unitat 1 unitat 2 - spain-s3-mhe-prod.s3-website-eu-west-1...

BLOC

1 CINEMÀTICA

28

Si les nedadores més ràpides d’aquesta cursa de natació poden fer els 100 metres lliures en 53 segons, a quina velocitat creus que neden, de mitjana?

El moviment dels cossos és un dels primers fenòmens físics que ens desperta la curiositat. Com podem caracteritzar que un cos es mou ràpid o a poc a poc?

1CINEMÀTICA EN UNA DIMENSIÓ

BLOC 1

Has pujat alguna vegada en una atracció com aquesta? Des de terra, els espectadors observen que els passatgers dins les cistelles de la sínia descriuen trajectòries circulars.

Si la sínia gira en sentit contrari a les agulles del rellotge, quina direcció té el vector velocitat de cada passatger?

A un viatger que està mirant per la fi nestra de la vagoneta, en el moment que la sínia passa pel punt més alt li cau un objecte. Si la sínia continua el seu moviment, com veu caure l’objecte el viatger? Si no hi actua el fregament amb l’aire, on anirà a recollir l’objecte quan hagi baixat de l’atracció?

2BLOC 1

CINEMÀTICA EN DUES DIMENSIONS

Unitat 1

Cinemàtica en una dimensió

Unitat 2

Cinemàtica en dues dimensions

01_UD01_Fisica1_batx_028-072.indd 2801_UD01_Fisica1_batx_028-072.indd 28 14/11/11 16:4014/11/11 16:40

Si les nedadores més ràpides d’aquesta cursa de natació poden fer els 100 metres lliures en 53 segons, a quina velocitat creus que neden, de mitjana?

El moviment dels cossos és un dels primers fenòmens físics que ens desperta la curiositat. Com podem caracteritzar que un cos es mou ràpid o a poc a poc?

1CINEMÀTICA EN UNA DIMENSIÓ

BLOC 1


30 BLOC 1. CINEMÀTICA1

j 1.1 El moviment i els sistemes de referència

Ja sabem que els cossos ocupen zones de l’espai, és a dir, es troben en determinats punts o posicions de l’espai. Si aquestes zones canvien, diem que els cossos s’han mogut.

El moviment és el canvi de la posició d’un cos al llarg del temps.EEl m

La descripció del moviment dels cossos constitueix la part de la física anomenada cine-màtica. Per simplifi car l’estudi del moviment d’un cos, sigui gran o petit, en molts casos es pot negligir el seu volum i suposar que tota la seva massa està concentrada en un punt (que sol ser el seu centre de masses). És la cinemàtica del mòbil puntual o partícula.

A més, per estudiar el moviment sempre cal prendre una referència, que sol ser algun objecte sense moviment aparent. Aclarim-ho amb un exemple.

Considerem una cursa atlètica de 100 m llisos amb tres participants (fi g. 1.1):

j En el moment de la sortida, els participants estan quiets i els cronòmetres que mar-quen el temps per a cada atleta estan a zero.

j Quan comença la cursa, els participants corren i els cronòmetres marquen el temps.

j A mesura que els participants van arribant a la meta, s’aturen els cronòmetres.

Podem analitzar el moviment de la cursa de maneres diferents:

j Considerem la gent asseguda a les graderies mirant la cursa com a punt de referèn-cia. Abans de començar la cursa, no hi ha moviment. I durant la cursa els atletes estan en moviment respecte de la gent que és a la graderia.

j També podem considerar com a referència un punt qualsevol de la superfície de la Terra, que, com ja sabem, gira al voltant del Sol. Respecte del Sol, tothom es mou, tant els atletes com la gent que està asseguda a la graderia mirant la cursa.

En aquest exemple observem que el moviment és relatiu, depèn de l’observador i de la referència (eixos de coordenades) que utilitza. Per tant, en l’estudi del moviment hem d’escollir un sistema de referència. A continuació, expliquem els sistemes de referència que utilitzem més sovint.

Sistema laboratori

És el sistema de referència que es troba en la superfície terrestre i poden ser els edifi cis que hi estan fi xats (l’aula, casa nostra, el carrer, etc.), ja que tots aquests objectes estan en repòs respecte la superfície de la Terra. Els eixos de coordenades estan fi xos al terra (fi g. 1.2).

Sistema fora del laboratori

És aquell sistema que té el seu origen de coordenades fora del sistema laboratori. Per exemple, al centre de la Terra (sistema Terra), al centre del Sol, a un satèl.lit, al centre d’una galàxia...

En realitat, no existeix cap punt de l’Univers que estigui en repòs absolut. Per tant, no existeix el moviment absolut; tots els moviments són relatius.

En aquesta unitat farem servir el sistema de referència laboratori.

Fig. 1.1. Cursa de 100 m llisos.

L’elecció de les coordenades més adients pot simplificar molt l’es-tudi dels moviments. En general, les coordenades utilitzades són les cartesianes, en què representem l’eix d’abscisses, eix de les X, i l’eix d’ordenades, eix de les Y (fig. 1.2). Podem emprar altres coordenades sempre que siguin ortogonals en-tre si. Per exemple, en l’estudi de moviments circulars utilitzem les coordenades polars (radi i angle).

Important

Fig. 1.2. Sistema de referència de coor-denades cartesianes.

�

� �

+

+

–

–


1 31CINEMÀTICA EN UNA DIMENSIÓ

Observació del moviment d’un cos (fi g. 1.3) segons diferents sistemes de referència:

��

�

�

�

Observador a baix

��

�

�

�

�

Observador a dalt

��

Observador a l’andanaObservador dins el tren

Fig. 1.3. a) Una bola que cau des d’un edifi ci; b) Moviment d’un tren.

Exemple 1

a) Una bola que cau des d’un edifi ci.

Podem defi nir el sistema de referència de moltes ma-neres, pensem-ne dues:

j Observació del moviment des de dalt de la torre.

j Observació del moviment des de baix de la torre.

b) Moviment d’un tren.

j Observació del moviment asseguts dins del tren.

j Observació del moviment des de l’andana de l’es-tació.

Quines observacions s’han fet?

Resolució

a) Des de dalt i des de baix de la torre el moviment és vertical i observem que la bola baixa, però com que el sistema de referència en cada un dels casos és di-ferent, quan l’observem caient des de dalt de la torre la coordenada Y és negativa, mentre que quan l’ob-servem des de baix, és positiva.

b) Un observador quiet dins el tren veu que el tren ro-man quiet i que el que es mou és el paisatge. No hi ha moviment relatiu del tren respecte de l’observador. Un observador situat a l’andana de l’estació observa el moviment horitzontal del tren en la direcció X i en sentit positiu.

1> Analitza aquest fet:

Un avió està agafant velocitat en la pista d’enlai-rament. Com veu el moviment de l’avió:

a) Una persona a la torre de control de l’aeroport.

b) El xofer del cotxe que ha posat combustible i va cap a dins de l’aeroport en sentit contrari a l’avió.

c) L’hostessa que es dirigeix al seu seient per es-tar a punt en el moment de l’enlairament.

d) Un viatger assegut al seu seient.

2> Citeu cinc cossos que estiguin en repòs respecte del sistema laboratori i cinc cossos que es moguin respecte del sis tema laboratori.

Activitats



j 1.2 Trajectòria i tipus de movimentEls moviments es classifi quen segons la trajectòria que descriuen els cossos en moviment.

Fonamentalment, el moviment pot ser de dos tipus, rectilini i circular (fi g. 1.4). Qualse-vol altre tipus de trajectòria es pot considerar com una combinació d’aquests moviments.

j Moviment rectilini: la trajectòria que segueix el cos és una línia recta. Es tracta, per tant, d’un moviment en una dimensió.

j Moviment circular: la trajectòria que segueix el cos és una circumferència. Es trac-ta, doncs, d’un moviment en dues dimensions.

j Moviment parabòlic: la trajectòria que segueix el cos és una paràbola; també és un moviment en dues dimensions. A la unitat següent veurem que és la combina-ció de dos moviments rectilinis.

j Hi ha més tipus de moviments, com per exemple, aquells en què la trajectòria és una el.lipse, una hipèrbola, una paràbola, etc. En l’estudi del moviment del sistema solar ens trobarem amb aquests tipus de trajectòries.

j Altres tipus més complicats poden ser els moviments en tres dimensions: les trajec-tòries helicoïdals, el moviment d’una papallona, etc.

Fig. 1.4. a) Moviment rectilini; b) Moviment circular (moviment aparent dels estels).

Anomenem trajectòria el conjunt de totes les posicions o punts de l’espai per on passa un cos en moviment.AA

a)

b)



j 1.3 Les magnituds cinemàtiquesTot seguit presentarem les magnituds que permeten estudiar els moviments, anomena-des magnituds cinemàtiques.

A. Temps

Ja sabem que el moviment és el canvi de posició d’una partícula en el transcurs del temps. Per tant, és essencial poder mesurar aquest temps, i també utilitzar una refe-rència per poder saber l’origen del temps o instant de temps zero.

Per tenir en compte la durada de qualsevol moviment utilitzem l’increment del temps o interval de temps (fi g. 1.5). Si un esdeveniment té una certa durada, de manera que comença en l’instant de temps t1 i acaba en l’instant de temps t2, el temps transcorre-gut, o increment de temps, és:

D t 5 t2 2 t1

El temps és una magnitud escalar i la seva unitat en el SI és el segon, s.

B. Posició

La posició és una magnitud vectorial i la seva unitat en el SI és el metre, m.

Quan la posició de la partícula va variant amb el temps, el valor de �r (mòdul i/o direc-ció) també va variant amb el temps. S’expressa amb la funció �r (t) anomenada equació del mo viment.

C. Desplaçament

El desplaçament és una magnitud vectorial i la seva unitat en el SI és el metre, m.

Per calcular el desplaçament entre una posició inicial A i una posició fi nal B descri-tes, respectivament, per �r1 i

�r2, al vector de posició fi nal li restem el vector de posició inicial:

D�r 5

�r2 2 �r1

Fig. 1.5. La diferència entre dos valors de temps t2 i t1 és l’increment o interval de temps.

��

��

�

�

� ��

�

�

Fig. 1.6. Vectors de posició i desplaça-ment associats a dues posicions A i B.

El desplaçament no necessària-ment coincideix amb la trajec-tòria real de la partícula (que a la figura 1.6 és un tram de línia corba).

Fixa-t’hi

La posició és un punt de l’espai on es troba una partícula en un moment deter-minat. Es representa en relació amb l’origen O del sistema de coordenades amb la magnitud �r, anomenada vector de posició.

LL p

El desplaçament és el canvi de posició d’un cos entre dos instants de temps determinats, i se simbolitza per D �r (fi g. 1.6).EEl d

Llegirem el símbol D com un incre-ment, que indica un estat final menys un estat inicial, o bé un estat 2 menys un estat 1 anterior.

D 5 final 2 inicial 55 estat 2 2 estat 1

Important



D. Velocitat

La velocitat és una magnitud vectorial i la seva unitat en el SI és el metre per segon, m/s.

En funció de com es calculi, podem dividir el desplaçament efectuat pel cos entre la durada de temps en què el fa (increment de temps).

Depenent de com siguin aquests intervals de temps, podem parlar de velocitat mitjana i de velocitat instantània (fi g. 1.7).

Velocitat mitjana

Si un mòbil està a l’instant de temps t1 a la posició determinada pel vector de posició �r1 i a l’instant t2 a la posició determinada per �r2, la velocitat mitjana es defi neix segons:

D�r �r2 2 �r1�vm 5 —— 5 ————

D t t2 2 t1

Aquesta velocitat depèn de les posicions inicial i fi nal considerades. Així, si diem que la velo citat mitjana per anar de Sabadell a Barcelona ha estat de 80 km/h, això no vol dir que durant tot el recorregut s’hagi anat a aquesta velocitat, sinó que el resultat de di-vidir la distància total recorreguda i el temps total emprat, dóna un valor de 80 km en una hora.

Com veiem a la fi gura 1.8, la velocitat mitjana sempre té la direcció del despla çament.

Velocitat instantània

Si volem saber la velocitat en un instant, hem d’analitzar un interval de temps molt petit, de manera que el valor de D t s’apropi a zero, i es pugui considerar com un instant de temps. De la mateixa manera el desplaçament, D �r, també tendeix a zero.

Observeu que a mesura que ens anem apropant a t, tant l’increment de posicions com l’increment de temps es van fent cada vegada més petits. En el límit, o si-gui, quan tn tendeix a t, D t tendeix a zero i es pot considerar com un instant. Per tant, defi nim la velocitat instantània com: �r (tn) 2 �r (t) D

�r�v 5 tnlim

� t—————— 5

D tlim

� 0 —— 5

D tlim

� 0 �vm tn 2 t D t

Com veiem a la fi gura 1.9, la velocitat instantània és un vector tangent a la tra-jectòria.

��

��

�

�

� �

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

��

�

Fig. 1.7. Els velocímetres indiquen veloci-tats instantànies.

Fig. 1.9. En el límit, obtenim la velocitat instan-tània, que és un vector tangent a la trajectòria.

