unidad 1: maquinas electricas

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

PROGRAMA DE POSGRADO EN AUTOMATIZACIN Y

CONTROL INDUSTRIAL

MQUINAS ELCTRICAS

Dr. Hugo Arcos Martnez


2 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

Contenido 1. Revisin de Relaciones Fundamentales ................................................................... 4

1.1. Densidad de corriente y densidad de flujo: ........................................................ 4

1.2. Carga y corriente: ............................................................................................... 4

1.3. Fuerza causada por la induccin magntica: ..................................................... 5

1.4. Momento magntico: ......................................................................................... 5

1.5. Flujo magntico y densidad de flujo magntico: ............................................... 6

1.6. Intensidad de campo magntico: ........................................................................ 7

1.7. Fuerza electromotriz inducida e inductancia: .................................................... 9

2. Sistemas Magnticos .............................................................................................. 12

2.1. Circuitos Magnticos ....................................................................................... 12

2.2. Ferromagnetismo ............................................................................................. 15

2.3. Magnetizacin .................................................................................................. 16

2.4. Histresis .......................................................................................................... 20

2.5. Energa del campo magntico .......................................................................... 21

2.6. Prdidas por histresis...................................................................................... 22

2.7. Flujo alternado ................................................................................................. 25

2.8. Prdidas por corrientes parsitas (corrientes de remolino) .............................. 26

2.9. Prdidas en el ncleo ....................................................................................... 29

2.10. Corriente de excitacin en un inductor ........................................................ 30

2.11. Sistemas magnticos .................................................................................... 33

2.12. Circuitos Magnticos Complejos ................................................................. 35

2.13. Flujo magntico en el aire ............................................................................ 36

2.14. Efecto linealizante del entrehierro................................................................ 37

2.15. Inductancia y energa almacenada en un sistema magntico con entrehierro.

38

2.16. Circuito equivalente de un inductor ............................................................. 39

2.17. Sistemas Magnticos con ms de un bobinado ............................................ 43

2.18. Conversin de Energa ................................................................................. 45

3. Transformadores ..................................................................................................... 47

3.1. Transformador Ideal......................................................................................... 47

3.2. Modelo de un transformador de dos devanados .............................................. 48

3.2.1. Ecuaciones de concatenaciones de flujo ................................................... 48

3.2.2. Ecuaciones de Voltaje .............................................................................. 50

3.3. Aspectos de ingeniera en el anlisis de transformadores ................................ 52

3.3.1. Prueba de Cortocircuito ............................................................................ 53

3.3.2. Prueba de Circuito Abierto ....................................................................... 54


3 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

3.4. Autotransformadores y transformadores multi-bobinado ................................ 55

3.4.1. Autotransformadores ................................................................................ 55

3.4.2. Transformadores Multi-bobinado ............................................................. 57

3.4.3. Transformadores en sistemas trifsicos .................................................... 58

3.5. Cantidades en por unidad ................................................................................. 59

3.5.1. Cambio de Bases de cantidades en por unidad ......................................... 62

3.5.2. Referencia de impedancias de un lado a otro del transformador trifsico.63

3.5.3. Ventajas de los clculos en por unidad. .................................................... 63


4 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

1. Revisin de Relaciones Fundamentales

En lo que sigue se realiza una presentacin rpida de las principales relaciones

matemticas utilizadas en la modelacin de magnitudes elctricas y magnticas.

1.1. Densidad de corriente y densidad de flujo:

Flujo magntico escalar

B Densidad de flujo magntico vector i Corriente elctrica - escalar

J Densidad de corriente elctrica vector

A

ABAdB .[Wb] . [1.1]

A

AdJi [A] . [1.2]

Figura 1.1. Lneas de induccin magnticaen una bobina recorrida por corriente

1.2. Carga y corriente:

C .A dtiqdtdq

i [1.3]

N BvqF [1.4]


5 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

1.3. Fuerza causada por la induccin magntica:

Figura 1.2. Direcciones de fuerza, velocidad y campo magntico sobre una partcula cargada y sobre un

conductor que transporta corriente.

sinqvBF [1.5]

ilBFBdlidF

Bdt

dldqdF

[1.6]

1.4. Momento magntico:

Figura 1.3. Induccin magntica debida a Figura 1.4. Induccin magntica debida a

una corriente en un conductor un lazo que lleva corriente

El momento magntico del lazo de corriente se define como:

Aipm . Am2 [1.7]


6 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

Figura 1.5. Momento mecnico aplicado al lazo de corriente por el campo magntico

BpT m Nm [1.8]

1.5. Flujo magntico y densidad de flujo magntico:

Figura 1.6. Induccin magntica a travs de un camino cerrado

Figura 1.7. Ilustracin de la integral de superficie


7 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

Si B es perpendicular a la superficie,

AB. Wb [1.9]

A

B

T o Wb/m2 [1.10]

Para una superficie cerrada se cumple:

0. A

dAB [1.11]

1.6. Intensidad de campo magntico:

Figura 1.8. Fuerza magnetomotriz a travs de un camino cerrado

fuerza magnetomotriz asociada al camino cerrado [A]

321 III

c

dlB. [1.12]

permeabilidad absoluta [H/m]

0 constante magntica o permeabilidad absoluta del vaco

m

H

m

H 257.1104 70

r permeabilidad relativa 0. r


8 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

NidlH

dlH

HB

dlB

c

c

c

.

.

[1.13]

Esta ltima expresin es la ley circuital de Ampere que tambin puede expresarse como:

Ac

dAJdlH .. [1.14]

Figura 1.9. Intensidad de campo magntico alrededor de un conductor que lleva corriente

Para el caso del conductor de la Figura 1.9, la aplicacin de la ley de Ampere conlleva a

la siguiente expresin:

A/m 2

2

r

iH

irH

[1.15]


9 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

Figura 1.10. Ilustracin de la integral de superficie de la Ec. [1.14]

1.7. Fuerza electromotriz inducida e inductancia:

El campo elctrico inducido en un conductor que se mueve a una velocidad v dentro de

un campo magntico, cuya densidad de flujo magntico es B, est dado por:

BvEi [1.16]

Mientras que la fuerza electromotriz inducida en dicho conductor estar dada por la

componente de Ei coincidente en direccin con el conductor, es decir:

lBvei [1.17]

Lo cual puede expresarse de forma diferencial como:

dlBvedlBvdlEde iii [1.18]

vdlBdlBvdlEi [1.19]

Considerando que:

dABd l

Se puede reescribir la Ec. [1.19] como:

dt

dddlE li

[1.20]

Lo que significa que, la fuerza electromotriz inducida en una porcin del conductor es

igual al flujo magntico cortado por dicha porcin, dividido en el tiempo requerido para

que se produzca el corte.

Considerando un lazo conductor que se mueve dentro de un campo magntico y

teniendo en cuenta la ley de Lenz se tiene que:


10 MQUINAS ELCTRICAS

DR. HUGO ARCOS M.

dt

dedlE ii

[1.21]

Auto-induccin.-

Figura 1.11. Circuito magntico bsico

Para la bobina mostrada en la Figura 1.11, al variar la corriente en el circuito, aparece

una fuente de tensin inducida (fuerza electromotriz autoinducida) como producto de la

variacin del flujo magntico total concatenado por la bobina.

dt

diLiRV

dt

diL

dt

de

Li

N

i

[1.22]

Pudiendo deducirse las siguientes expresiones:

2

0

2

0

2

0

0

0

2

2

2

2

2

N

r

ANL

ir

AN

r

iNA

r

iNB

r

iNH

[1.23]

Induccin mutua, Inductancia mutua: Al tener dos circuitos de corriente vecinos, ante

un cambio en el campo magntico originado por el circuito 1 aparece en el circuito 2 un

voltaje inducido. Tambin ante un cambio en el campo magntico originado por el

circuito 2 aparece en el circuito 1 un voltaje inducido.



DR. HUGO ARCOS M.

11212 iM [1.24] Donde:

12: Flujo magntico concatenado con el circuito 2 cuando en l no circula corriente (ver Figura 1.12).

M12: Inductancia mutua entre los circuito 1 y 2

Figura 1.12. Flujo concatenado mutuo

dt

diMe

dt

diMe

2211

1122

[1.25]

Si la permeabilidad es independiente de la intensidad de campo magntico H, se cumple:

MMM 2112 [1.26]



DR. HUGO ARCOS M.

2. Sistemas Magnticos

2.1. Circuitos Magnticos

Figura 2.1. Bobina enrollada sobre un toroide de madera

Ley de Ampere:

Ac

AdJldH

.. [2.1]

A/m 2

A 2

l

Ni

a

NiH

NiaH

[2.2]

Si el dimetro d de la seccin transversal del toroide es mucho ms pequeo que a,

entonces H calculado con el radio medio a se puede usar como una buena aproximacin

del valor promedio de la intensidad de campo en la seccin del toroide.

avav HB

0 T [2.3]

4

2dBav

Wb [2.4]

Fuerza magnetomotriz (fmm) en Ampere-vuelta

cA

ldHAdJNi

.. [2.5]



DR. HUGO ARCOS M.

0202

422

a

da

BaH A [2.6]

Reluctancia del camino magntico (Ampere/Weber)

[2.7]

4/2

2

0 d

a

[2.8]

Resistencia en un circuito elctrico ][ .

wire

wire

A

lR

Figura 2.2. Circuito magntico equivalente

Si en la Figura 2.1 vara la corriente, vara tambin y aplicando la ley de faraday para una espira

dt

deturn

V [2.9]

Y para las N espiras de la bobina:

dt

d

dt

Nde

[2.10]

Con id

a

N

42

20

2

[2.11]

Se define la inductancia de la bobina como:

i

L

[H] [2.12]

Por lo tanto:



DR. HUGO ARCOS M.

2N

L [H] [2.13]

Para una bobina ideal sin resistencia se tiene:

dt

diLv

dt

dev

[2.14]

Considerando la resistencia de la bobina se tiene:

dt

diLRiv [2.15]

Figura 2.3. Diagrama para el Ejercicio 2.1

Ejercicio 2.1: La Figura 2.3 muestra una bobina enrollada sobre un toroide de plstico

de seccin rectangular. La bobina tiene 200 vueltas de alambre de cobre redondo de

dimetro 3 mm.

a. Para una corriente de 50 A encuentre la densidad de flujo magntico en el dimetro medio de la bobina.

b. Encuentre la inductancia de la bobina asumiendo que la densidad de flujo magntico dentro de ella es uniforme e igual al valor calculado en a.

c. Determine el porcentaje de error cometido al haber asumido densidad de flujo magntico uniforme en la bobina.

d. Conociendo que la resistividad volumtrica del cobre es de 17.2 X 10-9 ohm.metro, determine los parmetros del circuito equivalente.



DR. HUGO ARCOS M.

2.2. Ferromagnetismo

Figura 2.4. Diagrama en corte de un toroide

La corriente i produce H y esta produce la densidad de flujo magntico B colineal con

H.

Para ncleo = vaco HB 0 T [2.16]

Para ncleo = aire [2.16] aumenta 0.4 partes por milln

Para ncleo = hierro, B y por lo tanto se incrementan notablemente para la misma corriente.

Considerando un modelo simple del tomo: Ncleo rodeado de una nube de electrones,

se tiene:

Figura 2.5. (a) Movimiento orbital de un electrn; (b) Spin de un electrn

pm0 = momento magntico resultante a lo largo del eje de la rbita

pms = momento magntico de spin = 9.27 x 10-24

Ampere . metro2

pm0 = o bien cero o bien un mltiplo de pms



DR. HUGO ARCOS M.

pm = momento magntico de un tomo

Figura 2.6. Dominios ferromagnticos. (a) Cuando no est aplicado un campo magntico.

(b) Cuando si est aplicado un campo magntico

2.3. Magnetizacin

Figura 2.7. Curvas de magnetizacin.

Densidad de flujo magntico en el toroide ferromagntico

BBB 0 T [2.17]



DR. HUGO ARCOS M.

B0 : Para ncleo = vaco

B : Adicional debido al ncleo ferromagntico

Para H = 1000 A/m;

B0 = 4x10-4 0.00125 T

De la Figura 2.7 para hierro fundido (cast iron), y para esa H

B = 0.513 T

Por lo que B = 0.512 T ( 500 X B0)

Momento magntico del tomo de hierro = 2.2 x (momento magntico bsico)

= 2.2 x (9.27 x 10-24

) A.m2

d = espacio entre tomos del hierro

d = 2.27 x 10-10

m

d2 = rea ocupada por un tomo de hierro.

Momento magntico = corriente i fluyendo en un lazo de rea d2

2242 A.m 1027.92.2 Xdipm [2.18]

A 103941027.2

1027.92.2 6202

24

i [2.19]

Intensidad de campo magntico equivalente debido al bobinado ficticio (d3 = volumen

de un tomo):

A/m 33

2

d

p

d

di

d

iH mequiv

[2.20]

Magnetizacin M = momento magntico por unidad de volumen de material

ferromagntico:

Mxima magnetizacin:

A/m 1073.11027.2

10394 610

6

max

equivHM [2.21]

Induccin en el aire para ese Hequiv:

T 18.21073.1104 67max0max MBM [2.22]



DR. HUGO ARCOS M.

La saturacin completa corresponde a la magnetizacin Mmax (todos los momentos

magnticos alineados completamente con el campo exterior aplicado)

T 00 MHBBB M [2.23]

De la Figura 2.7: si H = 3000 A/m; B(cast iron) = 0.76 Tesla



DR. HUGO ARCOS M.

Figura 2.9. Aproximacin a la curva de magnetizacin para

acero fundido (cast steel) indicada en la Figura 2.7

La aproximacin lineal indicada en la Figura 2.9 es vlida hasta valores de B 0.9 T

En el rango lineal aceptable, la curva B-H puede ser descrita por:

T 0HB r [2.24]

r = permeabilidad relativa

Si H = 530 A/m, de la curva lineal se obtiene B = 0.9 T

B0 = 0 H = 4 x 10-7

x 530 = 6.669.308 x 10-7

(B/ B0) = r = 1349.4

Ejercicio 2.2: La bobina de la Figuta 2.1 tiene 1000 vueltas. El toroide es de acero

fundido (cast steel), tiene un radio medio de 250 mm y una seccin transversal de

dimetro 25 mm. Emplee la curva B-H de la Figura 2.7 para determinar la

magnetizacin M y la permeabilidad relativa r cuando la corriente en la bobina es de 1.2 Ampere.

Ejercicio 2.3: Para el sistema magntico del ejercicio 2.2, determine:

a. La corriente en la bobina para producir una densidad de flujo magntico de 1.2 Tesla en el toroide.



DR. HUGO ARCOS M.

b. La permeabilidad relativa para una densidad de flujo magntico de 0.9 Tesla. c. La inductancia de la bobina usando la aproximacin lineal que pasa por el

punto de la curva correspondiente a B = 0.9 Tesla.

2.4. Histresis

Figura 2.10. Variacin de B con H

La variacin de H entre Hmax y - Hmax y entre -Hmax y +Hmax debe ser unidireccional.

Br = densidad de flujo magntico remanente o residual

-Hc = Coercitividad o fuerza coercitiva



DR. HUGO ARCOS M.

