de las

cargas eléctricas en todo el volumen activo del cristal. La influencia del redondeamiento de las

esquinas en la eficiencia ha sido demostrada por algunos autores. Aunque este efecto depende de

las dimensiones del cristal, debe tenerse en cuenta en muchos de los casos para evitar desviaciones

significativas en los valores de eficiencia obtenidos mediante la simulación estadística, en

particular para bajas energías de los fotones, [Hurtado et. al., 2004], [Dryak y Kovar, 2006],

[Gasparro, et. al., 2008].

Para tener en cuenta el efecto de las esquinas, pudiera utilizarse la superficie curva que se muestra

en la Figura 4.15 (A), cuya ecuación puede escribirse como:


97

r0

Detector

Z

X, Y

ALTBD

R

A

r0

Detector

Z

X, Y

ALTBD

R

A

r0

Detector

Z

X, Y

ALTBD

R

E E

B

r0

Detector

Z

X, Y

ALTBD

R

E E

B

2

2 20

0

ALTBD zx y R r 1 1 1 r

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟+ = − ⋅ − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(4-28)

{ }0z ALTBD, ALTBD r∈ + ,

donde: 0r denota el radio de curvatura de la esquina, R representa el radio del cristal y ALTBD

denota la altura de la base del detector con relación al origen de coordenadas (Ver la Figura 4.15

(A)).

Figura 4.15: Representación de las variables para considerar el redondeamiento de las esquinas del detector Figura 33

La búsqueda del punto de intersección de la recta (4-10) con la curva (4-28) pudiera realizarse, en

principio, mediante métodos numéricos de iteración. Este procedimiento ralentiza la simulación y

requiere de un algoritmo adicional para seleccionar adecuadamente el valor inicial de la variable t,

que denota el recorrido del fotón. En DETEFF hemos optado por un procedimiento más sencillo,

representado en la Figura 4.15 (B). Como puede apreciarse, la esquina redondeada se aproxima

con una superficie plana con forma de cono truncado, cuya ecuación es:

( )22 2x y R E ALTBD z + = − − + { }z ALTBD, ALTBD E∈ + (4-29),

siendo: 0E 0.5858 r= ⋅ , y el resto de los parámetros iguales a los de la expresión (4-28).


98

En este caso, la ecuación para calcular el punto de intersección de la recta (4-10) con la superficie

(4-29) tiene solución analítica. Esta aproximación se sustenta además por el hecho de que las

esquinas de los detectores no son perfectamente redondeadas.

Para evaluar la importancia de considerar el redondeamiento de las esquinas se utilizó un modelo

del detector de HPGe GMX-40195-P (tipo n) de la firma CANBERRA, con un 40% de eficiencia

(1.33 MeV). Se compararon los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total para

una fuente puntual situada a distintas distancias del detector, considerando el redondeamiento de

las esquinas y sin considerar este efecto. Como puede apreciarse en la Figura 4.16, este detector

presenta un radio de curvatura importante en sus esquinas superiores. Las simulaciones se

realizaron con los parámetros que se resumen en la Tabla 4.8. Los valores correspondientes al

diámetro del detector, la altura y el redondeamiento de las esquinas se obtuvieron a partir de la

información proporcionada por el fabricante y también mediante radiografías, como la que se

muestra en la Figura 4.16. El resto de los parámetros se ajustaron a partir de la comparación de los

resultados experimentales con los obtenidos mediante la simulación con DETEFF para una fuente

puntual a varias distancias del detector, aplicando el procedimiento general indicado en [Hurtado

et. al., 2004].

Figura 4.16: Radiografía del detector de HPGe modelo GMX-40195-P (tipo n) de la firma CANBERRA Figura 34


99

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 160

2

4

6

8

10

12

Des

viac

ión

(%)

Distancia a la ventana (cm)

30 keV 60 keV 100 keV 200 keV 500 keV

Tabla 4.8: Parámetros del detector HPGe utilizado en el estudio Tabla 9

Parámetros del detector Valores (mm) Diámetro del cristal de Ge 58.0 Longitud del cristal de Ge 80.0 Radio de curvatura de las esquinas 5.0 Espesor de la capa muerta frontal de Ge 0.003 Espesor de la capa muerta lateral de Ge 0.003 Espesor de la capa muerta interna del Core 1.0 Distancia entre el cristal y el criostato 5.0 Diámetro del Core interno 13.0 Longitud del Core interno 69.0 Espesor de la cubierta + el soporte de Al 1.0 Radio de la ventana de Be 32.0 Espesor de la ventana de Be 0.5 Diámetro exterior de la cubierta del criostato 70.0

La Figura 4.17 muestra las desviaciones de los valores de eficiencia obtenidos sin considerar el

redondeamiento de las esquinas con relación a los valores de eficiencia considerando el

redondeamiento. Como se puede apreciar, las desviaciones son considerables para energías de los

fotones inferiores a 100 keV y sobre todo para distancias intermedias, donde es mayor la

contribución de las esquinas al ángulo sólido efectivo total visto desde la fuente.

Figura 4.17: Desviación relativa por el efecto de redondeamiento de las esquinas en función de la distancia entre la fuente puntual y la ventana del detector, para diferentes valores de energía de los fotones Figura 35


100

4.6 Simulación de los procesos físicos en el interior del detector

4.6.1 Tipos de interacción. Secciones eficaces En correspondencia con el punto 2.3.1, los procesos de interacción de los fotones que hemos

considerado en el código DETEFF son: el efecto fotoeléctrico, la dispersión inelástica y la

formación de pares electrón - positrón. Las secciones eficaces correspondientes se obtienen de

funciones analíticas ajustadas a partir de valores discretos proporcionados por la base de datos del

sistema XCOM [Berger, et. al., 1999]. Este programa facilita el cálculo de las secciones eficaces

de interacción para elementos químicos con número atómico entre 1 y 100, así como para

compuestos y mezclas de estos elementos químicos, para cualquier valor de energía entre 1 keV y

100 GeV.

En la base de datos de XCOM, las secciones eficaces para el efecto fotoeléctrico fueron obtenidas

mediante cálculos de desplazamiento de fases para el potencial central en el modelo atómico de

Hartree-Slater [Scofield, 1973]. Las secciones eficaces de la dispersión inelástica están calculadas

según [Hubbell, et. al. 1977] mediante la combinación de la fórmula de Klein-Nishina para la

dispersión Compton y la función de dispersión no relativista según aproximaciones de Hartree –

Fock (Ver la ecuación (2-4) en el punto 2.3.1.2). Las secciones eficaces para la formación de pares

se basan en la teoría de Bethe – Heitler, complementada con modelos teóricos que tienen en cuenta

los efectos radiativos, de pantalla y de interacción eléctrica [Hubbell, et. al., 1980]. Una limitación

de la biblioteca XCOM es que las secciones eficaces de interacción para los diferentes elementos

corresponden a átomos aislados, no considerando por tanto los efectos moleculares y de

estructuras cristalinas, que modifican las secciones eficaces, particularmente para valores de

energía en la vecindad de las capas de absorción. Debemos señalar que las aplicaciones previstas

para el código DETEFF suponen unas energías mínimas de los fotones incidentes que se

encuentran muy por encima de los valores de energía de las capas de absorción de los átomos que

conforman el volumen sensible del detector.

Con el propósito de obtener de forma rápida las secciones eficaces de interacción para cualquier

valor de energía de los fotones en todo el rango de interés, el código DETEFF utiliza funciones

empíricas analíticas, ajustadas previamente por intervalos de energía para las secciones eficaces

macroscópicas de interacción calculadas con el programa XCOM, correspondientes al efecto

fotoeléctrico ( ΣF ), la dispersión inelástica ( ΣI ) y la formación de pares ( ΣP ). Las funciones

utilizadas para el efecto fotoeléctrico y la dispersión inelástica tienen la forma:


101

( ) ( ) ( ) 2j0 1 2

Eln a a ln E a ln EΣ⎡ ⎤ = + ⋅ + ⋅ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦ρ⎣ ⎦ (4-30),

siendo jΣ la sección eficaz macroscópica39 para el efecto fotoeléctrico (j = F) o para la dispersión

inelástica (j = I), ρ la densidad del medio, { }ia i 0,1, 2= los coeficientes del ajuste y E la energía

de los fotones.

Las funciones empíricas de ajuste que utiliza DETEFF para la formación de pares son del tipo:

( )

p 0 31 21 2

2

a aa aln E E EE

Σ= + + +

ρ (4-31),

Donde pΣ es la sección eficaz macroscópica para la formación de pares y el resto de los

parámetros tiene el mismo significado que en la ecuación (4-30).

Las Tablas 4.9 – 4.13 muestran los intervalos de energía y los valores de los parámetros

correspondientes a los ajustes de las secciones eficaces macroscópicas de interacción para los

materiales de los detectores considerados en el código. Los ajustes se realizaron mediante el

método de los mínimos cuadrados. Las funciones y los intervalos de energía fueron seleccionados

de forma que la desviación máxima entre los valores dados por el sistema XCOM y los calculados

con las funciones ajustadas estén en el orden del 0.1%, siendo el coeficiente de correlación

(momento r de Pearson) entre estos valores superior a 0.999. La Figura 4.18 muestra los gráficos

de las secciones eficaces teóricas y ajustadas, para NaI.

Durante la simulación, las secciones eficaces de interacción se obtienen en dos etapas:

1. Búsqueda binaria del intervalo de energía al que pertenece el fotón que se simula,

2. Sustitución del valor de energía del fotón en la función correspondiente al intervalo hallado.

Este procedimiento es algo más rápido que la interpolación estándar del tipo cubic – spline, puesto

que en la misma se requiere de una búsqueda binaria a través de un número muy superior de

intervalos de energía.

39 Con el programa XCOM se obtienen los coeficientes parciales de interacción másicos ( ( )j EΣ

ρ)


102

Tabla 4.9: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-30) para NaI ( jΣρ

en cm2.g-1) 10

Efecto fotoeléctrico Parámetros del ajuste Intervalos de energía [keV] a0 a1 a2

10.00 ≤ E ≤ 33.17 10.83528 -2.43220 -0.05835 33.17 < E ≤ 55.00 10.65820 -1.56785 -0.14482

55.00 < E ≤ 100.00 11.62369 -2.03840 -0.08755 100.00 < E ≤ 200.00 13.47250 -2.82960 -0.00288 200.00 < E ≤ 400.00 17.90905 -4.49708 0.15386 400.00 < E ≤ 700.00 22.67561 -6.11202 0.29063 700.00 < E ≤ 900.00 33.64743 -9.48481 0.54981

900.00 < E ≤ 1100.00 10.57745 -2.54664 0.02843 1100.00 < E ≤ 2000.00 17.49751 -4.75502 0.20272

Dispersión inelástica Parámetros del ajuste Intervalos de energía [keV] a0 a1 a2

10.00 ≤ E ≤ 60.00 -4.79020 1.26467 -0.15123 60.00 < E ≤ 100.00 -4.54017 1.14078 -0.13586

100.00 < E ≤ 300.00 -3.68826 0.78608 -0.09897 300.00 < E ≤ 600.00 -2.61658 0.40040 -0.06427

600.00 < E ≤ 1000.00 -2.39682 0.33180 -0.05891 1000.00 < E ≤ 2000.00 -2.48823 0.35780 -0.06077

Tabla 4.10: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-30) para CsI ( jΣρ

en cm2.g-1) 11


10.00 ≤ E ≤ 33.17 11.14345 -2.50414 -0.04537 33.17 < E ≤ 35.98 8.24416 -0.36595 -0.32168 35.98 < E ≤ 50.00 12.37544 -2.39042 -0.03301 50.00 < E ≤ 90.00 11.87210 -2.06699 -0.08279

90.00 < E ≤ 190.00 13.38939 -2.71651 -0.01335 190.00 < E ≤ 380.00 17.85777 -4.40627 0.14644 380.00 < E ≤ 780.00 23.81862 -6.41139 0.31510

780.00 < E ≤ 1000.00 13.85900 -3.50216 0.10282 1000.00 < E ≤ 2000.00 21.26751 -5.71573 0.26791


10.00 ≤ E ≤ 45.00 -5.11730 1.37255 -0.16168 45.00 < E ≤ 100.00 -4.98054 1.29574 -0.15090

100.00 < E ≤ 300.00 -3.91495 0.84740 -0.10373 300.00 < E ≤ 800.00 -2.73430 0.42519 -0.06596

800.00 < E ≤ 2000.00 -2.48995 0.35056 -0.06026


103

Tabla 4.11: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-30) para Ge ( jΣρ

en cm2.g-1) 12


10.00 ≤ E ≤ 11.10 10.14420 -2.88643 -0.01461 11.10 < E ≤ 40.00 10.65741 -1.89556 -0.13980 40.00 < E ≤ 70.00 11.38759 -2.31118 -0.08058

70.00 < E ≤ 100.00 11.92542 -2.56940 -0.04957 100.00 < E ≤ 200.00 13.46145 -3.22738 0.02090 200.00 < E ≤ 380.00 18.16481 -4.99152 0.18639 380.00 < E ≤ 700.00 23.26961 -6.72210 0.33305 700.00 < E ≤ 880.00 37.40612 -11.07470 0.66805

880.00 < E ≤ 1020.00 -41.85164 12.31236 -1.05719 1020.00 < E ≤ 2000.00 19.01789 -5.63066 0.26438


15.00 ≤ E ≤ 60.00 -5.01665 1.45039 -0.17889 60.00 < E ≤ 130.00 -4.16618 1.02656 -0.12604 130.00 < E ≤ 300.00 -3.42891 0.71825 -0.09379 300.00 < E ≤ 1100.00 -2.28199 0.31141 -0.05768 1100.00 < E ≤ 2000.00 -2.39953 0.34371 -0.05990

Tabla 4.12: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-30) para Si ( jΣρ

en cm2.g-1) 13

Efecto fotoeléctrico Parámetros del ajuste Intervalos de energía

[keV] a0 a1 a2 10.00 ≤ E ≤ 15.00 9.99773 -2.66224 -0.06857 15.00 < E ≤ 57.00 10.07862 -2.70903 -0.06189

57.00 < E ≤ 100.00 10.71596 -3.03433 -0.02038 100.00 < E ≤ 200.00 12.32167 -3.72359 0.05362 200.00 < E ≤ 380.00 17.01456 -5.48935 0.21978 380.00 < E ≤ 600.00 23.63005 -7.72270 0.40828 600.00 < E ≤ 720.00 41.87338 -13.30715 0.83547 720.00 < E ≤ 840.00 44.88217 -14.26431 0.91139 840.00 < E ≤ 1000.00 -87.80845 24.96116 -1.98748

1000.00 < E ≤ 1200.00 165.68839 -48.25490 3.29908 1200.00 < E ≤ 2000.00 14.00410 -5.11897 0.23261

Dispersión inelástica Parámetros del ajuste Intervalos de energía

[keV] a0 a1 a2 10.00 ≤ E ≤ 40.00 -4.06955 1.16685 -0.15511 40.00 < E ≤ 80.00 -3.72768 0.96692 -0.12593 80.00 < E ≤ 200.00 -3.10211 0.68478 -0.09408

200.00 < E ≤ 1400.00 -1.93609 0.24929 -0.05332 1400.00 < E ≤ 2000.00 -2.04579 0.28390 -0.05601


104

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 1,00E+01Energía [MeV]

Sec

ción

efic

az m

acro

scóp

ica

[cm

2 /g] Efecto Fotoeléctrico

Dispersión InelásticaFormación de Pares

Tabla 4.13: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-31) para la formación de pares

electrón – positrón ( pΣρ

en cm2.g-1), en el intervalo de energías entre 1400 y 2000 keV40 14

Parámetros del ajuste Material a0 a1 a2 a3 NaI 5.532368 x 10-3 -3.5771963 87.14611 -12227.371 CsI 5.610043 x 10-3 -3.3981483 76.57931 -7749.9572 Ge 4.028202 x 10-3 -2.6971755 67.77921 -10267.855 Si 2.036637 x 10-3 -1.3909353 35.55745 -5612.8199

Figura 4.18: Gráficos de las secciones eficaces macroscópicas de interacción en NaI. Las figuras geométricas indican los valores calculados con el programa XCOM, mientras que las líneas se corresponden con las funciones ajustadas. Figura 36

40Para energías inferiores a 1400 keV la sección eficaz macroscópica para la formación de pares electrón –

positrón se adopta igual a cero, puesto que es al menos dos órdenes de magnitud inferior a la sección eficaz macroscópica para la dispersión inelástica.


105

4.6.2 Muestreo del recorrido de los fotones y del punto de interacción Para el muestreo del recorrido libre “t” de los fotones en el volumen activo del detector utilizamos

el método descrito en 3.4.2, sustituyendo en la ecuación41 (3-22) un número aleatorio γ

uniformemente distribuido en el intervalo [0,1). En este caso ( )EΣ es la sección eficaz

macroscópica total o coeficiente lineal de atenuación del material activo del detector, expresado en

cm-1. En DETEFF, el coeficiente lineal de atenuación para una energía E determinada se calcula

mediante la suma de las secciones eficaces macroscópicas de los procesos fotoeléctrico ( )F EΣ ,

de dispersión inelástica ( )I EΣ y de formación de pares electrón – positrón ( )P EΣ :

( ) ( ) ( ) ( )F I PE E E EΣ = Σ + Σ + Σ (4-32)

Una vez que se tiene el recorrido libre o alcance “t” del fotón se determina el punto de interacción

mediante la ecuación de la recta:

i i 1r r t w−= + ⋅r r r (4-33),

siendo irr

el vector de posición del punto de interacción, i 1r−r

el vector de posición del punto de

origen del fotón y wr el vector de dirección del movimiento del fotón.

El análisis geométrico para verificar la posición del fotón y calcular los puntos de intersección de

su trayectoria con las superficies se realiza de forma análoga al procedimiento que comentamos en

el apartado 4.5. En los detectores de semiconductor con electrodo central o “core”, si el fotón

atraviesa esta región inactiva, al recorrido o alcance simulado del fotón se le adiciona la longitud

de su trayectoria dentro del “core”. Si el punto de interacción “cae” dentro del “core”, se adiciona

al alcance simulado la longitud del recorrido máximo (rectilíneo) que tendría el fotón dentro de

este volumen inactivo. El procedimiento indicado constituye un caso particular del método de

muestreo del punto de interacción en medios no homogéneos, que analizamos en el punto 3.4.2.

En este caso, DETEFF considera que dentro del “core” no existe material alguno, o sea, el

transporte de los fotones se produce en el vacío42 .

41El volumen activo del detector se considera un medio homogéneo. 42Se trata de una aproximación, pues aunque durante el proceso de fabricación de los detectores se extrae el

material semiconductor de este volumen cilíndrico, existe un electrodo central que generalmente es de aluminio.


106

F I P, ,Σ Σ Σ

F I PΣ = Σ + Σ + Σ

γ

F¿( )?Σγ ≤Σ

+

Efecto Fotoeléctrico

F F I¿( )?Σ Σ + Σ< γ ≤Σ Σ

Dispersión Inelástica

+

-

-

Formación de Pares

F I P, ,Σ Σ Σ

F I PΣ = Σ + Σ + Σ

γ

F¿( )?Σγ ≤Σ

+

Efecto Fotoeléctrico

F F I¿( )?Σ Σ + Σ< γ ≤Σ Σ

Dispersión Inelástica

+

-

-

Formación de Pares

4.6.3 Muestreo del tipo de interacción

El tipo de interacción es una magnitud aleatoria discreta que en nuestro caso sólo puede tomar tres

valores. Su muestreo se realiza de la forma indicada el punto 3.4.3, a partir de la generación de un

número aleatorio γ , uniformemente distribuido en el intervalo [0,1). El diagrama de flujo de este

procedimiento43 es el que se indica en la Figura 4.19 a continuación:

Figura 4.19: Diagrama de la secuencia seguida en DETEFF para el muestreo del tipo de interacción Figura 37

43 Para una energía determinada del fotón


107

4.6.4 Seguimiento de las partículas secundarias

Como vimos en el punto 2.3.1, los procesos de interacción de la radiación gamma con los

materiales que componen el detector producen partículas secundarias que pueden absorberse o no

en el medio de detección, influyendo en el espectro de altura de pulsos y por tanto en la eficiencia

de detección en el pico de absorción total. A continuación describiremos el “tratamiento” que da

DETEFF a cada uno de estos tipos de radiación secundaria.

4.6.4.1 Radiación característica tras el efecto fotoeléctrico

Como vimos en el punto 2.3.1.1, al ocurrir el efecto fotoeléctrico se libera un electrón con energía

cinética aproximadamente igual a la energía del fotón menos la energía de enlace del electrón en la

capa donde ocurre la interacción. El átomo queda con un déficit de electrones en esta capa y

alcanza nuevamente el equilibrio mediante el “desplazamiento” de electrones desde las capas más

externas, emitiéndose la diferencia de energía44 en forma de radiación electromagnética o en forma

de electrones (electrones Auger).

En DETEFF se tiene en cuenta la emisión de radiación electromagnética característica (rayos X

característicos) de la capa K del NaI, el CsI y el Ge. Al mismo tiempo, se considera que los

electrones Auger son absorbidos completamente en el cristal, por lo que no se consume tiempo de

simulación en su seguimiento. Para la simulación de la radiación X característica se parte de los

valores de energía que se muestran en la Tabla 4.14 para las capas Kα y Kβ según [Browne y

Firestone, 1986]. La radiación X característica del Si no se simula pues su recorrido libre medio es

de apenas unos 14μm en este material.

Tabla 4.14: Energías de las líneas de rayos X característicos correspondientes a las capas K de los átomos que forman parte de los detectores incluidos en el código DETEFF 15

Energía [keV] Número atómico Elemento

Kα1 Kα2 Kβ1 Kβ2 14 Si 1.740 1.739 1.836 - 32 Ge 9.886 9.855 10.980 11.101 53 I 28.612 28.317 32.278 33.047 55 Cs 30.973 30.625 34.966 35.819

Las probabilidades de emisión de las diferentes líneas de rayos X característicos por cada evento

fotoeléctrico se calcularon a partir de los datos deducidos de [Debertin y Helmer, 1988], que se

recogen en la Tabla 4.15.

44Una fracción muy pequeña de la energía se emplea en el retroceso del átomo, como consecuencia de la

conservación de la energía y el impulso. Las energías de las capas K son: 1.84 keV, 11.1 keV, 33.17 keV y 35.98 keV en el Si, Ge, I y Cs, respectivamente.


108

Tabla 4.15: Rendimientos de fluorescencia de la capa K ( Kω ) y emisiones relativas de fotones de rayos X. 16

Emisiones relativas Z Elemento Químico Kβ / Kα Kα2 / Kα1 Kβ2 / Kα1

Kω

14 Si 0.027 - - 0.050 32 Ge 0.147 0.513 - 0.546 53 I 0.229 0.538 0.061 0.882 55 Cs 0.237 0.541 0.067 0.894

De esta forma, para el cálculo de las probabilidades de emisión en cada uno de los materiales, se

sustituyeron los valores de la Tabla 4.15 en las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) KP K P Kα β+ = ω , ( ) ( ) KP K P K

Kβ

ααβ = ⋅ (4-34),

( ) ( ) ( )1 2P K P K P Kαα α+ = , ( ) ( ) 22 1

1

KP K P K

Kα

α αα

= ⋅ (4-35),

( ) ( ) ( )1 2P K P K P Kββ β+ = , ( ) ( ) 22 1

1

KP K P K

Kβ

β αα

= ⋅ (4-36),

Donde: ( ) { }mP k , m , , 1, 2, 1, 2= α β α α β β son las probabilidades de emisión de las líneas

, , 1, 2, 1, 2α β α α β β respectivamente, por cada evento fotoeléctrico en la capa K.

Durante la simulación no se distinguen las líneas de la estructura fina: Kα1, Kα2, Kβ1, Kβ2, sino que

los fotones de rayos X característicos de un elemento determinado se generan escogiendo entre dos

valores posibles de energía: los valores promedios de las líneas Kα y Kβ. Se trata de valores

medios de energía ponderados a partir de las probabilidades de emisión de cada una de las líneas

de la estructura fina. Ver la Tabla 4.16 a continuación.

Tabla 4.16: Probabilidades de emisión de rayos X característicos de la capa K, y valores medios de energía de las líneas Kα y Kβ.17 Elemento P(Kα1) P(Kα2) P(Kα) EKα

[keV] P(Kβ1) P(Kβ2) P(Kβ) EKβ

[keV] Si 0.049 - 0.049 1.74 0.001 - 0.001 1.84 Ge 0.315 0.161 0.476 9.9 - - 0.070 11.0 I 0.467 0.251 0.718 28.5 0.136 0.028 0.164 32.4

Cs 0.470 0.254 0.724 30.9 0.139 0.031 0.170 35.1


109

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

1,5E-02 2,5E-02 3,5E-02 4,5E-02 5,5E-02 6,5E-02 7,5E-02

Energía [MeV]

Secc

ión

efic

az m

acro

scóp

ica

[cm

-1]

CsI

En el caso de los materiales con estructuras cristalinas formadas por dos átomos diferentes, como

el NaI y el CsI, la probabilidad de ocurrencia del efecto fotoeléctrico en cada uno de los átomos se

determinó a partir de las secciones eficaces macroscópicas correspondientes [Berger, et. al., 1999].

En el NaI, la probabilidad de ocurrencia del efecto fotoeléctrico en el yodo es mayor que 0.98, por

lo que se considera que la totalidad de los fotoelectrones se producen en este elemento. Para el CsI

no ocurre así: se tiene que entre 33.17 keV y 35.98 keV (energías de la capa K del I y el Cs,

respectivamente) la probabilidad de ocurrencia del efecto fotoeléctrico en I es aproximadamente

igual a 0.84 (probabilidad complementaria igual a 0.16 en Cs), mientras que para el resto de las

energías entre 10.0 y 2000.0 keV la probabilidad de ocurrencia del efecto fotoeléctrico en Cs es

aproximadamente igual a 0.54. La Figura 4.20 ilustra el comportamiento de las secciones eficaces

para el efecto fotoeléctrico en CsI.

Figura 4.20: Gráfico de las secciones eficaces macroscópicas del efecto fotoeléctrico en Cs y I, en el cristal de CsI Figura 38

En correspondencia con lo explicado, a continuación se presenta, a modo de ejemplo, el diagrama

de flujo que sigue DETEFF para el muestreo de la energía de la radiación X característica ( KXE )

en el caso del CsI. Los diagramas correspondientes a Ge y NaI son similares, aunque más simples.

En el diagrama de flujo, PK representa la probabilidad del efecto fotoeléctrico en la capa K del

átomo, EK = 0.0 significa que no se emite el fotón de radiación característica. Una vez muestreada

la energía del fotón de rayos X se realiza la simulación de su vector de dirección mediante las

ecuaciones (4-7), (4-8) y (4-9), para un ángulo sólido igual a 4π sr ( Máxθ = π ).


110

1 2,γ γ

0.16ξ =

KXE 30.9=

¿(33.17 E 35.98)?< ≤+ -

KXE 35.1=

KXE 0.0=

0.54ξ =

2 K¿( 0.894 P )?γ < ⋅+ -

2 K¿( 0.724 P )?γ < ⋅+ -

KXE 28.5= KXE 32.4=

2 K¿( 0.882 P )?γ < ⋅ +-

2 K¿( 0.718 P )?γ ≤ ⋅+ -

1¿( )?γ ≤ ξ+ -

1 2,γ γ

0.16ξ =

KXE 30.9=

¿(33.17 E 35.98)?< ≤+ -

KXE 35.1=

KXE 0.0=

0.54ξ =

2 K¿( 0.894 P )?γ < ⋅+ -

2 K¿( 0.724 P )?γ < ⋅+ -

KXE 28.5= KXE 32.4=

2 K¿( 0.882 P )?γ < ⋅ +-

2 K¿( 0.718 P )?γ ≤ ⋅+ -

1¿( )?γ ≤ ξ+ -

Figura 4.21: Diagrama de flujo para el muestreo de la energía de la radiación característica del I y el Cs tras la ocurrencia del efecto fotoeléctrico en CsI Figura 39

El muestreo del lugar de interacción se realiza según se comentó en el punto 4.6.2. En caso de que

el fotón escape del volumen activo del detector se resta el valor de su energía a la energía

transferida al detector por el fotón incidente. Si por el contrario, el punto donde ocurre la

interacción está dentro del volumen activo del detector, entonces se considera que el fotón se

absorbe totalmente, pues para las energías de la radiación X característica la probabilidad del

efecto fotoeléctrico es muy superior a la probabilidad de dispersión inelástica. En el caso de los

detectores de NaI y CsI esta relación es de al menos un orden de magnitud, mientras que en Ge es

de 5.102, aproximadamente.

Para evaluar la importancia del seguimiento de la radiación característica se compararon los

valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total, obtenidos para una fuente puntual a

10cm del detector, considerando la emisión de radiación X característica y sin considerar este tipo

de radiación secundaria. Las simulaciones se realizaron para detectores HPGe del tipo p y n, con

los parámetros que se resumen en la siguiente tabla. La incertidumbre en los valores de eficiencia

calculados fue inferior al 0.2%.


111

20 30 40 50 60 70 80 90 1000,0160

0,0165

0,0170

0,0175

0,0180

0,0185

0,0190

Efic

ienc

ia

Energía [keV]

Tabla 4.17: Parámetros utilizados en la simulación de detectores de HPGe durante la evaluación de la importancia del seguimiento de la radiación de rayos X característica 18

Detector HPGe tipo p Detector HPGe tipo n

Parámetros Valores [mm] Parámetros Valores

[mm] Diámetro 58.7 Diámetro 58.7 Longitud 79.4 Longitud 79.4 Espesor de la cubierta de Al 1.0 Espesor de la cubierta de Al 1.0 Diámetro de la cubierta de Al 7.0 Diámetro de la cubierta de Al 7.0 Espesor de la ventana de Be - Espesor de la ventana de Be 0.5 Diámetro de la ventana de Be - Diámetro de la ventana de Be 58.0 Distancia detector - cubierta 3.0 Distancia detector - cubierta 3.0 Capa muerta frontal 0.9 Capa muerta frontal 0.0003 Capa muerta lateral 0.9 Capa muerta lateral 0.0003 Diámetro del core 12.0 Diámetro del core 12.0 Altura del core 40.0 Altura del core 40.0

Tal como reflejan las figuras 4.22 – 4.24, pueden apreciarse diferencias significativas entre los

valores de eficiencia correspondientes a energías bajas de los fotones incidentes (E ≤ 70 keV).

Figura 4.22: Eficiencia absoluta en el pico de absorción total en función de la energía de los fotones incidentes en un detector de HPGe (tipo n). Los triángulos indican los valores obtenidos considerando la emisión de radiación X característica, mientras que los círculos representan los valores obtenidos sin considerar la emisión de rayos X. Las barras de error corresponden a 2σ. Figura 40


112

20 40 60 80 100-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Dife

renc

ia [

%]

Energía [keV]

20 40 60 80 100-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10D

ifere

ncia

[%

]

Energía [keV]

Figura 4.23: Diferencia de la eficiencia calculada sin considerar la radiación X característica con relación a la eficiencia calculada teniéndola en cuenta, para un detector de HPGe (tipo p). Se indica la incertidumbre expandida (2σ) de las diferencias. Figura 41

Figura 4.24: Diferencia de la eficiencia calculada sin considerar la radiación X característica con relación a la eficiencia calculada teniéndola en cuenta, para un detector de HPGe (tipo n). Se indica la incertidumbre expandida (2σ) de las diferencias. Figura 42


113

4.6.4.2 Fotones secundarios tras la dispersión inelástica

El muestreo de los fotones secundarios tras la dispersión inelástica parte de la expresión (2-4) del

punto 2.3.1.2. En la cuarta versión de DETEFF, la fórmula de Klein – Nishina (2-5) se muestrea

mediante el método de Kahn [Kahn, 1954] para energías de los fotones inferiores a 1.5 MeV y

mediante el procedimiento de Koblinger [Koblinger, 1975] cuando las energías de los fotones

incidentes son superiores o iguales a 1.5 MeV. En el Apéndice A se detallan estos métodos, así

como el método de Everett – Cashwell [Everett y Cashwell, 1970] utilizado en las versiones

previas del código. El cambio en el método de muestreo se corresponde con las recomendaciones

de [Blomquist y Gelbard, 1982].

Para la selección de la energía y el ángulo del fotón dispersado se aplica luego la técnica de

rechazo, según el punto 3.3.2.2, con las funciones de dispersión empíricas publicadas por [Baró,

et. al., 1994]. La formulación general de estas ecuaciones viene dada por:

( )( )

2 3 41 2 3

22 44 5

S x, Z 1 b x b x b x1Z 1 b x b x

+ ⋅ + ⋅ + ⋅= −+ ⋅ + ⋅

(4-37),

siendo x la variable que caracteriza la transferencia de impulso al electrón según la expresión

(2-6), Z el número atómico del material y bi los coeficientes de ajuste. En la Tabla 4.18 se recogen

los coeficientes correspondientes a los diferentes elementos químicos. El valor medio reportado de

las desviaciones del ajuste es inferior al 1% en todos los casos.

Tabla 4.18: Parámetros de las funciones de ajuste para la función de dispersión, según [Baró, et. al., 1994] 19

Elemento Z b1 b2 b3 b4 b5 Na 11 4.1255E+1 3.0676E+2 0.0E+0 4.0805E+1 4.3737E+0 Si 14 1.1143E+1 9.6032E+1 0.0E+0 2.0023E+1 1.7920E+0 Ge 32 9.1856E+0 4.4952E+1 5.3465E-1 1.1657E+1 2.3367E-1 I 53 7.3705E+0 2.6330E+1 8.4817E+0 8.9685E+0 2.3933E-1

Cs 55 1.5423E+1 5.3147E+1 4.5583E+1 1.5007E+1 6.2186E-1

La Figura 4.25 contiene el diagrama de flujo para la simulación de los fotones secundarios tras la

dispersión inelástica.


114

( )¿ E 1500 ?<+ -

1 2,γ γ

KOBLINGERKAHN

'E , cosθ

( )121 cos

E2

x12.3985

− θ⎡ ⎤⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦=

( )1E, γ ( )1E, γ

( )2

S x, Z¿ ?

Z⎛ ⎞

γ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

+ -

FIN

( )¿ E 1500 ?<+ -

1 2,γ γ

KOBLINGERKAHN

'E , cosθ

( )121 cos

E2

x12.3985

− θ⎡ ⎤⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦=

( )1E, γ ( )1E, γ

( )2

S x, Z¿ ?

Z⎛ ⎞

γ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

+ -

FIN

Figura 4.25: Diagrama del procedimiento que utiliza DETEFF para el muestreo de la energía del fotón dispersado ( )'E y del coseno del ángulo de dispersión ( )cosθ a partir de una energía

( )E del fotón incidente. Los valores de energía están expresados en keV y S(x,Z) denota la función de dispersión que depende del número atómico del material del detector (Z) y de la transferencia de impulso (x). Figura 43

Con el procedimiento indicado anteriormente muestreamos el coseno del ángulo ( )cosθ entre la

dirección del fotón incidente y la dirección del fotón dispersado. Para obtener el vector de

dirección del fotón dispersado en el sistema de referencia es necesario entonces realizar una

transformación de coordenadas. El esquema de la Figura 4.26 indica el sistema de coordenadas de

referencia (X,Y,Z) y el sistema de coordenadas auxiliar (X’,Y’,Z’) que se utiliza en DETEFF, con

centro en el punto de interacción y cuyo eje Z’ coincide con la dirección del fotón antes de la

dispersión. De esta forma, las coordenadas del vector de dirección del fotón dispersado en el

sistema (X’,Y’,Z’) pueden escribirse como: ( )2w sin cos , sin sin , cos≡ θ⋅ ϕ θ⋅ ϕ θr . El ángulo

azimutal ϕ se muestrea, en este sistema de coordenadas, con distribución uniforme en el intervalo

(0,2π).


115

2wr

X’

Y’

Z’

θ

ϕ1wr

X

Y

Z

Leyenda: ángulo polar de dispersión: ángulo azimutal de dispersión: vector de dirección del fotón incidente: vector de dirección del fotón dispersado

θϕ

1wr

2wr2wr

X’

Y’

Z’

θ

ϕ1wr

X

Y

Z

2wr

X’

Y’

Z’

θ

ϕ1wr

X

Y

Z


θϕ

1wr

2wr


θϕ

1wr

2wr

Figura 4.26: Sistemas de coordenadas en la simulación de la dispersión inelástica Figura 44

Para pasar el vector de dirección del nuevo fotón al sistema de coordenadas de referencia se aplica

el operador de paso del sistema de coordenadas (X’,Y’,Z’) al sistema de coordenadas (X,Y,Z) :

Donde: 1 1 1a , b ,c son las coordenadas del vector de dirección del fotón incidente en el sistema de

referencia (X,Y,Z), o sea: ( )1 1 1 1w a ,b ,c≡r . Las ecuaciones para llevar el vector de dirección del

fotón dispersado al sistema de coordenadas (X,Y,Z): ( )2 2 2 2w a , b ,c≡r son, por lo tanto:

(4-38)

(4-39)

(4-40) Al fotón dispersado se le asigna el peso estadístico del fotón antes de la interacción y conforme al

esquema de la Figura 4.2, la simulación continúa con el muestreo de su recorrido en el interior del

cristal y del tipo de interacción que ocurre, según los puntos 4.6.2 y 4.6.3, respectivamente. De

esta forma, el código puede simular la dispersión inelástica múltiple.

1 1 112 2

1 1

1 1 112 2

1 1

21 1

a c b a1 c 1 cb c aA b1 c 1 c

1 c 0 c

⋅ −⎛ ⎞⎜ ⎟

− −⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎜ ⎟≡⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 1 1 1 1 21

1a a cos a c cos b sin sin1 c

= ⋅ θ+ ⋅ ⋅ ϕ− ⋅ ϕ ⋅ θ−

( )2 1 1 1 1 21

1b b cos b c cos a sin sin1 c

= ⋅ θ + ⋅ ⋅ ϕ− ⋅ ϕ ⋅ θ−

22 1 1c c cos 1 c sin cos= ⋅ θ − − ⋅ θ ⋅ ϕ


116

4.6.4.3 Fotones de aniquilación tras la formación de pares electrón - positrón Se asume que la energía cinética de cada par electrón – positrón creado (ver el punto 2.3.1.3) se

deposita de forma local en el punto de formación. Se considera, por tanto, que la emisión de los

fotones de aniquilación ocurre desde ese punto dentro del cristal. Por cada proceso de formación

de pares se siguen dos fotones, cuya energía es igual a 0.511 MeV. El vector de dirección de uno

de los fotones se muestrea de forma uniforme en el ángulo sólido 4π sr, mientras que al otro se le

asigna la dirección opuesta en correspondencia con la conservación del impulso del sistema.

Mientras se da seguimiento al primer fotón de aniquilación, DETEFF mantiene los datos del

segundo fotón en la pila de partículas secundarias (ver la Figura 3.8) que requieren seguimiento.

4.6.4.4 Partículas secundarias con carga eléctrica Como vimos en el Capítulo 2, todos los procesos de interacción de la radiación gamma liberan u

originan partículas secundarias cargadas, cuyo transporte y eventual absorción involucran un

número grande de interacciones. Por ello, la simulación detallada de estas partículas secundarias

no es una opción práctica en los cálculos de eficiencia de los sistemas de detección de la radiación

gamma, donde la cuestión fundamental es determinar si se absorbe toda o parte de la energía de los

fotones en el volumen activo del detector.

Ahora bien, aún cuando en DETEFF se considera que tanto los electrones como los positrones

secundarios son absorbidos en el punto de su surgimiento y no se simula su transporte, en la última

versión del código se han introducido dos nuevos procedimientos para considerar dos vías por las

que estas partículas cargadas pueden no depositar toda su energía en el detector: el escape de

electrones a través de la superficie del cristal y el escape de la radiación de frenado que estas

partículas cargadas pueden producir. El no considerar estas pérdidas de energía conduce a una

sobreestimación sistemática de la eficiencia calculada en el pico de absorción total. Esta

sobreestimación se incrementa gradualmente con la energía de los fotones incidentes y con la

disminución de las dimensiones del detector, llegando a ser de varias unidades porcentuales para

energías cercanas a los 2.0 MeV y detectores de dimensiones estándar [Cornejo Díaz y Jurado

Vargas, 2008]. A continuación describiremos el procedimiento implementado para considerar el

escape de los electrones y en el punto 4.6.4.4.2 detallaremos el método implementado para el

seguimiento de la radiación de frenado.


117

4.6.4.4.1 Procedimiento para considerar el escape de electrones

Con ayuda del código de uso múltiple MCNP4C [Briesmeister, 2000] se han calculado, para cada

uno de los materiales de los detectores45: los alcances máximos de los electrones mono-energéticos

en el intervalo entre 0.5 MeV y 2.0 MeV, las curvas de transmisión de estos electrones, y las

fracciones de energía transmitida en función de la distancia. El alcance máximo de los electrones

para una energía inicial (E) se definió como el radio de la esfera que absorbe el 99% de los

electrones generados con energía E desde su centro, y lo denotamos como Rmax(E). La Figura 4.27

muestra el comportamiento de los alcances máximos con la energía inicial de los electrones. Puede

notarse que estos no son despreciables, en particular para energías iniciales superiores a 1.0 MeV.

Las curvas de transmisión de los electrones indican la probabilidad de que se produzca el escape

de estas partículas en función de su distancia a la superficie del cristal. Se construyeron para

diferentes energías de los electrones en el intervalo entre 0.5 MeV y 2.0 MeV, a partir de los

valores de transmisión obtenidos a diferentes distancias. Durante las simulaciones con MCNP4C

se consideró la emisión isotrópica de electrones mono-energéticos en el interior del material, para

tener en cuenta las fluctuaciones en la dirección de los electrones y el efecto de retrodispersión, y

se cuantificó la fracción de los electrones generados que transmitió energía más allá de la distancia

prefijada en una dirección determinada. Las curvas de transmisión obtenidas para las diferentes

energías iniciales de los electrones no difieren significativamente cuando las distancias se

normalizan con el alcance máximo correspondiente. La Figura 4.28 muestra, a modo de ejemplo,

la curva promedio de transmisión de electrones en Ge en función de la distancia normalizada con

el alcance máximo de los electrones46. La desviación estándar de las probabilidades medias de

transmisión en cada valor de alcance normalizado no superó el 1.0%. Las curvas de transmisión en

los otros materiales son muy similares. En un medio ideal, sin retrodispersión de los electrones, la

probabilidad de transmisión debería acercarse a 0.5 cuando la distancia a la superficie se acerca a

cero. Sin embargo, como se aprecia en la Figura 4.28, este valor es algo superior a 0.7.

45 No se ha considerado el Si porque este material se emplea más bien en la detección de la radiación

electromagnética de bajas energías, donde el efecto de escape de partículas cargadas secundarias no es tan relevante.

46 Las curvas de transmisión en NaI y CsI son similares


118

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

500 1000 1500 2000

Energía [keV]

Alc

ance

máx

imo

[cm

]

NaI-MCNPNaI-AjusteCsI-MCNPCsI-AjusteGe-MCNPGe-Ajuste

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Alcance normalizado (R/Rmax)

Prob

abili

dad

de tr

ansm

isió

np(

R/R

max

)

Figura 4.27: Comportamiento del alcance máximo de los electrones en función de su energía inicial para diferentes materiales. Las líneas corresponden a funciones analíticas (polinomios de segundo orden) ajustadas a los valores discretos de Rmax. La desviación máxima entre los valores teóricos y del ajuste no superó el 1%, con un coeficiente de correlación > 0.9999. Figura 45

Las fracciones de energía transmitida a diferentes distancias se dedujeron de forma similar a las

curvas de transmisión, cuantificándose en este caso el cociente de la energía media transmitida por

electrón generado o historia entre la fracción de las historias en las que se transmitió energía47. Al

igual que las curvas de transmisión, las curvas de fracciones de energía transmitida

correspondientes a diferentes valores de energía inicial de los electrones no difieren

significativamente cuando las distancias se normalizan con los alcances máximos

correspondientes. En la Figura 4.29 mostramos, a modo de ejemplo, la curva promedio de

transmisión de energía en Ge, en función de la distancia normalizada.

Figura 4.28: Probabilidad normalizada de transmisión de electrones en Ge. La línea de puntos representa un polinomio de segundo orden ajustado a los valores discretos de P(R/Rmax). La desviación máxima entre los valores teóricos y del ajuste no superó el 3% para valores de R/Rmax < 0.8, con un coeficiente de correlación > 0.9999. Figura 46

47Nótese que la energía puede ser transportada por electrones producidos durante la interacción de los

electrones generados.


119

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Alcance normalizado R/Rmax

Frac

ción

de

ener

gía

f(R/R

ax)

Utilizando los datos anteriores, la simulación del escape de electrones a través de la superficie de

los detectores se realiza en DETEFF siguiendo los siguientes pasos:

a) Para cada electrón secundario de energía inicial superior a 0.5 MeV, se determina el alcance

máximo (Rmax) y se calcula la distancia mínima entre el punto de su surgimiento y la

superficie del volumen activo del cristal (R),

b) Con la distancia mínima normalizada se busca la probabilidad de escape P(R/Rmax) a partir

de las curvas de transmisión previamente obtenidas, como la mostrada en la Figura 4.28. A

continuación se genera un número aleatorio en el intervalo [0,1). Si éste es menor que

P(R/Rmax) se considera que el electrón escapa del detector, de lo contrario se asume que el

electrón se absorbe completamente en el volumen activo del cristal,

c) Si el electrón escapa del volumen activo del cristal, se determina la energía “perdida”

multiplicando la energía inicial del electrón por el valor de la fracción de energía transmitida

f(R/Rax), según la curva de transmisión de energía correspondiente. Este valor es finalmente

restado a la energía absorbida en el volumen activo del detector.

Figura 4.29: Fracción de la energía transmitida por los electrones en Ge. La línea de puntos representa un polinomio de segundo orden ajustado a los valores discretos de f(R/Rmax). La desviación máxima entre los valores teóricos y del ajuste no superó el 2%, con un coeficiente de correlación > 0.9999. Figura 47

Los resultados alcanzados con la aplicación del procedimiento se ejemplifican en la Figura 4.30,

que compara los resultados del código con los obtenidos con el programa MCNP4C, para un

detector de HPGe del tipo p y diferentes geometrías de medida. Como puede apreciarse, la

implementación del escape electrónico en DETEFF hace disminuir drásticamente las desviaciones

respecto al código MCNP4C en la zona de altas energías fotónicas (E > 1200 keV).


