unidad iv fisica

Fsica III - Unidad IV Mateo Mrquez Jcome

76 Sistema a Distancia

UNIDAD IV

AUTOINDUCTANCIA CORRIENTES ALTERNAS

ONDAS ELECTROMAGNTICAS

Esta unidad estudia el fenmeno de autoinductancia e inductancia mutua y sus efectos en un circuito. Aplica los conceptos en el estudio de corrientes alternas, introduciendo el concepto de fasor. Estudia descriptivamente las ondas electromagnticas. Competencias:

Aplica y calcula la autoinductancia e inductancia mutua en varios casos especficos.

Aplicando la ley de induccin de Faraday, calcula la inductancia de una bobina y otros casos de inters.

Calcula la intensidad de la corriente elctrica en circuitos de corriente alterna en serie y en paralelo y predice la fase.

Aplica simplificadamente las ecuaciones de Maxwell y la teora de las ondas electromagnticas. Calcula los parmetros de una onda electromagntica.

Conoce las caractersticas del espectro electromagntico.



4.1 AUTOINDUCTANCIA

La figura 4.1 muestra un circuito elctrico constituido

por una fuente de f.e.m. , una resistencia R y un

interruptor de corriente. Cuando se cierra el interruptor, la intensidad de la corriente elctrica no alcanza

instantneamente su valor mximo iR

=

, sino lo hace

gradualmente en un intervalo de tiempo

relativamente pequeo (fracciones de segundo); es decir, el circuito se comporta como si apareciera sbitamente un resistencia adicional mientras la corriente va variando. Este efecto se explica como sigue: al cerrar el interruptor la corriente inicial del circuito crea un campo magntico inicial alrededor del conductor. Este campo magntico fluye a travs del circuito cerrado; pero como la corriente esta creciendo, el campo magntico aumenta y por consiguiente el flujo magntico tambin esta en aumento. Segn la ley de Faraday este flujo magntico propio y variable induce una fem en el conductor y, segn la ley de Lenz, finalmente se

genera una contracorriente producido por una contra fuerza electromotriz L (ver figura) que se opone a la fuerza electromotriz inicial , produciendo finalmente una disminucin de la corriente. Este fenmeno se denomina autoinduccin, puesto que la contracorriente se induce por el campo magntico del propio circuito. Lo que ocurre en un circuito tambin ocurre en una espira cerrada o en una bobina. Para una bobina (un toroide o solenoide ideal por ejemplo) de N vueltas que conduce una corriente i, la fem autoinducida L esta dada por la ley de induccin de Faraday, pero

adems debe ser proporcional a la velocidad del cambio de corriente en el circuito didt , o

sea

L Nd diLdt dt

=

= (4.1)

donde L es la constante de proporcionalidad y se denomina autoinductancia de la bobina. De (4.1) podemos definir la autoinductancia del circuito como

L

Figura 4.1



LLdi / dt

= (4.2)

La autoinductancia L depende de la geometra de circuito y otros parmetros. La unidad

de inductancia es el henry (H).

V.s1H 1A

= (4.3)

a) Autoinductancia de una bobina de N espiras

De (4.1) se deduce

NLi

= (4.4)

b) Autoinductancia de un solenoide recto muy largo

Teniendo en cuenta que BA = , las ecuaciones (4.4) y (2.7), se encuentra que la autoinductancia de un solenoide recto muy largo es:

2o N ANL

i

= =

(4.5)

donde es la longitud del solenoide, A el rea transversal y N el nmero de espiras.

c) Autoinductancia de un toroide o bobina cerrada

Teniendo en cuenta que BA = , las ecuaciones (4.4) y (2.27), se encuentra que la autoinductancia de un toroide es:



2o N ANL

i 2 r

= =

pi (4.6)

donde r es el radio medio del toroide (figura 2.20), N el nmero de espiras y A el rea transversal del toroide.

Ejemplo 4.1

Una bobina de 20 cm de longitud tiene 1000 espiras. Si el rea transversal de la bobina es de 30 cm2 y por las espiras circula una corriente de 5 A, calcular la autoinduccin de la bobina. Solucin Datos

120cm 2x10 cm= =

3N 10=

2 3 2A 30cm 3x10 m= =

i 5A=

Tenemos 2 7 6 3 2

o

1N A 4 x10 Tm / A x10 x 3x10 mL

2x10 m

pi= =

3L 6 x10 H= pi

4.2 INDUCTANCIA MUTUA

Consideremos dos bobinas cercanas que interactan mutuamente a travs del campo magntico generado por las corrientes, tal como muestra esquemticamente por la figura 4.2.



La corriente en la bobina (1) (o bobina 2) puede variarse a travs de la resistencia variable. La corriente variable en la bobina (1) crea un campo magntico variable que afecta a la bobina (2); es decir, hay un flujo variable a travs de la bobina (2) debido al campo magntico creado en (1) y que podr inducir una fem en (2), e inversamente, la bobina (2) puede afectar a la

bobina (1) de la misma forma. Definimos [por analoga con la ecuacin (4.6)] la inductancia mutua M21 de la bobina (2) respecto a la bobina (1):

2 2121

1

NM

i

= (4.7)

Anlogamente la inductancia mutua M12 de la bobina (1) respecto de la bobina (2) es:

1 1212

2

NM

i

= (4.8)

Una configuracin ptima y frecuente consiste en colocar las dos bobinas de igual rea muy prximas. Otra configuracin ptima sera devanar una bobina sobre la otra formando un solenoide toroidal. En este caso se demuestra que M21 = M12 M, o sea:

1 12 2 21

2 1

N NM

i i

= = (4.9)

Se demuestra que la inductancia mutua mxima es:

max 1 2M L L= (4.10)

donde L1 y L2 son las autoinductancias de (1) y (2) respectivamente.

(1)

i1 i2

(2) B

Figura 4.2



4.3 ENERGA EN UN CAMPO MAGNTICO

Para hacer circular corriente por un inductor (una bobina por ejemplo) la batera debe efectuar un trabajo sobre la carga circulante. El trabajo efectuado se disipa en parte en las resistencias y en otras formas, el resto se almacena en el inductor. La energa almacenada en el inductor viene dado por

212U Li= (6.11)

donde L es la autoinductancia e i es la intensidad de la corriente elctrica. La energa almacenada en el inductor, a su vez, se almacena en el campo magntico en el inductor (por ejemplo en el interior del toroide o solenoide). La energa por unidad de volumen es

2

Bo

12

U Bu

V= = (6.12)

Ejemplo 4.2

En cierta regin de espacio, por ejemplo en la regin comprendida entre los polos de un imn (figura 3.1), existe un campo uniforme de 10 T. Calcular la energa almacenada en

un 3cm de espacio.

Solucin

Datos:

B 10T=

3 6 3V 1cm 1x10 m= =

De acuerdo con la ecuacin (6.12), la energa almacenada en el volumen V ser

2

o

12

BU V= (1)

V

B



Reemplazando datos

2 6 3

7(10T) x10 m1U x2 4 x10 Tm / A

=

pi

U 40 J=

4.4 CORRIENTES ALTERNAS

Como mencionamos en la seccin 3.4, hoy en da se genera corriente elctrica en las centrales hidroelctricas. Este tipo de corriente se llama alterna (CA) porque vara peridicamente de tal manera que la fem generada alterna segn la siguiente ecuacin [ver (3.13)]

o osen( t) sen (2 f t) = pi = (4.13) donde

o :fem mxima (se mide en V) 22 fTpi

= pi = : frecuencia angular (se mide en rad/s)

f : frecuencia (se mide en 1/s o HZ) T : periodo (se mide en s)

El smbolo de una fuente de corriente alterna es

La figura 4.3 muestra un circuito elemental formado por una fuente de corriente alterna y una resistencia.

Evidentemente la intensidad de la corriente en el circuito tambin es alterna.

Figura 4.3



Hemos mencionado que la fem del generador se puede expresar en la forma que indica la ecuacin (4.13) y el voltaje (o tensin) en los terminales del conductor o en los extremos de la resistencia (figura 4.3) ser

V V sen( t)o = (4.14) donde oV es el voltaje mximo y V el voltaje en el instante t. Sin embargo en lugar de utilizar la funcin sinoidal tambin se puede utilizar la funcin cosenoidal, esto es

V V cos ( t)o = (4.15)

Esto no cambia la descripcin fsica del problema. Adems se cumple la igualdad

V V cos ( t) V sen ( t )o o 2pi

= += (4.16)

Decimos entonces que el cos y sen estn desfasados por un ngulo de 2pi

.

En la figura 4.4 se muestra un vector rotante oV que gira con velocidad angular en

sentido antihorario. En la grfica adjunta de V versus t, se observa los valores del voltaje en diferentes instantes; se ve la variacin cosenoidal.

El vector oV se denomina fasor oV y nos permitir describir el voltaje CA. Tambin se define el fasor de corriente oI .

0

oV

oV

t

Figura 4.4

t

V



Se puede observar tambin en la figura 4.4 que la componente horizontal del vector oV

es V V cos ( t)o = y coincide con la ecuacin (4.16) y por consiguiente podemos sumar fasores vectorialmente y tomar la componente horizontal del vector resultante.

Relaciones entre voltaje e intensidad

Resistencia

La figura 4.5 es un circuito CA que contiene una fuente de corriente alterna que proporciona un voltaje V V cos ( t)o = y una resistencia R. De acuerdo a la ley de Ohm V Ri= , de donde resulta

oVVi ( )cos ( t)R R

= = (4.17)

donde la amplitud de la intensidad de corriente es

oo

VI

R= (4.18)

Comparando V V cos ( t)o = y oi I cos ( t)= vemos tanto el voltaje como la corriente no tienen diferencia de fase, esto significa que cuando la tensin es mxima

tambin la corriente ser mxima. Sus fasores

correspondientes son paralelos, como muestra la figura 4.6

Figura 4.5

i

V

oV

oI

Figura 4.6

R



Autoinduccin El circuito CA de la figura 4.7 contiene una bobina de autoinduccin L y una fuente de voltaje o tensin alterna V.

La fem de autoinduccin genera un voltaje, la cual viene dado por la ecuacin [ecuacin (4.1) y la segunda ley de Kirchhoff]

d iV Ld t

= (4.19)

De seta ltima ecuacin se obtiene

oVV dtd i cos ( t)d tL L

= = (4.20)

Integrando resulta

o oV Vi cos ( t)d t ( )sen ( t)L L

= =

(4.21)

donde la amplitud de la intensidad (o intensidad mxima) es

oo

VI

L=

(4.22)

adems L hace el papel de resistencia [ecuacin (4.18)] y se denomina reactancia inductiva LL X = .

Comparando

V V cos ( t)o = (4.23a)

o oV Vi ( )sen ( t) ( ) cos ( t )L L 2

pi= =

(4.23b)

Vemos que la intensidad est retrasada respecto al voltaje en un ngulo de fase 2pi

.

Figura 4.7

i

V

L



La figura 4.8 muestra la relacin y la diferencia de fase entre los fasores de voltaje e intensidad en el circuito de la figura 4.7.

Condensador

En este caso el circuito esta constituido por una fuente de voltaje alterno V y un condensador de capacidad C (figura 4.9). La capacidad del condensador es por definicin

qCV

= (4.24)

q :carg a almacenada

V V cos ( t)o = (4.25) De (4.24), tenemos q CV= (4.26) Derivando

d q d VCd t d t

= (4.27)

Teniendo en cuenta que d qid t

= y od V V sen ( t)d t

= , la ecuacin (4.27) conduce a

oi CV sen ( t)= (4.28) donde la amplitud de la intensidad es

o oI CV= (4.29)

Para interpretar (4.29) partimos de la ley de Ohm o oV RI= , de donde ooV

IR

= . Vemos

que el papel de resistencia en (4.29) lo hace el trmino 1/ C =XC y se denomina reactancia capacitiva.

Para comprara las fases del voltaje alterno y la intensidad de la corriente, volvamos a escribir las ecuaciones (4.25) y (4.28)

Figura 4.9

i

V

C

oV

oI

Figura 4.8



V V cos ( t)o = (4.30)

o oi I sen ( t) I cos ( t )2pi

= = + (4.31)

[en la ecuacin (4.31) se ha utilizado la identidad sen cos ( )2pi

= + ]. Comparando

(4.30) con (4.31) notamos que la fase de la intensidad se

adelanta 2pi

respecto al voltaje; esto significa que cuando

la intensidad es mxima, el voltaje es mnimo y as sucesivamente. La figura 4.10 muestra el adelanto de fase mencionado.

Circuito RLC en serie

La figura 4.11 muestra una resistencia R, una

autoinductancia L y un condensador C en serie y bajo un voltaje alterno V. Lo primero que hay que tener en cuenta es que la intensidad instantnea de la corriente es la misma en todos los puntos del circuito; esto significa tambin que las amplitudes de intensidad

son las mismas R L CI I I= = . La tensin o voltaje en los extremos de cada elemento en el circuito vienen dados por

R RV R I= RI en fase con RV (4.32a

L LV ( L) I= LI retrasada 2pi

respecto a LV (4.32b)

C C1V ( ) IC

=

CI adelantada 2

pi respecto a CV (4.32c)

Como mencionamos anteriormente, tenemos que los fasores intensidad tambin deben ser iguales

o R C L= = =I I I I (4.33)

Figura 4.11

i

V

L

R C



Adems, el fasor voltaje (o tensin) aplicado al circuito debe ser la suma vectorial de los fasores tensin o voltaje de cada elemento, esto es

o R L C o1I ( )= + + = + +

V V V V R L

C (4.34)

En la figura 4.12a se muestra la suma vectorial del fasores voltaje y en la figura 4.12b, el diagrama vectorial para las impedancias

La solucin de la ecuacin (4.34) para oI ser

o oo

12 2R ( L )C

V VI

Z+

= = (4.35)

donde se ha introducido la cantidad

12 2R ( L )C

Z +

= (4.36)

al cual se denomina impedancia de un circuito CA en serie y juega el mismo papel de resistencia en un circuito de corriente continua. La intensidad instantnea ser la componente horizontal de los fasores y viene dada por

LV

I

RV

CV

oV R

L

1C

12 2R ( L )C

+

| Z |=

(a)

Figura 4.12

(b)



o

12 2R ( L )C

Vi [ ]cos ( t )

+

= (4.37)

donde el ngulo de fase se obtiene de

L 1/ Ctg

R = (4.38)

Circuito RLC en paralelo

La figura 4.13 muestra un circuito AC en

paralelo. La tensin al circuito se aplica entre los

terminales ab y ser el mismo para los tres elementos.

En este caso el fasor intensidad total ser la suma vectorial de los fasores intensidad

o R C L= + +I I I I (4.39)

La figura 4.14 muestra el diagrama de la suma vectorial de los fasores intensidad. Teniendo en cuenta que

o R L C= = =V V V V (4.40) Adems las ecuaciones (4.32), tenemos

oR

VI

R= (4.41a)

oL

VI

L=

(4.41b)

oC

VI

1/ C=

(4.41c)

oI

RI CI

LI oV

Figura 4.14

b

L

R

C

Figura 4.13

a



Del diagrama 4.14 se obtiene la magnitud de Io

oo

VI

Z= (4.42)

donde Z se denomina impedancia de un circuito CA en paralelo y viene dada por

22

1 1 1 1( )Z 1/ C LR

= +

(4.43)

Como en los circuitos CA vara la corriente y el voltaje en el transcurso del tiempo, es necesario tener valores promedios representativos y por ello se han definido ciertas cantidades, como la corriente rms, que significa la raz cuadrada del valor promedio

del cuadrado de la corriente:

0rsm 0

II 0,7071I

2= = (4.44)

Tambin se define el voltaje rms

0rsm 0

VV 0,7071V

2= = (4.45)

Ejemplo 4.3

Un circuito RLC en serie tiene una resistencia R 450= , una autoinductancia

L 1,30H= y una capacidad C 4 F.= Adems tiene una frecuencia angular

380 rad / s = y un voltaje o tensin mxima maxV 150V= . Calcular: a) La reactancia inductiva, la reactancia capacitiva y la impedancia del circuito. b) La corriente mxima en el circuito. c) El voltaje mximo a travs de cada elemento. d) El voltaje instantneo en cada elemento. e) La intensidad rmsI y el voltaje rmsV .

Solucin



Datos

R 450=

L 1,30H=

6C 4 F 4 x10 F= =

380 rad / s =

max 0V V 150V =

a) La reactancia inductiva viene dada por

L1X L 380 x1,30H 494s

= = =

Reactancia capacitiva

C61

1X 1/ C 657,9380 x 4x10 F

s

= = =

Inpedancia

2 212 2R ( L )C

Z (450 ) (494 657,9 ) 478,9+

= = + =

b) Corriente mxima 0

max 0V 150 VI I 0,31AZ 478,9

= = =

c) Voltaje mximo a travs de cada elemento

R 0V I R 0,31A x 450 139,5V= = =

L 0 LV I X 0,31A x 494 153,14 V= = =

C 0 CV I X 0,31A x 657,9 203,95V= = =

d) Voltaje instantneo en cada elemento



RV V cos ( t) 139,5cos (380 t) Vo ==

L LV i V sen ( t) 139,5sen (380 t) VoX = ==

C CV i V sen ( t) 139,5sen (380 t) VoX = == e)

0rsm 0

II 0,7071I 0,7071x 0,31A 0,22 A

2= = = =

0rsm 0

VV 0,7071V 0,7071 x150 V 106,1V

2= = = =

4.5 ONDAS

Se llama onda a la propagacin de una perturbacin a travs de un medio slido, lquido o gaseoso (con excepcin de las ondas electromagnticas, que pueden propagarse en el vaco). Por ejemplo las ondas en una cuerda tensa , las ondas sonoras, las ondas ssmicas, ondas marinas, las ondas electromagnticas, etc. Toda onda transporta momento y energa.

La perturbacin es la variacin de ciertas propiedades del medio como una deformacin, variacin de presin, variacin de campos electromagnticos, etc. producida por un agente oscilante. Cuando una onda requiere de un medio para propagarse se les denomina genricamente como ondas mecnicas. En general, cuando se propaga una perturbacin aislada se habla de propagacin de un pulso, pero si la perturbacin producida por el agente se repite peridicamente, se habla de la propagacin de una onda. Las ondas transversales, son aquellas donde las partculas del medio oscilan perpendicularmente a la direccin de propagacin de la onda (ejemplo: ondas en una cuerda, figura adjunta). Las ondas longitudinales, son aquellas donde las partculas oscilan en direccin paralela a la direccin de propagacin (ejemplo: el sonido, figura adjunta)



Ntese que cuando una onda se propaga, las partculas del medio no se propagan, solo efectan una oscilacin

en torno de su posicin de equilibrio (figura 4.15).

Ondas unidimensionales Son las que se propagan a lo largo de una recta. Si no existe disipacin de energa, la onda o pulso mantiene su forma al propagarse. En todo lo que sigue supondremos que la onda

mantiene su forma; es decir, no se dispersa. Considerando la figura 4.16, en el instante t = 0 tenemos un pulso el cual se describe matemticamente por una funcin genrica

y = f(x) (4.46)

El mximo desplazamiento vertical A se llama amplitud de la onda. En el instante

t > 0 cada punto de la onda avanza una

distancia vt y la posicin del punto P (figura) respecto del eje vertical ser x vt,

donde x es la nueva posicin con respecto al sistema de coordenadas original. La

funcin que representa la onda (o pulso) en el instante t > 0 viajando a la derecha es,

y = f ( x vt ) (4.47)

Para una onda que viaja a la izquierda es,

y = f ( x + vt ) (4.48)

frente de onda sonora

fuente sonora

Figura 4.15

y

x

x

t = 0

t >0

A

vt

x

x

v

v

P

P

Figura 4.16



velocidad de fase

Es la velocidad con que se propaga la onda, por ejemplo la cresta o punto de amplitud mxima.

v = dtdx

(4.49)

Superposicin e interferencia de ondas

El principio de superposicin para las ondas establece: Si dos o ms ondas se estn moviendo a travs de un medio se superponen y la funcin de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales.

Si y1 = f(x-vt) es la funcin de onda de la primera onda y y2 = f(x+vt) es la funcin de onda de la segunda onda, entonces la onda resultante es:

1 2y y y= (4.50)

Las ondas se suman (+) cuando las amplitudes tienen el mismo sentido y se restan (-) cuando las amplitudes tienen sentidos opuestos. Se llama interferencia a la combinacin de ondas individuales en una misma regin de

espacio. La interferencia es constructiva cuando las ondas se suman y ser destructiva, cuando se restan. En particular, si y1 = y2 , entones y = y1 - y2 = 0.

Reflexin y transmisin de ondas

Siempre que una onda alcance una frontera, parte o toda la onda puede reflejarse y parte transmitirse.

y1 y2

y = y1 + y2

y2 y1

Figura 4.17



Cuando la frontera es muy rgida (extremo A fijo de la cuerda por ejemplo), la onda se refleja totalmente y se invierte. Si embargo si la frontera no es rgida (extremo B de la cuerda atada a una argolla por ejemplo), la onda se refleja pero no se invierte. Cuando la frontera no es muy rgida ni muy elstica (punto C y D de la figura), entonces parte de la onda se refleja y parte se transmite. La onda reflejada se invierte cuando pasa de un medio menos denso a otro ms denso (frontera C); pero si la onda pasa de un medio ms denso a otro menos denso, la onda reflejada no se invierte (frontera D). La energa de la onda incidente se distribuye entre la onda transmitida y reflejada.

Ondas armnicas

Las funciones y = sen ( x ) o y = cos ( x ) se llaman funciones armnicas. La grfica

de estas funciones se dicen que tienen forma senoidal o cosenoidal . Una onda armnica ideal se puede generar atando el extremo de un hilo tenso a un

resorte (figura adjunta). Cuando el resorte oscila en MAS, genera una onda de forma senoidal, la cual se propaga sobre el hilo con velocidad v. Las ondas armnicas constituyen el modelo fundamental para describir las ondas en general.

A

C

B

C

D

D

B

A

onda transmitida

onda reflejada

onda incidente

onda incidente

onda reflejada

onda reflejada onda transmitida

onda incidente

x

v

A

Figura 4.18

Figura 4.19



Parmetros de una onda

longitud de onda: es la distancia entre dos crestas o puntos equivalentes. Se mide en m o cm

periodo: T : es el tiempo que tarda la cresta en recorrer , o es tiempo que tarda el resorte en efectuar una oscilacin. Se mide en segundos (s).

frecuencia: f: es el nmero de veces que una cresta (o cualquier punto de la onda) pasa por un punto fijo por segundo. Tambin es igual a la frecuencia del oscilador o agente perturbador, f = 1/T. Se mide 1/s Hz.

amplitud: A: es el mximo desplazamiento vertical (o la mxima variacin de algn parmetro perturbador).

velocidad: v: es uno de los parmetros fundamentales de toda onda y viene dado por la ecuacin

v f= (4.51)

La energa que transporta una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud:

E A2 (4.52)

La funcin de onda

La funcin matemtica que describe una onda unidimensional armnica que se propaga

en la direccin del eje x es,

y = Asen [ pi2 (x vt) ] = Asen [

Ttx(2

pi ) ] (4.53)

Sin embargo se puede simplificar la expresin en base a las siguientes definiciones:

El nmero de onda k

2k pi=

(4.54)



La frecuencia angular

= T2pi

= 2pif (4.55)

Tomando en cuenta estas definiciones, la ecuacin (4-53) se puede expresar como sigue,

y = A sen ( k x t + ) (4.56)

donde A: amplitud o mxima variacin de la perturbacin

2k pi=

: nmero de ondas. Se mide en 1/m.

2 f = pi : frecuencia angular. Se mide en rad/s.

f : frecuencia. Se mide en 1/s o HZ (Hertz). : ngulo de fase. Se mide en rad.

El signo (-) es para ondas que se propagan en la direccin del eje +x y el signo (+) es para ondas que se propagan en la direccin del eje x. El trmino es la constante de fase, la cual se determina de las condiciones iniciales.

Ejemplo 4.4

Una onda armnica esta descrita por la ecuacin

2 2y 4x10 sen (2 x t )3 4

pi pi= pi +

donde la amplitud se mide en metros, el tiempo en segundos.

Calcular:

a) La amplitud (A), el nmero de ondas (k), la frecuencia angular ( ) y la fase. b) La longitud de onda , la frecuencia f y la velocidad.

Solucin

Debemos comparar la funcin de onda y la funcin dada

y = A sen ( k x t + )

2 2y 4x10 sen (2 x t )3 4

pi pi= pi +



a) Amplitud

2A 4 x10 m=

Nmero de ondas

1k 2m

= pi

Frecuencia angular

2rad / s

3pi

=

Angulo de fase

4pi =

b) De la ecuacin (4.54), tenemos

1

2 2 1mk 2

m

pi pi = = =pi

De la ecuacin (4.55)

2 1 1 1f HZ2 3x 2 3 s 3 pi

= = = =

pi pi

Velocidad

1 1 1 mv f 1m x 0,33m / s

3 s 3 s= = = =

4.6 ONDAS ELECTROMAGNTICAS

En 1865 el fsico James K. Maxwell public un trabajo en la cual unificaba todas las ecuaciones que expresan las leyes de la electricidad y magnetismo. Demostr que cuando las cargas elctricas son aceleradas (oscilan por ejemplo a nivel atmico o molecular) emiten ondas electromagnticas y travs de los cuales se propaga la energa. Las ondas viajan en el vaco a la velocidad de la luz 8c 3x10 m / s . Sugiri que la luz misma es un tipo de onda electromagntica.



Las ecuaciones de Maxwell

Las cuatro ecuaciones de Maxwell expresan el resumen mejorado y completado de todas las leyes de la electricidad y magnetismo. Se formulan por medio de ecuaciones vectoriales de los campos elctrico E y magntico B respectivamente. En su forma integral son:

o

Q= E.dA (ley de Gauss) (4.57)

0= B.dA (ley de Gauss para el magnetismo) (4.58)

Eo c o

d(i )d t

= + B.dl (ley de Ampere) (4.59)

Bdd t

= E.dA (ley de Faraday) (4.60)

Ondas electromagnticas planas

A partir de las ecuaciones anteriores Maxwell lleg a un conjunto de ecuaciones diferenciales que representan las ecuaciones tpicas de onda. La solucin de dichas

ecuaciones (con ciertas condiciones) conducen a que los vectores campo elctrico E campo magntico B son perpendiculares y se propagan juntos oscilando a elevadas frecuencias. La figura 4.20 muestra un modelo matemtico de una onda electromagntica armnica polarizada1 que se propaga en el vaco a lo largo del eje x a la velocidad de la luz c. Los campos E y B oscilan en los planos xy e yz respectivamente.

1 Se dice que est polarizada porque el campo elctrico oscila en solo plano, en este caso en le plano xy.



Las funciones de onda de los campos elctricos y magnticos vienen dadas por

oE E Sen (kx t)= (4.61) oB B Sen (kx t)= (4.62)

Los campos elctricos y magnticos estn relacionados por la ecuacin

EBc

= (4.63)

donde c es la velocidad de la luz en el vaco ( 8c 3x10 m / s= ), Eo y Bo son los campos elctrico y magntico mximo; K el nmero de ondas y la frecuencia angular, y vienen dadas por:

c = f = 3x108 m/s

2k pi=

(4.64)

2 f = pi

x z

y E

B

Figura 4.20

c

B

E



Espectro electromagntico

Las ondas electromagnticas se pueden clasificar segn su longitud de onda o segn su

frecuencia. Ambas son inversamente proporcionales, esto es cf

= . Al conjunto de

ondas electromagnticas clasificadas segn sus longitudes de onda o frecuencias se denomina Espectro Electromagntico. Clasificando segn su longitud de onda tenemos:

1).Las ondas de radio

Se generan por oscilacin de corrientes y dispositivos electrnicos. Comprende una banda de longitudes de onda que van desde el orden de 10 Km. hasta 1cm. Se utilizan en los sistemas de comunicacin como la radio, TV, celulares, etc.

2) Las microondas

Comprenden una banda de longitudes de onda que van aproximadamente desde 30 cm hasta 0,1 mm. Se generan a travs de dispositivos electrnicos va aceleracin de electrones. Se utilizan en el radar, comunicacin va cable, tambin en el horno de microondas, en este ltimo caso la longitud de onda es del orden de 122 mm.

3).Las ondas infrarrojas

Comprende longitudes de onda que van desde 1 mm hasta 7000 oA (donde oA se

denomina Angstrom y es una unidad de longitud utilizada en fsica atmica.

o 101A 1x10 m= ). Estas ondas electromagnticas son producidas en forma natural por la oscilacin de las molculas en los cuerpos calientes, es decir, todo cuerpo caliente emite ondas infrarrojas. Cuando esta radiacin se absorbe generada calentamiento, decimos que estas ondas transportan el calor por radiacin. El ejemplo mas importante es la radiacin infrarroja que viene del sol y calienta a la tierra.



4) La luz

Se denomina luz a las ondas electromagnticas que la vista humana puede percibir. Se produce por el movimiento de los electrones a nivel de los tomos y molculas. Comprende un espectro de 7 colores (rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, ndico y violeta) los cuales se diferencian por sus longitudes de onda y van desde el color rojo de

7000 oA hasta el violeta alrededor de 4000

oA . La rama de la fsica que estudia la luz se

llama ptica.

4) Las ondas ultravioleta (UV)

Abarcan longitudes de onda desde aproximadamente 4000 oA hasta 6

oA . El sol emite

gran cantidad de radiacin UV el cual es la principal causa del bronceado en la playa, sin embargo tambin la principal causa del cncer a la piel. La mayor cantidad de rayos

UV que vienen del sol es absorbida por el ozono ( 3O ) en las altas capas de la atmsfera terrestre (estratsfera). La contaminacin destruye las capas de ozono dejando desprotegida la superficie terrestre.

5) Los rayos X

Sus longitudes de onda estn en el intervalo de 100 oA a 0,01

oA . Los rayos X se

pueden producir en los llamados tubos de rayos catdicos por desaceleracin de electrones cuando chocan con un blanco metlico llamado antictodo. Loa rayos X pueden daar los tejidos de los seres vivientes, de all que se debe tener cuidado de sobreexponerse a los rayo X. En la exploracin de los slidos cristalinos, como los metales, se emplea la tcnica de difraccin de R-X.

6) Los rayos gamma

So ondas electromagnticas emitidas por los ncleos radioactivos, como el cobalto 60 Co y el cesio 137 Cs , durante las reacciones nucleares (explosiones nucleares). Sus



longitudes de onda abarcan desde 1 oA hasta aproximadamente 0,0001

oA . Son muy

penetrantes y producen daos profundos y quemaduras en los tejidos vivientes.

Ejemplo 4.5

El campo elctrico de una onda electromagntica armnica esta descrita por la funcin de onda

2 14E 160 Sen ( x10 x 2 x10 t)= pi pi Calcular:

a) la amplitud del campo elctrico, la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad.

b) La funcin de onda del campo magntico. Solucin

a) Comparando las ecuaciones

2 10E 160 Sen (2 x10 x 2 x10 t)= pi pi

oE E Sen (kx t)= tenemos

Amplitud del campo:

No C

E 160=

Longitud de onda:

22

2 2 10 m 1cmk 2 x10 1/ m

pi pi = = = =pi

Frecuencia:

10102 x10 1f 10 HZs2 2

pi= = =

pi pi

Velocidad:

2 10 8v f 10 x10 m / s 10 m / s= = =



b) Utilizamos la ecuacin EBc

=

2 14

8160 Sen ( x10 x 2 x10 t)B

3x10pi pi

=

8 2 14B 53,33x10 Sen ( x10 x 2 x10 t)T= pi pi

Ejemplo 4.6

Un haz de R-X tiene una longitud de onda de 10 oA , calcular su frecuencia.

Solucin Datos

o 10 910A 10 x10 m 10 m = = =

8c 3x10 m / s=

De la ecuacin c f= , tenemos

817

9c 3x10 m / sf 3x10 HZ

10 m= = =

RESUMEN

Cuando La corriente elctrica que circula por un circuito cerrado vara con el tiempo produce un flujo magntico variable a travs del propio circuito, el cual a su vez induce una fem propia y a consecuencia de ello se genera una corriente autoinducida. Esta corriente autoinducida tiende a ponerse a la corriente original

(debido a la ley de Lenz) y a este fenmeno se llama autoinductancia. Al final, el efecto de la autoinductancia semeja a una resistencia elctrica.

Dos o ms circuitos pueden interactuar a travs del flujo magntico mutuo. Por ejemplo si una bobina esta enrollada encima de otro, la corriente de uno de ellos



origina un flujo magntico que afecta al otro, induciendo efectos de inductancia. A este fenmeno se denomina inductancia mutua.

Se llama corriente alterna, a la corriente que fluye por un circuito cerrado cambiando de sentido peridicamente, La razn se debe a la fuente alterna que alimenta al circuito. Por ejemplo la corriente domstica se genera por una tensin alterna de 60 cps.

La tensin alterna en un circuito cerrado se representa matemticamente por la expresin

V V cos ( t) V cos (2 f t)o o = pi= donde Vo es la tensin mxima, f es la frecuencia de oscilacin.

No siempre la fase de la tensin es concordante con la fase de la corriente; esto significa que no siempre cuando la tensin es mxima la corriente es mxima. Las diferencias de frase dependen de los elementos conectados en el circuito.

Se llama Fasor a un vector imaginario rotante. As tenemos el fasor asociado a

la tensin mxima oV (figura 4.4) el fasor asociado a la intensidad mxima de la corriente oI , etc. Las componentes de un fasor representan la tensin o la

intensidad en cualquier instante de tiempo.

Se llama onda a la propagacin de una perturbacin a travs de un medio slido, lquido o gas (con excepcin de las ondas electromagnticas que pueden propagarse en el vaco). Como ejemplo tenemos las ondas sonoras, ssmicas, ondas electromagnticas, etc. Las ondas armnicas en una dimensin que se propagan en la direccin del eje x se pueden expresar matemticamente por la funcin de onda

y = A sen ( k x t + ) donde

A : amplitud o mxima intensidad de la perturbacin.

2k pi=

: nmero de ondas. Se mide en 1/m.

2 f = pi : frecuencia angular. Se mide en rad/s.

f : frecuencia. Se mide en 1/s o HZ (Hertz). : ngulo de fase. Se mide en rad.



Las ondas electromagnticas se generan bsicamente por oscilacin de las cargas elctricas a nivel atmico o molecular. Tambin se pueden generar por oscilacin de corrientes elctricas a altas frecuencias (antenas); en algunos casos se generan por movimiento oscilante de electrones en recintos cerrados (microondas). Las ondas electromagnticas estn constituidas por campos elctricos y magnticos oscilantes que viajan juntos y son perpendiculares entre s (figura 4.20). En el vaco se propagan a la velocidad 8c 3x10 m / s= denominada velocidad de la luz. Las ondas electromagnticas satisfacen la igualdad

c f=

donde es la longitud de onda y f la frecuencia. La frecuencia de oscilacin de

los campos elctricos y magnticos es muy elevada tal como 1410 Hz .

Matemticamente la propagacin de los campos elctricos y magnticos de una

onda electromagntica se pueden expresar como sigue

oE E Sen (kx t)= oB B Sen (kx t)=

donde E y B estn relacionadas por la ecuacin

EBc

=

Las ondas electromagnticas se pueden clasificar por su longitud de onda o por su frecuencia. A esta clasificacin se llama Espectro Electromagntico. De acuerdo a esto tenemos las ondas de radio, las microondas, las ondas infrarrojas, la luz, las ondas ultravioletas, los rayos X y los rayos . Las ondas de radio

tiene longitudes de onda del orden de cientos de metros, mientras que los rayos

fracciones de o 101A 10 m= . La luz comprende desde la luz roja

(o

6500 A ) hasta la luz violeta (o

4000A ).



AUTOEVALUACIN

PROBLEMAS PROPUESTOS

4.1. Un cordn de telfono enrollado en forma de solenoide tiene 70 vueltas, un dimetro de 1,20 cm y una longitud de 60 cm. Hallar la autoinductancia en el cordn.

Respuesta.- 81,2x10 H

4.2 Calcular el flujo magntico a travs del rea encerrada por una bobina de 300 vueltas y una autoinductancia de 7,20 mH, cuando la corriente en la misma es de 10 mA.

Respuesta.- 72,4 x10 Wb.

4.3 Un circuito de corriente alterna tiene una frecuencia angular 300 rad/s, contiene una

resistencia de 5 , una bobina de autoinductancia 35x10 H y un condensador de

50 F . Si los elementos se encuentran en paralelo, hallar su impedancia.

Respuesta.-1,5

4.4 El campo elctrico de una onda electromagntica esta descrita por la ecuacin 3 11E 70sen (2 x10 x 2 x10 t)= pi pi . Calcular la velocidad de la onda

electromagntica.

Respuesta.- 81x10 m / s

4.5 La frecuencia promedio de la luz es de 1410 HZ , calcular su longitud de onda

promedio.

Respuesta.-o43x10 A



REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

[1] Serway Beichner, (2000). Fsica. Tomo II, Mxico, McGraw-Hill.

[2] Sears Zemansky Young Freedman, (1996). Fsica. Vol. 2, Mxico, Add Wesley Longman.

[3] Paul A. Tipler, (1996). Fsica. Parte 2, Barcelona, Ed. Revert, S. A.

[4] ResnickHallidayKrane, (2004). Fsica. Vol. 2, Mxico, CECSA.

[5] Jerry D. Wilson, (1996). Fsica. Mxico, Prentice Hall.

[6] MrquezPea, (1980). Principios de Electricidad y Magnetismo. Lima.

Enlace on line

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_(f%C3%ADsica)



LECTURA

El espectro electromagntico

Las ondas electromagnticas cubren un espectro muy amplio de longitudes de onda y frecuencias. Este espectro electromagntico abarca la transmisin de radio y televisin, la luz visible, la radiacin infrarroja y ultravioleta, rayos x y rayos gamma. Se han detectado ondas con frecuencias de 1 hasta 1024 Hz; la parte ms conocida del espectro se muestra en la Figura a, en la cual se dan los intervalos aproximados de longitudes de onda y frecuencias para los diferentes segmentos. A pesar de las enormes diferencias en sus aplicaciones y sus medios de produccin, todas son ondas electromagnticas con las caractersticas generales que hemos descrito, incluyendo la rapidez de propagacin (en el vaco) c = 299 792 458 m/s. Las ondas electromagnticas pueden diferir en frecuencia f y en longitud de onda , pero la relacin c = f en el vaco es vlida para todas.

Slo podemos detectar una porcin muy pequea de este espectro de manera directa a travs de la vista. A este intervalo le llamamos luz visible. Sus longitudes de onda varan desde unos 400 a 700 nm (400 a 700 x 10-9 m), con frecuencias correspondientes que van de cerca de 750 hasta 430 THz (7.5 a 4.3 x 1014 Hz). Diferentes partes del espectro visible evocan en los humanos la sensacin de diferentes colores. En la tabla a se dan las longitudes de onda de los colores del espectro visible (muy aproximadamente).

La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles. Sin embargo, utilizando fuentes especiales o filtros, podemos seleccionar una estrecha banda de longitudes de onda dentro de un intervalo de unos pocos nm. Esta luz es aproximadamente monocromtica (de un solo color). La luz absolutamente monocromtica con solo una longitud de onda es una idealizacin que no se puede lograr. Cuando utilizamos la expresin luz monocromtica con = 550 nm al referirnos a algn experimento de laboratorio, en realidad nos referimos a un pequea banda de longitudes de onda alrededor de 550 nm. La longitud La luz de un lser es mucho ms monocromtica que la luz obtenida de cualquier otra forma.



Ref. http://www.astronomia2009.es/Zona_Articulos/La_nueva_mirada_de_Galileo/El_Universo_mas_alla_de_lo_visible.html

Tabla a

Longitudes de onda de la luz visible 400 a 440 nm Violeta 440 a 480 nm Azul 480 a 560 nm Verde 560 a 590 nm Amarillo 590 a 630 nm Naranja 630 a 700 nm Rojo

Figura a. Espectro electromagntico. Las frecuencias y las longitudes de onda que se encuentran en la naturaleza se extienden en un intervalo tan amplio que hay necesidad de emplear una escala logartmica para presentar todas las bandas importantes. Las fronteras entre bandas son un tanto arbitrarias



BIBLOGRAFA

[1] Serway Beichner, (2000). Fsica. Tomo II, Mxico, McGraw-Hill.

[2] Sears Zemansky Young Freedman, (1996). Fsica. Vol. 2, Nxico, Add Wesley Longman.

[3] Paul A. Tipler, (1996). Fsica. Parte 2, Barcelona, Ed. Revert, S. A.

[4] ResnickHallidayKrane, (2004). Fsica. Vol. 2, Mxico, CECSA.

[5] Jerry D. Wilson, (1996). Fsica. Mxico, Prentice Hall.

[6] MrquezPea, (1980). Principios de Electricidad y Magnetismo.

[7] Alonso Finn, (1970). Fsica. Vol. II, Espaa, Fondo Educativo.

[8] McKelveyGrotch, (1981). Fsica. Tomo II, Mxico, Harla.

[9] ReitzMilfordChristy, (1996). Fundamentos de la teora Electromagntica. USA, AddisonWesley.



ALGUNAS CONSTANTES FSICAS IMPORTANTES

Carga del electrn 19e 1,6x10 C =

Carga del protn 19e 1,6x10 C+ =

Masa del electrn 31em 9,11x10 Kg

=

Masa del protn 27pm 1,67x10 Kg

=

Velocidad de la luz en el vaco 8c 3x10 m / s=

Permeabilidad magntica del vaco 7o 4 x10 TM / A = pi

Permeabilidad elctrica del vaco 12 2 2o 8,85x10 C / N m =

GLOSARIO

Vector.- Cantidad que se especifica con un nmero (magnitud o mdulo) y una direccin. Vector unitario.- vector de magnitud 1. Campo magntico.- entidad fsica sutil que rodea a un imn o a un conductor que transporta corriente elctrica. Cuantitativamente el campo magntico en un punto de espacio se determina mediante el vector induccin magntica B.

Lneas de induccin magntica.- lneas curvas o rectas que representan el campo magntico en el espacio.

Ley de Biot y Savart.- frmula matemtica que permite calcular el campo magntico en el espacio bajo el supuesto que se conoce la distribucin de corriente. Espira.- todo conductor cerrado por el cual puede circular una corriente elctrica. Bobina.- conjunto de espiras. Flujo magntico.- cantidad escalar que representa el nmero de lneas de induccin magntica que atraviesan la superficie delimitada por un circuito cerrado. Se mide

en Weberes (Wb). Ley de induccin de Faraday.- Ley matemtica que representa la relacin entre la fem y la velocidad de variacin del flujo magntico. Inductancia.- efecto resistivo que aparece en un circuito por la variacin del propio

flujo del circuito.



Corriente alterna.- corriente que fluye en circuito cambiando de sentido peridicamente. Fasor.- vector imaginario rotante que representa una tensin o una corriente

mxima.

Onda electromagntica.- entidad fsica ondulatoria que es emitida por cargas elctricas oscilantes a alta frecuencia.

Espectro electromagntico.- clasificacin de las ondas electromagnticas segn su longitud de onda o frecuencia.

unidad iv fisica

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