PROGRAMACIÓN DEL ALUMNO.SECTOR DE FORMACIÓN MATEMÁTICAÁREA TEMÁTICA MATEMÁTICANIVEL SEGUNDO AÑO MEDIOPROFESOR MARCIA MEDINA TORRESUNIDAD DIDÁCTICA No 3 MANOS A LA OBRA TIEMPO 40 a 45 hrs

APRENDIZAJES ESPERADOS:Los alumnos: 1. Dividirán armónicamente un segmento dado en una razón dada usando regla y compás.2. Trazarán la circunferencia de Apolonio en un segmento dado.3. Comprenderán el Teorema de Thales y lo aplicarán en la resolución de problemas.4. Realizarán conjeturas y demostraciones de propiedades geométricas asociadas a las

proporcionalidad de trazos.5. Conocerán los criterios de congruencia de triángulos y los aplicarán en el análisis de

diferentes polígonos y en la resolución de problemas.6. Conocerán los criterios de semejanza de triángulos y los aplicarán en el análisis de diferentes

polígonos y en la resolución de problemas.7. Aplicarán la semejanza de triángulos para deducir los teoremas de Pitágoras y Euclides.8. Aplicarán los teoremas de semejanza para deducir otros relacionados con los segmentos

proporcionales en el círculo.9. Valorarán la influencia de la geometría en expresiones artísticas.

ACTIVIDADES SUGERIDAS: Realizan construcciones geométricas necesarias como introducción al tema. Aprecian la importancia de las construcciones geométricas con regla y compás para comprobar

los resultados. Dividen interior y exteriormente un segmento en una razón dada. Usan los métodos de división interior y exterior en forma simultánea para dividir un segmento

armónicamente. Trazan la circunferencia de Apolonio. Aplican el teorema de Thales y de la bisectríz. Identifican figuras congruentes. Aplican los criterios de congruencia en demostración de teoremas sobre triángulos y polígonos Diferencian figuras semejantes de las figuras congruentes. Aplican los criterios de semejanza en demostración de teoremas sobre triángulos y polígonos. Deducen los teoremas de Euclides y de Pitágoras usando semejanza de triángulos. Aplican los teoremas de Euclides y de Pitágoras. Investigan y profundizan los contenidos en la bibliografía sugerida:

Matemática 2 , Gonzalo Riera Lira, del Ministerio de educación, Cap.4 pág. 136 –163 Álgebra Arrayan ,Editores Cap. 3 pág. 151 – 174

Realizan un constante trabajo individual y grupal. Trabajan en los apuntes de Unidad 3.CONTENIDOS :1. División de un trazo en una razón dada.2. División interior y exterior de un trazo en una razón dada.3. División armónica.4. La circunferencia de Apolonio5. Teorema de Thales 6. Coingruencia de triángulos7. Semejanza de triángulos8. Teorema de Pitágoras9. Teorema de Euclides10. Segmentos proporcionales en el círculo.11. Sección Aurea o divina

I. DIVISIÓN EN “ DEDANS ” Y EN “ DEHORS ”

CONTENIDO I : DIVISIÓN DE UN SEGMENTO.

SEGMENTOS PROPORCIONALES.

La razón entre dos trazos es el cuociente entre los números que expresan sus longitudes, si se han medido en la misma unidad.Ejemplo   : Los trazos y están en la razón de 3 : 4 , porque la unidad “d” cabe 3 veces en y 4 veces en .

“ Dos trazos son proporcionales a otros dos , cuando la razón que existe entre las dos primeras , es igual a la razón entre las dos últimas “ .

Ejemplo   : Si se dan los 4 trazos siguientes : a = 4 cm ; b = 2 cm c = 6 cm ; d = 3 cm

La razón entre los dos primeros trazos es :

La razón entre los dos últimos trazos es :

Se dice , entonces que los trazos “a” y “b” son PROPORCIONALES

con “c” y “d” , es decir :

DIVIDIR UN TRAZO EN UNA RAZON DADA.

Presentaré la importancia de dividir segmentos en geometría. Más aún, el aporte que dejaron algunos matemáticos en esta parte de la geometría… la Geometría de Proporciones…

PERO ANTES…

Lagrange, matemático francés dio nombre de división interior a la división por defecto porque “ el producto del divisor por el cociente cae dentro ( en dedans ) del dividendo. Y dio nombre de división exterior a la división por exceso porque “ el producto del divisor por el cociente cae fuera ( en dehors ) del dividendo…. ¿ qué otras cosas realizó Lagrange ?

Se ve interesante el tema... Y es Geometría… será más entretenido . Ahora comenzaré a investigar de qué se trata

a b c d

A B

C D

d

 Problema: Dividir un trazo AB en un número cualquiera de partes iguales.

Solución   : Sea , el segmento. Lo dividimos en 5 partes iguales. Se traza un rayo indefinido AC ( línea auxiliar ).A partir del punto “A” , se divide en 5 partes de igual longitud arbitraria. Se une C con B.Por los puntos de división de ,se trazan paralelas a . Estas paralelas , que determinan partes iguales sobre , determinan también partes iguales sobre

.

Ejemplo : Dado el trazo y sea C ese punto. A C B

Supongamos que

Se dice en este caso que “ C divide interiormente al trazo “ en la razón 3 : 4.

PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO INTERIORMENTE.

Problema   : Dividir un trazo interiormente en la razón 2 : 3.Solución   : Sea el trazo dado . Por los extremos del segmento se trazan L1 y L2 tales que L1 // L2 Se hace : = 2 unidades arbitrarias = 3 unidades arbitrarias Se une E con F y se obtiene el punto C

Resulta :

Teorema : Sobre la prolongación de un trazo , existe un sólo punto cuyas distancias a los extremos del trazo están en una razón dada.

Sea D el punto dado en la prolongación de . Supongamos que

Se dice que “ D divide exteriormente al segmento “ en la razón de 4 : 3 .PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO EXTERIORMENTE.

Problema   : Dividir exteriormente un trazo en la razón de 3 : 2 . Solución   : Sea el trazo dado. Por los extremos del segmento se trazan

Teorema : En un trazo existe un sólo punto C cuyas distancias a los extremos A y B del trazo , están en una razón dada.

E

A C B

F

L1

L2

A B C

A B D

EF

L1

L2

A B

C

L1 y L2 tales que L1 // L2 Se hace : = 3 unidades arbitrarias. = 2 unidades arbitrarias. Se une E con F y se prolonga hasta intersectar la proyección de en D.

Resulta :

DEFINICIÓN: Dividir un trazo armónicamente, es dividirlo interior y exteriormente en una razón dada

PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN SEGMENTO ARMÓNICAMENTE EN UNA RAZÓN DADA

Problema : Dividir un trazo dado , armónicamente , en la razón de 5 : 3 .

Solución   : - Se dibuja el segmento .

- En ambos extremos copiamos sobre segmentos paralelos las longitudes 5 y 3 dando origen a los puntos R y T .

- Uniendo R y T se determina el punto P de división interior de

- Así , P divide interiormente al trazo en

la razón 5 : 3 es decir :

- En dirección opuesta a dibujamos de longitud 3.

- Se une R con S y se prolonga hasta intersectar la proyección de en D y encontramos el punto exterior D .

- Así, D divide exteriormente al trazo en la razón 5 : 3 , es decir :

- Luego , resulta :

LA CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO

Es la circunferencia que tiene por diámetro el segmento o trazo formado por el punto de división INTERIOR y el punto de división EXTERIOR de un trazo divido armónicamente .

Ejemplo   :

Sea un trazo dado.M es el punto de división interior en la razón m : n.

A B D

R

S

L1

L2

T

P

A B N

L1

L2

T

M O

N es el punto de división exterior en la razón m : n.Por lo tanto, el trazo está dividido armónicamente, en una razón dada, m : n , por M y N .

Así ,

Así , es el diámetro de la circunferencia de APOLONIO , cuyo centro es O .

E J E R C I C I O S.

I. Divide en la forma indicada :

149. Divide el segmento dado en cinco partes iguales

150. Divide interiormente el trazo dado en la razón 3 : 5

151. Divide exteriormente el trazo dado en la razón 5 : 4

II. Divide armónicamente los segmentos dados en la razón dada y además traza la circunferencia de Apolonio :

152. 4 : 5

153. 5 : 3

TEOREMA DE THALES

Teorema 1   : Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos rectas transversales, determinan también segmentos iguales en la otra transversal. Es decir, según la figura :

Teorema 2   : ( Teorema de Thales )

Si varias paralelas cortan a dos transversalesentonces estas determinan en ellas segmentoscorrespondientes proporcionales. Es decir :

Teorema 3   : Si una recta es paralela a uno

A A’

B B’

C C’

t t’

Si //  ; t y t’ son dos transversales y  si = entonces

A A’

B B’

C C’

t t’

Si t y t’ son dos transversales, y si // //   si = entonces

A

B C

D E

d

d

dd

d

40 c

m

A

B C

M N

de los lados de un triángulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales.

Es decir, en el triángulo ABC :

Teorema 4   : ( Recíproco ) Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado.Es decir , en el triángulo ABC , anterior si

Teorema 5   : El segmento que une los puntos medios de un triángulo, es paralela al tercer lado e igual a su mitad.Es decir , en el triángulo ABC :

Teorema 6   : La bisectríz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentosproporcionales a los lados que forman ese ángulo.Es decir, en el triángulo ABC :

E J E R C I C I O S.

154.En la fig., si // , = 12 155. Si // //

Para la siguiente figura, L1 // L2 .

156. = 2x - 1 , = x + 3 = x + 4 , = x - 1

157. = 2x , = 3x

= x + 1 , = 2x - 1

Determina el valor de “x” en cada caso :

Si //   entonces

Si entonces //  

Si M y N son los puntos medios de y

entonces y

A

B CD

Si biseca al ángulo A entonces

A

B C

D E

x

X + 4

5

A

B

E

F

C

D

4 7

2x+15x–4

AE

B

D

CL1

L2

158. En el triángulo ABC , biseca el ángulo B , entonces x = ?

159. Encuentra , si // = 9 , = 2 , = 8

En los ejercicios 160 y 161, la recta que paralela al tercer lados. Encuentra la medida160.

intercecta a dos de los lados del triángulo es que falta161.

162. es bisectriz 163. es bisectriz

164. //

Congruencia de triángulos.

C

B

AD2x 3x - 1

C

A B

D E

A C

6 x

43

A C

9

x

4

9

C1

A

BD

X+12x - 5

3 B

12

C

A

D

X+1

x - 3

15

A

C

B D

x + 4

x + 13

10

4

De que somos figuras, sí...Pero... ¿ seremos congruentes?

Oye...¿crees tú que somos figuras congruentes ?

ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUENTES

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales :

La notación de que un triángulo es congruente con otro lo anotamos ABC A’B’C’

Reconoce las figuras congruentes y pinta de un mismo color aquellas que los sean:

A A’B B’

C C’

1 2

A B

C

D

Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes :

1. CRITERIO ANGULO - LADO - ANGULO ( A . L .A) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos adyacentes a él :

2. CRITERIO LADO - ANGULO - LADO ( L . A .L )

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos :

3. CRITERIO LADO - LADO - ANGULO ( L . L. A . )Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo

opuesto al mayor de ellos :

4. CRITERIO LADO - LADO - LADO ( L . L. L . )Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales :

EJEMPLOS DE APLICACIÓN :

TEOREMA : La bisectriz correspondiente al ángulo basal de un triángulo isósceles es perpendicular a la base y la biseca.

Hipótesis   : ABC es isósceles es bisectrízTesis : ADC = CDB = 90º =

Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de la hipótesis en la figura para luego darse cuenta cuál es el criterio a utilizar , así :

A B

C

A’ B’

C’

’’

A : = ’ L : = A : = ’

L : =

A : = ’L : =

A B

C

A’ B’

C’

’’

L : =

L : = A : = ’

A B

C

A’ B’

C’

’’

’

L : =

L : = L : =

A B

C

A’ B’

C’

’’

’

L  : = (lados iguales de un triángulo isósceles )A : 1 = 2 (por ser CD bisectríz )L  : = ( lado común a los dos triángulos )

Por tanto : ADC DBC ( por criterio L.A.L.)

Ahora, si dos triángulos son congruentes, entonces todos sus elementos respectivos son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales) , así :

ADC + CDB = 180º ( son ángulos adyacentes )y como éstos son iguales, cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los opuestos a lados iguales ).

Además : = ( por ser elementos homólogos )

Q . E . D . ( Queda Esto Demostrado )

2) En la figura : Hipótesis : = y CFA = EDA

Tesis   : i) ACF ADE

ii) A es el punto medio de Demostración :

A : CFA = EDA ( por hipótesis )L : = ( por hipótesis )A  : CAF = EAD ( ángulos opuestos por el vértice )

por tanto : i) ACF ADE ( por criterio L.A.L.)

ii) = ( lados homólogos )

Q . E . D .

3) En la figura : Hipótesis   : = y =

Tesis : i) ABC ABD

ii) ACB = ADB

Demostración   : L : = ( por hipótesis )L : = ( por hipótesis )L : = ( por hipótesis )

Así : i) ABC ABD ( por criterio L.L.L.)ii) ACB = ADB ( ángulos homólogos )

E J E R C I C I O S.

Considera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o respectivamente congruentes. ¿ En qué casos se puede asegurar la congruencia del par de triángulos ? Indica el criterio utilizado en cada caso :

165. 166.

A

F E

C D

A B

C

D

A

B

CD

E

F

AB

CD

E

F

167. 168.

Señala en qué condiciones serían congruentes ( Realiza un dibujo )169. Dos trazos o segmentos. 170. Dos rectángulos

171. Dos cuadrados 172. Dos circunferencias

Responde , EN EL CUADERNO ,las siguientes preguntas ( Justifica tus respuestas )173. ¿Pueden dos triángulos ser congruentes sin ser coplanares?

174. ¿Pueden dos artículos manufacturados en serie llamarse congruentes en el más estricto sentido matemático ?

175. Un cuadrado tiene un lado igual a uno de los lados de otro cuadrado. ¿ Son los cuadrados necesariamente congruentes ?

176. Un cubo tiene igual arista a una arista de otro cubo. ¿ Son los cubos congruentes ?

En los casos siguientes demuestra lo que se indique :

177. 178.

179. 180.

181. 182.

A B

CDA

B C

D

E F

1 2

T S

R

Z

3 4

R

S

T

Z3

4

Hipótesis : 1 = 2 ; 3 = 4 Tesis : RZS RZT

Hipótesis : 3 = 4 = 90º

Tesis : RZS RZT

E X

YFZD

Hipótesis : D = Y

Tesis : DEF XYZ

Hipótesis :

Tesis : ACD EBC

EA B

C

D

A B C

D

1 2A B

C

D FHipótesis : ABC es isósceles, = D y F puntos medios de y Tesis : y 1 = 2

Hipótesis : B es punto medio de Tesis : 1 = 2

Usando congruencia de triángulo demuestra las siguientes propiedades de los paralelógramos :

183. 184.

185. 186.

187. 188.

189.

A B

CD

E

A B

CD

Los lados opuestos de los paralelógramos son iguales.

= y =

Los ángulos opuestos de los paralelógramos son iguales. ABC = ADC y DAC = BCD

Las diagonales de un paralelógramo se dimidian :

= y =

E

A B

CD

Hipótesis : y

Tesis : ACD ACB

A B

CD

Hipótesis : = y 2 = 4

Tesis : ACD ACB y =

Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí. Hipótesis : ABCD es rombo Tesis :

A B

CD

Las diagonales de un rectángulo son iguales. Hipótesis : ABCD es rectángulo Tesis : =

A B

CD

A B

CD

4

2

CONTROL FORMATIVO 51. Divide el segmento AB dado en 3 partes iguales. A B

2. Dibuja un segmento = 4cm y determina, en él, un punto D tal que D divida al segmento en la razón 3 : 5. Además indica la medida de los segmentos y .

3. Divide el trazo AB en partes proporcionales a 1 : 4 : 5 . ¿ Cuánto mide cada uno de los segmentos obtenidos ?

A B

4. Divide armónicamente el segmento dado en la razón m : n , si “m” y “n” son los segmento que se indican.

m n

5. Dibuja la circunferencia de Apolonio que se obtiene al dividir armónicamente el segmento dado en la razón 3: 1

6. En la figura , L3 // L4 // L5

= 2x = x+7 = 3 = 5

Determina - el valor de x - el valor del segmento

7. En la figura //   ; = x + 2 , = 3x+10 Determina los valores de los segmentos y

8. El perímetro de un triángulo es 30 cm . Los lados del ángulo miden 12 cm y 13 cm , calcular la longitud de los segmentos que forma la bisectriz del ángulo sobre el lado opuesto.

Congruencia:9. Demuestra que: “Los lados opuestos de un

paralelogramo son iguales”.Hipótesis: ABCD paralelogramo // // diagonalTesis : = =

P Q

A

BC

D

E

L1

F

L3

L2

L5

L4

D C

BA

12

D

C

B

A E3

tc

D

C

BA

10.Demuestra que: “En todo triángulo isósceles los ángulos basales son iguales”Hipótesis: ABC isósceles = tc Tesis : =

Objetivo transversal.

Para pavimentar las calles con hormigón armado, los albañiles diseñan previamente una serie de rectángulos congruentes entre sí.

En muchas ciudades de Chile las calles de las poblaciones más pobres no están pavimentadas; esto trae como consecuencia una mayor contaminación, producto del polvo en suspensión, y grandes dificultades en el invierno, puesto que las calles se transforman en un barrial por donde es muy difícil transitar.

Para solucionar estos problemas el Ministerio de Vivienda y Urbanismo ha desarrollado un programa de pavimentación comunitario.

Este programa consiste en que los vecinos presentan a la Municipalidad su solicitud y entre ellos deben poner al menos el 10% del costo de la obra si se trata de una calle, y al menos el 20% si se trata sé un pasaje.

Cuando ya está reunido el dinero y se cumplan otros requisitos, el Ministerio aporta el resto de los recursos y se encarga de la obra.

El costo aproximado de 100 metros de calle es de $12.000.000, si en ella viven 24 familias que deben aportar el 10% del total, ¿cuánto aporta cada familia?. Si los vecinos tienen un año de plazo para juntar el dinero, ¿cuánto deben juntar mensualmente?.

Si los rectángulos tienen 5 metros de largo, y con dos de ellos se cubre el ancho de la calle :

- ¿Cuántos rectángulos son necesarios para pavimentar los 100 metros?

- Investiga en tu Municipalidad qué porcentaje de calles están sin pavimentar. Compara este porcentaje con otras ciudades de la décima Región.

- ¿Qué problema ocasiona una calle sin pavimento?- ¿Qué otras posibles soluciones se te ocurren?

PARECIDOS, PERO .... NO IGUALES.

- Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, no necesariamente el mismo tamaño.

- Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. ( lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir :

ABC A’B’C’ ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ )ssi :

i) A = A’ ; B = B’ ; C = C’

ii)

Ejemplo   : Los triángulos siguientes son semejantes : En efecto   : A = A’ ; B = B’ ; C = C’

Postulado   : en el triángulo ABC :

Si // , entonces :

Ejemplo   : En el triángulo GAW ,

= 4 , = 8 , = 5Encuentra = 

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A )

B’

C’

A’

a’

c’

b’

B

C

A

a

c

b

6

10

8C A

B

C’ A’

B’

3

4

5

C

A B

A’ B’

W

A G

K Q

BA

C

D E

F

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes. Es decir , en los triángulos ABC y DEF : A = D y B = E

Entonces ABC DEF

Ejemplo   : Según la figura, si ,

¿ es ABC DCE ?

Si , entonces ( alternos internos entre paralelas )

y ( alternos internos entre paralelas)

por lo tanto : ABC DCE

CRITERIO lado - ángulo - lado ( L .A .L ) Dos triángulos son semejantes si tienendos lados proporcionales y congruentesel ángulo comprendido entre ellos. decir , en los triángulos ABC y DEF ,

Ejemplo   : ¿ Son semejantes los triángulos ?

como

entonces CRJ LBQ

CRITERIO lado - lado - lado ( L . L . L . ) Dos triángulos son semejantes si tienen sustres lados respectivamente proporcionales.

Es decir , en los triángulos ABC y DEF :

Ejemplo   : ¿ son semejantes los triángulos TMQ y CJX ?

como

entonces ABC DEF

A B

C

D E

B

A

C

E F

D

Si A = D y

Entonces ABC DEF

C

R J

15

1235º

QB

L

35º

10

8

Si

Entonces ABC DEF

A

B C

D

E F

T

Q

MJ

CX

18

12

15

108

12

E J E R C I C I O S.

190. Encuentra el valor de , = 25

191. Se sabe que y que biseca .

Demostrar que QPX QPR

¿Para cuáles de los siguientes ángulos , el

192. R = 62º ; N = 73º V = 62º ; B = 73º

193. Q = 80º ; R = 71º V = 71º ; X = 70º

RNQ es semejante al VBX ?

194. Dado que T = NGV

Demostrar que NGV NTX

195. Dado que R = W

Demostrar que JYW JMR

196.

197.

198. 199.

¿ En qué casos el ABC DEF ?

15

3

A

BE

C

D P

QX

R

Q

R N

X

V B

N

G

V

X T

R N

J

Y W

Según la fig.  ; = 4 , = 6 , = 15 , =?

Dado que .

Demostrar que: LKM BCM

L

K

M

C

BL M

K N

J

Hipótesis :

Tesis : WTZ VWX

X

W Z

VY

T

Hipótesis : ;

Tesis : FBE DEC

AB

D

F

E

C

BA

CE D

F

200.

201.

202.

203.

204. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado es semejante al triángulo dado.

205. 206.

homotecia

La proyección de una diapositiva es un buen modelo físico del concepto de homotecia.

En el triángulo GHK , ;

Demostrar que =

Según la figura, ;

Demostrar que : =

PG H

RQ

K

P

R

Q

T

S

La homotecia puede usarse para realizar copias de dibujos y hacerlos más grandes o más pequeños:

La figura se construyó de modo que ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Por lo tanto OAK O’A’K’; OKJ O’K’J’ , ¿Qué otras parejas de triángulos son semejantes?.

Al ser los triángulos semejantes se tiene que sus lados homólogos son proporcionales, luego todos los lados correspondientes se encuentran en una misma razón.

Como los segmentos de cada polígono son paralelos a los segmentos correspondientes del otro polígono, los ángulos correspondientes son congruentes.

Por lo tanto las figuras son semejantes

Una homotecia es una transformación en el plano que permite obtener un polígono semejante a un polígono conocido. Esta depende de un punto O, llamado centro de homotecia y de una constante k, llamada escala o factor de conversión.

Ejercicio:

207. Encuentra el centro de homotecia O y el factor de conversión k =

208. Copia en tu cuaderno la figura y el punto H y realízale una homotecia (H,5).

O

A

G

FE

D

C

B

H

K

JA’

B’C’

D’

E’F’

G’

H’J’

K’

C

BA

B’A’

C’

A B

C

D

hc

209. Dibuja una figura y realízale una homotecia de factor de conversión 3,6

210. Una homotecia con factor de conversión menor que uno y mayor que cero nos permite obtener una figura más pequeña. Dibuja una figura y realízale una

homotecia

III. PITAGORAS & EUCLIDES.

Teorema 1   : Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa , se verifica que los triángulos así formados son semejantes, es decir :

Teorema de Euclides . ( Referente a la Hipotenusa )

En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa , es decir : dado ABC , rectángulo en C , = hc ,con = p , = q , entonces :

Ejemplo   : En el triángulo ABC, rectángulo en C, determinar la medida de BD .

Solución : hc

2 = 144 = 5 Así : = 28,8

Teorema de Euclides . ( Referente al cateto ).

dado ABC , rectángulo en C y = hc , altura correspondiente sobre la hipotenusa c , entonces se cumple que :

ABC ADC BDC

A B

C

D

hc

p q

A B

C

D

12

5 x

H

En todo triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella , es decir :

dado ABC , recto en C , = hc

Ejemplo   : ABC rectángulo en C , con las medidas indicadas, determinar los valores de y

Solución   : 1) b2 = 6 13 b2 = 78 b = 8,83 2) a2 = 7 13 a = 9,54

Aplicaciones de los Teoremas de Euclides :

211. En el triángulo ABC , rectángulo en C :

a) p = 8 cm y hc = 12 cm , calcula q . b) hc = 6 m y q = 0,9 m , calcula p.

212. En un ABC , “p” mide 7 cm más que “q” . Determina la medida de “q” si hc = 12 cm.

213. Las medidas de los catetos de un triángulo ABC , rectángulo en C , son a = 9cm, y b = 12 cm . Calcula las medidas de las proyecciones de “a” y “b” sobre la hipotenusa.

214. En un triángulo ABC , rectángulo en C , la proyección del cateto “b” sobre la

hipotenusa mide 2 cm menos que él . Si la hipotenusa mide cm , entonces

calcula la medida de “b”.

Teorema de Pitágoras . En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa, es decir : Si ABC es rectángulo y a ,b = catetos c = hipotenusa

c2 = a2 + b2

A B

C

D

hc

p qc

A B

C

D

hc

6 7

ab

A B

C

D

hc

p q

A B

C

ab

c

NOTA   : Vale tener presente que , en un triángulo en que c es el lado mayor, y a, b son los otros dos lados , se tiene que :

a) si c2 = a2 + b2 , entonces el triángulo es rectángulob) si c2 > a2 + b2 , entonces el triángulo es obtusánguloc) si c2 < a2 + b2 , entonces el triángulo es acutángulo.

Aplicaciones del Teorema de pitágoras :

215. Clasifica los triángulos para los lados que se dan :

a) 6 ; 8 ; 10 b) 15 ; 36 ; 36

c) 0,3 ; 0,4 ; 0,5 d) 6 ; 4 ; 7

e) 10 ; 12 ; 13 f) 2 ; 2,1 ; 2,9

216. Calcula la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son 15 y 8 m.

217.Calcula el área de un rectángulo si la base mide 15 cm y una diagonal miden 36 cm.

218.Una de las diagonales de un rombo mide 20 m de largo . Un lado mide 26 m . Encuentra la medida de la longitud de la otra diagonal.

219.En un ABC rectángulo en C , se conocen las medidas de “p” y “q” . Calcula , en cada caso , la altura hc del triángulo :

a) p = 5 cm ; q = 20 cm b)

220.Comprobar que las expresiones a = 2x , b = x2 - 1 y c = x2 + 1 corresponden a las medidas de los lados de un ABC rectángulo en C , si x>1.

221.En un ABC rectángulo en C , la proyección del cateto “a” mide 12 cm más que la proyección del cateto “b” sobre la hipotenusa. Calcula la altura hc si mide el doble que la menor de las proyecciones de los catetos.

222.Calcula la medida de la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide :

a) 5 cm b) 6 cm c) cm

223.Calcula la medida del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide :

a) h = cm b) h = 6 cm c) h =

224.En un triángulo rectángulo tal que la hipotenusa mide 20 y un cateto mide 16 , calcula el perímetro de cada uno de los triángulos en que la altura divide al triángulo dado.

225.En un triángulo equilátero la altura mide 3 3 . Determina cuánto mide el perímetro del triángulo.

226. 227.Dado :

Demostrar :( )2 + ( )2 = ( )2 + ( )2

Dado : ; Demostrar :

( )2 - ( )2 = ( )2 - ( )2

X

J

B

H

C

T

N

W

Q

Objetivo transversal.

Las reducciones son copias a escala que permiten obtener una gran cantidad de información en una menor cantidad de hojas usando menos tinta; lo que reduce los costos. Muchos alumnos sacan fotocopias de los cuadernos de sus compañeros ya sea porque faltaron a clases o porque no quisieron copiar.

¿Cuánto sirve sacar fotocopias ?

¿Qué crees tú que le pasa a los alumnos que fotocopian la materia y apenas la leen?.

¿Aprenden mejor los alumnos que escriben la materia en el cuaderno?.

Si ahora piensas en los libros, ¿quién crees tú que sale perjudicado al fotocopiarlo?.

¿Existe alguna forma de evitar la reproducción ilegal de textos?

CONTROL FORMATIVO 6En cada caso , encuentra el valor que se indique :

1. Sea ABC triángulo rectángulo en C. Determina los valores de p y hc

2. Sea ABCD rombo, = 12 ; = 16 . Determina el valor de

3. ABCD es cuadrado de perímetro 24 cm. Determina el valor de

4. ABC triángulo rectángulo en C. Determina los valore de p, q, hc y c.

5. Clasifica el triángulo si la medida de sus lados son 45 cm , 51 cm y 24 cm

hc

C

a

pA BDc

16

12,8

D

A B

C

D

A

C

E

B

C

A

B

D

P

q

4

3hc

Resuelve los problemas :

6. El ABC rectángulo en C , la hipotenusa mide 10 cm . Calcular el perímetro del triángulo si los otros lados son números pares consecutivos.

7. En un triángulo rectángulo que tiene un cateto igual a 16 cm , la proyección de éste sobre la hipotenusa tiene 5,6 cm más que la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa. Hallar el cateto que falta y la hipotenusa del triángulo dado.

APRENDIZAJES ESPERADOS:Los alumnos: Desarrollarán cortes en cuerpos redondos (cilindros, conos y esferas) para establecer las

condiciones para que estos cortes generen círculos e interpreten curvas de nivel como representación plana de algunos cuerpos.

Conocerán y demostrarán los teoremas relacionados con los ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia .

Aplicarán los teoremas relativos a los ángulos formados por los elementos lineales de la circunferencia ( radio , tangente, cuerda , secante)

Analizarán propiedades y relacionarlos en figuras geométricas que se pueden inscribir o circunscribir a una circunferencia.

Aplicarán los teoremas relativos a ángulos en loa circunferencia para deducir otros relacionados con los segmentos proporcionales en el círculo.

Determinarán áreas y perímetros de figuras planas. Determinarán áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

ACTIVIDADES SUGERIDAS:- Demuestran teoremas relativos a los ángulos formados por los elementos lineales de la

circunferencia.- Analizan y establecen las condiciones para que un cuadrilátero se pueda inscribir en una

circunferencia.- Demuestran los teoremas sobre segmentos en la circunferencia usando semejanza de triángulos.- Aplican los teoremas sobre segmentos en la circunferencia.- Calculan áreas y perímetros de figuras planas.- Imaginan o realizan diversos cortes en cuerpos redondos ( cilindro , cono y esfera ) estableciendo

las condiciones para que estos cortes generen círculos; caracterizan la circunferencia.- Construyen curvas de nivel como representación plana de algunos cuerpos.- Calculan áreas y volumen de cuerpos geométricos básicos- Investigan y profundizan los contenidos en la bibliografía sugerida:

Matemática 2 , Gonzalo Riera Lira, del Ministerio de educación, Cap.7, pág. 243- 289 Álgebra y Geometría II , Santillana. Cap. VI, y IX, pág 135 - 144 y 199 –220 Realizan un constante trabajo individual y grupal.

- Trabajan en los apuntes de Unidad 3.CONTENIDOS :1. Elementos lineales en la circunferencia.2. Ángulos formados por dos radios3. Ángulo inscrito y semi-inscrito.4. Ángulo formado por dos cuerdas.5. Ángulo formado por dos tangentes.

PROGRAMACIÓN DEL ALUMNO.SECTOR DE PORMACIÓN MATEMÁTICAÁREA TEMÁTICA MATEMÁTICA.NIVEL SEGUNDO AÑO MEDIOPROFESOR MARCIA MEDINA TORRESUNIDAD DIDÁCTICA Nº 3 CIENCIA DE LA EXTENCIÓN IITIEMPO 20 A 25 HORAS

6. Ángulo formado por dos secantes.7. Ángulo formado por una tangente y una secante.8. Arcos que forman dos rectas paralelas.9. Áreas y perímetros de figuras planas.10. Áreas y volumen de cuerpos geométricos.

“SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS“

“ BUSQUEMOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA “

1. Enuncia algunos elementos que conoces sobre la circunferencia.

2. ¿ Qué tipos de ángulos se podrían formar con estos elementos ?

3. ¿ Cuáles son sus posibles combinaciones de tal modo que se puedan formar ángulos ?

4. ¿Dónde se ubicarán los vértices de éstos ángulos?

Antes de comenzar la unidad deseo proponerte lo siguiente...

Se ve interesante el tema... Ahora voy a investigar de que se trata esto para luego aplicar lo que haya aprendido.

H

R

r

h

O = centro de la circunferencia OA = OB = OC = radio de la circunferenciaAB = diámetro de la circunferenciaL1 = recta tangente a la circunferenciaL2 = recta secante a la circunferenciaDE = cuerda de la circunferencia

ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN :

228.Imagina un cono recto en el que se hacen diversos cortes ;analiza qué condiciones debe satisfacer un corte para que genere un círculo. Supone que un cono se coloca dentro de una caja (ojalá de paredes transparentes ) en la que se va poniendo agua. Grafica la relación entre la altura del nivel del agua y el radio de los círculos correspondientes. Te recomiendo que esto lo hagas con regla y compás, si es necesario, y toma las medidas de los radios y altura como se ve en la figura que se muestra. Varía los radios y sus respectivas alturas y anota los valores en una tabla.

229.¿ Qué formas se obtienen si se hicieran diversos cortes a un cilindro recto? Supone, en forma similar al ejemplo anterior, que se coloca este cilindro en una caja que se va llenando con agua : ¿ qué forma se genera por la intersección de la superficie del agua con las paredes del cilindro ? , ¿ cuál es el gráfico que relaciones en nivel de agua con el radio del círculo correspondiente a cada corte ?

230.Hace cortes imaginarios, en diversos sentidos, en una esfera. Se puede utilizar esferas de plumavit. Si se colocan dos alfileres en puntos cualesquiera de la esfera y se unen por medio de un elástico se marca un arco que es parte de un círculo mayor. Caracteriza el corte que permite obtener el círculo de mayor radio ( círculo máximo). Traza cortes que generen círculos menores. Determina el rango de variación de los radios de los diversos círculos que se pueden obtener.

231.Traza, en un mismo dibujo, los círculos que se generan al hacer cortes equidistantes, paralelos a la base de un cono recto. Describe el dibujo e interprétalo.

232.Dibuja las curvas de nivel de una semiesfera, de una pirámide recta de base cuadrada o de otros cuerpos geométricos.

I. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA :

Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy importantes en su aplicación. Estos tienen una relación con los arcos que forman:

a) Angulo formado por dos radios.

Relación entre el ángulo y el arco :

b) Angulo formado por dos cuerdas 

Relación entre el ángulo y el arco :

L1

O

A

B

C

L2

D

E

x

B

A

O x

C

A

O

B

= AB

c) Los dos ángulos anteriores en una misma circunferencia :

Relación entre los ángulos:

= 2d) Angulo formado por dos cuerdas

Medida del ángulo

=

e) Varios ángulos inscritos formando el mismo arco

Relación entre los ángulos:

= = f) Angulo formado por dos secantes

Medida del ángulo

=

g) Angulo formado por dos tangentes

Medida del ángulo  :

=

h) Angulo formado por una cuerda y una tangente

Medida del ángulo  :

=

i) Angulos que forma una semicircunferencia :

Medida del ángulo  :

= 90°

j) Angulo formado por una secante y una tangente :

Medida del ángulo  :

=

x

C

A

O

B

xO

x

B

A

O

C

D

x

D

C

O

A

B

P

xD

C O

A

B

P

xO

A

B

x

C

B

O

A

x

C

O

A

B

P

x

C

B

O

AD

k) Arcos formados por rectas paralelas que cortan a una circunferencia

Relación entre arcos

AB = CD

l) Angulos opuestos de un cuadrilátero inscrito :

Relación entre ángulos :

+ = 180°

ejercicios

233. Hallar BAC 234. y = 112º

x =

235. x = 75º y =

236. x = y =

237. = 72º x = y =

238. y = 140º BDC =

239. y = 115º 240. x = 40º

x C

B

O

A

D

x

B

C

O 46º

A

x

C

B

y

x

A

O

x

C

B

O

AD

x

60º

yx

C

B

O

A

Dx 65º

y

x

C

B

O

xA

y

y

x

C

B

O

D

A

x

C

BO

A

x y x

D

C

O

x

A

B

Ey

20

0º

x = y =

241. x = 61º y =

242. x = y =

243. x = y =

244. x = y =

245. Dado: AB diámetro del círculo O, BC es un diámetro del círculo O’, círculo O es tangente al círculo O’ en B.

Demuestra que x = y

246. AC bisectriz BAD BAC = AEB = BDC = ADB =

Objetivo transversal.

Hoy, la humanidad está más consciente que nunca de la necesidad de tener paz; una paz que no significa solamente ausencia de guerra, sino también tranquilidad, lo

x

D

CO

x

A

B

E

y

70º

25º

xy

O

x

A

C

B

x

C

B

O

A

D2x

3x+10º

y

x

D

CO

x

A

B

Ey

3x

2x

3x+6

x C

B

OA

O’x x

y

x

A

C

O

B

E

D80º

160º

que implica saber comunicarnos, ser tolerantes y aceptar a los demás con sus diferencias, ya que no somos ni tenemos que ser todos iguales ; evitar descalificar a las personas y saber resolver nuestras diferencias sin intentar derrotar al otro sino más bien aceptando y valorando nuestros acuerdos y aprendiendo de nuestros desacuerdos.

Organícense para desarrollar dinámicas grupales y reflexionar sobre este tema y que de ello surjan propuestas para comunicar o crear espacios de vivencias de paz en los grupos o comunidades a las que ustedes pertenecen (familia, barrio, curso, colegio, iglesia, otros)

Averigua qué aporte a la paz hicieron los premio nobel Mahatma Gandhi, Teresa de Calcuta y Adolfo Pérez Esquivel.

¿Conoces otro premio nobel cuya vida al servicio de la paz sea un testimonio admirable, por ejemplo, por su valentía, humildad, etc.?

CONTROL FORMATIVO 7

Realiza, la autoevaluación de la página 286, del libro del ministerio. Gonzalo Riera Lira

IV. SEGMENTANDO EL CÍRCULO .

Teorema 1   : Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos iguales con el segmento que une el punto exterior al centro.

, segmentos tangentes :

= , OPA = OPB

Teorema 2   : Si se trazan dos rectas secantes desde un punto exterior a una circunferencia , entonces :

=

Teorema 3   : Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces :

2 =

Teorema 4   : Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia , entonces :

X

A

B

PO

X

A

B

PO

D

C

X

A

PO

C

B

X

A D

O

C B

E

=

EJERCICIOS

247. Según la figura : Si = 6 ; = 15 y = 8 , determinar .

248. Según la figura : Si = 5 y = 20 determina

249.En la figura : = 5 ; = 2 ; = 15 ; Determina

250. En la figura : = 10 ; = 8 ; Determina

251. En la figura: = 6 , = 3 , Determina

252.En la figura: = 12 , = 18 , Determina

253. En la figura: = , = 14 , = 4 , Determina

254. En la figura : = 5 , = 6 , = 4 , Determina

X

B

A

PO

D

C

X

A

P

O

C B

X

D B

O

A C

E

X

A B

O

D

C

E

X

B

A

O

C D

X

B

A

O

C

D

X

B

D

AO

C

E

C

X

B

D

A

O

E

255. En la figura: = 5 , = 3 , Determina

256. En la figura: = 4 , = 5 , Determina

257.Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan. Las longitudes de los segmentos de una cuerda son 4 y 6 . Si la longitud de un segmento de la otra cuerda es 3.

¿ Cuál es la longitud del otro segmento ?

258.Dos cuerdas y se cortan en H . Calcular la medida del segmento sabiendo que , y miden 146 , 142 y 90 cm , respectivamente.

259. En la figura:

= , = 4 , = 21 ,

Determina

260. En la figura: = 90,  : = 7 : 8, = 16 Determina

LA SECCIÓN AUREA O DIVINA

Una aplicación del teorema de la tangente y la secante a una circunferencia es la construcción geométrica que nos permite encontrar un punto interior de un trazo, de modo que entre el trazo completo y sus segmentos se puede establecer una proporción especial llamada sección áurea o divina.

La razón entre el segmento completo y el trazo mayor es la misma que hay entre los segmentos mayor y menor determinados por el punto interior.

Desde el renacimiento (1500 d. de C.) se consideraba que la sección áurea estaba presente en muchas manifestaciones de la naturaleza, como sello de armonía que Dios imprimía a sus creaturas. De allí derivaría su nombre : proporción áurea o divina.

X

B

T

P

O

A

X

B

P

O

B

X

A

P

O

C

D

B

X

C

D AO

BP

Sea PQ el segmento dado y D el punto de división interior del mismo.

P D Q

representa los términos medios de la proporción.Sea = a , = x , entonces al reemplazar ocurre que :

descartamos el valor negativo de la raíz y queda :

Entonces el segmento mayor , llamado áureo o divino mide aproximadamente 0,6180339 veces la longitud de “a” .

Así, el cálculo de la medida “x” del segmento áureo se reduce al producto 0,618 a.

Ahora, la razón áurea  : está dada por 1,6180338

Ejemplo   :  Calcular la medida del segmento áureo que se obtiene al dividir un trazo que mide 3,24 cm.

Sea = x y = 3,24 cm , entonces = x = 0,618 3,24 = 2 cm.

EJERCICIOS

261. Realiza geométricamente la división o sección áurea del segmento dado en cada caso :

a) = 40 cm b) = 30 cm c) = 15 cm

262. Encuentra algebraicamente un punto D que divida en sección áurea o divina al trazo  :

a) = 12 cm b) = 8 cm c) = 32 cm

Objetivo transversal.

El punto C divide al segmento , en la proporció áurea, pues

Al resolver cierta ecuación de segundo grado se obtiene que si un segmento

tiene longitud “a”, su sección áurea (en el ejemplo es:

Investiga: - Acerca de la presencia de la sección áurea en el arte griego.

La sección áurea es una proporción que interesó mucho a los griegos y a los renacentistas. Se decía que toda obra artística debía tener la proporción áurea o divina.

A C B

- Acerca de la razón áurea presente en algunas pinturas realizadas por Miguel Angel.

CONTROL FORMATIVO 81. Desde un punto A situado fuera de la circunferencia, se traza un segmento

secante de 16 cm que determina una cuerda de 5 cm . Si el radio de la circunferencia es 7 cm . ¿ Cuál es la distancia de A al centro de la circunferencia ?

2. El radio de una circunferencia es de 15 cm . Hallar :a) la distancia del centro a una cuerda cuya longitud es de 18 cm.b) la longitud de una cuerda que dista 9 cm del centro.

3. En una circunferencia, una cuerda que mide 16 cm está a la distancia de 6 cm del centro. Hallar la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es de 8 cm.

4. En la circunferencia de centro O, ;

;  ; . ¿Cuánto mide

?

5. En la circunferencia de centro O, ;

;  ; .

¿Cuánto mide ?

6. Realiza geométricamente la división o sección áurea del segmento dado en cada caso :

b) = 20 cm b) = 12 cm

I. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.:

A Ox CB

E

D

x

F

D

CA

EQ

G

O

B

Perímetro de una figura plana es la medida de la longitud del contorno que conforma la figura.

Area de una figura es la medida de la superficie que encierra dicha figura.

RESUMEN DE FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS.

POLÍGONO DIBUJO PERÍMETRO ÁREA

TRIÁNGULO

P = AB + BC + CA A =

CUADRADO

P = 4a A = a2

RECTÁNGULO

P = 2a + 2b A = a b

TRIÁNGULOEQUILÁTERO

a

P = 3a A =

ROMBO

P = 4a

P =

A = ah

A =

ROMBOIDE

P = 2(a + b) A = b h

TRAPECIO

P = a + b + c + d A =

CIRCUNFERENCIA

P = 2 r A = r2

SECTORCIRCULAR

P = 2r + A =

a h a

b

b

r

r

O

A D B

C

h

c

a

a

b

a

a

a

a

a

a h

A

C

B

D

a

b

d

c

h

O r

SEGMENTOCIRCULAR

P = AB + A = - AABC

ejercicios :

Calcula el área y el perímetro de la parte sombreada de las siguientes figuras :

263. 264.

265. 266.

267. 268.

269. 270.

r

r

O

A

B

24 cm

10

cm

A B

CD

10

4

O

6

6 8

16

8

44

4

5

12

271. 272.

273. 274.

275. 276.

277.

III. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS.

CUERPO FIGURA ÁREA VOLUMEN

CUBO A = 6a2V = a3

PARALELEPIPEDO

0x

x0’3

5

x8

9

16

x

12 16

16

12 x4

A B

CD E

10

3

4

a

aa

a

bc

a

a

a

RECTO A= 2ab+2bc+2ac V = a·b·c

TETRAEDROREGULAR

A =

AB =V = AB · h

CILINDRO RECTO

Alateral= 2··r·h

Atotal= 2··r·(h+r)

V = ·r2·h

CONORECTO

Alateral= ·r·g

Atotal= ·r·(g+r)

V =

ESFERAA = 4 · · r2

V = · r3

ejercicios

Resuelve ahora los siguientes problemas :

278. Un estanque de agua mide 6 cm de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad. Se deja caer una esfera de 50 cm de radio que flota a la mitad. ¿ Cuánto sube el nivel del agua ?

279. Calcula el volumen y el área de la superficie esférica de un globo cuyo círculo máximo tiene un radio de 3,2 cm.

280. En una cilindro recto de altura 8 m se ha inscrito una esfera :a) ¿ Cuál es el volumen del cilindro ?b) ¿ Cuál es el volumen de la esfera ?c) ¿ Cuál es la diferencia entre los dos volúmenes ?d) ¿ Cuál es la razón entre el volumen de la esfera y el del cilindro ?e) ¿ Cuál es el volumen de aire contenido en un globo de 45 cm de diámetro ?

281. Un macetero tiene forma de semiesfera, cuyo diámetro interior es de 30 cm.¿ cuál es la cantidad de tierra que se necesita para llenar el macetero ?

282. Un cilindro , una semiesfera y un cono tiene el mismo radio 6 cm . La altura del cilindro y del cono vale 10 cm. :

a) Calcula el volumen de cada unob) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen del cono en el volumen del cilindro ?c) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen del cono en el volumen de la

semiesfera?d) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen de la semiesfera en el volumen del

cilindro ?

283. Calcula el volumen del prisma

r

x0r

h

h

g

r

2cm

2cm

12cm

6cm

18cm

4cm

Objetivo transversal.

El velocímetro de un automóvil funciona mediante un mecanismo que consiste en una “piola” que gira en correspondencia al giro del eje de la rueda.

Si a un vehículo, se le colocan neumáticos más grandes, la medición que marca el instrumento puede estar distorsionada.a) Averigua con un mecánico cómo y

por qué se puede distorsionar la medida del kilometraje y velocidad de un auto al cambiar el tamaño de

los neumáticos.b) Si el radio de los neumáticos aumenta en un 25% , ¿en cuánto se altera la

velocidad y el kilometraje?c) ¿Qué velocidad marca el velocímetro cuando éste alcanza una velocidad de 100

? , ¿ y cuando va a 60 ?.

d) Si los neumáticos de un auto se van desgastando de modo que el radio ha disminuido en un 1 % ¿Cómo de expresa la variación de la velocidad y el kilometraje en sus instrumentos?. ¿Qué velocidad real tiene cuando el velocímetro

marca 100 ?

e) ¿Por qué no es bueno alterar el tamaño de las ruedas ?. Establece y redacta tus conclusiones.

CONTROL FORMATIVO 9Calcula el área y el perímetro de la parte sombreada en las siguientes figuras:

1. ABCD cuadrado de lado 18 cm.E, F, G, H puntos medios.

2. ABC triángulo equilátero de lado 6 cm, QRST cuadrado circunscrito a la circunferencia.

3.

A B

C

SR

TQ

B

CD

A B

CD

E

F

G

H

4. O, O’, O’’, O’’’ centro de circunferencias tangentes de radio 3 cm

5. ABC triángulo rectángulo

6. Calcula el área total y el volumen de la siguiente figura:A

C

B

10

cm

10 cm

4 cm

5 c

m

O O’

O’’O’’’x x

xx