unidad_2_metodos_de_conteo-c
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METODOS DE CONTEO
NOTACION FACTORIAL: Es el producto de los números naturales desde 1 hasta n y aquí lo denotamos por el símbolo especial n! (que se lee “ n factorial”).
Ejemplos: 3! = 1*2*3 = 6
6! = 1*2*3*4*5*6 = 720
Definimos: 0! = 1
nnnn *)1(*)2(*...................*3*2*1!
nn
nn
n
n
)!1(
)!1(*
)!1(
!Simplificar:
PERMUTACIONES: Son arreglos que se pueden elaborar con un grupo de elementos en los cuales es importante el orden de selección o ubicación de los elementos.
)!(
!Pr
rn
nn
!.....!!
!
21 knnn
n
Permutaciones cuando algunos elementos son idénticos a otros: Si hay n elementos con n1 iguales, n2 iguales,……, nk iguales, el número de permutaciones de los n elementos es:
COMBINACIONES: Son los arreglos que se pueden elaborar con un grupo de elementos en los cuales no es importante el orden de selección.
Solución:
1. Usted acaba de ser contratado para conformar la programación de la cadena de televisión FOX. Cuando está seleccionando los programas disponibles y que debe seleccionar 4 de ellos. El orden de los programas es importante, por los efectos de liderazgo. ¿Cuántas secuencias diferentes de cuatro programas son posibles cuando hay 27 programas?
EJEMPLOS:
Necesitamos seleccionar r=4 programas de n=27 que están disponibles.
! 27!
Pr 421,200( )! 27 4 !
nn
n r
2. Si queremos el número de permutaciones de las letras DDDDDEEEE tomadas todas tenemos: n=9 elementos con n1 = 5 y n2 = 4, luego el número de permutaciones se calcula como:
1 2
! 9! 362,880126
! ! ..... ! 5!*4! 2880k
n
n n n
3. Si no se permiten repeticiones:a) ¿Cuántos números de tres dígitos, se pueden formar con
los seis dígitos: 2,3,5,6,7 y 9?6*5*4 = 6P3 = 6!/3! = 120 números
b) ¿Cuántos de estos números son menores que 400?c) ¿Cuántos son pares?d) ¿Cuántos son impares?e) ¿Cuántos son múltiplos de 5?
4. Cuantas señales diferentes, cada una de 6 banderas, pueden formarse con 4 banderas rojas y 2 azules idénticas.
5. ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras: a)TEMA?b)CAMPANA? c)ESTADISTICA?
6. El consejo de fondos de inversión de la universidad está integrado por nueve miembros. Cada año, ellos eligen un comité de tres personas para supervisar los edificios y los terrenos. También cada año eligen un presidente, un vicepresidente y un secretario.
a) Cuando el consejo elige el comité de terrenos y edificios, ¿cuántos distintos comités de tres personas son posibles?
b) Cuando el consejo elige a los tres funcionarios (presidente, vicepresidente y secretario), ¿cuántas diferentes plantillas de candidatos son posibles?
SOLUCIÓN: Note que el orden es irrelevante cuando se elige el
comité de edificios y terrenos. Sin embargo, cuando se elige a los funcionarios, los diferentes acomodos cuentan por separado.
a) Cuando el consejo elige el comité de terrenos y edificios, ¿cuántos distintos comités de tres personas son posibles?
! 9! 362,880
84( )! ! 3! 9 3 ! 4320n r
nC
n r r
b) Cuando el consejo elige a los tres funcionarios (presidente, vicepresidente y secretario), ¿cuántas diferentes plantillas de candidatos son posibles?
! 9! 362,880
504( )! 9 3 ! 720n r
nP
n r
7. ¿De cuantas maneras puede escogerse un comité compuesto de tres hombres y dos mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?
DIAGRAMA DE ÁRBOL
Es una gráfica que resulta útil para organizar los cálculos que comprenden varias etapas, o para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema o un resultados posible.
