UNIDAD 3 DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos

gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de

exactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este

evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”. Bajo estas circunstancias, como en cualquier

aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para

determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.

El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución

óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.

Definiciones generales del Análisis de sensibilidad

Efecto neto.- Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable que

entra a la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero.

Cambios en los coeficientes de la función objetivo.

El cambio de una variable se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en el

precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en

el costo de una materia prima para un objetivo de minimización.

Finalmente, se estudiara por separado si la modificación es para una variable no-

básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muy

diferentes.

Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica.

Es importante mencionar que una variación en el coeficiente de una variable no-

básica, no necesariamente conlleva a una infracción no mejorada a la solución

óptima actual, aunque en ciertas ocasiones si lo haga.

3.1. TEORÍA PRIMA-DUAL.

El problema dual se define sistemáticamente a partir del modelo de PL primal (u

original). Los dos problemas están estrechamente relacionados en el sentido de

que la solución óptima de uno proporciona automáticamente la solución óptima al

otro.

En la mayoría de los tratamientos de PL, el dual se define para varias formas del

primal según el sentido de la optimización (maximización o minimización), los tipos

de restricciones (≤ ,≥,o=¿), y el signo de las variables (no negativas o restrictivas).

Requiere expresar el problema primal en la forma de ecuación (todas las

restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo, y todas las variables

son negativas). Este requerimiento es consistente, de ahí que cualesquier

resultados obtenidos a partir de la solución óptima primal se aplica diferente al

problema dual asociado.

Las ideas clave para construir el dual a partir del primal se resumen como sigue:

1. Asigne un variable dual por cada restricción primal.

2. Construya una restricción dual por cada variable primal.

3. Los coeficientes de restricción y el coeficiente objetivo de la variable

primal j-ésima definen respectivamente los lados izquierdos y derecho

de la restricción dual j-ésima.

4. Los coeficientes objetivo duales son iguales a los lados derechos de

las ecuaciones de restricción primales.

5. Las reglas rigen el sentido de la optimización de las desigualdades y

los signos de las variables en el dual.

3.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL.

Hemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una

extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar

utilidades o minimizar costos. Las variables de decisión en tales problemas fueron,

por ejemplo, el número de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear,

etc. En cada caso la solución óptima no explicó cómo podrían ser asignados los

recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las máquinas, el dinero, etc.) para

obtener un objetivo establecido.

En este capítulo veremos que a cada problema de programación lineal se le

asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema de

programación dual. La solución óptima del problema de programación dual,

proporciona la siguiente información respecto del problema de programación

original:

1. La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado

o los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.

2. La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del

problema original y viceversa.

REGLAS PARA CONSTRUIR EL PROBLEMA DUAL

Objetivo del problema primal

ª

Problema dual

Objetivo Tipo de restricción Signo de las variables

Maximización Minimización ≧ Irrestricta

Minimización Maximización ≦ Irrestricta

PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN

Restricciones Variables

≧ ↔ ≦0

≦ ↔ ≧0

= ↔ Restricciones irrestrictas

Variables

≧0 ↔ ≧

≦0 ↔ ≦

Irrestrictas ↔ =

3.3 DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL

(Relaciones primal-dual)

Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal

denominado problema dual (PD), que posee importantes propiedades y relaciones

notables con respecto al problema lineal original, problema que para diferencia del

dual se denomina entonces como problema primal (PP).

Las relaciones las podemos enumerar como siguen:

a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa

primal.

b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa

primal

c) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos

independientes de las restricciones o RHS del programa primal.

d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los

coeficientes de la función objetivo del problema primal.

e) La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la

matriz técnica del problema primal.

f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo

de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo

de las variables del problema primal y del sentido de las restricciones del mismo

problema.

g) Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un

problema de minimización.

h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original.

Los problemas duales simétricos son los que se obtienen de un problema primal

en forma canónica y ‘normalizada’, es decir, cuando llevan asociadas

desigualdades de la forma mayor o igual en los problemas de minimización, y

desigualdades menores o iguales para los problemas de maximización.

¿Por qué se plantea el programa dual?

¿Qué significado tiene su solución?

¿La solución del dual se puede obtener desde el primal?

Por una parte permite resolver problemas lineales donde el número de

restricciones es mayor que el número de variables.

Gracias a los teoremas que expondremos a continuación la solución de unos de

los problemas (primal o dual) nos proporciona de forma automática la solución del

otro programa.

La dualidad permite realizar importantes interpretaciones económicas de los

problemas de programación lineal.

La dualidad permite generar métodos como el método dual del simplex de gran

importancia en el análisis de pos optimización y en la programación lineal

paramétrica.

Bibliografía o cibergrafia

investigaciondeoperaciones.net/dualidad_en_programacion_lineal...

3.4 DUAL SIMPLEX

Teoría del método simplex

Para poder aplicar el método simplex a un modelo de programación lineal es

necesario que este se encuentre en su forma estándar.

La forma estándar.

Las características de la forma estándar son:

1.-Todas las restricciones son ecuaciones excepto para las restricciones de no

negatividad que permanecen como desigualdades.

2.-Los elementos del lado derecho de cada ecuación son no negativos.

3.-Todas las variables son no negativas.

4.-la función objetivo es del tipo de Maximización o minimización.

Transformaciones elementales.

1.-Las restricciones de desigualdad pueden cambiarse por ecuaciones

introduciendo en el lado izquierdo de cada una de tales restricciones una variable

no negativa.(estas nuevas variables se conocen como variables de holgura o

superavit las cuales se sumaran si la desigualdad es (Holgura) y se restaran si

la desigualdad es (Superávit o exceso).

2.-El signo del lado derecho (-) puede eliminarse multiplicando la ecuación por  (-

1) en caso de que sea necesario.

3.-Una restricción de desigualdad con su lado izquierdo en forma de valor absoluto

puede cambiarse a dos desigualdades, la desigualdad contraria a la original se le

antepone el signo negativo a su lado derecho.

4.-Una variable que es irrestricta en signo ( esto es positiva, negativa o cero) es

equivalente a la  diferencia entre dos variables no negativas por consiguiente si X

es irrestricta en signo puede remplazarse por (X+-X-) donde X+  y X-  son  0.

5.-Una desigualdad en una dirección ( o ) puede cambiarse a una desigualdad

opuesta ( o ) multiplicando ambos lados por (-1).

6.-Una ecuación puede ser remplazada por dos desigualdades en direcciones

opuestas.

7.-La minimización de una función f(x), es matemáticamente equivalente a la

maximización de la expresión negativa de esta función –f(x), y viceversa.

El método simplex.

Podemos decir que es la determinación algebraica de los puntos extremos del

espacio de soluciones factibles (método gráfico), partiendo de la forma estándar.

En la cual tenemos un sistema con m ecuaciones y n incógnitas.

La diferencia entre el número de ecuaciones y las incógnitas nos dan el número de

variables que son iguales a cero en un punto extremo, las cuales son llamadas

variables no básicas, y las variables restantes son llamadas básicas.

El método simplex inicia con un punto extremo o solución factible básica.

1.-La función objetivo se presenta como una ecuación y al pasarla a la tabla

simplex cambian de signo los coeficientes de la función objetivo.

2.-Se coloca toda la información en una tabla.

3.-El siguiente paso es determinar una solución básica factible ( punto extremo). El

método simplex hace esto eligiendo una variable no básica a la cual se le conoce

como la variable que entra (se convertirá en básica) y una variable básica que se

le conoce como la variable que sale ( se convertirá en no básica). La que entra

está determinada por la condición de optimidad y la que sale por la condición de factibilidad.

4.-Condición de optimidad.- Dada la ecuación X0 (función objetivo) expresada en

función de las variables no básicas solamente, se elige la variable que entra en

maximización como la variable no básica que tiene el mayor coeficiente negativo y

en minimización como la variable no  básica que tiene el mayor coeficiente

positivo, en la ecuación X0. Un empate entre dos variable no básicas o más se

rompe arbitrariamente. Cuando los coeficientes del lado izquierdo de la ecuación

X0 (Función objetivo) son no negativos (maximización) o no positivos

(minimización) se ha llegado al punto óptimo.

5.-Condición de factibilidad.-La variable que sale es la variable básica

correspondiente al cociente más pequeño de los valores actuales de las variables

básicas entre los coeficientes positivos de las restricciones de la variable que

entra. Un empate puede romperse arbitrariamente.

3.5 ANALISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis de sensibilidad busca determinar los efectos que se producen en

la solución óptima al realizar cambios en cualquiera de los parámetros del modelo

de programación lineal planteado inicialmente. Entre los cambios que se

investigan están: los cambios en los coeficientes de las variables en

la función objetivo tanto para variables básicas como para las variables

no básicas, cambios en los recursos disponibles de las restricciones, variación de

los coeficientes de utilización en las restricciones e introducción de una

nueva restricción.

El objetivo principal del análisis de sensibilidad: es identificar el intervalo

permisible de variación en los cuales las variables o parámetros pueden fluctuar

sin que cambie la solución óptima.  Sin embargo, así mismo se identifica

aquellos parámetros sensibles, es decir, los parámetros cuyos valores no pueden

cambiar sin que cambie la solución óptima.  Los investigadores de operaciones

tienden a prestar bastante atención a aquellos parámetros con holguras reducidas

en cuanto a los cambios que pueden presentar, de forma que se vigile su

comportamiento para realizar los ajustes adecuados según corresponda y evitar

que estas fluctuaciones pueden desembocar en una solución no factible.

A modo general, cuando se realiza un análisis de sensibilidad a

una solución óptima se debe verificar cada parámetro de forma

individual, dígase los coeficientes de la función objetivo y los límites de cada una

de las restricciones. En ese sentido se plantea el siguiente procedimiento:

1. Revisión del modelo: se realizan los cambios que se desean investigar en el

modelo.

2. Revisión de la tabla final Símplex: se aplica el criterio adecuado para

determinar los cambios que resultan en la tabla final Símplex.

3. Conversión a la forma apropiada de eliminación Gauss: se convierta la tabla

en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual,

para lo cual se aplica la metodología de eliminación Gauss si es necesario. 

4. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solución mediante

la verificación de que todas las variables básicas de la columna del lado

derecho aun tengan valores no negativos. 

5. Prueba de optimalizad: se verifica si esta solución es óptima y factible,

mediante la comprobación de que todos los coeficientes de las variables

no básicas del reglón Z permanecen no negativos. 

6. Re-optimización: si esta solución no pasa una de las pruebas indicadas en

los puntos 4 y 5 anteriores, se procede a buscar la nueva solución optima a

partir de la tabla actual como tabla Simplex inicial, luego de aplicadas las

conversiones de lugar, ya sea con el método Simplex o el Simplex Dual. 

Aplicación del análisis de sensibilidad

Este análisis casi siempre comienza con la investigación de los cambios en los

valores de las bi,  la cantidad del recurso i (i = 1, 2,. . ., m) que se encuentra

disponible para las actividades bajo consideración. La razón es que en general

existe mayor flexibilidad al establecer y ajustar estos valores que los otros

parámetros del modelo. La interpretación económica de las variables duales (las

yi) como precios sombra es extremadamente útil para decidir cuáles son los

cambios que se deben estudiar.

Primer caso: Cambios en las b i  (columna lado derecho)

Supongamos que los únicos cambios al modelo actual consisten en el cambio de

uno o más de los parámetros bi (i = 1, 2,. . ., m). En este caso, los únicos cambios

que resultan en la tabla simplex final se encuentran en la columna del lado

derecho, por lo cual, se pueden omitir del procedimiento general tanto la

conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss como la prueba

optimalidad.

Segundo caso: Cambios en los coeficientes de una variable no básica

Considere una variable específica xj  (j  fija) que sea no básica en la solución

óptima dada en la tabla simplex final. El caso 2a es aquel en el que los únicos

cambios al modelo actual ocurren en uno o más de los coeficientes de esta

variable, cj, a1j, a2j........, amj. Entonces, si cj y aij, denotan los nuevos valores de

estos parámetros con Aj, (columna j de la matriz A) como el vector que contiene a

aij, se tiene para el modelo revisado.

Tercer caso: Cambios en los coeficientes de una variable básica

Ahora suponga que la variable xj (con j fija) que se está estudiando es una

variable básica en la solución óptima que se muestra en la tabla simplex final. El

caso 3 supone que los únicos cambios al modelo actual se hacen en los

coeficientes de esta variable.

El caso 3 difiere del 2a debido al requisito de que la tabla simplex debe estar en la

forma apropiada de eliminación de Gauss. Esta forma permite que los elementos

en la columna de una variable no básica tengan cualquier valor, así que no afecta

en el caso 2a. Sin embargo, para el caso 3 la variable básica xj debe tener

coeficiente 1 en su renglón de la tabla simplex y coeficiente 0 en todos  los demás

renglones (incluyendo el renglón 0). Por lo tanto, una vez que se han calculado los

cambios en la columna xj de la tabla simplex final, es probable que sea necesario

aplicar la eliminación de Gauss para restaurar la forma apropiada. Este paso, a su

vez, quizá cambie los valores de la solución básica actual, y puede hacerla no

factible o no óptima (con lo que puede ser necesario re optimizar).

3.6 INTERPRETACION DEL ANALISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis de sensibilidad permite estudiar como las variaciones en los valores de

los coeficientes del modelo modificaran la solucion óptima sin tener que resolver el

problema para las distintas posibilidades. Este análisis constituye una parte muy

importante en el estudio de los problemas de pl.

La justificación formal del análisis de sensibilidad la da el estudio del problema

dual al problema principal que se está viendo. Las relaciones entre la solución del

problema dual y el primal permiten calcular otros parámetros como los precios

sombra de los recursos, los límites de variación aceptables para que no se

modifique la solución optima, las holguras complementarias o como cambiarían las

cosas si se debe introducir una nueva restricción. Todos estos parámetros se

pueden analizar de manera analítica, aunque no se hará en el presente texto pues

el enfoque es aprender por medio del análisis de problemas.

Análisis de sensibilidad: interpretación gráfica

El análisis de sensibilidad estudia los efectos sobre la solución óptima debidos a:

a) cambios en los coeficientes de la FO,

b) cambios en la disponibilidad de los recursos,

c) cambios en los coeficientes técnicos debidos, por ejemplo, a cambios en la

tecnología o en las materias primas utilizadas,

d) la introducción de un nuevo producto (otra variable),

e) la introducción de una nueva restricción.

Centraremos el análisis en los puntos a, b y e ya que son los que suelen cambiar

más a menudo y son fáciles de visualizar con el método gráfico. Los cambios en

los coeficientes técnicos solo ocurren cuando se cambia la tecnología de

producción, por ejemplo, por cambios en el proceso o la introducción de

maquinaria, y esto no ocurre frecuentemente y puede ameritar un análisis

completamente diferente.

Ejemplo:

Para realizar el análisis se utilizara el mismo ejemplo que se usó en la unidad 4

para introducir el método Simplex. El modelo de pl para el ejemplo es este:

Variables de decisión:

X1: cantidad de articulo a a producir

X2: cantidad de articulo b a producir

Función objetivo:

Max U = 150x1 + 200x2

Restricciones:

Mano de obra: 8x1 + 8x2 ≤ 64 horas

Materias primas: 4x1 + 2x2 ≤ 24 unidades

Demanda: x2 ≤ 6 artículos

Su solucion grafica se muestra en la gráfica, en la que se indica que la solución

Óptima será 2 unidades del artículos a y 6 del b, obteniendo una utilidad de $1

500.

3.7 USO DE SOFTWARE

Si bien el objetivo del planteamiento y resolución de los problemas de

programación lineal (pl) es encontrar la solución optima, esto es, el valor de cada

una de las variables del problema, de las variables de holgura y el valor máximo (o

mínimo) que puede obtener la función objetivo (fo), el trabajo no termina allí. El

análisis de sensibilidad pos-optimalizar que se presenta en esta unidad es tan

importante como la solución óptima para la toma de decisiones.

Max (Min) S ci xi.

S aji xi ≤ bj

xi ≥ 0

donde se suponen conocidos los valores de los coeficientes aij , bj y ci; esto quiere

decir que el modelo está totalmente determinado.