unidad nº 2: el movimiento de los cuerpos · establecerse además un sistema de referencia, que...

Unidad Nº 2 - Física I – año 2013 1/15

Dpto. de Física y Química – Escuela de Formación Básica

FÍSICA I

UNIDAD Nº 2: EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS Nota: Recordar que siempre es conveniente realizar un esquema claro de la situación a resolver. Debe establecerse además un sistema de referencia, que será utilizado para efectuar los cálculos y expresar los resultados según el mismo. Si el sistema de referencia está propuesto en el enunciado deberá utilizarse ese, caso contrario deberá optar por el que considere más conveniente. Una vez obtenido el resultado buscado, realizar el análisis dimensional del mismo.

1) Un móvil se mueve en una trayectoria rectilínea, variando su posición en función del tiempo según la

siguiente ley de movimiento: x = x(t) = 5 + 8t – 3t2 (x se expresa en metros y t en segundos)

a) ¿Cuáles son las unidades de las constantes 5, 8 y 3 presentes en su ley de movimiento? b) ¿Cuál es la posición inicial de la partícula? c) Graficar x = x(t) durante los primeros 5 segundos del movimiento. d) De acuerdo a la información dada, represente gráficamente la trayectoria de la partícula y la ubicación de un sistema de referencia desde el cual se analiza su movimiento. e) ¿Cuál es la diferencia que nota en las respuestas dadas a los ítems c) y d)? f) Calcular la velocidad media en los intervalos de tiempo [0 ; 1s] y [0 ; 5s] . g) Obtener una expresión general de la velocidad media en el intervalo [t ; (t+Δt)] . ¿Cuál es el valor límite de esa expresión cuando Δt tiende a 0? ¿A qué es igual este valor? h) Hallar la o las posiciones en las cuales esta partícula se encuentra en reposo. i) Graficar vx = vx(t) y calcule la aceleración media en los intervalos [0 ; 1]s y [0 ; 5]s. j) Calcular la aceleración instantánea correspondiente al instante de tiempo t = 3s. k) Graficar ax = ax(t). l) Calcular la distancia recorrida durante los primeros 5 segundos del movimiento. m) Realizar una descripción detallada del movimiento y confeccionar un esquema, en los instantes de tiempo t = 0s y t = 3s, que muestre los vectores posición, velocidad y aceleración.

2) En la figura siguiente se muestra la

variación de la posición de un móvil en función del tiempo. Determinar el o los instantes entre 0 a 14 segundos en los cuales es:

a) negativa la velocidad, b) positiva la velocidad, c) la velocidad nula, d) negativa la aceleración, e) positiva la aceleración, f) nula aceleración.

3) La gráfica siguiente corresponde a la

componente de la velocidad en la dirección de movimiento horizontal (vx= vx(t)) de una fresadora. a) Determinar la aceleración media en el

intervalo de 1 a 3s. b) Determinar la aceleración en el instante t =

2s.


4) El gráfico muestra la evolución temporal de la posición de dos esferas, rotuladas por las letras A y B, que se mueven manteniendo paralelas sus trayectorias.

Justificando la respuesta que corresponda: a) Marque con el símbolo ta en el eje t, todos lo instantes de

tiempo en que una de las esferas pasa a la otra. b) ¿Cuál de las esferas tiene mayor módulo de la velocidad

en el instante tb? c) Marque con el símbolo tc en el eje t, todos lo instantes de

tiempo en que las esferas tienen la misma velocidad. d) En el intervalo de tiempo donde se obtiene el gráfico,

¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca de la esfera B es cierta?: • mantiene su aceleración positiva en todo el intervalo de

tiempo. • mantiene su aceleración negativa en todo el intervalo de

tiempo. • tiene una aceleración positiva en una parte del intervalo de tiempo y negativa en la otra.

e) Describa el movimiento de cada esfera: trayectoria (gráfica), posición inicial y final, velocidad inicial y final, aceleración, etc.

5) El extremo del brazo de un robot utilizado en un dispositivo de ensamblaje se mueve en una curva

plana tal que las coordenadas cartesianas de su posición en función del tiempo están dadas por: x = x (t) = 2t3 - 3t2 , con [x] = [y] = m [t] = s y = y (t) = t2 – 2t + 1

a) Efectuar un análisis dimensional para establecer las unidades de las constantes involucradas en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria.

b) Determinar la posición de dicho extremo en el instante t = 1 segundo. c) Obtener la expresión de su velocidad en función del tiempo. d) Determinar la velocidad de dicho extremo en el instante t = 1 segundo. e) Encontrar el o los instantes de tiempo en los cuales este extremo se encuentra en reposo. f) Obtener la expresión de su aceleración en función del tiempo y calcular su módulo para t = 1 segundo g) ¿Es posible que su aceleración sea paralela al eje oy? Fundamentar su respuesta.

6) En la figura siguiente se muestra el movimiento descrito por un punto de la circunferencia externa de

una rueda. Hallar, en los tres casos, las expresiones de la velocidad media y aceleración media entre las dos posiciones indicadas, según el sistema de referencia mostrado.


7) Una paloma que vuela a una velocidad de módulo 30 Km/h quiere ir hacia su nido que está en dirección norte, en un momento en que el viento sopla hacia el este a 20 Km/h. Calcular la dirección con que debe volar la paloma para lograr su objetivo y expresar su velocidad en forma vectorial. Nota: se recomienda adoptar un sistema de referencia con un eje coincidente con la dirección norte.

8) En cierto instante (t = 0s) se da la descripción de las magnitudes físicas que caracterizan el

movimiento de un automóvil según el sistema de referencia mostrado. Graficar la/las componente/s de los vectores posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Considerar que los vectores velocidad y aceleración tienen en todo momento la dirección del movimiento

9) En una calle, donde los semáforos no están sincronizados, es normal que el conductor al estar

detenido y divisar la luz verde del semáforo deba acelerar, luego mantener la velocidad constante durante un intervalo de tiempo y luego aplicar los frenos al ver la luz roja en el siguiente semáforo. Consideremos entonces que al divisar la luz verde, el conductor acelera uniformemente a razón de 0,5m/s2 durante 15 segundos. Luego deja de hacerlo y el automóvil desacelera a un promedio de 5cm/s2 debido a la fricción, durante un período de 10 segundos. Inmediatamente después aplica los frenos y se detiene en 6 segundos más. Si el cambio de su velocidad en todos los intervalos se realizó uniformemente: a) ¿Cuál es la distancia que existe entre los semáforos, suponiendo que la trayectoria del auto ha sido

rectilínea? b) Graficar la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

10) Un camión transita con una velocidad de módulo constante de 50 Km/h. Al divisarlo un patrullero que

se encuentra estacionado a un costado, arranca al estar el camión a 20 metros delante de él, con una aceleración de módulo 2,5 m/s2 con el fin de darle alcance para controlar la documentación. Determinar: a) El tiempo demora en alcanzarlo. b) ¿La distancia de su posición inicial hasta el punto de encuentro? c) ¿Cuál es la velocidad desarrollada por el patrullero en ese momento?

11) Dos niños están en la terraza de un edificio de 30 metros de altura, cada uno con una pequeña pelota

en su mano. Uno de ellos deja caer su pelota y el otro, al verlo, arroja la suya hacia abajo 1 segundo después. Si el módulo de la aceleración de cada una es de de 9,8 m/s2 en la dirección de la vertical y sentido hacia abajo, y ambas llegan al piso en el mismo instante, a) determinar la velocidad con que se arroja la segunda pelota, b) para cada pelota, realizar una gráfica de la posición, de la velocidad y de la aceleración en función

del tiempo.


12) Una niña comienza a andar en su bicicleta desde el reposo con una aceleración de módulo 0,4 m/s2. Un segundo después, su amiga, situada 10 metros detrás, comienza a correr hacia ella con una aceleración de módulo 3 m/s2 durante 2 segundos para luego mantener constante la velocidad que alcanzó. a) ¿Calcular la posición y la velocidad de ambas al momento de encontrarse? b) Dibujar en un mismo gráfico la posición de cada una en función del tiempo hasta su encuentro.

13) Dos amigos están jugando en un parque a arrojarse una pelota. El

terreno en ese lugar tiene una pendiente de 20º, y ambos están separados una distancia de 15 metros en la dirección del terreno. Si el que está más arriba arroja la pelota en forma horizontal, cuál debe ser su velocidad inicial para que la atrape el que está más abajo. Considerar que los dos niños tienen la misma altura, y que la aceleración de la pelota en toda su trayectoria por el aire es (0 ; -9,8) m/s2.

14) Una amoladora le imprime a su disco de corte, inicialmente en reposo, una aceleración angular

constante de tal manera que su frecuencia aumenta a 200 rpm en 6s. Después de haber estado girando por algún tiempo a esa velocidad, se desconecta el motor y la rueda tarda 0,5 minutos en detenerse. Si el número total de vueltas es de 3100, calcular el tiempo total de movimiento.

15) Una partícula es acelerada angularmente en una trayectoria circular de 1,3 m de radio de acuerdo a la

siguiente ley que rige su evolución temporal: α = α (t) = 80 t2 + 12 t - 8 donde α se expresa en radianes/s2 y t en segundos. Suponiendo que parte del origen del sistema de

referencia y con velocidad nula: a) hallar la posición angular y la velocidad angular en función del tiempo, b) determinar las componentes tangencial y centrípeta de la aceleración, c) calcular el desplazamiento angular de la partícula en el intervalo [1s ; 4s].

16) Se muestran las trayectorias seguidas por tres automóviles que recorren una pista circular, cada uno

con un movimiento diferente. Se indica la velocidad y la aceleración de cada uno en una posición dada de la pista. Calcular el módulo de la velocidad, la aceleración radial y tangencial en esa posición.

17) Dos ruedas dentadas que forman parte de un vehículo todo terreno, están vinculadas por una cinta de

tracción constituyendo la oruga de desplazamiento. Si los diámetros de las ruedas poseen una relación 5:3, obtener la relación entre sus aceleraciones angulares. Considerar ahora que la rueda de mayor diámetro parte del reposo y aumenta uniformemente su velocidad angular a razón de 0,4 rad/s por segundo:

a) hallar el tiempo necesario para que la rueda de menor diámetro alcance la frecuencia de 400 rpm, b) nombrar al menos 2 dispositivos más que conozca, cuyo funcionamiento se base en la situación analizada, explicando la similitud.

v0

20º

y

x


18) Una moneda se encuentra sobre un disco que gira con velocidad angular constante, a una distancia R de su centro. En un determinado instante de tiempo, y sin modificar la velocidad angular del disco, se cambia la posición de la moneda ubicándola a R/3 del centro del disco. Determinar si la aceleración radial de la moneda en ambas posiciones es:

a) en ambos casos es cero, b) la aceleración radial en R es 3 veces menor que en R/3, c) ambas son iguales, d) la aceleración radial en R es 3 veces mayor que en R/3, e) la aceleración radial en R es 9 veces mayor que en R/3.

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1) Hacer un gráfico con una curva simple que represente la componente de la velocidad de un móvil en la

dirección de movimiento (vx= vx(t)), en la cual existan puntos o bien segmentos en los cuales: a) la aceleración sea constantemente cero y la velocidad no sea nula, b) la aceleración sea cero pero no constante, c) la velocidad y la aceleración sean positivas, d) la velocidad y la aceleración sean negativas, e) la velocidad sea positiva y la aceleración sea negativa, f) la velocidad sea negativa y la aceleración sea positiva, g) la velocidad sea nula y la aceleración no.

2) La gráfica ubicada a la izquierda

muestra la posición de un móvil en función del tiempo. Indique, con verdadero (V) o falso (F), si los gráficos v = v(t) y a = a(t) se corresponden con ella.

3) Las gráficas representan distintas magnitudes físicas correspondientes a movimientos estudiados.

¿Cuál de las opciones listadas a continuación corresponde a cada gráfica numerada? Justificar las respuestas. a) La trayectoria del móvil es una parábola. b) La velocidad del móvil es constante y negativa. c) El móvil se desplaza con velocidad constante positiva, se detiene durante un tiempo y luego

continúa con velocidad constante negativa. d) El móvil se desplaza con velocidad variable, siendo al principio negativa, un instante nula y luego

positiva. e) El móvil permanece en reposo todo el tiempo. f) El móvil se desplaza con velocidad variable positiva.


4) La aceleración de un móvil en función del tiempo está representada en la gráfica que se muestra a la izquierda. Indique, con verdadero (V) o falso (F), si los gráficos v = v(t) y x = x(t) se corresponden con ella.

5) Los gráficos siguientes corresponden a mediciones realizadas sobre dos vehículos en un tramo recto

de una pista de juguete. El gráfico de la velocidad, corresponde al vehículo Nº 1, y el de la posición, al Nº 2; ambos en función del tiempo. El comienzo de lectura del tiempo coincide en ambos gráficos ¿Son

iguales los movimientos representados por estos? Para responder a esta cuestión, analice y obtenga los valores de la velocidad inicial y final, aceleración y distancia recorrida en el intervalo (0 s ; 4 s) en ambos casos.

Rta: no. 6) Se prueba un auto de juguete a control remoto en una

pista recta, graficando la aceleración con respecto al tiempo. Si el módulo de la velocidad con que comienza la medición es de 7,50 m/s en el sentido positivo del eje de movimiento, a) graficar la velocidad y la posición en función del

tiempo, b) calcular el espacio recorrido en los intervalos 0-10,

10-20 y 20-25 c) calcular la velocidad media en los intervalos 0-10, 10-20 y 20-25

-10

-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 t (s)

a (m/s2)


7) El mismo auto del ejercicio anterior se acelera ahora desde el reposo en la misma pista recta, siguiendo la ley a = 4 – 0,7t (donde a se expresa en m/s2 y t en s) hasta que su aceleración se hace cero. Considerando que para un tiempo t0 = 0, se encuentra en el origen del sistema de referencia y con una velocidad de módulo 2 m/s en sentido positivo del eje de movimiento, determinar: a) la ley de la posición y de la velocidad en función del tiempo y graficarla, b) el desplazamiento en ese intervalo.

8) Continuando con las pruebas del mismo auto, se hace circular por la pista recta y se grafica la velocidad en función del tiempo. Con esos datos, realizar las gráficas de la posición y de la aceleración en función del tiempo.

9) Al estudiar el movimiento unidimensional que posee una pieza mecánica, se determinaron los gráficos

correspondientes a la evolución temporal de su aceleración y de su posición. De acuerdo a estos, ¿cuál es la gráfica que corresponde a la evolución temporal del módulo de la velocidad (rapidez) en función de tiempo? Describir el movimiento correspondiente en forma completa y justificada. Representar la situación indicando el sistema de referencia utilizado y las variables cinemáticas (posición, velocidad y aceleración) en tres instantes de tiempo: el instante inicial (t = 0 s), el instante t1 y un tiempo t2 > t1.

10) La figura siguiente muestra la posición de un automóvil que se desplaza por una carretera. En el instante inicial, se encuentra en la posición indicada y su velocidad tiene un módulo de 3m/s. Considerando que su aceleración es ax = 3t, obtener las expresiones generales y graficar vx = vx(t) y x = x(t)

11) El límite de velocidad en una zona escolar es de 30 km/h. Un conductor que viaja a esa velocidad con

su auto, ve a un alumno que corre cruzando la calle 8 metros delante de él. Aplica los frenos y el auto desacelera uniformemente a razón de 8m/s2. Si el tiempo de reacción de este conductor es de 0,2 segundos ¿Conseguirá detener su auto antes de atropellar al alumno? Rta: Si!! lo detiene en x=6,01m.

12) Un tren viaja, en un tramo recto de vías, durante seis horas. Las dos primeras lo hace a una velocidad

de módulo constante de 90 km/h. Las dos horas siguientes el módulo de su velocidad es de 70 Km/h y las dos últimas es de 50 Km/h. a) Graficar la posición del tren en función del tiempo. b) ¿Cuál es la velocidad media en las últimas cuatro horas? c) ¿Se obtendría el mismo resultado si el tramo vial no fuera recto? Rta: b) kh/Km60)h62(vm =−

?

0 20 40 60 80 x (m)

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15t (s)

v (m/s)


13) Durante un vuelo de prueba un helicóptero efectúa un movimiento que responde a la siguiente ley )2t6;t()t(rr 2 −==

a) Expresar la velocidad y la aceleración del helicóptero en función del tiempo. b) Encontrar la ecuación de su trayectoria y graficarla. Rta: b) 0xdonde2x6y(x) ≥−=

14) Un bote pescador cruza un canal de orilla a orilla, manteniéndose siempre perpendicular a la corriente de agua que tiene una velocidad de módulo 5 Km/h. Si la aceleración que suministra su tripulante es de 0,05 m/s2, determinar: a) el tiempo que tardará en cruzar este canal de 15 m de ancho, b) la desviación que sufrirá el bote por efecto de la corriente, c) la ecuación de la trayectoria y graficarla. Rta: a) t=24,5s; b) 34m; c) yB(x)=0.54 xb

2 donde x corresponde a la dirección y sentido del agua. 15) Un ciclista avanza por una calle en dirección sur a 15 Km/h, cuando ve a un tren que comienza a

moverse con una aceleración de módulo 3 m/s2, en dirección este-oeste. Si el tren se encuentra en ese momento a 10 metros del cruce con la calle, a qué distancia máxima se debe encontrar el ciclista para poder cruzar antes que el tren, manteniendo su velocidad constante. Rta: distancia del ciclista al cruce < 10,76 metros.

16) Respecto al movimiento circular uniforme, ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son

incorrectas? a) La aceleración angular es nula. b) Existe aceleración centrípeta, o radial, relacionada con el cambio de dirección del vector velocidad. c) La velocidad angular y el vector velocidad son constantes. d) La velocidad angular y el módulo del vector velocidad son constantes. e) El ángulo barrido por el radio vector crece linealmente con el tiempo transcurrido.