Figura 2.11. Lazo de histresis B-H de la aleacin

deltamax (50% Ni; 50% Fe)

2.5. Energa del campo magntico

Si se aplica tensin variable a la bobina de N espiras y de resistencia R bobinada sobre

un toroide no ferromagntico (Figura 2.1), se tiene que los enlaces de flujo en cada

instante estn dados por:

Wb 0 ANB [2.25]

La fuerza electromotriz inducida es:

V 0

dt

dBNA

dt

de

[2.26]

La ecuacin de voltaje estar dada por:

V 0

dt

dBNARiv [2.27]

Y la potencia instantnea en terminales de la bobina ser:

W 02

dt

dBNAiRivip [2.28]

En el cual Ri2 corresponde a disipacin de calor mientras que la potencia restante esta

relacionada con el campo magntico.

W 0

dt

dBNAipB [2.29]



DR. HUGO ARCOS M.

Sustituyendo la expresin H = Ni/l, resulta la expresin alternativa

W 0

dt

dBAlHpB [2.30]

Con:

pB > 0 el flujo de energa se da hacia el campo magntico dentro de la bobina

pB < 0 liberacin de energa desde el campo magntico de la bobina

Si B0 = 0 la energa del campo magntico es tambin cero.

WB = energa en el campo magntico

Si la densidad de flujo magntico aumenta, la energa del campo se expresa como:

J 2

........

0

2

0

0

0

0

0

0

0

00

BlAdB

BlAdBHlAdtpW

BB

BB [2.31]

A.l = volumen del espacio encerrado por la bobina

wB = densidad de energa almacenada en el campo magntico

3

0

2

0

0

0

0

0 J/m 2

10

BdB

Bw

B

B [2.32]

Figura 2.12. Lazo B-H para un material no magntico

2.6. Prdidas por histresis

Representando la parte de la curva B-H para B creciente como:

A/m BfH i [2.33]



DR. HUGO ARCOS M.

Para un incremento de B desde B1 a B2 (Figura 2.13 (a)), se requiere un aumento de la

energa por unidad de volumen en el campo magntico.

De igual manera, la parte de la curva B-H para B decreciente puede expresarse como:

A/m BfH d [2.34]

Y para un decremento de B desde B2 a B1 (Figura 2.13 (b)), se requiere una disminucin

de la energa por unidad de volumen en el campo magntico.

Figura 2.13. Curvas B-H de un material ferromagntico

3

2

1

J/m .B

B

Bincr dBHw [2.35]

3

1

2

J/m .B

B

Bdecr dBHw [2.36]

Energa por unidad de volumen adquirida (+) y liberada (-) por el campo magntico al

variar H:

Figura 2.14. Variacin de B con H



DR. HUGO ARCOS M.

De +Hmax a cero : -amb

De cero a - Hmax : +bcdn

De -Hmax a cero : -dne

De cero a + Hmax : +efam

Las prdidas de energa por unidad de volumen = bcdn + efam amb dne = rea del lazo de histresis = prdidas por histresis = f(Bmax)

Para los materiales magnticos empleados en las mquinas elctricas:

rea del lazo de histresis = k (Bmax)n con 1.5 < n < 2.5 [2.37]

Con k y n constantes empricas.

Para f ciclos de magnetizacin por segundo, la energa disipada por segundo a causa de

la histresis es directamente proporcional a f.

Para el toroide, la potencia disipada por histresis est dada por:

W nhh BfKP [2.38]

Kh = constante dependiente del material ferromagntico y de las dimensiones del

toroide.

Ejercicio 4: La Figura 2.15 muestra un lazo B-H para un tipo de acero elctrico

laminado. Determine aproximadamente las prdidas por histresis por ciclo en un

toroide de 300 mm de dimetro medio y de seccin transversal 50mm x 50 mm.

Figura 2.15. Lazo B-H para acero elctrico M-36



DR. HUGO ARCOS M.

2.7. Flujo alternado

Figura 2.16. Inductor excitado con corriente alterna

(bobina de N espiras y parmetros R, L ncleo ferromagntico)

ie = corriente alterna de excitacin, es tal que en el ncleo el flujo magntico vara

sinusoidalmente

Wb sin t [2.39]

Fuerza electromotriz inducida:

V cos tNdt

dNeL

[2.40]

Relacin en valores eficaces:

V 2 fNNEL [2.41]

f = frecuencia del voltaje aplicado

Si R es pequea, entonces:

V Lev [2.42]

Wb2 fN

V

[2.43]

La relacin aproximada de la Ec. [2.43] expresa que si se aplica al inductor una

diferencia de potencial sinusoidal, se establece un flujo magntico sinusoidal que induce

una fuerza electromotriz que es igual a la diferencia de potencial aplicada.

Las propiedades del material ferromagntico y la configuracin del ncleo determinan

cul es la corriente de excitacin requerida para producir el flujo magntico.



DR. HUGO ARCOS M.

2.8. Prdidas por corrientes parsitas (corrientes de remolino)

Figura 2.17. Bobina sobre un toroide ferromagntico

Ncleo = material Ferromagtico

A, l seccin transversal y longitud media del toroide

B, H uniformes en la seccin transversal del toroide

ie = corriente de excitacin

= enlaces de flujo en la bobina

b WNAB [2.44]

A N

Hlie [2.45]

Figura 2.18. Lazo -ie para el sistema de la Figura 2.17.



DR. HUGO ARCOS M.

Si se aumenta la frecuencia de ie manteniendo Bmax y por tanto , el lazo de histresis se vuelve ms ancho. Este efecto se debe a las corrientes inducidas en el ncleo

ferromagntico que es tambin un conductor de electricidad.

Figura 2.19. Corrientes parsitas en el toroide cuando ie decrece

(i = corriente parsita inducida).

Efectos:

Desmagnetizacin de la parte central del ncleo

Flujo magntico forzado hacia la superficie del ncleo y prdidas Ri2 en el ncleo.

Para disminuir las prdidas por corrientes parsitas:

Usar como ncleo material magntico de alta resistividad

Dividir la seccin transversal del ncleo en pequeas superficies y aislarlas entre s.

Figura 2.20. Ncleo toroidal laminado

Como B es uniforme, en cada lmina vale:

Wb n

Bha [2.46]

fem inducida en la periferia de cada lmina:



DR. HUGO ARCOS M.

V dt

dB

n

ha

dt

de

[2.47]

Resistencia de un camino de resistividad , longitud 2h y seccin al/2n:

2

2

nal

hkR [2.48]

K tiene en cuenta que los caminos en lminas interiores tendrn menor fem que aquellos

que estn situados ms cerca de la superficie del toroide.

Potencia de prdidas cuando B vara en el tiempo:

W 4

2

2

222

dt

dB

n

ah

hnk

la

R

ep

[2.49]

Para todo el ncleo de n lminas:

W4

2

2

2

lahdt

dB

nk

apcore

[2.50]

Y las prdidas por unidad de volumen son:

3

2

2

2

W/m 4

dt

dB

nk

a

lah

pcore

[2.51]

Para una densidad de flujo alterna sinusoidal:

T sin tBB [2.52]

T/s 2cos2cos ftBftBdt

dB [2.53]

W/kgo W/m 32fdBKP ee [2.54]

Donde:

d = a/n = espesor de la laminacin

Ke = constante dependiente del material y de las dimensiones del ncleo



DR. HUGO ARCOS M.

2.9. Prdidas en el ncleo

pc(W/kg) = prdidas por histresis + prdidas por corrientes parsitas

= g(d,f,Bmax)

Figura 2.21. Prdidas en el ncleo para dos tipos de acero elctrico laminado

de espesor d = 0.635 mm.

Figura 2.22. Prdidas en el ncleo para tres espesores del acero laminado M-36



DR. HUGO ARCOS M.

Figura 2.23. Prdidas en el ncleo para el acero laminado M-36

de espesor 0.356 mm.

2.10. Corriente de excitacin en un inductor

Debido a la relacin no lineal entre B y H en el material ferromagntico, al aplicar al

inductor una tensin sinusoidal, la corriente que ste toma es no sinusoidal.



DR. HUGO ARCOS M.

Figura 2.24. Forma de onda de la corriente de excitacin en un inductor

Figura 2.25. Componentes fundamental y tercera armnica de la corriente de excitacin



DR. HUGO ARCOS M.

