5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES.

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la  opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente , por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada  de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

EjemplosCalcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x 2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Sea el punto de tangencia (a, b)m = 1f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0Punto de tangencia:(0, 1)Recta tangente:y − 1 = x y = x +1Recta normal:m= 1P(0, 1)y − 1 = −x y = −x + 1

5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL.

TEOREMA DE ROLLE

El teorema de Rolle  dice que:Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b),

hay algún punto c   (a, b) en el quef'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle  nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Ejemplos1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle  a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo

[0, 2]?

La función es continua en [0, 2].No es aplicable el teorema de Rolle  porque la solución no es derivable en el

punto x = 1.

2. Estudiar si la función f(x) = x − x 3 satisface las condiciones del  teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.

f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.

Además se cumple que:f(−1) = f(0) = f(1) = 0Por tanto es aplicable el teorema de Rolle .

3.¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del  teorema de Rolle  en el intervalo [−1, 1]?

La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica.

No cumple teorema de Rolle  porque f(−1) ≠ f(1).

4.Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x 2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.Si la función tuviera dos raíces distintas x 1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos

que:f(x1) = f(x2) = 0Y como la función es continua y derivable por ser una función polinómica,

podemos aplicar el  teorema del Rolle , que diría que existe un c    (x1, x2) tal que f' (c) = 0.

f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).Pero f' (x) ≠ 0, no admite soluciones reales porque el  discrimínante  es

negativo:Δ = 9 − 24 < 0.Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con

el teorema de Rolle , por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.

5.¿Cuántas raíces tiene la ecuación x 3 + 6x2 + 15x − 25 = 0?La función f(x) = x3 + 6x2 + 15x − 25 es continua y derivable en  ·Teorema de Bolzano .f(0) = −25f(2) = 37Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 2).Teorema de Rolle .f' (x) = 3x2 + 12x +15Dado que la derivada no se anula, ya que su  discriminante  es negativo, la

función es estrictamente creciente y posee una única raíz.

6.Demostrar que la ecuación 2x 3 − 6x + 1 = 0 una única solución real en el intervalo (0, 1).

La función f(x) = 2x3 − 6x + 1 es continua y derivable en  ·Teorema de Bolzano .f(0) = 1f(1) = −3

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 1).Teorema de Rolle.f' (x) = 6x2 - 6 6x2 - 6 = 0 6(x − 1) (x + 1) = 0La derivada se anula en x = 1 y x = −1, por tanto no puede haber dos raíces en

el intervalo (0, 1).

Teorema de Lagrange o del valor medio

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]    f(x) es derivable en (a,b)T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con el eje ox.

f'(c) es la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto c, con el eje ox.

Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.

Demostración:

Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.

g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a) f(a) - f(b) => h = ----------- b - a

=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0g'(x) = f'(x) + h f(b) - f(a)g'(c) = f'(c) + h = 0 => f'(c) = ----------- b - a

Considérese por ejemplo, el caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de un automóvil desde su punto de partida a lo largo de cierto camino.

Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio del automóvil en el período b - a. (Recordar que velocidad = distancia/tiempo)

Por lo tanto f'(a)=limx->a (f(x) - f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el tiempo a.Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio fue de 100km. por hora.Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento durante esas dos horas, el auto tuvo una velocidad de exactamente 100km/h.

5.3 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE 

   Observa que parte de la gráfica se eleva, parte de la gráfica baja y parte de la gráfica es horizontal. En estos casos se dice que la gráfica crece, decrece o es constante. Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y  ( x2, f(x2) )  con 

x1 <  x2 Se tiene que

f(x1) < f(x2).

Prevalece la relación  < 

               

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y  ( x2, f(x2) )  con 

x1 <  x2 Se tiene que

f(x1) > f(x2).

Cambia la relación de <  a  > 

    

 Una función f se dice que es constante si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y  ( x2, f(x2) )  con 

x1 <  x2 Se tiene que

f(x1) = f(x2).

Las y no cambian, son fijas

          

Considera la siguiente gráfica:

                                                                          Los intervalos donde la gráfica es creciente son

  [ 2.8, 3.6 ]  [ 5.2, 6 ]

 El intervalo donde la gráfica es decreciente es

  [ 3.6, 5.2 ] 

El intervalo donde la gráfica es constante es  [ - 4, 2.8 ]

Máximo absolutoUna función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o

igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

b = 0Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08     b = -3.08 La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos: 1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo. Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que 1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo. Entonces f tiene un máximo local en c. Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”. 