17) Una sierra utilizada para seccionar troncos de árboles, de 50

cm de radio, gira uniformemente alrededor de un eje que pasa por su centro a razón de 130,2 radianes cada 2 segundos. a) Calcular su velocidad angular, el período y la frecuencia

del movimiento. b) En su borde se encuentra adherida una viruta de madera

debida a la suciedad producida por el corte. Determinar su velocidad y aceleración en tres instantes diferentes.

c) ¿Qué tiempo demora en girar un ángulo de 820º? ¿y para realizar 20,72 revoluciones?

18) Un cilindro hueco de 3 metros de longitud, con tapas, gira alrededor de un eje que pasa por el centro

de las tapas y es paralelo a una generatriz del cilindro, con movimiento circular uniforme a razón de 180 vueltas por minuto. Una bala disparada paralelamente a este eje de rotación perfora la base en dos puntos cuyos radios forman un ángulo de 8º. Calcular la velocidad de la bala dentro del cilindro suponiéndola uniforme y despreciando el efecto de atracción gravitatoria que ejerce la tierra.

Rta: vb=405m/s.


19) Considerando exactamente la hora que marca el reloj mostrado, ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que las tres agujas estén superpuestas?

PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN 1) Un juego de un parque de diversiones consiste en varias tazas

alineadas en forma de circunferencia sobre una plataforma circular, en un plano horizontal. Cada taza puede girar con respecto a un eje que pasa por su centro, mientras la plataforma también gira con respecto a un eje central. Si ambas rotan en sentido antihorario, la plataforma a 4 RPM y la taza a 20 RPM, determinar la velocidad (v) de dos personas cuando se encuentran en las posiciones indicadas como A y B (extremos de un diámetro de la taza) con respecto a un observador fijo a tierra. Datos: r = 5 m d = 2 m

2) Los helicópteros tienen, entre otras posibilidades de

movimiento, la capacidad de rotar sobre sí mismos sin trasladarse. El modelo en miniatura de la figura usado para hacer experimentos a escala en condiciones de laboratorio, está girando sobre sí mismo (sin trasladarse) a razón de 1 rad/s. El eje de giro es el indicado en la figura, y el sentido de giro es el señalado por la flecha ubicada sobre el rotor grande. A su vez el rotor pequeño gira alrededor de su propio eje a 20 rad/s. Si L = 50 cm, y el radio del rotor pequeño es de 5 cm, determinar la aceleración del punto A con respecto a un observador fijo a tierra.

3) Dos móviles describen una trayectoria circular en sentido contrario. El primer móvil parte del origen,

inicialmente en reposo, en sentido antihorario, con aceleración angular constante de 2 rad/s2. El segundo móvil parte de la posición 3π/2 rad, y está animado de un movimiento uniforme con velocidad constante de 120 RPM en sentido horario. Si ambos parten en el mismo momento: a) determinar el instante y la posición de encuentro por primera y segunda vez de ambos móviles;

graficar el encuentro mediante θ = θ(t), b) repetir el ítem a) para el caso en que los móviles recorran la misma trayectoria circular, pero ahora

ambos en sentido horario. Rta: a) 1° encuentro: t=0,364s; θ=0,133rad; 2° encuentro t=0,457s+0,364s

r

d A

B


4) Un volante de 1,2 metros de radio puede girar con respecto a un eje horizontal. Se enrolla una cuerda en su borde y se cuelga una masa en su extremo libre. Si la distancia vertical recorrida por la masa está dada por la ecuación y = 2t2, donde y se mide en (m) y t en (s), calcular la velocidad angular y la aceleración angular del volante en cualquier instante. Esquematizar la situación planteada. Rta: ω=3,33·t rad/s (t medido en segundos); α=3,33rad/s2.

5) En un centro turístico, un esquiador realiza un salto utilizando como rampa el techo del hotel. Conociendo que sobre éste actúa una aceleración g constante en la dirección del eje y negativo, durante el tiempo que dura su salto, determine la ecuación de la trayectoria que describe respecto del sistema de referencia mostrado.

Rta: 222

0x

cosv2g

tgx-hy(x)α

−α=

6) El esquiador recorre la rampa de lanzamiento mostrada, y al

pasar por el punto A tiene una velocidad de módulo vA. Desde esta posición hasta la B, recorre un tramo circular de radio R.

Considerando que en el tramo circular actuó sobre él una aceleración tangencial constante de módulo at, determinar, según el sistema de referencia indicado, la velocidad y aceleración media entre las posiciones A y B. Datos: vA = 7m/s; R = 6m; at = 4m/s2

Rta: s/m)06,3;37,7(v BAm −=−

2BAm s/m)61,8;58,7(a =−

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1

En una carrera de relevos o postas, el pase del testigo de un corredor a otro debe realizarse en una zona determinada. Generalmente, la persona que recibe el testigo espera por detrás de esa zona a que se acerque su compañero de equipo para comenzar a correr y llegar al punto de entrega con la velocidad requerida. Considerando que el corredor que trae el testigo corre en línea recta con una velocidad constante de módulo v1, que el relevo parte del reposo y recorre una distancia d con aceleración constante y que en el momento del pase ambos corredores deben estar a la par y con igual velocidad:

a) Determinar la aceleración del relevo para lograr dicho objetivo. b) Calcular la distancia entre los corredores cuando el relevo comienza a correr. c) Determinar el desplazamiento de cada corredor desde que el relevo comienza a correr hasta que

recibe el testigo. d) Graficar la posición, velocidad y aceleración de ambos corredores en el intervalo de tiempo

analizado.

y

x

45º

A

B


Solución:

Comencemos por realizar un esquema de la situación. El mismo debe ser lo más claro y completo posible; es conveniente además, indicar los datos con los que contamos y las incógnitas o valores a determinar.

Se opta por esquematizar la situación mediante la Figura 1.1 que muestra la posición del primer corredor (A) en el instante que el segundo (relevo) comienza a correr desde el reposo (B) para llegar al punto en donde se encuentren y le entrega el testigo (C).

Se indican los datos: vector velocidad v1 del primer corredor (constante), vector velocidad inicial v2i (nulo) y vector aceleración a2 del segundo corredor, distancia d entre la posición inicial del segundo (B) y el punto de encuentro (C), como así también la distancia d1, aunque no se conoce su valor.

También se establece un sistema de coordenadas a partir del cual se realizarán los cálculos y se informarán los resultados obtenidos en el caso de ser magnitudes vectoriales. Como la trayectoria es rectilínea, se opta por un eje x en la dirección y el sentido del movimiento, cuyo origen O coincide con el punto A, posición del primer corredor en el instante en que se comienza a estudiar el movimiento. Se asigna a ese instante un tiempo inicial igual a cero (t0 = 0).

Si bien en este problema se pide en el último ítem realizar las gráficas de la posición, velocidad y aceleración de los corredores en función del tiempo, luego de haber realizado los cálculos correspondientes, vamos a comenzar analizando las formas que tendrán cada una de ellas para los dos corredores. Estas gráficas pueden ser una alternativa al esquema de la Figura 1.1 o puede complementarlo para una mejor comprensión de la situación a resolver. Veremos además mediante de un análisis de las mismas como es posible extraer conclusiones y/o resolver parte del problema.

Comenzamos por trazar la grafica de la aceleración en función del tiempo de ambos corredores (Figura 1.2)

Sabemos que el corredor 1 mantiene su velocidad constante en el tiempo analizado, entonces su aceleración es nula. En cambio el enunciado del problema nos dice que el corredor 2 se desplaza con aceleración de módulo constante, por lo tanto la gráfica ax=ax(t) es rectilínea con pendiente horizontal.

Intentemos ahora percibir la forma de la gráfica de la velocidad de cada corredor en función del tiempo a partir de los datos suministrados. A saber: el corredor 1 mantiene su velocidad

constante de módulo v1 en la dirección del eje de coordenadas x. Podemos decir entonces que la gráfica es una recta con pendiente horizontal.

El corredor 2 varía su velocidad con aceleración constante. Recordando que ∫ ⋅=f

i

t

t xx dtav , la velocidad de

este corredor varía en forma lineal en el tiempo. Sabemos además que en el instante inicial (ti) está en reposo (v x2i=0) y en el instante final (tf) su velocidad es de igual módulo de la del corredor 1 (vx2f = vx1)

Con todos estos datos es posible trazar la gráfica que se representa en la Figura 1.3.

A≡O B C d d1 = ?

v1 = cte v2i = 0

x

Figura 1.1

a2 = cte

t

ax

1

2 ax2

tf 0≡ti Figura 1.2


Si nos detenemos unos instantes a analizarla podremos advertir que nos brinda algunas de las respuestas requeridas:

• Considerando que en una gráfica vx=vx(t), la distancia recorrida según el eje x por cada corredor es proporcional al área limitada bajo la curva vx, y observando que el área bajo la curva 1 (rectángulo) es el doble que el área bajo la curva 2 (triángulo), se deduce que la distancia recorrida por el primer corredor (d1+d=vx1·tf) es el doble de la recorrida por el segundo (d=vx2f·tf/2). Por lo tanto, d1+d=2d. Entonces la respuesta solicitada en el ítem b) surge de este análisis, siendo d1=d

• Recordando que la pendiente de la recta que representa la velocidad del corredor 2 en función del tiempo es proporcional a la aceleración del mismo, podemos determinar el valor de dicha aceleración:

f

1x

if

i2xf2xx t

vttvv

a =−

−= donde: vx2f = vx1; ti=0 y tf se calcula a partir de la distancia recorrida por el

corredor 1 (2d) y de su velocidad (vx1). Como esta última es constante, se obtiene la respuesta al ítem a):

1x

f vd2t =

d2va

21x

x = id2

va2

x12 ⋅

=

Por último veamos si con los resultados obtenidos es posible determinar la posición en función del tiempo y representarla en una gráfica x=x(t). Comencemos recordando que:

∫=f

i

t

t x dtvx

Para el corredor 1 el resultado de esta integral es una función lineal (x=vx·t) La curva parte del origen de coordenadas (ti=0; xi=0) alcanzando en el tiempo tf (instante en que se encuentran los dos corredores) la posición de encuentro x=2d como determinamos anteriormente. (Figura 1.4)

La ley de la posición en función del tiempo para el corredor 2 resulta de integrar en el tiempo una función lineal (vx(t) = ax·t). La posición inicial para este corredor es d, siendo el resultado de esta operación x(t)= ½ax·t2+d.

Es importante recordar que la pendiente de recta tangente a la curva x=x(t) es proporcional a la velocidad instantánea. Entonces, para el corredor 2, es necesario realizar las siguientes consideraciones al trazar la parábola que representa esta función:

• en el origen (ti = 0) la pendiente de la curva debe ser horizontal, por ser nula la velocidad en ese instante (vx2i = 0)

• en el tiempo t = tf la tangente de esta curva debe coincidir con la pendiente de la curva 1, por tener ambos corredores la misma velocidad en ese instante (vx2f = vx1).

Vemos como en este ejemplo a partir de un análisis físico de la situación hemos podido trazar las gráficas con todos los valores requeridos. Quedaría sólo por determinar el ítem c), desplazamiento de cada corredor ( rΔ ), lo cual es posible a partir de los valores determinados y de la siguiente relación:

if rrr −=Δ

A continuación resolveremos nuevamente el problema a partir de aplicar las relaciones estudiadas en clase:

t

vx

tf 0≡ti

1

2

vx1≡vxf2

vxi2

Figura 1.3

t

x

tf 0≡ti

1

2

2d

Figura 1.4

d


a) Cálculo de la aceleración del segundo corredor (a2x) desde B a C, la cual se supone constante:

v2xf2 = v2xi

2 + 2 a2x·d

como v2xi = 0 y v2xf = v1x a2x = v1x2/2·d i

d2va

2x1

2 ⋅=

b) Para calcular la distancia inicial entre los dos corredores (d1) es necesario calcular el tiempo que demora el corredor 2 en ir desde B hasta C, ya que es el mismo tiempo que el corredor 1 emplea en ir de A hasta C. Para ello:

v2xf = v2xi + a2x·t x1

2x1

x1

x2

x1

x2

xf2v

d·2)d·2(v

vav

av

t ====

La ley de movimiento del corredor 1 es: x(t) = x1i + v1x·t

reemplazando: d2v

d·2vddxx1

x11f1 ==+= d1 = d

c) El desplazamiento es una magnitud vectorial y representa la variación de la posición entre dos instantes determinados. Entonces:

id2rrr i1f11 =−=Δ y idrrr i2f22 =−=Δ

Problema 2

El autito de la figura recorre una pista circular de 2,50 metros de radio, en un plano horizontal y en sentido antihorario. Parte del reposo y mantiene una aceleración angular uniforme durante los primeros 80 segundos. A partir de ese momento continúa moviéndose con velocidad módulo constante, realizando 25 revoluciones por minuto.

a) Para la primera etapa del movimiento calcular: a1) la longitud de la vía recorrida al momento de cumplirse los 80 segundos, a2) la velocidad y la aceleración en los puntos A y B en la segunda vuelta del auto, suponiendo que el movimiento comienza en el punto A.

b) Para la segunda etapa del movimiento (velocidad de módulo constante) calcular: b1) la frecuencia, el período y la velocidad angular del autito al recorrer la pista, b2) la velocidad media entre A y B, y la distancia recorrida entre dichos puntos. b3) la variación de la velocidad entre A y C.

c) Determinar el tiempo que tarda el autito en dar 50 vueltas al circuito. Solución

Adopción del sistema de coordenadas (Figura 2.1): el origen se ubica en el centro de la pista circular, los ejes x e y en el plano del movimiento y el eje z saliente al plano. De esta manera el sentido del eje z coincide con el sentido de circulación del autito.