Expresin de la corriente de excitacin:

A ...531 eeee iiii [2.55]

Figura 2.26. Diagrama fasorial de las

componentes fundamentales de v, e ie

Ic representa una corriente ic en fase con v y de variacin sinusoidal que tiene en cuenta

las prdidas en el ncleo. Im1 representa una corriente im1 sinusoidal en fase con , que necesariamente es sinusoidal pues se cumple:

V dt

dv

[2.56]

El valor eficaz de la corriente de excitacin estar dado por:

A ...252

3

2

1 eeee IIII [2.57]

Figura 2.27. Circuito equivalente de un inductor

para frecuencia fundamental

En el circuito de la Figura 2.27, se ignora la resistencia de la bobina y las componentes

armnicas de la corriente de excitacin; Xm = reactancia de magnetizacin y en Rc se

producen las prdidas en el ncleo).



DR. HUGO ARCOS M.

2.11. Sistemas magnticos

Figura 2.28. Toroide de hierro parcialmente bobinado

Para una operacin no cercana a la saturacin, B (fuera del toroide) 0. Si a >> d, B es uniforme en A y tambin lo es H por la presencia del ncleo de hierro.

Aplicando la ley de Ampere y dado que H = constante:

A/m 2 l

Ni

a

NIH

[2.58]

Con H, de la curva B-H se obtiene B. Con B y las dimensiones del ncleo surge :

Wb BA [2.59]

Figura 2.29. Ncleo no toroidal



DR. HUGO ARCOS M.

Si la operacin est alejada de la saturacin, el flujo de dispersin (leakage flux) es

despreciable comparado con (flujo en el ncleo).

Si el estado del ncleo para una corriente particular en la bobina puede ser descrito

mediante la relacin lineal:

T 0HB r [2.60]

Entonces el flujo magntico en el ncleo es:

Wb00l

ANiHA rr

[2.61]

Y dado que la fmm F=N.i A, resulta:

A/Wb 0 A

l

r

[2.62]

Figura 2.30. Sistema magntico de dos materiales diferentes (ejercicio 5)



DR. HUGO ARCOS M.

Ejercicio 2.5: En el sistema magntico mostrado en la Figura 2.30, desprecie el flujo

magntico de dispersin y emplee la curva de magnetizacin de la Figura 2.7 para

determinar:

a. La corriente requerida para producir un flujo total de = 0.25 x 10-3 Wb. b. La reluctancia del camino de flujo completo

c. La permeabilidad relativa r para cada material bajo las condiciones dadas. d. La reluctancia de cada parte del sistema magntico.

2.12. Circuitos Magnticos Complejos

Se analizan con los mtodos aplicados a los circuitos elctricos siempre que el lazo de

histresis sea angosto para que pueda ser representado satisfactoriamente por la curva de

magnetizacin. Cuando la curva de magnetizacin puede ser representada por una lnea

recta, entonces vale:

0rH

B [2.63]

Con r constante, con lo que el circuito magntico equivalente es lineal.

Ejercicio 2.6: En el sistema magntico mostrado en la Figura 2.31, determine las

densidades de flujo B1, B2 y B3 en las tres ramas del circuito cuando la corriente en la

bobina es 0.5 A.

Figura 2.31. Circuito magntico ejercicio 2.6



DR. HUGO ARCOS M.

2.13. Flujo magntico en el aire

Figura 2.32. Sistema magntico ejercicio 7

(dimensiones en mm.)

B en el centro de una bobina circular de N vueltas estrechamente empaquetada de

dimetro d (Figura 2.32 (a)) es:

T 0

d

NiB

[2.64]

Para N = 1000; i = 1.5 A; y d = 175 mm, se tiene:

T 1077.1010175

5.110104 33

37

B

Una ms alta densidad de flujo puede ser producida en el aire con la misma bobina y la

misma corriente empleando un material ferromagntico.

Ejercicio 2.7: La bobina de 1000 vueltas discutida en el prrafo precedente est

colocada en un ncleo ferromagntico que tiene un entrehierro como se muestra en la

Figura 2.32 (b). Si la corriente en la bobina es nuevamente 1.5 A y la permeabilidad

relativa del ncleo es 1450, determine:

a. Que parte de la fmm total es requerida para vencer la reluctancia del entrehierro.

b. La densidad de flujo producida en el entrehierro. c. La relacin entre la densidad de flujo en el entrehierro y la densidad de flujo

producida en el centro de la bobina cuando esta ausente el ncleo.

d. Las intensidades de campo magntico en el ncleo y en el entrehierro.

El flujo de dispersin y el efecto de bordes en el entrehierro pueden ser despreciados.



DR. HUGO ARCOS M.

2.14. Efecto linealizante del entrehierro

Si en el Ejercicio 2.7 (Figura 2.32) se emplea el verdadero lazo de histresis B-H del

material para determinar el flujo magntico producido por el sistema se tiene:

A

A

ai

aaii lHlH

[2.65]

El lazo de histresis B-H del ncleo (Figura 2.33 (a)) y la recta del entrehierro (B=0H)

se pasan a las coordenadas (, fmm) multiplicando:

B por la seccin transversal (del ncleo; del entrehierro)

H por la longitud (del camino de en el ncleo, del camino de en el entrehierro)

Figura 2.33. Lazos -fmm para el sistema de la Figura 2.32.

Variando entre los lmites -4.205 x 10-3 < < 4.205 x 10-3 se obtiene la relacin -fmm para el sistema magntico completo segn se observa en la Figura 2.33 .

Como una aproximacin vlida para el hierro operando alejado de la saturacin se tiene

que:

Se considera al hierro ideal (r = ; y Ri 0): Se usa como caracterstica magntica para todo el sistema la indicada en la Figura 2.33 (b). Aqu se comete un

error de alrededor del 12%.



DR. HUGO ARCOS M.

Si la reluctancia del ncleo ferromagntico es pequea pero es una porcin significativa

de la reluctancia total del sistema, entonces se reemplaza el lazo de histresis por una

lnea recta de pendiente 1/Ri que pasa por el punto correspondiente a los valores de pico

(4.205 x 10-3

, 162) en la Figura 2.33 (b). El error cometido al ignorar histresis y no

linealidad es pequeo. Para el sistema en conjunto la relacin -fmm es ahora una lnea recta de pendiente 1/(Ri+Ra).

2.15. Inductancia y energa almacenada en un sistema magntico con entrehierro.

Se asume que la relacin -fmm es lineal; por tanto la inductancia es constante e igual a:

H 22

N

Ni

N

i

N

iL

[2.66]

La energa almacenada en el campo magntico es:

J 21 2LiWB [2.67]

Ejercicio 2.8: La Figura 2.34 muestra una seccin transversal de un sistema magntico

de una mquina de corriente continua tomada. En cada uno de los cuatro polos del

estator hay una bobina de 500 vueltas, y como todas las bobinas estn conectadas en

serie, todas llevan la misma corriente. Los polos del estator estn hechos de muchas

lminas de material M-36 de 0.356 mm de espesor. Las dimensiones de cada polo son

100 mm en direccin radial, 90 mm de arco de circunferencia y 110 mm en direccin

axial. El rotor es tambin de acero laminado y tiene 200 mm de dimetro. El yugo del

estator que es de hierro fundido, tiene 460 mm de dimetro medio y una seccin

transversal de 150 mm x 60 mm. El entrehierro tiene una longitud de 1.5 mm.

Considerando despreciables el flujo de dispersin y el efecto de bordes en el

entrehierro, encuentre:

a. El circuito magntico equivalente para el sistema. b. Empleando las curvas de la Figura 2.7 determine la corriente necesaria en

la bobina para producir B = 1.0 Tesla en el entrehierro.

c. Los enlaces de flujo totales del campo en las bobinas. d. La inductancia del circuito de campo completo. e. La energa almacenada en el sistema magntico. f. La energa almacenada en el entrehierro.



