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UNIDAD 4 ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO FUNCIONES REALES

LECTURA N 17: ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS

En esta lectura estudiaremos diferentes tipos de funciones. Esto quiere decir que

para cada una de ellas trazaremos su grfica y la analizaremos a partir de las

caractersticas vistas en la unidad 3 (dominio, rango, cortes con los ejes,

simetra, concavidad y/o convexidad, crecimiento y/o decrecimiento y adems

otras caractersticas particulares de cada funcin).

Diferentes fenmenos naturales, econmicos y sociales entre otros pueden ser

estudiados y explicados a partir de sus funciones. Precisamente las que sern

estudiadas de ahora en adelante y son:

1. Afn

2. Cuadrtica

3. Racionales

4. Irracionales

5. Valor absoluto

FUNCIN AFIN

Para iniciar el estudio de esta funcin, resolvamos el siguiente problema:

El precio de un traje es el doble del precio de un par de zapatos ms Bs.F 13,50,

cunto cuesta el traje si el par de zapatos cuesta Bs.F 45?

Podemos resolverlo de la forma siguiente: Establecemos una ecuacin si

consideramos

=)(xf precio del traje y =x precio del par de zapatos, entonces el precio del traje puede calcularse de forma general con la relacin:

Material tomado con fines instruccionales de:

Gmez, T., Gonzlez, N., Vergara, A. (2001). Inecuaciones y Funciones Reales. Caracas: Material no publicado

142

50,132)( += xxf El precio del traje ser Bs.F 103,50 y lo calculamos as:

50,132)( += xxf ( ) ( ) ( ) ( ) 50,1034550,13904550,1345245 =+=+= fff

Ahora, si queremos conocer el precio del traje sabiendo que el precio del par de

zapatos es de Bs.F 53,50, lo podremos calcular utilizando la funcin

50,132)( += xxf . Veamos: Si el precio de los zapatos fuese Bs.F 53,50, el traje costara:

( ) ( ) ( ) 50.12050.5350,1300,10750,1350,53250,53 =+=+= ff De esta forma siempre podremos calcular el precio del traje, si conocemos el

precio del par de zapatos, usando la relacin que ya establecimos. Dicha

relacin se define como funcin afn o lineal. Esta funcin se identifica por estar

formada por un polinomio de grado uno (1).

As, para las siguientes funciones, es posible identificar las funciones afines:

( ) ( ) ( ) ( ) 34)(12)(3)(2)( 2 +=+=== xxfdxxfcxxfbx

xfa

Las funciones b y c son afines, pues la relacin se define por un polinomio de grado uno (1). La funcin a no lo es porque la variable x est en el denominador y al pasarlo al numerador el exponente queda negativo y la funcin

d la relacin la define un polinomio de grado dos (2).

Caractersticas de las Funciones Afines:

i) Dominio y Rango. El dominio y el rango de este tipo de funciones es el conjunto de los nmeros reales. El dominio lo podemos representar como

el conjunto de los nmeros reales, es decir, =)(xfDom y el rango de la funcin tambin est conformada por todos los nmeros reales,

=)(xfRango . ii) Cortes con los ejes. La grfica de la funcin afn tiene cortes con

ambos ejes o en el origen del sistema de coordenadas. Lo primero

143

sucede cuando su forma es bmxxf +=)( , mientras si corta con el origen del sistema de coordenadas, su forma es mxxf =)( .

iii) Simetra. La funcin afn slo puede tener simetra impar y esto ocurre nicamente cuando la grfica corta en el origen del sistema,

es decir, cuando su forma es mxxf =)( . Se demuestra la imparidad cuando se verifica la igualdad:

)()( xfxf = iv) Monotona. La funcin afn es creciente en todo su dominio, si el

valor de la pendiente es positivo. Es decreciente en todo su dominio, si el valor de la pendiente es negativo.

Recuerda, que al definir la funcin afn, el valor de la pendiente m es el coeficiente de la variable x . Grficamente, observamos:

a) La siguiente grfica,

representa a una funcin

creciente en todo su dominio

b) Esta grfica representa una

funcin decreciente en todo su

dominio.

Adems podemos observar en las dos grficas anteriores, que el valor de b representa el corte con el eje y . Esto siempre es as, para una funcin

expresada como bmxxf +=)( v) Concavidad. La funcin afn no tiene concavidad.

vi) Inyectividad. Esta funcin es inyectiva.

0con )( >+= mbmxxfb

x

y

0 con ,)(

144

vii) Grfica de la funcin afn. La representacin grfica de una funcin afn es una lnea recta inclinada, es decir, con pendiente m . Para trazar la grfica de la funcin afn, en principio, sigamos estos pasos:

(a) Calculemos dos (2) puntos de la funcin.

(b) Ubiquemos estos puntos en el sistema de coordenadas y los

unimos con una lnea recta que prolongaremos un poco hacia

sus lados.

Veamos a continuacin un ejemplo, donde podremos estudiar las caractersticas

de una funcin afn.

Ejemplo .1. Determinar las caractersticas de la siguiente funcin afn

12)( += xxf . Solucin:

Dominio y Rango de la funcin f :

=)(xfDom y =)(xfRango Cortes con los ejes coordenados:

Calculamos el corte con el eje y , sustituyendo 0=x en la funcin: ( ) ( ) 1102012 =+==+= yyfxxf Entonces el punto de corte con el eje y es P(0, 1).

Calculamos el corte con el eje x , haciendo 0)( == xfy :

xxxxf 2112012)( =+=+= 21

21 == xx

entonces el punto de corte con el eje x es: P )0,21( .

Simetra:

Para verificar la simetra de la funcin afn, debemos hallar )( xf y )(xf y compararlos:

121)(2)( +=+= xxxf y [ ] )()(1212)(- xfxfxxxf =+= Luego la funcin afn 12)( += xxf no es impar

Recuerda yxf =)(

145

Monotona: Para determinar si una funcin afn es creciente o decreciente, se debe estudiar el signo del coeficiente de la variable x . En este caso para

la funcin 12)( += xxf , el coeficiente de x , es igual a 02 > . Entonces podemos asegurar que la funcin afn 12)( += xxf , es creciente en todo su dominio.

Concavidad: La funcin afn no tiene concavidad.

Inyectividad y Sobreyectividad: La funcin afn es biyectiva

Grfica de la funcin: la grfica de la funcin afn, es una lnea recta en el plano.

Paso 1: Tenemos los dos puntos de cortes con los ejes coordenados y

son (0, 1) y (- , 0).

Paso 2: Ubicamos los puntos en el sistema de coordenadas.

Veamos a continuacin otros ejemplos:

Ejemplo .2. Determinar las caractersticas de la siguiente funcin afn

xxg 3)( = . Solucin:

Dominio y Rango de la funcin g :

=)(xgDom y =)(xgRango Cortes con los ejes coordenados:

Calculamos el corte con el eje y , haciendo 0=x ( ) 0033 === yyxxg Recuerda yxg =)(

5 4 3

1 2

1 2

3

-5 -4 -3 -2 -1

y

x 1 2 3 4 5

146

entonces el punto de corte, no solo del eje y , sino tambin del eje x es el

origen )0,0( de coordenadas .

Simetra:

Para verificar la simetra de la funcin afn, debemos determinar )( xg y )(xg xxxg 3)(3)( == y [ ] xxxg 33)( ==

)()( xgxg = Luego la funcin afn xxg 3)( = es impar. Monotona: Para determinar la monotona de la funcin afn, se debe

estudiar el signo del coeficiente de la variable x . En este caso, para la

funcin xxg 3)( = , el coeficiente de x , es igual a 03

147

Fjese que a diferencia del ejercicio anterior esta grfica pasa por el

origen.

Ejemplo .3. Analiza la funcin ( ) xxf31= y traza su grfica

Solucin:

(i) ( ) ( ) == xfRangoxfDom y (ii) Cortes con los ejes: Como es una funcin de la forma mxxf =)( , slo hay

un punto de corte que es el origen (0,0)

(iii) Simetra: La funcin es impar, por lo tanto tiene simetra respecto al origen.

Podemos demostrarlo; si comprobamos que )()( xfxf = , entonces:

( ) ( ) ( )( ) ( ) xxfxxf

xxfxxf

31

31

31

31

=

=

== )()( xfxf =

La funcin es simtrica respecto al origen.

(iv) Como el valor de la pendiente es positiva

>= 0m31m , la funcin es

creciente en todo su dominio.

(v) La funcin afn no tiene concavidad.

(vi) La funcin afn siempre es biyectiva

(vii) Ahora tracemos la grfica

Calculemos los puntos:

- Uno de los puntos es el (0, 0), el cual corresponde al punto de corte.

- Para hallar otro punto de corte, sustituimos 3=x en la funcin dada.

( ) xxf31= ( ) ( ) ( ) ( ) 13

3333

313 === fff , entonces el

punto es (-3, -1)

Ubicamos los puntos en el sistema de coordenadas

148

Si observamos las grficas

del Ejemplo .2 y del

Ejemplo .3, podemos

apreciar que en la primera

se inclina hacia el eje y ,

sin embargo la grfica de la

segunda, se inclina hacia el

eje x . Por otro lado, la primera corresponde a la

funcin xxg 3)( = y la

segunda a ( ) xxf31= , observa que en el primer caso la pendiente es un

nmero entero y en el segundo caso, es una fraccin propia que no representa un entero. Entonces podemos concluir:

a. Cuando la pendiente es un nmero entero cuyo valor absoluto es

mayor que uno (1), la grfica se inclina hacia el eje y .

b. Si la pendiente es igual a 1, la recta divide en dos partes iguales al

plano cartesiano.

c. Cuando la pendiente es una fraccin propia que no equivale a un

entero, la grfica se inclina hacia el eje x .

Traslacin de la Funcin Afn:

Para desarrollar este apartado usaremos la grfica de la funcin mxxf =)( como posicin bsica.

Trazamos en el mismo sistema de

coordenadas las funciones

23)(,3)( +== xxgxxf y 23)( = xxh . Observa que si tomamos la grfica de

xxf 3)( = como referencia, entonces las

y = 3x y = 3x + 2

y = 3x - 2

32

2

2

32

5 4 3

1 2

-1 -2

3

1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5

y

x

149

grficas de 23)(y 23)( =+= xxhxxg , equivalen a sus traslaciones por encima y por debajo respectivamente.

Estas traslaciones pueden ser vistas en forma vertical u horizontal. Veamos

como es la traslacin vertical:

Observamos que la grfica de referencia tiene un nico punto de corte )0,0( , es

decir, el corte con 0=y . Sin embargo, las traslaciones tienen dos puntos de corte y especialmente los cortes con el eje y son el punto )2,0( para

23)( += xxg y )2,0( para 23)( = xxh . Observa que estos cortes son exactamente el valor del trmino independiente de

cada funcin, lo cual indica las unidades de traslacin y su direccin (hacia arriba

o hacia abajo). En conclusin, podemos decir para nuestro ejemplo que:

a. La funcin 23)( += xxg , el corte con y se desplaza desde y = 0 hasta y = 2, es decir 2 unidades hacia arriba, porque el signo del trmino independiente

es positivo, desde su posicin inicial que es 0=y . b. La funcin 23)( = xxh , el corte con y se desplaza desde 0=y hasta

2=y , es decir, 2 unidades hacia abajo porque el signo del trmino independiente es negativo, desde su posicin inicial que es 0=y .

De forma general, se puede enunciar la siguiente regla:

Para trazar la grfica Traslade la grfica de mxxf =)( : cmxxf =)( c unidades hacia abajo cmxxf +=)( c unidades hacia arriba

Te sugerimos como ejercicios, plantear cmo sera si la traslacin es horizontal,

es decir, traslacin con respecto al eje x .

150

FUNCIN CUADRTICA:

Diferentes situaciones de la vida real pueden ser expresadas y explicadas a

travs de las funciones cuadrticas, algunos ejemplos de ellas son:

(1) Ventas al por menor de un producto en funcin del precio x , viene

dada por : 2400120)( 2 += xxxf (2) Costos de fabricacin de un producto : 160000)( 2 += xxf (3) La velocidad de un objeto mvil , en funcin del tiempo t , viene dada

por: tttv 16016)( 2 += Una funcin cuadrtica es aquella que est formada por un polinomio de

segundo grado y tiene la forma general cbxaxxf ++= 2)( . Antes de desarrollar las caractersticas de la funcin cuadrtica, estudiaremos el

vrtice de una parbola, pues sta es la representacin grfica de la funcin

cuadrtica.

Vrtice de una Parbola

El vrtice de una parbola suele ser definido como el punto ms bajo (llamado

tambin punto mnimo) o el punto ms alto (llamado tambin punto mximo).

El vrtice de una parbola se encuentra usando la frmula:

abac,

abV

44

2

2

Otra forma de obtenerlo es calculando el valor de la abscisa

=abx

2 y luego

sustituir este valor en la funcin para obtener la ordenada. Veamos los siguientes

ejemplos:

Ejemplo .4. Determina el vrtice de la parbola que representa la funcin

13)( 2 += xxxf

151

Solucin:

Primero debes identificar los valores correspondientes a los coeficientes ba, y c . El valor de a es el coeficiente de 2x , el de b es el coeficiente de

x y el de c , es el trmino independiente. As que para este caso:

3=a , 1=b y 1=c Sustituimos los valores correspondientes de ba, y c en la frmula del vrtice

=

=

=

1213,

61

34)1()1(34,

321

44,

2

22

VVa

bacabV

Respuesta: El vrtice es

=1213

61 ,V

Caractersticas de las Funciones Cuadrticas cbxaxxf ++= 2)( : a) Dominio:

El dominio de la funcin cuadrtica es el conjunto de todos los nmeros

reales, recuerda que es un polinomio y cualquier valor de la variable

independiente permite que la funcin exista, luego Dom )(xf = b) Rango:

El rango de una funcin cuadrtica se puede determinar conociendo el

signo del coeficiente de 2x , a y el valor de la ordenada y del punto

vrtice (es decir a

bacy4

4 2= ) y luego se sigue esta regla:

i) Si 0>a (positiva), entonces el rango es el intervalo que va desde el valor de la ordenada y del punto vrtice hasta infinito y se escribe

as: [ ),y ii) Si 0

152

c) Cortes con los ejes:

i. Corte con el eje y : La grfica de la funcin cuadrtica, corta al eje y en el

valor del trmino independiente.

ii. Corte con el eje x

Para determinar en una funcin cuadrtica el corte con el eje x , asignamos a

0)( == xfy , al hacer esto queda: cbxaxxf ++= 2)( cbxax ++= 20 .

Resolver la ltima ecuacin ( cbxax ++= 20 ), implica resolver una ecuacin cuadrtica. Las soluciones o races que encontramos al resolver la ecuacin

cuadrtica son los cortes con el eje x .

La funcin cuadrtica puede tener en el eje x : Un solo corte, dos cortes o ningn corte. Para determinar esto ltimo, usamos la informacin del discriminante de

la ecuacin cbxax ++= 20 ( acb 42 = ): Si = 0, la funcin cuadrtica tiene uno y slo un corte con el eje x Si > 0, la funcin cuadrtica corta al eje x en dos puntos. Si < 0, la funcin cuadrtica no corta el eje x .

Veamos un ejemplo

Ejemplo .5. Dada la funcin 65)( 2 ++= xxxf , determina sus puntos de corte con los ejes.

Solucin:

Corte con el eje y Como el trmino independiente es 6, entonces la grfica de la funcin corta

al eje y en 6, esto implica el punto (0, 6). Recuerda que hablar del corte

con un eje significa que el valor del otro es cero (0). Si quieres comprobar

esto, sustituye en la funcin 65)( 2 ++= xxxf , el valor de x por cero y calcula el valor numrico de y .

153

Corte con x 1. Primero le damos el valor de cero a yxf =)(

=++= 065)( 2 xxxf 652 ++ xx 2. Como es una ecuacin cuadrtica, identificamos los valores

correspondientes de ba , y c para hallar el discriminante de la ecuacin:

5,1 == ba y 6=c 012425)6)(1(454 22 >==== acb , luego la funcin corta el eje x en dos puntos, los cuales se hallan , aplicando la

resolvente a la ecuacin 0652 =++ xx

215

224255

1261455

24 22 ==

== xxxa

acbbx

===+=

=3

215

22

15

215

22

11

xx

xxx

Entonces los cortes con el eje x son 2 y 3, esto implica que los puntos son:

(- 2, 0) y (- 3, 0). Recuerda que 0=y . Respuesta: Los puntos de corte con los ejes son (0, 6), (-2, 0) y (-3, 0).

d) Simetra:

Si la funcin cuadrtica tiene como eje de simetra al eje y , entonces es una

funcin par. Una funcin cuadrtica es simtrica con respecto al eje y , slo

cuando el punto vrtice de la parbola est sobre el eje y , es decir, si la

funcin tiene la forma: caxxf += 2)( y el vrtice es V (0, c). Si queremos demostrar la simetra respecto al eje y , debemos comprobar la

igualdad

)()( xfxf = Veamos el siguiente ejemplo

154

Ejemplo .6. Para 23)( 2 += xxf , comprueba que es una funcin par. Solucin: Si queremos demostrar la simetra respecto al eje y , debemos

comprobar la igualdad )()( xfxf = . 23)( 2 += xxf y 232)(3)( 22 +=+= xxxf Observa que )()( xfxf = , luego la funcin es par y tiene simetra respecto al eje y .

e) Monotona:

La funcin crece en un intervalo de su dominio y decrece en otro, es decir tiene estos dos comportamientos. Para determinar estos intervalos, se debe saber el

signo del coeficiente de )(2 ax y el valor de la abscisa ( x ) en el punto vrtice

=abx

2, y luego se sigue esta regla:

(a) Si 0>a , entonces la funcin decrece en el intervalo (- , x ) y crece en ( x , ).

(b) Si 0a ) es cncava hacia arriba y si el signo es negativo ( 0

155

La grfica de una funcin cuadrtica es una parbola y para trazarla en el

sistema de coordenadas usaremos el siguiente algoritmo:

i) Ubicamos en el sistema de coordenadas, los puntos de cortes con los ejes

y el vrtice.

ii) En el caso de que no existan puntos de corte con el eje x , o que stos coincidan con el vrtice, es necesario encontrar otros puntos cualesquiera

de la funcin. Recordemos que para trazar una parbola necesitamos

mnimo, tres puntos.

iii) Al unir los puntos ubicados en el plano se forma la parbola y la

concavidad debe ser conforme al signo de a (coeficiente de 2x ).

iv) Toda la informacin obtenida en el anlisis de una funcin (Dom, Rang,

I.D., I.C.) debe coincidir con las caractersticas de la grfica.

Consideraciones especiales:

La funcin cuadrtica es considerada muy comn en el estudio de funciones,

veamos algunas particularidades de ella:

a) Si tenemos bxaxxf += 2)( , la grfica pasa por el origen, pero su vrtice no es el origen de coordenadas.

b) Si 2)( axxf = la grfica tiene como vrtice el origen de coordenadas. c) Si caxxf += 2)( , la grfica tiene su vrtice en el eje y y

especficamente en el punto (0, c).

d) Si cbxaxxf ++= 2)( y este trinomio es cuadrado perfecto (es decir 042 = acb ), la grfica tiene su vrtice en el eje x .

Ejercicios resueltos:

Ejemplo .7. Analiza la funcin 32)( 2 += xxxf y traza la grfica.

156

Solucin:

Los valores de los coeficientes son: 2,1 == ba y 3=c El primer paso es hallar el vrtice de la parbola.

)4,1(14

)2()3)(1(4,122

44,

2

22

VV

abac

abV

Analizamos las caractersticas de la funcin a) Dom )(xf = y Rang )(xf = [- 4, ) b) Cortes con los ejes

El corte con el eje y es en 3, esto lo podemos comprobar encontrando el

valor numrico de la funcin dada, cuando x = 0. Por lo tanto el punto de corte

con el eje y es )3,0( Para el corte con x , asignamos a yxf =)( el valor cero.

03232032)( 222 =++=+= xxxxxxxf Calculemos el discriminante de la ecuacin:

016124)3)(1(4)2(4 22 >=+=== acb , esto implica que la funcin cuadrtica corta el eje x en dos puntos, los cuales se

hallan usando la frmula de la resolvente de la ecuacin 0322 =+ xx

aacbbx

=2

42

32

42

12

42

242

2162

21242

12)3(14)2(2

22

11

2

==

=+==

=+==

xx

xx

x

xxx

Luego, los puntos de corte con el eje x son: (1, 0) y (- 3, 0).

a > 0 y el valor de la ordenada del vrtice es 4

157

c) La funcin 32)( 2 += xxxf no es simtrica con respecto al origen, ni con respecto al eje y . Esto lo podemos comprobar de la siguiente manera.

32)( 2 += xxxf y ( ) )(323)(2)( 22 xfxxxxxf =+= d) Monotona : Como 0>a , entonces:

)(xf crece en el intervalo (- 1, ) )(xf decrece en el intervalo (- , - 1)

e) 32)( 2 += xxxf es cncava hacia arriba, porque 0>a . f) Grfica: Para trazar la grfica usamos el algoritmo sugerido.

Para trazar la grfica Ubicamos los siguientes puntos en el

sistema de coordenadas

- Ptos de corte (0,-3), (1, 0) y (-3,0)

- Pto. Vrtice (-1, - 4)

Consideramos y verificamos que la parbola es cncava hacia arriba.

Verificamos que el resto de la informacin coincide con la grfica (I.D,

I.C., Dom )(xf y Rang )(xf )

Ejemplo .8. Analizar la funcin 231)( xxf = y grafcala.

Solucin: Los valores de los coeficientes son: 0,31 == ba y 0=c

Encontramos el vrtice

abac

abV

44,

2

2

( ) ( )( ) )0,0(3400,

320

314

)0()0(314

,3

120

2

VVV =

=

=

Anlisis de las caractersticas

)0,3(

)4,1(

)3,0(

)0,1( x

y

158

Observa la forma 2)( axxf = de los casos especiales sealados a) Dom )(xf = y Rang )(xf = (- , 0) b) Cortes con los ejes

Como el trmino independiente es igual a cero, 0=c , entonces el punto de corte es (0, 0)

Observa que el vrtice coincide con el corte con los ejes y el origen del

sistema de coordenadas, ahora observa qu sucede con la simetra y elabora

tu propia conclusin.

c) )(xf es una funcin par, por lo tanto es simtrica con respecto al eje y .

Observa la comprobacin:

2

31)( xxf = y ( ) 22 3131)( xxxf ==

)()( xfxf = Como 0

159

Ejemplo .9. Analizar la funcin 96)( 2 += xxxf Solucin: Los coeficientes de la ecuacin son: 6,1 == ba y 9=c Encontramos el vrtice

)0,3(14

)6()9)(1(4,12

)6(4

4,2

22

VVa

bacabV =

=


a) Dom )(xf = y Rang )(xf = [0, ) b) Cortes con los ejes

Corte con eje y , hacer 90 == yx , entonces el punto es (0, 9) Corte con eje x , sustituimos y = 0

09696096)( 222 =++=+= xxxxxxxf Usamos la frmula de la resolvente para encontrar los

cortes:

236366

12914)6()6(

24 22 =

== xx

aacbbx

3326

206 ==== xxx , luego tiene un solo punto de corte con

el eje x , es el punto )0,3( .

c) )(xf no es simtrica ni respecto al origen, ni respecto al eje y .

Observa la comprobacin:

96)( 2 += xxxf )(969)(6)()( 22 xfxxxxxf ++=+= )(96)96()( 22 xfxxxxxf +=+=

d) )(xf crece en el intervalo [0, ) y decrece en el intervalo (- , 0] e) )(xf es cncava hacia arriba porque 0>a f) )(xf no es inyectiva

160

g) Grfica

Para trazar la grfica Ubicamos los siguientes puntos en el sistema de

coordenadas:

Puntos de corte (0, 9) y el vrtice (3, 0)

)(xf es cncava hacia arriba.

Verificamos que toda la informacin coincide con la

grfica (, I.D, I.C.,Dom )(xf y Rang )(xf )

Ejemplo .10. Analiza la funcin 64)( 2 += xxxf 0 y grafquela. Solucin: Los coeficientes de la ecuacin son: 4,1 == ba y 6=c Encontramos el vrtice

)2,2()1(4

)4()6()1(4,)1(2

44

4,2

22

=

=

VV

abac

abV


a) Dom )(xf = y Rang )(xf = (- . 2] b) Cortes con los ejes

Corte con el eje y : es el valor de 6=c , el punto (0, - 6) Corte con el eje x , sustituimos 0)( == xfy

06464064)( 222 =++=+= xxxxxxxf Observa que el discriminante de la ecuacin de 2do. Grado es

082416)6)(1(444 22

161

e) )(xf es cncava hacia abajo, pues 0

162

constante, es decir )(xh debe poseer la variable independiente. En los siguientes

ejemplos, observa

23)()(

23)()(

327)()(29)()(

21)()( 2

2

+=

+=

=+=+=

xxxfe

xxxfd

xxfcxxfbxxxfa

Slo las funciones ( a ) y ( e ) son racionales, porque la operacin que predomina

es la expresada por la fraccin. Las funciones (b ), ( c ) y ( d ) no son racionales.

Podemos concluir que una funcin racional debe cumplir con las siguientes

condiciones:

1. Debe predominar la operacin divisin representada como una fraccin.

2. Para que)()()(

xhxPxf = sea una funcin racional, )(xh debe ser diferente del

polinomio constante.

3. Si )()()(

xhxPxf = es una funcin racional, entonces tanto )(xP como )(xh son

diferentes del polinomio nulo.

Caractersticas de la funcin racional:

a) Dominio y Rango de la funcin racional:

Para determinar el Dominio de una funcin racional debemos tomar en

cuenta que el polinomio del denominador sea diferente de cero, es decir si

)()()(

xhxPxf = , entonces el dominio se puede denotar as:

Dom { }0)(/)( = xhxxf El Rango de una funcin racional, se determina haciendo )(xfy = y despejando la variable x en funcin de y , luego se hallan los valores de y que hacen

posible que x exista.

163

Ejemplo .11. Determinar el dominio y rango de la funcin 5312)(

+=xxxf

Solucin El dominio de la funcin es: ( ){ }053/)( = xxxfDom Resolvemos

35053 xx

El nico valor de x que no permite que la funcin exista, es 35=x y por eso

decimos que el { }35=)x(fDom Ahora busquemos el rango de la funcin

5312)(

+=xxxf

+=

5312)(

xxxf 12)53(

5312 +=

+= xxyxxy

Despejamos la variable x en funcin de y

15)23(15231253 +=+=+= yyxyxxyxyxy Al despejar la variable x , debemos primero asegurarnos que el factor

0)23( y , antes de pasarlo dividiendo.

2351

+=y

yx y llamamos a esta funcin 23

51)( +=y

yyg . Al encontrar el

dominio de la funcin )(yg , tendremos el rango de )(xf .

El )(ygDom ={ ( ) 023/ yy }= {2/3}, luego el { }32)( =xfRang

b) Cortes con los ejes

La grfica de la funcin racional puede cortar a ambos ejes, inclusive puede

interceptar al eje x varias veces. Tambin puede ocurrir que la grfica no corte

(o intercepte) a uno de los ejes o a ninguno. Para el ejemplo 5312)(

+=xxxf los

cortes son:

164

Corte con el eje y , hacemos 0=x ; 51

50.310.2)0( =

+=f , corte en 51=y

Corte con el eje x , hacemos 0=y ( recuerda que )(xfy = );

12012)53(053120 +=+=

+= xxxxx

21= x .

Entonces los puntos de corte con los ejes son ( ) ( )0,21y51,0 c) Simetra

Para probar la simetra respecto al eje y , debemos demostrar que la funcin es

par, es decir que )()( xfxf = y para probar la simetra respecto al origen, debemos demostrar que la funcin es impar, es decir que )()( xfxf = . Veamos:

5312)(

+=xxxf ;

5312

5)(31)(2)(

+=+=

xx

xxxf y

5312

5312)(

=+=

xx

xxxf

Entonces: )()( xfxf y )()( xfxf , luego la funcin es asimtrica.

d) Monotona y concavidad

El crecimiento, decrecimiento y concavidad, sern determinadas a travs

de la grfica. Por ejemplo, si tenemos la grfica:

Observamos:

Es creciente en (- , - 2) y (- 2, 0) Es decreciente en (0, 2) y (2, ) La grfica es cncava hacia arriba en

los intervalos (- , - 2) y (2, ) Es cncava hacia abajo en (-2, 2)

e) Asntotas

-2 2

A.H.

A.V. A.V.

165

Observa que en la grfica anterior hay rectas verticales y horizontales punteadas,

que han sido sealadas con las abreviaturas A.V. y A.H., las cuales significan

asntotas verticales (A.V.) y asntotas horizontales (A.H.).

Tenemos otro tipo de asntota que llamaremos asntotas oblicuas (A.O.), las

cuales tienen inclinacin. Las A.H. pueden ser interceptadas por la curva,

mientras que las A.V. y A.O. no.

Los nmeros excluidos del dominio, son posibles A.V. de la funcin racional. Por

ejemplo, determinaremos las A.V. en las siguientes funciones:

Ejemplo .12. Determinar la A.V. de la funcin 32

1)( 22

+=xx

xxf

)3)(1(1)(

2

+=xx

xxf

Si observamos el Dom f (x) = {-3, 1}, esto significa que 3=x y 1=x son posibles A.V. Para asegurarnos factorizamos el numerador para simplificar

factores si es posible.

31)(

)3)(1()1)(1()(

)3)(1()1)(1()(

)3)(1(1)(

2

++=+

+=++=+

=xxxf

xxxxxf

xxxxxf

xxxxf

Para 31)(,1 +

+=xxxfx , es equivalente a

)3)(1(1)(

2

+=xx

xxf

Ahora apreciamos que en el denominador el nico valor de x excluido es 3.

Por lo tanto, concluimos que la A.V. es 3=x . Nota:

El dominio sigue siendo -{-3, 1}, pero la AV es slo 3=x , pues la otra posibilidad fue simplificada. Por otro lado, no todas las funciones

tienen asntota vertical, por ejemplo 1

32)( 2 +++=xx

xxf , no tiene

restriccin en su dominio, por lo tanto no hay A.V.

Para determinar las A.H. se toman en cuenta lo siguiente:

Factorizamos el denominador para encontrar el dominio

166

Sea una funcin racional dbxcaxxf m

n

++++=)( , donde n y m son grados de los

polinomios en el numerador y denominador respectivamente, entonces:

Si mn = , existe una asntota horizontal y se encuentra haciendo bay = .

Si mn < hay una asntota horizontal que es el eje x , es decir la A.H. es 0=y .

Si mn > no hay asntota horizontal. Veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo .13. Determina las A.H. de 1312)( 2 +

=xxxf

Solucin: Hay A.H. en 0=y , pues mn < ( 1=n y 2=m )

Ejemplo .14. Determina las A.H. de 322

15)( 22

+=xx

xxf

Solucin: Hay A.H. en 25=y , ya que mn = (n = 2 y m = 2)

Ejemplo .15. Determina las A.H. de 123)( 2

4

+=

xxxf

Solucin: No hay A.H. ya que mn > ( 4=n y 2=m ) Las asntotas oblicuas (A.O.) existen si el polinomio del numerador excede en

uno y slo un grado al polinomio del denominador. La asntota oblicua es una

recta con pendiente cuyo ngulo no sea 0 (horizontal) ni 90 (Vertical) y se

obtiene dividiendo el polinomio del numerador entre el polinomio del

denominador, y el cociente es la expresin algebraica de la asntota.

Observamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo .16. Encuentre la asntota oblicua de 1

534)(2

++=

xxxxf

1

534)(2

++=

xxxxf Observa, que el numerador excede en un grado el denominador, entonces hay A.O.

167

Efectuemos la divisin algebraica:

4 84 7644 844 76 adorDenoNumerador

xx

xxxx

min

2

2

A.O.

741

12 77x 57x -

44534

+

++

+

Grfica de la funcin racional:

Para trazar la grfica de la funcin racional es necesario conocer los puntos de

cortes con los ejes, las asntotas y el comportamiento de las curvas alrededor de

ellas. Por lo tanto seguiremos los siguientes pasos:

i) Hallar el dominio de la funcin.

ii) Si es posible, se factorizan numerador y denominador. Supongamos la

factorizacin

))(())(()(

pxzxnxmxxf +

+=

iii) Encuentra los cortes con los ejes

iv) Determina las asntotas verticales, horizontales y oblicuas, en caso de que

existan.

v) Ubica los cortes con el eje x y los valores de la A.V. en la recta numrica

vi)

Observa que se forman los siguientes intervalos:

(- , -p), (- p, - m), (- m, z), (z, n) y (n, ) vii) Luego se aplica el mtodo de evaluacin de signo de la funcin, igual al

mtodo utilizado para determinar el signo de una ecuacin, que ya

estudiaron en Razonamiento Matemtico (CIU).

Supongamos que p, - m, z y n representan los valores requeridos

- p - m z n

Respuesta: La asntota oblicua es

74 = xy

168

viii) Se traza la grfica de la siguiente manera:

Se ubican las asntotas y los puntos de cortes Se utiliza la informacin obtenida en el paso (v) al usar el mtodo de

evaluacin.

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo .17. Traza la grfica de la funcin 43

2)( 2 =

xxxxf

i) El Dom { }4,1)( =xf ii) Factorizamos el denominador

)4)(1(2)( +

=xx

xxf

iii) Corte con los ejes

Corte con el eje x , se hace 0=y

2022)43(043

20 22 ==== xxxxx

xxx

,

luego el punto de corte con el eje x es: )0,2(

Corte con el eje y , hacer 0=x y hallar el valor de y :

21

42

4)0(3020)0( 2 =

==f , luego el punto de corte es ( )21,0

iv) Las asntotas verticales son: 1=x y 4=x . Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces

la funcin tiene una asntota horizontal representada por la ecuacin 0=y . v) Se dibujan en la recta real, los puntos de corte con el eje x y los valores de la variable x que definen las asntotas verticales.

Luego se representan los intervalos abiertos: (- , - 1) , (-1, 2) , (2, 4) , (4, )

- 1 2 4 +

169

Evaluamos el signo de cada uno de los factores presentes en la funcin en cada

intervalo, tomando k como un valor perteneciente al intervalo correspondiente:

Intervalos (- , - 1) (- 1, 2) (2, 4) (4, ) k - 2 0 3 5

Signo de x 2 - - + +

Signo de x + 1 - + + +

Signo de x 4 - - - +

Signo de f - + - +

Posicin relativa de la

curva en relacin con el

eje x Por debajo Por encima Por debajo

Por

encima

vi) Se construye la grfica, primero ubicando las asntotas y los puntos de

corte y luego se usa la informacin de la tabla de signos.

y

)21,0(

x

1=x

- 1 0 2 4

4=x

0=y

170

Observa que aunque 0=y es A.H., la grfica corta en el punto )0,2( , esto es as porque se hace asntota cuando la variable x es muy grande o muy pequea.

Ejemplo .18. Analiza la funcin 31)( +

=xxxf y traza la grfica

Solucin Dom { } { }303/)( =+= xxxf = {- 3} Rango de )(xf :

13131)1(31

131)3(31

31)(

===

=+=++=+

=

yyxyyxyxyx

xyyxxxyxxy

xxxf

Luego el rango de la funcin es: Rang { }1)( =xf Puntos de Corte con los ejes.

Corte con eje x , hacer 0=y .

(1,0) corte de 1310 Puntox

xx =+=

Corte con eje y , hacer 0=x y hallar yf =)0(

)31- (0, Corte de Pto.

31

3010)0( =+

=f

Simetra: Es asimtrico ya que

31)(

3-1--)(

31)(

+=+=

+=

xxxf

xxxf

xxxf

Asntotas:

Asntota vertical en 3=x , Asntota horizontal en 1=y y Asntota oblicua no tiene.

)()( xfxf , entonces la funcin no es par

)()( xfxf entonces la funcin no es impar

171

Signo de la funcin:

Intervalos (- , - 3) (- 3, 1) (1,) k - 4 0 2

Signo de 1x - - + Signo de 3+x - + + Signo de )(xf + - +


curva respecto a x Por encima Por debajo Por encima

Grfica

Observando el

comportamiento de la funcin en la grfica, podemos decir:

- Crece en todo su dominio.

- Cncava hacia arriba en el intervalo (- , - 3) - Cncava hacia abajo en el intervalo (- 3, ) - Es inyectiva

Ejemplo .19. Analiza la funcin x

xxf 3)(2 += , grafcala

Solucin

Dom f (x) = { }0 {0} y el Rang ( ) ( )= ,1212,)(xf

1

1 1=y

3=x y

x-3

172

Para hallar el rango seguimos estos pasos:

1) Escribimos x en trminos de y

03333)( 2222

=++=+=+= yxxxyxx

xyx

xxf

2) Como queda expresada en forma de ecuacin cuadrtica

debemos resolver b2 4ac 0, en este caso a = 1, b = - y, c = 3, entonces 0122 y 12y y resolviendo esta inecuacin, obtenemos ( ) ( ) ,1212,

Puntos de Corte con los ejes

Corte con eje y , hacer 0=x y hallar )0(f , pero 0 Dom )(xf , entonces no tiene corte con el eje.

Corte con eje x , hacer y = 0

33030 22

=+=+= xxx

x, dicho valor de la variable x

no es posible ya que 3 no es un nmero real. Luego la funcin tampoco corta el eje x

Es Simtrica con respecto al origen pues )()( xfxf = . Prubalo. Asntotas:

Asntota vertical en 0=x (eje y ) y no tiene asntota horizontal. Asntota oblicua xy =

Como mn > en un grado, la A.O. se determina dividiendo el numerador entre el denominador:

3 -

302

2

xxxxx

++

173

Signo de la funcin:

Intervalos (- , 0) (0, ) k - 1 1

Signo de 32 +x + + Signo de x - +

Signo de )(xf - +


curva respecto al eje x Por debajo Por encima

Grfica Observando el comportamiento de la

funcin en la grfica, podemos decir:

Crece en (- , 0) y en ( 3 , ) y Decrece en (- 3 , 0) y en (0, 3 ) Convexa en (-, 0) y Cncava en (0, )

Ejercicios Propuestos:

Analiza y grafica las siguientes funciones:

(21) 6

2)( 2 = xxxf

(22) 122)( 2

2

++=

xxxxxf

(26) 241)(

xxf =

(27) 2

1)( 2 ++=xx

xxf

12

12 x

A.V.

A.O.

xy =

174

(23) 1

)( 2 = xxxf

(24) 9

1)( 22

=

xxxf

(25) 1

2)( 22

+= xxxf

(28) 11

2)( 22

+= xxxf

(29) x

xxxf 13)(2 ++=

(30) 2

3)(2

+=

xxxxf

FUNCIONES IRRACIONALES

Hablando en trminos generales, una funcin irracional o radical es aquella que

se expresa de la forma n xgxR )()( = , donde n es el ndice del radical. Sin embargo, realizaremos una clasificacin que nos permita detallar las

caractersticas de dicha funcin en sus diferentes formas:

I. Cuando )(xg , la cantidad subradical, es un polinomio

II. Cuando )(xg , la cantidad subradical, es una funcin racional.

Estudiaremos ahora, cada una de ellas:

I. Cuando g (x) es un polinomio

Para este caso tendremos las siguientes caractersticas:

a) Dominio cuando el ndice n es impar. El dominio corresponde a todos los nmeros reales

Dom )(xR = { x } b) Dominio cuando el ndice n es par. La expresin subradical, )(xg ,

no puede ser negativa.

Dom )(xR = { 0)(/ xgx } c) Rango. El rango ser determinado con precisin cuando se realice la

grfica; sin embargo, algunas caractersticas pueden definirse sin

graficar utilizando elementos que se estudiarn con los ejemplos

resueltos.

175

d) Simetra. Recordamos que la simetra con el eje y ocurre cuando

)()( xRxR = , esto sucede cuando )()( xgxg = y depender de la simetra de )(xg . En cuanto a la simetra con el origen, se presentan

dos posibles casos:

d.1) Cuando el ndice es impar. Debemos verificar si )()( xRxR = d.2) Cuando el ndice es par. En este caso es bueno acotar que )(xR

no es )(xg pues esta relacin no es una funcin. Por lo tanto, cuando tengamos un radical de ndice par como funcin, se

considera la raz positiva o la negativa, pero no ambas.

Con esta aseveracin podemos decir que )()( xRxR , por lo tanto, si el ndice es par no existe simetra con el origen en este

tipo de funciones.

e) Crecimiento. Podemos asignar algunos valores y evaluar el comportamiento de la funcin para determinar su crecimiento, o

podemos guiarnos por conclusiones grficas.

f) Grfica. De acuerdo al tipo de funcin, estaremos en capacidad de realizar una grfica exacta o una aproximada. Para este ltimo caso,

mostraremos la informacin posible hasta estudiar la derivada de una

funcin, en los prximos semestres, la cual nos proporcionar

elementos adicionales de graficacin.

Los cortes con los ejes, concavidades, etc., siguen el mismo procedimiento

estudiado en esta unidad.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo .20. Realiza el estudio completo de la funcin x)x(R = y grafcala. Solucin:

a) Dominio. Debido a que el radical es de ndice par, el dominio

corresponde a

Dom )(xR = { x / 0)( xg }Dom )(xR = { x / 0x }

176

Tambin puede escribirse como Dom )(xR = [0 , + ) b) Rango. Nota que la funcin slo tiene valores positivos y, de acuerdo al

dominio, puede tener incluso valores muy grandes. Concluimos que

Rang )(xR = [0, + ) c) Cortes con los ejes

c.1) Eje y . Cuando 00 == yx , por lo tanto el punto de corte es (0, 0), el origen.

c.2) Eje x . Es el origen el punto coincidente (0, 0).

d) Simetra. xxR = )( d.1) No hay simetra con el eje y , pues si )(xRDomx , entonces

)(xRDomx . d.2) Como el ndice de la funcin radical es par, no hay simetra con el

origen.

e) Crecimiento y concavidad se analizan junto con la grfica.

f) Grfica. Observamos que si xyxy == 2 . Esta ltima es la ecuacin de una parbola horizontal, donde slo consideraremos la curva donde 0>y . Entonces

La grfica corresponde a la funcin que estamos estudiando. Concluimos que

- Es creciente en todo su dominio.

- Es cncava hacia abajo Ejemplo .21. Realiza el estudio completo

de la funcin 3)( xxR = y grafcala Solucin

a) Dominio. Debido a que el radical es de ndice impar

Dom )(xR = { x } Dom )(xR = (- , + )

x

y xxR =)(

177

b) Rango. La funcin puede ser positiva o negativa y de acuerdo al

dominio, decimos que Rang )(xR = (- , + ) c) Cortes con los ejes

Cuando 00 == yx , el nico punto de corte es (0, 0), el origen. d) Simetra.

33333 1)()1()()( xxxRxxRxxR ==== Por otro lado, observamos que )()( xRxR = entonces existe simetra

con el origen, es decir la funcin es impar.

e) Crecimiento. Asignemos algunos valores a x

x -8 -4 -1 0 1 4

3)( xxR = 283 = 59,143 113 = 003 = 113 = 59,143

Observamos que a medida que la variable x va aumentando, la funcin )(xR va

aumentando tambin. Luego la funcin es creciente en todo su dominio.

f) Concavidad y Grfica. En este

punto, resulta oportuno recordar

que la grfica que corresponde a 3)( xxf = ,es:

Por lo tanto, la grfica de 3 x)x(R = debe tener un crecimiento ms lento que

3)( xxf = . Puede demostrase que en general, el crecimiento de n x)x(R = es ms lento que el de nxxS =)( . Mostramos a continuacin la grfica de 3 x)x(R = :

Y observamos que:

La funcin es creciente en todo su dominio

y

x

y

x

3 x)x(R =

178

Es simtrica con respecto al origen.

Es biyectiva sobre los nmeros reales

La grfica es cncava hacia arriba en (- , 0) y cncava hacia abajo en (0 , + ) Nota:

Para graficar n xgxR )()( = es bueno tener presente que, con algunas excepciones, esta grfica tiende a crecer o decrecer de forma lenta para

valores lejanos del origen.

Ejemplo .22. Analiza y grafica la funcin 4= x)x(R Solucin

a) Dominio. Dom )(xR = {x / x - 4 0} 404 xx Dom )(xR = [4, + )

b) Rango. Observa que el valor de la funcin nunca es positivo; por efecto

del signo negativo delante de un radical de ndice par. Con la grfica

determinaremos el intervalo del rango.

c) Cortes con los ejes

Eje y , corresponde a = 0x Dom )(xR , entonces concluimos que no hay cortes con el eje y . Eje x corresponde a 0=y

44040 === xxx , entonces el punto de corte (4, 0) d) Simetra. No existe simetra ni con respecto al eje y ni con respecto al

origen, pues el dominio de )(xR no incluye valores negativos.

e) Crecimiento: Observa que en la medida que x crece en su dominio, el valor de la funcin se hace ms negativo; es decir, decrece.

Grfica :

Podemos decir entonces que la funcin es: 4

y

x

179

Decreciente, cncava hacia arriba en todo su dominio y su rango es (- , 0]

Ejemplo .23. Analiza y grafica la funcin 822 = xx)x(R Solucin a) Dominio. Dom )(xR = {x / 0822 xx } Para hallar los valores de x , que cumplen: 082)( 2 = xxxg

i) Factorizamos (tambin puede usarse resolvente)

(x 4) (x + 2) 0 ii) Evaluamos el signo de los factores y de la expresin completa:

- - 2 4 + x 4 - - +

x + 2 - + +

g (x) + - +

Entonces el Dom )(xR = (-, - 2] [4, + ) b) Rango. La funcin nunca es negativa. Completaremos el rango con la grfica.


Eje y , cuando = 0x Dom (R(x)), entonces no hay corte con el eje y . Eje x , cuando 0=y , 820 2 = xx

2)2)(4(0 =+= xxx y 4=x . Luego los puntos de corte con el eje x son: (- 2, 0) y (4, 0)

d) Simetra. 82)( 2 += xxxR d.1) Como )()( xRxR no hay simetra con el eje y d.2) Como el ndice de la raz es par, no hay simetra con el origen.

e) Crecimiento. Con algunos valores del dominio

x - 4 - 3 - 2 4 6

3 2 82)( = XxxR 4)4( =R

7)3( =R

0)2( =R 0)4( =R 4)6( =R

180

Decrece hasta 2=x y luego crece a partir de 4=x . Completaremos el estudio con la grfica.

f) Grfica.

Observamos:

La funcin es decreciente en (- , - 2] y es creciente en el intervalo [4, + ) Es cncava hacia abajo en todo su dominio y su rango es [0, + )

Estudiemos ahora el segundo caso de funciones radicales:

II. Cuando )(xg , la cantidad subradical, es una funcin racional

nnxDxNxRxgxR)()()()()( ==

En este caso )(xN representa el numerador y )(xD el denominador; es decir

)()()(

xDxNxg =

Veamos algunas de sus caractersticas:

a) Dominio cuando el ndice es impar

Dom =)(xR = {x / )(xD 0}, es decir, el denominador no puede ser cero

b) Dominio cuando el ndice es par

Dom )(xR = {x / )(xg 0} El resto de las caractersticas siguen las condiciones estudiadas en las

lecturas anteriores.

2

y

x 4

181

Ejemplo .24. Analiza y grafica 33412)( +

=xxxR

Solucin a) Dominio. Como el ndice es impar,

Dom )(xR = { 034/ + xx } 43034 + xx

Dom )(xR = (- , 43 ) ( 43 , + ) { }43= b) Rango. Ser analizado conjuntamente con la grfica


Eje y , hacer 0=x , 69,0313 =y , luego el punto de corte es

)69,0,0(

Eje x , cuando 0=y ; 21012034120

3412

3 ===+=+

xxxx

xx

,

luego el punto de corte es ( 21 , 0)

d) Simetra. 3333412

)34()12(

3412)(

+=+=+

=xx

xx

xxxR

d.1) Como )()( xRxR no hay simetra con el eje y d.2) Como )()( xRxR no hay simetra con el origen

e) Monotona: Aseguramos que la funcin es creciente en todo el dominio.

f) Asntotas: Como la cantidad sub-radical de la funcin es una funcin

racional, es importante hacerle el estudio considerando estos

elementos:

Asntota Vertical. Segn el estudio del dominio, una asntota vertical

es la recta 43=x .

182

Asntota Horizontal: Si observamos la cantidad subradical de la

funcin 33412)( +

=xxxR , notamos en la fraccin tanto el numerador

como el denominador, tiene el mismo grado, luego la asntota

horizontal ser 8,021

3 =y :

8,021

42

34120

8,021

42

34120

333

333

==+

=

yxxyx

yxxyx

Grfica:

Concluimos que:

La grfica es creciente en todo su dominio

Es cncava hacia arriba en (- , 43 ) y es convexa en ( 43 , + ) Rango. Rang )(xR = (- ; 0,8) (0,8; + )

Traslacin de Funciones Radicales:

Los casos de traslacin de funciones, puede abarcar varias de las funciones

estudiadas en los ejemplos de este captulo y muchas ms. Sin embargo, vamos

a estudiar ejemplos que clarifiquen la nocin de traslacin de forma sencilla.

4

3=x

8,02

13

=y 8,0

-

183

Basemos nuestro estudio en la funcin

xxR =)( y su grfica.

a) Traslacin Horizontal (Con respecto al eje x )

a.1) La funcin 2)( = xxR tiene como dominio

Dom )(xR = {x / x 2} Su grfica ser:

Esta grfica es similar a la

grfica de xxf =)( (slo que desplazada 2 unidades a la derecha.)

a.2)Para: 3)( += xxS , entonces Dom { }3/)( = xRxxS y su grfica ser:

Esta grfica es similar a la grfica de xxf =)( , pero desplazada 3 unidades a la izquierda.

Entonces, si tenemos kxxg +=)( , donde k es una constante, podemos basarnos en f(x) = xxf =)( y desplazarla as:

a. Si k > 0 (positivo), desplazamos k unidades hacia la izquierda.

b. Si k < 0 (negativo), desplazamos k unidades hacia la derecha.

x

yxxR =)(

x

y xxf =)(

2

2)( = xxR

0

x

yxxf =)(

3

3)( += xxS

0

184

b) Traslacin Vertical (Con respecto al eje y )

b.1) La funcin 2)( = xxR tiene como dominio Dom )(xR = {x / x 0} Su grfica es similar a la grfica de

xxf =)( , desplazada 2 unidades hacia abajo.

b.2) La funcin 3)( += xxS tiene como dominio

Dom )(xS = {x / x 0}.

c) Traslacin Doble

d.1) Estudiemos la funcin 34)( = xxg Dom )(xg = {x / x 4}

En este caso la forma de la funcin sugiere traslaciones tanto horizontal

como vertical de la funcin xxf =)( Ejercicios Propuestos:

Analiza las siguientes funciones y grafique

x

y

2)( = xxR

2

x

0

x

y 3)( += xxS

3

x

0

4)( = xxR

x

y

4)3,4(

x

y

4

3

4)( = xxR

34)( = xxS

185

31) f (x) = 3x 32) f (x) = 13 x 33) f (x) = 52 +x 34) f (x) = x4 35) f (x) = x23 36) f (x) = 652 + xx

37) f (x) = 3 2 13 + xx 38)f (x) =23

+

xx

39) f (x) = 103

92

2

+xx

x

FUNCIN VALOR ABSOLUTO:

La funcin Valor Absoluto de una variable se define como:

186

ii.-) Cortes con los ejes coordenados:

Corta los ejes en el origen, P(0,0), donde la funcin tiene un vrtice agudo o

un pico.

iii.-) La funcin es simtrica con respecto al eje y , es decir la funcin Valor

Absoluto es una funcin par: )()( xfxf = (Propiedad (a)). iv.-) La funcin es creciente en el intervalo [ ),0 y decreciente en el intervalo

( )0, vi.- ) Al ser una funcin par, la funcin Valor Absoluto no es inyectiva.

Y su grfica es:

Observa, cuando 0x , la funcin x representa a la lnea

recta xy = , mientras que si 0

187

mientras que si 0

188

b.2.) Hacia abajo c unidades. La nueva

funcin se representa por: cxxf =)( y su grfica es:

Veamos a continuacin varios ejemplos de traslaciones de la funcin Valor

Absoluto:

Ejemplo .26. Hacer una traslacin horizontal de la funcin xxf =)( , 3 unidades a la derecha y hacer la grafica de la funcin resultante.

Solucin:

Para la funcin xxf =)( , una traslacin horizontal 3 unidades a la derecha, equivale

a la funcin 3= xy . Como se indica en la grfica.

Ejemplo .27. Hacer una traslacin vertical de la funcin xxf =)( , 2 unidades hacia abajo y hacer la grafica de la funcin resultante.

Solucin:

Para la funcin xxf =)( , una traslacin vertical hacia abajo 3-

unidades, equivale a la funcin

2= xy . Como se ve en la grfica.

xxf =)(

cxxf =)(

c

x

3= xy y

3

x

2= xy

2

y

189

Algunas veces, las traslaciones de funciones no se realizan con respecto a un

solo eje, sino tambin con respecto a los dos ejes, veamos a continuacin un

ejemplo donde se observa traslacin con respecto a los dos ejes de

coordenadas:

Ejemplo .28. Hacer una traslacin horizontal de 21 unidades a la izquierda y

una traslacin vertical 52 unidades hacia abajo, de la funcin xxf =)( y

hacer la grafica de la funcin resultante.

Solucin:

1.- Para la funcin xxf =)( , una traslacin horizontal a la izquierda 21

unidades , representa : 21)( += xxf .

2.- Ahora, observa que sobre esta funcin

( 21)( += xxf ), hicimos una traslacin

vertical hacia abajo 52 unidades,

equivale a la funcin 52

21)( += xxf


Representar algebraicamente las siguientes traslaciones de la funcin xy = :

40) Horizontal 4 unidades a la izquierda y Vertical 21 unidades hacia arriba.

41) Horizontal 21 unidades hacia la derecha.

42) Horizontal 23 unidades a la derecha y Vertical 3

2 unidades hacia abajo.

43) Vertical 41 unidades hacia abajo

44) Horizontal 1 unidad a la izquierda y Vertical 74 unidades hacia abajo.

45) Horizontal 34 unidades a la izquierda y Vertical 3

2 unidades hacia arriba.

52

21

x

y

190

LECTURA N 18: FUNCIONES EXPONENCIALES y LOGARTMICAS

En esta lectura estudiaremos las funciones exponenciales y logartmicas. Para

cada una de ellas trazaremos su grfica y la analizaremos a partir de las

caractersticas vistas en la unidad 3 (dominio, rango, cortes con los ejes,

simetra, concavidad y/o convexidad, crecimiento y/o decrecimiento y adems

otras caractersticas particulares de cada funcin).

FUNCIN EXPONENCIAL:

Muchas veces nos encontraremos con expresiones o frmulas donde se reflejan

un crecimiento o decrecimiento muy rpido. Esto generalmente puede ser

explicado a travs de las funciones exponenciales.

Ejemplos de este hecho son:

i.) Frmula del inters compuesto ( )(tA )

nt

t nrPA

+= 1)(

donde: P = Inversin inicial, r = tasa de inters, n = # de perodos anuales

de capitalizacin, t = # de aos de inversin, At = valor al final de los t-aos

ii.) Frmula del crecimiento bacteriano, en un cultivo cuya tasa de crecimiento es tal que en cada hora se duplican la cantidad de bacterias. Entonces la

frmula de crecimiento bacteriano es: Bf(t) = B0 x 2t

Donde: B0 = # de bacterias al inicio del cultivo, t = # de horas transcurridas, Bf = # de bacterias al cabo de t-horas.

iii.) La cantidad de una sustancia radioactiva en un elemento decae siguiendo la ley: y = Ae 0.2x

Material tomado con fines instruccionales de:

Gmez, T., Gonzlez, N., Vergara, A. (2001). Inecuaciones y Funciones Reales. Caracas: Material no publicado

191

donde: A = cantidad inicial de la sustancia radioactiva,

x = el tiempo transcurrido,

y = la cantidad final de la sustancia radioactiva despus de x aos.

Estos son slo tres ejemplos donde intervienen las funciones exponenciales,

existen muchos otros problemas donde su comportamiento se expresa a travs

de una funcin exponencial y de la funcin logartmica.

En esta lectura vamos a trabajar con la conceptualizacin, caractersticas y

propiedades (algebraicas y grficas) de la funcin exponencial.

Para cualquier 1,0 > bb , la ecuacin xby = , define una funcin exponencial de base b , con exponente de variable x , cuyo dominio son todos los nmeros

reales; es decir, una funcin exponencial xbxf =)( , es aquella donde la variable independiente forma parte de un exponente de una determinada base.

Caractersticas de la funcin Exponencial:

i) Como 0>b , entonces 0>xb ; es decir, la funcin xby = siempre es positiva cualquiera sea el exponente x .

ii) a) Si 1>b y 0>x , entonces 1>xb b) Si 1>b y 0

192

Ejemplo .2. Si 2=b y 4=x Caso (b) (ii): 1>b y 0

193

Solucin:

x xy 2= -4 0625,0

1612 4 ==

-2 25,0412 2 ==

-1 25,0212 1 ==

0 120 =

1 221 =

2 422 =

3 823 =

Como 12 >=b , entonces para hacer la grfica tomamos una tabla de valores

,, yx tomando valores de x positivos y

negativos, y calculando los valores

respectivos para y .

Representamos estos valores en el plano

cartesiano xy

4 1624 =

1)Dominio de la funcin: Dom( )f = 2) El Rango : Rang( )f = + = (0, ) 3) i) Corta al eje y : P (0, 1)

ii) No corta el eje x , pero tiene el eje x como una asntota horizontal hacia la

izquierda.

4) i) No es una funcin par, ya que )(22)( xfxf xx == , esto nos quiere decir que no es simtrica con respecto al eje y

ii) La funcin exponencial no es impar, pues )(22)( xfxf xx == , es decir, tampoco es simtrica con respecto al origen.

5) La funcin es creciente en todo su dominio

6) Es cncava hacia arriba en todo su dominio.

7) Es una funcin inyectiva

1

xy 2=

194

La caracterstica 3 ii) de la funcin se evidencia tomando una tabla con valores

de x negativos:

x xxfy 2)( ==

-1 5,0212 1 ==

-5 03125,0321

212 5

5 ===

-10 000976562,0024.11

212 10

10 ===

-20 50000009537,0576.048.1

1212 20

20 ===

Observamos que a medida que x es ms pequeo, la funcin

xxfy 2)( == se acerca a cero, pero no llega nunca a tomar el

valor cero. Por lo tanto, la recta

0=y (eje x ) es una asntota horizontal de la funcin

xxfy 2)( == .

Todas las caractersticas determinadas para la funcin del ejemplo anterior se

pueden generalizar para la funcin exponencial xbxf =)( , con 1>b . 1. Dom (f) = y Rang (f) = (0 , ). 2. i) Corta al eje y en el punto P (0, 1).

ii) No corta al eje x , pero tiene al eje x como una asntota horizontal hacia la izquierda.

3. No es una funcin simtrica:

i) Con respecto al eje y , es decir, la funcin exponencial no es una

funcin par.

ii) con respecto al origen, es decir, no es una funcin impar.

4. Es creciente

5. Es cncava hacia arriba

6. Es inyectiva

195

Ahora vamos a representar diferentes grficas de la funcin exponencial xbxf =)( , con 1>b , para diferentes valores de b , en un mismo sistema

coordenado.

Observa que a medida que b es

ms grande, xb est ms cerca del

eje y , cuando 0>x y xb est ms cerca del eje x , cuando 0

196

0 011

31

31

0

00

===

1 333,031

31

31

1

11

===

2 111,091

31

31

2

22

===

3 037037,0271

31

31

3

33

===

Dominio de la funcin: Dom )(xf = y el Rango Rang )(xf = (0 , ) i) Corta el eje y en el punto P(0 , 1)

ii) No corta el eje x , pero el eje x es una asntota horizontal de la funcin

hacia la derecha.

- La funcin no es simtrica con respecto

al eje y .

- La funcin tampoco es simtrica con respecto al origen.

- Decreciente, Cncava hacia arriba e Inyectiva.

Igual que el anterior, podemos generalizar las caractersticas de la funcin

exponencial xbxf =)( , cuando 10

197

5) Cncava hacia arriba

6) Inyectiva

Veamos ahora, diferentes grficas de funciones exponenciales, xbxf =)( , cuando 10

198

Funcin Exponencial Natural:

El nmero e

La expresin n

n

+ 11 , donde n es un nmero entero positivo, desempea

un papel importante en el estudio del clculo infinitesimal y en las frmulas

financieras del clculo de inters compuesto.

Cuando evaluamos la expresin n

n

+ 11 para valores de n = 2, 4, 5 y 8;

obtenemos:

...56578,2)125,1(8118,48832,2

5115

4414,24114,25,2

2112

885

42

==

+==

+=

=

+==

+=

nn

nn

Notamos que a medida que n crece, el valor de la expresin n

n

+ 11 tambin

crece Ahora bien, Cunto ms crecer?

Para responder esta pregunta, estudiemos un poco la expresin n

n

+ 11 :

Cuando n es muy grande, es decir n , n1

se hace muy pequeo, es ms,

n1

se acerca a cero, es decir: Si n entonces n1 0

Por lo tanto, cuando n es muy grande, n11+ se acerca a 1.

Podramos concluir que la n -sima potencia de n11+ , es decir

n

n11

+ ,

tambin tender a 1? La respuesta es no.

199

Veamos qu pasa con la expresin n

n

+ 11 cuando n va creciendo

n n

n

+ 11

1 (1 + 1)1 = 2

100 ..7048138,2)01,1(100

11 100100

==

+

000.100 ..7182682,2)00001,1(000.100

11 000.100000.100

==

+

000.000.10 ..7182817,2)0000001,1(000.000.10

11 000.000.10000.000.10

==

+

Si observamos la tabla, notamos que la expresin n

n

+ 11 se acerca a 2,71829,

cuando n se hace muy grande. De hecho, en el clculo infinitesimal se demuestra que:

Si n , entonces n

n

+ 11 se acerca al nmero e = 2,718281828459045....

Este nmero e se define como un nmero real irracional, es decir, que tiene una expresin decimal infinita y no repetitiva. Este nmero tambin es llamado la exponencial natural.

Definicin:

La funcin exponencial natural se define como xexfy == )( , donde: e = 2,718181828459045...

y donde se cumplen las caractersticas descritas para la funcin exponencial xbxfy == )( , 1>b , xexf =)( .

1) Dom ( )f = y Rang. ( )f = (0, )

200

2) i) Corta al eje y en el punto P(0, 1)

ii) No corta el eje x , pero el eje x es una asntota horizontal de la funcin por la izquierda.

3) No es una funcin par ni impar.

La funcin en todo su dominio es:

4) Creciente, Cncava hacia arriba e Inyectiva.

Grfica de la Funcin Exponencial

Natural

Ejemplo .7. Sea xexf =)( , como 2 < e < 3, entonces la grfica de

la funcin exponencial natural xexf =)( tiene la misma forma que la

funcin exponencial xbxfy == )( con 1>b y se encuentra entre las grficas

de las funciones xy 2= , xy 3= Ejercicios Propuestos:

Utilizando las caractersticas de la funcin exponencial xby = , con 1>b y 1b , construir la expresin y grfica de la funcin resultante al trasladarse segn los

ejes coordenados de la siguiente forma:

Traslacin horizontal, con respecto al eje x

8) Traslacin a la derecha a unidades

y=ex

y=2x

y=3x

x

y

201

9) Traslacin a la izquierda a unidades

Traslacin vertical, con respecto al eje y :

10) Hacia arriba c unidades

11) Hacia abajo c unidades

Traslacin de los ejes, tanto horizontal como vertical

12) Si la traslacin es a unidades la derecha y hacia arriba c unidades hacia arriba.

13) Si la traslacin es a unidades a la izquierda y c unidades hacia abajo.

14) Si la traslacin es a unidades a la derecha y c unidades hacia abajo.

15) Determinar qu tipo de traslacin tiene la funcin 3)( = xexf y graficarla.

16) Determinar qu tipo de traslacin tiene la funcin 5)( = xexf .

17) Determinar qu tipo de traslacin tiene la funcin 32)( 5 += +xxf y hacer la grfica.

18) Hacer una traslacin horizontal de 4 unidades a la derecha y una traslacin

vertical 3 unidades hacia abajo de la funcin xey = . Representarla grficamente

19) Determina la ecuacin resultante de hacer una traslacin de la funcin xy 2= :

(a) Horizontal 2 unidades, a la derecha y vertical 2 unidades hacia arriba

(b) Horizontal 3 unidades a la izquierda y vertical unidades hacia arriba

(c) Horizontal 32

unidades hacia la derecha.

(d) Vertical 32

unidades hacia abajo.

202

20) Determinar qu tipo de traslacin tienen las siguientes funciones, con

respecto a la funcin base y = ex

a) 1+= xey b) 1+= xey c) 23 = xey d) 214 +=+ xey

FUNCIN LOGARITMO

El Logaritmo:

Cuando trabajamos con potenciacin, por ejemplo 32=y , obtenemos el resultado multiplicando la base tantas veces como indica el exponente as

2.2.223 ==y Si variamos el exponente obtenemos la funcin exponencial xy 2= , donde x es un nmero real. Luego, si tomamos diferentes valores para x, obtendremos los valores correspondientes de y. Por ejemplo, la funcin xy 2= , est definida, para cualquier valor Rx por lo tanto, con la siguiente tabla de valores de x, hallaremos los valores correspondientes de y:

x 2 1 0 21 1

2

xy 2= 25,041

212 2

2 === 5,0212 1 == 122 00 == 1414,1222

1

== 221 = 422 =

Por otro lado, al resolver ecuaciones exponenciales sencillas como:

a. 6255 =x , obtenemos el valor de x, descomponiendo en factores primos el lado derecho de la ecuacin y utilizando el hecho de que la funcin exponencial es inyectiva, es decir 455 4 == xx , entonces 62554 = .

b. 53221 == xx , pues xx = 22

1 y 3222 5)5( ==

c. 327 =x , 31=x pues 332727 3 333

1

=== .

203

Pero no siempre obtenemos resultados tan directos en la solucin de una ecuacin exponencial.

Para superar esta dificultad vamos a definir logaritmo de un nmero.

Definicin

Sean 0>b y >a 0, definimos al logaritmo base b de a como: zaLogb = s y solo si ab z =

donde a se le llama el argumento del logaritmo.

Ejemplo .8. De acuerdo a las ecuaciones exponenciales vistas anteriormente, aplicar la definicin de logaritmo a las siguientes expresiones:

a. 46255 =Log , ya que 62554 = .

b. 53221 =

Log , ya que 32221

21 5

5

5

===

c. 31327 =Log , ya que 3)27( 31 = .

Podramos decir entonces que azLogb = significa que z es el exponente de b que produce a , as:

310 =aLog , entonces 1000103 == aa

42 =aLog , entonces 1624 == aa 25 =aLog , entonces 2552 == aa

21

9 =aLog , entonces 399 21 === aaa

23 =aLog , entonces 913 2 == aa

Si observamos en detalle la definicin de logaritmo notamos que la base del

logaritmo tiene que ser positiva, 0>b ; por lo tanto el logaritmo de un nmero negativo o de cero no existe. Observemos los ejemplos

204

Para 4=a ZLogb = 4 , significa ( ) 4=zb , como 0>b , cualquiera que sea el exponente z, 0>zb , por lo tanto el Logaritmo de un nmero negativo no est definido.

As tambin si 0=a , ZLogb =0 significa ( ) 0=zb , como 0>b , para cualquier valor de z, 0>zb , es positivo y diferente de cero, por lo tanto podemos concluir que el logaritmo de nmero negativo o igual a cero no existe. Entonces, podemos concluir que el argumento de un logaritmo debe ser estrictamente mayor que cero.

Propiedades del Logaritmo:

Sea b, la base del logaritmo, un nmero positivo ( 0>b ) y sean 0, 21 >aa los argumentos del logaritmo.

1. 01 =bLog 2. 1=bLogb 3. 2121 ).( aLogaLogaaLog bbb +=

4. 212

1 aLogaLogaaLog bbb =

5. ( ) 11 aNLogaLog bNb = , con N 6. 1

1

1 aLoga

Log bb =

Condiciones de signo para el logaritmo:

7. Si 10 a entonces 01 a entonces 01 >aLogb 10. Si 1>b y 10 1 aLogb

Veamos a continuacin, varios ejemplos donde se reflejan las condiciones de signo del logaritmo:

205

Ejemplo .9. Para 121 =a , tenemos que:

053221 =a tenemos que 046255 >=Log

Ejemplo .12. Para b = 3 > 1 y 191

1

206

= 31010 101 LogLog = 1030 10Log = 1.30 = -3

Respuesta: ( )001,010Log = -3 Definicin de logaritmo de base comn:

Los logaritmos cuya base es 10=b se les llaman Logaritmos comunes y se denotan:

xLogxLog =10 (No se le coloca la base 10) Si nos encontramos con esta expresin:

aLog , esto equivale al aLog10 .

As, Log10 = 1, Log 100 = 2, Log 10.000 = 4.

Pero cmo hallamos los logaritmos comunes de nmeros que no son potencias de 10?

Existen datos tabulados de logaritmos comunes, estas vienen generalmente en los Apndices de algunos libros. Actualmente todas las calculadoras traen funcin Logaritmo comn, denotado Log y podemos determinar el valor del logaritmo comn de un nmero positivo, introduciendo el nmero en la calculadora y presionando la tecla donde aparece la funcin Log (El procedimiento para hallar el logaritmo comn de un nmero depende de la calculadora, para ms informacin use el manual de la misma).

Definicin de logaritmo natural:

Los logaritmos con base e se les llama Logaritmo Natural y se denota:

LnxLoge = x Tambin se les llama, logaritmos neperianos, en honor al matemtico L. Neper, creador de las bases de la Teora de los Logaritmos. As, el 55 eLogLn = . Los logaritmos neperianos, al igual que los logaritmos comunes, son funciones que estn incorporadas en las calculadoras, a travs de la funcin Ln .

207

Funcin Logartmica:

En la seccin anterior, estudiamos el concepto y caractersticas de los logaritmos. En esta seccin estudiaremos los logaritmos como funciones. Vamos a considerar la funcin logaritmo con base 0>b y los casos:

i ) 1>b ii) 10 1

Sea b > 1, definimos la funcin logaritmo base b de una variable x , como:

xLogxf b=)( Caractersticas de la funcin logartmica

xLogxf b=)( , con 1>b 1. Dominio y Rango de la funcin:

Dom )(xf = { }0: > xx = ( ),0 y Rang )(xf = 2. La funcin )(xf es positiva cuando 1>x y )(xf es negativa cuando

10 b Tomemos como ejemplo, 10=b , y construyamos la grfica de la funcin logaritmo comn:

xLogxLogxf == 10)( Construiremos una tabla de valores x y mostraremos su grfica:

208

Observa que como Dom ( )(xf ) = ),0( , si x est cerca de cero, entonces el logaritmo de x , tiende a ser un nmero negativo muy pequeo. Veamos la siguiente tabla de valores.

x Logxxfy == )(

0,001 -3

0,000001 -6

0,0000000001 -8

2010 -20

Nota: esto significa que como 0x , entonces el eje y es una asntota vertical de la funcin.

Vamos a representar diferentes grficos de la funcin logartmica

xLogxf b=)( , con 1>b para diferentes valores de la base b :

10,,2 === bebb .

1

x

y )(xLogy =

xLogy = 1 x

y xLogy 2=

xLny =

x xLogxf =)(

0,01 Log (0,01) = -2

0,1 Log (0,1) = -1

1 Log (1) =0

10 Log (10) = 1

50 Log (50) = 1,69

209

Observa que a medida que b es mayor se tiene:

a. Cuando 1>x , la funcin xLog10 est ms cerca del eje x que la funcin xLog 2 .

b. Mientras que cuando 10 x entonces xLogxLogxLog e 102 >> . c.2. Si 10

210

2. Signo de la funcin

a) Si 10 xLogb . b) Si 1>x entonces 0

211

c.1. Si 1>x entonces xLogxLogxLoge 2

11101

Ejemplo .14. Hacer la grfica de la funcin xLogxf 2)( = , utilizando una tabla de valores y las caractersticas de la funcin logartmica, segn la base.

Solucin:

Para la funcin ( )xLogxf 2)( = , la base es 110 >=b (logaritmo comn) y el argumento es x2 .

Entonces, para hallar el Dom )(xf , la condicin es que el argumento tiene que ser positivo y diferente de cero:

Dom )(xf = { }02: > xx Al resolver la desigualdad: 02 >x , nos queda 0>x ( ) ,0x , luego

Dom )(xf = (0, ) En base al dominio de la funcin, construimos una tabla de valores:

0>x ( )xLogxf 2)( = 0,01 -1,6990

0,10 0,6990

0,5 0

0,8 0,2041

1 0,3010

1,5 0,4771

2,0 0,6021

2,5 0,6990

De acuerdo a la tabla y a las caractersticas de la funcin, veamos:

- Corte con el eje x , 0)( =xf , se da slo si el argumento es igual a 1, es decir, 12 =x

21= x . Entonces la funcin

( )xLogxf 2)( = corta al eje x en el punto ( )0,21P . - No corta el eje y , pero el eje es una asntota

vertical de la funcin.

- Como 110 >=b , entonces la funcin es creciente, cncava hacia abajo e inyectiva en todo su dominio,

21

x

y )2( xLogy =

212

como se muestra en la grfica:

Ejemplo .15. Hacer la grfica de la funcin )()( xLnxf = .

Solucin: Para hacer la grfica de esta funcin vamos a determinar las caractersticas de la funcin y tomaremos una tabla de valores.

Caractersticas de la funcin )()( xLnxf = - La base eb = , logaritmo natural el argumento es x . - El dominio de la funcin logartmica, son todo los valores de x , tales que el

argumento del logaritmo sea estrictamente positivo, es decir:

Dom ( )(xf ) = { } { } )0,(0:0: = xxxx Tomamos una tabla de valores para xDom ( )(xf ).

x )()( xLnxf = -0,01 -2,0

-0,1 -1,0

-0,5 -0,3010

-1 0

-1,1 0,0414

-2,0 0,3010

-2,5 0,3979

-3 0,4771

El corte con el eje x se da cuando el argumento, en este caso x es igual a 1, es decir:

-x = 1 11 == xx , si ( )( ) 0)1(1,1 === LnLnx . Luego el punto de corte con el eje x es P (-1,0)

De acuerdo a la tabla de valores, notamos que la funcin es decreciente, ya que a medida que los valores de x disminuyen, los valores de )( xLn aumentan.

Es cncava hacia abajo e inyectiva luego la grfica sera:

x 1

y

213

Ejercicios Propuestos

Utilizando una tabla de valores de x en su dominio, hallar los valores de la

funcin )(xfy = y utilizando las caractersticas de la funcin hacer la grfica de: (21) xLogxf 2)( 10= ; (23) ( ) )3()( 21 xLogxf = ; (22) )()( 10 xLogxf = (24)

=

2)( xLnxf

Traslaciones de la funcin logartmica:

La funcin logartmica xLogy b= , con 0>b puede trasladarse segn los ejes coordenados yx, . En los siguientes ejemplos, haremos las grficas para la funcin logaritmo, cuando la base 1>b . I.- Traslacin horizontal, con respecto al eje x .

I.1)Traslacin a la derecha a unidades.

( )axLogy b = , 0>b y ax >

I.2.-Traslacin a la izquierda a unidades.

)( axLogy b += , 0>b y ax >

( )axLogy b +=

a-1 1

( )xLogy b=

( )axLogy b =

a+1 1

( )xLogy b=

214

I.3- Traslacin vertical hacia arriba c unidades.

cxLogy b += )( , 0>b

Veamos a continuacin, con varios ejemplos estas traslaciones:

Ejemplo .16. Determinar qu tipo de traslacin tiene la funcin

)5()( += xLogxf y graficarla.

Solucin:

La funcin )5()( += xLogxf tiene traslacin horizontal a la izquierda, 5 unidades tomando como referencia a la funcin )(xLog .

)5( += xLogy b , 0>b y 5>x


3)()( += xLnxf

Solucin:

La traslacin de la funcin 3)()( += xLnxf es vertical 3 unidades hacia arriba con respecto a la funcin )(xLn y grficamente:

( )5+= xLogy b

-4-5

1

( ) 3+= xLny

3

c

1

( ) cxLogy b +=( )xLogy b=

215


5)2()( = xLnxf Solucin:

5)2()( = xLnxf tiene dos traslaciones de la funcin )(xLn : una horizontal de 2 unidades a la derecha y una vertical de 5 unidades hacia abajo.

Ejemplo .19. Para la funcin )()( xLogxf = , hacer una traslacin horizontal de

21 unidades a la izquierda y una traslacin vertical de 2

3 unidades hacia abajo.

Hacer la grfica.

Solucin:

Para la funcin )(xLogy = Una traslacin horizontal 2

1 unidades a la

izquierda nos queda: ( )21+= xLogy Ahora nuestra funcin base es ( )21+= xLogy y la trasladamos verticalmente 2

3 unidades

hacia abajo: ( ) 2321 += xLogy

Ejemplo .20. Hacer una traslacin de la funcin xLny = de acuerdo a:

i) Una traslacin 4 unidades a la derecha y 43 unidades hacia arriba.

ii) Una traslacin 31 hacia abajo y 5

4 unidades a la izquierda.

iii) Una traslacin de 4 unidades hacia arriba y 53 unidades a la izquierda.

Solucin:

( ) 2321 += xLogy 2

1=x

( )23,21

216

i.) 43)4( += xLny ii.)

31

54

+= xLny iii.) 453 +

+= xLny


Hacer traslaciones sobre la funcin )(xLogy = y representarlas grficamente. 25) Horizontal 3

1 unidades a la derecha y verticalmente 2 unidades hacia

abajo.

26) Horizontal 5 unidades a la izquierda y vertical 3 unidades hacia abajo.

27) Horizontal 32

horizontal a la derecha y vertical 51

hacia arriba.

28) Horizontal 8 unidades hacia abajo.

29) Horizontal 10 unidades a la izquierda.

Determinar que tipo de traslacin tienen las siguientes funciones respeto a la

funcin )(xLny = .

30) 1)1( += xLny (31)

+=21xLny (32) ( )4= xLny

33) ( )32 = xLny (34)

+=+43

41 xLny

217

LECTURA N 19: ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Funciones Trigonomtricas

Las funciones trigonomtricas se obtienen a partir de las razones trigonomtricas, de la forma siguiente:

El ngulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360 de una circunferencia pasan a ser 2 radianes

Se considera que cualquier nmero real puede ser la medida de un ngulo. Sus razones trigonomtricas se relacionan con las razones de los ngulos comprendidos en el intervalo [ )2,0 del siguiente modo:

Si )2( kba = , con k nmero entero, entonces: )()( bsenasen = )cos()cos( ba = )csc()csc( ba = )sec()sec( ba =

es decir, si dos nmeros difieren en un nmero entero de veces 2 , entonces tienen las mismas razones trigonomtricas.

Igual pasa si )(kdc = (mltiplo de ), con k nmero entero, entonces:

)()( dTancTan = )()( dCotgcCotg = De este modo se obtienen las funciones trigonomtricas, llamadas tambin circulares:

)(xSeny = )(xCosy = )(xTany =

A continuacin describiremos las caractersticas de las grficas y su representacin en el plano, de las funciones )(xSeny = , )(xCosy = y

)(xTany = .

Tomado con fines instruccionales de:

Santamara, M. (2007). Clasificacin de las funciones. Artculo no publicado. (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.

218

Grfica de la funcin seno

Formamos una tabla de valores:

Radianes )(xSen

0 0

2

1

0 2

3

-1

2 -0,87 - 2

-1

Anlisis de la grfica

A medida que el ngulo crece de 0 a /2, los valores del seno crecen de 0 a 1; por lo tanto la curva es creciente en este intervalo y sus valores son

positivos. El mximo ocurre cuando 2=x .

A medida que el ngulo crece de /2 a , los valores del seno varan de 1 a 0. en este intervalo la curva es decreciente y sus valores son (+).

A medida que el ngulo crece entre y 3 /2 los valores del seno varan de 0 a -1 en este intervalo la curva es decreciente y sus valores se obtienen

cuando 23=x .

A medida que el ngulo crece entre 3 /2 y 2 los valores del seno varan -1 y 0; por lo tanto, la curva es creciente y sus valores son negativos.

La funcin )(xSeny = es continua en el intervalo 0 a 2 . Esto nos indica que no tiene roturas en su grfica.

219

Grfica de la Funcin Coseno

La funcin )(xCos es una funcin real de variable real, tal que a cada ngulo x medido en radianes se le hace corresponder un nmero real denominado como

)(xCos .

Formamos una tabla de valores.

Radianes )(xCos 0 1

2

0

-1 2

3 0

2 1 - 2

0

La funcin tangente:

La funcin tangente es una funcin de variable real definida como el cociente

CosxSenxxf =)(

siendo 0)( xCos , denotado por Tanxxf =)( , de forma tal que a cada ngulo expresado en radianes, le haga corresponder el valor de su tangente.

220

Grfica de la funcin tangente

Formamos una tabla de valores.

Radianes xTan 0 0

4

1

0 4

3 -1

0

)( xTan

221

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CRDITOS Primera Edicin 2008 Dra. Rosa M. Puerta Castro Lder (E) Sistema de Aprendizaje Autogestionado Asistido Ing. Juana Lorenzo Lic. Teresa Gmez Prof. Neida Gonzlez Lic. Jos Gmez Lic. Jos Santamara Prof. Alberto Ochoa Especialistas de Contenido Lic. Guillermina Indriago Lic. Nelly Almarza Lic. Adela Penichet Especialistas de Redaccin y Estilo Prof. Alberto Ochoa Diseador Instruccional Ing. Juana Lorenzo Lic. Teresa Gmez Prof. Alberto Ochoa Diseadores y Diagramadores

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