Ejemplo: Hallar el conjunto producto A x B si A = {1,2} y B = {a,b,c} Luego A xB = {(1,a); (1,b); (1,c); (2,a); (2,b); (2,c)}
El diagrama de árbol para el conjunto producto es:
A x B
A B
1
2
a
b
c
c
b
a
EJERCICIO 1:
Un hombre tiene tiempo para jugar a la ruleta cinco veces a lo sumo, en cada juego gana o pierde un dólar, el hombre empieza con un dólar y dejara de jugar si antes de la quinta vez pierde todo o si gana tres dólares. Use un diagrama de árbol para hallar el número de casos en que la apuesta puede ocurrir.
CONCEPTOS BÁSICOS PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
EXPERIMENTO: Proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una de varias observaciones.
EXPERIMENTO ALEATORIO: Un experimento se considera aleatorio cuando posee al menos dos resultados posibles y no se conoce cuál de ellos se obtendrá.
ESPACIO MUESTRAL (S): Son todos los posibles resultados de un experimento aleatorio (llamados puntos muéstrales).
PUNTOS MUESTRALES (Ns): Es el total de posibilidades.
EVENTO (E): Es cualquier conjunto de uno o más resultados de un experimento aleatorio.
PUNTOS FAVORABLES AL EVENTO (Me): Son los puntos muéstrales que responden al evento.
EJEMPLO:
Un experimento consiste en seleccionar 3 tubos de TV de un pedido y observar si son o no defectuosos.
HIPÓTESIS: Sea D un tubo defectuoso
Sea B un tubo no defectuoso
Nuestro espacio muestral es:
S = {(DDD), (DDB), (DBD), (BDD), (DBB, (BDB), (BBD), (BBB)}
Ns = 8 puntos muéstrales
Sea el Evento E = Muestras con dos tubos defectuosos, entonces: E = { (DDB), (DBD), (BDD)}
Me = 3 puntos muéstrales
CONCEPTUALIZACIÓN
PROBABILIDAD: Se usa para indicar la posibilidad ó no de
que ocurra un acontecimiento.
La PROBABILIDAD puede considerarse: CLÁSICA, EMPÍRICA Y SUBJETIVA.
PROBABILIDAD CLÁSICA: Se usa cuando un experimento puede tener solamente ciertos resultados definidos.
PROBABILIDAD EMPÍRICA: Es una definición
frecuencial de Probabilidad a posteriori, sucede cuando repetimos n veces un evento.
PROBABILIDAD SUBJETIVA: Se basa en la confianza que se tiene que tal acontecimiento va a ocurrir con un determinado % de confianza.
El enfoque a seguir en la determinación del valor de la probabilidad esta cimentado en el criterio de la Probabilidad Clásica.
Para calcular la probabilidad de un evento E:
La probabilidad del evento E anterior es:
P (E) = 3/8 = 0.375
( )Me Puntos favorables al evento E
La probabilidad de E es P ENs Puntos Posibles
Ejemplo del cálculo de la Probabilidad de un evento:
Una caja contiene 5 bolas blancas; 10 negras; y 5 bolas azules y hacemos una extracción de ella, a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca?
b)¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea negra?
Solución:a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea
blanca?
Sea B = Sacar una bola Blanca; entonces:
Puntos favorables al evento (MB ) = 5 casos favorables;
Puntos posibles al evento (Ns) = 20 bolas igualmente posibles; luego:
P (B) = MB /Ns = 5/20 = 0.25
b)¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea negra?
Sea N = Sacar una bola Negra
P(N) = 10/20 = 0.50
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
1.- POSITIVIDAD P (E) ≥ 0
2.- CERTIDUMBRE: La probabilidad del Espacio Muestral S es UNO; P(S) = 1
3.- La probabilidad de cualquier evento E, varía entre 0 y 1.
4.- Si E es un evento compuesto por eventos simples
E = e1 + e2 + e3 +……..+ ek,
entonces:
1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ........ ( )kP E P e P e P e P e
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
Una distribución de probabilidad es similar a una distribución de frecuencias relativas. Sin embargo, en lugar de describir el pasado, esta describe la posibilidad de que se presente un evento futuro.
EJEMPLO: Un fabricante de medicamentos puede solicitar
un tratamiento que provoque una pérdida de peso en el 80% de la población.
Una agencia de protección al consumidor puede probar el tratamiento en una muestra de seis personas. Si la afirmación del fabricante es verdadera, es casi imposible tener un resultado donde nadie pierda peso en la muestra y es más probable que 5 de 6 personas pierdan peso.
¿Qué es una Distribución de Probabilidad?
Una distribución de probabilidad presenta los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada uno de ellos.
¿Qué es una variable aleatoria?
Es el resultado que se obtiene al azar en un experimento y que puede asumir valores diferentes.
TIPOS DE VARIABLES: Una variable aleatoria puede ser: discreta o
continua.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: será discreta cuando solo pueda asumir ciertos valores claramente contables.
Ejemplo: si existen 100 empleados, entonces el conteo del número de ausentismos el día lunes solo puede ser, 0, 1, 2, 3,………, 100.
Esta generará distribuciones de probabilidad discretas como son: La Distribución Binomial Hipergeometrica, Poisson, etc.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA:
Si el rango de una variable aleatoria contiene un intervalo de valores reales, entonces es una variable aleatoria continua.
Ejemplos: pesos, volúmenes, longitudes, voltajes, resistencia, ángulos, espesor, entre otros. Y al igual que las variables aleatorias discretas generará distribuciones de probabilidad continuas como la Distribución Normal.
MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD.
La media es un valor típico que se utiliza para representar la ubicación central de una distribución de probabilidad. También se describe como su valor esperado.
La media de la distribución de probabilidad:
µ = ∑[xP(x)]
Donde P(x) es la probabilidad de un valor particular de x.
La varianza describe la cantidad de dispersión de los datos, (variación de ellos), en una distribución de probabilidad.
La Varianza de una distribución de probabilidad:
σ2 = ∑ [(x - µ)2 P(x)]
Los pasos para calcularla son los siguientes: Restar la media a cada valor y elevar al cuadrado
esta diferencia Multiplicar cada diferencia elevada al cuadrado por su
probabilidad. Sumar los productos restantes para obtener la
varianza.
La desviación estándar, σ, se obtiene al extraer la raíz cuadrada positiva de σ2.
Ejemplo de la Varianza:
El palacio de las pizzas ofrece tres tamaños de refresco de cola: chico, mediano y grande, para acompañar las pizzas. Los refrescos de cola se venden a $0.80, $0.90 y $1.20, respectivamente. De los pedidos, 30% son para el tamaño chico, 50% para el mediano y 20% para el grande. Organice el tamaño de los refrescos de cola y la probabilidad de venta en una distribución de probabilidad.
a) ¿Es una distribución de probabilidad discreta? b) Calcule la cantidad media cobrada por refresco de cola. c) ¿Cuál es la varianza de la cantidad cobrada por un refresco de cola? ¿Cuál es la desviación estándar?
SOLUCION:
a) ¿Es una distribución de probabilidad discreta?Es una distribución de probabilidad discreta ya que los valores que toma la variable aleatoria se pueden contar, (tres valores = chico, mediano y grande), esto se puede ver en la tabla siguiente: PRECIO DEL TAMAÑO DE
REFRESCOS DE COLA (X)
PROBABILIDAD P(X)
Chico de $ 0.80 0.30
Mediano $ 0.90 0.50
Grande de $1.20 0.20
TOTALES 1.00
b) Calcule la cantidad media cobrada por refresco de cola.
La cantidad media cobrada es (precio medio): µ = ∑ [xP(x)]
= (0.80)*(0.30) + (0.90)*(0.50) + (1.20)*(0.20) µ = 0.93
c) ¿Cuál es la varianza de la cantidad cobrada por un refresco de cola? ¿Cuál es la desviación estándar?Una tabla será útil para el cálculo de la varianza:
PRECIO DEL TAMAÑO DE
REFRESCOS DE COLA (X)
PROBABILIDAD P(X) (X-µ) (X-µ)2 (X-µ)2 * P(X)
Chico de $ 0.80 0.30 0.80 – 0.93 = -0.13
0.0169 0.0169 * 0.30 = 0.00507
Mediano $ 0.90 0.50 0.90 – 0.93 = -0.03
0.0009 0.0009 * 0.50 = 0.00045
Grande de $1.20 0.20 1.20 – 0.93 = 0.27
0.0729 0.0729 * 0.20 = 0.01458
TOTAL 0.02010
VARIANZA (σ2 ) = 0.02010De donde la desviación estándar es:
σ = 0.1417744688 ≈ 0.14
Distribución de Probabilidad Binomial.
Características: Es un experimento aleatorio.
El resultado de cada ensayo es uno de dos: “éxito” o “fracaso”.
Este se conoce como experimento Bernoulli.
Un experimento aleatorio que consiste de una secuencia de n ensayos de Bernoulli tales que: Los ensayos son independientes.La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por
p, permanece constante, recibe el nombre de experimento Binomial.
Es una distribución de probabilidad discreta que se presenta muy a menudo.
Una de sus características es que existan sólo dos resultados posibles en una prueba particular de un experimento, en el control de calidad se puede identificar como una variable del tipo pasa o no pasa.
La función de probabilidad de X se calcula:
f(x, n, p) = nCx px(1 – p)n – x, x = 0, 1, 2, …, n
n: tamaño de la población
p: probabilidad de éxito en cada ensayo
x: número de ensayos
La variable aleatoria X que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial (n, p).
!
! !n x
nC
x n x
• Es el número de combinaciones de n elementos disponibles tomados X a la vez.
• “p” es generalmente la proporción promedio de artículos defectuosos
f(x, n, p) = nCx px (1 – p)n – x, x = 0,1, 2, …, n
n: tamaño de la poblaciónp: probabilidad de éxito en cada ensayox: número de ensayos o artículos defectuosos
Algunos ejemplos:• Un proceso produce 5% de piezas defectuosas.
Sea X el número de piezas defectuosas en las siguientes 20 piezas producidas.
• En una prueba final de artículos electrónicos se tiene un historial de que el 1% tiene alguna falla que es necesario reparar antes de liberarlos. Sea X la cantidad de artículos con fallas en los siguientes 50 inspeccionados.
• De los nacimientos en un hospital, sea X la cantidad de niños varones en los siguientes 10 nacimientos.
Si X es una variable aleatoria con distribución binomial (n, p), entonces, la media y la varianza de la distribución será:
µ = E(X) = np y
σ2 = V(X) = np (1 – p)
Y si estamos interesados en conocer “r” defectos o menos utilizaremos una distribución acumulada para determinar la probabilidad de presencia.
Calculo, para un valor de: r ≤ n
0
(1 )r
x n xn x
x
P x r C p p
Ejemplo 1:
En un proceso de fabricación que produce gran cantidad de artículos, se sabe que en promedio 2% de ellos son defectuosos. Los artículos son empacados en cajas de 10, y se quiere saber cuál es la probabilidad de que no haya ningún artículo defectuoso en cada caja. Si X es el número de artículos defectuosos por caja, entonces se quiere obtener P(x=0), lo cual es:
0 10 0 1010!0 0.02 1 0.02 0.98 0.82
0! 10 0 !P x
Por tanto, se espera que el 82% de las cajas no tengan ningún artículo defectuoso. Mientras que el 18% restante tendrá al menos un defectuoso.
Si se quisiera saber cuál es la probabilidad de que tengan exactamente un artículo defectuoso (P(x = 1)), entonces:
1 10 1 910!1 0.02 1 0.02 10 0.02 0.98 0.167
1! 10 1 !P x
Por lo que se espera que 16.7% de las cajas tendrá exactamente un articulo defectuoso.
Y si quisiéramos saber cuál es la probabilidad de que como máximo se tenga un defectuoso, entonces:
P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x =1) = 0.82 + 0.167 = 0.987
De manera similar se podría calcular cualquier otra probabilidad.
Problema 1:Las normas de la industria sugieren que el 10% de los vehículos nuevos requieren un servicio de garantía en el primer año. Jones Nissan en Sumter, Carolina del Sur, vendió ayer 12 autos marca Nissan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos vehículos requiera el servicio de garantía? R/ 0.2824b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de estos vehículos requieren el servicio de garantía? R/ 0.3765 c) Determine la probabilidad de que exactamente dos de estos vehículos requieren el servicio de garantía? R/ 0.2301 d) Calcule la media y la desviación estándar de esta distribución de probabilidad. R/µ = 1.2 y σ = 1.0392
Problema 2:La velocidad a la que las compañías de servicios pueden resolver problemas es muy importante. La compañía de teléfonos Telecom, informa que puede resolver los problemas del cliente el mismo día que éstos se reportan en el 70% de los casos. Suponga que 15 casos reportados hoy son representativos de todas las quejas. a) ¿Cuántos problemas esperaría que se resolvieran el día de
hoy? ¿Cuál es la desviación estándar? R/ µ=10.5 y σ=1.7748
b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de los problemas se resuelvan hoy? R/ 0.2061
c) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 u 11 de los problemas se resuelvan hoy? R/ 0.4247.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 de los problemas se resuelvan hoy? R/ 0.5154
Distribución de Probabilidad Hipergeometrica.
Esta se aplica en ciertos tipos de experimentos Bernoulli, en los que la probabilidad de éxito no se mantiene constante.
Por ejemplo, un conjunto de N objetos contiene K de ellos clasificados como éxitos y (N – K) como fallas. Se extrae una muestra aleatoria (sin reemplazo) de tamaño n, de tal forma que n ≤ N.
Sea x el número de éxitos en la muestra n, entonces, x tiene una distribución hipergeométrica.
( )( )( ; , , ) ; 0,1,2,....,K x N K n x
N n
C Cf x N K n x n
C
Donde: N: tamaño de la población; K: número de éxitos en la población; n: tamaño de la muestra y x: número de éxitos de la muestra (del que se quiere encontrar la probabilidad)
Además se tiene que:
2 (1 )1
np
N nnp p
N
KpN
Cuando n/N < 0.1, la distribución binomial, se aproxima bien a la distribución hipergeométrica.
EJEMPLO:
Play Time Toys, Inc. emplea a 50 personas en el departamento de ensamblaje. Cuarenta de los empleados pertenecen a un sindicato y diez no. Se seleccionan cinco empleados al azar para formar un comité que va a hablar con la gerencia acerca de los horarios en que inician los turnos.
¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados seleccionados para el comité pertenezcan a un sindicato?
La población son los 50 empleados del departamento de ensamblaje.
Un empleado puede ser seleccionado para el comité sólo una vez.
El muestreo se realice sin reemplazos.
Por tanto, la probabilidad de seleccionar un empleado sindicalizado, cambia de un ensayo a otro.
La distribución de probabilidad hipergeométrica es adecuada para determinar la probabilidad.
SOLUCION:
el número de empleados: N = 50, el número de empleados sindicalizados: K = 40, el número de empleados seleccionados: n = 5,el número de empleados sindicalizados
seleccionados: x = 4.
Para encontrar la probabilidad de que 4 de los 5 miembros del comité sean sindicalizados, tenemos:
40 4 50 40 5 4
50 5
40! 10!91390 104!36! 1!9!
(4) 0.43150! 21187605!45!
