unidad+2+derivadas+parciales+y+aplicaciones

7/27/2019 Unidad+2+Derivadas+Parciales+y+Aplicaciones

1/37

1

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1

Hasta ahora nos hemos preocupado del Clculo Diferencial e Integral de funciones

de una variable, sin embargo, en el mundo real las cantidades fsicas dependen de dos oms variables, por ejemplo : el volumen de un cilindro recto circular depende del radio y de la altura , la presin ejercida por un gas ideal encerrado es una funcin de sutemperatura y de su volumen , la temperatura de un punto ( ) de un objeto en el espacio puede depender del tiempo y adems de las tres coordenadas rectangulares , de , un fabricante puede saber que el costo de producir cierto artculo dependedel material, la mano de obra, el equipo, el costo de mantenimiento y los gastos

materiales (cinco variable!) etc.

Como usualmente se trabajar con funciones de dos o tres variables se presenta la

Definicin formal de una funcin de dos variables.

DEFINICION 1.1 Sea . Una FUNCION DE DOS VARIABLES es una regla que asigna a cada par ordenado de nmeros reales ( ) en un nico nmero real denotado por .

NOTACION : Manteniendo la notacin utilizada para funciones de una variable

se tiene ahora :

En lo que resta de esta unidad se considera una regin o dominio (ver Apndice )

OBSERVACION 1.1 En este caso Dominio de , o bien, en el caso que sea necesario precisarlo se utiliza el concepto.

mientras que el de est dado por el conjunto de imgenes, esto es :RANGO

Adems las variables e corresponden a las variables independientes mientras que corresponde a la variable dependiente.

EJEMPLO 1.1 Hallar el dominio de y adems

( )

Por lo tanto ,


2/37

2

Graficamente :

Adems

(

DEFINICION 1.2 Si es una funcin dada por entonces la GRAFICA de que se denota por es el conjunto

Tal como en el caso de una funcin de una variable en que su grfica est dada por unacurva de ecuacin contenida en el plano , as la grfica de una funcin

de dos variables est dada por una superficie con ecuacin contenida en el espacio (Ver Figura )


3/37

3

La obtencin de la grfica de una superficie dada por es a menudo un problema complicado. Es posible tambin utilizar el software Derive, Maple V u otros

para obtener directamente la grfica de una superficie, enseguida se muestran algunas

grficas de superficies obtenidas mediante un computador.

Existe otro mtodo grfico de gran utilidad para describir una funcin ,ste consiste trazar en el plano las grficas de las ecuaciones , para varios valores de la constante . Las grficas as obtenidas se llaman CURVAS DE NIVEL DE y un conjunto de tales curvas se llama de de (Ver figura ).MAPA CONTORNO

Notar que el potencial crece en la direccin en que aumenta .


4/37

4

OBSERVACION 1.2 Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboracin de

mapas orogrficos o planos de configuracin, mapas hidrogrficos, mapas meteorolgicos

o climticos donde las curvas de nivel corresponden a las isotermas (temperatura

constante) o bien isobaras (presin atmosfrica constante) En la figura se muestran

estas aplicaciones.

2. LIMITES Y CONTINUIDAD

Consideremos la funcin definida en un entorno reducido de 2

( , ), es decir, puede que ( ) no est definida en ( , ). Interesa dar ahora el significado correspondiente a la expresin.

lim( ) ( , )

( )

El anlisis informal realizado anteriormente para el concepto de lmite de funciones

de una variable encuentra algunas dificultades, por ejemplo ya no es posible recurrir a la

grfica de la superficie , puesto que stas son ms difciles de obtener; por otra

parte la idea intuitiva de que ( ) "tiende" a un punto ( , ) tampoco tiene la simpleza de las funciones de una variable en las cuales las alternativas de acercamientoeran solamente dos : por la izquierda y por la derecha, mientras que ahora existen

infinitas maneras de acercarse al punto ( , ). Entonces para que ,

lim

exista, se requiere que tienda al mismo nmero por toda trayectoria posible que pase por ( , ) (Ver Figura


5/37

5

a) Trayectorias dadas por b) Trayectorias dadas

todas las rectas que por todas las curvas

pasan por que pasan por

De todas maneras es posible extender la definicin formal de lmite de funciones de una

variable, al caso de funciones de dos o ms variables.

