UNIDAD III 3 Dinámica de una Partícula 3.1 Concepto de partícula, masa y fuerza 3.2 Leyes de Newton 3.3 Fricción 3.4 Momento angular 3.5 Fuerzas centrales

UNIDAD III 3 DINAMICA DE UNA PARTICULA.

En la unidad II, aprendimos de lo relativo a la cinemática, discutimos los elementos que intervienen en la 'descripción' del movimiento de una partícula. Investiguemos ahora la razón por la cual las partículas se mueven de la manera en que lo hacen. ¿Por qué los cuerpos cerca de la superficie de la tierra caen con aceleración constante? ¿Por qué la tierra se mueve alrededor del sol en una órbita elíptica? ¿Por qué los átomos se unen para formar moléculas? ¿Por qué oscila un resorte cuando se le estira y luego se le suelta? Quisiéramos comprender estos y otros movimientos que observamos continuamente a nuestro alrededor. Esta comprensión es importante no solamente desde el punto de vista del conocimiento básico de la naturaleza, sino también desde el punto de vista de la ingeniería y las aplicaciones prácticas. La comprensión de cómo (¿por qué?) se producen los movimientos nos capacita para diseñar máquinas y otros instrumentos prácticos que se mueven en la forma que nosotros deseamos. El estudio de la relación entre el movimiento de un cuerpo y las causas de este movimiento se denomina dinámica.

Interacciones y fuerzas

Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un cuerpo es un resultado directo de sus interacciones con otros cuerpos que lo rodean, las interacciones se describen convenientemente por un concepto matemático denominado fuerza. El estudio de la dinámica es básicamente el análisis de la relación entre la fuerza y los cambios en el movimiento de un cuerpo.

Las leyes del movimiento que presentamos en la siguiente discusión son generalizaciones que resultan de un análisis cuidadoso de los movimientos que observamos alrededor nuestro y la extrapolación de nuestras observaciones a ciertos experimentos ideales o simplificados.

En muchos casos observamos el movimiento de solamente una partícula, ya sea porque no tenemos manera de observar las otras partículas con las cuales interactúa o porque las ignoramos a propósito. En esta situación es algo difícil usar el principio de conservación del momentum. Sin embargo, hay una manera

práctica de resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de fuerza. La teoría matemática correspondiente se denomina dinámica de una partícula.

Por tanto, nos limitaremos a la observación de una sola partícula, reduciendo sus interacciones con el resto del universo a un solo término que hemos ya llamado fuerza.

Definiciones

Partícula libre

Una partícula libre es aquélla que no está sujeta a interacción alguna. Estrictamente no existe tal cosa, ya que toda partícula está sujeta a interacciones con el resto del mundo. Luego una partícula libre deberá estar completamente aislada, o ser la única partícula en el mundo. Pero entonces sería imposible observarla porque, en el proceso de la observación, hay siempre una interacción entre el observador y la partícula. En la práctica, sin embargo, hay algunas partículas que podemos considerar libres, ya sea porque se encuentra suficientemente lejos de otras y sus interacciones son despreciables, o porque las interacciones con las otras partículas se cancelan, dando una interacción total nula.

Velocidad

La velocidad promedio entre A y B está definida por

donde x es el desplazamiento de la partícula y t es el tiempo

transcurrido. Por consiguiente la velocidad promedio durante un cierto intervalo de tiempo es igual al desplazamiento promedio por unidad de tiempo. Para determinar la velocidad instantánea en un

punto, tal como A, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan

pequeño como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo.

Esto se escribe en la forma

Pero ésta es la definición de la derivada de x con respecto al tiempo; esto es

de modo que obtenemos la velocidad instantánea calculando la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo.

Debemos observar que el desplazamiento x (o dx) puede ser

positivo o negativo dependiendo de si el movimiento de la partícula es hacia la derecha o hacia la izquierda, dando por resultado un signo positivo o negativo para la velocidad...

Algunas veces se utiliza el concepto de velocidad, definida como distancia/tiempo. Siempre es positiva, y es numéricamente igual a la magnitud de la velocidad; es decir, velocidad = IvI. Sin embargo, en general, la velocidad promedio usando esta definición no tiene el mismo valor que la velocidad promedio de la expresión.

También es importante no confundir el 'desplazamiento' xB - xA en el tiempo tB - tA con la 'distancia' cubierta en el mismo tiempo.

Así, la velocidad absoluta promedio es distancia/tiempo, y la velocidad vectorial promedio es desplazamiento/tiempo.

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Si la velocidad permanece constante, se dice que el movimiento es uniforme. La aceleración promedio entre A y B está definida por

donde v es el cambio en la velocidad y, como antes, t es el tiempo transcurrido. Luego la aceleración promedio durante un cierto intervalo de tiempo es el cambio en la velocidad por unidad de tiempo durante el intervalo de tiempo.

La aceleración instantánea es el valor límite de la aceleración

promedio cuando el intervalo t es muy pequeño. Esto es,

En general, la aceleración varía durante el movimiento. Si el movimiento rectilíneo tiene una aceleración constante, se dice que el movimiento es uniformemente acelerado.

Momentum lineal

El momentum lineal de una partícula se define como el producto de su masa por su velocidad. Designándolo por p, tenemos

El momentum lineal es una cantidad vectorial, y tiene la misma dirección que la velocidad. Es un concepto físico de mucha importancia porque combina los dos elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula: su masa y su velocidad.

Estado clásico

En la Mecánica clásica, el estado instantáneo de un sistema mecánico se describe mediante los valores de ciertas 'variables observables' del sistema. En el caso del sencillo sistema constituido por una partícula de masa m que sólo puede moverse a lo largo del eje x, las variables observables utilizadas para definir el estado

suelen ser la posición x y la cantidad de movimiento de la

partícula. Dicho de otro modo, el estado del sistema en el instante t queda especificado por el par de valores [x(t), p(t)].

3.1 CONCEPTO DE PARTICULA, MASA Y FUERZA. Nos remitimos a los conceptos vistos anteriormente:

Partícula libre:

Una partícula libre es aquélla que no está sujeta a interacción alguna. Estrictamente no existe tal cosa, ya que toda partícula está sujeta a interacciones con el resto del mundo. Luego una partícula libre deberá estar completamente aislada, o ser la única partícula en el mundo. Pero entonces sería imposible observarla porque, en el proceso de la observación, hay siempre una interacción entre el observador y la partícula. En la práctica, sin embargo, hay algunas partículas que podemos considerar libres, ya sea porque se encuentra suficientemente lejos de otras y sus interacciones son despreciables, o porque las interacciones con las otras partículas se cancelan, dando una interacción total nula. Una particula es materia, es masa.

Masa:

La masa es la magnitud fundamental de la física. Masa (física),

propiedad intrínseca de un cuerpo, que mide su inercia, es decir, la

resistencia del cuerpo a cambiar su movimiento. La masa no es lo

mismo que el peso, que mide la atracción que ejerce la Tierra sobre

una masa determinada.

Desde un punto de vista estático masa puede precisarse como: dos

cuerpos de la misma forma e igual volumen, constituidos por la

misma sustancia, se dice que tienen la misma masa, es decir, la

misma cantidad de materia

•Se mide en kilogramos (kg) y también en gramos, toneladas, libras,

onzas, etc.

•La masa es una propiedad intrínseca de un cuerpo, que mide su

inercia, es decir, la resistencia del cuerpo a cambiar su movimiento.

•La masa inercial y la masa gravitacional son iguales.

•Dos masas iguales situadas en el mismo punto de un campo

gravitatorio tienen el mismo peso.

Un principio fundamental de la física clásica es la ley de

conservación de la masa, que afirma que la materia no puede

crearse ni destruirse. Esta ley se cumple en las reacciones

químicas, pero no ocurre así cuando los átomos se desintegran y se

convierte materia en energía o energía en materia

La teoría de la relatividad, cambió el concepto tradicional de masa.

La relatividad demuestra que la masa de un objeto varía cuando su

velocidad se aproxima a la de la luz, es decir, cuando se acerca a

los 300.000 kilómetros por segundo; la masa de un objeto que se

desplaza a 260.000 km/s, por ejemplo, es aproximadamente el

doble de su llamada masa en reposo.

Cuando los cuerpos alcanzan estas velocidades, la masa puede

convertirse en energía y viceversa, como sugería la famosa

ecuación de Einstein, E=mc2 (la energía es igual a la masa por el

cuadrado de la velocidad de la luz).

Newton la refiere a la densidad (r) y volumen (V ) que integran un

cuerpo (M = rV ).

Fuerza:

Fuerza, en física, cualquier acción o influencia que modifica el

estado de reposo o de movimiento de un objeto. La fuerza que

actúa sobre un objeto de masa m es igual a la variación del

momento lineal (o cantidad de movimiento) de dicho objeto respecto

del tiempo. Si se considera la masa constante, para una fuerza

también constante aplicada a un objeto, su masa y la aceleración

producida por la fuerza son inversamente proporcionales. Por tanto,

si una fuerza igual actúa sobre dos objetos de diferente masa, el

objeto con mayor masa resultará menos acelerado.

