UNIDAD 2

UNIDAD 2LEY DE GAUSS1Carga y flujo elctrico

La ley de Coulomb plantea: Dada una distribucin de carga, cul es el campo elctrico que produce esa distribucin en el punto P?Existe otra relacin entre las distribuciones de carga y los campos elctricos. Ahora planteamos la pregunta al revs: Si se conoce la disposicin del campo elctrico en una regin determinada, qu se puede saber acerca de la distribucin de carga en esa regin?2Carga y flujo elctrico

Caja que representa una superficie imaginaria cerrada.Mapa tridimensional del campo elctrico.Con base en los detalles del mapa, podemos hallar el valor exacto de la carga puntual en el interior de la caja.3Carga y flujo elctrico

En donde los vectores de E apuntan hacia afuera de la superficie, hay un flujo elctrico saliente.En donde los vectores de E apuntan hacia el interior de la superficie, hay un flujo elctrico entrante.El flujo elctrico es la cantidad de lneas de E que atraviesan una determinada superficie.4Carga y flujo elctrico

5Carga y flujo elctrico

El flujo elctrico neto a travs de la superficie de la caja es directamente proporcional a la magnitud de la carga neta que encierra la caja.Esta conclusin es independiente del tamao de la caja.6Carga y flujo elctricoTodo lo anterior se resume como: El hecho de que haya o no un flujo elctrico saliente o entrante neto a travs de una superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada; Las cargas que estn afuera de la superficie no proporcionan un flujo elctrico neto a travs de la superficie; El flujo elctrico neto es directamente proporcional a la cantidad de carga neta encerrada dentro de su superficie, pero, por lo dems, es independiente del tamao de la superficie cerrada.Estas observaciones son una expresin cualitativa de la ley de Gauss.7Calculo del flujo elctrico

El flujo elctrico se representa con el smbolo E. Cuando el campo elctrico es perpendicular a una rea plana A, el flujo elctrico a travs de esta rea se define como: E = EA

8Calculo del flujo elctrico

Si el rea es plana pero no perpendicular E, entonces la atraviesan menos lneas. Generalizando nuestra definicin de flujo elctrico de un campo elctrico uniforme:E = EA cos

.

9Calculo del flujo elctrico

En trminos del vector rea A perpendicular al rea, se puede escribir el flujo elctrico como el producto escalar de E por A:

Si E y A son perpendiculares, el flujo elctrico es cero.

10Calculo del flujo elctricoQu sucede si el campo elctrico no es uniforme, sin que varia de un punto a otro en el rea A? o si A es parte de una superficie curva?Para estos casos, se calcula el flujo elctrico a travs de cada elemento y se integran los resultados para obtener el flojo total:

A esto se le llama la integral de superficie de EdA.

1112

Calculo del flujo elctricoEjemplo: Flujo elctrico a travs de un discoUn disco cuyo radio mide 0.1 m est orientado con su vector unitario normal formando un ngulo de 30 respecto a un campo elctrico uniforme cuya magnitud es de 2x103 N/C. Cul es el flujo elctrico a travs del disco?Cul es el flujo a travs del disco si este se orienta de modo que su normal sea perpendicular a E?Cul es el flujo a travs del disco si su normal es paralela a E?13Calculo del flujo elctricoSolucin: a)

b) La normal al disco es perpendicular a E, por tanto, = 90, cos=0 y E =0. No hay flujo a travs del disco.c)

14Calculo del flujo elctricoEjemplo: Flujo elctrico a travs de un cuboSe coloca un cubo de lado L en una regin de campo elctrico uniforme. Hallar el flujo elctrico a travs de cada cara del cubo y el flujo total a travs del cubo cuando el cuboEst orientado con dos de sus caras perpendiculares a E;Se hace girar un ngulo .

15

Calculo del flujo elctricoSolucin: a) El rea de cada cara del cubo es L2; por tanto, los flujos a travs de cada una de las cara son

El flujo total a travs del cubo es la suma de los flujos a travs de las seis caras:

16

Calculo del flujo elctricob) Los flujos a travs de cada cara son:

El flujo total es

17

Calculo del flujo elctricoEjemplo: Flujo elctrico a travs de una esferaUna carga puntual positiva q = 3 C est rodeada por una esfera centrada en la carga y cuyo radio es de 0.2 m. Hallar el flujo elctrico a travs de la esfera debido a esta carga.Solucin: La expresin para calcular el flujo elctrico es

por tanto, primero calculamos E para unacarga puntual

18Calculo del flujo elctricoEl campo elctrico es constante en torno a la esfera, por lo que sale de la integral. Sabemos que el rea de una espera es A= 4r2

19Ley de GaussLa ley de Gauss es una alternativa de la ley de Coulomb y es totalmente equivalente a sta. La ley de Gauss ofrece una manera diferente de expresar la relacin entre la carga elctrica y el campo elctrico.

Johann Carl Friedrich Gauss(1777 - 1855) 20Ley de GaussLa ley de Gauss establece que el flujo elctrico total a travs de cualquier superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga elctrica total (neta) dentro de la superficie.La magnitud del campo elctrico de una carga puntual en todos los puntos de una superficie cerrada esfrica de radio R est dado como:

21Ley de Gauss

En cada punto de la superficie E es perpendicular a A. El flujo elctrico entonces es:

El flujo es independiente del radio de la esfera. Depende nicamente de la carga q encerrada.

Ley de Gauss

De esta manera, para una superficie irregular,

Ley de Gauss

Para una superficie que no encierra carga

Ley de GaussAhora generalicemos la ley de Gauss. Supongamos que la superficie encierra no solo una carga puntual, sino varias cargas q1, q2, q3, . Sea Qenc = q1 +q2 +q3 . la carga total encerrada por la superficie:

El flujo elctrico total a travs de una superficie cerrada es igual a la carga elctrica total (neta) presente en el interior de la superficie, dividida entre 0.

Ley de GaussPrimera ecuacin de Maxwell

(Diversas formas de la ley de Gauss)25Ley de GaussEjemplo: Flujo elctrico y carga encerrada La figura muestra el campo producido por dos cargas puntuales +q y q de igual magnitud pero de signo opuesto (un dipolo elctrico). Hallar el flujo elctrico a travs de cada una de las superficies cerradas A, B, C y D.

Aplicaciones de la ley de GaussLa ley de Gauss es til de dos maneras: Si se conoce la distribucin de carga;Si la distribucin de carga tiene simetra suficiente para que sea posible evaluar la integral de la ley de Gauss, se puede hallar el campo.O bien, si se conoce el campo, la ley de Gauss permite hallar la distribucin de carga.El exceso de carga reside en la superficie de un conductor, aplicacin de la ley de Gauss.Aplicaciones de la ley de GaussEjemplo: Campo de una esfera conductora con cargaSe coloca una carga positiva q en una esfera conductora slida de radio R. Hallar el campo elctrico en cualquier punto adentro o afuera de la esfera.

Aplicaciones de la ley de GaussSolucin: Para r > R, es posible calcular el campo elctrico a partir de la ley de Gauss

Para r < R, E = 0, ya que es una esfera metlica slida.

Afuera de la esfera conductora can carga30Aplicaciones de la ley de GaussEjemplo: Campo de una carga linealSe tiene carga elctrica distribuida de manera uniforme a lo largo de un alambre delgado infinitamente largo. La carga en cada unidad de longitud es (se supone positiva). Hallar el campo elctrico. (Esto es una representacin aproximada del campo de un alambre finito con carga uniforme, siempre y cuando la distancia del punto de campo al alambre sea mucho menor que la longitud del alambre).

31

Aplicaciones de la ley de GaussSolucin: el alambre tiene una simetra cilndrica, por lo tanto la superficie imaginaria gaussiana es un cilindro de radio arbitrario r y longitud arbitraria l, con sus extremos perpendiculares al alambre.Para E, aplicamos la ley de Gauss, conociendo el rea de un cilindro, se tiene

Finalmente, despejando E

32

Aplicaciones de la ley de GaussEjemplo: Campo de una lmina plana infinita de cargaHallar el campo elctrico creado por una lmina plana delgada infinita que tiene una carga positiva uniformemente distribuida en cada unidad de rea .Solucin: Proponemos una superficie imaginara cilndrica. La lmina con carga pasa por el punto medio de la longitud del cilindro, de modo que los extremos del cilindro estn equidistantes de la lmina. Aplicando la ley de Gauss a cada una de las superficies delcilindro se obtiene que

33

Aplicaciones de la ley de GaussEjemplo: Campo entre placas conductoras paralelas con cargas opuestasA dos grandes placas planas conductoras y paralelas se les proporciona carga de igual magnitud y signo opuesto; la carga por unidad de rea es + en una y - en la otra. Hallar el campo elctrico en la regin comprendida entre las placas.Solucin: Se proponen como superficies imaginarias cilindros . En este caso es necesarioaplicar la ley de Gauss en las dos caras de cadaPlaca.

34

Aplicaciones de la ley de GaussCalculando el campo elctrico tanto entre las lminas como en las superficies exteriores de stas a partir de la ley de Gauss se tiene

(Entre las lminas)35Aplicaciones de la ley de GaussEjemplo: Campo de una esfera hueca con cargaUna esfera hueca de pared delgada y con un radio de 0.25 m tiene una cantidad desconocida de carga distribuida uniformemente en toda su superficie. A una distancia de 0.3 m del centro de la esfera, el campo elctrico apunta directamente hacia el centro de la esfera y su magnitud es de 1.80 x 102 N/C. Cunta carga hay en la esfera?Solucin: aplicando la ley de Gauss

36Cargas en conductores

De acuerdo con la ley de Gauss la carga total en el interior de la superficie A debe ser cero.37

Cargas en conductoresEjemplo: Conductor con una cavidadEl conductor que se muestra en corte transversal en la figura, tiene una carga total de +3 nC. La carga en el interior de la cavidad, aislada del conductor, es de -5 nC. Cunta carga hay en cada superficie (interna y externa) del conductor?Solucin: dado que en la cavidad hay una cargaq = -5 nC entonces en la superficie de laCavidad debe haber una carga +5 nC .En la superficie exterior la carga esq + qc = (+3 nC ) + (-5 nC ) = - 2 nC

38