Fig. 1.8. La velocitat mitjana �vm del mò-bil entre els punts A i B té la direcció de D

�r entre A i B.

La velocitat és una magnitud física que mesura com varia la posició d’un cos en relació amb el temps.LL

La velocitat mitjana és el canvi de la posició d’un mòbil en un interval fi nit de temps. LL

La velocitat instantània és el valor del quocient entre el desplaçament i l’increment de temps quan D t tendeix a zero. LL



Evidentment, si fem que D t s’apropi a zero, el desplaçament D �r associat també serà molt petit, però el quocient entre les dues magnituds pot ser fi nit, i diferent de zero.

E. Acceleració

Si la velocitat instantània d’un cos varia en el transcurs del temps, podem mesu-rar el seu ritme de canvi amb la magnitud anomenada acceleració.SSi l

L’acceleració és una magnitud vectorial i la seva unitat en el SI és el metre per segon al quadrat, m/s2.

Per calcular l’acceleració que porta un cos entre dos instants determinats de temps hem de dividir l’increment de la velocitat del cos, D �v 5 �v2 2 �v1, per l’increment del temps.

Com en el cas de la velocitat, podem parlar d’acceleració mitjana i instantània.

Acceleració mitjana

L’acceleració mitjana és el canvi de la velocitat en un interval fi nit de temps i ve donada per: D

�v �v2 2 �v1�am 5 —— 5 ———— D t t2 2 t1

LL’ac

Segons aquesta defi nició, l’acceleració mitjana és un vector amb la mateixa direcció i sentit que D �v.

Acceleració instantània

Si volem saber l’acceleració d’un mòbil en un punt i un instant de temps concrets, hem de considerar un interval de temps molt petit, és a dir, que D t s’apropi a zero.

Anàlogament a la velocitat instantània, defi nim l’acceleració instantània com:

D�v�a 5

D tlim

� 0 —— 5

D tlim

� 0 �am D t

AA à

j 1.4 Moviments rectilinisEls moviments en una sola dimensió són aquells en què la seva trajectòria és una recta i s’anomenen moviments rectilinis.

Podem escollir un sistema de referència de coordenades cartesianes de manera que es tin-guin moviments en l’eix de les X (eix d’abscisses) o bé en l’eix de les Y (eix d’ordenades).

Per fer l’estudi de qualsevol moviment rectilini hem de tenir en compte tot el que hem vist fi ns ara: el sistema de referència i les magnituds que cal estudiar.



A. Sistema de referència

Utilitzem el sistema laboratori; en aquest cas és una recta amb origen de coordenades arbitrari. La recta s’escull de forma que la trajectòria del mòbil hi estigui a sobre.

Donem sentit positiu a la posició x que és a la dreta d’aquest origen, i sentit negatiu a la que és a l’esquerra d’aquest punt, si ens referim a l’eix d’abscisses (fi g. 1.10 a).

Si ens referim a l’eix d’ordenades, agafem també un origen arbitrari i les posicions que es-tan per sobre d’aquest punt són positives i les que estan per sota d’aquest punt, negatives (fi g. 1.10b).

B. Magnituds cinemàtiques

Totes les magnituds estudiades fi ns ara són aplicables a qualsevol tipus de moviment. Són les magnituds vectorials �r, D �r, �v i �a, que han de ser determinades pel mòdul, la direcció i el sentit. Però quan la trajectòria de la partícula és una recta, podem simpli-fi car el caràcter vectorial que tenen aquestes magnituds.

En el cas del moviment rectilini, aquests vectors tenen una única direcció invariable (eix d’abscisses o eix d’ordenades), el mòdul és el valor que tenen aquestes magnituds sobre aquesta recta, i el sentit té com a criteri de signes el representat a la fi gura 1.10. Per tant, podem fer servir aquestes magnituds com a escalars i les simbolitzem amb x o y (posició), D x o D y (desplaçament), v (velocitat) i a (acceleració). S’ha de tenir en compte que el caràcter vectorial d’aquestes magnituds afecta els seus mòduls de signe positiu o negatiu, d’acord amb el criteri que hem establert.

C. Temps

Per analitzar el temps que ha transcorregut mentre es realitza un moviment (o sigui D t), hem de tenir en compte que:

j Quan analitzem un sol moviment, l’origen de referència del temps és t0 5 0.

j Quan analitzem dos o més moviments simultàniament, hem de fi xar l’origen del temps per a un dels moviments, i els altres restaran fi xats a partir d’aquest.

Per exemple, quan dos cotxes passen per una posició determinada en diferents mo-ments; normalment agafem t0 5 0 per al cotxe que passa en primer lloc, i anotem el temps de passada del segon cotxe en referència al primer.

D. Posició

És el punt que ocupa una partícula sobre la recta. La posició queda determinada quan fi xem l’origen de coordenades.

En general, hem designat el vector de posició amb el simbol �r. En el moviment rectilini, com que només tenim una dimensió, designem la posició com a x o com a y, segons es tracti d’un moviment horitzontal o vertical.

Durant el moviment, la posició de la partícula va variant al llarg del temps i, per tant, és una funció del temps. Tenint en compte això, expressem la posició per a x (t) o bé y (t), i l’anomenem equació del moviment.

a)

b)

Fig. 1.10. Sistema de referència. a) En l’eix d’abscisses donem sentit positiu a la posició X que és a la dreta d’aquest origen, i sentit negatiu a la que és a l’esquerra d’aquest punt; b) En l’eix d’ordenades do-nem sentit positiu a la posició Y que es tà per sobre d’aquest origen, i sentit negatiu a la que és per sota d’aquest punt.



E. Desplaçament

Ja sabem que el desplaçament és el canvi del vector posició d’una partícula en el temps i que es designa per D �r 5 �r2 2 �r1. En el moviment rectilini l’anomenem D x o D y, segons si es tracta d’un moviment horitzontal o bé vertical. Aquest desplaçament pot ser positiu, negatiu o zero, en funció de com es mogui el cos respecte de l’origen de coordenades que hem agafat.

D x 5 x2 2 x1 D y 5 y2 2 y1

Ens trobem en una caminada popular. La sortida és a la plaça de la Vila del poble i els par-ticipants es dirigeixen cap a una muntanya on hi ha una ermita, a 5 km de la plaça, en un recorregut que podem considerar rectilini. Hi participen 5 grups i tots surten al mateix temps. Després d’una hora les seves posicions són les indicades a la taula 1.1.

a) Representeu les seves posicions en una recta.

b) Quin ha estat el desplaçament de cada grup des de la sortida fi ns al cap d’una hora?

c) Quants quilòmetres s’ha de desplaçar el grup 1 per arribar al lloc on és el grup 3?

d) Quants quilòmetres s’ha de desplaçar el grup 5 per arribar on és el grup 2?

e) Quants quilòmetres s’ha de desplaçar el grup 4 per arribar on és el grup 3?

Resolució

a) Prenem l’origen de referència de posició a la plaça de la Vila, x1 5 0. Representem les posicions de cada grup en la fi gura 1.11 al mateix instant de temps.

Per l’autopista AP-7 circulen dos cotxes, un de color vermell i un de color blau, en direcció a la Jonquera. El cotxe de color vermell passa pel peatge de Granollers a les 10 h, agafa la targeta i continua la seva ruta. A les 10.15 h passa pel mateix peatge el cotxe de color blau i fa el mateix.

a) Determineu el sistema de referència més convenient.

b) Anoteu la posició i el temps inicial dels dos cotxes.

Resolució

a) Prenem com a origen de referència de posició el peatge de Granollers i com a origen de referència

de temps les 10 h, just quan hi passa el cotxe ver-mell.

b) Cotxe vermell Cotxe blau

x0 5 0 x0 5 0

Origen de referència de posició: peatge de Granollers.

Cotxe vermell Cotxe blau

t0 5 0 t0 5 15 min

Origen de referència de temps: quan el rellotge marca les 10 h.

� � � � � �

��

��

��

��

�

��

�� Fig. 1.11

Grup Posició

1

2

3

4

5

2,5 km

3 km

4 km

4 km

5 km

Taula 1.1

Exemple 2

Exemple 3

P

E



F. Velocitat

És la variació de la posició d’una partícula respecte del temps:

D rv 5 ——

D t

En el moviment rectilini la velocitat pot ser positiva o negativa; això depèn sempre de la varia ció de la posició, o sigui, del signe del desplaçament, ja que D t mai no serà negatiu (fi g. 1.12).

El mòdul de la velocitat s’anomena celeritat o rapidesa. En el cas del moviment rec-tilini, el vector velocitat és la celeritat afectada de signe 1 o 2 segons el seu sentit.

Analitzem les dues maneres de considerar la velocitat estudiades abans.

Velocitat mitjana

La mesurem amb l’expressió:

D x x2 2 x1vm 5 —— 5 ————— en els moviments horitzontals D t t2 2 t1

D y y2 2 y1vm 5 —— 5 ————— en els moviments verticals D t t2 2 t1

Segons els criteris que hem considerat anteriorment, aclarim el signifi cat d’aquesta magnitud amb l’exemple següent:

b) Apliquem D x 5 x2 2 x1 per a cada grup i veiem que el valor d’x1 és 0 per a tots els grups, ja que han sortit alhora del mateix lloc on hem agafat l’origen de coordenades.

Calculem D x per a cada grup i veiem que coincideix amb la posició (taula 1.2).

c) D’acord amb la taula de dades tenim:

Posició inicial grup 1, x1 5 2,5 km

Posició fi nal grup 3, x2 5 4 km

Apliquem D x 5 x2 2 x1 5 4 2 2,5 5 1,5 km cap a l’ermita, ja que és positiu.

d) D’acord amb la taula de dades tenim:

Posició inicial grup 5, x1 5 5 km


Apliquem D x 5 x2 2 x1 5 3 2 5 5 22 km cap al poble, ja que és negatiu.

e) D’acord amb la taula de dades tenim:

Posició inicial grup 4, x1 5 4 km


Apliquem Dx 5 x2 2 x1 5 4 2 4 5 0 km, no hi ha desplaçament.

GrupGrup DesplaçamentDesplaçament

1

2

3

4

5

2,5 2 0 5 2,5 km

3 2 0 5 3 km

4 2 0 5 4 km

4 2 0 5 4 km

5 2 0 5 5 kmTaula 1.2

�

�

��

� ��

��

��

��

��

� ��

��

Fig. 1.12



Un noi s’entrena per a una cursa. En una hora fa el recorregut que es descriu a la taula 1.3, recorregut que podem considerar rectilini:

a) Calculeu la velocitat mitjana per a cada tram.

b) Què signifi quen els valors nuls o negatius del desplaçament?

c) Calculeu la velocitat mitjana global.

d) Calculeu la velocitat mitjana entre t 5 1 200 s i t 5 3 600 s.

e) Calculeu la velocitat mitjana entre t 5 1 500 s i t 5 2 520 s.

Resolució

a) Fem una taula (taula 1.4), on calculem prèviament l’increment de temps i el desplaçament de cada tram, i trobem la velocitat mitjana en aplicar l’expressió:

D x x2 2 x1vm 5 —— 5 —————

D t t2 2 t1

t (s) x (m)

0

600

1 200

1 500

2 000

2 520

3 600

0

1 000

2 500

2 500

4 000

2 500

5 000

Taula 1.3

Taula 1.4

Tram D t 5 t2 2 t1 (s) D x 5 x2 2 x1 (m) D x

vm 5 —— (m/s) D t

1 600 2 0 5 600 1 000 2 0 5 1 000 1 000——— 5 1,67 600

2 1 200 2 600 5 600 2 500 2 1 000 5 1 500 1 500——— 5 2,5 600

3 1 500 2 1 200 5 300 2 500 2 2 500 5 0 0——— 5 0 300

4 2 000 2 1 500 5 500 4 000 2 2 500 5 1 500 1 500——— 5 3 500

5 2 520 2 2 000 5 520 2 500 2 4 000 5 21 500 21 500———— 5 22,88 520

6 3 600 2 2 520 5 1 080 5 000 2 2 500 5 2 500 2 500——— 5 2,31 1 080

b) El valor nul de Dx vol dir que el noi s’ha aturat una estona, o bé ha tornat al mateix punt, i el valor nega-tiu de Dx indica que, durant aquest interval temps, ha can viat el seu sentit de moviment.

c) Entre t 5 0 s i t 5 3 600 s:

D x x2 2 x1 5 000 2 0vm 5 —— 5 ————— 5 —————— 5 1,38 m/s D t t2 2 t1 3 600 2 0

d) Entre t 5 1 200 s i t 5 3 600 s:

D x x2 2 x1 5 000 2 2 500vm 5 —— 5 ————— 5 ———————— 5 1,04 m/s D t t2 2 t1 3 600 2 1 200

e) Entre t 5 1 500 s i t 5 2 520 s:

D x x2 2 x1 2 500 2 2 500vm 5 —— 5 ————— 5 ———————— 5 0 m/s D t t2 2 t1 2 520 2 1 500

Exemple 4

U



Després de resoldre aquest exemple, podem fer les observacions següents:

j La velocitat mitjana depèn de les posicions inicial i fi nal, però no de les posicions intermèdies per on va passant el mòbil.

j Si la velocitat mitjana és zero, podem entendre o bé que el cos no s’ha mogut, o bé que s’ha mogut i ha tornat a la posició inicial.

