1 7 0

En la unitat anterior vam definir la magnitud físicaforça com allò que canvia l’estat de moviment delscossos o que és capaç de deformar-los. Les forces te-nen una propietat important: són magnituds vectorials,i es representen mitjançant vectors. Per entendre què ésuna magnitud vectorial i un vector, recordem primer queles magnituds físiques són les propietats dels objectes quees poden mesurar o, dit d’una altra manera, les propietatsa les quals podem atorgar un valor amb la seva unitat. Perexemple, la massa, el volum i la densitat són magnitudsfísiques.

Altres magnituds físiques que també coneixes són lavelocitat i la força. Però, d’alguna manera, aquestes últi-mes magnituds són diferents de les anteriors. Pensa, perexemple, en la velocitat d’un automòbil i suposa que esmou per una immensa pista horitzontal. Si volem especi-ficar completament com és la velocitat de l’automòbil,hem de donar, a més del seu valor i la seva unitat, altrescaracterístiques.

En quin sentit són diferents el primer grup de mag-nituds respecte del segon? Quines característiqueshem d’especificar, a més del valor i la unitat, per al se-gon grup de magnituds?

Propietats de les forces99unitat

Dos nois volen moure un armari. El primer fa una forçade 200 N i el segon, una altra de 300 N.a) Quant val la força total que fan els nois quan es-

tiren l’armari en la mateixa direcció i el mateixsentit?

b) Quant val la força total que fan els nois quan es-tiren l’armari en la mateixa direcció, però ensentits contraris?

Quan diem que un cos es troba en equilibri?Quines condicions s’han de complir perquè un cosestigui en equilibri?

Per què quan volem clavar un clau en un tauló, esclava fàcilment si ho intentem per la punxa, peròno ho aconseguim si ho intentem per l’altre ex-trem?

Per què alguns cossos sòlids suren sobre l’aiguamentre que d’altres s’hi enfonsen?

1 7 1

Com aconseguim que la moneda giri?

Agafa una moneda i situa-la de cantó damunt la taula.Pensa, en primer lloc, de quina manera pots utilitzar els dits de les mans pertal que la moneda giri com si fos una baldufa. Sense tocar la moneda, escriu el que has pensat i dibuixa com aplicaries lesforces sobre la moneda per tal que giri.Discuteix amb els teus companys i companyes les teves propostes.Fes les accions que has descrit. Quines conclusions en treus?Discuteix els teus resultats amb els de la resta de companyes i companys.A quines conclusions arribeu?

Hi ha certes magnituds físiques que no queden completament especificadesdonant-ne només el valor i la unitat de mesura, sinó que n’hem d’especifi-car encara més característiques. Fixem-nos, per exemple, en la magnitudfísica velocitat d’un automòbil. Recorda que la velocitat dóna l’estat demoviment d’un cos.

Suposa que la velocitat de l’automòbil val, posemper cas, 35 km/h, i imagina’t que es troba en un en-creuament, amb dos carrers rectes que van cap alnord o cap al sud, el primer, i cap a l’est o cap a l’o-est, el segon (figura 1).

Fixa’t que cada carrer determina una direcció, ésa dir, una recta. Per tant, deduïm que, per especificarla velocitat de l’automòbil, no és suficient dir que val35 km/h, sinó que, a més, és necessari donar-ne la direcció. En aquest exemple, tenim dues possibles di-reccions per a la velocitat: la direcció sud-nord i la direcció oest-est (figura 2).

La velocitat, però, no queda encara completamentespecificada. A més de la direcció i el valor, tambén’hem de dir el sentit, és a dir, el recorregut efectuatsobre la direcció.

Per exemple, si la direcció és sud-nord, hem de dirsi el sentit és cap al nord o bé cap al sud. I si la di-recció és oest-est, hem de dir si el sentit és cap a l’oest o bé cap a l’est. A la figura 3, la velocitat del’automòbil té el sentit cap a l’oest.

Les magnituds que queden completament especificades quan donem sim-plement el seu valor i la seva unitat s’anomenen magnituds escalars. La mas-sa, el temps, la densitat, etc., són magnituds escalars.

1 7 2

9.1. La força és una magnitud vectorial

EstOest

Nord

Sud

Direcciósud-nord

Direccióoest-est

Si l’automòbil anterior segueix, per exemple, la direcció oest-est, hem de dir quin és el seu sentit: o bé cap a l’oest, o bé capa l’est. En aquest cas, el sentit és cap a l’oest, i representemla velocitat amb un segment i una fletxa.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Direcciósud-nord

Direccióoest-est

Sentit estSentit oest

Sentit nord

Sentit sud

v

Les magnituds que necessiten ser especificades donant un valor i uni-tat, una direcció i un sentit s’anomenen magnituds vectorials. La velo-citat, l’acceleració i la força són magnituds vectorials.

Fixa’t que ens és molt útil representar les forces i també les altres mag-nituds vectorials mitjançant un segment i una fletxa, ja que el segment ensinforma de la direcció de la força i la fletxa, del seu sentit.

Aquests segments orientats s’anomenen vectors i se simbolitzen ambuna lletra i una fletxa damunt la lletra.

Així doncs, les característiques d’un vector són:

• La intensitat o mòdul del vector, que és el valor de la magnitud vecto-rial, amb la seva unitat, i és donada per la longitud del segment.

• La direcció del vector, que és la recta sobre la qual descansa el segment.

• El sentit del vector, que es representa per una fletxa, i que és el recorre-gut de la magnitud vectorial sobre la direcció.

• El punt d’aplicació del vector és el punt origen del segment orientat.

Per exemple, suposa que vols empènyer una caixa tot aplicant-hi unaforça

→F d’intensitat 25 N: t’adonaràs que pots exercir-la en diverses direc-

cions.

En la figura següent re-presentem una situació enquè la força s’efectua en di-recció horitzontal, quehem triat com a eix X, i sen-tit cap a la dreta (sentit po-sitiu).

1 7 3

mòd

ul sentit

direcció

punt d’aplicació

És important saber distingir les mag-nituds escalars de les magnitudsvectorials. Per exemple, la massad’un cos és una magnitud escalar, jaque queda completament especifi-cada quan donem el seu valor i laseva unitat. En canvi, la velocitat ésuna magnitud vectorial, ja que que-da completament especificada quandonem el seu valor i la seva unitat, laseva direcció i el seu sentit.

Una persona vol empènyer una caixaamb una força de 25 N utilitzant unacorda: ho pot fer en moltes direccionspossibles.

En aquest cas, la força s’exerceix endirecció horitzontal i sentit cap a ladreta.

Característiques d’un vector

e x emp l e 1

a c t i v i t a t s

Recorda que la força s’expressa en la unitat N (newton) i, quanla representem, hem de triar una escala adequada. Per exemple,podem fer que cada 10 N corresponguin a 1 cm, tal com apareixen l’esquema de la figura 4, en què la força

→F té la direcció de

l’eix X i sentit positiu, com ja hem dit.

Quan escrivim una magnitud vectorial amb una lletra sensefletxa, ens estem referint només al seu mòdul.

Especifica la intensitat, la direcció, el sentit i el punt d’aplicació de les for-ces representades en la figura 5. En totes, 1 cm correspon a 100 N.

Resolució

• Força →F1: intensitat de 400 N, direcció de l’eix X i

sentit positiu.

• Força →F2: intensitat de 350 N, direcció de l’eix X i

sentit negatiu.

• Força →F3: intensitat de 250 N, direcció de l’eix Y i

sentit positiu.

• Força →F4: intensitat de 200 N, direcció de l’eix Y i

sentit negatiu.

• Força →F5: intensitat de 150 N, direcció i sentit que

forma un angle de 35° amb l’eix X (es mesura ambun transportador d’angles).

• Força →F6: intensitat de 380 N, direcció i sentit que

forma un angle de 145° amb l’eix X (es mesuraamb un transportador d’angles).

En tots els casos, el punt d’aplicació és l’origen de coordenades.

1 7 4

Y

X

F

1. De les magnituds següents, digues quines sónescalars i quines vectorials i explica el per-què: temps, força, massa, volum, velocitat,densitat i superfície.

2. Dibuixa dos vectors, el primer dels quals téun mòdul de 5,6 cm i una direcció que formaun angle de 55° amb l’eix X i, el segon té unmòdul de 4,3 cm, direcció de l’eix Y i sentitnegatiu.

Y

X

F5

F3

F2

F4

F1

F6

Figura 4

Figura 5

Ja sabem que les forces són magnituds vectorials i que es representen mit-jançant vectors. Però, què passa si sobre un mateix cos hi actua més d’unaforça? Com se sumen?

Pensa que les forces, pel fet de ser magnituds vectorials, no es poden su-mar tal com ho fem amb les magnituds escalars. Per exemple, la massa, queés una magnitud escalar, es pot sumar directament. Així, podem dir que lamassa total de dos cossos de 25 kg i 30 kg és de 55 kg.

Però no podem afirmar el mateix de dues forces de 25 N i 30 N que ac-tuen sobre un mateix cos, ja que en aquest cas s’ha de tenir en compte ladirecció i el sentit de les forces.

En efecte, considerem el cas senzill en què les forces s’efectuen en lamateixa direcció. Podem tenir dues situacions ben diferents:

• Les forces s’efectuen en el mateixsentit. En aquest cas, la intensitatde la força resultant s’obté sumantles intensitats d’ambdues forces, i ladirecció i el sentit coincideixen ambels dels vectors inicials:

FR = F1 + F2

• Les forces s’efectuen en sentitscontraris. En aquest cas, la intensi-tat de la força resultant s’obté res-tant la intensitat de la força més pe-tita de la intensitat de la força mésgran. La direcció és la mateixa quela dels vectors inicials, i el sentit ésel de la força de major intensitat:

FR = F1 – F2 (si F1 > F2), o bé FR = F2 – F1 (si F1 < F2)

En el primer cas és evident que hem de sumar els mòduls, ja que, comque tenen el mateix sentit, els efectes d’ambdues forces se sumen. Per con-tra, en el segon cas hem de restar els mòduls dels vectors perquè els efec-tes d’ambdues forces es contraresten, ja que tenen sentits contraris.

És en aquest segon cas on es veu que les forces no es poden sumar dela mateixa manera com ho fem amb les magnituds escalars, ja que quan lesforces tenen sentits contraris hem d’efectuar, en realitat, una resta.

1 7 5

9.2. Composició de forces. Força resultant

F1

F2

FR = F1 + F2

Forces de la mateixa direcció i del mateix sentit

F2

F1

FR = F1 – F2

Forces de la mateixa direcció i de sentits contraris

e x emp l e 2

Per evitar qualsevol possible confusió entre la suma d’escalars i la su-ma de vectors, utilitzem la paraula composició per denominar aquesta úl-tima suma.

Si volem compondre més de dues forces que tenen la mateixa direcció,aquestes es poden sumar o restar per parells consecutivament, d’acord ambles regles anteriors, fins a obtenir la força resultant, que ja va ser definidaen la unitat anterior com aquella força l’efecte de la qual és idèntic a l’efecte conjunt de totes les forces

→F1,

→F2, ...,

→Fn.

Per tant, la força resultant→→FR és la composició de les forces

→F1,

→F2, ...,→

Fn que actuen sobre un cos determinat:

→FR =

→F1 +

→F2 + ... +

→Fn

Per compondre dues forces que no tenen la mateixa direcció hem d’a-plicar un mètode anomenat regla del paral·lelogram, que estudiaràs en uncurs posterior.

Dues noies estiren una caixa amb dues forces que tenen els valors se-güents: F1 = 3 N i F2 = 4 N. Calcula la resultant d’aquestes forces en elscasos següents: a) Les forces tenen la mateixa direcció i el mateix sentit.b) Les forces tenen la mateixa direcció, però sentits contraris.

Resolució

a) En primer lloc, dibuixem les dues forces. Com que no se’nsdiu res sobre la direcció i el sentit d’aquestes, ni sobre l’es-cala que hem de prendre, podem triar el cas més senzill pos-sible: els vectors tenen la direcció de l’eix X i sentit positiu,i treballarem amb l’escala 1 N = 1 cm.

Com que els vectors són paral·lels i tenen el mateixsentit, la força resultant s’obté sumant els mòduls delsvectors:

FR = F1 + F2 = 3 + 4 = 7 N

b) Dibuixem les forces en la direcció de l’eix X. Com quetenen sentits contraris, podem dibuixar, per exemple,

→F1

en sentit positiu i →F2 en sentit negatiu.

Com que els vectors són paral·lels i tenen sentits con-traris, la força resultant s’obté restant el mòdul de laforça més petita,

→F1, del mòdul de la força més gran,

→F2:

FR = F2 – F1 = 4 – 3 = 1 N (F1 < F2)

La direcció de la força resultant és la mateixa que lade les forces

→F1,

→F2, i el seu sentit és el de la força més

gran, és a dir, el de →F2: sentit negatiu.

1 7 6

F3

F1

F2

Fn

FR = F1 + … + Fn

Y

F1 X

F2

Y

FR X

Y

F1 XF2

Y

XFR

Figura 6

L’estàtica és la part de la física que estudia els estats d’equilibri.

Entenem que un cos està en equilibri quan no es mou, o es mou ambmoviment rectilini uniforme, és a dir, sense modificar la velocitat.

Recorda que, en la unitat anterior, vam veure que un objecte adquireixun moviment accelerat quan sobre aquest objecte hi actua una força. Pertant, si volem que un cos estigui en equilibri, és a dir, estigui en repòs omovent-se amb moviment rectilini i uniforme, o bé no hi ha d’actuar capforça, o bé la resultant de les forces que hi actuen ha de ser nul·la.

Per exemple, quan dues persones estiren un objecte amb forces que te-nen la mateixa intensitat i la mateixa direcció, però sentits contraris (figu-ra 7). En aquest cas, tenint en compte la regla de composició de forces pa-ral·leles, tenim que FR = F1 – F2 = F1 – F1 = 0. Per tant, l’objecte roman enequilibri, ja que la resultant de les forces que hi actuen és nul·la.

Com a segon cas considerem un cos que penja d’una corda fixada en al-gun punt, com ara el sostre de l’aula. En aquest cas, actua la força de lagravetat sobre el cos, és a dir, el pes

→p. L’objecte, però, està en equilibri, ja

que roman en repòs, i ha d’actuar una força que en compensi el pes, per-què si no cauria, en contra del que observem.

1 7 7

a c t i v i t a t s3. Dues persones estiren una caixa amb forces

que tenen la mateixa direcció i valors de 23 Ni 54 N. Dibuixeu i determineu la força resul-tant en els casos següents: a) Les forces tenensentits contraris. b) Les forces tenen el mateixsentit.

4. Tres forces, de valors 16 N, 6 N i 12 N, actuensobre un mateix cos. Les dues primeres tenenla mateixa direcció, però sentits contraris, i latercera té la mateixa direcció i el mateix sen-tit que la primera. Dibuixeu i calculeu la re-sultant.

9.3. Forces i equilibri

F2 F1

F1 = F2 FR = F1 – F2 = F1 – F1 = 0

Figura 7

Aquesta força s’anomena tensió, es representa per→T i es pot definir

com aquella força que apareix quan dos objectes estan lligats amb unacorda, un cable, una barra, etc.

Com que l’objecte que penja està en equilibri, podem afirmar que latensió és una força que té la mateixa direcció i la mateixa intensitat que elpes, però sentit contrari.

Tenim un tercer cas quan un objecte està en repòs sobre una superfíciehoritzontal. Encara que està actuant el seu pes →p, aquest cos també està enequilibri.

