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UNIVERSIDAD AUTONÓMA DE YUCATÁN

Facultad de Matemáticas

Un estudio sobre el discurso en los libros de texto de Matemáticas. Su relación con la práctica escolar

TESIS GRUPAL

Presentada por:

Mildred Rocío Maldonado López María Teresa de Jesús Rodríguez Ricalde

Jorge Carlos Tuyub Moreno

Directora de Tesis: M. en C. María Guadalupe Ordaz Arjona

En opción al título de: Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas

Mérida Yucatán, México Julio de 2007

Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN I

CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES 1

1.1 El problema de la investigación 2

1.1.1 El currículum matemático y el aprendizaje de las matemáticas 2

1.1.2 Las reformas educativas en el nivel medio superior 4

1.1.3 Problemática 5

1.1.4 La investigación 5

1.1.5 Objetivos del trabajo de investigación 7

1.2 Revisión de la Literatura 8

1.2.1 Sobre el análisis y uso de libros de texto 8

1.2.2 Sobre el discurso matemático en los libros de texto 10

1.2.3 Sobre los libros de texto desde el punto de vista 11

de la socioepistemología

1.2.4 El fenómeno de reproducibilidad 13

I


CAPÍTULO 2. ELEMENTOS TEÓRICOS 16

2.1. La socioepistemología 17

2.1.1. Socioepistemología como aproximación teórica para el estudio 18

de las razones de los usos de los libros de texto

2.1.2. Socioepistemología como aproximación teórica para el estudio 20

del DME

2.2. Estudio de la existencia de la reproducibilidad 22

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA 26

3.1 Etapas de la investigación 27

3.2 Acciones realizadas por etapas 28

3.2.1 Elaboración y aplicación de la encuesta 28

3.2.2 Estudio socioepistemológico sobre las razones de los usos 29

de los libros de texto

3.2.3 Análisis de DME presente en los libros de texto 31

3.2.4 Análisis del fenómeno de reproducibilidad en los libros de texto 33

CAPÍTULO 4. RESULTADOS 35

4.1 Estudio de los usos de los libros de texto y las razones asociadas 36

a los mismos 36

4.1.1 Identificación de los libros de texto 36

4.1.2 Análisis de los usos dados a los libros de texto 37

II


4.1.3 Análisis de las razones que justifican los usos dados a los 38

libros de texto

4.1.3.1 Análisis por libro de texto 39

4.1.3.2 Análisis por profesor 42

4.1.4 Aspectos complementarios 49

4.2 Análisis del discurso matemático en los Libros de Texto 50

4.2.1 El estudio de los libros de texto 51

4.3 Análisis del Fenómeno de Reproducibilidad 88

4.3.1 Reproducibilidad cognitiva 88

4.3.2 Reproducibilidad didáctica 91

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS 93

5.1 Conclusiones generales 95

5.1.1 Conclusiones sobre las razones de los usos de los libros 95

de texto de matemáticas

5.1.2 Conclusiones sobre el DME 96

5.1.3 Conclusiones sobre el Fenómeno de Reproducibilidad 99

5.2 Reflexiones finales y sugerencias 100

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 103

ANEXOS

III


I


El presente trabajo muestra nuestro interés por estudiar el discurso matemático

escolar (DME) presente en los Libros de Texto, particularmente desarrollar un

estudio sobre las razones de los usos de los Libros de Texto de matemáticas,

analizar la noción de DME y hacer un estudio sobre la existencia de la

reproducibilidad en los Libros de Texto.

El interés especial por dicho análisis, radica en la importancia que tienen los Libros

de Texto como principales recursos o medios de difusión de los saberes

matemáticos, y principalmente como medios que de alguna manera norman el tipo

de práctica docente y circunscriben el tipo de tratamiento y enfoque que se ha de

seguir en los cursos.

Gimeno (1995) citado en Ortiz (2002), afirma que los materiales y Libros de Texto

tienen varias funciones que cumplen, bien por separado, o bien simultáneamente.

Por un lado, son depósito de informaciones varias para profesores y estudiantes, ya

que guían o estructuran el proceso de enseñanza aprendizaje al sugerir actividades,

resaltando informaciones y guiando el proceso de desarrollo de una unidad. También

pueden sugerir el tipo de actividad a través de la que se evalúa el proceso seguido

por el alumno. Los Libros son el mecanismo de proposición-imposición de una

determinada cultura, deben ser objetos de atención porque a través de ellos se eleva

a la categoría de normal y universal un tipo de conocimiento y unos determinados

valores.

II


El Libro de Texto constituye para el profesor una fuente de recursos tanto para las

explicaciones de clase como para el conjunto de ejercicios a resolver en el salón,

para llevar tarea o para usarse en la evaluación.

Rico (1990) citado en Ortiz (2002), considera que uno de los factores que pueden

hacer fracasar los intentos de cambio de un currículo de matemáticas, son los Libros

de Texto, ya que "la carencia de materiales y Libros de Texto adecuados a los

nuevos currículos son en ocasiones obstáculos insalvables".

Por ello la investigación de los Textos puede contribuir a la adquisición de

conocimiento y maestría en los métodos matemáticos en los diferentes niveles de

educación matemática.

Por otra parte se han realizado estudios que reportan que el currículo es uno de los

principales factores que intervienen en el proceso de aprendizaje, en donde se

encuentran propuestas didácticas que buscan mejorar el proceso de enseñanza y

aprendizaje, abordándose desde diferentes puntos, como son: el profesor, los

contenidos, materiales y/o la institución educativa.

Es necesario hacer notar que el estudio del currículum matemático presente en los

sistemas educativos se torna importante, en cuanto a que se considera es quien

dirige el proceso de enseñanza y aprendizaje, de él depende cual debe ser la

actuación del profesor (refiriéndose a la didáctica, su metodología, el discurso que

emplea, entre otros) en el salón de clases, y la manera en como debe aprender el

estudiante y por ende, está involucrado en las problemáticas asociadas con el

aprendizaje de las matemáticas.

Este trabajo surge como parte de un proyecto de investigación para el “Análisis del

Currículum” realizado por Departamento de Matemática Educativa, de la Facultad de

Matemáticas UADY1, el cual tiene como interés el estudio del DME que se desarrolla

en el subsistema de Colegios de Bachilleres del Estado de Yucatán (COBAY),

recabando información sobre el tipo de DME presente en este subsistema a fin de

1 Universidad Autónoma de Yucatán (UADY)

III


generar entendimiento sobre cómo “vive” y se desarrolla la socialización e

institucionalización de los saberes matemáticos. Una de las acciones a seguir, para

el “Análisis del Currículo”, es el desarrollo de un estudio sobre los Libros de Texto de

matemáticas, enfocados en las nociones de DME que presentan.

El Programa Nacional de Educación 2001-2006 y el Programa de Desarrollo de la

Educación Tecnológica 2001-2006 formularon un diagnóstico de la situación de este

nivel educativo y concluyeron en la necesidad de llevar a cabo una reforma

curricular, la cual se basa en un modelo educativo usualmente conocido como

constructivista. Pese a ello, los problemas en el aprendizaje de las matemáticas

continúan, por lo que nuestro trabajo se realizó con los profesores y Libros que

utilizan en el subsistema COBAY, en específico con el concepto Función de la

materia Matemáticas IV (Precálculo).

Para nuestra investigación nos apoyamos en las explicaciones de la aproximación

teórica Socioepistemológica, la cual aborda desde una perspectiva sociocultural el

problema de estudio de las matemáticas y permite explicar la naturaleza de un

discurso y mostrar evidencias de cómo se construye el conocimiento (en este caso;

el matemático escolar ó de difusión) a partir de una intencionalidad didáctica

(Castañeda, 2002; Castañeda, 2000), así como aquellos aspectos de socialización

de las ideas, como parte de un proceso por el que se dé la ampliación del cuerpo

teórico de la matemática (Castañeda, 2005).

Nuestra investigación fue de tipo cualitativa, estructurada en las siguientes tres

etapas:

I. Estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto de matemáticas.

II. Análisis del DME presente en dichos Libros de Texto.

III. Estudio de la existencia del fenómeno de la reproducibilidad en los Libros de

Texto.

IV


Para los fines de nuestra investigación, se obtuvo la información necesaria por medio

de una encuesta estructurada y con el análisis de los tres Libros más usados por lo

profesores encuestados.

Para el estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto, se justificaron las

razones de los profesores respecto a cada uno de los aspectos que se consideraron

como didácticos, cognitivos, sociales y epistemológicos. Se hizo un análisis de los

usos de los tres Libros más usados, así como de cada uno de los profesores

encuestados.

Se realizó el análisis del discurso matemático escolar presente en los tres Libros de

Texto más usados de Precálculo, particularmente el concepto “Función” describiendo

los tratamientos que según los autores son útiles para su comprensión, a través de

los factores presentes dentro de cada Libro.

Después del análisis de los tratamientos, procedimos al estudio del Fenómeno de

Reproducibilidad en cuanto a los aspectos cognitivos y didácticos que se encuentran

presentes en el DME de los Libros de Texto analizados.

Para terminar, se generaron conclusiones de las tres etapas del trabajo, con el

objetivo de identificar y analizar aquello que se establece como discurso en los Libros

de Texto de matemáticas, así como generar entendimiento sobre los mecanismos de

adaptación que sigue el conocimiento matemático y su relación con las prácticas

escolares.

Para terminar, daremos un breve panorama de lo incluido en cada uno de los

capítulos de este trabajo:

En el Capítulo 1 hablamos de la importancia del currículo en el sistema educativo, así

como de las últimas reformas del subsistema COBAY, esto con el fin de

contextualizar, para así plasmar la problemática identificada y nuestros objetivos de

la investigación. También podrán encontrar una revisión de la literatura, de acuerdo a

las investigaciones realizadas en cuanto al uso de los Libros de Texto y el discurso

matemático escolar.

V


En el capítulo 2 hacemos referencia a los elementos teóricos, que respaldan nuestra

investigación, en específico a la Aproximación Teórica la Socioepistemología;

describiendo cómo ésta nos permitió realizar cada uno de los estudios mencionados

anteriormente.

En el Capítulo 3, se aborda la metodología empleada para cada uno de los estudios

realizados como parte de nuestra investigación, así como la descripción de cada una

de las componentes socioepistemológicas que se consideraron para cada análisis.

En el Capítulo 4, se hace un reporte de los resultados de cada uno de los análisis

que realizaron a lo largo de este estudio.

Como un apartado final, incluimos un reporte de los resultados obtenidos respecto a

logros y consecuciones de nuestros objetivos de investigación para el estudio del

DME en los Libros Texto, de igual forma, se anexa las sugerencias y consideraciones

para futuras investigaciones, así como cuestiones de discusión y reflexión.

Por último incluimos la bibliografía utilizada en este trabajo así como un anexo de

tablas en las que se encuentran resultados obtenidos en las encuestas.

VI


1


1.1 El problema de la investigación

1.1.1 El currículo matemático y el aprendizaje de las matemáticas

La matemática educativa en tanto disciplina científica, dirige sus esfuerzos a atender

las problemáticas asociadas con el aprendizaje de las matemáticas, buscando

determinar condiciones para un funcionamiento óptimo que en conjunto orienten

nuestra práctica docente.

Estudios realizados reportan que el currículo resulta ser uno de los principales

factores, cuya intervención, influyen de diferentes maneras en el proceso de

aprendizaje. Asimismo, se generan propuestas didácticas con el fin de mejorar el

proceso de enseñanza y aprendizaje, abordándose desde diferentes puntos, como

son: el profesor, los contenidos, materiales y/o la institución educativa. Dichas

propuestas deben buscar fundamentarse en investigaciones que permitan mostrar

las dificultades que se presentan en cualquiera factor de la triada didáctica, así como

los diferentes dispositivos didácticos que permiten su interacción.

Igualmente se ha reportado que el sistema didáctico presente en las aulas se

encuentra fuertemente influenciado por el subsistema educativo que lo origina, pues

es el currículo quien determina como se van a dar las interacciones dentro de un

sistema didáctico, y las relaciones entre profesor, alumno y saber, además el

currículo dirige los procesos de enseñanza y aprendizaje, pues dentro de este se

2


plantea cuál debe ser la actuación del profesor (refiriéndose a la didáctica, su

metodología, el discurso que emplea, entre otros) en el salón de clases, y la manera

como aprende el estudiante y por ende, está involucrado en las problemáticas

asociadas con el aprendizaje de las matemáticas. Es en este sentido que el estudio

del currículo matemático presente en los sistemas educativos se torna importante.

Es por tanto, importante realizar propuestas que provoquen un cambio en los

sistemas educativos con el fin de mejorar el aprendizaje de los alumnos, esto se

puede dar por medio de la búsqueda de la mejora del sistema didáctico, señalando

propuestas que favorecen la interacción entre saber-alumno-profesor, y que vayan

acorde al currículo bajo el cual se rija el sistema educativo donde se encuentre

establecido.

Resulta importante, realizar estudios que permita observar los factores que

intervienen dentro de un sistema didáctico, pudiendo atender algún punto en

particular, como son, los recursos didácticos; que se presenten las dificultades que

surgen a partir de su intervención en el proceso de aprendizaje, o bien, estudios que

presenten, de manera descriptiva, el desarrollo de dispositivos didácticos dentro de

algún sistema educativo en particular.

Por ello, este estudio está centrado sobre un recurso que parece fundamental para el

proceso de aprendizaje y enseñanza, el Libro de Texto, donde se encuentra

plasmado el saber y el contenido a aprender por el alumno.

Al tomar conciencia de la importancia que tiene un Libro de Texto en el desarrollo de

currículo matemático, surge un interés de estudiar el DME presente en los Libros de

Texto utilizados en los Colegios de Bachilleres del Estado de Yucatán (COBAY), para

interrogarnos sobre las necesidades presentes en el proceso de enseñanza-

aprendizaje y contribuir así, a entender la forma en que “vive” y desarrolla el DME en

este subsistema.

3


1.1.2 Las reformas educativas en el nivel medio superior

La evidencia de que el currículo matemático ha sido evaluado y rediseñado en

diferentes sistemas educativos es clara, sin embargo, también lo es el hecho de que

estos cambios se han centrado en su mayoría, en los contenidos en cuanto a

cantidad, orden y las formas correctas de enseñar. Un ejemplo de ello es el

subsistema de Colegios de Bachilleres del Estado de Yucatán, en el cual, el

Programa Nacional de Educación 2001-2006 y el Programa de Desarrollo de la

Educación Tecnológica 2001-2006 formularon un diagnóstico de la situación de este

nivel educativo que concluyó en la necesidad de llevar a cabo una reforma curricular,

la cual se basa en un modelo educativo usualmente conocido como constructivista.

Pese a ello, los problemas en el aprendizaje de las matemáticas continúan. Y

efectivamente, estamos de acuerdo en que en pro de la búsqueda de la mejora del

sistema didáctico, se deben provocar cambios en los sistemas educativos, señalando

propuestas para su reestructuración, pero también para el reestablecimiento de cada

uno de los factores que intervienen en el sistema didáctico, así como la de los

factores que favorecen la interacción entre saber-alumno-profesor.

Es así, que no se puede pasar por alto el hecho de que parte fundamental del

análisis del currículum es el estudio del Discurso Matemático Escolar (DME) presente

en el mismo, entendiendo el DME como la forma en que es comunicado o

presentado de manera verbal o no verbal, explicita o implícitamente un mensaje

matemático en situación escolar (Cordero, 2005).

4


1.1.3 Problemática

Dentro del subsistema COBAY, se puede observar la carencia que existe de un Libro

de Texto, que es pieza fundamental para el aprendizaje de sus alumnos, un Libro

que vaya de acuerdo al currículo y a la filosofía educativa de éste subsistema, es

decir, que se encuentre conformado de manera congruente con los objetivos

curriculares, contenidos educativos planteados en los programas y/o planes de

estudio, que contengan una metodología didáctica que logré satisfacer las

insuficiencias que sufre el proceso de aprendizaje y enseñanza que se produce

dentro de este subsistema.

Al no tener Libros de Texto diseñados en base a su currículo vigente, en la

bibliografía del programa se sugiere el uso de varios libros para cada materia, de

esta manera resulta quedar a criterio del profesor la elección y el uso que se le dan a

estos libros, así como la decisión de utilizar algún otro libro que no se encuentre en la

bibliografía, por lo que no se conocen los usos que le dan los profesores a éstos

textos, las razones de esos usos y el DME plasmado en cada libro.

1.1.4 La investigación

Nuestro interés se centra en el estudio del discurso matemático escolar presente en

el Subsistema de Colegios de Bachilleres del Estado de Yucatán. Particularmente,

nos interesa desarrollar un estudio sobre las razones de los usos de los Libros de

Texto de matemáticas, analizar la noción de DME presente en los libros que son

mayormente usados por los profesores de los Colegios de Bachilleres del Estado y a

los cuales hemos llamado sus Libros de Texto.

El interés especial por dicho análisis, no sólo radica en la problemática antes

planteada respecto a la Reforma Educativa del COBAY, sino en la importancia que

5


tienen los Libro de Texto como principales recursos o medios de difusión de los

saberes matemáticos, y principalmente como medios que de alguna manera norman

el tipo de práctica docente y circunscriben el tipo de tratamiento y enfoque que se ha

de seguir en los cursos.

Estudiamos las razones por las que usan los Libros de Texto, ya que si conocemos

dichas razones podremos tener una visión de las concepciones de los profesores

acerca de cómo se construye el conocimiento, cuáles son los medios que utilizan

para ello, si es considerada la cognición de los estudiantes, así como su realidad

sociocultural, con todo esto tener un panorama de la realidad que se vive en el

subsistema COBAY.

Con respecto al DME, coincidimos con Castañeda (2005) en que es posible a través

del análisis del DME, identificar el tratamiento que ofrecen los autores a las ideas, a

fin de establecer su naturaleza epistemológica e identificar los procedimientos de

comunicación de las ideas matemáticas.

Ya que este ejercicio de análisis del discurso (Van Dijk, 1998 citado en Castañeda,

2005) permite el reconocimiento de varios niveles; los procedimientos de difusión, los

procedimientos de comunicación, las características del receptor, la intencionalidad

del emisor, incluso algunos que son implícitos como la ideología que se desea

transmitir.

Consideramos además, que al seno del salón de clases, el discurso matemático se

compone esencialmente de las notas basadas en los Libros de Texto que apoyan las

actividades que ahí se desarrollan. Por lo cual, para fines de nuestro estudio,

consideraremos como Libros de Texto aquellos que son mayormente usados por los

profesores del COBAY y que creemos enmarcan su práctica docente.

Pretendemos dar cuenta del tratamiento que los autores le dan a los contenidos así

como la intencionalidad de los mismos, pretendemos determinar aquellos invariantes

presentes en los tratamientos dados a los Libros de Texto, enmarcándolo en el

fenómeno didáctico de la reproducibilidad. Otro aspecto importante de nuestro

6


trabajo es el estudio de los usos que los profesores dan a estos Libros de Texto y las

razones de ello, desde una perspectiva múltiple (cognitiva, didáctica, epistemológica

y social), para lo cual nos valdremos de una aproximación teórica, la

socioepistemología.

Las preguntas que trataremos de responder en esta investigación son:

¿Cuáles son los usos que el profesor da a los Libros de Texto y qué lo justifica?

¿Cuál es el discurso matemático presente en los Libros de Texto del COBAY?

¿Existe el fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto?

1.1.5 Objetivos del trabajo de investigación

Objetivo general

Identificar y analizar aquello que se establece como discurso en los Libros de Texto

de matemáticas, así como generar entendimiento sobre los mecanismos de

adaptación que sigue el conocimiento matemático y su relación con las prácticas

escolares.

Objetivos específicos

• Determinar cuáles son los usos que el profesor da a los Libros de Texto y las

razones que los justifican.

• Identificar cuál es el discurso matemático presente en los Libros de Texto del

COBAY.

• Realizar un estudio que nos permita determinar si existe el fenómeno de

reproducibilidad en los Libros de Texto.

7


1.2 Revisión de la Literatura

En este apartado haremos mención de algunas investigaciones en torno al Libro de

Texto y los diversos usos que tiene, así mismo en relación con la aproximación

teórica de la socioepistemología y el fenómeno de reproducibilidad

1.2.1 Sobre el análisis y uso de Libros de Texto

Ávila (1996), en un estudio sobre los usos que los profesores declaran dar a los

Textos gratuitos de matemáticas, reporta que “la formación y la experiencia de los

profesores son factores que intervienen en el uso que se da a los textos”, el cual es

importante aunque heterogéneo. Adicionalmente reporta que algo que llama la

atención el “uso frecuente de textos adicionales y fotocopias que se utilizan para

complementar o, en ocasiones, sustituir el uso del texto gratuito”. Estos materiales,

que también tienen usos heterogéneos, en general, obedecen a un formato propio de

la tradición educativa en matemáticas que contradice los principios de la reforma

curricular puesta en marcha.

Por su parte, McGinty y Cols (1986, citado en Ortiz (2002)) realizan una investigación

en la que pretendían observar la relación entre un Libro de Texto y el currículum,

preguntándose sí los Libros de Texto de matemáticas reflejaban lo que se proponía

en el currículo de su país. Esto es, en cuanto a que dicho currículum da como

recomendación primera, que la resolución de problemas fuese el foco de las

matemáticas escolares, así como, que los programas de matemáticas diesen

oportunidades a los estudiantes para aplicar las matemáticas. Sin embargo, los

resultados obtenidos por McGinty y Cols muestran que los Libros de Texto sugieren

8


todo lo contrario, esto es, los libros muestra un aumento de la ejercitación, creándose

un desfase respecto al interés que en el currículo americano se daba a que los

alumnos enfaticen la resolución de problemas y la aplicación de las matemáticas.

Guëmes (2001), hace una aproximación de las investigaciones sobre el uso del Libro

de Texto en el aula; ella reporta que dichas investigaciones exponen dependiendo de

cada autor, los usos de estos Libros de Texto y algunos factores que intervienen en

el desarrollo de este y que en general, se puede encontrar dos vertientes diferentes

respecto al uso de los Libros de Texto:

La primera se refiere a las prácticas que se tienen del uso de los Libros de Texto:

- Utilizar el Libro de Texto como currículo (Autoridad máxima que informa que y

cómo se desarrolla el currículo).

- Combinación de Libro de Texto con otros materiales. (el profesor determina el

tiempo que se debe emplear y la función que debe realizar el Libro de Texto).

- Sustitución del Texto Escolar por otros medios o materiales (El profesor

elabora su propia planificación de la enseñanza).

La segunda hace referencia al estilo de enseñanza que el profesor tiene a partir de

los Libros de Texto, así los tipos de uso de los Libros de Texto son:

- Un tipo metódico, donde se cubre todo el tiempo de la clase con el Libro de

Texto.

- Otro tipo basado en las actividades

- Un tipo centrado en la discusión y/o reflexión.

Cabe mencionar que en los dos primeros tipos se puede referir a un modelo de

Dependencia Profesional de Libro de Texto y el último a un modelo de Autonomía

Profesional respecto a este.

9


1.2.2 Sobre el discurso matemático en los Libros de Texto

Alberto y Cadoche (2002) realizaron un estudio llamado “Descripción de situaciones

didácticas desde los Libros de Texto”, éste trabajo tiene dos componentes

principales: el Libro de Texto y el tratamiento didáctico dado al número real. En la

primera parte del trabajo se describen las características principales que posee un

Libro de Texto dentro de un sistema educativo y posteriormente, utilizando una

selección de Libros de Textos se identifican algunas propuestas didácticas con las

que se presenta el número real.

Ortiz (2002), realiza un estudio descriptivo enfocado al significado de los conceptos

probabilísticos en textos de secundaria, teniendo esta investigación como ejes

principales los Libros de Texto, por considerar que éstos, constituyen un recurso

didáctico fundamental, no sólo para los alumnos que lo usan, sino para el profesor

que basa en ellos una gran parte de su actuación docente, y por otra parte el

contenido matemático, que en este caso es en el campo de la probabilidad, por

considerar no sólo su importancia sino que es un área que ha recibido una atención

comparativamente menor que otros temas del currículo.

El análisis realizado en esta investigación permite identificar puntos críticos que

deberán tenerse en cuenta en la elaboración de los nuevos materiales curriculares

para la enseñanza en este caso particular, de la probabilidad en estos niveles.

Por otra parte, Carranza et al (2002) realizan una investigación haciendo un

comparativo de tres Libros de Textos, respecto al concepto de función en con texto

institucional. Su estudio se describe así mismo como la identificación de los

elementos más característicos del significado atribuido al objeto matemático “el

concepto de función” en el contexto institucional: los Libros de Texto.

10


1.2.3 Sobre los Libros de Texto desde el punto de vista de la socioepistemología

Castañeda et al. (2001) realizan un estudio que presenta la recopilación de algunos

de los elementos teóricos y metodológicos para el análisis de textos matemáticos

antiguos, mostrando no sólo la experiencia acumulada por diversos investigadores

agrupados en la perspectiva socioepistemológica sino los resultados que pueden

obtenerse a través de la lectura de textos matemáticos antiguos. El ejemplo que

consideraron de manera amplia gira en torno a algunos hallazgos que se han

realizado al concepto “Función”.

Su contribución es el presentar un primer acercamiento sistemático respecto al seno

de la perspectiva socioepistemológica. En este sentido su escrito puede ser una guía

para aquellos que estén interesados en realizar estudios de obras matemáticas de

antaño con el objetivo de profundizar en las dimensiones de la construcción del

conocimiento. Los estudios que realizaron con esta perspectiva les permitieron, por

ejemplo, rescatar una base sustantiva de caracterizaciones para algunos de los

conceptos del Cálculo que no están presentes en el discurso matemático escolar. Sin

duda esto contribuye una pieza de conocimiento, de alto valor y de utilidad en el

desarrollo y puesta en funcionamiento de situaciones de aprendizaje utilizando

argumentos de la didáctica de antaño.

Castañeda (2002), en su investigación socioepistemológica relativa a la

caracterización de la evolución didáctica del punto de inflexión, dio cuenta de los

mecanismos institucionales para la difusión del conocimiento y de las prácticas

asociadas al estudio del punto de inflexión dentro del ámbito de las diferencias

infinitesimales.

La difusión del cálculo (como fenómeno de divulgación del saber) con fines

didácticos se originó a partir de la necesidad de compartir los nuevos saberes que

Leibniz, y por otra parte Newton, formularon. Pero el desarrollo de este proceso tuvo

11


intérpretes que aportaron una versión, si bien fiel a las ideas, ordenada y con una

secuencia que atendía a la lógica evolutiva de las ideas, entre estos matemáticos

identificamos la obra del Marqués de L’Hospital y de María de Agnesi.

Los tratados de L’Hospital (1696) y Agnesi (1748) constituyen los primeros trabajos

concebidos, específicamente para la difusión del cálculo, por lo cual su tratamiento

del saber trata de ser didáctico y claro, incluyendo además ejemplos, problemas y

amplias explicaciones, de tal forma que un lector no necesariamente experto en la

materia podría acercarse sin problema a ellos.

A fin de investigar la influencia que ejercieron estos trabajos en las nuevas

generaciones de matemáticos, por medio de la socioepistemología, analizaron las

caracterizaciones y el tratamiento que hicieron Agnesi y L’Hospital de las ideas

infinitesimales, para trazar una ruta en la evolución de los conceptos: cómo el saber

erudito devino en uno destinado a la difusión, y a la manera en que éste permitió una

evolución conceptual hacia teorías analíticas del cálculo propias de un ámbito

erudito.

Las obras de estos personajes se publicaron cuando aún el cálculo estaba en un

proceso de construcción. El papel de las obras se reconoce en dos sentidos; al

aportar una aproximación del nuevo cálculo intentando clarificar las ideas y como

medio difusor de un nuevo saber a través de un discurso especialmente escrito para

fines didácticos o de difusión. Este último rasgo los define como los primeros Libros

de Texto de cálculo de la historia y se reconoce en ellos un primer esfuerzo por

estructurar un curso escolar del cálculo. En este ejercicio de organización y de

formulación de un nuevo discurso se ha identificado el papel argumentativo de la

geometría así como un acercamiento al cálculo basado en explicaciones geométricas

también con carácter infinitesimal, es decir, que rompían con la axiomática de la

geometría euclidiana.

Por otro lado, esa investigación mostró la existencia de ciertas prácticas que

caracterizan saberes, como el punto de inflexión, a través de situaciones en donde

se hace necesario ese saber.

12


Estas prácticas se identificaron integradas al discurso que proponen los libros antes

citados, en ellas se observa que el acercamiento a la ideas matemáticas se da a

través de modelos geométricos en los que se representa la variación (como el caso

de la variación máxima de la subtangente), así las aproximaciones sucesivas sobre

una curva representa una actividad específica que permite caracterizar la inflexión en

una curva.

Concluyeron que el desarrollo del cálculo no se dio de forma lineal dentro de una

élite erudita. Para constituir una base de significados del cálculo, se requirió del

cuidado en la organización, caracterización y argumentación desde distintos planos,

incluyendo las ideas que aportaron los autores de obras de difusión, a quienes se

debe un grado de originalidad.

1.2.4 El fenómeno de reproducibilidad

Una primera concepción del fenómeno de reproducibilidad, puede entenderse como

aquel fenómeno que nos permite ver los efectos didácticos que surgen al repetir

alguna situación didáctica en escenarios de aplicación diferentes, así mismo, permite

encontrar aquellos elementos que pueden ayudar a la estabilización de dichos

efectos.

Brousseau (1986) introduce en su investigación el fenómeno de envejecimiento de

las situaciones; dicho fenómeno pone en duda los esfuerzos del profesor para

producir una misma lección en contraste con los resultados de aprendizaje obtenidos

por sus alumnos, puesto que estos resultados no son los mismos en cada repetición,

en diferentes escenarios, y a veces tienden a ser muy decadentes; entonces ¿Qué

es lo que realmente se está produciendo o reproduciendo?; enmarcando que “Saber

lo que se ha reproducido en una situación de enseñanza es justamente el objeto de

la didáctica, que no es resultado de observación sino de un análisis que se apoya en

el conocimiento de los fenómenos que definen lo que dejan invariante”. Esta

13


concepción viene a definir de manera más completa al fenómeno de la

reproducibilidad, al incluirlo como punto de estudio de la Matemática Educativa, y

fenómeno fundamental que puede ayudar al desarrollo de situaciones de enseñanza;

puesto que la búsqueda de la mejora en la enseñanza de matemáticas, no solo debe

mostrar reglas sobre los métodos de enseñanza, sino contribuir en el desarrollo de

instrumentos que contribuyan a esa mejora.

Es por ello que se mira a la reproducibilidad como fenómeno didáctico que permite

mirar la posible repetición de efectos didácticos, que se encuentran determinados por

múltiples factores (internos y externos) que afectan el logro didáctico, es decir, el

cumplimiento de los propósitos didácticos establecidos. En palabras de Lezama

(2005) el fenómeno de reproducibilidad emerge en el contexto de una intervención al

sistema didáctico, por lo cual es indispensable abordarlo desde una perspectiva

sistémica (Socioepistemología)

Este fenómeno es explicado a través de la reproducibilidad Interna2 y

reproducibilidad externa3. En este sentido la reproducibilidad no solo debe mirarse

como algo externo sino como la covariación de lo interno y lo externo, pues, buscar

los mecanismos de reproducibilidad interna haciendo uso de todos los factores que

constituyen la reproducibilidad externa (Lezama, 2005), puesto que la influencia

interna tomara materialización a través de la reproducibilidad externa, y podrá ser

explicada uno con respecto a la otra, ya que una podría ser tomada como la razón de

la otra.

En necesario recalcar que las investigaciones aquí presentadas nos marcan algunos

limites para el estudio del fenómeno de reproducibilidad en situaciones didácticas,

esto implica que la reproducibilidad busca un cambio en el proceso didáctico

convencional, a través de la introducción de ingenierías que sean utilices en el

proceso de aprendizaje escolar, así como la mejora en la actuación didáctica del

profesor.

2 La reproducibilidad interna es entendido como aquella construcción de conocimiento sobre algún contenido matemático. 3 Comportamientos individuales y colectivos de los estudiantes.

14


El estudio de la reproducibilidad se ha enfoca en estudiar la intervención del sistema

didáctico, donde el polo del saber es el que permanece estable (Lezama, 2004). Es

por ello que se centra en mirar las repeticiones encontradas en las permutaciones de

los escenarios, profesores y alumnos; siendo estos dos últimos los más difíciles de

controlar.

Aunque no existen estudios donde se extrapole el fenómeno de reproducibilidad, de

una situación didáctica a estudiar Libros de Texto de matemáticas, no es algo ilógico

pensar en la reproducibilidad de los Libros de Textos, puesto que el estudio de la

reproducibilidad está en búsqueda de una práctica ideal, logrando así quizás no una

concepción utópica de la enseñanza sino la mejora de la practica escolar

convencional.

Así, podemos decir que el estudio de la reproducibilidad puede extenderse a estudiar

la reproducibilidad de los Libros de Textos a través del DME presentes en las

propuestas didácticas de los autores de los Libros de Texto, como dijese Lezama

(2005), ¿Cómo garantizar (…) la estabilidad de los efectos didácticos en una

actividad de clase, o el uso de un texto, de una ingeniería didáctica o de una

propuesta curricular(…)?, siendo esta cuestión la justificación más relevante de a la

inquietud de estudiar la reproducibilidad en los textos, aun cuando la reproducibilidad

tienda a ser modificada en el sistema didáctico y su forma de estudio, pues ¿cómo

será entendida la interacción del sistema didáctico?

15


16


Para dar cuenta del discurso matemático escolar (DME) presente en los Libros de

Texto, llevamos a cabo un estudio del tratamiento del concepto Función y sus

gráficas en dicho DME, valiéndonos de un análisis epistemológico del concepto de

función; adicionalmente, pretendiendo dar respuesta a nuestras preguntas de

investigación, nos valdremos de la aproximación teórica la socioepistemología que

nos permite estudiar por una parte, las razones de los usos que los profesores de los

COBAY’s dan a los Libros considerados “de Texto” desde una perspectiva múltiple

(cognitiva, epistemológica, didáctica y social), y por otra parte, para determinar si

existe el fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto desde la perspectiva

cognitiva y la didáctica.

2.1. La socioepistemología

La socioepistemología es una aproximación teórica de naturaleza sistémica que

permite tratar los fenómenos de producción y de difusión del conocimiento desde una

perspectiva múltiple, al incorporar el estudio de las interacciones entre la

epistemológica del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos

asociados y los mecanismos de institucionalización vía la enseñanza.

Tradicionalmente, las aproximaciones epistemológicas asumen que el conocimiento

es resultado de la adaptación de las explicaciones teóricas con las evidencias

empíricas, ignorando, sobremanera, el papel que los escenarios históricos, culturales

e institucionales desempeñan en la actividad humana. La socioepistemología, por su

17


parte, plantea el examen del conocimiento social, histórica y culturalmente situado,

problematizándolo a la luz de las circunstancias de su construcción y difusión

(Lezama, 2005).

La socioepistemología, en tanto aproximación teórica que aborda desde una

perspectiva sociocultural el problema de estudio de las matemáticas así como los

fenómenos didácticos asociados a la misma, permite explicar la naturaleza de un

discurso y mostrar evidencias de cómo se construye el conocimiento.

2.1.1. Socioepistemología como aproximación teórica para el estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto

Castañeda (2005) afirma que en una obra se puede identificar una intencionalidad

del autor de difundir sus ideas, es en esta circunstancia que un análisis

socioepistemológico no sólo debe atender el contenido matemático que se dice y se

transpone, sino también analizar las formas y procedimientos por los que éste

conocimiento se comparte; las formas en las que se explican las ideas, los ejemplos

que propone, la organización de la información, en suma, caracterizar la

estructuración del saber que se expone.

Como al estudiar las razones de los usos que los profesores del COBAY dan a los

Libros de Texto, estamos estudiando fenómenos didácticos como resultado de una

interacción con el Libro de Texto, esta investigación nace en el seno de una

aproximación teórica, la Socioepistemológica, que busca explicar cómo se aprende,

cómo se enseña y qué se enseña, para lograr desarrollar el pensamiento matemático

de los estudiantes, vía el rediseño del Discurso Matemático Escolar, contemplando

elementos cognitivos, epistemológicos, didácticos y aportando elementos de carácter

social para explicar las razones de estos usos.

18


A continuación se definirá la manera en la que veremos cada una de las

componentes socioepistemológicas y será notorio que estudiamos las razones de los

usos por medio de los criterios de su elección ya que están íntimamente

relacionados, es decir, si un profesor me afirma que eligió un libro porque considera

que sus ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes, es lógico que éste

profesor tome del libro, sus ejemplos y ejercicios en su labor docente y además

sabemos que esta razón obedece a la didáctica, por tanto tengo información del uso

que le da, y de la razón por la que se da ese uso.

Estudiamos si las razones de los usos se deben a razones epistemológicas en

cuanto a la forma en la que los profesores creen que se construye el conocimiento

matemático, es decir, la forma en la que ellos creen que se da el aprendizaje en sus

alumnos, En cuanto a las razones asociadas a la epistemología nos interesa

conocer, cuál es la forma en la que el profesor cree que se da el aprendizaje de las

matemáticas y para él, qué papel juega el Libro de Texto en dicho proceso. Para

esto.

Con respecto a la didáctica, Castañeda (2005) distingue un análisis didáctico a las

obras de texto, fijándose en el tratamiento de la matemática para un fin específico

que es el aprendizaje, en este caso podemos observar en las obras de texto,

estrategias de comunicación, ejemplos para introducir el tema, dibujos o metáforas

para el tratamiento didáctico de la matemática.

De manera similar, consideraremos la didáctica cómo la forma en la que se difunde,

transmite e informan los contenidos matemáticos en los libros.

Entenderemos las formas de informar, difundir y transmitir los conceptos

matemáticos en el Libro de Texto de la siguiente manera:

Formas de informar: son las formas en las que los conceptos matemáticos pueden

ser plasmados con el fin de mostrar el conocimiento, sin pensar en la cantidad ni el

tipo de gente a la que debe de llegar.

19


Formas de difundir: divulgar y propagar son sinónimos que nos pueden ayudar a

entender el objetivo de difundir el conocimiento, para lograr difundir es necesario

pensar a quienes esta dirigido el conocimiento y que se requiere para llegar a la

mayor cantidad de lectores.

Formas de transmitir: estas tienen como objetivo el transferir el conocimiento, lograr

que por medio de sus formas se construya el conocimiento matemático y de esta

manera que éste sea apropiado por los lectores.

La cognición estudia procesos mentales, por tanto, para analizar si las razones de los

usos de los Libros de Texto de matemáticas depende de factores cognitivos, nos

preguntaremos si los profesores consideran la cognición de los estudiantes al elegir

los textos que utilizan, así como el diseño del propio libro, ya que éste tiene como

respuesta procesos cognitivos en los estudiantes.

Por último, pero no menos importante se encuentra el factor sociocultural, el cual

también influye fuertemente en las acciones de los individuos, ya que

inconcientemente actuamos regidos por las costumbres o decisiones sociales en las

que estamos inmersos. Consideraremos como razones socioculturales a los usos

que obedezcan al consenso, a las costumbres o a normatividades.

2.1.2. Socioepistemología como aproximación teórica para el estudio del DME

Otra caracterización del Discurso Matemático Escolar (DME) es la hecha por Montiel

(2006) como conjunto de restricciones, explícitas o implícitas, que norman la

actividad áulica y al discurso escolar mismo. Sostiene, que se ha organizado durante

años (siglos), para responder a cuestionamientos de orden teórico e ideológico que

muestren la coherencia interna del discurso argumentativo o de las eventuales

implicaciones que tendría el conducir al razonamiento bajo hipótesis inusuales.

20


Puesto que el Libro de Texto, surge de la necesitad social de mantener y comunicar

los saberes, con el fin de que cualquier individuo pueda acceder a ellos para adquirir

conocimiento matemático, la aproximación teórica, Socioepistemología, permite el

estudio de las formas en que es comunicado y difundido el saber, y siendo el Libro

de Texto una de esas formas, entonces, esta teoría conciente el estudio del DME,

que se presenta. La realización del estudio es de carácter Socioepistemológico (Ver

figura 1), puesto que, una forma de hacer investigación en Matemática Educativa, es

problematizando el saber matemático escolar bajo la unidad de análisis sistémica, las

cuales consideramos caracterizar de la siguiente manera.

Al referirnos de la componente sociocultural, en el DME, hablamos que el Libro de

Texto, es producto de un desarrollo histórico, pues el DME que contiene, ha ido

evolucionando de acuerdo a los avances en las tendencias educativas y las nuevas

necesidades sociales que se presentan a lo largo del tiempo. Esto requiere un

estudio mucho más profundo y amplio que el presente, donde su realización no es,

para el carácter de este estudio, una prioridad. La componente sociocultural, aquello

que provee de sentido, significado y “funcionalidad” a los conceptos matemáticos, en

términos socioculturales, prácticas sociales, prácticas de referencia, etc.

En Castañeda (2005), al estudiar el libro “calculo diferencial”, argumenta que: a

través de un estudio al discurso matemático escolar, se puede identificar el

tratamiento que ofrece el autor del Libro de Texto a las ideas. Con ello sostenemos

que la componente epistemológica obedece a establecer de manera explícita la

forma en que un concepto matemático se presenta en el Libro de Texto, es decir,

cómo el autor concibe un concepto matemático y cuáles son los argumentos que

sostienen dicha concepción.

La componente cognitiva, como se encuentra relacionada con los procesos

mentales, para el estudio será entendida como aquellas demandas cognitivas que el

tratamiento, presentes en el DME, exigen de los estudiantes.

Por ultimo, la componente didáctica, en cuanto a los tratamientos que ofrece el Libro

de Texto, para la comprensión de un concepto matemático, de acuerdo a las

21


consideraciones que ellos tienen sobre las matemáticas y la forma en que pueden

ser aprendidas.

Fig. 1. Esquema de estudio del fenómeno de reproducibilidad a través de la socioepistemología

2.2. Estudio de la existencia de la reproducibilidad

Sin bien, un Libro de Texto influye en la enseñanza, pues en el ámbito escolar

cumple, entre otras funciones, la de fuente de consulta del saber que se estudia, así

como la de organizador en la creación de programas de estudio, estructuración de

cursos y seminarios o de situaciones específicas en la preparación de clases,

elaboración de problemarios, guías de estudio o exámenes. Con una mirada más

profunda, se puede advertir una doble naturaleza en las obras de texto: como una

obra de texto, referida a los elementos estructura y organización, y aquellos tocantes

a su contenido, es decir, al discurso que contiene (Castañeda, 2006). Entonces

algunos de los elementos que define al discurso matemático escolar, son los Libros

22


de Texto en los que se apoya la enseñanza del aula y el tipo de explicaciones que

usa el docente en clase para comunicar un saber a enseñar y que algunas veces se

basa en las experiencias cercanas con las que cuentan los individuos. Por ello, parte

del estudio del discurso matemático escolar que se presenta en el aula, se puede

realizar a través del discurso matemático escolar contenido en los Libros de Texto

que son usados por los profesores.

Para este estudio se toma a la Socioepistemología, aproximación teórica, como

metodología que permita estudiar los efectos didácticos que surgen como

consecuencia de la introducción de un Libro de Texto en el aula. Con está

concepción se trata de estudiar aquellos factores que se repiten de un Libro de Texto

a otro, de acuerdo al DME, y que de una u otra manera pueden producir un efecto

didáctico, es por ello que uno de las cuestiones que se pretenden estudiar en el DME

de los Libros de Textos es si el fenómeno de reproducibilidad esta presente en los

Libros de Texto

Una primera noción del fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto, mira al

Libro de Texto como un objeto didáctico, que afecta el cumplimiento de los

propósitos didácticos, y que facilita la observación de las posibles repeticiones de los

múltiples factores que causan la reproducción del discurso matemático escolar

contenida en los Libros de Texto al ser introducido en el sistema didáctico.

Si al hablar del fenómeno de reproducibilidad nos referimos a múltiples factores, que

pueden ser de carácter Interno o Externo, y que a través de ellos se puede explicar

al fenómeno de reproducibilidad, ¿cómo entonces se explicaría la reproducibilidad en

este nuevo contexto?

La reproducibilidad interna se encuentra relacionada con la construcción de

significado y aprendizaje de un contenido matemático, es decir, son las

construcciones mentales que los individuos desarrollan como estrategias para

enfrentarse a una situación que involucra un concepto matemático, en un Libro de

Texto no podemos mirar al autor al enfrentarse en una situación descrita en su Libro,

pero si podemos encontrar “algo implícito” presente en su propuesta y que este

23


relacionado con la construcción de significados y aprendizaje. Se denomina

Reproducibilidad Implícita (Tacita) aquella que esta relacionada con la construcción

de un conocimiento matemático escolar en el Libro de Texto y cuya construcción del

conocimiento se encuentra en el tratamiento que el Libro ofrece sobre un concepto y

que considera ideal.

La reproducibilidad externa esta constituida por las publicaciones de los estudiantes,

es decir, los comportamientos colectivos o individuales que se presentan a lo largo

de la puesta en escena de una situación didáctica, los factores que aquí se

presentan son fáciles de observar. En un Libro de Texto se puede observar la

propuesta que los autores presentan, es decir, son las consideraciones que el autor

hizo para proponer los tratamientos que se presentan en su Libro y que pueden o no

contribuir a la construcción de aprendizaje significativo, esta es a la que se denomina

Reproducibilidad Explícita.

Es por lo expuesto anteriormente, que la Socioepistemología (Ver figura 2) nos

permitirá determinar si existe el fenómeno didáctico de reproducibilidad en el

tratamiento del contenido matemático propuesto por el autor, en términos didácticos

y cognitivos, esto es, diremos que un tratamiento se reproduce cognitivamente si las

demandas cognitivas para el estudiante son las mismas en ambos Libros de Texto,

independientemente de los tratamientos que los libros están ofreciendo para un tema

especifico.

24


Fenómeno de Reproducibilidad Reproducibilidad

Tacita

Soci

oepi

stem

olog

ía

Reproducibilidad Explicita

Fig. 2. Esquema de reproducibilidad sobre los Libros de Texto

Diremos que un tratamiento se reproduce didácticamente si en la forma en que el

autor comunica los contenidos matemáticos, es decir, si en el tratamiento que le da a

los contenidos está normado por un mismo ideal, si la intencionalidad en ambos es la

misma, si en ambos tratamientos se espera que los efectos producidos sean los

mismos.

Ya determinado el tratamiento presente en los Libros de Texto, se estudiará aquellos

aspectos que se reproducen didáctica y cognitivamente de un tratamiento a otro,

para ello utilizaremos tablas comparativas, las cuales contengan la información

recabada del estudio del tratamiento matemático presente en cada Libro de Texto,

así como las intencionalidades de dicho tratamiento. De esta manera, se podrá

estudiar la existencia el fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto.