C CP
C
( )( )( ; , , ) ; 0,1,2,....,K x N K n x
N n
C Cf x N K n x n
C
La tienda Enseres Electrónicos del Sur, acaba de recibir un cargamento de diez reproductores de DVD. Poco después de recibirlo, el fabricante llamó para reportar que por error enviaron tres unidades defectuosas. La propietaria de la tienda, decidió probar dos de los diez reproductores de DVD que recibió. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos reproductores de DVD probados esté defectuoso? R/ 0.4667
EJERCICIO 1:
Distribución de Probabilidad de Poisson
Una situación frecuente en control de calidad es evaluar variables como las siguientes:
número de defectos por artículo, número de defectos por metro cuadrado de tela, número de defectos por unidad de área, número de impurezas en un líquido, número de errores de un trabajador.
Todos los casos anteriores se pueden resumir así: número de eventos que ocurren por unidad (por unidad de área, por unidad de volumen, por unidad de tiempo)
Es frecuente que este tipo de variables tenga una distribución de Poisson, cuya función de distribución de probabilidad está dada por:
Donde:
x: número de ensayos o artículos defectuosos
℮ = 2.718281828……..
media de la distribución es: µ = np = λ
su varianza es: σ2 = λ
( ; ) 0,1,2,........!
xef x x
x
EJEMPLO:
Un estudio de las filas en las cajas registradoras del Supermercado Selectos Gigante reveló que entre las 4:00 y las 7:00 p.m., los fines de semana existe un promedio de cuatro clientes formados. ¿Cuál es la probabilidad de que usted visite el Supermercado Selectos Gigante a esa hora durante este mes y encuentre que:
a) ¿No hay clientes esperando?
b) ¿Hay cuatro clientes esperando?
c) ¿Cuatro clientes o menos esperando?
d) ¿Cuatro clientes o más están esperando?
Basados en que el experimento sigue una distribución de Poisson, determinamos que el valor de λ = 4 que corresponde al promedio observado y procedemos a evaluar las condiciones pedidas en la formula de la distribución.
SOLUCION:
044
4
444
4
) 0 , 4
4 10 0.01832
0!) 4 , 4
4 64 644 0.19537
4! 6 6
a x clientes
eP x e
eb x clientes
eP x e
e
444
4
344
4
244
4
144
4
044
4
) 4 , 4
4 64 644 0.19537
4! 6 6
4 64 643 0.19537
3! 6 6
4 16 82 0.14653
2! 2
4 41 4 0.07326
1!
4 10 0.01832
0!
c x omenos clientes
eP x e
e
eP x e
e
eP x e
e
eP x e
e
eP x e
e
Cuyo total es de:
P(x≤4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4)
P (x≤4) = 0.01832 + 0.07326 + 0.14653 + 0.19537 + 0.19537
= 0.62885
d)P (x≥4) = 1 – P (x<4) = 1 - (0.01832 + 0.07326 + 0.14653 +
0.19537) = 0.56652
La señorita Magaña es ejecutiva de préstamos del Banco CITY. Por sus años de experiencia, ella calcula que la probabilidad de que un solicitante no pueda pagar su préstamo inicial es de 0.025. El mes pasado ella realizó 40 préstamos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se paguen 3 prestamos? R/ a) 0.0613 b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 préstamos queden sin pagar? R/ b) 0.0803
EJERCICIO
Distribución de Probabilidad Normal
Es probablemente la distribución continua más importante, tanto en estadística teórica como aplicada. Si X es una variable aleatoria normal, entonces su función de densidad de probabilidades esta dada por:
2221
( )2
x
f x e con x
Donde: µ es su media y σ su desviación estándar.
Graficando la Función
Al graficar la función f(x) se obtiene una gráfica en forma de campana con una sola cima en el centro de la distribución.
La media aritmética, mediana y moda son iguales y están ubicadas en el centro de la distribución
Es una distribución simétrica con respecto a la media. Si cortamos en sentido vertical la curva normal en el valor central, las dos mitades serán imágenes espejo.
