UNIDAD 6

ESFUERZOS COMBINADOS

ING. ERIC EFRN RAYGOZA LUNA

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Mecnica de Materiales II

Introduccin Las expresiones:

=

=

=

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Introduccin Son utilizadas para calcular los esfuerzos en

una seccin transversal de un elemento sometido, exclusivamente a: Carga axial Torsin pura Flexin pura

En la gran mayora de los casos prcticos, en ingeniera, los esfuerzos en la seccin transversal de un elemento es el resultado de la combinacin de 2 o ms elementos mecnicos.

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Introduccin Por lo tanto, en un elemento estructural puede

presentarse cualquier combinacin, siendo las ms comunes: Carga axial y Torsin Carga axial y Flexin (en una o dos direcciones) Torsin y Flexin Carga axial, Torsin y Flexin (en una o dos

direcciones). Carga axial (tensin) y cortante.

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Introduccin

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Carga axial y Flexin En donde se pueden presentar este tipo de

esfuerzos? Cuando un elemento se somete a carga axial y

a momento flexionante como es el caso de las zapatas de cimentacin.

Cuando una pieza se somete a la accin de una carga axial que no pasa por el centroide de su seccin transversal se produce el efecto de esfuerzos combinados.

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Carga axial y flexin Consideremos el caso de una columna cargada

axialmente. La carga normal supondremos que no acta en

el centroide de la seccin. Por lo tanto, se presenta una excentricidad con

respecto al centroide de la seccin. Si trasladamos la carga al centroide, podemos

agregar un momento y tendremos: Una carga axial que produce una distribucin

uniforme Flexin sobre un eje de inercia, que produce una

variacin lineal de esfuerzos.

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Carga axial y flexin Estos efectos puede sumarse debido al principio de

superposicin. De lo anterior podemos establecer la siguiente

relacin de esfuerzos: =

Para este caso se tendr =

+

=

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Carga axial y flexin En ciertas ocasiones, como por ejemplo en

cimentaciones, convendr conocer la mxima excentricidad que puede tenerse en el elemento de tal manera que no se presente algn tipo de esfuerzos.

Por ejemplo, ser interesante conocer el punto para el cual no se presentan esfuerzos de tensin en la seccin transversal.

Esto es, que en la seccin transversal se presenten nicamente esfuerzos de compresin

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Carga axial y flexin Esta mxima excentricidad define lo conocido

como Ncleo central de la seccin Se podr determinar encontrando el punto para

el cual los esfuerzos sean igual a cero, o lo que es lo mismo, que los esfuerzos axiales sean iguales que los de flexin:

=

=

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Carga axial y flexin Resolviendo la ecuacin anterior para una

seccin rectangular de base b y altura h obtenemos que:

=6

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Carga axial y flexin En el caso ms general, se puede suponer que

la carga axial se aplica de una manera aleatoria excntricamente a los dos ejes que nos definen una seccin transversal.

En este caso, podemos trasladar la carga axial al centroide pero deberemos introducir dos momentos a la seccin.

Cada uno de estos momentos se aplicar en una direccin diferente:

= =

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Carga axial y flexin En este caso, los esfuerzos en la seccin

estarn definidos por la siguiente ecuacin:

=

.

.

En este caso, notaremos que el eje neutro deja

de estar definida por una lnea ortogonal al eje de referencia.

Para encontrar esta lnea, se establecer una nueva propiedad geomtrica conocida como radio de giro

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Carga axial y flexin Esta propiedad geomtrica no tiene sentido

fsico y nicamente nos relaciona la inercia de la seccin y el rea de la misma

= Podremos, rescribir la ecuacin en trminos del radio de giro como:

=

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Carga axial y flexin Para encontrar el eje neutro, buscaremos el

punto para el cual los esfuerzos son iguales a cero.

Por lo tanto: = 0

Se puede rescribir la ecuacin anterior de la siguiente manera:

0 = 1 +

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Carga axial y flexin Encontraremos las coordenadas del eje neutro

haciendo cero el valor de x y y (uno a la vez) para definir una recta.

= !"#$ = !$#"

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) El esfuerzo medio sobre una superficie se

obtiene dividiendo la fuerza entre el rea sobre la que acta.

Si es esfuerzo medio es constante sobre toda la superficie se llama uniforme.

Si el esfuerzo no es uniforme, se obtiene el esfuerzo en un punto considerando la fuerza que acta sobre un elemento de rea alrededor del punto y haciendo que este elemento superficial sea cada vez menor tendiendo a cero

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Esto es, el esfuerzo en un punto define en

realidad el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencial de rea.

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Cuando el esfuerzo en un punto se define por

las componentes que actan en varias direcciones en el espacio, se puede representar por los esfuerzos que actan sobre un elemento diferencial de volumen que rodee el punto considerado.

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) (Parntesis)

Los esfuerzos normales se denotan con la letra con un subndice segn la cara en la que estn aplicados.

Los esfuerzos cortantes se denotan con la letra con dos subndices e indican el primero la cara sobre la cual se aplica y el segundo la direccin que tiene.

En cualquier punto existe un llamado tensor de esfuerzos. &

&& & &&

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Estado de esfuerzo plano (Analtico)

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El esfuerzo en un punto queda definido por los esfuerzos que actan sobre las caras del elemento que rodea a dicho punto.

Los esfuerzos varan con la orientacin de los planos que pasan por el punto, es decir, los esfuerzos en las caras del elemento varan cuando lo hace la posicin angular del elemento.

Estado de esfuerzo plano (Analtico) Para ilustrar stas variaciones analizaremos un

elemento que est sometido a los siguientes esfuerzos:

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Realizaremos un corte en la seccin a travs

de la lnea C-B que tiene un ngulo determinado .

Podemos obtener las ecuaciones que definen los esfuerzos (normales y tangenciales) en la seccin que cortamos de forma algebraica.

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de transformacin de esfuerzos y se basan en los esfuerzos inicialmente dados que actan sobre un elemento de orientacin conocida.

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Estado de esfuerzo plano (Analtico)

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Si los esfuerzos normales son esfuerzos de

tensin se consideran positivos y negativos si son de compresin.

Un esfuerzo cortante se define como positivo si acta hacia arriba en la direccin positiva del eje y sobre la cara derecha del elemento.

La transformacin de esfuerzos se requiere de los ejes xy a xy

El ngulo que localiza el eje x es positivo cuando se mide del eje x hacia el eje y en sentido antihorario.

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) La normal hacia afuera de la seccin forma un

ngulo con el eje x. Si un rea de la cua aislada por esta seccin

es dA, las reas asociadas con las caras AC y AB son dAcos y dAsen, respectivamente.

Multiplicando los esfuerzos por sus reas respectivas , se construye un diagrama con las fuerzas que actan sobre la cua.

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Aplicando las ecuaciones de equilibrio se

obtienen los esfuerzos x y xy

' () = 0

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Simplificando obtenemos:

Aplicando equilibrio para la direccin y se obtiene:

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Las ecuaciones anteriores son las expresiones

generales para el esfuerzo normal y cortante sobre cualquier plano localizado por un ngulo .

En ocasiones, ser de inters la determinacin del mximo esfuerzo posible y es necesario conocer el plano en el cual estos se presentan para calcular los valores.

Para encontrar este plano, se deriva la ecuacin para los esfuerzos con respecto al ngulo y la derivada se iguala a cero.

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Esto es:

De aqu se obtiene:

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Es importante notar que se hicieron los

esfuerzos normales igual a cero. Pero si se quisiera el punto para el cual no se presentan esfuerzos cortantes obtenemos una relacin similar.

Por lo tanto, Sobre planos en que ocurren esfuerzos normales mximos o mnimos, no se tienen esfuerzos cortantes.

Estos planos se llaman planos principales de esfuerzo y los esfuerzos que actan en esos planos se denominan esfuerzos principales.

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) Las magnitudes de los esfuerzos principales

pueden obtenerse sustituyendo los valores de las funciones seno y coseno correspondiente al ngulo obtenido por la ecuacin anterior.

Se obtiene la siguiente expresin:

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Estado de esfuerzo plano (Analtico) De manera similar, para los esfuerzos cortantes

mximos:

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Ejemplo Sea el estado de esfuerzos para el elemento

mostrado en la figura. Encontrar los esfuerzos que deben actuar sobre el plano AB de la cua para mantener el elemento en equilibrio.

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Ejemplo

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Ejemplo Por conveniencia, se considerar que el rea

de la superficie AB es igual a 1 m2. Por lo tanto, el rea de la lnea AC ser de

0.924 m2 y la de BC ser de 0.383 m2. Las fuerzas que dan el equilibrio pueden

obtenerse multiplicando los esfuerzos por el rea en la que actan:

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Ejemplo

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Como hemos visto anteriormente, las

expresiones utilizadas para realizar la transformacin de esfuerzos tienen una gran relacin con funciones trigonomtricas.

Por lo tanto, las ecuaciones bsicas para la transformacin de esfuerzos sern reexaminadas para interpretarlas grficamente.

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Una revisin de las ecuaciones para la

transformacin nos muestra que representa un crculo escrito de forma paramtrica.

Se ve ms claro si lo elevamos al cuadrado, sumamos y simplificamos:

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Para un problema cualquiera, x, y y xy son

constantes y x y xy son variables. Por lo que podemos agrupar de la siguiente manera:

Lo cual, como podemos recordar es la ecuacin bsica de un crculo de radio b con centro en (+a,0).

* = +",+$ - =+".+$

+

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Por consiguiente, si se grafica un crculo que

satisfaga esta ecuacin, los valores simultneos de un punto (x, y) sobre este crculo corresponden a x y xy para una orientacin particular de un plano inclinado.

La ordenada es xy La abscisa es x El crculo construido de esta manera se llama

crculo de esfuerzos o crculo de Mohr para esfuerzos.

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Por lo tanto, podremos trazar un crculo sobre

los ejes coordenados y con un centro en (a, 0) y con un radio igual a b:

* = + 2

0 = 2

+

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr De la figura anterior pueden hacerse las

siguientes observaciones: El esfuerzo normal mximo posible es 1; el mnimo

es 2. No existen esfuerzos cortantes con estos esfuerzos.

El esfuerzo cortante mximo es numricamente igual al radio del crculo (1 - 2)/2. Un esfuerzo normal igual a (1 + 2)/2 acta sobre cada uno de los planos de esfuerzo cortante mximo.

Si 1 = 2, el crculo de Mohr se convierte en un punto, por lo que ningn esfuerzo cortante se desarrolla en el plano xy.

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Si x + y = 0 el centro del crculo est en el origen y

entonces existe el estado de cortante puro. La suma de los esfuerzos normales sobre dos

planos mutuamente perpendiculares cualesquiera es invariable, es decir:

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Construccin del crculo de Mohr.

1. El problema bsico consiste en construir el crculo de esfuerzos para los esfuerzos dados x, y y xyy luego determinar el estado de esfuerzos sobre un plano arbitrario a-a.

2. Para esto, trazamos el centro del crculo C en un sistema coordenado localizado a una distancia (1 + 2)/2 del origen.

3. Se localiza el punto A sobre el crculo el cual tiene las coordenadas (x, xy) correspondientes a los esfuerzos que actan sobre la cara derecha del elemento en la direccin positiva de los ejes.

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Construccin del crculo de Mohr.

Al punto A se le denomina origen de los planos.

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Construccin del crculo de Mohr.

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Esfuerzo plano. Crculo de Mohr Ejemplo. Construir el crculo de Mohr para el

siguiente estado de esfuerzos. Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes mximos.

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