 

 De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo  basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función: 

 la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

Concavidad y puntos de inflexión

 

  

(fig.1)

(fig.2)

(fig.3)

 

 

Los posibles puntos de inflexión se identifican despejando a x de la ecuación que resulta una vez se ha igualado la segunda derivada de la función a cero; o para los valores de x para los cuales la segunda derivada no existe.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 

Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento. En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones: DEFINICIÓN.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)

  

  Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c  y además: 

a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)b)      f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa. 

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión. Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese  intervalo. 

 

  

  CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS  Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos: a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

5.4 Análisis de la variación de funciones.

En función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito): la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la yEjes, dejando de lado la

contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito.

Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes.

Funciones de variación acotada son precisamente aquellos respecto de los cuales uno puede encontrar en las integrales de Riemann-Stieltjes todas las funciones continuas.

Otra caracterización de los estados que las funciones de variación acotada tienen es que encuentran que en un intervalo cerrado son exactamente los f que se puede escribir como una diferencia g − h, donde ambos g y h están limitados monótono.

En el caso de varias variables, en función f definido en un subconjunto abierto Q de Rn se dice que la variación acotada si su de distribución de derivados es un recurso finito del vector.

Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman una álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes: debido a este hecho, se puede y con frecuencia se utilizan para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales implican funcionales, ordinaria y ecuaciones diferenciales parciales en las matemáticas, la física y de ingeniería. Teniendo en cuenta el problema de la multiplicación de las distribuciones o más en general el problema de la definición general de las operaciones no lineales en funciones generalizadas, función de variación acotada son los más pequeños y en la álgebra tiene que estar integrada en todos los espacios de funciones generalizadas preservar el resultado de multiplicación.

Notación

Básicamente, existen dos convenios distintos para la notación de los espacios de funciones de la variación a nivel local o global limitada, y por desgracia son bastante similares: el primero, que es la adoptada en esta entrada, se utiliza por ejemplo en las referencias Giusti (1984) (Parcialmente), Hudjaev y Vol’pert (1985) (Parcialmente), Giaquinta, Modica y Soucek (1998) y es el siguiente

* (Omega) identifica el espacio de las funciones de variación acotada a nivel mundial * (Omega) identifica el espacio de las funciones de variación acotada localmenteLa segunda, que se adopta en las referencias Vol’pert (1967) y Maz’ya (1985) (Parcialmente), es la siguiente:

* (Omega) identifica el espacio de las funciones de variación acotada a nivel mundial * (Omega) identifica el espacio de las funciones de variación acotada localmente

5.5 CÁLCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL.

En cálculo, la diferencial representa la parte principal del cambio en una función y = ƒ(x) con respecto a los cambios en la variable independiente. La misma diferencia se define por una expresión de la forma

dy = {dy}{dx}\dx

como si el derivados dy/dx representa el cociente de una cantidad dy por una cantidad dx. También se escribe

df(x) = f’(x)dx.

El significado preciso de tales expresiones depende del contexto de la aplicación y el nivel requerido de rigor matemático. En los tratamientos modernos matemáticos rigurosos, las cantidades dy y dx son simplemente más real variables que puede ser manipulado como tal. El dominio de estas variables pueden tener un significado geométrico particular, si el diferencial se considera un particular forma diferencial, o la importancia de análisis, si el diferencial se considera como una aproximación lineal al incremento de una función. En las aplicaciones físicas, las variables dx y dy a menudo, deben ser muy pequeñas (“infinitesimal”).

El diferencial fue introducido por primera vez a través de definiciones intuitivas o heurístico Gottfried Wilhelm Leibniz, que pensaba de la diferencia dy como lo infinitamente pequeño (o infinitesimal) cambio en el valor y de la función, que corresponde a un cambio infinitamente pequeño dx en el argumento de la función x. Por esa razón, la razón instantánea de cambio de y con respecto a x, que es el valor de la derivados de la función, se denota por la fracción {dy}{dx}

en lo que se llama el Leibniz notación para los derivados. El cociente dy/dx es, por supuesto, no lo infinitamente pequeño, sino que es un número real.

El uso de los infinitesimales en esta forma fue muy criticado, por ejemplo, el famoso panfleto “El Analista” por el obispo Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) se define la diferencia, sin apelar a la teoría atómica de los infinitesimales de Leibniz. En cambio, Cauchy, tras D’Alembert, se invierte el orden lógico de Leibniz y sus sucesores: el derivado de sí mismo se convirtió en el objeto fundamental, que se define como un límite de los cocientes de diferencia, y los diferenciales se definieron a continuación, en términos de la misma. Es decir, uno era libre de definir el diferencial dy por una expresión dy = f’(x)dx

en el que dy y dx son simplemente nuevas variables tomando finitos valores reales, no fija los infinitesimales como lo habían sido por Leibniz.

De acuerdo con Boyer (1959, P. 12), el enfoque de Cauchy fue una mejora significativa sobre el enfoque lógico infinitesimal de Leibniz, ya que, en lugar de invocar la noción metafísica de los infinitesimales, las cantidades dy y dx ahora podría ser manipulado exactamente de la misma manera que cualquier otras cantidades reales de una manera significativa. enfoque conceptual global de Cauchy de las diferencias sigue siendo el estándar en los modernos tratamientos de análisis, aunque la última palabra en el rigor, una noción completamente moderna del límite, en última instancia, debido a la Karl Weierstrass.

En los tratamientos físicos, tales como los aplicados a la teoría de la termodinámica, el punto de vista infinitesimal aún prevalece. Courant y John (1999, P. 184) lograron conciliar el uso físico de las diferencias infinitesimales con la imposibilidad matemática de la siguiente manera. Las diferencias finitas representan valores no nulos que son más pequeñas que el grado de precisión que se requiere para el propósito particular de que están destinados. Así, “infinitesimales física” no es necesario recurrir a un matemático infinitesimal correspondientes a fin de tener un sentido preciso.

Tras los acontecimientos del siglo XX en análisis matemático y geometría diferencial, quedó claro que la noción de la diferencia de una función podría ampliarse en una variedad de maneras. En análisis real, es más conveniente tratar directamente con la diferencia de que la parte principal del incremento de una función. Esto lleva directamente a la noción de que el diferencial de una función en un punto es funcional lineal de un incremento Δx. Este enfoque permite que el diferencial (como una aplicación lineal) a desarrollar para una variedad de espacios más sofisticados, en última instancia, dando lugar a nociones como la Fréchet o Gâteaux derivados.

Del mismo modo, en geometría diferencial, la diferencial de una función en un punto es una función lineal de un vector tangente (un “desplazamiento infinitamente pequeño”), que presenta como una especie de una forma: la derivada exterior de la función.

5.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Y DE TASAS RELACIONADAS.

En el caso más simple, esto significa que la solución de problemas en los que se busca reducir al mínimo o maximizar un función real por la elección sistemática de los valores de real o entero variables dentro de un conjunto permitido. Esta formulación, mediante un escalar de valor real de la función objetivo, es probablemente el ejemplo más simple, la generalización de la teoría y técnicas de optimización para otras formulaciones abarca una gran área de matemáticas aplicadas. De manera más general, significa la búsqueda de “mejores técnicas disponibles” los valores de alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y los diferentes tipos de dominios.

La técnica de optimización en primer lugar, que se conoce como descenso más rápido, se remonta a Gauss. Históricamente, el primer término que se introdujo fue “programación lineal”, que se debió a George B. Dantzig, aunque gran parte de la teoría había sido introducida por Leonid Kantorovich en 1939. Dantzig publicó el algoritmo simplex en 1947, y John von Neumann desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año. El término de programación en este contexto no se refiere a equipo de

programación. Por el contrario, el término proviene de la utilización de programa de los militares de Estados Unidos para referirse a la formación propuesta y logística horarios, que fueron los problemas que Dantzig estaba estudiando en ese momento.