La curva es ASINTOTICA, se acerca más y más al eje X pero nunca lo toca, los extremos de la curva se extienden de manera indefinida en ambos sentidos.
La ubicación de una distribución normal se determina a través de la media µ. Y la dispersión de la distribución por medio de la desviación estándar, σ.
La Distribución de Probabilidad Normal Estándar
Es una distribución normal con media cero (Z = 0) y desviación estándar uno .
Cualquier distribución normal se puede convertir en una distribución normal estándar, restando el valor de la media de cada observación y dividiendo está diferencia entre la desviación estándar.
A los resultados se les llama valores tipificados de z o valores z, de donde:
Siendo:
(Z calcularlo con dos decimales)
X el valor de cualquier observación;
µ es la media de la distribución y
σ es la desviación estándar de la distribución,
Los valores z tienen una distribución normal con una media de cero y una desviación estándar de uno .
Xz
La tabla que aparece en el apéndice D enumera las probabilidades para la distribución normal estándar.
Si X es una variable aleatoria con distribución normal (µ, σ), entonces se cumple que:
1. P(µ - σ < X < µ + σ ) = 0.6827
2.P(µ - 2σ < X < µ + 2σ ) = 0.9545
3.P(µ - 3σ < X < µ + 3σ ) = 0.9973
4.P(x = a) = 0 para cualquier número a.
Estas propiedades señalan la proporción de la distribución normal que se localiza en torno a la media µ.
Teorema Central del Limite.
Sea x1, x2,……., xn una muestra aleatoria de cualquier población, y sea la media muestral, entonces, independientemente de cómo sea la distribución de la población de donde se extrajo la muestra, la distribución de
se aproxima a la normal conforme n crece.
Cuando la distribución de donde proviene la muestra no sea radicalmente distinta a la normal, entonces la aproximación empieza a ser buena para tamaños de muestra mayores o iguales que n = 4. En caso de que sea muy diferente se requieren tamaños de muestras mayores.
X
X
EJEMPLO 1:
Tomaremos de ejemplo el peso de una caja de cereales y deseamos calcular la probabilidad de que las cajas pesen entre 283 y 285.4 gramos.
Sabiendo que el peso de las cajas sigue una distribución normal con una media de 283 gramos y una desviación estándar de 1.6 gramos.
CASO I: Deseamos conocer la probabilidad o área por debajo de la curva entre la media, 283 y 285.4 gramos.
Para encontrar la probabilidad es necesario convertir tanto 283 como 285.4 gramos a valores z.
El valor de z= 0 para 283, ya que coincide con la media de la distribución y el valor z que corresponde a 285.4 es z=1.50 .
Se calcula así: (285.4 – 283)/1.6 = 1.50
A continuación pasamos a la tabla (Apéndice D), y leemos en la fila que corresponde al valor de z = 1.5, en la primera columna el valor de 0.4332,
SOLUCION:
Esto significa que el área por debajo de la curva entre 0.00 y 1.5 es 0.4332. La cuál representa la probabilidad de que una caja de cereal pese entre 283 y 285.4 gramos.
Si representamos por x el peso, tenemos que su probabilidad es: P(283 ≤ x ≤ 285.4) = 0.4332
285.4
EJEMPLO: Calculo de ProbabilidadesCasos, de Áreas.
Caso II:
Cuando el peso de las cajas de cereales sea mayor de 285.4 gramos.
Caso III:
Cuando el peso de las cajas este entre 281.4 y 285.4
Caso IV:
Cuando el peso de las cajas este entre 284.6 gramos y 285.4 gramos.
En Resumen.
Existen cuatro situaciones para encontrar el área por debajo de la distribución normal estándar:
1) Para encontrar el área entre o y Z ( 0 – Z), vea la probabilidad directamente en la tabla
2)Para encontrar el área más allá de Z o ( - Z), localice la probabilidad de Z en la tabla y reste esa probabilidad de 0.5000.
