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ANÁLISIS TEMPORAL
Análisis temporal de sistemas de segundo orden.
1. Sistemas de segundo orden.2. Respuesta impulsional de sistemas de
segundo orden.3. Respuesta ante señales escalón y rampa de
sistemas de segundo orden.
Universidad Carlos III de Madrid Señales y Sistemas
Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
Bibliografía
� Ogata, K., "Ingeniería de control moderna", Ed. Prentice-Hall.� Capítulo 5
� Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed. Addison-Wesley.� Capítulo
� Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed. Prentice Hall.� Capítulo 7
� F. Matía y A. Jiménez, “Teoría de Sistemas”, Sección de Publicaciones Universidad Politécnica de Madrid� Capítulo 5
� Puente, E.A, “Regulación automática”, Ed. UPM-ETSII � Capitulo
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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
• Sistema dinámico que se corresponde con una ecuación diferencial de orden dos.
• Aplicando la transformada de Laplace:
• A partir de esta expresión se obtiene la función de transferencia para un sistema de primer orden:
)()()(
2)(
012
2
2 tuKtyadt
tdya
dt
tyda ⋅=++
)()()( 001
2
2 sUbsYasasa =++
01
2
2
0
)(
)()(
asasa
b
sU
sYsG
++==
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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
� Parámetros característicos de un sistema de segundo orden
G sk
s s
n
n n
( ) =+ +
ωζ ω ω
2
2 22
n
n
2
d n
1
k = G a n a c i a e s t á t i c a .
= F r e c u e n c i a n a t u r a l n o a m o r t i g u a d a .
= C o e f i c i e n t e d e a m o r t i g u a m i e n t o .
= F a c t o r d e d e c r e c im i e n t o .
1 F r e c u e n c i a a m o r t i g u a d a .
c o s ( )
ωζσ ζ ω
ω ω ζϑ ζ−
=
= − =
=
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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
( ) inercia rozamiento resorteP t F F F= + +
2 ( ) ( )( ) ( )r
d y t dy tP t M f k y t
dt dt= + +
( ) ( )2
1( )
( ) r
Y s MkfP s s s
M M
=+ +
2( ) ( ) ( ) ( )rP s M s Y s f s Y s k Y s= ⋅ + ⋅ +
2
22( )
2
n
n n
kG s
s s
ωζ ω ω
=+ +
1
r
Kk
=rn
k
Mω =
2n
f
Mσ ξ ω= =
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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
� Polos
G sk
s s
n
n n
( ) =+ +
ωζω ω
2
2 22
22
22 2 2
21
2 0
1
n n
n n
n d
n n
n
n
s j
s s
s
j
ζω ω
ζω ζ ω ω ζ
ζω
ω ζ
ω σ ω
ω
ζ
+ + =
= − ±
= − ± − =
− =
−
=
±
− ± −
PLANO s21d nω ω ζ= −
21d nω ω ζ− = − −
nσ ζ ω− = −
s1
s2
nω
θ
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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
� Sobreamortiguado (ζ > 1)
� Críticamente amortiguado (ζ = 1)
� Subamortiguado (0 < ζ < 1)
2 1n ns ζω ω ζ= − ± −s
σ
sσ
s
σ
ωn ωdθ s
ζ θ= c o s
ns ζ ω= −
21n ns jζω ω ζ= − ± −
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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
� Oscilador (ζ = 0)
� Inestable (ζ < 0)
sωn ns jω= ±
21
0 (P a r t e r e a l p o s i t i v a )
n n
i n
s jζ ω ω ζα ζ ω
= − ± −= − >
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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
� Sobreamortiguado (ζ > 1) fi Polos reales negativos
� Críticamente amortiguado (ζ = 1) fi Polo doble real negativo
� Subamortiguado (0 < ζ < 1) fi Polos complejos conjugados con parte real negativa
� Oscilador (ζ = 0) fi Polos imaginarios puros
� Inestable (ζ < 0) fi Polos complejos conjugados con parte real positiva
s
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RESPUESTA A ESCALÓN DE SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS
y t ke
p
e
ptn
p t p t
( ) = +−
−
≥1
2 10
21 2
1 2ωζ
0)0( =′y
y(t)
1/s Y(s)
u0(t)G(s)
s
σ
p1 p2
2
2( )
3 2G s
s s=
+ +
2.5ζ =
1.5ζ =
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RESPUESTA A ESCALÓN DE SISTEMAS CRITICAMENTE AMORTIGUADOS
( )y t k e t tt( ) ( )= − + ≥−1 1 0σ σ
0)0( =′y
y(t)
1/s Y(s)
u0(t)G(s)
s
σns ζ ω= −
2
2( )
2 1G s
s s=
+ +1.5ζ =
1ζ =
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RESPUESTA A ESCALÓN DE SISTEMAS OSCILADORES
y t k t tn( ) ( c o s ( ) )= − ≥1 0ω
0)0( =′y
y(t)
1/s Y(s)
u0(t)G(s)
ωn
2
2( )
1G s
s=
+
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RESPUESTA A ESCALÓN DE SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS
y t ke
t t
t
d( ) s e n ( )= −−
+
≥
−
11
02
σ
ζω ϑ
y(t)
1/s Y(s)
u0(t)
G(s)
s
σ
ωn ωd
θ
0.2ζ =0.5ζ =
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PARÁMETROS DE LA RESPUESTA A ESCALÓN
n
st ζωπ
σπ =≈
t pd
=π
ω
t rd
≈−π ϑ
ω
M e ep = =−
−−
ζ πζ
πθ1 2
t g
tr
tp
Mp
t0
0.5k
k
y(t)
ts
td 0.05
ó
0.02
0.9k
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PARÁMETROS DE LA RESPUESTA A ESCALÓN
� Pendiente en el origen:
� Tiempo de estabilización:
� Tiempo de subida:
� Tiempo de pico:
� Sobreoscilación:
(menor ζ, amortiguamiento, mayor sobreoscilación)
0)0( =′y
n( = ),s recot rdar σσ
ζωπ≈
1, ( c o s ( ) )r
d
r e c o r d a rt ζπω
ϑϑ −− =≈
t pd
=π
ω
M e ep = =−
−−
ζ πζ
πθ1 2
tg
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RESPUESTA IMPULSIONAL DE SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS
y t g tk
e t tn t
d( ) ( ) s e n ( )= =−
≥−ωζ
ωσ
10
2
y(t)
1 Y(s)
δ(t)G(s)
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RESP. IMPULSIONAL DE SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO
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RESPUESTA IMPULSIONAL DE SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS
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RESPUESTA IMPULSIONAL DE SISTEMAS OSCILADORES
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RESPUESTA A RAMPA DE SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS
++
−=
++=
− td
nn
nn
n
et
tkty
sss
ksY
σ
θθω
ως
ως
ωςωω
sin
)sin(22)(
1
2)(
222
2
y(t)
1/s2 Y(s)
u0(t)G(s)
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RESPUESTA A RAMPA DE SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS
18.0
2)(
2 ++=
sssG2
2( )
0.2 1G s
s s=
+ +
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