En resum, la velocitat mitjana no és res més que un valor mitjà entre l’interval de temps considerat.

Velocitat instantània

És la velocitat mitjana en un interval de temps molt petit, és a dir, tant D t com D x es fan molt petits però el seu quocient pot ser un valor no nul.

Apliquem aquest concepte en un exemple.

Calculem la velocitat instantània d’una partícula que descriu un moviment rectilini. Una partícula descriu el moviment rectilini segons la funció x(t) 5 5 10 t 1 3 t2 (fi g. 1.13), calculeu la velocitat que porta en l’instant t 5 5 s (taula 1.5).

Resolució

Prèviament donem valors als temps propers a 5 s i construïm una taula (tau-la 1.5); a continuació fem el gràfi c (x-t) corresponent a aquests valors (fi g. 1.13) i segui dament comencem calculant les vm d’aquesta partícula en intervals de temps cada vegada més petits i que es vagin apropant a 5 s.

D xiv 5

D tlim

� 0 vm 5

D tlim

� 0 ———

D t

��

��

� � � � � � �� !

��

��

��

��

Fig. 1.13

t (s) x (m)

0123455,000015,00015,0015,015,15,567

0

13

32

57

88

125

125,0004

125,004

125,040003

125,4003

129,03

145,75

168

172,70

Taula 1.5

Exemple 5

C



j Per a l’interval de temps que va de t1 5 5 s a t2 5 6 s

Hem de calcular en cada instant de temps la posició on es troba; substituïm els valors del temps en la funció x(t). Aquí ho fem només per a un valor. Podeu comprovar els següents amb l’ajut de la calculadora.

x1 5 10 ? 5 1 3 ? 52 5 125 m

x2 5 10 ? 6 1 3 ? 62 5 168 m

La velocitat mitjana és:

168 2 125vm 5 —————— 5 43 m/s

6 2 5

j Per a l’interval de temps que va de t1 5 5 s a t2 5 5,5 s x1 5 125 m

x2 5 145,75 m


145,75 2 125vm 5 ———————— 5 41,5 m/s

5,5 2 5


x2 5 129,03 m


129,03 2 125vm 5 ———————— 5 40,3 m/s

5,1 2 5


x2 5 125,4003 m


125,4003 2 125vm 5 ————————— 5 40,03 m/s

5,01 2 5


x2 5 125,040003 m


125,040003 2 125vm 5 —————————— 5 40,003 m/s

5,001 2 5


x2 5 125,004 m


125,004 2 125vm 5 ———————— 5 40,0003 m/s

5,0001 2 5

j Per a l’interval de temps que va de t1 5 5 s a t2 5 5,00001 s

x1 5 125 m

x2 5 125,0004 m


125,0004 2 125vm 5 ————————— 5 40,00003 m/s

5,00,001 2 5

Recollim els valors obtinguts a la taula 1.6:

Observeu la successió de les velocitats mitjanes calcu-lades:

43; 41,5; 40,3; 40,03; 40,003; 40,0003 i 40,00003

Si augmentem l’aproximació cap a 5 s, la velocitat s’acosta cada cop més a 40 m/s i podem dir que tendeix cap a 40 m/s. Podem afi rmar que 40 m/s és realment la velocitat del cos a l’instant t 5 5 s.

Ho sabreu calcular més fàcilment quan conegueu el con-cepte matemàtic de límit i de derivada d’una funció.

t (s) vm(m/s)

5 - 6

5 - 5,55

5 - 5,1

5 - 5,01

5 - 5,001

5 - 5,0001

5 - 5,00001

43

41,5

40,3

40,03

40,003

40,0003

40,00003

Taula 1.6



Per tant, hem aplicat la defi nició de la velocitat instantània en un cas concret, el d’un moviment rectilini:

Dxv 5

D tlim

� 0 vm 5

D tlim

� 0 ———

D t

A partir d’ara anomenarem la vi simplement velocitat, i la representarem per v.

G. Acceleració

Podem aprofi tar tot el que hem explicat anteriorment d’aquesta magnitud, però tenint en compte que ara considerem la trajectòria rectilínia.

Acceleració mitjana

L’acceleració mitjana s’expressa de la manera següent si els intervals són fi nits:

Dvi v2 2 v1am 5 ——— 5 ————— D t t2 2 t1

Acceleració instantània

És l’acceleració mitjana en un interval de temps molt petit en una trajectòria recta.

Anàlogament al que hem vist amb la velocitat instantània, podem defi nir l’acceleració ins tantània com:

Dvia 5

D tlim

� 0 am 5

D tlim

� 0 ———

D t

L’anomenem simplement acceleració.

L’acceleració té el signe de Dv, ja que D t sempre és positiu.

En els apartats següents estudiarem dos tipus de moviments rectilinis, el moviment rectilini uniforme (MRU) i el moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA).

Si D v . 0 � Acceleració 1

Si D v , 0 � Acceleració 2

Si D v 5 0 � Acceleració 0, la velocitat es

manté constant

Recorda

3> Un cos es mou cap a l’esquerra amb una velocitat de 2,45 m/s. Quant val el vector velocitat? I la celeritat?

R: 22,45 m/s; 2,45 m/s

4> Determineu els signes de la velocitat, si augmen-ta o disminueix i quina acceleració mitjana s’obté amb el signe corresponent en els casos següents:

a) Un cos es mou cap a la dreta, amb una veloci-tat inicial de 15 m/s; quan han passat 30 s, la seva velocitat val 75 m/s.

b) Un cos es mou cap a la dreta, amb una veloci-tat inicial de 100 m/s; quan han passat 25 s, la seva velocitat val 20 m/s.

c) Un cos es mou cap a l’esquerra, amb una velo-citat inicial de 12 m/s; quan han passat 18 s, la seva velocitat val 72 m/s.

d) Un cos es mou cap a l’esquerra, amb una velo-citat inicial de 80 m/s; quan han passat 30 s, la seva velocitat val 15 m/s.

R: a) 2 m/s2; b) 23,2 m/s2; c) 23,33 m/s2; d) 2,17 m/s2

Activitats



j 1.5 Moviment rectilini uniforme (MRU)

A. Equació del moviment

Considerem una partícula que surt de la posició x0 en l’instant t0 (que no sempre ha de valer 0) i que passa per la posició x en l’instant t. Aplicant la defi nició de velocitat obtenim: Dx x 2 x0

v 5 ——— 5 ————— D t t 2 t0

Si aïllem x de l’expressió anterior, ens queda:

x 5 x0 1 v (t 2 t0) o x 5 x0 1 v D t

Aquesta expressió és l’equació del moviment rectilini uniforme, que ens permet calcular la posició del mòbil en qualsevol instant de temps. Fixeu-vos que ha estat deduïda partint de la defi nició de velocitat.

Si parlem d’una partícula que es mou en l’eix de les Y (moviment vertical), tenim:

y 5 y0 1 v (t 2 t0) o y 5 y0 1 v D t

Com són les altres magnituds? La velocitat és constant per la mateixa defi nició d’aquest moviment, per tant, l’acceleració és zero, ja que la velocitat no varia.

B. Representació gràfi ca

En cinemàtica normalment agafem com a variable independent el temps i com a varia-ble dependent, la posició, la velocitat o l’acceleració.

Gràfic velocitat-temps (v-t)

j Representem la velocitat en l’eix d’ordenades, ja que la considerem com a variable dependent; recordem que pot ser 1 o 2.

j Representem el temps en l’eix d’abscisses, ja que és la variable independent.

La representació gràfi ca del MRU serà d’aquest tipus (fi g. 1.14):

�

��" ��

��

�

��

��" ��

��

��

Fig. 1.14. a) Velocitat positiva;b) Velocitat negativa.

Si la velocitat d’una partícula és constant no varia ni el seu mòdul ni la seva direcció i, per tant, la trajectòria és rectilínia.

Important

El MRU es caracteritza per:

x 5 x0 1 v (t 2 t0) v 5 constant a 5 0

Important

Les funcions relacionen dues va-riables, la variable independent i la va riable dependent. Recordeu com es representen gràficament.

Recorda

El moviment d’una partícula és rectilini uniforme quan la seva velocitat és constant. Per tant la velocitat mitjana i la velocitat instantània coincideixen.EEl



�

��" ��

��

� ��

�rwq

r w q

�

��

��

��

��

�

��

� ��

� ��

��

�

Fig. 1.15

Fig. 1.16. Si sabem calcular aquesta àrea, trobarem el desplaçament de la partícula.

Fixeu-vos que de la fi gura anterior, tant en un cas com en l’altre, s’obté una recta pa-ral.lela a l’eix del temps, com era d’esperar tenint en compte que la velocitat es manté constant.

Els gràfi cs v-t ens poden donar alguna informació més del moviment (fi g. 1.15).

Calculem l’àrea ombrejada de la fi gura:

Àrea 5 v (t 2 t0) 5 v Dton t 2 t0 5 D t.

Recordem l’equació del moviment MRU:

x 5 x0 1 v (t 2 t0) o x 5 x0 1 v D t

Passem x0 al primer membre de la igualtat,

x 2 x0 5 v D t ; D x 5 v D t

Observem que l’àrea indicada en la fi gura 1.15 coincideix amb D x:

Àrea 5 D x 5 v D t

Això ens dóna el desplaçament de la partícula o l’espai recorregut.

Aquest fet es pot generalitzar en tots els gràfi cs velocitat-temps: el desplaçament coin-cideix amb l’àrea limitada per l’eix d’abscisses i la corba v (t), entre dos instants de temps determinats (fi g. 1.16).

Com hem de calcular aquesta àrea quan el gràfi c v-t no és una recta? Si fem petits in-tervals de temps, tindrem petits intervals on la velocitat es manté aproximadament constant. En la fi gura 1.16 n’hem fet un; la representació gràfi ca d’aquests petits inter-vals s’apropa a la fi gura d’un rectangle, àrea que sabem calcular.

La suposició que la velocitat es manté constant només és vàlida si aquests rectangles tenen una base sufi cientment petita, la qual cosa s’aconsegueix dividint indefi nidament l’interval de temps i passant al límit.

Matemàticament s’expressaria així:

D x 5 nlim� `

n

oi 5 1

D xi 5 nlim� `

n

oi 5 1

vi D ti

Gràfic posició-temps (x-t) o ( y-t)

j Representem la posició en l’eix d’ordenades, ja que la considerem com a variable dependent; recordem que pot ser 1 o 2.


La representació gràfi ca del MRU serà d’aquest tipus (fi g. 1.17):

a) b)

Fig. 1.17

a) Representa les velocitats positives; aug-ment de la posició a mesura que va pas-sant el temps.

b) Representa les velocitats negatives; dis-minució de la posició a mesura que va passant el temps.



Fixeu-vos que en tots dos casos s’obté també una recta. Ara bé, és una recta que no s’ha de confondre amb la recta de la trajectòria real.

Per poder explicar aquests gràfi cs, analitzem l’equació del moviment:

x 5 x0 1 v (t 2 t0) 5 x0 1 v D t

Per simplifi car fem t0 5 0 � x 5 x0 1 v t

Aquesta expressió té la forma de l’equació d’una recta donada en forma explícita, y 5 n 1 mx, on n és l’ordenada en l’origen i m és el pendent de la recta.

Fixeu-vos en l’equació del nostre moviment: n coincideix amb x0 (ordenada en l’origen o posició inicial), i m coincideix amb v (la velocitat), és a dir, el pendent. Si la veloci-tat és positiva, el pendent és positiu: la recta és creixent; si la velocitat és negativa, el pendent és negatiu: la recta és decreixent.

L’equació d’una recta donada en forma explícita és y 5 n 1 mx, on n és l’ordenada en l’origen (punt on la recta talla l’eix de les Y) i m és el pendent de la recta, que me-sura la inclinació d’a questa recta.

Recorda

Una bola es mou en línia recta cap a la dreta, amb les posicions i els temps que s’indiquen a la taula 1.7.

x (m) 0 4,6 9,2 13,8 18,4 23,0 27,0

t (s) 0 2 4 6 8 10 12

Taula 1.7

a) Comproveu que es tracta d’un moviment rectilini uni-forme.

b) Representeu els gràfi cs v-t i x-t.

c) Escriviu l’equació del moviment.

Resolució

a) Analitzem tres intervals i calculem la velocitat mitjana:

D x x2 2 x1v 5 —— 5 —————

D t t2 2 t1

4,6 2 0Entre t 5 0 i t 5 2 � 5 ————— 5 2,3 m/s 2 2 0

18,4 2 9,2Entre t 5 4 i t 5 8 � v 5 ————— 5 2,3 m/s 8 2 4

27,6 2 0Entre t 5 0 i t 5 12 � v 5 ————— 5 2,3 m/s 12 2 0

Podeu comprovar qualsevol altre interval i trobareu que dóna sempre v 5 2,3 m/s; per tant, es tracta d’un MRU.

Calculem també l’acceleració aplicant la seva defi nició:

D v v2 2 v1a 5 —— 5 —————

D t t2 2 t1

Com que D v 5 v2 2 v1 5 2,3 2 2,3 5 0, comprovem que l’acceleració és zero i, per tant, es tracta d’un MRU.

b) Les representacions gràfi ques (fi g. 1.18), segons les dades de la taula 1.7, són les següents:

c) L’equació del moviment d’un MRU és:

x 5 x0 1 v (t 2 t0) 5 x0 1 v D t

Determinem els valors de t0, x0 i v.

De les dades inicials tenim que t0 5 0 i x0 5 0, i que la velocitat determinada en l’apartat a) val v 5 2,3 m/s.

Posant aquests valors en l’equació del moviment, tro-bem que la bola es mou segons l’equació: x 5 2,3 t. Podeu obtenir la taula de valors inicials (taula 1.7) donant valors al temps en aquesta última equació.

� ��$��

��

� ��

� ��

� ��

�!

��

�%��

&��

%�

Fig. 1.18

Exemple 6

U



Sovint representem sobre uns mateixos eixos de coordenades els gràfi cs po sició-temps de diversos moviments, la qual cosa ens permet comparar-los. Per exemple, podem veure quina distància els separa a cada instant, podem comprovar on s’encreuen (fi g. 1.19), etc.

�

�

�' ��(� ��'��

�

Fig. 1.19. Gràfi c posició-temps de dos mòbils simulta-nis; representem sobre uns mateixos eixos els gràfi cs x-t de dos moviments que s’encreuen, un amb v positiva i l’altre amb v negativa.

Per una carretera rectilínia circula un mòbil A, a una velocitat constant de 72 km/h, i passa davant un rètol que indica que hi ha una gasolinera a 1 500 m. Dos segons més tard, un altre mòbil B passa per la gasolinera a 108 km/h, circulant en sentit con trari (fi g. 1.20).

a) Escriviu les equacions del moviment de cada mòbil.

b) Calculeu en quin instant i en quin punt es troben els dos mòbils.

Resolució

Prèviament, expressem totes les dades en el SI. Apliquem factors de con versió:

km 1 000 m 1 hMòbil A: 72 ? —— ? ————— ? ———— 5 20 m/s

h 1 km 3 600 s

km 1 000 m 1 hMòbil B: 108 ? —— ? ————— ? ———— 5 30 m/s

h 1 km 3 600 s

)�"� ��

��

��

Fig. 1.20

��

��

��

��

Exemple 7



a) Els dos mòbils circulen amb moviment rectilini i uniforme (MRU) i l’equació del moviment és:

x 5 x0 1 v (t 2 t0) 5 x0 1 v D t

Per poder escriure les respectives equacions del moviment, hem de fi xar el sistema de referència que utilitzarem (fi g. 1.20).

L’origen de la posició l’agafem on es troba el rètol, mentre que el del temps el prenem quan hi passa el mòbil A.

Mòbil A: x0 5 0, t0 5 0 i v 5 20 m/s; l’equació del moviment del mòbil A és, en substituir a l’equació general:

x 5 20 t

Mòbil B: x0 5 1 500 m, t0 5 2 s i v 5 230 m/s (va en sentit contrari al mòbil A); l’equació del moviment del mòbil B és, substituint en l’equació general:

x 5 1 500 2 30 (t 2 2)

x 5 1 500 2 30 t 1 60

x 5 1 560 2 30 t

b) Ho podem resoldre numèricament o gràfi cament.

Numèricament: en el moment en què es troben els dos mòbils, coinci-deixen les posicions respectives. Per tant, igualem les dues equacions posició-temps. x 5 20 t

x 5 1 560 2 30 t

20 t 5 1 560 2 30 t

50 t 5 1 560

1 560t 5 ———— 5 31,2 s

50

El resultat ens indica que es troben 31,2 s després d’haver passat el mòbil A per davant del rètol.

Si substituïm el temps en una de les dues equacions, obtenim la posi-ció en què es troben.

x 5 20 ? 31,2 5 624 m

Es troben a 624 m del rètol.

Podeu comprovar que dóna el mateix valor substituint el temps a l’equa ció del mòbil B.

Gràfi cament: fem una taula de valors de cada mòbil (taules 1.8 i 1.9). Donant valors al temps trobarem els valors de la posició, i els repre-sentem en un mateix gràfi c posició-temps. El punt on es tallen les dues rectes, que representen els dos moviments, ens dóna la posició i l’instant de temps en què es troben (fi g. 1.21).

Mòbil Ax 5 20 t

t (s) x (m)

0

10

20

30

40

50

0

200

400

600

800

1 000

Mòbil Bx 5 1 560 2 30 t

t (s) x (m)

2

10

20

30

40

50

1 500

1 260

960

660

360

60

Taula 1.8

Taula 1.9

��

��

��

��

��

��*��

�� %�� !�

+�,��

+�,��

Fig. 1.21. Les dues rectes representades es tallen en el punt que correspon a x 5 624 m i t 5 31,2 s.

6



j 1.6 Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA)

5> Un automòbil es troba inicialment (t0 5 0) a la posició x0 5 3 m, i quan han passat 15 s es troba a la posició x 5 53 m. Si suposem que el movi-ment és rectilini i uniforme:

a) Feu un esquema i calculeu la velocitat que porta.

b) En quina posició es trobarà quan hagin passat 34 s?

c) Dibuixeu els gràfi cs posició-temps i velocitat-temps.

R: a) 3,33 m/s; b) 116,33 m

6> Un automòbil es troba inicialment a l’origen de coordenades i es mou cap a la dreta i en línia recta a una velocitat constant de 72 km/h; en el mateix moment, un motorista es troba a 500 m de l’automòbil i es mou cap a l’esquerra a una ve-locitat constant de 54 km/h.

a) Representeu gràfi cament els dos moviments en un mateix gràfi c posició-temps i determi-neu gràfi cament en quin moment es troben i en quina posició ho fan.

b) Determineu a partir de les equacions del mo-viment en quin moment es troben i en quina posició ho fan; compareu els resultats amb l’apartat a).

R: 285,71 m, 14,28 s

7> En l’enlairament vertical d’un transbordador espa-cial els motors han de generar la força necessària per vèncer la força gravitatòria de la Terra. Du-rant un bon tram, la velocitat que porta es manté constant; això vol dir que en intervals iguals de temps, fa recor reguts iguals. Els tècnics aeronàu-tics ens han proporcionat les dades que aparei-xen a la taula 1.10.

a) Quina és la precisió en les mesures de temps i de posició?

b) Comproveu que es tracta d’un moviment recti-lini uniforme.

c) Representeu els gràfi cs v-t i y-t.

d) Escriviu l’equació del moviment.

R: a) 10 ms, 1 mm; d) y 5 3,4 t

t (s) y(m)

0

2,23

2,57

2,91

3,14

3,38

3,55

0

7,582

8,738

9,894

10,676

11,492

12,070Taula 1.10

A. Equació de la velocitat

Considerem que un cos surt de la posició determinada x0 en l’instant de temps t0 (que no sempre ha de valer 0) a una velocitat v0 i passa per la posició x en l’instant de temps t a una velocitat v. Si apliquem la defi nició d’acceleració tindrem:

D v v 2 v0a 5 —— 5 ————

D t t 2 t0

El moviment d’un cos és uniformement accelerat quan la seva acceleració és constant. Per tant, l’acceleració mitjana i l’acceleració instantània coincideixen.EEl

Activitats



�

�

��" ��

��

�

� �

��" ��

��

��

a

a 5 constant

tt0 t

D t 5 t 2 t0

arwq

r w q

Fig. 1.22. a) Representa una acceleració constant positiva; b) Representa una acceleració constant negativa.

Fig. 1.23

Si aïllem v de l’expressió anterior, ens queda:

v 5 v0 1 a (t 2 t0) 5 v0 1 a Dt

Aquesta expressió s’anomena equació de la velocitat MRUA i ens permet calcular la velocitat del mòbil en qualsevol moment. Fixeu-vos que ha estat deduïda de la defi nició d’acceleració.

B. Representacions gràfi ques. Equació del moviment

Gràfic acceleració-temps (a-t)

j Representem l’acceleració en l’eix d’ordenades, ja que la considerem com a variable dependent; recordem que pot ser 1 o 2.


La representació gràfi ca del MRUA serà d’aquest tipus (fi g. 1.22).

Fixeu-vos que tant en un cas com en l’altre s’obté una recta paral.lela a l’eix del temps, com és d’esperar tenint en compte que pel MRUA l’acceleració és constant al llarg del temps.

Els gràfi cs a-t poden donar alguna informació més quant al moviment (fi g. 1.23).

Calculem l’àrea ombrejada de la fi gura,

Àrea 5 a (t 2 t0) 5 a Dton t 2 t0 5 Dt.

Recordem l’equació de la velocitat del MRUA:

v 5 v0 1 a (t 2 t0) o v 2 v0 5 a Dt

passem v0 al primer membre de la igualtat,

v 2 v0 5 a Dt

D v 5 a Dt

Observem que l’àrea indicada a la fi gura 1.23 coincideix amb D v:

Àrea 5 D v 5 a Dt

que ens dóna la variació de la velocitat de la partícula en un interval de temps D t.



Gràfic velocitat-temps (v-t)

j Representem la velocitat en l’eix d’ordenades, ja que la considerem com a variable dependent; recordem que pot ser 1 o 2.

j Representem el temps en l’eix d’abscisses, ja que és la variable inde pendent.

La representació gràfi ca del MRUA serà d’aquest tipus (fi g. 1.24):

Fixeu-vos que tant en un cas com en l’altre s’obté una recta.

Fem el mateix raonament que quan hem analitzat els gràfi cs posició-temps del MRU, ja que veiem que són similars; l’únic que varia és que ara en l’eix d’ordenades representem la velocitat,

v 5 v0 1 a (t 2 t0) o v 5 v0 1 a Dt

si t0 5 0 � v 5 v0 1 a t

v0 és l’ordenada en l’origen o velocitat inicial i a, l’acceleració, és el pendent de la rec-ta. Si l’acceleració és positiva, el pendent és positiu: la recta és creixent; si l’accelera-ció és negativa, el pendent és negatiu: la recta és decreixent.

Per conèixer el pendent de la recta es pot calcular l’acceleració entre dos instants deter-minats. D v v2 2 v1

a 5 —— 5 ———— D t t2 2 t1

El pendent en qualsevol punt de la representació gràfi ca v-t coincideix amb l’acceleració de la partícula. En les representacions gràfi ques de la velocitat del MRU (fi g. 1.14) ob-servem que el pendent és zero, que és el valor de l’acceleració en el MRU.

Del gràfi c v-t (fi g. 1.25) deduirem l’equació del moviment.

Com hem dit en explicar els gràfi cs v-t del MRU (fi g. 1.16), si calculem l’àrea marcada en la fi gura 1.25, obtindrem el desplaçament de la partícula i, a partir d’aquest, l’equa-ció del moviment.

L’àrea ombrejada és l’àrea d’un trapezi, que podem descompondre en un rectangle i un triangle. Rectangle: Àrea 5 v0 (t 2 t0)

(v 2 v0) (t 2 t0)Triangle: Àrea 5 ————————

2

a) b)

��$��

��

��

��

�

� ��

��

��

r u u w u u qruwuq

rwq

Fig. 1.24. a) Representa una acceleració positiva; augment de la velocitat a mesura que va passant el temps; b) Representa una acceleració negativa; disminució de la velocitat a mesura que va pas-sant el temps.

Fig. 1.25

Per resoldre un problema gràfica-ment sempre hem de fixar-nos molt bé en allò que es representa en l’eix d’ordenades.

Recorda



D v v 2 v0De la defi nició d’acceleració: a 5 —— 5 ———— � v 2 v0 5 a (t 2 t0) D t t 2 t0

Ho substituïm en l’àrea del triangle i ens queda:

1Àreatriangle 5 — a (t 2 t0)2

2

Si sumem les dues àrees 1

Àrea 5 v0 (t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2

2

obtenim, com hem dit, el desplaçament de la partícula (x 2 x0):

Àrea 5 D x 5 x 2 x0

Si igualem, ens queda: 1

D x 5 x 2 x0 5 v0(t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2

2

I aïllant x trobem

1x 5 x0 1 v0(t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2

2

que correspon a l’equació del moviment rectilini uniformement accelerat.

Gràfic posició-temps (x-t) o (y-t)

j Representem la posició en l’eix d’ordenades, ja que la considerem com a variable dependent; recordem que pot ser 1 o 2.


1L’equació del moviment, x 5 x0 1 v0 (t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2, és una equació de se- 2gon grau; per tant, la seva representació gràfi ca és una paràbola (fi g. 1.26).

�

��

��

��

��

�

��

��

�

��

��

�

��

��

� � � �

� ��

� ��

� ��

Fig. 1.26. a) Representa les acceleracions positives; b) Representa les acceleracions negatives.

L’expressió de l’equació del movi-ment del MRUA en la component y és: 1y 5 y0 1 v0 (t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2 2

Important



Per fi nalitzar l’estudi del MRUA, recordem les dues expressions que caracteritzen aquest moviment: 1 1

x 5 x0 1 v0(t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2 5 x0 1 v0 Dt 1 — a D t2

2 2

v 5 v0 1 a0(t 2 t0) 5 v0 1 a Dt

D’aquestes dues expressions, se’n pot deduir una altra en què no intervé el temps.

Aïllem D t de la segona expressió:

v 2 v0D t 5 ————

a

Substituïm aquest D t en l’altra expressió:

v 2 v0 (v 2 v0)2

x 5 x0 1 v0 1————2 1 ————— � a 2 a

v0 v v02 v2 2 v v0 v0

2

� x 2 x0 5 ——— 2 —— 1 —— 2 ——— 1 —— a a 2 a 2 a 2 a

I calculem el comú denominador:

2 v v0 2 v02 v2 2 v v0 v0

2

D x 5 ——— 2 ——— 1 —— 2 ———— 1 —— 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a

Després d’operar ens queda:

v2 v02 v2 2 v0

2

D x 5 ——— 2 ——— 5 ————— 2 a 2 a 2 a

Si aïllem les velocitats obtenim l’expressió que relaciona la velocitat amb la posició:

v2 2 v02 5 2 a D x

L’ús d’aquesta expressió comporta una pèrdua d’informació del signe de la velocitat, ja que està elevada al quadrat.

Hem de tenir en compte el signe de totes les magnituds cinemàti-ques, ja que són magnituds vecto-rials.

Recorda

El MRUA es caracteritza per:

1x 5 x0 1 v0(t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2 2v 5 v0 1 a (t 2 t0)

a 5 constant

Important

Un cotxe circula per un tram de carretera recta a una velocitat de 8 m/s, agafa una acceleració constant i en 4 s la seva velocitat augmenta fi ns a 72 km/h.

a) Calculeu la seva acceleració.

b) Calculeu l’espai recorregut en aquest temps.

c) Feu el gràfi c x-t i v-t, i determineu la posició i la ve-locitat del cotxe quan han passat 2,5 s; feu-ho tam-bé numèri cament.

Resolució

Prèviament, expressem totes les dades en el SI.

km 1 000 m 1 h72 —— ?———— ? ———— 5 20 m/s

h 1 km 3 600 s

També hem de fi xar l’origen de coordenades i l’origen del temps, que prenem quan el cotxe circula a v 5 8 m/s, on x0 5 0, t0 5 0.

Exemple 8

U



a) Com que l’acceleració és constant apliquem la seva defi nició:

D v v 2 v0 20 2 8 12a 5 —— 5 ———— 5 ———— 5 —— 5 3 m/s2

D t t 2 t0 4 2 0 4

b) De l’equació del moviment rectilini uniformement accelerat:

1D x 5 v0 (t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2 5

2 1

5 8 ? 4 1 — 3 ? 42 5 32 1 24 5 56 m 2

c) Gràficament: per fer el gràfic x-t hem d’escriure l’equació del moviment, assignant només valors fi ns a 4 s perquè el problema només ens dóna dades fi ns a aquest temps, a partir de 4 s no sabem si continua amb un MRUA.

1x 5 x0 1 v0 (t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2

2

Substituint els valors d’x0, t0 i v0, obtenim l’equació del moviment: 1

x 5 8 t 1 — 3 t2 5 8 t 1 1,5 t2

2

Construïm una taula de valors (taula 1.11) per repre-sentar el gràfi c x-t (fi g. 1.27).

t (s) 0 1 2 3 4

x (m) 0 9,5 22 37,5 56

Taula 1.11

Numèricament: en la representació gràfi ca observem que en el temps 2,5 s la posició del cotxe és de 29,375 m. Agafem l’equació del moviment i substi-tuïm el temps per 2,5 s.

x 5 8 t 1 1,5 t2 5 8 ? 2,5 1 1,5 ? 2,52 5

5 29,375 m

Gràfi cament: per fer el gràfi c v-t hem d’escriure l’ex-pressió que relacio na la velocitat en funció del temps. Recordem que només hem de donar valors fi ns a 4 s perquè a partir de 4 s no sabem si continua amb un MRUA.

v 5 v0 1 a (t 2 t0)

Si substituïm els valors d’a, t0 i v0, obtindrem aques-ta relació:

v 5 8 1 3 t

Construïm una taula de valors (taula 1.12) per repre-sentar el gràfi c v-t (fi g. 1.28).

t (s) 0 1 2 3 4

v (m/s) 8 11 14 17 20

Taula 1.12

Numèricament: en la representació gràfi ca obser-vem que en el temps 2,5 s la velocitat del cotxe és de 15,5 m/s. En l’expressió de la velocitat en funció del temps substituïm el temps per 2,5 s.

v 5 8 1 3 t 5 8 1 3 ? 2,5 5 15,5 m/s

Fixeu-vos que el gràfi c v-t és una recta de pendent po sitiu, tal com correspon a un moviment rectilini uni formement accelerat amb un valor positiu de l’accele ració.

��

��

��

� � � ��

��

��

��

��

��

��

�&��!

Fig. 1.27

��$��

��

��

��

��

��

Fig. 1.28



El gràfi c de la fi gura 1.29 representa la velocitat en funció del temps d’una partícula que surt de l’origen de coordenades i segueix un moviment rectilini.

a) Comenteu-lo.

b) Calculeu l’espai recorregut de t 5 0 a t 5 15 s.

c) Calculeu l’acceleració en cada tram.

d) Feu el gràfi c posició-temps de tot el moviment.

e) Feu el gràfi c acceleració-temps de tot el moviment.

Resolució

a) Segons l’enunciat, la partícula segueix un moviment rectilini. Això signifi ca que la partícula sempre es mou sobre la mateixa recta de t 5 0 a t 5 15 s, en-cara que variïn el valor de la velocitat i el sentit del moviment.

Del gràfi c velocitat-temps deduïm que aquesta par-tícula varia el seu moviment tres vegades; conside-rem-lo en tres trams, i analitzem-los un a un.

Tram 1: de t 5 0 s a t 5 5 s

La velocitat augmenta des de 10 m/s fi ns a 30 m/s uniformement. Observeu que el pendent de la recta és constant, es tracta d’un MRUA amb acceleració positiva.

Tram 2: de t 5 5 s a t 5 10 s

Observem que la velocitat no varia i va a 30 m/s en tot el tram, es tracta d’un MRU.

Tram 3: de t 5 10 s a t 5 15 s

En aquest tram disminueix la velocitat uniforme-ment des de 30 m/s fi ns a 20 m/s. Es tracta d’un MRUA; en aquest cas l’acceleració és negativa.

b) Espai recorregut:

Calculant l’àrea compresa pel gràfi c en cada tram, en podem saber el desplaçament corresponent. Si els sumem, obtindrem el desplaçament total.

Resolem aquest apartat calculant les àrees de cada tram, i en l’apartat d) ho comprovarem amb l’equa-ció del moviment de cada tram.

Tram 1: triangle 1 rectangle

(30 2 10) ? 5Àrea 1 5 ——————— 1 10 ? 5 5 50 1 50 5 100 m 2

Tram 2: rectangle

Àrea 2 5 30 ? (10 2 5) 5 150 m

Tram 3: triangle 1 rectangle

(30 2 20) ? (15 2 10)Àrea 3 5 ——————————— 1 20 ? (15 2 10) 5 2

5 25 1 100 5 125 m

Àrea (total) 5 o Àrees 5 100 1 150 1 125 5 375 m

c) Calculem l’acceleració aplicant la seva defi nició:

D v v2 2 v1a 5 —— 5 —————

D t t2 2 t1

Tram 1: 30 2 10

a1 5 ————— 5 4 m/s2

5 2 0

Tram 2:

a2 5 0 ; hem vist en l’apartat a) que era un MRU.

Tram 3: 20 2 30

a3 5 ————— 5 22 m/s2

15 2 10

d) Per fer la taula que ens servirà per al gràfi c, cal ob-tenir les equacions del moviment de cada tram. Això servirà per comprovar el càlcul de l’espai recorregut.

Utilitzarem les equacions generals corresponents al tipus de moviment de cada tram. Recordem-les:

1MRUA: x 5 x0 1 v0 (t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2

2

MRU: x 5 x0 1 v0 (t 2 t0)

��$��

��

��

��

��

Fig. 1.29

Exemple 9

E



També hem de tenir en compte que la posició fi nal de cada tram correspon a la posició inicial del tram següent.

Considerem en el primer tram la posició inicial zero.

Tram 1:

1x1 5 10 t 1 — 4 t2 5 10 t 1 2 t2

2

És l’equació del moviment en aquest tram, que va de t 5 0 a t 5 5 s.

Si substituïm el temps t 5 5 s en l’equació del mo-viment veiem que la partícula es troba a:

x 5 10 ? 5 1 2 ? 52 5 100 m

Tram 2:

x2 5 100 1 30 (t 2 5) 5 30 t 2 50

És l’equació del moviment en aquest tram, que va de t 5 5 s a t 5 10 s.


x 5 30 ? 10 2 50 5 250 m

Tram 3: 1

x3 5 250 1 30 (t 2 10) 2 — 2 (t 2 10)2 � 2

� x3 5 2150 1 50 t 2 t2

És l’equació del moviment en aquest tram, que va de t 5 10 a t 5 15 s.


x 5 2150 1 50 ? 15 2 152 5 375 m

Observeu que el desplaçament total trobat amb les equacions del moviment coincideix amb el càlcul d’àrees que hem fet en l’apartat b) (taula 1.13).

t (s) 0 2 4 5 7 10 12 14 15

x (m) 0 28 72 100 160 250 306 354 375

Taula 1.13

Amb aquestes dades obtenim el gràfi c x-t (fi g. 1.30):

En la representació gràfi ca observem que hi ha tres trams diferenciats, són els tres trams en què hem di-vidit l’exemple. Hi ha un tram on la representació és una recta que correspon al tram 2, on el moviment és rectilini i uniforme, i els altres dos trams, l’1 i el 3, on la representació és una paràbola i on hem vist que el moviment és rectilini uniformement accelerat.

e) Fem la taula de valors (taula 1.14) a partir de les dades obtingudes en l’apartat c) i representem el gràfi c a-t:

Tram 1 2 3

a (m/s2) 4 0 22

Representació gràfi ca (fi g. 1.31):

En aquesta representació tornem a diferenciar els tres trams en què hem dividit l’exemple i es torna a observar que el tram 2 correspon a un MRU i els trams 1 i 3 corresponen a un MRUA.

��

��

��

� ��

!�

��

��

��

��

��

��

�!�

Fig. 1.30

(m/s2)

Fig. 1.31

Taula 1.14



Ens trobem en una cursa de 1 500 m llisos; la situació en el tram fi nal és la que es mostra a la fi gura 1.32.

j El dorsal 7 triga 1 min a acabar la cursa i arriba a una velocitat de 36 km/h, i ha corregut els últims 500 m amb acceleració constant.

j El dorsal 20 passa pel punt A i acaba la cursa a 32 km/h; des del punt A ha cor-regut el que queda de cursa a velocitat constant.

a) A quina velocitat va el dorsal 7 quan passa per la posició B i quina acceleració du en els últims 500 m?

b) Quin corredor guanya la cursa i quant de temps triga a arribar l’altre?

c) En quina posició es troba el que queda segon quan el primer arriba a la meta?

ruwuq

rwqA B

Fig. 1.32. Mesurem el temps i la velocitat a partir de la si tuació que es mostra en el dibuix.

Exemple 10



Resolució

Ens ajudem del dibuix (fi g. 1.32) per determinar el sis-tema de referència que farem servir (taula 1.15):

Recordem les equacions generals del moviment.

1MRUA: x 5 x0 1 v0 (t 2 t0) 1 — a (t 2 t0)2

2

v 5 v0 1 a (t 2 t0)

MRU: x 5 x0 1 v (t 2 t0)

Prèviament posem totes les magnituds en unitats del SI.

Aplicant factors de conversió passem de km/h a m/s:

km 1 000 m 1 h 36 —— ? ———— ? ———— 5 10 m/s h 1 km 3 600 s

km 1 000 m 1 h 32 —— ? ———— ? ———— 5 8,88 m/s h 1 km 3 600 s

60 s 1 min ? ———— 5 60 s 1 min

a) Plantegem les equacions del moviment i de la veloci-tat per al dorsal 7.

11 500 5 1 000 1 v0 60 1 — a 602

2

10 5 v0 1 a 60

Resolem el sistema d’equacions i trobarem el valor de v0 i a.

El solucionem per reducció.

Multipliquem per 260 l’equació de la velocitat:

500 5 60 v0 1 1 800 a

2600 5 260 v0 2 3 600 a

1002100 5 21 800 a � a 5 ——— 5 0,055 m/s2

1 800

Si substituïm a en una de les dues igualtats, trobem:

v0 5 10 2 0,055 ? 60 5 6,66 m/s

Passem el resultat a km/h, ja que en l’enunciat les unitats es donen així.