Libro de

Texto

Noosfera

Efecto de la transposición

Libro de

Texto

Saber

Propuesta Tratamiento Propuesta Tratamiento

Efecto de la transposición

25


26


En este capítulo se expresa en forma detallada los aspectos metodológicos

considerados para la realización de nuestra investigación.

3.1 Etapas de la investigación

Nuestra investigación fue de tipo cualitativa, debido a los objetivos de nuestro

trabajo, el cual podemos verlo estructurado en tres etapas:

I. Estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto de matemáticas.

II. Análisis del DME presente en dichos Libros de Texto.

III. Estudio de la existencia del fenómeno de la reproducibilidad en los Libros de

Texto.

El desarrollo de cada etapa se realizó en este mismo orden, ya que para hacer el

estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto de matemáticas es

necesario interpretar la información que proporcionó cada profesor, por lo que

consideramos pertinente, realizar primero este estudio para evitar que el conocer el

DME presente en dichos Libros de Texto, éste influya en nuestras interpretaciones y

conclusiones con respecto al estudio de las razones de los usos. Y para poder hacer

27


el estudio de la existencia del fenómeno de la reproducibilidad en los Libros de Texto,

fue necesario realizar primero el Análisis del DME presente en dichos Libros de

Texto, ya que la información de éste, se utilizó en el estudio de la existencia de la

reproducibilidad.

Se trabajó con el concepto “Función”, en la materia Matemáticas IV, la selección de

del concepto para nuestro estudio, se debió a que es uno de los conceptos

obligatorios en la educación del nivel bachillerato y de los más difíciles tanto para

enseñar como para aprender (Dubinsky y Harel, 1992, citado en Farfán, et. al. 2003),

además este concepto se aborda en la materia Matemáticas IV (Precálculo), que

desde el punto de vista del sistema de la enseñanza, el curso de precálculo es un

repertorio de procedimientos y algoritmos provenientes esencialmente del álgebra y

de la geometría analítica, tocando con mayor o menor énfasis el estudio de función

(Farfán, et. al. 2003).

3.2 Acciones realizadas por etapas

3.2.1 Elaboración y aplicación de la encuesta

Con la intención de recabar la información necesaria para llevar a cabo nuestro

trabajo, se elaboró una encuesta4 estructurada. Las tablas y preguntas se diseñaron

y estructuraron para conocer lo siguiente:

• Información acerca de los libros que utilizan los profesores.

• Usos que los profesores dan a dichos libros.

4 La encuesta se encuentra en el apartado de anexos

28


• Razones asociadas a estos usos.

• Información general sobre la necesidad de contar con un libro de texto y las

características que en su caso debiera tener dicho libro.

Una vez concluida la encuesta, se aplicó a todos los profesores que imparten la

asignatura Matemáticas IV en los COBAY’s de los planteles Xoclán, Santa Rosa y

Chenkú de la ciudad de Mérida, Yucatán, estos planteles fueron considerados como

los más significativos debido a que son los tres planteles con mayor número de

alumnado en el estado, de acuerdo a la información proporcionada por el

Departamento de Servicios Académicos del COBAY y que por lo tanto se

consideraron los más significativos; en total fueron 7 los profesores los que

accedieron a responder dicha encuesta.

3.2.2 Estudio socioepistemológico sobre las razones de los usos de los Libros de Texto

Se les proporcionó un listado de los posibles usos5 que le pudieran dar a los Libros,

usos que se dedujeron en base a nuestra experiencia y se dio un espacio para que

especifiquen algún otro uso que le estuvieran dando a los Libros y que no hayamos

considerado. También se definieron cada uno de los aspectos que se considerarían

como didácticos, cognitivos, sociales y epistemológicos respecto a dichos usos y de

acuerdo a eso se proporcionaron características por las cuales seleccionaron los

Libros de Texto que usan6. La encuesta se diseñó de tal manera que podamos tener

la información necesaria para la ejecución de este estudio.

Nuestras unidades de análisis para este estudio son las siguientes:

5 Ver anexo 6 Revisar marco teórico

29


• Para la epistemología, nos fijamos si los profesores seleccionan un libro por la

secuencialidad en su estructura, o en el orden de las actividades (por ejemplo, si

se presentan conceptos, ejemplos y ejercicios, o actividades, conceptos y

ejercicios, etc.).

• Miraremos una razón didáctica asociada a los usos dados a los Libros de Texto,

si los profesores escogen algún libro fijándose en las formas descritas a

continuación:

Formas de informar: algunas formas pueden ser de manera escrita, gráfica,

lúdica, axiomática, o alguna otra.

Formas de difundir: si los textos cuenten con accesibilidad del vocabulario, con

precisión de los contenidos para el fin que se tenga o que los ejemplos que utiliza

sean familiares para los estudiantes.

Formas de transmitir: Estos medios serán el tipo de actividades, las definiciones

empleadas, el enfoque o enfoques que utiliza.

• Con respecto a lo cognitivo, lo verificamos mirando si éste piensa en el grado de

dificultad del libro, en lo que refiere a los ejemplos, ejercicios, al enfoque; ya que

todo esto exige procesos mentales por parte de los estudiantes. También nos

fijamos en el diseño del propio libro, si éste es atractivo para los estudiantes, con

respecto a los colores, tipos y tamaños de letra, imágenes, etc.

• Para lo sociocultural, miramos si el grupo de profesores ha decidido cuál de los

libros utilizar y cómo utilizarlos, que el profesor lo utilice desde que él era

estudiante e imite la manera en la que se le dio uso al libro o que la institución lo

sugiera y simplemente se obedezca para poder ofrecer lo que la institución

ofrece.

30


Por lo que, para cada Libro que utilizan los profesores, por medio de tablas

especificaron los usos que le dan y las razones del por qué le dan esos usos y una

vez realizadas las encuestas se procedió al análisis de las mismas.

El análisis de los usos se realizó en dos partes:

• En la primera, se analizaron las razones de los usos de manera global para los

tres libros más usados por los profesores, es decir, reuniendo todas sus

respuestas y haciendo el análisis del consenso para libros que más usan, la

manera en que lo usan y sus razones.

• En la segunda parte, se analizaron las razones de los usos de cada uno de los

profesores, considerando todos los libros que utilizan.

De las conclusiones hechas en cada una de las partes se hizo un encontraste y una

conclusión final.

A pesar de que fueron 7 profesores los encuestados, 2 de ellos no respondieron

correctamente la encuesta, al parecer no entendieron las instrucciones, por lo que no

pudimos considerar parte de sus respuestas, en específico las tablas de los usos y

de las razones. Se notará esta situación en el siguiente capítulo al hacer el análisis

de las respuestas, en donde se verá el estudio de 5 profesores.

3.2.3 Análisis de DME presente en los Libros de Texto

Por medio del cual pudimos determinar el tratamiento que se le da a los contenidos

en cada uno de los Libros y establecer aquellos aspectos del tratamiento que están

presentes en más de un Libro de Texto.

31


Nuestros instrumentos fueron los mismos tres Libros de Texto más usados y algunas

tablas, que nos permitieron la determinación de aspectos que se repiten en cada

Libro de Texto. Las unidades de análisis en la cual basamos el estudio del DME, son

las siguientes:

1. Revisión de notas previas, pues en ella los autores declara de manera

explicita las percepciones sobre las matemáticas, los tratamientos ofrecidos,

el alumno y sobre el Libro mismo, (prólogo, comentarios del autor, esquemas,

entre otros)

2. Ubicación del Tema de análisis, la ubicación permite mirar el énfasis que se

le hace al tema, a través de su distribución, su énfasis en el tema, los

conocimientos previos y las aportaciones de la unidad para los capítulos

posteriores.

3. La manera en que es introducido el concepto, suponemos que aquí es

donde le autor debe motivar al estudiante, presentar la importancia del

estudio y marcar el énfasis sobre el cual se desarrollara el concepto,

4. La argumentación es la de un recurso "lingüístico" u otro tipo, que es

considerado en el objeto o concepto mismo que dan sentido (argumento

tomado como algo que da validez). La argumentación nos deja mirar la

evolución del concepto desde la idea intuitiva presentada por el autor y la

definición forma, y como esta va adquiriendo sentido y significado en la

cognición del estudiante, así mismo las relaciones de las que el autor

prescinde para darle sentido en la práctica cotidiana.

5. Los ejercicios propuestos, nos brinda un panorama de los requerimientos

cognitivos que el estudiantes tuvo que desarrollar para la resolución de los

mismos, así como el nivel cognitivo que se exige y la diversidad de ejercicios

que los autores presentan deben permitir de alguna manera, la consecución

de los contenidos posteriores.

32


3.2.4 Análisis del fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto

Posterior al análisis del DME, el cual nos brinda información sobre el tratamiento, se

realizó un estudio que nos permitiría dar los primeros indicios del fenómeno de

reproducibilidad en los Libros de Texto, y con ello dar la primera aproximación sobre

este fenómeno didáctico, para fines de nuestro trabajo, sólo consideramos estudiar la

reproducibilidad a través de los aspectos cognitivos y didácticos, puesto que el

análisis del tratamiento permitió dar evidencias claras de estos.

Dentro de las unidades de análisis para el aspecto cognitivo, seleccionamos las

siguientes, en ellas se trato de establecer las demandas cognitivas que se exigía.

1. Los conocimientos previos. Para el desarrollo del tema propone ciertos

conocimientos que los estudiantes deben dominar y los cuales les servirán de

referencia. En esta parte, nos centramos más que en mirar el desarrollo de la

unidad propuesta por el Libro de Texto, las actividades que proponían como

evaluación formativa o Diagnóstica, pero no dejando de hacer consideraciones

sobre el DME presente en el desarrollo del capítulo o Unidad propuesto antes

de estudiar el concepto “Función”.

2. Grado de apropiación del concepto. Como el autor del Libro de Texto, a través

de los tratamientos que ofrece logra concebir el concepto “Función” y su

representación “gráfica”

3. El nivel de interpretación de los argumentos. Cuales son las exigencias

cognitivas, que el Libro de Texto requiere para que los argumentos que dan

sentido al concepto “Función”, puedan ser comprendidos; es decir, si existe

una representación semiótica el libro propone que el estudiante haga una

conversión o una trasformación

4. Grado de dificultad en los ejercicios y problemas propuestos. Son de tipo

algorítmico, analítico, etc.

33


El estudio del aspecto didáctico fue sustentado a través del análisis del DME,

presentado en la etapa II, pues a través de dicho análisis nos enfocamos en mirar:

1. Formas de Informar. refiriéndose al tipo de argumentos que se promueven

para la apreciación de los conceptos, es decir, la forma en que son

comunicados y son dados a entender los conceptos.

2. Formas de Difundir. Ejemplos, ejercicios y problemas que se encuentren

apegados a los contextos culturales adecuados, así como el nivel del

vocabulario que se usaba durante el discurso, iba de acorde al nivel del

estudiante, podía ser entendible para él.

3. Formas de transmitir. Nos referimos al enfoque que mantiene el Libro y el tipo

de actividades que se emplean para reforzar los conceptos.

Considerando estas unidades, para los aspectos cognitivos y didácticos, se utilizó

una tabla comparativa donde que permitía comparar las demandas cognitivas de los

diferentes Libros de Texto, lo cual consideramos un efecto de cosas que se repiten.

Así mismo a través de las conclusiones y la descripción del DME, su usos y las

razones de esos usos, tratando de concluir de manera general sobre la parte

didáctica presente en los Libros de Texto, enmarcando estas unidades de análisis.

34


35


4.1 Estudio de los usos de los Libros de Texto y las razones asociadas a los mismos

4.1.1 Identificación de los Libros de Texto.

Los resultados de la encuesta muestran que los tres Libros más usados y que por

ende, serán los que consideraremos como los Libros de Texto, son los que se

describen en la siguiente tabla:

Tabla 1: Libros más utilizados de Matemáticas IV

Libro7 Datos del Libro

Libro 1 Stewart, James, et. al. Precálculo. International Thomson Editores

Libro 2 Barnett, Raymod. Precálculo: Funciones y Gráficas. Mc Graw Hill

Libro 3 Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, EDT. Nueva Imagen

Cabe señalar que los libros 1 y 2 son los que propone el subsistema COBAY en la

bibliografía del curso Matemáticas IV, mientras que el libro 3 no se encuentra en la

bibliografía, pero es un libro que los profesores utilizan por iniciativa propia, teniendo

como frecuencia de profesores que lo utilizan la misma que los otros dos libros, 4 de

7 Estos serán los tres Libros analizados y el número señalado es el que se le dará de ahora en adelante en ésta investigación.

36


78, es decir, los tres libros son usados en la misma frecuencia. Además, en la tabla a

cada libro se les asigna una clave, con la cual se les llamará durante este estudio, las

cuales son: Libro 1, Libro 2 y Libro 3.

4.1.2 Análisis de los usos dados a los Libros de Texto.

Una vez identificados los Libros de Texto más utilizados, procedimos a determinar

cuáles son los usos que los profesores le dan a dichos libros; los resultados de la

encuesta se describen en la siguiente tabla, donde se indica el número de profesores

que usan un determinado libro, en las formas indicadas en la columna izquierda:

Tabla 2: Usos de cada uno de los tres libros más utilizados

Formas en que usa los Libros L 1 L 2 L 3 Fuente de información para preparar las clases 3 2 2 Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. 1 2 2

Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. 2 2 2

Durante la impartición de la clase. 1 ----- 3 Para elaborar los exámenes. 1 ----- 2 Otra(s). Indique cuál(es)

Esta tabla, muestra el número de profesores que utilizan un determinado libro en la

misma forma, por ejemplo: el Libro 1 es utilizado por tres profesores como fuente de

información para preparar sus clases, dos profesores usan el Libro 2 para

seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clases, etc.

Respecto al Libro 1 podemos observar que a pesar de reportarse que es usado en

todas las formas expuestas en la tabla, mayormente es utilizado como fuente de

información para preparar sus clases y para seleccionar ejercicios y/o tareas para

que el alumno resuelva fuera de la clase.

8 De acuerdo a las respuestas de los 7 profesores encuestados.

37


Con respecto a los usos dados al Libro 2, existe un equilibrio entre “fuente de

información para preparar las clases” y “para seleccionar ejercicios y/o tareas para

que el alumno resuelva en clase y fuera de ella”. Es importante notar que no lo usan

“Durante la impartición de la clase”, ni “Para elaborar los exámenes”, lo cual puede

deberse a que utilicen notas de curso preparadas con el apoyo de éste u otros

Libros.

Como mencionamos anteriormente, el Libro 3 no se encuentra en la lista de Libros

de la bibliografía, de hecho no se encuentra en su biblioteca, sin embargo, es usado

por la misma cantidad de profesores que usa el Libro 1y 2, por lo que llamó nuestra

atención y decidimos que era importante analizarlo.

Este Libro 3, cubre todos los usos de una manera muy equilibrada, aunque es

mayormente usado durante la impartición de la clase y de hecho es el único al cual

todos sus usuarios reportan utilizarlo durante su clase.

4.1.3 Análisis de las razones que justifican los usos dados a los Libros de Texto.

Una vez identificados los usos que los docentes dan a los Libros de Texto,

procedimos a realizar un análisis socioepistemológico respecto a las razones

asociadas a estos usos, esto, nos permitió determinar si dichos usos obedecen a

razones epistemológicas, didácticas, cognitivas y/o sociales.

A continuación se muestran las razones de los usos para cada uno de los Libros de

Texto, así como, el número de docentes que atribuyeron a cada una de las razones,

y que se asocian al uso que señalan dar a cada Libro de Texto.

La información presentada en la siguiente tabla nos permitió determinar la existencia

de razones didácticas, epistemológicas, cognitivas y/o didácticas que justifican los

usos que los profesores dan a los Libros de Texto.

38


Tabla 3: Razones de los usos para cada uno de los tres Libros de Texto

Componentes Socioepistemológicas Razones de los usos antes reportados L 1 L 2 L 3

1. Vocabulario accesible 2 ----- 1

2. Los contenidos y ejemplos son precisos (de acuerdo al programa) 1 ----- 3 Didáctica

3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes 1 ----- 1

4. El enfoque del Libro es el adecuado 1 ----- 3

5. La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada 1 1 1

6. Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.) ----- ----- 2

Epistemológica

7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura 1 1 2

8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios 1 2 2

Cognitiva 9. El diseño del Libro resulta atractivo para los estudiantes ----- 2 2

10. La institución sugiere que se use este Libro 2 1 -----

11. Mis compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado 1 ----- 1

12. He utilizado este Libro desde que era estudiante y lo conozco bien 1 1 -----

Sociocultural

13. Me lo recomendaron alguna vez 2 2

14. Otra(s). Indique cuál(es)

4.1.3.1 Análisis por Libro de Texto

Como en la encuesta se reflejó el gran número de libros que son usados por los

profesores consideramos interesante y pertinente hacer el mismo análisis de las

razones de los usos, pero para cada uno de los profesores encuestados, con la

intención de hacer un análisis más específico de las razones de los usos presentes

en los profesores.

Respecto al Libro 1, podemos decir que las razones que justifican sus usos son tanto

epistemológicas como didácticas, cognitivas y sociales, con particular énfasis en las

39


siguientes razones: “Vocabulario accesible”, “La institución sugiere que se use este

Libro”, “Me lo recomendaron alguna vez”. Es decir, podemos afirmar que los usos

dados al Libro 1, son mayormente de carácter sociocultural y didáctico.

También podemos señalar que entre las razones de los usos del Libro 1, no se

encuentran las siguientes: “Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico,

analítico, etc.)”, “El diseño del Libro resulta atractivo para los estudiantes”.

Con lo anterior se puede ver que en los profesores son más comunes las razones

socioculturales y didácticas, que las epistemológicas y cognitivas, pero la diferencia

no es muy marcada y de hecho es por eso que es un libro al que le aplican diversos

usos. Es de entender, que si según los profesores no están muy de acuerdo con el

enfoque del libro, ni con su estructura y secuencialidad, ni con el grado de dificultad

de los ejercicios y/o ejemplos, ni con el diseño, ni con la precisión de sus contenidos

y ejemplos, (ya sea porque estas razones ni un profesor las seleccione o porque

solamente uno lo considere) éste libro sea usado mas frecuentemente como fuente

de información y para seleccionar ejercicios que los estudiantes resolverán, parecen

ser razones absurdas para los usos, pero también podemos ver, que las razones

más comunes son de tipo sociocultural, en específico porque la institución lo sugiere

o por alguna otra recomendación y de esta manera lo que podemos concluir, es que

las razones de los usos de este libro son más socioculturales, es decir, la institución

o alguna recomendación influyen fuertemente en los usos que le dan. También

podemos interpretar que al utilizarlo más por razones didácticas, éstas influyen en el

hecho de que éste libro es el más usado como fuente de información para preparar

las clases y para que los alumnos resuelvan ejercicios, es decir, podemos interpretar

que para éstos usos los profesores tienen más razones didácticas.

Las razones asociadas a los usos dados al Libro 2 son principalmente cognitivas y

socioculturales, y en menor número, las epistemológicas. No existen razones

didácticas asociadas a los usos dados a este libro.

Las razones más seleccionadas son por “El grado de dificultad de los ejemplos y/o

ejercicios”, “El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes”, y “Me lo

40


recomendaron alguna vez”, pero es importante notar que son las razones más

seleccionadas entre comillas, ya que de cuatro profesores dos lo seleccionaron y eso

no es algo muy significativo., ni de las epistemológicas las concernientes al enfoque

que usa el libro y de las socioculturales “Mis compañeros profesores y yo decidimos

que es adecuado”.

Además, llama la atención que a pesar de que es el libro que tiene mayor cantidad

de usuarios, en el factor sociocultural la única razón que no seleccionaron es: “mis

compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado”, pero esto no implica que

no exista un consenso porque los profesores no quieran o no estén de acuerdo, sino

que podría incluso deberse a que no saben que existen compañeros que utilizan el

mismo libro, o alguna otra razón.

De nuevo vemos como a pesar de que los profesores no están muy de acuerdo con

las características del Libro, la mayoría de los profesores lo usan y sigue influenciado

fuertemente las razones socioculturales.

Con respecto al Libro 3, los profesores reportan que es el libro más completo y el que

más se adapta al programa ya que las razones que justifican los usos dados por los

profesores, son principalmente de carácter didácticos, cognitivos y epistemológicos;

la única razón sociocultural indicada por un solo profesor es que: “el grupo de

profesores decidieron que es el más adecuado”.

De manera más específica, podemos señalar que las razones en su mayoría son

didácticas, es decir, que es buscado por sus medios de difusión, comunicación y

transferencia del conocimiento. Particularmente una de las razones epistemológicas

atribuida a los usos de este libro, es que “su enfoque resulta ser el más adecuado”.

A manera de conclusión, podemos decir que los resultados del análisis de los usos

de los Libros de Texto y las razones que los justifican, invitan a pensar que los

profesores están concientes de las necesidades y carencias de cada uno de los

libros que utilizan y pareciera ser que es por ello que consultan varios libros con la

intención de subsanar dichas carencias que tienen con uno u otro libro. Esto lo

41


podemos ver más claramente en que la parte cognitiva que le falta al libro 1 (Stewart,

James, Et. Al. Precálculo. International Thomson Editores), es subsanada por el libro

2 (Barnett, Raymod. Precálculo: Funciones y Gráficas. Mc Graw Hill) y la parte

didáctica que le falta al libro 2 es subsanada por el libro 1, pero también es claro que

los profesores no están totalmente convencidos de lo que ofrecen estos dos libros,

les falta la parte epistemológica en cuanto a un enfoque más adecuado al programa,

por lo que buscan el libro 3 (Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit.

Nueva Imagen), que además, refuerza todas las características que están débiles en

los otros dos libros y de esta manera los profesores cubren todas las componentes

socioepistemológicas.

4.1.3.2 Análisis por profesor

Por otra parte, en la encuesta se reflejó el gran número de Libros que son usados por

los profesores y aunque nuestro plan era analizar las razones de los usos de los tres

Libros más usados, después de realizar las encuestas consideramos importante y

pertinente hacer el mismo análisis de las razones de los usos, considerando a cada

uno de los profesores encuestados, con la intención de hacer un análisis más

específico de las razones de los usos presente en los profesores.

A continuación se presentan, para cada uno de los 5 profesores, los resultados y las

conclusiones de sus respuestas en la encuesta9.

Profesor 1

Libro 1: Stewart, James, Et. Al. Precálculo. International Thomson Editores

Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, EDT. Nueva Imagen

Libro 8: Matemáticas. Cuarto curso. Enfoque constructivista (¿?).

9 Ver anexo 2

42


Este profesor utiliza el Libro 1 por una sola razón, la cual es didáctica y el Libro 3 por

razones didácticas, una epistemológica y otra cognitiva, por otra parte las razones

del Libro 8 obedecen más a la didáctica y un poco a lo epistemológico y sociocultural.

El Libro 1 tiene casi todos los usos, el único que falta es “Durante la impartición de la

clase” y la única razón por la que es usado este libro, es por tener un vocabulario

accesible, la cual es de tipo didáctico y esto es extraño, ya esta única razón parece

ser suficiente para que el profesor lo utilice como fuente de información, para

seleccionar ejercicios o tareas y para elaborar exámenes.

El Libro 3 tiene todos los usos y las razones por el que es usado son dos de tipo

didáctico, (“Los contenidos y ejemplos son precisos (de acuerdo al programa) y “Los

ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes”), una epistemológica (“El

enfoque del libro es el adecuado”) y otra cognitiva (“El diseño del libro resulta

atractivo para los estudiantes”), lo podemos interpretar como que tiene de todo un

poco y tal vez lo esencial, sólo llama la atención que no tenga alguna razón

sociocultural, por lo que no sabemos cómo llegó el libro a manos del profesor, lo que

significa que la componente sociocultural no influye en las razones de sus usos.

El Libro 8 únicamente no es usado como información para preparar las clases y sus

razones son de tipo didáctico (“Vocabulario accesible” y “Los ejemplos y ejercicios

son familiares para los estudiantes”), epistemológico (“El enfoque del libro es el

adecuado”) y en lo sociocultural es fruto del consenso entre profesores, no tiene

razones cognitivas. Con estas razones se nota el por qué de que este libro sea

usado para seleccionar ejercicios y/o ejemplos y durante la impartición de la clase, el

profesor muestra que el libro tiene características adecuadas al uso de los

estudiantes.

En general, podemos ver que este profesor tiende a dar los mismos usos a los tres

libros, puesto que las razones más fuertes son más de tipo didáctico y

epistemológico, considerando que el único libro que no tiene razones cognitivas y/o

culturales es el Libro 8 (aunque en ciertos Libros también tiene alguna razón

43


cognitiva y sociocultural), y dichos libros sirven son el único recurso didáctico que el

profesor emplea para la planeación de sus clases.

Profesor 2

Libro 1: Stewart, James, y otros. Precálculo. International Thomson Editores.

Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: Funciones Y Gráficas. Mc Graw Hill.

Libro 5: Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural.

Libro 6: Leithold. Matemáticas previas al cálculo. Edit. Oxford.

Libro 10: Trejo Penan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo.

Mc Graw Hill.

El profesor 2 utiliza cinco libros diferentes, más sin embargo, las razones por las que

usa el Libro 1 cubren casi todas las características, es decir son de las cuatro

componentes socioepistemológicas y lo usa como “Fuente de información para

preparar las clases”, “Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno

resuelva fuera de la clase” y “Durante la impartición de la clase”.

Algo que podemos observar es que éste profesor indica que usa los Libros 2, 5 y 6,

sin embargo, no sólo no eligió ninguno de los usos que se le proporcionó en la tabla,

sino que no describe algún otro uso diferente; otro aspecto a resaltar es que para el

Libro 5 no explica las razones de algún sobre sus usos; para el Libro 2 sólo hay una

razón de tipo sociocultural (“Me lo recomendaron alguna vez”) y otra cognitiva (“El

diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes”), mientras que para el Libro 6

hay razones de todo tipo (es ilógico que si considera que es un libro con tantas

características no le de ni un uso); con esto no estamos seguros si realmente utiliza

los cinco libros o si hubo alguna otra causa por la que el profesor no haya

proporcionado toda la información que se requería e incluso diera información

inexistente.

44


Y por último el Libro 10 es usado como “Fuente de información para preparar las

clases”, “Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase”

y “Durante la impartición de la clase” y las razones por las que es usado este libro

son de tipo didáctico y epistemológico.

Si se observan las razones y los usos (ver anexo) se puede dar cuenta de que el

profesor trata de cubrir todas las razones entre todos los libros y casi todo los usos,

por tanto este profesor en su labor consulta varios libros cubriendo así todos las

componentes socioepistemológico y de hecho busca libros que no están en la

bibliografía pero que considera necesario para cubrir sus necesidades en su labor

docente con respecto a los Libros de Texto.

Este profesor señala que, como complemento, utiliza notas personales para la

planeación de sus clases y aclara que son notas que tiene desde hace muchos años.

Profesor 3

Libro 1: Stewart, James, Y Otros. Precálculo. International Thomson Editores.


Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen

Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: Funciones y Aplicaciones. Publicaciones Cultural.

Libro 9: Zamarrón De Campos, Lucia. Matemáticas IV. GES.

Libro 10: Trejo Peñan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo.

Mc Graw Hill.

Este profesor utiliza seis Libros diferentes, mas sin embargo, de acuerdo a sus

razones se pueden identificar dos grupos diferentes de Libros, los cuales son:

Los Libros 1 y 2, son libros que se sugieren en la bibliografía y de hecho las razones

por las que son utilizados son de tipo sociocultural, donde se ve claramente que los

motivos son debido a que la institución lo sugiere, a que lo utiliza desde que era

45


estudiante o por alguna otra recomendación, no hay razones didácticas,

epistemológicas, ni cognitivas, con excepción del Libro 2 que tiene una razón

cognitiva: “El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios” y con respecto a sus

usos, únicamente lo utiliza como “Fuente de información para preparar las clases” .

Éstos son libros que no cubre sus necesidades ni expectativas, pero que aún así

utiliza por la fuerte influencia social.

De los Libros 3, 4, 9, y 10, únicamente el Libro 4 se encuentra en la bibliografía, los

demás son recomendados por los mismos compañeros profesores (razón

sociocultural) y con respecto a las otras componentes socioepistemológicas, éstas se

cubren con casi todas las razones, por lo que parecen libros bastante completos y

también se refleja esta percepción en los usos que le dan a estos libros, ya que son

prácticamente todos, el único libro que no es usado como fuente de información es el

Libro 3, pero las diferencias en las razones con respecto a los otros tres libros es que

no tiene ejemplos y ejercicios familiares para los estudiantes, la cual no se pareciera

que pudiera influir en decidir ese tipo de uso.

Nuevamente se observa como el profesor utiliza una gran variedad de libros y las

razones que lo justifican abarcan todas las componentes socioepistemológicas.

Por otra parte, este profesor utiliza una antología y una recopilación de ejercicios

para apoyarse en la planeación de sus clases.

Profesor 4

Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill.

Este profesor únicamente utiliza el Libro 2, el cual es uno de los libros que se

encuentra en la bibliografía y que de hecho es el más usado por los profesores

entrevistados.

Las razones de sus usos son: “La estructura y secuencialidad de los contenidos es

adecuada” y “El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes”, que son de

46


tipo epistemológico y otra de tipo cognitivo respectivamente; por lo que el profesor no

considera razones didácticas, ni socioculturales para los usos que le da al libro.

En cuanto a los usos del libro, el profesor especifica que es una fuente de

información para preparar la clase y para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el

alumno resuelva fuera y dentro de la clase; por esto es que se puede pensar en que

este profesor utiliza el libro como guía para su clase, debido a que utiliza solamente

un libro y está de acuerdo en la estructura y secuencialidad de los contenidos del

libro. Y es que realmente las dos razones que seleccionó son prácticamente las

elementales para los usos que le da al libro, o sea de tipo epistemológico y cognitivo.

Por ultimo, el profesor menciona que además del Libro 2, se apoya en notas

personales para la planeación de sus clases.

Profesor 5

Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill.


Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Publicaciones cultural.

El profesor 5, utiliza 3 libros para planear sus clases, de los cuales dos son de la

bibliografía y el Libro 3 no.

Los usos que le da al Libro 2, no son muchos, lo usa para “Para seleccionar

ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva dentro y fuera de la clase”. Las

razones seleccionadas son: “Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura” y” El grado

de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios”, las cuales son razones de tipo

epistemológico y cognitivo, respectivamente; no selecciona ni una razón de tipo

didáctico, ni sociocultural y de hecho son muy pocas las razones por las que usa este

libro. Además se puede ver que las razones si están relacionadas con los usos, pero,

auque hay otras razones que podrían estar relacionadas con los usos que se le

47


profesor le asigna al libro, al no ser seleccionados podemos interpretar que el libro no

las ofrece.

Al Libro 4 le da todos los usos y obedece a más razones por las que se usa, pues

son de tipo: didácticas, epistemológicas y cognitivas, seleccionando casi todas las

razones, la única que no es seleccionada es: “El diseño del libro resulta atractivo

para los estudiantes”. Con sus respuestas se nota, para el profesor, el Libro de Texto

en muy completo en su contenido, y podemos decir que las razones de los usos de

este libro son de tipo didáctico, epistemológico y cognitivo.

El Libro 3 también parece ser un libro bastante completo para el profesor,

manteniendo las mismas razones de los usos que considero en el Libro 4, es decir

de tipo didáctico, epistemológico y cognitivo, sólo que con dos razones menos que el

Libro 4, las cuales son “Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes”

y “La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada”. En cuanto a los

usos solamente es como “Fuente de información para preparar las clases” y “Durante

la impartición de la clase”.

Pareciera ser que el Libro 4, es del que más se apoya en sus clases, y los otros

sirven como de apoyo, para reforzar lo que le ofrece el Libro 4.

Nos llama la atención que no haya seleccionado ni una razón sociocultural, lo que

significa que es algo que no considera este profesor como importante a considerar

para determinar el uso que le de a los libros, en general con todos lo libros que utiliza

abarca una amplia variedad de usos y las razones por las que se dan esos usos son

de tipo, didáctico, cognitivo y epistemológico.

Este profesor no respondió al preguntarle si utiliza algún otro material para

desarrollar su curso, nos dejó el espacio de respuesta en blanco, por lo que

interpretaremos que no utiliza ni otro material más que los libros que mencionamos

con anterioridad.

Después de haber hecho un análisis de los usos para cada profesor, podemos

concluir que independientemente de la formación de los profesores, del sexo, de las

48


edades e incluso del plantel en el que se encuentran laborando, todos ellos, de

alguna manera tienen razones concernientes a las componentes

socioepistemológicas, buscando la mayor diversidad posible, aún sin conocer éstas

componentes y buscan en los libros de manera natural dichas características, porque

están concientes de la importancia de éstas, de que para el logro de los objetivos, es

necesario considerarlas en su labor docente, en específico en el uso que le dan a los

textos de matemáticas.

4.1.4 Aspectos complementarios

En la encuesta también se incluyeron las siguientes preguntas, a las que también

mostraremos sus respuestas.

1. ¿Considera importante contar con un Libro de Texto para el curso? Sí ( )

¿Por qué? No ( ) ¿Por qué?

Cuatro de los cinco encuestados respondieron que si es necesario un Libro de Texto

para el curso, solamente un profesor contestó que no y su respuesta al por qué fue,

“no es necesario”.

Las respuestas que dieron los profesores al por qué si es necesario tener un Libro de

Texto para el curso fueron: “porque es un guía para el alumno y puede leer más

ejemplos en casa”, “por los ejercicios a realizar en clase y en casa”, porque el

alumno debe tener su Libro de Texto para consulta y resolución de ejercicios

propuestos por el maestro”, y “para no consultar tantos Libros”.

Con sus respuestas, los profesores muestran la preocupación que tiene porque los

estudiantes tengan un libro que les sirva de apoyo para estudiar, lo cual es una de

las funciones del Libro de Texto, ser instrumento para la construcción del

conocimiento.

49


2. Si respondió afirmativamente a la pregunta anterior, escriba cuáles considera

serían las características que debería tener dicho Libro de Texto.

Las respuestas fueron: “que sea un Libro con enfoque constructivista y que

promueva el pensamiento geométrico”, “atractivo a la vista, correlación de temas,

exploración de teoría explícita, ejemplos de diferente grado, autoevaluación”, “los

temas apegados al programa, ejercicios resueltos y para realizar, problemas de la

vida cotidiana para resolver y evaluaciones por unidad” y “completo en cuanto a

ejercicios y lenguaje sencillo”.

Con estas respuestas los profesores confirman que las características que buscan en

los Libros de Texto son a su vez las razones por las que usan de cierta manera los

libros, y éstas razones son de acuerdo a los cuatro aspectos que se consideraron,

por lo que piden se encuentren en un Libro de Texto, ya que no cuentan con uno que

sea completo de acuerdo a sus necesidades.

4.2 Análisis del discurso matemático en los Libros de Texto

De acuerdo que uno de lo principales objetivos es analizar el discurso matemático

presente en los Libros de Texto de Precálculo, particularmente el concepto de

“Función” es necesario describir los tratamientos que según los autores son útiles

para su comprensión, a través de los factores presentes dentro de el Libro.

Estos factores pueden ser explícitos e implícitos (tácito). Los factores explícitos se

encuentran plasmados al comienzo del Libro dentro del prólogo, introducción,

prefacio, las notas previas del autor, etc., y los factores implícitos, aquellos presentes

en el dentro del tratamiento que se le da al contenido matemático en cierta unidad o

capítulo del Libro de Texto.

50


En el análisis explicito se debe observar todo lo que el autor considera importante

para el desarrollo del tema, el enfoque que propone, así como de las herramientas

necesarias para alcanzar sus objetivos propuestos.

Para considerar el análisis implícito del concepto “Función”, se tiene que observar

como vive este concepto a través análisis de su tratamiento, es por ello que interesa

conocer: ubicación del tema, introducción del concepto de función, perspectiva de la

función y argumentos que dan sentido a la función10.

Para el análisis fueron considerados los tres Libros más utilizados por los profesores

del subsistema COBAY, independientemente de si se encuentran o no la bibliografía

recomendada por las instituciones.

Libro 1: Precálculo. James Stewart, Lotear Redlin, Saleem Watson. Editorial:

International Thompson.

Libro 2: Precálculo: Funciones y Gráficas. Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler,

Karl E. Byleen. Editorial: Mc Graw Hill

Libro 3: Matemáticas IV. Pedro Salazar Vázquez, Luciano Calleja, Héctor

Domínguez. Editorial: Nueva Imagen

4.2.1 El estudio de los Libros de Texto

LIBRO 1: Stewart, James, Et.Al. Precálculo

Análisis Explícito

10 Esta manera de presentar el análisis del DME posibilito ver de manera más clara los aspectos didácticos, cognitivos, socioculturales y epistemológicos, que facilitaría el posterior estudio de la existencia del fenómeno de reproducibilidad.

51


Al revisar el prólogo de este Libro de Texto, se puede observar que la propuesta de

los autores del libro de precálculo recae en lo que el estudiante debe tener para

enfrentarse a problemas que le permitan comprender los conceptos de precálculo

para ello buscan solucionar dos cuestiones importantes:

¿Qué se necesita saber antes de estudiar cálculo?

¿Con qué herramientas deben contar los maestros para ayudar a sus alumnos a

prepararse para el cálculo?

Una de las cosas que se perciben es el hecho de que se presenta al libro de

precálculo como lo que permita al lector (alumno, profesor) tener bases sólidas y los

conocimientos previos que se le serán útiles para un curso posterior de Cálculo.

Además, según lo que señalan los autores este libro ha sido creado con la propuesta

de ser utilizado en el salón de clases, ya que al buscar una exposición clara tiene

ciertas características, mencionadas más adelante.

“(…) con el objetivo de mejorar aún más la utilidad del libro en el salón de

clases”

(Precálculo, Pág. x, párrafo I)

Si bien, los autores opinan que “(…) para comprender el cálculo, no necesita

habilidades técnicas, sino de una clara compresión de los conceptos, una

correcta percepción de lo que claramente significa matemáticas (...) la meta

principal de los instructores es lograr que se entiendan los aspectos teóricos y

sus aplicaciones. Este libro ha sido escrito para proporcionar (…) las

herramientas necesarias para lograrlo.”

(Precálculo, Pág. ix, párrafo II)

Así se pretende proveer al estudiante y al maestro de las herramientas necesarias

para la comprensión de los conceptos, abarcando sus aspectos teóricos y

aplicaciones. Estas herramientas (descritas dentro del prólogo) tienen como eje

52


central reforzar las habilidades de los estudiantes en la composición de los

conceptos, a través de la aplicación de ciertos métodos o estrategias que son:

El uso de la tecnología para fomentar la participación activa de los

estudiantes, denominado aprendices activos.

La “Regla de Cuatro” que consiste en presentar el objeto matemático en

diferentes registros de representación: geométrica, numérica, algebraica y

verbal.

La enseñanza en grupos o la escritura de ejercicios, donde los propios

estudiantes evalúan su desempeño en cuanto a la comprensión de un

concepto matemático

Considerando cada uno de estos puntos, la tecnología11, en primero lugar, es vista

como una herramienta auxiliar en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

que permite al estudiante comprender de manera más clara el concepto, pues

permite observar sus algunas de sus representaciones y sus cambios. Un ejemplo

que menciona el autor es la representación gráfica de la función que con ayuda de

una calculadora graficadora le permitirá al estudiante observar los cambios de esta al

variar sus parámetros.

Según los autores “La tecnología (…) proporciona formas enteramente nuevas

de visualizar las matemáticas y afectan no sólo la manera en que se enseña un

tema, sino también el énfasis que se hace.”

(Precálculo, Pág. x, párrafo vi)

Sin embargo no es un requerimiento obligatorio, pues aunque es parte de la

propuesta, lo autores la consideran como un apoyo a la comprensión, una extensión

del papel y lápiz; dándole un carácter opcional y permitiendo omitirlo sin ninguna

pérdida de continuidad.

11 Ver Anexo: Uso de la Tecnología

53


Ahora, considerando la segunda herramienta propuesta por el autor La “Regla de

Cuatro” se hace referencia a que un objeto se puede comprender a través de sus

diferentes representaciones, menciona geométrica, numérica, algebraica y verbal,

este apartado se puede relacionar con Teoría de Representaciones Semióticas de

Raymond Duval12, teoría que explica que todo conocimiento se presenta ante el

sujeto a través de distintas representaciones, es decir, los objetos matemáticos

pueden ser considerados a través de sus diferentes formas, en el caso del concepto

de función, se puede mencionar a la definición como una correspondencia entre dos

conjuntos, gráficas, tablas.

Dentro de este mismo punto, el autor señala que el uso de los diferentes registro de

representación tiene “por objetivo el hacer énfasis en sus aplicaciones para

inducir al razonamiento conceptual”

(Precálculo, Pág. ix, párrafo iii)

El cual permite observar que los autores buscan presentar los objetos matemáticos

necesarios para cálculo a través de sus distintos argumentos siendo el objetivo

principal la comprensión de estos conceptos. Así mismo abordan “El modelado

Matemático”, como aquello que da sentido a los conceptos, pues permite que los

estudiantes vinculen los contenidos con la realidad y puedan observar sus diferentes

aplicaciones en la vida cotidiana, tomando en cuenta que las matemáticas son una

ciencia que por su naturaleza tiene implicaciones prácticas.

Por último, con respecto a la herramienta de la enseñanza en grupos o la escritura

de ejercicios, hace referencia a que un estudiante es capaz de evaluar su

conocimiento y para ello el libro proporciona diversos apartados para resolución de

estos ejercicios.

Además, dentro de la sección “Al estudiante”, se describe como un Libro de Texto

que lo puede guiar para dominar las matemáticas de Precálculo. Algo notario, es que

12 Ver Anexo: Teoría de Representaciones Semióticas

54


se comenta al estudiante que para comprender un concepto matemático, primero

debe considerar la teoría y luego los problemas, junto con sus aplicaciones.

Así, para aprender sobre las matemáticas de Precálculo deberá dedicarse no sólo a

entender las explicaciones sino a resolver problemas, hace enfatizar que:

“No cometa el error de memorizar (…). Las Matemáticas no son sólo de

memorizar. Para dominar el tema, deberá resolver problemas –muchos-”

(Precálculo, Pág. xix, párrafo III)

Por lo tanto, la que norma por una parte el diseño y elaboración del libro, y por otra,

tanto los contenidos presentes y como el tratamiento que se le dan a los mismos, es

la que sostienen los autores con respecto a las matemáticas:

“Las matemáticas son un arte de resolución de problemas, no simplemente una

recolección de hechos”

(Precálculo, Pág. xix, párrafo III)

De acuerdo a esto último se puede percibir que el libro considera que para aprender

es importante la resolución de problemas, en especial los que tienen aplicaciones

cotidianas.

Los autores señalan: “Los problemas propuestos siguen el enfoque de David

Hilbert: Un problema matemático debe ser difícil para que nos rete y, aun así,

no debe ser inaccesible, para que no se mofe de nuestro esfuerzo”

(Precálculo, Pág. x, párrafo v)

Este pensamiento lleva a un diseño de ejercicios innovadores y con niveles de

dificultad, que lleven a los estudiantes a desarrollar diferentes habilidades. Los

ejercicios tienen como objetivo mostrar la parte aplicativa de las matemáticas y la

influencia que esta puede tener en la realidad, exponiendo ejemplos donde interviene

55


las matemáticas en la vida cotidiana. Estos tipos de problemas pretenden que los

individuos inventen sus propias estrategias, que lleven al éxito del triunfo del

descubrimiento.

Según los autores, para lograr su meta didáctica: “La reforma en la enseñanza del

cálculo tiene implicaciones obvias en la enseñanza del precálculo. Las metas

de este movimiento se pueden lograr con mejores estrategias en la enseñanza

del precálculo (la meta principal es la composición de los conceptos).”

(Precálculo, Pág. ix, párrafo iii)

Considerando que para el logro de su meta didáctica toma como eje principal

reforzar las habilidades fundamentales y que pueden ser logradas a través de la

resolución de problemas, los autores de este libro toman en cuenta las pautas y

principios explicados en una adaptación del Libro How To Solve It de George Polya.

Desde este punto de vista, se considera que para llevar acabo el aprendizaje de las

matemáticas, resulta ser importante la resolución de problemas, esto ideas permite

observar que los autores consideran el hecho de no aprender una matemática

mecánica/técnica, como en la enseñanza tradicional donde se centra la educación en

un aprendizaje de algoritmos memorizados, sino que los conceptos que se presentan

deben de entenderse y deben tener un significado claro para los estudiantes

(lectores), pero cuyo objetivo puede ser logrado por el método propuesto por G.

Polya13, es decir, a través de la resolución de problemas14.

Unas de las cosas que permanecen dentro del prólogo son el hecho de que las

matemáticas son difíciles y que solo pueden aprenderse a través de ejercicios, que

lleven al estudiante a enfrentarse a problemas para buscar estrategias que le

permitan dar soluciones.

13 Indicamos el trabajo de G. Polya (1887-1985), puesto que el Texto de precálculo hace referencia a sus investigaciones sobre la resolución de problemas, así mismo se basa de los principios propuestos por el mismo para resolver un problema de matemáticas. Se debe de estar conciente de que los trabajos de Polya (1945) no son los primeros tratados sobre este tema. 14 Ver anexo: Resolución de Problemas

56


Cabe mencionar que en este Libro de Texto para aumentar la claridad en la

exposición, se describen sus características principales:

- Las matemáticas de Precálculo tienen aplicaciones prácticas por derecho propio,

sin entrar en cálculo, por lo que se presenta un apartado denominado enfoque en

modelado, la cual presenta situaciones reales del tema, se utilizan para modelar

fenómenos importantes de las ciencias y vida cotidiana.

- Presenta a las matemáticas de Precálculo como una tarea de resolución de

problemas, que se aplica en el mundo real, dentro del apartado enfoque en la

resolución de problemas.

- En el apartado de la tecnología, se emplea el uso de la calculadora graficadoras en

ciertos ejemplos y ejercicios opcionales

- Se dan “viñetas matemáticas” las cuales describen una aplicación del “mundo real”

de las matemáticas de precálculo, así como algunas biografías para mostrar que

las matemáticas son una actividad importante.

- Además se presentan problemas de aplicación como ejemplo y ejercicios, que

muestran cómo se utilizan las matemáticas para modelar situaciones de la vida

real.

- Se presentan gráficas y figuras para mejorar la comprensión del significado

geométrico correspondiente a un cálculo a través de la visualización y así discernir

respecto a fórmulas y teoremas.

- Comentarios respecto a las soluciones de los ejemplos así como “recuadros guía”

para tener una mejor comprensión de ellos. También están los “recuadros de

resumen” que organizan y aclaran temas y resaltan ideas clave

- Al finalizar algunos ejercicios se presentan un apartado descubrimiento-análisis,

para alentar a los estudiantes a experimentar, analizar y escribir sobre los

conceptos desarrollados en la sección.

57


- Se ofrecen bloques como son compruebe sus respuestas, sección de repaso y

examen de capítulo, el cual permite al estudiante verificar sus respuestas y medir

su avance, o el aprendizaje obtenido para cada sección.

- El último bloque se presenta es el de revisión de conceptos el cual fue realizado

con el propósitos de que loes estudiantes analicen y expliquen con sus propias

palabras las ideas presentadas en el capítulo.

A manera de conclusión, de acuerdo a estas características plasmadas en cada uno

de los bloques que tiene libro, se puede abordar un tema de precálculo, en particular

el tema de funciones, se desarrollará de la siguiente forma:

- Se enfocará en la tarea de resolución de problemas, relacionado con situaciones

reales, siendo ejemplos y/o ejercicios para mostrar la utilidad de este concepto,

además de que puede ser utilizado para modelar estos fenómenos presentes en la

vida cotidiana.

- Para el empleo de la tecnología se podrá hacer uso de calculadoras graficadoras,

como tipo de ejercicios adicionales, para presentar los cambios que sufre la

función en determinado representación (gráfica o numérica).

- A lo largo del tema se presentarán gráficas y/o para permitir comprender la

representación geométrica del concepto.

- Enmarcará definiciones, teoremas o las ideas principales del tema, para que el

alumno enfatice ciertos puntos clave

- Si en el tema de funciones se presenta el bloque de descubrimiento-análisis,

entonces los estudiantes podrán realizar ejercicios para experimentar y analizar los

conceptos ya estudiados.

- El tema permitirá al alumno hacerse partícipe de su aprendizaje, ya que por la

manera en que son organizados, podrá explicar y relacionar sus ideas, realizar un

análisis de lo que esta estudiando.

58


Análisis Implícito

Ubicación del tema

Antes de abordar el tema de funciones se permite al estudiante hacer un recordatorio

de algunos conceptos, que de alguna forma, fueron abordados en cursos anteriores,

para facilitar la introducción y aprendizaje del estudiante de los conceptos en

precálculo. Así mismo permite una primera impresión del enfoque que los autores le

darán al estudio de los conceptos, pues, existe un apartado de resolución de

problemas algebraicos y el uso de la calculadoras graficadora. Posterior al tema de

“Funciones” se pretende inducir al estudiante al estudio de funciones polinomiales y

racionales.

Capítulo 1: Conceptos fundamentales Capítulo 2: Funciones

1.1 ¿Qué es una función? 1.2 Gráficas de funciones 1.3 Funciones de uso práctico 1.4 Transformaciones de funciones 1.5 Valores extremos de funciones 1.6 Combinación de funciones 1.7 Funciones uno a uno y sus inversas Capítulo 2 Repaso Capítulo 2 Examen

Capítulo 3: Polinomios y funciones Racionales Capítulo 4: Funciones exponenciales y logarítmicas Capítulo 5: Funciones trigonométricas de números reales Capítulo 6: Funciones trigonométricas de ángulos Capítulo 7: Trigonometría analítica Capítulo 8: Sistema de ecuaciones y desigualdades Capítulo 9: Temas de geometría analítica Capítulo 10: sucesiones y series Capítulo 11: Concepto y probabilidad

Enfoque de modelado Respuesta a los ejercicios impares y los exámenes de capítulo Índice

59


Introducción del Concepto Función

“Uno de los conceptos más fundamentales e importantes de toda la

matemática es el de función”

(Stewart, J. 2001, pág. 131)

La dedicación de un capítulo completo al concepto de función, así como su desglose

en los posteriores capítulos, es debido a la importancia que los autores le dan al

concepto de función como base fundamental en matemáticas.

Para introducir el concepto de función los autores señalan que “En prácticamente

todos los fenómenos físicos; observamos que una cantidad depende de otra”

(Stewart, J. 2001, pág. 131), y a partir de ello los autores muestran la necesidad de

establecer un tipo de relación que se presente entre dos cantidades, donde la

función, como una primera noción, es la que permite “explicar” esos fenómenos

físicos, estableciéndola como aquella que “describe” que cosa esta en función de

otra, es decir, ¿quien depende de quien?. Así mismo la función tiene su importancia

en la ciencia pues es aquella quien dice cual es la “regla de relación (dependencia)”

en un fenómeno.

Perspectiva de la Función

Para el Libro de Texto, la función se concibe como una relación dependiente entre

variables, y que permiten la modelación de un fenómeno físico. Dicha relación es

llamada “regla”. Antes de presentar la definición formal se afirma que:

“Una función es una regla que describe la forma en que una cantidad depende

de otra”

(Stewart, J. 2000, pág. 130)

60


Puesto que la función es una regla, entonces es conveniente establecerle una

notación que facilite su identificación, así, “Si la letra representará una función,

entonces significa “Aplicar la regla al número

f

( )xf f x ” (Stewart, J. 2000, pág.

132). Esta notación es establecida por el autor como un comentario, y posteriormente

se presenta la definición formal de función:

“Una función es una regla que asigna a cada elemento f x de un conjunto A

exactamente un elemento, llamado ( )xf , de un conjunto B”

(Stewart, J. 2000, pág. 132)

Para el Libro de Texto, una función es una regla de correspondencia entre dos

conjuntos, que se explica en un solo sentido, donde a cada elemento de un primer

conjunto sólo puede asignársele un único elemento del otro conjunto. Dejando en

claro que esta regla de correspondencia solo explica el tipo de dependencia que

existe entre ambos conjuntos.

Argumentos que dan sentido al concepto de Función

Tabla 4. Descripción de los argumentos del Libro 1 Argumento Definición Descripción

Analítico

Por lo común consideramos funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de números reales, y A se conoce como domino de la función (…). El rango de la es el conjunto de todos los

valores posibles de

f( )xf conforme

x varía en todo el dominio, esto es . El símbolo que

representa un número arbitrario de una función se conoce como variable independiente, y el correspondiente a un número en el rango de como variable dependiente. (Stewart, J. 2000,pág. 132)

{ Axxf ∈|)( }

f

f

Esta definición, proporciona dos caracterizaciones sobre el concepto, según el Texto:

1. Las funciones están definidas en los números reales.

2. Los elementos presentes en el dominio son denominados variables independientes y los del rango variables dependientes.

Enmarcando las diferencias que existen entre ambos conjuntos involucrados en la regla de dependencia.

Icónico

Maquina. Podemos considerar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas y el rango como el de todas las posibles salidas. (Stewart, J. pág. 133)

Estas representaciones pretenden clarificar los conceptos de dominio y rango. No obstante se pueden conjeturar que:

1. La Función va en un sentido 2. Es necesario de un elemento

61


Diagrama de flechas. Cada flecha relaciona un elemento de A con uno de B, e indica que esta asociada con )(xf x ,

con y así sucesivamente. (Stewart, J. pág. 133)

)(af a

en el dominio para un elemento en el rango

3. Para cada elemento en dominio, existe un elemento en rango, y que no esta relacionado con otro elemento del dominio.

Analítico-algebraico

“En el caso en que una función está dada por una fórmula y el dominio no está explícitamente enunciado, la convención es que el dominio es el conjunto de todos los elementos reales para los cuales la fórmula tiene sentido y define un número real” (Stewart, J. pág. 135)

Según la definición, un elemento pertenece al dominio de la función si puede establecerse una regla de correspondencia, es decir que el dominio de una función permite identificar su rango y a través del dominio comprender el tipo de relación que se tiene entre los conjuntos.

Gráfico-analítico

Si es una función con dominio A. entonces la gráfica de es el conjunto

de pares ordenados

ff

( ){ }Axxfx ∈|)(, En otras palabras, la gráfica de es el conjunto de todos los puntos tales que ; es decir, la gráfica de es la que corresponde a la ecuación

. (Stewart, J. pág. 139)

f),( yx

)(xfy = f

)(xfy =

La gráfica es aquella que se define a través de pares ordenados de los elementos que se encuentran en el dominio y en el rango. Dotando a la gráfica de información útil sobre los comportamientos de la función, que posibilita hacer inferencias sobre las tendencias de la misma.

Gráfico-visual

Una curva en el plano de coordenadas es la gráfica de una función si y solo sí ninguna recta vertical interseca a la curva más de una vez. (Stewart, J. pág. 141)

Considera una última caracterización de las funciones, puesto que asevera como una relación entre variables, pero cualquier relación es una función.

62


Tipos de Ejercicios propuestos

Para esta sección se pueden percibir lo siguiente:

• Los problemas están orientados a la practica de métodos algorítmicos, con el

objetivo de repasar/practicar los métodos mostrados en los ejemplos, en

algunos caso se sugiere la elaboración de gráficas y diagramas.

• Existe un pequeño apartado denominado descubrimiento-análisis, donde se

busca la reflexión y la extrapolación de los conceptos.

A manera de conclusión podríamos decir que este Libro de Texto presenta a la

función como una relación de dependencia entre dos variables, que puede explicar

algunos fenómenos físicos.

Los autores buscan presentar los conceptos sobre sus diferentes registros de

representación, pero de manera textualizada15 lo cual no permite al estudiante que el

haga las conversiones necesarias entre los registros. Si se considera la postura de

Duval (1999), dichas conversiones deben de darse en ambos sentidos y la mayoría

de los ejemplos del Libro analizado solo posibilitan, siendo optimistas, una sola

conversión.

Si bien, en el discurso del libro, se propone de introducir, antes de cada concepto, un

ejemplo de manera verbal, que se aplique a la vida cotidiana con el fin de presentarlo

como aquella relación que modela fenómenos físicos. Así mismo cada concepto,

tiene adjunto un número variado de ejemplos con la finalidad que el alumno los

realice a la par del libro, ya que la mayoría de ellos no se presentan muy explícitos

en su resolución, con ello se permitirá al estudiante observar otros conceptos

relacionados con las funciones desde diferentes perspectivas y así mismo considerar

las diversas técnicas que existen para su solución. Sin embargo la mayoría de estos

ejemplos resultan ser de tipo algorítmico, esto podría, en un dado caso, generar en

los estudiantes (lector) algún grado de mecanización, lo mismo sucede con la

15 Se entiende por textualizada la manera en que el autor argumenta el concepto matemático dentro de un texto, el cual, considera que es la forma más adecuada y no permite la argumentación de otras formas

63


64

mayoría de los ejercicios. Aunado es esto, los ejemplos y/o ejercicios a pesar de

estar contextualizados dentro de situaciones cotidianas no permiten un modelado

sobre situaciones en verdad reales.

Otro aspecto importante es que los apartados de descubrimiento-análisis, no

permiten en su totalidad una extrapolación de los conocimientos a la vida cotidiana,

sino más bien a una reflexión que termina en lo algorítmico.

Por ultimo el uso de la calculadora puede resultar ser indispensable en algunos

ejercicios, pero solo como un instrumento que ayudará al estudiante en la

observación para responder a cuestiones que manualmente el ya había realizado,

por lo que pueden ser omitidos. Se puede decir que los ejercicios donde se

proponen el uso de la calculadora no son innovadores, y aunque permiten observar

familias de funciones, se puede considerar que no necesariamente puede causar un

impacto en el aprendizaje de los estudiantes.


65

Tabla comparativa y conclusiones Tabla 5. Tabla comparativa del Libro 1

Descripción Factores Explícitos Factores Implícitos Conclusiones

Perspectiva del concepto de función

Presenta a las matemáticas de Precálculo como una tarea de resolución de problemas, que se aplica en el mundo real

Presenta a la función como una relación de dependencia entre dos variables, que puede explicar algunos fenómenos físicos.

Se presenta como herramienta útil para explicar la relación entre dos variables presentes en algún fenómeno. Señalando así la importancia de su estudio, aclarando desde sus notas previas que los conceptos abordados tienen una aplicación en las situaciones cotidianas.

Representaciones del concepto

Se debe presentar el objeto matemático en diferentes registros de representación: geométrica, numérica, algebraica y verbal. En el caso de la representación geométrica se presentarán gráficas que permitan comprender del concepto.

Las representaciones se están presentando de manera textualizada lo cual no permite al estudiante que el haga las conversiones necesarias entre los registros

El estudiante debe conocer las diversas representaciones de un concepto para comprenderlo. Sin embargo, al estudiar el tratamiento se observa que sólo es posible conocer las representaciones más no darse una conversión en ambos sentidos sobre estas, lo cual no permite comprender el concepto en su totalidad.

Enfoque del libro: Resolución de

problemas

Esta tarea debe estar relacionada con situaciones reales, que muestren la utilidad del concepto, por ejemplo, el modelado de fenómenos presentes en la vida cotidiana

Sí presenta los ejemplos y/o ejercicios contextualizados, sin embargo aun no se permite un modelado real sobre situaciones. El alumno solo se dedica a seguir algún procedimiento algorítmico con los datos que le proporcionen.

Se observa la diferencia entre lo que propone el autor y lo desarrollado en el libro de texto, ya que a pesar de que los ejercicios deben modelar situaciones cotidianas, en realidad se reduce a realizar algún procedimiento algorítmico sobre un problema ya contextualizado.

Tipo de ejemplos y/o ejercicios.

Se utiliza la enseñanza en grupos o la escritura de ejercicios, donde un estudiante es capaz de evaluar su conocimiento. Otros ejercicios se presentan un apartado descubrimiento-análisis, para alentarlos a experimentar, analizar y escribir sobre los conceptos desarrollados.

El apartado descubrimiento-análisis, no permiten en su totalidad una extrapolación de los conocimientos a la vida cotidiana, sino más bien a una reflexión que termina en lo algorítmico.

El alumno debe desarrollar habilidades de comprensión, razonamiento y análisis, sin embargo ocurre que durante el desarrollo del tema, no se logra tal objetivo, pues las actividades no se están bien diseñadas para que el estudiante pueda extrapolar lo aprendido a un problema real, lo único que se alcanza es que comprende el porque se presentan de tal manera los conceptos.

Uso de la tecnología

Herramienta que permite al estudiante comprender de manera más clara al concepto. El empleo de ésta se podrá hacer con el uso de calculadoras graficadoras, como tipo de ejercicios adicionales, para presentar los cambios que sufre la función en determinado representación

La calculadora, instrumento que ayuda al estudiante en la observación para responder a cuestiones que manualmente el ya había realizado, por lo que pueden ser omitidos. Estos ejercicios no son innovadores.

Concuerda las actividades propuestas por el autor con lo que él considera para el uso de la tecnología, siendo sólo una herramienta más para comprender el contenido matemático. Sin embargo, las actividades no resultan ser tan esenciales y no brindan algo novedoso, pues se puede realizar lo mismo con actividades manuales.


LIBRO 2: Barnett, Raymond, Et.Al. Precálculo: Funciones y Gráficas


Al analizar el prólogo de este Libro de Texto se hace evidente que ha sido creado

con la intencionalidad de ser utilizado en un salón de clases, pues el autor describe

que lo cambios realizados en él es:

“(…) para el mejoramiento y efectividad del libro, su uso en el salón de clase

(…)”

(Precálculo: Funciones y Gráficas, Prefacio)

Es importante considerar que una de las utilidades principales de este libro, según el

autor, es que lo aprendido en esta asignatura apoyará al estudiante para la

comprensión y estudio posteriores de temas de Cálculo.

A los autores les interesa presentar un libro que sea accesible para al estudiante sin

dejar de tener en cuenta que el contenido matemático no pierda su formalidad y sea

el apropiado:

“(…) su contenido fuera matemáticamente correcto y accesible a los

estudiantes”


Además, para ayudar al estudiante a comprender estos conceptos matemáticos y

adquirirlos dentro de su aprendizaje, el libro propone analizar primero ejemplos

particulares y de ahí llevar al estudiante a realizar generalizaciones, consideran las

habilidades computacionales, ideas y en la resolución de problemas siendo que en

este último recae el mayor énfasis.

“A menudo los conceptos generales y resultados se presentan hasta después

de haber analizado los casos particulares”

66



De esta manera, se puede observar que el estudiante además de revisar las

definiciones o teoremas, de acuerdo el autor este libro proporciona las herramientas

para el análisis del concepto matemático. Es por ello que los ejemplos tienen dos

funciones principales, la introducción de los conceptos y la demostración de diversas

técnicas en la solución de los problemas.

Uno de los propósitos principales de este libro es que el estudiante se haga partícipe

de su aprendizaje,

“(…) involucra de manera activa al estudiante en el proceso de aprendizaje”


De acuerdo a los autores para alcanzar este propósito, los ejercicios y problemas

deben permitir al estudiante entrar en una etapa de análisis y de explicación “con el

fin de animar a los estudiantes a pensar a cerca de la relación o proceso antes

de que se de el resultado o para investigar otras consecuencias de un

desarrollo en el texto, así como el de motivarlos a verbalizar los concepto es

matemáticos, resultados y procesos”.


Los autores señalan: “Uno de los principales objetivos de este libro es

proporcionar a los estudiantes una experiencia importante en el modelamiento

y resolución de problemas en el mundo real”


Por lo tanto, para que se cumpla el objetivo de que estudiante se apropie de su

aprendizaje, lleva a considerar que el enfoque que tendrá el diseño y elaboración del

Texto es el de análisis y exploración sobre lo que es el concepto matemático y

además, con un tratamiento que se refiere principalmente a la resolución de

problemas, donde su parte primordial recae en las aplicaciones cotidianas, a través

67


de la interpretación y/o su modelamiento. Resulta notorio dar cuenta que las fases16

que proponen los autores del Libro son las que considera Schoenfeld, (1989), (citado

por Santos Trigo (1997)).

Por otra parte, dentro del Libro de Texto se propone hacer empleo de la tecnología

como herramienta auxiliar para el proceso de aprendizaje y enseñanza que le

permitirá al estudiante comprender de manera más clara al concepto, para ello se

proponen actividades como parte o no de ejemplos y ejercicios en las que se puede

usar algún dispositivo de graficación, donde algunos implican un análisis sobre las

gráficas por parte del estudiante.

De acuerdo a lo anterior, se puede concluir que este libro sigue un enfoque de

análisis y exploración sobre los conceptos matemáticos de acuerdo a su definición,

teoremas, ejemplos y ejercicios, etc., teniendo como parte fundamental la resolución

de problemas.

Continuando con este análisis se observa que se proporciona al lector (el estudiante)

un proceso para comprender el tema de estudio:

Estudie el Texto siguiendo el proceso de cinco pasos: Lea un desarrollo matemático

1. Trabaje mediante los ejemplos ilustrativos 2. Trabaje el problema seleccionado 3. Revise las ideas principales de la sección 4. Realice los ejercicios asignados al final de cada sección 5. Realice los ejercicios asignados al final de cada sección

Repita el ciclo 1-2-3 hasta que haya terminado la sección


En este proceso se muestra como el aprendizaje de cierto tema debe desarrollarse

de tal manera que primero se comprenda el concepto con la definición y las

demostraciones, si acaso las tiene, para luego continuar con el análisis de los

ejemplos y la resolución de problemas. Al final el estudiante debe señalar las ideas

16 Ver anexo: Resolución de Problemas

68


principales y considerar para el siguiente tema. Uno se puede dar cuenta que el

proceso a seguir va de acuerdo con el enfoque que tiene, anteriormente mencionado.

A manera de conclusión, de acuerdo a este análisis, se puede decir un tema de

precálculo, en particular el tema de funciones, se desarrolla de esta manera:

1) Al alumno se le da a conocer algunos ejemplos, es decir, casos particulares

del concepto matemático.

2) Se presentarán actividades donde se pretender la generalización del tema, es

decir presentar las definiciones o teoremas principales.

3) Revisión de ejemplo y resolución de problemas

4) Análisis sobre las ideas principales y los ejercicios ya resueltos para que el

estudiante pueda concluir sobre el tema.


Ubicación del tema

La introducción del concepto se encuentra situado en el capítulo 2:

Capítulo 1: Ecuaciones y desigualdades Capítulo 2: Gráficas y Funciones -Herramientas básicas; círculos -Líneas rectas -Funciones -Gráfica de Funciones -Combinación de funciones -Funciones inversas Actividades en grupo del Capítulo 2: Modelado matemático en los negocios Repaso del Capítulo 2 Capítulo 3: Polinomios y funciones Racionales Capítulo 4: Funciones exponenciales y logarítmicas Capítulo 5: Funciones trigonométricas Capítulo 6: Identidades trigonométricas y ecuaciones condicionales Capítulo 7: Temas adicionales en la trigonometría Capítulo 8: Sistema de ecuaciones y desigualdades Capítulo 9: Matrices y determinantes Capítulo 10: Sucesiones y series Capítulo 11: Temas adicionales en geometría analítica

69


Introducción del Concepto

Se encuentra como el tercer punto del capítulo 2, una vez ya abordados algunas

gráficas particulares como son el de línea recta.

Perspectiva de Función

Los autores afirman “Una idea de correspondencia desempeña un papel central

en la formulación del concepto función” (Barnett, R., Pág. 132), expresando que

en nuestra vida cotidiana y en cualquier otra ciencia es posible establecerse

correspondencias entre las variables que intervienen en los fenómenos, permitiendo

así hacer inferencias ya sea como parte de nuestra experiencia personal o a través

de formulas para predecir las variaciones.

Estas correspondencias son llamadas funciones, pues para los autores “Una

Función es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de

elementos, tales que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y

sólo un elemento del segundo conjunto.

El primer conjunto se llama dominio, y el conjunto de todos los elementos que

corresponden al segundo conjunto se conoce como rango.

(Barnett, R., Pág. 131)

Argumentos que dan sentido al concepto

Tabla 6. Tabla de argumentos del Libro 2 Argumento Definición Descripción

Analítico

Una función es un conjunto de pares ordenados con la propiedad de que no hay dos pares ordenados cuya primera componente sea igual y sus segundas componentes diferentes. El conjunto de todas las primeras componentes en una función se llama dominio de la función, y el conjunto de todas las segundas componentes se llama rango. (Barnett, Pág. 133)

Se establece a la función como una correspondencia entre dos conjuntos, que se denotan a través de pares ordenados, proporcionando una definición alternativa que viene a clarificar la primera definición de “Función”, y las componentes de las mismas. Ambas definiciones no hacen explicito el tipo de elementos que

70


se usan en el dominio o el rango, pero por el tipo de ejemplos y desarrollo del tema es notorio que los pares ordenados pertenecen

al conjunto 2ℜ

Algebraico

En una ecuación con dos variables, si a cada valor de la variable independiente le corresponde exactamente un valor de la variable dependiente, entonces la ecuación define una función. Si a cualquier valor de la variable independiente le corresponde más de un valor de la variable dependiente, entonces la ecuación no define a una función. (Barnett, pág 134)

Una función se encuentra definida por una ecuación, para ello es necesario hacer explicito los elementos del dominio, de aquí la importancia de estudiar y clarificar los conceptos de dominio y rango de una función. Antes de esta función el autor hace referencia a que la variable independiente, corresponde a elementos del dominio y las variables dependientes se denominan rangos.

geométrico-visual

Una ecuación define a una función si cada recta vertical en el sistema coordenado rectangular pasa a lo más por un punto de la gráfica de la ecuación. Si una recta vertical pasa por dos o más puntos de la gráfica de una ecuación, entonces la ecuación no define a una función. (Barnett, Pág. 136)

Sustenta la idea anterior, delimitando que no solo basta con definir el dominio sino que es caracterizado. Ahora la razón por la cual es necesario hacer esta aseveración no indica, y no es entendida en el desarrollo del tema.