A

C

B

A

B

C

x

y

o z

Figura 2.1


Esquema de la situación: para organizar la resolución del problema planteamos un esquema en el cual se indiquen tanto los datos con los que se cuentan como las incógnitas, se opta por indicar en un eje de tiempo las distintas etapas del movimiento (Figura 2.2):

Nota: si fuera necesario realizar el cálculo de algunas de las incógnitas indicadas con un signo de interrogación en la Figura 2.2, se recomienda completar con su valor en el esquema. Seguramente servirá para orientar y/o facilitar la resolución.

a) Primera etapa del movimiento:

a1) La longitud de la vía es una magnitud escalar que representa la distancia recorrida en un tiempo dado. Para obtener el valor de esta distancia a la que llamamos L, a los 80 segundos de comenzado el movimiento, calculamos el ángulo girado desde 0 a 80 segundos (θ1). La longitud recorrida será igual al ángulo girado (en radianes) multiplicado por el radio de la pista. Entonces:

θ1= θ0 + ω0 t + ½ α t2 donde θ0 = 0; ω0 = 0; α es constante y su módulo es:

donde rad/s6

5πHz1252fr21 =π=π=ω (fr= 25 RPM= 5/12 Hz)

y su dirección es la del eje z con sentido positivo.

entonces α =96π rad/s2 con igual dirección y sentido que ω1 o expresada en forma vectorial y según el

sistema coordenado establecido: krad/s96π 2=α

Entonces θ1= 21 α t 2 = π

3100 rad y por último long (80 s) = θ1 R = 261,8 m

Nota: puede observarse que se trabajó con fracciones en los cálculos intermedios, evitando redondeos o aproximaciones que lleven a un valor final más alejado del real. No así en el resultado final que fue redondeado para informar un valor más sencillo de interpretar.

a2) Aceleración en los puntos A y B durante la segunda vuelta. Ante todo debemos estar seguros que en la segunda vuelta el auto se encuentra circulando con aceleración angular constante. Esto es cierto ya que hemos determinado en el apartado anterior que el ángulo girado entre 0 a 80 segundos (θ1) recorre (100/3) π radianes lo que es aproximadamente 16,6 vueltas.

En un movimiento circular no uniforme, el vector aceleración se suele expresar por sus componentes, una radial o centrípeta (dirigida hacia el centro de la circunferencia que describe) y otra tangencial a la trayectoria.

Entonces, el vector aceleración está comprendido en el plano xy y sus dos componentes en el punto A serán:

donde ωA2

= ω02 + 2α∆θ ωA

2 = (1/24) π2 m2/s2 22

Ar s/m24

5,2a π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= y 2

At s/m96

5,2a π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

01

01

tt −ω−ω

=α

⎪⎩

⎪⎨⎧

α=∧α=

ω=∧ω∧ω==

positivosentido,xejedirecciónRrapositivosentido,yejedirecciónR)r(a

aAAt

2AAAAAr

A

t2=? θ2=50 v. x 2π rad

t0=0 θ0=0 ω0=0

t1=80 s θ1=? ω1=? fr=25RPM

t cte=α cte1 =ω

Figura 2.2


Para el sistema de referencia adoptado: Aa = (0,082 ; 1,028 ; 0) m/s2

Operando de igual modo se obtiene: Ba = (-1,285 ; 0,082 ; 0) m/s2

b) Segunda etapa del movimiento:

b1) Hz125RPM25fr == ks/rad

65

1π

=ω s512

f1Pr

==

b2) 4

P)0;R;0()0;0;R(

trv BAm

−−=

ΔΔ

=− donde P es el período s/m)0;17,4;17,4(v BAm =−

distancia recorrida: D = θ R = π/2 rad x 2,5 m D = 3,93 m

b3) vΔ A-C = Cv - Av donde iRrv CC ω−=∧ω= y iRrv AA ω=∧ω=

m/s)0;0;(-13,09∆v CA =−

c) 50 vueltas θ = 100 π rad

1º etapa: θ1 = (100/3) π rad; t1 = 80 s

2º etapa: θ2 = θ1 + ω (t2 - t1) = (200/3) π rad 11

122 t

ωθθt +

−= t2 = 160 s s

unidad nº 2: el movimiento de los cuerpos · establecerse además un sistema de referencia, que...

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