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1
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
PREPARATORIA AGRÍCOLA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
ACADEMIA DE ÁLGEBRA
PROBLEMARIO DE ALGEBRA II, 2016
Revisores:
Profr. Marcos Jhonatan Castro Martínez
Profr. Efraín Garate Andrade
Profr. Jesús Alejandro García Villalpando
Profra. Alma Rosa Herrera Flores
Profr. Gerardo Juárez Hernández
Profr. José Rodolfo Oliveros Ángeles
Profr. Oscar Palmeros Rojas
Profr. Fernando Serrato Cruz
Profr. Juan Suárez Sánchez
Profr. Abel Valdés Ramírez
2
Contenido UNIDAD I FUNCIÓN LINEAL ..............................................................................................................................3
RESPUESTAS DE LA UNIDAD I ......................................................................................................................6
UNIDAD II SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. .............................................................................8
SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS ..............................................................................8
SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS .............................................................................9
PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: .................................. 10
RESPUESTAS DE LA UNIDAD II ................................................................................................................. 14
UNIDAD III. ECUACIONES CUADRÁTICAS (ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO) ........................... 16
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS ................ ¡Error! Marcador no definido.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN .................................. 16
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO ....................................................................................................................................................... 16
RESOLVER EMPLEANDO LA FÓRMULA GENERAL ............................................................................. 17
REDUCCIÓN DE ECUACIONES A LA FORMA CUADRÁTICA ............................................................... 17
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO .............................................................. 18
SOLUCIÓN DE ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES ......................................................... 17
RESPUESTAS DE LA UNIDAD III ................................................................................................................ 20
UNIDAD IV FUNCIONES Y DESIGUALDADES CUADRÁTICAS. ............................................................. 23
FUNCIÓN CUADRÁTICA .............................................................................................................................. 23
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS. ........................................................................................................... 24
RESPUESTAS DE LA UNIDAD IV ................................................................................................................ 24
UNIDAD V. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES .......................................................................... 27
RESPUESTAS DE LA UNIDAD V ................................................................................................................. 27
UNIDAD VI EXPRESIONES LOGARITMICAS. ............................................................................................. 28
ECUACIONES LOGARITMICAS ............................................................................................................................ 29
RESPUESTAS DE LA UNIDAD VI ................................................................................................................ 30
ECUACIONES LOGARITMICAS ............................................................................................................................ 31
3
PROBLEMARIO DE ALGEBRA II, 2016
NOTA: Los exámenes extraordinario, título de suficiencia I y II se basaran en la
estructura del presente problemario.
UNIDAD I FUNCIÓN LINEAL
Construir la tabla y la gráfica de las siguientes funciones lineales, usando ocho valores de
1.
2.
3.
4.
4
5.
6.
7.
8.
9.
5
Cambiar las siguientes ecuaciones de dos variables a funciones lineales, obtener la tabla y la gráfica.
10. 11. 12.
6
RESPUESTAS DE LA UNIDAD I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7
7.
8.
9.
10.
11.
12.
8
UNIDAD II SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.
SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos gráfico y de suma y resta.
1. {
2. {
3. {
4. {
5. {
6. {
Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos de determinantes, sustitución e igualación.
7. {
8. ,
9. {
10. ,
11. {
12. {
13. {
14. {
Resuelva los sistemas convirtiéndolos primero a su forma común y luego resuelva empleando cualquier método.
15. {
16. {
17. {
18. {
19. {
(
)
20. {
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con coeficientes literales por dos métodos diferentes.
21. {
22. {
23. {
24. {
25. {
26. {
9
Resuélvase para
y para
, y después para y para , los siguientes sistemas.
27. {
28. {
29. {
30. {
SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS
Resuelva las ecuaciones siguientes para , Cada una Por los métodos de reducción (suma y resta) y determinantes.
31. {
32. {
33. {
34. {
35. {
36. {
10
PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
Resuelva los siguientes problemas incluyendo el sistema de ecuaciones para resolverlos.
Problemas sobre números:
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas
Las cifras o dígitos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ejemplos: 8 tiene una cifra (un dígito); 35 tiene dos cifras (dos dígitos); 527 tiene tres cifras (tres dígitos)
Estructura de un número, ejemplos:
Definiciones:
Números consecutivos: 3, 4, 5, 6 también 20, 21, 22
Números pares: ,fórmula: , para todo , número natural
Números impares: , fórmula:
37. La suma de dos números es el doble que su diferencia. El número más grande es el doble del menor más 6.
38. Un número es 5 unidades mayor que el triple de un segundo número. Encuentra esos números, si la suma de ellos es de 77 unidades.
39. Un número es 15 unidades mayor que otro. ¿Cuáles son esos números, si su suma es 193?
40. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 7. Cuando los dígitos se intercambian, el número se incrementa en 27. Hallar el número.
41. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 11, el dígito de las decenas es menor en 5 que el de las unidades.
42. Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se aumentan en 5, la fracción resultante es 2/3. Sin embargo, si tanto el numerador como el denominador se disminuyen en 5, la fracción resultante equivale a 3/7. ¿Cuál es la fracción?
Problemas acerca de precios:
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas
Ejemplos de precios unitarios (o tasas):
Pago de entrada de un niño, tasa de $1.50 por niño, se representa
Pago por una caja de fresa: tasa de $7 por caja, se representa
Cálculos con precios unitarios:
Si hay 5 niños el pago por todos es de
Por 4 cajas de fresa hay que pagar
11
43. La cuota de entrada a un parque de diversiones es de $1.50 por niño y $4 por adulto. Cierto día, 2200 personas entraron al parque, y se recibieron $5,050 de entradas. ¿Cuántos niños y cuántos adultos entraron?
44. En el puesto de un mercado se venden dos variedades de fresas: la estándar y la de lujo. Una caja estándar de fresas se vende en $7, y una caja de fresas de lujo se vende en $10. Un día el puesto vende 135 cajas de fresas por un total de $1,110. ¿Cuántas cajas de cada tipo se vendieron?
45. Un grupo de 6 adultos y 12 niños pagaron en total $900 por sus boletos de viaje. Otro grupo de 4 adultos y 16 niños pagaron en total también $900. ¿Cuál es el costo de un boleto para niño, y de un boleto para adulto?
46. Dos hermanos compraron, a partes iguales, un receptor de televisión con costo de $2200.00. El hermano mayor invirtió en esa operación la mitad de sus ahorros y el hermano menor las dos terceras partes de los suyos. Después de haber efectuado la compra todavía reunían entre los dos $1600.00 de ahorros. Determínese la cantidad ahorrada por cada uno, previa a la compra.
47. Dos estudiantes tuvieron un ingreso de $690 por concepto de venta de dulces a razón de $1.50 el paquete y de nueces a razón de $1.00 la bolsa. Originalmente habían gastado $407.50, pagando el paquete de dulces a $1.00 cada uno y la bolsa de nueces a $0.50 cada una. ¿Cuántos paquetes de dulces y cuántas bolsas de nueces vendieron?
48. Un grupo de damas decide aportar cantidades iguales para contratar los servicios de un conferencista. Si hubiera 10 damas más, cada una pagaría $2 menos. Sin embargo, si el número de damas fuera 5 menos, cada una pagaría $2 más. ¿Cuántas damas forman el grupo y cuánto se paga al conferencista?
Problemas acerca de porcentajes y mezclas:
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas.
Significado de multiplicar por una fracción o decimal.
quiere decir, la mitad de ocho,
(compruébalo en tu calculadora)
quiere decir, la quinta parte de veinte,
quiere decir, las tres cuartas partes de veinte,
quiere decir, la décima parte de 450,
también quiere decir, la décima parte de 450,
(compruébalo en tu
calculadora)
, quiere decir, quince centésimos de 300, o quince porciento de 300,
, también quiere decir, quince centésimos de 300, también quiere decir quince porciento de 300.
Otra manera de representar es . (
).
En general, se tiene la relación , en la cual, si se conocen dos cantidades se conoce la tercera.
Si se conocen b, c entonces
.
Si se conocen , c entonces
.
12
49. Como producto de dos inversiones una persona recibe anualmente $302.55.Una de las inversiones produce
4 por ciento y la otra 3 por ciento. Si las inversiones se intercambiaran una por otra ganaría $280.90. ¿A cuánto asciende cada inversión?
50. Un tabernero eleva la cantidad de alcohol de un licor, que contiene 10% de alcohol, añadiendo una solución de 70% de alcohol, el resultado en un licor que tiene una concentración de 16%, llena 1000 botellas de a litro. ¿Cuántos litros de licor (10%) y cuántos de solución de alcohol (70%) usó?
51. Un químico tiene dos contenedores grandes para soluciones de ácido sulfúrico, cada contenedor tiene una concentración diferente de ácido. Se mezclan 300 ml de la primera solución y 600 ml de la segunda y se obtiene una mezcla que es de 15% de ácido, pero si se mezclan 100 ml de la primera con 500 ml de la
segunda da una concentración de
de ácido sulfúrico. ¿Cuáles son las concentraciones de los
contenedores originales?
52. Se mezclaron dos tipos de solución; una al 15% de ácido y la otra al 8% de ácido, para producir 40 litros de solución al 10.8% de ácido. ¿Cuántos litros de cada tipo de solución se usaron?
53. Un comerciante mezcla tabaco de cierta calidad y precio de $28 por kilogramo con otro de precio $36 por kilogramo y obtiene 100 kilogramos de una mezcla que vende a $31.20 por kilogramo. ¿Cuánto usó de cada clase de tabaco?
54. Un tanque contiene una mezcla de insecticida líquido y agua en la que hay 5 galones de insecticida y 25 galones de agua. Un segundo tanque también contiene 5 galones de insecticida pero con sólo 15 galones de agua. Se desea contar con 7.5 galones de una mezcla al 20% de insecticida. ¿Cuántos galones deberá tomar de cada tanque?
Problemas de movimiento:
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas
Si es la distancia, es la velocidad (o tasa) y es el tiempo, con sus unidades consistentes, es decir, si la
velocidad son
la distancia debe estar en y el tiempo en .
La relación entre estos tres conceptos es: o
o
, siempre que sea posible hay que trabajar
con la primera (sin denominador).
Si la velocidad de un avión sin viento es y tiene un viento en contra , la velocidad del avión será ,
si tiene el viento a favor
55. Dos aeropuertos, A y B, están a 1,800 km uno de otro y B está situado al este de A. Un avión voló en 4 horas
de A a B y luego regresó a A en
horas. Si durante todo el viaje estuvo soplando viento del oeste a
velocidad constante, encontrar la velocidad del avión en el aire en reposo y la velocidad del viento.
56. Un piloto voló una avioneta entre dos poblaciones, separadas por 180 millas, como el viento estuvo en contra, tardó 2 horas. De regreso, el viento estuvo soplando a la misma velocidad, así que el viaje le tomó sólo 1.2 horas, ¿cuál sería la velocidad de la avioneta sin viento, y cuál fue la velocidad del viento?
13
57. Un piloto vuela 1760 kilómetros hacia el norte y luego regresa a su punto de partida. Durante todo el viaje sopló viento del norte con velocidad constante. Determínese la velocidad del avión, relativa al aire y la velocidad del viento, sabiendo que en el viaje de ida empleó cuatro horas veinticuatro minutos y en .el viaje de regreso tan sólo cuatro horas.
58. Un ingeniero dedicado a la perforación de pozos petroleros sale de su campamento viajando en su propio automóvil hasta la estación más cercana de autobuses; ahí toma un autobús y se dirige a la ciudad más próxima a pasar el fin de semana. Mientras viajaba en su automóvil conservó una velocidad promedio de 65 kilómetros por hora y cuando viajaba en autobús una velocidad promedio de 80 kilómetros por hora. Para el recorrido total empleó cinco horas. La gasolina del automóvil le costó a razón de 23.4 centavos por kilómetro y el pasaje en autobús a razón de 31.3 centavos por kilómetro. Determínese la distancia recorrida en cada vehículo sabiendo que el viaje le costó $115.00.
59. Una persona viajó por tren, con velocidad promedio de 80 kilómetros por hora, desde su pueblo natal hasta la Estación Unión de los Ángeles. Ahí tomó un taxi, velocidad promedio 32 kilómetros por hora, que la llevó hasta el centro de los Ángeles, y luego un autobús que con velocidad promedio de 22.4 kilómetros por hora la llevó hasta Hollywood. El recorrido totalizó 575 kilómetros y le tomó 7.6 horas. El tiempo empleado en el recorrido en autobús fue 5 veces al empleado en el recorrido en taxi. ¿Cuánto tiempo empleó viajando en cada uno de los tramos así descritos?
Problemas de trabajo
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas
En estos problemas hay que pensar la fracción de trabajo que se hace en una hora, por ejemplo si una pared
se pinta en horas, se pinta a una tasa de
de pared cada hora, en horas se pinta
de pared. Si
una alberca se llena con una bomba en horas, se llena a una tasa de
de alberca por hora, en horas se
tiene
de alberca llena. Establecidas las fracciones, la suma debe ser uno, para el trabajo completo o
para la alberca llena.
60. Un agricultor, con un tractor grande, y su ayudante, con un tractor pequeño, pueden arar juntos un terreno
en
horas, también pueden arar el terreno si el agricultor trabaja horas solo y luego lo releva su
ayudante y trabaja solo durante 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en arar el terreno trabajando solos sin ayuda?
61. Dos hermanos cortan el césped de un jardín en 2 2/9 horas. En una ocasión el hermano mayor trabaja solo durante 3 horas y luego el otro hermano termina el trabajo en 1 ¼ horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada muchacho hacer todo el trabajo él solo?
62. Un chofer y su ayudante pueden descargar un tráiler juntos en 2 horas, también pueden descargar el camión
si el chofer trabaja solo durante
horas y luego su ayudante lo releva y trabaja solo durante 3 horas,. ¿Qué
tiempo emplearían en descargar el tráiler cada uno solo?
63. Alicia y Beatriz trabajaron juntas cinco horas, logrando realizar en este tiempo la mitad del trabajo que pensaban presentar en una exposición. La tarde siguiente Alicia trabajó sola durante dos horas, luego se le unió Beatriz y juntas terminaron en cuatro horas más. ¿Cuánto tiempo le hubiera tomado a cada una hacer sola ese trabajo?
14
64. Si una bomba A trabaja durante 8 minutos y otra bomba B durante 15 minutos, pueden llenar una alberca. Además, si la bomba A trabaja 12 minutos y la bomba B 10 minutos, también pueden llenar la alberca. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada bomba llenar la alberca?
65. Un pintor y su hijo pueden pintar una habitación conjuntamente en 8 horas. Si el padre trabaja solo durante 3 horas y después se le une su hijo, el trabajo se termina en 6 horas más. ¿Cuánto le tomaría a cada uno realizar el trabajo solo?
RESPUESTAS DE LA UNIDAD II
Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos gráfico y de suma y resta.
1.
2.
3. Sol. Dependientes (o
ecuaciones equivalentes)
4.
5. Sol. Inconsistentes (o
incompatibles, paralelas)
6. (
)
Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos de determinantes, sustitución e igualación.
7.
8.
9.
10.
11. Sol. Inconsistentes (o
incompatibles, paralelas)
12. (
)
13. Sol. Dependientes (o
ecuaciones equivalentes)
14. (
)
Resuelva los sistemas convirtiéndolos primero a su forma común y luego resuelva empleando cualquier método.
15.
16.
17.
18. .
19.
20.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con coeficientes literales por dos métodos diferentes.
21. (
)
22.
23. (
)
24. (
)
25.
26. (
)
Resuélvase para
y para
, y después para y para , los siguientes sistemas.