Visual

Cuando se grafican las funciones, los valores del dominio usualmente están asociados con el eje horizontal y el rango de valores con el eje vertical. Así, la gráfica de una función es igual que la

gráfica de la ecuación )(xfy = donde x es la variable independiente y la abscisa

de una punto en la gráfica de . Las

variables y son variables dependientes, y también es la ordenada

de un punto en la gráfica de .

fy )(xf

f

Los autores no definen a la gráfica, sino que la caracterizan, sus usos no quedan especificados en el Libro, ni la información que puede obtenerse a través de ella. Antes de llegar a esta caracterización el Libro presenta diferentes gráficas que son usadas simplemente para clarificar definiciones.

71


72

Tipos de ejercicios

Este Libro de Texto propone un apartado de Exploración y Análisis tratando de

producir aprendizaje por descubrimiento, propone problemas con situaciones

cotidianas las cuales de deben modelar matemáticamente. Además presenta

actividades algorítmicas y de resolución de problemas, estos se presentan al finalizar

cada tema.

Concluyendo, el Libro de Texto trata al concepto “Función” como una

correspondencia entre dos conjuntos, y aunque introduce conceptos posteriores a la

asignatura de Precálculo, como la derivada la cual se presenta desde la vida real con

sus aplicaciones, no hace énfasis en las utilidades que la función tiene en diferentes

contextos, o las aportaciones y usos que se hacen de ella.

Se puede percibir que el autor presenta la mayoría de los contenidos de manera

analítica y verbal, reforzándolo con la resolución de diferentes problemas

algorítmicos, aunque trata de que los estudiantes reflexionen en torno a los

conceptos no se exigen mayor profundización que una interpretación para distinguir

que procesos algorítmicos son necesarios realizar.

Los argumentos gráficos, analítico, geométrico, etc. son utilizados para facilitar la

compresión de los conceptos, pero no se promueve la conversión entre los diferentes

registros que se proponen.

Por último el Libro de Texto presenta un discurso simplemente analítico, y aunque se

proponen problemas para reforzar la técnica y los conceptos, el enfoque sigue siendo

tradicionalista en ese sentido.


73

Tabla comparativa y conclusiones

Tabla 7. Tabla comparativa para el Libro 2 Descripción Factores Explícitos Factores Implícitos Conclusiones


Se le permite conocer al concepto matemático a través de ejemplos, situaciones cotidianas donde sea posible encontrarlo.

Trata al concepto de “Función” como una correspondencia entre dos conjuntos, aunque no hace énfasis en las utilidades que la función tiene en diferentes contextos, o lasaportaciones y usos que se hacen de ella.

De acuerdo a los factores explícitos, el autor pretende situar al concepto de función sobre situaciones cotidianas, por ello, en la definición se estable como una correspondencia entre dos conjuntos, sin embargo al mirar el desarrollo del tema, este concepto no es del todo presentado en diferentes contextos.


Se presentarán gráficas que permitan comprender los conceptosmatemáticos.

Los argumentos gráficos, analítico, geométrico, etc. son utilizados para facilitar la compresión de los conceptos, pero no se promueve la conversión entre los diferentes registros que se proponen.

Se presentan diversas representaciones de este concepto, como el analítico, geométrico, entre otros. Sin embargo esto solamente son expuestos para permitir al alumno la comprensión del concepto, pero en realidad el estudiante no trabaje sobre estos registros, no existe alguna actividad o secuencia que le permita transitar, realizar las conversiones necesarias entre estos para comprender de manera mas clara el concepto.

Enfoque: Resolución de

problemas, dentro de un marco de análisis

y exploración.

Análisis y exploración sobre lo que es el concepto matemático y además, con un tratamiento que se refiere principalmente a la resolución de problemas, donde su parte primordial recae en las aplicaciones cotidianas, a través de la interpretación y/o su modelamiento.

Un discurso meramente analítico, y aunque se base en proponen problemas para reforzar la técnica y los conceptos, el enfoque sigue siendo tradicionalista en ese sentido

El libro va de acuerdo con un enfoque de resolución de problemas, en los cuales se pretende que el estudiante desarrolle habilidades de análisis y exploración sobre el concepto matemático, sin embargo, observando el desarrollo de este se puede observar que los problemas tienden a ser algorítmicos, no exigen un razonamiento sobre estos, aunque estos sean presentados dentro de un contexto real.

Tipo de ejemplos y/o Los ejemplos tienen dos funciones El autor presenta la mayoría de los Este punto va de acuerdo al enfoque


74

ejercicios. principales, la introducción de los conceptos y la demostración de diversas técnicas en la solución de los problemas. Los ejercicios y problemas recaen deben permitir al estudiante entrar en una etapa de análisis y de explicación

contenidos de manera analítica y verbal, reforzándolo con la resolución de diferentes problemas algorítmicos, aunque trata de que los estudiantes reflexionen en torno a los conceptos no se exigen mayor profundización sino una interpretación para distinguir que procesos algorítmicos son necesarios realizar.

mencionado, los ejercicios buscan explicar las diversas técnicas con las que se puede resolver cierto problema, pero recae en un proceso mas algorítmico que de razonamiento.

Uso de la tecnología

La tecnología como herramienta auxiliar para el proceso de aprendizaje y enseñanza que le permitirá al estudiante comprender de manera más clara al concepto. Algunos ejercicios implican un análisis sobre las gráficas por parte del estudiante

Presenta argumentos gráficos con uso de la calculadora graficadora

Se hace uso de la tecnología simplemente como una herramienta que da las gráficas para permitir comprender de manera mas clara el concepto.


LIBRO 3: Salazar, Pedro, Et.Al. Matemáticas IV.


De acuerdo al análisis del prólogo de este libro, se puede observa la preocupación

que se tiene por la participación del estudiante en el aprendizaje de las matemáticas,

desde el principio señala la siguiente:

“Los tiempos modernos exigen una nueva enseñanza de la matemáticas donde

la participación del estudiante es fundamental en el proceso de aprendizaje”

(Matemáticas IV, Pág. 7, párrafo I)

Para lograr este propósito los autores de este libro pretenden introducir actividades

que involucren al alumno a comprender el concepto matemático y a conocer las

situaciones que lo contextualizan.

“La presente obra aborda el proceso de enseñaza aprendizaje a través de

situaciones problema que permiten al alumno reconocer hechos cotidianos

donde el conocimiento matemático es fundamental para la interpretación y su

posterior resolución, y al mismo tiempo, se presentan actividades cuta

realización conjunta enriquece y facilita el aprendizaje.”

(Matemáticas IV, Pág. 7, párrafo II)

Como señalan los autores: “Los elementos pedagógicos utilizados (…) siguen el

desarrollo de la matemática actual, basado principalmente en un enfoque

centrado en el aprendizaje”

(Matemáticas IV, Pág. 7, párrafo III)

Siendo así que interesa que el alumno se haga partícipe de su propio aprendizaje

para la construcción del conocimiento matemático, las actividades propuestas

pretenden situar al individuo dentro de una problemática y a partir de los resultados

75


obtenidos conjeturar, para luego presentarle al estudiante las definiciones, teoremas

o procedimientos sobre cierto concepto, y así comprobar o no sus resultados.

Esto se puede observar en las diversas secciones que proponen los autores en el

Libro de Texto:

Situación problema. Donde se le permite conocer al estudiante reconocer

hechos donde se aplica el conocimiento matemático.

Reforzando conocimientos. Que sirve para fortalecer y consolidar la

comprensión de los contenidos y su aplicación, así como el aprendizaje de

métodos y procesos relacionados con los temas.

Actividades. Donde se muestran algunas características que ayudan a la

construcción de su conocimiento.

El libro proporciona actividades para evaluar el aprendizaje de los alumnos. Como

son la evaluación diagnóstica y la formativa. La primera esta puede observar al iniciar

una nueva unidad para identificar el conocimiento previo de los alumnos,

proporcionado de esta manera los antecedentes necesarios para iniciar el proceso

de aprendizaje y enseñanza, además que permite reconocer los problemas y

dificultades que tienen los estudiantes antes de iniciar un nuevo tema. La formativa

esta presente en cada una de las secciones, ya que es reconocer como avanza el

alumno en su aprendizaje es pieza fundamental para el siguiente tema o actividad.

Otros bloques que se agregan son los que se refieren a los instrumentos de

evaluación como son los de guía de observación y las listas de cotejo que evalúan el

desempeño y el producto de aprendizaje de los alumnos respectivamente.

De acuerdo con las ideas que se proponen dentro de este Libro para el desarrollo del

aprendizaje de los estudiantes, se puede observar que va de acuerdo a un enfoque

constructivista17, ya que se plantea que el estudiante enfrentarse ante una situación

problemas y con guía las actividades propuestas, pueda conjeturar sobre cierto

17 Ver anexo: Constructivismo

76


concepto matemática, donde al final se presentarían las definiciones o

procedimientos formales.

Además, los autores mencionan: “el libro fue laborado con el fin de apoyar el

aprendizaje de los primeros conceptos de cálculo, desarrollando,

particularmente, el de función y la aplicación de éste en situaciones concretas,

donde se observe con claridad la relación entre dos o más variables

provenientes de diversos contextos sea de una fórmula física o la problemática

de una situación cotidiana”

(Matemáticas IV, Pág. 7, párrafo III)

Con este párrafo se observa que el objetivo principal del libro es presentar la

asignatura de Precálculo como una herramienta que permitirá comprender conceptos

posteriores de Cálculo y que además en si mismo, los temas tienen una aplicabilidad,

pues permiten modelar fenómenos, situaciones cotidianas

Los autores consideran al libro como un Libro de Texto el cual puede ser llevado al

salón de clases (incluso se apega al programa de la Dirección General del

Bachillerato, DGB) para ser una herramienta de estudio que motive a la comprensión

de los temas de esta asignatura para luego complementarse con la materia de

cálculo y/o sirva los conocimientos aprendidos en un futuro, tal y como se indica:

“Esperamos que este texto sea útil para el aprendizaje de las matemáticas, y

que los medios pedagógicos faciliten recorrer ya sí despierten el interés y

deseos en el alumno de adentrarse en su estudio, el cual le servirá de base

para continuar el siguiente curso y para ingresar a una institución de

educación superior)”

(Matemáticas IV, Pág. 8, párrafo V)

En este caso, interesa analizar el tema de funciones, lo que propone este libro para

este tema es lo siguiente:

77


- Analizar el concepto de función - Analizar las representaciones que tiene - Analizar su nacimiento a través de la generalización del concepto de

ecuación, las diferencias y semejanzas entre esos dos conceptos. - Estudiar las clasificaciones del concepto de función y la justificación de

esta. - Analizar y clasificar las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas - Considerar las características de una representación gráfica - Observar situaciones que dan contexto al concepto

Estos puntos se abarcan dentro de este tema, pero la forma en que va han ser

abordados, debe ir de acuerdo con las secciones de. Situación problema, reforzando

conocimiento y actividades. El tratamiento que se le puede dar al concepto de

función debe hacer referencia a situaciones cotidianas, donde el estudiante debe

enfrentarse como un problema a resolver y con las actividades se guía al alumno a

encontrar una solución pero de acuerdo a las acciones realizadas por el mismo

estudiante, luego procede a formalizar aquellos conceptos ya comprendidos,

describiendo una definición formal, así como sus propiedades generales, por último

se pueden resolver más ejercicios del tema que le sirvan de repaso y ayuden a

retener lo aprendido.


Ubicación del tema

El concepto de función se desarrolla desde la primera unidad del Libro. En palabras

de los autores el objetivo de la unidad: “Al termino de la unidad el alumno:

Manejará adecuadamente el concepto de función, así como el vocabulario

relacionado con éste. Comprenderá las diferentes representaciones concretas,

visualizando el dominio de éstas en sus dos vertientes: el dominio matemático

de definición y dominio dado por las situaciones específicas del problema”

(Salazar, P., pág. 9)

78


Introducción Unidad 1: Relaciones y funciones Evaluación diagnostica

1.1 Relaciones y funciones 1.1.1 El concepto básico de función 1.1.2 Representaciones de una función 1.1.3 Notaciones 1.1.4 Intervalo y dominio

1.2 Clasificación de funciones 1.2.1 Clasificación según su forma

Clasificación de acuerdo con la forma de la gráfica 1.3 Operaciones con funciones

1.3.1 Operaciones: suma, resta, multiplicación y división de funciones 1.3.2 Composición de funciones

1.4 Funciones inversas y funciones biyectivas 1.4.1 Gráfico de función inversa

1.5 Funciones especiales 1.5.1 Función constante 1.5.2 Función valor absoluto 1.5.3 La función escalón

1.6 Traslaciones de los gráficos, reflexiones y simetrías 1.6.1 Simetría respecto al eje y 1.6.2 Simetría respecto al eje x

Instrumentos de evaluación Unidad 2: Funciones polinomiales Unidad 3: Funciones racionales Unidad 4: Funciones exponenciales y logarítmicas Apéndice Solución de ejercicios impares Bibliografía

Es de observar que todo el Libro de Texto solamente trata el tema de funciones, así

como sus clasificaciones de este.

Introducción del concepto

Al inicio de esta primera unidad se presenta un diagrama que describe claramente

las relaciones que existen entre los temas que se abordan y los contenidos en

unidades subsecuentes.

Luego, se presenta una “Situación problema”, en la que se pide a los estudiantes

establezcan relaciones en base a la información que se les proporciona, lo notorio de

esta actividad es que permite a los estudiantes identificar la importancia y la

aplicación real de los conceptos que se abordan en esta unidad, promoviendo la

79


transferencia de los conocimientos. Cabe aclarar que este primer ejercicio,

aparentemente, se resolverá conforme se desarrolla la unidad.

Otro punto es que se consideran los conocimientos previos de los estudiantes al

establecer una “Evaluación Diagnostica”, así como las nociones que los estudiantes

tienen sobre los conceptos que se abordarán en el tema y que son basados en su

experiencia.

Se da un apartado introductorio al tema que enuncia diversas situaciones cotidianas

cercanas a los individuos, así como algunos fenómenos físicos sencillos de

reconocer, el cual puede resultar ser atractivo para el estudiante pues frecuenta

estos fenómenos y aprende a que puede modelarlos a través de la herramienta del

cálculo. Es así como de este apartado, surge la necesidad de estudiar esta

asignatura por la importancia que tiene en situaciones cotidianas. Es de mencionar

que al exponer esas situaciones se presentan algunos conceptos matemáticos

propios del cálculo, que pueden ser resultado de un factor motivador para el alumno

sobre estos cursos posteriores. Por eso, los autores señalan del cálculo que “es una

herramienta más” que permite comprender aquellos fenómenos de variabilidad,

distinguiéndola como aquella ciencia que surge de la necesidad de estudiar los

cuerpos en movimiento.

Al introducir el concepto de función se hace por medio de ejemplos en los que se

pretenden relacionar un hecho con otro, dando la primera impresión de que la

función expresa dependencia entre estas variables.

Perspectiva de Función

Los autores proponen a la función como un tipo especial de relaciones, pues según

ellos los conceptos de función y relación, son dos conceptos similares en el lenguaje

ordinario, pero hablando matemáticamente expresan connotaciones distintas.

En términos de los autores: “Una relación se establece entre los elementos de un

primer conjunto con los elementos de un segundo conjunto, si los elementos

del primer conjunto están asociados de alguna forma con los elementos del

80


segundo conjunto” (Salazar, P. pág. 14) y una función es entendida como “(…)

una relación en donde la asociación entre dos conjuntos se da de manera que a

cada elemento del primero le corresponda un único elemento del segundo

conjunto” (Salazar, P., pág. 16). Sin embargo de acuerdo al discurso presentado se

da a entender que existen diferencias y semejanzas entre función y relación,

principalmente debido a que una función sí es una relación, pero no toda relación es

una función, para ello hay que tener en cuentas las definiciones de cada una de

ellas.

Estas relaciones pueden ser representadas analíticamente por medio de las

ecuaciones, que son formas ideales, según los autores.

Por último el mismo autor aclara que a partir de esta unidad sólo se tratará el

concepto de función, pues el de relación resultaría innecesario.

Argumentos que dan sentido al concepto

Tabla 8. Tabla de argumentos del Libro 3 Argumento Definición Descripción

Numérica Ejemplo: deportista que participa en una caminata, avanzando cuatro metros cada segundo en alguna etapa de su recorrido (Salazar, P., pág. 14)

A través de una tabla se puede asociar elementos entre dos conjuntos.

Icónico

“Presenta un vocabulario o glosario que consiste en dar una etiqueta a cada uno de los elementos que interviene en el tema” (Salazar, P., pág. 17)

Este icono muestra las relaciones entre los conjuntos, nombrando cada componente que interviene en esta relación. Se puede observar que es una relación en un solo sentido, donde cada elemento de un primer conjunto le corresponde un elemento de un segundo conjunto, y en este último puede suceder que sobren elementos.

Visual

Ejemplo 1.1 propuesto por el auto. (Salazar, P., pág. 18)

Cada imagen representa de manera algebraica, en este caso, el peso que hay de acuerdo al número de sacos.

81


Analítica

Una ecuación es una representación analítica de la función (Salazar, P., pág. 19)

Da la idea en que es representada una función de acuerdo a una expresión algebraica

Tipos de ejercicios

Los ejercicios que propone el libro tiene como funciones principales: la práctica de

algoritmos relacionados con el concepto y además presentar secuencias de

actividades18, en donde los estudiantes deben de reflexionar sobre las preguntas y

tomar decisiones en base a sus respuestas, cuya finalidad es originar el aprendizaje

de un concepto a partir de las ideas de los estudiantes.

A manera de conclusión, el discurso ofrecido por el Libro de Texto conduce a

considerar a la “Función” como una particular relación de correspondencia.

El tratamiento presentado, permite una comprensión clara de los conceptos así como

una transferencia clara de los mismos. Se logra percibir una perspectiva que

mantiene un enfoque constructivista, esto es posible percibirlo considerando que:

• Se hace notorio la planificación de los ejercicios, esto en la secuencia de

actividades, en las que es fundamental las ideas de los estudiantes.

• Se toman en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes

• Hace consideraciones en los conceptos que son necesarios presentarle a los

estudiantes de manera explicita, y en los que él puede descubrir por si mismo,

18 En el apartado revisado para este estudio, se presenta una actividad (Salazar, P., pág. 25-27) que busca la comprensión acerca de las clasificaciones que se hacen sobre la gráfica de acuerdo a la orientación de la gráfica.

82


83

proponiéndole un secuencia adecuada, es decir, se promueve una aprendizaje

por descubrimiento.

• Presenta los contenidos de una manera entendible, vinculando algunos de los

procesos algorítmicos con la realidad y buscando dar un significado a las

conclusiones

• La actividad introductoria permite que el estudiante refuerce los conocimientos

que va adquiriendo en el transcurso del desarrollo de la unidad.

• Presenta esquemas útiles para los estudiantes, por ejemplo, Clasificación de

las Función expresadas de manera algebraica (Salazar, P., pág 24)

Para finalizar, los argumentos que utiliza el Libro de Texto no son usados al

momento de presentar un concepto sino para dar significancia a los conceptos en los

ejemplos.


84

Tabla comparativa y conclusiones

Tabla 9. Tabla comparativa para el Libro 3 Descripción Factores Explícitos Factores Implícitos Conclusiones


Se hacer referencia a situaciones cotidianas, donde el estudiante debe enfrentarse como un problema a resolver.

Los autores proponen a la función como un tipo especial de relaciones, el discurso ofrecido por el Libro de Texto conduce a considerar a la “Función” como una particular relación de correspondencia

El término función se describe como una particular relación de correspondencia entre elementos de diferentes conjuntos. Pero lo importante es que en este libro se contextualiza el concepto, presentándolo dentro de una situación problema y a partir de ello se generan todas las actividades.


Aunque no se describe de manera clara que representaciones se van a utilizar, puede hacerse notar, que se considera importante que el estudiante comprenda larepresentación gráfica.

Los argumentos que utiliza el Libro de Texto no son usados al momento de presentar un concepto sino para dar significancia a los conceptos en los ejemplos.

Se le pide al estudiante conocer algunas de las representaciones del concepto, pero dan dentro de actividades, para su mejor comprensión. Los argumentos se presentan para dar significancia al concepto dentro de una situación.

Enfoque: Constructivista

De acuerdo con las ideas que se proponen dentro de este libro para el desarrollo del aprendizaje de los estudiantes, se puede observar que va de acuerdo a un enfoque constructivista, ya que se plantea que el estudiante enfrentarse ante una situación problemas y con guía las actividades propuestas, pueda conjeturar sobre cierto concepto matemática, donde al final se presentarían las definiciones o procedimientos formales.

Se mantiene un enfoqueconstructivista, de acuerdo a que el libro presenta: planificación de los ejercicios, toma en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes, se promueve un aprendizaje por descubrimiento, incluyendo actividad introductoria, entre otros.

El libro mantiene un enfoque constructivista, pues es posible observar que dentro de las actividades propuestas el alumno debe desarrollar las habilidades de razonamiento, comprensión y de acuerdo al desarrollo cognitivo que se tenga sobre el tema, podrá conjeturar, es decir, él mismo hará la construcción del conocimiento apoyándose de las actividades guiadas, una vez alcanzado este se procede a formalizar el concepto matemático.

Tipo de ejemplos y/o ejercicios.

Los autores pretenden introducir actividades que involucren al alumno para comprender el concepto matemático y a conocer las situaciones que lo contextualizan.

Los ejercicios son para realizar una práctica de algoritmos relacionados con el concepto, además de secuencias de actividades, donde es importante las ideas de los

Se puede observar que describe el autor va de acuerdo a lo presentado en los ejercicios. Resultan ser actividades en las cuales son diseñadas de tal manera que guían al


85

Los temas tienen una aplicabilidad, pues permiten modelar fenómenos, situaciones cotidianas

estudiantes para llegar al concepto. estudiante a la formulación y comprensión del concepto, así como sirven de repaso sobre los procedimientos aprendidos.

Conocimientos Previos del alumno

Ofrece una evaluación diagnostica al iniciar una nueva unidad para identificar el conocimiento previo de los alumnos, además de que permite reconocer los problemas y dificultades que se tienen antes de iniciar un nuevo tema.

Considera los conocimientos previos de los estudiantes al establecer una “Evaluación Diagnostica”, así como las nociones que los estudiantes tienen sobre los conceptos que se abordarán en el tema y que son basados en su experiencia.

Claramente se percibe que a los autores esta interesado por los conocimientos previos de los estudiantes, por ello se preocupan en diseñar actividades que le permitan evaluar el grado de aprendizaje de estos, para corregir a tiempo problemas futuros.

Participación del alumno

Interesa que el alumno se haga partícipe de su propio aprendizaje para la construcción del conocimiento matemático, las actividadespropuestas pretenden situar al individuo dentro de una problemática y a partir de los resultados obtenidos conjeturar

Aprendizaje por descubrimiento. Es importante las ideas propuestas por los estudiantes en las actividades

La participación de los estudiantes es fundamental, pues a partir de las ideas de ellos sobre las actividades diseñadas, permiten guiar al estudiante para que el mismo logre comprender el concepto. Toma ideas para que el estudiante alcance un aprendizaje por descubrimiento.