Per tant, ha d’actuar una altra força en la mateixa direcció i amb la ma-teixa intensitat que el pes, però en sentit contrari, per tal que la força re-sultant sobre el cos sigui nul·la.

Aquesta força és la força que fa la superfície sobre el cos, s’anomenaforça normal i es representa per

→N.

Fixa’t que, en els casos que hem considerat fins ara sobre cossos situatsdamunt d’una superfície horitzontal, no hem tingut en compte ni el pes nila força normal: com que aquestes forces s’anul·len entre si, podem pres-cindir-ne i fer com si no hi fossin.

Parell de forces

Acabem de veure que la resultant de dues forces paral·leles que tenen elmateix mòdul però sentits contraris és nul·la i, per tant, l’objecte roman enequilibri. En tots els casos, però, s’ha suposat que el punt d’aplicació de lesforces és el mateix, és a dir, que les forces són concurrents.

Hi ha altres casos, però, en què els cossos no romanen en equilibri en-cara que actuïn dues forces de la mateixa intensitat i de la mateixa direc-ció, però de sentits contraris. Això passa quan el punt d’aplicació de lesforces és diferent, i l’efecte sobre el cos és que aquest cos es posa a girar.

Pensa, per exemple, en el que fas quan vols fer girar una roda o un altreobjecte circular, per exemple un volant, que agafes amb les mans: hi apli-ques dues forces

→F i

→F’ de la mateixa intensitat i de la mateixa direcció,

però de sentits contraris, en dos punts separats per un diàmetre.

Un altre cas el tenim quan volem fer girar una moneda: amb un dit femforça en un sentit i amb l’altre dit, en el punt oposat a l’anterior, fem la ma-teixa força, però en sentit contrari, i la moneda comença a girar (figura 8).En tots aquests casos diem que s’està exercint un parell de forces.

1 7 8

La tensió→T de la corda compensa

exactament el pes →p.

La força normal: com que aquesta força és igual al pes, en mòdul, però té sentit contra-ri, la resultant sobre el cos dóna 0, i el cos roman en equilibri.

T

p

T = p FR = T – p = p – p = 0

Per fer girar un objecte, cal aplicar unparell de forces.

N

p

N = p FR = N – p = p – p = 0

→F

→F’

a c t i v i t a t s5. Descriu tres situacions diferents en les quals

actuïn forces, però els cossos sobre les qualsactuen estiguin en equilibri. Fes els dibuixoscorresponents a cada situació.

6. Per què en moltes figures que apareixen enaquesta unitat, en les quals es representen ob-jectes situats damunt d’una superfície horit-zontal, no hi hem dibuixat ni el pes dels ob-jectes ni la força normal?

7. Imagina’t un cos que penja d’una corda fixada alsostre. Si el cos està en repòs, quines forces hi ac-tuen? Com es poden calcular aquestes forces?Explica-ho detalladament.

8. Quina diferència hi ha entre la manera com obrimuna porta corredissa i la manera com obrim unaporta normal pel que fa a l’aplicació de les for-ces? Descriu tots dos processos i fes dibuixosque ho expliquin.

Anomenem parell de forces dues forces del mateix mòdul, però desentits contraris, aplicades en dos punts diferents d’un cos determinat. Elparell de forces fa girar el cos.

L’efecte giratori d’un parell de forces és més intens com més separacióhi hagi entre els punts d’aplicació de les forces. Pensa en el que fem, perexemple, quan obrim o tanquem una porta: la primera força l’efectuemamb la mà, mentre que la segona força és efectuada per les frontisses quefixen la porta al marc.

Doncs bé, fixa’t que les manetes de les portes es posen normalment al’extrem oposat a les frontisses, ja que així hem de fer una força petita perobrir la porta: la distància que hi ha entre el parell de forces és màxima (fi-gura 9).

En canvi, si la maneta està, per exemple, en un punt mig del pla de laporta, hem de fer una força més gran per obrir-la, ja que ara la distànciaque hi ha entre el parell de forces és més petita (figura 10).

1 7 9

FF’

Figura 8. Per fer girar la moneda apli-quem un parell de forces.

Figura 9. La força ��F que hem de fer per obrir la porta éspetita quan la distància d entre �F i �F’ és gran.

Figura 10. Si la distància d entre �F i �F’ és més petita queen el cas anterior, hem de fer una força �F més granper obrir la porta.

d d

F’

F

F

F’

Figura 9 Figura 10

Fins ara hem suposat que les forces s’apliquen sobre punts concrets d’unobjecte. En realitat, però, les forces solen estar aplicades sobre la superfí-cie externa dels cossos i, per tant, cal tenir en compte com es reparteix laforça sobre la superfície del cos sobre la qual actua.

Per exemple, pensa en el que passa quan caminem sobre neu tova: si hofem amb les nostres sabates, el més probable és que ens enfonsem en laneu. Però si ho fem amb esquís o amb raquetes de neu, és més difícil queens enfonsem.

En tots dos casos la forçaque exercim sobre la super-fície de la neu és la mateixa:el nostre pes. En la primerasituació, però, observem quela força està repartida en lasuperfície més petita de lasabata: l’efecte de la forçaés més intens, i per això ésmés fàcil enfonsar-se.

En canvi, en la segona situació, la força està repartida per la superfíciemés gran dels esquís: el seu efecte és més petit, i per això és més difícil en-fonsar-se.

Així doncs, normalment s’ha de tenir en compte la superfície a travésde la qual s’exerceixen les forces, i això es fa mitjançant una magnitudanomenada pressió.

Definim la pressió P, efectuada per una força F sobre un cos, com elquocient entre F i la superfície S del cos sobre la qual s’aplica la força:

FP =

S

La unitat de pressió en el SI és el Pa (pascal), que, d’acord amb l’ex-pressió anterior, equival a la pressió que exerceix una força d’1 N sobreuna superfície d’1 m2: 1 Pa = 1 N / 1 m2.

Com ja hem comentat, és evident que l’efecte d’una força no és el ma-teix si canvia la superfície sobre la qual s’aplica aquesta força, ja que lapressió també canvia. Així, la pressió augmenta quan la superfície dismi-nueix. Aquest fet es posa en evidència en l’exemple següent.

1 8 0

9.4. Pressió

a) Superfície petita: l’efecte de laforça és més gran.

b) Superfície gran: l’efecte de laforça és més petit.

Cal no confondre el símbol P, querepresenta la pressió, amb el símbolp, que representa el pes d’un cos.

b)

p/2

p/2

a)

p/2

e x emp l e 3Un objecte de massa m = 10 kg, amb forma de prisma rectangular de cos-tats a = 5 m, b = 2 m i c = 1 m, descansa damunt d’un pla horitzontal.Calcula la pressió que exerceix l’objecte sobre el pla, segons la cara queestigui recolzada en el pla.

Resolució

En primer lloc, calculem la força que exerceix el cos sobre el pla, és a dir,el seu pes.

F = p = m · g = 10 · 9,8 = 98 N

A continuació, calculem la superfície i la pressió de les maneres possi-bles de recolzament del cos sobre el pla (vegeu la figura de l’esquerra).

F 98S1 = a · b = 5 · 2 = 10 m2 P1 = = = 9,8 Pa

S1 10

F 98S2 = a · c = 5 · 1 = 5 m2 P2 = = = 19,6 Pa

S2 5

F 98S3 = b · c = 2 · 1 = 2 m2 P3 = = = 49 Pa

S3 2

La pressió que exerceix el pes p de l’objecte sobre el pla és diferent se-gons quina sigui la cara de l’objecte que està recolzada en el pla, encaraque la força sigui sempre la mateixa: el pes p = m · g del cos.

En la figura anterior, la superfície S3 és més petita que les altres i, així, la pressió que exerceix aquesta cara és més gran que la de les altres dues.

A vegades interessa que la pressió exercida sobre un cos sigui petita,com passa en l’exemple que ja hem comentat dels esquís, en el qual és pre-ferible tenir una superfície gran per tal que la pressió sigui petita.

Per contra, altres vegades interessa tenir unapressió gran. Així, els ganivets han de tenir lasuperfície per on tallen tan petita com sigui pos-sible i, per això, han d’estar ben esmolats, per talque exerceixin una gran pressió sobre els objec-tes que volem tallar. Quan el ganivet no està es-molat, la superfície és més gran, la pressió ésmés petita i costa més de tallar els objectes.

Un altre exemple són els claus, que tenenuna punta amb una superfície molt petita, pertal d’exercir una gran pressió: això afavoreixque es clavin fàcilment efectuant una força re-lativament petita.

1 8 1

p

p

p

a

c

b

b

ca

a

bc

S1

S2

S3

Quan la superfície sobre la qual actua una força és més petita, la pres-sió exercida és gran.

Per fluid entenem aquell estat en què la matèria que constitueix un cos noté una forma constant, sinó que s’adapta a la del recipient que el conté. Peraquest motiu diem que aquests cossos tenen la capacitat de fluir: poden sertraspassats d’un recipient a un altre i adopten la seva forma. Els fluids po-den ser líquids o gasosos, i exerceixen una pressió sobre els cossos que hiestan submergits, com veurem tot seguit.

Pressió hidrostàticaConsiderem, en primer lloc, un líquid en equilibri, és a dir, tal que qual-sevol porció d’aquest està en repòs. El líquid exerceix una pressió, anome-nada pressió hidrostàtica, sobre els cossos que hi estan submergits, que ésigual al pes p de la columna de líquid que hi ha sobre el cos.

Així, a més profunditat en el líquid, més gran és la pressió hidrostàtica,ja que més gran és el pes de líquid que ha de suportar l’objecte.

Per obtenir l’expressió de la pressió hidrostàtica, pensem en un objecteen forma de prisma rectangular, de dimensions a, b i c, en repòs en el fonsd’un recipient que conté un líquid en equilibri, com pot ser l’aigua.

La força que experimenta l’objecte és el pes, p = m · g, de la columnad’aigua que hi ha a sobre seu, d’altura h. Tenint en compte que la massad’aquesta columna es pot obtenir multiplicant la densitat dl de l’aigua pelvolum V de la columna, m = dl · V, i que el volum és V = S · h, tenim que:

F p m · g dl · V · g dl · g · S · hP = = = = =

S S S S S

P = dl g h

1 8 2

a c t i v i t a t s9. Un objecte cilíndric, d’1,4 kg de massa, està re-

colzat en una superfície horitzontal per una de lesseves bases circulars, de 45 cm de radi. Si sabemque l’àrea A d’un cercle es calcula amb l’expres-sió A = π R2, on R és el radi, calcula la pressióque exerceix l’objecte sobre la superfície.

10. Per què quan caminem de puntetes els peusens fan molt més mal que quan caminem nor-malment? Raona la teva resposta.

11. Determina, aproximadament, la pressió queexerceixes sobre el terra, tot calculant el teupes i fent una estimació de la superfície totalde les plantes de les teves sabates.

12. Descriu algunes situacions en què és preferibletenir una pressió petita, i algunes altres en què éspreferible tenir una pressió gran. Explica perquèés desitjable que la pressió sigui petita en els pri-mers casos, i gran en els segons.

9.5. Estàtica de fluids

S

h

V = S · h

Les partícules d’un gas estan en con-tinu moviment.

Aquesta última expressió ens indica que la pressió hidrostàtica no depènni de la forma del recipient, ni de la quantitat de líquid que conté, sinó no-més del tipus de líquid i de la profunditat del punt considerat. Per tant, totsels punts situats a una mateixa profunditat estan sotmesos a la mateixapressió.

D’altra banda, la capacitat de fluir que tenen els líquids fa que la forçaexercida per la pressió hidrostàtica sigui perpendicular tant a la superfíciedels cossos submergits com a les parets del recipient. Pensa que, si la forçano fos perpendicular, hi hauria forces que mourien el líquid, en contra dela suposició d’equilibri de la qual hem partit.

Pressió atmosfèrica

Considerem ara el cas d’un gas en equilibri. Aquest gas també exerceix unapressió sobre els cossos que hi estan submergits, però la naturalesa que téés diferent de la pressió hidrostàtica.

En efecte, recorda que el curs anterior vam comentar que les partículesque formen els gasos estan en continu moviment, xocant entre si i amb lesparets del recipient que conté el gas. Doncs bé, són aquests xocs els res-ponsables de la pressió del gas.

Així, el càlcul de la pressió que exerceixen els gasos és bastant més compli-cat que quan es consideren els líquids. En el cas de l’atmosfera, anomenempressió atmosfèrica aquella que exerceixen els gasos que la formen. En condi-cions normals, i a nivell del mar, aquesta pressió val 101300 Pa = 1,013 · 105 Pa.

La menor densitat de l’aire, a mesura que augmenta l’alçada, fa que lapressió atmosfèrica vagi disminuint, de manera que, a uns 10 km d’altura,té un valor aproximat de 2400 Pa.

Empenyiment: principi d’Arquimedes

Una altra propietat important dels fluids és que exerceixen una força cap adalt sobre els objectes que hi estan submergits. En efecte, recorda que elsobjectes fets amb certs materials, com la fusta, el suro i d’altres, suren so-bre l’aigua líquida a causa d’aquesta força, i només en queda submergidauna part. I els objectes que s’enfonsen, com el ferro i d’altres, fa l’efecte quetenen menys pes quan estan dins l’aigua, també a causa d’aquesta força.

Aquesta propietat es creu que va ser descoberta per Arquimedes, savigrec del qual ja vam parlar a la unitat 7. Segons el principi d’Arquimedes,tot cos submergit en un fluid experimenta una força FE cap a dalt, anome-nada empenyiment, igual al pes de fluid que l’objecte desallotja. Aquestaforça fa que el pes p de l’objecte submergit sigui aparentment més petit, iaixò ens fa definir el pes aparent p’ com a:

p’ = p – FE

1 8 3

La força que efectua la pressió hi-drostàtica augmenta amb la profundi-tat.

La pressió atmosfèrica normal a nivelldel mar ens defineix una unitat depressió anomenada atmosfera (atm),de manera que 1 atm = 1,013 · 105 Pa.

a c t i v i t a t s

En realitat, la força d’empenyiment depèn de les densitats de l’objecte idel fluid. Així, quan la densitat d del cos és més gran que la densitat df delfluid, predomina el pes del cos sobre l’empenyiment, p > FE, i el cos s’en-fonsa.

Per contra, per a un altre cos la densitat d’ del qual és més petita que ladensitat df del fluid, predomina l’empenyiment sobre el pes, p < FE , i el cossura: només queda enfonsada aquella part del cos el volum de la qual com-pensa exactament el pes total.

Això últim és el que passa amb els icebergs, que, recordem-ho, sónmasses de gel, despreses de les glaceres, que suren sobre el mar, ja que elgel és menys dens que l’aigua líquida.

Com en tots els fluids, el principi d’Arquimedes també és aplicable enel cas dels gasos. Ara bé, com que els gasos són menys densos, l’empen-yiment és molt més petit que en el cas dels líquids, i només es fa evidentquan el cos té una densitat petita, comparable a la de l’aire. Això passa, perexemple, quan el cos té un volum molt gran i una massa relativament peti-ta, com és el cas dels globus aerostàtics.

Aquests globus es poden construir amb un recipient, normalment de tei-xit, que s’infla amb aire calent, la densitat del qual és més petita que la del’aire fred. També es poden inflar amb un gas que sigui menys dens que l’aire,com l’heli. D’acord amb el paràgraf anterior, podem comprovar que l’artefac-te amb aire calent, o amb gas poc dens, s’eleva perquè té una densitat més petita que l’aire.

1 8 4

13. En un líquid en equilibri, la pressió hidrostà-tica origina una força perpendicular a les pa-rets del recipient. Passa el mateix en el casd’un líquid que no està en equilibri? Raona lateva resposta.

14. La mar Morta té la salinitat més gran de totsels mars de la terra i, per tant, la seva densitattambé és la més alta. És més difícil de suraren aquesta mar que en d’altres? Raona la tevaresposta.

FE

P

d

df

Si d > df aleshores p > FE i el coss’enfosa.Si d < df aleshores p < FE i el cos sura.

una micade tot

El primer científic que va posar en evidència l’existència de la pressió at-mosfèrica i que en va mesurar el valor va ser l’italià Evangelista Torricelli(1608-1647).

En el seu experiment, Torricelli va omplir totalment amb mercuri un tubde vidre, d’una mica més d’un metre de longitud, tancat per l’extrem infe-rior. A continuació, invertí el tub tot tapant l’extrem obert, i el ficà en unrecipient que també contenia mercuri.

Quan va obrir l’extrem del tub que estava submergit, observà que el tubes buidava només en part, de manera que la columna de mercuri que que-dava mesurava una alçada de 76 cm respecte de la superfície lliure del mer-curi contingut en el recipient. La part superior del tub, lliure de mercuri,havia quedat sense cap tipus de matèria, i va ser la primera vegada en lahistòria que es va crear un buit perfecte.

Torricelli interpretà el seu resultat dient que la pressió que exercia l’at-mosfera sobre la superfície lliure del mercuri en el recipient gran compen-sava exactament la pressió que exercia el mercuri del tub.

D’aquesta manera, Torricelli va poder mesurar la pressió atmosfèrica totcalculant la pressió que exercia la columna de mercuri sobre la part infe-rior, i va construir, de fet, el primer baròmetre de la història. Aquest apa-rell serveix, recordem-ho, per mesurar la pressió atmosfèrica.

Uns anys més tard, l’existència de la pressió atmosfèrica va ser demostradaper l’alemany Otto Von Guericke (1602-1686) d’una manera sorprenent. VonGuericke va construir dues semiesferes buides que encaixaven perfectament.Extraient l’aire amb l’ajut d’una vàlvula, va fer el buit en l’espai interior, i de-mostrà com les semiesferes no podien ser separades ni tan sols quan uns quantscavalls les estiraven, ja que l’atmosfera exercia sobre cada esfera una força su-perior als 20000 N en l’intent de l’aire d’entrar a dins.

Altres fets de la vida quotidiana ens mostren la presència de la pressió at-mosfèrica. Així, quan xuclem un refresc amb una palleta, el que estem fent ésbuidar lleugerament la palleta d’aire: l’aire de l’atmosfera, en el seu intent perentrar a la palleta, empeny el refresc i l’obliga a pujar. El mateix passa quan as-pirem un líquid amb una xeringa. Finalment, una ventosa s’adhereix a una su-perfície polida perquè l’aire intenta entrar a l’espai interior de la ventosa i l’em-peny fortament contra la superfície.

1 8 5

Com notem la pressió atmosfèrica?

En l’equilibri, s’igualen la pressió at-mosfèrica Patm i la pressió hidrostàti-ca P efectuada per la columna demercuri. Per tant, si tenim en compteque la densitat del mecuri val 13 600kg/m3, i si apliquem l’expressió de lapressió hidrostàtica, podem calcularel valor de la pressió atmosfèrica:

Patm = P = df · g · hPatm = 13 600 · 9,8 · 0,76 � 101 300 Pa

76 cm

memòriafes

1 8 6

1. Quina diferència hi ha entre una magnitud es-calar i una magnitud vectorial? Explica-ho de-talladament i proposa exemples de cada tipusde magnitud.

2. Per a què s’utilitzen els vectors? Quines sónles característiques d’un vector? Fes un dibuixesquemàtic en el qual es representin aquestescaracterístiques.

poden ser

com com les

només tenenes representenamb

amb la sevatenen

massa temps forces

escalars vectorials

valor de la magnitud vectors

unitatintensitat o

mòduldirecció sentit

valor de lamagnitud

unitat

que és eldonadesper una

amb la seva

recta

volum

Magnituds físiques

posa'ten marxa!

1. Escriu tres magnituds físiques que siguin vec-torials. Explica per què ho són.

2. Dibuixa en un mateix diagrama els vectors corresponents a les forces que tenen les carac-terístiques següents, tenint en compte que 1Ncorrespon a 1 cm:

a) Una força →F1 en la direcció de l’eix Y, sentit

negatiu i mòdul 2 N.b) Una força

→F2 en la direcció de l’eix X,

sentit positiu i mòdul 5 N.c) Una força

→F3 en una direcció que forma un

angle de 70° amb l’eix X i mòdul 6 cm.d) Una força

→F4 en una direcció que forma un

angle de 160° amb l’eix X i mòdul 6 cm.

3. Determina la força resultant de les forces F1 iF2 de l’exercici anterior.

4. Determina la força resultant de l’activitat quees planteja al principi de la pàgina 171.

5. Dibuixa les forces següents agafant una escalaen la qual 2 N corresponen a 1 cm, i suposantque el punt d’aplicació de les forces està situata l’origen de coordenades:

a) →F1, d’intensitat 6 N, direcció de l’eix Y i sen-tit negatiu.

b) →F2, d’intensitat 3,5 N, i direcció i sentit queforma un angle de 210° amb l’eix X.

c) →F3, d’intensitat 5 N, direcció de l’eix X i sen-tit negatiu.