Otros matemáticos importantes en el campo de optimización son:

* Richard Bellman * Ronald A. Howard * Leonid Kantorovich * Narendra Karmarkar * William Karush * Leonid Khachiyan * Bernard Koopman * Harold Kuhn * Louis Joseph Lagrange * László Lovász * Arkadii Nemirovskii * Yuri Nesterov * John von Neumann * Boris Polyak * Lev Pontryagin * James Renegar * R. Rockafellar Tyrrell * Cornelis Roos * Naum Z. Shor * Michael J. Todd * Albert Tucker

Importantes Subcampos

Convexo de programación estudia el caso en que la función objetivo es convexo y las limitaciones que, en su caso, forman un conjunto convexo. Esto puede ser visto como un caso particular de la programación no lineal, o como la generalización de la programación lineal o cuadrática convexa.

o Programación lineal (LP), es un tipo de programación convexa, estudia el caso en que la función objetivo f es lineal y el conjunto de restricciones se especifica utilizando sólo las igualdades y desigualdades lineales. Este conjunto se denomina poliedro o una politopo si es delimitadas. o De segundo orden de programación de cono (SOCP) es un programa convexo, e incluye ciertos tipos de programas de segundo grado. o Semidefinida programación (SDP) es un subcampo de optimización convexa donde las variables subyacentes son semidefinida matrices. Es la generalización de la programación lineal y cuadrática convexa. o Cónica de programación es una forma general de la programación convexa. LP, SOCP y SDP todos pueden ser vistos como programas cónica con el tipo apropiado de cono. o Geométrica de programación es una técnica mediante la cual las limitaciones

objetivas y la desigualdad expresada en posynomials y restricciones de igualdad como monomios se puede transformar en un programa convexo.

Programación entera estudios de programación lineal en el que algunas o todas las variables se ven obligados a asumir entero valores. Esto no es convexo, y en general mucho más difícil que la programación lineal ordinario.

Cuadrática de programación permite que la función objetivo de tener términos de segundo grado, mientras que el conjunto A se debe especificar con igualdades y desigualdades lineales. Para las formas específicas de la expresión cuadrática, se trata de un tipo de programación convexa.

De programación no lineal estudia el caso general en el que la función objetivo o restricciones, o ambos contienen partes no lineal. Esto puede o no puede ser un programa convexo. En general, la convexidad del programa incide en la dificultad de resolver más de la linealidad.

programación estocástica estudia el caso en el que algunas de las limitaciones o parámetros dependen de variables aleatorias.

Robusta de programación es decir, la programación estocástica, un intento de capturar la incertidumbre en los datos subyacentes del problema de optimización. Esto no se hace a través del uso de variables aleatorias, pero en su lugar, el problema se resuelve teniendo en cuenta las inexactitudes en los datos de entrada.

De optimización combinatoria tiene que ver con problemas en los que el conjunto de soluciones factibles es discreto o se puede reducir a un discretos una.

optimización de dimensión infinita estudia el caso cuando el conjunto de soluciones factibles es un subconjunto de un infinito-dimensiones espacio, como un espacio de funciones.

Metaheurísticas que pocas o ninguna hipótesis sobre el problema que se está optimizando y puede buscar espacios muy grandes de las soluciones candidatas. Sin embargo, metaheurísticas no garantizan una solución óptima es que se ha encontrado.

De satisfacción de restricciones estudia el caso en que la función objetivo f es constante (esto se utiliza en inteligencia artificial, Sobre todo en razonamiento automatizado).

o Restricción de programación. programación disyuntivas utiliza cuando al menos una restricción debe ser satisfecho, pero no

todos. De uso particular, en la programación.

En una serie de sub-campos, las técnicas están diseñadas principalmente para la optimización en contextos dinámicos (es decir, la toma de decisiones en el tiempo):

Cálculo de variaciones busca optimizar un objetivo definido en muchos puntos en el tiempo, considerando cómo los cambios de la función objetivo si hay un pequeño cambio en la trayectoria elección.

Control óptimo la teoría es una generalización del cálculo de variaciones. Programación dinámica estudia el caso en el que se basa la estrategia de optimización de dividir

el problema en subproblemas más pequeños. La ecuación que describe la relación entre estos subproblemas se llama el Ecuación de Bellman.

De programación matemática con restricciones de equilibrio es donde las restricciones son desigualdades variacionales o complementariedades.