Las fuerzas se miden por los efectos que producen, es decir, a

partir de las deformaciones o cambios de movimiento que producen

sobre los objetos. Un dinamómetro es un muelle o resorte graduado

para distintas fuerzas, cuyo módulo viene indicado en una escala.

En el Sistema Internacional de unidade, la fuerza se mide en

newtons: 1 newton (N) es la fuerza que proporciona a un objeto de

1 kg de masa una aceleración de 1 m/s 2 .

Mientras más intensa es la fuerza, mayor es su efecto en un cuerpo.

La intensidad de una fuerza se mide en newtons mediante un

instrumento llamado dinamómetro. Las fuerzas se miden por los

efectos que producen, es decir, a partir de las deformaciones o

cambios de movimiento que producen sobre los objetos.

Para averiguar el efecto combinado de dos o más fuerzas sobre un

objeto, hay que considerar la intensidad y la dirección de las

mismas.

Si actúan en línea recta, sus efectos se suman o se resta. La fuerza

es una magnitud vectorial, y esto significa que tiene módulo,

dirección y sentido.

Al conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo se le llama

sistema de fuerzas. Si las fuerzas tienen el mismo punto de

aplicación se habla de fuerzas concurrentes. Si son paralelas y

tienen distinto punto de aplicación se habla de fuerzas paralelas.

Cuando sobre un objeto actúan varias fuerzas, éstas se suman

vectorialmente para dar lugar a una fuerza total o resultante. Si la

fuerza resultante es nula, el objeto no se acelerará: seguirá parado

o detenido o continuará moviéndose con velocidad constante. Esto

quiere decir que todo cuerpo permanece en estado de reposo o de

movimiento rectilíneo y uniforme mientras no actúe sobre él una

fuerza resultante no nula.

Fórmula de la fuerza

F=m*a

La fuerza se mide en newtons (N), la masa en kilogramos (kg), y la

aceleración en metros por segundo al cuadrado (m/s2). El peso de

un cuerpo se calcula de forma análoga tomando la aceleración de la

gravedad (g) cuyo valor aproximado es 10 m/s2

F= fuerza

m= masa

a= aceleración

3.2 LEYES DE NEWTON.

Primera ley o ley de inercía

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de

movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros

cuerpos actúen sobre él.

Segunda ley o Principio Fundamental de la Dinámica

La fuerza que actua sobre un cuerpo es directamente

proporcional a su aceleración.

Tercera ley o Principio de acción-reacción

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste

ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido

opuesto.

PRIMERA LEY DE NEWTON

La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercía, nos dice que si sobre un cuerpo no actua ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero).

Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el observador que describa el movimiento. Así, para un

pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actua ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.

En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial.

La Primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su movimiento es necesario que exista algo que provoque dicho cambio. Ese algo es lo que conocemos como fuerzas. Estas son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

F = m a

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,

1 N = 1 Kg · 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

p = m · v

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir,

F = dp/dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:

F = d(m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v

Como la masa es constante

dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración, nos queda

F = m a

tal y como habiamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:

0 = dp/dt

es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo.

Tal como comentamos en al principio de la Segunda ley de Newton las fuerzas son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros.

TERCERA LEY DE NEWTON

La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba.

Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros tambien nos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros.

Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que actuan sobre cuerpos distintos.

3.3 FRICCION.

Se define como fuerza de rozamiento o fuerza de fricción, entre dos superficies en contacto, a aquella que se opone al movimiento entre ambas superficies (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza normal entre ambas superficies no sea perfectamente perpendicular a éstas, si no que forma un ángulo φ con la perpendicular (el ángulo de rozamiento). Por tanto, la fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superficies en contacto.

Tipos de rozamiento

Existen dos tipos de rozamiento o fricción, la fricción estática (FE) y la fricción dinámica (FD). El primero es la resistencia que se debe superar para poner en movimiento un cuerpo con respecto a otro que se encuentra en contacto. El segundo, es la resistencia, de magnitud considerada constante, que se opone al movimiento pero una vez que éste ya comenzó. En resumen, lo que diferencia a un roce con el otro, es que el estático actúa cuando los cuerpos están en reposo relativo en tanto que el dinámico lo hace cuando ya están en movimiento.

La fuerza de fricción estática, necesaria para vencer la fricción homóloga, es siempre menor o igual al coeficiente de rozamiento entre los dos objetos (número medido empíricamente y que se encuentra tabulado) multiplicado por la fuerza normal. La fuerza cinética, en cambio, es igual al coeficiente de rozamiento dinámico, denotado por la letra griega , por la normal en todo instante.

No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el rozamiento dinámico y el estático, pero se tiende a pensar que el estático es algo mayor que el dinámico, porque al permanecer en reposo ambas superficies pueden aparecer enlaces iónicos, o incluso microsoldaduras entre las superficies, factores que desaparecen en estado de movimiento. Éste fenómeno es tanto

mayor cuanto más perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del gripaje de un motor por estar mucho tiempo parado (no sólo se arruina por una temperatura muy elevada), ya que al permanecer las superficies, del pistón y la camisa, durante largo tiempo en contacto y en reposo, pueden llegar a soldarse entre sí.

Un ejemplo bastante común de fricción dinámica es la ocurrida entre los neumáticos de un auto y el pavimento en un frenado abrupto.

Como comprobación de lo anterior, se realiza el siguiente ensayo, sobre una superficie horizontal se coloca un cuerpo, y le aplica un fuerza horizontal F, muy pequeña en un principio, se puede ver que el cuerpo no se desplaza, la fuerza de rozamiento iguala a la fuerza aplicada y el cuerpo permanece en reposo, en la gráfica se representa en el eje horizontal la fuerza F aplicada, y en el eje vertical la fuerza de rozamiento Fr.

Entre los puntos O y A, ambas fuerzas son iguales y el cuerpo permanece estático; al sobrepasar el punto A el cuerpo súbitamente se comienza a desplazar, la fuerza ejercida en A es la máxima que el cuerpo puede soportar sin deslizarse, se denomina Fe o fuerza estática de fricción; la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en movimiento una vez iniciado el desplazamiento es Fd o fuerza dinámica, es menor que la que fue necesaria para iniciarlo (Fe). La fuerza dinámica permanece constante.

Si la fuerza de rozamiento Fr es proporcional a la normal N, y a la constante de proporcionalidad se la llama :

Y permaneciendo la fuerza normal constante, se puede calcular dos coeficientes de rozamiento: el estático y el dinámico como:

donde el coeficiente de rozamiento estático corresponde al de la mayor fuerza que el cuerpo puede soportar inmediatamente antes de iniciar el movimiento y el coeficiente de rozamiento dinámico

corresponde a la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en movimiento una vez iniciado.

Fricción estática

Es la fuerza que se opone al inicio del movimiento. Sobre un cuerpo en reposo al que se aplica una fuerza horizontal F, intervienen cuatro fuerzas:

F: la fuerza aplicada. Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento. P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad. N: la fuerza normal, con la que la superficie reacciona sobre el cuerpo sosteniéndolo.

Dado que el cuerpo está en reposo la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento son iguales, y el peso del cuerpo y la normal:

Se sabe que el peso del cuerpo P es el producto de su masa por la aceleración de la gravedad (g), y que la fuerza de rozamiento es el coeficiente estático por la normal:

esto es:

La fuerza horizontal F máxima que se puede aplicar a un cuerpo en reposo es igual al coeficiente de rozamiento estático por su masa y por la aceleración de la gravedad.

Rozamiento dinámico

Dado un cuerpo en movimiento sobre una superficie horizontal, deben considerarse las siguientes fuerzas:

F: la fuerza aplicada. Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento. Fi: fuerza de inercia, que se opone a la aceleración de cuerpo, y que es igual a la masa del cuerpo m por la aceleración que sufre a. P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad. N: la fuerza normal, que la superficie hace sobre el cuerpo sosteniéndolo.

Como equilibrio dinámico, se puede establecer que:

Sabiendo que:

se puede reescribir la segunda ecuación de equilibrio dinámico como:

Es decir, la fuerza resultante F aplicada a un cuerpo es igual a la fuerza de rozamiento Fr mas la fuerza de inercia Fi que el cuerpo opone a ser acelerado. De lo que también se puede deducir:

Con lo que se tiene la aceleración a que sufre el cuerpo, al aplicarle una fuerza F mayor que la fuerza de rozamiento Fr con la superficie sobre la que se apoya.

