unitats m sura ’anl s

11
Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR 1 UNITATS DE MESURA D’ANGLES 1. Escriviu els angles següents de les cinc maneres possibles: (Radians, forma decimal; Graus sexagesimals, formes complexa i decimal; Graus centesimals, formes complexa i decimal). a. 214,1672 g b. c. 132,234º d. 3,675 rad e. 23º 18’ 34’’ f. 112 g 77 m 80 s 2. Calculeu, en radians, la mesura de cascun dels angles interiors d’un pentàgon regular. Quan mesura l’angle central corresponent a un costat del pentàgon. 3. Raoneu si un angle de 2 radians és més gran o més petit que un angle recte. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES 4. Construïu un angle tal que: a. b. c. 5. Trobeu tots els angles x tals que: a. b. c. d. e. f. 6. Calculeu, sense fer servir calculadora, les raons trigonomètriques de: a. 1035º b. c. 7. Expresseu en funció de o de : a. b. c. 8. Expresseu en funció de : a. b. c. 9. Sabent que i que , calculeu les raons de , de i de . 10. Si i , trobeu les raons de , de i de . FÓRMULES D’ADICIÓ 11. Calculeu, utilitzant fórmules i angles de raons conegudes, el valor exacte de les raons trigonomètriques dels angles següents: a. 75º i 15º b. 195º i 285º c. 165º i 345º 12. Donats i , calculeu en funció de i : ; ; ; ; ; ; ; i .

Upload: others

Post on 02-Dec-2021

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

1

UNITATS DE MESURA D’ANGLES 1. Escriviu els angles següents de les cinc maneres possibles: (Radians, forma decimal; Graus sexagesimals,

formes complexa i decimal; Graus centesimals, formes complexa i decimal).

a. 214,1672g b.

c. 132,234º d. 3,675 rad e. 23º 18’ 34’’ f. 112g 77m 80s

2. Calculeu, en radians, la mesura de cascun dels angles interiors d’un pentàgon regular. Quan mesura l’angle

central corresponent a un costat del pentàgon.

3. Raoneu si un angle de 2 radians és més gran o més petit que un angle recte.

RAONS TRIGONOMÈTRIQUES 4. Construïu un angle tal que:

a. b. c.

5. Trobeu tots els angles x tals que:

a. b. c.

d. e. f.

6. Calculeu, sense fer servir calculadora, les raons trigonomètriques de:

a. 1035º b. c.

7. Expresseu en funció de o de :

a. b. c.

8. Expresseu en funció de :

a. b. c.

9. Sabent que i que , calculeu les raons de , de i de .

10. Si i , trobeu les raons de , de i de .

FÓRMULES D’ADICIÓ 11. Calculeu, utilitzant fórmules i angles de raons conegudes, el valor exacte de les raons trigonomètriques

dels angles següents:

a. 75º i 15º b. 195º i 285º c. 165º i 345º

12. Donats i , calculeu en funció de i : ; ; ; ; ;

; ; i .

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

2

13. Calculeu sabent que , i .

14. Calculeu les raons de , sabent que i són aguts i que i .

15. Expresseu el sinus, el cosinus i la tangent de en funció del sinus, el cosinus i la tangent d’ .

16. Agrupant convenientment demostreu que:

IDENTITATS TRIGONOMÈTRIQUES Demostreu:

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

EQUACIONS TRIGONOMÈTRIQUES Resoleu:

25.

26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

3

UNITATS DE MESURA D’ANGLES

1. Escriviu els angles següents de les cinc maneres possibles: (Radians, forma decimal; Graus sexagesimals, formes

complexa i decimal; Graus centesimals, formes complexa i decimal).

a. 214,1672g

= 214g16

m72

s = 192,75048º = 192º45’1,73’’ = 3,3641rad

b. = 25,7143º = 25º42’51,43’’ = 28,5714g = 28

g57

m14

s

c. 132,234º = 132º14’2,4’’ = 146,9267g = 146

g92

m67

s = 2,3079 rad

d. 3,675 rad = 210,56199º = 210º33’43,16’’ = 233,957766g = 233

g95

m77,66

s

e. 23º 18’ 34’’ = 23,30944º = 25,89938g = 25g89m93,8s = 0,40683 rad

f. 112g 77

m 80

s = 112,7780

g = 101,5002º = 101º30’0,7’’ = 1,7715 rad

2. Calculeu, en radians, la mesura de cascun dels angles interiors d’un pentàgon regular. Quan mesura l’angle central

corresponent a un costat del pentàgon.

L’angle central mesura rad. (cal dividir la volta sencera en cinc parts iguals)

Cadascun dels angles interiors mesura (l’angle interior i l’angle central són suplementaris, és a dir,

sumen un angle pla. Dibuixeu els triangles interiors i el centre del pentàgon i veureu aquesta propietat fàcilment).

3. Raoneu si un angle de 2 radians és més gran o més petit que un angle recte.

L’angle recte mesura rad, que és aproximadament 1’57 rad, per tant, menys de 2 rad.

L’arc d’un angle recte mesura menys de 2 radis.

RAONS TRIGONOMÈTRIQUES

4. Construïu un angle tal que:

a.

b.

c.

5. Trobeu tots els angles x tals que:

a.

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

4

b.

c.

d.

;

e.

;

f.

;

6. Calculeu, sense fer servir calculadora, les raons trigonomètriques de:

a. 1035º

- -

- -

b.

c.

Fórmules de

l’angle meitat

Racionalitzant

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

5

7. Expresseu en funció de o de :

a.

b.

c.

8. Expresseu en funció de :

a.

b.

c.

9. Sabent que i que , calculeu les raons de , de i de .

De la relació fonamental de la trigonometria obtenim el valor del sinus i després de la

relació n’ obtindrem el valor de la tangent. Decidirem els signes pel fet que sabem que és del

segon quadrant. Així:

i

Les raons de i de les obtenim de les fórmules de reducció:

10. Si i , trobeu les raons de , de i de .

La tangent negativa es dona al segon i quart quadrants, si a més el cosinus també és negatiu només pot ser al

segon quadrant, per tant, com que resulten i (En el segon quadrant la és

negativa i la positiva).

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

6

De la relació pitagòrica obtenim el radi de la circumferència:

Finalment, amb la imatge, deduïm les coordenades dels punts de la circumferència determinats pels angles

, i . Per tant:

FÓRMULES D’ADICIÓ 11. Calculeu, utilitzant fórmules i angles de raons conegudes, el valor exacte de les raons trigonomètriques dels angles

següents:

a. 75º i 15º

75 = 45 + 30, per tant:

Sin 75º = sin(45º+30º) = sin 45º cos 30º + cos 45º sin 30º =

Cos 75º = cos 45º cos 30º - sin 45º sin 30º =

Tan 75º= : =

15 = 45 – 30, per tant:

Sin 15º = sin(45º-30º) = sin 45º cos 30º - cos 45º sin 30º =

Cos 15º = cos 45º cos 30º + sin 45º sin 30º =

Tan 15º= : =

b. 195º i 285º

195 = 180 + 15, així:

Sin 195º = - sin 15º =

Cos 195º = - cos 15º =

Tan 195º= - tan15º =

285 = 270 + 15, per tant:

Sin 285º = - cos 15º =

Cos 285º = sin 15º =

Tan 285º= - cot 15º =

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

7

c. 165º i 345º

165 = 180 - 15, així:

Sin 165º = sin 15º =

Cos 165º = - cos 15º =

Tan 165º= - tan 15º =

345 = 360 - 15, per tant:

Sin 345º = - sin 15º =

Cos 345º = cos 15º =

Tan 345º= - tan 15º =

12. Donats i , calculeu en funció de i : ; ; ; ; ; ; ;

i .

Cos 31º = cos(37º - 6º) = cos 37º cos 6º + sin 37º sin 6º =

Sin 8º = sin(45º - 37º) = sin 45º cos 37º - cos 45º sin 37º =

Cos 39º = cos(45º - 6º) = cos 45º cos 6º + sin 45º sin 6º =

Sin 7º = sin(37º - 30º) = sin 37º cos 30º + cos 37º sin 30º =

Cos 84º = cos(90º - 6º) = sin 6º =

Sin 53º = sin(90º - 37º) = cos 37º =

Cos 54º = cos(60º - 6º) = cos 60º cos 6º + sin 60º sin 6º =

Sin 23º = sin(60º - 37º) = sin60º cos37º - cos60º sin37º =

Cos 317º = cos(360º - 43) = cos 43º = cos(37º + 6º) = cos 37º cos 6º – sin 37º sin 6º =

13. Calculeu sabent que , i .

Cal calcular els cosinus dels tres angles:

Finalment:

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

8

14. Calculeu les raons de , sabent que i són aguts i que i .

i amb la relació pitagòrica calculem el radi

, per tant,

i

Anàlogament:

i

Finalment calculem les raons demanades:

O bé

15. Expresseu el sinus, el cosinus i la tangent de en funció del sinus, el cosinus i la tangent d’ .

=

=

16. Agrupant convenientment demostreu que:

com volíem comprovar

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

9

IDENTITATS TRIGONOMÈTRIQUES

Demostreu:

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

En aquest cas cal il·luminació “divina”. De la relació fonamental , elevant al cub, obtenim:

; ;

; ;

Fórmules de la tangent de la

suma i la resta de dos angles

Fórmula de la tangent

de l’angle doble

Fórmules del sinus de la suma

i la resta dos angles

Fórmula del cosinus

de l’angle doble

Fórmules de la

suma i la resta

de dos sinus

Fórmules de la suma de dos

sinus i de dos cosinus

Fórmula de la tangent

de l’angle doble

Fórmula del cosinus de

l’angle doble

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

10

; ;

com volíem comprovar.

24.

EQUACIONS TRIGONOMÈTRIQUES

Resoleu:

25.

Així les solucions de la primera volta s’obtenen assignant a els valors 0, 1, 2, 3 i 4. Resulta d’aquesta manera:

26.

I les solucions de la primera volta són

27.

Angles amb el mateix sinus o són iguals (voltes a part) o són suplementaris, per tant:

O bé

O bé

I, en total, hi ha 2+4=6 solucions per volta.

28.

Angles amb el cosinus d’un igual al sinus de l’altre o són complementaris o difereixen en 3 angles rectes, per tant:

O bé (4 solucions per volta)

O bé (4 solucions més per volta)

29.

; ; ; ;

O bé

O bé

Fórmula del cosinus de

l’angle doble

Fórmula del sinus de

l’angle doble

Cada vegada que apareix l’hem de incloure en el terme

o afegir-lo a la solució particular per fer-la positiva.

Fórmula del cosinus de

l’angle doble

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR

11

30.

O bé

O bé

31.

(4 solucions per volta)

32.

; ; ; ;

O bé

O bé

I trobem sis solucions per volta.

33.

O bé ; o bé que suposa tres solucions per volta.

34.

que fan un total de sis solucions per volta.

35.

(quatre solucions per volta).

36.

i obtenim sis solucions per volta.

Fórmula del sinus de

l’angle doble

Fórmula del cosinus

de l’angle doble