Utilitzem factors de conversió:

m 1 km 3 600 s6,66 — ? ———— ? ———— 5 24 km/h

s 1 000 m 1 h

b) El temps que tarda el dorsal 7 ja el sabem, és de 60 s.

Si apliquem l’equació del moviment per al dorsal 20, trobarem el temps; recordem que es mou a v cons-tant:

1 500 5 990 1 8,88 t

510Si aïllem t, trobem: t 5 —— 5 57,37 s 8,88

Aquest temps és més petit que el del dorsal 7; per tant, és el dorsal 20 qui guanya la cursa i el dor-sal 7 tar darà:

60 2 57,37 5 2,63 s més que el dorsal 20 a arribar a la meta.

c) Per trobar la posició hem d’aplicar l’equació del mo-viment del dorsal 7

1x 5 1 000 1 6,66 t 1 — 0,055 t2

2

i substituir el temps del guanyador, que ha estat de 57,37 s:

1x 5 1 000 1 6,66 ? 57,37 1 — 0,055 ? 57,372 5

2

5 1 472,59 m

Aquesta és la posició en què es troba el dorsal 7 en el moment en què el dorsal 20 arriba al fi nal de la cursa.

Dorsal 7 Dorsal 20

x0 5 1 000 m

t0 5 0

v0 5 ?

vf 5 36 km/h

MRUA

x0 5 990 m

t0 5 0

v0 5 32 km/h

MRU

Taula 1.15



8> Un automòbil pot arribar, partint del repòs, a la velocitat de 100 km/h en 10,5 s. Si suposem que és un moviment rectilini uniformement accele-rat, calculeu l’acceleració i l’espai recorreguts en aquest temps.

R: 2,64 m/s2; 145,53 m

9> Un motorista va a una velocitat de 54 km/h i en 50 m la redueix fi ns a 36 km/h. Calculeu l’accele-ració i el temps que ha tardat a reduir-la.

R: 21,25 m/s2; 4 s

10> Representeu els gràfi cs v-t i x-t d’un mòbil que parteix del repòs i es desplaça amb una accelera-ció constant de 3 m/s2 des de l’instant t 5 0 fi ns a t 5 100 s.

11> Observeu la fi gura 1.33 i determineu:

a) La classe de moviment en cada tram.

b) L’acceleració en cada tram.

c) La distància recorreguda en cada tram.

d) La distància total que ha recorregut.

e) La velocitat que porta el cos als 7 s, als 12 s i als 18 s. Trobeu-la numèricament i també grà-fi cament.

R: b) 0 m/s2, 24 m/s2, 0 m/s2, 1 m/s2; c) 100 m, 50 m, 0 m, 50 m; d) 200 m; e) 12 m/s, 0 m/s, 3 m/s

� � ��

��

��

�

��

��

��

��

Fig. 1.33

j 1.7 Moviment sota l’acció de la gravetat terrestre

Tots hem observat la caiguda d’algun cos sobre la superfície terrestre, però potser no ens hem parat a pensar com ha caigut: la velocitat amb què arriba a terra, el temps que ha tardat a arribar-hi, la infl uència que tenen l’alçada des d’on el deixem caure, la forma del cos, el material, si fa vent, etc.

Refl exionem sobre aquesta situació, tal com va fer Galileu al segle XVII, el qual, després de molts experiments, va afi rmar: «Tots els cossos cauen amb moviment uniformement accelerat, independentment de la seva massa i de la seva forma, i amb el mateix valor de l’ac celeració.»

Més endavant veurem que els cossos situats a prop de la Terra són atrets per la força de la gravetat. En punts propers a la superfície terrestre l’acceleració de caiguda dels cos-sos és pràcticament constant i s’anomena acceleració de la gravetat i la designem amb el símbol �g.

Tota acceleració és una magnitud vectorial. Per tant, per determinar �g, a més del seu mòdul, que té un valor aproximat de 9,8 m/s2, cal saber-ne la direcció i el sentit.

L’acceleració �g sempre està dirigida al centre de la Terra. Per tant, en punts propers a la Terra, s’escull un sistema de referència tal que la direcció de �g coincideix amb l’eix Y, i el seu sentit és negatiu (2). És a dir, �g és un vector en la direcció Y i de sentit nega-tiu (fi g. 1.34).

Y

0 X

gg

g

g

+

+

–

–

Fig. 1.34

Activitats



Pensem una altra vegada en l’afi rmació de Galileu. No sempre és certa, ja que podem fer l’observació següent: quan deixem caure al mateix moment des de dalt de la pissarra de l’aula un retolador i un paper (fi g. 1.35), veurem que no arriben al terra en el mateix moment ni a la mateixa velocitat.

A causa dels efectes del fregament amb l’aire, primer caurà el retolador i després el paper; el retolador caurà segurament amb la mateixa direcció, però el paper haurà va-riat aquesta direcció.

Perquè l’afi rmació de Galileu sigui vàlida cal fer algunes aproximacions:

j Considerem negligibles els efectes de fregament amb l’aire. Observem sempre que els cossos més lleugers cauen més lentament (el paper és més lleuger) i observem tam-bé la forma dels cossos: com més gran és el cos, més gran és l’efecte de fregament amb l’aire (llanceu un foli arrugat i un sense arrugar, i observeu el canvi).

j L’acceleració de la gravetat varia lleugerament d’uns punts als altres de la superfície terrestre: dismi-nueix en augmentar la distància al centre de la Terra. Nosaltres la po-dem considerar constant, ja que les altures a les quals farem referència són molt petites en comparació amb el radi de la Terra (6370 km) (fi g. 1.36).

Com es pot comprovar que la hipòte-si de Galileu és certa?

Si aconseguim treure l’aire d’un reci-pient de vidre del laboratori (campa-na de buit) mitjançant una bomba de buit, i fem una observació (fi g. 1.37) similar a la d’abans, veurem que els cossos que hem posat dins el reci-pient arriben a terra al mateix temps i amb la mateixa velocitat.

Fig. 1.35. a) Agafem un paper i un retolador, en t 5 t0; b) Deixem anar els objectes i els observem en t0 1 Dt.

t 5 t0 t 5 t0 1 D t

9,83 m/s2

9,78 m/s2

equador

S

N

Fig. 1.36. Variació de g en la superfície terres tre.

Fig. 1.37. En el buit, els cossos cauen a la mateixa velocitat.

a) b)



A. Equacions del moviment i de la velocitat

Considerem el moviment d’un cos que es llança verticalment des de la superfície de la Terra o bé que es llança verticalment (cap amunt o cap avall) des d’una certa alçada respecte de la superfície terrestre. Independentment del valor inicial de la velocitat, que serà en la direcció Y, el cos seguirà un moviment rectilini uniformement accelerat amb una acceleració �g.

Com que es tracta d’un MRUA, l’equació del moviment serà igual a la que hem estudiat en el moviment horitzontal, però la posició que fem servir ara és la coordenada y, ja que es tracta d’un moviment vertical, i el valor de l’acceleració és g:

1 1y 5 y0 1 v0(t 2 t0) 1 — g (t 2 t0)2 5 y0 1 v0 D t 1 — g Dt2

2 2

I l’equació de la velocitat en funció del temps és:

v 5 v0 1 g (t 2 t0) 5 v0 1 g Dt

a 5 g 5 29,8 m/s2

El signe menys indica que l’accele-ració té el sentit negatiu de l’eix Y.

Fixa-t’hi

Des de dalt d’un bloc de pisos es deixa caure una pilota. Si arriba a terra amb una velocitat de 20 m/s:

a) Quant de temps tarda a arribar a baix?

b) Quina alçària té el bloc de pisos?

c) Escriviu l’equació del moviment i l’equació de la velocitat.

Resolució

Per començar, fem la representació esquemàtica del dibuix (fi g. 1.38) i indi-quem l’origen de coordenades, és a dir, l’origen de la posició i del temps.

a) L’origen de la posició és el terra. L’origen del temps és quan deixem caure la pilota.

Equació del moviment i de la velocitat:

1 1y 5 y0 1 v0(t 2 t0) 1 — g (t 2 t0)2 5 y0 1 v0 D t 1 — g D t2

2 2

v 5 v0 1 g (t 2 t0) 5 v0 1 g Dt

Dades que tenim:

Quan es deixa caure la pilota Quan arriba a terra

v0 5 0, deixem caure la pilota v 5 220 m/s, és de baixada

t0 5 0 t 5 l’hem de determinar

y0 5 alçària del bloc de pisos y 5 0, és l’origen de la posició

g 5 29,8 m/s2 g 5 29,8 m/s2

X

Y

y0

t0 5 0

Fig. 1.38

Exemple 11

D



Substituïm aquestes dades en les equacions del mo-viment i de la velocitat:

10 5 y0 2 — 9,8 t2 5 y0 2 4,9 t2

2

220 5 29,8 t

D’aquesta última igualtat obtenim el temps:

20t 5 —— 5 2,04 s

9,8

Fixeu-vos en la importància del signe tant de la ve-locitat com de l’acceleració. Si no es posen correc-tament, el càlcul de temps pot ser erroni.

b) Si substituïm el temps en l’altra igualtat, trobem:

y0 5 4,9 ?2,042 5 20,4 m

c) Equació del moviment: y 5 20,4 2 4,9 t2

Equació de la velocitat: v 5 29,8 t

Des d’un helicòpter llancem verticalment cap avall una pedra amb una velo-citat de 10 m/s. La pedra tarda 15 s a arribar a terra.

a) A quina alçada vola l’helicòpter?

b) A quina velocitat arriba la pedra a terra?

c) Escriu l’equació del moviment i de la velocitat de la pedra.

Resolució

Comencem dibuixant esquemàticament el problema (fi g. 1.39), i asse nya lem l’origen de coordenades, és a dir, l’origen de la posició i del temps.

a) i b) L’origen de la posició és el terra. L’origen del temps és quan tirem la pedra.

Equació del moviment i de la velocitat: 1 1

y 5 y0 1 v0(t 2 t0) 1 — g (t 1 t0)2 5 y0 1 v0 D t 1 — g D t2

2 2

v 5 v0 1 g (t 2 t0) 5 v0 1 g D t

Dades que tenim:

Quan es llança la pedra Quan arriba a terra

v0 5 210 m/s, és de baixada v 5 l’hem de determinar

t0 5 0 t 5 15 s

y0 5 altura inicial y 5 0, és el nostre origen de referència

g 5 29,8 m/s2

Substituïm aquestes dades en les equacions del moviment i de la velocitat.

1 10 5 y0 2 10 ? 15 2 — 9,8 ? 152 � y0 5 10 ? 15 1 — 9,8 ? 152 5 1 252,5 m

2 2

v 5 210 2 9,8 ? 15 � v 5 2157 m/s

c) Equació del moviment: y 5 1 252,5 2 10 t 2 4,9 t2

Equació de la velocitat: v 5 210 2 9,8 t

�

��

��

�

�

Fig. 1.39

Exemple 12

D



Quan llancem qualsevol cos cap amunt observem que puja fi ns a una certa altura, que dependrà de la velocitat inicial, i arriba fi ns a un punt màxim o altura màxima, mo-ment en què la velocitat s’anul.la, i llavors el cos comença a baixar; la velocitat ha canviat de signe, i es demostra que el cos arriba a terra amb la mateixa velocitat del llançament però amb el signe canviat, com veurem en l’exemple següent.

Es llança un cos cap amunt i al cap de 2 s és a 40 m d’altura. Calculeu la velocitat inicial i l’altura màxima a què arribarà.

Resolució

Fem la representació esquemàtica del problema (fi g. 1.40), i asse nyalem l’ori-gen de coordenades, és a dir, l’origen de la posició i del temps.

L’origen de la posició és el lloc d’on surt el cos. L’origen del temps és quan llancem el cos.


1 1y 5 y0 1 v0(t 2 t0) 1 — g (t 1 t0)2 5 y0 1 v0 Dt 1 — g D t2

2 2

v 5 v0 1 g (t 2 t0) 5 v0 1 g Dt

Dades que tenim:

Quan es llança el cos Quan han passat 2 s

v0 5 l’hem de determinar t 5 2 s

t0 5 0 y 5 40 m

y0 5 0 g 5 29,8 m/s2

g 5 29,8 m/s2

Substituïm aquestes dades a l’equació del moviment:

140 5 v0 2 2 — 9,8 ?22

2

D’aquí trobem v0: 40 1 19,6

v0 5 ————— 5 29,8 m/s 2

Un cop tenim v0 podem escriure les equacions del moviment i de la velocitat:

y 5 29,8 t 2 4,9 t2

v 5 29,8 2 9,8 t

29,8En el punt més alt, v 5 0 � 0 5 29,8 2 9,8 t � t 5 —— 5 3,04 s 9,8

Si substituïm el temps en l’equació del moviment, tenim que l’altura màxima és:

y 5 29,8 ? 3,04 2 4,9 ? 3,042 5 45,3 m

t 5 2 s

40 m

X

Y

5 0

5 0

y0

t0

Fig. 1.40

Exemple 13

E



Si coneixem les equacions del moviment i de la velocitat, podem trobar qualsevol posició de la partícula, altura màxima, temps que tarda a arribar al punt més alt, velocitat que porta el cos en tornar al punt de llançament, temps que tarda a arribar a aquest punt, etc.