DR. HUGO ARCOS M.

Figura 2.34. Sistema magntico de la mquina de corriente continua del ejercicio 2.8.

2.16. Circuito equivalente de un inductor

En un inductor ideal se cumple:

El campo elctrico producido por el bobinado es despreciable

La resistencia del bobinado es despreciable

Todo el flujo magntico est confinado en el ncleo ferromagntico

La permeabilidad relativa del material del ncleo es constante

Las prdidas en el ncleo son despreciables

Se aplica v a un bobinado de N espiras y fluye ie. La fmm Nie produce y se establecen

enlaces de flujo . Si v vara aparece una fuente de tensin inducida y como R=0, se tiene que:

V dt

dev

[2.68]

Como r = constante :

WbeLi [2.69]



DR. HUGO ARCOS M.

V dt

diLv e [2.70]

Si v es una funcin sinusoidal del tiempo con = frecuencia angular:

V eLe IjXILjEV [2.71]

Figura 2.35. Circuito equivalente del inductor (a) Ideal; (b) con resistencia

Figura 2.36. Circuito equivalente del inductor con

resistencia en el bobinado y prdidas en el ncleo

En un inductor real se cumple que:

Resistencia en el bobinado

Prdidas en el ncleo

Naturaleza no toroidal del bobinado

En este caso se divide en dos componentes, una correspondiente a magnetizacin y otra correspondiente a dispersin (ver Figura 2.37):



DR. HUGO ARCOS M.

Wb lm [2.72]

R(ncleo)



DR. HUGO ARCOS M.

Figura 2.38. Circuito equivalente del inductor

incluyendo enlaces de flujo de dispersin

Para el circuito equivalente presentado en la Figura 2.38 se asume que:

El campo elctrico producido por el bobinado es despreciable

La resistencia del bobinado se representa concentrada en un terminal

El flujo magntico se divide en dos partes: o Flujo principal confinado al ncleo ferromagntico y al entrehierro o Flujo de dispersin que es producido en un camino de aire que rodea a la

bobina

Ejercicio 2.9. A la bobina de 2000 vueltas de un inductor con entrehierro en el ncleo,

como la mostrada en la Figura 2.37, se le ha medido una resistencia de 17.5 . Para una corriente en la bobina de 0.7 A, una bobina de bsqueda ubicada sobre el ncleo

inmediatamente adyacente al entrehierro indica un flujo de 4.8 x 10-3

Wb, mientras que

otra bobina de bsqueda bobinada encima de la bobina del inductor indica un flujo de

5.4 x 10-3

Wb.

Asumiendo que las prdidas en el ncleo de este inductor son despreciables, dibuje un

circuito equivalente y determine sus parmetros.



DR. HUGO ARCOS M.

2.17. Sistemas Magnticos con ms de un bobinado

Figura 2.39. Sistema magntico y su circuito equivalente

0

0

22121

1211

spgp

pgps

[2.80]

Con:

g

g

p

p

p

s

ss

A

g

A

l

A

l

0

pg AA si g pequeo

Dividiendo las expresiones de la Ec. [2.80] para N1 y derivando con respecto al tiempo

se tiene:

0

0

122

2

1

21

2

1

2

1

2

1

11211

1

2

1

2

1

2

1

2111

2

1

11

dt

NiNd

Ndt

dN

NNNdt

dN

dt

dN

dt

di

dt

di

NNNdt

dN

dt

dN

Ndt

dN

spgp

pgps

[2.81]

Considerando las siguientes equivalencias:



DR. HUGO ARCOS M.

2

1

1

22'

2

111

1

NL

N

iNi

dt

dNv

s

s

2

1

2

1

22

2

1'

2

1

1

NL

NL

dt

dN

N

Nv

p

p

g

g

[2.82]

Se tiene que:

0112

0121

'

2'

21

'

21

1'

211

dt

div

Lvv

LLdt

di

dt

divv

LLv

L

sgp

gps

[2.83]

Los flujos concatenados por cada uno de los dos bobinados pueden ser expresados

como:

'

2

'

221212221212

'

2

'

121112121111

iLiLiLiL

iLiLiLiL

[2.84]

Resolviendo el sistema de Ecs. [2.84] [2.80] pueden ser determinadas las autoinductancias e inductancias mutuas del bobinado 1 como:

gps

gps

gps

s

i

gpssgp

i

NNiN

i

N

iL

N

i

iN

iL

24

2

2

24

2

22

2122

2

1

2

01

12

2

1

1

11

1

01

11

1

2

[2.85]



DR. HUGO ARCOS M.

2.18. Conversin de Energa

Figura 2.40. Rel y su curva vs. i.

El balance de flujo de energa para un periodo dt con un movimiento dx se expresa

como:

fdWfdxeidt [2.86]

entrada Salida Cambio en

elctrica = Mecnica + energa del campo

fdxiddWf [2.87]

Si x = x0 El flujo en el ncleo y la armadura se incrementan con la corriente de excitacin

El flujo correspondiente a una corriente de excitacin es mayor cuando la reluctancia del entrehierro es ms pequea, es decir cuando x < x0.

La energa usada para magnetizar el rel desde la no excitacin hasta (i0, 0) con x fijo se almacena como energa de campo dada por el rea sombreada (ver

Figura 2.40 (b)).

La curva vs. i es una funcin de x, de aqu que Wf puede expresarse como una funcin de y x y su diferencial puede expresarse como:

dxx

Wd

WxdW

ff

f

, [2.88]

Igualando a la Ec. [2.87] se tiene:



DR. HUGO ARCOS M.

x

Wf

Wi

f

f

[2.89]

El rea rayada de la Figura 2.40 (b) es referida como coenerga y puede ser expresada

como:

),(' xWiW ff [2.90]

fdxiddiiddW

xdWiddW

f

ff

'

' ,

fdxdidWf ' [2.91]

dxx

Wdi

i

WxidW

ff

f

''

' , [2.92]

x

Wf

i

W

f

f

'

'

[2.93]



DR. HUGO ARCOS M.

3. Transformadores

3.1. Transformador Ideal

El transformador ideal es aquel en el que no se consideran:

Prdidas en el cobre de los bobinados

Prdidas en el ncleo

Flujos dispersos

Reluctancia del ncleo

Con la reluctancia del ncleo despreciada, la fuerza magnetomotriz necesaria para

magnetizarlo es cero.

Para dos bobinados ubicados en un mismo ncleo cuyas fuerzas magnetomotrices se

adicionan (Figura 3.12.a) se tiene:

1

2

2

12211 o 0

N

N

i

iiNiN

[3.1]

Por otra parte se tiene que la relacin de los voltajes inducidos esta dada por:

2

1

2

1

2

1

N

N

dtdN

dtdN

e

e

m

m

[3.2]

Considerando que todas las prdidas son despreciables se obtiene:

22

1

22

2

2111 ie

N

iN

N

eNie

[3.3]

Figura 3.12. Transformador Ideal



DR. HUGO ARCOS M.

En simulaciones y anlisis, los elementos y variables de un lado del transformador

pueden ser referidos al otro lado mediante las relaciones de voltaje y corriente

previamente establecidas.

La impedancia Z2 (Figura 3.12 c) se vera del lado primario como:

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

22

1

2

21

1

11 Z

N

N

i

e

N

N

iN

N

N

eN

i

eZ

[3.4]

3.2. Modelo de un transformador de dos devanados

3.2.1. Ecuaciones de concatenaciones de flujo

El flujo concatenado por cada bobinado puede ser expresado como:

ml 11 [3.5]

ml 22 [3.6]

Donde:

21 y ll flujos dispersos de los bobinados 1 y 2 m flujo mutuo establecido por la fuerza magnetomotriz de los dos

devanados

El flujo concatenado del devanado 1 se define como:

mlNN 11111 [3.7]

El flujo disperso 1l

es creado por la mmf del bobinado 1, N1i1 sobre un camino de

permiancia efectiva Pl1.

