Unidad I:Fundamentos de la Lógica

Docente:Ing. Eduardo González

Lógica Proposicional

Área de la matemática que trata las proposiciones y el razonamiento lógico matemático. La lógica son reglas que: Dan significado a enunciados y sentencias

matemáticas.Distinguen argumentos validos y no validos.Se aplican en la construcción de programas y

circuitos de computadores.

Proposición

Oración declarativa

Tiene un único valor lógico

Verdadero Falso

Pero

No ambos a la vez

Puede ser

Simple Compuesta

Sin conectivos

lógicos

Con conectivos

lógicos

Ejemplo:El Sol es una

estrella

Ejemplo:El Sol es una

estrella y la Tierra gira alrededor del

Sol

No son consideradas proposiciones lógicas…

Las preguntas.Oraciones que no son falsas ni verdaderas.Oraciones imprecisas.Oraciones que son falsas y verdaderas al mismo

tiempo.Oraciones que carecen de sentido.

EjemplosEstructuras discretas es muy fácil .Pi=3,1416.La suma de los ángulos de un triángulo es igual a

480.¿A qué hora salimos, profe?X+Y=Z.¡Presta atención!La dirección de mi blog es

www.edlugome.wordpress.comProfe, tengo sueño.

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Lógica Proposicional

Las proposiciones simples se denotan con letras minúsculas: p, q, r, s.

Las proposiciones compuestas se denotan con letras mayúsculas: P, Q, R, S.

Valor de la verdad

El valor de verdad de una proposición puede ser verdadero (1) o falso (0), también pueden

ser denotados con V y F, respectivamente.

EjerciciosDetermine cuáles de las siguientes son proposiciones lógicas y su valor de la verdad.

p: El profesor Eduardo es el mejor. q: Existe el premio Nobel de informática. r: Hola ¿Cómo estás? s: 4+5= Maracaibo. t: La tierra es el único planeta que tiene vida.

p:No es una proposición lógica, carece de contexto.

q:Es una proposición lógica, su valor de la verdad es 0.

r:No es una proposición lógica, es una pregunta. s:No es una proposición lógica, carece de

contexto. t:No es una proposición lógica, no se sabe si hay

vida en otros planetas, por lo tanto no sabemos si es verdadera o falsa.

Ejercicios

Proposiciones Compuestas

Si las proposiciones p, q, r, s se combinan para formar la proposición P, diremos que P es una proposición compuesta de p, q, r, s.

Ejemplo:p: Isaac Newton es el padre de la física.q: Estructuras Discretas es mi materia favorita.r: Él es inteligente.s: Él estudia todos los días.

Proposiciones Compuestas

«Isaac Newton es el padre de la física y Estructuras Discretas es mi materia

Favorita»

«Él es inteligente o Él estudia todos los días»

Proposiciones Compuestas

La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en la que están conectadas.

Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.

La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p, q, r, s,…

Tabla de Verdad

Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples p, q y r, entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad.

Tabla de Verdad

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Tabla de Verdad

Otro ejemplo..

p qV VV FF VF F

Operadores y Conectores LógicosLos Operadores Lógicos:Son operadores aplicados a las proposiciones, para generar nuevas proposiciones.

Los Conectivos Lógicos: son operadores lógicos que se usan para formar nuevas proposiciones a partir de 2 o mas proposiciones existentes.

Tipos de operadores Lógicos

Negación

Sea p una proposición, el enunciado: << no se cumple p >> Es otra proposición llamada “Negación de p”.

Se denota: ¬p y se lee <<no p >>. Su tabla de verdad es:

p ¬p

1 0

0 1

Negación EJEMPLOS:

p: «Samsung fabrica teléfonos celulares»¬p: «Samsung no fabrica teléfonos celulares»¬p: «Es falso que Samsung fabrica teléfonos

celulares»

q: «2+4=8»¬q: «Es falso que 2+4=8»¬q: «2+4 ≠ 8»

Conjunción

Sean p y q proposiciones. La proposición << p y q >>, denotada por p Ù q, es la proposición que es verdadera

cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. Su tabla de verdad es:

p q p ^ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

Conjunción EJEMPLOS:

p: «Hoy es viernes.»q: «Hoy llueve.»p ^ q: «Hoy es viernes y hoy llueve.»

Verdad: Los viernes con lluvia.Falso: Cualquier día diferente de viernes y los viernes que no llueve.

Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q >>, denotada por p Ú q, es la proposición que es

falsa cuando tanto p como q son falsas y verdadera en cualquier otro caso. Su tabla de

verdad es:p q p Ú q0 0 00 1 11 0 11 1 1

Disyunción

p: «Hoy es viernes.»q: «Hoy llueve.»p Ú q: «Hoy es viernes u hoy llueve.»

Verdad: Cualquier día que sea viernes o llueva, incluyendo los viernes con lluvia.Falso: Los días que ni son viernes, ni llueve.

Disyunción EJEMPLOS:

Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q (pero no ambas) >>, denotada por p Å q, es la

proposición que es verdadera cuando solo una de las dos proposiciones p y q es verdadera; y es falsa cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.

Su tabla de verdad es:p q p Å q

0 0 00 1 11 0 11 1 0

Disyunción Excluyente

Disyunción Excluyente EJEMPLO:

p: «Hoy es viernes.»q: «Hoy llueve.»p Å q: «Hoy es viernes u hoy llueve.»

Verdad: Cualquier día que sea viernes o llueva, pero no ambos.Falso: Los viernes con lluvia, y los otros días que no llueve.

Implicación o CondicionalSean p y q proposiciones. La implicación p®q es la proposición que es falsa cuando p es verdadera y q es falsa; y es verdadera en cualquier otro caso.

p®q(Hipótesis o Causa) (Conclusión o Consecuencia)

p q p®q0 0 10 1 11 0 01 1 1

FORMAS DE EXPRESAR EL CONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL:• «Si p, entonces q»• «p implica q»• «q si p»• «p solo si q»• «p siempre que q»

Implicación o Condicional

Bicondicional o Doble Implicación

Sean p y q proposiciones, el Bicondicional o Doble Implicación, p « q es la proposición que es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores

de verdad y falsa en los otros casos.Su tabla de verdad es:

p q p« q0 0 10 1 01 0 01 1 1

FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL:• «p si, y solo si q»• «p es necesario y suficiente para q»

Bicondicional o Doble Implicación

FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL:• «p si, y solo si q»• «p es necesario y suficiente para q»

Bicondicional o Doble Implicación

p: «Puedes tomar el vuelo.»q: «Compras un pasaje.»p « q: «Puedes tomar el vuelo si, y solo si, compras un pasaje»

Esta expresión es verdadera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas.

Bicondicional o Doble Implicación Ejemplo:

Precedencia de Operadores Lógicos.

Orden Operador Nombre

1 ¬ Negación2 Ù Conjunción

3 Ú Disyunción

4 ® Implicación

5 « Bicondicional

FormalizaciónConsiste en pasar del lenguaje natural al

lenguaje formal.Ejemplo:

«Puedes acceder a internet desde el LC1 solo si estudias Computación o no eres alumno

del primer período.»

p ® (q Ú ¬r)

p

qr

Equivalencias Proposicionales

Dos formulas son lógicamente equivalentes si tienen los mismos

valores de verdad en todos los casos. También se dice que p y q son lógicamente equivalentes si p « q es una tautología y se denota

por p º q.

Tautologías y Contradicciones

Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p, q, r,…

P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p, q, r, …P es una Contradicción si es falsa para todos los

valores de verdad que se asignen a p, q, r,…Una proposición P que no es tautología ni

contradicción se llama, usualmente, Contingencia.

Tautologías y Contradicciones

Tautología Contradicción

p ¬p pÚ¬p pÙ¬p

1 0 1 00 1 1 0

Ejercicios:• ¿Cuál es la negación de cada uno de los siguientes

enunciados?a) Hoy es martes.b) No hay contaminación en Ciudad Ojeda.c) 2 + 1 = 3.d) El clima en Mérida es cálido y soleado.

• Sean los enunciados p: «Tienes fiebre», q: «Suspendes el examen final» y r: «Apruebas el curso». Expresa cada una de las siguientes fórmulas en lenguaje natural.a) p ® qb) ¬p « rc) q ® ¬r

d) p Ú q Ú r

e) (p ® ¬r) (Ú q ® ¬r)

• Sean p y q los enunciados «Conduces a mas de 100 Km. por hora» y «Te multan por exceso de velocidad», respectivamente. Escribe los siguientes enunciados usando p, q y conectivos lógicos:

a) No conduces a más de 100 Km. por hora.b) Conduces a más de 100 Km. por hora, pero no te multan

por exceso de velocidad.c) Te multaran por exceso de velocidad si conduces a más de

100 Km. Por hora.d) Si no conduces a mas de 100 Km. por hora no te multarán

por exceso de velocidad.• Determina si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas:

a) Si 1 + 1 = 2, entonces 2 + 2 = 5.b) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 4.c) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 5.d) Si los cerdos vuelan, entonces 1 + 1 = 3.

• Sean las proposiciones p: «Tienes fiebre», q: «No suspendes el examen final» y r: «Apruebas la asignatura», expresa en lenguaje natural la expresión:

((p ®Øq) Ù (Øp ®r))

• Simboliza las siguientes proposiciones:a) No vi la película pero leí la novela.b) Ni vi la película ni leí la novela.c) No es cierto que viese la película y leyese la

novela.d) Vi la película aunque no leí la novela.

• Sean p, q y r las proposiciones «El número N es par», «La salida va a la pantalla» y «Los resultados se dirigen a la impresora», respectivamente. Enunciar en Lenguaje Natural las siguientes proposiciones:a) q ® pb) ¬ q ® rc) r ® (p Ú q)

• Tomando en cuenta las proposiciones del ejercicio anterior, escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las siguientes afirmaciones:a) Si el número N es par, los resultados se dirigen a la impresora y la

salida va a la pantalla.b) La salida va a la pantalla si, y solo si, los resultados se dirigen a la

impresora.c) No es cierto que el número N sea par o la salida no va a la

pantalla.d) Si el número N es par, la salida va a la pantalla y los resultados se

dirigen a la impresora, pero no ambas cosas a la vez.