universidad autÓnoma metropolitana no....

ACTA DE EXAMEN DE GRADOCasa abierta al tiempoUNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

PROPIEDADES Y APLICACIONESDE LOS CUADRADOS LATINOS

.r :': CELlA IVONNE CORTES PEREZ

ALUMNA

No. 00071

Matrícula: 208381711

En México, D.F., se presentaron a las 13:00 horas del día28 del mes de marzo del año 2012 en la Unidad Iztapalapade la Universidad Autónoma Metropolitana, los suscritosmiembros del jurado:

DR. BERNARDO LLANO PEREZDRA. MUCUY-KAK DEL CARMEN GUEVARA AGUIRREDR. JOAQUIN TEY CARRERA

Bajo la Presidencia del primero y con carácter deSecretario el último, se reunieron para proceder al Examende Grado cuya denominación aparece al margen, para laobtención del grado de: •

MAESTRA EN CIENCIAS (MATEMÁTICAS APLICADAS E INDUSTRIALES)

DE: CELIA IVONNE CORTES PEREZ

y de acuerdo con elReglamento de EstudiosAutónoma Metropolitana,resolvieron:

artículo 78 fracción 111 delSuperiores de la Universidadlos miembros del jurado

Acto continuo, el presidente del juradointeresada el resultado de la evaluaciónaprobatorio, le fue tomada la protesta.

comunicó a lay, en caso

DIRECTOR DE LA DIVISiÓN DE CSI

~

DR~OPEREZ

VOCAL

~

SECRETARIO

~DR. JOAQUIN TEY CARRERADRA. MUCUY-KAK DEL CARMEN GUEVARA

AGUIRRE

\.....•...._---~/

DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA

Propiedades y Aplicaciones de losCuadrados Latinos

T E S I SQUE, PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE:

Maestro en Ciencias

Matematicas Aplicadas e Industriales

P R E S E N T A:

Mat. Celia Ivonne Cortes Perez

Director de Tesis: Dr. Joaquın Tey Carrera

Iztapalapa, D.F., a 28 de Marzo de 2012

Indice general

Agradecimientos III

Introduccion V

1. Cuadrados Latinos 1

1.1. Numero de Cuadrados Latinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Cotas Inferiores para L(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Cotas Superiores para L(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales (MOLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. MOLS y Planos Proyectivos de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Cuadrados Latinos Auto-Ortogonales (SOLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1. SOLS y Torneos Dobles Mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Arreglos Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6. Colapso de la conjetura de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.1. No existen dos MOLS de orden 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. Aplicaciones de los Cuadrados Latinos 39

2.1. Cuadrados Magicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2. Sudoku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1. Construccion de un conjunto maximo de MOSLS de orden k para k potenciade un primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

i

INDICE GENERAL ii

2.2.2. Construccion de un conjunto de MOSLS de orden k . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.3. Polinomio cromatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.4. Coloracion explıcita para Xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.5. Cotas para el numero de SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3. Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.1. Factorizacion de Kn,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.2. Factorizacion de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3.3. Numero de Ramsey para arboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4. Sistema de Ternas de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4.1. Metodo de Bose (v ≡ 3mod 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.4.2. Metodo de Skolem (v ≡ 1mod 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5. Correccion de Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.6. Criptologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.6.1. Esquema de Secreto Compartido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.2. Cuadrados Latinos y Cuasigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.7. Diseno de Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3. Conclusiones 93

Bibliografıa 93

Agradecimientos

A Dios, por darme la vida y una gran familia.

A mis padres, por todo su amor, su apoyo incondicional y sus palabras de aliento para seguiradelante.

A mis hermanos, por creer en mı y estar siempre conmigo en los momentos mas importantesde mi vida.

A mis amigos, que hicieron mi estancia en la universidad amena y llena de alegrıas, en especiala mis amigas de las cuales eh aprendido mucho y espero sigan presentes en mi vida.

Al Dr. Joaquın Tey, por sus ensenanzas, su infinita paciencia y dedicacion en la realizacion deeste proyecto que iniciamos juntos.

Al Dr. Bernardo Llano y a la Dra. Mucuy-kak, por su tiempo dedicado a la revision de estetrabajo, sus importantes sugerencias y oportunos comentarios.

Agradezco a CONACYT, porque con el apoyo de la beca pude seguir con mis estudios de maestrıa.

iii

Capıtulo 0. Agradecimientos iv

Introduccion

Los cuadrados latinos han sido estudiados durante siglos. Sin embargo, fue en 1779 cuandoLeonhard Euler los definio formalmente en su manuscrito Recherches sur une nouvelle espece dequarre magique (Investigaciones de una Nueva Especie de Cuadrados Magicos) (ver [15]). Eulerutilizo letras del latın como elementos de tales cuadrados, llamandolos cuadrados latinos. El estabainteresado en la solucion del “Problema de los 36 oficiales” que sera examinado con detalle en laSeccion 1.6.1.

Este trabajo se divide en dos capıtulos. En el capıtulo 1 presentamos conceptos y propiedadesbasicas de los cuadrados latinos, destacando el concepto de ortogonalidad y el capıtulo 2 esta de-dicado especialmente a la aplicacion de los cuadrados latinos en diversas areas de las matematicas.

Hasta el momento no se conoce el numero exacto de cuadrados latinos de orden n > 10. Sinembargo, se han dado distintas cotas a este numero. En la Seccion 1.1 desarrollamos a detallealgunas de estas cotas, por mencionar alguna, la cota superior dada por Ronald Alter en 1975.

El problema de determinar el numero maximo de cuadrados latinos de orden n mutuamenteortogonales (MOLS) es extraordinariamente difıcil de resolver. Para ver esto, en la Seccion 1.3se muestra la equivalencia que existe entre la existencia de n − 1 MOLS de orden n y un planoproyectivo de orden n. Solo se conocen planos proyectivos de orden la potencia de un primo, apesar de los grandes esfuerzos realizados durante muchos anos por una larga lista de matematicos.No es difıcil aceptar que este problema fuera denominado por Mullen en 1995 el “Nuevo problemade Fermat”.

En las Secciones 1.4, 1.5 y 1.6 se desarrollan las herramientas que utilizaron Bose, Parker yShrikhande en 1960 para contradecir la conjetura hecha por Euler en 1782 que afirmaba que noexisten dos MOLS de orden n para n ≡ 2(mod 4). Estas herramientas son: los cuadrados latinosauto-ortogonales (SOLS) donde ademas, mostramos su uso en la construccion de los Torneos DoblesMixtos; los arreglos ortogonales, que son una alternativa de representar a un conjunto de MOLSy los disenos balanceados. Por ultimo, en la Seccion 1.6.1 se muestra la prueba dada por Stinsonen 1984 que nos muestra de manera particular la no existencia de dos MOLS de orden 6.

Los juegos matematicos en anos recientes han ganado gran popularidad como pasatiempo, entreellos tenemos a los cuadrados magicos que durante la Edad Media se grababan en laminas de platacomo amuletos contra la peste negra. Los astrologos los aconsejaban como amuletos protectores,

v

Capıtulo 0. Introduccion vi

precisamente, contra la melancolıa. En la Seccion 2.1 desarrollamos el metodo para construir estoscuadrados mediante el uso de los cuadrados latinos dado por Euler. Un juego de gran popularidaden el siglo XX es el Sudoku, la relacion que existe entre este juego y los cuadrados latinos es quela solucion de un Sudoku es, precisamente, un cuadrado latino que llamaremos cuadrado latinoSudoku, la Seccion 2.2 esta dedicada al estudio de la propiedad de ortogonalidad y construccionde conjuntos ortogonales de dichos cuadrados. Ademas, en la Seccion 2.3.3 desarrollamos las cotassuperior e inferior para el numero de cuadrados latinos Sudoku dadas por Agnes M. Herzberg y M.Ram Murty en el 2007.

En la Seccion 2.3 presentamos la equivalencia de los cuadrados latinos de orden n con 1-facto-rizaciones de familias especiales de graficas, como son: la grafica bipartita completa (Kn,n), la

grafica completa dirigida sin lazos (←→Kn) y la grafica completa (Kn). En el caso de

←→Kn, el numero de

1-factorizaciones de este tipo de graficas esta muy relacionado con el numero de cuadrados latinosde orden n. En 1847, Kirkman establece la existencia de un Sistema de Ternas de Steiner de ordenn ≡ 1, 3mod 6, n ≥ 3, en la Seccion 2.4 presentamos los metodos de Bose y Skolem que hacenuso de los cuadrados latinos simetricos e idempotentes y los simetricos y semi-idempontes en laconstruccion de tales sistemas.

En Matematicas, Computacion y Teorıa de la Informacion, la deteccion y correccion de erroreses una importante practica para el mantenimiento e integridad de los datos a traves de canalesruidosos y medios de almacenamiento poco confiables. Uno de los principales problemas dentro dela Teorıa de codigos es encontrar codigos de gran tamano, donde la longitud de las palabras estadada al igual que la distancia mınima entre ellas, en la Seccion 2.5 haremos uso de los cuadradoslatinos ortogonales para la construccion de algunos de estos codigos.

La criptografıa (escritura oculta) como concepto, son las tecnicas utilizadas para cifrar y des-cifrar informacion utilizando tecnicas matematicas que hagan posible el intercambio de mensajesde manera que solo puedan ser leıdos por las personas a quienes van dirigidos, en la Seccion 2.6.2presentamos el uso de los cuasigrupos en la codificacion de datos. La relacion que existe entrelos cuasigrupos y los cuadrados latinos es que la tabla de Cayley asociada a un cuasigrupo es uncuadrado latino.

La integridad de un sistema de informacion consiste en exigir que determinadas operaciones solopuedan ser llevadas acabo por una o mas personas que tienen derechos de acceso. El acceso a estesistema es a menudo adquirida a traves de una clave, cuyo uso se rige por un sistema de generacionde claves. En la Seccion 2.6.1 describimos un esquema de secreto compartido construido medianteel uso de los cuadrados latinos parciales que es precisamente un generador de claves.

Finalmente, en la seccion 2.7 damos una breve introduccion del uso de los cuadrados latinos enel diseno de experimentos, los cuales tienen sus orıgenes en experimentos agrıcolas y otras areascomo la biologıa, el estudio de mercados y procesos industriales, entre otros.

CAPITULO1Cuadrados Latinos

En este capıtulo abordaremos los aspectos teoricos de los cuadrados latinos, describiremospropiedades basicas de los mismos, entre las que se encuentran la ortogonalidad entre ellos y al-gunos metodos para construirlos. Se desarrollaran algunas de las cotas inferiores y superiores parael numero de cuadrados latinos distintos de orden n. Ası como la prueba que contradice la conjeturade Euler y la demostracion de la no existencia de dos MOLS de orden 6. Las ideas desarrolladasen este capıtulo estan basadas en el libro Combinatorial Designs (ver [2]).

Un cuadrado latino L es una matriz de tamano n×n cuyos elementos pertenecen a un conjuntofinito A de cardinalidad n y cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada renglon y encada columna de L. A es llamado el conjunto base del cuadrado y n su orden.

Ejemplo 1.0.1. Sea A = {A,B,C,D}. La siguiente matriz es un cuadrado latino de orden 4.

A B C DD A B CC D A BB C D A

.

Teorema 1.0.1. Existe un cuadrado latino de orden n para cualquier entero positivo n.

Demostracion. Sea A = {1, 2, . . . , n}. Tomemos como primer renglon del cuadrado a 1 2 3 · · · n.Ahora, a partir del segundo renglon se desplazan los elementos de la fila anterior una posiciona la izquierda y el primer elemento del renglon anterior se coloca al final de la fila que se estaconstruyendo, es decir, el i-esimo renglon es un desplazamiento cıclico de una posicion a la izquierdadel renglon i− 1. El cuadrado latino que construimos de esta manera es

1

Capıtulo 1. Cuadrados Latinos 2

1 2 3 · · · n2 3 4 · · · n 13 4 5 · · · n 1 2...

......

...n 1 2 · · · n− 1

La tabla de la suma del grupo aditivo Z/nZ de enteros modulo n es un ejemplo del teorema.

1.1. Numero de Cuadrados Latinos

El numero de cuadrados latinos de orden n se ha estudiado durante mucho tiempo. En estaseccion daremos algunos de los resultados obtenidos hasta el momento para este numero, basandonosen [1, 7, 6, 11].

Se sabe que para n = 2, el numero de cuadrados latinos distintos es 2, los cuales son

(1 22 1

)(2 11 2

)

Un cuadrado latino de orden n con conjunto base {0, 1, . . . , n− 1} es reducido si los elementosde su primer renglon y su primera columna estan en orden natural, es decir, 0 1 2 . . . n− 1.

Denotaremos al numero de cuadrados latinos de orden n como L(n) y l(n) denota el numerode cuadrados latinos reducidos de orden n. Entonces, el siguiente teorema nos dice que para n > 2el numero de cuadrados latinos de orden n depende del numero de cuadrados latinos reducidos deorden n.

Teorema 1.1.1. Para n ≥ 2

L(n) = n!(n− 1)!l(n).

Demostracion. Dado un cuadrado latino de orden n podemos permutar las columnas del cuadradode n! formas posibles. Al permutar las columnas, el arreglo resultante sigue siendo un cuadradolatino, ademas de ser distinto al cuadrado dado inicialmente.

Ahora, los ultimos n − 1 renglones del cuadrado latino pueden permutarse de (n − 1)! formasposibles, de igual manera cualquier permutacion de renglones nos da un cuadrado latino distinto.Lo mas importante es que estos tambien son distintos a los cuadrados latinos obtenidos de permutarlas columnas, ya que la primer fila se mantuvo fija. Por lo tanto, a partir de un cuadrado latinoreducido, las n! y (n − 1)! permutaciones de columnas y renglones respectivamente dan como

3 1.1 Numero de Cuadrados Latinos

resultado n!(n− 1)! cuadrados latinos distintos de orden n y exactamente uno de estos cuadradossera reducido y dado que se tienen l(n) cuadrados reducidos, entonces

L(n) = n!(n− 1)!l(n).

Hasta el momento se conoce el numero exacto de cuadrados reducidos para n pequeno, ası quese han dado distintas cotas para el calculo de este numero. A continuacion presentamos algunas deellas.

1.1.1. Cotas Inferiores para L(n)

Una primera cota inferior para el numero de cuadrados latinos se construye de la siguiente forma:

Dado un arreglo vacıo de tamano n × n. Tenemos n! maneras de llenar el primer renglon delarreglo. Ahora consideremos el segundo renglon, tenemos n− 1 posiciones donde podemos colocaral 0. Hay n− 1 o n− 2 lugares donde podemos colocar al 1 dependiendo en donde se haya colocadoel 0, si se coloco bajo el 1 del primer renglon o no, por lo que tenemos al menos n − 2 lugaresdonde colocar el 1. De manera similar tenemos al menos n − 3 lugares donde colocar el 2. Por loque tenemos al menos (n − 1)! formas de llenar el segundo renglon. Siguiendo con un argumentosimilar para los renglones restantes llegamos a que

L(n) ≥ n!(n− 1)!(n− 2)! . . . 2!1!. (1.1)

Una segunda cota inferior para el numero de cuadrados latinos se construye mediante el permanentede una matriz.

Sea A = (aij) una matriz de tamano n× n, el permanente de A es

perA =∑σ∈Sn

a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)

donde Sn denota al grupo simetrico sobre el conjunto {1, 2, . . . , n}. La matriz A es llamada doble-mente estocastica si la suma de los elementos en cada renglon y cada columna es igual a 1.

En 1926 B. L. van der Waerden propuso el problema de determinar el permanente mınimo entretodas la matrices doblemente estocasticas. El conjeturo que este mınimo es alcanzado por la matrizconstante en donde todas sus entradas son iguales a 1

n , es decir,

perA ≥ n!

nn

para cualquier matriz A doblemente estocastica.


Esta conjetura fue probada en 1981 independientemente por G. P. Egorychev y D. I. Falikman(ver [12]). Este resultado se utiliza para dar una cota inferior del numero de cuadrados latinos deorden n.

Un SRD (Sistema de Representantes Distintos) para los conjuntos A1, A2, . . . , An es una n-upla(a1, a2, . . . , an) donde ai 6= aj para i 6= j y ai ∈ Ai para todo i = 1, 2, . . . , n.

Teorema 1.1.2 (Teorema de Hall). Los conjuntos A1, A2, . . . , An tienen un SRD si y solo sipara todo k = 1, 2, . . . , n la union de cualesquiera k conjuntos tiene al menos k elementos.

Sean A1, A2, . . . , An subconjuntos del conjunto {1, 2, . . . , n}. Observe que el numero de manerasen que podemos elegir a un SRD coincide con el permanente de la (0, 1)-matriz H de tamano n×ndonde la entrada (i, j) es igual a 1 si y solo si i ∈ Aj . H es llamada matriz de Hall asociada a losconjuntos A1, A2, . . . , An.

Dado un cuadrado latino de orden n, el numero de formas distintas en que podemos llenar elprimer renglon es n!. Supongamos que se tienen k renglones llenos del cuadrado latino. Para cadaposicion i del renglon k+1 se define a Ai como el conjunto de numeros que aun no se han usado enla i-esima columna del cuadrado, de tal manera que |Ai| = n− k. El problema de llenar el renglonk + 1 del cuadrado latino es equivalente a encontrar un SRD de los conjuntos A1, A2, . . . , An. Detal manera que el numero de formas distintas en que se puede llenar el renglon k + 1 del cuadradolatino es el permanente de la matriz de Hall asociada a los conjuntos A1, A2, . . . , An.

Sea H la matriz de Hall asociada a los conjuntos A1, A2, . . . , An. Como se menciono, la entrada(i, j) de H es igual a 1 si y solo si i ∈ Aj , sabemos que |Ai| = n− k para i = 1, 2, . . . , n por lo quela matriz H tiene n − k 1’s en cada columna y n − k 1’s en cada renglon ya que a cada elementodel conjunto {1, 2, . . . , n} esta en n− k conjuntos Ai. Entonces la matriz H = (n− k)−1H es unamatriz doblemente estocastica. De tal manera que

perH ≥ n!

nn

1

(n− k)nperH ≥ n!

nn

perH ≥ (n− k)nn!

nn.

Esto solo es el numero de formas distintas en que se puede llenar el renglon k + 1 del cuadradolatino, entonces el numero de formas distintas en que se pueden llenar los n renglones de un cuadrado


latino es

n−1∏k=0

(n− k)nn!

nn=nnn!

nn(n− 1)nn!

nn(n− 2)nn!

nn· · · 1

nn!

nn

=n!nnn(n− 1)n(n− 2)n . . . 1n

nn2

=n!n(n(n− 1)(n− 2) · · · 1)n

nn2

=n!2n

nn2 .

Por lo tanto

L(n) ≥ n!2n

nn2 (1.2)

es una mejor cota inferior para el numero de cuadrados latinos distintos de orden n.

Por otra parte

en = 1 +n

1!+n2

2!+ · · · n

r

r!+ · · · > nr

r!

por lo que r! > e−nnr, usando esta desigualdad en (1.1) obtenemos que

L(n) >n∏r=1

e−nnr = e−n2n1+2+···n

entonces se tiene lo siguienteL(n) > (e−2n)n

2/2.

Ahora, usando la desigualdad n! > e−nnn en (1.2) se obtiene que

L(n) > (e−2n)n2.

1.1.2. Cotas Superiores para L(n)

A continuacion daremos la cota superior para el numero de cuadrados latinos reducidos de ordenn propuesta por Ronald Alter en 1975 (ver [13]).

Sea l la siguiente matriz con el primer renglon y primera columna llenas

1 2 3 4 · · · n2 ∗ ∗ ∗ ∗3 ∗ ∗ ∗ ∗4 ∗ ∗ ∗ ∗...

...n ∗ ∗ ∗ ∗


Para l(2, 2) se tienen n−1 posibles valores a elegir, l(2, 3) tiene n−2 o n−3 posibles valores a elegirdependiendo del valor que se haya elegido para l(2, 2), de tal manera que l(2, 3) tiene a lo mas n−2posibles valores a elegir. Ahora, l(2, 4) tiene n − 3 o n − 4 posibles valores a elegir, entonces a lomas tiene n− 3 posibles valores a elegir, siguiendo de forma similar podemos decir que el numerode formas distintas en que se puede llenar el segundo renglon es de a lo mas (n− 1)!. l(3, 2) puedetomar n−2 o n−3 posibles valores dependiendo del valor que tenga l(2, 2), si l(2, 2) = 2 tiene n−2valores a elegir y n− 3 si no, por lo que l(3, 2) tiene a lo mas n− 2 posibles valores a elegir. l(3, 3)tiene a lo mas n−2 posibles valores. l(3, 4) tiene a lo mas n−3 posibles valores a elegir y siguiendoeste proceso se tiene que el numero de formas distintas en que se puede llenar el tercer renglon esa lo mas (n − 2)(n − 2)!. Siguiendo con un argumento similar para los demas renglones se puedeconcluir que el numero de cuadrados latinos reducidos de orden n esta acotado superiormente por

l(n) ≤ n− 1!((n− 2)(n− 2)!)(n− 3)2(n− 3)! · · · ((n− i+ 1)i−2(n− i+ 1)!) · · · 2n−32!1n−21!

l(n) ≤n∏i=2

(n− i+ 1)i−2(n− 1)!(n− 2)! · · · 2!1!.

Por lo tanto una cota superior para el numero de cuadrados latinos LS(n) es

L(n) ≤ n!(n− 1)!n∏i=2

(n− i+ 1)i−2(n− 1)!(n− 2)! · · · 2!1!.

En 1967 H. Minc conjeturo que si A es una (0, 1)-matriz, entonces

perA ≤n∏i=1

ri!1ri (1.3)

donde ri es la suma de los elementos del i-esimo renglon de A.

Esta conjetura fue probada en 1973 por L. M. Bregman (ver [14]).

Ahora, tal como se hizo con la cota inferior, utilizaremos (1.3) para dar una cota superior parael numero de cuadrados latinos de orden n.

De manera similar como se construyo la cota inferior para el numero de cuadrados latinos usandola cota inferior del permanente de una matriz utilizaremos ahora la cota superior del permanentede una matriz para dar una cota superior al numero de cuadrados latinos.

Sea H la (0, 1)-matriz asociada a los conjuntos A1, A2, . . . , An.

Sabemos que H tiene n − k 1’s en cada renglon, de tal manera que ri = n − k para todoi = 1, 2, . . . , n. Por lo tanto

perH ≤∏

ri!1ri =

n∏i=1

(n− k)!1

n−k .

EntoncesperH ≤ (n− k)!

nn−k .


De tal manera que el numero de formas distintas en que podemos llenar el renglon k + 1 de uncuadrado latino es a lo mas (n− k)!

nn−k . Entonces

L(n) ≤n−1∏k=0

(n− k)!n

n−k .

es una mejor cota superior para el numero de cuadrados latinos de orden n. L(n) aumenta muyrapidamente y es realmente grande, incluso para n bastante pequeno, cabe senalar que el numerode cuadrados latinos reducidos es conocido para n ≤ 10 (McKay and Rogoyski, 1995).

n l(n)

2 13 14 45 566 90487 169420808 5352814015859 37759757096425881610 7580721483160132811489280

las estimaciones de los cuadrados latinos reducidos de orden n = 11, 12, 13, 14, 15 son

n l(n)

11 5.36× 1033

12 1.62× 1044

13 2.51× 1056

14 2.33× 1070

15 1.50× 1086

Para n > 15 las cotas de L(n) se pueden calcular usando las mejores cotas dadas

n−1∏k=0

(n− k)!n

n−k ≥ L(n) ≥ (n!)2n

nn2 .

Las estimaciones para el numero de cuadrados latinos de orden n, para n = 2k conk = 4, 5, 6, 7, 8 son

0.689× 10138 ≥ L(16) ≥ 0.101× 10119

0.985× 10784 ≥ L(32) ≥ 0.414× 10726

0.176× 104169 ≥ L(64) ≥ 0.133× 104008

0.164× 1021091 ≥ L(128) ≥ 0.337× 1020666

0.753× 10102805 ≥ L(256) ≥ 0.304× 10101724


1.2. Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales (MOLS)

Una propiedad importante de los cuadrados latinos es la ortogonalidad, que surge cuando Euleren 1779 publica el problema que consiste en asignar a 36 oficiales de 6 diferentes rangos y 6regimientos diferentes en un arreglo de tamano 6× 6 de manera que cada renglon y cada columnacontenga a un oficial de cada regimiento y uno de cada rango. El conjeturo que tal arreglo eraimposible.

Definamos de forma mas precisa, lo que Euler buscaba basandonos en [2].

Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de tamano n × n. La union (A,B) es una matriz detamano n× n donde la entrada (i, j) es el par (aij , bij).

Ejemplo 1.2.1. Sean

A =

1 2 32 3 13 1 2

, B =

1 3 23 2 12 1 3

entonces

(A,B) =

(1, 1) (2, 3) (3, 2)(2, 3) (3, 2) (1, 1)(3, 2) (1, 1) (2, 3)

o de manera equivalente

(A,B) =

11 23 3223 32 1132 11 23

.

Cabe mencionar, que a la matriz (A,B) Euler la llamo cuadrado greco-latino, ya que uso letraslatinas y griegas para definirla.

Decimos que dos cuadrados latinos A y B de orden n son ortogonales si todas las entradas enla union (A,B) son distintas. Si A y B son ortogonales B es llamado el companero ortogonalde A.

Los cuadrados latinos de orden 3 del ejemplo anterior no son ortogonales.

Notemos que el decir que todas las entradas de (A,B) sean diferentes es equivalente a que todoslos posibles pares ocurran exactamente una vez. Tenemos solo n2 posibles pares. De tal manera quela condicion de ortogonalidad puede ser expresada de la siguiente manera

aij = aIJ y bij = bIJ =⇒ i = I y j = J.

De tal manera que el problema de Euler consistıa en dar dos cuadrados latinos ortogonales de orden6. Pero, el no solo conjeturo que no existıan tales cuadrados, sino que ademas lo generalizo paracuadrados latinos de orden n ≡ 2mod 4. En 1901, Gaston Tarry probo que no existıan cuadrados

9 1.2 Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales (MOLS)

latinos ortogonales de orden 6 construyendolos exhaustivamente (9,408, considerando solo cuadra-dos latinos reducidos) agregando evidencia a la conjetura de Euler. Sin embargo, en 1959, Parker,Bose y Shrikhande fueron capaces de construir un par de cuadrados latinos ortogonales de orden10 y proporcionar una construccion para el resto de los valores, por supuesto a excepcion de n = 2y n = 6. La construccion de estos cuadrados la mostraremos mas adelante.

Cuando A1, .., Ar formen un conjunto de cuadrados latinos de orden n ortogonales dos a dos,diremos que son mutuamente ortogonales. En adelante usaremos la abreviacion MOLS parareferirnos a Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales.

Denotaremos a N(n) como el valor mas grande r para el cual existen r MOLS de orden n, esdecir, es el numero maximo de MOLS de orden n.

El siguiente teorema nos dice que para n impar siempre existe un par de cuadrados latinosortogonales de orden n y su demostracion nos da el metodo para construirlos.

Teorema 1.2.1. N(n) ≥ 2 para todo n impar.

Demostracion. Sean A y B dos matrices de tamano n×n cuyas entradas pertenecen al conjunto{1, .., n} definidas como

aij ≡ (j − i+ 1)modn y bij ≡ (j + i− 1)modn.

Verifiquemos que A y B son cuadrados latinos.

aij = aik =⇒ j − i+ 1 ≡ (k − i+ 1)modn =⇒ j ≡ kmodn =⇒ j = k

de manera que las entradas en el i-esimo renglon de A son todas distintas.

Analogamente aij = akj =⇒ j − i+ 1 ≡ (j − k+ 1)modn =⇒ i ≡ kmodn =⇒ i = k, por lo quelas entradas en la j-esima columna de A son todas distintas. Entonces A es un cuadrado latino deorden n. De forma similar se verifica que B es un cuadrado latino de orden n. Falta mostrar que Ay B son ortogonales.

Supongamos que (aij , bij) = (aIJ , bIJ)⇒ aij = aIJ y bij = bIJ=⇒ j − i+ 1 ≡ (J − I + 1)modn y j + i− 1 ≡ (J + I − 1)modn=⇒ j − i ≡ (J − I)modn y j + i ≡ (J + I)modn.

Sumando las dos ultimas congruencias obtenemos 2j ≡ 2Jmodn y si las restamos obtenemos2i ≡ 2Imodn como n es impar se tiene que j ≡ Jmodn e i ≡ Imodn de tal manera quei = I y j = J.

Ejemplo 1.2.2. Los siguientes cuadrados latinos de orden 5 son ortogonales, dado que se cons-truyeron mediante el metodo dado en la demostracion del teorema anterior.


1 2 3 4 55 1 2 3 44 5 1 2 33 4 5 1 22 3 4 5 1

y

1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 24 5 1 2 35 1 2 3 4

Una transversal de un cuadrado latino de orden n es un conjunto de n posiciones donde

cualquiera dos de ellas no estan en el mismo renglon ni en la misma columna, conteniendo a los nsımbolos del conjunto base exactamente una vez.

El siguiente teorema nos da otra forma de saber cuando un cuadrado latino de orden n tiene uncompanero ortogonal.

Teorema 1.2.2. Un cuadrado latino de orden n tiene un companero ortogonal si y solo si tiene ntransversales disjuntas.

Ejemplo 1.2.3. Sea C un cuadrado latino de orden 3

C =

2 1 33 2 11 3 2

Tiene 3 transversales disjuntas

1. (1, 3), (2, 2), (3, 1)

2. (1, 2), (2, 1), (3, 3)

3. (1, 1), (2, 3), (3, 2)

De tal manera que C tiene un companero ortogonal C ′, el cual construimos de la siguiente forma

Sea (i, j) un elemento de la k-esima transversal, entonces C ′(k, i) = j. De tal manera que

C ′ =

3 2 12 1 31 3 2

.

El siguiente lema nos da una cota superior para N(n).

Lema 1.2.1. Para n ≥ 2 se tiene que N(n) ≤ n− 1.

Demostracion. Supongamos que tenemos k MOLS de orden n con conjunto base {1, 2, . . . , n}.Podemos renombrar las entradas de cada uno de los cuadrados latinos de modo que el primerrenglon de cada uno de ellos sea 12 . . . n.


Consideremos las k entradas en la posicion (2, 1), ninguna de ellas es 1, ya que 1 aparece enla posicion (1, 1) y como sabemos, cada elemento del conjunto base aparece exactamente una vezen cada columna. Sea s el valor de la entrada (2, 1) en un cuadrado latino, la entrada (2, 1) decualquier otro cuadrado latino no puede tener el valor s, ya que si lo tuviera el par (s, s) aparecerıados veces al superponer los cuadrados latinos, ya que en la posicion (1, s) de ambos cuadrados setiene el valor s, contradiciendo el hecho de ser ortogonales. Por lo que la entrada (2, 1) tiene a lomas n− 1 valores posibles. Por lo tanto k ≤ n− 1.

Llamaremos cuadrado latino estandar de orden n al cuadrado latino de orden n con conjuntobase A = {a1, a2, . . . , an} cuyo primer renglon es a1a2a3 · · · an y al conjunto de n − 1 MOLS deorden n Conjunto Completo.

La cota superior para N(n) se alcanza cuando n es potencia de un primo, la demostracion delsiguiente teorema nos proporciona un metodo para construir Conjuntos Completos de MOLS deorden primo.

Teorema 1.2.3. Sea q potencia de un primo, entonces existen q-1 MOLS de orden q.

Demostracion. Dado que q es potencia de un primo, entonces existe GF (q) = {λ1, λ2, ..., λq = 0}.Sean A1, A2, ..., Aq−1 matrices de tamano q × q donde la entrada (i, j) de Ak tendra el valor

λiλk + λj , 1 ≤ k ≤ q − 1

Primero verificamos que cada Ak es un cuadrado latino.

Si dos entradas en el i-esimo renglon de Ak son iguales, entonces

λiλk + λj = λiλk + λJ ⇒ λj = λJ ⇒ j = J .

Si dos entradas en la j-esima columna de Ak son iguales, tenemos que

λiλk + λj = λIλk + λj ⇒ λiλk = λIλk ⇒ λi = λI .

Dado que λk 6= 0 entonces existe λ−1k su inverso multiplicativo, de tal manera que λi = λI ⇒i = I.

Falta probar que los cuadrados son mutuamente ortogonales.

Sea k 6= K, supongamos que

λiλk + λj = λIλk + λJ y λiλK + λj = λIλK + λJ .

Sumandolas, obtenemos que λi(λk − λK) = λI(λk − λK) dado que λk 6= λK ⇒ (λk − λK) 6= 0,por lo cual λi = λI ⇒ i = I. Sustituyendo λi = λI en la primera igualdad se tiene que λj = λJ ⇒j = J .

Ejemplo 1.2.4. Usando GF (4) = {0, 1, x, x2} donde x2 = x+ 1 y mediante el metodo dado en lademostracion anterior se construye el siguiente conjunto completo de cuadrados latinos de orden 4.


Con λ1 = 1, λ2 = x, λ3 = x2, λ4 = 0 obtenemos0 x2 x 1x2 0 1 xx 1 0 x2

1 x x2 0

,

x2 0 1 xx 1 0 x2

0 x2 x 11 x x2 0

,

x 1 0 x2

0 x2 x 1x2 0 1 x1 x x2 0

.

Si se invierte el orden de las filas y reemplazando a 1, x, x2, 0 por 1, 2, 3, 4 tenemos a los siguientes3 MOLS de orden 4

1 2 3 42 1 4 33 4 1 24 3 2 1

,

1 2 3 44 3 2 12 1 4 33 4 1 2

,

1 2 3 43 4 1 24 3 2 12 1 4 3

El siguiente teorema tiene un papel muy importante en el estudio de los MOLS.

Teorema 1.2.4 (Moore-MacNeish). N(mn) ≥ mın(N(m), N(n)) para n,m ∈ N.

Demostracion. Sean A(1),...,A(s) s MOLS de orden m con conjunto base {0, 1, ...,m− 1} y seanB(1),...,B(s) s MOLS de orden n con conjunto base {0, 1, ..., n− 1}.

Debemos construir s MOLS C(1), ..., C(s) de orden mn con conjunto base {0, 1, ...,mn− 1}.

Sea A un cuadrado latino de orden m, B uno de orden n y J una matriz de 1’s de tamano n×n,se define el producto de A y B como

C = A×B =

B + a11nJ B + a12nJ · · · B + a1mnJ...

B + am1nJ B + am2nJ · · · B + ammnJ

.

Entonces C es una matriz de tamano mn ×mn y como aij toma valores de 1, ...,m − 1 y lasentradas de B toman valores de 0, ..., n − 1 entonces las entradas de C toman valores de 0 hastan− 1 + n(m− 1) = mn− 1. Mas aun, C es un cuadrado latino.

Consideremos cualquier renglon de C, los aij toman valores de 0, ...,m−1 exactamente una vez,de igual manera para las entradas de B encontramos cada valor de 0, ..., n−1 exactamente una vez,por lo que las entradas en los renglones de C son precisamente los posibles numeros de la formaan + b con 0 ≤ a ≤ m − 1 y 0 ≤ b ≤ n − 1, es decir, los numeros pueden tomar valores de 0 amn− 1. Un argumento similar se cumple para las columnas.

Sea C(t) el producto de A(t) y B(t), 1 ≤ t ≤ s. Debemos mostrar que C(1), ..., C(s) son MOLSde orden mn.

Supongamos que (C(r)ij , C

(t)ij ) = (C

(r)IJ , C

(t)IJ )

⇒ C(r)ij = C

(r)IJ y C

(t)ij = C

(t)IJ (1).


Para encontrar Cij definimos a i y a j de la siguiente manera

i = (k − 1)n+ l , 1 ≤ l ≤ n y

j = (g − 1)n+ h , 1 ≤ h ≤ n

entonces C(r)ij = b

(r)lh + na

(r)kg (1).

De manera similar escribimos I = (K − 1)n+ L , J = (G− 1)n+H entonces (1) se convierteen

b(r)lh + na

(r)kg = b

(r)LH + na

(r)KG

b(t)lh + na

(t)kg = b

(t)LH + na

(t)KG.

Ası cada entero tiene una representacion unica de la forma an+ b, de lo cual tenemos que

b(r)lh = b

(r)LH

b(t)lh = b

(t)LH

a(r)kg = a

(r)KG

a(t)kg = a

(t)KG.

Entonces B(r) y B(t) son ortogonales ya que l = L y h = H. De igual manera A(r) y A(t) sonortogonales ya que k = K y g = G. Finalmente i = I y j = J .

Puesto que N(pα) = pα − 1 cuando p es primo, obtenemos el siguiente resultado.

Corolario 1.2.1. Si n = pα11 ...pαr

r , entonces N(n) ≥ (mın pαii )− 1.

Ejemplo 1.2.5. Presentamos la siguiente tabla para n = 12m+ 7

m 12m+ 7 N(12m+ 7) ≥1 19 19-1=182 31 31-1=303 43 43-1=424 55 5-1=4

Notemos que si n es impar tenemos que para cada pαii es por lo menos 3, entonces N(n) ≥ 2 y

si n es multiplo de 4 entonces cada Pαii es nuevamente por lo menos 3, por lo que N(n) ≥ 2.


1.3. MOLS y Planos Proyectivos de orden n

En esta seccion mostraremos como un conjunto completo de MOLS es equivalente a un planoproyectivo. Con esta relacion nos podemos dar cuenta que el determinar un conjunto completo deMOLS puede ser extremadamente difıcil, ya que el mostrar la inexistencia de un plano proyectivode orden 10 es un problema que hasta el momento no se ha podido demostrar.

Sea S = {1, . . . , v}. Decimos que una coleccion D de subconjuntos distintos de S es llamada un(v, k, λ)-diseno si 2 ≤ k < v, λ > 0 y

Cada conjunto en D contiene exactamente k elementos.

Cada subconjunto de 2 elementos de S esta contenido en exactamente λ de los subconjuntosde D.

Los conjuntos de D son llamados bloques y el numero de bloques de D es denotado por b. Decimosque un diseno es simetrico cuando b = v.

Un diseno es resoluble si los bloques pueden ser organizados en r grupos tal que los br = v

kbloques de cada grupo son disjuntos y contienen en su union a cada elemento de S exactamenteuna vez. Los grupos son llamados clases de resolucion o clases paralelas.

Un plano afin de orden n es un (n2, n, 1)-diseno resoluble.

Un Plano Proyectivo de orden n es un (n2 +n+1, n+1, 1)-diseno simetrico. Se sabe que paratoda potencia de un numero primo q, existe un plano proyectivo de orden q.

El siguiente teorema relaciona a los planos proyectivos con los planos afines.

Teorema 1.3.1. Un plano proyectivo de orden n ≥ 2 existe si y solo si existe un plano afin deorden n.

El siguiente teorema relaciona al conjunto completo de MOLS con los planos afines.

Teorema 1.3.2. Un conjunto completo de n-1 MOLS de orden n existe si y solo si existe un planoafin de orden n.

Demostracion. Sea {L1, L2, . . . , Ln−1} el conjunto de n − 1 MOLS de orden n. Definimos elsiguiente arreglo de tamano (n+ 1)× n2

1 1 1 · · · 1 2 2 2 · · · 2 · · · n n n · · · n1 2 3 · · · n 1 2 3 · · · n · · · 1 2 3 · · · n

renglon 1 en L1 renglon 2 en L1 · · · renglon n en L1renglon 1 en L2 renglon 2 en L2 · · · renglon n en L2

.

.

.renglon 1 en Ln−1 renglon 2 en Ln−1 · · · renglon n en Ln−1

. Este arreglo tiene las siguientes propiedades de ortogonalidad

15 1.4 Cuadrados Latinos Auto-Ortogonales (SOLS)

Tomando cualesquiera dos renglones, los n2 pares verticales posibles(11

),(12

), . . . ,

(nn

)aparecen

exactamente una vez.

El primer y segundo renglon por definicion satisfacen la propiedad. Si i ≤ 2 < j comparando eli-esimo y el j-esimo renglon tenemos los n2 pares verticales posibles, ya que si i = 1 implicarıa queel j-esimo cuadrado latino tiene a un elemento del conjunto base mas de una vez en un renglon ysi i = 2 implicarıa que el j-esimo cuadrado latino tiene mas de una vez a un elemento del conjuntobase en una de sus columnas, pero esto no es posible por definicion de cuadrado latino.

Si i, j ≥ 3 ambos renglones provienen de un cuadrado latino, por lo que satisfacen la propiedadpor la ortogonalidad de los cuadrados.

Etiquetamos las columnas del arreglo por 1, 2, . . . , n2. Cada uno de los n + 1 renglones nosdeterminan n bloques que definimos de la siguiente manera: para i = 1, . . . , n tomo como bloque alconjunto de etiquetas de las columnas donde el renglon toma el valor i. De esta manera construimosn(n+ 1) = n2 + n bloques.

Falta demostrar que λ = 1, es decir, que cualesquiera par de elementos del conjunto {1, 2, . . . , n2}no puede estar en mas de 1 bloque. Esto es equivalente a probar que toda pareja posible esta en el

arreglo, en total el arreglo debe tener(n2

2

)= n2(n2−1)

2 . El conjunto de bloques cubre n(n+ 1)(n2

)=

n(n+1)n(n−1)2 = n2(n2−1)

2 parejas. Ahora, supongamos que la pareja (i, j) pertenece a dos bloquesdistintos, por construccion del diseno, estos provienen de diferentes renglones, en un primer bloque(i, j) fue el reetiquetamiento de (r, r) y en el otro fue de (t, t), esto implicarıa que al elegir losrespectivos renglones de (r, r) y (t, t), el par vertical

(rt

)se encuentra dos veces, contradiciendo la

propiedad de ortogonalidad del arreglo. De tal manera que λ = 1.

Sea D un (n2, n, 1) diseno con clases paralelas D1, D2, . . . , Dn+1. Podemos (por renombramientodel conjunto base) suponer que las primeras dos clases paralelas son representadas por los dosprimeros renglones del arreglo anterior y escribiendo las otras n − 1 clases paralelas como losultimos n− 1 renglones. Dado que los renglones se originan de un diseno con λ = 1, el arreglo tienela propiedad de ortogonalidad. Entonces, interpretando los ultimos n− 1 renglones como matricesde tamano n× n nos determinan n− 1 cuadrados latinos mutuamente ortogonales.

El siguiente resultado se sigue de los Teoremas 1.3.1 y 1.3.2.

Teorema 1.3.3. Un conjunto completo de n-1 MOLS de orden n existe si y solo si existe un planoproyectivo de orden n.

1.4. Cuadrados Latinos Auto-Ortogonales (SOLS)

La importancia de esta seccion y las siguientes es que son parte importante del trabajo desarrolla-do por Bose, Shrikhande y Parker que prueba la existencia de dos MOLS de orden n para n 6= 2, 6,hasta el momento sabemos que N(n) ≥ 2 para n impar, para n ≥ 2 se tiene que N(n) ≤ n − 1 yque para n potencia de un primo N(n) = n− 1.


Ahora, presentamos un nuevo tipo de cuadrados latinos, los cuadrados latinos auto-ortogonales.

Un cuadrado latino de orden n es auto-ortogonal si es ortogonal a su transpuesto y lo deno-taremos por SOLS(n).

Ejemplo 1.4.1. El siguiente cuadrado latinos de orden 4 es auto-ortogonal1 2 3 44 3 2 12 1 4 33 4 1 2

.

Entonces (A,At) es 11 24 32 4342 33 21 1423 12 44 3134 41 13 22

.

Como podemos observar, en la union se encuentran todas las parejas posibles.

Los siguientes resultados nos dicen para que orden n un SOLS(n) existe.

Teorema 1.4.1 (Mendelsohn, 1971). Un SOLS existe cuando (n, 6) = 1.

Demostracion. Definimos una matriz A = (aij) cuadrada de tamano n× n, donde

aij = 2i− j(modn), 1 ≤ aij ≤ n.

Primero verifiquemos que A es un cuadrado latino.Sea

aij = aik

⇒ 2i− j ≡ 2i− k(modn)

⇒ j ≡ k(modn)

⇒ j = k.

Ahora sea

aij = akj

⇒ 2i− j ≡ (2k − j)modn

⇒ 2i ≡ 2kmodn

⇒ i = k.


Por lo tanto A es un cuadrado latino.Ahora verifiquemos que A y At son ortogonales.

Sea

At = (atij) = (aji).

Supongamos que

aij = akl y atij = atkl,

es decir,

aij = akl y aji = alk

entonces

2i− j ≡ (2k − l)modn (1)

2j − i ≡ (2l − k)modn.

Sumandolas obtenemos que

i+ j ≡ (k + l)modn.

De la congruencia anterior tenemos que

i ≡ (k + l − j)modn.

Sustituyendo i en (1)

2(k + l − j) ≡ (2k − l)modn

2k + 2l − 2j − j ≡ (2k − l)modn

3j ≡ 3lmodn

entonces (n, 3) = 1,ademas

j ≡ lmodn⇒ j = l y k = i

Por lo tanto A y At son ortogonales.


Ejemplo 1.4.2. Los siguientes SOLS de orden 5 y 7 son obtenidos de la construccion dada en lademostracion del teorema anterior.

1 5 4 3 23 2 1 5 45 4 3 2 12 1 5 4 34 3 2 1 5

1 7 6 5 4 3 23 2 1 7 6 5 45 4 3 2 1 7 67 6 5 4 3 2 12 1 7 6 5 4 34 3 2 1 7 6 56 5 4 3 2 1 7

.

Teorema 1.4.2 (Mendelsohn, 1971). Si n es potencia de primos, n 6= 2, 3, entonces un SOLS(n)existe.

Demostracion. Se construira un SOLS(n) con los elementos de GF (n) = {c1 = 0, c2, ..., cn} comoentradas. Eligiendo λ ∈ GF (n) tal que λ 6= 0 , λ 6= 1 , 2λ 6= 1 definimos una matriz A = (aij)de tamano n× n donde

aij = λci + (1− λ)cj .

Es facil verificar que A es un cuadrado latino de orden n. Entonces mostremos que A es auto-ortogonal.

Sea

aij = akl y atij = atkl

⇒ λci + (1− λ)cj = λck + (1− λ)cl (1) yλcj + (1− λ)ci = λcl + (1− λ)ck. (2)

Sumando las dos ecuaciones anteriores obtenemos

ci + cj = ck + cl

despejando a ci y sustituyendola en (1) nos queda que

λ(ck + cl − cj) + (1− λ)cj = λck + (1− λ)cl,

es decir,

(1− 2λ)cj = (1− 2λ)cl


⇒ cj = cl

⇒ 2λ 6= 1.

Ademas

j = l y i = k.

Estos resultados garantizan la existencia de SOLS de orden n = 4, 8, 16, . . . y n = 9, 27, 81, . . ..En 1973 Brayton, Coppersmith y Hoffman probaron el siguiente resultado.

Teorema 1.4.3. Si n 6= 2, 3, 6, un SOLS(n) existe.

1.4.1. SOLS y Torneos Dobles Mixtos

En esta subseccion mostramos la relacion que existe entre los SOLS y cierto tipo de torneos.

Un SAMDRR(n) (spouse-avoiding mixed doubles round robin) es un torneo doble mixto dondeparticipan n matrimonios. En cada juego participan dos equipos, donde cada equipo consta de dosjugadores de sexo opuesto. Los partidos son tales que cada dos jugadores del mismo sexo jueganentre sı exactamente una vez y cada jugador con cada miembro del sexo opuesto (que no sea suconyuge) exactamente una vez como companero y una vez como oponente.

En 1917 Dudeney dio el siguiente ejemplo resoluble para n = 4, donde los matrimonios son(Hi,Mi) para 1 ≤ i ≤ 4.

Ejemplo 1.4.3.

H1M3 vs H2M4 H3M1 vs H4M2



es un SAMDRR(4).

Como observamos el torneo puede jugarse en 3 rondas.

Antes de mostrar la relacion entre los SOLS y SAMDRR necesitamos dar la siguiente propiedadde los SOLS.

Recordemos que una transversal de un cuadrado latino de orden n es un conjunto de n posi-ciones donde cualquiera dos de ellas no estan en el mismo renglon ni en la misma columna, conte-niendo a los n sımbolos del conjunto base exactamente una vez.

Lema 1.4.1. Sea A un SOLS(n), entonces su diagonal principal es una transversal.


Demostracion. At tiene la misma diagonal que A. Si aii = ajj = k entonces el par (k, k) aparecerıados veces en la union de A con At, contradiciendo la propiedad de ortogonalidad. Por lo tanto ladiagonal principal de A es una transversal.

Ahora, el siguiente teorema nos da la relacion que existe entre los SOLS(n) con los SAMDRR(n).

Teorema 1.4.4. Un SAMDRR(n) existe si y solo si un SOLS(n) existe.

Demostracion. Supongamos que un SAMDRR(n) existe. Denotamos a los matrimonios como(Hi,Mi) para 1 ≤ i ≤ n. Entonces definimos a A una matriz de tamano n× n como sigue

aii = i yaij = l, donde Ml es el companero de Hi cuando Hi y Hj juegan con i 6= j.

Dado que las asociaciones no se repiten, podemos concluir que A es un cuadrado latino.

Ahora verifiquemos que A y At son ortogonales. Supongamos que aij = aIJ y aji = aJI .

Si aij = l y aji = m se tienen los siguientes juegos

HiMl vs HjMm y HIMl vs HJMm

pero como sabemos, jugadores del mismo sexo juegan entre sı exactamente una vez, por lo quei = I y j = J . De tal manera que A es un SOLS(n).

Ahora, sea A un SOLS(n) donde las entradas de A pueden ser renombradas de la siguienteforma

aii = i para todo i y si aij = l y aji = m, de tal manera que los juegos se definen comoHiMl vs HjMm.

Ejemplo 1.4.4. Sea A =

1 2 3 44 3 2 12 1 4 33 4 1 2

un SOLS(4), renombrando las entradas como nos dice

la demostracion del teorema anterior obtenemos que A =

1 4 2 33 2 4 14 1 3 22 3 1 4

, de tal manera que este

SOLS(4) nos da un SAMDRR(4) con las siguientes rondas

H1M4 vs H2M3 H1M2 vs H3M4 H1M3 vs H4M2

H2M4 vs H3M1 H2M1 vs H4M3 H3M2 vs H4M1

.


Ahora veremos como algunos teoremas que se estudiaron para los MOLS se satisfacen tambienpara los SOLS.

Teorema 1.4.5. Si existe un SOLS(m) y un SOLS(n), entonces existe un SOLS(mn) para n,m ≥1.

Demostracion. Sean A y B SOLS de orden m y n con conjuntos base {0, 1, . . . ,m − 1} y{0, 1, . . . , n − 1} respectivamente. Entonces los productos A × B y At × Bt como se definieron enla prueba del Teorema de Moore-MacNeish son MOLS de orden mn. Verificando que (A×B)t =At ×Bt se tiene que A×B es auto-ortogonal.

De los Teoremas 1.4.2 y 1.4.5 se sigue el siguiente resultado.

Corolario 1.4.1. Si n = 2α3β5r . . ., donde α 6= 1 y β 6= 1, entonces existe un SOLS(n).

SeaK un conjunto finito. Un (v,K, λ)-diseno balanceado, que denotaremos como PBD(v,K, λ),es una coleccion de subconjuntos (bloques) de un conjunto S de cardinalidad v tal que

1. El tamano de cada uno de los bloques pertenece a K y es menor que v.

2. Cada par de elementos de S aparecen en exactamente λ bloques.

El siguiente resultado relaciona a los disenos balanceados con los SOLS.

Teorema 1.4.6. Supongamos que un PBD(v, k, 1) existe y que para cada k ∈ K un SOLS(k)existe. Entonces un SOLS(v) existe.

Demostracion. Para cada k, reemplazamos cada bloque de tamano k por un SAMDRR(k) sobresus elementos. La union de estos torneos es un SAMDRR(v), entonces por el Teorema 1.4.4 unSOLS(v) existe.

De los Teoremas 1.4.2. y 1.4.5 se sigue el siguiente resultado.

Teorema 1.4.7. Para cada k ≥ 1, un SOLS(4k) existe.


Ejemplo 1.4.5. El siguiente cuadrado es un SOLS(12).

0 8 3 6 2 9 11 1 10 5 7 410 1 9 4 7 3 5 6 2 11 0 84 11 2 10 5 8 9 0 7 3 6 19 5 6 3 11 0 2 10 1 8 4 71 10 0 7 4 6 8 3 11 2 9 57 2 11 1 8 5 0 9 4 6 3 105 7 4 11 1 10 6 2 9 0 8 311 0 8 5 6 2 4 7 3 10 1 93 6 1 9 0 7 10 5 8 4 11 28 4 7 2 10 1 3 11 0 9 5 62 9 5 8 3 11 7 4 6 1 10 06 3 10 0 9 4 1 8 5 7 2 11

El siguiente SOLS de orden 14 nos permite afirmar que N(14) ≥ 2.

Ejemplo 1.4.6.

0 8 3 12 9 2 5 10 6 11 1 4 13 713 1 9 4 0 10 3 6 11 7 12 2 5 86 13 2 10 5 1 11 4 7 12 8 0 3 94 7 13 3 11 6 2 12 5 8 0 9 1 102 5 8 13 4 12 7 3 0 6 9 1 10 1111 3 6 9 13 5 0 8 4 1 7 10 2 123 12 4 7 10 13 6 1 9 5 2 8 11 012 4 0 5 8 11 13 7 2 10 6 3 9 110 0 5 1 6 9 12 13 8 3 11 7 4 25 11 1 6 2 7 10 0 13 9 4 12 8 39 6 12 2 7 3 8 11 1 13 10 5 0 41 10 7 0 3 8 4 9 12 2 13 11 6 57 2 11 8 1 4 9 5 10 0 3 13 12 68 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 13

.

1.5. Arreglos Ortogonales

En esta seccion mostramos la relacion que existe entre los MOLS y los arreglos ortogonales quenos permitira mostrar algunos resultados importantes para N(n).

Los arreglos ortogonales son una forma alternativa de representar a un conjunto de MOLS.

Ejemplo 1.5.1. Tenemos el siguiente arreglo ortogonal

23 1.5 Arreglos Ortogonales

1 1 1 2 2 2 3 3 31 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 3 1 2 2 3 11 2 3 2 3 1 3 1 2

los primeros dos renglones determinan las posiciones de los elementos de los cuadrados, es decir,

el primero nos indica el renglon y el segundo la columna. El tercero y cuarto renglon son los valoresde los cuadrados latinos en la posicion que nos indican los primeros dos renglones. De tal maneraque el arreglo nos representa a un conjunto de 2 cuadrados latinos de orden 3.

Un arreglo ortogonal sobre un alfabeto de n sımbolos es una matriz de tamano s × n2 endonde al elegir cualesquiera dos renglones podemos encontrar a todos los pares verticales posiblesexactamente una vez. A este tipo de arreglo lo denotaremos como OA(s, n).

Con los arreglos ortogonales se pueden establecer algunas cotas para N(n).

Teorema 1.5.1. Un OA(s, n) existe si y solo si N(n) ≥ s− 2.

Demostracion. Sean M1,M2, . . . ,Ms−2 MOLS de orden n, construimos una matriz de tamanos× n2 donde sus primeros dos renglones sean(

1 1 . . . 1 2 2 . . . 2 . . . n n . . . n1 2 . . . n 1 2 . . . n . . . 1 2 . . . n

)

y el i-esimo renglon del arreglo es

(Mi−2(1, 1) Mi−2(1, 2) . . . Mi−2(1, n) Mi−2(2, 1) . . . Mi−2(2, n) . . . Mi−2(n, 1) . . . Mi−2(n, n)

)

para 2 < i ≤ s. Falta verificar que este arreglo es ortogonal.

Si i ≥ 1. El renglon 1 y el renglon i + 2 tienen cada par ordenado exactamente una vez en-tonces cada renglon del i-esimo cuadrado contiene a cada elemento exactamente una vez. El mismoargumento funciona para los renglones 2 y el i+ 2.

Para los renglones i + 2 y j + 2, por la ortogonalidad de los cuadrados i y j, encontramos atodos los pares verticales posibles exactamente una vez. De tal manera que el arreglo definido esortogonal.

Inversamente, sea un OA(s, n). Reordenando las columnas de tal manera que los primeros dosrenglones queden de la siguiente manera(

1 1 . . . 1 2 2 . . . 2 . . . n n . . . n1 2 . . . n 1 2 . . . 1 . . . 1 2 . . . n

),


entonces los cuadrados Mk con 1 ≤ k ≤ s−2 definidos al tomar como valor para Mk(i, j) la entradaen el renglon k + 2 sobre la columna que contiene en sus dos primeros renglones el par

(ij

), son

ortogonales.

Ejemplo 1.5.2. El siguiente OA(5, 4) corresponde a 3 MOLS de orden 4.

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 41 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 11 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 21 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3

Teorema 1.5.2. Si N(m) ≥ 2, entonces N(3m+ 1) ≥ 2.

Demostracion. Consideremos el siguiente arreglo A0 de tamano 4× 4m0 0 . . . 0 1 . . . m 2m . . . m+ 1 x1 . . . xm1 2 . . . m 0 . . . 0 x1 . . . xm 2m . . . m+ 1

2m 2m− 1 . . . m+ 1 x1 . . . xm 0 . . . 0 1 . . . mx1 x2 . . . xm 2m . . . m+ 1 1 . . . m 0 . . . 0

.

En el arreglo los xi son m sımbolos distintos de 0, . . . , 2m.

Sea Ai el arreglo obtenido de A0 al sumar i a cada entrada numerica (mod 2m + 1) y dejandoa cada xi sin cambios. Dado que N(m) ≥ 2, existe un OA(4,m) sobre x1, . . . , xm que denotaremoscomo A∗. Si tambien

E =

0 1 . . . 2m0 1 . . . 2m0 1 . . . 2m0 1 . . . 2m

,

podemos afirmar que el arreglo

D = [EA0A1 . . . A2mA∗]

es un AO(4, 3m + 1). Ciertamente, el numero de columnas es 2m + 1 + (2m + 1)4m + m2 =9m2+6m+1 = (3m+1)2. Para cualquier par de filas, el par ordenado (xi, n) aparecera exactamenteuna vez para cada i y cada n, al igual que el par (n, xi) y los arreglos E y A∗ tienen a cada parordenado de la forma (n, n) o (xi, xi) exactamente una vez. Queda por demostrar que si 0 ≤ u ≤ 2my 0 ≤ v ≤ 2m, u 6= v el par (u, v) aparece exactamente una vez. Sin perdida de generalidadconsideremos el segundo y tercer renglon de A0. La diferencia entre numeros correspondientes enesos dos renglones son 2m − 1, 2m − 3, . . . , 3, 1 y sus negativos mod (2m + 1), es decir, tambien

25 1.5 Arreglos Ortogonales

estan 0, 2, 4, . . . , 2m exactamente una vez. Al tener todas las diferencias posibles podemos concluirque estan todas las (u, v) exactamente una vez. Un argumento similar se satisface para cualquierpar de renglones.

Corolario 1.5.1. N(12t+ 10) ≥ 2 para todo entero t.

Demostracion. Sea m = 4t+ 3, sustituyendo m en el teorema anterior tenemos que

N(3(4t+ 3) + 1) ≥ 2

N(12t+ 10) ≥ 2.

Teorema 1.5.3. Si existe un OA(n1, s) y un OA(n2, s), entonces existe un OA(n1n2, s).

Demostracion. Sea un OA(n1, s), la matriz A = (aij) con i = 1, . . . , s y j = 1, . . . , n21 y unOA(n2, s), la matriz B = (bij) con i = 1, . . . , s y j = 1, . . . , n22.

Con A y B formemos la matriz D = (dij) con i = 1, . . . , s y j = 1, . . . , n21n22. Reemplazando aij

de A por el vector renglon(bi1 +mij , bi2 +mij , . . . , bin2

2+mij)

donde mij = (aij − 1)n2 para todo i, j.

Sabemos que aij toma valores de 1 hasta n1 y bij toma valores de 1 hasta n2, entonces bit+mij =bit + (aij − 1)n2 toma valores desde 1 hasta n1n2.

Consideremos los renglones h e i de D y sean u, v cualesquiera dos numeros de 1, 2, . . . , n1n2, detal manera que podemos escribir a u = u1 + (u2 − 1)n2 y a v = v1 + (v2 − 1)n2 con 1 ≤ u1, v1 ≤ n2y 1 ≤ u2, v2 ≤ n1.

En A vamos a determinar a j como una columna en donde

aht = u2, aij = v2

y en B vamos a determinar a t como una columna en donde

bht = u1, bit = v1.

Entonces en D, en la columna g = t+ n22(j − 1) tenemos que

dhg = bht + (ahj − 1)n2 = u1 + (u2 − 1)n2 = u

ydig = bit + (aij − 1)n2 = v1 + (v2 − 1)n2 = v.

Por lo cual los renglones h e i de D son ortogonales y como fueron elegidos de manera arbitraria,podemos concluir que D es un arreglo ortogonal.


Corolario 1.5.2. Si n = pe11 pe22 · · · perr es la factorizacion del entero n en potencias de los primos

distintos p1, . . . , pr, entonces existen al menos N(n) MOLS de orden n, donde N(n) ≥ mın(peii −1)con i = 1, . . . , r.

Demostracion. Para n = peii , i = 1, . . . , r hay un OA(ni, ni + 1) para i = 1, . . . , r. Si tomamos as como el mınimo de todos los ni + 1, existe un OA(ni, s). Si aplicamos repetidas veces el teoremaanterior, entonces existe un OA(n, s) y ası podemos decir que s− 2 = mın(ni− 1) MOLS de ordenn.

El siguiente ejemplo es el cuadrado greco-latino dado por Parker(1959) que muestra queN(10) ≥ 2.

Ejemplo 1.5.3.

00 47 18 76 29 93 85 34 61 5286 11 57 28 70 39 94 45 02 6395 80 22 67 38 71 49 56 13 0459 96 81 33 07 48 72 60 24 1573 69 90 82 44 17 58 01 35 2668 74 09 91 83 55 27 12 46 3037 08 75 19 92 84 66 23 50 4114 25 36 40 51 62 03 77 88 9921 32 43 54 65 06 10 89 97 7842 53 64 05 16 20 31 98 79 87

.

El siguiente cuadrado latino de orden 10 fue dado por Hedayat (1973) y satisface la propiedadde ser auto-ortogonal. Dio ası una prueba independiente de que N(10) ≥ 2.

Ejemplo 1.5.4.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 93 6 5 4 0 8 9 1 7 27 0 1 9 8 6 3 2 5 49 7 6 5 2 3 1 0 4 88 2 7 1 9 4 0 5 6 31 3 4 7 5 2 8 6 9 02 5 0 8 7 9 4 3 1 65 4 9 6 3 7 2 8 0 16 9 8 2 1 0 7 4 3 54 8 3 0 6 1 5 9 2 7

.

1.6. Colapso de la conjetura de Euler

Usando los disenos balanceados, Parker mostro que N(21) ≥ 4.

27 1.6 Colapso de la conjetura de Euler

Lema 1.6.1. Si existe un PBD (v,K, λ) con bi bloques de tamano ki para cada ki ∈ K, entonces

λv(v − 1) =∑

biki(ki − 1).

Demostracion. Hay(v2

)= 1

2v(v − 1) parejas de elementos, cada pareja aparece λ veces, dando12λv(v − 1) parejas en el total de bloques. Por otra parte, cada bloque de tamano ki, contiene(ki2

)= 1

2ki(k1 − 1) parejas, de tal manera que el numero total de parejas en los bloques es por lotanto

∑i12biki(ki − 1). Ası

λv(v − 1) =∑i

biki(ki − 1).

El siguiente teorema relaciona a los disenos balanceados con los cuadrados latinos.

Teorema 1.6.1. Si un PBD (v,K, 1) existe, entonces

N(v) ≥ mınk∈K

N(k)− 1.

Demostracion. Sea q = mınk∈K N(k), entonces para cada k ∈ K existen q MOLS de orden ky por lo tanto un OA(q + 2, k) sobre {1, . . . , k}. Sin perdida de generalidad, supongamos que elprimer renglon del OA(q + 2, k) es

11 . . . 122 . . . 2kk . . . k

y que cualquier otro renglon comienza con 12 . . . k. Quitamos el primer renglon y las primeras kcolumnas de cada arreglo para obtener los arreglos Dk con q + 1 renglones y k(k − 1) columnasen el que las parejas verticales en cualesquiera dos renglones son precisamente todos los paresordenados de elementos distintos de {1, . . . , k}. Sean los bloques del PBD B1, . . . , Bb. Para cadaB, reemplazamos cada entrada i en D|B| por el i-esimo elemento de B y denotamos al arregloresultante por EB. Ordenamos a todos los EB’s en un renglon y lo anadimos al arreglo

F =

1 2 . . . v1 2 . . . v...

...1 2 . . . v

(q+1)×v

,

entonces A = [EB1 . . . EBbF ]. Por el lema anterior se tiene que

v +∑ki∈K

biki(ki − 1) = v + v(v − 1) = v2


columnas. Ademas A es un AO(q+1, v). Consideremos el i-esimo y j-esimo renglon. Para encontrardonde el par (a, b)′ aparece en estos renglones, hay que tener en cuenta que precisamente un bloqueB contiene a a y b. En EB, el par (a, b)′ aparecera en el i-esimo y j-esimo renglon exactamente unavez y claramente no se encuentra fuera de EB. Por lo tanto, un OA(q + 1, v) existe y ası N(v) ≥q − 1.

Teorema 1.6.2. Si un (k2 − k + 1, k, 1)-diseno existe, entonces N(k2 − k + 1) ≥ N(k).

Usando un (21, 5, 1)-diseno, por el Teorema 1.6.2 se tiene que N(21) ≥ 4 y usando un (57, 8, 1)-diseno, tenemos que N(57) ≥ 7.

Si los bloques de tamanos en {k1, . . . , kr} en un PBD(v, k, 1) son todos disjuntos, entonces sedice que forman un Conjunto Claro de Bloques. El siguiente teorema dado por Bose en 1960generaliza el Teorema 1.6.1 dado por Parker.

Teorema 1.6.3. Si existe un PBD(v, k, 1) con k = {k1, . . . , kr, kr+1, . . . , km} donde no hay dosbloques con tamanos en {k1, . . . , kr} que se intersecten, entonces

N(v) ≥ min{N(k1), . . . , N(kr), N(kr+1)− 1, . . . , N(km)− 1)}

.

Demostracion. Sea q = 1 + mın{N(k1), . . . , N(kr), N(kr+1)− 1, . . . , N(km)− 1}. Entonces paracada i > r hay q MOLS de orden ki. Si todos tienen como primera fila a 12 . . . k, podemos con-struir un OA(q + 2, ki). A continuacion eliminamos el primer renglon y las primeras ki columnas,para obtener un arreglo Pi con q + 1 renglones y ki(ki − 1) columnas, en el que los pares verti-cales obtenidos al tomar cualesquiera dos renglones son precisamente todos los pares ordenados deelementos distintos de {1, . . . , ki}. Ahora para cada i ≤ r, definimos Pi como un OA(q+ 1, ki) cor-respondiente a q− 1 MOLS de orden ki, cada uno tiene como primer renglon a 1, . . . , ki. Entoncescada Pi tiene q + 1 renglones y Pi tiene k2i columnas si i ≤ r, pero k2i − ki columnas si i > r.

Ahora tomemos cualquier bloque Bj del PBD, si este es de tamano ki, reemplazamos cada hde Pi por el elemento h de Bj , a fin de obtener un arreglo Cj . Hacemos esto para cada j = 1, . . . , b.Finalmente queda que

C = [C1C2 . . . CbF ]

donde F tiene una columna constante para cada elemento del PBD, no en cualquier bloque delConjunto Claro. El numero de columnas es igual a∑

i≤rbik

2i +

∑i>r

biki(ki − 1) + v −∑i≤r

kibi,

donde bi es el numero de bloques de tamano k. Por el Lema 1.4.2, este numero es igual a

m∑i=1

bik2i −

m∑i=1

biki + v = v + v2 − v = v2


Ası, el numero de columnas en C es v2 y C es un arreglo de tamano (q+ 1)× v2. Podemos afirmarque C es un OA(q + 1, v), de modo que N(v) ≥ q − 1.

Consideremos cualesquiera dos renglones y cualesquiera dos elementos x, y del PBD.

Si x = y el par (x, y)′ se presenta en F o en un Cj correspondiente a un bloque del ConjuntoClaro que contiene a x. Si x 6= y , x e y se presentan en un unico bloque Bj y el par (x, y)′ sepresenta en Cj .

Recordemos que, un diseno es resoluble si los bloques pueden ser organizados en r grupostal que los b

r = vk bloques de cada grupo son disjuntos y contienen en su union a cada elemento

exactamente una vez. Los grupos son llamados clases de resolucion o clases paralelas. b denotael numero de bloques en el diseno.

Teorema 1.6.4. Si N(m) ≥ k − 1, entonces existe un PBD(km, {k,m}, 1) resoluble con m + 1clases de resolucion, en el que el bloque de tamano m, es una forma de las clases de resolucion.

Demostracion. Dado que N(m) ≥ k − 1, existe un A = OA(k + 1,m) cuyo primer renglon es

11 . . . 122 . . . 2 . . .mm . . .m.

Primero asignemos las columnas que perteneceran a cada uno los m grupos. Pertenecen al grupo iaquellas columnas que tienen al elemento i en su primera posicion. Eliminamos el primer renglonde A y a cada elemento i del j-esimo renglon del arreglo resultante lo sustituimos por i+ (j− 1)m,dando ası una matriz de tamano k×m2 sobre los elementos 1, . . . , km. Consideremos las columnasde este arreglo como bloques del diseno, entonces tenemos un diseno de v = km elementos con m2

bloques, cada uno de tamano k. Ademas por la propiedad de un OA, los bloques en cada grupocontienen en su union a cada elemento de 1, . . . , km exactamente una vez, por lo que el diseno esresoluble con m clases de resolucion. Sin embargo, no es balanceado dado que no hay dos elementosde la forma i+(j−1)m, i′+(j−1)m que puedan estar en el mismo bloque. Para obtener un disenobalanceado, anadimos k bloques B1, . . . , Bk. Definimos a Bj = {i + (j − 1)m|1 ≤ i ≤ m}. Estosbloques de tamano m claramente forman una clase de resolucion mas y junto con los bloques detamano k forman un PBD(km, {k,m}, 1) con las propiedades requeridas.

Ejemplo 1.6.1. Sea m = 4 y k = 3. Los primeros dos cuadrados latinos del Ejemplo 1.2.4 nosdan el siguiente OA(4, 4)

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 41 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 11 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2


Borramos el primer renglon, sumamos 4 a cada elemento del tercer renglon y 8 a cada entrada delcuarto renglon, obtenemos que 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 6 5 8 7 7 8 5 6 8 7 6 59 10 11 12 12 11 10 9 10 9 12 11 11 12 9 10

Tomamos a las columnas como bloques y tambien a los siguientes bloques {1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8} y{9, 10, 11, 12} ası obtenemos un PBD(12, {3, 4}, 1) resoluble.

Corolario 1.6.1. Si N(m) ≥ k − 1 y x < m, entonces

a) existe un PBD(km+ x, {x,m, k, k + 1}, 1) y

b) N(km+ x) ≥ mın{N(m), N(x), N(k)− 1, N(k + 1)− 1}.

Demostracion. Por el teorema anterior, existe un PBD(km, {k,m}, 1) resoluble con m+1 clasesde resolucion. Sean B1, . . . , Bk bloques de tamano k que forman la clase (m+ 1). Para cada i ≤ x,anadimos un nuevo elemento denotado por ∞i, a cada bloque de la i-esima clase de bloques detamano k e introducimos un nuevo bloque B∞ = {∞1, . . . ,∞x}. Esto nos determina un PBD(km+x, {x,m, k, k+ 1}, 1) en donde los k+ 1 bloques B1, . . . , Bk, B∞ forman una particion del conjuntode elementos. Ahora, si ni m ni x son iguales a k o k + 1, estos k + 1 bloques forman un ConjuntoClaro y se sigue (b). En otros casos (b) sigue siendo valido, ya que la funcion mınima rechaza aN(m) y/o N(x) de todas maneras. Note que si x = 1, el resultado es cierto con la convencion deque N(1) =∞.

Ejemplo 1.6.2.

N(62) = N(4 · 13 + 10) de modo que k = 4 ,m = 13 y x = 10. Entonces N(13) = 12 ≥ k − 1.De esto se sigue que N(62) ≥ mın{N(13), N(10), N(4)− 1, N(5)− 1} = 2.

N(74) = N(4 · 16 + 10) ≥ mın{N(16), N(10), N(4)− 1, N(5)− 1} = 2.

N(86) = N(4 · 19 + 10) ≥ mın{N(19), N(10), N(4)− 1, N(5)− 1} = 2.

N(100) = N(7 · 13 + 9) ≥ mın{N(13), N(9), N(7)− 1, N(8)− 1} = 5.

Como observamos, varios de los ejemplos usan el inciso (b) del corolario anterior con k = 4. Deeste valor de k obtenemos el siguiente teorema.

Teorema 1.6.5. Si N(m) ≥ 3, N(x) ≥ 2 y 1 ≤ x < m, entonces N(4m+ x) ≥ 2.

Lema 1.6.2. N(4t) ≥ 3 para todo t ≥ 1.


Demostracion. Por el Teorema de Moore-MacNeish, N(4t) ≥ 3, excepto posiblemente cuando tes divisible por 3, pero no por 9. Para hacer frente a estos casos, escribimos 4t = 22a+b3u, donde(u, 6) = 1 y b = 2 o 3.

Si u22a 6= 1, entonces N(u22a) ≥ 3, de modo que N(4t) ≥ mın{N(3 · 2b), 3}. En cualquier casonecesitamos solamente probar que N(12) ≥ 3 y N(24) ≥ 3.

Tomemos un (q2, q, 1)-diseno, si eliminamos a uno de sus elementos obtenemos un PBD(q2 −1, {q, q − 1}, 1) en donde los conjuntos de tamano q − 1 forman un conjunto claro de bloques.De esto se deduce que N(q1 − 1) ≥ N(q − 1) para q potencia de un primo. De tal manera queN(52 − 1) ≥ N(5 − 1) ≥ 3, es decir, N(24) ≥ 3. En 1961, Dulmage, Johnson y Mendelsohnconstruyen 5 MOLS de orden 12 mostrando ası, que N(12) ≥ 5.

Ahora podemos probar el teorema principal.

Teorema 1.6.6. N(n) ≥ 2 para todo entero positivo n 6= 2 o 6.

Demostracion. Por todo lo visto anteriormente solo es necesario considerar (n ≡ 2mod 4), valorde n para el cual Euler conjeturo que N(n) = 1. Cualquier (n ≡ 2mod 4) puede escribirse comon = 16k + y = 16(k − 1) + (16 + y) donde y = 2, 6, 10 o 14.

Para el caso n = 18, tomamos un (21, 5, 1)-diseno. Elegimos 3 elementos del diseno que no estenen el mismo bloque y los eliminamos de todos los bloques donde aparezcan. Ası, obtenemos unPBD(19, {3, 4, 5}, 1). Se tienen 3 bloques de tamano 3 que forman un conjunto claro de bloques,entonces por el Teorema 1.6.3 se tiene que N(18) ≥ mın{N(3), N(4)− 1, N(5)− 1} = 2.

Para n = 22, dado que 22 = 12 + 10, por el Corolario 1.5.1 se tiene que N(22) ≥ 2. N(26) ≥ 2se obtiene mediante la construccion de un OA(4, 26). N(30) ≥ mın{N(3), N(10)} = 2. Ası, por elTeorema 1.6.6 y el Lema 1.6.2

N(16k + y) = N(4(4(k − 1)) + (16 + y)) ≥ 2

siempre que k − 1 ≥ 1 y 16 + y < 4(k − 1), es decir, siempre que k ≥ 2 y 4k − 4 > 30, es decir,siempre que k ≥ 9. De tal manera que para n ≥ 144 se tiene que N(n) ≥ 2.

Lo que queda por hacer es verificar que N(n) ≥ 2 para todo (n ≡ 2mod 4) con 6 < n < 144.Todos los n ≤ 30 ya se han discutido. Para n = 34, 46, 58, 70, 82, 94, 106, 118, 130, 142 se cumpleque N(n) ≥ 2 por el Corolario 1.5.1.

Para n = 38 se toma un (41, 5, 1)-diseno. Se eligen 3 elementos que no esten en el mismo bloquey se eliminan de todos los bloques donde aparecen, esto nos determina un PBD(38, {3, 4, 5}, 1)donde los bloques de tamano 3 forman un conjunto claro de bloques. De tal manera que N(38) ≥mın{N(3), N(4)− 1, N(5)− 1} = 2 por el Teorema 1.6.3.

Los casos para n = 62, 74, 86 se trataron en el Ejemplo 1.6.2. Finalmente, 42 = 3(14), 50 = 5(10),54 = 3(18), 66 = 3(22), 78 = 3(26), 90 = 3(30), 98 = 7(14), 102 = 3(34), 110 = 10(11), 114 = 3(38),


122 = 4(27) + 14, 126 = 3(42), 134 = 4(27) + 26, 138 = 4(46) son tratados de forma similar comoen los casos anteriores.

Y ası queda establecido que N(n) ≥ 2 para todo n 6= 2 o 6. Claramente N(2) = 1. El hecho queN(6) = 1 se demostrara en la siguiente seccion.

1.6.1. No existen dos MOLS de orden 6

El numero 6 es la unica excepcion del resultado general N(n) ≥ 2 para todo n > 2. Recordemosque el problema de los 36 oficiales de Euler es equivalente al problema de la existencia de dosMOLS de orden 6 y que la conjetura de Euler nos dice que tales MOLS no existen. En estaseccion presentamos la prueba dada por Stinson (1984) de que efectivamente no existen dos MOLSde orden 6.

Un diseno transversal TD(k,m) consiste en una coleccion de subconjuntos de cardinalidad k(bloques) de un conjunto X de cardinalidad km y una coleccion de subconjuntos disjuntos (grupos)de cardinalidad m que forman una particion de X tales que

i) cada bloque contiene exactamente un elemento de cada grupo y

ii) cualquier par de elementos de grupos diferentes aparecen en exactamente un bloque.

En otras palabras, un TD(k,m) es un PBD(km, {k,m}, 1) en donde los bloques de tamano mforman una particion del conjunto X = {1, 2, . . . , km}.

Lema 1.6.3. En un TD(k,m) cada elemento aparece en m bloques.

Demostracion. Supongamos que el elemento x esta en r bloques. Entonces hay r(k − 1) elementosdistintos a x dentro de estos bloques y m− 1 elementos distintos a x en el grupo que lo contiene,de modo que el numero total de elementos del diseno es

r(k − 1) + (m− 1) + 1 =km

r(k − 1) =km− (m− 1)− 1

r(k − 1) =k(m− 1)

r = m.

El siguiente lema relaciona a los disenos ortogonales con los disenos transversales.

Lema 1.6.4. Un OA(k,m) existe si y solo si un TD(k,m) existe.


Demostracion. Tenemos un A = OA(k,m) sobre el conjunto {1, 2, . . . ,m}. Sumamos (i − 1)m acada una de las entradas de i-esimo renglon de A. Ahora, a cada una de las columnas del arregloque resulta la tomamos como un bloque, teniendo ası m2 bloques de cardinalidad k del conjuntoX = {1, 2, . . . , km} donde cada uno de ellos, por construccion, contiene exactamente un elementode los conjuntos {1, 2, . . . ,m}, {m + 1, . . . , 2m}, . . ., {(k − 1)m + 1, . . . , km} que son k grupos decardinalidad m que forman una particion de X. Finalmente como A es un OA(k,m) cada par deelementos tomados de distintos grupos aparecen en exactamente uno de los bloques.

Recıprocamente, sea T un TD(k,m). Etiquetemos a los elementos de T de modo que sus grupossean G1 = {1, . . . ,m}, . . . , Gk = {(k − 1)m + 1, . . . , km} y escribimos a cada uno de los bloquesde T como columnas con sus elementos en orden creciente. Esto nos da un arreglo A de tamanok×m2 en donde cada elemento del i-esimo renglon de A pertenece a Gi. Ahora, restamos (i− 1)ma cada uno de los elementos del i-esimo renglon de A. El arreglo resultante es un OA(k,m), ya quesi consideramos al i-esimo y j-esimo renglon del arreglo, el par ordenado (a, b) aparecera en estosdos renglones en la columna que corresponde al unico bloque de T que contiene a los elementosa+ (i− 1)m y b+ (j − 1)m.

La idea general de la prueba de Stinson consiste en suponer la existencia de un TD(4, 6), equiva-lente combinatoriamente a dos MOLS de orden 6 y estudiar su matriz de incidencia algebraica-mente. Se establecen tres relaciones de dependencia sobre el espacio vectorial generado por lascolumnas de dicha matriz y se prueba (usando un argumento de dimension) que debe existir unarelacion de dependencia mas. Entonces, usando un argumento combinatorio que involucra “parejascubiertas” en los bloques del diseno transversal (TD), se demuestra que tal relacion de dependenciano existe, llegando ası a una contradiccion.

Supongamos que existen dos MOLS de orden 6, entonces existe un A = OA(4, 6) y por el Lema1.6.4 existe T , un TD(4, 6) sobre el conjunto X = {1, 2, . . . , 24}. Denotaremos a los bloques decardinalidad 4 de T como B1, B2, . . ., B36 y a los grupos como B37 = {1, . . . , 6}, B38 = {7, . . . , 12},B39 = {13, . . . , 18}, B40 = {19, . . . , 24}. Cada elemento de X esta en exactamente un grupo de Ty por el Lema 1.6.3 en 6 bloques de tamano 4, es decir, en siete bloques en total.

Sea M = (mij) la matriz de incidencia de T , de modo que M tiene 40 renglones que representana los 40 bloques del diseno y 24 columnas que representa a los elementos de X. Denotamos alas columnas de M como c1, . . . , c24 donde cti = (m1i, . . . ,m40i) y definimos a C como el espaciovectorial sobre GF (2) generado por c1, . . . , c24.

Lema 1.6.5. La dimension de C es a lo mas 20.

Demostracion. Dado que T es balanceado con λ = 1, tenemos que ci · cj = 1 (producto escalar)para i 6= j, pero ci · ci = 7 ≡ 1(mod 2) para todo i, por lo que ci · (cj + ck) = 0 en GF (2) paracualquier eleccion de i, j, k.

Supongamos que C tiene dimension d, de tal manera c1, . . . , cd forman una base para C. Entoncesc1+c2, c1+c3, . . . , c1+cd son ortogonales a cada ci. Por lo tanto estan en el complemento ortogonal de


C denotado por C⊥ y ademas son linealmente independientes. De tal manera que dim(C⊥) ≥ d−1,es decir, dim(C⊥) ≥ dim(C) − 1. Por otra parte, se tiene que dim(C) + dim(C⊥) = 40, entoncesdim(C) ≤ 20.

El nucleo o kernel de M , denotado por ker M es

{x ∈ (GF (2))24|Mx = 0}.

Se conoce que dada una matriz A de tamano m× n. Entonces

rango(A) + dim(ker(A)) = n (∗)

donde rango(A) es igual a la dimension del espacio generado por las columnas de A.

Por el Teorema 1.6.5 se tiene que el rango(M) = dim(C) ≤ 20 y por (∗) se tiene que rango(M)+dim(ker(M)) = 24, luego dim(ker(M)) ≥ 4, es decir, hay al menos cuatro relaciones de depen-dencia entre las columnas de M “independientes” entre sı. Una dependencia entre las columnascorresponde a un conjunto Y de elementos en X que cumplen |Bj

⋂Y | ≡ 0(mod 2) para todo

j ≤ 40. Llamaremos a tal Y un subconjunto par de X = {1, . . . , 24}. Por ejemplo, un subcon-junto par Y es B37

⋃B38, ya que

|Bi⋂

(B37

⋃B38)| =

6 si i = 37 o 380 si i = 39 o 402 si i ≤ 36

Similarmente B37⋃B39 y B37

⋃B40 son tambien subconjuntos pares. B39

⋃B40 es tambien un

subconjunto par, pero no es “independiente” a los anteriores. Ası que tres relaciones de dependencia“independientes” entre las columnas de M ya han sido expuestos y por el lema anterior debe existirotra. Para probar N(6) = 1 demostraremos que no puede existir otra relacion de dependencia.

Lema 1.6.6. Si Y es un subconjunto par de X, entonces |Y | = 8 o 12.

Demostracion. Sea |Y | = m, como el complemento de un subconjunto par es tambien parpodemos asumir que m ≤ 12. Supongamos que hay b0 valores de i para |Bi

⋂Y | = 0, b2 para

|Bi⋂Y | = 2, b4 para |Bi

⋂Y | = 4 y b6 para |Bi

⋂Y | = 6, entonces

b0 + b2 + b4 + b6 = 40, (1.4)

dado que cada elemento esta en exactamente siete bloques

2b2 + 4b4 + 6b6 = 7m (1.5)

y ademas, puesto que λ = 1

b2 + 6b4 + 15b6 =1

2m(m− 1). (1.6)


Por (1.5) y (1.6)7

2m− 2b4 − 3b6 =

1

2m(m− 1)− 6b4 − 15b6,

es decir,

b4 + 3b6 =m(m− 8)

8. (1.7)

Dado que m ≤ 12 y 18m(m− 8) es un entero no negativo, entonces m = 8 o 12.

Supongamos que existe otro subconjunto par Y “independiente” a los ya dados. Por el lemaanterior |Y | = 8 o 12. Estas dos posibilidades las consideraremos de manera separada y se mostraraque ambas son imposibles.

Caso |Y | = 8.

Si |Y | = 8 las ecuaciones (1.4) y (1.7) nos dan b4 = 0, b6 = 0, b2 = 28, b0 = 12. Tenemos que12 bloques son disjuntos a Y y 28 bloques intersectan a Y en 2 elementos. Ninguno de los bloquesB37, B38, B39, B40 pueden estar entre los bloques que son disjuntos a Y , ya que si alguno de ellosestuviera, los restantes tendrıan que intersectar a Y en mas de 2 elementos, lo cual no es posibleen este caso. De tal manera que Y tiene precisamente 2 elementos de cada uno de los grupos de T .

Ahora, si eliminamos a los elementos de Y de los bloques de T obtenemos un nuevo disenoQ sobre 16 elementos. Los 12 bloques Bi de T que son disjuntos a Y no se alteran, los bloquesB37, . . . , B40 dan a Q 4 bloques de tamano 4 y los 24 bloques restantes de T dan a Q 24 bloquesde tamano 2, quedando ası un PBD(16, {4, 2}, 1).

Por conveniencia, renombramos a los elementos de Y como {a, b, . . . , h}, de modo que los gruposde T quedan de la siguiente manera

B37 = {1, . . . , 4, a, b}, B38 = {5, . . . , 8, c, d}, B39 = {9, . . . , 12, e, f}, B40 = {13, . . . , 16, g, h}

y los elementos de Q son 1, . . . , 16.

Lema 1.6.7. Cada i ≤ 16 pertenece a tres bloques de Q de tamano 2, digamos {i, j}, {i, k}, {i, l}donde cada uno de i, j, k, l pertenecen a grupos distintos T .

Demostracion. Supongamos que i se encuentra en u bloques de tamano 2 y v bloques de tamano4, entonces u + v = 7 y dado que λ = 1 se tiene que u + 3v = 15, resolviendo estas ecuacionesllegamos a que u = 3 y v = 4. Ası cada elemento i ≥ 16 pertenece a tres bloques de Q de tamano2. Estos tres bloques provienen de tres bloques de tamano 4 de T , cada uno de los cuales contienea i, a dos elementos de Y y a otro elemento. Sabemos que cada bloque de tamano 4 de T contieneexactamente un elemento de cada uno de sus grupos. Podemos suponer que i ∈ B37 y que lostres bloques de P son {i, c, e, j}, {i, d, g, k}, {i, f, h, l}. Ası j, k, l deben pertenecer a B40, B39 y B38

respectivamente.


Estudiaremos a Q mediante la construccion de una grafica G con 16 vertices etiquetados como1, . . . , 16 que representan a los elementos de Q. Existira una arista entre dos vertices de G si y solosi sus etiquetas forman un bloque de tamano 2 en Q. Por el Lema 1.6.7, G es regular de grado 3.

Lema 1.6.8. G no tiene triangulos

Demostracion. Supongamos que G tiene un triangulo, por el Lema 1.6.7 sus vertices deben depertenecer a diferentes grupos de T . Sin perdida de generalidad supongamos que los vertices de untriangulo en G son 1, 5 y 9. Entonces, los posibles bloques en T que originaron este triangulo son

{1, 5, e, g} {1, 9, c, h} {5, 9, a, g} o {1, 5, e, g} {1, 9, c, h} {5, 9, a, h}

pero esto no es posible, ya que no cumplen la condicion de λ = 1 del diseno.

Lema 1.6.9. Para todo i ≤ 16, no existe un bloque de T que contenga a los tres vertices adyacentesa i en G.

Demostracion. Supongamos que 1 es adyacente a 5,9, 13 en G y que {2, 5, 9, 13} es un bloque deT . Los bloques que contienen a 1 pueden ser {1, 5, e, g}, {1, 9, c, h}, {1, 13, d, f}, B37, {1, 6, 10, 14},{1, 7, 11, 15} y {1, 8, 12, 16}, de estos bloques podemos suponer que {2, 6, 11, 16} y {2, 7, 12, 14} sonotros dos bloques de T . 2 debe de estar con 8, 10 y 15 en bloques de tamano 2 en Q, por lo cual 2es adyacente a 8, 10 y 15 en G.

Recordemos que 12 bloques de T son disjuntos a Y , de estos, 6 ya han sido mencionados y losotros seis contienen a 3 o 4 y a uno de 5,9 y 13, es decir,

{3, 5, , } {4, 5, , }{3, 9, , } {4, 9, , }{3, 13, , } {4, 13, , }

Como ya se habıa mencionado, 2 aun no esta en un bloque junto a 8, 10 o 15, de modo que 2 debede ser adyacente con 8, 10 y 15 en G, de esta manera {8, 10}, {8, 15}, {10, 15} no son pares devertices unidos por una arista en G (de otro modo formarıan un triangulo en G), por lo que estostres pares deben de pertenecer a bloques de tamano 4, de modo que deben de llenar los vacıos entres de los seis bloques incompletos descritos anteriormente, pero no hay manera de que encajensin romper la condicion λ = 1 del diseno.

Lema 1.6.10. Para todo i ≤ 16, los tres pares formados por los tres vertices adyacentes a i en Gpertenecen a diferentes bloques de T .

Demostracion. Sea i adyacente a j, k, l en G y supongamos que {j, k} y {j, l} pertenecen almismo bloque de T , entonces j, k, l se encuentran todos en un mismo bloque, contradiciendo elLema 1.6.9.


Ahora es posible tratar con el caso |Y | = 8, reetiquetando de nuevo, pero manteniendo los gruposcomo

B37 = {1, . . . , 4, a, b}, B38 = {5, . . . , 8, c, d}, B39 = {9, . . . , 12, e, f}, B40 = {13, . . . , 16, g, h}.

Supongamos que en G, 1 es adyacente a 5, 9, 13; 2 es adyacente a 6, 10, 14; 3 es adyacentea 7, 11, 15 y 4 es adyacente a 8, 12, 16. Sin perdida de generalidad supongamos que el bloqueque contiene a 6 y 10 es {1, 6, 10, 15}. Ahora debe de haber dos bloques de la forma {1, 7, , } y{1, 8, , } y como 1 aparecio con 9, 10 y 8 no puede estar con 12, entonces se deduce del Lema1.6.10 que estos bloques deben ser {1, 7, 12, 14} y {1, 8, 11, 16}. Ahora los elementos 5 y 9 debende estar juntos en algun bloque de tamano 4. Si fuera {2, 5, 9, j} entonces j no puede ser 13 (porel Lema 1.6.9) o 14, de modo que j=15 o 16. Si {2, 5, 9, 15} es un bloque, entonces el resto de losbloques de tamano 4 que contienen a 2 son {2, 7, 11, } y {2, 8, 12, } donde faltan los elementos 13y 16, y como 11 ya aparecio con 16, entonces los bloques deben ser {2, 7, 11, 13} y {2, 8, 12, 16},pero 8, 12, 16 no satisfacen el Lema 1.6.9. De tal manera que |Y | no puede ser igual a 8.

Caso |Y | = 12.

Para este caso los 12 elementos de Y tienen que ser distribuidos entre los cuatro gruposB37, . . . , B40

con un numero par en cada uno de ellos. La siguiente tabla muestra las diferentes posibilidades dedistribuirlos.

B37 B38 B39 B40

(a) 6 6 0 0(b) 6 4 2 0(c) 6 2 2 2(d) 4 4 4 0(e) 4 4 2 2

Si estamos en el (a), Y es justamente B37⋃B38, un subconjunto par ya se considero. Para los

siguientes casos, utilizamos el hecho de que la suma (mod 2) de dos subconjuntos pares es unsubconjunto par, es decir, la suma de dos elementos en ker(M) pertenece a ker(M). Por ejemplo,si estamos en el caso (b)

B37 B38 B39 B40

Y 111111 111100 110000 000000B37

⋃B38 111111 111111 000000 000000

Y + (B37⋃B38) 000000 000011 110000 000000

Como observamos Y + (B37⋃B38) es un subconjunto par de tamano 4, contradiciendo el Lema

1.6.6. De manera similar en los casos (c), (d) y (e) se obtienen subconjuntos pares de tamano 8,pero esta posibilidad ya fue rechazada.

Por todo lo anterior queda demostrado el siguiente teorema.

Teorema 1.6.7. No existen dos MOLS de orden 6.

CAPITULO2Aplicaciones de los Cuadrados Latinos

En este capıtulo mostraremos algunas de las aplicaciones de los cuadrados latinos. Es sorpren-dente la gran variedad de areas matematicas en donde dichos cuadrados ofrecen resultados impor-tantes, por ejemplo, en la estadıstica, la teorıa de graficas y la criptologıa.

2.1. Cuadrados Magicos

En esta seccion presentamos el uso de los cuadrados latinos diagonales en la construccion decuadrados magicos.

Un Cuadrado Magico es una matriz de tamano n × n de enteros con la propiedad de que lasuma de los numeros en cada renglon, cada columna y en las diagonales principales es la misma.El cuadrado es de orden n si los enteros son enteros consecutivos de 1 a n2. La suma es llamadanumero magico y la denotaremos como Sn, donde Sn = 1

2n(n2 + 1).

Ejemplo 2.1.1. Cuadrados Magicos de orden 4 y 6

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

35 1 6 26 19 24

3 32 7 21 23 25

31 9 2 22 27 20

8 28 33 17 10 15

30 5 34 12 14 16

4 36 29 13 18 11

S4 =1

24(42 + 1) = 34. S6 =

1

26(62 + 1) = 111.

39

Capıtulo 2. Aplicaciones de los Cuadrados Latinos 40

Veremos un poco de historia de algunas variaciones de estas estructuras, que tambien llamaremoscuadrados magicos. El diagrama Lo Shu es el mas antiguo ejemplo conocido de un cuadrado magicoen el mundo. Segun la leyenda, en los tiempos antiguos en China hubo un desbordamiento en elrıo Lo; la gente, temerosa, intento hacer una ofrenda al dios del rıo para calmar su ira mediantesacrificios. Sin embargo, cada vez que lo hacıan, aparecıa una tortuga que rondaba la ofrenda sinaceptarla, hasta que un nino se dio cuenta de que las peculiares marcas del caparazon de la tortugaformaban un patron. Despues de estudiar estas marcas, la gente se dio cuenta de la cantidad correctade sacrificios era 15, quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

Figura 2.1: Lo-shu.

Los numeros en cada fila, arriba y abajo, a traves, o en diagonal, suman 15, que pasa a ser elnumero de dıas que tarda la luna nueva para convertirse en una luna llena. El diagrama Lo Shu seremonta hasta 5600 anos, segun algunas estimaciones.

Tambien se pueden encontrar cuadrados magicos en el arte. El mas famoso esta incluido enun grabado de Alberto Durero, llamado Melancolıa. En este cuadrado magico de orden cuatro seobtiene la constante magica 34 en filas, columnas, diagonales principales, en las cuatro submatricesde orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los numeros de las esquinas, los cuatronumeros centrales, los dos numeros centrales de las filas (o columnas) primera y ultima, etc. Lasdos cifras centrales de la ultima fila 1514 es el ano de ejecucion de la obra.

41 2.1 Cuadrados Magicos

Figura 2.2: Alberto Durero. Melancolıa

Otro cuadrado magico es el que se encuentra en la fachada del templo de la Sagrada Familia,iniciado por el arquitecto Gaudı, en Barcelona. El numero magico de este cuadrado es 33, edad enla que Jesucristo fue crucificado.

Figura 2.3: Sagrada Familia. Josep Maria Subirach.

Ahora les mostraremos el metodo desarrollado por Leonhard Euler en 1782 para construircuadrados magicos, utilizando cuadrados latinos (ver [15]).

Sean L1 y L2 dos cuadrados latinos ortogonales de orden n con conjunto baseS = {0, 1, 2, . . . , n− 1}. Definimos las entradas de la matriz M de la siguiente forma

M(i, j) = nL1(i, j) + L2(i, j) + 1, con i, j ∈ 1, . . . , n.

Como L1 y L2 son ortogonales, todas las posibles combinaciones de los elementos de S aparecenexactamente una vez en M . Ahora es suficiente sumar 1 a cada elemento de M para obtener una


nueva matriz CM que contiene a todos los numeros entre 1 y n2. Verifiquemos que la suma de loselementos de cualquier fila o columna de CM es igual al numero magico.

Sumemos los elementos del i-esimo renglon de CM

n∑j=1

CM(i, j) =n∑j=1

(M(i, j) + 1)

=n∑j=1

(nL1(i, j) + L2(i, j) + 1)

= n

n∑j=1

L1(i, j) +

n∑j=1

L2(i, j) +

n∑j=1

1

ahoran∑j=1

L1(i, j) =

n∑j=1

L2(i, j) =(n− 1)((n− 1) + 1)

2=n(n− 1)

2

ya que por ser L1 y L2 cuadrados latinos en cada renglon aparecen exactamente una vez cada unode los elementos del conjunto {0, 1, 2, . . . , n − 1}, por lo que se estan sumando los numeros del 1hasta n− 1. Entonces

n∑j=1

CM(i, j) = n

(n(n− 1)

2

)+n(n− 1)

2+ n

=n(n− 1)

2(n+ 1) + n

=n(n2 − 1)

2+ n

= n

((n2 − 1)

2+ 1

)= n(

n2

2− 1

2+ 1)

=1

2n(n2 + 1).

Como observamos la suma de los elementos del i-esimo renglon es igual al numero magico y porser i arbitrario se cumple para todos los renglones de CM . De manera analoga se muestra que lasuma de los elementos de cualquier columna de CM es igual al numero magico.

Este metodo garantiza que la suma de los elementos de cualquier fila o columna de CM es igualal numero magico. Sin embargo, la suma de los elementos de las diagonales principales no siemprees igual al numero magico. De tal manera que para que esto ultimo se cumpla, se deben hacerlas permutaciones necesarias de filas y columnas hasta que las diagonales principales satisfagan lapropiedad.


Ejemplo 2.1.2. Construyamos un cuadrado magico de orden 3.

Primero construyamos dos cuadrados latinos ortogonales. Mediante la demostracion del Teorema1.2.1 sabemos que

L1(i, j) ≡ j − i+ 1(mod 3) y L2(i, j) ≡ j + i− 1(mod 3)

nos producen cuadrados latinos ortogonales.

L1 =

1 2 00 1 22 0 1

L2 =

1 2 02 0 10 1 2

Ahora con L1 y L2 construimos a la matriz M de la siguiente manera

M(i, j) = 3L1(i, j) + L2(i, j)

quedando como sigue

M =

4 8 02 3 76 1 5

Sumando 1 a cada entrada de M obtenemos que

M ′ =

5 9 13 4 87 2 6

donde S3 = 15. Como observamos la diagonal inversa no suma el numero magico correspondiente,por lo que haremos las siguientes permutaciones

1. el primer renglon con el segundo.

2. la primera columna con la segunda columna.

Por lo tanto el cuadrado magico de orden 3 es

CM =

4 3 89 5 12 7 6

.

Ejemplo 2.1.3. Ahora construyamos un cuadrado magico de orden 4, que tendra por elementos1, 2, . . . , 16. Sean L1 y L2 dos cuadrados latinos ortogonales de orden 4

L1 =

1 2 3 02 1 0 33 0 1 20 3 2 1

L2 =

1 2 3 00 3 2 12 1 0 33 0 1 2


Ahora con L1 y L2 construyamos a la matriz M de la siguiente manera

M(i, j) = 4L1(i, j) + L2(i, j)

quedando como sigue 5 10 15 08 7 2 1314 1 4 113 12 9 6

Sumemos 1 a cada entrada de M

6 11 16 19 8 3 1415 2 5 124 13 10 7

.

Observemos que todos los renglones y columnas suman 34, excepto las diagonales principales, ası quetendremos que hacer algunas permutaciones de filas y columnas para obtener al cuadrado magicoque satisfaga esta propiedad.1.- Permutamos la columna 1 con columna 2.2.- Permutamos la columna 2 con la columna 3.3.- Permutamos la columna 3 con la columna 4.4.- Permutamos el renglon 2 con el renglon 3.De esta manera el cuadrado magico que satisface que la suma de los elementos en cada columna,renglon y diagonales principales es 34.

CM =

11 16 1 62 5 12 158 3 14 913 10 7 4

.

Como observamos, el problema que se presenta en los ejemplos anteriores es que la suma de loselementos de las diagonales no satisfacen la constante magica, de modo que, se tienen que hacerpermutaciones de filas y columnas para que se cumpla la condicion. Para solucionar el problema esnecesario que los cuadrados latinos ortogonales utilizados en la construccion del cuadrado magicotengan elementos distintos en ambas diagonales, a este tipo de cuadrados latinos los llamaremosCuadrados Latinos Diagonales.

Teorema 2.1.1. Si n es impar y no es multiplo de 3, entonces existe un cuadrado latino diagonalde orden n.

Demostracion. Primero mostremos que si a > b son enteros positivos con la propiedad de quea, b, a+ b, a− b son todos primos relativos con n, entonces la siguiente matriz es un cuadrado latino


diagonal.

L =

0 a 2a · · · (n− 1)ab b+ a b+ 2a · · · b+ (n− 1)a2b 2b+ a 2b+ 2a · · · 2b+ (n− 1)a...

......

......

(n− 1)b (n− 1)b+ a (n− 1)b+ 2a · · · (n− 1)b+ (n− 1)a

Como observamos los elementos de L en sus renglones 0 ≤ i ≤ n − 1 y columnas 0 ≤ j ≤ n − 1estan definidos de la siguiente manera

ib+ ja

Los elementos en cada renglon son distintos. Supongamos que existen dos elementos del i-esimorenglon que se repiten, entonces

ib+ ja ≡ ib+ ka (modn) para j 6= k

ja ≡ ka (modn)

(j − k)a ≡ 0(modn).

Sabemos que (n, a) = 1 y que 0 ≤ j, k ≤ n− 1, entonces j = k, lo cual es una contradiccion.

De forma analoga se demuestra que los elementos en cada una de las columnas son distintos.

Ahora demostremos que los elementos en la diagonal principal son distintos, nuevamente supon-gamos que existen dos que son iguales, entonces tendrıamos que

ib+ ia ≡ jb+ ja (modn)

i(b+ a) ≡ j(b+ a) (modn)

(i− j)(b+ a) ≡ 0(modn).

Por hipotesis tenemos que (b+a, n) = 1, entonces (i− j) = 0. Por lo tanto i = j. Sabemos que estaes una contradiccion. Por lo tanto los elementos de la diagonal principal son distintos. De formasimilar se muestra que los elementos de la diagonal inversa son distintos, utilizando la hipotesis(a− b, 1) = 1.

Teorema 2.1.2. Si n es impar y no es multiplo de 3, entonces existe un par de cuadrados latinosdiagonales mutuamente ortogonales.

Demostracion. Supongamos que a > b son enteros positivos con la propiedad de que a, b, a+b, a−bson todos primos relativos con n. En el teorema anterior se definio un cuadrado latino diagonal L.Sea LT la matriz transpuesta de L. LT es tambien un cuadrado latino. Demostremos que L y LT

son ortogonales.


Supongamos que no lo son, es decir, existe un par de coordenadas distintas (i1, j1) y (i2, j2) talesque

(i1b+ j1a, i1a+ j1b) = (i2b+ j2a, i2a+ j2b)

i1b+ j1a = i2b+ j2a

i1a+ j1b = i2a+ j2b.

De tal manera que i1 = i2 y j1 = j2, lo cual es una contradiccion. Por lo tanto L y LT sonortogonales.

Ejemplo 2.1.4. Construyamos el cuadrado magico de orden 7.

Sean n = 7, a = 3, b = 2, a − b = 1, a + b = 5. Entonces el cuadrado latino diagonal de orden 7y su transpuesto obtenidos mediante la construccion de la demostracion de los teoremas anterioresson

L =

0 3 6 2 5 1 42 5 1 4 0 3 64 0 3 6 2 5 16 2 5 1 4 0 31 4 0 3 6 2 53 6 2 5 1 4 05 1 4 0 3 6 2

y LT =

0 2 4 6 1 3 53 5 0 2 4 6 16 1 3 5 0 2 42 4 6 1 3 5 05 0 2 4 6 1 31 3 5 0 2 4 64 6 1 3 5 0 2

.

Entonces el cuadrado magico de orden 7 obtenido de L y L⊥ es

1 24 47 21 37 11 3418 41 8 31 5 28 4435 2 25 48 15 38 1245 19 42 9 32 6 2213 29 3 26 49 16 3923 46 20 36 10 33 740 14 30 4 27 43 17

.

S7 = 175.

Sabemos que no existe un par de MOLS de orden 6, pero a continuacion mostramos un cuadradomagico de orden 6, mismo que no puede ser construido mediante MOLS.

Ejemplo 2.1.5. Cuadrado magico de orden 6.


34 0 5 25 18 23

2 31 6 20 22 24

30 8 1 21 26 19

7 27 32 16 9 14

29 4 23 11 13 15

3 35 28 12 17 10


2.2. Sudoku

El juego del Sudoku consiste en llenar una cuadrıcula de 9 × 9 celdas (81 casillas) divididaen subcuadrıculas de 3 × 3 con numeros del 1 al 9 partiendo de algunos numeros ya dispuestosen algunas de las celdas de tal manera que cada renglon, columna y subcuadrıcula contenga a losnumeros del 1 al 9 exactamente una vez.

Ejemplo 2.2.1. Sudoku con 17 entradas dadas.

1

4

2

5 4 7

8 3

1 9

3 4 2

5 1

8 6

Algunas fuentes indican que el origen del juego puede situarse en Nueva York a finales de los anos1970. Entonces no se llamaba Sudoku sino simplemente Number Place (El lugar de los numeros).Posteriormente en los anos 80 llega a Japon donde se publica en el periodico Monthly Nikolist enabril de 1984 bajo el tıtulo ”Suji wa dokushin ni kagiru”, que se puede traducir como ”los numerosdeben estar solos”. Fue Kaji Maki, presidente de Nikoli, quien le puso el nombre. El nombre seabrevio a Sudoku (su = numero, doku = solo).

Observemos que la solucion de un Sudoku es un cuadrado latino de orden 9, pero no todocuadrado latino de orden 9 es solucion de un Sudoku dado que no todos los cuadrados latinoscumplen la condicion de que en cada subcuadrıcula aparecen los numero del 1 al 9 exactamenteuna vez.

Ejemplo 2.2.2. Solucion del Sudoku de orden 9 del ejemplo anterior.

6 9 3 7 8 4 5 1 2

4 8 7 5 1 2 9 3 6

1 2 5 9 6 3 8 7 4

9 3 2 6 5 1 4 8 7

5 6 8 2 4 7 3 9 1

7 4 1 3 9 8 6 2 5

3 1 9 4 7 5 2 6 8

8 5 6 1 2 9 7 4 3

2 7 4 8 3 6 1 5 9

49 2.2 Sudoku

Generalizando, tenemos que un Sudoku de orden n2 consiste en llenar una cuadrıcula de n2×n2celdas dividida en subcuadrıculas de n× n con numeros del 1 al n2 partiendo de algunos numerosya dispuestos en algunas de las celdas de tal manera que cada renglon, columna y subcuadrıculacontenga a los numeros del 1 al n2 exactamente una vez. De tal manera que a la solucion de unSudoku la llamaremos cuadrado latino Sudoku de orden n2 o simplemente SLS de orden n2.

Diremos que un cuadrado latino de orden n2 tiene la propiedad S si y solo si es un SLS.

Una cota superior para la cardinalidad del conjunto de cuadrados latinos Sudoku mutuamenteortogonales (MOSLS) de orden n2 es n2 − n, ya que si suponemos que los cuadrados latinos enel conjunto de MOSLS estan en forma estandar, entonces la entrada (2, 1) esta en la primerasubcuadrıcula de cada cuadrado, los elementos del 1 al n ya aparecen en el primer renglon y dadoque los cuadrados tienen que ser ortogonales no pueden tener el mismo valor en esa posicion. Porlo que el numero de los posibles valores para el elemento (2, 1) es a lo mas n2 − n.

Ejemplo 2.2.3. Para cuadrados latinos Sudoku de orden 4 podemos tener como maximo 22−2 = 2MOSLS.

1 2 3 4

3 4 1 2

2 1 4 3

4 3 2 1

1 2 3 4

4 3 2 1

3 4 1 2

2 1 4 3

2.2.1. Construccion de un conjunto maximo de MOSLS de orden k para k po-tencia de un primo

Las ideas desarrolladas en esta subseccion se basan en el artıculo realizado por Ryan M. Pederseny Timothy L. Vis. [10].

Sea k una potencia de un primo, K el campo finito de orden k2 y F el subcampo de K de ordenk. Dado que el grupo aditivo de F es un subgrupo del grupo aditivo de K las clases laterales de Fdeterminan una particion de K. Etiquetemos estas clases como Pi y ci denotara un representantede la clase Pi para 0 ≤ i ≤ k− 1. Ahora para cada par ordenado (i, j), el cuadrado latino Bi,j es latabla de adicion de F sobre los sımbolos de Pm donde cm + F = (ci + cj) + F . Entonces podemosescribir la tabla de adicion para K de la siguiente manera:

+ P0 P1 P2 · · · Pk−1P0 B0,0 B0,1 B0,2 · · · B0,k−1P1 B1,0 B1,1 B1,2 · · · B1,k−1P2 B2,0 B2,1 B2,2 · · · B2,k−1...

......

.... . .

...Pk−1 Bk−1,0 Bk−1,1 Bk−1,2 · · · Bk−1,k−1


Quitando las etiquetas de la tabla aditiva de K, lo que se obtiene es un cuadrado latino deorden k2 que denotaremos como A. Este cuadrado esta dividido en bloques de tamano k× k, cadauno de los cuales contiene a los elementos de una unica clase. De esa manera cualquier renglon deA intersectado con cualquier bloque de tamano k × k es precisamente una de las clases Pi. Estose sigue cumpliendo si permutamos los renglones de A, para obtener otro cuadrado latino L conbloques Ei,j . De hecho, si dos renglones del bloque Ei,j contienen los elementos de la misma clasePn, entonces estos dos mismos renglones tienen que intersectar Ei,l en los elementos de la mismaclase Pm. Esto prueba la siguiente proposicion

Proposicion 2.2.1. Sea L un cuadrado latino de orden k2 obtenido de permutar los renglones deA definido arriba. Si dos bloques Ei,j y Ei,k estan en el mismo renglon de bloques de L, entoncesEi,j tiene la propiedad S si y solo si Ei,k tambien la tiene.

Dado que cada renglon de un bloque contiene precisamente los elementos de una clase Pi reque-rimos simplemente que los renglones del bloque contenga a las diferentes clases para que se cumplala propiedad S. Esto lo podemos verificar considerando los elementos en la primera columna debloques de A y de aquı la siguiente proposicion.

Proposicion 2.2.2. Un bloque del cuadrado latino L que se definio anteriormente tiene la propiedadS si y solo si la primera columna contiene exactamente un elemento de cada una de las clases Pi.

Por la proposicion tenemos una manera facil de comprobar si un bloque de L tiene la propiedadS, solo tenemos que determinar las permutaciones apropiadas de los renglones de A para tenerSLS ortogonales. Para lograr esto, utilizamos la siguiente notacion: rg denota el renglon de A cuyaentrada en la primera columna es g y (g, h) denota la celda en A cuyo renglon comienza con g ycuya columna comienza con h. Esto nos lleva al siguiente teorema.

Teorema 2.2.1. Para cada x ∈ K\F , el cuadrado latino Lx formado por aplicar la permutacionrg → rg·x a los renglones de A tienen la propiedad S. Mas aun, para x1, x2 ∈ K\F con x1 6= x2,Lx1 y Lx2 son ortogonales.

Demostracion. Primero verifiquemos que Lx es un SLS. Sea B cualquier bloque de Lx. Por laproposicion anterior tenemos que si la primera columna de B tiene exactamente un elemento decada clase, entonces Lx es un SLS. Sea g = a · x y h = b · x elementos distintos en la primeracolumna de B. De la construccion de Lx se tiene que g · x−1 y h · x−1 se encuentran en la mismaclase aditiva. Esto implica que la diferencia g · x−1 − h · x−1 se encuentra en F . Pero, g − h ∈ F siy solo si x−1 ∈ F . Sin embargo x−1 6∈ F , por lo cual g y h estan en diferentes clases. Por lo tantola primera columna de B contiene exactamente a un elemento de cada clase.

Ahora supongamos que x1 6= x2 y que el valor de las celdas (g1, h1) y (g2, h2) en Lx1 es el mismo.De forma similar se procede en Lx2 . Dado que la entrada en la celda (gi, hj) en el cuadrado Lxlesta dada por gi · xl + hj , entonces se tienen las siguientes ecuaciones g1 · x1 + h1 = g2 · x1 + h2 yg1 ·x2 +h1 = g2 ·x2 +h2,las cuales al restarlas, nos da: g1 · (x1−x2) = g2 · (x1−x2) y como x1 6= x2esto implica que g1 = g2 y por tanto h1 = h2. De tal manera que Lx1 y Lx2 son ortogonales.

51 2.2 Sudoku

Dado que K\F tiene orden k2 − k, esta construccion produce un conjunto de MOSLS decardinalidad maxima. Esto prueba el siguiente corolario.

Corolario 2.2.1. Si k es potencia de un primo, entonces existe un conjunto de k2 − k MOSLS deorden k.

2.2.2. Construccion de un conjunto de MOSLS de orden k

Ahora para cuando k no es potencia de un primo utilizaremos el metodo de MacNeish que utilizala tecnica del producto directo para construir conjuntos de MOLS. En este caso se modificara estemetodo y haremos uso de los cuasigrupos.

Un sistema binario es un par (Q, ∗) donde Q es un conjunto y ∗ una operacion binaria sobre Q(una funcion que va de Q×Q a Q). Usualmente se escribe a la imagen de la operacion sobre el par(a, b) como a ∗ b.

Un cuasigrupo es un sistema binario (Q, ∗) que satisface las condiciones

Para cualquier a, b ∈ Q existe un unico x ∈ Q tal que a ∗ x = b.

Para cualquier a, b ∈ Q existe un unico y ∈ Q tal que y ∗ a = b.

Una tabla de Cayley de un conjunto con una operacion binaria es un arreglo cuadrado confilas y columnas indexadas por Q en algun orden (el mismo orden para filas y columnas). El valorde la entrada en la fila a y columna b sera a ∗ b.

Teorema 2.2.2. Un sistema binario (Q, ∗) es un cuasigrupo si y solo su tabla de Cayley es uncuadrado latino.

Demostracion. Sea A = (aij) un cuadrado latino de orden n, etiquetamos a las columnas del 1al n y de igual forma etiquetamos a los renglones. Definimos ij = aij . Dado que A es un cuadradolatino, al elegir cualquier renglon α ∈ {1, 2, . . . , n} y cualquier entrada β ∈ {1, 2, . . . , n} en eserenglon, entonces existe una unica columna i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que αi = β. De forma similarconsiderando α como cualquier columna, existe un unico renglon j tal que jα = β.

Sea (Q, ∗) un cuasigrupo con n elementos, para cada par de elementos qi, qj ∈ Q se tienen dosunicos elementos qk, ql ∈ Q tal que qiqk = qj y qlqi = qj . Notemos que i, j, k, l ∈ {1, 2, . . . , n}.Tenemos que para cada i e j existe un unico k tal que ik = j y un unico l tal que li = j. Esto esequivalente a decir que para cada renglon y columna existe una unica entrada en la cual ellos secruzan. Ası podemos construir un cuadrado latino para G por tener qiqk = qj si y solo si aij = k.

Diremos que dos cuasigrupos son ortogonales siempre que sus cuadrados latinos asociados seanortogonales.

Primero tenemos el siguiente resultado acerca de los productos directos en cuasigrupos.


Lema 2.2.1. Sean (G, ·1) y (G, ·2), (H, ·3) y (H, ·4) pares de cuasigrupos ortogonales y las opera-ciones ·1,3 y ·2,4 sobre el conjunto G × H que se definen como (a, b) ·1,3 (c, d) = (a ·1 c, b ·3 d) y(a, b) ·2,4 (c, d) = (a ·2 c, b ·4 d). Entonces (G×H, ·1,3) y (G×H, ·2,4) son cuasigrupos ortogonales.

Sea A y A′ MOSLS sobre el conjunto G = {1, 2, . . . ,m2} y B y B′ MOSLS sobre el conjuntoH = {1, 2, . . . , n2}. Definimos a los cuasigrupos (G, ·A), (G, ·A′), (H·B) y (H, ·B′) con a ·X b = Xa,b

donde X = A,A′, B o B′.

Si definimos a los cuasigrupos (G×H, ·A,B) y (G×H, ·A′,B′) con (a, b) ·X,Y (c, d) = (a·X , b ·Y d),entonces el lema nos dice que para obtener un par de SLS ortogonales, solo tenemos que encontrarun ordenamiento de los elementos de G ×H, para que los cuadrados latinos resultantes cumplanla propiedad S.

Sea C el cuadrado latino asociado a el cuasigrupo (G ×H, ·A,B), los bloques de C se obtienencomo pares ordenados de un bloque de A y un bloque de B. De forma mas precisa, el arreglo de losbloques en A crea una particion {Pi} de G de m conjuntos de cardinalidad m cada uno, donde cadaconjunto Pi se compone de los numeros del (i − 1)m + 1 al im. De tal manera que dos elementosde G estan en el mismo conjunto Pi si y solo si los renglones (o columnas) correspondientes a x y yintersectan a los mismos bloques de tamano m×m de A. En particular, cualquier bloque del SLSse determina de forma unica por un par de elementos de la particion y viceversa. De forma similar,el arreglo de los bloques en B crea una particion {Qi} de H de n conjuntos de cardinalidad n cadauno, donde cada conjunto Qi consta de los numeros del (i− 1)n+ 1 al in. Estas particiones de G yH generan una particion {Pi} × {Qi} en los elementos de G×H de mn conjuntos de cardinalidadmn cada uno.

Para obtener un SLS de orden (mn)2, ordenamos a los elementos de G×H de tal manera quelos elementos de cada elemento de la particion Pi×Qi sean consecutivos. Utilizamos este orden enla construccion de la tabla de Cayley para el cuasigrupo (G × H, ·A,B). Quitamos las etiquetas aesta tabla, entonces los bloques de tamano mn×mn del cuadrado latino C resultante se determinannuevamente de forma unica por un par de elementos de la particion y viceversa. Dado que esteorden es independiente de A y B, lo que queda es demostrar que C es un SLS.

Para verificar que C es un SLS, tenemos que demostrar que todo bloque de C cumple lapropiedad S. Sea R un bloque arbitrario de C determinado por un par arbitrario de elementos de laparticion (Pi×Qj determina los renglones de R y Pk×Ql las columnas). Entonces cualquier entradadeR tiene la forma (a, b)·A,B(c, d), con a ∈ Pi, b ∈ Qj , c ∈ Pk y d ∈ Ql. De este modo, sea a1, a2 ∈ Pi,b1, b2 ∈ Qj , c1, c2 ∈ Pk y d1, d2 ∈ Ql y supongamos que (a1, b1) ·A,B (c1, d1) = (a2, b2) ·A,B (c2, d2).Entonces a1 ·A c1 = a2 ·A c2 y como A es un SLS se tiene que a1 = a2 y c1 = c2. De forma similarse tiene que b1 ·B d1 = b2 ·B d2 y por ser B un SLS tenemos que b1 = b2 y d1 = d2. Ası todos loselementos de R son distintos y por lo tanto cumple la propiedad S. Luego, se acaba de demostrarla siguiente proposicion.

Proposicion 2.2.3. Cualquier cuadrado latino construido por esta modificacion del metodo deMacNeish es un SLS.

53 2.2 Sudoku

Sean C1 y C2 los SLS asociados a los cuasigrupos (G×H, ·A,B) y (G×H, ·A′,B′) respectivamente.Verifiquemos que son ortogonales. Supongamos que dos elementos en C1 y C2 son iguales, es decir,(a1, b1) ·A,B (c1, d1) = (a2, b2) ·A,B (c2, d2) y (a1, b1) ·A′,B′ (c1, d1) = (a2, b2) ·A′,B′ (c2, d2), entonces(a1 ·A c1, b1 ·B d1) = (a2 ·A c2, b2 ·B d2) y (a1 ·A′ c1, b1 ·B′ d1) = (a2 ·A′ c2, b2 ·B′ d2) de donde tenemosque a1 ·A c1 = a2 ·A c2, a1 ·A′ c1 = a2 ·A′ c2 y b1 ·B′ d1 = b2 ·B d2, b1 ·B′ d1 = b2 ·B d2. Entoncesa1 = a2, c1 = c2, b1 = b2 y d1 = d2 por ser A,A′ y B,B′ pares de MOSLS. Por lo tanto C1 y C2

son ortogonales.

Corolario 2.2.2. Si existen r MOSLS de orden m2 y s MOSLS de orden n2, entonces existen almenos mın{r, s} MOSLS de orden (mn)2.

Demostracion. Sea t = mın{r, s}. Tenemos t MOSLS de orden m2 y t de orden n2, aplicandola construccion del producto directo se tienen un total de t SLS que son mutuamente ortogonales,es decir existe un conjunto de t MOSLS de orden (mn)2.

Teorema 2.2.3. Sea n = P a11 P a2

2 · · ·Pakk la factorizacion en primos de n y sea

q = mın{P a11 , P a2

2 , · · · , P akk }. Entonces existen al menos q2 − q MOSLS de orden n2.

Demostracion. Se sigue de forma inductiva del corolario anterior y de la construccion para po-tencias de primos.

Corolario 2.2.3. Existen MOSLS de orden n2 para todo numero natural n ≥ 1.

Demostracion. Por el teorema anterior, el valor mas pequeno que puede tener q es 2. Pero 22−2 =2 de tal manera que al menos existen dos MOSLS para todo orden mas grande que uno. Paran = 1 existe un cuadrado latino de orden 1, claramente es auto-ortogonal y cumple la propiedadS.

2.2.3. Polinomio cromatico

El desarrollo de este tema esta basado en el artıculo de Agnes M. Herzberg y M. Ram Murty[6].

Una grafica es una pareja ordenada de conjuntos G = (V,E). A los elementos de V los lla-maremos vertices. Los elementos de E son subconjuntos de vertices de cardinalidad 2 a los quedenominaremos aristas de G. Llamaremos orden de G a |V | = |G|.

Sea G una grafica finita y k un numero natural, una k-coloracion de un conjunto S es unafuncion f : S → {1, 2, ..., k}, aquı {1, 2, ..., k} es el conjunto de colores. A una k-coloracion de losvertices de una grafica G la llamaremos simplemente k-coloracion de G. Esta funcion es llamadacoloracion propia si f(x) 6= f(y) siempre que x y y sean adyacentes en G.

El mınimo numero de colores requerido para colorear propiamente a los vertices de una graficaG es llamado el numero cromatico de G y se denota como χ(G).


El juego del Sudoku lo podemos ver como un problema de coloracion de una grafica. Por ejemplola grafica asociada a un Sudoku de orden 9 tendra 81 vertices donde cada uno de ellos corresponde auna celda del Sudoku. Dos vertices distintos seran adyacentes si y solo si las celdas correspondientesestan en el mismo renglon o en la misma columna o en la misma subcuadrıcula. Entonces la soluciondel Sudoku corresponde a una coloracion propia de esta grafica.

De forma mas general, consideremos una cuadrıcula de tamano n2 × n2. A cada celda de estacuadrıcula le asociaremos un vertice (i, j) con 1 ≤ i, j ≤ n2. Diremos que (i, j) y (i′, j′) son

adyacentes si i = i′ o j = j′ o⌈in

⌉=⌈i′

n

⌉y⌈jn

⌉=⌈j′

n

⌉. A esta grafica la llamaremos grafica

Sudoku de orden n2 y la denotaremos como Xn.

Figura 2.4: Grafica Sudoku de orden 4

Un SLS de orden n2 sera una coloracion propia de su grafica usando n2 colores. Un Sudokucorresponde a una coloracion parcial de Xn.

Una grafica es llamada regular si el grado de cada uno de los vertices de G es el mismo. Xn esuna grafica regular, ya que tomando al vertice (i, j), este es adyacente a n2−1 vertices por renglon,a n2 − 1 vertices por columna y a n2 − 1− 2(n− 1) vertices por subcuadrıcula. De tal manera que(i, j) tiene grado n2 − 1 + n2 − 1 + n2 − 1− 2(n− 1) = 3n2 − 2n− 1 = (3n+ 1)(n− 1).

Es bien conocido que el numero de formas de obtener una coloracion propia de G con λ coloreses un polinomio en λ de grado igual al numero de vertices de G.

El siguiente teorema dice que dada una coloracion parcial propia C de G, el numero de formasde completar la coloracion para obtener una propia usando λ colores es tambien un polinomio enλ, siempre que λ sea mayor o igual al numero de colores usados en C.

55 2.2 Sudoku

Teorema 2.2.4. Sea G una grafica finita con v vertices y C una coloracion parcial propia de tvertices de G usando d0 colores. Denotemos a PG,C(λ) el numero de formas de completar estacoloracion usando λ colores para obtener una coloracion propia de G. Entonces PG,C(λ) es unpolinomio monico de grado v − t en λ con coeficientes enteros para λ ≥ d0.

Demostracion. Para la demostracion consideraremos dos casos

Caso 1. Sea e una arista en G con a lo mas un vertice en C. Apliquemos induccion sobre elnumero de aristas.

Sea G una grafica con v vertices y cero aristas y C una coloracion parcial propia de t verticesde G usando d0 colores. Entonces PG,C(λ) = λv−t ya que a cada vertice fuera de C lo podemoscolorear de λ formas distintas.

Supongamos que el teorema es valido para cualquier grafica con v vertices y n aristas, y pro-baremos que tambien es valido para G, una grafica con v vertices y n+ 1 aristas.

Denotaremos a la grafica obtenida de quitarle la arista e, pero no sus vertices terminales comoG − e y G/e es la contraccion de G que consiste en eliminar a la arista e tomar a sus verticesterminales x e y y unirlos. El vertice que resulta de unir a x e y conservara todas las aristas queeran incidentes a x y y.

Con las graficas anteriores tenemos que

PG,C(λ) = PG−e,C(λ)− PG/e,C(λ)

ya que cada coloracion propia de G es tambien coloracion propia de G− e y una coloracion propiade G− e es coloracion propia de G si y solo si se le dan colores distintos a los vertices terminales dee. Ası, PG,C(λ) es igual a PG−e,C(λ) menos aquellas coloraciones en las que x e y tienen el mismocolor que estan dadas por PG/e,C(λ). Tenemos que las graficas G − e y G/e tienen n aristas, porlo cual PG−e,C(λ) y PG/e,C(λ) son polinomios monicos de grado v− t en λ con coeficientes enteros.Como PG,C(λ) es resta de estos, por lo tanto es un polinomio monico de grado v − t en λ concoeficientes enteros.

Caso 2. Supongamos que G tiene un vertice v0 que no esta contenido en C y no es adyacente aningun vertice de C, entonces G = C

⋃{v0}, que es la union disjunta de C y el vertice v0. De tal

manera que v0 puede colorearse de λ formas, de donde PG,C(λ) = λ.

Por lo anterior, se tiene que el numero de formas de completar un Sudoku de orden 9 estadado por PX3,C(9). Un Sudoku (X3, C) tiene solucion unica si y solo si PX3,C(9) = 1. El siguienteteorema nos indica bajo que condiciones una coloracion parcial puede extenderse de forma unica auna coloracion propia.

Teorema 2.2.5. Sea G una grafica con numero cromatico χ(G) y C una coloracion parcial de Gusando solo χ(G)−2 colores. Si la coloracion parcial puede ser completada a una coloracion propiade G, entonces existen al menos dos formas de extender la coloracion.


Demostracion. Dado que dos colores no se utilizaron en la coloracion parcial C, estos colores seutilizaran para obtener una coloracion propia de G y despues intercambiandolos obtendremos otracoloracion propia de G distinta a la anterior.

Del teorema anterior tenemos que si C es una coloracion parcial de G que puede ser completadade forma unica a una coloracion propia de G, entonces C debe de usar al menor χ(G)−1 colores. Enparticular, tenemos que en cualquier Sudoku de orden 9 al menos 8 colores deben de ser utilizadosen las celdas dadas. En general, para un Sudoku de tamano n2×n2, al menos n2− 1 colores debende ser usados en la coloracion parcial dada para que tenga solucion unica.

2.2.4. Coloracion explıcita para Xn

A continuacion daremos una coloracion propia de Xn. Claramente la grafica completa Kn tienenumero cromatico n.

Teorema 2.2.6. Para todo numero natural n, existe una coloracion propia de la grafica SudokuXn usando n2 colores. Mas aun, el numero cromatico de Xn es n2.

Demostracion. Notemos que cada una de las celdas de la subcuadrıcula superior izquierda esadyacente a las demas celdas que pertenecen al bloque. Ası, su grafica asociada es isomorfa a unagrafica completa de orden n2 (Kn2). El numero cromatico de Kn2 es n2, por lo cual Xn necesita almenos n2 colores para dar una coloracion propia.

Ahora mostraremos que Xn puede ser coloreada usando n2 colores.

Etiquetemos a los vertices de Xn como (i, j) con 0 ≤ i, j ≤ n2 − 1. Consideremos las clasesresiduales modulo n2. Para 0 ≤ i ≤ n2 − 1 escribimos i = tin + di con 0 ≤ di, ti ≤ n − 1 yde forma similar para 0 ≤ j ≤ n2 − 1. Ahora, asignamos el color c(i, j) = din + ti + ntj + djmodulo n2 a la celda (i, j) de la cuadrıcula de tamano n2 × n2. Esto es una coloracion propia yaque cualesquiera dos vertices adyacentes (i, j) y (i′, j′) tienen colores distintos. En efecto, si i = i′

debemos verificar que c(i, j) 6= c(i, j′) a menos que j = j′. Supongamos que c(i, j) = c(i, j′) entoncesdin+ ti +ntj + dj = din+ ti +ntj′ + dj′ modulo n2, de tal manera que ntj + dj = ntj′ + dj′ modulon2, lo que significa que j = j′. De forma similar si j = j′, entonces c(i, j) 6= c(i′, j) a menos que

i = i′. Ahora para los vertices (i, j) y (i′, j′) se cumple que⌊in

⌋=⌊i′

n

⌋y⌊jn

⌋=⌊j′

n

⌋, entonces

di = di′ y dj = dj′ y si c(i, j) = c(i′, j′), entonces ti + ntj = ti′ + ntj′ reduciendo esta ecuacionmodulo n tenemos ti = ti′ . Entonces tj = tj′ . Por lo tanto (i, j) = (i′, j′). De tal manera que lacoloracion dada es propia.

57 2.2 Sudoku

Ejemplo 2.2.4. Siguiendo el procedimiento anterior, la coloracion propia obtenida para X2 es

Figura 2.5: Coloracion propia de X2

Daremos algunas condiciones necesarias para que un Sudoku tenga solucion unica.

Como se menciono anteriormente, si el numero de colores usados en un Sudoku de orden 9es a lo mas 7, entonces existen al menos dos soluciones del juego. La multiplicidad de solucionestambien se pueden ver en su polinomio cromatico. Si d0 es el numero de colores distintos usados enla coloracion parcial, hemos visto que PX3,C(λ) es un polinomio en λ siempre que λ ≥ d0. Dado queχ(X3) = 9, se cumple que PX3,C(λ) = 0 para λ = d0, d0 +1, . . . , 8 y como PX3,C(λ) es un polinomiomonico con coeficientes enteros lo podemos factorizar como

PX3,C(λ) = (λ− d0)(λ− (d0 + 1)) · · · (λ− 8)q(λ)

para algun polinomio q(λ) con coeficientes enteros. Sustituyendo λ = 9 obtenemos que PX3,C(9) =(9−d0)!q(9) que sera mayor o igual a 2 si d0 ≤ 7. Esto nos determina una condicion necesaria paraque exista solucion unica.

2.2.5. Cotas para el numero de SLS

En la Seccion 1.1.1 se mostro que una cota inferior para el numero de cuadrados latinos distintosde orden n es

n!2n

nn2 . (2.1)

Usando este resultado mostraremos el siguiente corolario.


Corolario 2.2.4. El numero de cuadrados latinos de orden n2 es al menos

n2n4e−2n

4+O(n2 logn).

Demostracion. De (2.1) tenemos que el numero de cuadrados latinos de orden n2 es al menos

(n2!)2n2

((n2)n2)2=

(n2!)2n2

n2n4 . (2.2)

La formula de Stirling es

log n! = n log n− n+1

2log n+O(1). (2.3)

Usando (2.3) para n2, obtenemos que

log n2! = n2 log n2 − n2 +1

2log n2 +O(1). (2.4)

Aplicando la funcion exponencial a ambos lados de (2.4) tenemos que n2! = e2n2 logn−n2+logn+O(1),

sustituyendo n2! en (2.2) obtenemos que

(n2!)2n2

n2n2 =(e2n

2 logn−n2+logn+O(1))2n2

n2n4

=e2n

2(2n2 logn−n2+logn+O(1))

n2n4

=e(4n

4 logn−2n4+n2 logn+2n2O(1))

n2n4

=e4n

4 logn

n2n4 e−2n4+2n2 logn+2n2O(1))

= n2n4e−2n

4+O(n2 logn).

Ahora daremos una cota superior para el numero de SLS.

Una cota superior cruda para este numero es

(n2!)n2

ya que un SLS es una cuadrıcula de tamano n2×n2 que esta compuesta por n2 subcuadrıculas detamano n × n y en cada subcuadrıcula deben de aparecer los elementos del {1, 2, . . . , n2}, de talmanera que cada una de ellas puede ser llenada de n2! formas distintas, obteniendo la cota superiormencionada.

59 2.3 Graficas

2.3. Graficas

En esta seccion haremos uso de los cuadrados latinos y cuadrados latinos reducidos, simetri-

cos y unipotentes de orden n para dar 1-factorizaciones de las graficas Kn,n, Kn y←→Kn

r. Tambienmostraremos la presencia de estos cuadrados en la teorıa de Ramsey, concretamente en la determi-nacion de una cota inferior para el numero de Ramsey de un arbol.

2.3.1. Factorizacion de Kn,n

Diremos que una grafica G es bipartita si el conjunto V de vertices puede dividirse en dossubconjuntos independientes U = {u1, u2, . . . , um} y W = {w1, w2, . . . , wn} tales que no existearista que una vertices que pertenecen a U , ni vertices en W .

Suponiendo que |U | = |W |, podemos relacionar a las graficas bipartitas con los cuadradoslatinos, ya que U y W representan los renglones y columnas de un cuadrado latino L de orden n. SiL(i, j) = k, quiere decir que a los vertices i e j los une una arista de color k, donde k toma valoresen {1, . . . , n}. Denotaremos a la grafica bipartita con |U | = |W | = n, donde todo vertice de U esadyacente a todo vertice de W como Kn,n. Los vertices de la grafica bipartita construida de estaforma tienen exactamente una arista de cada color incidente en el.

Un 1-factor de una grafica G = (V,E) es una subgrafica F = (V ′, E′) de G donde V ′ = V y E′

es tal que cada vertice tiene exactamente una arista incidente en el.

Ejemplo 2.3.1. En la figura mostramos un 1-factor de K5,5.

Figura 2.6: Un 1-factor de K5,5

Decimos que una grafica es 1-factorizable si su conjunto de aristas admite una particion en1-factores. Denotaremos a una 1-factorizacion de una grafica G como (F1, F2, . . . , Fn) donde Fi esun 1-factor de G. El siguiente teorema nos determina la relacion entre los cuadrados latinos deorden n y las graficas bipartitas Kn,n.

Teorema 2.3.1. Un cuadrado latino de orden n es equivalente a una 1-factorizacion de Kn,n.


Demostracion. Sea L un cuadrado latino de orden n. Sabemos que cada elemento del conjuntobase B = {1, . . . , n} aparece exactamente una vez en cada renglon y cada columna de L. Cadavertice de la grafica bipartita que se obtiene a partir de L tiene exactamente una arista de cadacolor incidente en el, entonces cada elemento de B nos determina un 1-factor Fi monocromatico deKn,n. Por lo tanto tenemos a (F1, F2, . . . , Fn) una 1-factorizacion de Kn,n.

Recıprocamente, sea (F1, F2, . . . , Fn) una 1-factorizacion de Kn,n, cuyas aristas de Fi son colorea-das con un unico color tomado del conjunto {1, . . . , n}. De modo que, se tiene una 1-factorizacionde Kn,n donde los 1-factores son monocromaticos. Al colocar el sımbolo k en la posicion (i, j) dela matriz L de tamano n× n, si existe una arista de color k del vertice i al vertice j, se tiene quecada columna de L tiene exactamente una vez cada color del conjunto {1, . . . , n}. Por lo tanto, Les un cuadrado latino de orden n.

Ejemplo 2.3.2. Sea

L =

1 2 3

1 2 1 32 3 2 13 1 3 2

un cuadrado latino de orden 3. Entonces la 1-factorizacion de K3,3 asociada a L es

2

2

3

3

1

1

Figura 2.7: Una 1-factorizacion de K3,3.

Otra forma de saber cuando un cuadrado latino tiene companero ortogonal es mediante la 1-factorizacion asociada a Kn,n. Recordemos que una transversal de un cuadrado latino de orden nes un conjunto de n posiciones donde cualquiera dos de ellas no estan en el mismo renglon ni en lamisma columna, conteniendo a los n sımbolos del conjunto base exactamente una vez.

Teorema 2.3.2. Un cuadrado latino de orden n tiene un companero ortogonal si y solo si existeuna 1-factorizacion de Kn,n en donde cada 1-factor contiene una arista de cada color.

Demostracion. Sea L un cuadrado latino de orden n que tiene un companero ortogonal. Por elTeorema 1.2.2 L tiene n transversales disjuntas. Como cada transversal contiene una entrada decada renglon y columna, las aristas asociadas a estas posiciones forman un 1-factor de la grafica

61 2.3 Graficas

bipartita asociada a L. Dado que cada sımbolo de {1, . . . , n} aparece exactamente una vez en cadatransversal, cada uno de los 1-factores tiene una arista de cada color.

Recıprocamente, dada una 1-factorizacion de Kn,n donde cada 1-factor tiene una arista de cadacolor, podemos construir una matriz L de tamano n×n donde cada 1-factor determina una transver-sal. De aquı que los n 1-factores determinan n transversales disjuntas que en conjunto contiene lasn2 posiciones de L. Luego, por el Teorema 1.2.2 L tiene un companero ortogonal.

2.3.2. Factorizacion de Kn

Otras familias de graficas son las graficas completas dirigidas y las completas de orden n. Lo queveremos en esta seccion es la relacion que existe entre el numero de cuadrados latinos y el numero

1-factorizaciones de←→Kn

r y Kn.

A un cuadrado latino L de orden n con conjunto base {1, 2, . . . , n} lo podemos descomponer enn matrices L1, L2, . . . , Ln de tamano n× n tales que el conjunto base de Li es {i}. Notese que

L = L1 + L2 + · · ·+ Ln.

Ejemplo 2.3.3. Al cuadrado latino

L =

1 2 3 42 1 4 33 4 1 24 3 2 1

lo descomponemos en la siguientes matrices

L1 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

L2 =

0 2 0 02 0 0 00 0 0 20 0 2 0

L3 =

0 0 3 00 0 0 33 0 0 00 3 0 0

L4 =

0 0 0 40 0 4 00 4 0 04 0 0 0

Como en la Seccion 2.3.1, diremos que la arista dirigida (i, j) tiene el color k si L(i, j) = k.

Cada una de las matrices L1, . . . , Ln es la matriz de incidencia de una grafica dirigida. Al unirlaso superponerlas obtendremos una grafica dirigida con las siguientes propiedades

1. Existe una arista dirigida del vertice i al vertice j para todo i, j = 1, 2, . . . , n.

2. Uno de los n colores esta asociado a cada arista dirigida.

3. Cada vertice tiene exactamente una arista dirigida de cada color que entra y que sale de el.

No es difıcil comprobar que la grafica que se obtiene es la completa dirigida con lazos de orden

n y que la denotaremos por←→Kn

r. Recuerde que un lazo es una arista que sale de un vertice y llegaal mismo vertice.


Para (i, j) cualquier par de vertices no necesariamente distintos, tal grafica tiene una arista

dirigida del vertice i al vertice j. En este caso un 1-factor de←→Kn

r es una grafica dirigida que

contiene a todos los vertices de←→Kn

r y sus aristas son un subconjunto de las aristas dirigidas de←→Kn

r, tales que cada vertice tiene una arista dirigida que entra y una que sale de el.

En el Ejemplo 2.3.3 observamos que el cuadrado latino L se descompuso en cuatro matrices

de incidencia, cada una de ellas representa a un 1-factor de la grafica←→K4

r determinando ası una1-factorizacion de la misma. Ahora, podemos decir que cualquier cuadrado latino de orden n puede

interpretarse como una 1-factorizacion de←→Kn

r. Recıprocamente, dada una 1-factorizacion de←→Kn

r

obtenemos un cuadrado latino de orden n asociado a ella.

Notemos que al renombrar los vertices de←→Kn

r, obtendremos un cuadrado latino distinto, perola 1-factorizacion sigue siendo la misma.

Teorema 2.3.3. El numero de 1-factorizaciones de←→Kn

r esta dado por

−→Fn =

L(n)

n!= (n− 1)!l(n)

donde L(n) y l(n) son respectivamente, el numero de cuadrados latinos y cuadrados latinos reducidosde orden n.

Demostracion. Dada una 1-factorizacion de←→Kn

r, el numero de formas distintas que se tienen paraasignar colores a los 1-factores es n! y como se hizo notar, al asignar de forma distinta los colores,los cuadrados latinos asociados a tal asignacion seran distintos mientras que la 1-factorizacion sigue

siendo la misma. De modo que, el numero total de 1-factorizaciones de←→Kn

r esta dado por−→Fn = L(n)

n!

y del Teorema 1.1.1 se tiene que L(n) = n!(n− 1)!l(n), por lo que−→Fn = (n− 1)!l(n).

Corolario 2.3.1. El numero de 1-factorizaciones de←→Kn

r corresponde al numero de cuadradoslatinos de orden n con la primera fila fija.

Demostracion. Existen n! formas distintas de llenar el primer renglon de un cuadrado latino deorden n, entonces el numero de cuadrados latinos distintas cuya primera fila esta fija es L(n)/n!

que corresponde al numero de 1-factorizaciones de←→Kn

r.

Ahora, denotaremos a la grafica completa dirigida sin lazos como←→Kn. Dada una 1-factorizacion

de←→Kn, asignaremos el color i − 1 a la arista dirigida que sale del vertice i con i = 1, . . . , n de

cada uno de los 1-factores, en este caso, el 0 indica la ausencia de lazos. La matriz obtenida de

la 1-factorizacion de←→Kn que consiste en colocar k en la posicion (i, j) cuando una arista dirigida

de color k va del vertice i al vertice j es un cuadrado latino de orden n, cuyo primer renglon seencuentra en orden natural y cuyos elementos de la diagonal principal son cero.

Al cuadrado latino cuyos elementos en la diagonal principal son iguales lo llamaremos cuadradolatino unipotente.

63 2.3 Graficas

Sea L un cuadrado latino reducido, si aplicamos la debida permutacion de renglones de L,podemos obtener un cuadrado latino unipotente cuyos elementos de su primer renglon estan enorden natural. Inversamente, si aplicamos la debida permutacion de renglones a un cuadrado latinounipotente cuyos elementos de su primer renglon estan en orden natural, obtendremos un cuadradolatino reducido.

Ejemplo 2.3.4. Sea

L =

0 1 2 31 3 0 22 0 3 13 2 1 0

un cuadrado latino reducido de orden 4, si aplicamos la permutacion

(1 2 3 41 3 2 4

)a sus ren-

glones obtenemos 0 1 2 32 0 3 11 3 0 23 2 1 0

que es un cuadrado latino unipotente cuyos elementos en su primer renglon estan en orden natural.

El siguiente teorema es consecuencia de lo que se ha dicho antes.

Teorema 2.3.4. La cardinalidad de cada uno de los siguientes conjuntos son iguales.

1. Las 1-factorizaciones de←→Kn.

2. Los cuadrados latinos unipotentes de orden n cuyos elementos en su primer renglon estan enorden natural.

3. Los cuadrados latinos reducidos de orden n.

A la grafica completa sin direccion y sin lazos, con n vertices se denota como Kn.

Teorema 2.3.5. Una 1-factorizacion de Kn existe si y solo si n es par.

Demostracion. Cada 1-factor consiste de una coleccion de aristas disjuntas, donde cada aristaune 2 vertices, de tal manera que cada 1-factor tiene un numero par de vertices y la union de los1-factores nos da la grafica completa, por lo que n tiene que ser par.

Ahora, sea n = 2m y los vertices de Kn estan etiquetados como {∞, 0, 1, . . . , 2m − 2}. Con lasuma modulo 2m− 1 y definiendo a cada 1-factor como

Fi = {(∞, i), (i+ 1, 2m− 2 + i), (2 + i, 2m− 3 + i), . . . , (m− 1 + i,m+ i)}

obtenemos una 1-factorizacion de Kn.


Ejemplo 2.3.5. De acuerdo a la demostracion del teorema anterior, se construyen los 1-factorespara K6 F1 = {(∞, 1), (2, 0), (3, 4)}, F2 = {(∞, 2), (3, 1), (4, 0)}, F3 = {(∞, 3), (4, 2), (0, 1)}, F4 ={(∞, 4), (0, 3), (1, 2)}, F5 = {(∞, 0), (1, 4), (2, 3)}. Esta 1-factorizacion la observamos en la siguien-te grafica

∞

0

14

3 2

Figura 2.8: 1-factorizacion de K6

Usando las mismas etiquetas y orden de los vertices y la misma regla para la asignacion de coloresse tiene que cualquier 1-factorizacion de K2m determina un cuadrado latino reducido, simetrico yunipotente.

Ejemplo 2.3.6. El cuadrado latino que se obtiene de la 1-factorizacion de K6 que observamos enla Figura 2.8 es

∞ 0 1 2 3 4∞ 0 1 2 3 4 50 1 0 4 2 5 31 2 4 0 5 3 12 3 2 5 0 1 43 4 5 3 1 0 24 5 3 1 4 2 0

.

De lo anterior se sigue el siguiente teorema.

Teorema 2.3.6. El numero de 1-factorizaciones de K2m es igual al numero de cuadrados latinosreducidos, simetricos y unipotentes.

El siguiente teorema es de vital importancia, ya que sera utilizado en la siguiente subseccion.

Teorema 2.3.7. Sea n par. Un cuadrado latino simetrico y unipotente de orden n es equivalentea una 1-factorizacion de Kn.

Demostracion. Sea L un cuadrado latino simetrico y unipotente de orden n con conjunto baseB = {0, 1, . . . n− 1} donde L tiene ceros en la diagonal principal. Definimos a Fi como

Fi = {{a, b}|L(a, b) = i} para i = 1, 2, . . . , n− 1.

65 2.3 Graficas

Observe que por ser L simetrico, cada arista en Fi aparece dos veces, luego |Fi| = n2 . Por ser L un

cuadrado latino, todas las aristas de Fi determinan una particion del conjunto base, es decir, Fies un 1-factor de Kn. Por otra parte, Fi

⋂Fj = ∅ ∀i 6= j, luego (F1, F2, . . . , Fn−1) determinan una

1-factorizacion de Kn como se querıa.

Sea (F1, F2, . . . , Fn−1) una 1-factorizacion de Kn con conjunto de vertices V = {1, 2, . . . , n}. Paraconstruir nuestro cuadrado latino de orden n con conjunto base B = {0, 1, . . . , n− 1} asociaremosal 1-factor Fi el elemento i ∈ B como sigue

{a, b} ∈ Fi ⇒ L(a, b) = L(b, a) = i, L(i, i) = 0, i ∈ V.

Claramente L es un cuadrado latino simetrico y unipotente.


2.3.3. Numero de Ramsey para arboles

Recordemos que, dada G una grafica finita y k un numero natural, una k-coloracion de unconjunto S es una funcion f : S → {1, 2, ..., k}, aquı {1, 2, ..., k} es el conjunto de colores. En estaseccion, una k-coloracion de las aristas de una grafica G la llamaremos k-coloracion de G.

El numero de Ramsey r(G, k) de G se define como el mınimo numero r tal que en todak-coloracion de la grafica completa Kr aparece una copia monocromatica de G. Sea Gn una familiade graficas de tamano n, de manera natural se define el numero de Ramsey r(Gn, k) de Gn como

r(Gn, k) = mın{r| para toda k-coloracion de las aristas de Kr, existe

G∈Gn tal que G es una subgrafica monocromatica de Kr

}.

Denotaremos a la familia de arboles con n aristas o tamano n (n+ 1 vertices) como Tn.

A continuacion mostraremos una cota inferior para r(Tn, k) mediante el uso conveniente decuadrados latinos. Proponemos una prueba muy sencilla para la cota inferior de r(Tn, k), comoalternativa a la demostracion original de Bierbrauer y Brandis en [3].

Dadas las graficas G1 = (V1, E1) y G1 = (V2, E2) con V1 ∩ V2 = ∅, la suma de G1 con G2 es lagrafica definida como

G1 +G2 = (V1 ∪ V2, E1 ∪ E2 ∪ {{x, y} : x ∈ V1, y ∈ V2}) .

Teorema 2.3.8 (Bierbrauer y Brandis). Sean n, k > 1. Entonces

r (Tn, k) > 2

⌊k + 1

2

⌋ ⌊n2

⌋.

Demostracion. Sean r =

⌊k + 1

2

⌋, s =

⌊n2

⌋y t = 2rs. Consideremos Kt como la suma de 2r

copias de Ks etiquetadas como K(1)s , K(2)

s , ...,K(2r)s respectivamente. Por el Teorema 2.3.5 sabemos

que K2r es 1-factorizable, denotemos por F1, F2, ..., F2r−1 a los 1-factores de dicha 1-factorizacion.Una (2r − 1)-coloracion de K2r resulta de asignar el color i a las aristas del 1-factor Fi, i =1, ..., 2r− 1. De manera natural, esta (2r − 1)-coloracion de K2r determina una (2r − 1)-coloracionde Kt como sigue. Sea V2r = {1, 2, ..., 2r} el conjunto de vertices de K2r, entonces las aristas entre

K(i)s y K(j)

s en Kt tendran el color de la arista {i, j} en K2r; al resto de las aristas de Kt le asignamoscualquier color. Claramente, el numero de vertices en una componente conexa monocromatica noexcede n, lo cual nos garantiza que dicha coloracion de Kt es libre de copias monocromaticas dealgun arbol de tamano n, como se querıa probar.

Vale la pena aclarar que esta prueba es esencialmente la misma que la mostrada originalmenteen [3]. La demostracion que proponen Bierbrauer y Brandis depende de la complicada construccionde una familia de cuadrados latinos simetricos y unipotentes de orden par, pero como vimos en lasubseccion anterior, no es difıcil comprobar que toda 1-factorizacion de K2r se puede interpretar

67 2.3 Graficas

como un cuadrado latino de este tipo (ver Teorema 2.3.7.). Es realmente curioso que este hechofuera pasado por alto.

Ejemplo 2.3.7. Sea n = 3, k = 6. Entonces por el teorema anterior tenemos que el numero deRamsey

r(T3, 6) > 2

⌊3

2

⌋⌊6 + 1

2

⌋= 6

Es decir, existe una 6-coloracion de la grafica completa K6 libre de arboles de tamano 3 monocromaticos.En este caso t = 2(3)b32c = 6 y s = 1. Entonces

K6 =

6∑i=1

K(i)1 .

Sea B(6) el cuadrado latino de orden 6 que utilizaremos para dar la 6-coloracion de K6.

K(1)1 K(2)

1 K(3)1 K(4)

1 K(5)1 K(6)

1

K(1)1 1 2 3 4 5 6

K(2)1 2 1 5 6 4 3

K(3)1 3 5 1 2 6 4

K(4)1 4 6 2 1 3 5

K(5)1 5 4 6 3 1 2

K(6)1 6 3 4 5 2 1

donde bi,j ∈ B(6) nos indica el color de las aristas que van de K(i)1 a K(j)

1 y cuya correspondenciade colores es

2→ cafe, 3→ verde, 4→ rojo, 5→ azul, 6→ morado.

3K1

4K1

5K1

6

K1

1

K1

2 K1


2.4. Sistema de Ternas de Steiner

En esta seccion presentamos el uso de los cuadrados latinos en la construccion de Sistemas deTernas de Steiner mediante el Metodo de Bose y el Metodo de Skolem. Para ello, se usaran dostipos de cuadrados latinos: los simetricos e idempotentes; y los simetricos y semi-idempotentes. Eldesarrollo de esta seccion se apoya en [9, 8].

Un Sistema de Ternas de Steiner (STS) es un par ordenado (S, T ) donde S es un conjuntofinito de sımbolos y T es un conjunto de subconjuntos de tres elementos de S llamados ternas, talque cada par de elementos distintos de S aparecen exactamente en una terna de T . El orden de unSTS es la cardinalidad del conjunto S.

Fue W. S. B. Woolhouse quien en 1844 se pregunto: “¿Para cuales enteros positivos v existe unSistema de Ternas de Steiner de orden v?”. Este problema fue resuelto en 1847 por el Rev. T. P.Kirkman, quien probo el siguiente resultado.

Teorema 2.4.1. Un STS de orden v existe si y solo si v ≡ 1, 3mod 6.

Otro resultado importante es el siguiente

Teorema 2.4.2. Sea S un conjunto de tamano v y sea T un conjunto de subconjuntos de 3 ele-mentos de S. Si se cumple que

(a) cada par de elementos distintos de S pertenecen al menos a una terna de T y

(b) |T | ≤ v(v−1)6 .

Entonces (S, T ) es un STS de orden v.

Recordemos que un cuasigrupo de orden n es un par (Q, ∗), donde Q es un conjunto de cardina-lidad n y ∗ es una operacion binaria sobre los elementos de Q tal que para todo par de elementosa, b ∈ Q, las ecuaciones a ∗ x = b y y ∗ a = b tienen soluciones unicas y ademas su tabla de Cayleyes un cuadrado latino.

Un cuadrado latino L (cuasigrupo) es llamado idempotente si L(i, i) = i para 1 ≤ i ≤ n.Recordemos que un cuadrado latino es llamado simetrico si L(i, j) = L(j, i) para 1 ≤ i, j ≤ n.

Proposicion 2.4.1. Para todo n ≥ 1, existe un cuadrado latino simetrico e idempotente de orden2n+ 1.

Demostracion. Sea n ≥ 1, consideremos al grupo cıclico (Z2n+1,+), cuya tabla de Cayley es elcuadrado latino simetrico de orden 2n+ 1

69 2.4 Sistema de Ternas de Steiner

+ 0 1 2 · · · 2n

0 0 1 2 · · · 2n1 1 2 3 · · · 02 2 3 4 · · · 1...

......

.... . .

...2n 2n 0 1 · · · 2n-1

Dado que los elementos pares se encuentran en la diagonal principal de la tabla, entonces a estosles asignaremos los numeros del 1 al n + 1 de modo que la entrada (i, i) de la tabla contenga elelemento i y los elementos que aun no se han renombrado se le asignaran los numeros del n+ 2 al2n+ 1. De esta forma el cuadrado latino resultante es simetrico e idempotente de orden 2n+ 1.

2.4.1. Metodo de Bose (v ≡ 3mod 6)

Presentamos el metodo desarrollado por Bose para construir un STS de orden v, donde(v ≡ 3mod 6) (Ver [16]).

Teorema 2.4.3. Sea v = 6n+ 3 y (Q, ∗) un cuasigrupo simetrico e idempotente de orden 2n+ 1,donde Q = {1, 2, 3, . . . , 2n+ 1}. Sea S = Q× {1, 2, 3} y definimos dos tipos de ternas

Tipo 1. Para 1 ≤ i ≤ 2n+ 1, {(i, 1), (i, 2), (i, 3)} ∈ T .

Tipo 2. Para 1 ≤ i < j ≤ 2n+ 1, {(i, 1), (j, 1), (i ∗ j, 2)},{(i, 2), (j, 2), (i ∗ j, 3)},{(i, 3), (j, 3), (i ∗ j, 1)} ∈ T .

Entonces (S, T ) es un STS de orden 6n+ 3.

Demostracion. Iniciamos contando el numero de ternas de T . Las ternas de Tipo 1 son 2n+ 1 ypor definicion de las ternas de Tipo 2 hay

(2n+1

2

)= (2n+1)(2n)

2 formas de elegir a i e j, cada una delas cuales nos determina tres ternas de Tipo 2. Por lo cual, el numero total de ternas es

|T | = (2n+ 1) + 3

((2n+ 1)(2n)

2

)= (2n+ 1)(3n+ 1)

=v(v − 1)

6

por lo tanto T contiene el numero correcto de ternas. Ahora, falta verificar que cada par de elementosdistintos de S aparecen juntos en al menos una terna de T .

Sean (a, b) y (c, d) un par de elementos distintos de S. Consideramos tres casos

(1) Si a = c, entonces la terna {(a, 1), (a, 2), (a, 3)} ∈ T de Tipo 1 contiene a (a, b) y (c, d).


(2) Si b = d, entonces a 6= c y ası la terna {(a, b), (c, b), (a ∗ c, b+ 1)} ∈ T contiene a (a, b) y (c, d)(La adicion en la segunda coordenada es modulo 3, donde 0 = 3).

(3) Si a 6= c y b 6= d. Supongamos que b = 1 y d = 2, para los otros casos el procedimiento essimilar. Como (Q, ∗) es cuasigrupo, entonces existe i ∈ Q tal que a ∗ i = c y por ser (Q, ∗)idempotente y a 6= c tenemos que i 6= a. Por lo tanto la terna {(a, 1), (i, 1), (a ∗ i = c, 2)} ∈ Tde Tipo 2 contiene a (a, b) y (c, d).

Por lo tanto (S, T ) es un STS de orden 6n+ 3.

Ejemplo 2.4.1. Construccion de un STS de orden 15.

Tenemos que 15 = 6(2) + 3, entonces n = 2. Por lo cual necesitamos un cuasigrupo simetrico eidempotente de orden 2(2) + 1 = 5.Sea

∗ 1 2 3 4 5

1 1 5 2 3 42 5 2 4 1 33 2 4 3 5 14 3 1 5 4 25 4 3 1 2 5

la tabla de Cayley asociada al cuasigrupo y S = {1, 2, 3, 4, 5} × {1, 2, 3}. Entonces las ternas deTipo 1 son

{(1, 1), (1, 2), (1, 3)}{(2, 1), (2, 2), (2, 3)}{(3, 1), (3, 2), (3, 3)}{(4, 1), (4, 2), (4, 3)}{(5, 1), (5, 2), (5, 3)}

y las ternas de Tipo 2 son


Para i = 1 y j = 2 Para i = 1 y j = 3 Para i = 1 y j = 4

{(1, 1), (2, 1), (5, 2)} {(1, 1), (3, 1), (2, 2)} {(1, 1), (4, 1), (3, 2)}{(1, 2), (2, 2), (5, 3)} {(1, 2), (3, 2), (2, 3)} {(1, 2), (4, 2), (3, 3)}{(1, 3), (2, 3), (5, 1)} {(1, 3), (3, 3), (2, 1)} {(1, 3), (4, 3), (3, 1)}Para i = 1 y j = 5 Para i = 2 y j = 3 Para i = 2 y j = 4

{(1, 1), (5, 1), (4, 2)} {(2, 1), (3, 1), (4, 2)} {(2, 1), (4, 1), (1, 2)}{(1, 2), (5, 2), (4, 3)} {(2, 2), (3, 2), (4, 3)} {(2, 2), (4, 2), (1, 3)}{(1, 3), (5, 3), (4, 1)} {(2, 3), (3, 3), (4, 1)} {(2, 3), (4, 3), (1, 1)}Para i = 2 y j = 5 Para i = 3 y j = 4 Para i = 3 y j = 5

{(2, 1), (5, 1), (3, 2)} {(3, 1), (4, 1), (5, 2)} {(3, 1), (5, 1), (1, 2)}{(2, 2), (5, 2), (3, 3)} {(3, 2), (4, 2), (5, 3)} {(3, 2), (5, 2), (1, 3)}{(2, 3), (5, 3), (3, 1)} {(3, 3), (4, 3), (5, 1)} {(3, 3), (5, 3), (1, 1)}

Para i = 4 y j = 5{(4, 1), (5, 1), (2, 2)}{(4, 2), (5, 2), (2, 3)}{(4, 3), (5, 3), (2, 1)}

Un cuadrado latino (cuasigrupo) L de orden 2n es llamado semi-idempotente siL(i, i) = L(n+ i, n+ i) = i para 1 ≤ i ≤ n.

Proposicion 2.4.2. Para todo n ≥ 1, existe un cuadrado latino simetrico y semi-idempotente deorden 2n.

Demostracion. Sea n ≥ 1, consideremos al grupo (Z2n,+) cuya tabla de Cayley es

+ 0 1 2 · · · n n+1 · · · 2n-1

0 0 1 2 · · · n n+1 · · · 2n-11 1 2 3 · · · n+1 n+2 · · · 02 2 3 4 · · · n+2 n+3 · · · 1...

......

n n n+1 n+2 · · · 0 1 · · · n-1n+1 n+1 n+2 n+3 · · · 1 2 · · · n

......

. . ....

2n-1 2n-1 0 1 · · · n-1 n · · · 2n-2

Como observamos los primeros n elementos pares de Z2n aparecen en la diagonal principal y despuesvuelven a repetirse, de modo que si renombramos a estos elementos con los numeros del 1 al n yasignamos los numeros del n + 1 al 2n al resto de los elementos que faltan, el cuadrado latinoresultante es simetrico y semi-idempotente de orden 2n.


2.4.2. Metodo de Skolem (v ≡ 1mod 6)

Ahora presentamos el metodo desarrollado por Skolem para construir un STS de orden v, donde(v ≡ 1mod 6) (Ver [17]).

Teorema 2.4.4. Sea v = 6n+ 1 y (Q, ∗) un cuasigrupo simetrico y semi-idempotente de orden 2ndonde Q = {1, 2, . . . , 2n}. Sea S = {∞}

⋃(Q× {1, 2, 3}) y en T se definen tres tipos de ternas.

Tipo 1. Para 1 ≤ i ≤ n, {(i, 1), (i, 2), (i, 3)} ∈ T .

Tipo 2. Para 1 ≤ i ≤ n, {∞, (n+ i, 1), (i, 2)},{∞, (n+ i, 2), (i, 3)},{∞, (n+ i, 3), (i, 1)} ∈ T .

Tipo 3. Para 1 ≤ i < j ≤ 2n, {(i, 1), (j, 1), (i ∗ j, 2)}, {(i, 2), (j, 2), (i ∗ j, 3)},{(i, 3), (j, 3), (i ∗ j, 1)} ∈ T .

Entonces (S, T ) es un STS de orden 6n+ 1.

Demostracion. Primero contemos las ternas de T . Ternas de Tipo 1 hay n, de Tipo 2 3n y deTipo 3 hay 3

(2n2

)= 3n(2n− 1). Por lo cual, el numero total de ternas es

|T | = n+ 3n+ 3n(2n− 1)

= n(6n+ 1)

=v(v − 1)

6.

Ahora, verifiquemos que cada par de elementos distintos de S aparecen en al menos una terna deT .

Caso 1. Sean ∞ y (a, b) ∈ S

• si 1 ≤ a ≤ n, entonces la terna de Tipo 2 {∞, (n+ a, b− 1), (a, b)} contiene a ∞ y (a, b).

• si n+ 1 ≤ a ≤ 2n, entonces la terna de Tipo 2 {∞, (a, b), (a− n, b+ 1)} contiene a ∞ y(a, b).

Caso 2. Sean (a, b) y (c, d) elementos distintos de S.

• Si a = c, entonces la terna de Tipo 1 {(a, 1), (a, 2), (a, 3)} contiene a la pareja (a, b) y(c, d).

• Si b = d, entonces la terna de Tipo 3 {(i, b), (j, b), (i ∗ j, b+ 1)} contiene a la pareja (a, b)y (c, d).

• a 6= c y b 6= d.

Sea Φ : {∞}⋃

(Q× {1, 2, 3})→ {∞}⋃

(Q× {1, 2, 3}) donde∞ 7→ ∞ y (a, b) 7→ (a, b+ 1). No es difıcil comprobar que Φ es un automorfismo, luegosin perdida de generalidad, podemos suponer que b = 1 y d = 2.


• Si c ∈ {1, 2, . . . , n} y como a 6= c

� Sea a = n+ c, entonces la terna de Tipo 2 {∞, (n+ c, 1), (c, 2)} ∈ T contiene alpar (n+ 1, 1) y (c, 2).

� Sea a 6= n + c, entonces la terna {(a, 1), (x, 1), (c, 2)} ∈ T contiene al par (a, 1)y (c, 2).

• Si c 6∈ {1, 2, . . . , n}, entonces por ser Q idempotente existe x 6= a tal que a ∗ x = c,luego la terna {(a, 1), (x, 1), (c, 2)} ∈ T contiene al par (a, 1) y (c, 2).

Ejemplo 2.4.2. Usamos el Metodo de Skolem para construir un STS de orden 13.

Tenemos que v = 19 = 6(3) + 1, entonces n = 3 , Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el cuasigrupo de orden2(3) = 6 es

∗ 1 2 3 4 5 6

1 1 3 4 2 5 62 3 2 5 4 6 13 4 5 3 6 1 24 2 4 6 1 3 55 5 6 1 3 2 46 6 1 2 5 4 3

Las ternas de Tipo 1 son

{(1, 1), (1, 2), (1, 3)}, {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}, {(3, 1), (3, 2), (3, 3)}

{(4, 1), (4, 2), (4, 3)}, {(5, 1), (5, 2), (5, 3)}, {(6, 1), (6, 2), (6, 3)}.

Las ternas de Tipo 2 son

i=1 {∞, (4, 1), (1, 2)} {∞, (4, 2), (1, 3)} {∞, (4, 3), (1, 1)}i=2 {∞, (5, 1), (2, 2)} {∞, (5, 2), (2, 3)} {∞, (5, 3), (2, 1)}i=3 {∞, (6, 1), (3, 2)} {∞, (6, 2), (3, 3)} {∞, (6, 3), (3, 1)}

y algunas de las ternas de Tipo 3 son

Para i=1 y j=2 {(1, 1), (2, 1), (3, 2)} {(1, 2), (2, 2), (3, 3)} {(1, 3), (2, 3), (3, 1)}Para i=1 y j=3 {(1, 1), (3, 1), (4, 2)} {(1, 2), (3, 2), (4, 3)} {(1, 3), (3, 3), (4, 1)}Para i=1 y j=4 {(1, 1), (4, 1), (2, 2)} {(1, 2), (4, 2), (2, 3)} {(1, 3), (4, 3), (2, 1)}Para i=1 y j=5 {(1, 1), (5, 1), (5, 2)} {(1, 2), (5, 2), (5, 3)} {(1, 3), (5, 3), (5, 1)}Para i=1 y j=6 {(1, 1), (6, 1), (6, 2)} {(1, 2), (6, 2), (6, 3)} {(1, 3), (6, 3), (6, 1)}


2.5. Correccion de Errores

En esta seccion mostraremos el uso de los cuadrados latinos ortogonales en la construccion decodigos correctores de errores, basandonos en [4].

Los codigos correctores de errores son usados, como su nombre lo indica, para corregir errorescuando se transmiten mensajes a traves de un canal de comunicacion ruidoso. Por ejemplo, si sequiere enviar un dato binario a traves de un canal ruidoso lo mas rapido y de la manera masconfiable como sea posible. El canal puede ser una lınea de telefono, una estacion de radio de altafrecuencia, entre otros. El ruido puede ser un error humano, imperfecciones en el equipo, ruidotermico, etc. lo que da lugar a que el dato recibido sea distinto al enviado. El objetivo de uncodigo corrector de errores es codificar el mensaje, mediante la adicion de una cierta cantidad deredundancia al mismo, de tal manera que el mensaje original se pueda recuperar si se han producidoerrores durante su transmision.

Mensaje

Sı o No

Sı-Codificacion

Sı=00000

No=11111

00000- 0100101001-

Decodificacion

01001∼00000=Sı

Sı- usuario

En el ejemplo anterior ocurren dos errores, entonces el decodificador debe decodificar el vectorrecibido 01001 con la palabra mas cercana, respecto a la distancia de Hamming, que es 00000 o Sı.

Un codigo q-ario es un conjunto de secuencias de sımbolos donde cada sımbolo es elegido de unconjunto Fq = {λ1, λ2, . . . , λq} de q elementos distintos. El conjunto Fq es llamado el alfabeto y amenudo se considera el conjunto Zq = {0, 1, 2, . . . , q−1}. Sea (Fq)

n el conjunto de todas la n-uplasa = a1a2 · · · an donde cada ai ∈ Fq. Los elementos de (Fq)

n son llamados vectores o palabras.El orden del conjunto (Fq)

n es qn. Un codigo q-ario de longitud n es un subconjunto de (Fq)n. Un

(n,M, d)-codigo es un codigo de longitud n que contiene M palabras y tiene distancia mınima d.Como habıamos mencionado, esta distancia es respecto a la distancia de Hamming que se definecomo sigue.

La distancia de Hamming entre dos vectores x y y de (Fq)n denotada por d(x, y) es el numero

de lugares en donde los vectores difieren. Esta distancia satisface las siguientes condiciones:

75 2.5 Correccion de Errores

(i) d(x, y) = 0 si y solo si x = y.

(ii) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ (Fq)n.

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para todo x, y, z ∈ (Fq)n.

La distancia mınima de un codigo C se define como

d(C) = mın{d(x, y)|x, y ∈ C, x 6= y}.

No debemos pasar por alto los siguientes resultados de los codigos correctores.

Teorema 2.5.1. Para un codigo C se tiene que:

(i) C puede detectar hasta s errores en cualquier palabra, si d(C) ≥ s+ 1.

(ii) C puede corregir hasta t errores en cualquier palabra, si d(C) ≥ 2t+ 1.

Corolario 2.5.1. Si un codigo C tiene distancia mınima d, entonces C se puede utilizar

(i) para detectar hasta d− 1 errores.

(ii) para corregir hasta b(d− 1)/2c errores en cualquier palabra.

Se dice que un (n,M, d)-codigo es bueno, cuando n es pequeno (para transmitir mensajes deforma rapida), M es grande (permite transmitir una gran variedad de mensajes) y d grande (permitecorregir muchos errores). De tal manera que el problema principal de la Teorıa de Codigos esoptimizar uno de los parametros n,M, d para valores dados de los otros dos. El problema mascomun es encontrar el codigo mas grande, dada la longitud de las palabras y la distancia mınimaentre ellas.

Denotaremos a Aq(n, d) como el valor mas grande de M para el cual existe un (n,M, d)-codigoq-ario. Sobre un alfabeto arbitrario, vamos a considerar el problema mas comun de la Teorıa deCodificacion para los codigos de tamano 4 y distancia mınima 3, es decir, el problema de encontrarel valor de Aq(4, 3). El siguiente teorema nos da una cota superior para tal valor.

Teorema 2.5.2. Aq(4, 3) ≤ q2, para todo q.

Demostracion. Supongamos que C es un (4,M, 3)-codigo q-ario y sean x = x1x2x3x4 yy = y1y2y3y4 palabras distintas de C. Entonces (x1x2) 6= (y1y2), ya que de otro modo x y y podrıandiferir en los ultimos dos lugares, contradiciendo el hecho que d(C) = 3. Ası los M pares ordenadosobtenidos por suprimir las dos ultimas coordenadas de C son todos vectores distintos de (Fq)

2 yası M ≤ q2.


Ahora, haremos uso de los cuadrados latinos ortogonales para la construccion de los(4,M, 3)-codigos q-arios.

Teorema 2.5.3. Existe un (4, q2, 3)-codigo si y solo si existe un par de MOLS de orden q.

Demostracion. Mostraremos que un codigo

C = {(i, j, aij , bij)|(i, j) ∈ (Fq)2}

es un (4, q2, 3)-codigo si y solo si A = (aij) y B = (bij) forman un par de MOLS de orden q.

La distancia mınima de C es 3 si y solo si para cada par de posiciones coordenadas, los paresordenados que aparecen en esas posiciones son distintos.

Ahora, los q2 pares (i, aij) son distintos y los q2 pares (j, aij) son distintos si y solo si A esun cuadrado latino. De manera similar los q2 pares (i, bij) son distintos y los q2 pares (j, bij) sondistintos si y solo si B es un cuadrado latino. Finalmente los q2 pares (aij , bij) son distintos si ysolo si A y B son mutuamente ortogonales.

El teorema anterior nos muestra que Aq(4, 3) = q2 si y solo si existe un par de MOLS deorden q.

Ejemplo 2.5.1. Construyamos el (4, q2, 3)-codigo con q = 4. Por el teorema anterior, necesitamosun par de cuadrados latinos de orden 4 ortogonales para construir tal codigo.

Sean

A =

0 1 2 33 2 1 01 0 3 22 3 0 1

y B =

0 1 2 32 3 0 13 2 1 01 0 3 2

cuadrados latinos ortogonales de orden 4. De tal manera que los elementos del codigo definidoscomo

C = {(i, j, aij , bij)|(i, j) ∈ (F4)2}

son


i j aij bij0 0 0 00 1 1 10 2 2 20 3 3 31 0 3 21 1 2 31 2 1 01 3 0 12 0 1 32 1 0 22 2 3 12 3 2 03 0 2 13 1 3 03 2 0 33 3 1 2

Como vimos en la seccion 1.6, tenemos que para todo q 6= 2, 6 existe un par de MOLS de ordenq. De tal manera que el siguiente corolario es consecuencia de tal afirmacion.

Corolario 2.5.2. Aq(4, 3) = q2 para todo q 6= 2, 6.

Ahora, para q = 2 tenemos que A2(4, 3) = 2

0 0 0 00 1 1 1

y para q = 6 se tiene

Teorema 2.5.4. A6(4, 3) = 34.

Demostracion. Las matrices

A =

0 1 2 3 4 51 0 3 2 5 42 3 5 4 0 13 2 4 5 1 04 5 1 0 3 25 4 0 1 2 3

y B =

0 1 2 3 4 52 3 4 5 0 11 0 3 2 5 45 4 0 1 3 23 2 5 4 1 04 5 1 0 2 3

forman un par de cuadrados latinos de orden 6, los cuales estan lo mas cercano posible a serortogonales, ya que solo fallan en (a65, b65) = (a13, b13) y (a66, b66) = (a14, b14). Ası el codigo

{(i, j, aij , bij)|(i, j) ∈ (F6)2, (i, j) 6= (6, 5) o (6, 6)}


es un (4, 34, 3)-codigo.

Recordemos que dado q, existen a lo mas q − 1 MOLS de orden q y que para q potencia de unprimo existen q − 1 MOLS de orden q. En 1964 Singleton da la siguiente cota

Teorema 2.5.5. Aq(n, d) ≤ qn−d+1.

Demostracion. Supongamos que C es un (n,M, d)-codigo. Entonces suprimimos las ultimas d−1coordenadas para cada palabra del codigo. Ası, las cadenas M de tamano n− d+ 1, ası obtenidosdeben de ser distintos y por lo tanto M ≤ qn−d+1.

El siguiente teorema nos dice que existe una equivalencia entre los MOLS y los codigos correc-tores de errores.

Teorema 2.5.6. Un (n, q2, n− 1)-codigo sobre Fq es equivalente a un conjunto de n− 2 MOLS.

Demostracion. Un (n, q2, n− 1)-codigo C sobre Fq tiene la forma{(i, j, a

(1)ij , a

(2)ij , . . . , a

(n−2)ij )|(i, j) ∈ (Fq)

2}.

Mostremos que d(C) = (n− 1) si y solo si A1, A2, . . . , An−2, donde Ak = (a(k)ij ) forman un conjunto

de MOLS de orden q.

d(C) = n−1 si y solo si en cada par de posiciones coordenadas, los pares ordenados que aparecen

en esas posiciones son distintos. Ahora los q2 pares (i, a(k)ij ) y los q2 pares (j, a

(k)ij ) son distintos si

y solo si Ak es un cuadrado latino, para k = 1, 2, . . . , n− 2.

Para k 6= r. Los q2 pares (a(k)ij , a

(r)ij ) son distintos si y solo si Ak y Ar son mutuamente ortogonales

con k, r = 1, . . . , n− 2. Esto se cumple si y solo si A1, A2, . . . , An−2 es un conjunto de n− 2 MOLSde orden q.

Corolario 2.5.3. Aq(3, 2) = q2 para todo entero positivo q.

Demostracion. Un (3, q2, 2)-codigo sobre Fq es equivalente a tener un cuadrado latino de ordenq, el cual sabemos existe para cualquier q. Sea

C = {(i, j, aij)|(i, j) ∈ (Fq)2}.

Los q2 pares (i, aij) y los q2 pares (j, aij) son distintos si y solo si A = (aij) es un cuadradolatino.

El siguiente corolario se deriva de los resultados anteriores.


Corolario 2.5.4. Si q es potencia de un primo y n ≤ q + 1, entonces

Aq(n, n− 1) = q2.

Ejemplo 2.5.2. Construyamos el (5, 15, 4)-codigo sobre F4. Sean

A1 =

0 1 2 31 0 3 22 3 0 13 2 1 0

, A2 =

0 1 2 33 2 1 01 0 3 22 3 0 1

, A3 =

0 1 2 32 3 0 13 2 1 01 0 3 2

3 MOLS de orden 4. Entonces el codigo

C ={

(i, j, a(1)ij , a

(2)ij , a

(3)ij )|(i, j) ∈ (F 2

4 )}

es

i j a(1)ij a

(2)ij a

(3)ij

0 0 0 0 00 1 1 1 10 2 2 2 20 3 3 3 31 0 1 3 21 1 0 2 31 2 3 1 01 3 2 0 12 0 2 1 32 1 3 0 22 2 0 3 12 3 1 2 03 0 3 2 13 1 2 3 03 2 1 0 33 3 0 1 2


2.6. Criptologıa

En esta seccion mostramos algunas de las maneras en que los cuadrados latinos son usados enla criptologıa. Para el desarrollo de la primera subseccion nos apoyamos en [1].

La criptologıa (del griego krypto y logos, estudio de lo oculto, lo escondido) es la ciencia quetrata los problemas teoricos relacionados con la seguridad en el intercambio de mensajes en claveentre un emisor y un receptor a traves de un canal de comunicaciones. Esta ciencia esta divididaen dos grandes ramas: la criptografıa, ocupada de encriptar y desencriptar, o lo que es lo mismo,cifrar y descifrar mensajes, y el criptoanalisis, que trata de descifrar los mensajes sin tener laautorizacion, rompiendo ası el criptosistema.

Para establecer un criptosistema, necesitamos una clave K, un mensaje M , un esquema decifrado Ek para encriptar el mensaje M y formar un texto cifrado C y un esquema de descifradoDk para desencriptar el texto cifrado. De tal manera que dado un mensaje M este es cifrado comoC = Ek(M) y el texto cifrado C es trasmitido. El esquema de descifrado obtiene el mensaje originalM vıa el calculo de Dk(C) = M .

Con el fin de poder recuperar el mismo mensaje M que fue enviado, la funcion del mensaje Ekdebe ser 1-1 tal que los mensajes distintos son mensajes cifrados dentro de textos cifrados distintos.

Una forma sencilla de utilizar a los cuadrados latinos para ocultar informacion es la siguiente.

Recordemos que en un sistema de encriptacion se requiere esencialmente que los usuarios man-tengan una clave (secreta) que solo ellos conocen o tienen acceso. Si la clave es interceptada, elsistema debe ser considerado inseguro.

Supongamos que tenemos un conjunto {L1, L2, . . . , Lk} de MOLS de orden n y que las partesestan de acuerdo en tener como clave a los cuadrados latinos Lc y Ld con c 6= d.

Supongamos que nuestro mensaje en texto en claro es (i, j) y es cifrado como (α, β) que es elpar que se encuentra en la interseccion del renglon i y la columna j de los cuadrados latinos Lc yLd. Para descifrar el texto cifrado simplemente se exploran los cuadrados Lc y Ld hasta que el par(α, β) es encontrado y por la ortogonalidad de los cuadrados latinos el par (α, β) aparecera solo enlas coordenadas (i, j) donde (i, j) es el mensaje original.

Ejemplo 2.6.1. Sea el conjunto de 3 MOLS de orden 4

L1 =

1 2 3 42 1 4 33 4 1 24 3 2 1

, L2 =

1 2 3 43 4 1 24 3 2 12 1 4 3

, L3 =

1 2 3 44 3 2 12 1 4 33 4 1 2

Supongamos que Marıa y Jose acuerdan que su clave secreta esta dada por los cuadrados L2 y L3,entonces si Marıa quiere enviar el mensaje (2, 4) a Jose, ella cifra el mensaje senalando que en loscuadrados L2 y L3 el par (α, β) = (2, 1) aparece en las coordenadas (2, 4). Ası (2, 4) es cifrado como(2, 1) el cual es enviado a Jose. Para descifrar Jose explora los cuadrados L2 y L3 y encuentra el

81 2.6 Criptologıa

par (2, 1) en la posicion (2, 4) de los cuadrados y por lo tanto se sabe que el mensaje original es(2, 4).

Notemos que al tener k MOLS, tenemos(k2

)posibles claves y existen n2 posibles mensajes.

Ahora, consideremos una ligera variacion, definamos a las siguientes matrices

A =

(L1 L1

L1 L1

), B =

(L2 L2

L2 L2

), C =

1 2 3 4 2 1 4 33 4 1 2 4 3 2 14 3 2 1 3 4 1 22 1 4 3 1 2 3 43 4 1 2 4 3 2 11 2 3 4 2 1 4 32 1 4 3 1 2 3 44 3 2 1 3 4 1 2

Las matrices A,B,C son 3-ortogonales, es decir, cualesquiera de las 64 posibles tercias (i, j, k)con 1 ≤ i, j, k ≤ 4 aparece en exactamente una posicion. Por ejemplo, la terna (1, 4, 3) apareceunicamente en la posicion (2, 6). En una analogıa en la manera en como Marıa y Jose puedencomunicarse usando estas matrices. Podemos enviar el mensaje (2, 6), Marıa podrıa cifrar como(1, 4, 3) y enviar esto a Jose. Jose puede descifrar mediante la exploracion de las matrices hastaque el encuentre la unica posicion (2, 6) que contiene la terna (1, 4, 3).

2.6.1. Esquema de Secreto Compartido

Los Esquemas de Secreto Compartido controlan el acceso a sistemas de informacion, distribuyendoun secreto o llave entre varios usuarios. Por ejemplo, el secreto podrıa ser la clave de acceso a unacuenta bancaria.

En particular si el esquema tiene k participantes, un (t, k)-esquema de secreto compartidoes un sistema donde k piezas de informacion, llamadas acciones, de una llave secreta K sondistribuidas de modo que cada participante tiene una accion, tal que

1. La llave K puede ser reconstruida a partir del conocimiento de cualesquiera t o mas acciones.

2. La llave K no puede reconstruirse a partir del conocimiento de menos de t acciones.

Ahora, presentamos un esquema de secreto compartido que utiliza cuadrados latinos. Para estodefinimos un nuevo tipo de cuadrado latino.

Un cuadrado latino parcial de orden n es una matriz de tamano n × n con las entradaselegidas del conjunto {1, 2, . . . , n}, tal que ningun elemento aparece dos veces en cualquier fila ocolumna.

La diferencia entre un cuadrado latino y un cuadrado latino parcial, es que este ultimo puedetener posiciones vacıas. Smetaniuk mostro que cualquier cuadrado latino parcial de orden n con a


lo mas n− 1 posiciones llenas puede ser completado a un cuadrado latino de orden n. Mas aun, esposible construir un cuadrado latino parcial de orden n con n posiciones llenas que no puede sercompletado a un cuadrado latino de orden n. Esto se logra si colocamos n− 1 unos en las primerasn− 1 posiciones de la diagonal principal del cuadrado y un 2 en la ultima posicion de la diagonal.

Ejemplo 2.6.2. Por ejemplo, el siguiente cuadrado latino parcial de orden 3 con 3 posicionesllenas como se describio antes 1 ∗ ∗

∗ 1 ∗∗ ∗ 2

al tratar de completarlo obtendrıamos 1 2 3

∗ 1 ∗∗ 3 2

lo siguiente serıa poner un 1 en la posicion (2, 3) y en la posicion (3, 1), pero este ya no serıa uncuadrado latino de orden 3. Por lo que el cuadrado latino parcial no lo podemos completar a uncuadrado latino.

Un cuadrado latino de orden n es, por supuesto, un cuadrado latino parcial de orden n sinposiciones vacıas.

Un conjunto crıtico C en un cuadrado latino L de orden n es el conjunto

C = {(i, j, k)|i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n}}

que cumple las siguientes dos propiedades

1. L es el unico cuadrado latino de orden n que tiene el sımbolo k en la posicion (i, j), esto secumple para todo elemento de C.

2. Ningun subconjunto propio de C tiene la propiedad 1.

Un conjunto crıtico es llamado mınimo si es un conjunto crıtico de cardinalidad mınima posiblepara L.

Ejemplo 2.6.3. Un conjunto crıtico mınimo C para el cuadrado latino1 2 3 42 1 4 33 4 1 24 3 2 1

es C = {(1, 1; 1), (1, 2; 2), (2, 4; 3), (3, 2; 4), (4, 3; 2)} o equivalentemente

1 2 ∗ ∗∗ ∗ ∗ 3∗ 4 ∗ ∗∗ ∗ 2 ∗

83 2.6 Criptologıa

Teniendo estas herramientas ya podemos describir el esquema de secreto compartido. La llavesecreta K se toma como un cuadrado latino L cuyo orden n se le permite ser publico, aunque Lse mantiene como privado, S es la union de conjuntos crıticos de L. A cada participante se le dauna accion que es un elemento (i, j; k) de C distribuidos de forma segura. Cuando un grupo departicipantes cuyas acciones forman un conjunto crıtico C de L se reunen pueden reconstruir elcuadrado latino L abriendo la llave secreta K = L.

Ejemplo 2.6.4. Con

L =

1 2 32 3 13 1 2

y S = {(2, 1; 2), (3, 2; 1), (1, 3; 3)} tenemos un (2, 3)-esquema de secreto compartido, ya que dosparticipantes combinando sus acciones en S pueden reconstruir de forma unica el cuadrado latinoL.

Regresando al Ejemplo 2.6.3 y con

S = {(1, 1; 1), (1, 2; 2), (2, 4; 3), (3, 2; 4), (4, 3; 2), (1, 3; 3), (1, 4; 4), (2, 2; 1), (3, 4; 2), (4, 1, 4)}

se da a cada participante una accion (i, j; k) ∈ S. Dado que cualquier conjunto crıtico permitela reconstruccion del cuadrado latino completo, los participantes se reuniran de tal modo que susacciones formen un conjunto crıtico.

Ahora, lo que se quiere es un sistema donde las acciones de algunos participantes tengan maspeso que otros. En este caso se requiere que una accion para el participante i pueda ser reemplazadapor una coleccion de acciones de participantes de menor peso. Este sistema es llamado a menudoEsquema Multinivel.

Ejemplo 2.6.5. Supongamos que en un banco, se quiere tener una firma valida para la transferenciade 1, 000, 000, 000 solo si la accion de dos cajeros y un vicepresidente o dos vicepresidentes sonenterados.

Usando el cuadrado latino

L =

1 2 32 3 13 1 2

y considerando los siguientes conjuntos crıticos de L

A1 = {(1, 1; 1), (1, 2; 2), (2, 1; 2)}, A2 = {(1, 1; 1), (1, 2; 2), (3, 2; 1)}, A3 = {(3, 2; 1), (2, 1; 2)}

tenemos que

1. L puede reconstruirse con (2, 1; 2) y (3, 2; 1)


2. Cualesquiera de estas dos acciones puede ser reemplazada por las dos acciones (1, 1; 1) y(1, 2; 2)

El sistema puede ser construido al dar a los cajeros (1, 1; 1) y (1, 2; 2) y asignando las acciones(2, 1; 2) y (3, 2; 1) a los vicepresidentes.

Ahora, consideremos la siguiente situacion.

Supongamos que el administrador de un hospital requiere acceso a varios archivos restringidosde departamentos diferentes, por ejemplo, archivos de datos de pacientes, recursos hospitalarios ydatos del banco de trasplante de organos.

Si tres esquemas de secreto compartido fueran usados, el administrador tendrıa que recordar yusar 3 acciones diferentes, una para cada esquema. Una forma de construir varios esquemas quetengan una llave comun que sirva para desbloquearlos es la siguiente:

Sea L un cuadrado latino de orden 51 2 3 4 52 1 4 5 33 5 1 2 44 3 5 1 25 4 2 3 1

.

Este cuadrado tiene 41 conjuntos crıticos mınimos, tres de ellos son:

A1 = {(1, 1; 1), (2, 5; 3), (3, 5; 4), (4, 2; 3), (4, 3; 5), (5, 1; 5), (5, 3; 2)}A2 = {(1, 1; 1), (1, 5; 5), (3, 2; 5), (3, 5; 4), (4, 2; 3), (5, 3; 2), (5, 4; 3)}A3 = {(1, 1; 1), (1, 5; 5), (3, 4; 2), (4, 2; 3), (4, 5; 2), (5, 2; 4), (5, 4; 3)}

Consideremos el cuadrado latino parcial de orden 5

∗ ∗ ∗ ∗ 5∗ ∗ ∗ ∗ 3∗ 5 ∗ 2 4∗ 3 5 ∗ 25 4 2 3 ∗

.

Notemos que cada uno de los elementos de cada uno de los conjuntos crıticos A1, A2 y A3 de L es unelemento del cuadrado latino parcial dado. Los elementos de este cuadrado latino parcial no formanun conjunto crıtico de L, dado que este cuadrado parcial tiene cinco completaciones distintas. Sinembargo cada departamento reconstruira la misma clave secreta L y cada departamento tiene unconjunto distinto de claves para esta llave secreta.

85 2.6 Criptologıa

2.6.2. Cuadrados Latinos y Cuasigrupos

En esta seccion presentamos el uso de los cuasigrupos en la codificacion de datos y por tanto,aplicaciones potenciales en la criptografıa simetrica (se usa la misma clave para cifrar y descifrarmensajes) basandonos en [5].

El proposito de un codificador es proteger informacion pasandola de un sistema a otro, de modoque no pueda ser leıda sin una clave.

En este caso, la salida del codificador propuesto depende de un numero de ındices y de los ordenes(r, s) de matrices que son enviados por una autoridad de confianza. La codificacion tambien dependede elementos multiplicadores que son generados por un algoritmo secreto basado en el numero deındices, el orden de las matrices que se esten considerando y del nonce (numero aleatorio generadopor la autoridad de confianza). Esta clave se actualiza por la red de forma regular.

Recordemos que un cuasigrupo es un sistema binario (Q, ∗) que satisface las condiciones

Para cualquier a, b ∈ Q existe un unico x ∈ Q tal que a ∗ x = b.

Para cualquier a, b ∈ Q existe un unico y ∈ Q tal que y ∗ a = b.

Escribimos a los elementos x y y como a \ b y b/a, a estas nuevas operaciones las llamaremosdivision izquierda y division derecha de b sobre a. Estas operaciones binarias dan nuevoscuasigrupos sobre el conjunto Q.

Codificacion

Sea (Q, ∗) un cuasigrupo y Ea la operacion de codificacion que asigna el vector (a1, a2, . . . , an),donde ai pertenece a Q para i = 1, . . . , n, a otro vector (b1, b2, . . . , bn) cuyos elementos bi tambienpertenecen a Q para i = 1, . . . , n.

La ecuacion matematica usada para la codificacion es

Ea(a1, a2, a3, . . . , an) = (b1, b2, b3, . . . , bn)

donde la secuencia de salida esta definida porb1 = a ∗ a1,bi = bi−1 ∗ ai,donde 2 ≤ i ≤ n y a es la clave oculta.

Ejemplo 2.6.6. Sea a = 2 y (a1, a2, a3, . . . , an) = (2, 4, 1, 2, 3, 3) con tabla de Cayley


∗ 1 2 3 4 5

1 4 3 2 1 52 2 1 5 4 33 5 4 3 2 14 1 5 4 3 25 3 2 1 5 5

entoncesb1 = a ∗ a1 = 2 ∗ 2 = 1b2 = b1 ∗ a2 = 1 ∗ 4 = 1b3 = b2 ∗ a3 = 1 ∗ 1 = 4b4 = b3 ∗ a4 = 4 ∗ 2 = 5b5 = b4 ∗ a5 = 5 ∗ 3 = 1b6 = b5 ∗ a6 = 1 ∗ 3 = 2de tal manera que (b1, b2, b3, . . . , bn) = (1, 1, 4, 5, 1, 2) es el vector codificado.

Otra implementacion es

Eh1,h2,...,hn(a1, a2, a3, . . . , an) = (e1, e2, . . . , en),

dondeb1 = h1 ∗ a1 b2 = b1 ∗ a2 . . . bn = bn−1 ∗ anc1 = h2 ∗ b1 c2 = c1 ∗ b2 . . . cn = cn−1 ∗ bn...e1 = hn ∗ s1 e2 = e1 ∗ s2 . . . en = en−1 ∗ sn

con h1, h2, h3, . . . , hn elementos multiplicadores.

El codificador MLI(Multi Level Indexed) es

EIr,Ish1,h2,...,hn(a1, a2, a3, . . . , an) = (e1, e2, e3, . . . , en)

donde (a1, a2, a3, . . . , an) es el vector de entrada , (e1, e2, . . . , en) el vector de salida y Ir y Is sonllamados ındices

Ejemplo 2.6.7. Sea a = 2 y (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10) = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Primerose cifra el vector con el siguiente cuasigrupo de orden 7

∗ 1 2 3 4 5 6 7

1 6 5 2 3 4 1 72 4 3 7 1 2 6 53 7 6 3 4 5 2 14 1 7 4 5 6 3 25 2 1 5 6 7 4 36 3 2 6 7 1 5 47 5 4 1 2 3 7 6

87 2.6 Criptologıa

El vector resultante es (b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10) = (4, 1, 6, 3, 7, 5, 2, 4, 1, 6).

Nuevamente ciframos este ultimo vector, pero ahora con el siguiente cuasigrupo de orden 9

∗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 8 7 2 3 4 5 6 1 92 6 5 9 1 2 3 4 8 73 9 8 3 4 5 6 7 2 14 1 9 4 5 6 7 8 3 25 2 1 5 6 7 8 9 4 36 3 2 6 7 8 9 1 5 47 4 3 7 8 9 1 2 6 58 5 4 8 9 1 2 3 7 69 7 6 1 2 3 4 5 9 8

Ası, el vector de salida es (e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10) = (1, 8, 2, 9, 5, 7, 3, 4, 1, 5).

Decodificacion

Este proceso es similar al de cifrado. El principal punto a destacar es la generacion de la matrizinversa. La inversa izquierda es usada para la decodificacion. La ecuacion fundamental para esteproceso es

D(e1, e2, . . . , en) = (a1, a2, . . . , an),

dondea1 = a\e1ai = ei−1\ei.

Para llevar acabo el proceso de descifrado es necesario primero generar la matriz inversa delcuasigrupo dado.

Ejemplo 2.6.8. Mostramos a un cuasigrupo de orden 7 y a su matriz inversa

∗ 1 2 3 4 5 6 7

1 5 6 2 3 4 1 72 3 4 7 1 2 6 53 6 7 3 4 5 2 14 7 1 4 5 6 3 25 1 2 5 6 7 4 36 2 3 6 7 1 5 47 4 5 1 2 3 7 6

\ 1 2 3 4 5 6 7

1 6 3 4 5 1 2 72 4 5 1 2 7 6 33 7 6 3 4 5 1 24 2 7 6 3 4 5 15 1 2 7 6 3 4 56 5 1 2 7 6 3 47 3 4 5 1 2 7 6

Con estas tablas de Cayley y con a = 6 codificaremos al vector

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9) = (2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5).


El vector codificado es(2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5).

Ahora mediante la matriz inversa dada, el mensaje recuperado es

(2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5)

que es el mensaje original.

89 2.7 Diseno de Experimentos

2.7. Diseno de Experimentos

En esta seccion mostramos el uso de los cuadrados latinos ortogonales en la construccion dedisenos experimentales basandonos en [19, 20].

Un problema importante en estadıstica es determinar si existen diferencias significativas entredistintos niveles de alguna variable. Los niveles de una variable son los valores que se le puedenasignar a dicha variable. Por ejemplo, se quiere realizar el siguiente experimento

Ejemplo 2.7.1. Se emplean cuatro automoviles A1, A2, A3 y A4 y cuatro conductores C1, C2, C3 yC4 en un estudio para determinar las posibles diferencias entre cuatro aditivos de gasolina A,B,Cy D. Aunque los coches son modelos identicos, es muy probable que ocurran ligeras diferenciassistematicas en su comportamiento y aunque cada conductor intente llevar el automovil como exigela prueba, pueden ocurrir ligeras diferencias sistematicas de conductor a conductor. Sera deseableeliminar tanto las diferencias de los automoviles como los de los conductores.

De modo que, se necesita que cada aditivo sea utilizado exactamente una vez en cada automovily por cada uno de los conductores. El diseno para llevar acabo el experimento es propuesto medianteel uso de un cuadrado latino de orden 4

AutomovilConductor A1 A2 A3 A4

C1 A B C DC2 B C D AC3 C D A BC4 D A B C

Como observamos el diseno satisface los requerimientos del experimento, ademas de ser facil deinterpretar.

Este tipo de diseno es utilizado cuando se requiere estudiar los efectos de diferentes niveles dedos variables en algun proceso, bajo la hipotesis de que estas variables son independientes, es decir,no existe interaccion entre ellas y el numero de niveles es el mismo. Para tener mayor eficienciaen el diseno es necesario que el cuadrado latino empleado en el experimento sea aleatorizado. Unaforma de aleatorizar un cuadrado latino de orden n es la siguiente

1. Partir de un cuadrado latino reducido del orden requerido por el experimento.

2. Aleatorizar todas las columnas del cuadrado elegido. Para este efecto existen tablas de per-mutaciones o simplemente se elige un orden aleatorio de las n columnas.

3. Aleatorizar las n filas del cuadrado obtenido en el paso 2.

4. Asignar aleatoriamente etiquetas al objeto de estudio.


La importancia de aleatorizar el cuadrado latino que sera utilizado en el experimento se vereflejado en el modelo estadıstico, ya que permite eliminar la variacion por filas y columnas, delerror experimental.

No siempre un experimento real se limita a tener dos variables. Ahora, si al ejemplo anterioragreguemos una variable adicional que sera el dıa que toma valores de α, β, γ y δ. Nuevamente, senecesita que los valores de esta nueva variable aparezcan exactamente una vez con cada uno de losaditivos de gasolina. El siguiente cuadrado greco-latino de orden 4 nos describe el experimento conesta variable adicional. Recordemos que un cuadrado greco-latino de orden n es la union de doscuadrados latinos ortogonales de orden n.

AutomovilConductor A1 A2 A3 A4

C1 Aα Bβ Cγ DδC2 Bδ Aγ Dβ CαC3 Cβ Dα Aδ BγC4 Dγ Cδ Bα Aβ

Como se habıa mencionado antes, es necesario aleatorizar el modelo. Si tenemos un cuadradogreco-latino de orden n y permutamos ya sea filas o columnas, se sigue cumpliendo que el cuadradoes greco-latino. De tal manera que, un cuadrado greco-latino de orden n, permite estudiar unproceso con tres variables.

Generalizando el procedimiento, cuando se tienen mas de tres variables es necesario tener unconjunto {A1, A2, . . . , Ar} de MOLS de orden n, con r ≤ n. Si a cada Ai le asignamos un conjuntobase distinto para i = 1, . . . , r, entonces al superponer al menos a tres MOLS obtenemos un arreglode tamano n× n que llamaremos cuadrado hiper-grecolatino de orden n.

Un cuadrado hiper-grecolatino de orden n permite estudiar un proceso con mas tres variables.Vamos a ilustrarlo con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.7.2 (Probador de desgaste de materiales). Se utiliza esta maquina para probar laresistencia al desgaste de distintos tipos de tela u otros materiales parecidos y tiene la caracterısticade poder analizar cuatro piezas a la vez en cada prueba.

Se requiere estudiar la resistencia al desgaste de cuatro tipos de tejidos A,B,C y D. La variablerespuesta es la perdida de peso, medida en decimas de miligramos, sufrida por la pieza sometidaa la prueba cuando roza contra una lija determinada durante 1000 revoluciones de la maquina.Los tejidos se montan en cuatro soportes 1,2,3 y 4. Cada soporte puede estar en cualquiera de lasposiciones P1, P2, P3 y P4 en la maquina. Cada hoja de papel de lija α, β, γ y δ se corto en cuatrotrozos, cada uno de los cuales se uso para realizar cuatro pruebas R1, R2, R3 y R4. El siguientecuadrado hiper-grecolatino de orden 4 describe el experimento

91 2.7 Diseno de Experimentos

PosicionPrueba P1 P2 P3 P4

R1 αA1 βB2 γC3 δD4R2 βC4 αD3 δA2 γB1R3 γD2 δC1 αB4 βA3R4 δB3 γA4 βD1 αC2

En este ejemplo la entrada (2, 3) del cuadrado tiene el valor δA2, lo que indica que en la pruebaR2 se estudia la resistencia del tejido A a la lija δ, dicho tejido es puesto en el soporte 2 de lamaquina que se encuentra en la posicion P3.

CAPITULO3Conclusiones

En este trabajo se estudiaron con cierta profundidad algunas de las relaciones existentes entre loscuadrados latinos y distintas areas de las matematicas como son: teorıa de disenos combinatorios,teorıa de graficas, algebra, estadıstica y criptologıa. Incluso dedicamos un espacio para tratar lapresencia de los cuadrados latinos en las Matematicas Recreativas, concretamente los cuadradosmagicos y el juego Sudoku.

Se pretende que este trabajo sea una referencia introductoria para el estudio de los cuadradoslatinos y que constituya una alternativa interesante a los textos que ya existen sobre el tema.Conviene destacar que el desarrollo de las Secciones 1.1, 2.2 y 2.3.3 no los encontrara en ningunotro libro, solamente en artıculos especializados.

Es importante mencionar uno de los resultados originales de la tesis. En la Seccion 2.3.3 desa-rrollamos la demostracion dada por Jorgen Bierbrauer y Albrecht Brandis en 1985 sobre la mejorcota inferior que existe hasta el momento para el numero de Ramsey de un arbol, cabe mencionarque lo que hace extensa esta prueba es la demostracion de la existencia de cierto tipo de cuadradoslatinos. Nosotros damos una prueba alternativa en donde hacemos uso de la equivalencia de loscuadrados latinos simetricos y unipotentes de orden n con las 1-factorizaciones de Kn.

93

Capıtulo 3. Conclusiones 94

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95

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