El flujo mutuo m

es creado por la mmf combinada 2211iNiN

en el camino de

permiancia mutua Pm.

De aqu que las concatenaciones de flujo del bobinado 1 pueden expresarse como:

2211211211

221111111

iPNNiPNPN

PiNiNPiNN

mml

ml

2121111iLiL

[3.8]



DR. HUGO ARCOS M.

Similarmente el flujo concatenado del bobinado 2 se expresa como:

1212222222

221122222

iPNNiPNPN

PiNiNPiNN

mml

ml

1212222 iLiL [3.9]

Las Ecs. [3.8] y [3.9] son las ecuaciones de flujo concatenado para dos bobinados

magnticamente acoplados.

L11 y L22 son autoinductancias de los bobinados

L12 y L21 son inductancias mutuas entre bobinados

La autoinductancia del bobinado 1 puede expresarse como la suma de una inductancia

de dispersin Ll1 y una componente de magnetizacin Lm1. As:

11

2

11

2

1

1

111

1

01

112

mlmlmli LLPNPN

i

N

iL

[3.10]

Donde: mmPiN 111

Para el bobinado 2 se tiene:

22

2

22

2

2

2

222

2

02

221

mlmlmli LLPNPN

i

N

iL

[3.11]

Con: mmPiN 222

Por otra parte:

1

2

1

2

1

1222

2

2

222 mm

mm L

N

N

N

LNPN

i

NL

[3.12]



DR. HUGO ARCOS M.

1

1

2221

1

2

1

2

2

22

1

111

1

111

mm

mm

mm

mm

LN

NiN

LN

N

N

i

N

iL

i

NL

'2112

1

2112111 iiLi

N

NiLNN mmmmm

[3.13]

3.2.2. Ecuaciones de Voltaje

De la Ec. [3.8], el voltaje inducido en el bobinado 1 est dado por:

dt

diL

dt

diL

dt

de 212

111

11

[3.14]

dt

iNNidL

dt

diLe

dt

diL

N

N

dt

diL

dt

diLe

ml

mml

21211

111

21

1

211

111

'211

111 ii

dt

dL

dt

diLe ml

[3.15]

Similarmente, el voltaje inducido en el bobinado 2 es:

21

2

12

222 ii

N

N

dt

dL

dt

diLe ml

[3.16]

Mismo que para referirlo al primario es multiplicado por N1/N2

''

'2122

2

2

122

2

2

12

2

1

212

2

2

12

22

2

12

2

1

iidt

dL

N

N

dt

diL

N

Ne

iN

Ni

dt

d

N

NL

dt

diL

N

Ne

N

N

ml

ml



DR. HUGO ARCOS M.

'

'''

2112

22 iidt

dL

dt

diLe ml

[3.17]

El voltaje en terminales del bobinado 1 esta dado por:

'211

11111111 ii

dt

dL

dt

diLrieriv ml

[3.18]

Mientras que el voltaje en terminales del bobinado 2 referido al 1 es:

''22

2

2

12

1

22

2

12 er

N

Ni

N

Nv

N

Nv

'

'''''

2112

2222 iidt

dL

dt

diLriv ml

[3.19]

Las Ecs. [3.18] y [3.19] sugieren un circuito equivalente como el presentado en la

Figura 3.13.

Figura 3.13. Circuito equivalente de un transformador de dos devanados.

Ejercicio 3.1: Un transformador 60Hz, 50 kVA, 2400/240-V es usado para bajar el

voltaje de una lnea de transmisin a un sistema de distribucin domstico.

a. Que impedancia de carga conectada a los terminales del devanado de bajo voltaje causa que el transformador llegue a su plena carga?

b. Cual es el valor de esta impedancia referida al lado de alto voltaje del transformador?

c. Cual es la corriente en el devanado de alto voltaje?

Ejercicio 3.2: Un transformador monofsico 20kVA, 2200/220V, 60Hz, tiene los

siguientes parmetros para su circuito equivalente, referidos al lado de alto voltaje del

transformador.

R1 = 2.51 R2 = 3.11



DR. HUGO ARCOS M.

Xl1 = 10.9 Xl2 = 10.9 Xm = 25100

El transformador esta alimentando una carga de 15kVA a 220V y factor de potencia 0.85 en retraso.

Determine el voltaje requerido en los terminales de alto voltaje para mantener un

voltaje nominal en la carga.

3.3. Aspectos de ingeniera en el anlisis de transformadores

Con la finalidad de simplificar la realizacin de clculos a menudo se utilizan

variaciones a los circuitos equivalentes como las que se muestran en la Figura 3.14.

Figura 3.14. Aproximaciones del circuito equivalente de un transformador de dos devanados

Figura (a): La impedancia de magnetizacin es ubicada hacia los terminales del

primario y los elementos de la rama en serie se concentran en equivalentes

Req y Xeq.

Figura (b): La impedancia de magnetizacin es ubicada hacia los terminales del

secundario y los elementos de la rama en serie se concentran en

equivalentes Req y Xeq.

Figura (c): Se desprecia la corriente de magnetizacin y los elementos de la rama en

serie se concentran en equivalentes Req y Xeq.

Figura (d): Para transformadores de alta potencia la resistencia en serie es despreciable

en comparacin con la reactancia serie y el transformador queda

representado nicamente por la reactancia equivalente en serie Xeq.

Ejercicio 3.3: El transformador del Ejemplo 2, es usado para bajar el voltaje en el

terminal de carga de un alimentador cuya impedancia es 0.3 + j 1.6 ohm. El voltaje Vs en el terminal de envo del alimentador es de 2300 V. Encuentre el voltaje en los

terminales del secundario del transformador cuando la carga conectada alanza la



DR. HUGO ARCOS M.

corriente nominal y su factor de potencia es 0.8 en retraso. Desprecie la cada de

voltaje en el transformador y en el alimentador causada por la corriente de excitacin.

3.3.1. Prueba de Cortocircuito

Permite obtener la impedancia equivalente Req + j Xeq.

Por conveniencia el lado de alto voltaje es utilizado para la realizacin de la prueba en tanto que el lado de bajo voltaje se cortocircuita.

Tpicamente un voltaje del 10 al 15% del voltaje nominal aplicado en el lado de alto voltaje permite alcanzar corriente nominal en el secundario.

Figura 3.15 (a) presenta circuito equivalente del transformador al aplicar un cortocircuito en el secundario.

El ramal serie del secundario queda en paralelo con el ramal de magnetizacin y debido a que este ltimo posee una impedancia muy alta, se puede aproximar la

impedancia equivalente paralela a la impedancia del ramal serie.

Figura 3.15. Circuitos equivalentes en prueba de cortocircuito.

En la Figura 3.15 (b) se utiliza la aproximacin de considerar al ramal de magnetizacin ubicada en los terminales del secundario.

Se evidencia el hecho de que es posible despreciar el ramal de magnetizacin que en este caso queda cortocircuitado.

La impedancia de cortocircuito Zc se puede aproximar a la impedancia equivalente Req + j Xeq.

En la prueba de cortocircuito se miden las siguientes magnitudes rms:

o Voltaje aplicado Vsc o Corriente de cortocircuito Isc o Potencia de cortocircuito Psc.

Con estas medidas se obtiene:



DR. HUGO ARCOS M.

22

2

scscsceq

sc

scsceq

sc

scsceq

RZXX

I

PRR

I

VZZ

[3.20]

Dadas las simplificaciones establecidas y en caso de necesitarse representar de forma

separada los ramales serie del primario y el secundario se puede establecer que R1 = R2 = Req/2 y Xl1 = Xl2 = Xeq/2 .

3.3.2. Prueba de Circuito Abierto

Generalmente realizada desde los terminales de bajo voltaje del transformador busca determinar los valores de los elementos del ramal de magnetizacin.

La prueba se realiza a condiciones nominales de tensin para asegurar que la reactancia de magnetizacin sea determinada de forma real.

La Figura 3.16 (a) muestra el circuito equivalente convencional para la prueba de circuito abierto, es evidente el hecho de que la corriente de cortocircuito

circula exclusivamente a travs del ramal serie del lado en el cual se aplica el

voltaje y del ramal de magnetizacin.

La Zoc vista desde el lado de realizacin de la prueba es:

mc

mclloc

jXR

jXRjXRZjXRZ

)(1111 [3.21]

Figura 3.16. Circuitos equivalentes en prueba de circuito abierto.

Debido a que la impedancia de la rama de magnetizacin es considerablemente mayor, la cada de voltaje en el ramal serie es tpicamente despreciada,

establecindose la siguiente aproximacin:

mc

mcoc

jXR

jXRZZ

)( [3.22]



DR. HUGO ARCOS M.

Esta aproximacin es equivalente a considerar el circuito de la Figura 3.16 (b) en la que se ha trasladado el ramal de magnetizacin hacia los terminales en los que

se aplica la tensin para la prueba.

En la prueba de circuito abierto se miden las siguientes magnitudes rms:

o Voltaje aplicado Voc o Corriente Ioc o Potencia Poc.

Con estas medidas se obtiene:

22

2

11

1

c

m

oc

oc

oc

occ

RZ

X

I

VZ

P

VR

[3.23]

Al requerirse mayor exactitud en estas ltimas ecuaciones se deber considerar la utilizacin de los valores de R1 y Xl1 obtenidos en la prueba de cortocircuito.

Ejercicio 3.4: Con los instrumentos ubicados en el lado de alto voltaje y con el lado de

bajo voltaje en corto circuito, se obtienen las siguientes mediciones para un

transformador de 50 kVA 2400/240 V: 48 V, 20.8 A y 617 W. Una prueba de circuito

abierto con el lado de bajo voltaje energizado da las siguientes lecturas: 240 V, 5.41 A

y 186 W. Determine la eficiencia y la regulacin de voltaje a carga nominal con factor

de potencia de 0.8 en retraso.

Para el clculo de la regulacin de voltaje considere que esta se define como el cambio

en el voltaje del terminal del lado de la carga, desde una condicin de vaco a una

condicin de plena carga expresada en porcentaje con respecto al valor de voltaje a

plena carga.

3.4. Autotransformadores y transformadores multi-bobinado

3.4.1. Autotransformadores

o En la Figura 3.17 se presentan los esquemas de un transformador comn y de un autotransformador.

o Para el caso del autotransformador el bobinado bc es comn a los circuitos primario y secundario.



DR. HUGO ARCOS M.

Figura 3.17. Conexin de un transformador (a) y de un autotransformador (b)

o Ventajas del Autotransformador (relaciones cercanas a 1:1):

o Menores reactancias de dispersin o Menores prdidas o Corriente de excitacin ms baja o Menores costos

o Desventajas:

o No existe aislamiento elctrico entre los bobinados primario y secundario.

o El bobinado ab debe estar provisto con aislamiento que permita soportar un mayor nivel de tensin operativa.

Ejrcicio 3.5: El transformador del Ejercicio 3.4 es conectado como un

autotransformador como se muestra en la Figura 3.18 (a), en la cual ab es el bobinado

de 240 V y bc es el bobinado de 2400 V. Se asume que el bobinado de 240 V tiene el

suficiente aislamiento para soportar el voltaje de 2640 V con respecto a tierra al que es

sometido.

a. Calcule los voltajes nominales VH y Vx de los lados de alto y bajo voltaje del autotransformador.

b. Calcule la potencia aparente nominal del autotransformador en kVA c. Con los datos de prdidas del Ejemplo 4 calcule la eficiencia a plena carga

para el autotransformador cuando alimenta una carga nominal con factor de

potencia de 0.8 en atraso.



DR. HUGO ARCOS M.

Figura 3.18. Conexin autotransformador Ejercicio 3.5

La significativa diferencia en la potencia que puede manejar el autotransformador se debe a que no toda la potencia tiene que ser transformada a

travs del campo magntico (ver Figura 3.18 (b)).

La corriente nominal que soportan los bobinados es la misma que la que se registra para condiciones nominales operando como transformador.

La eficiencia es mayor para conexin como autotransformador debido a que la prdidas son aquellas que corresponden a la transformacin en el campo

magntico del ncleo.

3.4.2. Transformadores Multi-bobinado

Son soluciones ms eficientes y menos costosas que la de tener varios transformadores de dos devanados.

Son de amplia aplicacin en sistemas de potencia y en aplicaciones de electrnica fuentes DC multivoltaje.

En sistemas de potencia generalmente los transformadores poseen un terciario que es generalmente usado para alimentar sistemas auxiliares de la subestacin.

Este terciario tambin es utilizado para la conexin de capacitores o

condensadores sincrnicos con la finalidad de proveer regulacin de voltaje al

sistema.

El terciario de un transformador trifsico conectado en delta provee un camino de baja impedancia para la componente de tercera armnica de la corriente de

excitacin, esto permite reducir la presencia de armnicos de voltaje en el

sistema.



DR. HUGO ARCOS M.

3.4.3. Transformadores en sistemas trifsicos

Tres transformadores monofsicos pueden ser conectados para formar un banco trifsico en cualquiera de las cuatro formas mostradas en la Figura 3.19.

Figura 3.19. Conexiones de Transformadores Trifsicos

La conexin Y-DELTA es comunmente usada para reducir voltaje desde alta a media tensin.

La conexin DELTA-Y es en cambio utilizada para elevar tensin con la Y en el lado de transmisin de alto voltaje.

La conexin DELTA-DELTA tiene la ventaja que uno de los transformadores monofsicos puede ser removido para reparaciones o mantenimiento mientras

los otros dos mantienen operativo el sistema con una potencia reducida al 58 %,

esta conexin es conocida como delta abierto.

La conexin Y-Y es poco utilizada debido a la presencia de armnicos por corriente de exitacin.

La alternativa a tener tres transformadores monofsicos es la de un nico transformador trifsico cuyo montaje se realiza en un ncleo magntico comn.

Las ventajes del transformador trifsico en comparacin con el banco de

transformadores monofsicos son los menores costos, menor peso, menor

requerimiento de espacio; y, mayor eficiencia.

Los clculos de sistemas trifsicos se realizan considerando balance de fases y por tanto se utiliza un circuito equivalente monofsico nico con el que se

obtendrn las condiciones de las tres fases. Es conveniente llevar a cabo los



DR. HUGO ARCOS M.

clculos en un transformador monofciso base considerando conexin Y y

voltajes de fase.

Para el tratamiento de transformadores conectados en Y-DELTA y DELTA Y todas las cantidades pueden ser referidas al lado de la y para la realizacin de

clculos.

En el caso de conexines DELTA-DELTA en serie con lneas de transmisin, es conveniente reemplazar las impedancias conectadas en DELTA del

transformador por un equivalente de impedancias conectadas en Y.

ZZY3

1 [3.24]

Ejercicio 3.6: Tres transformadores monofsicos 50kVA 2400:240 V de caractersticas

similares al transformador del ejemplo 4, son conectados en Y-DELTA para formar un

banco de 150 kVA que se utiliza para bajar el voltaje en el terminal de carga de un

alimentador cuya impedancia es 0.15 + j 1 /fase. El voltaje en los terminales de envo del alimentador es de 4160 V lnea a lnea. En el secundario del transformador se

encuentra conectada una carga balanceada a travs de un alimentador cuya

impedancia es 0.0005 + j 0.0020 /fase. Encuentre el voltaje de lnea en los terminales de la carga cuando sta se encuentra operando a corriente nominal a un factor de

potencia de 0.8 en atraso.