6. Un llum de 450 g penja del sostre d’una habita-ció amb l’ajut d’una petita cadena. Fes un dibuixen què es representin les forces que actuen sobreel llum, i calcula la força que fa la cadeneta so-bre aquest llum. Com s’anomena aquesta força?

7. Quina és la utilitat d’aplicar dues forces de lamateixa intensitat i de la mateixa direcció, peròde sentits contraris, aplicades a dos punts ex-trems d’un mateix cos? Proposa dos exemplesen què passi això i explica’ls amb dibuixos.

8. Quan obrim una aixeta, quina situació presen-ten les forces que actuen sobre l’aixeta? Fes undibuix que ho representi, i explica’l des delpunt de vista de les forces aplicades i el movi-ment que en resulta.

9. Calcula la pressió que exerceix sobre el terra unobjecte cilíndric, de 45 g de massa, que descansasobre la seva base circular, de 3 cm de diàmetre.

10. Explica per què els objectes que tallen, com elsganivets, o que es claven, com els claus, han detenir una superfície molt petita per la part quetalla o que es clava.

11. Un submarinista està submergit a una profun-ditat de 40 m. Determina:a) la pressió hidrostàtica a la qual està sotmès,

en Pa, si sabem que la densitat de l’aigua delmar és de 1025 kg/m3.

b) la pressió total sobre el submarinista, si sa-bem que la pressió atmosfèrica normal téun valor de 101300 Pa.

c) les vegades que la pressió total és superior ala pressió normal en l’exterior.

12. La densitat de l’acer és bastant més gran que lade l’aigua. Per què no s’enfonsen els vaixells queestan construïts amb aquest material? Raona lateva resposta.

13. Com és possible que els icebergs surin sobre elmar, si el material que els forma també és ai-gua? Raona la teva resposta consultant, si cal,una enciclopèdia.

14. Dos casos en els quals es compleix el principid’Arquimedes per flotar o per submergir-sedins l’aigua són el submarí i els peixos. Con-sulta llibres i explica, fent els dibuixos cor-responents, com els submarins i els peixos poden a vegades surar, i d’altres vegades en-dinsar-se en l’aigua.

1 8 7

La pressió hidrostàticaObjectiu

Comprovar experimentalment dues propietats de la pressió hidrostàtica:que la força de pressió és perpendicular a la superfície del recipient queconté el líquid i que la pressió hidrostàtica augmenta amb la profunditat.

Material

• Ampolla de plàstic d’1,5 L • Recipient ample i baix• Tisores • Aigua

Procediment

1. Talla l’ampolla de plàstic per la meitat i fes un petit forat en un punt si-tuat a la meitat del recipient tal com indica la figura.

2. Tapa el forat amb el dit i situa l’ampolla de plàstic dins d’un recipientque sigui bastant ample.

3. Omple totalment amb aigua l’ampolla tallada i destapa’n el forat.Vigila que l’aigua caigui dins del recipient ample. Observa i dibuixa elque veus mentre raja l’aigua.

4. Fes un altre forat a l’ampolla, ara en un punt situat entre el primer fo-rat i el fons de l’ampolla i de manera que quedi lleugerament desplaçatrespecte de la vertical del primer forat.

5. Buida el recipient gran de l’aigua que ha caigut i repeteix els passos 2i 3. Observa i dibuixa el que veus mentre raja l’aigua.

Anàlisi de resultats

1. En quina direcció raja l’aigua pels forats?

2. En un instant determinat, surt l’aigua amb el mateix impuls per cada forat?

3. D’acord amb les teves respostes, quines conclusions en treus?

1 8 8

A r a e t t o c a a t u !

El principi d’ArquimedesObjectiu

Estudiar l’empenyiment que experimenten alguns objectes sòlids quan sesubmergeixen en dos líquids diferents.

Material

• Vasos de precipitats petits • Diversos objectes de ferro• Recipient gran • Alumini• Aigua • Coure• Oli vegetal • Glaçons• Dinamòmetre

Procediment

1. Omple un vas de precipitats amb aigua fins a la meitat.

2. Pren un objecte petit de ferro que es pugui penjar del dinamòmetre isubmergir en el vas de precipitats ple d’aigua. Mesura i anota el pes pamb el dinamòmetre.

3. Submergeix totalment l’objecte en l’aigua sense introduir el cos del di-namòmetre (només el ganxo). Mesura i anota el pes aparent p’, quemarca ara el dinamòmetre i calcula’n l’empenyiment E: E = p – p’.

4. Repeteix els passos 2 i 3 amb objectes d’alumini i de coure.

5. Omple un altre vas amb oli fins a la meitat.

6. Posa un glaçó en el primer vas i un altre en el segon. Observa i dibui-xa el que veus.

Conclusions

1. Completa la taula següent:

Objecte Pes p (N) Pes aparent p’ (N) Empenyiment E = p – p’ (N)

Ferro

Alumini

Coure

2. D’acord amb les observacions dels passos 5 i 6 del procediment, quèpodem dir sobre les densitats de l’oli, de l’aigua i del glaçó? Quina ésmés gran? Quina és més petita? Per què?

1 8 9