unidad 3 sistemas de ecuaciones lineales

1.Sistemas de Ecuaciones

2. 2
Justificacin
Los sistemas de ecuaciones son una de las herramientas ms tiles dentro del estudio de las matemticas. Podemos resolver innumerables situaciones usando los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde las ciencias naturales, la matemtica, las ramas de administracin de empresas, la ingeniera, etc. Espero que este mdulo sirva de gua para que los estudiantes se inicien en la comprensin de los conceptos bsicos de los sistemas de ecuaciones.
3. Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin .
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Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin.
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de eliminacin.
4. 4
6. Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad en Certificados de Deposito a una tasa del5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AAque pagan un11% anual. Cunto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al ao?
5. Sistemas de Ecuaciones
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Objetivos:
Definir el concepto de sistema de ecuaciones.
Verificar si un par ordenado es solucin de un sistema 2 x 2.
Resolver un sistema 2 x 2 por el mtodo de sustitucin.
Resolver un sistema 2 x 2 por el mtodo de grfico.
Resolver un sistema 2 x 2 por el mtodo de eliminacin por adicin
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DefinicinUn sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o ms ecuaciones simultneas.
Ejemplos:
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AclaracinEl tamao de un sistema de ecuaciones est determinado por el nmero de ecuaciones y el nmero de variables. Un sistema con tres ecuaciones y con tres variables se dice que es un sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres variables se dice que es un sistema 2x3.Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales, al sistema se le llama sistema ecuaciones lineales. De lo contrario se le llama sistema de ecuaciones no lineal.
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DefinicinUna solucin de un sistema 2x2 es un par ordenado (x,y) que hace cierta cada una de las ecuacines del sistema.Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el conjunto de todas las soluciones del sistema. El conjunto formado por todas las soluciones de un sistema de ecuaciones se conoce como el conjunto solucin del sistema.
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Ejemplo:Verifica si el par ordenado es una solucin del sistema de ecuaciones.
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Existen varios mtodos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos,
Mtodo grfico
Mtodo de sustitucin
Mtodo de eliminacin por adicin
Regla de Cramer
Mtodo de la matrz aumentada
Mtodo de matrices
En esta seccin solo trataremos el mtodo grfico, el mtodo de sustitucin y el mtodo de eliminacin por adicin para sistemas de ecuaciones 2x2.
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Tipos de sistemas de ecuacionesLos sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en tres tipos dependiendo de su conjunto de soluciones.
Sistema consistente independiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen una nica solucin. Las grficas de las lneas sondiferentes.
Sistema consistente dependiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen infinitas soluciones. Las dos grficas de las lneas son iguales.
Sistema inconsistente independiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen solucin. Las dos grficas de las lneas son paralelas.
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MTODO GRFICO PARA SISTEMAS 2X2
Procedimiento
Las soluciones del sistema de ecuaciones sern los puntos de interseccin entre las dos grficas.
Construya la grfica de cada ecuacin.
Aclaracin:
Este mtodo es til solo si podemos leer con precisin los puntos de interseccin entre las grficas. En la mayora de los casos eso no es posible.
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Ejemplos:Resuelve cada sistema de ecuacioes por el mtodo grfico
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Las dos lneas son
paralelas, no tienen
puntos de interseccin.
El conjunto de soluciones
es vaco.
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El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las lneas.
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El conjunto solucin
contiene dos pares
ordenados.
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MTODODE SUSTITUCIN PARA SISTEMAS 2X2
PROCEDIMIENTO
1. Despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.
2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuacin. Esto producir el valor de una de las variables.
3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.
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Ejemplos:Resuelve usando el mtodo de sustitucin.
Escogiendo la ecuacin,, tenemos
Sustituyendo en la otra ecuacin tenemos,
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuacin tenemos
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Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuacin tenemos,
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Multiplicando la ecuacin por 16 tenemos,
Sustituyendo en la ecuacin tenemos,
Mtodo de Eliminacin por AdicinEste mtodo consiste en sumar o restar las ecuaciones con el objetivo que se elimine una de las variables.
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Procedimiento:
Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando las ecuaciones por los nmeros correspondientes.
Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.
Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede reemplazar por una sustitucin.
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Multiplicando la segunda ecuacin por -2 obtenemos,
Restando las ecuaciones obtenemos,
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Multiplicando la segunda ecuacin por -3 y la primera
por 2 obtenemos,
Sumando las ecuaciones obtenemos,
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Observacin:
Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar
el mtodo de sustitucin.
Sustituyendo y = 1 en la ecuacin,
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Multiplicando la primera ecuacin por 2 obtenemos,
Falso
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Multiplicando la primera ecuacin por 2 obtenemos,
Cierto
Aplicaciones:1.El precio de un boleto para cierto evento es de$2.25 para adultos y$1.50 para nios.Si se venden 450 boletos para un total de $ 777.75;cuntos boletos de cada tipo se vendieron?
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Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
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2. Una lancha de vapor operada a toda mquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos.El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda mquina) lo hizo en 10 minutos.Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora.
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Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
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36. Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones
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Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin.
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6. Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AAque pagan un11% anual. Cunto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al ao?
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Respuestas de la pre y pos prueba
1) x = 1, y =-4
2) x= 3, y = 8
3) x = 1, y =-3
4) x = -1, y = 1
5) x = 5, y = -2
6) $ 110,000 al11% y $ 60,000 al5%

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