MATEMTICA 1

Alumnos: Diego Buceta / Horacio Faras

Unidad N 2 - Actividad N3

Grupo Z41COR

Consigna en el Foro PIZARRN de la ACTIVIDAD 3. Abierto mientras dura la clase.

En este pizarrn compartir un ejemplo propio vinculado al uso de matrices y operaciones matriciales seleccionado junto a su compaero de grupo.La idea es, leer los ejemplos vinculados al Modelo, y luego construir un nuevo ejemplo similar a alguno de los ejemplos de la Gua relacionados a dicho modelo: plantear la situacin, agregar nodos, agregar vinculaciones, plantearse preguntas similares a la de esos modelos vinculados, y plantear las matrices y las operaciones que respondan. Algo as como una sntesis de todos los ejemplos vinculados.Tambin, compartir su composicin de transformaciones que llevan la letra N a otra en el plano.Para concluir, una aplicacin de matrices.

PARTE A. GRUPAL.(Contacte su compaero de grupo)La actividad consiste en seleccionar un modelo, entre los titulados modelos 1 a 4 inclusive (abajo mencionados) y resolverlo recreando el contexto. Donde por recrear entendemos complejizar as: agregando dos nodos o vrtices involucrados (que pueden ser personas, objetos, ciudades, etc.), agregando tres conexiones entre ellos (influencias, flujo, etc.), realizando todas las operaciones matriciales mostradas en los ejemplos afines al modelo. No es necesario explicar o fundamentar, como en la gua, que esa operacin da respuesta a la pregunta. Basta con plantear la pregunta y contestarla usando la operacin matricial.Tambin, analice y responda si las matrices intervinientes deben ser necesariamente cuadradas? Simtricas? Invertibles? Fundamente.Para operar use los ya conocidos paquetesWolfram Alpha,WirisyOnLineMSchool. Capture imgenes con la tecla Imr Pant, con el paquete PhotoScape o similar.Interprete la informacin dada por cada una de las matrices (generadas ya se con informacin de partida o por operatoria matricial): en forma general la matriz en su totalidad, y en forma ms especfica una entrada genrica i,j y una entrada particular 2,3 por ejemplo.Todo ello lo orienta adejar indicios de que comprende la modelizacin matemticade la situacin contextual planteada.En nuestro grupo seleccionamos el Modelo 4. Ejemplos 22, 23 y 24, responden al mismo modelo donde las matrices se multiplican para obtener nuevas matrices que brindan la informacin requerida. Aparece el Modelo Proceso de Markov.

PARTE A GRUPAL

Planteo de la situacin:

Los individuos de una determinada especie de aves se reparten entre 3 humedales, H1, H2 y H3. Inicialmente, el 40% de las aves estn en el humedal H1, el 30% en H2, y el 30% restante en H3. Tambin sabemos que, cada ao, se producen migraciones entre los tres humedales: un 10% de las aves de un humedal se va a cada uno de los otros dos humedales, y el 80% restante se queda donde estaba. Lo representamos en la siguiente tabla:

H1H2H3

H180 %10 %10 %

H210 %80 %10 %

H310 %10 %80 %

H: Humedal

A partir de estos datos, queremos dar respuesta a preguntas del siguiente tipo: 1) Evolucin a corto plazo: Cul es el porcentaje de aves que habr en cada humedal dentro de 1 ao? Y dentro de 2 aos?

2) Evolucin a largo plazo: Se producir algn tipo de estabilizacin de los porcentajes de reparto entre los 3 humedales, al cabo de varios aos?

Los pasos que vamos a seguir a continuacin son similares a los que se siguieron en los ejemplos de dinmica de poblaciones, con algunas pequeas adaptaciones. Vamos a trabajar con proporciones (tantos por uno) en vez de trabajar con porcentajes.

Llamaremos P1(t) a la proporcin de aves que hay en el humedal H1 en el instante t, P2(t) a la proporcin de aves que hay en el humedal H2 en el instante t, y P3(t) a la proporcin de aves que hay en el humedal H3 en el instante t. El vector que representa el reparto de proporciones en el instante t se define de la siguiente manera:

A continuacin, escribiremos las ecuaciones que describen el paso de un periodo t al periodo siguiente t+1.

Estas ecuaciones expresan la proporcin de individuos en cada humedal en el instante t+1, en funcin de la proporcin de individuos en cada humedal en el instante t y de la informacin disponible sobre los porcentajes anuales de migracin de un humedal a otro:

Despus, escribimos estas ecuaciones en forma matricial:

De este modo, toda la informacin relativa a la evolucin de las proporcionesen los 3 humedales queda recogida en la matriz

que recibe el nombre de matriz de transicin de una cadena de Markov. Este tipo de matrices son matrices cuadradas en las cuales los elementos de cada columna suman siempre uno. De manera abreviada, podemos escribir:

A partir de la representacin matricial, podemos responder a las preguntas planteadas, utilizando las herramientas del clculo matricial.

1) Evolucin a corto plazo.

La representacin matricial es muy cmoda si queremos estudiar la evolucin a corto plazo de los porcentajes de reparto en los 3 humedales, a partir de los porcentajes inciales de reparto.

Por ejemplo, al cabo de un ao, las proporciones de aves en cada humedal sern:

Resolucin con OnlineMSchool.com:

Al cabo de 2 aos, las proporciones de aves en cada humedal sern:

Resolucin con OnlineMSchool.com:

2) Evolucin a largo plazo.

Para saber cmo se estabilizan los porcentajes de aves en cada humedal, a largo plazo, volvemos a utilizar los resultados que ya se indicaron para las matrices de la dinmica de poblaciones, convenientemente adaptados:

Se verifica la igualdad PXn = P n X donde P n es la probabilidad de cambio en n perodos y X el vector de poblacin inicial.

En nuestro ejemplo : P(6) = PXnP n = T6X Vector de poblacin inicial = P(0)Al cabo de 6 aos, las proporciones que obtendramos seran:

Resolucin con OnlineMSchool.com:

A = T6 (Surge de resolver T*T*T*T*T*T)

= P(0) inicial

PARTE B. GRUPAL.La actividad consiste enrecrear el Ejemplo 28del material de estudio. Para recrearlo:1) Reemplace la matriz T de la Gua de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la accin que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.Nombres identificatorios: T= nueva matriz de transformacin D= matriz de coordenadas. TD=H=nueva matriz del transformado por T.Qu matriz calculara y cmo la usara con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, cmo procedera, operando con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?Dibuje. Realice los clculos con los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris, OnLineMSchool. Capture pantallas.2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llmela S, y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.Nuevos nombres identificatorios: S= nueva matriz de transformacin H= nueva matriz de coordenadas. SH=J=nueva matriz del transformado por S.

La idea es aplicar un movimiento atrs de otro y estudiar como cambia de posicin la letra N (esto es,hacer una composicin). As se trabajan las imgenes en una pantalla.Puntaje mximo: 20 puntos.Finalmente, con las partes A y B, arme el documento de texto, sbalo a Scribd o plataformas similares, copie el cdigo de insercin y embbalo en elforo-pizarrnpara compartir el trabajo.La idea es contar conproducciones que muestren diversas aplicaciones de las matrices.A partir de lasretroalimentaciones recibidaspor parte de la tutora corrija el trabajo y enve nuevamente en este espacio (abajo, enRealizar actividad)resaltandolas mismas.

Dibujo con Wiris, matriz D:

Matriz seleccionada para el movimiento:

Resultado de realizar la premultiplicacin:

El grfico de composicin es el que se detalla a continuacin:

En verde la matriz original, en rojo (H) matriz que resulta de premultiplicar por T, el movimiento es una reflexin, en la actividad se detalla que corresponde a una reflexin respecto de la recta x=y

Con T :

Procedo a realizar: T*D = H

El grfico de composicin es el que se detalla a continuacin:

En verde la matriz original (D), en Azul (H) matriz que resulta de premultiplicar por T, el movimiento es una reflexin, en la actividad se detalla que corresponde una reflexin respecto del eje y

A continuacin se muestran las 3 graficas con Wiris en una misma pantalla.

Tambin detallo la actividad realizada en Wiris: