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Unidad 5Análisis vectorial

En este capitulo se trata de campos vectoriales (que son funciones que se asignan vectores a puntos en el espacio.) en particular se define las integrales de línea (las cuales se pueden usar para encontrar el trabajo que efectúa un campo de fuerzas al moverse un objeto a lo largo de una curva.) luego se define las integrales de superficie (las cuales se utilizan para determinar el caudal que pasa por una superficie.) las relaciones entre estos nuevos tipos de integrales y las integrales sencillas, dobles y triples que ya se estudiaron, las dan las versiones para dimensiones de orden superior de teoremas fundamentales de calculo teorema de Green, teorema de Stokes y el teorema de la divergencia.

Campos vectorialesCampos vectoriales; los vectores de la figura uno son vectores de la velocidad del viento que indica la rapidez y la dirección del viento en los puntos que están 10m arriba de la superficie del área del sector mostrado, (observe que los patrones del viento en días consecutivos son muy diferentes.) imagine un vector de velocidad del viento asociado con cada punto en el aire. En este ejemplo un campo vectorial de la velocidad

12:00a.m 20 de febrero del 2007 2:00pm 21 de febrero del 2007Campos vectoriales que muestran el patrón del viento en la bahía de san franciscoCalculo de varias variables, James stewar, 6ta edi.

Campos vectoriales de velocidad

Corrientes oceánicas fuera de la costa Flujo que se encuentra en un alerón inclinado

Calculo de varias variables, James stewar, 6ta edi.

Campos vectoriales; en general un campo vectorial es una función cuyo dominio es un conjunto de puntos en R2 o bien en R3, y cuyo rango es un conjunto de vectores en V2 o en V3.Teorema 1: sea D un conjunto en R2, una región plana . Un campo vectorial R3 es una función F que asigna a cada punto (x,y) en D un vector bidimensional F(X,Y)La mejor manera de representar un campo vectorial es dibujar la flecha que representa el vector F(x,y) que inicie en el punto (x,y). Naturalmente, es imposible hacerlo para todos los puntos (x,y), pero pueden conseguir una representación razonable de F trazando la flecha para algunos puntos representativos en D como en la figura .Puesto que F(x,y) es un vector bidimensional, puede expresarlo en términos de sus funciones componentes P y Q como siguen :

P y Q son vectores escalares de dos variables y ,algunas veces se les llama campos escalares para distinguir de los campos vectoriales


QjPiF

yxQyxPjyxQiyxPyxf

),(),,(),(),(),(

Teorema 2: sea E un subconjunto de R3, una región plana . Un campo vectorial sobre R3 es una función F que asigna a cada punto (x,y,z) en E un vector tridimensional F(x,y,z)Un campo vectorial F en R3 se representa en la figura , se expresa en términos d sus funciones constituyentes P,Q,R comoAl igual que con las funciones vectoriales , es posible definir la continuidad de los campos vectoriales y demostrar que f es continua si y solo si sus funciones constituyentes P,Q,,R son continuas.Algunas veces identifica un punto F(x,y,z) con su vector de posición x={x,y,z} y escribe F(x) en lugar de F(x,y,z). Entonces F se vuelve una función que asigna un vector F(x) a un vector x.


kzyxRjzyxQizyxPzyxF ),,(),,(),,(),,(

Ejemplo 1 : un campo vectorial sobre R3 esta definido por F(x,y) =-yi + xj Describa alguno de sus vectores F(1,0) =j ={0,1} F(0,1) =-i ={-1,0} Tabla de valores


Campo gradiente Si f es una función escalar un campo de dos variables, de acuerdo su gradiente ∇f, o grad f, se define como. ∇f (x, y) =fx (x, y) i + fy (x, y) jPor tanto ∇f es realmente un campo vectorial sobre R2 y se llama campo vectorial gradiente, del mismo modo , si f es una función escalar de tres variables, su gradiente es un campo R3 vectorial dado por

∇ f (x, y, z)= fx(x, y, z) i + fy(x, y, z) j + fz(x, y, z) k


Ejemplo 2Determine el campo vectorial gradiente de f( x, y)= y +, dibuje el campo vectorial gradiente junto con un mapa de curvas de nivel f ¿Cuál es su relación?


jyxxyijy

fi

x

fyxf )3(2),( 22

CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIÓN POTENCIAL Se dice que un campo vectorial F es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir si ),,(),,( zyxzyxF

para una función f (potencial) ),,( k

zj

yi

xzyxF

Teorema : Sea F = Mi + Nj + Pk, donde M, N y P son continuas junto con sus derivadas parciales de primer orden en un conjunto abierto y conexo D, que además es simplemente conexo. Entonces F es conservativo (F = ) si y solo si rot F = 0; es decir, si y solo si y

P

z

N

x

P

z

M

x

N

y

M

,, En particular, en el caso de dos variables, donde F = Mi + Nj es conservativo si y solo si

y

P

z

N

x

P

z

M

x

N

y

M

,, Ley de conservación de la energía, si una partícula se mueve de un punto a otro en un campo vectorial de fuerza conservativo, entonces la suma de las energías potencial y cinética permanece constante, es decir, la energía total no cambia (se conserva).

No todos los campos vectoriales son conservativos, pero tales campos surgen con frecuencia en la física. Por ejemplo, el campo gravitacional F es conservativo porque si define.


),,(

)()()(

),,(

),,(

2/32222/32222/3222

222

zyxF

kzyx

mMGzj

zyx

mMGyi

zyx

mMGx

kz

jy

ix

zyx

zyx

mMgzyx

Ejemplo 3 Determinar si el campo vectorial kxyzjxzyseniyzxyxF

)2()2)(()2)(cos(),( es conservativo. Si lo es hallar su función potencial correspondiente.

voconservati

xy

Py

x

Pz

x

N

xz

Ny

z

Mz

y

M

222

222

22cos),,(

,22

)2(,,

,2cos)2(,,

,2)2(cos,,

2

2

2cos:

2

2

zxyzyxsenzyxf

yxlxyzz

dzxyzzyxf

zxhxyzydyxzsenyzyxf

zygxyzxsendxyzxzyxf

xyzf

xzysenf

yzxfpotencialf

z

y

x

Divergencia, rotacional de un campo vectorial Se define dos operaciones que se pueden ejecutar con los campos vectoriales y que desempeña un papel fundamental en las aplicaciones del calculo vectorial al flujo y a la electricidad y magnetismo. Cada operación es similar a la derivación, pero una genera un campo vectorial y la otra un campo escalar.


ROTACIONALSI F=Pi+Qj+Rk es un campo vectorial R3 y estas las derivadas parciales de P,Q,R entonces el rotacional de F es el campo vectorial R3 definido por

Como auxiliar podemos escribir la ecuación usando la notación del operador, se presenta el operador diferencial vectorial ∇ ( ¨nabla¨)comoTiene significado cuando opera sobre una función escalar para producir un gradiente de f.


ky

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

RrotF

zk

yj

xi

kz

fj

y

fi

x

f

z

fk

y

fj

x

fif

Si piensa que ∇ es un vector con componente ∂/ ∂x, ∂/ ∂x y ∂/ ∂z, también considere el producto cruz formal de ∇ y el campo vectorial F como sigue

Por lo tanto la manera mas sencilla de recordar la definición es Rot F= ∇ x F


rotF

ky

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

R

RQPzyx

kji

F

Ejemplo 4Si F (x,y,z) = xzi + xyzj -


yzkxjixy

kyzjxixyy

kxzy

xyzx

jxzz

yx

ixyzz

yy

yxyzxzzyx

kji

FrotF

)2(

)0()0()2(

)()()()()()( 22

2

DIVERGENCIASi F =P i + Q j + R k es um campo vectorial sobre R3 y existen ∂P/ ∂x, ∂Q/ ∂y y ∂R/ ∂z Entonces la divergencia de F es la función de tres variables definida por

Observe que el rotacional de F es un campo vectorial, pero div F es un campo escalar. En términos del operador gradiente ∇ =(∂/ ∂x)i+ (∂/ ∂y)j +( ∂/ ∂z)k, la divergencia de F se puede expresar simbólicamente como el producto punto de ∇ y F.

Ejemplo 5Si F(x, y, z)= xz i + xyz j –y2 k encuentre div F


Z

R

y

Q

x

PdivF

FdivF

xzzyz

xyzy

xzx

FdivF

)()()( 2

Integrales de línea Se define una integral de línea que es similar a ala integral simple, pero con la diferencia de que en lugar de integrar en el intervalo [a,b], integra en la curva c. Estas integrales se llaman integrales de línea, aunque un mejor nombre es el de integrales curvilíneas. Fueron inventadas a principios de siglo XIX para solucionar problemas relacionado con flujo de fluidos, fuerza, electricidad y magnetismo.Inicie con una curva plana ‘C’ dada las ecuaciones paramétricas.

x = x(t) y= y(t) a≤ t≥ b

DefiniciónSi f se define en una curva ´C’ uniforme definida por las ecuaciones paramétricas, entonces la integral de línea de f a lo largo de ‘C’ es.


iii

c

n

zn

syxfdsyxf

),(),( **

1lim

Un razonamiento similar se puede plantear para demostrar que si f es una función continua, entonces el limite de la definición existe y la formula siguiente se puede usar para evaluar la integral de línea.

El valor de la integral de línea no depende de la parametrizacion de la curva, siempre que sea cruzada exactamente una vez cuando t se incremente desde A a B.Si s(t) es la longitud de C entre r(a) y r(t), entonces

La manera de recordar la fórmula es expresar todo en termino del parámetro t: use las ecuaciones paramétricas para expresar x y y en términos de t y escriba ds como


c

b

adt

dt

dy

dt

dxtytxfdsyxf

22

))(),((),(

22

dt

dy

dt

dx

dt

ds

dtdt

dy

dt

dxds

22

Integrales de línea en el espacioA hora suponga que ‘C’ es una curva uniforme en le espacio que define las ecuaciones paramétricas.x = x(t) y= y(t) z= z(t) a≤ t≥ b

Observe que las integrales puede expresarse en la notación mas compacta


c

b

adt

dt

dz

dt

dy

dt

dxtztytxfdszyxf

222

))(),(),((),,(

c

b

a

dttrtffds )()( ,

Ejemplo 6 Evalué donde los limites es y=0 y un circulo +=1x=cos(t) y=sen(t)


3/22

3

cos2)sin()(cos2(

cossin)sin()(cos2(

)sin()(cos2()2(

3

0

2

22

0

2

0

2222

o

c

ttdttt

dttttt

dtdt

dy

dt

dxttdsyx

Ejemplo 7Evalué donde ‘C’ es la hélice circular dada por las ecuaciones x=cos(t) y=sen(t), z=t 0≤t≥2π


2)2()2/1(2

2

)2cos1(2/121)(cos)()(

)()()(

2

0

2

0

222

0

2

2222

0

tsent

dttdtttsentsen

dtdt

dz

dt

dy

dt

dxtsentsendszysen

c

Integrales de línea para calcular trabajoEl trabajo realizado por una fuerza variable f(x) que mueve a una partícula desde a hasta b a lo largo del eje x es w dx . El trabajo que efectúa una fuerza constante F al mover un objeto desde el punto P hasta otro Q en el espacio W=F*d donde d=PQ es el vector desplazamiento. a hora suponga que F=Pi+Qj+Rk es un campo de fuerzas sobre R3, tal como el campo gravitacional .


