unidad iii recurso

7/24/2019 Unidad III Recurso

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UNIDAD III. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO.

1)

Ley de Coulomb: fuerza elctrica sobre una carga puntual.

2)

Campo elctrico: definicin. Campo elctrico de cargas puntuales.

3)

Movimiento de una carga en un campo elctrico.

4)

Ley de Gauss.

5)

Potencial elctrico.

6)

Capacitancia y condensadores.

7)

Corriente y resistencia: Ley de Ohm. Resistividad.

8)

Potencia elctrica. Ley de Joule.

9)

Magnetismo.

1)

Ley de Coulomb: fuerza elctrica sobre una carga puntual.

La naturaleza del mundo en que vivimos es de carga elctrica neutra, es que no podemos

encontrar fuentes de fluido elctrico positivo o negativo al igual que una fuente de agua.

Sin embargo podemos observar fenmenos elctricos repentinos como los relmpagos o

las chispas cuando frotamos un pedazo de tela. Para producir un flujo elctrico

necesitamos hacer una cierta cantidad de trabajo que despus se convertir en

electricidad como en una central hidroelctrica donde el trabajo lo realiza el flujo del agua

y esta mueve los generadores elctricos.

Cuando se comenz el estudio de los fenmenos elctricos se utilizaron cuerposconductores cargados por frotacin como la balanza de torsin de Coulomb, como se

muestra en la figura


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Esta constaba de dos piezas de metal, una de ellas colgando de un hilo, y al ser cargadas

por contacto en la parte superior, estas se repelan y se meda el ngulo de torsin, con lo

cual Coulomb pudo calcular la fuerza de repulsin y deducir la ecuacin de la fuerza entredos cargas que lleva su nombre

Donde k es la constante de permitividad

Y 0= 8.85x10-10C2/Nm2.

Las unidades de la carga elctrica en el SI son el Coulomb (C). Como ya sabemos las cargas

elctricas del mismo signo se repelen y las de signos contrarios se atraen. De esta forma

podemos medir la fuerza que ejerce una carga elctrica sobre otra.

Ejemplo 1: una carga de 2 C se encuentra a 0.5 m de otra carga de 3 C, con qu fuerza se

repelen?

Utilizando la ecuacin de Coulomb

Encontramos que la fuerza con que se repelen es de 21.56 N.

Hemos visto el carcter escalar de la fuerza elctrica pero esta es un vector.

2)

Campo elctrico: definicin. Campo elctrico de cargas puntuales.

El campo elctrico de una carga es el medio por el cual interacta una carga con otra porlo que la fuerza elctrica est relacionada con este de la siguiente forma


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Y lo medimos en N/C. Es decir que consideramos solamente una carga y calculamos su

campo elctrico. Podemos representar grficamente el campo de una carga con lneas de

fuerza que salen o entran de la carga segn sea positiva o negativa respectivamente. La

densidad de lneas disminuir con el cuadrado de la distancia desde la carga, ya que as lo

seala la ecuacin del campo al igual que la de la fuerza elctrica.

Ejemplo 1: una carga positiva tiene 4 C, calcular el campo elctrico a 2 m de distancia.

Entonces el campo elctrico es 8.99x109N/C.

Ejemplo 2: una carga positiva de 3.5 C experimenta una fuerza repulsiva de 13 N, cul es

la intensidad del campo elctrico?

De la ecuacin que relaciona el campo elctrico con la fuerza elctrica tenemos

Por lo que la intensidad del campo elctrico es 0.26 N/C.

3)

Movimiento de una carga en un campo elctrico.

Cuando tenemos una carga movindose en un campo elctrico constante podemos

calcular el trabajo que realiza en esa trayectoria. Es importante resaltar que en el caso de

que el campo elctrico no sea constante entonces deberemos hacer clculos ms

complicados, en concreto deberemos usar la forma integral para calcular el trabajo que

realizara la carga al moverse en un campo elctrico variable. La ecuacin para calcular el

trabajo hecho por una carga puntual en movimiento en un campo elctrico constante es

Ejemplo1: una carga de 5 C se mueve 2.5 m en un campo elctrico de 8 N/C, qu trabajo

se realiza?

De la ecuacin para el trabajo de una carga en movimiento en un campo elctrico

tenemos


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Por lo que el trabajo hecho por la carga es de 100 J.

Ejemplo 2: una carga de 2 C hace un trabajo de 180 J en un campo elctrico de 10 N/C,qu distancia recorri la carga?

De la ecuacin para el trabajo tenemos

Entonces tenemos una distancia de 9 metros recorrida por la carga en el campo elctrico.

4) Ley de Gauss.

Debemos entender el concepto de flujo para comprender la ley de Gauss. El flujo es unapropiedad de cualquier campo vectorial y lo vamos a considerar como si los vectores

pasaran a travs de una superficie fija imaginaria. Supongamos un flujo uniforme de

vectores de velocidad y un alambre en forma de espira cuadrada de superficie A

La magnitud || del flujo del campo de velocidad a travs de A est dado por

donde v es la magnitud de la velocidad en la ubicacin de la espira. El flujo puede considerarse

como la rapidez con la cual pasa el fluido a travs de la espira. Pero es ms conveniente para la ley

de Gauss considerarlo como una medida del nmero de lneas de campo que pasan a travs de la

espira. Si inclinamos la espira en el flujo, este disminuir su paso por el rea y ahora estar dado

por


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Y puede llegar a cero si = 90 grados.

La ley de Gauss trata del flujo neto a travs de una superficie cerrada. Las superficies que se

estudiarn no siempre sern planas por lo que la ecuacin del flujo debe cambiar a su forma

integral

entonces para un superficie cerrada tendremos tres casos para el flujo:

a)

Es cero si la superficie no encierra fuentes o sumideros.

b)

Positivo y de igual magnitud a su intensidad si la superficie encierra solo fuentes.

c)

Negativo y de igual magnitud a su intensidad si la superficie encierra nicamente

sumideros.

Ahora consideremos que el campo de velocidades es un campo elctrico y reemplazamos E por v.

Entonces el flujo del campo elctrico es

que podemos considerar como una medida del nmero de lneas del campo elctrico que

atraviesan la superficie. El flujo del campo elctrico es un escalar. Sus unidades son Nm2/C. La

forma integral del flujo es

Supongamos que tenemos una coleccin de cargas positivas y negativas, que crean un campo

elctrico E en una cierta regin del espacio. Construimos, en ese espacio, una superficie cerrada

imaginaria, llamada superficie gaussiana, la cual puede o no encerrar algunas de las cargas. La ley

de Gauss que relaciona el flujo total a travs de esta superficie con la carga neta q encerrada por

la superficie, puede escribirse como

O sea

La eleccin de la superficie gaussiana es arbitraria. Esta suele escogerse de tal manera que la

simetra de la distribucin de, aunque sea solo en una parte de la superficie un campo elctrico

constante, que puede factorizarse fuera de la integral y podemos determinar el campo elctrico.


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Podemos derivar la ley de Coulomb de la ley de Gauss y ciertas consideraciones de simetra. Para

esto siempre debemos buscar que el campo elctrico E sea perpendicular a la superficie gaussiana

de modo que el ngulo entre E y dA sea cero en cualquier parte de la superficie.

Elegimos una esfera como superficie gaussiana de radio r con una carga +q en el centro. Ya que el

campo es constante y sale de la carga perpendicular a la superficie, entonces

La integral solo es la superficie de la esfera, es decir, 4r2por lo que despejando E tenemos

Y de aqu

que es la ley de Coulomb.

Si observamos el resultado 0E(4r2) = q vemos que 0E = q / 4r

2 = es la densidad de carga

superficial.

Ejemplo1: calcular con la ley de Gauss el campo elctrico de una lnea infinita de carga. La simetra

de la lnea nos permite imaginar una superficie cilndrica alrededor de ella. Las cargas emitirn

lneas de campo elctrico perpendiculares a la lnea de carga y por tanto perpendiculares a la

superficie cilndrica por lo que

Donde h es la altura del cilindro, de aqu tenemos

Y como q/h = es la densidad de carga lineal, entonces

Ejemplo2: lmina infinita cargada


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El campo es perpendicular a la lmina entonces elegimos una superficie perpendicular al campo,

por lo que imaginamos un cilindro que atraviesa la lmina y por cuyas tapas de rea A fluye el

campo como se ve en la siguiente figura.

Entonces de la ley de Gauss

De la ley de Gauss se deduce tericamente que un conductor aislado cargado debe tener

toda su carga en la superficie del conductor. Esto es porque si tuviera una carga en su

interior, esta generara un campo que movera otros cargas cercanas y ocasionara

corrientes en el interior del conductor aislado, cosa que no se ve experimentalmente, por

lo que E = 0 en el interior y por lo tanto no hay carga encerrada.

Supongamos que tenemos un cascarn esfrico cargado con una densidad de carga

uniforme sobre toda la superficie, entonces podemos establecer dos propiedades de este

cascarn cargado:

a)

Un cascarn esfrico uniforme cargado se comporta, en los puntos externos, como si

toda la carga estuviese concentrada en su centro.

b)

Un cascarn esfrico uniforme cargado no ejerce ninguna fuerza electroesttica sobre

una partcula cargada situada dentro del cascarn.

Estas dos propiedades son importantes para resolver varios problemas con simetra

esfrica.


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Ejemplo 3: el campo elctrico sobre la superficie del cilindro cargado de una mquina

fotocopiadora tiene una magnitud E de 2.3 x 105N/C, cul es la densidad superficial de

carga sobre el cilindro si este es un conductor?

Tenemos que la densidad superficial est dada por

Ejemplo 4: la magnitud del campo elctrico promedio presente en la atmsfera de la tierra

justo arriba de su superficie es de unos 150 N/C, dirigido hacia abajo, cul es la carga

superficial neta total que contiene la tierra?

Como el campo elctrico de la tierra apunta hacia abajo, su densidad de carga es

negativa

5) Potencial elctrico.

Si levantamos una piedra de la superficie de la tierra, el cambio en la energa potencial

gravitatoria del sistema Tierra-piedra es el negativo del trabajo realizado por la fuerza

gravitatoria. Podemos tratar las situaciones electrostticas de una manera semejante. El

cambio en la energa potencial electrosttica, cuando una partcula de carga q se mueve

en un campo elctrico E, est dado por

Donde la integral se realiza para una trayectoria de la partcula desde el punto inicial a

hasta el punto inicial b. Calculemos ahora la expresin para la energa potencial del

sistema de dos cargas puntuales. Usamos la ecuacin anterior y suponemos que una carga

q2se mueve hacia otra carga q1o alejndose de esta a lo largo de la lnea que una a las dos

cargas, entonces tenemos

Podemos elegir un punto de referencia a tal que racorresponda a una separacin infinita

de las partculas y definimos a la energa potencial Ua como cero. Dejemos que r sea la

separacin en el punto final b, y tenemos


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Ejemplo1: dos protones en el ncleo de un tomo de uranio estn a 6 fm el uno del otro.

