universidad autónoma de querétaro escuela de bachilleres · mal", y entenderemos por qué....
TRANSCRIPT
Universidad Autónoma De Querétaro
Escuela De Bachilleres
Cuadernillo de trabajo:
Teoremas y problemas de Geometría Euclidiana Matemáticas III:
Geometría Euclidiana Y Trigonometría
Material elaborado por:
Ing. Dulce Gabriela Rivera Sánchez
Docente
Noemí Gabriela Lara Sáenz
Estudiante: _________________________________________________ Grupo: _______
Querétaro, Querétaro, julio 2019
i
Contenido
Introducción ....................................................................................................................................................... ii
Razonamiento lógico ......................................................................................................................................... 1
Tipos de razonamiento ............................................................................................................................................... 1
Estructura general de una demostración matemática ................................................................................................. 2
Enunciado condicional ...................................................................................................................................................... 3
Propiedades y notaciones ................................................................................................................................. 4
Alfabeto griego ........................................................................................................................................................... 4
Propiedades de los números reales............................................................................................................................. 4
Propiedades de la igualdad ......................................................................................................................................... 5
Notación ..................................................................................................................................................................... 5
Ángulos entre rectas ......................................................................................................................................... 6
Definición, clasificación y medición de los ángulos. ..................................................................................................... 6
Notación ............................................................................................................................................................................. 6
Clasificación por su medida. ............................................................................................................................................. 6
Clasificación por su posición. ............................................................................................................................................ 6
Clasificación por la suma de sus medidas. ....................................................................................................................... 7
Ángulos en rectas paralelas cortadas por una secante .............................................................................................. 15
Triángulos ........................................................................................................................................................ 22
Clasificación de los triángulos .........................................................................................................................................24
Congruencia y semejanza de triángulos. ................................................................................................................... 29
Congruencia de triángulos. .............................................................................................................................................29
Razones y proporciones ..................................................................................................................................................32
Observa las figuras proporcionales, escribe debajo, las relaciones entre sus lados. (___/4)....................................34
Calcula el valor numérico exacto de “x”. (___/20) .......................................................... ¡Error! Marcador no definido.
Lee con atención los enunciados, plantea las proporciones y calcula lo que se pide. Argumenta tu resultado de
acuerdo al contexto, si es necesario. (___/12)..............................................................................................................34
Semejanza de triángulos. ................................................................................................................................................35
Responde puntual y coherentemente a las pregutas: (___/2) ....................................................................................37
Cuadriláteros ................................................................................................................................................... 43
Polígonos ......................................................................................................................................................... 44
Circunferencia ................................................................................................................................................. 45
Ángulos notables de la circunferencia ....................................................................................................................... 45
ii
Introducción
Advertencia: ¡en este cuadernillo abundan las demostraciones!, ¿por qué? porque esta parte de la matemática nos
enseña a no creer en las apariencias, cuentan que Pitágoras dijo que " la geometría es el arte de pensar bien y dibujar
mal", y entenderemos por qué. Demostrar en geometría nos ayuda a ejercitar nuestro pensamiento lógico, a emplear
ideas mundialmente aceptadas como justificaciones, a ordenar nuestros argumentos antes de expresarlos y no dejar
espacio a la ambigüedad .
Demostrar en geometría euclidiana es distinto que demmostrar en ciencias experimentales, en las ciencias
experimentales hay muchos parámetros afectando y condicionando el proceso y el resultado, en geometría euclidiana,
a pesar de que hay maneras diferentes de demostrar una proposición, el resultado será verdadero o falso, sin dejar
dudas ni condiciones.
También conoceremos y aplicaremos las propiedades de las figuras geométricas, a la vez que ponemos en práctica
nuestras habilidades de visualización. Resolveremos problemas donde una situación real se abstrae y se estudia
utilizando geometría y álgebra… por cierto, ¿sabías que los griegos resolvían problemas que hoy son algebraicos,
utilizando geometría?