b

a

b

a

b

a

c c

drtFW

dttrtrFdttrtr

trtrFW

TdsFdszyxTzyxFW

)(

)´())(()´()´(

)´())((

),,(),,(

Ejemplo 8Determine el trabajo efectuado por el campo de fuerzas F(x,y)=cuando se mueve una partícula a lo largo del cuarto de circulo r(t)=cos(t)i+sen(t)j 0≤t≥π/2


3/23

)(cos2

)()(cos2()´())((

)cos()()´(

)()cos()(cos))((

2/

0

3

2/

0

2/

0

2

2

t

dttsentdttrtrFdrF

jtitsentr

jtsentittrF

c

Teorema de GreenEl teorema de Green proporciona la correspondencia entre una integral de línea alrededor de una curva simple serrada c y una integral doble sobre la región plana D limitada por C . Suponga que d consta de todos los puntos del interior de C, así como todos los puntos sobre C. En el planteamiento del teorema de Green se usa la convención de que la orientación positiva de una curva simple cerrada c se refiere aun recorrido sencillo de c en el sentido contrario de las manecillas de reloj. Por lo tanto si C esta definida por la función vectorial r(t), a≤ t ≤ b, entonces la región D esta siempre a la izquierda cuando el punto r(t) recorre C.

(a)orientación positiva (b) orientación negativa


Teorema de GreenEl teorema de GreenSea C una curva simple, cerrada, uniforme por segmentos con orientación positiva en el plano, y sea D la región que limita C si P y Q tiene derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D, entonces

Otra notación para la curva limite o frontera con orientación positiva de D, de modo que la ecuación en el teorema de Green se puede escribir como


bc

dAy

P

x

QQdyPdx )(

Db

QdyPdxdAy

P

x

Q)(

Teorema de GreenEjemploEvalué donde C es el circulo


x

y

2

0

3 2 3

0

)(4

4)(

364)37(

3()17(

)17()3(

o o

d

xsen

c

xsen

rdrdrdrd

dAeyy

yxx

dyyxdxey

Integrales de superficie y de flujoIntegral de superficieLa correspondencia que existe entre las integrales de superficie y el área de una superficie, es la misma que la relación entre integrales de línea y longitud de arco. Suponga que f es una función de tres variables en cuyo dominio se encuentra la superficie S. definida la integral de superficie de f sobre S en tal forma que, en el caso donde f(x,y,z)=1, el valor de la integral de superficie es igual al área superficial de S, comience con superficie paramétricas y luego se trabaja con el caso espacial donde s es la grafica de una función de dos variables.


c

vu

c

s d

vu

s d

yx

SAdArrds

dArrvurfdszyxf

dAggyxgyxfdszyxf

)(1

)),((),,(

1)),(,,(),,( 22

Integrales de superficie y de flujoIntegral de superficieEjemploCalcule la integral de superficie donde S es esfera unitaria

x=sen(ϕ)cos(θ) y =sen(ϕ)sen(θ) z= cos(ϕ)


x

y

z

34)(cos)3/1(cos)2()2/1(2

1

cos)()(()2cos(1)(2/1(

)()(cos)()(cos)(

))cos()((

032

0

2

0 0

2

2

0 0

32

0

2

0

22

2

sen

sensend

dsendddsensen

dArrsendsxs D

Integrales de superficie y de flujoIntegral de superficie de flujoSuponga q S es una superficie orientada con un vector unitario normal n, e imagine que hay fluido de densidad p(x,y,z) y campo de velocidad v(x,y,z) que circula a través de S. piense que s es una superficie imaginaria que no impide el flujo de fluidos, tal como una red, entonces, el caudal (masa por unidad de tiempo) por unidad de área pv. Si divide s en pequeños parches, entonces s es casi plana y puede aproximar la masa de fluido que atraviesa en la dirección de la normal n por la unidad de tiempo mediante la cantidad

Donde p v y n se evalúan en algún punto de si, luego de sumar estas cantidades y obtener el limite, el resultado es la integral de superficie de la función pv*n sobre s

Si f=pv entonces F es también un campo vectorial sobre R3 y la integral de la ecuación es