27. (
), (
)
28. (
),
29. (
), (
)
30. (
) (
)
15
Resuelva las ecuaciones siguientes para , Cada una Por los métodos de reducción (suma y resta) y
determinantes.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Resuelva los siguientes problemas incluyendo el sistema de ecuaciones para resolverlos.
37. 18 y 6
38. 59 y 18
39. 104 y 89
40. 25
41. 38
42. Numerador 11,
denominador 19
43. 1500 niños y
700 adultos
44. 80 cajas estándar y
55 de lujo
45. $ 75 adultos,
$ 37.50 niños.
46. $2,00 H. mayor,
$1,800 H. menor
47. Dulces 250,
nueces 315
48. Damas=20, pago al
conferencista:
$120.00
49. $ 5250.00 al 4%;
$3085.00 al 3%.
50. 900 litros de vino,
100 litros solución
con alcohol
51. 25% y 10%
52. 16 litros de la
solución al 15% de
ácido, 24 litros de la
solución al 8% de
ácido.
53. 60 y 40 Kg
54. 4.5 galones del
primer tanque y 3
galones del
segundo tanque.
55. Avión: 425 Km/h,
Viento: 25 Km/h
56. Avioneta: 120 mi/h,
Viento 30 mi/h.
57. Avión: 420 Km/h,
Viento: 20 Km/h
58. 65 Km en
automóvil, 320 Km
en autobús.
59. tren 7 hr.,
taxi 0.1 hr.,
autobús 0.5 hr.
60. Agricultor:8hr. y
Ayudante:16 hr
61. Hermano mayor 4
horas, hermano
menor 5 horas.
62. Chofer 3 horas,
ayudante 6 horas.
63. 20 horas cada una
64. Bomba A, 20
minutos; bomba B
minutos.
65. Padre 12 horas,
hijo 24 horas
16
UNIDAD III. ECUACIONES CUADRÁTICAS (ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO)
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas
Significado de √ , multiplicado por sí mismo da , √ √
Separar multiplicación: √ √ √ √ ( y deben ser positivos).
Descomponer en factores primos y reducir: √ √ √ √ √
Número imaginario : , √ .
La raíz de un número negativo se escribe √ √ .
Producto negativo √ √ √ √ √
Fórmula General de Segundo Grado
Ecuación: . Soluciones: √
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS
Resuelva las ecuaciones. (Ecuaciones cuadráticas incompletas)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN
Resuelva las ecuaciones cuadráticas, que se presentan a continuación, por el método de factorización.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETANDO EL TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando el trinomio cuadrado perfecto.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
17
RESOLVER EMPLEANDO LA FÓRMULA GENERAL
Encuentre las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando la fórmula general
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
Convierte las siguientes ecuaciones a su forma estándar y resuélvelas por cualquier método
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado con coeficientes literales.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Usar la fórmula general de la ecuación de segundo grado para despejar la variable especificada
55. Resolver para en términos de
56. Resolver para en términos de
57. Resolver para en términos de
58. Resolver para en términos de
59. Resolver par a en términos de
60. Resolver Para en términos de
REDUCCIÓN DE ECUACIONES A LA FORMA CUADRÁTICA
Redúzcanse a la forma cuadrática las siguientes ecuaciones y resuélvanse para .
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES
18
68. √ √
69. √ √
70. √
71. √ √
72. √ √
73. √ √
74. √
75. √
Resolver para la variable que se indica.
76.
para
77.
para
78. para
79.
√ para
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Resuelva los siguientes problemas incluyendo la ecuación de segundo grado para resolverlos.
Problemas sobre números
80. El dígito de las decenas de cierto número es dos unidades mayor que el dígito de las unidades y además la
suma de cuadrados de ambos dígitos es 52. Encuéntrese el número.
81. Encuéntrese un número negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del mismo número sea
igual a 6.
82. Encuéntrense dos números cuya diferencia sea 9 y cuyo producto sea 190.
83. Sepárese el número 27 en dos partes cuyo producto sea 162.
84. Si el radio de un círculo se incrementa en 4 unidades, entonces el área resulta multiplicada por 9.
Encuéntrese el radio original.
85. La suma de un número con su recíproco es
. Encuéntrese el número.
Problemas con geometría
86. El área de un triángulo es 42 metros cuadrados. Encuéntrense la base y la altura si la última excede a la
primera en 5 metros.
87. Encuéntrense las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 64 metros y cuya área es 252 metros
cuadrados.
88. Una persona construye una banqueta recta de concreto con un perímetro de 15 metros de longitud y con un
volumen total de un metro cúbico, formando una losa de 10 centímetros de espesor. ¿Cuáles son las
dimensiones de la banqueta?
89. Un granjero inspecciona la cerca de su granja rectangular dando una vuelta alrededor de ella en su jeep,
calculando, por medio del velocímetro, qué el perímetro es de 3.5 millas. Si el área de la granja es de 480
acres, calcúlense las dimensiones del rectángulo. Nota. 1 milla cuadrada es igual a 640 acres.
19
90. Una oficina cuadrada contiene 25 escritorios y además un pasillo, de 3 metros de ancho, a lo largo de uno de
sus lados. Si el espacio destinado a cada ocupante es de 5.2 metros cuadrados, calcúlese el tamaño de la
oficina.
91. Se instala un tendedero de 2.5 metros de longitud a lo largo de la diagonal de un patio de servicio
rectangular. Sabiendo que se requieren 3.5 metros de barda para cubrir dos de los lados adyacentes del
patio calcúlense las dimensiones del patio.
Problemas de velocidad
92. Un hacendado recorre 100 millas en automóvil hasta una ciudad para recoger un automóvil nuevo, y luego
regresa en él a su casa. Si la velocidad en el primer automóvil fue 10 millas/hr mayor que en el segundo, y si
el recorrido a la ciudad le tomó veinte minutos menos que el regreso a su casa, ¿cuál fue la velocidad media
de cada automóvil?
93. Un ex alumno recorre 420 millas en su automóvil para asistir a una reunión en su universidad y luego
regresa a su casa la noche de la clausura. El tiempo total empleado en el recorrido fue de dieciséis horas
veinte minutos y su velocidad durante el recorrido nocturno fue 15 millas/hr menor que la velocidad del
recorrido diurno. Calcúlense las velocidades empleadas en ambas direcciones.
94. Un aeroplano vuela 1,260 millas contra el viento y luego regresa en un total de dieciséis horas. Encuéntrese
la velocidad del aeroplano en aire tranquilo si la velocidad del viento es de 20 millas/hr.
95. Un estudiante universitario se encontraba a 11 millas del edificio donde le correspondía su siguiente clase
una hora más tarde. Primeramente caminó una milla y luego tomó un autobús cuya velocidad media fue 12
millas/hr. mayor que su velocidad a pie. Encuéntrense la velocidad con que caminó y la velocidad del
autobús sabiendo que llegó a su clase a tiempo.
Problemas de trabajo
96. Dos hermanos lavaron las paredes de su cuarto en tres horas. Calcúlese el tiempo que requeriría cada uno
de ellos para lavar solo las, paredes de un cuarto similar si el más joven necesita dos horas y media más que
su hermano para hacer el trabajo.
97. María puede hacer las cortinas para su cuarto del dormitorio en
horas menos que Elena, mientras que
trabajando las dos juntas pueden hacerlas en ocho horas. ¿Cuánto tiempo requeriría cada joven para hacer
las cortinas sola?
98. La capacidad de una alberca es de 300 metros cúbicos y puede drenarse con la rapidez de 1/2 metro cúbico
por minuto mayor que la rapidez con que puede llenarse. Calcúlese la rapidez de drenado si se necesitan
veinte minutos más para llenarla que para drenarla.
Problemas de dinero
99. Una persona calcula que el costo diario del transporte en su automóvil para ir al trabajo es de $12.00, el cual
ha dividido en partes iguales entre sus pasajeros y él mismo. Algún tiempo después se unen al grupo dos
pasajeros más, lo cual permite reducir $1.00 el costo del transporte por persona. Calcúlese el número de
personas que forman el nuevo grupo.
20
100. El costo de la fiesta anual de un club se divide entre los miembros que asisten. En dos años consecutivos
el costo total fue de $500.00 y $570.00, respectivamente, pero el costo por miembro fue $0.50 menor el
segundo año. Calcúlese el número de miembros que asistieron a cada fiesta si la asistencia en el segundo
año fue de 10 miembros más que en el primero.
101. Un grupo de empleadas que comparte una casa compró un refrigerador en $2500.00, dividiéndose el
costo en partes iguales. Algunos meses más tarde una de ellas contrajo matrimonio y vendió a las otras su
participación por un total de 400.00. Cuando este costo adicional fue repartido entre las empleadas
restantes resultó que la contribución extra de cada una fue $400.00 menor que la aportada originalmente.
Calcúlese el número original de empleadas en el grupo.
RESPUESTAS DE LA UNIDAD III
Resuelva las ecuaciones. (Ecuaciones cuadráticas incompletas)
1.
2.
3. √ √
4.
5.
6. √
√
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Resuelva las ecuaciones cuadráticas, que se presentan a continuación, por el método de factorización.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando el trinomio cuadrado perfecto.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31. √
√
32. √
√
33. √
√
34. √
√
Encuentre las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando la fórmula general
35.
36.
37. √
√
38. √
√
39. √
√
40. √
√
41. √
√
42. √
√
Convierte las siguientes ecuaciones a su forma estándar y resuélvelas por cualquier método.
21
43.
44.
45.
46.
47.
48. √
√
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado con coeficientes literales.
49.
50.
51.
52.
53. .
54.
Usar la fórmula de la ecuación de segundo grado para despejar la variable especificada.
55. –
56.
57.
58.
59.
60.
Redúzcanse a la forma cuadrática las siguientes ecuaciones y resuélvanse para .
61.
62.
63. √ √
64.
65.
66.
67.
Solución de ecuaciones que comprenden radicales
68.
69.
70.
71. No hay solución
72.
73.
74.
75.
Resolver para la variable que se indica.
76. √
77. √
78.
√
79.
√
Problemas sobre números
80. 81. 82.
22
83. 9, 18 84. 2 85.
Problemas con geometría
86. 7 metros, 12 metros
87. 14 metros, 8 metros.
88. 1.73 metros de
ancho, 5.76 metros
de largo.
89.
de milla, milla.
90. 169 metros
cuadrados.
91. Largo , ancho
Problemas de velocidad
92. millas por hora, primer automóvil;
millas por hora, segundo
automóvil.
93. millas por hora, millas por hora.
94. millas por hora.
95. millas por hora
Problemas de trabajo
96. horas,
horas.
97. María, horas;
Elena
horas.
98. por minuto.
Problemas de dinero
99. a personas. 100. ,
23
UNIDAD IV FUNCIONES Y DESIGUALDADES CUADRÁTICAS.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Tabular las siguientes funciones cuadráticas en el intervalo dado en la tabla, dibujar en los ejes coordenados los puntos con las coordenadas correspondientes, observar en la fórmula si las parábolas abren para arriba o para abajo y conectar con una línea curva los puntos para dibujar la gráfica (parábola).
1.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2.
-3
-2
-1
0
1
2
3
3.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
4.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Para las siguientes funciones cuadráticas, llene la tabla utilizando valores dentro del intervalo , determine analíticamente donde cruza la función el eje de las , grafique los puntos encontrados y compruebe las intersecciones que encontró analíticamente.
24
5.
6.
7.
8.
9.
10.
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS.
Resuelva cada una de las siguientes desigualdades cuadráticas y exprese la solución en notación de intervalos y grafique la solución en la recta de los números reales:
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Determinar el intervalo para de tal manera que, el radical represente números reales:
20. 29 x
21. 2 9x
22. 218 5 2x x
23. 22 5 3x x
24. √
25. √
26. √
27. √
28. √
RESPUESTAS DE LA UNIDAD IV
Tabule y dibuje las siguientes funciones cuadráticas en el intervalo dado en cada ejercicio
1.
-4 16
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
2.
-3 -7
-2 -2
-1 1
0 2
1 1
2 -2
3 -7
25
3.
-2 4
-1.5 1.75
-1 0
-0.5 -1.25
0 -2
0.5 -2.25
1 -2
1.5 -1.25
2 0
2.5 1.75
3 4
4.
-1.5 -3.5
-1 0
-0.5 2.5
0 4
0.5 4.5
1 4
1.5 2.5
2 0
2.5 -3.5
Para las siguientes funciones cuadráticas, llene la tabla utilizando valores dentro del intervalo , determine analíticamente donde cruza la función el eje de las , grafique los puntos encontrados y compruebe las intersecciones que encontró analíticamente.
5.
6.
7.
26
8.
9.
10.
Resuelva cada una de las siguientes desigualdades cuadráticas y exprese la solución en notación de intervalos y grafique la solución en la recta de los números reales:
11.
12.
13.
14.
15. (
)
16.
17. *
+
18. *
+
19. (
+
Determinar el intervalo para de tal manera que, el radical represente números reales:
20.
21.
22. *
+
23. *
24.
25.
26.
27. (
+
28. *
+
27
UNIDAD V. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Basado en el material elaborado por el Profesor ELIGIO MARTÍNEZ ROMERO
Resolver cada uno de los siguientes Sistemas de Ecuaciones No Lineales Simultáneas.
Posteriormente, trazar la gráfica de cada sistema de ecuaciones en un plano de coordenadas cartesianas y
mostrar los puntos de intersección entre las dos curvas: utilizar el programa Derive 6 o Geogebra 3.
1. {
2. {
3. {
4. {
5. {
6. {
7. {
RESPUESTAS DE LA UNIDAD V
Resolver cada uno de los siguientes Sistemas de Ecuaciones No Lineales Simultáneas.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
28
UNIDAD VI EXPRESIONES LOGARÍTMICAS.
Mediante el uso de la ecuación , exprésense en forma exponencial las proposiciones de
los problemas 1 a 8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Mediante el uso de la ecuación , exprésense en forma logarítmica las proposiciones de
los problemas 9 a 17.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. (
)
16. (
)
17. (
)
Encuéntrense los valores de los logaritmos de los problemas 18 a 27.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Encuéntrense los valores de las literales indicadas en los siguientes problemas
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Mediante el uso de los teoremas de logaritmos exprésense las funciones de los problemas siguientes como
logaritmos de productos, cocientes o potencias.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
29
44. 45.
Mediante el uso de los teoremas de logaritmos exprésense las funciones de los siguientes problemas como
suma o deferencia de logaritmos de primeras potencias de cantidades.
46.
47.
48. √
49. √
50.
√
51.
52. √
53.
√
ECUACIONES LOGARITMICAS
Resuélvanse las ecuaciones de los problemas 54 a 69
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
Resuélvanse para o para las ecuaciones de los siguientes problemas
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78. √
79. √
80. √
30
81. * √ +
RESPUESTAS DE LA UNIDAD VI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. (
)
8. (
)
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Encuéntrense los valores de los logaritmos de los problemas 37 a 56.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Encuéntrense los valores de las literales indicadas en los siguientes problemas
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Mediante el uso de los teoremas de logaritmos exprésense las funciones de los problemas siguientes como
logaritmos de productos, cocientes o potencias.
38.
39.
40.
41.
42. √
√
43.
√
44.
45. √
√
Mediante el uso de los teoremas de logaritmos exprésense las funciones de los siguientes problemas como
suma o deferencia de logaritmos de primeras potencias de cantidades.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
31
53.
ECUACIONES LOGARITMICAS
Resuélvanse las ecuaciones de los problemas 54 a 69.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
Resuélvanse para o para las ecuaciones de los siguientes problemas
70.
71.
72.
73.
√
74.
75. (
)
76.
77.
78.
79. √
√
80.
81.