Cul es la energa potencial entre ellos?

De la ecuacin de la energa potencial tenemos

La fuerza entre dos partculas cargadas depende de la magnitud y signo de cada carga. En

muchas aplicaciones hallamos til el trabajar con una cantidad escalar, la cual se obtiene a

partir de la energa potencial. Esta cantidad se llama potencial elctrico y se define como

la energa potencial por unidad de carga. Supongamos que tenemos un conjunto de cargas

y deseamos determinar su potencial elctrico en un punto en particular. Situamos unacarga de prueba q0positiva a una distancia infinita del conjunto de cargas, en donde el

campo elctrico es cero. Luego desplazamos una carga de prueba desde esa separacin

infinita hasta el punto P, y en el proceso la energa potencial cambia de 0 a UP. El potencial

elctrico VPen P debido al conjunto de cargas se define entonces como

A menudo deseamos determinar la diferencia de potencial elctrico entre dos puntos a y b

en un campo elctrico. Para hacerlo, movemos una carga de prueba q0desde a hasta b. La

diferencia de potencial elctrico se define como

La unidad del potencial en el SI es el joule/coulomb. Y estas unidades tienen un nombre

especial

1 volt = 1 joule/coulomb.

La ecuacin para la diferencia de potencial elctrico tambin puede escribirse como

Ejemplo 2: se tiene una carga de 6 C que se mueve en una diferencia de potencial de 60 V,

cul es la energa potencial elctrica?

De la ecuacin para la diferencia de potencial elctrico tenemos

Dado el campo elctrico E podemos calcular el potencial V, y dado V podemos calcular E.

Digamos que a y b son dos puntos en un campo elctrico uniforme E, creado por una

disposicin de cargas, y dejemos que a sea una distancia L en la direccin del campo desde

b. Suponga que una carga de prueba positiva q0se mueve desde a hasta b a lo largo de la


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lnea recta que las une. La fuerza elctrica sobre la carga es q0E y apunta en la direccin x

negativa. Cuando una carga de prueba se mueve desde a hasta b en la direccin ds, el

trabajo realizado por el campo elctrico est dado por

Como veremos en la siguiente unidad la diferencia de energa potencial es igual al trabajo

hecho: U = -W, entonces podemos escribir

Esta ecuacin muestra la relacin entre la diferencia de potencial y la intensidad del

campo para un simple caso especial. Ntese en ella que otra unidad para E en el SI es el

volt/metro (V/m). La versin integral para la diferencia de potencial elctrico es

Usando la expresin para el campo elctrico de una carga puntual, obtenemos

Si deseamos calcular el potencial en cualquier punto elegimos un punto de referencia en el

infinito. Ponemos a en el infinito y definimos Vacomo 0 en esta posicin. Entonces nuestra

ecuacin para el potencial queda como

Ejemplo 3: cul debe ser la magnitud de una carga puntual positiva aislada para que el

potencial elctrico a 15 cm de la carga sea de 120 V?

De la ecuacin para el potencial de una carga tenemos

6)

Capacitancia y condensadores.


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La figura anterior muestra un capacitor generalizado, que consta de dos conductores a y bde forma arbitraria. Sin importar cul sea su geometra, a estos conductores se les llama

placas, y damos por hecho que se hallan totalmente aisladas de su entorno, como tambin

que, por el momento, estn en el vaco.

Decimos que el capacitor o condensador est cargado si sus placas contienen cargas +q y

q iguales y opuestas, respectivamente. Hay que notar que q no es la carga neta en el

capacitor sino cero. Podemos cargar un capacitor conectando las dos placas a las

terminales opuestas de una batera. Puesto que las placas son conductores, tienen

tambin potenciales equivalentes, y la diferencia de potencial de la batera aparecer en

las placas. Al cargar el capacitor, la batera transfiere a las dos placas cargas iguales yopuestas. Por conveniencia la magnitud de la diferencia de potencial entre las placas la

representamos por V.

Existe una proporcionalidad directa entre la magnitud de la carga q en un capacitor y la

diferencia de potencial V entre sus placas. Esto es, podemos escribir

q = CV

donde C, la constante de proporcionalidad, se llama capacitancia del capacitor. C depende

de las formas y posiciones relativas de las placas as como del material que llena el espacio

entre las placas. La unidad de capacitancia en el SI es el coulomb/volt y se le da el nombre

de farad (F)

1 farad = 1 coulomb/volt

Recibe el nombre en honor de Michael Faraday quien desarroll el concepto de

capacitancia. Los submltiplos del farad, el microfarad (1 F = 10 -6F) y el picofarad (1 pF =

10-12F), son unidades ms convenientes en la prctica.


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Ejemplo 1: un capacitor de almacenamiento en un chip de RAM tiene una capacitancia de

55 fF. Si est cargado a 5.3 V, cul es su carga?

De la ecuacin q = CV, tenemos

Nuestro trabajo es calcular la capacitancia de un capacitor una vez que conocemos su

geometra. Ya que consideraremos un nmero diferente de geometras lo haremos de la

siguiente forma: 1) suponemos una carga q en las placas; 2) calculamos el campo elctrico

E entre las placas en trminos de la carga, usando la ley de Gauss; 3) conociendo E,

calculamos la diferencia de potencial V entre las placas; 4) calculamos C = q/V.

El campo elctrico se relaciona con la carga en las placas segn la ley de Gauss, o sea

Aqu q es la carga contenida dentro de la superficie gaussiana, y la integral se efecta

sobre esa superficie. Consideraremos solo los casos en que, cuando el flujo pase a travs

de la superficie gaussiana, el campo elctrico E tenga una magnitud constante E. Por lo

que, la ecuacin anterior se reduce a

Donde A es el rea de esa parte de la superficie gaussiana a travs de la cual pasa el flujo.

Por conveniencia, dibujamos la superficie gaussiana de modo que encierre por completo a

la carga sobre la placa positiva.

La diferencia de potencial entre las placas se relaciona con el campo elctrico E por

En la cual la integral se evala a lo largo de cualquier trayectoria que comience en una

placa y termine en la otra. Siempre elegimos una trayectoria que siga la lnea del ampo

elctrico desde la placa positiva hasta la placa negativa, como se muestra en la siguiente

figura.


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Para esta trayectoria, los vectores E y ds apuntan en la misma direccin, de modo que lacantidad VfVi es negativa. Puesto que estamos buscando a V, valor absoluto de la

diferencia de potencial entre las placas, podemos establecer que VfVi= -V. y podemos

escribir la ecuacin anterior como

Donde los signos + ynos recuerdan que nuestra trayectoria de la integracin comienza

en la placa positiva y termina en la placa negativa.

El campo elctrico entre las placas de un capacitor es la suma de los campos debidos a las

dos placas: E = E++ E-,en donde E+es el campo debido a las cargas en la placa positiva y E-

es el campo debido a las cargas en la placa negativa. Segn la ley de Gauss, E+y E-deben

ser cada una proporcional a q, de modo que E es proporcional a q, y V tambin es

proporcional a q.

Capacitor de placas paralelas.

Suponemos, como en la figura anterior, que las placas de este capacitor son tan grandes y

tan prximas entre s que podemos despreciar la distorsin de las lneas del campo

elctrico en los bordes de las placas. Consideremos que E es constante en todo el volumen

entre las placas.

Tracemos una superficie gaussiana que incluya a la carga q en la placa positiva, como lo

muestra la figura anterior. El campo elctrico puede entonces calcularse de

Por lo que


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Como superficie gaussiana, elegimos un cilindro de longitud L y radio r, cerrado en los

extremos por tapas. Entonces tenemos

Donde 2rL es el rea de la parte curvada de la superficie gaussiana. Si se despeja E

obtenemos

La sustitucin de este resultado en la ecuacin para el potencial da

De la relacin C = q/V, tenemos entonces

Que nos da la capacitancia de un capacitor cilndrico.

Capacitor esfrico.

La figura del capacitor cilndrico tambin nos sirve para representar la seccin transversal

central de un capacitor que conste de dos cascarones esfricos concntricos de radios a y

b. Como superficie gaussiana trazamos una esfera de radio r. Entonces tenemos

Donde 4r2es el rea de la superficie esfrica gaussiana. Si despejamos de esta ecuacin a

E, se obtiene

La cual conocemos como la expresin para el campo elctrico debido a una distribucin

esfrica uniforme de carga. Si sustituimos esta expresin en la ecuacin para el potencial,

tenemos

Al sustituir esta ecuacin en la relacin C = q/V tenemos

que es la capacitancia de un capacitor esfrico.


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Ejemplo 2: las placas paralelas de un capacitor de placas paralelas estn separadas por una

distancia d = 1 mm, cul debe ser el rea de la placa si la capacitancia ha de ser de 1 F?

De la ecuacin para la capacitancia de las placas paralelas, tenemos

Esta es el rea de un cuadrado de ms de 10 km de lado. El farad es en verdad una unidad

grande. Sin embargo la tecnologa moderna ha permitido la construccin de capacitores

de 1 F de tamao muy reducido. Estos supercapacitores se usan como fuentes de voltaje

de soporte para computadoras; pueden mantener la memoria de la computadora hasta

por 30 das en caso de una falla de energa elctrica.

Ejemplo 3: el espaciamiento entre los conductores de un cable coaxial largo, usado para

transmitir seales de televisin, tiene un radio interior a = 0.15 mm y un radio exterior b =

2.1 mm. Cul es la capacitancia por unidad de longitud de este cable?

De la ecuacin para la capacitancia para un capacitor cilndrico tenemos

Al analizar circuitos elctricos, es deseable conocer la capacitancia equivalente de dos o

ms capacitores que estn conectados de un cierto modo. Por capacitancia equivalente

queremos decir la capacitancia de un capacitor individual que puede sustituirse por la

combinacin sin que cambie la operacin del resto del circuito. En un circuito elctrico, un

capacitor se representa por el smbolo -||- , el cual, aunque parezca un capacitor de placas

paralelas, representa a cualquier tipo de capacitor.

Capacitores conectados en paralelo


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La figura (a) anterior muestra dos capacitores conectados en paralelo. Existen trespropiedades que caracterizan a una conexin en paralelo de los elementos de un circuito.

(1) Al viajar de a a b, podemos tomar cualquiera de varias trayectorias paralelas cada una

de las cuales pasa por solo uno de los elementos en paralelo. (2) Cuando se conecta una

batera de diferencia de potencial V entre las terminales de la combinacin, en cada

elemento de la conexin en paralelo aparece la misma diferencia de potencial V. los

alambres y las placas del capacitor son conductores y por lo tanto de potencial

equivalente. El potencial en a aparece en los alambres conectados a a y en las dos placas

de capacitor a la izquierda; similarmente, el potencial en b aparece en todos los alambres

conectados a b y a las dos placas de capacitor a la derecha. (3) Los elementos comparten

la carga total que la batera proporciona a la combinacin.

Sin perder de vista estos principios, podemos ahora hallar la capacitancia equivalente Ceq

que da la misma capacitancia total entre los puntos a y b, como se indica en la figura (b).

Suponga una batera de diferencia de potencial V conectada entre los puntos a y b. Para

cada capacitor, podemos escribir

q1= C1V y q2= C2V

al escribir estas ecuaciones hemos empleado el mismo valor de la diferencia de potencial

entre las terminales de los capacitores, de acuerdo con la segunda caracterstica de una

conexin en paralelo. La batera extrae la carga q de un lado del circuito y la mueve hacia

el otro lado. Esta carga la comparten los dos elementos de acuerdo con la tercera

caracterstica, de modo que la suma de las cargas de los dos capacitores es igual a la carga

total:

q = q1+ q2

Si la combinacin en paralelo fuese reemplazada por un solo capacitor Ceqy conectada a la

misma batera, el requisito de que el circuito opere de un modo idntico significara que la

batera debe transferir la misma carga q. O sea, para el capacitor equivalente


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q = CeqV

De las dos ecuaciones anteriores, tenemos

CeqV = C1V + C2V

O sea

Ceq= C1+ C2

Si se tienen ms de dos capacitores en paralelo, podemos primero reemplazar a C1y C2por

su equivalente C12determinado de acuerdo a la ltima ecuacin anterior. Luego hallamos

la capacitancia equivalente de C12y el siguiente capacitor C3en paralelo. Si este proceso se

contina, podemos extender la ltima ecuacin a cualquier nmero de capacitores

conectadas en paralelo:

Es decir, para calcular la capacitancia equivalente de una combinacin en paralelo,

simplemente sumamos las capacitancias individuales. Ntese que la capacitancia

equivalente es siempre mayor que la mxima capacitancia en la combinacin en paralelo.

La combinacin en paralelo puede almacenar ms carga que cualquiera de los capacitores

individuales.

Capacitores conectados en serie.

La figura anterior muestra dos capacitores conectados en serie. Existen tres propiedades

que distinguen a una conexin en serie de los elementos de un circuito. (1) Si intentamos

viajar de a a b, debemos pasar por todos los elementos del circuito en sucesin. (2)

Cuando se conecta una batera entre la combinacin, la diferencia de potencial V de la

batera es igual a la suma de las diferencias de potencial entre cada uno de los elementos.

(3) La carga q entregada a cada elemento de la combinacin en serie tiene el mismo valor.


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Para entender esta ltima propiedad, observemos la regin de la anterior encerrada por la

lnea de trazas. Supongamos que la batera establece una cargaq en la placa izquierda de

C1. Puesto que un capacitor contiene cargas iguales y opuestas en sus placas, una carga +q

aparece en la placa derecha de C1. Pero el conductor en forma de H, encerrado dentro de

la lnea de trazos, est aislado elctricamente del resto del circuito; al inicio no contiene

ninguna carga neta, y no se le puede transferir ninguna carga. Si aparece una carga +q en

la placa derecha de C1, entonces debe aparecer una cargaq en la placa izquierda de C2.

Esto es, se mueven n (= q/e, e es la carga del electrn) electrones desde la placa derecha

de C1 hacia la placa izquierda de C2. Si hubiese ms de dos capacitores en serie, puede

formularse un argumento semejante para toda la lnea de capacitores, con el resultado de

que la placa de la izquierda en cada capacitor de la conexin en serie contendr una carga

de igual magnitud q y de signo opuesto.

Podemos escribir para los capacitores individuales

V1= q/C1 y V2= q/C2

Con la misma carga q en cada capacitor, pero distintas diferencias de potencial entre cada

uno. De acuerdo con la segunda propiedad de una conexin en serie, tenemos

V = V1+ V2

Buscamos la capacitancia equivalente Ceq que puede reemplazar a la combinacin, de

modo que la batera proporcionara la misma cantidad carga:

V = q/Ceq

Si se sustituye la penltima ecuacin en la ecuacin anterior, tenemos

O sea

Si tenemos varios capacitores en serie, podemos usar la ecuacin anterior para determinar

la capacitancia equivalente C12 de los primeros dos. Luego encontramos la capacitancia

equivalente de C12 y el siguiente capacitor en serie C3. Al continuar de esta manera,

hallaremos la capacitancia equivalente de cualquier nmero de capacitores en serie


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Esto es, para calcular la capacitancia equivalente de una combinacin en serie, tmese el

recproco de la suma de los recprocos de las capacitancias individuales. Ntese que la

capacitancia equivalente de la combinacin en serie es siempre menor que la ms

pequea de las capacitancias individuales en la serie.