Espero que disfrutes esta parte del curso y que te enamores, aunque sea un poco, de esta hermosa rama de las
matemáticas.
Trabajemos juntos y aprendamos juntos.
Dulce Rivera.
Razonamiento lógico
Tipos de razonamiento
Imagina que estás sentado fuera de un auditorio y observas que entran a él muchos jóvenes con uniforme de
secundaria, entonces podrías pensar “seguramente se llevará a cabo un evento para chicos de secundaria”. Te quedas
un rato más, y sigues observando lo mismo, ahora te sientes seguro de que tu suposición es correcta. De pronto, se te
invita a entrar para asistir a la conferencia, pero tú no eres de secundaria ni llevas uniforme. Una vez dentro, notas que
hay gente de todo tipo y te das cuenta de que tu suposición no era correcta.
El razonamiento inductivo, es aquél que lleva a una conclusión, llamada conjetura, a partir de la observación de
situaciones repetidas, que en matemáticas conocemos como patrones. Dicha conjetura puede ser verdadera o no, y
para comprobar que no es verdadera basta con exhibir un contraejemplo.
Actividad 1. Conjetura, patrón y contraejemplo.
I. Analiza nuevamente el primer párrafo. Identifica: la conjetura, el patrón y el contraejemplo.
El razonamiento inductivo ofrece un método poderoso para obtener conclusiones, pero no existe la seguridad de que
la conjetura obtenida siempre sea verdadera. Por esta razón, los matemáticos se muestran renuentes a aceptar una
conjetura como una verdad absoluta mientras no se pruebe formalmente usando métodos de razonamiento deductivo
(D. Miller, Charles; E. Heeren, Vern; Hornsby, 2013).
El razonamiento deductivo utiliza enunciados o reglas generales y se aplica a situaciones específicas. Por ejemplo, se
tiene que las medidas de los lados de un triángulo son 3, 4 y 5; y se desea saber si se trata de un triángulo rectángulo.
Para esta situación se conocen dos reglas generales: 1) En cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos, y 2) la hipotenusa es el lado de mayor longitud. Entonces, 52 debe ser
igual a 32 + 42, una vez verificado, se tiene que el triángulo es rectángulo.
2
Estructura general de una demostración matemática
Cualquier demostración matemática es motivada por un conjunto de palabras y símbolos que de manera conjunta
forman una afirmación que puede ser verdadera o falsa, esta afirmación se conoce como enunciado.
En el proceso de aprendizaje de las demostraciones, el enunciado suele consistir en: a) un teorema, esto es, una
afirmación que se considera verdadera porque ya ha sido demostrada con anterioridad; o b) una proposición.
Entendemos por hipótesis, las condiciones iniciales o datos conocidos que tendrían como conseciuencia la tesis. Si una
proposición no nos da la representación gráfica de la proposición, esto es, la figura; entonces nosotros debemos
construirla a partir de la hipótesis.
Acontinuación escribimos lo que se va a demostrar, y posteriormente el cuerpo de la demostración: el razonamiento
lógico, empleando únicamente aquello que es conocido por todos o que dentro del cuerpo de la demostración ya ha
sido comprobado. Por fines didácticos, en las demostraciones de este cuadernillo, únicamente se podran aplicar los
teoremas que se han visto con aterioridad.
Todas las demostraciones deben marcar el final: la tesis. Es el último argumento que afirma o refuta lo que se quería
demostrar. Es importante resaltar, que cuando se afirma, entonces será exactamente igual a lo que escribimos en "por
demostrar".
Fig. 1 Esquema general de la estructura de una demostración matemática.
3
Enunciado condicional
Los enunciados de las demostraciones pueden ser reescritos como un enunciado condicional de la forma 𝑃 → 𝑄, que
se lee “Si P, entonces Q” o “P implica a Q”. Es decir, para que “Q” se considere verdadera, “P” debe ser verdadera. Así,
P será la hipótesis y Q será la tesis.
