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INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE APATZINGN

CALCULO INTEGRAL

INGENIERIA EN INFORMATICA

UNIDAD 4. SERIES

DOCENTE:CEDILLO CRUZ LEILA YADIRA

ALUMNO:OSEGUERA RODRIGUEZ ARTURORODRIGUEZ BETANCOURT RENE IVANMEDINA GOMEZ ALAN JOSUE

UNIDAD 4. SERIES4.1. DEFINICION DE SERIES.En matemticas, una serie es la suma de los trminos de una sucesin. Se representa una serie con trminos an como: Donde n es el ndice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los nmeros naturales, es decir, i=1,2,3....Las series convergen o divergen. En clculo, una serie diverge si:No existe o si tiende a infinito; puede converger si: Serie FinitaUna serie numrica es un conjunto especial de nmeros que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condicin, as por ejemplo.2, 4, 6, 8, 10, 12, 142, 4, 8, 16, 32, 64,....1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/53, 6, 10, 12, 14, 20Cuando la sucesin tiene un ltimo trmino se dice que la sucesin es finita.Ejemplo: Sea f la funcin definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}f(1)= 2x1=2f(2)= 2x2=4f(3)= 2x3=6f(4)= 2x4=8(2,4,6,8)f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier numero del intervalo [1, 4]Serie InfinitaUna parte importante del estudio del Clculo trata sobre la representacin de funciones como sumas finitas. Realizar esto requiere extender la operacin familiar de adicin de un conjunto finito de nmeros a la adicin de una infinidad de nmeros. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de lmite en el que se consideran sucesiones.Suponga que asociada a la sucesin U1, U2, U3,, Un,Se tiene una suma infinita denotada porU1+ U2 + U3 ++ Un+Pero Qu es lo que significa esta expresin? Esto es, Qu debe entenderse por la suma de n nmero infinito de trminos, y en qu circunstancias dicha suma existe?Teorema Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma, suponga que un trozo de cuerda de 2 pie de longitud se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie de longitud se aparta y el otro y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de los trozos resultantes de pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad obtenindose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud, otra vez, uno de los trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se contina este procedimiento en forma indefinida, el nmero de pies de la suma de las longitudes de los trozos apartados puede considerarse como la suma infinita1+ + + 1/8+ 1/16 ++ (1)/(2(N-1))Como se inicio con un trozo de cuerda de 2 pie de longitud, nuestra intuicin nos indica que la suma infinita (1) debe ser 2. Definiciones preliminares.

A partir de la sucesinU1, U1, U3,, Un,Se forma una nueva sucesin (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un):S1=U1S2=U1+U2S3=U1+U2+U3S4=U1+U2+U3+USn=U1+U2+U3+U4++UnL a sucesin (An) obtenida de esta manera a partir de la sucesin (Sn) es una secesin de sumas parciales llamada serie infinita.

Definicin de serie infinitaSi (Un) es una sucesin y Sn=A1+A2+A3+A4++UnEntonces ( Sn) es una secesin de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

Los nmeros A1, A2, A3,, An, son los trminos de la serie infinita

4.2. SERIE NUMRICA Y CONVERGENCIA. PRUEBA DE RAZN Y RAZ.Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (tambin llamados elementos o trminos ), y el nmero de trminos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta funcin.---- Criterio De D'Alembert (Criterio De La razn).Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de trminos positivos).Si existe, con el Criterio de D'Alembert establece que: si L < 1, la serie converge. si L > 1, entonces la serie diverge. si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.---- Criterio De Cauchy (Raz Rnsima).Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de trminos positivos). Y supongamos que existe, siendo: L < 1, la serie es convergente. L > 1 entonces la serie es divergente. L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparacin, para ver si podemos llegar a alguna conclusin.

4.3. SERIES DE POTENCIAS.Las series finitas que se han estudiado hasta este momento han consistido solo de trminos constantes. Ahora se trata un tipo importante de series de trminos variables denominadas series de potencias, las cuales pueden considerarse como una generalizacin de de una funcin polinomial. En las secciones restantes de este captulo se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para calcular valores de funciones tales como sean x, ln x y (x)1/2, las cuales no se pueden evaluar mediante las operaciones aritmticas conocidas y empleadas para determinar valores de funciones racionales.Definicin de una serie de potencias:Una serie de potencias en x-a es una serie de la formaCo+C1(x-c)+C2(x-c)2++Cn(x-c)n+

Si la serie de potencias expuesta anteriormente es convergente para x= x1(x1diferente de 0), entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales [x]