Rozamiento en un plano inclinado

Rozamiento estático

Si sobre una la línea horizontal r, se tiene un plano inclinado un ángulo , y sobre este plano inclinado se coloca un cuerpo con rozamiento, se tendrán tres fuerzas que intervienen:

P: el peso del cuerpo vertical hacia abajo según la recta u, y con un valor igual a su masa por la aceleración de la gravedad: P = mg. N: la fuerza normal que hace el plano sobre el cuerpo, perpendicular al plano inclinado, según la recta t Fr: la fuerza de rozamiento entre el plano y el cuerpo, paralela al plano inclinado y que se opone a su deslizamiento.

Si el cuerpo está en equilibrio, no se desliza, la suma vectorial de estas tres fuerzas es cero:

Lo que gráficamente seria un triángulo cerrado formado por estas tres fuerzas, puestas una a continuación de otra, como se ve en la figura.

Si el peso P del cuerpo se descompone en dos componentes: Pn, peso normal, perpendicular al plano, que es la componente del peso que el plano inclinado soporta y Pt, peso tangencial, que es la componente del peso tangencial al plano inclinado y que tiende a desplazar el cuerpo descendentemente por el plano inclinado. Se puede ver que el Pn se opone a la normal, N, y el peso tangencial Pt a la fuerza de rozamiento Fr.

Se puede decir que el Pn es la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el plano inclinado y la normal, N, es la fuerza que el plano inclinado hace sobre el cuerpo impidiendo que se hunda, Pn = N para que este en equilibrio. El peso tangencial Pt es la fuerza que hace que el cuerpo tienda a deslizarse por el plano y Fr es la fuerza de rozamiento que impide que el cuerpo se deslice, para que este en equilibrio Pt = Fr.

Cuando el cuerpo está en equilibrio estas dos ecuaciones determinan la igualdad de fuerzas, también es necesario saber que:

y que la descomposición del peso es:

Con lo que se determinan las condiciones del equilibrio de un cuerpo en un plano inclinado con el que tiene fricción. Es de destacar la siguiente relación:

Haciendo la sustitución de N:

que da finalmente como resultado:

El coeficiente de rozamiento estático es igual a la tangente del ángulo del plano inclinado, en el que el cuerpo se mantiene en equilibrio sin deslizar, ello permite calcular los distintos coeficientes de rozamiento, simplemente colocando un cuerpo de un material concreto sobre un plano inclinado del material con el que se pretende calcular su coeficiente de rozamiento, inclinando el plano progresivamente se observa el momento en el que el cuerpo comienza a deslizarse, la tangente de este ángulo es el valor del coeficiente de rozamiento. Del mismo modo conocido el coeficiente de rozamiento entre dos materiales podemos saber el ángulo máximo de inclinación que puede soportar sin deslizar.

Rozamiento dinámico

En el caso de rozamiento dinámico en un plano inclinado, se tiene un cuerpo que se desliza, y siendo que está en movimiento, el coeficiente que interviene es el dinámico , así como una fuerza de inercia Fi, que se opone al movimiento, el equilibrio de fuerzas se da cuando:

descomponiendo los vectores en sus componentes normales y tangenciales se tiene:

teniendo en cuenta que:

y como en el caso de equilibrio estático, se tiene:

Con estas ecuaciones se determina las condiciones de equilibrio dinámico del cuerpo con fricción en un plano inclinado. Si el cuerpo se desliza sin aceleración (a velocidad constante) su fuerza de inercia Fi será cero, y se puede ver que:

esto es, de forma semejante al caso estático:

con lo que se puede decir que el coeficiente de rozamiento dinámico de un cuerpo con la superficie de un plano inclinado, es igual a la tangente del ángulo del plano inclinado con el que el cuerpo se desliza sin aceleración, con velocidad constante, por el plano.

3.4 MOMENTO ÁNGULAR.

Definición de momentum: La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.

MOMENTO DE UNA FUERZA:

Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición de la fuerza por el vector fuerza.

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:

El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza). M=Fd

La dirección perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca el eje del tornillo.

El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave.

MOMENTO ANGULAR

El momento angular L de una partícula es el vector producto vectorial L=r x mv, perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L.

De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L.

Momento lineal instantáneo= p=v 3.5 FUERZAS CENTRALES

Una fuerza central es una fuerza que está dirigida a lo largo de una recta radial a un centro fijo y cuya magnitud sólo depende de la coordenada radial r:

donde es un vector unitario dirigido radialmente desde el origen.

El vector fuerza es siempre paralelo al vector posición.

El origen creador de la fuerza se denomina centro del movimiento.