Evaluación formativa

Presente en cada una de las secciones, ya que es reconocer como avanza el alumno en su aprendizaje es pieza fundamental para el siguiente tema o actividad.

Se encuentra presente las actividades y ejercicios.

Interesa que el estudiante vaya desarrollando las actividades y secuencias, y dentro de este se puede evaluar el aprendizaje de los alumnos.


En base a las tablas anteriores, podemos concluir que es posible observar el

tratamiento que se le da al concepto de función en cada uno de los Libros de Texto.

Entre los tratamientos descritos es posible percibir aquellos elementos que están en

cada uno de estos y que se presentan de manera similar, es decir elementos que no

varían de un libro a otro (invariantes).

Estos elementos se pueden señalar de la siguiente forma:

- La perspectiva del concepto de función, cada uno de los libros, sitúa al

concepto dentro de una situación cotidiana, ya sea como que lo presente,

como una relación y/o correspondencia entre dos conjuntos de esta. Los

libros buscan contextualizar al concepto, mostrarle al estudiante que se

encuentra presente al modelar fenómenos reales.

- Las representaciones del concepto, cada uno de los autores considera

importante que el estudiante conozca estas representaciones y aunque no se

logre hacer una conversión entre dichos argumentos, si puede concluirse que

el discurso que se presenta buscar hacer que el estudiante comprenda que

aquello plasmado es la función.

- Los tres libros se enfocan en la resolución de problemas, que tengan que ver

con la vida real, auque unos hagan más énfasis que otros.

Ahora bien, lo que cambia dentro de cada uno de estos libros es el enfoque que el

autor le da al los textos, y a partir de ahí se pueden observar las variaciones entre

ellos. En el caso de los dos primeros Libros (Stewart, y el Barnett) tiene un enfoque

de resolución de problemas, y el de Matemáticas IV de Pedro Salazar, se percibe un

enfoque constructivista.

86


El enfoque de resolución de problemas, aunque los libros en su parte explicita se

presenta como situar al estudiante dentro de una problemática y a partir de ahí que el

vaya generando el conocimiento, mas bien se refiere (observando el tratamiento, lo

implícito) a expresar al concepto de función dentro de un contexto y generar

ejercicios tipo problema, aparte de los algorítmicos, también situados dentro de una

situación real donde el estudiante tiene analizar sobre de este y escoger algún

procedimiento para su solución, anteriormente descrito en el libro.

Para el Libro 3, el enfoque constructivista, aunque también presenta ejercicios tipo

problema, presentados en situaciones cotidianas, este más bien se centra en la

acción del estudiante, en lo que él pueda deducir a partir de las actividades

propuestas. Primero se abordan las actividades y de las conclusiones obtenidas se

puede comprender la definición formal del concepto de función así como sus

propiedades.

Es decir, el tratamiento va de acuerdo al enfoque que sigue el Libro de Texto, pues a

partir de este, es como se diseñan las actividades y secuencia de los contenidos, la

manera en que el libro “interactúa” con el estudiante, permitiéndole presentar de

alguna manera esa información.

Por eso, por el enfoque que utiliza en Libro 3: Matemáticas 4, Pedro Salazar,

propone actividades de evaluación y otras más donde siempre el alumno es el tiene

que responder.

87


4.3 Análisis del Fenómeno de Reproducibilidad

Después del análisis de los tratamientos, procedimos al estudio del fenómeno de

reproducibilidad en cuanto a los aspectos cognitivos y didácticos que se encuentran

presentes en el DME de los Libros de Texto analizados.

4.3.1 Reproducibilidad cognitiva

Para el análisis del fenómeno de reproducibilidad en el aspecto cognitivo,

consideramos las demandas cognitivas que los tratamientos de los Libros de Texto

exigen en el lector (estudiante/profesor).

Según Montoya (¿?), La cognición se relaciona (…), prácticamente con todos

aquellos que involucren percepción, memoria, aprendizaje; esto implica que todas las

actividades derivadas del pensamiento tienen componentes cognitivas.

El estudio del tratamiento en los Libros de Texto brindo información sobre algunas de

las demandas que cada autor requiere, para el desarrollo de su propuesta. A

continuación de define cada una de las demandas que se lograron percibir según los

Libros de Texto:

• Analizar: El análisis se refiere a la descomposición de un todo en sus distintos

elementos constituyentes, con el fin de estudiar éstos de manera separada,

para luego, en un proceso de síntesis, llegar a un cabal conocimiento integral.

• Caracterizar: es aquella habilidad que permite enumerar elementos

cualitativos que se aprecian las componentes más importantes del objeto en

cuestión.

88


• Comparar: La observación permite apreciar las características externas (o

internas) de los objetos. La comparación permite apreciar las características

semejantes y diferentes que se observan en diversos objetos, hechos

fenómenos o procesos. Para aprender a comparar es preciso que se destaque

que la comparación exige que se precisen primero el o los criterios que van a

servir de base para la comparación.

• Comprender: Concierne el aspecto más simple del entendimiento que

consiste en captar el sentido directo de una comunicación o de un fenómeno,

como la comprensión de una orden escrita u oral, o la percepción de lo que

ocurrió en cualquier hecho particular.

• Explicar: Es la expresión no reproductiva de lo conocido, puede responder a

diferentes preguntas ¿por qué?, ¿cuándo?, ¿para qué?, entre ellos se destaca

la posibilidad de establecer las relaciones de causa y efecto: ¿por qué?

• Identificar relaciones y patrones: Establecer aquellas conexiones entre los

diferentes conceptos que se encuentras relacionados o los diferentes registros

de representación semiótica, de igual forma inferir sobre las tendencias que

se van presentando en los conceptos o problemas propuestos.

• Interpretar: Es la atribución de un significado personal a los datos contenidos

en la información que se recibe.

• Modelar: Es una técnica cognitiva que consiste en la generación de una

representación o modelo científico ideal de un objeto real o de un fenómeno,

mediante un conjunto de simplificaciones y abstracciones cuya validez se

pretende constatar. La validación del modelo se lleva a cabo comparando las

implicaciones predichas por el mismo con observaciones.

• Observar: Cualidad de la percepción con la cual seleccionamos los estímulos

más relevantes para percibirlos "mejor" algún objeto.

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• Razonar: un conjunto de proposiciones enlazadas entre sí que dan apoyo o

justifican una idea. El razonamiento se corresponde con la actividad verbal de

argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión verbal de un

razonamiento.

• Representar: Exponer de manera gráfica (por medio de un icono, una

gráfica…) una idea o concepto sobre un objeto matemático.

• Resolver problemas algorítmicos: Se refiere a la realización de ejercicios

donde se realizan procedimientos descritos en algún concepto, como seguir

una secuencia de paso.

• Visualización: En cuanto a que permiten relacionar e interpretar de dos

registros de representación presenten en la exposición de un objeto.

De acuerdo a las demandas cognitivas que consideramos, a partir del análisis

epistemológico se establece una tabla en la cual damos a notar las diferentes y las

convergencias que pudieron ser percibidas durante el análisis.

Tabla 10. Tabla comparativa de las demandas cognitivas

Unidad de análisis Demandas Cognitivas LIBRO 1 Stewart

LIBRO 2 Barnett

LIBRO 3 Pedro

Salazar

Caracterizar x

Interpretar x

Explicar x x x

Antes de Abordar el Concepto -Conocimientos previos del

estudiantes visualizar(gráficas) x x x

Comparar x x

Representar x x x

Caracterizar x x x

Identificar relaciones y

patrones x

Comprender x x x

Explicar x

Durante el desarrollo del concepto

-Grado de apropiación del

concepto

-Grado de interpretación de los

argumentos establecidos

Analizar x x x

90


Analizar x

Resolver Problemas

Algorítmicos x x x

Razonar x x x

Observar x x x

Posterior al concepto -Grados de dificultad en los

ejercicios propuestos

Modelar x x x

Con respecto a la información contenida en la tabla, se dice que, en la forma como

se aborda la introducción de los conceptos previos, se reproduce cognitivamente, en

cuanto a que, los Libros de Texto exigen de Explicar y Visualizar. Así mismo, es

posible notar que se reproduce cognitivamente, las demandas de: representar,

caracterizar, comprender y analizar, esto en cuando a la forma como se aborda el

concepto de “Función”. Por ultimo, se reproduce cognitivamente en los ejercicios

propuestos por los diferentes Libros de Texto, en cuanto que exigen de: Resolución

de problemas algorítmicos, Razonar, Observar y Modelar.

Podemos afirmar con ello que a través del estudio presentado, se pudo notar que el

fenómeno de reproducibilidad se encuentra presente en los libros de texto en cuanto

a que los Libros de Texto presentan en su tratamiento las mismas demandas

cognitivas, independientemente del enfoque o la estructura de su tratamiento,

posibilitando, quizás, que la forma en que el concepto es apropiado por el estudiante

sea la misma, creando en el las mimas noción del concepto “función”.

4.3.2 Reproducibilidad didáctica

Para el análisis del fenómeno de reproducibilidad en el aspecto didáctico,

consideramos las formas en que el concepto se informa, difunde y transmite, los

usos y razones de usos que los profesores plantearon, en cuanto al aspecto

didáctico.

91


Al considerar las formas de informar el “concepto de función” de los tres libros se

logra percibir que los autores, se encuentran interesados en presentar al concepto en

diversos tipos de representaciones (gráficas, analíticas, icónicas, verbal, numérica,

etc.), pero las formas en que son usados, como el tipo de representación y el número

de los mismos, no son iguales, pues varían según el Libro de Texto, de igual forma,

no se promueven las transformación de un representación a otro.

Ahora bien si se observan las formas de difundir el “concepto de función”, de acuerdo

con los definiciones, teoremas, ejemplos, problemas y ejercicios, se observan

variaciones entre los Libros de Texto, ya que para el Libro de James Stewart y el de

Pedro Salazar, resultan estar más adecuado al nivel del estudiante de acuerdo al

vocabulario y el Raymond Barnett presenta un vocabulario matemático más formal y

se puede visualizar como un libro para el profesor de acuerdo al DME que presenta.

Además cabe señalar, que si bien, los libros del Stewart y Salazar presentan los

problemas de forma contextualizada, es el Salazar, quien trata de contextualizar los

problemas en un ambiente conocido por los estudiantes.

Las formas de transmitir el concepto de función, refiriéndose al enfoque que

mantienen los Libros de Texto, en las conclusiones del tratamiento se observo que el

tanto Stewart como el Barnett, proponen un enfoque con respecto a la resolución de

problemas; mientras que el Salazar mantiene enfoque constructivita.

En base a lo anterior, pareciera ser que el fenómeno de reproducibilidad no se

encuentra presente en la componente didáctica, o al menos con la metodología

empleada para el estudio de este fenómeno no fue posible constatar su presencia.

92


93


Es adecuado decir, que el Libro de Texto, juega un papel de gran importancia en el

DME presente en las aulas de educación media superior, en este caso el Subsistema

COBAY, pues, el Libro de Texto se caracteriza, así mismo, como una fuente que no

solo mantiene y comunica los saberes, sino que norma y delimita, las prácticas

docentes y condiciona el tipo de enseñanza que se presenta en las aulas.

En base a esta afirmación, se realizo este estudio con la finalidad de caracterizar el

tipo de DME presente en los Libros de Texto, y los usos y razones, que se le da a los

Libros de Texto por parte de los profesores, siendo posible el observar la relación

que tiene en libro con las practicas escolares presentes en el subsistema COBAY.

El presente estudio, fue conducido sobre una perspectiva de la aproximación teórica,

Socioepistemología, que permitió los diferentes análisis presentados, así como, el

estudio de la existencia del fenómeno didáctico de reproducibilidad en los Libros de

Texto.

En nuestra opinión el trabajo realizado, promueve el uso de la Socioepistemología

como metodología de análisis del DME, sus usos y razones asignado por los

profesores, así mismo se contribuye a un análisis de carácter cualitativo que describe

y caracteriza, al Libro de Texto como un objeto didáctico.

Las conclusiones que se presentan tratan de dar repuesta, describiendo usos y las

razones de los usos del Libro de Texto, como estos se encuentran relacionados con

el DME presentes en los Libro de Texto y la posible existencia del Fenómeno

Didáctico de Reproducibilidad.

94


5.1 Conclusiones generales

5.1.1 Conclusiones sobre las razones de los usos de los libros de texto de matemáticas

El primer estudio, se procedió a realizar dos tipos de análisis, uno haciendo

referencia a los libros más usados, describiendo los usos y razones principales de

estos; y el otro tipo es considerando a cada profesor y describiendo las necesidades

que tiene de acuerdo a las razones que daba para los usos de los libros que

señalaron.

Los usos que le dan los profesores a los libros son los siguientes:

Formas en que usa los libros

Fuente de información para preparar las clases

Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase.

Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase.

Durante la impartición de la clase.

Para elaborar los exámenes.

Con los datos de la encuesta pudimos ver que los profesores le dan diversos usos a

los libros de texto y aunque no siempre pueden darle todos los usos a cada libro,

precisamente por las características de cada uno, sí pueden cubrir todos los usos

con todos los libros que utilizan.

95


De la misma manera los profesores mostraron las razones por las cuales utilizan los

libros y al hacer el contraste de sus respuestas en los usos con las razones de los

usos se llegó a la conclusión de que los profesores están concientes de las

necesidades y carencias presentes en cada uno de los Libros de Texto que proponen

las instituciones, tratando de cubrir lo más que se pueda los aspectos cognitivos,

epistemológicos, didácticos y socioculturales, al consultar otros Libros, que no

menciona la bibliografía, pero que según ellos subsanan las carencias que ellos

presentan.

Esta conclusión se respalda al hacer un análisis de cada profesor, pues la mayoría

de ellos busca en un Libro de Texto características que sean útiles para su

enseñanza, auque no se encuentran concientes de los aspectos cognitivos,

epistemológicos, didácticos y socioculturales; es decir, buscan en un Libro de Texto

un DME adecuado en esos aspectos que cubren sus necesidades y las de sus

estudiantes, porque están concientes de la importancia de éstas características, de

que para el logro de los objetivos, es necesario considerarlas en su labor docente, en

específico en el uso que le dan a los textos de matemáticas. Dejando en claro que

las características que ellos requieren de un Libro de Texto, permita a los estudiantes

ser partícipes responsables de su propio aprendizaje por medio de un libro adecuado

a su currículo que sirva de instrumento para el aprendizaje de los estudiantes y para

la labor de enseñanza de los profesores.

5.1.2 Conclusiones sobre el DME

Al analizar el DME de los Libros de Texto, se observó, existe un libro que es utilizado

por la mayoría de los profesores y que no esta presente en la bibliografía propuesta

por las instituciones del COBAY, “Matemáticas IV” de Pedro Salazar, pues el DME

96


que presenta cubre la mayoría de las necesidades de los profesores, se caracteriza

por ser el mas adaptado al programa de estudio, señalado por los profesores, y que

cubre con la mayoría de las componentes socioepistemológicas pues resulta tener

un enfoque adecuado, de hecho es Constructivista y es el enfoque que tiene el

currículo de matemáticas del subsistema COBAY, y cabe aclarar, su uso se debe a

que fueron los mismos profesores quienes observaron que este Libro de Texto, se

apega a sus necesidades y lo eligen por consenso.

Así mismo, la Institución propone como Libros de Texto,

1) Precálculo. James Stewart, Lotear Redlin, Saleem Watson. Editorial:

International Thompson.

2) Precálculo: Funciones y Gráficas. Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler,

Karl E. Byleen. Editorial: Mc Graw Hill

Los cuales presentan un DME, con enfoque en la resolución de problemas, sus usos

son más de consulta por parte de los profesores, ya sea para las definiciones,

ejercicios en clase o exámenes.

Con el estudio del DME presente en estos tres libros, analizando por un lado, la

propuesta didáctica, que los autores hacen explicito, para el tratamiento de un

concepto matemático, y por otro aquello que se encuentra implícito sobre la

propuesta didáctica de los Libros de Texto y que está presente en el tratamiento de

un concepto, en este caso el Concepto de Función, se pudo corroborar cómo estos

libros cumplen con ciertas características y cuál de ellos tres, es el más apegado a

las necesidades curriculares del Subsistema COBAY.

El libro de “Matemáticas IV”, es uno que por ende, es el más apegado a la

necesidades presentes en la enseñanza de Precalculo, pues su enfoque es

constructivista cubriendo así las carencias que los otros libros como, “El Precalculo” y

“Precálculo: Gráficas y Funciones”, no son capaces de cubrir pues el enfoque que

mantiene es inadecuado para estas Instituciones. Concluyendo que:

97


• “El Precalculo” y “Precalculo: Gráficas y funciones”, son libros que resultan

adecuados para el profesor por el tipo tratamiento que se le da al concepto de

función, permitiendo serle útil en la planeación de su clase. Estos, tienen un

enfoque de resolución problemas, además de que se presenta el contenido

matemático formalmente, sirviendo así de apoyo al profesor.

• El Libro de Pedro Salazar, “Matemáticas IV”, tiene un enfoque constructivista,

de acuerdo al tratamiento observado, y esto también es percibido por los

profesores, pues ha sido considerado ideal por su enfoque y estar apegado al

programa, este libro es aquel que tiene actividades diseñadas para que el

estudiante posibilita, al menos en nuestro parecer, la construir su

conocimiento.

En fin los profesores de los diferentes planteles del COBAY requieren un Libro de

Texto:

• Con enfoque constructivita, pues es la tendencia curricular de este

Subsistema

• Que promueva el pensamiento geométrico

• Que resulte atractivo a la vista de los usuarios

• Con un contenido temático apegado al programa del COBAY

• Que promueva la transferencia, pues los ejemplos que se presenten resulten

en un contexto adecuado a la vida cotidiana de los estudiantes

Es por tanto, que parte del trabajo que deben realizar las diferentes instituciones, es

mantener una vigilancia y revisión de los libros que proponen en sus bibliografías

como Libros de Texto para alguna asignatura de sus cursos, en este caso para la

materia Matemáticas IV, puesto que su elección debe ser sustentada en base a las

demandas curriculares y las necesidades que la cultura en la cual se encuentra

inmerso.

98


El sistema COBAY, requiere de un Libro de Texto que cumpla con las demandas de

la Institución, por ello es conveniente consideras quizás la elaboración de un Libro

que cumpla con las características de un Libro de Texto y cuyo DME sea el más

pertinente para los Profesores y los Estudiantes del COBAY.

5.1.3 Conclusiones sobre el Fenómeno de Reproducibilidad

El tratar de extrapolar el Fenómeno de Reproducibilidad, a un ambiente que no es

una situación didáctica y llevarlo al Libro de Texto, resulta interesante que de manera

intuitiva , suena lógico pensar que si existe el Fenómeno de Reproducibilidad.

Nuestro estudio permitió mirar que si bien el Fenómeno de Reproducibilidad se

presenta como frágil en una situación didáctica, su estudio en los Libros de Texto no

se mira de manera fácil requiere de una nueva metodología que pueda soportar y

enmarcar las nuevas características que este debe presentar en este nuevo

contexto.

Es por ello que a partir de un estudio del DME, con un carácter Socioepistemológico,

pudimos identificar el fenómeno didáctico de reproducibilidad asociado al Libro de

Texto en cuanto a lo cognitivo, afirmando, que independientemente del enfoque y los

tratamientos ofrecidos por los Libros de Texto, se producen los mismos efectos de

acuerdo a los tratamientos que ofrecen los Libros de Texto. Por otro lado, en el

aspecto didáctico estuvo ausente el fenómeno de reproducibilidad, debido a que los

tratamientos variaban según el enfoque que cada libro de texto presentaba.

En general, lo que se percibió fue una primera aproximación al fenómeno de

reproducibilidad en los Libros de Texto, dejando en claro, que se habría que hacer

algunas mejoras a la metodología empleada para el análisis del discurso, y haciendo

99


más amplias las unidades de análisis que permitan de manera segura afirmar sobre

la existencia del fenómeno de reproducibilidad en los libros de texto.

Por ultimo el estudio de el fenómeno de reproducibilidad, y su existencia en los libros

de texto en cuanto a las demandas cognitivas, es que los usos que los profesores le

dan a los Libros de Texto, así como las razones de los mismos, no influyen de

manera cognitiva, pues las demandas de los Libro de Texto al menos se mantienen

similares en algunos aspectos, pero los resultados de usar uno u otro Libro de Texto

si se ve fuertemente influenciado por los aspectos, socioculturales, didácticos y

epistemológicos, los cuales son de igual importancia para los profesores en su

práctica docente.

5.2 Reflexiones finales y sugerencias

• Con el estudio de las razones de los usos de los libros de texto, desde una

perspectiva Socioepistemologíca, se pudo observar como los profesores

consideran los aspectos socioculturales, didácticos, epistemológicos y

cognitivos en el DME presentado por los Libros de Texto, lo cual confirma la

importancia de nuestro sustento teórico y cómo sin importar la diferentes

características de cada profesor (formación profesional, sexo, edad, plantel en

el que labora, etc.) éstos se encuentran preocupados por el proceso de

enseñanza aprendizaje y están en búsqueda de materiales de texto

adecuados para subsanar las necesidades presentes en dichos procesos

• De acuerdo a todo el estudio, se hace notorio la necesidad de un Libro de

Texto adecuado al currículo del Subsistema COBAY, con características

adecuadas a sus objetivos curriculares, el programa de estudio, la realidad

sociocultural, entre otros, así como características concernientes a las

100


componentes socioepistemológicas (componentes epistemológicas,

didácticas, cognitivas y socioculturales), que de hecho buscan los profesores

en su labor docente.

• Al hacer el estudio de la reproducibilidad, se pudo concluir que los efectos

que producen los diferentes Libros de Texto, en el aspecto cognitivo y

didáctico, no son del todo los mismos, y que van de acuerdo al tipo de

enfoque que maneja cada autor, es así, que no es posible afirmar que lo

propósitos establecidos para el currículo de matemáticas en el Subsistema

COBAY sean logrados en su totalidad, por ello es recomendable la obtención

de libros que vayan de acuerdo a los objetivos curriculares de matemáticas.

• El fenómeno de reproducibilidad requiere de una nueva caracterización al

momento de estudiarlo a través de los Libros de Texto, así mismo

consideramos que un estudio más profundo requeriría de la parte

experimental, pues a nuestro juicio la reproducibilidad en el aspecto cognitivo

se pudo hacer presente, pero faltaría sustentar la información al ver si las

demandas cognitivas que consideramos, son las mismas que se presentan en

los estudiantes y profesores, los cuales usan esos libros.

Las contribuciones que brinda esta extrapolación es ver que los fenómenos

didácticos no solo se encuentran presentes en el aula, sino en aquellos

dispositivos que son utilizados para la comunicación y difusión de los saberes,

el estudio de la reproducibilidad en los Libros de Texto permitiría considerar la

creación de Libros de Texto que vayan acorde a las necesidades de cada

sistema educativo, así como una práctica más homogénea en los diferentes

planteles educativos de los diferentes subsistemas. Sin embargo seria

interesante cuestionarse sobre las ganancias que se tendrían al poder

extender el fenómeno de la reproducibilidad a los libros de texto y cómo esto

contribuiría a estudios más especializados en Matemática Educativa.

101


• Durante el análisis se pudo notar que el DME presente en los Libros de Texto,

presenta una invariante en la conceptualización de “Función”, pues es

presentada como una relación de correspondencia, caracterizada a través de

su dominio, su el rango y la forma gráfica en que es representada

• Los Libros de Texto, presentan diversas maneras de representar a la Función,

su dominio y su rango (icónica, analítica, gráfica, etc.) con lo cual buscan que

el concepto sea comprendido, pero la mayoría de ellos no permite concebir

esas representaciones como representaciones semióticas, de acuerdo a la

teoría planteada por Duval (1999), pues debido a la forma en que son

plasmadas las representaciones, a lo que denominamos textualizados, no

permiten generar conversiones apropiadas de un registro a otro.

• Los tres Libros de Texto analizados, citan el teorema de la recta vertical para

decidir cuando una gráfica representa una función, pero nadie hace evidente o

explica la razón del porqué de esta afirmación.

102


103


1) Ávila, A (1996). Los usos reconocidos de los textos matemáticos. Revista

latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Vol. 1 (2), pp.314-342

2) Artigue, M. (1986). Ètude de la dynamique d’ une situation de classe: une

approche de la reproductibilité. Recherches en Didáctique des Mathématique

7(1), 5-62.

3) Barnett, R. (2000). Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill Interamericana,

México,

4) Cadoche, L. (2002), Malva, A. Descripción de situaciones didácticas desde los

libros de textos (en los últimos veinticinco años). Universidad Tecnológica

Nacional. Universidad Nacional del Litoral, Argentina. Acta Latinoamericana de

Matemática Educativa, Vol. 15, pp. 1222-1227

5) Castañeda, A., Ferrari, M., Martínez, G. (2001). Elementos para el análisis de

textos matemáticos antiguos, desde la perspectiva sociepistemológica. En

Cordero, F. (Ed), Antología de Red de los CIMATES (Número I, pp. 125-147).

México: Programa Editorial de la Red de Cimates.

6) Castañeda, A. (2002). Estudio didáctico del punto de inflexión: una aproximación

socioepistemológica. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa.

Thomson: México. Vol 5, Núm. 1, 27-44.

7) Castañeda, A. (2004) Desarrollo de situaciones de aprendizaje en un escenario a

distancia incorporando objetos virtuales de aprendizaje. En L. Díaz (Ed.), Acta

Latinoamericana de Matemática Educativa, (Volumen 17, pp. 660-667). México.

CLAME.

104


8) Castañeda, A. (2005). Mecanismos para la Difusión del Discurso Matemático

Escolar. En J. Lezama, M. Sánchez, J.G. Molina (Eds.), Acta Latinoamericana de

Matemática Educativa (Volumen 18, pp. 469-475). México: CLAME.

9) Cordero, F. (2005). La Socioepistemología en la Graficación del Discurso

Matemático Escolar. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 18. pp 477 -

482. Clame, México.

10) Díaz, J., Batanero, C. Font, V. (2003) Fundamentos de la enseñanza y el

aprendizaje de las matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de la

Matemática, Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Granada.

11) Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano.

12) Farfán, R. Lezama, J. (2001). Un estudio de reproducibilidad de situaciones

didácticas. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 14, pp. 554 -559

13) Farfán, R.; Ferrari, M.; Martínez, G. (2003). Lenguaje algebraico y pensamiento

funcional. 1a ed., México, Editorial trillas.

14) Gatica, N.; Carranza, M.; May, G. Coseí, A. (2002). El concepto de función en los

libros de texto universitarios. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol.

15, pp. 132-137. Clame, México.

15) Güemes, R. (2001). Algunas investigaciones en torno al uso de los libros de texto

en las aulas. Revista Comunicación y pedagogía: Nuevas tecnologías y recursos

didácticos pp. 76-83. Perú.

16) Lezama, J. (2005). Una mirada socioepistemológica al fenómeno de la

reproducibilidad. Relime Vol. 8, Núm. 3. pp. 339-362. Clame, México.

17) Lezama, J. (2004) Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas. Un

enfoque sistémico. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa – Vol. 17, pp.

32 -38

105

http://dialnet.unirioja.es/servlet/revista?tipo_busqueda=CODIGO&clave_revista=322

http://dialnet.unirioja.es/servlet/revista?tipo_busqueda=CODIGO&clave_revista=322


18) Lezama, J. (2005). Una mirada socioepistemológica al fenómeno de la

reproducibilidad. Relime Vol. 8 Num.3, 2005, pp. 339 -362.

19) Montoya, L. (SF). Propuesta de un proceso educativo de habilidades de

pensamiento como estrategias de aprendizaje en las organizaciones. UNAM. pp.

51-80

20) Marta Macolini y Javier Perales. La noción de predicción: Análisis y propuesta

didáctica para la educación universitaria. RELIME, VoL. 8. Num. 1, 2005, pp., 65-

68

21) Gatica, N.; Carranza, M.; May, G., Coseí, A. (2002) El concepto de función en los

libros de texto universitarios. Universidad Nacional de San Luis Argentina. Acta

Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 15, pp. 132-137

22) Ordaz, M. (2006). Las secuencias didácticas con un enfoque constructivista: El

caso de la función valor absoluto. Tesis de maestría no publicada, Universidad

Autónoma del Estado de Morenos, (23 pp.).

23) Ortiz, J. (2002) La probabilidad en los libros de texto. Departamento de

Matemática Educativa. Universidad Granada.

24) Rosado, P. (2005). La reforma curricular del bachillerato tecnológico y la

elaboración de secuencias didácticas para cursos de Matemáticas. Acta

Latinoamericana de Matemática Educativa 19, pp. 379-385. Clame México

25) Salazar, P.; Callejas, L. Domínguez, H. (SF) Matemáticas IV. Editorial

Nuevaimagen.

26) Santos, L. (1997). Principio y métodos de resolución de problemas en el

aprendizaje de las matemáticas. 2a ed., México, Editorial Iberoamerica.

27) Stewart, J. (2000), y otros. Precálculo. 3ª ed., México, International Thomson

Editores.

106

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA El objetivo de esta encuesta es reunir información de apoyo a los profesores que tienen a su cargo el proyecto de investigación denominado “Estudio sobre el discurso matemático escolar”, éste, se realiza al interior del sistema educativos del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán. Nos dirigimos a usted, profesor de matemáticas, para conocer información que nos será muy valiosa para este proyecto y que pretendemos rescatar por medio de esta encuesta. Le proporcionamos dos encuestas una correspondiente a Matemáticas II y otra de Matemáticas IV, usted deberá responder las dos o sólo una de ellas según si imparte ambas asignaturas o sólo una de ellas. Toda la información que usted nos proporcione es de carácter confidencial y el tiempo estimado para responder la encuesta es de 10 a 15 minutos. Agradeceremos nos haga llegar sus respuestas por medio del(la) coordinador(a) académico(a) de este plantel, a más tardar el día 30 del presente mes, para analizar los datos obtenidos y poder continuar con el desarrollo de nuestro trabajo.

Gracias por su colaboración

1. De la bibliografía señalada en el programa de la asignatura Matemáticas IV, indique a lo más 3 libros que son los que más utiliza para impartirla.

2. Si utiliza algún otro libro que no esté en la bibliografía, indique el título, autor y editorial.

Libros incluidos en la Bibliografía Lo utilizo No. Datos del libro 1 Stewart, James, y otros. Precálculo. International Thomson

Editores.

2 Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill.

3 Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural. 4 Ruiz, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones.

Publicaciones cultural.

Libros que no están en la bibliografía No. Datos del libro 6 7 8

3. En la tabla siguiente se le presentan posibles formas en las que usted puede estar utilizando los libros, de ser el caso le pedimos indique en la columna de la derecha el número de el(los) libro(s). Nota: Considere además que un libro puede estar en más de una opción

Formas en que usa los libros No. de el(los) libro(s)

Fuente de información para preparar las clases Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase.


Durante la impartición de la clase. Para elaborar los exámenes. Otra(s). Indique cuál(es)

4. En la siguiente tabla le ofrecemos una serie de posibles razones por las que usted

pudiera estar utilizando tales libros, de ser el caso le pedimos indique en la columna de la derecha el número de el(los) libro(s). Nota: Considere además que un libro puede estar en más de una opción

Razones por las que usa tales libros No. de el(los) libro(s)

Vocabulario accesible Los contenidos y ejemplos son precisos (de acuerdo al programa) Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes El enfoque del libro es el adecuado La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.) Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes La institución sugiere que se use este libro Mis compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado He utilizado este libro desde que era estudiante y lo conozco bien Me lo recomendaron alguna vez Otra(s). Indique cuál(es)

5. Además de libros, ¿utiliza algún otro material (notas personales, antología, etc) para desarrollar su curso? En caso afirmativo, indique cuál(es).

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

6. ¿Considera importante contar con un libro de texto para el curso? Sí ( ) ¿Por qué?

No ( ) ¿Por qué? ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

7. Si respondió afirmativamente a la pregunta anterior, escriba cuáles considera serían las características que debería tener dicho libro de texto.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Nombre: ______________________________________ Plantel: _______________________________________

Libros usados por los profesores en la encuesta

Libro 1: Stewart, James, Y Otros. Precálculo. International Thomson Editores.



Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: Funciones y Aplicaciones. Publicaciones Cultural.

Libro 5: Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural.


Libro 6: Leithold. Matemáticas previas al cálculo. Edit. Oxford.

Libro 8: Matemáticas. Cuarto curso. Enfoque constructivista (¿?).


Libro 10: Trejo Peñan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo.

Mc Graw Hill.

Tablas correspondientes al análisis de las razones de los usos y razones de uso, de cada uno de los profesores encuestados

Profesor 1 Libro 1: Stewart, James, Et. Al. Precálculo. International Thomson Editores Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen Libro 8: Matemáticas. Cuarto curso. Enfoque constructivista (no se indican más detalles).

Tabla 1: Usos del Profesor 1

Formas en que usa los libros L 1 L 3 L 8 Fuente de información para preparar las clases x x Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. x x x

Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. x x x

Durante la impartición de la clase. x x Para elaborar los exámenes. x x x Otra(s). Indique cuál(es)

Tabla de Razones de los usos del Profesor 1

Razones en base a la

Socioepistemología Razones por las que usa tales libros L 1 L 3 L 8

1. Vocabulario accesible x x 2. Los contenidos y ejemplos son precisos (de

acuerdo al programa) x Didáctico 3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para

los estudiantes x x

4. El enfoque del libro es el adecuado x x 5. La estructura y secuencialidad de los

contenidos es adecuada

6. Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.)

Epistemológico

7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura 8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o

ejercicios Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para los

estudiantes x

10. La institución sugiere que se use este libro 11. Mis compañeros profesores y yo decidimos

que es adecuado x

12. He utilizado este libro desde que era estudiante y lo conozco bien

Sociocultural

13. Me lo recomendaron alguna vez 14. Otra(s). Indique cuál(es)

Profesor 2 Libro 1: Stewart, James, y otros. Precálculo. International Thomson Editores. Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: Funciones Y Gráficas. Mc Graw Hill. Libro 5: Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural. Libro 6: Leithold. Precálculo. Libro 10: Trejo Peñan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo. Mc Graw Hill.


Formas en que usa los libros L 1 L 2 L 5 L 6 L 10 Fuente de información para preparar las clases x x Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. x

Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. x

Durante la impartición de la clase. x x Para elaborar los exámenes. Otra(s). Indique cuál(es)

Tabla 4: Razones de los usos del Profesor 2

Razones en base a la Socioepistemología

Razones por las que usa tales libros L 1 L 2 L 5 L 6 L 10

1. Vocabulario accesible x x x 2. Los contenidos y ejemplos

son precisos (de acuerdo al programa)

x x x Didáctico

3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes

x

4. El enfoque del libro es el adecuado x x x

5. La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada

x x x

6. Se da énfasis a un solo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.)

x x

Epistemológico

7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura x x

8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios x x

Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes

x x

10. La institución sugiere que se use este libro x

11. Mis compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado

x


x

Sociocultural

13. Me lo recomendaron alguna vez x x


Profesor 3 Libro 1: Stewart, James, Y Otros. Precálculo. International Thomson Editores. Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: Funciones Y Gráficas. Mc Graw Hill. Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: Funciones y Aplicaciones. Publicaciones Cultural. Libro 9: Zamarrón De Campos, Lucia. Matemáticas IV. GES. Libro 10: Trejo Peñan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo. Mc Graw Hill.


Formas en que usa los libros L 1 L 2 L 3 L 4 L 9 L 10 Fuente de información para preparar las clases X X X X X

Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase.

X X X X


X X X X

Durante la impartición de la clase. X X X X Para elaborar los exámenes. X X X X Otra(s). Indique cuál(es)


Razones en base a la Socioepistemología

Razones por las que usa tales libros L 1 L 2 L 3 L 4 L 9 L 10

1. Vocabulario accesible 2. Los contenidos y ejemplos

son precisos (de acuerdo al programa)

x x x x Didáctico

3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes

x x x

4. El enfoque del libro es el adecuado x x x x

5. La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada

x x x x


x x x

Epistemológico

7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura x x x x

8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios x x x x x

Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes

x x

10. La institución sugiere que se use este libro

x x x


x x x


x x

Sociocultural

13. Me lo recomendaron alguna vez x x x


Profesor 4 Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill.

Tabla 7: Usos del Profesor 4 Formas en que usa los libros L 2

Fuente de información para preparar las clases x

Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. x

Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. x

Durante la impartición de la clase. Para elaborar los exámenes.

Otra(s). Indique cuál(es):


Razones en base a la

Socioepistemología Razones por las que usa tales libros L 2

1. Vocabulario accesible 2. Los contenidos y ejemplos son precisos (de

acuerdo al programa) Didáctico 3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para

los estudiantes

4. El enfoque del libro es el adecuado 5. La estructura y secuencialidad de los

contenidos es adecuada x


Epistemológico

7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura 8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o

ejercicios Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para los

estudiantes x

10. La institución sugiere que se use este libro 11. Mis compañeros profesores y yo decidimos

que es adecuado


Sociocultural

13. Me lo recomendaron alguna vez


Profesor 5 Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill. Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Publicaciones cultural.

Tabla 9: Usos del Profesor 5 Formas en que usa los libros L 2 L 3 L 4

Fuente de información para preparar las clases x x Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. x x

Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. x x

Durante la impartición de la clase. x x Para elaborar los exámenes. x Otra(s). Indique cuál(es):


Razones en base a la Socioepistemología Razones por las que usa tales libros L 2 L 3 L 4

1. Vocabulario accesible x x 2. Los contenidos y ejemplos son precisos

(de acuerdo al programa) x x Didáctico 3. Los ejemplos y ejercicios son familiares

para los estudiantes x

4. El enfoque del libro es el adecuado x x 5. La estructura y secuencialidad de los

contenidos es adecuada x

6. Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.) x x

Epistemológico

7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura x x x

8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios x x x

Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para

los estudiantes x

10. La institución sugiere que se use este libro



Sociocultural

13. Me lo recomendaron alguna vez 14. Otra(s). Indique cuál(es)

Tabla de profesores por plantel y libros usados

Profesor Plantel Libro 1 Libro 2 Libro 3

Profesor 1 Sta. Rosa x x

Profesor 2 Chenkú x

Profesor 3 Chenkú x x

Profesor 4 Xoclán x x

Profesor 5 Sta. Rosa x x x

Profesor 6 Sta. Rosa Otros libros

Profesor 7 Xoclán x Otros libros

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA

Teoría de las Representaciones Semióticas

Según Duval, la Teoría de las Representaciones Semióticas11 se encuentra

enmarcada en los trabajos sobre la adquisición de los conocimientos matemáticos.

Estas son entendidas como un conjunto de signos que son el medio de expresión de

las representaciones mentales para hacerlas visibles a otros individuos, es así como

las representaciones mentales nunca pueden ser independientes de las

representaciones semióticas. La especificidad de las representaciones semióticas

consiste en que son relativas a un sistema particular de signos, y en que pueden

ser convertidos en representaciones “equivalentes” en otro sistema semiótico, pero

pudiendo tomar significaciones diferentes para el sujeto que la utiliza. La noción de

representaciones semióticas presupone la consideración de sistemas semióticos

diferentes y una operación cognitiva de conversión de las representaciones de un

sistema semiótico a otro. La elección de un determinado registro de representación

puede ser la clave para facilitar la comprensión de un determinado objeto

matemático. Duval afirma que no puede haber comprensión en Matemática, si no se

distingue un objeto de su representación, pues, un mismo objeto matemático puede

presentarse mediante representaciones muy diversas.

11 DUVAL, R. (1999a). Semiosis y Pensamiento Humano. Universidad del Valle. Instituto de Educación y Pedagógica. Grupo de Educación Matemática.

Resolución de Problemas

Según Agree (1982, Citado en Remasal, 1999) desde el ámbito de la filosofía de la

educación, cuatro son las condiciones que una situación debe cumplir para poder ser

llamada problema:

a) debe de haber un sujeto que reconozca la situación problemática

concientemente

b) debe de ser una situación que generé cierta incomodidad, debe ser, por tanto,

indeseable, o dicho en términos positivos, el sujeto debe sentir el deseo de

liberarse de la situación

c) debe de ser una situación con cierto nivel de dificultad, pero sin dejar por ello

de ser…

d) resoluble.

En conjunto con los trabajos de Agre sobre el tema, Polya12 hace una clasificación de

los tipos de problemas que se presentan en matemáticas: de resolver, de demostrar,

de rutina, prácticos y los puramente matemáticos, pero en todo su obra no hace

explicito el concepto de “problema”. Otro punto a resaltar sobre su obra es “(…) los

problemas de rutina pueden ser útiles en la enseñanza de las matemáticas pero

sería imperdonable proponer a los alumnos exclusivamente problemas de este tipo

(…) limitar la enseñanza de las matemáticas a la ejecución mecánica de operaciones

rutinarias es rebajarlas por debajo del nivel de un “libro de cocina” ya que las recetas

culinarias reservan una parte a la imaginación y al juicio del cocinero, mientras que

las recetas matemáticas no permiten tal cosa” (Polya (1945/1965), Pág. 163, Citado

en Remesal, (1999)):

12 Consultar los trabajos de Ana Remesal Ortiz (1999). Tesis Doctoral: Los problemas en la evaluación del aprendizaje de las matemáticas en la educación obligatoria. Perspectivas de profesores y alumnos

Así mismo el papel que debe desarrollar el profesor (instructor) queda definido a

partir del modelo de resolución de problemas. De acuerdo con Lester (1985, citado

en Pifarré y Sanuy (2001)) básicamente, el profesor ha de desempeñar tres

funciones en la enseñanza de estrategias de resolución de problemas, en un primer

momento:

a) ha de facilitar el aprendizaje de estrategias, bien con su instrucción directa o

bien con el diseño de los materiales didácticos adecuados;

b) ha de ser un modelo de pensamiento para sus alumnos; y

c) ha de ser un monitor externo del proceso de aprendizaje de los alumnos,

portando las ayudas necesarias que faciliten la ejecución por parte del alumno

de determinadas actuaciones cognitivas que sin esta ayuda externa no podría

realizar

Y en un segundo momento, irá retirando gradualmente a medida que el alumno sea

capaz de utilizarlas de manera autónoma

Polya (1945, citado por Santos Trigo (1997)), quien resalta la identificación de varias

etapas o categorías en el proceso de resolver problemas. Inicialmente habla de la

fase del entendimiento del problema. Es aquí donde es importante entender la

información del enunciado del problema y las posibles relaciones. Luego ubica la

etapa relacionada con la concepción de un plan y el proceso de llevarlo a cabo. Es

decir, después de haber entendido el problema el siguiente paso es presentar un

plan para resolver un problema, Finalmente, Polya identifica la fase de evaluación de

solución o soluciones y el llevar a cabo una visión retrospectiva del potencial del

problema. Es decir, aquí no solamente se incluye la actividad de revisar los cálculos

y operaciones, sino también evaluar el sentido de la solución y el análisis de las

posibles extensiones o conexiones del problema.

Otro autor que apoya el método de resolución de problemas es Schoenfeld, señalado

también por Santos Trigo: de acuerdo con Schoenfeld (1989, citado por Santos Trigo

(1997)), es importante que en el proceso de aprender matemáticas el estudiante se

desenvuelva en un medio similar al de los matemáticos cuando trabajan con las

ideas matemáticas; además señala que la presentación de unas matemáticas

acabadas, pulidas y formalizadas oculta las diversas estrategias y ajustes que

ocurren en su desarrollo.

Schoenfeld (1989), (citado por Santos Trigo (1997)), da una lista de técnicas

heurísticas de uso frecuente, que agrupa en tres fases:

ANÁLISIS.

1. Trazar un diagrama.

2. Examinar casos particulares.

3. Probar a simplificar el problema.

EXPLORACIÓN.

1. Considerar problemas esencialmente equivalentes.

2. Considerar problemas modificados ligeramente.

3. Examinar problemas ampliamente modificados.

VERIFICAR LA SOLUCIÓN

1. ¿Verifica la solución las siguientes pruebas?:

a) ¿Usa los datos pertinentes?

b) ¿Concuerda con las predicciones o estimaciones originales?

c) ¿Resiste pruebas de simetría, dimensión, o escalas?

d) ¿Puede obtenerse de otro modo diferente?

e) ¿Puede ser reforzada con otros casos especiales?

f) ¿Puede reducirse a resultados conocidos?

g) ¿Puede ser generada a partir de algo que tú sabes?

La idea general es que el estudiante, en su aprendizaje de las matemáticas

construya un marco de referencia que le ayude a entender y a resolver problemas

matemáticos. Los puntos anteriores pueden servir de guía en el proceso de

resolución; sin embargo, en ningún momento se espera que el estudiante mecanice

o las utilice rígidamente. Por el contrario, deben ajustarse y discutirse en función al

tipo de problemas que se estudien (Schoenfeld, 1985)

Uso de la Tecnología

En base a lo anterior se puede mencionar reportes de El National Council of

Teachers of Mathematics13 NCTM (2000) que identifica el uso de la tecnología como

un principio que le debe dar soporte a las propuestas curriculares: Las calculadoras y

computadoras son herramientas esenciales para la enseñanza, aprendizaje y

desarrollo de las matemáticas. Generan imágenes visuales de las ideas

matemáticas, facilitan la organización y el análisis de datos, y realizan cálculos de

manera eficiente y precisa (…). Cuando las herramientas tecnológicas están

disponibles, los estudiantes pueden enfocar su atención en procesos de toma de

decisiones, reflexión, razonamiento y resolución dee problemas (p.24).

13 National Council of Teachers of Mathematics – NCTM, (2003). The Use of Technology in the Learning and Teaching of Mathematics. Recuperado en enero 10, 2006 de http://nctm.org/about/position_statements/position_statement_13.htm

Siendo así que el uso de la Tecnología ofrece claras ventajas a los estudiantes para

identificar y explorar diversas relaciones matemáticas, ampliando así sus

capacidades cognitivas. Lo importante es que la tecnología funcione como una

herramienta útil para realizar exploraciones, reconocer conjeturas y eventualmente

proponer argumentos que las soporten.

El Constructivismo

Ordaz (2006) presenta un resumen de acuerdo a lo que varios autores mencionan

con respecto al constructivismo:

Es un modelo según el cual el aprendizaje se realiza mediante un proceso

activo de construcción en el que la habilidad para razonar y utilizar

conocimientos basado en el estudio y desarrollo de los procesos mentales de

los estudiantes.

Es una filosofía que indica que la realidad no es objetiva, sino que el sujeto

construye el conocimiento aprender.

En la aplicación de las teorías de desarrollo cognitivo a la educación, es el

intento de integración de una serie de enfoques que tienen en común resaltar

la actividad constructivista del alumnado en el proceso de aprendizaje.

universidad autonÓma de yucatÁn facultad … · 5.2 reflexiones finales y sugerencias 100...

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