3.5. Cantidades en por unidad

Las lneas de transmisin de potencia se operan a niveles en los que el kilovoltio (kV) es la unidad ms conveniente

Debido a que se transmite una gran cantidad de potencia, los trminos comunes son los kilovatios o megavatios y los kilo-voltamperios o mega-voltamperios.

Estas cantidades, al igual que los amperios y los ohmios, se expresan frecuentemente en por ciento o en por unidad de un valor base o de referencia.

Si se selecciona una base de voltaje de 120 kV, los voltajes de 108, 120 y 126 kV equivaldrn a 0.90, 1.00 y 1.05 en por unidad o a 90, 100 y 105%,

respectivamente.

El valor en por unidad de cualquier cantidad se define como la relacin de la cantidad a su base.

La relacin en por ciento es 100 veces el valor en por unidad.

El mtodo en por unidad tiene una ventaja sobre el porcentual: el producto de dos cantidades expresadas en por unidad se expresa tambin en por unidad,

mientras que el producto de dos cantidades dadas en por ciento se debe dividir

entre 100 para obtener el resultado en por ciento.



DR. HUGO ARCOS M.

El voltaje, la corriente, la potencia aparente y la impedancia estn relacionados de tal manera que la seleccin de los valores base para cualquiera dos de ellos

determina la base de los dos restantes.

o Si se especifican los valores base de corriente y de voltaje, se pueden determinar las bases de impedancia y de potencia.

o La impedancia base es aquella que tiene una cada de voltaje igual a la del voltaje base, cuando la corriente que fluye a travs de ella es igual a

la del valor base de corriente.

o La potencia base en sistemas monofsicos son el producto del voltaje base en kilovoltios y de la corriente base en amperios.

Por lo general la potencia base en mega-voltamperios y el voltaje base en kilovoltios son las cantidades seleccionadas para especificar las bases.

Para sistemas monofsicos o trifsicos, donde el trmino corriente se refiere a corriente de lnea, el de voltaje se refiere a voltaje fase-neutro y el de potencia se

refiere a la potencia aparente por fase, las siguientes frmulas relacionan las

diferentes cantidades:

basekV

basekVAAI

fn

base 1][ [3.25]

][][

AI

baseVZ

base

fn

base [3.26]

basekVA

xbasekVZ

fn

base

1

2 1000)(][ [3.27]

baseMVA

basekVZ

fn

base

1

2)(][ [3.28]

basekVAbasekW 11 [3.29]

baseMVAbaseMW 11 [3.30]

][

][

base

realpu

Z

ZZ [3.31]

El valor en por unidad de un voltaje fase - neutro sobre el voltaje base fase - neutro es igual a1 valor en por unidad del voltaje fase - fase en el mismo punto

sobre el voltaje base fase - fase, siempre que el sistema est balanceado.

La potencia aparente trifsica es tres veces la potencia aparente monofsica, y la potencia base trifsica es tres veces la base de potencia base monofsica.



DR. HUGO ARCOS M.

Por lo tanto, el valor en por unidad de potencia trifsica sobre la base de potencia trifsica es idntico a1 valor en por unidad de potencia monofsica

sobre la base de potencia monofsica.

Por ejemplo:

kVbasekV

kVAbasekVA

kVbasekV

kVAbasekVA

fn

ff

2.693

120

100003

30000

120

30000

1

3

A menos que algo diferente se especifique, un valor dado de voltaje base en un sistema trifsico es un voltaje fase - fase, y un valor dado de potencia base es el

valor trifsico total. En este caso la corriente y la impedancia base se calculan

como:

basexkV

basekVAAI

ff

base3

][ 3 [3.32]

3

1000)3(][

3

2

basekVA

basekVZ

ff

base

[3.33]

basekVA

basekVZ

ff

base

3

21000)(][ [3.34]

baseMVA

basekVZ

ff

base

3

2)(][ [3.35]

De esta forma queda establecido que se deben usar:

o Voltaje fase-fase con potencia trifsica (Ecs. [3.34] y [3.35])

o Voltaje fase-neutro con potencia monofsica (Ecs. [3.27] y [3.28])

Ejercicio 3.7: El voltaje en terminales de una carga conectada en Y que consiste de tres

impedancias iguales de 20 /30 es de 4.4 kV. La impedancia de cada una de las tres lneas que conectan la carga a las barras de una subestacin es de ZL = 1.4 /75 . Encuentre los voltajes fase - fase en las barras de la subestacin. Trabaje en por

unidad sobre una base de 4.4 kV, 127 A.



DR. HUGO ARCOS M.

3.5.1. Cambio de Bases de cantidades en por unidad

Con frecuencia las impedancias en por unidad de los componentes del sistema se encuentran expresadas sobre sus propias bases, mismas que generalmente son

diferentes a la base seleccionada para el clculo.

Es entonces necesario convertir las impedancias en por unidad de una base a otra, ya que para los clculos todas las impedancias de un sistema deben estar

expresadas sobre la misma impedancia base.

2

base

baserealpu

V

xSZZ

[3.36]

base

nuevabase

nuevabase

basepunuevapu

S

S

V

VZZ

2

2

[3.37]

Ejercicio 3.8. Un transformador monofsico tiene valores nominales de 110/440 V y 2.5

kVA. La reactancia de dispersin medida desde el lado de bajo voltaje es de 0.06 . Determine la reactancia de dispersin en por unidad.

Ejercicio 3.9. Tres partes de un sistema elctrico monofsico se designan como A, B y

C y estn conectadas entre s a travs de transformadores, como se muestra en la

Figura 20. Los transformadores tienen los siguientes valores nominales:

A-B 10 000 kVA, 13.8/138 kV, reactancia de dispersin 10%

B-C 10 000 kVA, 138/69 kV, reactancia de dispersin 8%

Encuentre la impedancia en por unidad de una carga resistiva de 300 en el circuito C, referida a los circuitos C, B y A, si en el circuito B las bases se seleccionan como

10000 kVA y 138 kV. Dibuje el diagrama de impedancias sin tomar en cuenta la

corriente de magnetizacin, las resistencias de los transformadores y las impedancias

de las lneas.

Figura 3.19. Diagrama Ejemplo 9.

La base de potencia debe ser la misma en todas las partes del sistema y la seleccin del voltaje de base en una parte determina los voltajes base asignados

a las dems partes del sistema en correspondencia con la relacin vueltas de los

transformadores.



DR. HUGO ARCOS M.

3.5.2. Referencia de impedancias de un lado a otro del transformador trifsico.

La carga en el secundario consiste en impedancias balanceadas ZL, conectadas en Y.

3.5.3. Ventajas de los clculos en por unidad.

Los valores en por unidad de las impedancias determinados en la porcin del sistema donde se encuentran, son iguales a aquellos vistos desde cualquier otra

parte del sistema.

La gran ventaja de usar valores en por unidad es que no se requieren clculos para referir una impedancia de un lado del transformador al otro.



DR. HUGO ARCOS M.

Temas a recordar:

Se elige el voltaje base y potencia base en una parte del sistema. Se entiende que los valores base para sistemas trifsicos son voltajes lnea a lnea y potencia

trifsica.

Para las otras partes del sistema, esto es, para los otros lados del transformador, se determinan los voltajes base de cada parte de acuerdo con las relaciones de

los voltajes lnea a lnea de los transformadores. La potencia base ser la misma

en todo el sistema. Es de ayuda sealar los diferentes voltajes base de cada parte

del sistema sobre el diagrama unifilar.

Generalmente, la informacin disponible sobre la impedancia de los transformadores trifsicos est en por unidad o por ciento sobre la base de sus

valores nominales.

Para un banco trifsico conformado por transformadores monofsicos, el valor nominal de potencia trifsica es igual a tres veces el valor nominal de potencia

monofsica. La impedancia en por unidad de la unidad trifsica es la misma que

la de los transformadores monofsicos.

Se debe cambiar de base (Ec. [131]), la impedancia en por unidad de un elemento que tiene bases diferentes a las que se han seleccionado.

unidad 1: maquinas electricas

Documents