)()*( ijSAnv

s s

dszyxnzyxvzyxndsv ),,(*),,(),,(*

s

ndSF *

Integrales de superficie y de flujoIntegral de superficie de flujoDefiniciónSi F es un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada s con un vector unitario normal n, entonces la integral de superficie de f sobre s es

Esta integral también se denomina flujo de f a través de S


ss

ndSFdSF **

D

vu

s

d

vuvu

vu

s vu

vu

s

dArrFdSF

dArrrr

rrvurF

dSrr

rrFdSF

)(**

*)),((

**

Integrales de superficie y de flujoIntegral de superficie de flujoEjemploDetermine el flujo del campo vectorial F(x,y,z)=zi+yj+xk a taves de la esfera unitaria =1R(ϕ, θ )=sen(ϕ)cos(θ)i+sen(ϕ)sen(θ)j+cos(ϕ)k


)cos()cos()()()()cos()()cos()(*)),((

)cos()()()()cos()(

)cos()()()()cos()),((

2232

22

sensensensenrrrF

ksenjsensenisenrr

ksenjsensenirF

3

4

)(0

)()()cos()cos()(2

)()()cos()cos()(2(

)(**

2

0

2

0

2

2

0

2

0

32

00

2

2

0 0

232

dsendsen

dsendsenddsen

ddsensensen

dArrFdSFs d

Teorema de la divergencia de GaussLa versión vectorial donde C es la curva frontera en la dirección positiva de la región D del plano. si estuviera tratando de generalizar este teorema a los campos vectoriales sobre R3, podría plantear la conjetura de que

Donde s es la superficie frontera de la región solida E. resuelta que la ecuación es cierta con la hipótesis adecuada, y se llama teorema de la divergencia. este teorema relaciona la integral de una derivada de una función en una región de la integral de la función original F en la frontera de la región


s E

dVzyxdivFndSF ),,(*

Teorema de la divergencia de GaussTeorema de la divergenciaSea E una región solida simple y s la superficie frontera de E, definida con orientación positiva, sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes tiene derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene E en tal caso

Por consiguiente el teorema de la divergencia plantea que bajo las condiciones dadas, el flujo de F en el limite de la superficie es igual a la integral triple de la divergencia de F sobre E


Es

divFdVdSF *

Teorema de la divergencia de GaussEjemploDetermine el flujo del campo vectorial F(x,y,z)=zi+yj+xk sobre =1


3

4

3

)1(4)(1*

1)()()(

3

EvdVdivFdVdSF

xz

yy

zx

divF

E Es

Teorema StokesSe puede considerar que el teorema de Stokes es una versión para varias dimensiones del teorema de Green. Esta relaciona una integral doble en una región d plana con una integral de línea alrededor de su curva frontera plana, y el teorema de Stokes relaciona una integral de superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera C.

Se muestra una superficie con vector normal unitario n, la orientación de s induce la orientación positiva de la curva frontera c ilustrada . Eso quiere decir que si usted camina en la dirección positiva alrededor de c con su cabeza señalando en la dirección de n , entonces la superficie siempre quedara a su izquierda


Teorema StokesTeoremaSea S una superficie uniforme por segmentos y orientada que esta acotada por una curva C suave por segmentos, simples y cerrada con orientación positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta R3 que tiene a S, entonces


dAFrotrdF

dSNFrotrdF

SdFrotrdF

Rxyyx

C

SC

SC

ff

1,,

Teorema StokesEjemploMediante el teorema de Stokes, calcule la integral donde F(x,y,z)=xzi+yzj+xyk y sea S es la parte de la esfera =4 que esta situada en el interior del cilindro =1 y encima del plano xy


ktsentjtsenittF

jtitsentr

kjtsenittr

)()cos()(3)cos(3)(

)cos()()´(

3)()cos()(

003

))cos()(3)()cos(3(

)´())(

2

0

2

0

2

0

dt

dtttsentsent

dttrtFdrFc

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