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UNIDAD 2

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS EN INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES

investigación de operaciones.

modelos de líneas de espera.

Investigación de operaciones

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Introducción

En la unidad 1 aprendimos la importancia que tiene la investigación de operaciones (I. O.) en la toma de decisiones, tanto estratégicas como operacionales, donde el ingeniero uti l iza la metodología

de la I. O. para resolver los problemas que se presentan en la industria; también presentamos algunas aplicaciones concretas. En cuanto a la metodología, explicamos que una de las partes más importante pero compleja, es la construcción del modelo matemático que represente de manera válida y ef icaz el problema a resolver. En esta unidad analizaremos el concepto de modelo, los tipos de modelos y f inalmente la construcción de modelos matemáticos que representen las relaciones entre las variables y los datos de un problema, así como ejemplos de programación l ineal, redes y líneas de espera.

En conclusión, pretendemos que con esta unidad el lector comprenda y analice cada uno de los pasos para la construcción de un modelo matemático válido, independientemente de la diversidad del problema que represente, y no sólo se memorice un modelo particular para un caso específico o individual.

2.1. Definición de modelo y su clasificación

Un modelo es la representación simplificada de un fenómeno que conserva las relaciones más significativas entre las variables y los datos involucrados en el fenómeno para su fácil manipulación.

Un modelo representa parcialmente a la realidad. Si quisiéramos construir un modelo que la representara 100%, (si fuera posible) resultaría muy costoso, complejo y de dif ícil manejo; sin embargo, tampoco vamos a construir modelos simplistas que se alejen demasiado de la realidad. Es responsabilidad del ingeniero desarrollar el punto medio entre estos dos extremos.

Antes de clasif icar los modelos por su tipo, citemos algunos ejemplos.

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Ejemplo 1

En Francia existe un túnel de viento donde se prueban los f uselajes de los aviones para determinar su resistencia al viento y a las turbulencias. Sería muy costoso construi r un túnel de viento lo suf icientemente grande para probar un avión de dimensiones reales, además resultaría muy costosa la construcción del prototipo. En lugar de hacer esto, se construyen modelos a escala de los aviones que se desean probar.

Ejemplo 2

En una empresa se tiene una línea de producción que consta de 12 pasos, si queremos mostrar esta línea de producción a un grupo de inversionistas para inducirlos a la compra de acciones de la compañía, sería complicado llevarlos directamente a la línea de producción, ya que el ruido y los obreros no permitirían una buena comunicación; en su lugar podemos construir un diagrama de f lujo que represente la línea de producción.

Ejemplo 3

Una compañía que fabrica pasta dental desea saber cuántas personas en México conocen su producto. Una forma de saberlo es preguntarle a cada mexicano, lo que resultaría muy costoso para la empresa, en su lugar podemos uti l izar un modelo estadístico que nos permita hacer la pregunta solamente a un grupo reducido (muestra), y con base en los resultados inferi r el comportamiento en toda la población. Cada uno de los ejemplos anteriores, representa un tipo de modelo, el primero es un modelo tangible construido en tres dimensiones, el segundo util iza un esquema que es análogo a la línea de producción mientras que el último es un modelo matemático para representar la realidad.


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Los modelos se clasif ican en:

Modelos icónicos

Es una representación a escala de la realidad, suprimiendo algunos aspectos para facil itar su manipulación. Una característica importante de este tipo de modelos, es que se uti lizan para analizar fenómenos que se mantienen estáticos. Ejemplos:

Modelos analógicos

Un modelo analógico, es un sistema que tiene un comportamiento parecido al problema que se desea estudiar pero con la diferencia que el modelo sí se puede manipular. Por ejemplo, para medir la velocidad de un automóvil la velocidad angular de la l lanta se transforma en corriente eléctrica; aquí la analogía consiste en que la corriente inducida se incrementa en forma proporcional a la velocidad del automóvil. La corriente inducida mueve la aguja del velocímetro hacia una posición dentro de una escala de velocidades. A diferencia de los modelos icónicos, los modelos analógicos pueden representar situaciones dinámicas, además de que al util izar este tipo de modelos incrementamos la capacidad de hacer cambios. Ejemplos:

medicinas en animales.

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Modelos matemáticos

Este tipo de modelos representan la realidad mediante símbolos y cantidades relacionadas matemáticamente; por ser abstractos no están restringidos a un número específ ico de dimensiones, ya que podemos manejar tantas variables como queramos. Un ejemplo de este tipo de modelo simbólico es una ecuación, la cual puede representar las relaciones entre el tiempo que tarda en caer un cuerpo y el valor de la velocidad inicial, la masa del cuerpo, la fricción del aire, la temperatura, etcétera.

Ejemplos de modelos matemáticos:

E = mc2

F = ma

C tt

( )2

1 000

optimización.

Zmáx = 10x + 50y2x + 3y < 57x –14y > 6

x, y > 0 Los modelos simbólicos tienen muchas ventajas sobre la descripción de un problema. Algunas de las ventajas son:

Un modelo matemático puede ser muy preciso. Por ejemplo, decir que se desea mejorar un proceso de construcción de tornillos, no nos indica de manera clara a qué se ref iere el “mejorar el proceso”, sin embargo, si escribimos la ecuación de costo de producción y decimos que ésta se quiere minimizar (Zmín = 3x + 4y), el problema queda bien determinado.

En un modelo simbólico sólo se consideran las variables y datos que son importantes para obtener la solución del problema. Ejemplo: si se tienen cuatro trabajadores que producen 30 horas de trabajo al día; es probable que no interese el número de trabajadores, sino únicamente el número de horas de trabajo generadas, por tal motivo en el modelo simbólico sólo aparecerá 30 como un dato.


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la computadora para la solución de los problemas de I. O.

En este l ibro util izaremos modelos matemáticos.

Ejercicio 1

1. Un modelo matemático es:

a) Una ecuación. b) Un avión a escala.c) Una fotografía.d) Un diagrama de f lujo.

2. Un ejemplo de un modelo icónico es:

a) Una ecuación. b) Un avión a escala.c) Una fórmula química.d) Un diagrama de f lujo.

3. Es una abstracción simplif icada de la realidad:

a) Un problema.b) Un experimento.c) Un modelo.d) Una hipótesis.

4. Escribe la def inición de modelo____________________________________________________________________________________________________________________________________________.

5. De la clasif icación de modelos, ¿cuál es el tipo de modelo que se uti liza para resolver problemas en I. O.?______________________________________________________________________.

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2.2. Construcción de modelos de programación lineal

Una vez def inido lo que representan los modelos y cómo se clasif ican, ahora tenemos que aprender a construi rlos. En la unidad 1 mencionamos que existen programas computacionales comerciales que nos permiten resolver problemas de I. O., que para ser ef icaces, el usuario debe introducir los datos del modelo a la computadora (en la actual idad, no existen programas computacionales capaces de construi r modelos).

Construi r modelos matemáticos es considerado por algunos especialistas un arte, ya que cada persona realiza su interpretación de la realidad; para hacer un modelo no existe un algoritmo específ ico, sino que, se debe uti lizar mucha creatividad y una gran cantidad de conocimientos técnicos af ines con el tema del problema que se trata de solucionar. Por ejemplo, si queremos obtener el modelo matemático de un proceso químico debemos tener conocimientos sobre química, para entender las reacciones químicas que se llevan a cabo durante el proceso, para que de esta manera podamos cuantif icarlas mediante símbolos.

Al desarrollar un modelo es recomendable empezar con uno muy sencillo, que sólo tome en cuenta pocas variables y datos; posteriormente se construyen modelos más complejos, los cuales consideran más variables y datos. Este proceso se detiene cuando el ingeniero considere que el modelo obtenido representa de manera satisfactoria el problema de estudio.

Los modelos matemáticos que vamos a construir en I. O. son:


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Para clasif icarlos, uti lizamos diferentes criterios como son:

Uno de los modelos más importantes en la I. O. es el modelo de programación l ineal (P. L.), el cual se def ine como:

Un modelo de P. L. consiste en una función l ineal, la cual se desea optimizar (maximizar o minimizar) sujeta a un conjunto de restricciones l ineales.

Los modelos de P. L. aparecen en aplicaciones para optimizar

Para construir un modelo de P. L. se recomienda:

1. Identif icar los datos y las variables de decisión.2. Identif icar las restricciones.3. Identif icar la función objetivo.

2.2.1. Los datos y las variables de decisión

Para poder construir modelos, necesitamos tener identif icadas las variables del problema, además de los datos que intervienen en el mismo.

El primer paso para la construcción de modelos consiste en identificar las variables controlables o de decisión, esto es, las variables cuyo valor

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deseamos determinar. El valor de estas variables, una vez determinado, representa la solución del problema. Para identif icar estas variables, debemos cuestionarnos: ¿qué es lo que queremos cuantif icar?, ¿qué valores del problema podemos manipular?, ¿cuáles son los valores de las variables a optimizar?, ¿qué valores, una vez determinados, forman una solución del problema? Analicemos el siguiente ejemplo para ver cómo se identif ican las variables de decisión:

Ejemplo 4

La empresa NINTEN se dedica a la fabricación de impresoras. Producen tres modelos distintos, la impresora de matriz de puntos, la láser y la de inyección de tinta. El i ngeniero de producción decidi rá sobre el número de impresoras (de cada tipo) que deben fabricar. Para el lo debe tomar en cuenta los datos contenidos en la siguiente tabla:

La información contenida en la tabla 1 se interpreta de la siguiente manera: el renglón nos indica el tipo de impresora y la columna nos indica el tipo de dato. Por ejemplo, cada impresora de inyección de tinta produce una ganancia de $ 700.00, el costo de una impresora de matriz de puntos es de $ 1 000.00, mientras que el tiempo para fabricar una impresora láser es de 60 minutos.

El ingeniero sabe que el capital disponible para producir el lote de impresoras es de $ 595 000.00 y sólo se dispone de 265 horas de fuerza de trabajo. Además, el departamento de ventas le informa que todas las impresoras producidas por debajo o igual a la demanda mínima se pueden vender sin ningún problema.


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Lo primero para construir el modelo matemático de este problema es identif icar las variables de decisión, para esto debemos contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es lo que queremos cuantif icar?

Respuesta: Las ganancias producidas por la producción y venta del lote de impresoras.

2. ¿De qué dependen las ganancias?

Respuesta: Del número de impresoras que se fabriquen y vendan de cada tipo (no confundir con la ganancia unitaria precio-costo).

3. ¿Se puede optimizar el número de impresoras fabricadas de cada modelo?

Respuesta: Sí.

4. Si conocemos el número óptimo de impresoras que debemos producir de cada modelo para obtener la máxima ganancia, ¿está resuelto el problema?

Respuesta: Sí.

Podemos concluir que las variables de decisión son la cantidad de impresoras de cada modelo que se deben producir.

Se le dará un nombre a cada una de las variables de decisión. El nombre debe dar una idea del tipo de variable que representa, además debe ser de fácil manipulación. Para el ejemplo podemos util izar:

IM = número de impresoras del tipo de matriz de puntos que se deben producir y vender.

IT = número de impresoras del tipo de inyección de tinta que se deben producir y vender.

IL = número de impresoras láser que se deben producir y vender.

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Una vez determinadas las variables de decisión, debemos identif icar aquellas cantidades que intervienen en el problema. Por ejemplo; los costos de fabricación de cada impresora, la demanda del producto, la fuerza de trabajo disponible, el tiempo de uso de una máquina, etc. A todas estas cantidades les llamaremos datos; estos datos quedan determinados al plantearse el problema.

Los datos para el ejemplo son:

2.2.2. Las restricciones y la función objetivo

Una vez que se tienen las variables de decisión y los datos del problema, se formula matemáticamente, tanto el objetivo que se persigue, como cada una de las restricciones del problema.

La función objetivo se l lama así ya que su propósito es:

Por ejemplo, en una dieta se busca la combinación óptima de nutrientes que minimice costos, a la vez que se minimiza el contenido de grasa en el menú. En general, la función objetivo debe medir de manera cuantitativa el factor a optimizar.


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Recordemos que la I. O. es una herramienta que permite al ingeniero tomar decisiones de tipo operativo. Estas decisiones son tomadas con la premisa de maximizar las util idades de la empresa, las cuales dependen de los siguientes factores:

La función de uti lidades U(x) de una empresa asociada a un producto, la podemos escribir matemáticamente como:

U x px C x( ) ( )

Donde:

x = volumen de venta.p = precio de venta.C(x) = función de costos evaluada en x, esto es, nos dice el costo de producir x productos.

Si tenemos dos o más productos, la función de util idad es igual a la suma de las funciones de util idad de cada uno de los productos, es decir:

U x x x U x U x U xn n( , , ... ) ( ) ( ) ... ( )1 2 1 2

Donde xi es el volumen de venta del i-ésimo producto.

Para poder maximizar las util idades de la compañía tenemos varias alternativas:

util idad.

precio competitivo.

Estos factores son los que se deben ver ref lejados en la función objetivo, la cual debe medir de una manera matemática los costos o util idades de producir y vender una combinación de productos.

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Para construir la función objetivo debemos:

ejemplo de NINTEN: maximizar las util idades de la empresa, debidas a la producción y venta de los tres tipos de impresoras.

datos del problema, util izando operaciones aritméticas.

Para la empresa NINTEN las util idades por producir y vender impresoras de matriz de puntos (IM) es igual al producto de la ganancia unitaria por el total de impresoras producidas y vendidas, es decir:

U IM IM1 800( )

De manera similar se obtienen las ganancias para las impresoras de inyección de tinta (IT) y las del tipo láser (IL).

U IT IT

U IL IL2

3

700

1 000

( )

( )

Finalmente, la uti lidad total es la suma de estas tres uti lidades:

U IM IT IL IM IT IL( , , ) 800 700 1 000 Esta última expresión matemática calcula la util idad en términos de las variables de decisión. La función objetivo la escribimos como:

Zmáx = 800 700 1 000IM IT IL

Las restricciones son relaciones matemáticas entre las variables de decisión y las limitantes de la empresa. En el caso de los modelos de P. L. estas restricciones son desigualdades o igualdades l ineales. Estas inecuaciones matemáticas incluyen restricciones lógicas para las variables que las condicionan a ser siempre positivas. A estas restricciones que se presentan al f inal del modelo les l lamaremos condiciones de no negatividad.


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En las restricciones se deben tomar en cuenta:

Las restricciones son las condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para constituir una solución aceptable.*

Para nuestro ejemplo las restricciones son las siguientes:

. Sólo tenemos $ 595 000.00 de capital disponible para la producción del lote de impresoras, por lo tanto, el costo de producción debe ser menor o igual a esta cantidad. El costo de producir IM es de 1 000 IM, para las IT es de 1 500 IT y para las IL 2 400 IL, por lo tanto, el costo de producción es la suma de las cantidades anteriores, es decir:

1 000 1 500 2 400 IM IT ILPero esta cantidad debe ser menor a 595 000. Esto lo representamos matemáticamente como:

* Kamlesh Mathur y Daniel Solow, Investigación de operaciones, Prentice-Hall.

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1 000 1 500 2 400 595 000 IM IT IL

. La empresa cuenta con 265 horas de fuerza de trabajo para la producción del lote de impresoras. El tiempo de fabricación de las IM es de 30 IM minutos, para las IT es de 40 IT minutos y f inalmente para las IL 60 IL minutos. Por lo tanto, el tiempo total de fabricación del lote en minutos es de:

30 40 60IM IT IL

Pero este tiempo debe ser a lo más de 265 horas. Para representarlo matemáticamente, primero se convierten 265 horas en minutos (para trabajar con las mismas unidades)

26560

115 900hr

hrmín

min

Con lo cual la restricción se escribe como:

30 40 60 15 900IM IT IL

. Para asegurarnos que todas las impresoras producidas sean vendidas, la cantidad de IM debe ser menor o igual a 100, las de IT debe ser menor o igual a 80 y las IL deben ser a lo más 50. Para escribir esto en forma matemática:

IM

IT

IL

100

80

50

. No podemos producir cantidades negativas de impresoras y en este caso, tampoco podemos producir f racciones de ellas, por tanto, los valores de las variables deben ser enteros positivos:

IM

IT

IL

IM IT IL Z

0

0

0

, ,


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El modelo matemático que obtenemos es del tipo de programación lineal:

Zmáx = IM IT IL800 700 1 000

sujeto a las restricciones:

1 000 1 500 2 400 595 000

30 40 60 15 900

100

IM IT IL

IM IT IL

IM

IIT

IL

80

50

Con condición de no negatividad:

Además:

IM

IT

IL

IM IT IL

0

0

0

, ,

Ejercicio 2

1. Escribe la def inición de un modelo de programación l ineal.______________________________________________________________________________________________________________________________________.

2. Los modelos que vamos a uti lizar en I. O. son:

a) Modelos icónicos.b) Modelos simbólicos o matemáticos.c) Modelos críticos.d) Modelos analógicos.

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3. El modelo de P. L. se util iza en:

a) Modelos de líneas de espera.b) Modelos de inventarios.c) Modelos no l ineales.d) Modelos de transporte.

4. Una variable de decisión en el ejemplo de NINTEN es:

a) El precio de venta de las impresoras.b) El tiempo de fabricación de cada impresora.c) El número de impresoras láser que se debe producir.d) El capital disponible.

5. Escribe los pasos del proceso de construcción de los modelos de P. L.

Identif icación _____________________________________.Identif icación _____________________________________.Identif icación _____________________________________.

6. Relaciona las siguientes columnas.

a) Restricciones físicas. ( ) Las variables deben ser siempre positivas. b) Restricciones de la empresa. ( ) El precio del producto debe ser menor al de la competencia. c) Restricciones lógicas. ( ) El espacio del almacén de producto terminado. d) Restricción externa. ( ) El capital disponible.

2.3. Construcción de modelos de redes y de líneas de espera

En la sección anterior aprendimos a construir modelos simbólicos de programación lineal. Aunque este modelo se puede aplicar en varios problemas reales de manufactura y transporte, no se puede util izar para modelar problemas con variables estocásticas, es decir, variables cuyo valor depende del azar.


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En este libro vamos a estudiar dos modelos que util izan variables estocásticas:

El modelo de redes se util iza para calcular el tiempo de elaboración de un proyecto.* Si conocemos este tiempo, podemos tratar de disminuirlo cuidando que los costos no se eleven demasiado. El modelo de líneas de espera se util iza para determinar el número de estaciones de servicio, o de personas que deben ser contratadas para dar atención a clientes, buscando tener el número óptimo, esto es, el número que permita conservar los costos más bajos y, además, disminuir el tiempo de espera de cada uno de los clientes.

Modelo de redes

La fabricación de un bien o servicio se l leva a cabo en varias etapas donde cada una recibe el nombre de proceso. Para tener un control sobre el tiempo en que se produce el bien o servicio, debemos conocer cada uno de los procesos, el tiempo que tarda en l levarse a cabo y el orden que se debe seguir. Por ejemplo, en la fabricación de una computadora se deben ensamblar cada una de sus partes (tarjeta madre, memoria RAM, memoria ROM, bus, disco duro, discos f lexibles, puertos, fuente de poder, etc.). Si alguno de estos procesos se interrumpe o tarda demasiado, afecta toda la línea de producción, por lo tanto, es importante tener un modelo que nos permita conocer los posibles puntos de falla y así poder tomar medidas preventivas. Los modelos de redes también miden los tiempos de cada proceso, para que de esta manera se trate de optimizar el tiempo total, al buscar alternativas en la elaboración del producto (rutas críticas).

Para obtener el modelo matemático de un problema de redes, debemos seguir los siguientes cuatro pasos:

* Plan que se idea para produci r un bien o servicio.

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proceso (si usamos la técnica PERT) o establecer una estimación determinística de este tiempo (si usamos la técnica CPM).

procesos, su interrelación y sus tiempos estimados.

Los procesos* pueden ser sencil los o complejos. Los procesos complejos pueden analizarse como proyectos, los cuales a su vez tienen otros procesos intermedios.

Por ejemplo, el proyecto estadounidense de poner al hombre en la luna antes de que terminara la década de los 60’s constaba de varios procesos complejos (construcción de una nave para el viaje, selección y entrenamiento de los astronautas, desarrollo tecnológico para las comunicaciones, diseño y construcción de pequeñas computadoras que se pudieran l levar en las naves, etc.), por lo tanto, cada uno de estos procesos constituía en sí mismo un proyecto que a su vez estaba formado por numerosos procesos. Los procesos tienen características bien def inidas que nos pueden servir para identif icarlos, éstas son:

Ejemplo. El proceso de selección de los astronautas comienza con la convocatoria para reclutar candidatos y termina con la selección de un grupo para formar la tripulación de la nave.

culminación del proyecto. Ejemplo. Si no tenemos l ista a la tripulación, no podemos llevar a cabo el proyecto de poner un hombre en la luna.

Ejemplo. En cuanto se tiene la tripulación, una parte del proyecto esta concluida.

tiene sobre el proyecto. Ejemplo. Para el presidente de la NASA, un proceso es la construcción de computadoras para controlar el vuelo, pero para el ingeniero de sistemas, un proceso es la construcción de un

* Pasos intermedios para la elaboración de un bien o servicio.


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compilador para el lenguaje de programación que se va a util izar en las computadoras de las naves espaciales.

proceso. Ejemplo. El presidente nombró un responsable del proyecto, el cual a su vez nombró responsables de cada uno de los procesos.

Para obtener el tiempo probable de cada proceso se debe realizar un análisis estadístico,* el cual nos va a dar como resultado tres datos:

es el tiempo con mayor probabilidad en el que puede l levarse a cabo el proceso.

Tiempo pesimista del proceso: es el intervalo de tiempo más largo en el que puede l levarse a cabo el proceso.

Tiempo optimista: es el intervalo de tiempo más corto en el que puede l levarse a cabo el proceso.

Para obtener el tiempo que se asigna a cada proceso, se util iza un promedio ponderado, donde el tiempo probable tiene un peso mayor al de los tiempos extremos:

tt t t

ep o4

6Donde:

te = tiempo esperado.

tp = tiempo pesimista.

t = tiempo probable.to = tiempo optimista.

Para comenzar a diseñar la red de proyectos, primero se realiza una tabla que muestre la relación de precedencia** de cada uno de los procesos. Por ejemplo, en el proyecto de preparar a los astronautas, el primer proceso

* Para más detalles consultar Spiegel, Estadística, McGraw-Hil l.* * Precedencia: Antelación, prioridad de una cosa con respecto a otra en el tiempo o en el espacio (Larousse 2000).

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es seleccionarlos, posteriormente se empieza con un acondicionamiento f ísico, pruebas de manejo de aeronaves, prepararlos para la ingravidez, etc. Por lo tanto, seleccionar a los candidatos es un proceso que precede al proceso de acondicionamiento f ísico.

La red que se construye tiene la forma de un grafo, es decir, es un conjunto de vértices o nodos (que representamos con un círculo) unidos por arcos o aristas. Un ejemplo de grafo se muestra en la f igura 2.1.

Figura 2.1.

Ahora, para construir la red se dibuja un nodo con el número cero, el cual indica el inicio de nuestro proyecto. Tomando como punto de partida este nodo, se dibujan los nodos que no son precedidos por ningún otro; éstos se unen con el nodo cero mediante arcos de f lecha, los cuales se nombran con la etiqueta del proceso como se muestra en la f igura 2.2.

Figura 2.2.

El nodo uno representa un punto en el tiempo, en el cual el proceso A ya se concluyó, por lo tanto, a partir de este punto se dibujan los nodos que representen los procesos que siguen al proceso A. Esto se facil ita si observamos la tabla de precedencia, supongamos que el proceso que sigue a A es B como se muestra en la f igura 2.3.


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Figura 2.3.

Y que al proceso C le sigue el proceso D, si se añaden estos dos procesos, se obtiene el esquema presentado en la f igura 2.4.

Figura 2.4.

Se continúa de esta manera hasta representar todos los procesos del proyecto. Finalmente, se coloca el nodo que represente el f inal del proyecto. Si algunos de los nodos no están unidos con otros para que la red se cierre, se colocan procesos artif iciales, los cuales se representan con una línea punteada y se les asigna un tiempo nulo. Con esto se obtiene una red que representa los pasos a seguir en la elaboración del proyecto. En la f igura 2.5., se muestra el ejemplo de una red de proyecto:

Figura 2.5.

Por último, se colocan los tiempos estimados para cada proceso, con esto se obtiene una red que representa el proyecto (f igura 2.6.), la cual va a permitir posteriormente buscar la ruta crítica, para tratar de optimizar el tiempo de terminación del proyecto. Esto último se estudiará en la unidad 10.

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Figura 2.6.

Ejemplo 5

Para poder generar energía eléctrica en una planta termoeléctrica, se uti liza la energía química que tiene el combustóleo para calentar el agua y convertirla en vapor sobrecalentado, el cual proporciona la presión necesaria para mover las turbinas, las cuales lo convierten en energía mecánica que es trasmitida al generador eléctrico. El proyecto de convertir el agua en vapor para generar energía eléctrica, consta de los siguientes procesos:

Cada una de estas tareas se llevan a cabo de manera independiente. Si queremos calcular el tiempo mínimo de terminación del proyecto, debemos medir el tiempo que se lleva cada proceso. En este caso, como las variaciones de tiempo son muy pequeñas, consideramos que su valor es constante y analizamos el proceso como un modelo de redes tipo CPM.


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En la siguiente tabla mostramos el tiempo de cada proceso:

Proceso Etiqueta Tiempo (minutos) Extracción de agua A 30 Desmineralización B 120 Primer nivel de calentado C 65 Segundo nivel de calentado D 50 Tercer nivel de calentado E 25 Paso por turbina F 5 Precalentado de combustible G 35 Inyección de combustible H 5

A continuación presentamos la tabla de precedencia.

Proceso Procesos precedentes A. Extracción de agua Ninguno B. Desmineralización A C. Primer nivel de calentado H, B D. Segundo nivel de calentado C E. Tercer nivel de calentado D F. Paso por turbina E G. Precalentado de combustible Ninguno H. Inyección de combustible G

Con esta información construimos la red, véase la f igura 2.7.

Figura 2.7.

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Modelos de líneas de espera

En la industria existen varios procesos que se comportan como un sistema de línea de espera. Una línea de espera se forma cuando los clientes o productos llegan a una “ estación de servicio” y tienen que esperar a ser atendidos.

Ejemplos:

de un banco.

en red.

Este tipo de sistemas tienen una modelación especial, ya que en ellos aparecen variables y distribuciones probabilísticas. Una línea de espera se describe mediante los siguientes parámetros:

1. El tiempo promedio de l legada de nuestros clientes. 2. El tiempo promedio que lleva a las estaciones atender a un cliente. 3. El número máximo de clientes que pueden esperar en la f i la. 4. El comportamiento de la f i la. 5. Número de estaciones.

Si se conocen estos parámetros, es posible tomar decisiones sobre:

Número de estaciones de servicio . Si se debe aumentar o disminuir. Esto es crucial para las empresas, ya que al abrir demasiadas estaciones los costos se elevan, mientras que tener un número insuficiente puede ocasionar perdida de clientes.

. Es posible construir una f ila única (unif ila) donde los clientes se distribuyen a las estaciones de servicio, o bien construir una f ila delante de cada una de ellas. En los bancos se utilizan uni f i las, mientras que en las tiendas de autoservicio se uti l i zan multif i las (al igual que en los hospitales).

Colocar estaciones especiales . Se pueden colocar estaciones de servicio que sólo atiendan a clientes que cumplan ciertas características. En los bancos se cuenta con cajas empresariales, en las


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tiendas de autoservicio se colocan cajas rápidas y en los hospitales se cuenta con el área de urgencias.

. Se debe determinar un espacio f ísico para que los clientes se formen, éste depende del número máximo de clientes que puede tener la f i la o del número promedio de ellos. En algunos bancos se colocan sillas para que los clientes esperen sentados, mientras que en otras empresas existen almacenes intermedios entre un proceso y otro.

Para realizar el modelo simbólico de una línea de espera, se debe conocer cada uno de los siguientes componentes:

. Es el total de clientes que pueden llegar a nuestra estación de servicio. Esta población puede considerarse inf inita (en un sentido teórico), si el número de clientes es demasiado grande. Por lo general es más sencillo modelar líneas de espera inf initas que f initas.

Ejemplos. Un banco considera que su población es infinita, ya que en teoría cualquier persona puede entrar a solicitar uno de sus servicios.

En una empresa con 15 empleados, la f i la que se forma para que les paguen es a lo más de 15, por lo tanto es f inita.

Proceso de llegadas . Las l legadas pueden ocurri r con una frecuencia conocida (variable determinística) o bien pueden ser aleatorias. En el caso de que la llegada de clientes sea probabilística, se util iza una función de distribución probabilística exponencial

negativa f t e t( )1

donde (lambda) es el número promedio

de llegadas por unidad de tiempo. Esto es, si se quiere saber cuál es la probabilidad de que llegue un cliente en la próxima unidad de tiempo.

P(tiempo entre l legadas < t)=1–e t

Ejemplo. En un hospital la llegada de pacientes al departamento de urgencias es aleatorio, con un promedio =10 pacientes/hora. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un cliente en los próximos 20 minutos?

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Lo primero es convertir los 20 minutos a horas, ya que (lambda) está dada en pacientes por hora; 20 min = 1/3 de hora. P(tiempo entre llegadas < 1/3) = 1–e–10(1/3)

1 1 0 036 0 9643 33e . . .

Esto quiere decir que nuestra probabilidad es de 96.4%.

En cambio en el área de especialidades a los cl ientes se les programa mediante citas, por lo que su llegada es determinística.

. Los clientes tienen que elegir entre varias f ilas (multicanal), o existe una f ila única (canal sencillo). Ejemplo: En una empresa se tienen dos casetas de servicio, los obreros pasan todas las mañanas por sus herramientas de trabajo, el ingeniero no sabe si deben formar una f ila única e i r pasando a una de las dos casetas, o bien, formar una f ila frente a cada caseta.

. Es la forma en que cada estación da el servicio a los clientes, incluyendo el tiempo que tarda en atenderlos. El tiempo puede ser determinístico o probabilístico. En este último caso, podemos util izar también una función de distribución de probabilidades. Ejemplo: En una ensambladora de automóviles la línea de producción está semiautomatizada, por lo que la planeación se hace pensando en que los robots siempre tengan piezas esperando a ser atendidas, pues de otra manera el robot estaría ocioso y esto ocasionaría un costo adicional. Aquí la estación de servicio (robot) siempre tarda el mismo tiempo en atender a sus clientes. En cambio en un centro de servicio de automóviles el tiempo que tarda un mecánico en reparar un automóvil es variable, ya que depende del tipo de falla que atienda.

. Después de ser atendidos los cl ientes se pueden retirar del proceso o deben pasar a otra estación de servicio. Cuando sucede esto último se dice que se tiene una red de líneas de espera.

Ejemplo: En una industria de refrescos los envases deben formar una f i la frente a la máquina de lavado y posteriormente formarse frente a la máquina de l lenado.


77

Ejemplo 6

Pensemos en una clínica de consulta externa donde atienden dos doctores. El horario de atención es de 8 a.m. a 5 p.m. El tiempo de consulta por paciente oscila entre 6 y 30 minutos. Los pacientes l legan a la clínica de manera aleatoria, con una frecuencia dada por la siguiente tabla:

Núm. de pacientes por hora Frecuencia 6 20% 7 30% 8 25% 9 15% 10 10%

Esto es, se tiene el 0.20 de probabil idad de que lleguen 6 pacientes en la siguiente hora, el 0.30 de que lleguen 7, 0.25 de que l leguen 8, etc. El tiempo que tarda la consulta también es aleatorio, el cual se modela con una distribución normal con media de 18 y desviación estándar de 4 minutos. Si los pacientes l legan más rápido de los que son atendidos por los doctores, entonces se va a formar una f ila. En este proceso existen dos variables estocásticas, el número de pacientes que llegan a la clínica y el tiempo de consulta por paciente.

El interés del problema es minimizar el tiempo que esperan los pacientes para ser atendidos, ya que si se prolonga demasiado, el paciente sale de la clínica, con lo cual se perdería al cl iente. Una solución pudiera ser contratar más doctores, sin embargo, esto hace que los costos se eleven y si el número de clientes no es lo suf icientemente grande para tener ocupados a todos los doctores, se pierde dinero por el tiempo ocioso. Por lo tanto, nuevamente se busca un punto de equilibrio, donde el tiempo de espera por parte del paciente sea mínimo pero al menor costo posible. Todo esto se tratará con mayor detalle en la unidad 9.

Unidad 2

78

Ejercicio 3

1. Es el nombre que se les da a las variables cuyo valor depende del azar.

a) Discreta.b) Aleatoria.c) Continua.d) Determinística.

2. Es el proceso de análisis de proyectos que util iza tiempos aleatorios.

a) PERTb) CPMc) PETRd) PCM

3. Proceso donde los clientes deben esperar ser atendidos por una estación de servicio.

a) Redes.b) Programación lineal.c) Inventarios. d) Líneas de espera.

4. Describe las cinco características que debe cumplir un proceso.______________________________________________________________________________________________________________________________________________.

5. Coloca el nombre de cada componente en la siguiente red.

a)

b)

c)

d)


79

6. Relaciona las siguientes columnas

a) Tipo de f ila. ( ) Almacén intermedio entre un proceso y otro.b) Estaciones especiales. ( ) Unif i la.c) Espacio f ísico para la f i la. ( ) Caja rápida.d) Multicanal.

7. Describe cada uno de los siguientes componentes de una línea de espera:

a) Proceso de llegadas.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

b) Proceso de servicio.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

2.4. Clasificación de modelos matemáticos en investigación de operaciones

Los modelos matemáticos que se obtienen al resolver problemas de I. O., se clasif ican dependiendo del tipo de variables que utilizan, del tipo de función objetivo, si existen restricciones y de qué tipo son; esto se hace con la f inalidad de tener bien identif icado el modelo y así poder buscar la mejor técnica para resolverlo. A continuación presentamos una clasif icación de los modelos:

Determinísticos . Si el valor que toman las variables no depende del azar.Estocástico . Si el valor de las variables depende del azar.

Los determinísticos se clasif ican a su vez:

Unidad 2

80

Lineal . Si la función objetivo es lineal en todas las variables que la forman.No lineal . Si al menos una de las variables de la función objetivo aparece con un exponente distinto a uno.

I nrestr ictos . Son modelos que no tienen restricciones.. Son modelos que tienen restricciones. Las restricciones

a su vez pueden ser lineales o no lineales.

Los estocásticos se clasif ican a su vez:

Llegadas de tipo exponencial . Si medimos el tiempo entre llegada y llegada.Llegadas de tipo Poisson . Si medimos el número de llegadas por unidad de tiempo.

Servicio de tipo exponencial . Si medimos el tiempo entre llegada y llegada.Servicio de tipo Poisson . Si medimos el número de llegadas por unidad de tiempo.

Los modelos determinísticos lineales con restricciones lineales, se resuelven util izando la técnica del método símplex; los modelos determinísticos no lineales sin restricciones se solucionan con el método de gradiente conjugado; los modelos determinísticos no lineales con restricciones util izan la técnica de multiplicadores de Lagrange; los modelos estocásticos util izan técnicas de simulación tipo montecarlo o teoría de grafos.


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Ejercicios propuestos

Construye el modelo de programación lineal del siguiente problema.

1. Un hospital cuenta con dos máquinas para revelar radiografías, la primera es capaz de revelar hasta 25 radiograf ías por hora, con un costo de $ 5.00 cada una. La otra máquina revela hasta 50 radiografías por hora a un costo de $ 8.00. El hospital revela como mínimo 50 radiografías por hora. ¿Cuántas radiografías debemos revelar en cada máquina para optimizar los recursos?

2. Construye la red CPM del proyecto fabricación de bicicletas:

Proceso T (minutos) A. Armar el cuadro 20 B. Pintar el cuadro 30 C. Ensamblar las llantas 10 D. Añadir las llantas al cuadro 10 E. Colocar el manubrio 2 F. Colocar el asiento 8 G. Insertar el sistema de freno 20 H. Instalar el sistema de transmisión 28

3. En un banco la l legada de clientes es aleatoria, con un promedio de 20 clientes/hora. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un cliente en los próximos 10 minutos?

Unidad 2

82

Autoevaluación

1. Es la representación idealizada de la realidad mediante símbolos y ecuaciones:

a) Modelo icónico.b) Modelo analógico.c) Modelo matemático.d) Modelo probabilístico.

2. Modelo matemático que consta de función objetivo lineal y restricciones l ineales:

a) Modelo probabilístico.b) Modelo determinístico.c) Modelo símplex.d) Modelo de programación lineal.

3. El primer paso para la construcción de un modelo de programación l ineal es:

a) Identif icar la función objetivo.b) Identif icar las variables.c) Escribir las restricciones.d) Sustituir los valores.

4. Una compañía fabrica tres tipos de refacciones, la ganancia por la refacción 1 es de $ 5.00, por la refacción 2 es de $ 3.00 y por la refacción 3 es de $ 4.00. Si queremos optimizar las ganancias, la función objetivo es:

a) Zmáx = R R R3 3 41 2 3

b) Zmáx = R R R5 3 31 2 3

c) Zmáx = R R R5 41 2 3

d) Zmáx = R R R5 3 41 2 3


83

5. Un ejemplo de modelo icónico es:

a) Un velocímetro.b) Un reloj digital.c) Un globo terráqueo.d) Una ecuación diferencial.

6. Es el tipo de modelo en que podemos manejar n-dimensiones:

a) Modelo angular.b) Modelo icónico.c) Modelo matemático.d) Modelo analógico.

7. Mide de manera matemática los costos o uti lidades de producir o vender una combinación de productos:

a) Las restricciones.b) La función de probabilidades.c) La función de costos.d) La función objetivo.

8. Dada la siguiente red, indicar el orden de los procesos:

a) c precede a bb) b precede a 0c) c precede a 0d) b precede a c

Unidad 2

84

9. Es la forma en que cada estación da servicio a los clientes:

a) Tiempo de l legada.b) Proceso de f i la.c) Proceso de servicio.d) Proceso de salida.

10. Un servicio de autolavado atiende en promedio a 15 autos/hora. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un automóvil en los próximos 5 minutos?

a) 71.34%b) 100%c) 94.6%d) 33.33%


85

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. a)

2. b)

3. c)

4. Un modelo es la representación simplif icada de un fenómeno de la realidad, conservando las relaciones más signif icativas entre las variables y los datos involucrados en el fenómeno para su fácil manipulación.

5. Modelo icónico, modelo analógico y modelo simbólico.

Ejercicio 2

1. Un modelo de P. L. consiste en una función lineal, la cual se desea optimizar (maximizar o minimizar) sujeta a un conjunto de restricciones l ineales.

2. b)

3. d)

4. c)

5. Los datos y las variables de decisión. Las restricciones. La función objetivo.

6. (c) (d) (a) (b)

Unidad 2

86

Ejercicio 3

1. b)

2. a)

3. d)

4. Los procesos deben tener un comienzo y un f inal claros. La terminación de cada proceso debe ser necesaria para la culminación del proyecto.

Un proceso debe representar un progreso en el proyecto. El tamaño del proceso está en relación directa con el control que tenemos sobre el proyecto.

Debe existir una persona o grupo de personas responsables de cada proceso.

5. a) Nodo. b) Arista. c) Tiempo de proceso. d) Etiqueta de proceso.

6. (c) (a) (b)

7. a) Es la forma en la que llegan los clientes a las estaciones de servicio. b) Es la forma en que se atiende a los clientes, incluyendo el tiempo de servicio.


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Respuestas a los ejercicios propuestos1. M

1 = radiografías reveladas en la máquina 1

M2 = radiografías reveladas en la máquina 2

Z M M

s a M M

5 8

501 2

1 2. .

M

M1

2

25

50

con las condiciones de positividaad

M

M1

2

0

0

2.

3. 96.4%

mín

Unidad 2

88

Respuestas a la autoevaluación

1. c)2. d)3. b)4. d)5. c)6. c)7. d)8. d)9. c)10. a)

unidad 2 - gc.scalahed.com...unidad 2 56 2.2. construcción de modelos de programación lineal una...

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