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Universidad Diego Portales CALCULO I

1

Unidad 2

Funciones


2

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función de A en B esuna regla que relaciona cada elemento x de A con un único elemento y de B.

Por ejemplo, sea A = {x / x alumno de la UDP}, B = IN y f la función que asigna a cada elemento x de A su edad y en años.

Funciones – Conceptos generales

El conjunto A para el cual f asigna una única imagen y ∈B se denomina el dominio de la función f (Dom f). El conjunto de los correspondientes valores y∈B se conoce como recorrido de la función f (Rec f).

Notación: f: A B se lee “f función de A en B” y la regla de correspondencia se acostumbra denotar y = f(x). El elemento y de B se llama imagen de x por la función f.


3

Ejercicio: Construya dos relaciones que constituyan funciones

Si A = IR o A ⊆ IR, entonces se dice que la función y = f(x) con x∈A es una función de una variable real. Si además B = IR, se dice que f es una función real de variable real.

En esta unidad nos interesa estudiar las funciones reales de una variable real. Asíentonces el dominio y recorrido se expresan,

f} Dom xun para f(x), / y IR{y fRec f(x)} y que tal IR y! / IR{x f Dom

∈=∈==∈∃∈=

Ejemplos de tales funciones son las siguientes:

3-x g(x) x 32xf(x) x

IR[[3,:g IR :

=→+=→

→∞→IRf


4

Otra forma es como una maquina: Si x esta en el dominio de la función f, cuando x entra en la máquina, queda aceptada como materia prima y la máquina produce una salida f(x), siguiendo las reglas de la función.

Las funciones preprogramadas de una calculadora son ejemplos de la función concebida como una máquina.

Visualización de una función

Una forma de visualizar una función es mediante un diagrama de flechas. Cada flecha va de un elemento de A y termina en un elemento de B.

x f(x)


5

Dos funciones f y g son iguales, y escribiremos f = g, si y sólo si Dom f = D = Dom g y además f(x) = g(x) para todo x en D.

Igualdad de funciones

Por ejemplo, las funciones f y g dadas por f(x) = x + 1 y g(x) = son iguales en IR – {1}.

1x1x 2

−−


6

El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Una función expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por otra.

1. El área de un círculo depende de la longitud de su radio.

2. El costo de producir cualquier artículo depende del número de artículos producidos.

3. La temperatura a la que hierve el agua depende de la altura ( el punto de ebullición baja si uno asciende).

4. La cantidad en la que crecerán sus ahorros en un año dependen de la tasa de interés ofrecida por el banco


7

Si una función se establece mediante una fórmula y su dominio no se especifica explícitamente, se adopta la convención de que el dominio es el conjunto de todos los números para los cuales tiene sentido la fórmula y da como resultado un número real.

Por ejemplo, determinemos el dominio de la función 1tt2t)t(g

2

−−

=

),2[)1,0[01-t2)-t(t / IRw 0

1tt2t / IRtg Dom

2∞∪=

≥∈=

≥−−

∈=

Ejercicio: Determine el dominio de las siguientes funciones,

2x21x2)x(f 1ww4)w(f

8u2u)u(f 1t

2t4)t(f

x6xx

x)x(f 6xx

3)x(f

3

36

25

243

23

2221

+

+=−+−=

−−=+

−=

−+=

−+=


8

Ejercicio: Verifique los recorridos de las siguientes funciones en el dominio que se indica

[ [

] ] [ [[ ] [ ]0,1 1,1- x-1y

0, ,4- x -4y

{0}-IR {1}-IR 1-x

1y

0. IR Re

2

2

=

∞∞=

=

∞= xycorridoDominioFunción

Ejercicio: Considere las funciones f y g dadas. Determine el dominio de f y el recorrido de g.

1(x) x 1

32f(x) x

IR [,5[:g IR :

−=→+−

=→

→∞→ +

xgxx

Df


9

El gráfico de una función real de variable realSi f es una función real cuyo dominio es A, su gráfica es el conjunto de puntos (x, f(x)) del plano cartesiano con x en A, esdecir,

A} / xf(x)) {(x, A} xf(x), / y y),x{()f(Gr ∈=∈==

La gráfica de f consiste en todos los puntos (x, y) del plano cartesiano o rectangular tales que y = f(x), y x esta en el dominio de f.

La gráfica de una función f sirve para obtener una imagen útil del

comportamiento de una función


10

Una curva en el plano XY es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical intercepta la curva más de una vez.

2xy )c +−=2y x)a 2 −=

Reconocimiento de una función por su gráficoPrueba de la recta vertical

2xy )b +=


11

Problema: Se desea construir un silo en forma cilíndrica rematado por una bóveda semiesférica.

a) Exprese el volumen del silo en función de r y hb) Exprese el área del silo en función de r y hc) Si el costo de construcción por metro cuadrado

es el doble en la bóveda y el suelo comparado con la parte cilíndrica y el volumen del silo es V0 metros cúbicos, exprese el costo de construcción C como función de r y encuentre su dominio.

r

h

Problemas de aplicación


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ProblemaLa orilla de una piscina forma un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel los restantes 20 pies, como se ilustra en la figura que muestra una sección transversal. Si la piscina se ha llenado desde fuera alcanzando un nivel h en el lado más profundo, determine el volumen V(h) del agua en función de la altura h

60`

40`

9`


13

Funciones definidas por partesHemos visto funciones que están definidas por una sola

expresión algebraica para todos los valores de la variable dependiente. En algunas ocasiones sucede que debemos usar funciones que están definidas por más de una expresión.

Ejemplo: El índice de contaminación atmosférica en cierta ciudad varía durante el día de la siguiente manera:

donde t es el tiempo medido en horas, con t=0 correspondiendo a las 6 A.M , t=1 a las 7 A.M y así sucesivamente hasta t=16 que corresponde a las 10 P.M. ¿Cuáles son los niveles de contaminación a las 8 A.M, 12 del día, 6 P.M y 8 P.M?

<≤<≤<≤+<≤+

=

16t12 si3t -5012t4 si 144t2 si2t 6

2t0 si 42

)(

t

tp


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Problema: Un vendedor tiene un salario base de $1000 al mes más una comisión del 8% de las ventas totales que realiza por sobre $6000. Exprese sus ingresos mensuales I(x) como una función de x, donde x son las ventas mensuales totales en dólares.¿Cuál es el dominio de esta función? ¿Cuál será su salario total cuando realiza ventas por $ 5000 y $8000?

Problema: La siguiente tabla corresponde al Impuesto de Segunda Categoría, que de acuerdo al nivel de ingreso se distinguen los siguientes tramos, con sus respectivas tasas de impuesto. Escriba la función correspondiente a la tasa de impuesto (segunda categoría) por tramos de ingresos.

Una función como la anterior recibe el nombre de función definida por tramos o a trozos.


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Nota: Existen dos tipos de impuestos, de acuerdo a lo que gravan (o afectan): los impuestos directos, que gravan los ingresos o rentas de las personas naturales (como usted) y jurídicas (empresas) y los impuestos indirectos, que gravan las transacciones ( compraventade bienes y servicios) por ejemplo, el Impuesto al valor Agregado (IVA), los aranceles aduaneros y los impuestos específicos, comolos que gravan el consumo de combustibles, cigarrillos y licores.

TABLA DE IMPUESTO UNICO DE SEGUNDA CATEGORIAMARZO 2000 ( Período mensual)

Desde Hasta FACTOR CANTIDAD A REBAJAR (INCLUYE CREDITO 10% de UTM)

0,00 265.730,00 Exento Exento265.730,01 797.190,00 0,05 15.943,80797.190,01 1.328.650,00 0,1 55.803,301.328.650,01 1.860.110,00 0,15 122.235,801.860.110,01 2.391.570,00 0,25 308.246,802.391.570,01 3.188.760,00 0,35 547.403,803.188.760,01 y mas 0,45 866.279,80Fuente: El Diario- Marzo 2000


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Problema: Impuesto a los ingresos (renta)Existen dos tipos de impuestos a los ingresos de las personas:

el impuesto único al trabajo (segunda categoría) y el impuesto global complementario.

El impuesto único al trabajo afecta a todos los trabajadoresdependientes y se paga mensualmente. La empresa lo deduce del sueldo del trabajador y se lo paga al Estado. El impuesto global complementario se declara una vez al año, pero se hacen retenciones y pagos provisionales mensuales al Fisco como anticipo del impuesto anual. El global complementario lo pagan los trabajadores independientes (por ejemplo un empresario o profesional que trabaja por su cuenta) y todas aquellas personasque tienen más de una fuente de renta. Por ejemplo, si alguien tiene un sueldo fijo y recibe además dividendos de acciones, o hace un “pololo” que le signifique ingresos, debe declarar el impuesto global complementario una vez al año.


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Consideremos el cuadro del impuesto global complementario. Hagamos un ejemplo para explicar cómo se calcula el pago del impuesto. Imaginemos que una persona recibió rentas durante el 2000 por $5.000.000 y quiere calcular el pago del global complementario ¿qué debe hacer?.

Es necesario multiplicar el monto de la renta total anual por la tasa de impuesto de acuerdo al tramo, y descontar la cantidad a rebajar correspondiente.

TABLA DE IMPUESTO GLOBLAL COMPLEMENTARIOAÑO TRIBUTARIO 2000RENTA NETA GLOBALDesde Hasta FACTOR CANTIDAD A REBAJAR

(INCLUYE CREDITO 10% de 1 UTA) 0,00 3.166.560,00 Exento Exento3.166.560,01 9.499.680,00 0,05 189.993,609.499.680,01 15.832.800,00 0,1 664.977,6015.832.800,01 22.165.920,00 0,15 1.456.617,6022.165.920,01 28.499.040,00 0,25 3.673.209,6028.499.040,01 37.998.720,00 0,35 6.523.113,6037.998.720,01 y mas 0,45 10.322.985,60Fuente: El Diario- Marzo 2000


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El calculo que se debería hacer en este caso es:5.000.000x 0,05= 250.000

monto al que debemos descontar la cantidad a rebajar que, de acuerdo al cuadro, equivale a $189.993,6. Entonces, el impuesto total que debe pagar esta persona asciende a $60.006,4.

Problema: Determine la función por partes que permita calcular el impuesto global complementario que debe pagar una persona si su ingreso es x

Problema: Determine una función para el impuesto a las utilidades de las empresa, sabiendo que este impuesto llamado de Primera categoría, es un impuesto proporcional porque tiene una tasa única de 15% sobre las utilidades, cualquiera sea el nivel de éstas.

Para mayor informaciónsobre impuestosvisitar www.sii.cl


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Cero o raíz de una función realUn numero a del dominio de la función f se llama cero o raíz de

f si f(a) = 0. Por ejemplo, 3 es un cero de la función

Observamos que el gráfico de la función f corta el eje X justamente en el cero x = 3.

1x9x)x(f

2

−−

=

¿Cuál es el dominio de la función f?