DEFINICION 2.1 Sea definida en un entorno de centro ( , ) 2 excepto posiblemente en ( , ) .Entonces lim

( ) ( , )

OBSERVACION 2.3 La definicin 2.1 ignora completamente la nocin de trayectorias

de acercamiento al punto . Esto significa que si diferentes trayectorias de acercamiento conducen a valores diferentes de entonces el lmite no existe.


6/37

6

A continuacin se muestra mediante ejemplos, algunos casos de no existencia de lmites.

EJEMPLO 2.2 Hallar si existelim

La tcnica ms directa para justificar la no existencia de lmites se basa en la nocin delmites iterados que estn dados por y ( ( ) que no sonlim lim lim lim

necesariamente iguales (Ver Figura 2.1 (a) )

En este caso :

lim lim lim lim

mientras que :

lim lim lim lim

Por lo tanto, como estos lmites son distintos se concluye que no existe lim

Si los lmites iterados son iguales, se puede concluir que ste es el valor del lmite ?

EJEMPLO 2.3 Probar que no existelim( ) ( )

Es claro que en este caso los lmites iterados son iguales, en efecto :

lim lim

lim lim

Sin embargo, debemos analizar lo que ocurre si consideramos las trayectorias de

acercamiento al punto ( ) correspondiente a rectas. Se debe recordar que cualquier recta que pase por el origen tiene por ecuacin , esto es,

Entonces :

lim lim lim

lim

de modo que depende de la pendiente de la recta sobre la cual se acercalim

al origen. Por ejemplo :


7/37

7

Si , esto es, sobre entonces lim

Si esto es, sobre entonces lim

25

Por lo tanto , no existe lim

OBSERVACION 2.4 En general los teoremas fundamentales sobre lmites para

funciones de una variable se pueden extender con las modificaciones apropiadas, a

funciones de dos o ms variables.

EJEMPLO 2.4 Calcular en caso de existirlim

( ) ( , )

En este caso lim lim lim( ) ( . )

lim

Una vez analizada la nocin de lmite de funciones de dos variables es posible entregar el

concepto de continuidad.

DEFINICION 2.2 Sea : tal que est definida en un entorno de 2( , ). Se dice que es CONTINUA en ( , ) ssi lim .

OBSERVACION 2.5 Analogamente a lo que ocurre en funciones de una variable, La

Definicin 2.2 significa que :

i) est definida en )

ii) Existe lim

iii) El lmite anterior es igual a esto es

lim


8/37

8

EJEMPLO 2.5 Probar que es continua en (4. )

i) est definida en ( , ) , ya que ( , )

ii) Existe . De acuerdo al Ejemplo 2.4lim

lim

8 2iii) Comparando i) y ii) se concluye lim

Por lo tanto , es continua en ( , )

3. DERIVADAS PARCIALES

Supongamos que es una funcin de 2 variables e . Si se mantiene constante, digamos entonces es una funcin que depende solamente de . Su derivada en se llama derivada parcial de con respecto a en Tambin se puede mantener fijo y obtener la derivada parcial de conrespecto a en La formalizacin de esta idea est dada por :

DEFINICION 3.1 Sea : y sea ( , ) un punto interior de se 2 llama DERIVADA PARCIAL de con respecto a en el punto( , ) al lmite.

lim

cuando existeSe llama DERIVADA PARCIAL de con respecto a en elpunto ( , ) al lmite.

lim

cuando existe

NOTACION La derivada parcial de ( ) con respecto a en ( , ) se denota por

o lo mismo para


9/37

9

Anlogamente la derivada parcial de con respecto a en , se denota por :

o lo mismo para ,

Para obtener la funcin derivada, basta reemplazar en la Definicin 3.1 el punto ( ). Entonces :

DERIVADA PARCIAL de con respecto a

lim

DERIVADA PARCIAL de con respecto a

lim

En este caso es ms claro que la derivacin parcial de con respecto a corresponde a la razn a la cual cambia ( ) cuando vara , mientras que se mantiene constante.

Anlogamente se interpreta la derivada parcial de con respecto a .

Por lo tanto la tcnica de derivacin parcial consiste en :

1. Para encontrar , considrese a como constante y dervese ( ) con respecto a .

2. Para encontrar , considrese a como constante y dervese ( ) con respecto a .

EJEMPLO 3.2 Si , hallar y

Considerando como constante se obtiene, por derivacin respecto a :

Considerando como constante se obtiene , por derivacin respecto a :


10/37

10

EJEMPLO 3.3 Si hallar

entonces

Por otra parte :

entonces ( )

( )

Por lo tanto :

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Si es una funcin de dos variables y si tiene derivadas parciales en cada punto

( ) de una regin entonces y , son a su vez funciones de e que pueden tener tambin derivadas parciales.

En este caso resultan cuatro derivadas parciales de .segundas

EJEMPLO 3.6 Encontrar las cuatro segundas derivadas parciales de

( )


11/37

11

( ) ( ) ( ) ( ) )

( )

( ) ( ) ( )

Notar que las derivadas parciales , llamadas DERIVADAS PARCIALESMIXTAS son iguales, situacin que ocurrir para el tipo de funciones que utilizaremos

con mayor frecuencia . La formalizacin de esta situacin est dada por el siguiente

teorema.

TEOREMA 3.1 (DE CLAIRAUT) Si , , , y son continuas en un conjunto abierto entonces :

( , ) ( , ) para todo ( , )

4. DIFERENCIABILIDAD

DEFINICION 4.1 Se dice que es DIFERENCIABLE en p ssi existe un

vector q tal que

p h p q h h donde cuando h

OBSERVACION 4.1 qEs demostrable que si el vector existe entonces es nico.

Llamaremos a este vector , el de en , y se denota por ( ). Por loq GRADIENTE p p tanto

p h p p h h hdonde cuando Es conveniente tambin notar algunosalcances contenidos en la Definicin 4.1

i) Mientras que la derivada ( ) es un nmero real , el gradiente ( ) es un vector. pii) El producto ( ) corresponde al producto punto entre vectores. piii) La Definicin tiene sentido para una funcin de variables

La Definicin 4.1 es poco prctica para calcular el gradiente de una funcin. El siguiente

Teorema entrega reglas de clculo ms directas.

TEOREMA 4.1 a) Si una funcin de dos variables es diferenciable en

p ( ) entonces existen las primeras derivadas parciales de en y


12/37

12

(p ( p ) i (p) j

b) Si una funcin de variables es diferenciable enp entonces existen las primeras derivadasparciales de en y

(p p i ( p) j (p k

La caracterizacin del gradiente que entrega el Teorema 4.1 tiene el inconveniente de

exigir como hiptesis que sea diferenciable. esta dificultad se salva con el siguienteTeorema.

TEOREMA 4.2 Si admite primeras derivadas parciales en un entorno de p ysi estas derivadas parciales son continuas en p entonces es

diferenciable en p.

EJEMPLO 4.1 p pSi ( ) , hallar ( ) si ( ,0, ) Primero debemos justificar que es diferenciable en p Como son funciones continuas en

p p entonces es diferenciable en (Teorema 4.2)

Usando ahora el Teorema 4.1, se tiene :

( ) ( ) ( ) ( )p p i p j p k

Como ( )

p

( ) p

( , entonces

p

p i j k ( )

TEOREMA 4.3 Si es diferenciable en p entonces es continua en p


13/37

13

OBSERVACION 4.2 La nocin de diferenciabilidad de una funcin de cualquier

nmero de variables independientes, depende del incremento de las variables

independientes. En efecto, si retomamos la notacin en coordenadas rectangulares para

p h entonces :

p h p

de modo que la Definicin 4.1 asume la forma

1 2 1 2, donde ,cuando ( ) ( ) En base a esta nueva situacin se puede entregar el concepto de diferencial para funciones

de dos o ms variables.

DEFINICION 4.2 Sea una funcin de dos variables que admite primeras derivadas parciales . Entonces

i) Las DIFERENCIALES de las variables independientes

estn dadas por ii) La DIFERENCIAL (o DIFERENCIAL TOTAL) de la

variable dependiente est dada por

Basados en lo que ocurre para funciones de una variable es razonable pensar que proporcione una buena aproximacin para para y pequeos, sin embargo la garanta de que para incrementos pequeos exige la continuidad de las primeras derivadas parciales.

EJEMPLO 4.2 La temperatura en el punto ( ) en un sistema de coordenadas rectangulares est dada por :

Use diferenciales para calcular la diferencia de temperaturas entre los puntos (6,3) y(6.1,3.3)

Aqu ( ) ( ), y , mientras que


14/37

14

Reemplazando :

Como las derivadas parciales y son continuas en un entorno del punto (6,3)

entonces la aproximacin obtenida es aceptable.

REGLA DE LA CADENA

Recordemos que si y son funciones de una variable tales que

y

entonces la funcin compuesta entre y est dada por

y la derivada se puede precisar aplicando la Regla de la Cadena, esto es :

Interesa ahora generalizar esta idea a funciones de varias variables

Para el caso de funciones de 2 variables, la situacin ms simple est dada por :

siendo e funciones de la variable , entonces y tiene sentido el

problema de determinar

TEOREMA 4.4 (Regla de la Cadena A) Sean e funciones diferenciales en . Entonces es diferenciable en y


15/37

15

EJEMPLO 4.3 Si donde y . Determinar

Aplicando el Teorema anterior :

EJEMPLO 4.4 Supongamos que cuando se calienta un slido cilndrico circular recto,

su radio aumenta a razn de 0.2 ( / ) y su altura aumenta a razn de 0.5 ( / ). Determinar la razn de crecimiento del rea de superficie con respecto al tiempo en el

instante en que el radio es de 10 cm y la altura es de 100 cm.

Se sabe que el rea de la superficie de un cilindro circular recto de altura y radio est dada por

Luego :

Cuando y se tiene


16/37

16

Consideraremos ahora la situacin en la que , pero cada una de las variables e es funcin de dos variables y . En este caso tiene sentido el problema de

determinar

TEOREMA 4.5 (Regla de la Cadena ) Sean funciones que admiten primeras derivadas parciales en y sea diferenciable en . Entonces tiene primeras derivadas parciales dadaspor :

i)

ii)

EJEMPLO 4.5 Si , en donde determinar

y

Usando la Regla de la Cadena B , se tiene :

zs s s

Anlogamente :

OBSERVACION 4.3 diagramaPara recordar la Regla de la cadena se puede usar el

del rbol (Ver Figura 4.2) Para construir el diagrama se dibujan ramas de la variable

dependiente ( ) a las variables intermedias ( e ) para indicar que es una funcin de estas dos variables. Enseguida se dibujan ramas de las variables intermedias a las

variables independientes ( y ). En cada rama se escribe la derivada parcial

correspondiente. La Figura 4.2 se utiliza del siguiente modo : Para encontrar , ses

toman los productos de todas las derivadas parciales que aparecen a lo largo del camino


17/37

17

de a , es decir : y y luego se suman estos productos. Se

concluye entonces

Anlogamente usando las ramas que van de a se encuentra

Por ejemplo si con e entonces

Entonces Justifique !

La Regla de la Cadena puede aplicarse a funciones compuestas de cualquier nmero de

variables y es posible construir diagramas de rbol como ayuda para formular la derivada

parcial solicitada. El siguiente Teorema garantiza la validez de la generalizacin.

TEOREMA 4.6 (Regla de la Cadena Caso General) Supngase que es una funcin diferenciable y que cada unade las variables , ... , es una funcin de variables , ......, de tal manera que todas las derivadas parciales existen ( , ,.... y . Entonces es funcin de , ,..... y para

cada

EJEMPLO 4.6 Escribir la regla de la cadena para el caso en que

y

Usaremos el diagrama de rbol, que en lo sucesivo no contendr en las ramas la

correspondiente derivada parcial. En este caso


18/37

18

Entonces

EJEMPLO 4.7 Escribir la regla de la cadena para el caso en que y )

En este caso el diagrama de rbol est dado por

La regla de la cadena adquiere importancia cuando se necesita calcular la derivada parcial

de una funcin diferenciable definida en trminos generales solamente a travs de unargumento. Por ejemplo :

Sea probar que

Aqu el diagrama de rbol corresponde a :


19/37

19

Lo importante de distinguir aqu es que puede ser cualquier funcin diferenciable : etc Se

probar que independiente de la seleccin de , se mantiene el resultado

En efecto :

2

Por lo tanto :

El ejemplo anterior muestra que la regla de la cadena es una valiosa herramienta

matemtica que permite plantear enunciados generales acerca de las derivadas parciales

de un nmero infinito de funciones formadas de la misma manera . Esta situacin tiene

aplicaciones en el campo de las soluciones de ecuaciones que contienen derivadas

parciales.

EJEMPLO 4.8 Si demostrar que

Antes que cualquier cosa el alumno debe distinguir que es una funcin de tres variablesy que puede ser cualquier funcin diferenciable que no se necesita conocerexplcitamente. Al introducir las variables de se conforma un esquema de sustitucin,esto es :

, donde , ,

Por consiguiente el diagrama de rbol que queda


20/37

20

Entonces :

Anlogamente :

( 1)

Finalmente :

EJEMPLO 4.9 La ecuacin diferencial parcial

constante

es una clsica ecuacin para matemticos, fsicos e ingenieros y aparece en los estudios

de la luz o el sonido. En este caso es una funcin diferenciable de y . Demostrar que cualquier funcin diferenciable de la forma satisface la ecuacin de la onda.

Usando la estrategia del ejemplo anterior hacemos de modo que el diagrama de rbol queda


21/37

21

Entonces :

En general la determinacin de las segundas derivadas parciales para funciones

compuestas no es una cosa directa, pero en este caso particular se ve facilitado

Recordemos que

pero , tomndose como una funcin de y .

Entonces :

En este caso el diagrama de rbol queda :

Entonces

Notar que en este caso el resultado obtenido puede alcanzarse ms directamente

reemplazando por en la expresin obtenida anteriormente. En

efecto


22/37

22

Luego :

Para calcular recurrimos a esta ltima tcnica, esto es, reemplazar por en la

expresin Entonces

Comparando las segundas derivadas parciales, se tiene que

2

Se propone al alumno verificar que tambin es solucin de la ecuacin de la onda , de modo que sigue siendo solucin

DERIVACION IMPLICITAAunque en la II Unidad de Clculo I se introdujo la tcnica para derivar funciones

( ) definidas implcitamente por la ecuacin , ahora es posible describirms completamente tal procedimiento mediante la regla de la cadena. En efecto,

definamos la funcin compuesta por con

entonces

De la definicin de funcin implcita, se tiene que para todo

de modo que . Adems como entonces

Por lo tanto :

Si entonces


23/37

23

Este anlisis se puede resumir en

TEOREMA 4.7 Si una ecuacin define implcitamente a una funcin derivable ( ) tal que , entonces

EJEMPLO 4.10 Encontrar suponiendo que satisface la ecuacin

Supongamos , entonces

Aplicando el Teorema 4.7 se tiene :

En el contexto de funciones de dos o ms variables, debemos considerar una ecuacin de

la forma que define implcitamente a una funcin, por ejemplo, . Esto significa que para todo ( ) . Si es diferenciable y las derivadas parciales y existen entonces es posible usar la regla de la cadena para determinar las derivadas parciales y , sin que sea necesario

despejar de la ecuacin . El siguiente teorema garantiza tal situacin :

TEOREMA 4.8 Si una ecuacin define implcitamente a una funcin diferenciable tal que en el dominio de entonces :

Demostracin Un esquema de demostracin, alternativo al uso de la regla de la

cadena, consiste, en la aplicacin del concepto de diferenciales analizado anteriormente.

Presentaremos una demostracin en base a esta idea

Como entonces

Por otra parte implica que


24/37

24

Reemplazando en se tiene

Pero como e son variables independientes entonces

y

Por lo tanto, se obtienen las expresiones :

y , con

EJEMPLO 4.11 Encontrar y suponiendo que satisface la

ecuacin

Supongamos , entonces

Aplicando el Teorema se tiene :

y

5. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE

Sea una superficie cuya ecuacin est dada por Si es un punto en el plano entonces ) con es un punto de la superficie . Nuestro propsito es obtener la ecuacin del plano tangente y de la recta

normal a la superficie en el punto (Ver Figura ) o


25/37

25

Recordemos que en la Seccin 3 se hizo la interpretacin geomtrica de las

derivadas parciales y (Ver Figura ) concluyndose que : corresponde a la pendiente de la tangente a la curva en el punto es la curva de interseccin entre la superficie y el plano , mientras que corresponde a la pendiente de la tangente a la curva en el punto

( es la curva de interseccin entre la superficie y el plano2

Por lo tanto, los nmeros directores de la tangente son , mientras que los nmeros directores de la tangente son . Entonces , si existe el plano tangente a la superficie en el punto , ste onecesariamente debe ser en el plano determinado por las rectas tangentes y .

Resulta natural entonces definir el plano tangente como el plano que pasa por

o y que tiene como vector normal a un vector que es perpendicular simultneamente alos vectores asociados a las tangentes y , estos son y v i k1v j k2

Por consiguiente :

v v i j ki j k 0 1

DEFINICION 5.1 Sea una superficie dada por y un punto fijo osobre ella . Sean y dos puntos. Si para cualquier eleccinde y , el plano formado por , y tiende a un mismo plano, digamos , cuando y tienden al punto


26/37

26

sobre la superficie , entonces este plano lmite se llamaPLANO TANGENTE a la superficie en el punto .

En base a esta Definicin y al anlisis realizado anteriormente se tiene que nuestro plano

tiene como vector normal a y contiene al punto i j k

z ) de modo que si es un punto genrico de entonces esto dada por :

i j k i j kPor lo tanto la ecuacin del plano tangente a la superficie en

: DEFINICION 5.2 Si una superficie tiene un plano tangente en un punto ,

entonces la recta pasa por perpendicularmente al planotangente se llama RECTA NORMAL a la superficie en .

En base a la Definicin anterior, la determinacin de la ecuacin de la recta normal a

la superficie en el punto es prcticamente directa, ya que se conocen sus nmeros directores . Por lo tanto, la ecuacin de la recta normal en su forma simtrica est dada por :

EJEMPLO 5.1 Encontrar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a

la superficie en el punto donde

Considerando entonces para se tiene que

de modo que

Adems

Por lo tanto, el plano tangente tiene como nmeros directores a , de modo que su ecuacin est dada por

mientras que la ecuacin de la recta normal est dada por


27/37

27

El anlisis realizado anteriormente para definir y determinar la ecuacin del plano

tangente a una superficie dada por se puede extender directamente al caso

general en que la superficie est definida por una ecuacin de la forma En este caso apelando a la derivacin implcita,. se tiene que

y

de modo que los nmeros directores de la normal est dados ahora por

que son equivalentes a es decir, los nmeros directores de la normal al plano tangente coinciden con la direccin del gradiente de la superficie en ,esto es , . En conclusin

DEFINICION 5.3 Supongamos que determina una superficie y que es diferenciable en un punto de con Entonces el plano que pasa porperpendicular a se llama PLANO TANGENTE a la superficie en

TEOREMA 5.1 Para la superficie y el punto de ella se tiene :a) ECUACION DEL PLANO TANGENTE en b) ECUACION DE LA RECTA NORMAL en :

EJEMPLO 5.2 Probar que las superficies y

son , en el punto (0, 1,2), esto es,tangentes entre sidemostrar que ellas tienen el mismo plano tangente en .

Sean

y


28/37

28

Entonces ( , , ) ( ) y la ecuacin del plano tangente ,

est dada por:

Por otra parte ( , , 2 y la ecuacin del plano

tangente est dado por :2

Por lo tanto ambas superficies son tangentes en (0, 1,2) ya que tienen el plano tangentecomn en .

EJEMPLO 5.3 mutuamente ortogonalesDos superficies son en un punto de

interseccin , si sus normales en dicho punto son mutuamente ortogonales. Probar que la

esfera es ortogonal al paraboloide en el

punto .

Consideremos

y

Entonces

En este caso las ecuaciones de las normales estn dadas por :

Normal a la esfera

Normal al paraboloide

Para probar la ortogonalidad entre las superficies bastar probar la ortogonalidad entre los

vectores normales a las superficies, es decir, la ortogonalidad entre los vectores

gradientes, a travs del producto punto. En este caso


29/37

29

Por lo tanto, las superficies dadas son mutuamente ortogonales en el punto (2,2,8)

EJEMPLO 5.4 Demuestre que la suma de las intercepciones con los ejes

coordinados de cualquier plano tangente a la superficie , : constante positiva, es constante.

Sea la superficie dada y un punto de ella, de modo que satisface su ecuacin, es decir :

o oo

Por determinar la ecuacin del plano tangente a en

En efecto :

Luego la ecuacin del plano tangente est dado por :

o ooPor lo tanto, las intercepciones con los ejes coordenados son :

- - -

Sumando estas intersecciones, se obtiene :

esto es , una constante.

INTERPRETACION GEOMETRICA

Supongamos que se conserva fija en el valor , entonces las ecuaciones


30/37

30

corresponden a la curva de interseccin entre el plano y la superficie1 (Ver Figura 3.1 (a) ). En este caso ( , ) puede interpretarse como la pendiente de la tangente a la curva en el punto ,1

Similarmente ( , ) representa la pendiente de la tangente a la curva de interseccin

2 : , en el punto (Ver Figura 3.1 (b) )

EJEMPLO 3.4 Sea la traza del paraboloide en el plano

. Obtenga las ecuaciones paramtricas de la recta tangente a la curva en elpunto (1,2,4). Grafique.

En este caso la ecuacin simtrica de la recta tangente est dada por :


31/37


32/37

32

estudiar la razn de cambio de en cualquier direccin, esto debe conducir al conceptode derivada direccional que est ntimamente relacionado con el concepto de gradiente.

Usando la notacin y algebra de vectores se pueden escribir lasp derivadas parciales anteriores del siguiente modo

p lim

p i p

p lim

p j p

Notar que para conseguir nuestro propsito, bastar reemplazar los vectores y por uni j

vector unitario arbitrario de direccin arbitraria . Se tiene entonces.u

DEFINICION 6.1 Sea una funcin y u un vector unitario arbitrario contenido en . Se llama DERIVADADIRECCIONAL de en p en la direccin de u , que se denota por p , al lmite u

p lim p u psi es que este lmite existe

En la Figura se presenta la interpretacin geomtrica de p p

Notar que el vector determina una recta en el plano que pasa por ( , ). Elu plano que contiene a y es perpendicular al plano intersecta a la


33/37

33

superficie en una curva . Entonces la pendiente de la tangente a en el punto ( coincide con .

OBSERVACION 6.1 p pi) Se confirma facilmente que y que i j p p

ii La definicin se puede generalizar en forma directa para unafuncin de 3 o ms variables.

El siguiente Teorema permite caracterizar el concepto de derivada direccional mediante el

concepto de gradiente y se entregar en su expresin ms general.

TEOREMA 6.1 Sea una funcin con derivadas parciales continuas en una

vecindad de p . Entonces tiene una derivada direccional en p

en la direccin de un vector unitario u dada por

p p u Demostracin En base al Teorema 4.2 se puede afirmar que es diferenciable enp p u p p u uy por lo tanto donde 0 cuando

Por lo tanto :

p u p u u ya que

Aplicando lmite cuando , se tiene

p p u

El resultado anterior se puede particularizar para el caso de funciones de 2 o 3 variables.

En efecto

a) Si entonces mientras que si la direccin de est p u dada por una recta que forma un angulo con la parte positiva del eje (Ver Figura 6.2) entonces es un vector unitario en la direccin de (tambin esu posible obtener el vector unitario dividiendo por la correspondiente norma) Por lo tantou

EJEMPLO 6.1 Dado hallar la derivada

direccional de en Cul es el valor de esta derivada en el punto (2, 1)?

Calculamos primero


34/37

34

Enseguida calculamos el vector unitario

u Por lo tanto

u u En particular si ( ) (2, ) , se tiene :

u

EJEMPLO 6.2 Encontrar la derivada direccional de en el punto

( , ) en la direccin del vector a i jEn este caso :

, entonces

Adems el vector unitario en la direccin de est dado por , esto es :u a u aa

u i j

Por lo tanto :

1,4 ,u

b) Si entonces mientras que si la direccin de p u est dada por la de una recta cuyos ngulos directores son y (Ver Figura 6.3) entonces el vector unitario en la direccin de est dado poru u analogamente al caso se puede obtener el vector unitario dividiendo porula correspondiente norma) Por lo tanto

u

EJEMPLO 6.3 Dada la funcin hallar la derivada direccional en el punto (1,0,2), en la direccin que va a (5,3,3)

En este caso , como


35/37

35

se tiene que ,

Entonces

Por otra parte la direccin est dada por luego a

u aa

Por lo tanto :

u(1

EJEMPLO 6.4 Hallar la derivada direccional de en el

punto ( , , ) a lo largo de la curva de interseccin de las dos superficies y

Es claro que

entonces 3,4,5 =

En este caso la determinacin de la direccin no es directa, sin embargo apelando al

hecho que la tangente a la curva de interseccin entre dos superficies se obtiene mediante

el producto cruz entre sus normales, se puede salvar la situacin. (Realice un dibujo que

explicite esta propiedad!). Por lo tanto si y

entonces sus normales estn dadas, respectivamente, por :

, , y ,2En particular para el punto ( ) se tiene

yPor lo tanto :

a N N i j

i j k

1 2

12 16 10

6 8 10

80 60

o bien a i j


36/37

36

de modo que u aa

Finalmente :

u

En muchas aplicaciones es importante encontrar la direccin en que la funcin aumentams rapidamente y tambin calcular la razn de cambio mxima. El siguiente Teorema

proporciona esta informacin :

TEOREMA 6.2 Sea una funcin diferenciable en un punto p entonces

i) El valor mximo de la derivada direccional en p esp el valor mnimo es p

ii) La razn de cambio mxima de en p se alcanza en la

direccinde p ( la tasa mnima en p Demostracin p pi) Consideremos y como fijos (pero arbitrarios) y al vectorunitario como variable . Sea el ngulo entre y , entoncesu p u

u p p up u p

Como entonces el valor mximo de se alcanza cuando 1, y en este caso: u p p

ii) Se ha dicho que la derivada direccional mide la razn u pde cambio de en la direccin determinada por . Como esta razn de cambio en i) ualcanza su valor mximo cuando 1 , es decir , cuando . Entonces esto equivale a afirmar que y tienen la misma direccin.u p

EJEMPLO 6.5 Suponga que la temperatura en un punto ( ) del espacio tridimensional est dada por en donde se mide

en C y en metros En qu direccin aumenta ms rapidamente la temperatura en el punto (1,1, 2)? Cul es el valor de la mxima razn de aumento?

Como ,

entonces


37/37

37

Por lo tanto, la temperatura aumenta ms rapidamente en la direccin del vector

gradiente (1,1, 2) , lo que equivale a la direccin del vector

( .

Por otra parte, la mxima razn de aumento de la temperatura est dada por :

unidad+2+derivadas+parciales+y+aplicaciones

Documents