unidad 1 - estado de tension

UTN - FRBA Ing. Mario Eduardo Alonso Resistencia de Materiales Ing. Juan José Urquiza

1-30

UNIDAD 1: ESTADO DE TENSIÓN

INTRODUCCIÓN

Efectuemos el ANÁLISIS ESTÁTICO de un sólido sometido a la acción de un sistema de fuerzas en equilibrio

(Ver Figura 1). Distinguiremos entre Fuerzas Aplicadas o Activas (P1, P2,…, Pn) y Fuerzas Reactivas o Reacciones

de Vínculo (R1, R2,…, Rn).

P1 Pn

R1 Rn

P2

R2

P1 PnP2

Figura 1

à Hablamos de un Sistema en Equilibrio.

à Hemos puesto en evidencia las Reacciones de Vínculo Externo è Diagrama Cuerpo Libre

à Este sólido tomado como una unidad es un TODO en equilibrio.

A nosotros nos interesa ver qué ocurre dentro del TODO cuando éste está sometido a las fuerzas exteriores, tanto

activas como reactivas.

Para ello dividimos el TODO en dos partes mediante un corte según un plano arbitrario π. (Ver Figura 2)

La región rayada S es la intersección del plano π con el sólido y la llamamos sección transversal.

Ninguna de las dos partes originadas luego de efectuado el corte se encuentra en equilibrio.

Figura 2

Para restablecer el equilibrio en la parte 1 es necesario efectuar la reducción a un punto de las fuerzas actuantes en la parte 2, (idéntico razonamiento podría realizarse pensando en equilibrar la parte 2 reduciendo las

fuerzas actuantes en la parte 1).

Reducimos a un punto cualquiera C y nos aparece una C

RR y

C

RM .

P1

R1

P2

R2

S S

Parte 1 Parte 2

RR

MR

C

C

C

π


2-30

Ahora, por convención, nosotros reducimos

al baricentro G de la sección transversal.

(Ver Figura 3).

Podríamos elegir un SISTEMA CARTESIANO de referencia asociado a nuestra SECCIÓN TRANSVERSAL.

Así, las resultantes de la reducción tendrán tres componentes según las direcciones x, y, z (Ver Figura 4).

Hemos definido así los valores de los esfuerzos característicos que solicitan a la sección considerada.

Este equilibrio alcanzado a través de la reducción del sistema de fuerzas a un punto, que por convención

consideramos el baricentro, induce a pensar que la vinculación entre las partes se materializa a través de seis

condiciones de vínculo (CV) aplicadas a dicho punto.

CONCEPTO DE TENSIÓN

El contacto entre las dos partes no se realiza en forma puntual (como

sugiere la reducción de fuerzas), en realidad se desarrolla a lo largo de

cada uno de los puntos de la sección.

Se concluye que en realidad interviene un CONJUNTO INFINITO DE

FUERZAS que actúan sobre cada uno de los elementos de área que

componen la sección.

Considero un elemento de área ∆S y que sobre dicho elemento se

transmite una fuerza elemental ∆P (Ver Figura 5).

S

S

Parte 1 Parte 2

Mx

My

Mz

NQy

Qz

x

y

z

Mx N

My

Qy

Mz

Qz

G

P1

R1

P2

R2

S S

Parte 1 Parte 2

RR

MR

RR

MR

∆P

∆s

=

Mz

My

Mt

Qz

Qy

N

S

Figura 4

Figura 5

=

Rz

Ry

Rx

RR

=

Mz

My

Mx

MR

Figura 3


3-30

Considero el cociente ∆P / ∆S y haciendo tender a cero el

denominador, se define como TENSIÓN EN EL PUNTO a la

siguiente expresión: (Ver Figura 6)

dS

dP

S

PTensión

S=

∆

∆==

→∆

π

ππρ

0lim

Observamos que:

à Es una magnitud vectorial

à Unidades: Fuerza sobre superficie (por ej.: KN/cm2)

⇒π Plano de corte de la sección

⇒

πρv

Vector tensión (no necesariamente

perpendicular al plano)

⇒∆

πS

Diferencial de superficie

Por este diferencial de superficie se pueden transferir fuerzas en general, pero no cuplas (Ver Figura 7).

brazo de palanca infinitesimal è implica que el par es infinitésimo de orden superior.

Recordemos que la vinculación se da punto por punto; precisamente

este vector tensión en general va a ser distinto para cada punto del

plano, ( )zyxf ,,=π

ρv

pero además también va a depender del

plano de corte. (Ver Figura 8).

Debemos ahora identificar el plano pasante por

el punto en el que se pretende analizar las

tensiones. Para ello recurrimos al VERSOR

NORMAL AL PLANO en cuestión.

(Ver Figura 9).

πn(

: versor normal al plano (dirección de la normal exterior)

En la figura 9, se observa que α, β y γ son los ángulos que forma el versor normal al plano con los ejes

coordenados x, y, z respectivamente.

dsdP

dP

ρπ

∆Sπ

π

Sπ

A(xA,yA,zA)

xz

y

nπ

A

ρπ

π

xz

y

x

z

y

α

β

γ

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9


4-30

Las siguientes relaciones:

l = cos α , m = cos β , n = cos γ son los llamados cosenos directores del versor π

n(

.

(son las componentes del vector en la terna x,y,z)

Luego, el vector π

n(

, tendrá la siguiente notación vectorial: → ( )nmln ,,=π

(

Se debe cumplir que: → l2 + m2 + n

2 = 1

Finalmente, se puede concluir que el vector tensión, en su forma más general, es función del punto analizado

(dependencia de las coordenadas xA, yA, zA del punto) y también es función de la orientación del plano

considerado (dependencia de los cosenos directores del versor normal al plano en estudio). Es decir:

( )nmlzyxfAAA

,,,,,=π

ρv

TENSIONES NORMALES Y TANGENCIALES

El vector tensión se suele representar mediante dos componentes: (Ver Figura 10)

πσ : Tensión normal al plano en estudio

πτ : Tensión tangencial al plano en estudio

ϕ : Ángulo comprendido entre el vector tensión y

el versor normal del plano considerado.

Analicemos las componentes del vector tensión, de la figura surge claramente que los módulos (magnitud escalar)

de estas componentes son:

ϕρσ

ππcos.

vv=

ϕρτ

ππsen.

v=

Si utilizamos notación vectorial podemos decir que:

πππρσ n

(rr×=

→ Producto escalar entre el vector tensión y el normal al plano.

Siendo:

( )zyx ππππ

ρρρρ ,,=r

; ( )nmln ,,=

π

( ;

222

zyx ππππρρρρ ++=

; 1=

πn

nπ

π

ρπ

σπ

τπ

ϕ

Figura 10


5-30

Resulta que:

Luego el vector tensión normal al plano π será:

ππππππρσσ nnn

((r(rr).(. ×==

• Puedo conocer los cosenos directores deπ

ρ :

• Si deseo conocer el ángulo ϕ que forma el vector tensión π

ρ con la normal al plano π, podríamos considerar

el siguiente producto escalar (Ver Figura 11):

Para el vector tensión tangencial tendremos:

ϕρτππ

sen.= → la aparición del “senϕ” sugiere que la expresión de la tensión tangencial debe ser en

términos de un producto vectorial πππ

ρτ n(vv

∧=

En la figura 12 observamos que con la simple aplicación del

producto vectorial no obtenemos el vector buscado. Debemos volver

a multiplicar vectorialmente por π

n(

.

Es decir: ππππ

ρτ nn(v(v

∧∧=

Otra forma posible de obtener el vector tensión tangencial es

mediante la resta entre el vector tensión y vector tensión normal.

Es decir: πππ

σρτvvv

−=

El módulo del vector tensión tangencial será:

22

πππσρτ −=

ρπ

τπ = nπ ^ ρπ ^ nπ

nπ

ρπ ^ nπ

ϕ

90º

x

y

z

ϕ

ρπ τπ nπ

σπ

π

Figura 12

Figura 11

π

π

ρ

π

π

ρ

π

π

ρρ

ργ

ρ

ρβ

ρ

ρα zyx === cos;cos;cos

nmlzyx...

ππππρρρσ ++=→

nml .cos.cos.coscosρρρ

γβαϕ ++=π

ρ

ρρρϕ r

nmlzyx...

cos++

=ϕρρππππ

cos.. nn(r(r

=×


6-30

NOTACIÓN Y CONVENCIÓN DE SIGNOS

El vector tensión, en el caso más general, tiene tres componentes. Para designarlas se recurre a dos subíndices, de los cuales el primero indica el plano en el que actúa la tensión y, el segundo subíndice, su dirección.

Por ejemplo, el vector tensión definido por : ( )zyx ππππ

ρρρρ ,,=r

En la figura 13, el plano π es ahora un “plano

X”, dado que el versor normal del plano π no

es más que el versor que identifica la

dirección del eje X.

La primer componente, ρπx , es una tensión

que actúa sobre el plano π (1er. subíndice) y tiene la dirección del eje x (2do. subíndice).

Las componentes del vector tensión serán:

ρπx = σx

ρπy = τxy

ρπz = τxz

La convención de signos que adoptaremos para las tensiones normales será:

Tensión normal saliente del plano Tensión normal entrante al plano

TRACCIÓN è σ > 0 COMPRESIÓN è σ < 0

Para definir el signo de las tensiones tangenciales debemos introducir previamente el concepto de “cara positiva” y

“cara negativa”. Se dice que una cara es “positiva” si el vector normal saliente a dicha cara tiene la dirección

positiva de alguno de los ejes coordenados. Para el cubo elemental representado en la figura 13, la cara ABCD es

“positiva” y la cara OEFG es “negativa” (ambas son “caras x”).

Entonces diremos que:

“La tensión tangencial será positiva, si actuando sobre una cara positiva, su sentido coincide con la dirección

positiva de alguno de los ejes coordenados.”

En la figura 13, las tensiones tangenciales τxy y τxz indicadas, son ambas positivas.

σπ<0

π

σπ>0

π

Figura 14

Figura 13

( )x

nn((

== 0,0,1π

x

z

y τxy

σx

ρx

τxz

πO

A

B

C

D

E

F

G


7-30

ECUACIONES DE EQUIVALENCIA

Todo lo hecho hasta ahora nos permitirá establecer relaciones entre los dos sistemas de fuerzas actuantes en el

cuerpo. Por un lado tenemos las fuerzas exteriores (activas y reactivas) con las que se calculan las solicitaciones

características en la sección en estudio. Por otro lado, el conjunto de los vectores tensión actuantes en cada punto

determinan un sistema de fuerzas interiores en dicha sección. Las expresiones matemáticas que relacionan ambos

sistemas se denominan ECUACIONES DE EQUIVALENCIA.

Lo dicho lo resumimos en las dos expresiones siguientes: (Ver Figura 15.a)

O bien, expresándolas en términos de las componentes del vector tensión y de las coordenadas del punto (Ver Figura 15.b)

Observamos que las tensiones normales NO producen momento torsor (momento con respecto al eje x). En él sólo intervienen las tensiones tangenciales.

G

x

y

z

rA

G

x

y

z

A(yA,zA)

τxy

σx

τxz

zA

yA

(a)

(b)

ρx

Sistema de Fuerzas Exteriores

Solicitaciones Características

Sistema de Fuerzas Interiores

TENSIONES

ECUACIONES DE EQUIVALENCIA

( )

dsyM

dszM

dszyMtM

Sxz

Sxy

Sxyxzx

∫

∫

∫

−=

=

−==

.

.

..

σ

σ

ττ

dsQ

dsQ

dsN

Sxzz

Sxyy

Sxx

∫

∫

∫

=

=

=

τ

τ

σ

dsRS

xR ∫= .ρrr

dsrMS

xAR ∫= ).^( ρrrr

Figura 15


8-30

IMPORTANTE

Conocidas las T (tensiones) punto por punto en una sección transversal podemos determinar las S (solicitaciones).

Conocidas las S, NO podemos determinas las T (el camino inverso no es posible).

PROBLEMA ESTÁTICAMENTE INDETERMINADO

• Pues hay ∞ valores de tensión.

• Tenemos 6 ecuaciones e infinitas incógnitas è INDETERMINACIÓN ESTÁTICA

• En los capítulos siguientes vamos a desarrollar un modelo que permita resolver el problema.

Vamos a agregar ECUACIONES CINEMÁTICAS para un cuerpo deformable (NO RÍGIDO).

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UN MEDIO CONTINUO

Vamos a considerar una porción infinitesimal (la suponemos cúbica) de un cuerpo en equilibrio, al que

asumimos como un medio continuo.

Asumimos que las funciones tensión son continuas y derivables, por lo que, conocidas las tensiones en

una cara, bastaría un desarrollo en serie Taylor para establecer el valor de las tensiones en la cara paralela

opuesta. (Ver Figura 16).

x

y

z

dydxdzzzx

zx

∂

∂+

ττ

dx

dy

dzdyxzτdzdydx

xx

x

∂

∂+

σσ

dzdydxx

xy

xy

∂

∂+

ττ

dzdydxxxz

xz

∂

∂+

ττ

dzdxyxτ

dzdxdyy

yxyx

∂

∂+

ττ

dydxzxτ

dz

dzdyxyτ

dzdyxσ

O=A

Figura 16


9-30

......+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂dydxdz

zdzdxdy

ydzdydx

xzxyxx ττσ

Nos limitamos al segundo término de la serie con una precisión razonable.

è Hipótesis Teoría Lineal De Tensiones

Analizaremos el equilibrio del cubo elemental. Plantearemos entonces tres ecuaciones de nulidad de proyección de

fuerzas y tres nulidad de momentos. Comenzamos con las tres primeras. En la figura 16, para una mayor claridad,

se representaron principalmente las fuerzas provocadas por tensiones que tienen la dirección del eje x.

Simplificando queda:

Hasta ahora consideramos sólo las fuerzas actuantes sobre la superficie del elemento, pero además actúan fuerzas

que se generan como consecuencia de la masa encerrada en el volumen:

• Acción gravitatoria (peso)

• Fuerzas de Inercia (fuerza centrífuga)

• Acción dinámica (vibraciones, elementos de máquinas, sismos)

Estas fuerzas reciben el nombre genérico de “fuerzas de volumen”, designándose en general como Xv, Yv y Zv

a sus componentes por unidad de volumen en cada una de las direcciones de la terna XYZ adoptada.

