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7/23/2019 unidad 3 soto.docx

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Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de

muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, teorema de Nyquist, es un teoremafundamental de la teoría de la información, de esecial interés en las telecomunicaciones!

El teorema trata del muestreo, que no debe ser confundido o asociado con lacuanti"cación, roceso que si#ue al de muestreo en la di#itali$ación de una se%al y que, alcontrario del muestreo, no es reversible &se roduce una érdida de información en elroceso de cuanti"cación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en unadistorsión conocida como error o ruido de cuanti"cación y que establece un límite teóricosuerior a la relación se%al-ruido'! (icho de otro modo, desde el unto de vista delteorema, las muestras discretas de una se%al son valores e)actos que a*n no han sufridoredondeo o truncamiento al#uno sobre una recisión determinada, es decir, a*n no han

sido cuanti"cadas!El teorema demuestra que la reconstrucción e)acta de una se%al eriódica continua enbanda base a artir de sus muestras, es matem+ticamente osible si la se%al est+ limitadaen banda y la tasa de muestreo es suerior al doble de su ancho de banda!

(icho de otro modo, la información comleta de la se%al analó#ica ori#inal que cumle elcriterio anterior est+ descrita or la serie total de muestras que resultaron del roceso demuestreo! No hay nada, or tanto, de la evolución de la se%al entre muestras que no estéerfectamente de"nido or la serie total de muestras!

Si la frecuencia m+s alta contenida en una se%al analó#ica es y la se%al se

muestrea a una tasa , entonces se uede recuerar totalmente aartir de sus muestras mediante la si#uiente función de interolación!

ay que notar que el conceto de ancho de banda no necesariamente es sinónimo delvalor de la frecuencia m+s alta en la se%al de interés! las se%ales ara las cuales esto sí es cierto se les llama se%ales de banda base, y no todas las se%ales comarten talcaracterística &or e.emlo, las ondas de radio en frecuencia modulada'!



Si el criterio no es satisfecho, e)istir+n frecuencias cuyo muestreo coincide con otras &elllamado aliasin#'!

Retenedor de orden cero y sujetador

En un muestreador ideal, un interrutor se cierra cada eríodo de muestreo / ara admitiruna se%al de entrada! 0n muestreador convierte una se%al de tiemo continuo en un trende ulsos que se resenta en los instantes de muestreo t 1 2,/,3/,!!!

4a retención de datos es un roceso de #eneración de una se%al de tiemo continuo h&t' aartir de una secuencia en tiemo discreto )&k/'! 0n circuito de retención convierte lase%al muestreada en una se%al de tiemo continuo, que reroduce aro)imadamente lase%al alicada al muestreador!Este retenedor de datos se conoce como retenedor de orden cero, o su.etador o #eneradorde se%al de escalera!

El circuito de retención m+s simle es el 5etenedor de 6rden 7ero &567', este circuitoretiene la amlitud de la muestra en un instante de muestreo al si#uiente! 4a función detransferencia del 567, 8567&s' es9



Ecuación característica de una mátriz

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

La matriz ( A - λ·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y λ un escalar indeterminado, se

denomina matriz característica de A:

Su determinante, det ( A - λ·In) , que es un polinomio en λ, recibe el nombre de

polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a: det ( A - λ·In) ! Ecuación característica de A.

"#emplo: $allar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

La matriz característica ser% ( A - λ·In). Lue&o:

y el polinomio característico,



Así pues, el polinomio característico es λ ' - λ .

Filtros digitales

4os "ltros di#itales son sistemas son usados ara modi"car el esectro de una se%al,mediante el uso de hard:are di#ital como bloque funcional b+sico &un (S; o un <;8 , ore.emlo'! Sus características los hacen aroiados un amlio camo de alicaciones, entrelas que se encuentra comresión de datos, rocesamiento de se%ales biomédicas,rocesamiento di#ital de audio, rocesamiento de vo$ o rocesamiento de im+#enes!

Se utili$an, al i#ual que los "ltros an+lo#os, ara acondicionar se%ales se#*ncaracterísticas esecí"cas, e)traer información de ellas o searar dos o m+s se%alesreviamente combinadas! 7onsisten fundamentalmente en un al#oritmo mediante el cualuna se%al di#ital o secuencia numérica denominada =entrada> se transforma en unase#unda secuencia de n*meros denominada se%al di#ital de salida!

4os "ltros di#itales se caracteri$an, en términos #enerales, or ser sistemas redecibles,?e)ibles, simulables, consistentes y recisos! ;or una arte, es osible cambiar suseseci"caciones mediante la rero#ramación, sin la adición de comonentes discretoscomo caacitores, resistores o bobinas &normalmente con un tama%o considerable y convariaciones en el funcionamiento deendiente de la temeratura o la humedad'!

(e otro lado, su car+cter di#ital ermite calcular y simular su reuesta usandorocesadores de uso #eneral, y también imlementar toolo#ías no reali$ables medianteel uso de comonentes físicos convencionales! En síntesis, estos sistemas incororan lasventa.as roias de los rocesadores di#itales, al "ltra.e se se%ales, si se quiere en tiemoreal!

esar de sus indiscutibles venta.as, los "ltros di#itales tienen una limitación inherente,que consiste en la imosibilidad de cumlir con los requerimientos del criterio de Nyquistde un ancho de banda estrictamente limitado revio al rocesamiento di#ital de datosmuestreados &ya sea un conversor @( o un "ltro basado en (S;'!

Se hace entonces necesario receder el bloque de rocesamiento di#ital de un "ltro asabanda an+lo#o, como una arte obli#atoria del sistema ara revenir el aliasin#, queaarece cuando el ancho de banda de la se%al de entrada es mayor que la mitad de lafrecuencia de muestreo! Esto se uede visuali$ar claramente en la sección =<unctionalAlock (ia#ram> del manual S4S2BC de la interfa$ de circuito an+lo#a DB donde seobserva un bloque an+lo#o de re"ltrado que uede ser ro#ramado mediante un valordeterminado en el re#istro de control del F7! ;or esta ra$ón, los "ltros di#itales no sonsiemre es la me.or solución! D3



l momento de esco#er los "ltros que formar+n arte de una determinada alicación, esnecesario considerar asectos como el costo y utili$ación de recursos del sistema&conversión, car#a en el rocesador, memoria, iniciali$ación y consumo de otencia'roios de una imlementación di#ital y comararlos con su contraarte an+lo#a! Esto se

.usti"ca, ya que en la actualidad se disone de "ltros an+lo#os inte#rados dedicados ymatched o ams de alto deseme%o, que ermiten reali$aciones efectivas de "ltrosactivos, haciendo atractivo el emleo de dise%os an+lo#os en al#unas alicaciones! Elroblema de in#eniería se resuelve una ve$ el dise%o an+lo#o cuente con comonentes deba.o ruido!

El dise%o de "ltros di#itales normalmente involucra una etaa de aro)imación, en la quese #enera una función de transferencia que satisface las eseci"caciones de la alicación,y en donde normalmente se estudian resuestas tanto en el dominio de la frecuenciacomo del tiemo!

4ue#o se lleva a cabo la reali$ación, en la que la función de transferencia se e)resa entérminos de una toolo#ía o redes de "ltros, se#*n las características del roblema y ladisonibilidad de recursos en el rocesador! 4os dos asos anteriores arten de la base deun sistema de recisión in"nita, y es or eso que se debe tener una etaa deimlementación, relacionada con el hard:are disonible y las rutinas de ro#ramación delrocesador seleccionado! Este, or tener una recisión "nita, obli#a al dise%ador aestudiar los efectos de los errores matem+ticos en la resuesta del "ltro!

