Mtodos NumricosINVESTIGACIN DE UNIDAD 2 SOLUCIN DE ECUACIONES NO LINEALES DE UNA VARIABLE

INTRODUCCINUno de los problemas que se presenta con frecuencia en ingeniera es encontrar las races de ecuaciones de la forma f(x)=0, donde f(x) es una funcin real de una variable x f(x) = 4x5 + x3 8x + 2 o una funcin trascendente f(x) = ex sen x + ln 3x +x3 Existen distintos algoritmos para encontrar las races o ceros de f(x) = 0, pero ninguno es general; es decir, no hay un algoritmo que funciona con todas las ecuaciones. Estos mtodos se basan frmulas que requieren nicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran a la raz. Como tales, algunas veces divergen o se alejan de la raz verdadera a medida que cree el nmero de interacciones. Sin embargo, cuando los mtodos abiertos convergen, por lo general lo hacen mucho ms rpido que los mtodos que usan intervalos.

2.1 Bsqueda de valores iniciales. Tabulacin y graficacin.El uso de cualquier algoritmo numrico para encontrar las races f(x)=0, requiere uno o ms valores iniciales; adems en mtodos como el de biseccin y el de la regla falsa, los dos valores iniciales requeridos deben de estar a los lados de la raz buscada y sus valores funcionales correspondientes tienen que ser de signos opuestos. A continuacin se dan algunos lineamientos generales para obtener valores aproximados a las races de f(x)=0. 1. Por lo general, la ecuacin cuyas races se buscan tiene algn significado fsico; entonces a partir de consideraciones fsicas pueden estimarse valores aproximados a las races. Este razonamiento es particular para cada ecuacin. A continuacin se presenta un ejemplo para ilustrar esta idea. Ejemplo Determine el valor inicial en la solucin de una ecuacin de estado. Solucin El clculo del volumen molar de un gas dado, a cierta presin y temperatura tambin dadas, es un problema comn en ingeniera qumica. Para realizar dicho clculo se emplea alguna de las ecuaciones de estado conocidas. Una de ella es la ecuacin de Beattie-Bridgeman Donde los parmetros quedan determinados al fijar el gas de que se trata, su temperatura T y su presin P. En las condiciones expuestas, el problema se reduce a encontrar el o los valores de V que satisfagan la ecuacin anterior, en otros trminos, a determinar las races de polinomio en V ( ) Que resulta de multiplicar por la ecuacin de P y pasar todos sus trminos a un solo miembro. La solucin de la ecuacin anterior tiene como primer problema encontrar cuando menos un valor inicial cercano al volumen buscado V. Este valor , se obtiene a partir de la ley de los gases ideales; as Que generalmente es una primera aproximacin razonable.

Como puede observarse, el razonamiento es sencillo y se basa en el sentido comn y las leyes bsicas del fenmeno involucrado. 2. Otra manera de conseguir informacin sobre la funcin, que permita determinar buenos valores iniciales, consiste en obtener su grfica aproximada mediante un anlisis de f(x), a la manera clsica del clculo diferencial e integral, o bien como se ha venido sugiriendo, con algn

software comercial y, en el mejor de los casos, empleando ambos. A continuacin se presentan los pasos del anlisis de la funcin f(x) y de la construccin de su grfica clsica. a) Determinar el dominio de definicin de la funcin b) Determinar un subintervalo de (a), que puede ser (a) mismo. Es un intervalo donde se presupone que es de inters analizar la funcin. Evalese la funcin en los siguientes puntos de ese subintervalo: puntos extremos y aquellos donde sea fcil de clculo de f(x). En los siguientes pasos todo estar referido a este subintervalo. c) Encontrar los puntos singulares de la funcin (puntos en los cuales es infinita o no est definida). d) La primera y la segunda derivadas dan informacin muy til sobre la forma de la funcin, an ms til que informacin de valores computados; por ejemplo, dan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin. Por esto, obtngase la primera derivada y evalese en puntos apropiados, en particular en puntos cercanos a aquellos donde la funcin ya esa evaluada y en los que es fcil esta evaluacin. e) Encontrar los puntos mximo y mnimo, as como los valores de la funcin en esos puntos. f) Los dominios de concavidad y convexidad de la curva y los puntos de inflexin es informacin cualitativa y cuantitativa, que se obtiene a partir de la segunda derivada y es imprescindible para este anlisis. g) Obtener las asntotas de la funcin. stas, en caso de existir, indican cierta regularidad en los compartimientos de la grfica de y=f(x) al tender x o y hacia infinito. h) Descomponer la funcin en sus partes ms sencillas que se sumen o se multipliquen. Graficar cada parte y construir la grfica de la funcin original, combinando las grficas de las partes y la informacin conseguida en los pasos anteriores. Como se menciona en la parte anterior, hacer una grfica es un mtodo simple para obtener una aproximacin a la raz de la ecuacin f(x)=0 se observa donde cruza est en el eje x. Este punto, que representa el valor de x para la cual f(x)=0, proporciona una aproximacin inicial de la raz. Las tcnicas graficas tienen un valor prctico limitado, ya que no son precisas. Sin embargo, los mtodos grficos se pueden usar para obtener aproximaciones de la raz. Estas aproximaciones se pueden emplear como valores iniciales para los mtodos numricos. Las interpretaciones grficas, adems de proporcionar aproximaciones iniciales de la raz, son herramientas importantes en la compresin de las propiedades de las funciones, previendo las fallas de los mtodos numricos. Ejemplo, utilizando el mtodo de la grfica. Use la aproximacin grafica para determinar el coeficiente de razonamiento c necesario para que un paracaidista de masa=68.1 kg tenga una velocidad de despues de una cada libre de t= 10s. Nota: La aceleracin de la gravedad es de Solucin

Este problema se puede resolver determinando la raz de la ecuacin, utilizaremos los parmetros t=10, g=9.8, v=40 y m=68.1: ( ) ( ) (( )

Varios valores de c pueden ser sustituidos en el lado derecho de esta ecuacin para calcular C 4 8 12 16 20 f(c) 34.115 17.653 6.067 -2.269 -8.401

Estos puntos se muestran en la grfica siguiente. La curva resultante cruza el eje c entre 12 y 16. Un vistazo a la grfica proporciona una estimacin de la raz de 14.75. La validez de la estimacin visual se puede verificar sustituyendo su valor en la ecuacin ( )( )

(

(

)

para obtener ) (( ( ))

(

El cual es cercano a cero. Tambin puede revisarse por sustitucin en la ecuacin junto con el valor de los parmetros de este ejemplo para dar ( ) (( )

Que es muy cercano a la velocidad de cada deseada de 40 m/s. F(c) 40 30 20 10 Raz

Esta grafica representa las races de la ecuacin.

4 8 12

20

c

2.2 Mtodos cerrados y sus interpretaciones geomtricas (biseccin y regla falsa)METODO DE LA BISECCIONEl mtodo de la biseccin es muy similar al de posicin falsa, aunque algo ms simple. Como en el mtodo de posicin falsa, tambin se requieren dos valores iniciales a ambos lados de la raz y que sus valores funcionales correspondientes sean de signos opuestos. En este caso el valor de XM se obtiene como el punto medio entre XI Y XD

XM = (XI + XD)/2Dependiendo de la funcin que se tenga en particular, el mtodo de biseccin puede converger ligeramente ms rpido o ms lentamente que el mtodo de posicin falsa. Su gran ventaja sobre el mtodo de posicin falsa es que proporciona el tamao exacto del intervalo en cada iteracin (en ausencia de errores de redondeo). Para aclarar esto, ntese que en este mtodo despus de cada iteracin el tamao del intervalo se reduce a la mitad; despus de n interaciones, el intervalo original se habr reducido 2 veces. Por lo anterior, si el intervalo original es de tamao a y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos XM consecutivas es , entonces se requerirn n iteraciones, donde n, se calcula con la igualdad de la expresin:

< ,

2nDe donde:

Por esto se dice que se puede saber de antemano cuntas iteraciones se requieren.

Ejemplo 2.6:Utilice el mtodo de biseccin para obtener una raz real del polinomio:

SOLUCION: Con los valores iniciales obtenidos en el ejemplo 2.5:

Si = 10-3, el nmero de iteraciones n ser:

O bien: n =7 PRIMERA ITERACION:

Como f (XM) < 0 (distinto signo de f (XD)), se remplaza el valor de XI con el de XM, con lo cual queda un nuevo intervalo (1,1.5). Entonces:

SEGUNDA ITERACION:

Como ahora f (XM) < 0 (igual signo que (f (XD)), se remplaza el valor de XD con el valor de la nueva; de esta manera queda como intervalo (1.25, 1.5). La tabla 2.4 muestra los clculos, llevados a cabo trece veces, con el fin de hacer ciertas observaciones. El criterio |Xi+1 - Xi| se satisface en diez iteraciones; es decir, tres ms de las previstas en la ecuacin 2.15, debido principalmente a los errores de redondeo involucrados en el mtodo. Ntese que si se hubiese aplicado sobre | f (XM) |, se habra requerido 13 iteraciones en lugar de 10. En general se necesitarn ms iteraciones para satisfacer un valor de sobre | f (XM) | que cuando se aplica a | Xi+1 - Xi |.

Tabla 2.4 resultados del ejemplo 2.6.

REGLA FALSAAunque el mtodo de biseccin es una tcnica perfectamente vlida para determinar races su enfoque es relativamente ineficiente. La falsa posicin es una alternativa basada en una visualizacin grfica. Un efecto del mtodo de biseccin es que al dividir el intervalo de X a Xu en mitades iguales no se toma en consideracin la magnitud de f(X) y f(Xu). Por ejemplo si f(X) es mucho ms cercana a cero que f(Xu) es lgico que la raz se encuentra mucho ms cerca de X que de Xu. El hecho de que se reemplace la curva por una lnea recta dada una posicin falsa de la raz; de aqu el mtodo de falsa posicin, o en latn, regula falsi. Tambin se le conoce como el mtodo de interpolacin lineal. Usando tringulos semejantes la interseccin de la lnea recta con el eje de las x puede ser estimado como: F(X) = f(Xu) Xr-X Xr-Xu

El cual puede resolverse por: Xr=Xu f(Xu)(X-Xu) / f(X)-f(Xu) Ejemplo 5.6 Falsa posicin Enunciado del problema. Use el mtodo de la falsa posicin para determinar la raz de la ecuacin analizada. Solucin. Como el ejempl 5.3 iniciar el clculo con los valores iniciales de X=12 y Xu=16 Primera interaccin: X=12 f(X)= 6.0699 X=16 f(Xu)= -2.2688 Xr=16- -2.2688(12-16)/6.0669-(-2.2688)=14.9113 La cual tiene un error relativo verdadero de 0.89 por ciento Segunda interaccin: F(X) f(Xr) = -1.5426 Por lo tanto la raz se encuentra en el primer subintervalo y X, es ahora el lmite superior para la siguiente interaccin, Xu = 14.9113: X=12 f(X)= 6.0699

Xu=14.9113 f(Xu)= -0.2543

Xr=14.9113 -2.2688(12-16) / 6.0669-(-0.2543)= 14.7942 El cual tiene errores relativos verdaderos y aproximados de 0.09 y 0.79%.Se pueden realizar interacciones adicionales para refinar la estimacin de las races. Puede tener una opcin ms completa sobre la eficiencia relativa de los mtodos de biseccin y de la regla falsa al observar la figura 5.14 que muestra graficas de error relativo porcentual verdadero ejemplo 5.6. Obsrvese como el error decrece mucho ms rpidamente para e mtodo de la falsa posicin que para el de la biseccin ya que el primero es un esquema ms eficiente para la localizacin de races. DESVENTEAJA DEL METODO DE FALSA POCISION Aunque el mtodo de la falsa posicin pareciera ser siempre la mejor opcin de los que usan intervalos, hay casos donde funciona deficientemente. En efecto, como en el ejempl siguiente, hay ciertos casos donde el mtodo de biseccin da mejores resultados. Aun que un mtodo como el de la falsa posicin por lo general es superior al de la biseccin, hay algunos caso que violan las conclusiones generales. Por lo tanto adems de usar la ecuacin los resultados se pueden verificar sustituyendo la raz estimada en la ecuacin original y determinando si el resultado se acerca a cero. Estas pruebas se deben incorporar en todos los programas que localicen races. ALGORITMO PARA EL METODO DE FALSA POSICION Se puede desarrollar un algoritmo para la falsa posicin a partir del algoritmo del mtodo de biseccin. La nica modificacin es la de sustituir la ecuacin, adems la prueba de cero sugerida en la ltima seccin tambin se debe incorporar en el cdigo. Una versin alternativa para minimizar la evaluacin de la funcin puede ser tambin modelada para este caso, se necesita de modificaciones adicionales para evaluar y guardar la funcin que requiere evaluarse por interaccin.

2.3 Mtodos abiertos y sus interpretaciones geomtricas as como sus criterios de convergencia (Newton-Rapshon, secante)Los mtodos abiertos emplean una frmula que predice la raz. Tal formula puede ser desarrollada para una simple iteracin de punto fijo (o tambin llamada iteracin de un punto o sustitucin sucesiva) al arreglar la ecuacin f(x) = 0 de tal modo que x quede al lado izquierdo de la ecuacin. X = g(x) (6.1) Esta transformacin se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas o simplemente agregando x a cada lado de la ecuacin original. Por ejemplo: X2 2x + 3 = 0 Se puede reordenar para obtener:

Mientras que sen x = 0 puede transformarse en la forma de la ecuacin (6.1) sumando x a ambos lados para obtener: X = sen x + x La utilidad de la ecuacin (6.1) es que proporciona una frmula para predecir un nuevo valor de x en funcin del valor anterior de x. De esta manera, dado un valor de inicio a la raz xi, la ecuacin (6.1) se puede usar para obtener una nueva aproximacin xi+1, expresada para la frmula iterativa xi+1 = g(xi) (6.2) Como con otras frmulas iterativas de este libro, el error aproximado de esta ecuacin se puede calcular usando el estimador de error.| |

EJEMPLO 6.1 ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO. Use iteracin simple para de punto fijo para localizar la raz de f(X) = e-x x. SOLUCION: La funcin se puede separar directamente y expresarse de la forma (6.2) como xi+1 = e-x Empezando con un valor inicial de x0 = 0, se puede aplicar esta ecuacin iterativa y calcular.

i

Xi

Ea(%)

Ef(%)

0 0 100.0 1 1.000000 100.0 76.3 2 0.367879 171.8 335.1 3 0.692201 46.9 22.1 4 0.500473 38.3 11.8 5 0.606244 17.4 6.89 6 0.545396 11.2 3.83 7 0.579612 5.90 2.20 8 0.560115 3.48 1.24 9 0.571143 1.93 0.705 10 0.564879 1.11 0.399 De esta manera cada iteracin acerca cada vez ms al valor estimado con el valor verdadero de la raz, o sea 0.56714329. CONVERGENCIA Obsrvese que el error relativo porcentual verdadero en cada iteracin del ejemplo 6.1 es casi proporcional (por un factor entre 0.5 a 0.6) a error de la iteracin anterior. Esta propiedad, conocida como convergencia lineal, es caracterstica de la iteracin de punto fijo. Adems de la verdad de convergencia, se debe enfatizar en este momento la posibilidad de convergencia. Los conceptos de convergencia y de divergencia se pueden ilustrar grficamente. Un planteamiento grafico alterno es de separar la ecuacin en dos partes como en f1 (x) = f2 (x) Entonces las dos ecuaciones y1 = f2 (x) (6.3) y y2 = f2 (x) (6.4) Se pueden graficar por separado. Los valores de x correspondientes a las intersecciones de estas funciones representan las races de f(X)=0.

EJEMPLO 6.2 Separe la ecuacin e-x x = 0 en dos partes y determine su raz en forma grfica. SOLUCION: reformule la ecuacin como y1 = x y y2 = e-x. Al calcularse se obtienen los siguientes valores: x Y1 Y2 0.0 0.0 1.000 0.2 0.2 0.819 0.4 0.4 0.670 0.6 0.6 0.549 0.8 0.8 0.449 1.0 1.0 0.368 Estos puntos se grafican en la figura 6.2b. La interseccin de las dos curvas indica una raz estimada de aproximadamente x = 0.57, que corresponde al punto donde la curva cruza al eje x en la figura 6.2a. FIGURA 6.2 Dos alternativas de mtodos grficos para determinar la raz de f(x) = e-x x . a) Raz de un punto donde cruza al eje de las x; b) raz en la interseccin de las funciones componentes. El mtodo de las dos curvas se puede usar ahora para a ilustrar la convergencia y divergencia de la iteracin de punto fijo. En primer lugar, la ecuacin (6.1) se puede representar como un par de ecuaciones y1 = x y y2 = g(x). Estas dos ecuaciones se pueden graficar por separado. Como en el caso de las ecuaciones (6.3) y (6.4), las races de f(x) = 0 corresponden al valor de la abscisa en la interseccin de las curvas. En la figura 6.3 se grafica la funcin y1 = x y cuatro formas diferentes de la funcin y2 = g(x). En el primer caso (vase figura 6.3a), el valor inicial x0 se usa para determinar el punto correspondiente sobre la curva y2[ ( )] El punto (x1 y x1) se encuentra movindose horizontalmente a la izquierda hasta que intersecta la curva y1. Estos movimientos son equivalentes a la primera iteracin en el mtodo de punto fijo: ( ) para obtener una

De esta manera tanto en la ecuacin tanto como en la grfica se usa un valor inicial estimacin de x1. La siguiente iteracin consiste en moverse al punto * iteracin es equivalente a la ecuacin : ( )()

+ y despus a (x2,x2) esta

Convergencia de la iteracin de un punto fijo.

Al analizar la figura 6.3, se debe notar que la iteracin de punto fijo converge si, en la regin de inters, |g(x)|