Luego, podemos expresar las fuerzas de volumen como:

dPx = Xv.dv ; dPy = Yv.dv ; dPz = Zv.dv ; siendo dv = dx . dy . dz

La fuerza de volumen más común es, sin lugar a dudas, el peso propio. Si consideramos su acción en la dirección x,

su valor es:

Xv = γ . gx siendo : gx: aceleración de la gravedad (en dirección x) y

γ: densidad

Además, todas estas fuerzas, refiriéndonos a las fuerzas de volumen junto con las de superficie, por la

segunda ley de Newton, deben ser igualadas a F = m.a (componente dinámica), o lo que es igual a

2

2

t

udzdydx

∂

∂γ , siendo u el corrimiento en la dirección x.

Haciendo lo mismo para las direcciones Y y Z obtenemos otras dos ecuaciones semejantes donde u, v, w son las

componentes del corrimiento del punto A en las direcciones x, y, z respectivamente.

Se considera asimismo que en los cambios de forma que puede sufrir el todo y cada una de las partes son de una

magnitud tal que no ejercen modificaciones relevantes en la posición de las fuerzas actuantes.

è Se considera el equilibrio en la configuración no deformada del sistema.

∑ = 0x

F

......+

∂

∂++−

∂

∂++−

∂

∂++− dydxdz

zdydxdzdxdy

ydzdxdzdydx

xdzdy zx

zxzx

yx

yxyxx

xx

τττ

τττ

σσσ

2

2

t

udzdydxdzdydxX

zyxV

zxyxx

∂

∂=

+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂γ

ττσ


10-30

Respecto al segundo miembro de la ecuación anterior, la componente dinámica, vamos a considerar en este curso

que las fuerzas las vamos a aplicar tan lentamente que podremos establecer un sistema “CUASI ESTÁTICO”. Luego

las aceleraciones resultan nulas.

Finalmente, las tres ecuaciones obtenidas con las tres ecuaciones de proyección de fuerzas son:

Éstas son las llamadas ecuaciones de equilibrio de un

medio continuo o ecuaciones diferenciales de

equilibrio. Notar que en estas tres ecuaciones aparecen nueve incógnitas

que son los valores de las tensiones.

(1)

Nos restan plantear las tres ecuaciones de

momentos.

Tomamos momentos respecto al eje z

baricéntrico y resulta: (Ver Figura 17)

02222

=

∂

∂+−−+

∂

∂+

dxdzdydx

x

dxdzdy

dydzdx

dydzdxdy

y

xy

xyxyyx

yx

yx

ττττ

ττ

Despreciando infinitésimos de orden superior resulta: è xyyx

ττ =

Se arribó a una importante conclusión:

“Las tensiones tangenciales actuantes sobre dos caras ortogonales y cuyas direcciones son perpendiculares a la

arista son iguales y sus sentidos son tales que concurren a la arista o bien se alejan de ella”.

Planteando las otras dos ecuaciones de momento se llega a expresiones similares.

Estas tres expresiones constituyen el TEOREMA DE CAUCHY.

Empleando estas tres relaciones en las ecuaciones (1) podemos reducir las

nueve incógnitas a seis quedando de la siguiente manera:

(2)

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

0

0

0

Zvzyx

Yvzyx

Xvzyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

σττ

τστ

ττσ

dzdyxyτ

dzdxdyy

yx

yx

∂

∂+

ττ

dzdxyxτ

dzdydxxxy

xy

∂

∂+

ττ

x

y

dzdyxyτ

dzdxdyy

yx

yx

∂

∂+

ττ

dzdxyxτ

dzdydxxxy

xy

∂

∂+

ττ

x

y

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

0

0

0

Zvzyx

Yvzyx

Xvzyx

zyzxz

yzyxy

xzxyx

σττ

τστ

ττσ

Figura 17

xyyx ττ = zyyz ττ =xzzx ττ =


11-30

TENSIONES EN UN PLANO CUALQUIERA

TENSOR DE TENSIONES

Consideremos un cuerpo en equilibrio, del que aislamos

una parte infinitesimal en el entorno de un punto A.

Tomamos una terna de referencia XYZ y consideramos

los tres planos ortogonales definidos por los ejes de la

terna, pasantes por dicho punto A.

Definimos un plano genérico π mediante su versor

normal (Ver Figura 18):

),,( nmln =π

(

Veremos a continuación que, conocidas las tensiones en estos tres planos coordenados ortogonales, podremos

conocer las tensiones en cualquier plano pasante por el punto. (Ver Figura 19).

Nos interesa conocer las tres componentes del vector tensión ρπ. Como el plano π pasa por el punto A resulta que

todas las fuerzas actuantes sobre los cuatro planos forman un sistema de fuerzas concurrentes.

Si consideramos el área delimitada por el plano π hasta su intersección con los planos coordenados como de valor

unitario, dicha superficie, proyectada sobre cada uno de los planos mencionados, alcanza los valores de áreas que

se indican en la figura 20.

Plano π: Área BCD = 1

Plano x: Área OCD = l

Plano y: Área OBD = m

Plano z: Área OBC = n

xz

y ρπ

ϕ

α

β

γ

nπ

O=A

π

x

y

z

ρz

O=A

πρy

ρx

plano z

plano y

dy

dx

xx

y

z π

xzτ

yxτ

zxτ

zyτ

zσ

yzτ

xyτ

xσ

yσ

x

y

z

1.n

1.m1.l

B

C

D

O=A

Figura 18

Figura 19

Figura 20


12-30

Planteamos el equilibro de las fuerzas y resulta:

Según x: →

Según y: → nml zyyxyy .1..1..1.1. τστρπ ++= (3)

Según z: → nml zyzxzz .1..1..1.1. σττρπ ++=

Podemos sintetizar la escritura de estas tres expresiones empleando notación matricial. Obtenemos:

=

n

m

l

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

.

σττ

τστ

ττσ

ρ

ρ

ρ

π

π

π

o bien, en forma compacta [ ] ππρ nT(v

.=

Observemos que en la diagonal principal del tensor tensión aparecen las tensiones normales σ y en las dos

submatrices triangulares restantes aparecen las tensiones tangenciales τ. Observar que, por el teorema de

Cauchy, los elementos de estas dos submatrices son iguales. Es decir que el tensor de tensiones es simétrico

respecto de la diagonal principal.

En resumen:

Conocidas las tensiones en tres planos perpendiculares por un punto.

Conozco [ T ] Puedo conocer tensiones en cualquier plano pasante por dicho punto.

CLASIFICACIÓN DEL ESTADO DE TENSIÓN ∗ Triple, Triaxial o Espacial

Los estados tensionales podemos clasificarlos en: ∗ Doble, Biaxial o Plano

∗ Simple, Axial o Lineal

Triple: cuando el vector ρ , para los infinitos planos que pasan por A, varía totalmente.

Doble: cuando el vector siempre está contenido en un plano. El plano donde está contenido ρ es el plano de tensión.

Simple: El vector ρ siempre tiene la misma dirección.

nml zxyxxx .1..1..1.1. ττσρπ ++=

ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL

ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO Cosenos directores del plano analizado

Tensor de Tensiones

[ T ]

Vector Tensión


13-30

TENSIONES PRINCIPALES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Vimos que con la expresión:

[ ]

ππρ nT

(v.=

Conocido el tensor de tensiones, es posible calcular el

vector tensión para cualquier plano pasante por el punto,

con la sola condición de conocer su versor normal.

Ahora me interesa encontrar aquellos planos para los cuales

πρr

coincida conπ

σr

, es decir que: (Ver Figura 21)

è

Resulta entonces:

),,( nml⋅=ππ

σρr

Los planos que cumplen con esta condición se llaman PLANOS PRINCIPALES, los versores normales a ellos

definen las llamadas DIRECCIONES PRINCIPALES y las tensiones actuantes se denominan TENSIONES

PRINCIPALES. En dichos planos las tensiones tangenciales son nulas.

El especial interés por conocer los planos principales radica en que las tensiones asociadas a dichos planos

alcanzan valores extremos, máximos o mínimos. Los planos principales son tres y puede comprobarse que son

perpendiculares entre sí.

A continuación procederemos a encontrar los planos principales y sus tensiones asociadas. Para ello reemplacemos

la expresión (4) en las ecuaciones (3) (cambiamos el subíndice π del plano por i).

(5) o bien è

Las ecuaciones (5) constituyen un sistema de ecuaciones homogéneo, en el cual a cada valor escalar σi, se le asocia

una dirección definida por (l,m,n). Estamos frente a un problema de “autovalores y autovectores”.

También se puede expresar con notación matricial:

0. =

−

−

−

n

m

l

izyzxz

zyiyxy

zxyxix

σσττ

τσστ

ττσσ

[ ]ppppipp

nTn((v

.. == σρ è 0.].[ =−ppipp

nnT((

σ è (7)

(se multiplicó por la matriz unidad )

x

y

z Plano principal

τπ=0

nπ

ρπ=σπ

π

Figura 21

(4)

(6)

ππ ρσrr

=0=πτr

nmln

nmlm

nmll

zyzxzi

zyyxyi

zxyxxi

....

....

....

σττσ

τστσ

ττσσ

++=

++=

++=

0).(..

0.).(.

0..).(

=−++

=+−+

=++−

nml

nml

nml

izyzxz

zyiyxy

zxyxix

σσττ

τσστ

ττσσ

{ } 0.]1.[][ =− ppi nT(

σ

[ ]

=

100

010

001

1


14-30

Calculando el determinante de la matriz del sistema (6) e igualándolo a cero obtenemos una ecuación de 3er grado

llamada Ecuación de Lagrange (polinomio característico). Las tres raíces son los “Tensiones Principales”

(autovalores, valores propios o eigenvalues) del estado de tensión analizado.