0na amlia variedad de "ltros di#itales es descrita or medio de una ecuación dediferencias lineal de coe"cientes constantes, que relaciona la secuencia de entrada del"ltro )&n' y la secuencia de salida del mismo y&n'9

Estos sistemas ueden ser reresentados or su secuencia de resuesta al imulso h&k'donde k12,B,3,!!, y la se%al de salida se obtiene a artir de oeraciones de suma yconvolución de dicha secuencia con la se%al di#ital de entrada! En términos de sureuesta al imulso los "ltros di#itales se clasi"can de dos formas9 <F5 &<inite Fmulse5esonse' o "ltros de resuesta "nita al imulsoG e FF5 &Fn"nite Fmulse 5esonse' o "ltrosde resuesta in"nita al imulso, que deben su comortamiento a la e)istencia de la$os derealimentación en su estructura! Este ser+ el tema de estudio de las si#uientes secciones!

FITR!S FIREl modelo matem+tico de los "ltros <F5 también se fundamenta la ecuación de diferencias&H-B' , ero con la articularidad de que todos los coe"cientes ak son i#uales a cero! Setiene entonces que la ecuación que los describe es función del con.unto de coe"cientes bky de la secuencia de entrada )&n'!



donde IJB corresonde a la lon#itud del "ltro! Este sistema considera sólo las ultimas

IJB muestras de la se%al de entrada y las ondera mediante los coe"cientes bk ! estesistema se le denomina <F5, ya que su resuesta al imulso unitario &dada or loscoe"cientes bk' es "nita!

Su dise%o requiere la selección de la secuencia que me.or reresenta la resuesta aimulso de un "ltro ideal! 4os "ltros <F5 son siemre estables y son caaces de tener unaresuesta lineal en fase! <rente a los "ltros FF5 resentan la desventa.a de requerir unorden mucho mayor! 4a salida del "ltro es una suma "nita de la entrada resente y las Ientradas revias al "ltro! En los sistemas lineales se tiene que la salida yDn uedee)resarse como la convolución de la se%al de entrada con la función de resuesta alimulso del "ltro!

7omarando esta *ltima ecuación con &H-3' se tiene que

y or lo tanto los coe"cientes del "ltro son equivalentes a la resuesta al imulso del "ltro!l alicar un imulso a la entrada del sistema, se obtiene a la salida una resuesta de

lon#itud limitada!7uando se describe un sistema causal con resuesta "nita al imulso, se usannormalmente estructuras no-recursivas! En tales casos la función del sistema tiene laforma

(onde se tiene que9

Siendo )&n' la entrada, y&n' la salida h&n' la función de resuesta al imulso y &$' , L&$' y&$' sus resectivas transformadas M! (e &H-H' se tiene que &$' es un olinomio de ordenN-B, que tiene olos en $12 y N-B ceros que ueden estar en cualquier arte del lano $D!



Esta ecuación uede ser reresentada mediante la estructura de la "#ura si#uiente y esconocida como <orma (irecta &los coe"cientes del "ltro se ueden leer directamente de laecuación de diferencias'! 4as ramas marcadas con $ -B corresonden a un retraso de uneriodo de muestreo en la ecuación &H-' y a una multilicación or $ -B en &H-C'!

En la sección C!H de D se discuten arquitecturas alternativas, al i#ual que

consideraciones de linealidad de fase y simetría! (e momento basta con aclarar que laresuesta al imulso de los sistemas <F5 con fase lineal resentan la característica 9

FITR!S IIR

4os concetos utili$ados en el estudio de los "ltros <F5 ueden ser arovechados ara los"ltros FF5! El unto de artida nuevamente es la ecuación de diferencias lineal decoe"cientes constantes &H-B'

;ero en este caso or lo menos uno de los coe"cientes ak no es cero! sí, se tiene que latransformada $ de la resuesta al imulso unitario de la función de transferencia es9

Siendo )&n' la entrada, y&n' la salida h&n' la función de resuesta al imulso y &$' , L&$' y

&$' sus resectivas transformadas M! 4a ecuación &H-O' uede ser imlementada dediferentes formas! 4as m+s utili$adas y estudiadas son la <orma (irecta, la <orma de7ascada y la <orma ;aralela! Su desarrollo se observa en la sección de imlementación enel (SKD!

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