Unidad 6Ecuaciones diferenciales ordinarias

6.1 Fundamentos de ecuaciones diferencialesUna ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en Ecuaciones: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde   representa una función no especificada de 

la variable independiente  , es decir,  ,   es la derivada de   con respecto a  .

La expresión 

Es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma

, es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

 Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como 

soluciones , con k un número real cualquiera.

 Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como 

soluciones , con a y b reales.

 Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como 

soluciones , con a y b reales.

6.2 Métodos de un paso: métodos de Euler, método de Euler mejorando y método de runge-kuttaEn matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

Consiste en multiplicar los intervalos que va de   a   en   subintervalos de ancho ; ósea:

de manera que se obtiene un conjunto discreto de   puntos:   del intervalo de interés  . Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

  .

La condición inicial , representa el punto   por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como  .

Ya teniendo el punto   se puede evaluar la primera derivada de   en ese punto; por lo tanto:

Grafica A.

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por   y de pendiente. Esta recta aproxima   en una vecinidad de . Tómese la recta como 

reemplazo de   y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a  . Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:

Se resuelve para :

Es evidente que la ordenada   calculada de esta manera no es igual a , pues existe 

un pequeño error. Sin embargo, el valor   sirve para que se aproxime   en el punto   y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

Método de Euler Mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 

La fórmula es la siguiente: 

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio   corresponde a la pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta 

tangente" a la curva en el punto   donde   es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente  hasta 

el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en  el punto  como la aproximación de Euler mejorada. 

El método de runge-kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea

Una ecuación diferencial ordinaria, con   donde   es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

,

Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento   entre los sucesivos puntos   y  . Los coeficientes   son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

con   coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes   del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,   para , los esquemas son explícitos.

6.3 Métodos de pasos múltiplesLos métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y está a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

El método de Heun de no autoinicio

Recordemos que el procedimiento de Heun usa el método de Euler como un predictor:

Y la regla trapezoidal como un corrector:

ec.1

Así, el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local de   y  , respectivamente. Esto sugiere que el predictor es el enlace debil en el método, pues tiene el error más grande. Esta debilidad es significativa debido a que la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de la predicción inicial. En consecuencia, una forma para mejorar el método de Heun es mediante el desarrollo de un predictor que tenga un error local de . Esto se puede cumplir al usar el método de Euler y la pendiente en , y una información extra del punto anterior  como en:

ec.2

Observe la ecuación ec. 2  alcanza ) a expensas de emplear un tamaño de paso más grande, 2h. Además, observe que la ecuación ec. 1 no es de auto inicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podría no estar disponible en un problema común de valor inicial. A causa de ello, las ecuaciones 26.11 y 26.12 son llamadas método de Heun de no auto inició.Como se ilustra en la figura 26.4, la derivada estimada de la ecuación 26.12 se localiza ahora en el punto medio más que al inicio del intervalo sobre el cual se hace la predicción. Como se demostrara después, esta ubicación centrada mejora el error del predictor a

 Sin embargo, antes de proceder a una deducción formal del método de Heun de no auto inicio, resumiremos el método y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada:

Predictor:  

Corrector:  

Donde los superíndices se agregaron para denotar que el corrector se aplica iterativamente de j=1 a m para obtener soluciones refinadas. Observe que  son los resultados finales de las iteraciones del corrector en los pasos de tiempo anteriores. Las iteraciones son terminadas en cualquier paso de tiempo con base en el criterio de paro:

ec. 3

Cuando   es menor que una tolerancia de error Es preestablecida, se terminan las iteraciones. En este punto 

6.4aplicaciones en la ingenieríaLas ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, xes vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

Donde   es el tiempo y   es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.