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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA

METROPOLITANA Azcapotzalco

Maestría en Ciencias de la Computación

Tesis

Elección de Rutas Alternas en un Escenario de Tráfico, por medio de la Simulación con Autómatas Celulares.

Alumno: Ing. Alvaro Avila Medrano

Asesor: _____________________________

M. en C. Germán Téllez Castillo

I

Tabla de contenido

TABLA DE CONTENIDO I

LISTA DE ILUSTRACIONES III

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1

1.1. Introducción 1 1.2. Definición del problema 2 1.3. Objetivos 3 1.4. Justificación 4

2. ESTADO DEL ARTE 5

2.1. Modelos microscópicos, mesoscópicos y macroscópicos 5 2.2. Modelo Nagel-Schreckemberg (NS) 6 2.3. Trabajos de tráfico vehicular con AC. 8 2.4. Trabajos en la elección de rutas 8 2.5. Elementos de simulación 10

3. DEFINICIONES Y CONCEPTOS 13

3.1. Densidad y flujo 13 3.2. El diagrama fundamental 14 3.3. Ondas de avance-paro dentro del tráfico vehicular 15 3.4. Metaestabilidad en los flujos vehiculares 16 3.5. Congestionamiento 18 3.6. Diferentes fases del tráfico 18

4. INTERSECCIONES DE ENTRADA Y SALIDA 21

4.2. Intersecciones en sistemas periódicos 22 4.3. Intersecciones en sistemas abiertos 24

5. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 27

5.1. Descripción de la solución. 27 5.2. Creación del programa 30 5.3. Obtención de información por medio del programa 34

6. COMPARACIÓN DE RESULTADOS 46

6.1. Gráficas de la simulación con el modelo estándar de NS 46 6.2. Comportamiento de acuerdo a la precaución de los conductores. 48 6.3. Comportamiento de acuerdo a la cantidad de vehículos que ingresan por la intersección. 49

II

7. CONCLUSIONES 52

8. TRABAJO A FUTURO 54

9. REFERENCIAS 55

ANEXO A: SISTEMA 58

ANEXO B: MANUAL DE USO DEL SISTEMA 60

Elección de Rutas alternas con AC

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METROPOLITANACasa abierta al tiempo

III

Lista de Ilustraciones Figura 1: Ejemplo del AC de NS. L= 12, número de vehículos N= 6 Página 7

Figura 2: Escenario de tráfico de Joachim Wahle[2] y colaboradores con información dinámica. Los agentes que entran al sistema, tienen que seleccionar una ruta. Los carros flotantes transmiten su tiempo de recorrido a las tarjetas de información al momento de salir del sistema. Página 9

Figura 3. Estructura de un borde de dos carriles con sección de vuelta Página 10

Figura 4. Estructura de una intersección para la simulación de vías rápidas. Página 11

Figura 5. Representación de cruceros Página 11

Figura 6. Formación de embotellamientos Página 12

Figura 7. Diagrama fundamental típico para el modelo de NS[1]. El punto de inflexión ocurre en (ρmax, qmax) Página 14

Figura 8. Simulación de NS[1] con ρ= 0.1 y vmax= 5 Página 15

Figura 9. Diagrama fundamental típico[13] para observaciones experimentales. Aquí no se observan fases continuas Página 16

Figura 10. Flujo de tráfico libre y congestionado en el plano flujo-densidad (gráfica obtenida por el sistema de esta tesis) Página 18

Figura 11. El proceso de exclusión asimétrica simple (ASEP) [10] Página 21

Figura 12: Diagrama de Fase del modelo NS[10] con fronteras abiertas para p=0.25, 4max =v . Página 22

Figura 13. Representación de una intersección de entrada Página 23

Figura 14. Diagama fundamental[10] para las intersecciones tipo A y B con el mismo rango

de entrada 51

=inj . Los parámetros del modelo son L=3000, 5max =v y p=0. Página 23

Figura 15. Perfiles de densidad[10] en las tres fases. En las fases de alta ( =ρ 0.60) y baja ( =ρ 0.1) únicamente se presentan alteraciones locales cerca de las intersecciones (entrada en L=80 y salida en L-80 con L=3000). Para densidades intermedias ( =ρ 0.30) se observa separación de fases. El modelo utiliza los mismos parámetros que la figura anterior. Página 24


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IV

Figura 16. Representación de una vía rápida con intersección de entrada. Las flechas indican la dirección del flujo. El detector mide la densidad y los flujos locales. Página 25.

Figura 17. Representación de un embotellamiento a través del modelo NS. Página 28

Figura 18 Mediciones promedio de distancia entre intersecciones de entrada en la ciudad de México. Página 30

Figura 19. Representación dentro de nuestro programa de las 300 células. Cada una de las rayas negras representa un vehículo que se desplaza a través del camino, la intersección se localiza a la mitad del camino. Página 31

Figura 20. Representación dentro del programa de esta tesis de las células 135 a 164 para tener una mejor apreciación de la intersección. Cada uno de los cuadros negros representa una celda ocupada por un vehículo. Página 32

Figura 21. Simulación con nuestro modelo cuando no ingresan vehículos por la rampa. Parámetros: Densidad de entrada en la rampa de 0% y densidad de entrada en la vía rápida de 20%. (a) representación del camino. (b) Diagrama de estados, se puede observar que no se tiene la formación de ondas de avance-paro. Página 36

Figura 22. Simulación con nuestro modelo cuando ingresan pocos vehículos por la rampa. Parámetros: Densidad de entrada en la rampa de 20% y densidad de entrada en la vía rápida de 20%. (a) representación del camino. (b) Diagrama de estados, se puede observar la formación de ondas de avance-paro en las cercanías de la rampa. Página 37

Figura 23. Simulación con nuestro modelo cuando ingresa un gran número de vehículos por la rampa. Parámetros: Densidad de entrada en la rampa de 50% y densidad de entrada en la vía rápida de 50%. (a) representación del camino. (b) Diagrama de estados, se puede observar la diferencia de densidades antes y después de la rampa y el movimiento de las ondas de avance paro en sentido inverso al movimiento de los vehículos. Página 38

Figura 24. Simulación en el programa de esta tesis cuando choquev >0. Parámetros de simulación: Densidad de entrada en la rampa 7% y densidad de entrada vía rápida 40%. (a) Representación de la vía rapida. (b) Diagrama de estados donde se ve que los vehículos se mueven sin problemas. Página 39

Figura 25. Simulación en el programa de esta tesis cuando choquev <0. Parámetros de simulación: Densidad de entrada en la rampa 10% y densidad de entrada vía rápida 30%. (a) Representación de la vía rápida. (b) Diagrama de estados donde se ve que las ondas de avance-paro se mueven en sentido inverso al movimiento de los vehívulos. Página 40

Figura 26. Gráfica Flujo vs Densidad del programa de esta tesis. Página 43

Figura 27. Gráfica Velocidad vs Flujo del programa de esta tesis. Página 43

Figura 28. Gráfica Velocidad vs Densidad del programa de esta tesis. Página 44


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V

Figura 29. Gráfica de barras de promedio de velocidades del programa de esta tesis. Página 44

Figura 30. Gráfica de barras de promedio de gaps del programa de esta tesis. Página 45

Figura 31. Gráficas obtenidas en las simulaciones de esta tesis de la representación con el modelo NS, Vmax=5 a) Flujo vs Densidad, b) Velocidad vs Flujo y c) Velocidad vs Densidad. Página 47.

Figura 32. La figura (a) muestra el diagrama fundamental del modelo NS, mientras que la figura (b) es un sistema con intersección Vmax =5 y densidad en la rampa del 40% con un conductor no precavido. Página 48

Figura 33. Comparación del diagrama fundamental entre un sistema con conductores precavidos (a) y conductores no precavidos (b) en ambos casos Vmax=5 densidad de la rampa 30%. Página 49

Figura 34. Comportamiento del diagrama fundamental conforme varía el número de vehículos que ingresan por la intersección (a) 0%, (b) 10%, (c) 30%, (d) 50% y (e) 80%. Página 50

Figura 35. Pantalla superior del programa de esta tesis, donde se observan los controles del programa. Página 60

Figura 36. Pantalla inferior del programa de esta tesis, donde se observan las gráficas generadas por el sistema. Página 62


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1. Planteamiento del Problema 1.1. Introducción

En la década de los 90s, gracias al desarrollo de los sistemas de computo, los autómatas celulares (AC) fueron adoptados como una herramienta para el análisis de fenómenos complejos, entre los que podemos mencionar turbulencias, avalanchas, incendios forestales, problemas sociales, problemas económicos, modelación del tráfico vehicular, etc.[12]

Un AC está formado por un conjunto de células, llamado espacio celular. Una célula o sitio es una región del espacio que puede tomar diferentes valores llamados estados. Los estados evolucionan dependiendo del valor de un cierto número de vecinos (la vecindad), siguiendo una regla de evolución. La regla de evolución o transición nos indica a qué estado pasa una célula, de una generación (iteración) a la siguiente dependiendo de su estado actual y de su vecindad. Todas las células tienen el mismo número de estados. Si toman un valor entre dos posibles se llaman binarias; entre tres posibles se denominan ternarias, etc. En todos los casos las reglas de evolución son las mismas para todas las células [12]

En 1992, Nagel y Schreckenberg (NS) propusieron[1] un AC probabilístico para la modelación del tráfico vehicular en una vía rápida de un solo carril. Usando reglas simples este modelo es capaz de reproducir los fenómenos básicos encontrados en el tráfico real.

Tomando como base este modelo se han realizado varias extensiones al mismo [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22], algunas de las cuales se han tomado como base para la realización de este proyecto.


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1.2. Definición del problema El incremento en el número de vehículos dentro de las ciudades, hace que las vialidades e infraestructura que se tienen sean insuficientes, ocasionando problemas de tráfico vehicular, entre los que podemos mencionar:

a) Accidentes automobilísticos.

b) Contaminación atmosférica.

c) Perdida de tiempo en los recorridos.

d) Grandes recorridos,

e) Problemas de estrés, etc.

Varios son los esfuerzos por encontrar soluciones a estos problemas. Por ejemplo, incrementar el número de vialidades y la infraestructura, pero es una opción de alto costo económico y de medio ambiente. Por lo que, la optimización de la infraestructura actual es por donde se debe comenzar.

La optimización de la infraestructura vial requiere reproducir situaciones de tráfico adecuadas que permitan realizar pruebas de investigación, lo cual es complicado, pues produciría situaciones difíciles como congestionamientos, accidentes viales, etc. A través de los estudios realizados [3, 4, 10] por varios investigadores, se han obtenido propiedades del tráfico y modelos que en nuestro caso nos permitirán realizar simulaciones. Estas simulaciones nos permitirán aplicar las características de tráfico encontradas en diferentes ciudades y vialidades, para poder definir el comportamiento del tráfico y así poder tener un mejor control sobre el mismo. La utilización de los AC para la simulación de tráfico vehicular nos permite utilizarlos como herramientas para proponer soluciones.

El objetivo principal de este proyecto es proponer alternativas que contribuyan en disminuir el tiempo de recorrido de los conductores desde su punto de origen hasta su punto destino. Si el conductor tiene dos rutas alternas al momento de desplazarse ¿Cuál será la ruta que debe elegir para poder disminuir su tiempo de recorrido y ayudar a evitar congestionamientos que afecten a otros conductores?

Varios son los factores que determinan el tiempo de desplazamiento de un conductor, por lo que considerar todos estos, complica el problema de la simulación y observación del comportamiento del tráfico. Dentro de este proyecto se presenta únicamente el cómo afecta la existencia de intersecciones de entrada dentro de una vía rápida o autopista. La mayoría de las vías rápidas en las ciudades se encuentran constituidas por carriles centrales y laterales, cómo podemos optimizar el tráfico controlando el ingreso de los autos de los carriles laterales a los centrales. Este es el punto que resolveremos con este proyecto. Limitaremos el alcance del mismo a vías rápidas con un solo carril central y un solo carril lateral.


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1.3. Objetivos Los objetivos del presente proyecto son los siguientes

1.3.1 Objetivo general A través de la simulación de tráfico vehicular por medio de AC se obtendrá información dinámica, que permitirá generar un escenario de elección de ruta. Se investigará la influencia que ejerce esta información sobre la estabilidad de los patrones de tráfico. Se mostrará que esta información permitirá ayudar a distribuir el tráfico de manera más eficiente.

1.3.2 Objetivos particulares

Programar un sistema que permita, a través de un AC, la simulación de tráfico vehicular.

Obtener información de variables que influyen en el comportamiento del tráfico e identificar el impacto que estas tiene sobre el mismo.

Proporcionar sugerencias para la elección de rutas que permitan minimizar los congestionamientos.

Se mostrará que esta información permitirá ayudar a distribuir el tráfico de manera más eficiente.


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1.4. Justificación La dinámica del tráfico se ha convertido en un punto de interés para una comunidad creciente de investigadores y se ha encontrado que algunas de las formas de congestionamiento tienen propiedades definidas. Son estas propiedades las que nos permiten estudiar el comportamiento del tráfico.

En las investigaciones que se realizan con tráfico una de las dificultades que se ha puesto de manifiesto es como disponer de situaciones de tráfico adecuadas para la realización de pruebas; actualmente no se pueden producir situaciones críticas de tráfico para pruebas. Forzar estas situaciones de prueba alterando los parámetros de tráfico no resulta sencillo y además puede producir graves trastornos en la circulación de los vehículos.

En vista de los problemas que se tienen para producir situaciones de tráfico adecuadas para estudio, se han buscado otras alternativas. A través de los estudios en tráfico que se han realizado, se han encontrado propiedades definidas de tráfico que nos permiten realizar simulaciones. La simulación se convierte en una herramienta de gran importancia, que no ocasiona trastornos vehiculares y permite describir el comportamiento del tráfico.

Para la simulación de tráfico se tienen varias herramientas, pero se han seleccionado los AC por ser una herramienta que permite las representaciones discretas de sistemas complejos como el tráfico, esto a su vez facilita la simulación por medio de cómputo y proporciona una gran velocidad en el análisis de la información. Esto permitirá seleccionar entre continuar por los carriles laterales o por los carriles centrales de una vía rápida a fin de disminuir el tiempo de recorrido de un conductor desde su punto de origen a su punto destino y ayudando a retrazar la formación de congestionamientos.


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2. Estado del arte A partir de los años 50s se han desarrollado varias teorías y modelos para tratar de responder a las interrogantes del tráfico vehicular. En esta sección del reporte presentaremos un resumen de los intentos que se han hecho para explicar los fenómenos del tráfico de autos.

Es en 1955 cuando Lighthill y Whitham presentaron un modelo de flujo de tráfico basado en analogías con la dinámica de fluidos y partículas. Desde entonces, la descripción matemática del tráfico ha sido un campo de investigación con vida propia. Esto ha dado como resultado una amplia gama de modelos que describen las distintas características observables en los vehículos en movimiento. Por la forma de considerar el flujo los modelos se dividen en: microscópicos, mesoscópicos y macroscópicos. [23]

2.1. Modelos microscópicos, mesoscópicos y macroscópicos

Los Modelos Macroscópicos consideran el flujo de tráfico como un flujo de medio continuo y no distinguen entre vehículos individuales, utilizan términos como la densidad y el flujo para describir el comportamiento del tráfico. Ejemplos de estos son: Modelo LWR (Lighthill y Whitham 1955), Modelo tipo Payne (Payne 1971), Modelo de Transmisión de Célula (Daganzo 1994 y 1999); modelo METANET (Kotsialos 1990); modelo FRELO (Payne 1979) y el modelo MASTER (Treiber 1999).

Los Modelos Microscópicos simulan el comportamiento detallado de cada automóvil por medio de las reglas de evolución, muchos de ellos definen ecuaciones de movimiento para cada vehículo basadas en las ecuaciones de Newton. Requieren datos (como el tiempo de viaje y el número de veces que un automóvil se detiene debido a las reglas) de manera individual. Ejemplos: Modelo de Seguimiento de Autos (“Car-Following” R. Herman y K. Gardels en 1963 y L. A. Pipes en 1953), Modelo Seguimiento al Lider (“Follow the Leader” de L. A. Pipes en 1953), Modelo de Velocidad Óptima (“Optimal Velocity Model” de M. Bando y colaboradores en 1994 y 1995).

Los Modelos Mesoscópicos consideran principalmente el comportamiento de los conductores a lo largo del tiempo y espacio, sin prestar atención especial a los demás autos. Estos modelos están basados en distribuciones de probabilidad. Ejemplos: Modelo semi - Poisson (Bucley 1968), modelo de Encolamiento Generalizado (Branston 1976).


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2.2. Modelo Nagel-Schreckemberg (NS) Uno de los modelos de flujo de tráfico que usa AC es el modelo propuesto por Nagel-Schreckemberg (NS)[1]. Este modelo macroscópico muestra una transición desde un régimen de tráfico libre hasta un régimen de tráfico congestionado a través del aumento en la densidad de los autos.

El modelo propuesto por NS[1] define un arreglo de una dimensión de L sitios que puede tener condiciones de frontera abiertas o periódicas (circuito cerrado como autopista de carreras). Cada célula puede estar o no ocupada por un vehículo. Cada vehículo tiene una velocidad entera con valores entre cero y Vmax. Para una configuración arbitraria, una actualización del sistema consiste de las siguientes cuatro reglas consecutivas aplicadas en paralelo a cada vehículo.

a) Aceleración: Si la velocidad v (células/unidad tiempo) de un vehículo es menor que Vmax y la distancia (células) al carro siguiente es mayor a v+1, la velocidad es incrementada en uno (v v+1).

Aceleración: ),1min( maxvvv +→

b) Desaceleración (debido a otros autos): Si un vehículo en el sitio i ve al siguiente vehículo en el sitio i+j (con j ≤ v), reduce su velocidad en j-1 (v j-1).

Evitar choques: ),min( gapvv →

En este caso gap denota el número de células vacías frente a un vehículo.

c) Aleatoriedad: La velocidad de cada vehículo (si es mayor a cero) se decrementa en uno (v v-1) con probabilidad p.

Aleatoriedad: Si decrand ρ<() entonces )0,1max( −→ vv

d) Movimiento de vehículos: Cada vehículo avanza v sitios.

Actualización: Cada vehículo avanza v células

Nota.- En nuestro modelo las cuatro reglas se aplican a todos los vehículos en cada unidad de tiempo t de manera paralela, por lo que la unidad de tiempo entre un estado y el estado siguiente siempre es 1. Puesto que la velocidad se define como el número de células que un vehículo avanzará en una unidad de tiempo, la distancia que un vehículo avanza por unidad de tiempo es igual a la velocidad del mismo. Es por ello que se emplea v para velocidad y distancia de manera indistinta, pero cabe aclarar que las unidades de la velocidad son “células/unidad de tiempo” y las unidades de distancia son “células”.

En este modelo el camino esta dividido en células de tamaño ∆x=7.5 m; un período de tiempo ∆t=1 seg. que suponemos que es el tiempo que un conductor necesita para reaccionar.


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El paso 3 (aleatoriedad) permite reproducir fenómenos observables en el tráfico real, ya que considera las fluctuaciones de velocidad debido al comportamiento humano o a variaciones en las condiciones externas, lo cual es representado por el factor de frenado p. Este parámetro asemeja las complejas interacciones dentro del vehículo y es responsable de la formación espontánea de congestionamientos. Su eliminación conduce a un comportamiento predecible y estable.

Un cambio en el orden de las reglas de actualización ocasionaría la alteración de las propiedades del modelo.

Ejemplo del modelo N-S

Considerando al AC de la figura 1 y suponiendo una vmax = 4 y una probabilidad p= 0.2, el auto que ocupa la posición x4 en el tiempo t0 pasará por los criterios siguientes:

a) Aceleración:

Si v4= 3 < vmax , ⇒ v4= min(v4 +1, vmax)= min(4, vmax)= 4

b) Desaceleración (por auto siguiente):

Si dn = 3 ≤ vn= 4, ⇒ v4= min(vn , dn –1 )= min(4 ,2)= 2

Donde dn es la distancia al siguiente vehículo

c) Aleatoriedad:

(suponemos que el auto no desacelera estocásticamente).

d) Movimiento:

x4 → x4 + v4= x4 + 2 (El auto ocupará la posición x6)

El caso anterior es para un único vehículo. Los cuatro pasos deben ser ejecutados en secuencia para cada auto en el sistema y en paralelo para todos ellos, de tal forma que, cuando ocurre el movimiento de los vehículos (paso 4) la actualización de la posición en t → t +1 sea simultánea para todos. La tabla de la figura 1 muestra la actualización de velocidades para 3 períodos de tiempo.

Célula X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X=6 X=7 X=8 X=9 X=10 X=11 X=12 Tiempo

0 v1=2 v3=0 v4=3 v7=4 v9=1 v12=2 1 v1=1 v3=0 v4=2 v7=1 v9=2 2 v1=0 v3=1 v4=1 v7=2

Figura 1: Ejemplo del AC de NS. L= 12, número de vehículos N= 6


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2.3. Trabajos de tráfico vehicular con AC. Actualmente varios son los campos de investigación de tráfico vehicular con AC. Algunos de los trabajos que se han desarrollado son:

a) D. Huang (1999) realizó estudios sobre la probabilidad de ocurrencia de un accidente automovilístico.

b) W. Knospe (2001) et. al. definieron indicadores del comportamiento humano que permitan definir las fases del tráfico.

c) T. Sakakibara, y. Honda y T. Horiguchi (2000) estudiaron como afectan los obstáculos en la formación de embotellamientos.

d) X. Li, Q.Wu y R. Jiang (2001) utilizaron el diseño de AC para definir los efectos de la velocidad de un carro sobre el carro sucesivo.

e) E. Brockfeld y colaboradores (2001) trabajaron sobre la optimización de Semáforos.

f) T. Nagatani (2000) simuló el comportamiento de un autobús, dentro de su ruta.

g) S. Kurata y T. Nagatani (2001) estudiaron el movimiento de carros en grupos para estabilizar el tráfico.

h) J. Wahle y colaboradores (2000) trabajaron en la elección de rutas.

2.4. Trabajos en la elección de rutas Joachim Wahle y colaboradores[2] en junio del 2000 investigaron la influencia de información dinámica en la estabilidad de los patrones de tráfico utilizando un modelo de elección de ruta. Ellos proponen el siguiente escenario: Se tienen dos rutas A y B como se muestra en la figura 2, con el mismo número de células L. En cada período de tiempo un conductor entra en el sistema y tiene que escoger una ruta, una vez dentro de la ruta se desplazará de acuerdo al modelo de NS. Se consideran dos tipos de vehículos: “normal” y “carros flotantes” (Floating Cars ó FCs). Estos últimos son utilizados para investigar las condiciones en cada ruta, transmitiendo sus tiempos de recorrido a un registro al momento de salir del sistema, estos registros son visibles a todos los vehículos y sirven como un punto de decisión de ruta para los vehículos que entran al sistema.


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Figura 2: Escenario de tráfico de Joachim Wahle[2] y colaboradores con información dinámica. Los agentes que entran al sistema, tienen que seleccionar una ruta. Los carros flotantes transmiten su tiempo de recorrido a las tarjetas de

información al momento de salir del sistema.

Se consideran dos tipos de conductores: dinámicos, aquellos que utilizan la información proporcionada por el sistema y estáticos, aquellos que no consideran la información proporcionada para su elección de ruta.

Describamos la simulación que realizaron: al inicio ambas rutas se encuentran vacías y la información en los registros (lugares donde se da a conocer la información a los conductores) es colocada con un valor default tA,tB=L/(vMAX-p). Los conductores dinámicos y estáticos seleccionan su ruta de manera aleatoria. Por lo tanto, el número de vehículos en las rutas A y B son similares. Después de un tiempo, los FCs abandonan el sistema y transmiten su tiempo de viaje a los registros. Los conductores dinámicos que ven la información en los registros se comportan de manera “racional” utilizando la ruta con el menor tiempo de desplazamiento entonces, la velocidad en esta ruta disminuye y el tiempo de recorrido aumenta. Por otro lado, lleva un determinado tiempo a los FCs transmitir la información a los registros, ya que tienen que llegar al final del recorrido. La situación en la otra ruta mejora, porque es menos utilizada. El tiempo de recorrido mejora en esta ruta, y esta situación cambia de manera inversa.

Por tanto, la información dinámica puede tener un impacto indeseable en la estabilidad de los patrones de tráfico. Además lleva a un patrón de oscilación en el número de carros en las rutas, por lo que influye en la velocidad media y los tiempos de recorrido. El principal problema presentado en el trabajo de Wahle y colaboradores es el tiempo; Los FCs tardan en proporcionar su información, lo cual ocasiona oscilación en el comportamiento del sistema.

Esta tesis utiliza la simulación, el diagrama fundamental de NS y la densidad de autos al momento de ingresar al sistema, por lo que no es necesario esperar el tiempo que toma a los FCs proporcionar la información. De esta manera se elimina el inconveniente encontrado en el sistema de Wahle.


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2.5. Elementos de simulación Para realizar la simulación se tienen varios tipos de representaciones, de acuerdo al lugar donde se desea realizar la misma. En esta parte del documento se dan a conocer varias de estas representaciones y la forma en como son abordadas para su estudio con el fin de mostrar la complejidad del problema. Posteriormente enfocaremos la realización de este proyecto a las intersecciones en vías rápidas.

2.5.1 Representación de una red urbana La red de circulación es una composición de nodos y bordes[5],donde un borde es un carril con un sentido de circulación y un nodo es el lugar donde se pueden unir dos o mas bordes, a continuación se muestran algunos ejemplos.

a) Bordes de Carril simple: El AC básico de NS describe el comportamiento de este tipo de bordes. Además pueden existir conexiones al final del borde para otras direcciones, los vehículos que tienen que utilizar alguna conexión llegarán al principio de la misma y si no pueden entrar por alguna razón, tendrán que esperar hasta que el cambio sea posible.

b) Bordes multi-carril: Además del modelo NS básico se debe considerar otro conjunto de reglas[5] relacionadas con el cambio de carril. Se ha demostrado que a pesar de su simplicidad el modelo con AC es capaz de reproducir características de flujo de tráfico microscópico para el estudio de estos bordes. En la Figura 3 se muestra la representación de este tipo de borde.

Figura 3. Estructura de un borde de dos carriles con sección de vuelta

c) Bodes de transferencia (Intersecciones): Las vías rápidas juegan un papel importante para la descripción real del tráfico urbano. Los bordes de transferencia son útiles en este caso y pueden ser de un carril o de varios carriles que se unen a un borde destino (Fig. 4). Los vehículos llegan hasta el área de unión al final del borde de transferencia, donde cambian bajo la condición de tener suficiente distancia con el sucesor en el borde destino. Si el vehículo que esta haciendo el cambio llega al final del borde de transferencia tendrá que esperar hasta poder cambiarse al borde destino.


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Figura 4. Estructura de una intersección para la simulación de vías rápidas.

d) Cruceros: La figura 5 muestra un crucero. El número al final del borde, representa

grupos de señales que corresponden a las señales de los semáforos. Opcionalmente las primeras células en un borde, pueden ser definidas como la sección de cruce (sombreadas en la figura 5). En este caso, para cada posible dirección, se define si los vehículos quedan en la primera célula del borde. Esto nos permite considerar casos de congestionamiento en cruceros.

Figura 5. Representación de cruceros

. e) Embotellamientos: Quedan descritos por el modelo de NS[1] con fronteras abiertas, a

través de las siguientes consideraciones:

Cuando el lugar situado a la izquierda (sitio 1 en el camino) se encuentra vacío, este es ocupado con un auto de velocidad 0. Esto representa un embotellamiento donde una vía saturada de dos carriles alimenta a una calle de un solo carril.

Área de circulación

Área de unión

2 1 1 1

3

21 1

4333

33

Semáforo

Región de cruce


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En el lado derecho (final del embotellamiento), simplemente se borran los autos de las últimas 6 posiciones, produciendo un efecto de fronteras abiertas (simulando el inicio de un camino que se expande de un carril a 4 carriles), la figura 6 muestra un embotellamiento.

Figura 6. Formación de embotellamientos

Embotellamiento


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3. Definiciones y Conceptos En esta sección presentamos algunos de los conceptos importantes que se emplean en este Reporte.

3.1. Densidad y flujo La manera más simple de emplear el modelo NS es considerando un camino cerrado a modo de una autopista de carreras (de un solo carril). Para el instante de tiempo t, dado un número de vehículos N en un camino con L celdas es posible definir la constante de densidad

LN

=ρ

Sin embargo, esto no es un caso realista dado que en las vías rápidas existe un constante aumento y/o disminución de autos que ingresan o salen de ellas. Por ello y con intención de definir fenómenos más realistas se define un parámetro de densidad en un sitio fijo i promediado sobre un periodo de tiempo T:

∑+

+=

=Tt

tti

T tnT

0

0 1)(1ρ

donde ni(t)= 0 (1), si el sitio está vacío (ocupado). Para T muy grandes

ρρ =∞→

T

Tlim

Por tanto, para las simulaciones que se presentarán, asumiremos el parámetro ρ como la constante general de densidad del sistema.

Además, con intención de describir la “cantidad de movimiento” en el sistema, se define el flujo promedio q entre los sitios i e i+1 como

∑+

+=+=

Tt

ttii

T tnT

q0

0 11, )(1

donde ni,i+1(t)= 1 , si se detecta movimiento entre los sitios i e i+1 durante el paso de tiempo t → t +1


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3.2. El diagrama fundamental Es una curva en el plano Flujo-Densidad resultado de las simulaciones del tráfico vehicular en el modelo NS[1]. La forma del diagrama muestra que a mayor cantidad de vehículos en el camino, menor velocidad promedio de movimiento de los mismos. El producto de la densidad de vehículos y la velocidad promedio es la cantidad de flujo promedio (Flow Rate). El diagrama fundamental comienza en el origen (cuando la densidad es cero y por lo tanto, también el flujo), y tiene al menos un máximo como se observa en la Figura 7.

Figura 7 Diagrama fundamental típico para el modelo de NS[1].

El punto de inflexión ocurre en (ρmax, qmax)

El diagrama fundamental consiste de dos curvas que son representadas por intervalos. La región del diagrama fundamental correspondiente a 0 ≤ ρ < ρmax es conocida como la región estable o de flujo laminar[1] debido a que la densidad de autos es lo suficientemente baja que prácticamente no existe interacción entre ellos y por tanto se da un “flujo libre”. Asimismo, la región correspondiente a ρmax ≤ ρ ≤ 1.0 (ó 100%) es llamada región inestable o de congestión. En ésta, la cantidad de autos en el camino provoca un flujo generalmente más lento.

El punto con densidad ρmax nos indica cuando un camino se encuentra cerca de un congestionamiento. Este diagrama nos permite conocer el comportamiento de un camino respecto a la densidad de automóviles, dentro de nuestro proyecto este punto permitirá identificar si un camino se encuentra cerca de un embotellamiento o se encuentra dentro del flujo laminar.

qmax q

ρ ρmax


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3.3. Ondas de avance-paro dentro del tráfico vehicular

Kai Nagel y Michael Schreckemberg realizaron simulaciones de tráfico con Fortran, utilizando un arreglo para la posición de los autos y para la velocidad de los mismos con vmax = 5. Cada línea muestra el carril de flujo después de una actualización completa y justo antes del movimiento de los autos. Los sitios vacíos son representados mediante un punto mientras que los ocupados son mostrados con un número entero correspondiente a la velocidad del auto. La figura 8 muestra el resultado de estas simulaciones.

ESPACIO

Figura 8 Simulación de NS con ρ= 0.1 y vmax= 5

El flujo laminar de autos se encuentra en densidades bajas y se presentan pequeños embotellamientos en mayores densidades. Si se observa un auto de manera individual vemos que viene con una velocidad que varía entre 4 y 5, posteriormente tiene que disminuir su velocidad debido al congestionamiento, permanece en el embotellamiento con una baja velocidad, y un avance pequeño; Al salir del embotellamiento aumenta su velocidad.

En estas simulaciones, como es de esperar, se encontró que al aumentar la densidad de los autos se presenta una transición del flujo de tráfico laminar a un flujo de ondas paro-avance. Nótese el movimiento en contra flujo de las ondas de avance-paro (congestionamiento), al igual que con el modelo NS este comportamiento es obtenido en nuestro sistema “Figura 23”.

T I E M P O


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3.4. Metaestabilidad en los flujos vehiculares

En el campo del tráfico vehicular la ocurrencia del fenómeno de metaestabilidad puede entenderse en los términos siguientes: perturbaciones suficientemente pequeñas (llamadas perturbaciones subcríticas) desaparecerán eventualmente recobrando entonces el sistema un flujo continuo, mientras que perturbaciones supercríticas que excedan un cierto umbral causarán un congestionamiento.

En términos prácticos, podemos enunciar los siguientes ejemplos:

Perturbación subcritica. Para una densidad media, un conductor que exagere en la desaceleración de su auto a causa de la distancia que observa hacia el vehículo delante de el provocará que, el que viene detrás también desacelere de manera importante (en relación al flujo máximo posible). En este orden podrían observarse ondas de choque (en contraflujo a la circulación) que consistirían en una perturbación al flujo vehicular. Sin embargo, dado que no se daría una interrupción total al flujo mismo, eventualmente el sistema se recobrará alcanzando un flujo mayor u óptimo.

Perturbación supercrítica. Para una densidad media o alta, un auto se ha descompuesto en un carril central de una vía de tres carriles, por ejemplo. Los autos detrás del que está detenido se pararán a su vez y, al intentar moverse hacia los carriles libres, detendrán a los vehículos que por ahí circulan. Eventualmente esta situación ocasionará un embotellamiento a causa de esta perturbación.

Existe una relación entre el término metaestable y los diagramas fundamentales de los modelos de flujo de tráfico como el presentado en “El diagrama fundamental”, sección 3.2. Sin embargo, de acuerdo a las observaciones experimentales llevadas a cabo por Kerner y Rehborn[3,4], K-R, este tipo de comportamiento no corresponde con el tráfico de autos en la realidad. En la figura 9 presentamos el diagrama tipo, observado por K-R una vez realizados los promedios sobre los datos experimentales.

Figura 9 Diagrama fundamental típico[13] para observaciones

experimentales. Aquí no se observan fases continuas

q2 q

ρ ρ1 ρ2

q1

ρmax


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Se tiene una diferencia notable entre el comportamiento de NS y lo observado experimentalmente. En principio, observamos una región comprendida en 0 ≤ ρ < ρ1 que corresponde al flujo laminar del sistema; mientras que entre ρ2 < ρ ≤ ρmax hallamos la región de congestión; ambas “no continuas”, al menos no como lo observado en la figura 7. A este comportamiento le denominaremos de fases discontinuas.

El rango ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2 tiene comportamiento metaestable, ver figura 9. Es decir, en el rango 0 ≤ ρ ≤ ρ1 el tráfico será siempre laminar. A partir de q= f(ρ1) el sistema se comportará dependiendo de la ocurrencia de ciertos eventos como mostraremos más adelante. No obstante, aquí podemos ver que en esta región —a partir de (ρ1,q1)—, si ocurre una perturbación subcrítica, el sistema se recobrará y eventualmente seguirá siendo laminar —hacia (ρ2,q2). En contraparte, si a partir de (ρ1,q1) se da el caso de una perturbación supercrítica, el comportamiento “doblará” hacia la región de inestabilidad dando paso a una disminución en el flujo medio del sistema y produciendo un congestionamiento.

La diferencia fundamental con NS consistiría en que la probabilidad de desaceleración de un auto dependería del valor de su velocidad; siendo grande para autos lentos y pequeña para autos rápidos. Debido a este fenómeno de metaestabilidad y para tener un mejor modelado del tráfico [13], se modifica el Paso 3 de las reglas de NS de la siguiente forma:

Paso 3.

Aleatoriedad

Si vn > 0, la velocidad es reducida a vn → max(vn –1 , 0) con probabilidad p (p = cte.)

Evidentemente ahora p no puede ser constante sino que p= f(vn) .

pmax si el auto se mueve con v= 0

p=

pmin si el auto se mueve con v> 0

con pmax , pmin = ctes, pmax > pmin


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3.5. Congestionamiento Se define como el estado del tráfico que ocurre debido a un cuello de botella en el cual el flujo de entrada es mayor al flujo de salida[6]. Los cuellos de botella no son los únicos causantes de los congestionamientos pero sí los más comunes.

De acuerdo con el diagrama fundamental, el congestionamiento del tráfico se define como un estado del tráfico en el que la velocidad promedio de los vehículos es menor que la velocidad mínima posible que se presenta en el punto límite del flujo libre ),( maxmax

freefreeq ρ . Esta definición nos permite definir un congestionamiento sin importar la causa que lo produce, por lo que se apega más en el caso de nuestro proyecto.

3.6. Diferentes fases del tráfico Hasta este momento se ha visto que existen dos fases en el tráfico: el flujo de tráfico libre y el flujo de tráfico congestionado, como lo muestra la figura 10.

Figura 10 Flujo de tráfico libre y congestionado en el plano flujo-densidad

(gráfica obtenida por el sistema de esta tesis)

Los congestionamientos en realidad tienen dos fases, por lo que cualitativamente hay tres diferentes fases de tráfico[3]:

1. Flujo de tráfico libre (Free Flow).- Hace referencia al flujo de vehículos que se mueven en una vía de tal manera que prácticamente no existe interacción (o estorbo) de los autos entre sí, permitiendo que los conductores circulen libremente y a la velocidad máxima permitida.

Unicamente se presentan ondas de movimiento con velocidades positivas. El punto límite del tráfico libre es ),( maxmax

freefreeq ρ dentro del plano flujo–densidad y es

Flujo Congestionado

qmax(free)

densidad (vehiculos/km) ρmax

Flujo (Vehiculos/hr.)

Flujo Libre


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diferente para el carril izquierdo, central y derecho debido a los vehículos de gran longitud que circulan en su mayoría por el carril derecho (40%).

2. Flujo de tráfico congestionado.- Se distinguen 2 diferentes fases[6]:

a. Amplios congestionamientos de tráfico movibles (Wide Moving Jams).- Son una estructura de tráfico localizada, limitada por dos extremos donde la velocidad de los vehículos cambia drásticamente. La velocidad y el flujo dentro de esta estructura es casí cero, así mismo la velocidad en los diferentes carriles es la misma. Se han encontrado las siguientes características: son únicos, coherentes, predecibles y tienen parámetros reproducibles que no dependen del tiempo y son iguales para cualquier congestionamiento de tráfico movible. El flujo en el punto límite de flujo libre freeqmax es considerablemente mayor que el flujo de salida de un congestionamiento 5.1/: max ≈out

freeout qqq . Esto quiere decir que el flujo en el

rango [ freeout qq max, ] es un estado metaestable con respecto al surgimiento del

congestionamiento. Los puntos del tráfico sincronizado y los amplios congestionamientos de tráfico movible en el diagrama fundamental no pueden ser separados, pero si promediamos los puntos del tráfico congestionado formaríamos una línea imaginaria J, la pendientes de esta línea es igual a la velocidad del frente inicial del congestionamiento.

b. Tráfico sincronizado (Synchronized flow).- La velocidad de los vehículos entre los diferentes carriles de una autopista tienden a sincronizarse con las ondas de paro-avance. Los autos tienden a cambiarse al carril con mayor velocidad, lo cual incrementa la densidad en este carril y consecuentemente disminuye la velocidad, ocasionando una sincronización. Se presentan ondas de movimiento complejas: con velocidades positivas y negativas. Dentro del plano flujo-densidad, no hay curvas que describan en su totalidad la complejidad de los estados del tráfico sincronizado y aparecen en el plano densidad-flujo como un conjunto de puntos en un área de dos dimensiones. Existen tres tipos de estados de tráfico sincronizado:

i. Estado estacionario y homogéneo: la velocidad promedio y el flujo son estáticos durante un período largo de tiempo.

ii. Estado donde sólo la velocidad promedio de los vehículos es constante. Este estado también se conoce como “homogeneous-in-speed-status”. La densidad cambia notablemente, este estado esta relacionado con una línea cuya pendiente es igual a la velocidad del tráfico sincronizado.

iii. Estados no homogeneos y no estacionarios

Los estados homogéneos y estacionarios del tráfico sincronizado no pueden existir cerca de la densidad máxima maxρ cuando la velocidad es mínima


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(aproximadamente 5 – 10 km/h). Esta variación se debe a que la varianza de velocidad en el flujo sincronizado es menor que en tráfico libre.

Debido a la existencia de estas tres fases de tráfico se tienen tres diferentes tipos de transiciones[6]:

1. Flujo libre <-> congestionamiento (transición F<->J);

2. Flujo libre <-> Flujo Sincronizado (Transición F<->S);

3. Flujo Sincronizado <-> Congestionamiento (Transición S<->J)

La diferencia entre estas fases es una de las principales dificultades en el entendimiento de la teória de tráfico. En particular, el fenómeno paro-avance puede ser explicado basado en la diferencia hecha entre las fases de transición 1, 2 y 3. Kerner encontró [6] que el punto limitante del flujo libre ),( maxmax

freefreeq ρ esta ligado con la transición F<->S y no con la F<->J. El hecho de que no existe un diagrama fundamental que pueda describir la multitud de los de por sí hipotéticos estados homogéneos del flujo de tráfico sincronizado, puede ser una de las principales razones del por que los modelos matemáticos y teorías aun no pueden explicar y predecir las características experimentales de las transiciones de tráfico reales.


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4. Intersecciones de Entrada y Salida Después de haber visto las características del tráfico nos centraremos ahora en el estudio de las intersecciones de entrada-salida, para ello consideraremos el proceso de exclusión asimétrica simple, el cual es el modelo de NS con 1max =v , este proceso nos permitirá comprender mejor el comportamiento de las intersecciones. Posteriormente estudiaremos las intersecciones en sistemas periódicos y finalmente en sistemas abiertos. La simulación con nuestro programa nos permitirá observar muchas de las características que explicamos en estas secciones.

4.1.1 Proceso de exclusión asimétrica simple (ASEP)

Si dentro del modelo NS consideramos 1max =v el modelo se reduce al modelo ASEP con actualizaciones en paralelo. En este modelo, una partícula puede moverse una célula hacia delante con probabilidad q (q=1-p), donde p es la probabilidad de frenado en el sistema, si el siguiente sitio se encuentra vacío. Si consideramos un sistema abierto α será la probabilidad de que se inserte una partícula cuando la primer celda se encuentra vacía y β será la probabilidad de que una partícula sea removida de la última célula si esta se encuentra ocupada (figura 11).

Figura 11: El Proceso de exclusión asimétrica simple (ASEP) [10]

Variando los rangos de las probabilidades α y β se pueden obtener diagramas de fase en los cuales se distinguen tres fases: baja densidad (donde el flujo es independiente de β ), alta densidad (donde el flujo es independiente de α ) y Flujo máximo (donde el flujo es independiente de α y β y el factor limitante para el máximo flujo es q).

La figura 12 muestra un diagrama de fase para el modelo NS de frontera abierta con 4max =v . En esta gráfica +ρ y −ρ representan las densidades en las fronteras de entrada y

qα

β


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salida (equivalentes a α y β en el modelo ASEP). Las fases que se pueden observar son: Tráfico libre (baja densidad), Tráfico congestionado (alta densidad) y Flujo máximo (Muy alta densidad).

Diagrama de Fase Modelo NS

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Densidad de entrada p-

Den

sida

d de

Sal

ida

p+

Tráfico CongestionadoAlta Densidad

Flujo Máx- Muy alta Den.

Flujo LibreBaja Densidad

Figura 12: Diagrama de Fase del modelo NS[10] con fronteras abiertas para p=0.25, 4max =v .

Del modelo ASEP es importante hacer notar las transiciones de fase mostradas en la figura 12.

4.2. Intersecciones en sistemas periódicos

Andreas Schadschneider[10] realizó estudios del comportamiento del tráfico en sistemas periódicos y abiertos con intersecciones. En sistemas de fronteras periódicas, donde se tiene una intersección de entrada, una de salida y el número de vehículos permanece constante, la actividad se encuentra caracterizada por el número de vehículos entrantes( enj ) y salientes ( salj ) por unidad de tiempo. Por ser un sistema cerrado con número de vehículos constantes entrará un vehículo por la intersección de entrada únicamente, si es posible la salida de otro vehículo por la intersección de salida, es decir,

salen jj = . El comportamiento de un sistema de este tipo no presenta diferencias cualitativas a una entrada y salida aleatoria de autos[10]. La figura 13 muestra una representación de un intersección de entrada.


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Figura 13 Representación de una intersección de entrada

La figura 14 muestra el diagrama fundamental de NS en una línea continua y con líneas punteadas se representa el comportamiento del diagrama fundamental al momento de introducir las intersecciones que en nuestro caso es una de entrada y una de salida. Se consideran dos formas de conducir: cuidadosa (tipo A) y no cuidadosa (tipo B). La diferencia entre estas dos formas depende de cómo se lleva a cabo el cambio de carril de la intersección a la vía rápida y de la precaución que los conductores tomen al momento de cambiar de carril.

Figura 14 Diagama fundamental[10] para las intersecciones tipo A y B con el mismo rango de entrada 51

=inj . Los

parámetros del modelo son L=3000, 5max =v y p=0.

En el diagrama se distinguen tres diferentes fases dependiendo de la densidad global. En las fases de densidades bajas y altas el flujo promedio de tráfico )(ρj toma los mismos valores que el sistema sin rampas. Para densidades medias higlow ρρρ << donde el flujo

)(ρj es independiente de la densidad y limitado por la capacidad de las intersecciones (el número de vehículos que entran o salen a través de ellas). Al rango de densidades medias se llama “plateau” y es menor al flujo correspondiente en el modelo sin intersecciones, un incremento en el rango de entrada inj lleva a una disminución en el valor del plateu. Si comparamos los diferentes tipos de estrategia de entrada el plateu para el tipo B (no cuidadosa) es menor que el del tipo A (cuidadosa). Esto puede ser explicado por la probabilidad de que una célula adelante del carro insertado este ocupada. Para el tipo A esta probabilidad es menor que para el tipo B.

ρ

q ó )(ρj Tipo A Tipo B

lowρ higρ

Intersección

Auto Insertado


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Para entender el comportamiento con mayor detalle observemos el diagrama de perfiles de densidad que se muestra en la figura 15 que fue obtenido por Andreas Schadschneider[10]. En esta figura consideran un sistema de longitud de 3000 celdas en el cual se tiene una intersección de entrada en la celda 80 y una intersección de salida en la celda 2920. En las fases de alta y baja densidad sólo se observa una desviación local a la altura de las rampas. Para densidades intermedias se tiene un comportamiento diferente, el sistema se separa en dos regiones: alta densidad y baja densidad. La densidad en la región de las rampas ramρ es mayor aún que en las regiones de alta densidad por lo que las rampas actúan como un bloqueo en el sistema que disminuye el flujo de manera local. Al variar la densidad global dentro de la fase de densidades intermedias (fase separadas), el valor de la densidad local en la región de alta y baja densidad permanece constante, sólo varía la longitud de las regiones de cambio. La densidad local en las intersecciones ( ramρ ) permanece constante.

Perfiles de densidad

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Distancia(x)

Den

sida

d p(

x)

Figura 15 Perfiles de densidad[10] en las tres fases. En las fases de alta ( =ρ 0.60) y baja ( =ρ 0.1) únicamente se presentan alteraciones locales cerca de las intersecciones (entrada en L=80 y salida en L-80 con L=3000). Para

densidades intermedias ( =ρ 0.30) se observa separación de fases. El modelo utiliza los mismos parámetros que la figura anterior.

Las intersecciones se comportan similares a otros trastornos de tráfico, en los cuales se observa que la probabilidad de frenado (p) varía ( ppd > ) debido a la existencia de las intersecciones, se tendrá una relación entre la probabilidad de frenado y el número de vehículos que ingresan por la intersección ( inj ), la cual no es trivial.

4.3. Intersecciones en sistemas abiertos Ahora veamos los estudios que se tienen dentro de sistemas abiertos con intersecciones. Consideremos una intersección de entrada como se muestra en la figura 16, en donde no existen datos experimentales para la densidad −ρ , el flujo )( −− = ρjj que antecede a la intersección, ni para +ρ y )( ++ = ρjj que se encuentran justo antes de la intersección

6.03.01.0

===

ρρρ


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pero que incluye el tráfico que viene de la intersección. El único dato disponible puede

provenir de un detector colocado antes de la rampa el cual mide una densidad de tráfico ∧

ρ

y su correspondiente flujo ∧

j .

Figura 16 Representación de una vía rápida con intersección de entrada. Las flechas indican la dirección del flujo. El detector mide la densidad y los flujos locales.

Los carros que ingresan a la vía rápida ocasionan una disminución local de la velocidad de los autos en la vía rápida. Por lo tanto, la densidad de los vehículos justo antes de la intersección incrementa a −+ > ρρ . Se produce un choque de densidades en la intersección que se propaga con una velocidad media de:

−+

−+

−−

=ρρ

ρρ )()( jjvchoque

Obtenida del principio de conservación de la masa. choquev , la velocidad de una pared (objeto que conecta dos estados posiblemente estacionarios) entre dos regiones estacionarias de densidades −ρ , +ρ . La formación de un choque estable es el resultado de un proceso de manejo causado por un cuello de botella en el camino. Un cuello de botella es ocasionado por la reducción en el número de carriles o por intersecciones de entrada-salida, en los que se tiene un ingreso adicional de autos.

Dependiendo del signo de choquev se tienen dos posibles escenarios:

(1) choquev >0 (es decir −+ > jj ): En este caso la onda de choque se propaga (en promedio) hacia la derecha de la intersección. Por fluctuaciones, una pequeña parte de movimiento se

−j−ρ +ρ

+j

∧

ρ∧

j

Sensor

intersección


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propaga a la izquierda. Por lo tanto el detector medirá una densidad de tráfico −∧

= ρρ y

flujo −∧

= jj .

(2) choquev <0 (es decir −+ < jj ): La onda de choque se propaga con la velocidad choquev hacia la izquierda de la intersección, expandiendo el congestionamiento de tráfico con

densidad +ρ . El detector medirá ahora +∧

= ρρ y flujo +∧

= jj .

Discutamos ahora la transición entre estos dos escenarios;

Supongamos que, −+ > jj . Si en el extremo izquierdo se incrementa la densidad −ρ se llegará a un punto crítico critρ tal que +− > jj , y el flujo libre de la izquierda −j prevalece sobre el flujo +j que el cuello de botella, rampa, puede soportar. En este punto la velocidad choquev cambiará de signo y las ondas de choque comienzan a moverse hacia la

izquierda. Como resultado, la densidad estacionaria ∧

ρ medida por el detector a la

izquierda de la intersección cambiará discontinuamente del valor crítico critρ a +ρ . Esto

marca una fase de transición de no equilibrio de primer orden con respecto al parámetro de

orden ∧

ρ . El discontinuo cambio de ∧

ρ lleva también a una reducción abrupta de la

velocidad local. Observe que el flujo +

∧

= jj a través de la intersección (también medido por el sensor) permanecerá independiente del flujo libre a la izquierda de la región

congestionada −j mientras se cumpla la condición

+− > jj , por lo que el control queda

únicamente en +j .


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5. Solución del Problema 5.1. Descripción de la solución.

El objetivo del presente proyecto es proporcionar una herramienta que ayude a investigar el comportamiento del tráfico en las intersecciones dentro de las vías rápidas, de forma tal que permita indicar a los conductores en que momento deben ingresar de los carriles laterales a los carriles centrales, disminuyendo el número de congestionamientos y maximizando el flujo vehicular en los carriles centrales, haciendo menor el tiempo de recorrido de la mayoría de los automovilistas.

El problema fue atacado tomando el modelo de simulación de tráfico realizado por NS descrito en el punto 2.2 de este documento y complementándolo con otras investigaciones como la mostrada en el punto 4.3 y observaciones realizadas en la Ciudad de México. A continuación se mostrará como fue atacado el problema para llegar a las conclusiones finales.

Resumimos a continuación las reglas del modelo NS, incluimos la metaestabilidad ya que nuestro modelo puede o no incluirla. Nuestro modelo puede realizar simulaciones sin considerar metaestabilidad, es decir, manteniendo la probabilidad de frenado constante para todas las velocidades o bien considerando la metaestabilidad o variando la probabilidad de frenado en de acuerdo con la velocidad de los vehículos. Dentro de nuestro trabajo realizamos simulaciones sin metaestabilidad y se dejará para futuros trabajo el estudiar con detalle la introducción de metaestabilidad en el comportamiento de lo patrones de tráfico en las intersecciones:

1. Aceleración: Si la velocidad v de un vehículo es menor que Vmax y la distancia al carro siguiente es mayor a v+1, la velocidad es incrementada en uno (v v+1).

Aceleración: ),1min( maxvvv +→

2. Desaceleración(debido a otros autos): Si un vehículo en el sitio i ve al siguiente vehículo en el sitio i+j (con j ≤ v), reduce su velocidad a j-1 [v j-1).

Evitar choques: ),min( gapvv →

En este caso gap denota el número de células vacías frente a un vehículo y maxv la velocidad máxima

3. Aleatoriedad: La velocidad de cada vehículo (si es mayor a cero) disminuye en uno (v v-1) con probabilidad p.

Aleatoriedad: Si decrand ρ<() entonces


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pmax si el auto se mueve con v= 0

p=

pmin si el auto se mueve con v> 0

con pmax , pmin = ctes, pmax > pmin

4. Movimiento de vehículos: Cada vehículo avanza v sitios.

Actualización: Cada vehículo avanza v células

El modelo de NS en la mayoría de los casos es aplicado en circuitos cerrados (similares a los circuitos de carreras) pero también puede ser aplicado a cuellos de botella en los cuales se tiene un número de carriles determinado y por alguna razón es reducido a uno sólo carril para posteriormente aumentar el número de carriles, esta última interpretación es la que nosotros utilizamos en la simulación de nuestro modelo, como se explica en el punto 4.3 y se muestra en la figura 17.

Figura 17 Representación de un embotellamiento a través del modelo NS

En esta representación se tendrá un flujo de entrada −j y un flujo de salida +j cuya

diferencia ocasionará un flujo medio ∧

j . El comportamiento de un modelo de esta forma fue presentado en la sección 4.3.

Esta diferencia de densidades ocasiona la formación de un bloque de choque causado por un cuello de botella. Los cuellos de botella generalmente surgen por la reducción del número de carriles o por la existencia de intersecciones de entrada-salida.

El comportamiento de una intersección en sistemas periódicos fue estudiado en la sección 4.2 de este trabajo y las intersecciones en circuitos abiertos en la sección 4.3. El flujo de entrada −j es controlado por el número de vehículos que ingresan en el sistema mientras que el flujo de salida +j es controlado por el número de vehículos existentes en la vía rápida y el número de vehículos que ingresan por la intersección de entrada. La figura 17 es una analogía de la figura 16. En la sección 4.3 se mostró que el flujo de vehículos puede ser controlado a través de estos dos flujos de entrada y salida, por lo que se debe encontrar un punto de convivencia entre ellos, que permita tener flujo máximo. Ahora, para mantenerse dentro de este nivel, se propone el cerrado de las intersecciones de entrada en

−

−

jρ

∧

∧

j

ρ+

+

jρ


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el momento que el flujo esté cerca del congestionamiento y la abertura del mismo conforme el flujo en las vías centrales mejore.

El controlar el número de vehículos que ingresan de las laterales a las vías rápidas por medio de las intersecciones nos permite controlar el flujo de vehículos en las vías rápidas. Si mantenemos este flujo máximo ayudaremos a mejorar la circulación de vehículos y a disminuir los tiempos de recorrido de los conductores.


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5.2. Creación del programa Para poder presentar de manera gráfica los datos explicados en los puntos anteriores se desarrolló un programa en java que permite manipular varias de las variables explicadas y de esta forma mostrar cómo podemos agilizar el flujo en las vías rápidas por medio del control del número de vehículos que ingresan por las intersecciones.

En este programa algunas consideraciones se realizaron tomando en cuenta el comportamiento del tráfico en la Ciudad de México, donde se encontró que la distancia que existe entre dos intersecciones de entrada varia desde 800 metros hasta 3 Kilómetros, la longitud del camino presentado en el programa corresponde a 300 células de 7.5 mts. cada una, que en total suman 2250 mts, valor suficiente para representar el comportamiento.

La longitud de las intersecciones, área destinada para que los autos de las vías laterales ingresan a las vías rápidas, también tienen un tamaño variable dentro de la Ciudad de México, pero en promedio se encontró que es de 100 mts. En el programa el área de unión se considera de 13 células de 7.5 mts que en total suman 97.5 mts. La figura 18 muestra de manera gráfica estas dimensiones.

Figura 18 Mediciones promedio de distancia entre intersecciones de entrada en la ciudad de México.

El tamaño de cada célula es de 7.5 m, que representa el tamaño (promedio) de un auto mas la distancia entre los autos anterior y posterior al encontrarse en un congestionamiento.

Muchas de las vías rápidas de la ciudad de México son de tres carriles, y se permiten velocidades de 60 km/hr en el carril izquierdo, 70 km/hr en el carril medio y 80 km/hr en el carril derecho o carril de alta velocidad. De los anterior consideramos la velocidad promedio máxima en tráfico libre de 80 km/hr, de este valor obtenemos que:

segm

segm

hrkmV 22.22

36008000080

max ===

Distancia entre 2 intersecciones de entrada (de 800 m a 3 Km)

Área de unión (100 m) Área de unión (100 m)


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Si consideramos que una célula mide 7.5 metros tenemos que:

segcélulas

segm 962.222.22 =

De donde concluimos que para representar un Vmax de 80km/hr con células de 7.5 mts tenemos que se tienen 3 células/seg. De la misma manera si consideramos una Vmax de 135km/hr se tendrá una velocidad máxima de 5 células/seg. Nuestro programa permite variar la velocidad máxima del sistema de 1 a 5, permitiendo la simulación de velocidades máximas de 135 km/hr.

En nuestra representación se presenta una vía rápida de longitud de 300 células de 7.5 mts (2250 mts en total), la cual tiene una intersección de entrada justo a la mitad, en la célula 150, la intersección de entrada, para permitir el paso de los vehículos de la vía lateral a la vía central es de 13 celdas de 7.5 mts que son aproximadamente 97.5 mts, el tamaño promedio de las intersecciones en la Ciudad de México. De acuerdo con estas consideraciones el modelo de nuestro programa queda como se muestra en la fura 19.

Figura 19. Representación dentro de nuestro programa de las 300 células. Cada una de las rayas negras representa un vehículo que se desplaza a través del camino, la intersección se localiza a la mitad del camino.

En un diagrama de 300 células la intersección aparece de un tamaño muy pequeño por lo que no aparece en la representación gráfica. Si se realiza un acercamiento a la intersección, donde se presentan únicamente 30 células de la vía rápida (de la célula 135 a la 164), este acercamiento permite ver el comportamiento entre los vehículos de la vía rápida y los vehículos de la intersección, como se muestra en la figura 20

Intersección de entrada


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Figura 20 Representación dentro del programa de esta tesis de las células 135 a 164 para tener una mejor apreciación de la intersección. Cada uno de los cuadros negros representa una celda ocupada por un vehículo.

De acuerdo con el modelo NS para sistemas abiertos, los últimos vehículos del camino son eliminados para poder representar el movimiento de los vehículos que salen. El número de vehículos eliminados dependerá de la velocidad máxima que se tenga. Por ejemplo, si Vmax = 5 entonces, se eliminan 6 vehículos por unidad de tiempo.

El número de vehículos que ingresan en la vía principal también depende de la velocidad máxima. En nuestro programa se ingresan de manera aleatoria por unidad de tiempo un número de vehículos que va de 0 a Vmax. Dado que el número de vehículos que entran a una vía rápida no es constante (por varios factores). La velocidad con que entran los vehículos de la vía rápida (no lo que entran por la intersección) es de 3/5 la velocidad máxima.

En la intersección, los vehículos que ingresan, lo hacen con velocidad 2/5 Vmax y se comportan en la intersección de acuerdo al modelo NS. Al pasar un vehículo de la intersección a la vía rápida, lo hará con la misma velocidad que tiene dentro de la intersección, para posteriormente comportarse basándose en el modelo NS en la vía rápida. Si el último vehículo en la intersección, no encuentra espacio suficiente en la vía rápida, se quedará esperando hasta tener el espacio suficiente.

¿Qué tanto espacio libre en la vía rápida deberá esperar el vehículo en la rampa para ingresar? Esto depende del tipo del conductor. Se tendrán conductores precavidos que esperarán dos o más celdas vacías para ingresar y se tendrán conductores no precavidos que con una celda libre ingresarán a la vía rápida. El comportamiento de los conductores repercute en el comportamiento del sistema y nuestro programa permite ver la diferencia entre estos tipos de comportamiento.

El programa realiza sus actualizaciones en el siguiente orden. a) Mover los vehículos en el camino principal.

b) Mover los vehículos de la rampa.

c) Insertar vehículos en el camino principal.

d) Insertar los vehículos en la rampa.


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El programa, primero actualiza la posición de los vehículos siguiendo las reglas del modelo NS dentro de la vía rápida, hacer esto, implica dar prioridad a los vehículos de la vía rápida, lo cual sucede en la realidad ya que los vehículos de las vías rápidas tienen preferencia sobre los vehículos de la intersección.

Como segundo punto, se actualizan los vehículos dentro de la intersección. Los vehículos de la intersección también se comportan de acuerdo con el modelo NS, pero al llegar a las ultimas posiciones de la rampa tendrán que evaluar si pueden o no ingresar a la vía rápida. Si pueden ingresar dejarán vacío su lugar en la rampa e ingresarán a la vía rápida con la misma velocidad que llevan en la rampa, que es lo que sucede en la vida real. Si el vehículo no puede ingresar a la vía rápida permanecerá esperando en la rampa hasta que encuentre espacio suficiente para ingresar. Cuando los vehículos se esperan en la rampa, generan un efecto de encolamiento dentro de la misma, que será liberado conforme los vehículos ingresan en la vía rápida.

En tercer lugar, se ingresarán vehículos en la vía rápida de acuerdo con la densidad de entrada, esto con el objetivo de poder controlar el número de vehículos que ingresan en la vía rápida para efectos de simulación.

Finalmente, se incorporan los vehículos de la intersección o rampa. El control entre los vehículos que ingresan por la rampa y los que ingresan por la vía rápida, permiten generar los efectos de simulación deseados en este proyecto.

Este programa es una analogía de la figura 16 y por tanto reproduce el comportamiento explicado en el apartado 4.3. Se tiene una densidad de entrada −ρ y el flujo

)( −− = ρjj que anteceden a la intersección y una densidad de salida +ρ y flujo )( ++ = ρjj que se localiza justo antes de la intersección pero que incluye el tráfico

ocasionado por esta. En este programa se muestra la relación que existe entre estas densidades y el comportamiento del flujo total de vehículos.

El programa permite controlar el número de vehículos que ingresan a la vía rápida a través del control “Densidad de entrada −j ”, de la misma forma se pueden controlar los vehículos que ingresan por la intersección a través del control “Densidad en la rampa +j ”. El comportamiento de estas dos densidades es el que define el movimiento de los vehículos.


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5.3. Obtención de información por medio del programa

El programa realizado nos presenta la información en tres formas:

a) Representación gráfica del movimiento de los vehículos: Esta representación se hace por medio de un camino de 300 células y un acercamiento de 30 células que nos permite apreciar los efectos de la intersección.

b) Diagrama de estados: Este diagrama nos permite ver un histórico del comportamiento del sistema, nos presenta el comportamiento del sistema conforme transcurre el tiempo. En este diagrama cada vehículo es representado por su velocidad y a cada velocidad le es asignada un color. Es dentro de este diagrama que podemos observar los congestionamientos y las ondas de avance-paro que describen el comportamiento del sistema.

c) Gráficas: Son presentadas varias gráficas para poder interpretar los datos. La gráfica principal corresponde al diagrama fundamental de NS, donde podemos observar el comportamiento del flujo en función de la densidad. También se presentan otras gráficas como: velocidad vs flujo, velocidad vs densidad, gráficas de barras del promedio de velocidades y el promedio de gaps.

5.3.1 Representación Gráfica La representación gráfica nos permite ver de manera práctica los resultados de la representación del modelo, muestra de forma visual el comportamiento de cada vehículo dentro del sistema. En el punto 5.2 de este reporte se presentaron varias de las consideraciones utilizadas para la representación gráfica.

Se tienen dos representaciones gráficas, una de 300 células y otra que es una aproximación al área de la intersección donde únicamente se presentan 30 células, esto con el objetivo de poder ver de manera real el comportamiento de las intersecciones. La figura 20 muestra la representación gráfica del sistema.


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5.3.2 Diagrama de estados Muestra un histórico del comportamiento del sistema, es decir el comportamiento del mismo conforme pasa el tiempo. Se tiene una representación de 300 periodos de tiempo o estados. Se considera una matriz donde las filas son los periodos de tiempo, los cuales van de arriba hacia abajo y las columnas son las posiciones de los vehículos en el camino.

Las velocidades de los vehículos son representadas con diferentes colores dentro de los diagramas, con la intención de poder observar con mayor facilidad la formación de los congestionamientos y las ondas de avance-paro. Los colores representativos de cada velocidad son:

Velocidad 0 células / periodo de tiempo






Una célula sin vehículo es representada por el color blanco.

Los controles “Densidad de entrada −j ” y “Densidad en la rampa +j ” nos muestran el comportamiento del sistema de acuerdo con la densidad de entrada y la densidad de vehículos en la rampa. Por medio de nuestro programa demostraremos el comportamiento que tienen los patrones de trafico de acuerdo al comportamiento de estas densidades.

Si tenemos una densidad de entrada y no permitimos entrar vehículos a través de la intersección, entonces, el comportamiento del flujo vehicular es como lo describe el modelo de NS en su diagrama fundamental en la parte de tránsito libre. La figura 21 muestra como aparecería nuestra simulación, en la cual tendríamos un flujo de tránsito libre.


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(a)

(b)

Figura 21. Simulación con nuestro modelo cuando no ingresan vehículos por la rampa. Parámetros: Densidad de entrada en la rampa de 0% y densidad de entrada en la vía rápida de 20%. (a) representación del camino. (b) Diagrama de

estados, se puede observar que no se tiene la formación de ondas de avance-paro.

En la figura 21 se presenta un flujo de tráfico libre, donde los vehículos no se estorban entre ellos, en este diagrama no existe la formación de congestionamiento ya que la mayoría de los vehículos lleva velocidad máxima.

Los vehículos introducidos en la rampa avanzan hasta llegar a la unión con la vía rápida, cuando un vehículo de la rampa llega a este punto ingresará a la vía rápida si encuentra el espacio suficiente para hacerlo, o esperará hasta que exista este espacio. Al comenzar a ingresar vehículos de la rampa a la vía rápida el comportamiento del sistema cambia y comienzan a producirse los congestionamientos y las ondas de avance-paro. La figura 22 muestra el comportamiento del sistema introduciendo pocos vehículos en el sistema. Los

Tiempo t0

Tiempo t1

Tiempo tn

t i e m p o

Célula-0 Célula-1 ....... Célula-n

espacio



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vehículos de color rojo representan los vehículos con velocidad 0, es decir, los vehículos no se mueven debido a problemas del tráfico, por lo que producen congestionamientos. Como era de esperarse la introducción de vehículos de la rampa a la vía rápida produce que los vehículos cercanos a la intersección sufran un frenado ocasionado por los vehículos que se introducen por la rampa. Se ve la aparición de ondas de avance-paro que se desplazan en sentido contrario al movimiento de los vehículos.

(a)

(b)

Figura 22. Simulación con nuestro modelo cuando ingresan pocos vehículos por la rampa. Parámetros: Densidad de entrada en la rampa de 20% y densidad de entrada en la vía rápida de 20%. (a) representación del camino. (b) Diagrama

de estados, se puede observar la formación de ondas de avance-paro en las cercanías de la rampa.

En la figura 22 podemos observar que la intersección favorece la formación de áreas de diferentes densidades. Si aumentamos el número de autos que ingresan por la intersección se acentúa la formación de estas áreas como puede apreciarse en la figura 23.

T i e m p o

Espacio

Intersección



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(a)

(b)

Figura 23. Simulación con nuestro modelo cuando ingresa un gran número de vehículos por la rampa. Parámetros: Densidad de entrada en la rampa de 50% y densidad de entrada en la vía rápida de 50%. (a) representación del camino. (b) Diagrama de estados, se puede observar la diferencia de densidades antes y después de la rampa y el movimiento de

las ondas de avance paro en sentido inverso al movimiento de los vehículos.

La figura 23 nos muestra la existencia de las dos densidades comentadas en el apartado 4.3, una densidad de entrada y una densidad de salida, cuyo comportamiento nos definirá la cantidad de flujo que se presenta. El color rojo indica los vehículos con velocidad 0 que se encuentran en congestionamiento.

La unión de la densidad de entrada con la densidad de salida produce un choque de densidades, lo cual genera ondas de avance-paro, que se desplazan en sentido inverso al movimiento de los vehículos.

En el apartado 4.3 se comentó que los carros que ingresan a la vía rápida ocasionan una disminución local de la velocidad de los autos en la vía rápida. Un choque de densidades, en la rampa, se propaga con una velocidad media de:

t i e m p o

espacio



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−+

−+

−−

=ρρ

ρρ )()( jjvchoque

Dependiendo del signo de choquev se tienen dos posibles escenarios:

(1) choquev >0 (es decir −+ > jj ): En este caso la onda de choque se propaga (en promedio) hacia la derecha de la intersección.

(a)

(b)

Figura 24. Simulación en el programa de esta tesis cuando choquev >0. Parámetros de simulación: Densidad de entrada

en la rampa 7% y densidad de entrada vía rápida 40%. (a) Representación de la vía rapida. (b) Diagrama de estados donde se ve que los vehículos se mueven sin problemas.

t i e m p o

espacio

Ondas de choque


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En este caso se puede observar que el movimiento de las ondas de desplazamiento es en el sentido del movimiento de los vehículos, hacia el final del camino.

(2) choquev <0 (es decir −+ < jj ): La onda de choque se propaga con la velocidad choquev hacia la izquierda de la intersección, en sentido inverso al movimiento de los vehículos como se muestra en la figura 25.

(a)

(b)

Figura 25. Simulación en el programa de esta tesis cuando choquev <0. Parámetros de simulación: Densidad de entrada

en la rampa 10% y densidad de entrada vía rápida 30%. (a) Representación de la vía rápida. (b) Diagrama de estados donde se ve que las ondas de avance-paro se mueven en sentido inverso al movimiento de los vehículos.

espacio

t i e m p o

Ondas de choque


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La figura 24 y 25 muestra que, dependiendo del valor de las densidades de entrada y de salida, se tiene un comportamiento de las ondas de choque y estas a su vez influyen en el flujo que se presenta en el camino.

En los diagramas de estado mostrados anteriormente, se puede ver que, dependiendo del valor de las densidades de entrada y salida, se tiene un comportamiento en el movimiento de los vehículos. El valor de las densidades puede controlarse por medio del número de vehículos que ingresan a las vías rápidas por medio de las rampas. Aquí se comprueba que el control de los vehículos en las rampas puede ayudar a optimizar el flujo de los vehículos en las vías rápidas.

Ahora describiremos las gráficas obtenidas, donde se muestra que existe un valor donde el flujo dentro de la vía rápida puede maximizarse a través del control de los vehículos que ingresan por las intersecciones.


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5.3.3 Gráficas A través de la simulación realizada se obtuvieron gráficas que confirman que controlando el flujo de los vehículos en una vía rápida a través del control de ingreso por las intersecciones de entrada.

Tres son los parámetros principales que intervienen en estas gráficas:

1) Densidad total promedio (de la célula 0 a la 300) del camino (ρ).

2) Flujo total promedio (de la célula 0 a la 300) del camino (q).

3) Velocidad total promedio (de la célula 0 a la 300) del camino (v).

Estos parámetros se encuentran relacionados por:

q = v * ρ

donde:

q = [vehículos/Periodo de Tiempo]

v = [Células/Periodo de Tiempo]

ρ = [Vehículos/Celulas]

i. Gráfica Flujo (q) vs Densidad (den)

Al igual que en el diagrama fundamental, descrito en el apartado 3.2, se tiene una gráfica flujo-densidad (figura 26) que permite identificar los puntos de mayor flujo dentro del camino conforme aumente la densidad. En esta gráfica podemos observar que se tienen dos densidades ρ1 y ρ2 entre las cuales se presenta un flujo máximo independiente de la densidad. La intención de controlar la entrada de vehículos a través de la intersección de entrada, tiene como objetivo mantener dentro de este rango ambas densidades para maximizar el flujo. En la gráfica, el eje horizontal (densidad) varía de 0% a 100% y el eje vertical (flujo) varía de 0 a Vmax, dado que el flujo es el producto de la velocidad * densidad y la densidad varía de 0 a 1 (0% a 100%).


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Figura 26. Gráfica Flujo vs Densidad del programa de esta tesis.

ii. Gráfica Velocidad(v) vs Flujo(q) En esta gráfica (figura 27), al igual que en la gráfica flujo-densidad, podemos observar que se tiene un valor máximo de flujo que permanece máximo para un determinado rango de velocidades. Recordemos que, el flujo es el producto de densidad * velocidad por lo que, sí tenemos flujo constante a diferentes velocidades es gracias a la densidad. El eje vertical varía de 0 a Vmax.

Figura 27. Gráfica Velocidad vs Flujo del programa de esta tesis.

ρ1 ρ2

Flujo Máximo

q máximo


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iii. Gráfica Velocidad(v) vs Densidad(ρ) En la figura 28, podemos observar que a mayor densidad la velocidad promedio de los vehículos es menor. La velocidad máxima se presenta a densidades pequeñas.

Figura 28. Gráfica Velocidad vs Densidad del programa de esta tesis.

iv. Gráfica de barras de promedio de velocidades.

La figura 29 indica por medio de un diagrama de barras, la cantidad de vehículos en el camino que tienen velocidad cero, uno, dos, tres ó cuatro “células/Periodo de tiempo”. Cuando aumenta el congestionamientos, se incrementa el número de vehículos con velocidad 0 (rojo), si no existe congestionamiento la mayoría de los vehículos llevan velocidad máxima (verde). Los colores utilizados en esta gráfica son los mismos utilizados en el diagrama de estados. El eje vertical (frecuencia) varía de 0% a 100% dependiendo del porcentaje de vehículos que se mueven a la velocidad representada.

Figura 29. Gráfica de barras de promedio de velocidades del programa de esta tesis.


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v. Gráfica de barras de promedio de gaps Recordemos que un gap es la distancia que tiene un vehículo con respecto al vehículo que se encuentra delante de él. La figura 30, representa la cantidad de vehículos que tienen uno, dos, tres, etc. gaps de diferencia respecto al vehículo delante de ellos.

Figura 30. Gráfica de barras de promedio de gaps del programa de esta tesis.


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6. Comparación de Resultados Para la simulación se hacen variantes. Dos de ellas son:

a) Cantidad de celdas que deben estar disponibles para que ingrese un vehículo de la rampa a la vía rápida cuando ha alcanzado el final de la misma. Esta variante la podemos interpretar como la precaución que algunos conductores toman para acceder de la rampa a la vía rápida, es decir, habrá conductores precavidos que esperarán una mayor distancia para acceder y habrá conductores no precavidos que con la menor distancia disponible ingresarán a la vía rápida.

b) Cantidad de vehículos que ingresan por medio de la rampa.

A continuación se presenta una descripción cuando cambiamos estas dos variantes. Pero previo a estas variaciones mostraremos las gráficas obtenidas de la simulación con el modelo estándar de NS, sin intersecciones de entrada.

6.1. Gráficas de la simulación con el modelo estándar de NS

Estas simulaciones fueron realizadas considerando un circuito que mantiene la densidad constante y sin intersección de entrada, de forma tal que al momento de salir un vehículo por el final del camino uno nuevo ingresa al mismo, por lo que, el número de vehículos permanece en el valor indicado por el control de densidad. De esta forma podemos hacer la representación completa para densidades entre 0% y 100% del comportamiento del flujo, la densidad y la velocidad. La figura 31 muestra el resultado de estas simulaciones.


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(a)

(b)

(c)

Figura 31. Gráficas obtenidas en las simulaciones de esta tesis de la representación con el modelo NS, Vmax=5 a) Flujo vs Densidad, b) Velocidad vs Flujo y c) Velocidad vs Densidad.

Al momento de introducir la intersección, el comportamiento del modelo cambia debido a los vehículos que ingresan de la intersección a la vía rápida. Se hizo una comparación entre la gráfica Flujo vs Densidad del modelo estándar de NS y el modelo con las intersecciones, el cual mostramos en la figura 32.


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(a)

(b)

Figura 32 La figura (a) muestra el diagrama fundamental del modelo NS, mientras que la figura (b) es un sistema con intersección Vmax =5 y densidad en la rampa del 40% con un conductor no precavido.

En la figura 32 se pueden distinguir tres diferentes fases dependiendo del valor de la densidad. En las fases de alta y baja densidad el flujo del sistema con rampas tiene un comportamiento similar al sistema libre de rampas. Para densidades intermedias

'2

'1 ρρρ << , se les llama “plateau”. El flujo permanece prácticamente constante y limitado

por los vehículos que ingresan de la rampa a la vía rápida. Aquí podemos observar como las rampas funcionan como un bloqueo que disminuye el flujo de manera local.

6.2. Comportamiento de acuerdo a la precaución de los conductores.

En la simulación con nuestro sistema se consideraron como conductores precavidos, a los que esperaban al menos tener disponibles dos celdas en la vía rápida para poder acceder a ella y conductores no precavidos a los que con sólo una celda disponible ingresaban a la vía rápida, la figura 33 muestra un comparativo del diagrama fundamental entre un conductor precavido y uno no precavido.

ρ2ρ1

Flujo Máximo


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(a) (b)

Figura 33 Comparación del diagrama fundamental entre un sistema con conductores precavidos (a) y conductores no precavidos (b) en ambos casos Vmax=5 densidad de la rampa 30%.

Como se puede observar en la figura 33, el comportamiento de los conductores ayudará a definir el valor del plateau. Si el conductor es no precavido, el plateau se presentará en un valor menor de flujo y el rango de densidades en el que el flujo permanece prácticamente constante, será mayor que el del conductor precavido.

6.3. Comportamiento de acuerdo a la cantidad de vehículos que ingresan por la intersección.

La figura 34 muestra el comportamiento del diagrama fundamental de acuerdo con el número de vehículos que ingresan por la intersección.


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(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 34. Comportamiento del diagrama fundamental conforme varía el número de vehículos que ingresan por la intersección (a) 0%, (b) 10%, (c) 30%, (d) 50% y (e) 80%.


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Como se observa en la figura 34, a pesar de que varía el número de vehículos que ingresan por la vía rápida el plateu se presente en el mismo valor, lo que varía es la rapidez con que se alcanza el valor y el porcentaje de densidad máximo alcanzado.


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7. Conclusiones A través del programa desarrollado en este proyecto se simuló el tráfico vehicular con AC. Se obtiene información que permite generar un escenario de elección de ruta en vías rápidas y por consiguiente retraza la aparición de congestionamientos distribuyendo el tráfico de manera más eficiente.

Hacer eficiente el tráfico vehicular implica un gran número de variables. Controlarlas es complejo. Los resultados de este proyecto, generan información suficiente que nos permite sugerir a los conductores si deben desplazarse por los carriles centrales o por lo carriles laterales de las vías rápidas, con el objeto de maximizar el flujo de tráfico y disminuir los tiempos de recorridos de éstos.

En este proyecto, con ayuda de la simulación del modelo de NS para sistemas abiertos, se ha podido estudiar algunas de las características del comportamiento de las intersecciones de entrada en las vías rápidas. Se ha mostrado que las intersecciones tienen un comportamiento similar a los cuellos de botella ya que en ellas se encuentra la unión de dos densidades. La unión de estas dos densidades (densidad de entrada y densidad de salida) es la que define el comportamiento del flujo dentro del camino.

Se detectó un rango de densidades, dentro de las intersecciones, en las cuales se tiene un flujo máximo, este flujo permanece constante dentro de ese rango. Si logramos mantener la densidad dentro de este rango es posible maximizar el flujo dentro de las vías rápidas.

El control de la densidad dentro del sistema puede ser regulado con la cantidad de autos que ingresan a las vías rápidas en las intersecciones. Al controlar esta densidad podremos mantener un flujo máximo. El control de este ingreso puede ser hecho por semáforos que indiquen a los conductores cuando no deben ingresar a las vías rápidas.

La implementación de esta propuesta es sencilla, optimiza la utilización de la infraestructura vehicular que se tiene actualmente. Por otro lado, se observó que el diagrama fundamental varía al momento de introducir las intersecciones, a densidades pequeñas y grandes los sistemas con o sin intersecciones se comportan de la misma manera. La diferencia se presenta en densidades medias, en estas densidades en los sistemas con intersecciones el flujo permanece constante sin importar que la densidad varíe, con la variación de los parámetros de nuestro modelo se puede presentar este rango de densidades conocido como plateau y citado por Andreas Schadschneider[10]; es en este rango de densidades donde podremos obtener un mayor flujo de vehículos. El valor del plateau queda definido por varios factores, uno de ellos es la agilidad con que los conductores ingresan de las intersecciones a las vías rápidas.

La solución propuesta en este proyecto, no es una solución total al problema del tráfico vehicular, pero si puede ser una contribución que ayude a disminuir el mismo. Al igual que otras propuestas, nuestra solución se encuentra sujeta al respeto que los conductores tengan


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a las señales de tránsito y en nuestro caso, a la colocación de semáforos en las intersecciones.

La solución al problema de tráfico es compleja y además de soluciones como la propuesta se debe tener proyectos que consideren la interrelación que existe, entre los sistemas de transporte, los asentamientos poblacionales y la ubicación de las fuentes de trabajo.


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8. Trabajo a futuro Este proyecto se limita a las intersecciones en vías rápidas considerando un sólo carril central y un solo carril lateral. Esto es suficiente para definir el comportamiento que las intersecciones producen en las vías rápidas como puede observarse en el trabajo. En un futuro, pueden considerarse sistemas con más carriles, en los cuales se establezca una relación entre los carriles de alta velocidad con los de baja velocidad; estos sistemas implican, además de las reglas de desplazamiento, reglas para cambios de carril.

El comportamiento del sistema se ve afectado por el riesgo que toman los conductores al momento de ingresar, de las intersecciones a las vías rápidas, en nuestro proyecto se considera un modelo con conductores precavidos y otro con conductores arriesgados. En realidad no todos los conductores o son precavidos o son arriesgados, por lo que se podría considerar un sistema que tome en cuenta: a ambos tipos de conductores con un porcentaje real, que considere las horas pico donde la gente se ve presionada por llegar algún lugar, los periodos de alto y de bajo tráfico, etc.

Respecto al trabajo con AC aplicado a tráfico vehicular, se tiene un gran número de problemas que requieren investigación, por ejemplo:

Ocurrencia de un accidente automovilístico.

Comportamiento humano que permitan definir las fases del tráfico.

Obstáculos y la formación de embotellamientos.

Optimización de Semáforos

Comportamiento de transporte urbano (autobuses, microbuses,...)

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9. Referencias

[1] K. Nagel and M. Schreckenberg, “A cellular automaton model for freeway traffic”, J. Physique. I 2, 2221, 1992

[2] J. Wahle, A. L. C. Bazzan, F. Klügl and M. Schreckenberg., “Decision Dynamics in a Traffic Scenario”, Physica A 287, 669-681, 36678

[3] B.S. Kerner and H. Rehborn, “Experimental features and characteristics of traffic jams”. Phys. Rev. E 53, R1297; 1996

[4] B.S. Kerner and H. Rehborn, “Experimental properties of complexity in traffic flow”. Phys. Rev. E 53, R4275. 1996

[5] J. Esser and M. Schreckenberg, “Microscopic Simulation of Urban Traffic Based on Cellular Automata”, International Journal of Modern Physics C, Vol 8 No. 5, 1025.1036, 2 June 1997

[6] B. S. Kerner, (Eds.),“Phase Transition in traffic flow”, Traffic and Granular Flow ’99 (Stuttgart, Germany, 1999)

[7] O. Biham and A. A. Middleton, “Self-organization and a dynamical transition in traffic-flow models”, Phys Rev A, E. 46, R6124, 1992

[8] S. Cheybani, J.Kertész and M. Schreckenberg, (Eds.),“Stochastic Boundary Conditions In the Nagel-Schreckenberg Traffic Model”, Traffic and Granular Flow ’99 (Stuttgart, Germany, 1999).

[9] P. Wagner, K. Nagel and D. E. Wolf, “Realistic multi-lane traffic rules for cellular automata”, Physica A 234, 687-698, 1996.

[10] A. Schadschneider, “Statical physics of traffic flow”, Physica A 285, 101-120, 2000.

[11] A. Schadschneider, D. Chowdhury, E. Brockfeld, K. Klauck, L. Santen and J. Zittartz, “A New Cellular Automaton Model for City Traffic” ”, Traffic and Granular Flow ’99 (Stuttgart, Germany, 1999).

[12] G. Téllez Castillo. M.S. Thesis. “Los fractales un punto de convergencia de los Autómatas Celulares y los Sistemas Dinámicos” CIC-IPN, 1998.

[13] E. Soria Porto. M.S. Thesis. “Variaciones al modelo celular de flujo de tráfico vehicular de Nagel y Schreckenberg”, Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco 2003.

56

[14] V. Blue, F. Bonetto and M. Embrechts, “ A cellular automata of vehicular self organization and nonlinear speed transitions”, Trasportation Research Board Annual Meeting, Washington DC, 1994.

[15] T. Nagatani, “Jamming transition in the traffic flow model with two-level crossing”, Physical Review E, vol 48, num 5 pp 3290-3294, 1993.

[16] T. Nagatani, “ Self organization and phase transition in the traffic flow model of a two-lane roadway”, Journal of Physics A, vol 26 pp781-787.1993

[17] K. Nagel, “ Particle hopping models and traffic flow theory”, Physical Review E, vol 3, num 6 pp 4655-4672, 1996.

[18] K. Nagel, C.L. Barret and M. Rickert, “ Parallel traffic micro- simulation by cellular automata”, transportation Research C, 1996.

[19] K. Nagel and S. Rasmussen, “ Traffic at the edge of chaos”, Proceedings of the Fourth International workshop on the synthesis and simulation of living systems, MIT Press, pp22-235, 1994.

[20] M. Rickert, K. Nagel, A. Schreckenberg, and A. Latour, “ Two lane traffic simulations using cellular automata”, Physica A, 1995.

[21] A. Schadshneider, M. Schreckenberg, “ cellular automata models and traffic flow”, journal of Physics A, vol 26, pp679-683, 1993.

[22] M. Schreckenberg and K. Nagel, “Discrete Stochastic models for traffic flow”, Physical Review E, vol 51, num 4 pp 2939-2949, 1995

[23] D. Chowdhury, A. Pasupathy and S. Sinha, “Distributions of time and distance headways in the Nagel-Schreckenberg model of vehicular traffic: effects of hidrances”. European Physical Journal B., 5,781-786. 1998.

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ANEXOS

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Anexo A: Sistema Dentro de las herramientas utilizadas en este proyecto se encuentra un programa. El programa fue desarrollado en java 1.4.1_3 y requiere lo siguiente para su ejecución:

c) Tener instalado java 1.4.1_3 o alguna versión superior.

a) Tener un visualizador como Netscape o Internet explorer 2 o superior.

b) Si java se instala por primera vez, es necesario configurar las siguientes variables de ambiente:

• PATH debe contener el directorio bin de la aplicación java, ejemplo:

PATH= %PATH%; C:\j2sdk1.4.1_03/bin

• CLASSPATH debe contener el directorio donde se encuentran las clases de java: lib, por ejemplo:

CLASSPATH=.;C:\j2sdk1.4.1_03\lib\tools.jar

Cuatro clases constituyen nuestro proyecto: Modelo, Camino, ContexCamino y Dialogos. Cada una de estas clases tiene un archivo con el mismo nombre pero con extensión “.java”. Los archivos .java contienen el código de las clases. Para poder compilar estos programas se utiliza el siguiente comando:

javac archivo.java

Donde “archivo” corresponde al nombre de la clase. La ejecución de este comando generará un archivo con el mismo nombre pero con extensión “.class”, los archivos con extensión “.class” son los archivos ejecutables.

Además de los archivos de las clases se cuenta con el archivo Simulacion.html Este es un archivo en html que permite que el applet pueda ser ejecutado dentro de un visualizador como Netscape o Internet Explorer.

Para ejecutar el programa tenemos dos opciones:

a) Abrir dentro del explorador de internet deseado, el archivo Alternativas.html.

b) Utilizar el visualizador de java con el siguiente comando desde un prompt de MSDOS:

appletviewer Alternativas.html

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Se muestra a continuación una descripción de cada una de las clases del programa:

a) Modelo.- Es la clase principal, a través de esta clase se llama a las demás clases. Es la clase ejecutada por el programa Alternativas.html. Dentro de sus funciones esta la de generar las barras de desplazamiento, sus etiquetas y los botones que permiten ajustar los valores de las simulaciones. Esta clase es del tipo runnable, lo que permite ejecutar una actualización permanente del sistema con los nuevos valores, de acuerdo con el modelo utilizado (NS).

b) Diálogos.- Es una clase encargada de desplegar ventanas que contienen información relacionada con las propiedades del modelo utilizado en la simulación. Permite modificar la probabilidad de frenado de la tercera regla del modelo de NS. Las ventanas son activadas a través del botón Detalles.

c) Camino.- Esta es la clase que realiza los cálculos para la simulación del modelo. En esta clase se aplican las cuatro reglas del modelo de NS para el movimiento de los vehículos.

d) ContexCamino.- Esta clase dibuja el circuito en sí y los autos dentro del mismo. Los valores calculados en la clase Camino son entregados a esta clase para poder dibujar el comportamiento de los autos. También por medio de esta clase se dibujan las gráficas.

e) Alternativas.- Este es código html que permite poder ejecutar el programa dentro de un visualizador de internet. Este programa llama a la clase Modelo la cual se encarga de llamar a las demás clases.

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Anexo B: Manual de uso del Sistema Para ejecutar el programa tenemos dos opciones:

a) Abrir dentro del explorador de internet deseado, el archivo Alternativas.html.

b) Utilizar el visualizador de java con el siguiente comando: appletviewer Alternativas.html

Al abrir el programa aparecerá la pantalla mostrada en la figura 35:

Figura 35. Pantalla superior del programa de esta tesis, donde se observan los controles del programa.

Dentro del programa tenemos los siguientes controles deslizables:

• Velocidad de simulación [%].- Permite aumentar o disminuir la velocidad con la que se realizan las simulaciones. Mientras más cercano este del 100% más rápida será la simulación.

• Velocidad máxima [sites/Periodos de tiempo].- El circuito tiene definida una velocidad máxima, en nuestro caso de 6 velocidades (de 0 a 5). Es posible cambiar la

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velocidad máxima si así se desea y los vehículos podrán tener velocidades entre cero y la velocidad seleccionada.

• Densidad de entrada −j : Permite controlar la cantidad de vehículos que ingresan por la vía rápida. Está expresado en porcentaje e indica la probabilidad en cada periodo de tiempo de que ingresen vehículos por la vía rápida.

• Densidad en la rampa +j : Controla el número de vehículos que ingresan por la intersección, expresa la probabilidad de que ingresen vehículos en la rampa. Si esta probabilidad es cero, no ingresarán vehículos por la intersección y el sistema se comportara como un sistema sin intersección de entrada.

Se tiene un menú que permitirá seleccionar el tipo de simulación que se desea. Se tiene dos opciones posibles.

• AC Estándar.- Realizará la simulación por el modelo de NS tradicional, en este caso la probabilidad de frenado de todos los vehículos es la misma.

• Modelo VDR.- Este modelo permitirá introducir el concepto de metaestabilidad en el sistema. Seleccionando esta opción, se podrán definir diferentes probabilidades de frenado para cada velocidad disponible.

Tenemos los siguientes botones:

• Detalles.- Este botón permite ver detalles sobre el modelo utilizado de acuerdo a la opción seleccionada en el menú. Así mismo, permitirá modificar la probabilidad de frenado para el modelo AC Estándar o las probabilidades para el modelo VDR.

• Limpiar Diagramas.- Este botón borra el contenido de los diagramas, dejándolos listos para nuevas simulaciones.

• Parar/iniciar.- Permite detener la simulación para poder observar los datos obtenidos e iniciarla nuevamente en el momento deseado.

Se hacen dos representaciones del camino, la primera de ellas de la célula 0 a la 300. Por cuestiones de resolución, la intersección no aparece pero se encuentra exactamente a la mitad del camino. El segundo de los caminos es una representación de la célula 135 a la 164, esta representación facilita observar la intersección de entrada y el comportamiento que se tiene dentro del camino.

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Gráficas

Dentro del programa en la parte inferior de la pantalla se encuentran las gráficas generadas como lo muestra la figura 36. A continuación se presenta una descripción de estas gráficas.

Figura 36. Pantalla inferior del programa de esta tesis, donde se observan las gráficas generadas por el sistema.

• Flujo vs densidad.- Es una gráfica del promedio de flujo desde la celda 0 a la celda 300, el flujo es el producto “densidad * velocidad”. Es una equivalencia del diagrama fundamental del modelo NS. El eje vertical representa el flujo y su valor va de 0 al producto “densidad máxima * Vmax”, puesto que la densidad varía de 0 a 1 (0 a 100%) el flujo varía de 0 a Vmax que representa el número de vehículos promedio que pasan por un punto del sistema en un periodo de tiempo. El eje horizontal es la densidad que varía de 0 a 100%.

• Velocidad vs Flujo.- Muestra el comportamiento de la velocidad respecto al flujo. El eje vertical representa la velocidad que varía de 0 a Vmax y el eje horizontal el flujo que varía también de 0 a Vmax.

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• Velocidad vs Densidad.- Muestra el comportamiento de la velocidad respecto a la densidad. El eje vertical representa la velocidad y varía de 0 a Vmax y el eje horizontal representa la densidad que varía de 0% a 100%.

• Frecuencia de Velocidades.- Cuenta el número de vehículos que tiene velocidad cero, uno, dos, tres, cuatro o cinco en el diagrama y los representa por medio de una gráfica de barras. En el eje vertical se presenta la frecuencia con que se presenta una velocidad en el sistema y varía de 0% a 100%, en el eje horizontal se presenta en cada barra, cada una de las velocidades que los vehículos del sistema pueden tener.

• Frecuencia de Gaps.- los gaps representan el número de espacios vacíos entre un auto y el auto siguiente. El sistema cuenta los vehículos que tienen un gap, dos, tres, etc. gaps y los representa por medio de un diagrama de barras. El eje vertical varía de 0% a 100% y representa el porcentaje un valor que el gap puede tener dentro del sistema, en el eje horizontal cada columna representa cada uno de los valores posibles de gaps.

• Diagrama de estados (Tiempo – Espacio).- Este diagrama muestra el comportamiento del camino en un tiempo t0, t1, t2, ..., tn. Permite visualizar el comportamiento del sistema en el espacio con respecto al tiempo. Este diagrama nos permite ver las ondas de avance paro que define el sistema.

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