120

Desviación Relativa100*(Ed-Ec)/Ec

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Energía [keV]

S[%

]

B


-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Energía [keV]

S[%

]

A

Figura 4.30: Desviaciones de los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total calculados con DETEFF (Ed) con relación a los valores de eficiencia obtenidos con el código MCNP4C (Ec) para un detector de HPGe tipo p y varias geometrías de las muestras: puntual (rombos), cilíndrica (cuadrados) y Marinelli (triángulos). A: Sin procedimiento para la corrección del escape de electrones; B: Con corrección al escape de electrones. Las incertidumbres (2σ) en las desviaciones relativas entre ambos códigos no superaron el 1.0 %. Figura 48

4.6.4.4.2 Procedimiento para el seguimiento de la radiación de frenado

Según comentamos en el punto 2.3.2, la radiación de frenado producida por los electrones

secundarios puede escapar del cristal, provocando la disminución de las cuentas en el pico de

absorción total. En correspondencia con ello, DETEFF simula la radiación de frenado que

producen los electrones secundarios con energía inicial superior a 500 keV, en base al algoritmo

propuesto en [Snyder, 1965]. Esta simulación parte de los espectros de frenado diferenciales en

energía, generados previamente con ayuda del código MCNP4C [Briesmeister, 2000] para

electrones monoenergéticos en los materiales NaI, CsI y Ge. Durante las simulaciones con el

código MCNP4C se utilizó la biblioteca de electrones el03 [Adams, 2000], en la que las secciones

eficaces y los espectros de energía se obtienen a partir de las evaluaciones de Seltzer y Berger:

[Seltzer y Berger, 1985], [Seltzer y Berger, 1986], [Seltzer, 1988].

Para la confección de los espectros de frenado se consideraron todos los fotones de frenado de

energía superior a 50 keV que escaparon de una esfera de radio igual al alcance máximo de los

electrones48 generados desde el centro de dicha esfera. Al igual que en el punto 4.6.4.4.1, este

alcance máximo se definió como el radio de la esfera que absorbe el 99% de los electrones

generados en su centro. En la Figura 4.31 se muestra, a modo de ejemplo, el espectro diferencial

en energía obtenido para Ge y una energía inicial de los electrones igual a 1.5 MeV.

48 El alcance máximo de las partículas secundarias cargadas constituye una pequeña fracción de las

dimensiones del detector, por ejemplo: más del 99% de los electrones con energía inicial igual a 2 MeV es absorbido en 0.22cm de Ge.


121

Figura 4.31: Espectro de la radiación de frenado obtenido en Ge para una energía inicial de los electrones de 1.5 MeV Figura 49 Si denotamos el espectro de la Figura 4.31 como ( )0q E , E versus E, entonces ( )0q E , E dE⋅

representa el número medio de fotones con energía entre E y E + dE emitidos por un electrón de

energía igual a E0. El número medio de fotones de frenado emitidos por un electrón de energía

inicial E0 se puede calcular entonces con la expresión:

( ) ( )0

0 0

E

0.05

m E q E , E dE= ⋅∫ (4-41)

El límite inferior de integración es en nuestro caso 0.05, pues sólo tomamos en consideración los

fotones cuya energía es superior a 0.05 MeV.

La Tabla 4.19 recoge el número medio de fotones de frenado por electrón, para los materiales de

los detectores49 y cada uno de los 16 valores de energía E0 simulados con el código MCNP4C.

49En el Si no se realiza la simulación de la radiación de frenado, pues se asume que este tipo de material se

emplea fundamentalmente para la detección de fotones de energía inferior a 500 keV.

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

Energía [MeV]

Núm

ero

de fo

tone

s po

r ele

ctró

n [M

eV-1]


122

Tabla 4.19: Número medio de fotones de frenado de energía superior a 50 keV, que escapan de una esfera de radio igual al alcance máximo de los electrones, por cada electrón de energía E0 generado en el centro de la esfera.20

Número medio de fotones de frenado Energía inicial de los electrones

[MeV] NaI CsI Ge

0.5 4.49E-02 5.21E-02 3.55E-02 0.6 5.71E-02 6.60E-02 4.63E-02 0.7 6.96E-02 7.98E-02 5.74E-02 0.8 8.19E-02 9.41E-02 6.92E-02 0.9 9.38E-02 1.09E-01 8.19E-02 1.0 1.08E-01 1.23E-01 9.41E-02 1.1 1.22E-01 1.38E-01 1.07E-01 1.2 1.35E-01 1.55E-01 1.21E-01 1.3 1.50E-01 1.69E-01 1.33E-01 1.4 1.64E-01 1.86E-01 1.48E-01 1.5 1.78E-01 2.03E-01 1.62E-01 1.6 1.94E-01 2.20E-01 1.76E-01 1.7 2.07E-01 2.37E-01 1.90E-01 1.8 2.23E-01 2.55E-01 2.05E-01 1.9 2.40E-01 2.71E-01 2.20E-01 2.0 2.54E-01 2.89E-01 2.35E-01

Para facilitar la búsqueda del número medio de fotones de frenado, en función de la energía

cinética inicial E0 de los electrones, los valores discretos dados en la Tabla 4.19 se ajustaron con

polinomios de segundo orden. Las expresiones (4-42), (4-43) y (4-44) muestran las funciones que

se obtuvieron para NaI, CsI y Ge, respectivamente. Los valores ajustados difieren en menos del

1% de los valores tabulados y el momento r de Pearson entre estos valores resulta superior a

0.9999 (ver la Figura 4.32).

( ) 20 0 0m E 0.0135 E 0.1065 E 0.0119= ⋅ + ⋅ − (4-42)

( ) 20 0 0m E 0.0153 E 0.1198 E 0.0117= ⋅ + ⋅ − (4-43)

( ) 20 0 0m E 0.0143 E 0.0979 E 0.0178= ⋅ + ⋅ − (4-44),


123

3,00E-02

8,00E-02

1,30E-01

1,80E-01

2,30E-01

2,80E-01

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Energía máxima de los electrones [MeV]

Núm

ero

med

io d

e fo

tone

s de

fren

ado

por e

lect

rón

Ge-MCNPGe-AjusteNaI-MCNPNaI-AjusteCsI-MCNPCsI-Ajuste

Figura 4.32: Ajustes del número medio de fotones de frenado por cada electrón de energía E0 para: NaI, CsI y Ge Figura 50

La función de densidad de probabilidad, o fracción de fotones de frenado emitidos con energía en

el intervalo (E, E + dE) puede escribirse como:

( ) ( )( )

00

0

q E , E dEf E , E dE

m E⋅

⋅ = (4-45)

Ya que no existen funciones analíticas para ( )0f E ,E , en DETEFF realizamos el muestreo con

valores discretos de la función de distribución:

( )( )

( )

0

0 i0

Ei

0.05

q E ,E dE

F E , Em E

⋅

=∫

(4-46),

Donde: ( ) ( ) ( )0 0 i 0 00 F E ,0.05 F E ,E F E , E 1= ≤ ≤ =

Estos valores de las funciones de distribución de probabilidad para la emisión de fotones de

frenado se muestran en las Tablas D1, D2 y D3 del Apéndice D para NaI, CsI y Ge,

respectivamente.


124

Partiendo de las consideraciones anteriores, y siguiendo la secuencia propuesta por [Snyder 1965],

la simulación de la radiación de frenado se realiza como sigue:

a) De los electrones creados durante los procesos de interacción de la radiación gamma, sólo

aquellos con energía inicial superior o igual a 500 keV son considerados para generar fotones

de frenado50.

b) Para la energía inicial del electrón se obtiene el número medio “m” de fotones de frenado que

escapan de una esfera con radio igual al alcance máximo de los electrones. Para ello se

utilizan las funciones: (4-42), (4-43) ó (4-44), dependiendo del material del detector.

c) Con el valor medio “m”, se muestrea el número “n” de fotones de frenado que se emiten

exactamente, asumiendo que esta variable se rige por la función de densidad de probabilidad

de Poisson51 (4-47) y siguiendo el procedimiento que comentamos en el punto 3.3.1 para el

muestreo de variables aleatorias discretas.

( )m ne mp nn!

− ⋅= (4-47),

d) Si n = 0 no se emite ningún fotón de frenado. Si n ≥ 1, se sigue cada fotón por separado. La

energía de estos fotones se muestrea a partir de las funciones de distribución calculadas con

los espectros obtenidos con el código MCNP4C (Tablas del Apéndice D). El muestreo se

lleva a cabo entonces mediante un procedimiento de doble interpolación lineal:

- En primer lugar, para los dos valores de E0 más cercanos a la energía inicial del electrón

se determinan los valores de energía de frenado mediante la interpolación en

( )0 iF E ,E con un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo [0,1).

- Posteriormente, la energía del fotón de frenado se obtiene a partir de una segunda

interpolación lineal en E0 con la energía inicial del electrón.

e) La dirección de los fotones de frenado se muestrea uniformemente en el ángulo sólido 4π sr,

debido a la continua variación de dirección que sufren los electrones secundarios al

interactuar con los átomos del medio.

50Como se aprecia en la Tabla 4.19, para energías inferiores a 500 keV el número medio de fotones de

frenado a considerar es inferior a 0.05 por cada electrón originado en NaI o en Ge. 51La probabilidad de emisión de los fotones de frenado por cada interacción de los electrones es pequeña.


125


-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Energía [keV]

S[%

]

A


-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Energía [keV]

S[%

]

B

Los fotones de frenado se siguen según el esquema de la Figura 4.2. Observando la Figura 4.33

resulta evidente la mejoría lograda en la exactitud de los valores de eficiencia calculados con el

código tras la introducción de este procedimiento para el seguimiento de la radiación de frenado,

en particular para energías de radiación gamma superiores a 1.5 MeV. Como puede apreciarse, las

desviaciones de DETEFF con relación a los valores experimentales u obtenidos con otros códigos

de simulación alcanzan el 5% (para energías de unos 2.0 MeV) si no se considera el efecto de la

radiación de frenado.

Figura 4.33: Desviaciones de los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total calculados con DETEFF (Ed) con relación a los valores de eficiencia obtenidos con el código MCNP4C (Ec) para un detector de HPGe tipo p y varias geometrías de medida: puntual (rombos), cilíndrica (cuadrados) y Marinelli (triángulos). A: Sin procedimiento para el seguimiento de la radiación de frenado; B: Con seguimiento de la radiación de frenado. Las incertidumbres (2σ) en las desviaciones relativas entre ambos códigos no superaron el 1.0 %. Figura 51


126

4.7 Salidas del código El código DETEFF brinda cinco salidas fundamentales que describiremos a continuación: Eficiencia intrínseca total: se calcula como la suma de los pesos estadísticos de los fotones que

interactúan con el volumen activo del detector, dividida por el número de fotones que inciden en el

detector.

Eficiencia intrínseca en el pico de absorción total: se calcula como el cociente entre la suma de

los pesos estadísticos de los fotones que dejan toda su energía en el volumen activo del detector y

el número de fotones incidentes en el detector.

Eficiencia absoluta total: se calcula como el cociente entre la suma de los pesos estadísticos de los

fotones que interactúan con el volumen activo del detector, y el número de fotones emitidos por la

fuente. A esta variable de salida no contribuyen los fotones cuya dispersión ocurre fuera del

volumen activo del detector, por lo que constituye la eficiencia “ideal” requerida durante la

transferencia de eficiencias utilizando el teorema de Moens [Moens et. al., 1981], según vimos en

el punto 2.4.3.

Eficiencia absoluta en el pico de absorción total: se calcula como el cociente entre la suma de los

pesos estadísticos de los fotones que depositan toda su energía en el volumen activo del detector, y

el número de fotones generados por la fuente. Este es el valor de eficiencia utilizado en las

estimaciones de actividad.

Fotofracción es el número de cuentas en el pico de absorción total dividido por el total de fotones

que interactúan en el volumen activo del detector.

Junto con cada valor calculado aparece la incertidumbre estocástica correspondiente en forma de

una desviación estándar, expresada en %. También se muestran: el número de fotones simulados,

la cantidad de números aleatorios generados, el tiempo de trabajo del CPU, y la figura de mérito

del proceso de simulación, que describimos en el punto 3.4.4 y que ejemplificaremos en el

apartado siguiente.


127

4.8 Incertidumbre estocástica

4.8.1 Estimación de la incertidumbre estocástica La incertidumbre estocástica del proceso de simulación se calcula como la desviación estándar

relativa del valor de la eficiencia, partiendo de las bases teóricas que comentamos en el punto

3.4.4. Como vimos en el punto 4.2.4, el código divide el proceso de simulación en lotes o

“experimentos” independientes para calcular el valor medio de las eficiencias obtenidas en estos

“experimentos” y la desviación estándar relativa correspondiente, mediante la expresión (3-26).

4.8.2 Figura de Mérito La figura de mérito (FDM) se calcula según la expresión (3-27). La Tabla 4.20 muestra a

continuación los valores de FDM obtenidos con DETEFF y con el código de uso múltiple MCNP

4C para algunas de las configuraciones típicas de medida con un detector de HPGe.

Tabla 4.20: Valores de la FDM [s-1] en los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total correspondientes a las simulaciones con los códigos MCNP4C y DETEFF, para un detector HPGe tipo p y varias geometrías típicas de medida. 21

Fuente Puntual Fuente Cilíndrica Fuente Marinelli Energía [keV] MCNP4C DETEFF MCNP4C DETEFF MCNP4C DETEFF

40 5.48E+01 4.37E+04 8.13E+00 2.20E+04 1.64E+01 2.54E+04 60 6.86E+02 1.17E+05 1.18E+02 2.76E+04 2.29E+02 3.67E+04 100 1.70E+03 2.32E+05 2.71E+02 2.97E+04 5.32E+02 5.00E+04 160 1.48E+03 6.43E+04 2.08E+02 4.18E+04 4.55E+02 1.61E+04 500 3.46E+02 1.55E+04 6.43E+01 9.59E+03 1.32E+02 1.37E+04

1000 1.50E+02 1.01E+04 3.47E+01 9.15E+03 6.42E+01 7.43E+03 1500 9.45E+01 8.46E+03 2.39E+01 7.16E+03 4.30E+01 4.82E+03 2000 6.16E+01 5.85E+03 1.67E+01 3.87E+03 3.04E+01 4.49E+03

Como puede apreciarse en la Tabla, las FDM del código DETEFF son superiores a las del código

MCNP4C, aproximadamente en 2 órdenes de magnitud. Las diferencias entre las FDM son aún

mayores para energías de los fotones alrededor de 40 keV. Esto es consecuencia de la aplicación

en DETEFF de una de las técnicas de reducción de varianzas, comentadas en el punto 4.5.2, y que

considera la atenuación de los fotones en su camino hacia el volumen activo del detector, en lugar

de seguir las historias de cada fotón individualmente. Es evidente que los fotones de energías

inferiores a 60 keV tienen una mayor probabilidad de ser absorbidos antes de llegar al volumen

activo del detector, por lo que la técnica de reducción de varianzas utilizada es más eficiente en

este rango de energías.


128

MCNP4CDETEFF MCNP 4C

DETEFF

FDMT T

FDM −≈ ⋅

La consecuencia práctica de las diferencias apreciadas entre las FDM de ambos códigos es que

para obtener iguales desviaciones estándar, el código DETEFF requiere mucho menos tiempo que

el código MCNP4C, es decir:

(4-48)

A continuación resumiremos los métodos de reducción de varianza que utilizamos en el código

DETEFF.

4.8.3 Técnicas de reducción de varianza en el código DETEFF En este punto resumiremos los métodos que utiliza el código DETEFF para incrementar la FDM,

es decir, para reducir la incertidumbre estocástica de las simulaciones sin incrementar el tiempo de

trabajo del CPU. Los fundamentos de estas técnicas fueron abordados en el punto 3.4.5, y la

implementación de algunas de ellas la hemos comentado a lo largo del presente capítulo.

4.8.3.1 Truncamiento geométrico

La historia del fotón termina cuando éste no incide en el volumen activo del detector, o cuando lo

abandona. Se considera que la probabilidad de que estos fotones regresen al volumen activo del

detector y produzcan un impulso en el pico de absorción total es despreciable. Por otro lado, como

vimos en el apartado 4.7, las eficiencias totales que calcula DETEFF no incluyen los fotones

dispersados fuera del volumen activo del detector. Este método permite ahorrar tiempo de trabajo

del CPU al no invertirlo en aquellos procesos cuya probabilidad es muy baja.

4.8.3.2 Truncamiento por energía crítica

La historia de cada fotón termina cuando su energía se hace inferior a 10 keV. Se considera que

estos fotones se absorben en el lugar donde se originan, pues su probabilidad de absorción es

considerablemente superior a la probabilidad de dispersión. Por ejemplo, la sección eficaz

macroscópica total correspondiente al efecto fotoeléctrico de fotones de 10 keV en Ge es 35.7

cm2.g-1, mientras que para la dispersión (inelástica + coherente) es de apenas 1.7 cm2.g-1. Además,

el recorrido libre medio de estos fotones es significativamente pequeño en los materiales de los

detectores considerados, siendo de apenas 52 μm en Ge. Esta técnica permite igualmente ahorrar

tiempo de CPU.

Como comentamos en el punto 4.6.4.1, el seguimiento de la radiación electromagnética

característica tras el efecto fotoeléctrico es importante para energías relativamente bajas de los


129

fotones incidentes. Debido a que en Ge la radiación X característica predominante (líneas Kα )

tiene energías inferiores a 10 keV, hemos incorporado un procedimiento específico para el

seguimiento de esta radiación característica. El procedimiento se activa cuando la energía de los

fotones incidentes es inferior a 100 keV, pues su interacción ocurre mayormente en las cercanías

de la superficie del cristal, con una probabilidad no despreciable para el escape de la radiación

característica, como puede apreciarse en las Figuras 4.22 a la 4.24.

En DETEFF se considera que los electrones secundarios son absorbidos en el punto donde se

produjeron, independientemente de su energía. No obstante, como comentamos en el punto

4.6.4.4.1, se establece un procedimiento de corrección simple y rápido para el posible escape de

aquellos electrones que surgen en las inmediaciones de la superficie del volumen activo del

detector y cuya energía cinética inicial es mayor que 500 keV. También, como vimos en el punto

4.6.4.4.2, el código incorpora un procedimiento relativamente rápido para el seguimiento de la

radiación de frenado producida por electrones cuya energía cinética inicial es igual o superior a

500 keV. Estos procedimientos se basan en los resultados de simulaciones previas realizadas con

el código MCNP4C, lo que permite un ahorro importante de tiempo de CPU durante las

simulaciones con el código DETEFF.

4.8.3.3 Estratificación Como comentamos en el apartado 4.4, durante la generación de fotones en el interior de las fuentes

con geometría cilíndrica o rectangular se realiza el muestreo modificado del vector de dirección de

los fotones, siguiendo una distribución uniforme en el ángulo sólido 2π sr, en la dirección del

detector. En consecuencia, el peso estadístico de los fotones se reduce a la mitad, pero se logra un

mayor “aprovechamiento” de los fotones generados, con una disminución en la desviación

estándar de los valores de eficiencia.

4.8.3.4 Muestreo modificado con interacciones evitadas Como vimos en el punto 4.5.2, DETEFF no simula los procesos que tienen lugar en los diferentes

medios fuera del volumen activo del detector. En lugar de ello, considera que todos los fotones

generados en la dirección del volumen activo del detector llegan a éste; pero con un peso

estadístico modificado para considerar la probabilidad de interacción en su camino hacia el

detector (Ver la ecuación 4-17). Esta técnica permite “aprovechar” cada uno de los fotones que se

generen en la dirección del detector, por muy pequeña que sea su contribución al pico de absorción

total, reduciéndose la desviación estándar de las eficiencias calculadas.

En este capítulo hemos descrito la implementación de los diferentes métodos de simulación Monte

Carlo en el código DETEFF, apoyándonos en los fundamentos teóricos tratados en el Capítulo 3.


130

En el capítulo siguiente abordaremos los resultados de los estudios de verificación y validación

realizados para diferentes tipos de detectores y geometrías de medida implementadas en el código.

131

CAPÍTULO 5

RESULTADOS DE VERIFICACIÓN Y VALIDACIÓN DEL CÓDIGO DETEFF 5.1 Introducción

Existen pautas definidas para la gestión de la calidad y la mejora continua de un programa de

cálculo durante todo el ciclo de su vida [ANSI, 1987], [ISO 9000-3, 1997], [FDA, 2002]. La

verificación y la validación experimental son dos requisitos importantes para este fin, que se

apoyan en la adecuada documentación del código y se nutren tanto de los ejercicios concebidos

por sus creadores, como de la retroalimentación proporcionada por los usuarios.

La verificación del código se ha realizado de forma gradual y sistemática, en cada una de las

etapas de su desarrollo. La programación modular ha facilitado el chequeo de la correcta

utilización de las variables de entrada, el funcionamiento adecuado de las variables de salida, y las

pruebas independientes a cada procedimiento antes de su implementación, reduciéndose de esta

forma el riesgo de introducción de errores durante la incorporación de modificaciones y mejoras.

Como comentamos en el punto 4.2.7, el código contiene un sistema de ayuda para reducir el riesgo

de error por manejo incorrecto, y como medida de control adicional se chequea el formato y el

rango de los datos de entrada, mostrando los mensajes de error pertinentes y remitiendo al usuario

a la ventana correspondiente, antes de asignar los valores a las variables internas de cálculo.

Además de las medidas adoptadas durante la planificación, codificación e implementación de

DETEFF, sus diferentes versiones han sido verificadas mediante cálculos manuales, y la

comparación de sus resultados con los publicados u obtenidos por otros códigos validados. Por

otro lado, la validación de DETEFF se ha apoyado esencialmente en la comparación de sus

resultados con los obtenidos experimentalmente. En este capítulo presentamos los principales

resultados alcanzados en estos ejercicios de verificación y validación experimental. En el próximo

capítulo comentaremos algunos de los trabajos que se han realizado con el código, como parte de

la retroalimentación requerida para complementar su proceso continuo de validación y desarrollo.

Capítulo 5 Resultados de verificación y validación del código DETEFF

132

5.2 Resultados de las comparaciones con otros códigos

5.2.1 Comparaciones para detectores de NaI La primera versión del código se verificó esencialmente mediante la comparación con los

resultados de las simulaciones realizadas por [Belluscio, et. al., 1974] y [Giannini, et. al., 1970]

para un detector de NaI desnudo de 3” x 3” (7.62 cm x 7.62 cm) y una fuente puntual a 10 cm de la

superficie del cristal. Los resultados fueron publicados en [Cornejo Díaz y Mann, 1996]. La Tabla

5.1 recoge los resultados de la comparación, realizada ahora con la versión más reciente del

código. Se aprecia una buena concordancia en el marco de las incertidumbres de los resultados.

Tabla 5.1: Resultados de los cálculos de eficiencia para un detector de NaI (3” x 3”) y una fuente puntual a 10cm del cristal. Las incertidumbres corresponden a 1σ. 22

Eficiencia intrínseca en el fotopico Eficiencia intrínseca total Fotofracción Energía [MeV] (1) (2) (3) (1) (2) (1) (2) 0.320 0.641 ± 0.002 0.65 ± 0.03 0.634 0.762 ± 0.002 0.76 ± 0.03 0.84 ± 0.01 0.85 ± 0.04 0.662 0.349 ± 0.001 0.35 ± 0.02 0.340 0.615 ± 0.002 0.60 ± 0.03 0.57 ± 0.01 0.57 ± 0.04 1.173 0.210 ± 0.001 0.21 ± 0.02 0.209 0.520 ± 0.001 0.52 ± 0.03 0.40 ± 0.01 0.42 ± 0.03 1.332 0.187 ± 0.001 0.19 ± 0.02 0.187 0.501 ± 0.002 0.49 ± 0.03 0.37 ± 0.01 0.39 ± 0.03 1.520 0.167 ± 0.001 0.16 ± 0.01 0.167 0.482 ± 0.002 0.48 ± 0.03 0.35 ± 0.01 0.33 ± 0.03 1.850 0.140 ± 0.001 0.14 ± 0.01 0.139 0.459 ± 0.003 0.47 ± 0.03 0.30 ± 0.01 0.28 ± 0.03

(1) DETEFF (Versión 4.2) (2) [Belluscio, et. al., 1974] (3) [Giannini, et. al., 1970]. Las desviaciones estándar no fueron publicadas. Se ha realizado además la comparación con los resultados del código MCNP4C [Briesmeister,

2000] para un modelo de detector similar al NaI 802 de CANBERRA [CANBERRA, 2003], con

los datos que se resumen en la Tabla 5.2. Durante las simulaciones con el código MCNP se

utilizaron las bibliotecas de datos mcplib04 [White, 2002] y el03 [Adams, 2000] para el transporte

de fotones y electrones, respectivamente. Se empleó una energía de corte igual a 10 keV para

electrones y 1 keV para fotones. Las eficiencias absolutas en el pico de absorción total (EPAT)

fueron calculadas para valores discretos de energía entre 40 y 2000 keV, y para una muestra

cilíndrica de H2O, de 90 mm de diámetro y 40 mm de altura de llenado, ubicada a 5 mm del

detector. La Figura 5.1 ofrece la imagen del sistema simulado, obtenida con el código

VISED8E_95 [Carter y Schwartz, 2002], a partir del archivo de entrada de datos del código

MCNP4C.

Tabla 5.2: Datos básicos del detector de NaI(Tl) considerado 23

Parámetro Valor (mm) Diámetro del cristal 76.2 Longitud del cristal 76.2 Espesor del reflector de Al2O3 1.6 Espesor de la cubierta de Al 1.0 Diámetro externo de la cubierta de Al 84.0

Nota: En DETEFF, la capa superior del reflector de Al2O3 se simuló mediante la opción “Filtro”. Se añadió a la cubierta lateral de Al el espesor equivalente del reflector, para cada energía.


133

Cubierta de Al

Reflector de Al2O3

Cristal de NaI(Tl)

Muestra

Cubierta de Al

Reflector de Al2O3

Cristal de NaI(Tl)

Muestra

100 1000

2

4

6

8

10

Efic

ienc

ia (%

)

Energía [keV]

Figura 5.1: Imagen del detector NaI(Tl) y la muestra cilíndrica , según el archivo de entrada de datos del código MCNP4C Figura 52

En la Figura 5.2 se muestran los valores de eficiencia calculados con DETEFF y con MCNP4C. El

número de fotones a generar se ajustó de forma que la incertidumbre estocástica asociada a cada

valor de eficiencia calculada con DETEFF fuera menor que 0.2%, e inferior al 0.5% para los

valores de eficiencia obtenidos con el código MCNP4C. Los tiempos de ejecución, con un

procesador Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz, fueron inferiores a 1 minuto con DETEFF y

de aproximadamente 15 minutos con MCNP.

Figura 5.2: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos) para un detector de NaI(Tl) (3”x 3”) y una fuente cilíndrica de H2O, de 90 mm diámetro y 40 mm de altura de llenado, colocada a 5 mm de la superficie del detector. Las líneas de puntos conectan los valores obtenidos con el código MCNP4C. Figura 53


134

La Tabla 5.3 muestra las desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF

y con el código MCNP4C. Como se puede apreciar, existe un acuerdo muy satisfactorio entre los

valores de eficiencia calculados.

Tabla 5.3 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos con el código MCNP4C para un detector de NaI(Tl) de 3”x3” y una fuente cilíndrica a 0.5cm sobre el detector, para energías de los fotones entre 40 y 2000 keV. 24

Energía [keV] Desviación [%] Energía [keV] Desviación [%] 40.00 0.06 500.00 1.15 45.00 0.10 700.00 0.87 60.00 0.20 1000.00 0.29 80.00 0.34 1200.00 -0.21 100.00 0.44 1400.00 0.48 120.00 0.52 1500.00 0.57 140.00 0.44 1600.00 0.74 160.00 0.81 1800.00 0.54 200.00 0.69 1900.00 0.49 300.00 0.56 2000.00 0.63

Desviación media 0.51

Nota: La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de todas las desviaciones

5.2.2 Comparación para un detector de CsI Siguiendo un procedimiento similar al del punto 5.2.1, realizamos la comparación con los

resultados del código MCNP4C [Briesmeister, 2000] para un detector de CsI(Tl), con iguales

características que en la Tabla 5.2. Las bibliotecas de datos del código MCNP, la geometría de

medida, las energías de los fotones y la composición de la muestra, se tomaron iguales al ejercicio

de comparación para el NaI (Tl) descrito en el punto 5.2.1.

En la Figura 5.3 se muestran los valores de eficiencia calculados con DETEFF y con MCNP4C. El

número de fotones se ajustó para lograr incertidumbres estocásticas inferiores al 0.2% con

DETEFF e inferiores a 0.5% con MCNP4C. Los tiempos de ejecución fueron similares a los

indicados en el punto 5.2.1. Por otro lado, la Tabla 5.4 muestra las desviaciones relativas entre los

valores calculados con DETEFF y con el código MCNP4C. Se aprecia un acuerdo muy

satisfactorio entre los valores de eficiencia calculados, con un ligero incremento de las

desviaciones para energías inferiores a los 60 keV, probablemente dadas por diferencias en las

secciones eficaces de interacción utilizadas por ambos códigos.


135

100 1000

2

4

6

8

10Ef

icie

ncia

(%)

Energía [keV]

Figura 5.3: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos) para un detector de CsI(Tl) (3”x 3”) y una fuente cilíndrica de H2O, con 90 mm de diámetro y 40 mm de altura de llenado, a 5 mm de la superficie del detector. Las líneas de puntos conectan los valores obtenidos con el código MCNP4C. Figura 54

Tabla 5.4 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos con el código MCNP4C para un detector de CsI(Tl) de 3”x3” y una fuente cilíndrica a 0.5cm sobre el detector, para energías de los fotones entre 40 y 2000 keV. 25

Energía [keV] Desviación [%] Energía [keV] Desviación [%] 40.00 1.39 500.00 0.93 45.00 1.05 700.00 0.59 60.00 1.10 1000.00 -0.23 80.00 0.75 1200.00 0.06

100.00 0.84 1400.00 -0.34 120.00 0.62 1500.00 -0.55 140.00 0.70 1600.00 0.00 160.00 0.78 1800.00 -0.08 200.00 0.74 1900.00 0.11 300.00 0.66 2000.00 0.17


Nota: La última fila contiene el promedio de los valores absolutos de todas las desviaciones


136

10

40

11

60

70

1

44

6070

1

10

40

11

60

70

1

44

6070

1

5.2.3 Comparaciones para detectores de Ge 5.2.3.1 Modelo simplificado de detector Con el objetivo de verificar los procedimientos físicos implementados en DETEFF para la

modelización de los detectores de Ge, se realizó una comparación detallada de sus resultados con

los proporcionados por los códigos de uso múltiple MCNP4C [Briesmeister, 2000] y Penélope

[Salvat, et. al., 2006]. Con el código MCNP se utilizaron las mismas energías de corte y

bibliotecas de datos que fueron empleadas en las comparaciones para NaI y CsI. Para las

simulaciones con PENELOPE se utilizó el programa PENCYL, que facilita la simulación del

transporte de fotones y electrones en estructuras cilíndricas de capas múltiples. La energía de corte

utilizada con este código fue de 1 keV, tanto para fotones, como para electrones. Durante el

estudio se utilizó el modelo de detector de HPGe (tipo p) que empleó el Comité Internacional de

Metrología de Radionúclidos (ICRM) en el recién concluido ejercicio de intercomparación de

códigos de Monte Carlo aplicados a la espectrometría de radiación gamma [Vidmar et. al. 2008a].

Las características del detector se muestran en la Tabla 5.5 y en la Figura 5.4. Como comentamos

en el punto 2.2.3, este tipo de detector demanda la simulación adecuada de un número de

parámetros superior al resto de los detectores simulados con DETEFF.

Tabla 5.5: Datos del detector de HPGe considerado en el ejercicio del ICRM 26

Parámetro Valor (mm)

Diámetro del cristal 60 Longitud del cristal 60 Capa muerta (frontal y lateral) 1 Diámetro del Core 10 Profundidad del Core 40 Distancia desde el cristal a la cubierta de Al 4 Diámetro de la cubierta de Al 70 Longitud de la cubierta de Al 70 Espesor de la cubierta de Al 1

Figura 5.4: Modelo de detector de HPGe (ICRM). Las dimensiones están dadas en mm.

Figura 55


137

102

82

13

10

36

3

102

82

13

10

36

3

Las eficiencias absolutas en el pico de absorción total fueron calculadas para valores discretos de

energía en el intervalo entre 40 keV y 2000 keV y para las siguientes geometrías de medida:

puntual (a la distancia de 5 mm del detector), cilíndrica (90 mm de diámetro y 40 mm de altura de

llenado, a la distancia de 5 mm del detector) y Marinelli con las dimensiones que se indican en la

Figura 5.5. Con el código Penélope se simularon sólo las dos primeras geometrías y algunas de las

energías, en el marco del ejercicio de intercomparación mencionado anteriormente. Para el

material de las muestras consideramos H2O, aunque con una densidad hipotética de 3 g.cm-3, para

realzar así la comparación en un caso de gran autoabsorción.

Figura 5.5: Geometría con fuente Marinelli (agua de 3.0 g.cm-3) a 3mm de la superficie exterior del detector. Las dimensiones están indicadas en mm. Figura 56

Los valores de eficiencia calculados con DETEFF y MCNP4C se muestran en la Figura 5.6 para

las tres geometrías del estudio. El número de fotones a generar se ajustó de forma que la

incertidumbre estocástica asociada a cada valor de eficiencia fuera menor que 0.2% para la

calculada con DETEFF, e inferior al 0.5% para la obtenida con el código MCNP4C. Los tiempos

de ejecución, con un procesador Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz, fueron inferiores a 1

minuto con DETEFF y de aproximadamente 40 minutos con MCNP. Como puede deducirse de la

expresión (3-27), para alcanzar incertidumbres del orden del 0.2% con el código MCNP se

requerirían tiempos superiores a 250 minutos. Debemos destacar que la técnica de reducción de

varianzas utilizada con el código MCNP fue el corte por energía crítica, con un valor de 1 keV

para fotones y 10 keV para electrones.


138

100 1000

10-3

10-2

10-1

Puntual

Marinelli

Efic

ienc

ia

Energía [keV]

Cilíndrica

Figura 5.6: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos) para las tres geometrías de las fuentes. Las líneas de puntos conectan los valores obtenidos con el código MCNP4C. Figura 57 La Tabla 5.6 muestra las desviaciones relativas entre los valores calculados con DETEFF y con el

código MCNP4C52, mientras que la Tabla 5.7 recoge las desviaciones relativas de DETEFF con

relación al código PENELOPE.

Como se puede apreciar, existe un acuerdo muy satisfactorio entre los valores de eficiencia

calculados para las tres geometrías. Debido a la elevada densidad de las muestras volumétricas y a

la correspondencia en los valores de eficiencia generados, puede concluirse que el procedimiento

no análogo utilizado en DETEFF para la corrección de la atenuación fotónica en las muestras es

adecuado.

En una segunda etapa de este ejercicio de verificación del código se realizó la comparación de sus

resultados con los obtenidos por los participantes en el referido ejercicio de intercomparación

internacional (ver la Tabla 5.8), quienes utilizaron los códigos: MCNPX, GEANT3, GEANT4,

PENELOPE, EGS4, GESPECOR y TRIPOLI-4 [Vidmar et. al. 2008a]. En la Tabla 5.9 se

52Resultados similares, aunque con desviaciones superiores en ambos extremos del intervalo de energías

considerado, fueron obtenidos con la versión 4.1 de DETEFF [Cornejo Díaz y Jurado Vargas, 2008], que no incluía aún el seguimiento de la radiación de frenado y algunas actualizaciones en las secciones eficaces para bajas energías.


139

muestran las desviaciones de los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total

obtenidos con DETEFF, con relación a las medianas de los valores de eficiencia reportados por el

universo de participantes en el ejercicio, para cada valor de energía [Vidmar et. al. 2008b]. Las

geometrías que se utilizaron en el ejercicio fueron la puntual y la cilíndrica descritas

anteriormente.

Tabla 5.6: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y con el código MCNP4C para las diferentes geometrías de las muestras consideradas 27

Desviación [%] Energía [keV] Puntual Cilíndrica Marinelli 40 -0.99 -0.88 -0.81 45 -1.11 -0.73 -0.91 60 -0.45 -0.40 -0.87 80 0.03 -0.09 -1.04

100 -0.05 -0.51 -0.90 120 -0.04 -0.10 -0.70 140 0.01 0.13 -0.44 160 0.00 0.40 -0.30 300 0.14 -0.03 0.31 500 0.19 0.54 0.06 700 0.23 0.08 -0.48

1000 0.27 -0.48 0.16 1200 -0.10 -0.70 -0.30 1400 0.03 -0.75 -0.85 1500 0.02 -0.54 -0.73 1600 0.07 -0.65 -0.67 1800 0.58 -0.30 -0.64 1900 0.61 0.26 -0.27 2000 0.85 0.32 0.69

Desviaciones Medias 0.30 0.42 0.59

Nota: La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de las desviaciones en cada una de las geometrías estudiadas.

Tabla 5.7: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y con el código PENELOPE para la muestra puntual y cilíndrica 28

Desviación [%] Energía [keV] Puntual Cilíndrica 45 -0.05 0.05 60 0.30 -0.11

120 0.18 -0.25 500 0.30 -0.07 2000 0.21 -0.33

Desviaciones Medias 0.21 0.16

Nota: Las desviaciones estándar de los valores de eficiencia calculados con PENELOPE fueron inferiores al 0.30%. La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de las desviaciones en cada una de las geometrías estudiadas.


140

Tabla 5.8: Participantes en el ejercicio internacional de comparación de códigos de simulación Monte Carlo aplicados a la espectrometría de radiación gamma [Vidmar et. al. 2008a] 29

Institución País Instituto Jozef Stefan Eslovenia Laboratorio Nacional Henri Becquerel Francia Universidad Técnica Nacional de Atenas Grecia Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) Alemania Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen Austria Instituto Max-Planck de Física Nuclear Alemania ENEA, INMRI Italia IPEN-CNEN Brasil Preparatory Comission for the CTBTO Austria EC-JRC-IRMM Bélgica Universidad de Sevilla España Universidad de Extremadura España INFN, LNGS Italia Korea Research Institute of Standards and Science República de Corea CIEMAT España NIST Estados Unidos Physics Department, Bucharest University Rumania

Tabla 5.9: Comparación de los valores de EPAT obtenidos con DETEFF con las medianas de los valores de EPAT reportados por los participantes en el ejercicio de intercomparación [Vidmar et. Al. 2008b]. La columna denotada como S [%] recoge las desviaciones porcentuales de DETEFF. 30

Fuente Puntual Fuente Cilíndrica E[keV] MEDIANAS DETEFF S [%] MEDIANAS DETEFF S [%] 45 1.102E-02 1.096E-02 -0.54 1.306E-03 1.291E-03 -1.16 60 6.226E-02 6.213E-02 -0.21 7.472E-03 7.430E-03 -0.56 120 1.945E-01 1.944E-01 -0.05 2.526E-02 2.519E-02 -0.28 500 7.238E-02 7.260E-02 0.30 1.377E-02 1.378E-02 0.06

2000 2.251E-02 2.255E-02 0.19 5.738E-03 5.707E-03 -0.54 Nota: Las desviaciones estándar de los resultados de eficiencia no superan el 0.30%. La Tabla 5.9 muestra un acuerdo muy satisfactorio de los resultados del código DETEFF con los

reportados por los participantes en el ejercicio. Las desviaciones obtenidas son incluso inferiores a

las reportadas entre los participantes, que llegaron a alcanzar el 10% para bajas energías. Las

razones de estas diferencias tienen explicación en algunos casos, como en GEANT3, donde las

secciones eficaces utilizadas por este código para bajas energías no coinciden con los valores

reportados en la bibliografía y donde la energía de corte prefijada de 10 keV impide el tratamiento

adecuado de la radiación de rayos X característica del Ge [Décombaz et. al., 1992]. En el resto de

los casos se están investigando las razones de las desviaciones encontradas [Vidmar et. al. 2008a].


141

Cubierta de Al, del criostato

Anillos de Al, del soporte

Soporte de Al

Capa muerta de Ge

Preamplificador

Contacto de Al, en el interior del core

Ventana de Al,del soporte

Aislante Corte de protección

Cubierta de Al, del criostato

Anillos de Al, del soporte

Soporte de Al

Capa muerta de Ge

Preamplificador

Contacto de Al, en el interior del core

Ventana de Al,del soporte

Aislante Corte de protección

5.2.3.2 Modelo de detector real

En [Dryak y Kovar, 2006], los autores comparan los resultados experimentales de EPAT con los

obtenidos mediante simulación por Monte Carlo, utilizando el código MCNP y un modelo

matemático muy preciso de un detector coaxial de HPGe GC 4018, tipo p, de la firma

CANBERRA, con un 40% de eficiencia relativa para 1.333 MeV. La caracterización del detector

se realizó aplicando diferentes técnicas no destructivas, como: la radiografía (con rayos X y

gamma) para deducir las dimensiones de las diferentes estructuras, la fluorescencia de rayos X

para estudiar la composición de los materiales del detector, y el empleo de haces colimados de baja

energía y diferentes ángulos de incidencia para determinar el espesor de la capa muerta y las

dimensiones exactas del volumen activo del detector.

Nuestro ejercicio de comparación se ha realizado, en esta ocasión, partiendo del archivo de entrada

de datos del código MCNP, con la modelización detallada del detector GC 4018 [Dryak, 2007]. La

Figura 5.7 muestra una imagen del detector con sus principales componentes y la Tabla 5.10

resume las principales características de interés para la simulación con el código DETEFF. La

longitud del cristal se ajustó para considerar el volumen de Ge que falta debido al corte de

protección en la base del cristal. Por otro lado, el volumen de los anillos del soporte del detector se

distribuyó de forma uniforme a lo largo del soporte lateral. Las eficiencias fueron calculadas para

valores discretos de energía, entre 39.91 keV y 1836.03 keV, y para las siguientes geometrías de

medida: puntual (a las distancias de 25cm, 10cm, 5cm y 1cm) y Marinelli de 500 ml, con las

dimensiones que se indican en la Figura 5.8 y paredes de polipropileno de densidad 0.884 g.cm-3.

Como material de llenado del recipiente Marinelli se consideró H2O.

Figura 5.7: Imagen del detector HPGe CG 4018 simulado con el código MCNP4C, obtenida con el sistema VISED8E_95 [Carter y Schwartz, 2002]. Figura 58


142

15.9

63

15

3

90

120

2

15.9

63

15

3

90

120

2

Tabla 5.10: Datos básicos del detector de HPGe modelo GC 4018 31

Parámetro Valor (mm)

Diámetro del cristal 62.5 Longitud del cristal 59 Capa muerta (frontal y lateral) 0.5325 Radio del redondeamiento de las esquinas superiores 1.81 Diámetro del Core 10 Profundidad del Core 42 Profundidad del corte de protección en la base 2.06 Diámetro del corte de protección 27.43 Distancia entre el cristal y la cubierta de Al 5 Diámetro externo de la cubierta de Al 8.25 Espesor de la cubierta de Al 1.5 Espesor de la ventana de Al en el soporte 0.6 Espesor del soporte de Al 1 Altura de los anillos del soporte 7 Grosor de los anillos del soporte 4.32

Figura 5.8: Imagen obtenida con el sistema VISED8E_95 [Carter y Schwartz, 2002], indicando la geometría Marinelli. Las dimensiones están dadas en mm. Figura 59 Los valores de eficiencia calculados con DETEFF y con MCNP4C se muestran en las Figuras 5.9

y 5.10 para las geometrías de estudio. Como en los ejercicios anteriores, la incertidumbre

estocástica asociada a cada valor de eficiencia fue menor que 0.2% con DETEFF, e inferior al

0.5% con el código MCNP4C. Los tiempos de ejecución, con un procesador Intel Centrino Duo

T5600 2 x 1.83 GHz, fueron de aproximadamente 1 minuto con DETEFF y 30 minutos con

MCNP. Debe resaltarse que con el objetivo de reducir cualquier posibilidad de sesgo durante las

simulaciones con el código MCNP, la única técnica de reducción de varianzas utilizada fue el

corte por energía crítica, con iguales valores a los indicados en el punto 5.2.3.1.


143

100 1000

10-3

10-2

10-1

25 cm

5 cmEf

icie

ncia

Energía [keV]

10 cm

100 1000

10-2

10-1

Puntual a 1 cm

Efic

ienc

ia

Energía [keV]

Marinelli

Figura 5.9: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos) para las fuentes puntuales a 25 cm, 10 cm y 5 cm. Las líneas de puntos conectan los valores obtenidos con el código MCNP4C. Figura 60

Figura 5.10: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos) para la fuente puntual a 1 cm y el recipiente Marinelli. Las líneas de puntos conectan los valores obtenidos con el código MCNP4C. Figura 61


144

La Tabla 5.11 muestra las desviaciones relativas entre los valores calculados con DETEFF y con el

código MCNP4C. Se aprecia un acuerdo muy satisfactorio entre los valores de eficiencia

calculados, con un ligero incremento de las desviaciones para la energía de 39.91 keV. Estas

desviaciones pudieran deberse a diferencias en las secciones eficaces de interacción utilizadas por

ambos códigos. Es importante señalar que, como se mencionó en el punto 5.2.3.1, discrepancias

aún mayores para estas bajas energías se apreciaron durante la intercomparación detallada de los

códigos de simulación Monte Carlo más empleados en espectrometría de radiación gamma, que

fue organizada por el Comité Internacional de Metrología de Radionúclidos (ICRM) a finales del

año 2006 [Vidmar et. al. 2008a].

Tabla 5.11: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos con el código MCNP4C para un detector HPGe modelo GC 4018 de la firma CANBERRA [Dryak 2007], y diferentes geometrías de medida. 32

Fuentes puntuales Energía [keV] 25 cm 10 cm 5 cm 1 cm

Recipiente Marinelli

39.91 2.32 2.51 1.64 1.24 0.07 59.54 0.35 0.24 -0.40 0.07 0.82 88.04 0.34 -0.21 0.69 0.61 -0.20

121.78 0.33 0.33 0.31 0.52 -0.58 122.06 0.55 0.50 0.43 0.58 -0.67 165.85 0.75 0.06 0.41 0.65 -0.72 244.70 0.47 0.15 0.43 0.62 -0.46 344.28 0.53 0.15 0.52 0.91 -0.23 514.00 0.22 0.21 0.70 0.77 0.07 604.64 0.68 0.73 0.68 0.58 0.24 661.65 0.68 0.82 0.72 0.66 0.55 778.91 1.05 0.71 0.93 0.80 0.90 795.84 0.63 0.90 0.88 0.49 0.66 834.84 0.70 0.94 1.16 0.56 0.96 898.02 0.92 0.99 0.86 0.52 0.84 964.01 0.35 0.89 0.75 0.55 1.00

1173.21 0.44 1.01 1.27 0.91 1.09 1332.47 0.78 1.03 1.34 0.98 1.09 1408.04 0.54 1.01 1.34 0.97 0.78 1836.03 1.23 1.13 1.86 0.94 1.05

Desviación Media 0.69 0.72 0.87 0.70 0.65

Nota: La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de las desviaciones en cada una de las geometrías estudiadas.


145

5.2.4 Comparación para un detector de Si Con el objetivo de verificar el código DETEFF para la simulación de detectores de Si, se realizó

la comparación con los resultados del código MCNP4C [Briesmeister, 2000] para un modelo de

detector similar al SL 80175 (80mm2) de la firma CANBERRA [CANBERRA, 2003]. La Figura

5.11 muestra la imagen del detector con sus principales componentes, cuyas especificaciones

aparecen en la Tabla 5.12.

Durante las simulaciones con MCNP se utilizaron las bibliotecas de datos mcplib04 [White, 2002]

y el03 [Adams, 2000] para el transporte de fotones y electrones, respectivamente. Como técnica de

reducción de varianzas se empleó el corte por energía crítica, con los valores utilizados en los

ejercicios anteriores. Las eficiencias absolutas en el pico de absorción total fueron calculadas para

valores discretos de energía entre 10 y 60 keV, y para una muestra plana de 12 mm de diámetro,

colocada a 5 mm de la ventana del detector.

Figura 5.11: Imagen del detector Si(Li) SL 80175 (80mm2), obtenida con el sistema VISED8E_95 [Carter y Schwartz, 2002] a partir del archivo de entrada de datos de MCNP. Figura 62

Tabla 5.12: Datos básicos del detector de Si(Li) modelo SL 80175 33

Parámetro Valor (mm) Diámetro del cristal 10.1 Ancho del cristal 5 Capa muerta de Si 1.0E-4 Espesor del contacto de Au 2.0E-5 Espesor de la ventana de Be 0.025 Diámetro de la ventana de Be 10.1 Distancia entre el cristal y la ventana de Be 2 Diámetro externo de la cubierta de Al 13.1 Espesor de la cubierta de Al 1 Espesor del soporte de Al 3

Nota: En DETEFF, el contacto de Au se simuló con la opción “Filtro”.

Si(Li)

Ventana de BeCapa muerta + Contacto de Au

Muestra

Soporte + Cubierta de Al

Si(Li)

Ventana de BeCapa muerta + Contacto de Au

Muestra

Soporte + Cubierta de Al


146

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

1

2

3

4

5

6

7

Efic

ienc

ia (%

)

Energía [keV]

En la Figura 5.12 se muestran los valores de eficiencia calculados con DETEFF y con MCNP4C.

El número de fotones a generar se ajustó de forma que la incertidumbre estocástica asociada a cada

valor de eficiencia fuera menor que 0.2% para las simulaciones con ambos códigos. Los tiempos

de ejecución, con un procesador Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz, fueron aproximadamente

1 minuto con DETEFF y 5 minutos con MCNP. La Tabla 5.13 muestra las desviaciones relativas

entre los valores calculados con DETEFF y con el código MCNP4C. Se aprecia un acuerdo muy

satisfactorio entre ambos códigos.

Figura 5.12: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y MCNP4C (triángulos) para una fuente plana de 12 mm de diámetro, a 5mm de la ventana de un detector de Si(Li) SL 80175 (80mm2) . Las líneas de puntos conectan los valores obtenidos con el código MCNP4C. Figura 63

Tabla 5.13: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos con el código MCNP4C, para un detector Si(Li) modelo SL 80175 y una fuente plana a 5 mm de la ventana de entrada del detector.34

Nota: La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de las desviaciones

Energía [keV] Desviación [%] Energía [keV] Desviación [%] 10 0.73 36 -0.25 12 1.15 38 -0.01 14 1.21 40 -0.06 16 0.89 42 1.15 18 0.69 44 0.87 20 0.34 46 0.29 22 0.27 48 -0.21 24 0.25 50 0.48 26 0.25 52 0.57 28 0.13 54 0.74 30 -0.95 56 0.54 32 -0.02 58 0.49 34 -0.04 60 0.63



147

5.3 Resultados de los ejercicios de validación experimental

5.3.1 Estudio del Instituto de Metrología de la República Checa En este punto mostramos los resultados de la comparación de las eficiencias calculadas con el

código DETEFF y las obtenidas experimentalmente en [Dryak y Kovar, 2006]. Como comentamos

en el punto 5.2.3.2, estos autores realizaron una caracterización exhaustiva de un detector coaxial

de HPGe GC 4018, tipo p, de la firma CANBERRA, y proporcionaron tanto los datos del detector

(Ver la Figura 5.7 y la Tabla 5.10) como los resultados experimentales de EPAT para una fuente

puntual a 25cm de distancia. Las simulaciones con el código DETEFF para esta distancia se

realizaron según se indicó en el punto 5.2.3.2. La Tabla 5.14 muestra los valores de eficiencia

experimentales (EPATe) y los calculados con DETEFF (EPATd), así como las desviaciones

relativas (S[%]) entre estos para cada una de las energías simuladas. En general se aprecia un

acuerdo muy aceptable, considerando las incertidumbres asociadas a las desviaciones.

Tabla 5.14: Valores de EPAT experimentales [Dryak y Kovar, 2006] y calculados, para una fuente puntual a 25cm de un detector de HPGe, modelo GC 4018, de la firma CANBERRA 35

Radionúclido Energía [keV] EPATe Ue [%] EPATd Ud [%] S[%]

152Eu 39.91 4.618E-04 0.77 4.599E-04 0.16 -0.40 ± 1.57241Am 59.54 1.715E-03 0.58 1.709E-03 0.20 -0.34 ± 1.22109Cd 88.04 2.470E-03 0.55 2.497E-03 0.18 1.09 ± 1.17152Eu 121.78 2.609E-03 0.74 2.658E-03 0.17 1.89 ± 1.5557Co 122.06 2.616E-03 0.83 2.664E-03 0.16 1.85 ± 1.72139Ce 165.85 2.447E-03 0.91 2.510E-03 0.19 2.57 ± 1.91152Eu 244.70 1.977E-03 0.75 2.025E-03 0.12 2.42 ± 1.56152Eu 344.28 1.535E-03 0.73 1.565E-03 0.15 1.93 ± 1.5285Sr 514.00 1.108E-03 0.81 1.132E-03 0.20 2.17 ± 1.70

134Cs 604.64 9.832E-04 0.51 1.002E-03 0.12 1.91 ± 1.07137Cs 661.65 9.104E-04 0.84 9.351E-04 0.10 2.71 ± 1.74152Eu 778.91 8.203E-04 0.72 8.298E-04 0.11 1.16 ± 1.47134Cs 795.84 8.005E-04 0.59 8.132E-04 0.13 1.59 ± 1.2354Mn 834.84 7.725E-04 0.51 7.854E-04 0.16 1.67 ± 1.09

88Y 898.02 7.376E-04 1.06 7.452E-04 0.24 1.03 ± 2.20152Eu 964.01 6.961E-04 0.72 7.040E-04 0.26 1.13 ± 1.5560Co 1173.21 6.022E-04 0.60 6.097E-04 0.10 1.25 ± 1.2360Co 1332.47 5.462E-04 0.60 5.551E-04 0.07 1.63 ± 1.23152Eu 1408.04 5.231E-04 0.76 5.304E-04 0.15 1.39 ± 1.57

88Y 1836.03 4.210E-04 1.01 4.304E-04 0.16 2.23 ± 2.09Desviación Media 1.62

Nota: Ue y Ud denotan la incertidumbre (1σ) de EPATe y EPATd, respectivamente. S denota la desviación relativa de los valores de EPATd respecto a los experimentales, con una incertidumbre correspondiente a 2σ. La última fila de la tabla muestra el promedio de los valores absolutos de las desviaciones.


148

5.3.2 Ejercicio de intercomparación EUROMET 428 En el ejercicio EUROMET 428, dedicado a la intercomparación de códigos de cálculo de

eficiencias en sistemas de espectrometría de radiación gamma [Lépy, et. al., 2000], [Lépy et. al.,

2001], los organizadores proporcionaron las características del detector aportadas por el fabricante,

así como los resultados experimentales de EPAT para una geometría de referencia y valores

discretos de energía, en el rango de 60 keV a 2000 keV. Partiendo de esa información, los

participantes (Ver la Tabla 5.15) debían calcular la EPAT para fuentes puntuales a diferentes

distancias y para fuentes cilíndricas con diferente composición y densidad.

Este estudio de validación de DETEFF consistió en la realización del ejercicio, a posteriori, pero

utilizando sólo los datos iniciales, tal como lo hicieron los participantes. En nuestro caso,

primeramente realizamos un ajuste preliminar de los parámetros del detector, partiendo de los

resultados experimentales proporcionados para la geometría de referencia, y posteriormente, con

los parámetros ajustados se calcularon los valores de EPAT para el resto de las geometrías,

aplicando la transferencia de eficiencias con los valores de EPAT dados para la fuente de

referencia. Anteriormente ya habíamos realizado un estudio similar con la versión 3.0 de DETEFF

[Jurado Vargas et. al., 2003].

Tabla 5.15: Participantes en el ejercicio internacional de comparación de códigos de transferencia de eficiencia en espectrometría de radiación gamma, EUROMET 428 [Lépy et. al., 2001] 36

Institución País Laboratorio Nacional Henri Becquerel Francia Institute for Reference Materials and Measurements Bélgica Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) Alemania Canberra Estados Unidos Centro de Estudios Aplicados al Desarrollo Nuclear Cuba Instituto de Radiofísica Aplicada Suiza University of Gent, Laboratory of Analytical Chemistry Bélgica BEV, Gruppe Eichwesen / Metrological Service Austria Instituto Superior de Ciencias y Tecnología Nucleares Cuba STUK, Radiation and Nuclear Safety Authority Finlandia Josef Stefan Institute Eslovenia Czech Metrological Institute República Checa Instituto Max-Planck de Física Nuclear Alemania SCK•CEN Nuclear Measurements Service Bélgica Physics Department, Bucharest University Rumania Norwegian Radiation Protection Authority Noruega NRG-RE Holanda


149

El detector utilizado en este ejercicio fue de HPGe (tipo p), modelo EGPC 28-R, con una

eficiencia relativa del 28% para la línea de 1.332 MeV del 60Co. La geometría de referencia

consistió en una fuente puntual ubicada a 10cm del detector. La Tabla 5.16 resume las

características del detector, incluyendo los resultados del ajuste realizado con el código DETEFF a

partir de los datos experimentales de EPAT para la geometría de referencia (ver la Tabla 5.17).

Tabla 5.16: Características del detector HPGe dadas por el fabricante y tras su ajuste considerando los valores experimentales de EPAT dados para una fuente puntual a 10cm. 37

Parámetros Iniciales [mm] Ajustados [mm]

Diámetro externo del cristal de Ge 55 53.2 Longitud del cristal de Ge 54 54 Espesor de la capa muerta frontal de Ge 1 0.896 Espesor de la capa muerta lateral de Ge 1 1 Diámetro del core 12 10 Profundidad del core 20 20 Distancia entre el cristal de Ge y la cubierta de Al 4 4 Espesor del aluminio de la cubierta 0.7 0.7 Diámetro de la cubierta de Al 80 80 Longitud de la cubierta de Al 135 135

Tabla 5.17: Resultados experimentales de EPAT para la fuente puntual a 10 cm del detector 38

Energía [keV] EPATe Ue [%] Energía

[keV] EPATe Ue [%]

60 5.140E-03 1.70 700 2.690E-03 0.60 80 8.150E-03 1.40 1000 1.990E-03 0.50 100 9.570E-03 1.10 1200 1.710E-03 0.50 150 9.460E-03 0.80 1500 1.420E-03 0.60 200 8.070E-03 1.00 1800 1.210E-03 0.70 250 6.800E-03 1.00 2000 1.100E-03 1.20 500 3.630E-03 0.60

Nota: Ue denota la incertidumbre de los valores de EPATe (1σ)

Con los parámetros ya ajustados para el detector, se realizó la transferencia de eficiencias para el

resto de las geometrías de interés ( iε ), a partir de la conocida expresión:

ci

i r cr

⎛ ⎞εε = ε ⋅⎜ ⎟ε⎝ ⎠ (5-1),

donde: ciε y c

rε denotan las EPAT calculadas para la geometría de interés y de referencia,

respectivamente y rε denota la EPAT determinada experimentalmente para la fuente de referencia53.

53 Todos los valores de eficiencia en la expresión (5-1) están dados para una energía determinada.


150

100 1000

10-3

10-2

10-1

20 cm

2 cm

Efic

ienc

ia

Energía [keV]

5 cm

De esta forma, los cálculos fueron realizados para fuentes puntuales a 2cm, 5cm y 20cm del

detector, y para fuentes cilíndricas con las siguientes matrices54: HCL + H2O ( ρ = 1.016 g.cm-3), y

SiO2 (ρ = 0.25 g.cm-3). Los datos de las geometrías cilíndricas se recogen en la Tabla 5.18.

Tabla 5.18: Datos de las geometrías cilíndricas utilizadas en el ejercicio EUROMET 428 39

Parámetro Valor [mm]

Diámetro activo 51 Altura de llenado 45 Espesor de las paredes 1 Distancia al detector 1.7

Nota: Las paredes son de Poliestireno: H (0.077421), C (0.922579), ρ = 1.06 g.cm-3

Las figuras 5.13 y 5.14 muestran los valores de eficiencia calculados con DETEFF y determinados

experimentalmente para las fuentes puntuales y cilíndricas, respectivamente. Por otro lado, la

Tabla 5.19 recoge las desviaciones relativas de los valores de eficiencia calculados con DETEFF,

con respecto a los valores de eficiencia determinados experimentalmente para las geometrías de

interés.

Figura 5.13: Valores de EPAT calculados (puntos) y determinados experimentalmente (triángulos) para las fuentes puntuales a 20 cm, 5 cm y 2 cm. Las líneas de puntos conectan los valores experimentales. Figura 64

54El ejercicio incluyó una tercera matriz, de arena + resina, cuya composición no se pudo conocer con la

exactitud requerida.


151

100 1000

10-2

10-1

SiO2

Efic

ienc

ia

Energía [keV]

HCl+H2O

Figura 5.14: Valores de EPAT calculados (puntos) y determinados experimentalmente (triángulos) para las fuentes cilíndricas. Las líneas de puntos conectan los valores experimentales. Figura 65 Tabla 5.19: Desviaciones relativas, dadas en %, entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos experimentalmente en el ejercicio EUROMET 428 para las geometrías puntuales y cilíndricas 40

Fuentes puntuales Fuentes cilíndricas Energía [keV] 2cm 5cm 20cm HCL + H2O SíO2 60 0.66 ± 4.84 1.91 ± 5.05 -0.37 ± 5.24 -0.94 ± 4.24 -2.39 ± 4.18 80 2.27 ± 3.92 1.71 ± 3.90 -0.58 ± 3.56 -0.92 ± 3.79 -0.76 ± 3.80

100 2.84 ± 3.21 1.65 ± 3.17 -0.32 ± 2.98 0.79 ± 3.15 -0.42 ± 3.25 150 2.80 ± 2.35 0.91 ± 2.17 -0.31 ± 2.28 1.71 ± 2.78 -0.85 ± 2.71 200 1.84 ± 2.88 -0.02 ± 2.84 -0.29 ± 2.44 0.67 ± 3.00 -1.71 ± 2.93 250 1.41 ± 2.88 -0.18 ± 2.85 -0.03 ± 2.46 0.11 ± 2.99 -1.48 ± 2.94 500 0.00 ± 1.74 -0.38 ± 1.73 0.88 ± 1.76 0.44 ± 2.55 -0.70 ± 2.52 700 -0.58 ± 1.74 -0.43 ± 1.73 1.01 ± 1.62 1.10 ± 2.55 0.00 ± 2.53

1000 -0.30 ± 1.53 -0.64 ± 1.52 0.46 ± 1.68 1.45 ± 2.34 0.19 ± 2.49 1200 -0.52 ± 1.46 -1.40 ± 1.47 -0.23 ± 1.48 1.47 ± 2.32 0.11 ± 2.45 1500 -0.40 ± 1.63 -1.20 ± 1.64 0.17 ± 1.63 2.10 ± 2.42 0.99 ± 2.57 1800 -1.41 ± 2.03 -1.49 ± 2.04 0.60 ± 2.25 3.19 ± 2.61 1.23 ± 2.87 2000 -2.67 ± 3.19 -1.18 ± 3.28 0.89 ± 3.33 3.96 ± 3.56 1.30 ± 3.60

Desviación absoluta media 1.31 1.17 0.53 1.64 0.81

Nota: Las incertidumbres se corresponden con dos desviaciones estándar. La última fila contiene las medias aritméticas de los valores absolutos de las desviaciones para cada geometría.


152

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

Des

viac

ión

abso

luta

med

ia

C1C2C3C4C5DETEFF

Puntua

l 2cm

Puntua

l 5cm

Puntua

l 20c

m

HCL + H 2O SiO 2

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

Des

viac

ión

abso

luta

med

ia

C1C2C3C4C5DETEFF

Puntua

l 2cm

Puntua

l 5cm

Puntua

l 20c

m

HCL + H 2O SiO 2(%

)0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

Des

viac

ión

abso

luta

med

ia

C1C2C3C4C5DETEFF

Puntua

l 2cm

Puntua

l 5cm

Puntua

l 20c

m

HCL + H 2O SiO 2

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

Des

viac

ión

abso

luta

med

ia

C1C2C3C4C5DETEFF

Puntua

l 2cm

Puntua

l 5cm

Puntua

l 20c

m

HCL + H 2O SiO 2(%

)

Se aprecia un acuerdo muy satisfactorio entre los valores de eficiencia calculados con DETEFF y

los obtenidos experimentalmente, teniendo en cuenta las incertidumbres correspondientes. Este

acuerdo satisfactorio se pone más de relieve apreciando la Figura 5.15. En esta figura comparamos

las desviaciones obtenidas con el código DETEFF en el contexto de las desviaciones reportadas en

[Lépy, et. al., 2000], para los participantes que aplicaron la simulación Monte Carlo con

transferencia de eficiencias y un ajuste preliminar de los parámetros del detector. Este grupo de

participantes (C1,…,C5) logró desviaciones inferiores a las obtenidas por los que utilizaron

métodos semiempíricos o de simulación Monte Carlo sin transferencia de eficiencias. Debemos

resaltar que un ajuste más preciso de los parámetros del detector, disponiendo de un número

superior de geometrías de referencia, hubiera permitido a los participantes que aplicaron el método

Monte Carlo, obtener desviaciones aún inferiores.

Figura 5.15: Valores medios de las desviaciones absolutas para cada geometría del estudio EUROMET 428, obtenidas con el código DETEFF y por los participantes que aplicaron la simulación Monte Carlo con transferencia de eficiencias. Figura 66


153

5.3.3 Estudios experimentales con un detector HPGe En estos estudios de validación realizamos la comparación de los valores de eficiencia calculados

con el programa DETEFF con los obtenidos experimentalmente para diferentes geometrías de

medida: puntual, disco (filtro de celulosa), cilíndrica (recipiente petri doble) y recipiente Marinelli.

Las medidas se realizaron con un detector de HPGe del tipo p y modelo 7229P-7500-2020, de la

firma CANBERRA, con una eficiencia relativa del 20% y una resolución de 2.0 keV (FWHM) en

1332 keV.

Las fuentes se prepararon a partir de una solución patrón suministrada por el CIEMAT55, con el

contenido que se indica en la Tabla 5.20, y siguiendo los pasos que se indican a continuación:

- La “fuente puntual” se obtuvo de forma gradual, pipeteando alícuotas de 10 μL sobre un soporte

metálico fino, y secando con lámpara de luz infrarroja hasta depositar un volumen total de 110

μL en un área circular de diámetro inferior a 5 mm.

- El filtro se preparó depositando 15 gotas, de 10 μL cada una, sobre un papel de filtro de celulosa,

cubriéndose de forma uniforme una superficie circular de radio aproximadamente igual a 2.3 cm.

El filtro se depositó luego en un recipiente Petri, con paredes de poliestireno (ρ = 1.06 g.cm-3) de

1 mm de espesor y un reborde inferior de 0.5 mm.

- La fuente cilíndrica se preparó en un recipiente tipo Petri doble, de 88.5 mm de diámetro interior

y 16 mm de altura de llenado, añadiendo agua desionizada hasta la mitad de la altura máxima,

agregando 100 μL de la solución de referencia y completando luego el volumen con agua

desionizada, hasta una altura de llenado de 16mm. El recipiente se cerró herméticamente,

sellándolo con cinta aislante. Las paredes del recipiente Petri doble son de poliestireno (ρ = 1.06

g.cm-3), la pared del fondo es de 1.5 mm de espesor, con un reborde inferior de 0.5 mm.

- La fuente Marinelli, de 250 ml, se preparó añadiendo agua desionizada hasta cubrir la base del

hueco, adicionando 100 μl de la solución de referencia y completando luego el volumen con

agua desionizada. El recipiente se cerró herméticamente, sellándolo con cinta aislante. Las

dimensiones del recipiente Marinelli se indican en la Figura 5.16.

55 Centro de Investigaciones Energéticas, Medio Ambientales y Tecnológicas. Madrid, España.


154

101

108

80

81.5

37.8

58.5

101

108

80

81.5

37.8

58.5

Figura 5.16: Dimensiones de la muestra en la geometría Marinelli. Las paredes son de poliestireno (1.06 g.cm-3) de 1 mm de espesor. Figura 67

Tabla 5.20: Descripción del contenido de la solución patrón utilizada en los experimentos 41

Nota: La densidad calculada para la disolución es 1.0315g.cm-3. La fecha de referencia para la actividad es 01/04/2007

Las medidas se realizaron para la fuente puntual a 5 cm y a 20 cm del detector y para las fuentes

extensas (filtro, Petri y Marinelli) colocadas sobre el detector. El tiempo muerto nunca sobrepasó

el 1% y las correcciones correspondientes se estimaron a partir del tiempo vivo del ADC56. Las

correcciones a las sumas por coincidencia se realizaron para los picos del 60Co y el 88Y, aplicando

las ecuaciones (2-16) en el caso de la fuente puntual, o calculando el coeficiente de corrección

dado por la expresión (2-17) para las fuentes extensas. La Tabla 5.21 recoge los coeficientes de

corrección a las sumas por coincidencias, calculados para cada una de las geometrías.

56 Convertidor Analógico – Digital

Radionucleido Energías [keV]

Actividad [kBq.g-1] Incertidumbre [kBq.g-1]

Am-241 59.54 1.81 0.01 Cd-109 88.03 22.60 0.10

122.06 0.764 0.006 Co-57 136.47 0.764 0.006 Ce-139 165.86 1.060 0.005 Sn-113 391.70 2.160 0.015 Sr-85 514.01 2.03 0.01

Cs-137 661.66 1.880 0.015 898.04 5.540 0.025 Y-88 1836.06 5.540 0.025

1173.24 4.230 0.035 Co-60 1332.50 4.230 0.035


155

Tabla 5.21: Factores de corrección al efecto de sumas por coincidencias para las geometrías del estudio. 42

Geometrías Radionúclido Energía

[keV] Puntual (5cm) Filtro Petri

doble Marinelli

898.04 1.016 1.059 1.021 1.028 88Y 1836.06 1.018 1.074 1.043 1.037 1173.24 1.016 1.089 1.036 1.053 60Co 1332.50 1.017 1.101 1.042 1.061

Para la determinación de la eficiencia experimental, el área neta de los picos correspondientes a las

emisiones de interés fue determinada mediante el código de análisis de espectros Gamma Vision

[ORTEC]. Las probabilidades de emisión de los fotones se tomaron de [Firestone. 2003].

Debido a la falta de datos precisos sobre las dimensiones características del detector, éstas se

ajustaron mediante medidas con la fuente puntual a diferentes distancias, comparando los valores

de eficiencia experimentales con los obtenidos mediante las simulaciones con el código DETEFF.

