unidad 4 clase 6.3 tema: sistema de ecuaciones lineales
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UNIDAD 4 Clase 6.3 Tema: Sistema de Ecuaciones Lineales. Matemática Básica para Economistas MA99. Objetivos. Definir el concepto de sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) Clasificar un S.E.L. de acuerdo con su conjunto solución. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Matemática Básica para Economistas MA99
UNIDAD 4
Clase 6.3
Tema: Sistema de Ecuaciones Lineales
Objetivos
Definir el concepto de sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.)Clasificar un S.E.L. de acuerdo con su conjunto solución.Definir el concepto de S.E.L. homogéneos.Resolver un S.E.L. mediante el método de eliminación.Presentar un S.E.L. en forma matricial.Resolver un S.E.L. con matrices, a través del método de Gauss (matriz escalonada)
pag.: 152 - 163
Introducción: un problema de inversiones
Un inversionista colocó $100 mil en dos proyectos, el primero de ellos le rindió una tasa de 5% durante el primer año y el segundo, una tasa de 10%. Si durante el primer año obtuvo una rentabilidad total del 8%, ¿cuánto invirtió en cada proyecto?
Un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) es una colección de dos o más ecuaciones lineales, cada una con dos o más variables (incógnitas).
Una solución de un S.E.L. consta de valores de las variables para los cuales cada ecuación del sistema se verifica.
Al conjunto de todas las soluciones se le llama Conjunto Conjunto SoluciónSolución (C.S.) del S.E.L.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Definición
Sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x1, x2 ,..., xn :
a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2+... + amn xn = bm
.... .. .. ..
Los aij se denominan coeficientes, los bi se denominan terminos independientesSi los bi son nulos, el S.E.L. Se llama homogéneo.
Interpretación geométricaCada ecuación representa una recta:
x + 2y = 72x + y = 8
----------
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + y = 8
. (3,2)
El punto de El punto de corte es la corte es la única solución.única solución.Sistema Sistema compatible - compatible - determinadodeterminado
C.S. = {(3;2)}C.S. = {(3;2)}x
y
x + 2y = 7 2x + 4y = 14
---------
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + 4y = 142x + 4y = 14
Interpretación geométrica
Rectas Rectas coincidentes: coincidentes: infinitas infinitas solucionessolucionesSistema Sistema compatible - compatible - indeterminadoindeterminado
C.S. = {(x;y) C.S. = {(x;y) ЄЄ R R22 / x + 2y = 7} / x + 2y = 7}
x
y
x + 2y = 7 2x + 4y = 8
--------
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + 4y = 8
Interpretación geométrica
Rectas paralelas: Rectas paralelas: no admite solución. no admite solución. Sistema Sistema IncompatibleIncompatibleC.S. = C.S. = ØØx
y
Determinado: solución única.
Indeterminado : infinitas soluciones.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
COMPATIBLE
INCOMPATIBLE
CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO
Sistema de Ecuaciones Lineales con tres variables
Los métodos para resolver un S.E.L. con dos variables pueden usarse también para resolver un S.E.L. con tres variables. Sin embargo, en esta clase nos concentraremos en los métodos matriciales.
Una ecuación lineal general con 3 variables es una Una ecuación lineal general con 3 variables es una ecuación de la forma:ecuación de la forma:
ax + by + cz = dax + by + cz = ddonde, a, b, c y d son constantesdonde, a, b, c y d son constantes
4 16 3
x y z2x y + z3x +2y- 2z 2
Ejemplo resolver el sistema por eliminaciónalgebraica
10z2y3x2z2yx9zy2x
5z0y0x20zy0x30z0yx
¿Qué sistema es más fácil de resolver?
Pivot de una fila
Definición:Pivot de la fila i, es el 1er elemento distinto de cero que se encuentra en la fila i de la matriz.
niki aa ,,00
ai,k≠0 pivot de la fila i
Matriz escalonada por filas
Definición:Una matriz se llama escalonada por filas si:1. Todas las componentes que se encuentran
debajo del pivot de una fila son ceros.2. Todas las filas nulas se encuentran al final
de la matriz.
Matriz escalonada reducida por filasDefinición:Una matriz se llama escalonada reducida por filas si, además de ser escalonada por filas se cumple que:
1. Todos los pivots son iguales a 1.
2. En cada columna donde el pivot es 1 los otros elementos son iguales a cero.
Ejemplos:
210001301012
Matriz escalonada por filas
Matriz escalonada reducida por filas
31004010
2001
Rango de una matrizLlamaremos rango de la matriz A, al número de filas no nulas de la matriz escalonada que se obtenga de la matriz A.
982663
325A Al escalonar se
obtiene:
000**0***
* Indica valor diferente de cero, luego su rango es 2
OBS:Dos matrices equivalentes tiene el mismo rango.
Matriz Escalonada
762153424121
AEjemplo: Hallar el rango de la matriz A.
RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS MATRICIAL
Para resolver el sistema, se requiere el Para resolver el sistema, se requiere el uso de la uso de la matriz ampliadamatriz ampliada del sistema, la del sistema, la cual se define como [A:B]cual se define como [A:B]
A.X = BA.X = B
02
4
643171
352
Luego, se sustituye A por la matriz escalonada Luego, se sustituye A por la matriz escalonada equivalente, aplicando operaciones equivalente, aplicando operaciones elementales.elementales.
RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS
4242334123
22
zyxzyxzyxzyx
4242313412132121
0000551105550
2121
Ejemplo:Ejemplo: Resolver el Resolver el sistemasistema
Solución:Solución: la matriz ampliada [A:B] la matriz ampliada [A:B]
000055110
11102121
0000660011102121
0000110011102121
1 1 22
zzyzyx
~ ~
~ ~
RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS
1532203
21
21
21
xxxxxx
Ejercicios:Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas Resolver los siguientes sistemas
0523042
zxzyx
Análisis de un SEL mediante el rango
1.- El sistema es compatible solamente si 1.- El sistema es compatible solamente si rango [A:B] = rango [A]rango [A:B] = rango [A]
2.- Si rango [A:B] = rango [A] = n (número 2.- Si rango [A:B] = rango [A] = n (número de incógnitas), entonces el sistema tiene de incógnitas), entonces el sistema tiene solución única.solución única.
3.- Si rango [A:B] = rango [A] = r < n, 3.- Si rango [A:B] = rango [A] = r < n, entonces el sistema tiene infinitas entonces el sistema tiene infinitas soluciones. En este caso se eligen n-r soluciones. En este caso se eligen n-r variables libres (parámetros)variables libres (parámetros)
4.- El sistema es incompatible solamente si 4.- El sistema es incompatible solamente si rango [A:B] ≠ rango [A]rango [A:B] ≠ rango [A]
Resuelva ud.:
pag.: 261
Ejercicios: 21, 22, 23, 24, 29 y30