20

Funciones acotadasSi existe entonces se

dice que la función f es acotada inferiormente por m. Si existe entonces se dice que la

función f es acotada superiormente por M. La función f es acotada si existe

f, Domx ),x(fm que tal IRm ∈∀≤∈

f, Domx , M)x(f que tal IRM ∈∀≤∈

f. Domx ,k f(x) que tal IRk ∈∀≤∈

Se dice que la función f alcanza el máximo en si en cuyo caso el numero f(x0) es el valor

máximo de f.Se dice que la función f alcanza el mínimo en si

en cuyo caso el numero f(x0) es el valor mínimo de f.

f Domxo ∈f, Domx ),x(ff(x) o ∈∀≤

f Domxo ∈f, Domx ),x(f)f(xo ∈∀≤

Por ejemplo, f(x) = sen(x) es acotada pues .IRx ,1 sen(x) ∈∀≤

El valor máximo de f(x) = sen(x) es 1 y el valor mínimo es -1


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Funciones monótonas: Crecientes y Decrecientes

Una función f de A en B se dice creciente en A si se cumple:

u v

f(u)f(v)

Una función f de A en B se dice decreciente en A si se cumple:

f(v)f(u)

u vFunc. creciente Func. decreciente

f(v))f(u) vu)(Av ,u( ≤⇒<∈∀

f(v))f(u) vu)(Av ,u( ≥⇒<∈∀f se dice monótona en A cuando ella es decreciente o bien creciente en A.


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Paridad: Funciones pares e impares

¿Cuál es el significado geométricode una función par y de una

función impar?

Si una función f satisface la ecuación f(x) = f(-x) para cada número x en su dominio, se dice que f es una función par.

Ejemplo: La funcionesf(x) = x2 y g(x) = cosx son funciones pares.

Si una función f satisface la ecuación f(-x) = -f(x) para cada número x en su dominio, se dice que f es una función impar.

Ejemplo: Las funcionesf(x) = x3 y g(x) = senx son impares.


23

Ejercicio: Grafique en la calculadora las funcionesf(x) = x5 + x y g(x) = 1 - x4.

¿Se trata de funciones pares o impares?

Funciones periódicasUna función f se dice periódica de periodo p si satisface f(x + p) = f(x) para cada número x en su dominio. Por ejemplo, la función f(x) = cos(x) es periódica de periodo . π2

Gráficamente, ¿qué significa que una función sea par o que sea impar?

A continuación describiremos ciertas funciones básicas : funciones algebraicas y trascendentes elementales.


24

Son funciones descritas por la fórmula f(x) = mx + b, con m y b números reales.

Estas funciones tienen dominio IR y, cuando m es distinto decero, el recorrido también es IR; su representación gráfica es una recta.

m=0 m<0m>0

El número real m se llama pendiente de la línea recta y corresponde a la razón de la elevación al recorrido.

Funciones lineales


25

recta la de puntos son )y,x(Q y)y,(xP donde

xxyy

recorridoelevaciónm

2211

1212

==

−−

==

y = mx+b


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Observe que la pendiente de una recta es siempre la misma constante, no importando las posiciones de los puntos P y Q sobre la línea. Y que la pendiente no está definida para líneas verticales.

mbxo

−=

Si m es distinto de 0, y = mx + b corta el eje X sólo en el punto que constituye el cero de la función lineal f(x) = mx + b.


27

Si m = 0, y = f(x) = b se llama función constante de valor b; gráficamente es una recta paralela al eje X que corta al eje Y en el número b. El recorrido de f es Rec f = {b}, f no tiene ceros, excepto si b = 0, y f es una función par.

Si m = 1 y b = 0, y = f(x) = x se llama función identidad.

Las rectas verticales tienen ecuación x = c, con c una constante real; ellas no corresponden al gráfico de una función.


28

(Modelo de costos)El costo de fabricar 10 computadoras al día es de US$350, mientras que cuesta US$600 producir 20 de estas computadoras al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación entre el costo total de producir x computadoras al día.Grafique la situación.

Problemas de aplicación


29

(Asignación de presupuesto)El alcalde de una comuna tiene un presupuesto de $200 millones para gastos de transporte, e intenta utilizarlos para construir líneas de tren subterráneo o carreteras. Si cuesta $2,5 millones construir 1 km de carretera y $4 millones construir 1 km de línea de tren subterráneo, encuentre la relación entre el número de kilómetrosde autopistas y de líneas de tren subterráneo que pueden construirse usando la totalidad de presupuesto.a) Grafique e interprete la pendiente de la relaciónlineal obtenida.b) ¿Cómo cambia el problema si se mantienen loscostos y el presupuesto aumenta en $300?c) ¿Qué ocurre con el problema original si sólo cambia el costo de construir un Km de carretera a $4 millones?


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(Alternativas de salario)Considere la siguiente situación, a la que se enfrentan algunas personas cuando tienen que decidir acerca de elegir un trabajo, o distintas posibilidades de salario mensual.

La señorita Peralta se dedica a la venta de seguros de vida ytiene que elegir entre las siguientes alternativas de salario:A. Sueldo base mensual de $75000 más 0,8% de comisión sobre

las ventas realizadas en el mes.B. Sueldo mensual de $30.000 más 5% de comisión sobre las

ventas realizadas durante el mes.C. Sueldo mensual de $60.000 más 4,5% de comisión sobre las

ventas realizadas durante el mes.Cada paquete de seguro de vida tiene un valor inicial de $25.000, sobre el cual se le aplica el porcentaje de comisión a la señoritaPeralta. ¿Qué le recomendaría a la señorita Peralta y por qué?Grafique en la calculadora las rectas asociadas a cada alternativa.


31


32

Función de costoEl costo de producir un producto está en función del volumen

producido. Este costo puede definirse de manera general como una suma de dos costos: Costo fijo y costo variable.

El costo fijo (CF) es la porción del costo total que no depende del volumen de producción.

El costo variable (CV) es la porción del costo total que depende y varía con el volumen de producción.

El modelo costo volumen para producir x unidades se podría escribir mediante la función C(x)= CF+(CV)(x).

Ejemplo (*): Suponga que el costo de preparación de una línea de producción es de 3000 dólares. Se trata de un costo fijo en el que se incurre independientemente del número de unidades que finalmente se produzcan. Además suponga que los costos de mano de obra y de material variables son de 2 dólares por cada unidad producida. El modelo costo-volumen para producir x unidades se podría escribir de la forma C(x)=3000+2x, donde x esel volumen de producción en unidades.


33

Función de ingresos

Si p(x) es el precio del producto o servicio y x es el volumen de ventas, en unidades, entonces el ingreso total asociado a la venta de x unidades se puede escribir mediante la función

R(x) = xP(x).

En el Ejemplo (*), si el precio del producto es $5 y x es el volumen de ventas entonces el ingreso es R(x) = 5x.

La función de ingreso marginal se define como la tasa de cambio del ingreso total respecto al volumen de ventas. Se trata del incremento en el ingreso total resultado de un incremento de una unidad en el volumen de ventas.


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Función de utilidadUno de los criterios más importantes para la toma de decisiones

administrativas es la utilidad.Si suponemos que sólo producimos lo que vendemos, el

volumen de producción y el volumen de ventas serán iguales. Podemos combinar las funciones de costo e ingreso vistas anteriormente para desarrollar un modelo utilidad-volumen que establecerá la utilidad asociada con un volumen determinado de producción y ventas:

U(x)= R(x) - C(x)

Si se conoce el punto de equilibrio (es decir, x tal que R(x)=C(x)), el administrador rápidamente puede inferir qué volúmenes por encima del punto de equilibrio darán como resultado una utilidad, en tanto qué volúmenes por debajo del punto de equilibrio resultarán en pérdida.


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10000

8000

6000

4000

2000

0 400 800 1200 1600 200

Pérdida

UtilidadCosto fijo

Punto de equilibrio = mil unidades

Costo total

C(x) = 3000 + 2x

Ingresos totales

R(x) = 5x

$

x

Volumen

Gráfica del Análisis de Punto de Equilibriopara el ejemplo de Producción.

Grafica del análisis de punto de equilibrio para el ejemplo (*) de producción


36

Ejercicio:Un fabricante puede vender cierto producto a $110 la unidad. Elcosto total equivale a costos indirectos fijos de $7500 más costos de producción de $60 por unidad.a) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para alcanzar

el punto de equilibrio?b) ¿Cuál es la utilidad o la pérdida del fabricante si se venden

100 unidades?c) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para obtener

una utilidad de $1250?


37

Ejercicio: Una empresa compra maquinaria por $150.000. Se espera que la vida útil de la maquinaria sea de 12 años con valor de desecho cero. Determine la cantidad de depreciación por año y una fórmula para el valor depreciado después de x años.

Cuando una compañía compra equipo o maquinaria registra el valor de tal equipo como uno de los activos en un balance general. Al pasar los años este valor debe decrecer porque el equipo lentamente se desgasta o se hace obsoleto. Esta reducción gradual en el valor de un activo se conoce como depreciación. Uno de los métodos ordinarios para calcular la cantidad de depreciación es reducir el valor por una cantidad constante cadaaño, de tal manera que el valor se reduzca a valores de desecho al término de la vida útil estimada para el equipo. Esto se denomina depreciación lineal.Tasa de depreciación (por año)

= (Valor inicial – Valor de desecho) ÷ (Vida útil en años)

Depreciación lineal


38

Función valor absoluto

0 xsix-0 xsix

x)x(f x

IRIR f

<≥

==→

→

Ejercicio: Verifique si las siguientes funciones son iguales. Grafique ambas funciones en la calculadora.

Observe que el recorrido de la función es y que f es par.

x31x4)x(f +−=

≥−

<−=

4141

xsi1x7

xsix1)x(g

+oIR


39

Ejercicio: Analice gráficamente y algebraicamente las siguientes funciones.

x53)x(q ,3-5xh(x)

,xxg(x) ,

xx

)x(f

−==

==

Ejercicio: Defina las siguientes funciones como funciones por partes; especifique los dominios de cada parte.

2xxh(x) )c

3x2611x

41g(x) )b

2xx2)x(f )a

+=

++−=

++−=


40

Función raíz cuadrada

Ejercicio: Indique el dominio de las siguientes funciones:

Observe que el dominio y el recorrido de esta función es .Además, f es creciente en .

x)x(f;IRIR fo =→+

3)(x-- y)3x(y 3xy

x3y 3xy 3xy

+=+−=−=

=−−=−=

Además grafique en la calculadora estas funciones.

+oIR

+oIR


41

Ejercicio: Analice la representación grafica de las funciones f y g dadas. ¿Cuáles son los dominios de estas funciones?

x1-xg(x)

x1x)x(f =

−=

Ejercicio: Represente gráficamente la función ¿Cuál es su dominio?

)1x(2-xy+−

=


42

Función Parte Entera o (función máximo entero)

]x[)x(f x

IRIR:f

=→

→

Ejercicio: Verifique si las siguientes funciones son iguales en el intervalo [-1,2[ . Grafique ambas funciones en la calculadora.

donde [x] representa al máximo entero menor o igual que x.

