ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I [Escribir el subtítulo del documento] Es una publicación que cumple con los sílabos de la EPN Luis A. Naranjo Y. 2012-06-08

UNIDAD III

METODOS DE ANÁLIS DE REDES ELÉCTRICAS ALIMENTADAS CON FUENTES INVARIABLES EN EL

TIEMPO (DC) Y RESISTORES.

Los diferentes métodos de Análisis de los Circuitos Eléctricos que se estudian en este curso son

una sistematización de las Leyes fundamentales: así, en esta Unidad se desarrollará el análisis

aplicando el método de las ecuaciones de nodos, de las ecuaciones de mallas y del teorema de

superposición.

ANALISIS DE CIRCUITOS APLICANDO LAS ECUACIONES DE NODOS:

Es necesario recordad algunos términos usados para la demostración del planteamiento de las

ecuaciones por este método y mejor aún, para que sea asimilado con mayor facilidad el proceso.

Nodo: punto de interconexión de elementos en un circuito eléctrico (restringiremos al punto en

el cual se interconectan más de dos elementos, es decir un nodo principal).

Rama: interconexión de elementos entre dos nodos

Corriente de rama: es la corriente que circula entre dos nodos principales por un conjunto de

elementos en serie.

Diferencia de potencial: definida plenamente por su valor y su polaridad cuya convención indica

dos sub-índices el primero de los cuales es el de mayor potencial ej: Vab indica que Va es mayor

que Vb y el valor de

Ley de Corrientes de Kirchoff: La suma algebraica de las corrientes asociadas con un nodo (nodo

principal) es igual a 0; para la aplicación de esta Ley se acepta que, las corrientes que ingresan al

nodo aportan (+) mientras que las que salen del nodo quitan (-)

Ej: en el circuito de dos nodos de la fig. 1 se tiene que:

para el nodo a: ( 1 )

mientras que para el nodo b: ( 2 )

Fig. 1

La definición de diferencias de potencial tendremos que: – –

Las ecuaciones de nodos permiten sistematizar la Ley de Corrientes de Kirchoff, así en el circuito

de la fig. 1, expresando las corrientes (Ley de Ohm) y reemplazando en los nodos a y b

se tiene:

(fuente independiente de corriente)

– – ,

reemplazando en ( 1 )

, si se reemplaza en ( 2 )

, se trata de la misma ecuación (por – 1)

Lo que significa que, si se tiene dos nodos y se escoge uno de ellos como referencial se e plantea

una ecuación que conduzca a una solución única (linealmente independiente) y que generalizando

se puede afirmar: si se tiene n nodos en un circuito se debe plantear n-1 ecuaciones linealmente

independientes.

Para escoger el nodo de referencia (nodo al cual se asigna un potencial 0), matemáticamente

puede ser aquel que tenga más corrientes de rama asociadas a él; o, eléctricamente aquel que

tiene conexión eléctrica con la carcasa (tierra). El sistema de ecuaciones de voltajes de nodos

permite determinar las diferencias de potencial referidas a dicho nodo (referencia).

En el ejemplo anterior se escoge el nodo b como referencia y se plantea una única ecuación:

Como entonces:

Recuérdese que: 1 / R = G, entonces

Recuérdese también que Ya que . en serie = i

Corolario: El sistema de ecuaciones de nodos permite conocer la diferencia de potencia de los

nodos con respecto al nodo de referencia o las diferencias de potencial entre ellos.

Ejemplo 2 Determinar los potenciales y las diferencias de potencial entre los nodos del siguiente

circuito:

Fig. 2

Nodo de referencia nodo c identificado simbólicamente como nodo 0 ó nodo G

Aplicando la Ley de corrientes para el nodo a se tiene: – – ( 3 )

Y para el nodo b – – – ( 4 )

Calculando las intensidades de corriente en base de la Ley de Ohm y reemplazando en ( 3 ) y ( 4 ):

– – ( 5 )

– – – ( 6 )

Agrupando términos semejantes y multiplicando por – 1 a ( 6 ) se tiene:

– ( 7 )

( 8 )

Si: – ( 9 )

( 10 )

Generalizando se puede plantear un sistema de ecuaciones en donde los términos conocidos son

la interconexión entre los elementos pasivos, las fuentes de corriente y las incógnitas son las

diferencias de potencial entre los nodos y el nodo de referencia, a partir de los cuales se puede

encontrar la diferencia de potencial entre dos de ellos.

Si se representa el sistema de ecuaciones en forma matricial se tiene:

donde: los términos Gii = ∑ Conductancias propias del nodo i y siempre positivo.

Gij = ∑ conductancias compartidas entre los nodos i-j y siempre negativo.

Vi = valor de la diferencia de potencial del nodo i referido al de referencia.

Ii = Suma algebraica de los valores de las fuentes de corriente + las

corrientes que entran al nodo y – las corrientes que salen del mismo.

Ejercicio: Aplicando el método de las ecuaciones de nodos, plantear las ecuaciones necesarias para

determinar los valores de Ix, Vx y, P en la fuente de corriente de 1 (A).

Fig. 3

Se identifica el nodo central como nodo de referencia ( V = 0 ) por tener 4 corrientes de rama

asociadas a él, se tienen entonces 4 nodos ( n – 1) para establecer 4 ecuaciones linealmente

independientes.

LCK: nodo a:

nodo b:

nodo c:

nodo d: –

Reemplazando las Corrientes de rama desconocidas según la Ley de Ohm y aplicando el inverso de

la resistencia (conductancia) se tiene:

Ordenando alfabéticamente y multiplicando por – 1 se tiene:

En forma matricial se tiene:

La solución del sistema de ecuaciones es:

Va = 0 (V) Vb = 0 (V) Vc = 4.9 (V) Vd = 1.78 (V)

Entonces las variables a determinar son:

Para determinar Vx se aplica la LVK en la malla a,b,c,o,a es decir:

– – – de donde:

Para determinar la potencia en la fuente de corriente de 1 (A) es necesario conocer la diferencia

de potencial en sus terminales para lo cual se aplica la LVK en la malla a,o,d,a

Entonces:

La potencia en la fuente de corriente

CIRCUITOS CON FUENTES DE CORRIENTE CONTROLADAS

En caso de que el circuito tenga fuentes de corriente controladas el tratamiento es el mismo pero

es necesario que la variable que controla la fuente sea expresada en función de las variables

desconocidas o conocidas.

Ejemplo:

Fig. 4

Sistema de ecuaciones:

Nodo a –

Nodo b Geq = G4*G5/G4+G5

Pero:

entonces: –

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE NODOS EN CIRCUITOS CON FUENTES DE VOLTAJE

Existen dos posibilidades:

1.- La fuente de voltaje está ubicada entre el nodo de referencia y otro nodo cualquiera,

en este caso es conocido el voltaje de dicho nodo.

Ejemplo:

Fig

Planteamiento de las ecuaciones:

Nodo 1 – –

Nodo 2

Nodo 3 –

Nodo 4

2.- La fuente de voltaje está entre dos nodos cualesquiera, en este caso la diferencia de

potencial entre dichos nodos es la diferencia de potencial de la fuente de voltaje.

Ejemplo: En el circuito de la siguiente figura

Planteamiento de las ecuaciones partiendo de la LCK:

Nodo 1 – – (1)

Nodo 2 (2)

Nodo 3 – (3)

Fig.

Sumando 2 + 3 se elimina Ix y queda una sola ecuación que incluye los nodos 2 y 3 en uno solo

conocido por muchos autores como SUPERNODO que en este caso será:

SN: –

Quedan las ecuaciones como:

Nodo 2 – (1)

SN (2)

La otra ecuación ya que son tres incógnitas se tiene de la relación de nodos entre los cuales está la

fuente de voltaje, en nuestro caso –

ANÁLISIS DE CIRCUTIOS APLICANDO ECUACIONES DE MALLAS

De la misma manera que para el análisis por el método de las Ecuaciones de Nodos es necesario

aclarar algunos términos usados:

- Se entiende como trayectoria al conjunto de nodos y elementos que son recorridos al aplicar

la Ley de Voltajes de Kirchoff sin que ninguno de ellos se repita.

- Si al aplicar la Ley de Voltajes en una trayectoria, se llega al mismo nodo del que se inició la

aplicación de la Ley se define como trayectoria cerrada.

- Lazo es cualquier trayectoria cerrada, si esta trayectoria cerrada o lazo no tiene elementos

internos se define como una malla.

- Malla es una particularidad de un lazo (un lazo sin elementos internos).

- Corriente de malla se conoce a una corriente ficticia o real que circula por los elementos que

conforman una malla, será real si es un elemento externo al circuito y será ficticia la que

circula por un elemento compartido por dos mallas.

- Redes planares son aquellas redes eléctricas que pueden ser representadas en el plano

bidimensional.

Las ecuaciones de mallas son aplicables solo en redes planares.

Los siguientes gráficos son ejemplos de redes eléctricas en los cuales aclaran conceptos:

( a ) ( b )

Ciruito (a) red no planar, la rama on siempre se superpondra a las ramas mp. circuito (b) red

planar

m, n, o, p, q nodos en a no existe q (no hay contacto), están superpuestas las ramas mp con no

En ( a ) m-o-n-m , m-o-p-n-m, trayectorias y lazos (hay más identificar).

En ( b ) m-q-p-n-q-o-m ni trayectoria, se repite q ni lazo.

En ( b ) m-n-p-o-m lazo pero no malla

En ( b ) m-n-p-q-m lazo, pero no malla; m-q-n-m lazo y malla diferenciar lazo de malla con más

ejemplos

En la siguiente figura se diferencia corriente de rama y corriente de malla y cuando la corriente de

malla es real (corriente de rama) y cuando se vuelve (ficticia) modelo matemático para

sistematizar el método de análisis de circuitos aplicando mallas.

Fig.

Donde: I1, I2, I3, I4, I5, I6 Corrientes de rama

Ia, Ib, Ic corrientes de malla

corriente de malla = corriente de rama (rama externa)

corriente de malla = corriente de rama pero de sentido opuesto

corriente de malla = corriente de rama pero de sentido opuesto

Según la LCK – – corriente de rama (compartida

por las mallas a y b) = efecto resultante de las 2 corrientes de malla.

– – corriente de rama

(compartida por las mallas a y c) = efecto resultante de las 2 corrientes de malla

(Ia en el mismo sentido Ic en sentido opuesto).

– corriente de rama (compartida

por las mallas b y c) = efecto resultante de las 2 corrientes de malla (las dos en

sentido contrario).

El método de análisis de circuitos aplicando las ecuaciones de mallas no es más que la

sistematización de la Ley de Voltajes de Kirchoff, entonces en el ejemplo de la siguiente figura

Aplicando dicha ley en las trayectorias cerradas definidas como mallas se tiene:

Para la malla: (a) trayectoria m-n-o-m

(b) trayectoria n-m-p-n –

(c) trayectoria n-o-p-n –

Según la Ley de Ohm e tiene que:

Para: (a)

(b)

(c)

Reemplazando las corrientes reales de rama por las Corrientes ficticias de malla se tiene:

(a)

(b)

(c)

Ordenando en Corrientes y agrupando términos semejantes se tiene:

– (1)

(2)

(3)

Sistema de n ecuaciones con n incógnitas (n es el número de mallas) linealmente independiente que puede ser planteado en forma matricial

Donde: + Rii = ∑ Resistores propios de la malla I (siempre +)

± Rij = ∑ Resistores comunes a las mallas i con j ( + si las corrientes de malla tienen

la misma dirección y – si las corrientes de malla tienen sentidos contrarios)

Ii = Corriente de la malla i

Vi = ∑ Fuentes de voltaje de la malla i (+ si la corriente pasa de – a + y – si la

corriente pasa de + a -)

IMPORTANTE: Si todas las corrientes de malla asumimos con el mismo sentido TODOS los

elementos Rij serán negativos, quedando la matriz

Ejemplo: En el circuito de la siguiente figura determínese las variables Ix, Iy, Vx y las potencias: en la

fuente de voltaje de 10 V y en la de 5 V

El sistema de ecuaciones es:

Malla 1 4 I1 – 2 I3 = 5

Malla 2 8 I2 – 4 I4 = - 5

Malla 3 - 2 I1 + 5 I3 – I4 = 0

Malla 4 - 4 I2 – I3 + 9 I4 = - 10

Matricialmente se tiene:

La solución del sistema es:

I1 = 1.343 A I2 = - 1.505 A I3 = 0.158 A I4 = - 1.76 A

Como: Ix = I1 Ix = 1.343 A

Iy = I3 – I1 Iy = 1.185 A

Vx = – 4*I4 Vx = 7.04 V

P5 = 5*(I1 – I2) P5 = 14.24 W

P10 = 10*(-I4) P10 = 17.6 W

CIRCUITOS CON FUENTES DE VOLTAJE CONTROLADAS

En caso de que el circuito tenga fuentes de voltaje controladas el fundamento es el mismo sin

olvidar expresar a la fuente controlada con las variables conocidas o desconocidas que controlan

dicha fuente

Ejemplo:

El sistema de ecuaciones es:

(R1 + R3) Ia – R3 Ib = V1 (1)

- R3 Ia + (R3 + R5 + R6) Ib – R6 Id = - V2 (2)

(R2 + R4) Ic + R4 Id = V1 (3)

- R6 Ib + R4 Ic + (R4 + R6 + R7) Id =V2 – 10 Ix (4)

Pero: Ix = Ib – Ia que reemplazando en (4) se tiene:

- 10 Ia + (10 - R6) Ib + R4 Ic + (R4 + R6 + R7) Id =V2 (5)

Se tienen 4 ecuaciones (1), (2), (3) y (5) con 4 incógnitas Ia, Ib, Ic e Id (corriente de malla)

Si se desea determinar las corrientes de rama se tiene:

I1 = Ia I2 = Ix = Ib – Ic I3 = Ib I4 = Ia + Ic

I5 = Ib – Id I6 = - Ic I7 = Ic – Id I8 = - Id

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE MALLAS EN CIRCUITOS CON FUENTES DE CORRIENTE

Existen dos posibilidades:

1.- Que la fuente de corriente esté ubicada externamente al circuito en este caso sería

conocida una corriente de malla. (ejemplo)

Las ecuaciones de mallas para el ejemplo anterior son:

Malla a: Ia ( R5 + R2 ) – Ib * R2 = Va (1)

Malla b: - Ia * R2 + Ib ( R1 + R2 + R4 ) – Ic * R4 = 0 ( 2 )

Malla c: Ic = Ix ( Ix valor de la fuente de corriente conocida) ( 3 )

Si se desea conocer las corrientes de rama:

I1 = - Ib I2 = Ia I3 = Ib – Ia I4 = Ic – Ib I5 = Ic – Ia Ix (conocida)

2.- La fuente de corriente es común a dos mallas cualesquiera, en este caso la corriente de

esa rama está definida por el valor de la fuente de corriente común.

Ejemplo:

Considerando que en la fuente controlada de corriente debe existir una diferencia de potencial Vfc

Las ecuaciones para el ejemplo anterior serán:

Malla a: Ia ( R2 + R3 ) – Ic R3 + Vfc = 0 (1)

Malla b: Ib ( R4 + R5 ) – Ic R4 – Vfc = - V (2)

Malla c: Ic = - I (3)

Se tiene 2 ecuaciones linealmente independientes con dos incógnitas, Ic es conocida

Si sumamos (1) + ( 2 ) se tiene: Ia ( R2 + R3) + Ib ( R4 + R5 ) – Ic ( R3 + R4 ) = V

A esta malla conformada por dos mallas que tienen una fuente de corriente común se le conoce

como super-malla y la ecuación se lo plantea en forma directa con el mismo concepto pero

respetando las corrientes de malla identificadas al inicio.

Rii = suma de los resistores propios (R2 + R3) (respetamos Ia) + (R4 + R5) (respetamos (Ib)

Rij = suma de resistores compartidos, la super-malla tiene en común con la malla c (R3 + R4)

Queda la ecuación: (R2 + R3) Ia + (R4 + R5) Ib – (R3 + R4) Ic = V (1a)

La otra ecuación se plantea de la relación de las corrientes de malla en la que está la fuente común

en este ejemplo se tiene: nVx = Ib – Ia , pero Vx = R1*(-Ic) entonces: Ib – Ia = - n*R1*Ic (2a)

Además: Ic = - I (3a)

Se tiene dos ecuaciones linealmente independientes con dos incógnitas (Ia) y (Ib) Ic es conocida.