Para tal fin se siguió el procedimiento indicado en [Hurtado et. al., 2004] y los ajustes se resumen

en la Tabla 5.22. En las figuras 5.17 y 5.18 se representan los valores de EPAT calculados y

obtenidos experimentalmente para las cinco geometrías de medida. Por otro lado, la Tabla 5.23

recoge las desviaciones relativas entre los valores de eficiencia calculados con DETEFF y los

determinados experimentalmente. Se aprecia un acuerdo muy satisfactorio, asumiendo las

incertidumbres correspondientes.

Tabla 5.22: Dimensiones de los parámetros del detector, según se especifican por el fabricante (nominales) y tras el proceso de ajuste. 43

Parámetros del detector Nominales (mm) Ajustados (mm) Diámetro del cristal de Ge 48.0 47.4 Longitud del cristal de Ge 57.0 56.5 Espesor de la capa muerta frontal de Ge 1.00 1.03 Espesor de la capa muerta lateral de Ge 1.00 1.40 Distancia entre el cristal y el criostato 5.5 5.8 Diámetro del Core interno 12.0 13.5 Longitud del Core interno 45.0 46.5 Espesor del soporte lateral de Al 1.0 1.0 Espesor del soporte frontal de Al 0.5 0.5 Espesor de la cubierta frontal del criostato 0.5 0.5 Espesor de la cubierta lateral del criostato 1.0 1.0 Diámetro exterior del criostato 75.0 75.0


156

100 100010-3

10-2

10-1

Petri Doble

Puntual 5cm

Efic

ienc

ia

Energía [keV]

Filtro

100 100010-4

10-3

10-2

Puntual 20cm

Efic

ienc

ia

Energía [keV]

Marinelli

Figura 5.17: Valores de eficiencia calculados con DETEFF (puntos) y obtenidos experimentalmente (triángulos) para las geometrías: filtro, Petri doble y puntual a 5 cm. Las líneas discontinuas unen los valores experimentales. Figura 68 Figura 5.18: Valores de eficiencia calculados con DETEFF (puntos) y obtenidos experimentalmente (triángulos) para las geometrías: Marinelli y puntual a 20 cm. Las líneas discontinuas unen los valores experimentales. Figura 69


157

Tabla 5.23: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos experimentalmente. 44

Desviación (%) Energía [keV] Puntual

(5 cm) Puntual (20cm) Filtro Petri

Doble Marinelli

59.54 2.89 ± 5.90 0.90 ± 3.99 2.45 ± 2.62 -1.89 ± 5.22 -3.37 ± 3.60 88.03 -1.43 ± 3.66 0.37 ± 3.90 2.57 ± 3.43 -0.39 ± 3.65 2.02 ± 3.60

122.06 2.10 ± 2.59 0.49 ± 3.21 1.66 ± 1.52 1.66 ± 2.00 2.18 ± 1.87 165.86 -0.12 ± 2.44 -0.32 ± 3.13 1.46 ± 1.28 0.40 ± 1.68 2.15 ± 1.77 391.70 -2.32 ± 2.33 -1.39 ± 2.80 -1.86 ± 1.61 -2.10 ± 2.02 -0.05 ± 1.69 514.01 -1.73 ± 3.24 -2.17 ± 3.39 0.28 ± 2.42 1.52 ± 2.92 1.14 ± 2.49 661.66 2.30 ± 2.82 0.72 ± 2.88 -0.20 ± 1.80 1.05 ± 2.10 1.91 ± 1.91 898.04 -2.58 ± 2.15 -0.63 ± 2.28 1.91 ± 3.08 1.50 ± 3.29 2.59 ± 4.45

1173.50 -2.33 ± 2.26 -1.40 ± 2.18 0.49 ± 2.39 0.73 ± 2.64 0.61 ± 4.77 1332.50 0.36 ± 2.30 -2.75 ± 2.24 -1.27 ± 2.37 -2.01 ± 2.54 0.25 ± 4.63 1836.06 -1.99 ± 2.12 -2.16 ± 1.98 -1.70 ± 2.50 -1.07 ± 2.83 -1.10 ± 4.04

Desviación Media 1.83 1.21 1.44 1.30 1.58 Nota: Las incertidumbres corresponden a dos desviaciones estándar. La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de las desviaciones para cada una de las geometrías.

En el siguiente capítulo comentaremos algunas de las aplicaciones más importantes del código

DETEFF, que han servido, en gran medida, como elementos de validación adicional del programa.


158

159

CAPÍTULO 6

APLICACIONES DEL CÓDIGO DETEFF

6.1 Introducción La distribución del código, desde sus primeras versiones, forma parte de las acciones concebidas

para impulsar su desarrollo. Laboratorios de diferentes regiones del Mundo han solicitado el

programa DETEFF (ver la Tabla 6.1), y la retroalimentación obtenida durante su uso ha sido un

elemento importante en su validación y perfeccionamiento. En este capítulo resumiremos algunas

de las principales aplicaciones del código, realizadas tanto por nosotros como por otros autores, y

cuyos resultados han sido publicados.

Tabla 6.1: Instituciones que cuentan con el código DETEFF 45

Institución País Instituto Superior de Ciencias y Tecnologías Avanzadas Cuba Instituto Nazionale di fisica Nucleare, Laboratori Nationali di Frascati Italia Centro de Protección e Higiene de las Radiaciones Cuba CIEMAT España Jozef Stefan Institute Eslovenia Centro de Estudios Ambientales de Cienfuegos Cuba Universidad de San José. Costa Rica Laboratorio de Ambiente Marino del OIEA en Mónaco Italia Centro de Isótopos (CENTIS) Cuba Faculty of Physics, Bucharest University Rumanía Centro de Estudios Aplicados al Desarrollo Nuclear Cuba National Center of Scientific Research "Demokritos" Grecia FACILIA A.B. Suecia Universidad de Extremadura España Commissariat à l'Energie Atomique (CEA) Francia Australian Nuclear Science and Technology Organisation (ANSTO) Australia Comisión Nacional de Energía Atómica (CNEA) Argentina Universidad de Asunción Paraguay Comisión Ecuatoriana de Energía Atómica Ecuador Instituto de Radioprotección y Dosimetría Brasil Comisión Chilena de Energía Nuclear (CCHEN) Chile Comisión Nacional de Seguridad Nuclear y Salvaguardias México Centre for Energy Research and Training (CERT) Ahmadu Bello University (ABU)

Nigeria

Dirección de Asuntos Nucleares Venezuela Dirección General de Energía, Ministerio de Energía y Minas Guatemala Ministere de l’Agriculture des Ressources Naturelles et du Developpement Rural Laboratoire Veterinaire et de Controle de Qualite des Aliments

Haití

Chemistry Unit, Agency´s Laboratories (IAEA) Seibersdorf Austria Department of Physics, University Mentouri Constantine Argelia National Academy of Sciences of Ukraine Ukrania Department of Nuclear Physics, University of Natural Sciences Viet Nam

Capítulo 6 Aplicaciones del código DETEFF

160

6.2 Transferencia de eficiencia en muestras de agua Una de las aplicaciones realizadas con la primera versión del código consistió en calcular la

eficiencia de detección en el pico de absorción total para un detector de Ge(Li) de 2” x 2” y

diferentes geometrías de medida en muestras de H2O, para la energía del 137Cs (661.66 keV)

[Cornejo Díaz y Mann, 1996]. Los cálculos se realizaron mediante la transferencia de eficiencias,

según la expresión (5-1), partiendo de la eficiencia experimental determinada para una fuente

rectangular de 500 ml, con (24.2 ± 1.0) kBq.

Con el objetivo de verificar los cálculos se realizó la medida experimental de algunas de las

geometrías de interés, conteniendo la actividad de referencia. Con el número de cuentas en el pico

de absorción total y la eficiencia calculada previamente con DETEFF se estimó la actividad de 137Cs en cada una de las geometrías, aplicando la conocida expresión (2-12). En los resultados

obtenidos, que se resumen en la Tabla 6.2, se aprecia un buen acuerdo con el valor de la actividad

de referencia en el marco de las desviaciones estándar correspondientes. Se comprobó la utilidad

del código para la interpolación de los valores de eficiencia durante la calibración del sistema para

diferentes geometrías de medida.

Tabla 6.2: Resultados de actividad calculada a partir de la transferencia de eficiencias con el código DETEFF, para un detector de Ge(Li) de 2” x 2” y diferentes volúmenes de H2O en fuentes cilíndricas y rectangulares, para 661.66 keV. 46

Actividad calculada Volumen [ml] Muestras rectangulares

[kBq] Muestras cilíndricas

[kBq] 200 22.8 ± 1.1 - 300 23.6 ± 1.2 - 400 23.2 ± 1.2 22.2 ± 1.2 500 24.2 ± 1.0 (1) 23.1 ± 1.2 600 24.4 ± 1.2 22.6 ± 1.2 700 24.6 ± 1.2 23.6 ± 1.3 800 24.1 ± 1.2 23.2 ± 1.3 900 23.9 ± 1.2 23.6 ± 1.4

1000 24.6 ± 1.2 23.0 ± 1.3 (1) Valor de referencia


161

6.3 Estudio de la influencia de algunos parámetros geométricos de los detectores de HPGe en la eficiencia

La versión 3.0 de DETEFF se aplicó al estudio de la influencia de algunas de las principales

características geométricas de los detectores de HPGe en los valores de eficiencia [Jurado Vargas

et. al., 2002a]. El análisis se realizó para un detector de HPGe (tipo n) y los parámetros estudiados

fueron: el diámetro del cristal, su longitud, la distancia ventana - detector, y el diámetro del “core”.

Los cálculos de la eficiencia en el pico de absorción total se realizaron variando los parámetros

antes mencionados, para valores discretos de energía en el intervalo entre 122 keV y 1836 keV, y

para las siguientes geometrías de medida: puntual, plana (filtro de celulosa) y cilíndricas de SiO2

con 1.55 g.cm-3 de densidad.

Se pudo constatar que pueden producirse desviaciones significativas en los valores de eficiencia

con sólo pequeñas variaciones en el diámetro del cristal, en la distancia ventana – detector, o en el

diámetro del “core”. La magnitud de tales desviaciones depende de la energía de los fotones y de

la geometría de medida. Se comprobó, por ejemplo, que:

a) Para bajas energías la variación de la eficiencia con el diámetro del cristal se debe

esencialmente a la variación en el ángulo sólido, porque prácticamente todos los fotones que

inciden en el volumen activo del detector son absorbidos en éste. Ahora bien, a medida que

aumenta la energía se incrementa la influencia del volumen activo del detector en la

probabilidad de interacción de los fotones, aumentando el efecto del diámetro.

b) Por otro lado, la variación de la eficiencia con la distancia entre la ventana y el detector no

depende significativamente de la energía de los fotones. Ello se explica porque la variación

de este parámetro afecta al ángulo sólido y no al volumen activo del cristal.

En el estudio se constató la marcada dependencia de la eficiencia con la distancia fuente – detector

para las geometrías de medida muy cercanas al cristal. Esta condición de geometría “cercana”

puede producirse, por ejemplo, durante la cuantificación de la actividad depositada o absorbida en

filtros. En estos casos, para alcanzar una adecuada correspondencia entre los valores de eficiencia

experimentales y calculados, se recomendó colocar cada filtro entre dos materiales rígidos de bajo

número atómico, para aplanarlo y lograr de esta forma una distancia constante entre cada elemento

de la fuente y el detector.

Los resultados obtenidos en este estudio coinciden con los publicados por otros autores y

evidencian una vez más la importancia de contar con los datos correctos del detector y de la

muestra para lograr la exactitud requerida en los cálculos de eficiencia mediante la simulación

estocástica.


162

6.4 Transferencia de eficiencia en la calibración de un detector coaxial de HPGe

La versión 3.0 del código DETEFF se aplicó al ejercicio de intercomparación de códigos para el

cálculo de eficiencias de detección EUROMET 428 [Jurado Vargas et. al., 2003]. El

procedimiento seguido fue similar al descrito en el apartado 5.3.2, pero sin realizar el ajuste previo

de los parámetros del detector.

Se comprobó que, tal como se señala en [Lépy et. al., 2001], los valores de eficiencia calculados

con los parámetros del detector proporcionados por el fabricante se desvían significativamente de

los obtenidos experimentalmente para las diferentes geometrías y matrices del estudio. Sin

embargo, los valores calculados mediante la transferencia de eficiencias, a partir de una geometría

de referencia dada (ver Tabla 5.17), mostraron un buen acuerdo con los obtenidos

experimentalmente para cada una de las geometrías y matrices de interés, en el marco de las

incertidumbres correspondientes.

Del trabajo se derivaron dos conclusiones fundamentales. En primer lugar, se confirmó que el

conocimiento preciso de los parámetros del detector es necesario para reproducir adecuadamente

los valores de eficiencia mediante la simulación estocástica directa. En segundo lugar, quedó

demostrada la utilidad de la transferencia de eficiencias para reducir las diferencias entre los

valores de eficiencia calculados y experimentales, cuando las geometrías involucradas son

similares.

En este trabajo además recomendamos la realización de un ajuste previo de los espesores de la

capa muerta del detector y de la ventana de entrada antes de aplicar la transferencia de eficiencias,

particularmente para fotones de bajas energías, pues pequeñas variaciones en estos espesores

pueden implicar variaciones muy grandes en la atenuación cuando los ángulos de incidencia son

grandes, es decir, cuando la fuente está muy próxima al detector.


163

6.5 Simulación Monte Carlo de las correcciones por autoabsorción en muestras ambientales

En otro de los estudios realizados con el código DETEFF se obtuvo la dependencia de la eficiencia

en el pico de absorción total con la densidad en muestras de origen natural, para una geometría de

medida cilíndrica (6.0cm de diámetro y 1.8 cm de altura de llenado) y tres tipos de detectores de

HPGe [Jurado Vargas et. al., 2002b]. Los detectores modelizados son coaxiales de HPGe, uno de

tipo n con eficiencia relativa del 44.3% y los otros dos de tipo p, con eficiencias relativas del

20.3% y el 30.5%. Los valores de eficiencia se calcularon para valores discretos de energía entre

60 y 2000 keV, y para diferentes densidades de la muestra, en el intervalo entre 0.1 y 2.0 g.cm-3.

Se asumió un material hipotético para la fuente, con composición química equivalente a la del

H2O.

Se obtuvo una dependencia lineal de la eficiencia con la densidad para la geometría estudiada y los

rangos de energía y densidad empleados. Además, se calcularon los factores de corrección a la

autoabsorción con relación a una fuente estándar de densidad igual a 1.0 g.cm-3. Se pudo

comprobar que, en general, los factores de corrección calculados mediante simulación estocástica

empleando los coeficientes másicos de atenuación del H2O no difieren en más de un 2% de los

obtenidos experimentalmente por otros autores, para muestras naturales medidas en la misma

geometría que la utilizada en nuestro estudio. Estas desviaciones resultaron ligeramente superiores

sólo para fotones de bajas energías (60 y 80 keV) y densidades de la muestra muy diferentes a la

densidad de referencia (1.0 g.cm-3), pero siempre fueron inferiores al 4%.

En este trabajó se concluyó que, para la mayoría de las muestras de origen natural (Z<20), es

posible utilizar el coeficiente másico de atenuación del H2O y la densidad de la muestra analizada

para calcular el factor de corrección a la autoabsorción, mediante simulación Monte Carlo, en el

rango de energías de 80 a 2000 keV. Este procedimiento es particularmente útil cuando no se

conoce la composición exacta de la muestra estudiada, permitiendo prescindir de la determinación

experimental de las correcciones a la autoabsorción, la cual supone la preparación y medida de una

gran variedad de muestras de diferentes geometrías y densidades.

Otra de las conclusiones del trabajo, que confirma los resultados publicados por otros autores, es

que los factores de corrección a la autoabsorción obtenidos para una geometría de medida dada son

aplicables a cualquier detector coaxial de eficiencia relativa en el rango de 20 – 45%.

A partir de este estudio, el código DETEFF se ha venido utilizando de forma rutinaria por los

laboratorios de espectrometría gamma del Centro de Protección e Higiene de las Radiaciones de la

Habana y del Departamento de Física de la Universidad de Extremadura para la determinación de

las correcciones por autoabsorción en muestras de origen natural.


164

Zona activada

Zona no activada

Zona activada

Zona no activada

6.6 Investigación de la radiactividad inducida en el acelerador lineal ADONE para la gestión de la chatarra tras su desmantelamiento

El programa DETEFF se empleó en la caracterización radiológica y la clasificación de la chatarra

producida durante el desmantelamiento del acelerador ADONE, del Laboratorio Nacional de

Frascati en Italia [Mora et. al. 2007].

El desmantelamiento del acelerador ADONE, que comenzó en el año 1993, produjo más de 100

toneladas de chatarra metálica. Parte de esta chatarra está contaminada con elementos radiactivos

producidos por la activación de los componentes metálicos del acelerador que estuvieron

expuestos a elevadas densidades de flujo de fotones y electrones de alta energía, así como a

neutrones originados en las reacciones (γ,n).

Estudios llevados a cabo entre los años 1994 y 2004 por el Centro Europeo para la Investigación

Nuclear (CERN) y por el Laboratorio Nacional de Frascati habían indicado que la contaminación

es marcadamente heterogénea, y que puede ser inferior a 0.1 Bq.g-1 en más del 70% de la chatarra,

con los radionúclidos que se indican en la Tabla 6.3. Se sabe además que en este tipo de

instalación los componentes con mayor probabilidad de contaminación son: las partes cercanas al

haz de radiación en las bombas de vacío (ver la Figura 6.1), diversas secciones del conducto de

aceleración, y las zonas centrales de los magnetos conformadores de los haces de radiación. Por

otro lado, como consecuencia del tiempo transcurrido desde el cese de las operaciones con el

acelerador y de la actividad inicial de cada producto de activación, sólo el 60Co resultaba de interés

desde el punto de vista radiológico.

Figura 6.1: Bomba de vacío del anillo acumulador del acelerador ADONE. Tomado de [Mora et. al. 2007]. Figura 70


165

Tabla 6.3: Productos de activación esperados en el acelerador ADONE [Mora et. al. 2007]. 47

Producto Período de semidesintegración Material 22Na 2.602 años Al 54Mn 312.1 días acero, Fe 57Co 271.7 días acero, Fe 60Co 5.27 años Cu, acero, Fe

Debido a que el nivel de desclasificación adoptado para el 60Co en chatarras fue de 0.1 Bq.g-1

(según las normas del Organismo Internacional de Energía Atómica y de la Unión Europea), el

estudio se centró en la caracterización de los componentes con niveles de contaminación

superiores a 0.1 Bq.g-1. Estos componentes requieren de determinado tratamiento antes de su

reutilización, como por ejemplo: segregación, decaimiento, fusión y mezcla con materiales no

contaminados.

En primer lugar se realizaron medidas in situ para la identificación de las chatarras con posibles

niveles de contaminación superiores a 0.1 Bq.g-1. Para ello se empleó un espectrómetro portátil,

cuya eficiencia intrínseca fue estimada previamente con fuentes puntuales para las energías de

interés. Las densidades de flujo de fotones por unidad de contaminación para las diferentes piezas

y geometrías de medida se calcularon con el programa MICROSHIELD.

En una segunda etapa del estudio, las piezas cuyos niveles de contaminación se sospechaban

superiores a 0.1 Bq.g-1 se sometieron a un análisis más riguroso con un espectrómetro de bajo

fondo basado en un detector de HPGe de tipo n. El código DETEFF fue utilizado entonces en el

cálculo de la eficiencia del sistema de medida para las diferentes muestras investigadas.

Como resultado de este trabajo se analizaron más de 10 toneladas de chatarra en aproximadamente

20 días y se identificó que el 72% de la chatarra acumulada pudiera ser desclasificada para su

reutilización, sobre la base del nivel establecido de 0.1Bq.g-1. Los autores concluyeron que el

código DETEFF había sido de gran ayuda en la modelización de las geometrías de las piezas

investigadas, permitiendo mejorar la exactitud de las evaluaciones.


166

6.7 Cuantificación de la actividad de isótopos radiactivos en el marco de la vigilancia radiológica ambiental

El código DETEFF es utilizado por el Centro de Investigación en Ciencias Atómicas, Nucleares y

Moleculares de la Universidad de Costa Rica para la calibración en eficiencia de sus sistemas de

espectrometría de radiación gamma, dedicados a la vigilancia del medio ambiente. La institución

aplica la simulación Monte Carlo con el código DETEFF para obtener la eficiencia de detección

mediante transferencia de eficiencias a partir de la medida experimental con una fuente líquida

patrón, así como para realizar interpolaciones en las curvas de eficiencia cuando no se cuenta con

fuentes patrón para las energías de los radionúclidos a cuantificar.

En [Loría y Badilla, 2008] se muestran los resultados satisfactorios alcanzados por esta institución

en tres ejercicios de intercomparación, dos de los cuales fueron organizados por el Organismo

Internacional de Energía Atómica y el otro por el Instituto de Radioprotección y Dosimetría de

Brasil. Las muestras utilizadas en las intercomparaciones son de origen natural: H2O, suelo, trébol,

leche en polvo y pasto, y los radionúclidos determinados han sido: 40K, 54Mn, 60Co, 65Zn, 106Ru, 109Cd, 133Ba, 133Sn, 134Cs, 137Cs, 210Pb y 241Am.

Algunas de las conclusiones formuladas por los autores en [Loría y Badilla, 2008], con relación a

la aplicación del código DETEFF son:

“La preparación de un patrón para medir la eficiencia de conteo es una tarea muy compleja, dado

que se requiere elaborarlo con el mismo material de la muestra a analizar y con la misma

geometría. Esto no siempre es posible, especialmente en aquellos casos en que el producto se

analiza como materia fresca, como es el caso de las frutas. Es propio de los laboratorios preparar

el patrón para medida de eficiencia utilizando como sustrato H2O, pero como es de esperar, el

material sujeto de análisis no posee la misma densidad. Utilizar un código Monte Carlo favorece

la obtención de la curva de eficiencia, ya que a través de él se puede simular la densidad y hasta

la geometría, lo que permite obtener resultados mucho más confiables que los que se obtienen

utilizando patrones certificados con matrices y geometrías diferentes a las de medición.

La simulación Monte Carlo permite a los laboratorios realizar análisis espectrométricos sin

depender de un patrón para obtener la curva de eficiencia. Los isótopos presentes en la mezcla

decaen en el tiempo y algunos de ellos, de período muy corto, presentan estadísticas de conteo

muy bajas, lo que también provoca alta incertidumbre en la cuantificación de la actividad

específica de los isótopos presentes en una muestra.”


167

El código DETEFF es utilizado también por el Laboratorio de Vigilancia Radiológica Ambiental

(LVRA) del Centro de Protección e Higiene de las Radiaciones (CPHR), de la Habana. En la

medida de muestras ambientales este laboratorio emplea sistemas de bajo fondo con detectores de

NaI y HPGe, y para su calibración en eficiencia se aplica la simulación estocástica con el

programa DETEFF, particularmente cuando no se cuenta con fuentes patrón para las energías,

geometrías y matrices de interés. Con el fin de realizar los cálculos con DETEFF, los parámetros

de los detectores han sido optimizados a partir de medidas con fuentes puntuales certificadas.

Además, se aplica la transferencia de eficiencias cuando la geometría de la muestra analizada es

similar a la de alguna fuente patrón disponible.

A continuación resumiremos los resultados obtenidos por el LVRA del CPHR en uno de los

ejercicios de intercomparación organizados recientemente por el Organismo Internacional de

Energía Atómica [IAEA, 2007]57, donde se aplicó el programa DETEFF al cálculo de las

eficiencias de detección en muestras de agua y suelo. Debido a que no se contaba con muestras

patrón adecuadas, no fue posible complementar los cálculos con la transferencia de eficiencias y

los resultados se basaron únicamente en la simulación estocástica. Las muestras se midieron en

recipientes cilíndricos de 500 ml para el agua y 110 ml para el suelo, con paredes de poliestireno.

Los criterios de desempeño básicos definidos en [IAEA, 2007] fueron el Z-Score y el U-Test

según las fórmulas (6-1) y (6-2), respectivamente:

LAB IAEAValor ValorZ Score −− =

σ (6-1),

donde: ValorLAB y ValorIAEA denotan el valor de actividad dado por el laboratorio y por el IAEA,

respectivamente. La desviación estándar ( σ ) se definió como el 10% del valor de actividad dado

por el IAEA.

LAB IAEA

2 2LAB IAEA

Valor ValorU TestInc Inc

−− =+

(6-2),

siendo: IncLAB e IncIAEA las incertidumbres (1σ) del valor de actividad dado por el laboratorio y

por el IAEA, respectivamente.

En el marco del ejercicio de intercomparación se consideró que el resultado resultó satisfactorio si

Z Score 2− ≤ , cuestionable si 2 Z Score 3< − < , e incorrecto si Z Score 3− ≥ . La Figura 6.2

muestra los resultados de Z-Score alcanzados por el LVRA.

57Por omisión involuntaria no se realizó la medida del 210Pb en la muestra de agua. Inicialmente, los valores

de actividad reportados por el LVRA para el 241Am y el 210Pb en la muestra de suelo resultaron inaceptables porque se utilizó la composición química del agua en los cálculos de eficiencia con el código DETEFF (ver el apartado 6.5). Los resultados mostrados en este apartado para el 241Am y el 210Pb en la muestra de suelo se obtuvieron a posteriori, empleando el material “Soil1” que incluye DETEFF para simular un suelo con contenido normal de minerales (Figura B9 del Apéndice B). La corrección fue notificada por el LVRA al Organismo Internacional de Energía Atómica.


168

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

Z-Sc

ore

SueloAgua

Mn-54 Co-60 Zn-65 Cd-109 Cs-134 Cs-137 Am-241 Pb-210

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

U-Te

st SueloAgua


Figura 6.2: Gráfico de Z-Score para los radionúclidos evaluados por el LVRA durante el ejercicio de intercomparación del IAEA [IAEA, 2007] Figura 71 En este ejercicio se tomó un valor límite de U-Test = 2.58, que se corresponde con el valor de

kα en la expresión (3-23) para obtener un intervalo de incertidumbre expandida equivalente al

99% de confianza en una variable con distribución normal. Se consideraron satisfactorios los

resultados donde U-Test < 2.58. Los resultados alcanzados por el LVRA en este ejercicio se

resumen en la Figura 6.3.

Figura 6.3: Gráfico de U-Test para los radionúclidos evaluados por el LVRA durante el ejercicio de intercomparación del IAEA [IAEA, 2007] Figura 72 El criterio de evaluación fundamental empleado en el ejercicio de intercomparación es en gran

medida equivalente con el criterio de desempeño U-Test. El valor dado por el laboratorio se

consideró aceptable siempre que se cumpliera la relación (6-3) y la incertidumbre relativa

combinada, denotada como P en la ecuación (6-5), fuera inferior a un determinado valor prefijado


169

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

A1/A

2 SueloAgua


en función de la concentración de actividad en el analito, el tipo de matriz y la complejidad de la

cuantificación.

1 2A A≤ (6-3), donde:

1 IAEA LABA Valor Valor= − , 2 22 IAEA LABA 2.58 Inc Inc= ⋅ + (6-4),

2 2

IAEA LAB

IAEA LAB

Inc IncP 100Valor Valor

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (6-5)

Los resultados obtenidos por el LVRA en este indicador se recogen en la Figura 6.4. Como se

aprecia, la relación A1/A2 resultó inferior a 0.8 para todas las matrices y radionúclidos evaluados

y fue inferior a 0.4 en el 87% de los casos.

Figura 6.4: Relación A1/A2 (P<10%) para los radionúclidos evaluados por el LVRA durante el ejercicio de intercomparación del IAEA [IAEA, 2007] Figura 73 Con este capítulo hemos pretendido también brindar una panorámica de las disímiles aplicaciones

posibles del código DETEFF, desde aquellas enfocadas hacia cuestiones teóricas, como los

estudios de la respuesta de los detectores, hasta las de un propósito más práctico, como el cálculo

de la eficiencia de detección para el control de la radiactividad ambiental o la caracterización de

materiales contaminados en diversas aplicaciones.

A continuación abordaremos las principales conclusiones que podemos deducir del presente

trabajo de tesis doctoral, como resumen del trabajo realizado y de sus principales aportaciones.


170

171

CAPÍTULO 7

CONCLUSIONES En este capítulo resumiremos las principales conclusiones del trabajo realizado, cuyo propósito ha

sido contribuir a generalizar el método Monte Carlo como herramienta ampliamente demandada

para suplir el déficit de patrones radiactivos y complementar, de esta forma, las calibraciones en

eficiencia en los laboratorios que emplean la espectrometría de radiación gamma como técnica de

medida. Para lograr nuestro propósito, el objetivo fundamental trazado fue conformar una

herramienta de simulación específica para la problemática de interés, que posibilite a los

laboratorios analíticos aprovechar las incuestionables ventajas del método Monte Carlo,

minimizando al mismo tiempo sus inconvenientes tradicionales, en particular, los relacionados

con los tiempos de ejecución y con la complejidad en el manejo de los códigos internacionalmente

aceptados.

Como conclusión general al término del presente trabajo podemos decir que se ha desarrollado y

validado el código de simulación por Monte Carlo DETEFF, específico para la calibración en

eficiencia de los sistemas de detección en espectrometría de radiación gamma. El programa es

aplicable a los tipos de detectores y configuraciones de medida más comunes, es de fácil manejo y

con una relación “exactitud - tiempo de ejecución” aceptable para su uso práctico en los

laboratorios analíticos. De la labor realizada podemos resumir las siguientes conclusiones:

1. Con el objetivo de desarrollar un código de fácil manejo ha sido necesario asimilar el paquete

de programación visual de Borland DELPHI, basado en el lenguaje Turbo Pascal, con el cual

se han confeccionado las ventanas de interfaz de usuario del programa.

2. Se han realizado pruebas estadísticas a un número importante de generadores de números

seudoaleatorios, implementándose éstos en el código DETEFF para evaluar su

funcionamiento durante el cálculo de eficiencias de detección en espectrometría de radiación

gamma. Estos estudios han respaldado la selección del generador Mersenne Trister (MT), que

hemos implementado en el programa DETEFF. Por otra parte, la metodología seguida puede

ser empleada en la evaluación futura de otros generadores de números seudoaleatorios.

3. Se han estudiado los procesos de interacción de la radiación ionizante y se han seleccionado,

para su simulación, aquellos cuya influencia sobre la eficiencia de detección en

espectrometría gamma no es despreciable. Para cada uno de los procesos de interacción

considerados se han estudiado los procedimientos de su simulación estocástica y se han

adoptado aquellos cuyo balance “tiempo – exactitud” resulta más favorable para la

problemática a resolver. A partir de estudios realizados en el marco del presente trabajo y de

los resultados publicados por otros autores, se han seleccionado los parámetros más

Capítulo 7 _ Conclusiones

172

relevantes para la modelización de cada uno de los detectores considerados en DETEFF: NaI,

CsI, Ge y Si.

4. Con el objetivo de considerar el posible escape de fotones de radiación de frenado y de

electrones a través de las paredes del cristal, sin necesidad de realizar el seguimiento

detallado de las partículas cargadas secundarias, se han desarrollado procedimientos

relativamente sencillos y rápidos que parten de los espectros de frenado y las curvas de

alcance máximo y transmisión de electrones obtenidos con el código MCNP4C para los

materiales de los detectores. La efectividad de estos procedimientos ha sido confirmada por

los ejercicios de verificación y validación del código.

5. Se han aplicado técnicas de reducción de varianzas que han permitido obtener figuras de

mérito superiores en varios órdenes de magnitud a las obtenidas con otros códigos de uso

múltiple. Esto ha contribuido notablemente al logro de tiempos de simulación en el orden de

las fracciones a unidades de minuto para las geometrías de recuento más comunes, con

incertidumbres estocásticas inferiores al 0.5%.

6. Debido a que la energía de corte de los fotones es de 10 keV, ha sido necesario desarrollar un

módulo específico para el seguimiento de la radiación X característica de Ge tras el efecto

fotoeléctrico y se han realizado simulaciones que evidencian la importancia de esta corrección

para bajas energías.

7. Se han verificado los procedimientos incorporados al código DETEFF mediante la

comparación de sus resultados con los obtenidos por otros autores y con el código MCNP4C,

para detectores de NaI, CsI, Si y HPGe. Los resultados obtenidos han sido del todo

satisfactorios, con desviaciones del orden o inferiores al 1% para energías entre 40 y 2000

keV, e inferiores al 3% para energías entre 10 y 40 keV. Debe hacerse notar que ha sido

necesario asimilar y particularizar el código multipropósito MCNP4C, construyendo los

archivos de entrada y realizando simulaciones para diferentes tipos de detectores y geometrías

de medida.

8. Por otro lado, las comparaciones realizadas recientemente entre los resultados del código

DETEFF y los obtenidos por códigos de uso múltiple aceptados internacionalmente han

arrojado desviaciones inferiores al 1% en el intervalo de 45 a 2000 keV, con tiempos de

ejecución muy inferiores en el código DETEFF.

9. Hemos realizado un ejercicio de validación experimental para un detector HPGe tipo p, que

ha demandado la preparación de diferentes tipos de muestras, la realización de medidas

experimentales con los consiguientes análisis espectrales, así como correcciones

correspondientes al tiempo muerto del sistema de detección y a las pérdidas de cuentas por

sumas en coincidencia. Las desviaciones entre los valores de eficiencia calculados con


173

DETEFF una vez optimizados los parámetros del detector y los obtenidos de forma empírica,

están en el marco de las incertidumbres experimentales correspondientes.

10. El código DETEFF ha sido aplicado a la solución de disímiles problemas, desde aquellos más

teóricos, como los estudios de la respuesta de los detectores, hasta los de interés más práctico,

como el cálculo de la eficiencia de detección para el control de la radiactividad ambiental o la

caracterización de materiales contaminados con elementos radiactivos. En este sentido, son

numerosas las instituciones y laboratorios internacionales que cuentan ya con el código como

herramienta en espectrometría de radiación gamma.

Este trabajo resume una etapa importante del código DETEFF, pero no significa la culminación de

los trabajos encaminados a su perfeccionamiento y desarrollo. Con el punto final de esta memoria

comienza otra etapa impulsada por la retroalimentación de los usuarios de DETEFF, quienes han

sido y serán sus perennes evaluadores.


174

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184

185

APÉNDICE A

MÉTODOS DE MUESTREO DE LA ECUACIÓN DE KLEIN - NISHINA

A.1 Método de Kahn La ecuación de Klein-Nishina [Klein y Nishina, 1929] para la sección eficaz diferencial de la

dispersión no coherente o dispersión Compton de la radiación electromagnética no polarizada en

un electrón libre en reposo puede escribirse como:

( )( )

( )( ) ( )

2 222e

2 2

1 cos 1 cosrd 1d 2 1 cos 1 1 cos1 1 cos

⎡ ⎤+ θ α − θσ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ +Ω ⎢ ⎥+ θ + α − θ⎡ ⎤+ α − θ⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A.1.1),

Siendo 2

15e 2

0 e

1 er 2.818 10 m4 m c

−= ⋅ = ⋅π ⋅ε

el radio clásico del electrón, θ el ángulo de

dispersión del fotón y 2

e

hm c

να = la energía del fotón incidente expresada en unidades de la

energía másica del electrón en reposo.

Si se sustituye: d sin d dΩ = θ⋅ θ⋅ ϕ y se integra a través del ángulo azimutal (ϕ), se tiene la

expresión:

( )( )

( )( ) ( )

2 222e 2 2

1 cos 1 cosd r 1 sind 1 cos 1 1 cos1 1 cos

⎡ ⎤+ θ α − θσ ⎢ ⎥= π⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ θθ ⎢ ⎥+ θ + α − θ⎡ ⎤+ α − θ⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A.1.2)

Cuyo reajuste conduce a la ecuación:

( )( ) ( ) ( )

( )

2 22e 2

1 1 cos 1 1 1 cos 1 1 cos cosd sinrd 1 1 cos1 1 cos

⎧ ⎫+ α − θ + − + α − θ + + α − θ ⋅ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ θ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= π⋅ ⋅ ⎨ ⎬θ + α − θ⎡ ⎤+ α − θ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭

De las leyes de conservación de la energía y el impulso se concluye que la energía del fotón

dispersado, en unidades de la masa en reposo del electrón, puede expresarse según:

Apéndice A Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina

186

( )'

1 1 cosαα =

+ α − θ⎡ ⎤⎣ ⎦. Si se define ( )'x 1 1 cosα= = + α − θ

α y se sustituye en la ecuación de d

dσθ

se

tiene:

2 2e 2

d 1 1r x cos 1 sind x xσ ⎡ ⎤= π⋅ ⋅ ⋅ + + θ − θ⎢ ⎥θ ⎣ ⎦

(A.1.3)

Aplicando entonces la transformación: d d ddx d dxσ σ θ= ⋅

θ dx sin

d⎧ ⎫= α ⋅ θ⎨ ⎬θ⎩ ⎭

, se obtiene:

2

2e2

rd 1 1x cos 1 dxdx x x

π⋅σ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + θ − ⋅⎢ ⎥α ⎣ ⎦ (A.1.4)

Si se considera que para el muestreo de la variable x mediante el método de rechazo (Ver punto

3.3.2.2) la constante de normalización no necesita ser especificada, es posible definir la función de

densidad de probabilidad de x como:

( ) 22

1 1f x, , x 1 cosx x

⎛ ⎞θ α = − + θ +⎜ ⎟α ⋅ ⎝ ⎠ (A.1.5),

Siendo x 1cos 1 −θ = −α

y 1 x 1 2≤ ≤ + α

El método de muestreo propuesto por Kahn [Kahn, 1954] parte del reajuste de la función de

densidad de probabilidad (A.1.5) y su descomposición en la suma de dos funciones de densidad de

probabilidad, cada una de ellas compuesta por una función normalizada y otra acotada en el

intervalo 1 x 1 2≤ ≤ + α , para obtener la expresión:

( ) 22 2

2 1 1 1 1 8 2 1 1 1f x, , 4 cos2 9 2 x x 2 9 2 x 2 x

α + α +⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ α = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α + α α + α ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (A.1.6)

Si se denotan: ( )11g x

2=

α, ( )2 2

2 1g x2 x

α +=α ⋅

( ) ( )1 2 1 2

1 21 1

g x dx g x dx 1+ α + α⎧ ⎫

= =⎨ ⎬⎩ ⎭∫ ∫ y

( )1 2

1 1h x 4x x

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ) 22

1 1h x cos2 x⎛ ⎞= θ +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( ) ( )( ){ }1 2max h x max h x 1= = , entonces el

procedimiento consiste en el muestreo según ( ) ( ) ( )1 1 1f x g x h x= y ( ) ( ) ( )2 2 2f x g x h x= , con

frecuencias relativas 2 12 9

α +α +

y 82 9α +

respectivamente.


187

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

x

g1(x

), h 1

(x)

g1(x)h1(x)

El muestreo según ( )if x (i = 1 ó 2) se realiza aplicando el método de inversión a ( )ig x para

obtener la realización de la variable x, la que es aceptada o no mediante el método de rechazo

según ( )ih x (Ver acápite 3.3.2.4).

Acorde con el método de inversión, la realización de la variable x se obtiene entonces resolviendo

una de las siguientes ecuaciones:

( ) ( )11

x 1g x ' dx ' x 12

γ = = −α∫ (A.1.7)

( )21

x 2 1 1g x ' dx ' 12 xα + ⎛ ⎞γ = = −⎜ ⎟α ⎝ ⎠∫ (A.1.8),

Siendo γ un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo (0,1).

Para ( )1g x el valor de x se obtiene como: x 2 1= α ⋅ γ + , mientras que para ( )2g x el valor de x

se obtiene según: 2 1x2 1

α +=α ⋅ γ +

.

Las Figuras A.1 y A.2 muestran el comportamiento de las funciones ( )1g x , ( )1h x y ( )2g x ,

( )2h x respectivamente, para una energía de los fotones incidentes igual a 1.0 MeV.

Figura A.1: Funciones ( )1g x , ( )1h x para hν = 1.0 MeV (α = 1.957). Figura 74


188

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

x

g2(x

), h 2

(x)

g2(x)h2(x)

1 2 3 2, , , 2γ γ γ η = γ

( )1¿ T ?γ ≤

w 1= α ⋅η +

Rw1

=α ⋅η +

3 2

1 1¿ 4 ?w w

⎧ ⎫⎛ ⎞γ ≤ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

w 1u 1 −= −α

23

1 1¿ u ?2 w

⎧ ⎫⎛ ⎞γ ≤ +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

x w=cos 1θ = − η cos uθ =

+ -

,

xαα =

RR 2 1,R +8

= α + Τ =

-

++

-

1 2 3 2, , , 2γ γ γ η = γ

( )1¿ T ?γ ≤

w 1= α ⋅η +

Rw1

=α ⋅η +

3 2

1 1¿ 4 ?w w

⎧ ⎫⎛ ⎞γ ≤ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

w 1u 1 −= −α

23

1 1¿ u ?2 w

⎧ ⎫⎛ ⎞γ ≤ +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

x w=cos 1θ = − η cos uθ =

+ -

,

xαα =

RR 2 1,R +8

= α + Τ =

-

++

-

Figura A.2: Funciones ( )2g x , ( )2h x para hν = 1.0 MeV (α = 1.957). Figura 75 La siguiente figura recoge el diagrama de flujo del algoritmo del método.

Figura A.3: Diagrama de flujo del método de Kahn. Figura 76


189

A.2 Método de Koblinger Este método de muestreo directo [Koblinger, 1974] se basa en el siguiente teorema (Ver acápite

3.3.2.5):

Si la variable aleatoria x tiene una función de densidad de probabilidad (PDF) f(x), donde:

( )f x dx 1+∞

−∞

⋅ =∫ y esta PDF puede escribirse como: ( ) ( )N

i 1if x x

=

= ϕ∑ , donde ( )i x 0ϕ ≥ ,

(i = 1,2,…, N), entonces la selección aleatoria de x a partir de f(x) puede realizarse en dos pasos:

1. Selección aleatoria del término “i”, con una probabilidad ( )i ip x dx+∞

−∞

= ϕ ⋅∫

2. Muestreo de la variable “x” según la función de densidad de probabilidad ( )1i ip x− ⋅ϕ .

Como se vio en el punto A.1, la ecuación de Klein-Nishina para la sección eficaz diferencial de la

dispersión no coherente en un electrón libre y en reposo puede escribirse como:

2

2e2

rd 1 1x cos 1 dxdx x x

π⋅σ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + θ − ⋅⎢ ⎥α ⎣ ⎦, con x 1cos 1 −θ = −

α y 1 x 1 2≤ ≤ + α .

Si se sustituye: 2cos θ = 2x 11 −⎡ ⎤−⎢ ⎥α⎣ ⎦

y se ordenan los términos de la ecuación, es posible obtener

la ecuación de Klein-Nishina en la forma:

( )2e

2 2 2 2 3

2 1rd 1 1 1 2 1 11dx x x x

⎡ ⎤α +⎛ ⎞π⋅σ + α⎛ ⎞= ⋅ + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (A.2.1),

Entonces:

( )2e

t 2 2 2 2 3

1 2

1

2 1r 1 1 1 2 1 11 dxx x x

+ α ⎡ ⎤α +⎛ ⎞π⋅ + α⎛ ⎞σ = + − + + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ (A.2.2),

( ) ( )( )

2e

t 22

2 1r 4 1 11 ln 1 2 12 1 2

⎛ ⎞⎛ ⎞α +⎛ ⎞π⋅ ⎜ ⎟σ = + − + α + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟α α α + α⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (A.2.3),


190

Si se denota: 2erk π⋅=

α,

2

1A =α

, 1 2β = + α , 2

1B 1 + β= −α

, 2C β=

α y D = 1, se tiene la

ecuación (A.2.1) en la forma:

2 3

B C Dd k A dxx x x

⎡ ⎤σ = + + +⎢ ⎥⎣ ⎦, 1 x≤ ≤ β (A.2.4)

La función de densidad de probabilidad f(x) tendrá la forma:

( )2 3

B C DH A , si(1 x )x x x

f x0, si( x 1) ( x )

⎧ ⎫⎛ ⎞+ + + ≤ ≤ β⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪ −∞ < < β < < +∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

U

, t

kH =σ

(A.2.5)

Para poder aplicar el teorema de muestreo se requiere que ninguno de los términos (A, B, C y D)

sea negativo. El término B no es negativo si 2 2 2 0α − α − ≥ , esta condición se satisface sólo si

1 3α ≥ + , es decir, para energías de los fotones superiores a 1.40 MeV. Se tiene entonces que

para 1 3α ≥ + la función de densidad de probabilidad f(x) puede escribirse como la suma de

cuatro términos no negativos:

( ) ( )N

ii 1

f x x=

= ϕ∑ (A.2.6),

donde: N = 4, ( )1 x H Aϕ = ⋅ , ( )2Bx Hx

ϕ = , ( )3 2

Cx Hx

ϕ = y ( )4 3

Dx Hx

ϕ = .

La probabilidad de selección de los términos de la función f(x) es ( )i i

1 2

1

p x dx+ α

= ϕ∫ , es decir:

1

1 2

1

2Hp H A dx 2H A+ α

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅α =α∫ (A.2.7),

( )2 2

1 2

1

H B 1p dx H B ln 1 2 H 1 lnx

+ α⋅ + β⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ + α = − β⎜ ⎟α⎝ ⎠∫ (A.2.8),


191

3 2

1 2

1

H C 1 2Hp dx H C 1x 1 2

+ α⋅ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ − =⎜ ⎟+ α α⎝ ⎠∫ (A.2.9),

( )4 23 2

1 2

1

H D H D 1 H 1p dx 1 1x 2 21 2

+ α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= ⋅ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ β+ α ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ (A.2.10),

El muestreo de la variable x se realiza entonces en el término “i” para el que se cumple:

i 1 i

j 1 jj 0 j 0

p p−

= =

≤ γ <∑ ∑ 0(p 0)= (A.2.11),

siendo 1γ un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo entre 0 y 1.

Una vez seleccionado el término “i” se procede al muestreo de x resolviendo la ecuación:

( )i 2i 1

x1 y dyp

ϕ ⋅ = γ∫ (A.2.12),

siendo 2γ otro número aleatorio independiente de 1γ .

Resolviendo la ecuación (A.2.12) para el primer término se tiene:

( )2 2

1

x1 1dy x 1 x 2 1

2 2γ = ⋅ = − ⇒ = α ⋅ γ +

α α∫ (A.2.13)

Para el segundo término se tiene:

( )( )

( )2

2

1

xln x1 1 dy x

ln 1 2 y ln 1 2γγ = ⋅ ⋅ = ⇒ = β

+ α + α∫ (A.2.14)

Para el tercer término se tiene:

( )

2 221

x1 2 1 1 2 1H dy 1 x

2 y 2 x 1 2+ α ⎛ ⎞+ α β⎛ ⎞γ = ⋅ ⋅ ⋅ = − ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟α α + α ⋅ γ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (A.2.15),

y para el cuarto término:


192

1 2 42 2

1 2 11 2 , 1 , S , S 1 ln , S2

β + ψ⎛ ⎞β = + α ψ = − = = − β =⎜ ⎟β α α⎝ ⎠

1 2,γ γ

T 1 2 4S 2S S S= + +1 21 2 3 1

T T

S SP , P , P PS S

= = =

( )1 1¿ P ?γ < ( )1 1 2¿ (P P ) ?γ < + ( )1 1 2 3¿ (P P P ) ?γ < + +

2x 2 1= α ⋅ γ + 2x γ= β2

x2 1

β=α ⋅ γ + [ ]

12

2x 1 −= − γ ⋅ψ

-

,x 1cos 1 ,x

− αθ = − α =α

--

+ + +

1 2 42 2

1 2 11 2 , 1 , S , S 1 ln , S2

β + ψ⎛ ⎞β = + α ψ = − = = − β =⎜ ⎟β α α⎝ ⎠

1 2,γ γ

T 1 2 4S 2S S S= + +1 21 2 3 1

T T

S SP , P , P PS S

= = =

( )1 1¿ P ?γ < ( )1 1 2¿ (P P ) ?γ < + ( )1 1 2 3¿ (P P P ) ?γ < + +

2x 2 1= α ⋅ γ + 2x γ= β2

x2 1

β=α ⋅ γ + [ ]

12

2x 1 −= − γ ⋅ψ

-

,x 1cos 1 ,x

− αθ = − α =α

--

+ + +

( )

( )( )

( )

2 2

2 3 22 21

x2 1 2 1 21 1dy 1

y x1 2 1 1 2 1

+ α + α ⎛ ⎞γ = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎝ ⎠+ α − + α −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

12

2 2

1x 1 1−

⎡ ⎤⎛ ⎞= − γ −⎢ ⎥⎜ ⎟β⎝ ⎠⎣ ⎦ (A.2.16)

Una vez obtenido el valor de la variable x, el coseno del ángulo de dispersión del fotón se obtiene

de la ecuación:

x 1cos 1 −θ = −α

La energía del fotón dispersado se calcula según la ecuación:

,

xαα =

La siguiente figura recoge el diagrama de flujo del algoritmo del método.

Figura A.4: Diagrama de flujo del método de Koblinger. Figura 77


193

A.3 Método de Newton - Raphson Si al igual que en el punto A1 se define a

2e

hm c

να = como la energía del fotón incidente

expresada en unidades de la energía másica del electrón en reposo, a ( )

'

1 1 cosαα =

+ α − θ⎡ ⎤⎣ ⎦

como la energía del fotón resultante de la interacción Compton normalizada con la energía másica

del electrón en reposo y a ( )'x 1 1 cosα= = + α − θα

, donde θ es el ángulo de salida del fotón

resultante con relación al vector director del fotón incidente, es posible entonces escribir la

ecuación de Klein-Nishina como:

2 3

d B C 1k Adx x x xσ ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(1 x 1 2≤ ≤ + α ) (A.3.1),

Siendo 2erk π⋅=

α( er igual que en la ecuación (A.1.1)),

2

1A =α

, 1 2β = + α , 2

1B 1 + β= −α

y

2C β=α

.

La sección eficaz total para la dispersión no coherente puede calcularse según:

t 2 3

1 1

d B C 1dx k A dx k Gdx x x x

β βσ ⎡ ⎤σ = ⋅ = + + + ⋅ = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ (A.3.2)

Resolviendo la integral en la ecuación (A.3.2) se obtiene que:

2 2

4 1 1 1G 1 ln 12⎛ ⎞+ β⎛ ⎞= + − β + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α β⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(A.3.3)

A partir de la ecuación (A.3.1) para la sección eficaz diferencial es posible construir la función de

densidad de probabilidad para la variable x (1 x 1 2≤ ≤ + α ) como:

2 3

1 B C 1f (x) AG x x x

⎡ ⎤= ⋅ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (A.3.4)

La función de probabilidad acumulativa de la variable x puede obtenerse a partir de la integral de

la de la función de densidad de probabilidad (A.3.4), según:


194

( ) ( ) ( ) ( ), ,2

1

x 1 1 1 1F x f x dx A x 1 B ln x C 1 1G x 2 x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ (A.3.5),

donde: ( )0 F x 1≤ ≤ .

Es posible realizar el muestreo de la variable x, acorde con la función de probabilidad (A.3.5),

resolviendo la ecuación (Ver acápite 3.3.2.1):

( )F xγ = (A.3.6),

siendo γ un número aleatorio, uniformemente distribuido en el intervalo entre 0 y 1. Si bien no es

posible hallar la solución analítica de la ecuación (A3.6) en la forma: ( )1x F−= γ , la variable x

puede calcularse mediante métodos numéricos, como por ejemplo, a través del conocido método

de iteración de Newton – Raphson, [Shampine L. et. al. 1997]:

El desarrollo de la función F(x) en serie de Taylor alrededor del punto x0 está dado por:

( ) ( ) ( ) ( )' '' 20 0 0 0

1F x F x F x F x ...2

+ ε = + ⋅ε + ⋅ε + , (A.3.7)

Tomando los términos de orden inferior a dos se tiene:

( ) ( ) ( )'0 0 0F x F x F x+ ε = + ⋅ε (A.3.8)

Haciendo ( )0F x 0+ ε = y resolviendo para ε se tiene:

( )( )

0'

0

F xF x

ε = − ( )( )'0F x 0≠ (A.3.9)

Sustituyendo 1 0x xε = − en (A.3.9) se obtiene la expresión:

( )( )

01 0 '

0

F xx x

F x= − (A.3.10),

que calcula el cero de la recta dada por la parte derecha de la ecuación (A.3.8). Para funciones no

lineales es necesario realizar la iteración de la ecuación (A.3.10) siempre que ( )'iF x 0≠ . Se llega

así a la ecuación básica del método de Newton – Raphson:

( )( )

nn 1 n '

n

F xx x

F x+ = − (A.3.11)

El método de Newton – Raphson es inestable cerca de extremos locales o cuando la función F(x)

tiene asíntotas horizontales en el intervalo de interés. En el caso de la función de probabilidad

acumulativa definida según la ecuación (A.3.5) el método converge rápidamente, como puede

notarse en las Figuras A.5 y A.6 que muestran, a modo de ejemplo, el comportamiento de esta

función para energías iniciales de los fotones de 1.0 MeV y 0.1 MeV respectivamente.


195

0.0000.100

0.2000.3000.4000.500

0.6000.7000.800

0.9001.000

1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000X

F(X)

0.0000.100

0.2000.3000.4000.500

0.6000.7000.800

0.9001.000

1.000 1.050 1.100 1.150 1.200 1.250 1.300 1.350 1.400X

F(X)

Figura A.5: Gráfico de la función de probabilidad acumulativa F(x) según la ecuación (A.3.5), para una energía de los fotones igual a 1.0 MeV. Figura 78

Figura A.6: Gráfico de la función de probabilidad acumulativa F(x) según la ecuación (A.3.5), para una energía de los fotones igual a 0.1 MeV. Figura 79 La expresión matemática para resolver la ecuación (A.3.6) mediante el método de iteración, según

la ecuación (A.3.11) es:

( ) ( )n n 2n n

n 1 n

2 3n n n

1 1 1A x 1 B ln x C 1 1 Gx 2 x

x x B C 1Ax x x

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅ − − γ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −+ + +

(A.3.12)

Donde los términos A, B, C y G son los definidos en las ecuaciones (A.3.1) y (A.3.3).


196

2 2 2 2

1 1 4 1 1A , 1 2 , 1 , C , G B ln 12⎛ ⎞β + β⎛ ⎞= β = + α Β = − = = + ⋅ β + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α β⎝ ⎠ ⎝ ⎠

γ

( ) ( ) 2

2 3

1 1 1A x 1 Bln x C 1 1 Gx 2 xx x 1 1 1A B C

x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + − − γ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −

+ + +

x 1, presición= ζ =

y x=

{ }¿ y x ?− ≤ ζ

,x 1cos 1 ,x

− αθ = − α =α

+

-

2 2 2 2

1 1 4 1 1A , 1 2 , 1 , C , G B ln 12⎛ ⎞β + β⎛ ⎞= β = + α Β = − = = + ⋅ β + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α β⎝ ⎠ ⎝ ⎠

γ

( ) ( ) 2

2 3

1 1 1A x 1 Bln x C 1 1 Gx 2 xx x 1 1 1A B C

x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + − − γ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −

+ + +

x 1, presición= ζ =

y x=

{ }¿ y x ?− ≤ ζ

,x 1cos 1 ,x

− αθ = − α =α

+

-

La siguiente figura recoge el diagrama de flujo para el muestreo de la distribución de Klein –

Nishina mediante el método de Newton – Raphson.

Figura A.7: Diagrama de flujo para el muestreo de la fórmula de Klein-Nishina mediante el método de Newton - Raphson. Figura 80


197

A.4 Método de Everett – Cashwell

Partiendo de la ecuación (A1.1) y definiendo ( )

' 1x1 1 cos

α= =α + α − θ

es posible obtener la

ecuación de Klein-Nishina en la forma:

2

2erd 1x 1 dxdx x

π⋅σ ⎡ ⎤= ⋅ + + μ − ⋅⎢ ⎥α ⎣ ⎦, con cosμ = θ y 1 x 1

1 2ξ ≡ ≤ ≤

+ α (A.4.1)

La función de densidad de probabilidad correspondiente puede escribirse como:

( ) ( )( )

f x dxp x dx

F=

ξ,

donde: ( ) 1 2 1 1 1f x x x 1, 1 x− − − −= + + μ − μ = + α − α ,

1 x 11 2

ξ ≡ ≤ ≤+ α

, y ( ) ( )1

F f x dx Gξ

ξ = ≡∫ ,

La función f(x) puede expresarse como:

( ) ( )( )1 2 1 1 1f x x x 1 x x− − − − −= + + α − ξ − (A.4.2),

cuyo desarrollo conduce a:

( )2 1 2 2 1 2 2f (x) x 2 2 x x− − − − − −= + α ξ + α α − α − + α (A.4.3)

El muestreo aleatorio de la variable '

x α=α

consiste entonces en resolver la ecuación:

( )F xG

γ = (A.4.4),

donde: γ es un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo entre 0 y 1 y

( ) ( )1

xF x f x dx= ∫ ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 11 1 x 1 x 2 2 ln x x 1

2− − − −⎡ ⎤= − + α ξ − + α − α − + −⎣ ⎦

(A.4.5)

Sustituyendo ξ en la ecuación (A.4.5) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2 12

2 1F G 1 2 2 ln 2 1 4

2 1− − −α α +

ξ ≡ = − α − α α + + + αα +

(A.4.6)

El método propuesto por [Everett y Cashwell, 1970] consiste en aproximar la función inversa

( )1x F G−= ⋅ γ con funciones analíticas, deducidas para diferentes intervalos de la variable x.


198

Caso I: ( 76

α > )

Cuando 76

α > , la constante 1 0.32 1

ξ = <α +

y en el intervalo [ ], 0.3ξ la función f(x) puede

aproximarse como: ( ) 1f x C x−≅ ⋅ , [ ]x , 0.3∈ ξ . Por lo que en este intervalo la función de

probabilidad acumulativa F(x) se obtiene como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10.3 1 0.3

0.3

1

x x xF x f x dx F 0.3 C x dx F 0.3 C ln 0.3x− −= = + ≅ + = + ∫ ∫ ∫ ∫ (A.4.7)

Sustituyendo x = 0.3 en (A.4.5) se llega a:

( ) 1 2F 0.3 1.65898 1.00796 0.62537− −= − α + α (A.4.8)

La constante ( )( )1

G F 0.3C

ln 0.3 −

−⎡ ⎤⎣ ⎦= ξ

, para satisfacer con la condición: ( )F Gξ = . Sustituyendo C en la

ecuación (A.4.7) se tiene:

( ) ( )( ) ( )

( )1

1

G F 0.3 ln 0.3 xF x F 0.3

ln 0.3

−

−

− ⎡ ⎤⎣ ⎦≅ + ξ

(A.4.9)

Sustituyendo F(x), según (A.4.9), en la ecuación (A.4.4) se tiene:

( )( ) ( )

( )1

1

G F 0.3 ln 0.3 xG F 0.3

ln 0.3

−

−

− ⎡ ⎤⎣ ⎦⋅ γ = + ξ

( x 0.3ξ ≤ ≤ ) (A.4.10)

Resolviendo (A.4.10) para x:

( )( ) ( )( )

1G F 0.3 ln 0.3x 0.3exp

G F 0.3

−⎡ ⎤⋅ γ − ⋅ξ⎢ ⎥= −

−⎢ ⎥⎣ ⎦

( ( ) ( )F 0.3 G F G≤ ⋅ γ ≤ ξ = ) (A.4.11)

En el intervalo: ( ) ( )F 0.3 F x G 0≥ = ⋅ γ ≥ ( 0.3 x 1≤ ≤ ) se asume una función cúbica para

( ) ( )1F G Q G− ⋅ γ ≡ ⋅ γ , en la forma:

( ) ( ) ( ) ( )2 30 1 2 3Q G a a G a G a G⋅ γ = + ⋅ γ + ⋅ γ + ⋅ γ (A.4.12)

Para la función (A.4.12) se demanda que cumpla con las siguientes condiciones de frontera:

( )Q F 0.3 0.3=⎡ ⎤⎣ ⎦ , ( ) ( )Q F 1 Q 0 1= =⎡ ⎤⎣ ⎦ , ( ) ( ) ( )1 1Q' F 0.3

F' 0.3 f 0.3= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1Q ' 0 Q ' F 1

F' 1 f 1 2= = = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

donde: f(1) y f(0.3) se obtienen de la ecuación (A.4.3):

1 2f (0.3) 3.6333 4.6666 5.4444− −= − α + α (A.4.13)

Aplicando las condiciones de frontera a la ecuación (A4.12) se tiene:


199

( ) ( ) ( )2 3

2 32 3

F G G GQ G 1 F a F a2 F F F

⋅ γ ⋅ γ ⋅ γ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ γ = − + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(A.4.14),

donde: ( )F F 0.3= , ( )

22

FF a F 2.1f 0.3

⋅ = + − , ( )

33

F FF a 1.42 f 0.3

⋅ = − − +

Caso 2: ( 76

α ≤ )

En el caso de 76

α ≤ se tiene que 0.3 1≤ ξ < , por lo que se utiliza una aproximación cúbica igual a

(A.4.12) para ( ) ( )1F G Q G− ⋅ γ ≡ ⋅ γ en todo el intervalo: ( ) ( ) ( )F F x G F 1 0ξ ≥ = ⋅ γ ≥ =

( x 1ξ ≤ ≤ ).

En este caso, las condiciones de frontera que debe cumplir la aproximación de

( ) ( )1F G Q G− ⋅ γ ≡ ⋅ γ son:

( )Q F ξ = ξ⎡ ⎤⎣ ⎦ , ( ) ( )Q F 1 Q 0 1= =⎡ ⎤⎣ ⎦ , ( ) ( ) ( )1 1Q' F

F' fξ = = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ξ ξ

y

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1Q ' 0 Q ' F 1

F' 1 f 1 2= = = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

Donde: f(1) y f(ξ) se obtienen de la ecuación (A.4.2):

( ) 1 1f 2 12 1

−ξ = ξ + ξ = + α +α +

(A.4.15)

Aplicando las condiciones de frontera a la ecuación (A.4.12) se tiene:

( ) ( ) ( )2 2 3 32 3

GQ G 1 G a G a2

⎛ ⎞⋅ γ = − γ + ⋅ γ + ⋅ γ⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.4.16),

donde: G se obtiene de la ecuación (A.4.6), ( ) ( )2

2GG a G 3 1

f⋅ = + − − ξ

ξ, y

( ) ( )3

3G GG a 2 12 f

⋅ = − − + − ξξ

La siguiente figura recoge el diagrama de flujo para el muestreo de la distribución de Klein –

Nishina mediante el método de Everett – Cashwell:


200

N1 = 1.65898 N2 = 1.00796N3 = 0.62537

N4= 3.63333 N5 = 4.66667N6 = 5.44444

Constantes

N7= 1.20397 N1 = 1.65898 N2 = 1.00796N3 = 0.62537

N4= 3.63333 N5 = 4.66667N6 = 5.44444

Constantes

N7= 1.20397

β=1/α r =1–2β(1+β) η = 2α+1 ξ=1/η λ = log η G = 2α(α+1)ξ2 + 4β+ r λ

J = F / G

f = ξ+η

R =

g = 3(1– ξ)h = 2(1– ξ)

R = / J

g = 2.1h = 1.4

a = F / 2 d = F / f

b = F+ d – g c = –a –d + h

X = 1 + R[–a + R( b + R.c )]

γ

7¿ ?6

⎛ ⎞α ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

γ γ

+ -

' xα = ⋅α

( )¿ J ?γ ≤

( )x 0.3 exp J= −Λ γ −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )7N / 1 JΛ = λ − −

( )1 2 3F N N N= + β − + β

( )4 5 6f N N N= + β − + β

F G= + -

β=1/α r =1–2β(1+β) η = 2α+1 ξ=1/η λ = log η G = 2α(α+1)ξ2 + 4β+ r λ

J = F / G

f = ξ+η

R =

g = 3(1– ξ)h = 2(1– ξ)

R = / J

g = 2.1h = 1.4

a = F / 2 d = F / f

b = F+ d – g c = –a –d + h

X = 1 + R[–a + R( b + R.c )]

γ

7¿ ?6

⎛ ⎞α ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

γ γ

+ -

' xα = ⋅α

( )¿ J ?γ ≤

( )x 0.3 exp J= −Λ γ −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )7N / 1 JΛ = λ − −

( )1 2 3F N N N= + β − + β

( )4 5 6f N N N= + β − + β

F G= + -

Figura A.8: Diagrama de flujo para el muestreo de la fórmula de Klein-Nishina mediante el método de Everett – Cashwell. Figura 81

201

APÉNDICE B

VENTANAS DE INTERFAZ DEL CÓDIGO DETEFF

Apéndice B Ventanas de interfaz del código DETEFF

202

Figura B1: Opciones para la gestión de archivos de datos y resultados. Figura 82

Figura B2: Ventana de entrada de datos para la simulación de los detectores centelleadores. Figura 83


203

Figura B3: Ventana de entrada de datos para la simulación de los detectores de semiconductor. Figura 84


204

Figura B4: Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes cilíndricas.Figura 85


205

Figura B5: Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes rectangulares. Figura 86


206

Figura B6: Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes con geometría Marinelli, mostrando las indicaciones de ayuda sobre el parámetro bajo del cursor. Figura 87


207

Figura B7: Ventana de entrada de datos para la modelización de filtros entre la muestra y el detector. Figura 88

Figura B8: Ventana de entrada de datos estadísticos. Figura 89


208

Figura B9: Ventana para el cálculo de los coeficientes de atenuación. Figura 90

Figura B10: Ventana para la selección del sonido de aviso de fin de la simulación. Figura 91


209

Figura B11: Visualización del espectro matemático durante las simulaciones.Figura 92


210

Figura B12: Ventana con los resultados de la simulación, con posibilidades de edición e impresión. Figura 93


211

Figura B13: Ventana para seleccionar el contenido de la ayuda. Figura 94

Figura B14: Indicaciones sobre las funciones de los botones de aceleración y de los elementos del menú de opciones. Figura 95


212

213

APÉNDICE C

IMPLEMENTACIÓN DEL GENERADOR MERSENNE TUWISTER EN PASCAL

{****************************************************************** Mersenne Twister Random Number Generator

****************************************************************** A C-program for MT19937, with initialization improved 2002/1/26. Coded by Takuji Nishimura and Makoto Matsumoto. Before using, initialize the state by using init_genrand(seed) or init_by_array(init_key, key_length) (respectively InitMT and InitMTbyArray in the TPMath version) Copyright (C) 1997 - 2002, Makoto Matsumoto and Takuji Nishimura, All rights reserved. Redistribution and use in source and binary forms, with or withot modification, are permitted provided that the following conditions are met: 1. Redistributions of source code must retain the above copyright notice, this list of conditions

and the following disclaimer. 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright notice, this list of

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Apéndice C Implementación del generador Mersenne Twister en Pascal

214

unit uranmt; interface procedure InitMT(Seed : LongInt); {Initializes MT generator with a seed} procedure InitMTbyArray(InitKey : array of LongInt; KeyLength : Word); {Initialize MT generator with an array InitKey[0..(KeyLength - 1)]} function IRanMT : LongInt; {Generates a Random number on [-2^31 ... 2^31 - 1] interval} implementation const N = 624; M = 397; MATRIX_A = $9908b0df; {constant vector a} UPPER_MASK = $80000000; {most significant w-r bits} LOWER_MASK = $7fffffff; {least significant r bits} mag01 : array[0..1] of {Cardinal}LongInt = (0, MATRIX_A); var mt : array[0..(N-1)] of {Cardinal} LongInt; {the array for the state vector} mti : Word; { mti == N+1 means mt[N] is not initialized} procedure InitMT(Seed : LongInt); var i : Word; begin mt[0] := Seed and $ffffffff; for i := 1 to N-1 do begin mt[i] := (1812433253 * (mt[i-1] Xor (mt[i-1] shr 30)) + i); {See Knuth TAOCP Vol2. 3rd Ed. P.106 For multiplier. In the previous versions, MSBs of the seed affect only MSBs of the array mt[]. 2002/01/09 modified by Makoto Matsumoto} mt[i] := mt[i] and $ffffffff; {For >32 Bit machines} end; mti := N; end;


215

procedure InitMTbyArray(InitKey : array of LongInt; KeyLength : Word); var i, j, k, k1 : Word; begin InitMT(19650218); i := 1; j := 0; if N > KeyLength then k1 := N else k1 := KeyLength; for k := k1 downto 1 do begin mt[i] := (mt[i] Xor ((mt[i-1] Xor (mt[i-1] shr 30)) * * 1664525)) + InitKey[j] + j; { non linear } mt[i] := mt[i] and $ffffffff; { for WORDSIZE > 32 machines } i := i + 1; j := j + 1; if i >= N then begin mt[0] := mt[N-1]; i := 1; end; if j >= KeyLength then j := 0; end; for k := N-1 downto 1 do begin mt[i] := (mt[i] Xor ((mt[i-1] Xor (mt[i-1] shr 30)) * * 1566083941)) - i; {non linear} mt[i] := mt[i] and $ffffffff; {for WORDSIZE > 32 machines} i := i + 1; if i >= N then begin mt[0] := mt[N-1]; i := 1; end; end; mt[0] := $80000000; {MSB is 1; assuring non-zero initial array} end;


216

function IRanMT : LongInt; var y : LongInt; k : Word; begin if mti >= N then {generate N words at one Time} begin {If IRanMT() has not been called, a default initial seed is used} if mti = N + 1 then InitMT(5489); for k := 0 to (N-M)-1 do begin y := (mt[k] and UPPER_MASK) or (mt[k+1] and LOWER_MASK); mt[k] := mt[k+M] xor (y shr 1) xor mag01[y and $1]; end; for k := (N-M) to (N-2) do begin y := (mt[k] and UPPER_MASK) or (mt[k+1] and LOWER_MASK); mt[k] := mt[k - (N - M)] xor (y shr 1) xor mag01[y and $1]; end; y := (mt[N-1] and UPPER_MASK) or (mt[0] and LOWER_MASK); mt[N-1] := mt[M-1] xor (y shr 1) xor mag01[y and $1]; mti := 0; end; y := mt[mti]; mti := mti + 1; {Tempering} y := y xor (y shr 11); y := y xor ((y shl 7) and $9d2c5680); y := y xor ((y shl 15) and $efc60000); y := y xor (y shr 18); IRanMT := y end; const init : array[0..3] of LongInt = ($123, $234, $345, $456); begin InitMTbyArray(init, 4); end.

217

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