3) Para encontrar el área entre dos puntos en lados distintos de la media, determine los valores Z y sume las probabilidades correspondientes.
4) Para encontrar el área entre dos puntos en el mismo lado distinto de la media, determine los valores de Z y reste la probabilidad menor de la mayor.
Como parte de su programa de aseguramiento de la calidad, la compañía de baterías AUTOLITE realiza pruebas sobre la vida útil de las baterías. La vida media para una batería de celda alcalina D, es de 19 horas. La vida útil de la batería sigue una distribución normal con una desviación estándar de 1.2 horas. Responda las preguntas siguientes:a) ¿Dentro de que par de valores se encuentra el 68% de las baterías?b) ¿Dentro de que par de valores se encuentra el 95% de las baterías?c) ¿Entre qué par de valores se encuentran todas las baterías?
EJEMPLO 2:
Para poder responder estas preguntas es posible utilizar los resultados de la regla empírica.a) ¿Dentro de que par de valores se encuentra el 68%
de las baterías? Alrededor de 68% de las baterías tienen una vida útil entre 17.8 y 20.2 horas, dato que se encuentra por medio de 19.0 ± 1(1.2) horas.
b) ¿Dentro de que par de valores se encuentra el 95% de las baterías?
Cerca del 95% de las baterías tienen una vida útil entre 16.6 y 21.4 horas, dato que se encuentra por medio de 19.0 ± 2(1.2) horas.
c) ¿Entre qué par de valores se encuentran todas las baterías? Virtualmente todas las baterías tienen una vida útil entre 15.4 y 22.6 horas, dato que se encuentra por medio de 19.0 ± 3(1.2) horas.
Esta información se resume en la siguiente gráfica:
Los ingresos semanales de los supervisores de la industria del vidrio tienen una distribución normal con una media de $ 1 000.00 y una desviación estándar de $ 100.00.a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un supervisor cuyo ingreso esté entre $790.00 y $ 1 000.00?b) ¿Menos de $ 790.00?c)¿Si su salario está entre $840.00 Y $1 200.00?
EJEMPLO 3:
a y b) Empezamos por encontrar el valor de z correspondiente a un salario neto de $790.00 y tenemos:
$790 $10002.10
$100
xz
SOLUCION:
En la tabla buscamos el valor de 2.1 y a la par en la columna denominada como 0.00 encontramos el valor de 0.4821 que corresponde al área bajo la curva normal entre 0.00 y 2 .10.
Debido a que la distribución normal es simétrica, el área entre 0 y un valor de z negativo es lo mismo que el que se encuentra entre 0 y un valor de z positivo.
Luego la: P($790 ≤ ingreso semanal ≤ $1000) = 0.4821
La media divide la curva normal en dos mitades idénticas. El área por debajo de la mitad a la izquierda en 0.5000, y el área a la derecha también es 0.5000. Debido a que el área por debajo de la curva entre $ 790.00 y $ 1 000.00 es 0.4821, el área por debajo de $ 790.00 se encuentra mediante 0.5000 – 0.4821.
P(ingreso semanal < $790.00) = 0.0179. Lo cual se resume en el diagrama siguiente:
$840 $1000 $1601.60
$100 $100
xz
$1200 $1000 $2002.00
$100 $100
xz
Literal c) El problema se puede dividir en dos partes. Para el área entre $ 840 y la media de $1000.
Para el área entre la media de $ 1 000.00 y $ 1 200.00.
En la Tabla comprobamos que el valor del área comprendida entre 0 y z = - 1.60 es 0.4452 y el área bajo la curva entre 0 y z = 2.00 es 0.4772. Sumando las dos áreas: 0.4452 + 0.4772 = 0.9224 por consiguiente: P($840 ≤ ingreso semanal ≤ $1200) = 0.9224, el cual se ve en la gráfica: