Unidad 2

Fundamentos de la teora de probabilidad

2.1 Teora elemental de probabilidad. Las probabilidades son muy tiles, ya que pueden servir para desarrollar estrategias. Por ejemplo, algunos automovilistas parecen mostrar una mayor tendencia a aumentar la velocidad si creen que existe un riesgopequeo de ser multados; los inversionistas estarn ms interesados en invertirse dinerosi las posibilidades de ganar son buenas. El punto central en todos estos casos es la capacidad de cuantificar cuan probable es determinado evento. En concreto decimos que las probabilidades se utilizan para expresar cuan probable es un determinado evento

2.2 Probabilidad de Eventos: Se llama espacio muestral o espacio de muestreo, a menudo denotado por S, o U (por "universo"), al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamndose a los sucesos que contengan un nico elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estara formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Definicin de un evento: En estadstica, un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Formalmente, sea un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto , donde (w1,w2,...) son una serie de posibles resultados. Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.

Simbologa, unin, interseccin, diagramas de Venn.

Diagrama de Venn Diagrama de Venn mostrando la interseccin de dos conjuntos. Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemtica y Lgica de clases conocida como teora de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar grficamente la agrupacin de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un crculo o un valo. La posicin relativa en el plano de tales crculos muestra la relacin entre los conjuntos. Por ejemplo, si los crculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un rea comn a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el crculo del conjunto A aparece dentro del crculo de otro B, es que todos los elementos de A tambin estn contenidos en B.

Diagrama de dos conjuntos Conjuntos A y Considrese el ejemplo a la derecha: supngase que el conjunto A (el crculo naranja) representa, por ejemplo, a todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices y que el conjunto B (el crculo azul) contiene a todas las criaturas que pueden volar. El rea donde ambos crculos se superponen (que recibe el nombre de interseccin entre A y B, o interseccin A - B) contendra por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen slo dos piernas motrices. El diagrama de Venn representado en el ejemplo 1 puede describirse como la relacin entre el conjunto A y el conjunto B. El rea combinada de ambos conjuntos recibe el nombre de unin de los conjuntos A y B. La unin en este caso contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos piernas, pueden volar, o ambas cosas a la vez. El rea donde los conjuntos A y B se solapan se define como la interseccin de A y B. Contiene todos los tipos de criaturas que pertenecen a la vez a A y a B, es decir, que tienen dos piernas y pueden volar.

Diagrama de Venn:

Interseccin Conjunto A y B

Diagrama de Venn mostrando todas las intersecciones posibles entre tres conjuntos A, B y C.Un diagrama de Venn de dos conjuntos define 4 reas diferentes (la cuarta es la exterior), que pueden unirse en 6 posibles combinaciones: A (dos patas) B (vuelan) A y B (dos patas y vuelan) A y no B (dos patas y no vuelan) no A y B (ms o menos de dos patas, y vuelan) no A y no B (ni tienen dos patas ni vuelan) A veces se incluye un rectngulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de universo de discurso (antes se crea en la existencia de un conjunto universal pero Bertrand Russell descubri que con tal concepto el sistema es inconsistente vase paradoja de Russell). Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definicin del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, ms conocido como Lewis Carroll.

2.3 Probabilidad con Tcnicas de Conteo: Axiomas Teoremas probabilidad. PROBABILIDAD CONDICIONAL En esta seccin examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos. Ejemplo 27: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. Cul es la probabilidad de que: La primera semilla sea roja? La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solucin: La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notacin de probabilidad tenemos: La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que sali primero, es decir esta probabilidad est sujeta a una condicin, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por , y se lee: la probabilidad de B2 dado R1. Esta probabilidad , puesto que todava hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes. Veamos la situacin en un diagrama de rbol: Definicin de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B en un espacio muestra S, tales que P(A) > 0 con P(A) 0, la probabilidad del evento B dado el evento A, se define por :

Diagramas de rbol:

2.5 Ley multiplicativa.ley multiplicativa Al multiplicar la formula P(B/A) =P( A B)/ P(A) por P( A); obtenemos la siguiente regla multiplicativa, esta es importante por que nos permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos. Teorema: si un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces P( A B)= P( A) P(B/A). as la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A. Como los eventos ( A B) y (BA) son equivalentes, que tambin lo podemos escribir como

2.6 Eventos independientes: Regla de Bayes. La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurri primero dado lo que ocurri despus. Para llegar a establecer tan til regla vamos a estudiar una proposicin previa. Proposicin 3.8: Sean Al, A2, ,Ak, una particin de S, esto es Ai Aj = , y . Entonces para cualquier evento B se tiene que: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + + P(Ak)P(B/Ak)

Demostracin: Considrese el siguiente diagrama:

(B) = P(B S) = P[B (A1 A2 Ak )] = P[(B A1) (B A2) (B Ak )] (unin de eventos mutuamente excluyentes) = P(B A1) + P(B A2) + +P(B Ak) (por el axioma 3) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ +P(Ak)P(B/Ak) (por ecuacin [3.3])

Regla de Beyes: Sean Al, A2, ,Ak, una particin de S y B un evento cualquiera en S. Entonces:

2.7 Variable aleatoria. Se llama variable aleatoria a toda funcin que asocia a cada elemento del espacio muestral E un nmero real. Se utilizan letras maysculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta es aquella que slo puede tomar valores enteros. Ejemplos El nmero de hijos de una familia, la puntuacin obtenida al lanzar un dado.

Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

2.8 Variables aleatorias conjuntas.1.- Variables aleatorias discretas conjuntas Rango: RX;Y = fx1; x2; :::; xng fy1; y2; :::; ymg = RX RY Funcion de probabilidad conjunta: PXY (x; y) = P[X = x \ Y = y]; x; y 2 RXY Propiedades fundamentales de PXY (x; y a) 0 PXY (x; y) 1: Consideraremos que si x; y =2 RXY ) PXY (x; y) = 0 b) Xn i=1 Xm j=1 PXY (xi; yj) = 1; xi 2 RX; yj 2 RY Funcion de distribucion acumulada conjunta: FXY (x; y) = P[X x \ Y y]; x; y 2 IR Propiedades fundamentales de FXY (x; y) a) 0 FXY (x; y) 1 b) FXY (1; y) = FXY (x;1) = 0; FXY (1;1) = 1

M as propiedades pueden deducirse de forma obvia a partir de la definicin de la funcin. Relaciones entre ambas funciones. FXY (x; y) = X 8xix X 8yjy PXY (xi; yj); xi; yj 2 RXY ; 8x; y 2 IR

Funciones marginales. PX(x) = X 8y2RY PXY (x; y); PY (y) = X 8x2RX PXY (x; y) FX(x) = FXY (x;1); FY (y) = FXY (1; y) 2.- Variables aleatorias continuas conjuntas Rango: RXY , conteniendo un numero innito de puntos. Funcion de distribucion acumulada conjunta: FXY (x; y) = P[X x \ Y y]; x; y 2 IR Propiedades fundamentales de FXY (x; y) : las mismas que en el caso discreto. Funcion de densidad de probabilidad conjunta: fXY (x; y) = @2FXY (x; y) @x@y ; x; y 2 RXY Propiedades fundamentales de fX(x) a) fX(x) 0: Consideraremos que si x; y =2 RXY ) fXY (x; y) = 0 b) RR RXY fXY (x; y) = 1.

Relaciones entre ambas funciones. fXY (x; y) = @2FXY (x;y) @x@y ; x; y 2 RXY (denicion de fXY (x; y)) FXY (x; y) = Rx 1 Ry 1 fXY (x; y)dydx; 8x; y 2 IR

2.9 Modelos analticos de fenmenos aleatorios discretos. Distribucin Normal. La Distribucin de Probabilidad Continua ms Importante de la Estadstica. Su grafica es una curva acampanada llamada Curva Normal deriva la distribucin de conjuntos de datos que ocurra en la naturaleza, industria e investigacin. Abraham Moiure (1733): desarrollo expresin matemtica base de la estadstica inductiva. Karl Frigdrich Gauss (1777): dedujo la ecuacin Af la curva a partir de errores en mediciones repetidas. Curva o distribucin Caussiana. Variable Aleatoria Normal. La v.a. contina x que tiene la distribucin, su forma acampanada depende de los parmetros y . Se designan los valores de la funcin de densidad de x (f d p) por n(x, , ). n(x,,)=1/(2) e^(-1/2) [((x-))/],- z1) = 0.9 Z = 1.96

Dada una distancia normal determine k de modo que: P(z < k) = 0.0427 K = - 1.72 P(z > k) = 0.2946 P (z > x) = 1 P (z < k) = 1 0.2946 = 0.7054 Z = 0.54 P (-0.93 < z < k) = 0.7235 P (z < k) P (z < -0.93) = 0.7235 P (z < k) - 0.1762 = 0.7335 P (z < k) = 0.7235 + 0.1762 = 0.9013 Z = 1.29 Dada una distancia normal con = 30 y r = 6 obtener el rea bajo la curva normal.

2.10 Modelos analticos de fenmenos aleatorios continuos. Distribucin Normal. La Distribucin de Probabilidad Continua ms Importante de la Estadstica. Su grafica es una curva acampanada llamada Curva Normal deriva la distribucin de conjuntos de datos que ocurra en la naturaleza, industria e investigacin. Abraham Moiure (1733): desarrollo expresin matemtica base de la estadstica inductiva. Karl Frigdrich Gauss (1777): dedujo la ecuacin Af la curva a partir de errores en mediciones repetidas. Curva o distribucin Caussiana. Variable Aleatoria Normal. La v.a. contina x que tiene la distribucin, su forma acampanada depende de los parmetros y . Se designan los valores de la funcin de densidad de x (f d p) por n(x, , ). n(x,,)=1/(2) e^(-1/2) [((x-))/],- z1) = 0.9 Z = 1.96

Dada una distancia normal determine k de modo que:

P(z < k) = 0.0427 K = - 1.72P(z > k) = 0.2946

P (z > x) = 1 P (z < k) = 1 0.2946 = 0.7054 Z = 0.54P (-0.93 < z < k) = 0.7235 P (z < k) P (z < -0.93) = 0.7235 P (z < k) - 0.1762 = 0.7335 P (z < k) = 0.7235 + 0.1762 = 0.9013 Z = 1.29 Dada una distancia normal con = 30 y r = 6 obtener el rea bajo la curva normal.