Por ejemplo:
a) “Si el polígono tiene tres vértices entonces es un triángulo” De aquí, la hipótesis P, es un polígono con tres vértices y la tesis Q, es que en consecuencia se trata de un triángulo.
b) “si un número termina en cero, entonces es un número par” En este enunciado, la hipótesis P, es un número que termina en cero, cuya tesis Q, será que ese número es par.
Es importante resaltar que no siempre son evidentes las partes “P” y “Q” de un enunciado. Los mismos ejemplos
pueden ser escritos como:
a) “Todos los polígonos que tienen tres vértices son triángulos” b) “Todos los números que terminan en cero son pares”
Actividad 2. Hipótesis y Tesis.
I. Lee con atención los enunciados, identifica y reescribe por separado la hipótesis y la tesis.
1. Todos los cuadrados son cuadriláteros.
2. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces el triángulo es isósceles.
3. Dos ángulos son congruentes si cada uno es un ángulo recto.
4. Las longitudes de lados correspondientes de polígonos semejantes, son proporcionales.
4
Propiedades y notaciones
Alfabeto griego
𝛼 − 𝛢 alpha
𝛽 − 𝛣 beta
𝛾 − 𝛤 gamma
𝛿 − Δ delta
휀 − 𝛦 épsilon
휁 − 𝛧 zeta
휂 − 𝛨 eta
휃 − 𝛩 theta
휄 − 𝛪 iota
휅 − 𝛫 kappa
휆 − 𝛬 lambda
휇 − 𝛭 miu
휈 − 𝛮 nu
휉 − 𝛯 xi
휊 − 𝛰 ómicron
휋 − 𝛱 pi
휌 − 𝛱 rho
𝜎 − 𝛴 sigma
𝜏 − 𝛵 tao
𝜐 − 𝛶 ípsilon
𝜑 − 𝛷 phi
𝜒 − 𝛸 chi
𝜓 − 𝛹 psi
𝜔 − 𝛺 omega
Propiedades de los números reales
Propiedad Suma Multiplicación
Cerradura (suma) 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ 𝑅
Conmutativa 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
Asociativa 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑎(𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑐
Elemento neutro 𝑎 + 0 = 𝑎 𝑎 ∙ 1 = 𝑎
Propiedad distributiva: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐
5
Propiedades de la igualdad
Propiedad de adición de la igualdad 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
Propiedad de multiplicación de la igualdad 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐
Propiedad de división de la igualdad 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑐 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐
Propiedad reflexiva 𝑎 = 𝑎
Propiedad simétrica 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 = 𝑎
Propiedad sustitutiva 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑎 𝑏 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Propiedad transitiva 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑏 = 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑐
Propiedad cancelativa de la multiplicación 𝑆𝑖 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑐, entonces 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑥 ∙ 𝑦
Propiedad cancelativa de 𝑆𝑖 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑐, entonces 𝑎 + 𝑏 = 𝑥 + 𝑦
Notación
𝐴 Punto A, Vértice A.
𝐴𝐵 Recta que pasa por A y B
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ Segmento limitado por A y B
|𝐴𝐵̅̅ ̅̅ | Longitud del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ Semirrecta que parte de A y pasa por B
∡𝐴 Ángulo de vértice A
∡𝐴𝐵𝐶 Ángulo de vértice B formado por cuyas semirrectas pasan por A y por C.
𝐴�̂� Arco de 𝐴 a 𝐶.
Δ𝐴𝐵𝐶 Triángulo de vértices 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
|𝐴𝐵𝐶| Área del triángulo Δ𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐶𝐷 Cuadrilátero de vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷.
|𝐴𝐵𝐶𝐷| Área del cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑚𝐴 Mediana trazada desde el vértice A.
𝑎 Recta a, lado a.
≅ Congruente
~ Semejante
6
Ángulos entre rectas
Definición, clasificación y medición de los ángulos.
Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas que parten del mismo
punto llamado vértice. A cada una de las semirrectas que forman el
ángulo se les llama lados del ángulo.
Por convención un ángulo es positivo si se mide en sentido
antihorario y negativo si se mide en sentido horario. Dependiendo
de cómo se mida el ángulo, los lados estarán definidos como lado
inicial y lado final.
Notación
Ángulo con vértice V. �̂� Abertura del ángulo. ∠𝛼,∠1
Ángulo con vértice V, lado
inicial 𝑉𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ y lado final 𝑉𝑌⃗⃗⃗⃗ ⃗. ∠𝑋𝑉𝑌, 𝑋𝑉�̂�
Ángulo medido con vértice V,
lado inicial 𝑉𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ y lado final 𝑉𝑌⃗⃗⃗⃗ ⃗. ∡𝑋𝑉𝑌
Ángulo recto. ∟ Medida del ángulo. ∡𝛼,∡1,𝑚∠𝛼,𝑚∠𝑋𝑉𝑌 …
Clasificación por su medida.
Clasificación por su posición.
7
Clasificación por la suma de sus medidas.
Ángulos complementarios. Ángulos suplementarios.
Dos ángulos cualesquiera que suman 90º. Dos ángulos cualesquiera que suman 180º.
Actividad 3. Identificación de ángulos en las rectas oblicuas.
Observa la figura y responde lo que se pide.
Fig. 2
1. Escribe los pares de ángulos opuestos por el vértice:
2. Escribe los pares de ángulos que son adyacentes:
Teorema 1. Ángulos opuestos por el vértice.
Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.
Demostración
8
Ejercicios 1. Cálculo de ángulos en rectas oblicuas. I. Calcula el valor de 𝑥.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
9
II. Utiliza la figura para resolver los problemas
7. Si ∡1 = 125º calcula ∡2,∡3 ^ ∡4.
8. Si ∡1 = 3𝑥 + 10 y ∡3 = 4𝑥 − 30, calcula 𝑥 y ∡1.
9. Si ∡1 = 2𝑥 y ∡2 = 𝑥. Calcula ∡1.
10
10. Si ∡5 = 2𝑥 + 2𝑦, ∡8 = 2𝑥 − 𝑦 y ∡6 = 4𝑥 − 2𝑦. Calcula el valor de 𝑥 y 𝑦.
Teorema 2. Ángulos complementarios.
Si dos ángulos son complementarios para el mismo ángulo, entonces dichos ángulos tienen la misma medida.
Demostración
11
Ejercicios 2. Cálculo de ángulos complementarios y suplementarios. I. Lee con atención los enunciados, calcula lo que se pide y argumenta tu procedimiento.
1. Determina el complemento de 72°.
2. ¿Cuál es el suplemento de 139°?
3. Si 36° es el complemento del suplemento de 𝑥, ¿cuántos grados mide 𝑥?
4. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.
5. El doble de un ángulo, es la cuarta parte de su complemento, ¿cuánto mide el ángulo?
12
6. Calcula el valor de dos ángulos complementarios si el doble del primero aumentado en 10 es igual al triple del segundo.
7. ∠𝑃 y ∠𝑄 son complementarios, donde ∡𝑃 =𝑥
2 y ∡𝑄 =
𝑥
3. Calcula cada uno de los ángulos.
II. Calcula el valor de 𝑥.
8.
9.
10.
11.
13
12. Dado que ∡𝐷𝑂𝐴 =2
3𝑥, ∡𝐶𝑂𝐷 =
2
6𝑥 y ∡𝐵𝑂𝐶 = 5𝑥. Calcula el valor de cada uno de los ángulos.
13. En la figura, 𝐻𝐽⃗⃗⃗⃗ es bisectriz de ∠𝐷𝐻𝐸. 𝐻𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es bisectriz de ∠𝐹𝐻𝐷. ¿Cuál es la medida de “a” y de ∡𝑥?