1x]x[)x(f −+=

<≤<≤−<≤−−

=2x1six1x0six10x1six

)x(g


43

Función cuadrática

, con a, b, c ∈IR, a≠0

La representación gráfica de f es una parábola que abre hacia arriba cuando a>0, abre hacia abajo cuando a<0 y cuyo vértice V tiene coordenadas:

a4)ac4b()x(fy ,

a2bx

2 −−==

−=

c bxax)x(f;IRIR 2f ++=→

Vértice

Vértice


44

Ejercicio: Grafique en la calculadora e indique el recorrido de las siguientes funciones:

x3xy xy xy

3xy 3x y xy22

312

222

+==−=

+===

Ejercicio: Determine dónde resulta creciente y dónde resulta decreciente la función f. Compruebe su respuesta a través del gráfico que le entrega la calculadora

22

22

x-3xf(x) c) 17x12x2)x(f )c

22x- f(x) b) 2)1x()x(f )a

=+−=

+=+−=

Problema: Determine el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas si la función de oferta de cierto articulo es F(x) = x2 + 3x – 70 y la función de demanda es D(x) = 410 - x.


45

Problema: Un fabricante puede producir radios a un costo de US$2 por unidad. Las radios se venden a US$5 cada una y a este precio, los consumidores compran 4000 radios al mes. El fabricante planea aumentar el precio de las radios y estima que por cada incremento de US$1 en el precio, se venderán 400 radios menos cada mes.

Exprese la utilidad mensual del fabricante como función delprecio de venta de las radios. Grafique esta función. ¿Cuál es la utilidad máxima y el precio de venta correspondiente?

Problema: La producción de manzanas de cada árbol en una parcela es de 500 – 5x kilos, en donde x es la densidad con que se plantan los árboles, es decir, el número de árboles por hectárea. Determine el valor de x que haga que la producción total por hectárea sea máxima.


46

Funciones Polinomiales

012

21n

1nn

n axaxa....xaxa)x(f x

IRIR:f

+++++=→

→−

−

Ejercicio: Determine los ceros de las funciones cúbicas graficadas precedentemente y si alguna de ellas es una función impar.


47

Funciones RacionalesUna función racional f es el cuociente entre dos polinomios, es

decir, es una función del tipo , en donde P y Q son funciones polinomiales.

El dominio de f es

Ejemplo de tres funciones racionales

)x(Q)x(P)x(f =

}0Q(x){x / -Q) DomP Dom(f Dom =∩=


48

En particular las hipérbolas equiláteras son funciones racionales. Una hipérbola equilátera es una función de la forma:

IR k h, donde , k hx

cy ∈+−

=

Esta expresión muchas veces se escribe (y - k)(x - h) = c.

Ejercicio: Grafique en la calculadora las siguientes funciones y determine qué ocurre cuando x tiende a 1. ¿Qué ocurre con la curva cuando se acerca a la recta y = 2?

21x

4 ye 2 1x

4y +−

−=+

−=

Ejercicio: Grafique las siguientes hipérbolas

46-x

3 y ,2x

42y ,3x

2-y

,3-x

5 y2,1)-4)(x-(y ,4)2x)(3y(

+=+

=++

=

===−+


49

C>0

y=k

x=h

x=h

y=k

C<0

k hx

cy +−

=


50

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

(1) La función f es equivalente a la función g, donde

(2) Para todo x en IR, se cumple que x ≤ x2

(3) Para todo x en IR - {0}, se cumple que

x1x)x(f −

=x

1x)x(g −=

1x1

≤

V o F


51

Funciones exponenciales

se conoce como función exponencial tiene dominio IR, recorrido, es decir, los valores que alcanza son siempre positivos.

Además, es una función creciente, inyectiva y tal que

exp : IR

x , donde e es el número irracional de valor aproximado 2,7182

xe

+IR

xeln

xex

xln

=

=

La función IRIR ⊂+

(c, ec)

donde ln x es el logaritmo natural de x.


52

En general se llaman funciones exponenciales a aquellas de la forma:

1

0<a<1Curva decreciente

1

a>1Curva creciente

1a 0,a con ,a)x(f x ≠>=

Gráficamente, estas funciones exponenciales son de dos tipos:


53

Algunas graficas


54

Una forma más general de la función exponencial es

IRc k, a, con ,caey kx ∈+=

Ejercicio: Grafique en la calculadora las siguientes funciones exponenciales y determine para qué valores de a y k la función es creciente. ¿Qué ocurre con la curva cuando se acerca a la rectay = c?

2-4e y,24e y,2e4 y,2e4y

3-2e y3,-2e y3,2e y,3e2y3x-3x3x-x3

-xx-xx

−=−−=−=−=

+=+=+=+=

Propiedades: Si entoncesIR, y y x,IRb a, ∈∈ +

a1a )v

ba

ba )iv

a)a( )iii )ab(b a )ii aa a )i

1x

xx

xyyxxxxyxyx

==

===

−

+


55

Ejercicio: Resuelva las ecuaciones exponenciales,

024-25-4 b)

222 )axx

1x31x2

=⋅

=⋅ −−+

Problema: Cierta empresa manufacturera ha observado que la demanda de su nuevo producto t meses después de introducirlos al mercado está dada por la función

.0t,e30004000)t(d t06,0 ≥−= −

¿Cuál es la demanda después de un mes y después de un año? ¿En qué nivel se espera que se estabilice la demanda?


56

Aplicación: Curvas de Aprendizaje

kxaecy −−=con éstas se citan con frecuencia como curvas de aprendizaje.

kxaecy −−=

y = c

A causa del extenso empleo para describir el aprendizaje que los sicólogos hacen de las curvas exponenciales de la forma

,IRk y a ,c +∈

Observe que la curva crece un poco rápido al principio, pero su razón de crecimiento comienza a disminuir de manera considerable después de cierto tiempo.

Este comportamiento de la gráfica de la función recuerda el patrón de aprendizaje experimentado por los obreros involucrados en un trabajo altamente repetitivo.


57

Por ejemplo, la productividad de un trabajador en una línea de ensamblaje aumenta con rapidez en las primeras etapas del periodo de capacitación. Este incremento de la productividad es resultado directo de la capacitación y la experiencia acumulada del sujeto. Pero la razón de incremento de productividad comienza a reducirse conforme pasa el tiempo y el nivel de productividad tiende a cierto nivel fijo por limitaciones del trabajador o de la máquina.Ejercicio: El departamento de capacitación de la empresa FOT determina que, después de concluir el programa de capacitación básico, un trabajador nuevo y sin experiencia, podrá ensamblar

cámaras fotográficas modelo F cada día, t meses después de iniciar su trabajo en la línea de ensamblaje. Determine ¿Cuántas cámaras modelo F puede ensamblar al día un trabajador nuevo, recién terminada la capacitación?, ¿Cuántas cámaras modelo F puede ensamblar al día un trabajador con 1, 2 y 6 mesesde experiencia? y ¿Cuántas cámaras modelo F puede ensamblar diariamente un trabajador experimentado?

t5,0e3050)t(Q −−=


58

Funciones logarítmicasLa función logaritmo en base a queda definida así:

y se tiene que

IR IR:log a →+

1a 0,a con ,)x(log x a ≠>→

xa )x(logy ya =⇔=

En consecuencia, si a es un número real positivo distinto de uno, se tiene que

+∈=

∈=

IR x, xa

IR x, xalogxlog

xa

a

Ejercicios: Calcule

811

91

2742

31

31

21 log ,243log ,8log

,log ,8log ,32log


59

Cuando la base del logaritmo es e, entonces la función logaritmo se denomina logaritmo natural y se escribe ln. Si la base es 10, el logaritmo se anota log.

a>1Curva creciente

0<a<1Curva decreciente

xlogy a=


60

Propiedades: Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces para se tiene que,

xlogkxlog

ylogxlogyxlog

ylogxlog)yx(logkalog ,1alog ,01log

ak

a

aaa

aaa

kaaa

⋅=

−=

+=⋅

===

+∈ IR y,x

Ejercicio: Grafique en la calculadora con la misma ventana de visualización las siguientes funciones:

3)ln(x y,3xln y,xlny +===


61

Los logaritmos son útiles en la resoluciónde aquellas ecuaciones en que la incógnita

aparece en el exponente

Ejercicio: a) Resuelva las ecuacionesb) Despeje t en la ecuación 3e12 t4,0 =−

43 y 5e2 3x-23x ==+

Ejercicio: Resolver

1))1x((loglog 6) 0)9x(log 5)

6log1)-log(2xlog(x) 4) 2)4x(log 3)11)-2)(xlog(x 2) 82)ln(5x )1

29

23

21

31 <−<−

=+>−=+=+


62

Problema: Poco después de consumir una dosis sustancial de whisky, el nivel de alcohol en la sangre de una persona sube a un nivel de 0,3 miligramos por mililitro (mg/ml). De ahí en adelante, este nivel decrece de acuerdo con la fórmula (0,3)(0,5)t , en donde t es el tiempo medido en horas a partir del instante en que se alcanza el nivel más alto.

¿Cuánto tendrá que esperar una persona para que pueda conducir legalmente su automóvil si, en su localidad, el límite legal es de 0,08 mg/ ml de alcohol en la sangre?


63

Funciones HiperbólicasCiertas combinaciones de las funciones exponenciales ex y e-x

se presentan con tanta frecuencia en matemáticas y sus aplicaciones, que merecen identificarlas con nombres especiales. Ellas son las funciones hiperbólicas: seno, coseno,tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólico y que se definen así:

senh(x)1csch(x)

)xcosh(1)x(hsec

senh(x)cosh(x)coth(x)

)xcosh()x(senh)xtanh(

2eecosh(x)

2ee)x(senh

xxxx

==

==

+=

−=

−−


64

y = senh

Las gráficas de seno hiperbólico y coseno hiperbólico

y = cosh

¿Cuál es el dominio de seno hiperbólico y de coseno hiperbólico?


65

Las funciones hiperbólicas satisfacen varias identidades, que son análogas a las conocidas identidades trigonométricas, a saber,

senh(-x) = -senh x cosh(-x) = cosh xsenh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh ycosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y

Las funciones hiperbólicas aparecen en las ciencias y en la ingeniería; se presentan siempre que una entidad como la luz, lavelocidad, la electricidad o la radioactividad, se absorbe o extingue en forma gradual, puesto que el decaimiento se puede representar con funciones hiperbólicas. La aplicación más famosaes el empleo del coseno hiperbólico para describir la forma de un cable colgante.

Ejercicio: Demuestre que cosh2x – senh2x = 1 y 1- tanh2x = sech2x


66

Funciones Trigonométricas

senxf(x) x IRIR:f

=→→

Las funciones seno y coseno

xcosg(x) x IRIR:g

=→→


67

La función seno es impar y la función coseno es par, esto significa que sen(-x) = sen x y cos(-x) = cos x.

Las funciones seno y coseno tienen dominio IR y recorrido el intervalo [-1,1]. Así, para todos los valores reales de x se cumple

1xcos1 y 1xsen1 ≤≤−≤≤−

Los ceros de estas funciones son, respectivamente, { } { }Zk / k y Zk / k 2 ∈π+∈π π

Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas de período 2π. Esto significa que, para todo valor de x, sen(x+2π) = senx y cos(x+ 2π) = cosx. La naturaleza periódica de estas funciones las hace útiles para modelar fenómenos periódicos como mareas, vibración en resortes y ondas sonoras.


68

0Su dominio es y el recorrido es IR. Tiene los mismos ceros de seno y es periódica de periodo π.

La función tangente es el cuociente entre seno y coseno:

La función cotangente es la recíproca de tangente:

Las funciones tangente y cotangente

23π

2π−

2ππ− π

0 2π π

23π

2π− π2

xcosxsenxtan =

0}cosx / IRx{ ≠∈

xsenxcosxancot =


69

Las funciones secante y cosecante

Las dos funciones trigonométricas restantes secante y cosecante son, respectivamente, las recíprocas de las funciones coseno y seno.

xcos1xsec =

0

0

2π

2π

π

π

23π

23π

2π−

2π−

π−

π−

xsen1xcsc =


70

Ejercicio: Considere la identidad trigonométrica

A partir de esta identidad se acostumbra escribir

Utilice el modo gráfico de la calculadora para determinar si esta última igualdad es correcta. Si no lo es, ¿cómo debería escribirse?

xcos1xsen 22 −=

xcos1xsen 2−±=

Ejercicio: Considere las funciones f(x) = 3sen(2x) y g(x) = cos(2x + ). Determine los ceros de la función f y todos los valores tales que f = g. ¿Cuál es el período de estas funciones?

Ejercicio: Gráficamente, encuentre las raíces reales de las ecuaciones siguientes.

]2 ,2[x ππ−∈2π

0x-xcos 0xsen1e

e x 0xsenxx

x3

==−+

==−


71

Sean f y g funciones con dominios A y B respectivamente. Sedefinen las funciones suma f+g, resta f-g, producto fg y cuociente f/g como sigue:

Álgebra de funciones

)x(g)x(f)x(

gf

)x(g)x(f)x)(gf()x(g)x(f)x)(gf()x(g)x(f)x)(gf(

=

=⋅−=−+=+

¿Cuáles son los dominios de estas

funciones?

Para que estas funciones existan es preciso que x este en eldominio de f y en el dominio de g. Además, en el caso del cuociente, g(x) debe ser distinto de cero.

gDomfDom)gf(Dom)gf(Dom)gf(Dom ∩=⋅=−=+


72

Ejercicio: Determine f+g, f-g, f.g y f/g si f y g son las funciones definidas así,

Por ejemplo, si f, g y h son las funciones y , entonces

ln(x)g(x) , 2x)x(f =−=

x2)x(h −=

1) La función f + g tiene dominio [2, ) y

2) La función f h existe solo para x = 2 y (f h)(2) = 0.

3) La función tiene dominio (2, ) y

∞

∞hg

ln(x)2x)x)(gf( +−=+

x2)xln(

hg )x)((

−=

<≤<<−+

=4x0six0x2si1x

)x(f

>−≤<−−≤

=5xsi1x

5x1si21xsi1

)x(g

0}g(x) / x{)gDomfDom(Dom gf ≠−∩=


73

Composición de funcionesExiste otra forma de combinar dos funciones y obtener una

nueva función, esta es la composición.

Dadas dos funciones f y g, la composición de f y g, o función compuesta de f y g, denotada por fog se define mediante:

(fog)(x) = f(g(x))

Dom(fog) = { x∈Dom g / g(x) ∈Dom f }

¿Qué condiciones deben cumplir x y g(x) para que esté definida fog? Es decir, ¿cuál es el dominio de fog?


74

Ejercicio: Sean f y g las funciones dadas por

Determine las funciones compuestas (fog) y (gof).

fog

x g(x) f(g(x))g f

Por ejemplo, si f y g son las funciones entonces,

, 1xg(x) ,e)x(f 2x +==

1x2 2e)1x(f))x(g(f)x)(gf( +=+==o

1e)e(g))x(f(g)x)(fg( x2x +===o

22)-x(g(x) ,21x)x(f =+−=

Ejercicio: Determine las funciones f, g y h de modo que

)1xx(sen)x)(hgf( 2 ++=oo


75

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

V o F

1. La composición de funciones es conmutativa y asociativa.

2. Se cumple la propiedad distributiva de la composición respecto a la adición de funciones, es decir,

f o (g + h) = (f o g) + (f o h)

3. Si f y g son decrecientes, entonces f o g es decreciente.

4. Si f es una función con dominio D e Id es la función identidad Id(x) = x, entonces f o IdD = IdRec f o f = f.

5. Dada una función f, entonces siempre existe una función g tal que g o f = Id.


76

Funciones inyectivas o uno a uno

4321

10742

A B

f inyectiva g no inyectiva

f g

Una función con dominio A se llama inyectiva (o uno a uno) si nohay dos elementos de A que tengan la misma imagen, esto es,

O equivalente,

¿Bajo qué condiciones existirá g tal que gof = Id?

4321

A B10742

)a(f)x(f ax ≠⇒≠

ax )a(f)x(f =⇒=


77

¿Cómo se interpreta estacondición gráficamente?

f inyectivaf no inyectiva

Por ejemplo, las funciones lineales f(x) = ax + b, , son inyectivas, pero, las funciones cuadráticas f(x) = ax2+ bx + c,

, no lo son. IRx∈

IRx∈

Ejercicio: Demostrar que las funciones siguientes son inyectivas 3xg(x) 2x3)x(f +=−=

Ejercicio: Si f: A B y g: B C son funciones inyectivas, demuestre que fog también lo es.


78

Funciones biyectivasUna función f: A B se dice epiyectiva (o sobreyectiva) si Rec f = B, es decir, siLa función f se dice biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez.

f(x). yque talA x ,By =∈∃∈∀

Por ejemplo, las funciones lineales f(x) = ax + b, , son biyectivas.

IRx∈

La función cuadrática f: IR IR, definida por f(x) = 3x2 - 1, no es biyectiva. Si restringimos f: IR [-1, ] logramos una función epiyectiva pero no biyectiva. Para que f resulte ser biyectiva debemos restringir el dominio a .

∞

+oIR

Ejercicio: Sea f: A B la función f(x) = 2x2 - 3x – 5. Determine A y B de modo que f sea biyectiva.


79

x y=f(x)

f

f-1

Ejercicio: Determine las inversas de las siguientes funciones f, g, h y luego describa las funciones fof-1, f-1of, gog-1, g-1og, hoh-1

y h-1oh.

Función inversaSea f una función inyectiva con dominio A y recorrido B. La función inversa de f, denotada por f-1, tiene dominio B y recorrido A y está definida para cualquier y en B por

f-1(y) = x ⇔ f(x) = y

A B

23

x1

1h(x) 4x2)x(g x)x(f−

=+==


80

Propiedad de la función inversaSea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. La función inversa de f, f-1, satisface lo siguiente:

f-1(f(x) = x, para cualquier x en Af (f-1(x)) = x, para cualquier x en B

Recíprocamente, cualquier función f-1 que satisfaga estas ecuaciones es la inversa de f.

Por lo tanto, fof-1 = Id y f-1of=Id


81

Teorema: Toda función biyectiva tiene inversa. Además la función inversa resulta ser biyectiva.

¿Cómo se ven gráficamentelas funciones f y f-1?

Ejercicio : Grafique en su calculadora las funciones f, g y h dadas con sus respectivas inversas y descubra las propiedades que cumplen gráficamente.

3 2 1xh(x) )3xln()x(g 2x)x(f −=+=−=


82

Funciones trigonométricas inversasLas funciones trigonométricas seno y coseno no son inyectivas. Para que existan las funciones inversas debemos hacer ciertas restricciones en el dominio y el “codominio” de modo que seno y coseno resulten ser biyectivas:

son funciones biyectivas; luego existen las respectivas funciones inversas que se representan con sen-1 (o arcsen) y cos-1 (o arccos) y se denominan funciones arcoseno y arcocoseno.

xcosg(x) ; 1] [-1, ] [0, :g

xsenf(x) ; 1] [-1, ] ,[- :f 22=→π

=→ππ

De acuerdo con la definición de función inversa se tiene que:

x sen (x)sen

] ,[- 1] [-1, :sen

1-22

1

=α⇔α=

→ ππ−


83

Además,

0

1] [-1, xcuando x(x))sen(sen

] ,[- cuando ) sen(sen

1-22

1

∈=

∈αα=α ππ−

x cos (x)cos

] ,[0 1] [-1, :cos1-

1

=α⇔α=

π→−También se tiene que existe,

y se cumple,

2π−

2π

1-1

π

2π

1] [-1, xcuando x(x))cos(cos

] ,[0 cuando ) (coscos1-

1

∈=

π∈αα=α−

y = sen-1x y = cos-1x


84

La función tangente se puede volver biyectiva si se restringe así:

y = tan xy = tan-1x

2π

2π

2π−

2π−

; IR ) ,(- :tan 22 →ππ

x tan (x)tan

) ,(- IR :tan

1-22

1

=α⇔α=

→ ππ−Su inversa, arcotangente, es

IR xcuando x(x))tan(tan ), ,(- si ) (tantan y 1-22

1 ∈=∈αα=α ππ−


85

Las funciones trigonométricas inversas restantes no se usan con tanta frecuencia y se resumen a continuación.

] ]

[ [

),0(ycon cot IR)(x )(cot

)2/3 ,2) / ,0ycon sec 1)x ( )(sec

2/3 ,(2/ 0, (ycon csc 1)x ( )(csc

1

1

1

π

πππ

πππ

∈=⇔∈=

∪∈=⇔≥=

∪∈=⇔≥=

−

−

−

xy xy

xy xy

xy xy

Funciones hiperbólicas inversasSe definen las funciones hiperbólicas inversas del modo siguiente:

xhy tan 0ycon x coshy cosh

xsenhy senh

1

1

1

=⇔=

≥=⇔=

=⇔=

−

−

−

xtanhyxyxy


86

IRcorridoIRDominioxy

==

= −

Re

senh 1

),0[Re),1[

cosh 1

∞=∞=

= −

corridoDominio

xy

IRcorridoDominio

xtanhy

=−=

= −

Re) 1 ,1(

1

1-11

y

00

0

Como la funciones hiperbólicas inversas se definen en términos de funciones exponenciales, no es de sorprenderse que las funciones hiperbólicas inversas se puedan expresar en términos de logaritmos naturales.

1x1- 11ln

21tanh

1 x )1ln(cosh

IRx ) 1ln( senh

1-

21-

21

<<

−+

=

≥++=

∈++=−

xxx

xx

xxx

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