A veces, los capacitores estn conectados de modo tal que nos inmediatamente

identificables como combinaciones en serie o en paralelo.

Ejemplo 1: halle la capacitancia equivalente de la combinacin mostrada en la parte (a) de

la figura anterior suponiendo queC1= 12 F, C2= 5.3 F, C3= 4.5 F.

Los capacitores C1y C2estn en paralelo. Entonces su capacitancia equivalente es

C12= C1+ C2= 12 F + 5.3 F = 17.3 F.

Como lo muestra la parte (b) de la figura anterior, C12 y C3 estn en serie. Entonces la

combinacin equivalente se encuentra de

O sea

Ejemplo 2: en la parte (a) de la figura anterior se aplica una diferencia de potencial de V =

12.5 V en las terminales. Cul es la carga en C1?


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Tratamos a los capacitores equivalentes C12y C123exactamente como si fuesen capacitores

reales de la misma capacitancia. La carga en C123en la parte (c) de la figura anterior es,

Q123=C123V = (3.57 F)(12.5 V) = 44.6 C.

Esta misma carga existe en cada capacitor en la combinacin en serie de la parte (b). La

diferencia de potencial en C en la figura es,

Esta misma diferencia de potencial aparece en C en la parte (a), de modo que

q1= C1V1= (12 F)(2.68 V) = 31 C

7) Corriente y resistencia: Ley de Ohm. Resistividad.

Los electrones libres en un conductor metlico aislado, como un alambre, se hallan en

movimiento aleatorio al igual que las molculas de un gas confinado en un recipiente. No

tienen un movimiento neto dirigido a lo largo del alambre. Si hacemos pasar un plano

hipottico a travs del alambre, la velocidad a la que los electrones cruzan ese plano en

una direccin es igual a la velocidad a la que cruzan en la otra direccin; la velocidad neta

es cero. Ya sea que el conductor est cargado o descargado, no existe ningn flujo neto de

carga en su interior. En ausencia de un campo aplicado externamente, no existe un campo

elctrico dentro del volumen del conductor o paralelo a su superficie. Aun cuando un gran

nmero de electrones de conduccin se halla disponible, no existe fuerza alguna sobre los

electrones ni tampoco un flujo neto de carga.

Supongamos que conectamos una batera a los extremos del alambre de longitud L. Si la

batera mantiene una diferencia de potencial V, entonces se forma un campo elctrico de

magnitud V/L en el conductor. Este campo elctrico E acta sobre los electrones y les da

un movimiento neto en el sentido opuesto a E. Si la batera pudiera mantener la diferencia

de potencial, entonces las cargas continuaran circulando indefinidamente. En realidad,

una batera puede mantener la corriente solo en tanto pueda convertir la energa qumica

en energa elctrica; con el tiempo la fuente de energa de la batera se agota, y la

diferencia de potencial no puede mantenerse.

La existencia de un campo elctrico dentro de un conductor no contradice lo dicho al

principio de esta unidad, donde afirmamos que E es igual a cero dentro de un conductor,

ya que ah no contbamos con una batera que mantena una diferencia de potencial entre

los extremos del conductor.

Si a travs de cualquier superficie pasa una carga neta dq en un intervalo de tiempo dt,

decimos que se ha establecido una corriente elctrica i, en donde


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I = dq/dt

Para la corriente en un alambre, denotemos dq a la carga que pasa por una seccin

transversal en el tiempo dt.

Notemos que requerimos que fluya una carga neta dq para que se establezca una

corriente. La unidad de la corriente en el SI es el ampere (A). De acuerdo con la ecuacin

anterior

1 ampere = 1 coulumb/segundo

La carga neta que pasa a travs de la superficie en cualquier intervalo de tiempo se halla al

integrar la corriente:

Si la corriente es constante en el tiempo, entonces la carga q que fluye en el tiempo t

determina la corriente i, de acuerdo con

I = q/t

La corriente elctrica i es la misma en todas las secciones transversales de un conductor,

aun cuando el rea de la seccin transversal pueda ser diferente en diferentes puntos.

Adoptamos la siguiente convencin para la direccin de la corriente

La direccin de la corriente es la direccin en que se moveran las cargas positivas, aun

cuando los mismos portadores de carga sean negativos.

Si los portadores de carga son negativos, simplemente se mueven en direccin opuesta a

la direccin de la flecha de la corriente. Aun cuando le asignemos una direccin, la

corriente es un escalar y no un vector. La flecha que trazamos para indicar la direccin de

la corriente simplemente muestra el sentido del flujo de la carga por el alambre y no debe

considerarse como un vector.

La corriente i es una caracterstica de un conductor en particular. Es una cantidad

macroscpica, al igual que la masa de un objeto, el volumen de un objeto, o la longitud de

una barra. Una cantidad microscpica relacionada es la densidad de corriente j. Es un

vector, y es caracterstica de un punto dentro de un conductor y no de todo el conductor.

Si la corriente se distribuye uniformemente en un conductor de rea de seccin

transversal A, la magnitud de la densidad de corriente para todos los puntos en esa

seccin transversal es

J = i / A

El vector j en cualquier punto est orientado en la direccin en que se movera un

portador de carga positiva en ese punto. Un electrn en ese punto se mueve en direccin


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j. En general, para una superficie en particular que corte de un lado al otro un conductor,

i es el flujo del vector j sobre esa superficie, o sea

Donde dA es un elemento de rea superficial y la integral se lleva a cabo sobre la

superficie en cuestin. Se considera que el vector dA es perpendicular al elemento desuperficie, de modo que j*dA es positiva, dando una corriente positiva i.

Si aplicamos la misma diferencia de potencial entre los extremos de barras de cobre y

madera geomtricamente similares, las corrientes resultantes son muy diferentes. La

caracterstica del conductor que interviene aqu es su resistencia. Determinamos la

resistencia de un conductor entre dos puntos aplicando una diferencia de potencial V

entre dichos puntos y midiendo la corriente i que resulta. La resistencia R es, entonces,

R = V / i

Si V est en volts y i est en amperes, la resistencia R est en volts/ampere, a los cuales se

les da el nombre de ohms (), de modo que

1 ohm = 1 volt/ampere

Un conductor cuya funcin en un circuito sea proporcionar determinada resistencia

especificada se llama resistor. El ohm no es una unidad base en el SI, no se tiene ni se

sigue algn standard primario del ohm. Desde el 1ro de enero de 1990 la representacin

actual del ohm se ha basado en el efecto Hall cuntico.

Relacionada con la resistencia est la resistividad , la cual es una caracterstica de un

material ms bien que de un tipo de material en particular, se define como

las unidades de son las de E(V/m) dividido entre j(A/m2), lo cual es equivalente a *m.

Material Resistividad (*m)

Plata 1.62 x 10-8

Cobre 1.69 x 10-8

Aluminio 2.75 x 10-8

Tungsteno 5.25 x 10-8

Hierro 9.68 x 10-8

Platino 10.6 x 10-8

Manganina 48.2 x 10-8

A veces, preferimos hablar de la conductividad de un material ms bien que de su

resistividad. Estas cantidades son recprocas, relacionadas por

Las unidades de en el SI son (*m-1). Y podemos expresar la densidad de corriente en

trminos de la conductividad

J = E


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Si conocemos la resistividad de un material, deberamos ser capaces de calcular la

resistencia R de un pedazo en particular del material. Consideremos un conductor

cilndrico, con un rea A de seccin transversal y longitud L por el cual fluye una corriente

estable i con una diferencia de potencial V entre sus extremos. Si las secciones

transversales del cilindro en cada extremo son superficies de potencial equivalente, el

campo elctrico y la densidad de la corriente son constantes para todos los puntos en el

cilindro y tienen los valores

E = V / L y j = i / A

La resistividad es

pero V / i es la resistencia R, por lo cual

Ejemplo 1: un bloque rectangular de hierro tiene las dimensiones de 1.2 cm x 1.2 cm x 15

cm. Cul es la resistencia del bloque medida entre los dos extremos cuadrados?

El rea del extremo cuadrado es de (1.2 x 10-2 m)2 o sea 1.44 x 10-4 m2. De la ltima

ecuacin tenemos

Ejemplo 2: del ejemplo anterior, cul es la resistencia entre dos caras rectangulares

opuestas?

El rea de la cara rectangular es de (1.2 x 10-2 m)(0.15 m), o sea, 1.8 x 10 -3 m2. De la

ecuacin para la resistencia tenemos

Seleccionemos una muestra de material conductor en particular, apliquemos una

diferencia de potencial uniforme entre sus extremos, y midamos la corriente resultante.

Repetimos la medicin para varios valores de la diferencia y si graficramos los resultados

los puntos experimentales caeran claramente a lo largo de una lnea recta, lo cual indica

que la razn V / I es una constante. La resistencia de este dispositivo es una constante,

independientemente de la diferencia de potencial a lo largo de l o de la corriente que

fluye por l. Notemos que la lnea se extiende a las diferencias de potencial y corrientes

negativas.


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En este caso, decimos que el material obedece la Ley de Ohm: un dispositivo conductor

obedece la ley de Ohm si la resistencia entre cualquier par de puntos es independiente de

la magnitud y polaridad de la diferencia de potencial aplicada.

El material o elemento de un circuito que obedece a la ley de Ohm se llama hmico. Los

circuitos electrnicos modernos dependen tambin de dispositivos que no obedecen la ley

de Ohm. Recalcamos que la relacin V = iR no es un enunciado de la ley de Ohm. Un

conductor obedece la ley de Ohm solo si su grfica V contra i es lineal, es decir, si R es

independiente de V y de i. la relacin R = V/i sigue siendo una definicin general de la

resistencia de un conductor ya sea que obedezca la ley de Ohm o no.

8) Potencia elctrica. Ley de Joule.

La figura anterior muestra un circuito que consta de una batera B conectada a una caja

negra. Existe una corriente estable i en los alambres de conexin, y existe una diferencia

de potencial estable Vabentre las terminales a y b. La caja puede contener un resistor, un

motor, o un acumulador, entre otras cosas.

La terminal a, conectada a la terminal positiva de la batera, est a un potencial mayor que

el de la terminal b. La energa potencial de una carga dq que se mueve a travs de la caja

de a a b disminuye en dq*Vab. El principio de conservacin de la energa nos indica que

esta energa se transfiere en la caja de energa elctrica a alguna otra forma. La forma de

esta energa depender de lo que haya en la caja. En un tiempo dt la energa dU

transferida dentro de la caja es, entonces,

dU = dq Vab= i dt Vab


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Hallamos la cantidad de energa transferida o la potencia P de acuerdo con

Si el dispositivo que contiene la caja es un motor, la energa aparece en gran parte como

trabajo mecnico realizado por el motor; si el dispositivo es un acumulador que estsiendo cargado, la energa aparece en gran parte como energa qumica almacenada en

esta segunda batera.

Si el dispositivo es un resistor, la energa aparece en el resistor como una energa interna.

Para ver esto, consideremos una piedra de masa m que cae desde una altura h. Si la piedra

cae en el vaco o en el aire, esta energa se transforma en energa cintica de la piedra. Sin

embargo, si la piedra cae en las profundidades del ocano, su velocidad con el tiempo ser

constante, lo cual significa que la energa cintica ya no aumenta. La energa potencial

disponible en cada instante mientras cae la piedra aparece entonces como energa interna

de la piedra y del agua circundante. El recorrido de un electrn a travs de un resistor es

muy parecido al de la piedra a travs del agua. En promedio, los electrones viajan a una

velocidad de arrastre vd constante, de modo que no ganan energa cintica. Pierden

energa elctrica en las colisiones con los tomos del resistor. Para un resistor podemos

combinar la ecuacin R = V / i con la ltima ecuacin y obtener

P = i2R

O tambin

P = V2/ R

Estas ecuaciones se conocen como la ley de Joule, y la energa correspondiente transferida

al resistor o a sus alrededores se llama calentamiento de Joule. Esta ley es una manera

particular de escribir el principio de conservacin de la energa para el caso especial en

que se transfiera energa elctrica en energa interna en un resistor.

La unidad de potencia que se deduce es el volt*ampere. El volt*ampere es equivalente al

watt

Ejemplo 1: se nos ha dado una longitud de alambre de calefaccin hecho de una aleacin

de niquel-cromo-hierro o nicromel, y que tiene una resistencia R de 72 . Va a ser

conectada a una lnea de 120 V. En qu circunstancias el alambre disipar ms calor: a)

cuando su longitud entera est conectada a la lnea, o b) el alambre se corta a la mitad y

las dos mitades se conectan en paralelo a la lnea?

a)

La potencia P disipada por todo el alambre es


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b)

La potencia para un alambre de la mitad de la longitud es

9) Magnetismo.

Al igual que en la antigedad, todava se emplean pequeos trozos de hierro para revelar

la presencia de los efectos magnticos. La figura siguiente muestra la distribucin de

limaduras de hierro en el espacio cercano a un pequeo imn permanente, en este caso

una barra corta de hierra. Describimos el espacio alrededor de un imn permanente o de

un conductor que conduce corriente como el lugar ocupado por un campo magntico,

precisamente como hemos descrito al espacio alrededor de un objeto cargado como el

lugar ocupado por un campo elctrico. La magnitud y direccin del campo magntico se

indica por medio del vector B.

En electrosttica, tenemos la relacin entre campo elctrico y carga elctrica

Carga elctrica E carga elctrica

Pero en magnetismo tenemos la relacin

Carga elctrica en movimiento B carga elctrica en movimiento

La cual puede escribirse tambin como

Corriente elctrica B corriente elctrica


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Una carga elctrica en movimiento o una corriente elctrica generan un campo

magntico, el cual puede entonces ejercer una fuerza magntica sobre otras cargas o

corrientes en movimiento. La fuerza elctrica sobre una partcula cargada es siempre

paralela a las lneas de E pero, como veremos, la fuerza magntica sobre una partcula

cargada en movimiento es siempre perpendicular a las lneas de B que adems siempre

forman anillos cerrados.

Definiremos ahora el campo magntico B de la manera siguiente: la direccin de B en el

punto P es la misma que una de las direcciones de v donde la fuerza es cero; y la magnitud

de B se determina a partir de la magnitud de F de la fuerza mxima ejercida cuando lacarga en reposo se proyecta perpendicularmente a la direccin de B; o sea,

En ngulos arbitrarios, nuestras observaciones se resumen por medio de la frmula

Donde es el ngulo ms pequeo entre v y B. En la figura anterior se muestra la relacin

geomtrica entre los vectores F, v y B. Ya que la fuerza magntica siempre es

perpendicular a v, no puede cambiar la magnitud de v, nicamente su direccin.

En forma equivalente, la fuerza forma siempre un ngulo recto con el desplazamiento de

la partcula y no puede realizar trabajo sobre ella. As pues, un campo magntico

constante no puede cambiar la energa cintica de una partcula cargada en movimiento.


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La unidad de B en el SI es el tesla (T). Por lo que

Los polos magnticos opuestos se atraen entre s y los polos magnticos iguales se repelen

entre s. Una brjula magntica ordinaria no es sino un imn suspendido, cuyo extremonorte apunta en la direccin general del norte geogrfico. As pues, el polo magntico de

la tierra en la regin del rtico debe ser un polo magntico sur, y el polo magntico en el

antrtico debe ser un polo magntico norte. Cerca del ecuador las lneas del campo

magntico son casi paralelas a la superficie y se dirigen desde el sur geogrfico al norte.

Ejemplo 1: un campo magntico uniforme B, con magnitud 1.2 mT, apunta verticalmente

hacia arriba. Un protn se mueve con una velocidad de 3.2 x 107m/s. Qu fuerza acta

sobre el protn cuando pasa por el campo?

De la ecuacin F = qvBsen, tenemos

unidad iii recurso

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