14. En la figura, 𝑅𝑈⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es bisectriz del ∠𝑉𝑅𝑆 y 𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ es bisectriz de ∠𝑈𝑅𝑆. ¿Cuál es la medida de ∡𝑈𝑅𝑇?
14
15. Si “a” y “b” son ángulos complementarios, ¿cuál es el valor de “c”?
III. Completa la información.
Por sus medidas:
16. 𝛼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ________________________________________ 17. 𝛽 + 𝛿 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 _____________________________ 18. 𝛽 + 휂 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 _____________________________ 19. 𝛾 + 휀 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 _____________________________ 20. 𝛾 + 휀 + 휁 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ________________________
Por la posición de sus lados:
21. 휁 𝑦 휃 𝑠𝑜𝑛 ______________________________________________ 22. 휂 𝑦 휃 𝑠𝑜𝑛 ______________________________________________ 23. 𝛾 𝑦 휀 𝑠𝑜𝑛 __________________________𝑦 ___________________________ 24. 𝛿 𝑦 휁 𝑠𝑜𝑛 _____________________________________________
Por la suma de sus medidas:
25. 휃 𝑦 𝛼 𝑠𝑜𝑛 ___________________________________________ 26. 휂 𝑒𝑠 ____________________________ 𝑑𝑒 𝛿 27. 𝛾 𝑦 휀 𝑠𝑜𝑛 ___________________________________________
15
Ángulos en rectas paralelas cortadas por una secante
Actividad 4. Tabla de conceptos: rectas paralelas cortadas por una secante.
I. Investiga los conceptos y completa la tabla. Agrega una representación gráfica en cada caso.
Rectas paralelas Recta secante Ángulos correspondientes
Ángulos alternos externos Ángulos alternos internos Ángulos colaterales internos
Ángulos colaterales externos
16
Actividad 5. Ángulos en rectas paraleas cortadas por una secante.
I. Observa la figura y escribe lo que se pide.
Fig. 3
1. Escribe todos los pares de ángulos adyacentes:
2. Escribe todos los pares de ángulos correspondientes:
3. Escribe todos los pares de ángulos alternos internos:
4. Escribe todos los pares de ángulos colaterales externos:
5. Escribe todos los pares de ángulos opuestos por el vértice:
6. Escribe todos los pares de ángulos alternos externos:
7. Escribe todos los pares de ángulos colaterales internos:
17
Teorema 3. Ángulos correspondientes.
Los ángulos correspondientes son congruentes.
Demostración
Teorema 4. Ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos miden lo mismo.
Demostración
18
Teorema 5. Ángulos alternos externos.
Los ángulos alternos externos miden lo mismo.
Demostración
Teorema 6. Ángulos colaterales internos.
Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
Demostración
19
Teorema 7. Ángulos colaterales externos.
Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
Demostración
Teorema 8. Rectas paralelas.
Si dos rectas se cortan por una transversal de manera que los ángulos correspondientes sean congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.
Demostración
20
Ejercicios 3. Resuelve los ejercicios, argumenta tu procedimiento.
1. Dado que 𝑙1||𝑙2, calcula el valor de 𝑥 y de los ángulos 𝛼 y 𝛽.
2. Dado que 𝑙1||𝑙2. Calcula el valor de 𝑥.
3. Dado que 𝑙1||𝑙2 y que 𝐼𝐽⃗⃗⃗ es una bisectriz, calcula el valor de 𝛼.
4. Dado que 𝑙1||𝑙2, calcula el valor de 𝑥.
21
5. 𝑇𝑄𝑅𝑆 es un paralelogramo. Si ∠𝑆𝑄𝑇 es igual a 40° y ∠𝑇𝑆𝑄 es igual a 20°, ¿cuántos grados mide ∠𝑇𝑆𝑅?
6. Calcula el valor de 𝑥 y 𝑦.
7. Determina los valores de 𝛽 y 휃, si 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ biseca al ángulo ∢𝐷𝐶𝐵 y 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
8. En la figura, ∡3 = 4𝑥 + 𝑦, ∡5 = 6𝑥 + 5𝑦 y ∡6 = 5𝑥 − 2𝑦. Calcula 𝑥^𝑦.
22
Triángulos
Un triángulo es la porción del plano delimitada por 3 segmentos. A dichos segmentos se les llama lados del triángulo y
a los puntos en los que se intersecan se les llama vértices. Los ángulos que se forman dentro del triángulo se conocen
como ángulos interiores (o internos). Un ángulo exterior (o externo) es adyacente a un ángulo interior y se forma a
partir de la prolongación de uno de los lados del triángulo. Observa la figura.
Fig. 4
∡𝛼,∡𝛽, ∡𝛾 son ángulos interiores. ∡1,∡2, ∡3 son ángulos exteriores.
Teorema 9. Ángulos interiores
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es de 180°.
Demostración
23
Teorema 10. Ángulos exteriores
La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es de 360°.
Demostración
Teorema 11. Ángulo exterior
En cualquier triángulo, un ángulo exterior mide lo mismo que la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.
Demostración
24
Clasificación de los triángulos
Actividad 6. Cuadro de conceptos: Clasificación de los triángulos.
I. Investiga y escribe la clssificación de los triángulos que se pide, agrega figuras representativas.
Por la medida de sus ángulos
Por la medida de sus lados
Ejercicios 4. Cálculo de ángulos en triángulos.
1. Calcula ∡𝑄𝑃𝑅.
2. Calcula x.
25
3. Calcula la suma: ∡𝑥 + ∡𝑦 = ___________
4. Calcula el valor de x.
5. Calcula el valor de x.
6. Calcula el valor de 𝑥.
7. Calcula el valor de x.
26
8. En la siguiente figura, calcula los valores de los ángulos 𝛽, 𝛼 y 휀.
9. En la figura, ∠𝐶𝐴𝐹 = ∠𝐹𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐵 y 𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐶. Calcula el valor de 𝑥.
10. ¿Cuál es el valor de "𝑥" y "𝑦"? *QUITAR, REPETIDO
27
11. En la siguiente figura, el lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es bisectriz del ángulo ∢𝐵𝐴𝐷. Determina los ángulos interiores de los Δ𝐴𝐵𝐶 y
Δ𝐴𝐶𝐷 sabiendo que ∢𝐵𝐴𝐶 = 𝑦 + 8, ∢𝐶𝐴𝐷 = 𝑥 + 13°, ∢𝐴𝐵𝐶 = 3𝑥 − 6° y ∢𝐴𝐶𝐷 =10
3𝑦 + 7°.
12. En el triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ biseca a ∠𝐶𝐴𝐵 y 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ biseca a ∠𝐴𝐵𝐶. Calcula ∡𝐹𝐸𝐷. *REVISAR
13. En la siguiente figura. ¿Cuánto vale la suma de los ángulos 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒?. *RETO
28
14. Encuentra el valor del ángulo 𝑥 en la siguiente figura.
15. Si los ángulos interiores de un triángulo son ∡𝑥,∡𝑦, ∡𝑧; donde el ∡𝑦 es el doble del ∡𝑥, y el ∡𝑧 es el triple del ∡𝑥, ¿Qué tipo de triángulo es?
16. Los ángulos interiores de n triángulo son ∡𝐴, ∡𝐵 𝑦 ∡𝐶. Si ∡𝐵 es el doble de ∡𝐴 y ∡𝐶 es 15° menor que ∡𝐴. Calcula el valor de cada ángulo.
29
Congruencia y semejanza de triángulos.
Congruencia de triángulos.
Criterio de congruencia LLL.
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes miden lo mismo.
Criterio de congruencia LAL.
Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos miden lo mismo.
Criterio de congruencia ALA.
Dos triángulos son congruentes si dos de sus ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos miden lo mismo.
30
Ejercicios 5. Problemas que implican la congruencia de triángulos. I. En cada uno de los siguientes casos, indica bajo qué criterio son congruentes los triángulos y calcula el valor de
x y y.
17.
18.
19.
20.
21.
31
II. Calcula los valores de las incógnitas en los siguientes triángulos congruentes.
22.
23.
24.
III. Dada la figura, con ∡𝑅𝑃𝑆 = 60°, ∡𝑆𝑅𝑃 = 38°, 𝑃𝑆||𝑄𝑇 y 𝑃𝑄||𝑆𝑇. Calcule ∡𝑄𝑅𝑇 + ∡𝑅𝑄𝑇.
25.
32
Razones y proporciones
Una razón, es una comparación de dos cantidades.
𝑟 =𝑎
𝑏 𝑎: 𝑏
En ambos casos, se lee "a es a b".
Una proporción es la igualdad de dos razones.
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑 𝑎: 𝑏 ∷ 𝑐: 𝑑
En ambos casos, se lee: "a es a b, como c es a d".
Elementos de una proporción
Teoremas de proporciones
Teorema 12. Medios y extremos.
En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. 𝑆𝑖 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
Teorema 13. Intercambio de medios.
En una roporción pueden intercambiarse el segundo y tercer términos, y se obtiene una proporción cierta. 𝑆𝑖 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎: 𝑐 = 𝑏: 𝑑
Teorema 14. Razones invertidas.
En una proporción, pueden invertirse las razones. 𝑆𝑖 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏: 𝑎 = 𝑑: 𝑐
33
Ejercicios 6. Proporciones algebraicas. I. Calcula el valor exacto de x.
1. 𝑥
4=
9
12
2. 7
𝑥=
21
4
3. 𝑥+1
2𝑥+1=
3𝑥−1
14
4. 𝑥+1
6=
4𝑥−1
18
5. 9
𝑥=
𝑥
16
6. 𝑥
4=
7
𝑥
7. 𝑥+1
𝑥=
2𝑥
3
8. 32
𝑥=
𝑥
2
34
Ejercicios 7. Problemas de proporciones. I. Lee con atención los enunciados, plantea las proporciones y calcula lo que se pide. Argumenta tu resultado de
acuerdo al contexto, si es necesario.
9. Un electricista instala 20 tomacorrientes en una casa nueva de seis habitaciones. Si se supone proporcionalidad, ¿cuántos contactos eléctricos se deben instalar en una construcción nueva con siete habitaciones?
10. Si 1 kg es igual a 2.2 lb, utilice una proporción para convertir 12 libras a kilogramos.
11. Dos números a y b están en la relación proporcional 2:3. Si ambos números se disminuyen en 2, la relación proporcional de los números resultantes es 3:5. Encuentre a y b.
II. Observa las figuras proporcionales, escribe debajo, las relaciones entre sus lados.
1.
2.
35
Semejanza de triángulos.
Criterio de semejanza AA (AAA)
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes miden lo mismo.
Criterio de semejanza LLL
Dos triángulos son semejantes si la razón de cada par de lados correspondientes es constante, es decir, si sus lados son respectivamente proporcionales.
Criterio de semejanza LAL
Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo correspondiente igual y los lados que lo forman son proporcionales.
36
Teorema 15. Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquiera, son intersecadas por tres o más rectas paralelas, los segmentos que se forman en una son proporcionales a los segmentos correspondientes formados en la otra.
Demostración
Teorema 16. Consecuencia del teorema de Thales
Si en cualquier triángulo ABC , se traza un segmento XY paralelo a cualquiera de los lados, entonces se forman triángulos semejantes.
Demostración
37
Ejercicios 8. Semejanza de triángulos. I. Responde puntual y coherentemente a las pregutas:
1. Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝑋𝑇𝑁, ¿qué ángulo del ∆𝐴𝐵𝐶 corresponde a ∠𝑁 del ∆𝑋𝑇𝑁? _________________________ 2. Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝑋𝑇𝑁, ¿qué lado del ∆𝑋𝑇𝑁 corresponde al lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ del ∆𝐴𝐵𝐶? _______________________
II. En cada uno de las figuras mostradas se presentan triángulos semejantes. Calcula la medida de los lados faltantes y de las incógnitas.
12. 13. 14.
III. Calcula el valor de x
15. 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ||𝐵𝐶̅̅ ̅̅
16. 𝑆𝑄̅̅̅̅ ||𝑇𝑅̅̅ ̅̅
38
17. 𝑈𝑅̅̅ ̅̅ ||𝑊𝑇̅̅ ̅̅ ̅
18. 𝑅𝑄̅̅ ̅̅ ||𝑂𝑇̅̅ ̅̅
19. 𝑆𝑃̅̅̅̅ ||𝑄𝑅̅̅ ̅̅
20. 𝑥||10
39
IV. En el esquema, ∆𝐻𝐽𝐾~∆𝐹𝐺𝐾. Si 𝐻𝐾̅̅ ̅̅ = 6, 𝐾𝐹̅̅ ̅̅ = 8 y 𝐻𝐽̅̅̅̅ = 4. Calcula 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ .
V. Lee con atención los enunciados y resuelve los problemas.
21. ¿Qué altura tiene un poste que proyecta una sombra de 16m, al mismo tiempo que un observador de 1.80m de estatura proyecta una sombra de 1.20m?
22. Para medir la anchura de un río se forman los siguientes triángulos rectángulos, en los que: 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ = 32𝑚, 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =30𝑚, 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ = 6𝑚. Calcula 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
40
23. Un cuadrado con lados de longitud igual a 2plg reposa (como se muestra) en un cuadrado con lados de longitud 6plg. Calcula el perímetro del trapezoide 𝐴𝐵𝐶𝐷.
24. Para medir lo largo de un lago se construyeron los siguientes triángulos semejantes, en los cuales se tiene que:
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 215𝑚, 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 112𝑚. ¿Cuál es la longitud del lago?
41
Teorema 17. Triángulos rectángulos semejantes.
En cualquier triángulo rectángulo, al trazar la altura desde la hipotenusa, los tres triángulos formados son semejantes.
Demostración
Teorema 18. Teorema de la altura.
En cualquier triángulo rectángulo, la altura es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Demostración
42
Teorema 19. Teorema de Pitágoras.
En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Demostración
Teorema 20. Puntos medios de un triángulo.
En todo triángulo, la longitud del segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralela e igual a un medio de la longitud del lado restante.
Demostración
43
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, a la vez, se cumple que tiene cuatro vértices y cuatro ángulos interiores.
Ejercicios 9. Cuadriláteros
1. Hallar el valor de ∡𝐴𝐵𝐶 si 𝑄𝐵 ⊥ 𝑄𝐷, 𝐵𝐶 ⊥ 𝐶𝐷 y ∡𝐶𝐷𝐴 = 150°.
44
Polígonos
45
Circunferencia
Ángulos notables de la circunferencia
Ejercicios 10. Problemas que involucran ángulos notables en la circunferencia.
1. Si 𝐴�̂� = 35º, calcula los valores de ∡𝐴𝑂𝐵 y ∡𝐵𝑂𝐶.
2. Calcula el valor de ∡𝐴𝐵𝐶 formado por las secantes, si 𝐴�̂� = 63º y 𝐸�̂� = 27º.
3. Calcula la medida del ángulo ∡𝐴𝑂𝐵 si 𝐴�̂� = 160º y 𝐶�̂� = 50º.
46
4. Si 𝑇𝑇′̂ = 240º, calcula el valor del ángulo que forman las rectas tangentes 𝐴𝑇′⃡⃗ ⃗⃗⃗⃗ y 𝐴𝑇⃡⃗⃗⃗ ⃗.