7/24/2019 Unidad Iii_funciones_primavera 2013

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TEMA 3. VARIABLES Y FUNCIONES

.Funcin. Sean A y B dos conjuntos, cuyos elementos pueden ser cualesquiera objetos, y supngase que cada elemento x

ene un elemento asociadoyB el cual lo denotamos por f (x). Entoncesfse dice ser una funcin de A a B. El conjunto Aamado dominio def(que denotaremos por Domf ). Los elementosf (x) son llamados los valoresde f. El conjunto de todosalores defse llama el rango def; a ste ltimo lo denotaremos por Rangof.

Axse le llama variable independiente, y a lay=f(x) se le llama variable dependiente, pues sta depende dex.

La notacinf: A B indica quefes una funcin de A a B, o tambin se dice f es una funcin que va de A a B. En este cuas funciones de inters son de la formaf: ; por lo tanto, en nuestras funcionesfse satisface que el Domf, y el Ran

.

Ejemplos. Ejercicios 1, 2 y 3 (algunos incisos) de la gua Variables y funciones.

. Funcin creciente: Una funcinfes creciente en un in tervaloIDomf, six1

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. Funcin impar: Una funcinfes imparsif (x) = f (x), xDomf. Lagrficade una funcin impar tienesimetra respec

l origen de coordenas(0,0).

Ejemplos: a) f (x) =x3; b) Ejercicio 15a)

.Recproca de una funcin: La funcin recprocagde una funcinfest dada por g(x) = 1 /f(x).

. Operaciones algebraicas con funciones:

suma y diferencia de funciones: (f

) (x) =f(x)

(x).

) producto de funciones: (fg) (x) =f(x) g(x).

i) cociente de funciones: (fg) (x) =f(x) g(x), siempre queg(x) 0.

v) composicin de funciones: Dadas dos funcionesfyg, la funcin compuesta o la composicin defyg, denotada porf g (

ambin nombradagseguida def, ofcompuesta cong), est definida por: (fg)(x) =f (g (x)).

El Dom (fg) es el conjunto de lasxDomg, tal queg(x) est en el Domf.

Entonces, para encontrar el Dom (fg) se puede proceder de la siguiente manera: i) hallar el conjunto de las xDomg

allar el conjunto de lasxque satisfacen la condicin g(x) Domf; y iii) hallar la interseccin de los conjuntos encontrados en

.

Nota: Similarmente, para el caso de la funcin (gf)(x), se tiene Dom (g f ) =

Ejemplos. Ejercicio 4 incisos (a, b y f) de la gua variables y funciones. Ejercicio 7 incisos a), d) y g). Ejercicio 19.

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.Funcininyectiva: Una funcinf: A B es inyectiva o uno a uno si siempre quex1x2entoncesf (x1) f (x2).

Una definicin equivalente de funcin inyectiva, que es, en general, la ms cmoda de usar es:

La funcinf: A B es inyectiva sif (x1) =f (x2) implica quex1=x2, x1,x2A. (*)

Nota:Observa que si se usa la definicin (*) para demostrar que una funcin es inyectiva, se tiene como hiptesis f (x1) =f (x2aciendo pasos algebraicamente vlidos, se debe llegar a quex1=x2.

Ejemplo: Seaf : una funcin definida por

. Demostrar que la funcinfes inyectiva. Hallar el rango y

osquejar la grfica def.

. Funcinsuprayectiva: Una funcinf: A B se dice suprayectiva, o que mapea A en B, sif(A) = B. En otras palabras, una

uncinfes suprayectiva si su rango es la totalidad de B; i.e., si para cada yB existe algunaxA tal quef(x) =y.Ejemplo:

0. Funcin biyectiva: Una funcinf: A B es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

1. Funcin inversa: La funcin inversa de una funcinfse denota porf1, y se determina de la siguiente manera:Procedimiento para hallar la inversa de una funcin:

Paso i) Averiguar sifes inyectiva, en caso de quefno sea inyectiva entonces esa funcin no tiene inversa.Paso ii) Hacerf(x) =y.Paso iii) Despejar axde la ecuacin obtenida en el paso (ii).

Paso iv) Intercambiarxporyen la ecuacin obtenida en el paso (iii).

Paso v) Establecer el dominio y rango de la funcin inversaf1obtenida, tal que se cumpla lo siguiente:

Domf 1= Rango def

Rango def 1= Domf.

Ejemplo. Ejercicio 20 de la gua.

Ejemplos. Ejercicio 21 incisos (a y d)

Nota: Si la funcinftiene como funcin inversa a la funcinf 1, entonces cumplen f 1(f (x) ) =f(f1(x)) =x.

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NVENTARIO DE ALGUNAS FUNCIONES CANNICAS (O BSICAS)) Funciones lineales

) Funciones cuadrticas

) Funciones que involucran cocientes

) Funciones que involucran races

) Funcin valor absoluto

) Funcin mximo entero

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES (TRASLACIONES, REFLEXIONES, ETC. ) DE FUNCIONESAqu veremos cmo obtener dibujos de grficas de funciones ms generales a partir de las cannicas.