Des del capdamunt d’una torre es deixa caure una pilota sense velocitat inicial. Un segon més tard llancem una altra pilota des de terra verticalment cap amunt amb una velocitat inicial de 25 m/s. Si la torre fa 20 m d’al-çària, calculeu el punt on es troben, el temps i la velo-citat. Trobeu també la velocitat amb què arriba al terra la segona pilota.

Resolució

Representem esquemàticament el problema (fi g. 1.41), i asse nyalem l’origen de coordenades, és a dir, l’origen de la posició i del temps.

L’origen de la posició és el terra. L’origen del temps és quan deixem caure la pilota.


1y 5 y0 1 v0(t 2 t0) 1 — g (t 2 t0)2 5

2

1 5 y0 1 v0 Dt 1 — g D t2

2

v 5 v0 1 g (t 2 t0) 5 v0 1 g Dt

Dades que tenim per a la pilota que deixem caure, que anomenarem pilota A:

v0 5 0

t0 5 0

y0 5 20 m

g 5 29,8 m/s2

Podem escriure l’equació del moviment i l’equació de la velocitat:

yA 5 20 2 4,9 t2 ; vA 5 29,8 t

Dades que tenim per a la pilota que llancem cap amunt, que anomenarem pilota B:

v0 5 25 m/s

t0 5 1 s

y0 5 0

g 5 29,8 m/s2

Podem escriure l’equació del moviment i l’equació de la velocitat:

yB 5 25 (t 2 1) 2 4,9 (t 2 1)2

vB 5 25 2 9,8 (t 2 1)

Per determinar el lloc on es troben han de coincidir, en el temps, les dues posicions:

yA 5 yB

yA 5 20 2 4,9 t2

yB 5 25 (t 2 1) 2 4,9 (t 2 1)2

20 2 4,9 t2 5 25 (t 2 1) 2 4,9 (t 2 1)2

20 2 4,9 t2 5 25 t 2 25 2 4,9 t2 1 9,8 t 2 4,9

20 1 25 1 4,9 5 25 t 1 9,8 t

49,9 49,9 5 34,8 t � t 5 —— 5 1,43 s 34,8

Aquest és el temps en què es troben.

Si el substituïm en una de les dues equacions del movi-ment, determinarem la posició on es troben:

y 5 20 2 4,9 ?1,432 5 9,92 m

�

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

Fig. 1.41

Exemple 14

D



En general, un cos torna al mateix lloc on ha iniciat el moviment amb la mateixa velo-citat en mòdul però de signe canviat, i el temps total correspon al doble del temps que triga a arribar al punt més alt, com podreu comprovar en l’activitat 13. Un cos tarda el mateix temps a pujar que a baixar fi ns al mateix lloc.

Per trobar la velocitat a què van quan es troben, subs-tituïm el temps en l’equació de la velocitat:

vA 5 29,8 ? 1,43 5 214,01 m/s; està baixant

vB 5 25 2 9,8 (1,43 2 1) 5 20,78 m/s; està pujant

Per trobar la velocitat amb què arriba al terra la segona pilota, utilitzem l’equació del moviment i l’equació de la velocitat de la pilota B, que són:

yB 5 24,9 t2 1 34,8 t 2 29,9

vB 5 34,8 2 9,8 t

Quan arriba a terra yB 5 0 substituïm en l’equació del moviment, tenim:

0 5 24,9 t2 1 34,8 t 2 29,9

La solució de l’equació de 2n grau és de t 5 6,10 s.

Substituïm el temps en l’equació de la velocitat:

vB 5 34,8 2 9,8 ? 6,10 5 225 m/s

Com podem observar, és el mateix valor inicial però amb signe negatiu.

12> Suposeu que deixem caure un cos des d’una certa altura. Raoneu cada apartat.

a) Quant val la seva velocitat inicial?

b) La velocitat del cos augmenta o disminueix? Quin signe té?

c) Quant val l’acceleració amb què baixa el cos? Quin signe té?

d) Què passarà si, en comptes de deixar caure el cos, el llancem amb una certa velocitat ini-cial des del terra? Feu un dibuix que expliqui aquest fet.

13> Llancem un cos des del terra amb una velocitat inicial de 70 m/s.

a) Fins a quina altura màxima arribarà?

b) Quant de temps triga a fer tot aquest recor-regut?

c) Quant de temps passarà fi ns que torni una al-tra vegada al terra?

d) Amb quina velocitat arribarà al terra?

e) Dibuixeu els gràfi cs velocitat-temps i posició-temps i interpreteu-ne el resultat.

R: a) 249,8 m; b) 7,14 s; c) 14,28 s; d) 270 m/s

14> Llancem verticalment cap amunt una bala, que tarda 20 s a aturar-se. Amb quina velocitat l’hem llançada i a quina altura ha arribat?

R: 196 m/s; 1 960 m

15> Es deixa caure una pedra des d’una altura de 30 m, i en el mateix instant i des de terra es llança ver-ticalment i cap amunt una altra pedra amb una velocitat de 20 m/s.

a) En quin instant es trobaran?

b) Quina velocitat portarà cadascuna?

c) Calculeu la distància recorreguda per cada una de les pedres.

R: a) 1,5 s; b) 214,7 m/s, 5,3 m/s; c) 211,025 m, 18,975 m

Activitats

1



Campionat del Món de Natació

Durant el mes d’agost de l’any 2006 es va celebrar el Campionat del Món de Natació a la ciutat californiana de Stanford, als Estats Units. En aquest tipus de cam-pionats competeixen nedadors i nedadores de tot el món en tot tipus de proves, i gràcies a la importància que tenen i al consegüent entrenament dels esportistes, se superen molts rècords mundials. Per això, a part dels es-portistes i els afi cionats, hi podem trobar molts perio-distes que expliquen els resultats als seus respectius països.

Et toca fer una crònica del campionat per un diari de la teva localitat i t’envien a cobrir la notícia als Estats Units. No ets un expert en esports, però els teus coneixe-ments de cinemàtica et permetran fer una molt bona feina i te n’hi vas convençut que te’n sortiràs.

Un cop als Estats Units et dediques a gaudir de les com-peticions i a recollir el nom dels guanyadors (taula 1.16). Abans d’enviar la crònica, tu mateix elabores un qüestio-nari, que respondràs abans d’escriure el reportatge.

Taula de resultats

Estil Guanyador/a Temps País

Femení

800 m lliures Erin Mc Intyre 9 min 35 s EUA

200 m esquena Valerie Hadd 2 min 29 s Canadà

100 m lliures Caroline Kilian 58 s EUA

50 m papallona Shelly Johnston 28 s EUA

Masculí

800 m lliures Andrey Romashkin 8 min 53 s Rússia

200 m esquena Thorsten Herrmann 2 min 11 s Alemanya

100 m lliures Matthew Smart 52 s EUA

50 m papallona Adam Conway 25 s EUA

Qüestions

1> Calculeu la velocitat mitjana de cada atleta en la prova que ha guanyat.

2> Comenteu els resultats de les velocitats mitjanes que heu obtingut.

3> A partir de la prova dels 200 m masculins agafeu, per als primers 50 m, el temps de la prova dels 50 m i per als 100 m següents, agafeu el temps de la prova de 100 m i calculeu el temps i la veloci-

tat per als últims 50 m restants per obtenir una velocitat mitjana igual que la de la prova de 200 m masculins.

4> Si la nedadora que fi nalment ha guanyat la prova de 200 m esquena realitzés aquesta prova a la ve-locitat mitjana de la nedadora que ha guanyat la prova de 100 m, quin temps hauria fet en aques-ta prova?

Taula 1.16

Física quotidiana

C



Qüestions

1> Considereu el sistema laboratori i el sistema Terra:

a) On és l’origen de coordenades de cadascun? Dibuixeu-los esquemàticament amb els eixos de coordenades.

b) Es mouen un respecte de l’altre?

c) El satèl.lit Meteosat es mou respecte de ca-dascun d’aquests?

2> El vector desplaçament D �r entre dos punts A i B de la trajectòria d’un mòbil, canviarà si modifi -quem l’origen del sistema de coordenades? Feu-ne una explicació gràfi ca.

3> a) Què vol dir que el moviment rectilini és un moviment en una dimensió? Feu-ne l’explica-ció amb un dibuix.

b) Penseu i anoteu cinc exemples de moviments rectilinis.

4> Un cos es mou cap a la dreta amb una velocitat de 7,5 m/s. Quant val el vector velocitat? Quant val la celeritat?

R: 7,5 m/s; 7,5 m/s

5> Determineu el signe de la velocitat i de l’accele-ració en els casos següents:

a) Un cos baixa segons l’eix vertical.

b) Un cos puja segons l’eix vertical.

6> Dels gràfi cs v-t que representen moviments recti-linis (tria l’opció correcta):

A) El càlcul de l’àrea entre un interval de temps ens dóna:

a) l’acceleració del moviment

b) l’espai recorregut

c) la velocitat

B) Si hi ha un tram paral.lel a l’eix del temps, aquest correspon a:

a) un MRU

b) un MRUA

c) absència de moviment

7> Un cos baixa verticalment sotmès només a l’acce-leració de la gravetat. Segons el sistema de refe-rència emprat en aquesta unitat (tria l’opció cor-recta):

A) El signe de la velocitat és:

a) negatiu

b) positiu

c) el signe que agafem és indiferent

B) La velocitat en mòdul:

a) augmenta

b) disminueix

c) és constant

8> [Curs 98-99] D’una aixeta gotegen, separades una de l’altra, dues gotes d’aigua. En un instant de-terminat, estan separades una distància d. Rao-neu si, amb el pas del temps, mentre cauen, aquesta distàn cia anirà augmentant, minvant o romandrà constant.

Problemes

NOTA: Si l’enunciat dels problemes no diu el contrari, considerarem nul l’efecte del fregament de l’aire.

1> Un corredor de Fórmula 1 ha fet la volta més ràpi-da en els entrenaments d’un gran premi d’aquesta categoria i ha tardat 53,2 s en un circuit que té

3,53 km. A quina velocitat mitjana ha rodat? Ex-presseu-la en km/h i m/s.

R: 238,87 km/h; 66,35 m/s

2> Un motorista es troba inicialment (t0 5 0) a la posició x0 5 25 m, i quan han passat 12 s es

Activitats fi nals

Q



troba a la posició x 5 2 m. Si suposem que el moviment és rectilini i uniforme:

a) Feu un esquema i calculeu la velocitat que porta.

b) En quina posició es trobarà quan hagin passat 18 s?

c) Dibuixeu els gràfi cs posició-temps i velocitat-temps.

R: a) 21,92 m/s; b) 29,5 m

3> Representeu els gràfi cs v-t i x-t d’un mòbil que parteix del punt x 5 10 m i es desplaça a 18 km/h entre l’instant t 5 0 s i t 5 50 s.

4> a) Determineu a partir dels gràfi cs (fi g. 1.42) la velocitat de cada mòbil.

b) Digueu quin tipus de moviment representa cadascun.

c) Determineu la posició en què es troba cada mòbil als 3 s.

d) Quina distància hauran recorregut als 3 s?

R: a) 1,67 m/s, 0 m/s, 25 m/s; c) 15 m, 15 m, 5 m; d) 5 m, 0 m, 215 m

5> Amb el gràfi c següent (fi g. 1.43), determineu:

a) Classe de moviment en cada tram.

b) Velocitat en cada tram.

c) Distància recorreguda en cada tram.

d) Distància total que ha recorregut.

e) Valor fi nal del desplaçament.

R: b) 5 m/s, 0 m/s, 22,5 m/s; c) 10 m, 0 m, 5 m; d) 15 m; e) 5 m

6> En el gràfi c següent (fi g. 1.44) representem el moviment de dues partícules damunt una super-fície rectilínia. Trobeu:

a) L’equació del moviment de cada partícula.

b) On es troben i quin és el temps de trobada, gràfi cament i numèricament.

R: a) xA 5 210 1 t, xB 5 40 2 2 t b) 6,66 m, 16,66 s

7> Una motocicleta, partint del repòs, fa un recorre-gut d’1 km en 31,8 s. Si el moviment és rectilini uniformement accelerat, calculeu l’acceleració i la velocitat fi nals.

R: 1,97 m/s2; 62,89 m/s

��

� ��

��

� ��

��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

��

��

�

��

��

� � � �

��

��

Fig. 1.42

��

� ��

��

��

�

��

��

Fig. 1.43

��

� ��

��

��

��

��

��

Fig. 1.44



8> Escriviu l’expressió de la posició en funció del temps per a un mòbil que es desplaça sobre l’eix OX amb una acceleració constant de 24 m/s2, si sabem que en l’instant t 5 4 s es troba en la po-sició x 5 16 m i la seva velocitat és de 6 m/s. Quina serà la posició i quina serà la velocitat en l’instant t 5 5 s? Feu els gràfi cs posició-temps i velocitat-temps.

R: 20 m; 2 m/s

9> Un avió Boeing 727 necessita una velocitat de pista de 360 km/h per enlairar-se; si partint del repòs tarda 25 s a fer-ho:

a) Quina acceleració constant li proporcionen els motors?

b) Quina longitud de pista ha de recórrer?

c) Representeu els gràfi cs v-t i x-t.

R: a) 4 m/s2; b) 1 250 m

10> a) Determineu a partir dels gràfi cs de la fi gura 1.45 l’acceleració de cada mòbil.

b) Digueu quin tipus de moviment representa ca-da mòbil.

c) Determineu la velocitat que porta cada mòbil als 18 s.

d) Quina distància hauran recorregut als 18 s?

R: a) 1,5 m/s2; 0 m/s2; 21 m/s2;c) 27 m/s; 20 m/s; 7 m/s;d) 243 m; 360 m; 288 m

11> Comenteu aquests gràfi cs (fi g. 1.46), cadascun dels quals correspon a un mòbil diferent. Especi-fi queu per a cadascun d’ells:

a) Condicions del punt de partida.

b) Els valors de l’espai recorregut, de la velocitat i de l’acceleració; i els tipus de moviment que tenen lloc entre 0 s i 50 s, 50 s i 100 s, i entre 100 s i 200 s.

c) Condicions del punt fi nal.

Compareu els primers, els segons i els tercers moviments de cada gràfi c.

R: a) x0 5 0, v0 5 0

b) 1r x 5 1 000 m, v 5 20 m/s, a 5 0; x 5 0, v 5 0, a 5 0; x 5 21 000 m, v 5 210 m/s, a 5 0; 2n x 5 25 000 m, v 5 1 000 m/s, a 5 20 m/s2; x 5 50 000 m, v 5 1 000 m/s, a 5 0; x 5 50 000 m, v 5 0, a 5 210 m/s2

c) x 5 0, v 5 210 m/s, a 5 0,2; x 5 125 000 m, v 5 0; a 5 210 m/s2Fig. 1.45

��

��

��

��

��

Fig. 1.46

��

��

� ��

��

��

��



12> Dos ciclistes fan una cursa de 100 m llisos. Els dos corren amb un MRUA. Si el ciclista català arri-ba amb una velocitat de 74 km/h i el ciclista italià arriba amb una velocitat de 20 m/s, qui guanya la carrera i quant de temps triguen a fer-la?

R: Guanya el català: 9,73 s; 10 s

13> Determineu per a cada un dels mòbils represen-tats en la fi gura 1.47:

a) L’acceleració i l’equació del moviment i de la ve locitat.

b) Si tots tres surten de la mateixa posició, trobeu:

j On es troben, dos a dos.

j Temps en què porten la mateixa velocitat, gràfi cament i matemàticament.

R: a) A: 1,33 m/s2, B: 21 m/s2, C: 0; b) AB: 135,24 m, BC: no es troben,

AC: x 5 562,5 m, AB: t 5 4,29 s, 15,7 m/s, BC: no es troben, AC: 11,28 s, 25 m/s

14> El temps dels primers classifi cats de la fi nal olímpi-ca d’una cursa de natació és: medalla d’or, 47,14 s, i medalla de plata, 47,5 s. Sabem que tota la cursa va amb MRUA i l’acceleració del medalla d’or és 0,09 m/s2. De quina prova es tracta i amb quina acceleració va el medalla de plata?

R: 100 m; 0,088 m/s2

15> Dos mòbils es mouen damunt d’una recta. En l’ins-tant inicial (t 5 0) es troben a l’origen (x 5 0).

a) El primer es mou amb un moviment uniforme i quan ha passat 1 s es troba a la posició x 5 2 m. Calcula la posició i la velocitat quan han passat 2 s, 3 s, 4 s i 5 s. Dibuixa els gràfi cs posició-temps i velocitat-temps.

b) El segon es mou amb moviment uniformement accelerat sense velocitat inicial (v0 5 0) i quan ha passat 1 s també es troba a la posició x 5 2 m. Calculeu la posició i la velocitat quan han passat 2 s, 3 s, 4 s i 5 s. Dibuixeu els gràfi cs posició-temps, velocitat-temps i acce-leració-temps.

c) Determineu gràfi cament i també matemàtica-ment en quin moment els dos mòbils van a la mateixa velocitat i estan en la mateixa posició.

16> En la fi nal d’una cursa d’atletisme de 200 m llisos, els dos primers corredors fan la cursa amb MRUA. Si el primer classifi cat tarda 19,15 s i el segon ar-riba a 72 km/h, quin temps fa el segon classifi cat i a quina velocitat arriba el primer?

R: 20 s; 20,89 m/s

17> Un motorista es troba inicialment aturat en un semàfor i arrenca amb acceleració d’1,5 m/s2, mo-vent-se en línia recta i cap a la dreta. En el mateix moment, un automòbil que es mou amb una velo-citat constant de 108 km/h, es troba a 2 km del motorista, i es mou cap a l’esquerra. Calculeu en quin moment es troben i en quina posició ho fan.

R: 35,38 s; 938,67 m

18> Dos mòbils es mouen seguint una trajectòria recti-línia entre els punts A i B, situats a 500 m l’un de l’altre. El primer surt d’A a 10 m/s, va cap a B amb una acceleració constant i arriba a B amb una velo-citat de 50 m/s. El segon surt de B 3 s més tard amb velocitat constant de 20 m/s cap a A. Calculeu:

a) Quina acceleració té el mòbil A?

b) En quin punt es trobaran?

c) En quin punt està el mòbil que surt d’A en el moment que té la mateixa velocitat que el mòbil B?

R: a) 2,4 m/s2; b) 310,83 m; c) 62,57 m

19> Un bloc es deixa lliscar amb moviment rectilini uniformement accelerat per un pla inclinat de 6 m de longitud, i tarda 2 s a fer aquest recorre-gut. Després, continua desplaçant-se en línia recta i amb velocitat constant per un pla horit-zontal que també té 6 m de longitud, puja per un altre pla inclinat amb moviment uniformement accelerat i, fi nalment, es para després d’haver fet un recorregut per aquest últim pla de 3,6 m.

� ��

��

��

�

��

��

��

��

�

�

�

� ��

Fig. 1.47



a) Dibuixeu els gràfi cs v-t, x-t i a-t del moviment total.

b) Comproveu en el gràfi c v-t que l’espai total recorregut pel bloc és de 15,6 m.

NOTA: Aneu canviant de sistema de referència segons el pla en què es mogui el bloc.

20> Amb quina velocitat inicial hem de llançar vertical-ment cap amunt un cos perquè arribi fi ns a una altu-ra de 100 m? Quant de temps tardarà a arribar-hi?

R: 4,51 s, 44,27 m/s

21> Llancem verticalment cap amunt una bala amb una velocitat de 108 km/h.

a) Quina és l’alçària màxima que assoleix i quant de temps triga a fer-ho?

b) Quan ha passat la meitat del temps, a quina altura està i a quina velocitat va?

R: a) 45,92 m, 3,06 s; b) 34,43 m, 15 m/s

22> Un objecte que s’ha llançat verticalment cap avall assoleix una velocitat de 30 m/s als 20 m de re-corregut. Quant de temps ha tardat? A quina velo-citat ha estat llançat?

R: 0,76 s, 222,55 m/s

23> [Curs 98-99] Javier Sotomayor és l’actual campió de salt d’alçada amb una marca de 2,45 m. Deter-mineu la velocitat amb què va saltar verticalment de terra (la velocitat de sortida). Suposeu negli-gibles els efectes del fregament amb l’aire.

R: 6,92 m/s

24> Des d’una altura de 200 m sobre el terra, llancem verticalment i cap amunt un cos amb una veloci-tat inicial de 30 m/s.

a) Feu un dibuix aproximat del gràfi c v-t cor-responent al moviment d’aquest cos des de l’instant de llan çament fi ns que arriba a terra. Indiqueu en el gràfi c els valors de v i t cor-responents als instants inicial i fi nal.

b) Quant temps tarda a recórrer els darrers 50 m?

c) Quina serà la seva posició respecte del terra en l’instant en què el cos baixa amb una velo-citat de mòdul de 40 m/s?

R: a) 10,14 s; b) 0,76 s; c) 164,4 m

25> Des del terra llancem cap amunt dos cossos amb una velocitat de 20 m/s i 30 m/s respectivament, el segon cos 1 s més tard que el primer. Calcu-leu el temps, l’altura i la velocitat quan es troben.

R: 1,76 s, 20,02 m, 2,75 m/s, 22,55 m/s

26> Dos nois llancen una pedra cap amunt. El primer és a terra i la llança a 60 m/s; el segon està enfi lat a una escala 10 m per sobre del terra i la llança 2 s més tard a 70 m/s. Calculeu el temps, la velo-citat i l’altura quan es troben les dues pedres.

R: 178,04 m, 5,05 s, 10,51 m/s, 40,11 m/s

27> Es llança una pilota des del terra amb una veloci-tat inicial v0 5 15 m/s.

a) A quina alçada arriba?

b) Amb quina velocitat arriba a terra?

c) Si la velocitat de llançament fos el doble, qui-na seria la relació dels nous valors de l’alçada màxima i de la velocitat d’arribada a terra amb els inicials?

R: a) 11,5 m; b) 215 m/s; c) 45,92 m



Estudi del moviment uniformement accelerat Estudi de la caiguda d’una bola per un pla inclinat

Objectiu

j Estudi de les magnituds que intervenen en la caiguda d’una bola per un pla inclinat des de diferents altures.

j Mesurar les dues magnituds fonamentals que intervenen, la longitud i el temps, i a partir d’aquestes calcular les magnituds derivades, la velocitat i l’acceleració.

j Estudi gràfi c d’aquest moviment amb la construcció dels gràfi cs x-t, v-t i a-t.

j Comprovació de l’equació del moviment estudiada en aquesta unitat.

Material

j Cronòmetre j Cinta mètrica

j Carril d’alumini j Bola d’acer

Procediment

1. Assenyaleu diferents longituds sobre el pla inclinat (per exemple 20, 40, 60, 80, 100, 120 i 140 cm), que seran les posicions des de les quals deixarem caure la bola (fig. 1.48 a).

2. Doneu al carril una petita inclinació (fig. 1.48 b) i no el mogueu.

3. Deixeu caure la bola des de cadascuna de les posicions marcades (sense do-nar-li cap impuls), començant per la més baixa (fig. 1.48 c) i mesureu amb un cronòmetre el temps que tarda a arribar al punt més baix. Per a cada longitud efectuarem 10 mesures de temps.

a)

c)

b)

Fig. 1.48

Pràctica

E



4. Apunteu totes les mesures a la taula següent (taula 1.17):

Longitud (cm) x0 x1 5 x2 5 x3 5 x4 5 x5 5 x6 5 x7 5

Temps (s)(efectuarem 10 mesures)

t0 5 0 t1 5

t2 5

t3 5

t4 5

t5 5

t6 5

t7 5

t8 5

t9 5

t10 5

t1 5

t2 5

t3 5

t4 5

t5 5

t6 5

t7 5

t8 5

t9 5

t10 5

t1 5

t2 5

t3 5

t4 5

t5 5

t6 5

t7 5

t8 5

t9 5

t10 5

t1 5

t2 5

t3 5

t4 5

t5 5

t6 5

t7 5

t8 5

t9 5

t10 5

t1 5

t2 5

t3 5

t4 5

t5 5

t6 5

t7 5

t8 5

t9 5

t10 5

t1 5

t2 5

t3 5

t4 5

t5 5

t6 5

t7 5

t8 5

t9 5

t10 5

t1 5

t2 5

t3 5

t4 5

t5 5

t6 5

t7 5

t8 5

t9 5

t10 5

t (s) (càlcul de la mitjana aritmètica)

ea (error absolut)

er (error relatiu)

Taula 1.17

5. Completeu la taula següent (taula 1.18) a partir de les dades de la taula anterior:

Temps mitjans (s) Temps mitjans al quadrat (s2) Posicions (cm)

t0 5

t1 5

t2 5

t3 5

t4 5

t5 5

t6 5

t7 5

t02 5

t12 5

t22 5

t32 5

t42 5

t52 5

t62 5

t72 5

x0 5

x1 5

x2 5

x3 5

x4 5

x5 5

x6 5

x7 5

Taula 1.18

Anàlisi de resultats

1. Representeu gràfi cament les posicions respecte del temps corresponent, funció x 5 f (t).

a) Quin tipus de gràfi c obtenim?

b) Quin tipus de dependència hi ha entre la posició i el temps?

c) Intenteu establir una llei física que relacioni la posició i el temps.

2. Representeu gràfi cament les posicions respecte del temps corresponent elevat al quadrat, funció x 5 f (t2). Quin tipus de gràfi c n’obtenim?

3. Trobeu la llei d’aquest moviment a partir de l’estudi dels gràfi cs i la taula de valors que heu fet, i calcu-leu-ne l’acceleració.

4. Compareu les lleis físiques obtingudes amb les del moviment rectilini uniformement accelerat.


unitat 1 unitat 2 - spain-s3-mhe-prod.s3-website-eu-west-1...

Documents