{ } 0]1.[][det =−i

T σ → 0.. 32

21

3 =−+− III iii σσσ è Tres raíces σ1, σ2, σ3

Tensiones Principales

(autovalores)

Por convención adoptamos: σ1 > σ2 > σ3 (considerando los signos)

Los coeficientes I1, I2 e I3 que aparecen en la ecuación (8) son los llamados invariantes de tensión. Son solamente

expresiones algebraicas donde intervienen los elementos del tensor [T]. Los veremos en detalle más adelante.

Una vez obtenidos los autovalores, los reemplazamos en el sistema (5) o (6). Por cada uno de ellos obtenemos un

sistema de ecuaciones homogéneo, cuya solución nos da los cosenos directores de la dirección asociada. Hemos

obtenido los vectores que definen las “Direcciones Principales” (autovectores, vectores propios o eigenvectors)

del estado de tensión analizado.

Autovalores Autovectores

=→

1

1

1

11

n

m

l

n(

σ

=→

2

2

2

22

n

m

l

n(

σ

=→

3

3

3

33

n

m

l

n(

σ

Se puede comprobar que: 321

nnn(((

⊥⊥

Ahora en vez de trabajar con la terna original XYZ y su tensor asociado [T], es posible emplear una nueva

terna cuyos ejes coinciden con las direcciones definidas por 321

,, nnn(((

(terna principal o terna 123), a la

que le corresponde un nuevo tensor [Tp], al que llamaremos TENSOR PRINCIPAL.

Este nuevo tensor [Tp], tiene como elementos de la diagonal principal a los autovalores σ1, σ2 y σ3 y los

restantes elementos nulos (tensor diagonal). Es decir, se “diagonalizó” el tensor [T]. Desde el punto de vista

físico lo que se hizo fue una ROTACIÓN DE EJES.

x

y

z

1

3

2

(8) Ecuación de Lagrange

=

3

2

1

00

00

00

σ

σ

σ

Tp

Figura 22


15-30

πρr

2σr

1σr

π

EJEMPLOS:

• ESTADO HIDROSTÁTICO: caso particular del Estado Triple,

• Estado Plano: (ver figura 23)

Dos tensiones principales ≠ 0

Para un plano cualquiera de análisis:

πρv

está contenido en un plano paralelo a

σ1 y σ2.

• Estado Simple: (ver figura 24)

Solo una tensión principal es ≠ 0

πρv

está sobre la dirección de 1σ

IMPORTANTE

EL TENSOR DE TENSIONES [T] (EN TERNA X,Y,Z) PARA UN ESTADO DOBLE O SIMPLE NO NECESARIAMENTE VA

A PRESENTAR ELEMENTOS NULOS. SI VA A PRESENTAR ELEMENTOS NULOS EL TENSOR PRINCIPAL.

Propiedades del estado de tensión

1) Tensiones normales máxiσ en planos principales.

2) Tensiones tangenciales máxiτ en planos desfasados a 45º a planos principales.

INVARIANTES DEL ESTADO DE TENSIÓN

Analizaremos a continuación las expresiones algebraicas obtenidas al desarrollar el determinante del sistema (6)

que constituyen los coeficientes de la ecuación de Lagrange.

En ellas intervienen los elementos del tensor [T]. Como su nombre lo indica, sus valores permanecen “invariantes”

aunque se cambie la terna de referencia. A continuación indicaremos sus significados y sus expresiones, tanto para

la terna XYZ como para la terna principal 123.

• I1 : es la traza del tensor [T] (o [Tp]). Se define así a la suma de los elementos de la diagonal principal.

3211 σσσσσσ ++=++= zyxI

• I2 : es la suma del menor adjunto de [T] (o [Tp]) desarrollado por la diagonal principal.

=

000

00

00

2

1

σ

σ

Tp

2σ

1σ

2σ

1σ

πρr

1σr

π

Figura 23

Figura 24

321 σσσ ==⇒

=

000

000

001σ

Tp

( ) ( ) ( ) 133221222

2 ...... σσσσσστσστσστσσ ++=−+−+−= xyyxxzzxyzzyI


16-30

• I3 : es el determinante de [T] (o [Tp])

321222

3 ........2.. σσστστστστττσσσ =−−−+= xyzxzyyzxzxyzxyzyxI

¿Qué ventajas me trae conocer los invariantes?

Me permite conocer el tipo de estado de tensión.

ESTADO TRIPLE è 0321

≠≠≠ σσσ 03

≠∴ I Es condición necesaria y suficiente.

ESTADO DOBLE è Una raíz 0= y dos raíces 0≠ 0&023

≠=∴ II

ESTADO SIMPLE è Una raíz 0≠ 0&0

01

2

3 ≠=

=∴ I

I

I

EJERCICIO

Dado el estado de tensiones en el punto representado en la figura 25.

Se solicita:

1) Clasificar el estado de tensión.

2) Determinar las tensiones y planos principales.

021 =−+=++= aaaI zyx σσσ

( ) ( ) ( ) 222222222 422... aaaaaI xyyxxzzxyzzy −=−+−−=−+−+−= τσστσστσσ

022......2.. 332223 =+−=−−−+= aaI xyzxzyyzxzxyzxyzyx τστστστττσσσ

Resulta: I3 =0 e I2 ≠ 0 è ESTADO DOBLE

* Determinación Tensor Principal [ ]Tp y Direcciones Principales [ ]Dp

Planteamos la Ecuación de Lagrange:

x

y

z

a

a

2a

a

a

[ ]

−

=

=

a

aa

aa

T

zyzxz

zyyxy

zxyxx

200

0

0

σττ

τστ

ττσ

0.. 322

13 =−+− III iii σσσ

aa 2;0;2 321 −=== σσσa

aa

i

i

ii 2

240 2

−=

==→=

σ

σσσ

0)4(.4 223 =−=− aa iiii σσσσ

Figura 25


17-30

a23 =σ

zplano

Planos principales

Sabemos que el plano z es principal, los otros dos planos principales

son perpendiculares al plano z.

a23 −=σ

( )1,0,03 =n(

Si en la expresión

Reemplazo 1σσ =p , obtengo:

è

è

Para 02 =σ

è

x

y

z

x

y

z x

y

z

45°

45°

n1

σ1=2a

n2

135°

45°

σ2=0

Figura 26

Figura 27

0

2200

02

02

1

1

1

=

−−

−

−

n

m

l

aa

aaa

aaa

04

0

0

1

11

11

=−

=−

=+−

na

mala

mala11 ml =

01 =n ;2

2; 11 ==ml

= 0,2

2,2

21n

(

02

0

0

2

22

22

=−

=+

=+

na

mala

mala

22 ml −=

02 =n ;2

2; 22 −=−= ml

−= 0,2

2,2

22n

(1;

2

2

2

2 =+ml

1;2

1

2

1 =+ml

[ ] [ ] [ ]{ } [ ] 01 =−p

nT p ασ(


18-30

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ESTADO DE TENSIONES

CIRCUNFERENCIAS DE MOHR

El estado triple de tensiones es un fenómeno que ocurre en el

espacio tridimensional. Las circunferencias de Mohr constituyen

una herramienta que permite trabajar dicho problema

tridimensional (Tp con 3 tensiones 1σ , 2σ y 3σ ) mediante una

construcción gráfica bidimensional.

Importante:

Se usa como terna de referencia a la TERNA PRINCIPAL.

Direcciones principales

Planos principales è

Tensiones principales

Dado un plano π, referido a terna principal:

[ ] [ ] [ ] ( ) ( )zyxpppp nmlnT πππππ ρρρσσσρ ,,.,.,. 321 ===

vv

223

222

221

222 ... ppp nml σσστσρ ++=+=

( )( )2

3

2

2

2

1

321

...

,,..,.,.

ppp

pppppp

nml

nmlnmln

σσσσ

σσσρσ

π

πππ

++=

=×=(r

El problema que nos ocupa es el de encontrar la orientación de un plano al que le corresponden tensiones σ y τ

dadas, o viceversa, ver que tensiones le corresponden a un plano conocido.

Trabajaremos con las siguientes relaciones:

(eliminamos el subíndice “p” pero debemos tener presente que

trabajamos con la terna de referencia principal).

(9)

Las expresiones (9) constituyen un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas l2, m2, n2. Resolviendo y

ordenando de manera apropiada para 321 σσσ >> , se llega a las siguientes 3 relaciones: (un análisis más detallado

se encuentra en el libro “Estabilidad II” de Enrique D. Fliess)

Ecuación A) ( )22

322

2

321

2

322 1.2

.22

ll −

−+

+−=

+−+

σσσσσ

σσστ

Ecuación B) ( )22

312

2

312

2

312 1.2

.22

mm −

−+

+−=

+−+

σσσσσ

σσστ

Ecuación C) ( )22

212

2

213

2

212 1.2

.22

nn −

−+

+−=

+−+

σσσσσ

σσστ

x

y

z

12

3

A

σ1

σ2

σ3

[ ]

=

3

2

1

00

00

00

σ

σ

σ

pT

( )ppp nmln ,,=π

(

222

23

22

21

223

222

221

222

1

...

...

nml

nml

nml

++=

++=

++=+=

σσσσ

σσστσρ

π

Figura 28


19-30

Estas tres ecuaciones (A), (B) y (C) son de la forma , è

es decir que cada ecuación representa una familia de circunferencias con centro ( )βα;C y radio R, siendo:

1) X , Y è σ , τ

2) β = 0

Para la primera familia de circunferencias: è Ecuación A) (Ver figura 29)

Centro Para l = 0 è è

Para l = 1 è è

Para la segunda familia de circunferencias: è Ecuación B) (Ver figura 29)

Centro Para m = 0 è è

Para m = 1 è è

C1 C2 C3

l=0

l=1

m=1

m=0

n=0

n=1

σ3 σ2 σ1

τ

σ

( ) ( ) 222RYX =−+− βα

2

32

2

322

22

−=

+−+

σσσσστ

+

2;0 32

1

σσc

2

32

1

2

322

22

+−=

+−+

σσσ

σσστ

2

32σσ −

=R

2

32

1

σσσ

+−=R

2

31

2

312

22

−=

+−+

σσσσστ

+

2;0 31

2

σσc

2

31

2

2

312

22

+−=

+−+

σσσ

σσστ

2

31σσ −

=R

2

31

2

σσσ

+−=R

Figura 29


20-30

Para la tercera familia de circunferencias: è Ecuación C) (Ver figura 29)

Centro Para n = 0 è è

Para n = 1 è è

Las dos circunferencias graficadas para cada familia A). B) y C) constituyen las circunferencias extremas, pues

fueron trazadas con los valores límites de de los parámetros l, m, n (cosenos directores).

Dado que l puede variar entre 0 y 1; y lo mismo m y n, los puntos que nos interesan son los que quedan encerrados

por 0=l , 0=m y 0=n . Queda formado así un triángulo curvilíneo, siendo el área sombreada la que cumple

con estas condiciones en forma simultánea.

Ahora dibujemos sólo la parte útil de los circunferencias de Mohr (Ver figura 30) y analicemos los puntos notables

del gráfico.

Punto A – Este punto tiene:

0

0

1

=

=

=

n

m

l

por él pasa el plano principal de la dirección 1.

Punto B – Este punto tiene:

0

1

0

=

=

=

n

m

l


Punto C – Este punto tiene:

1

0

0

=

=

=

n

m

l


2

21

2

212

22

−=

+−+

σσσσστ

+

2;0 21

2

σσc

2

21

3

2

212

22

+−=

+−+

σσσ

σσστ

2

21σσ −

=R

2

21

3

σσσ

+−=R

Figura 30

l=0

m=0

n=0

σ3 σ2 σ1

τmáx

σC B A

D

τ


21-30

C1 C2 C3

P(lp,mp,np)

R1-

2

R1-3l=0

m=0

n=0

σ3 σ2 σ1

σ

τnp

mp

lp

R2-3

σ

ρ τ

Punto D – Tensión tangencial máxima 2

31 σστ

−=máx , conozco un coseno director: m = 0

Buscamos determinar las tensiones σ y τ que actúan en un plano cualquiera definido por un versor cuyos cosenos

directores son lp, mp y np o inversamente determinar el plano que corresponde a dos tensiones dadas. (Ver figura 31)

De las ecuaciones A), B) y C) sacamos los radios de tres circunferencias:

+

2;0 32

1

σσc ( )2

2

322

2

32

1231.

2.

2pp

llR −

−+

+−=

σσσσσ

+

2;0 31

2

σσc ( )2

2

312

2

31

2131.

2.

2pp

mmR −

−+

+−=

σσσσσ

+

2;0 21

3

σσc ( )2

2

212

2

21

3121.

2.

2pp

nnR −

−+

+−=

σσσσσ

Se trazan las tres circunferencias con los centros y radios indicados, las que se cortan en un punto P, cuyas

coordenadas representan las tensiones buscadas.

No es necesario calcular los radios para determinar el punto representativo de las tensiones del plano analizado.

Los datos son lp, mp y np , cosenos directores de los ángulos α, β y γ que el versor normal al plano forma con las

direcciones 1, 2 y 3.

Las normales al eje σ, pasantes por σ1, σ2 y σ3 representan las direcciones 1, 2 y 3 respectivamente (Ver figura

32).

Por σ1 tracemos una recta que forme con DP1 el ángulo α hasta que corte a la circunferencia σ1-σ3 en H’ y a la

circunferencia σ1-σ2 en H’’.

Figura 31


22-30

l=0

m=0

n=0

σ3 σ2 σ1

σ

τ

DP

1

α=45°γ=45°

DP

2

DP

3

τmax

Por σ3 tracemos una recta que forme con DP3 el ángulo γ hasta que corte a la circunferencia σ1-σ3 en I’ y a la

circunferencia σ2-σ3 en I’’.

Trazamos con centro en C3 un arco pasante por I’I’’’ y con centro C1 un arco pasante por H’H’’’. Donde los dos

arcos se crucen se encuentra el punto P.

La demostración geométrica se puede ver detalladamente en el libro “Estabilidad II” de Enrique D. Fliess.

Si buscamos determinar máxτ ;

(Ver figura 33)

º45

231 ==→

−= γα

σστ máx

C1 C2 C3

l=0

m=0

n=0

σ3 σ2 σ1

σ

τnp

lp P

DP

1

α

γ

DP

2

DP

3

H'

H''

I'

I''

Figura 32

Figura 33


23-30

CASOS PARTICULARES:

a. Tensión hidrostática

0;321 === τσσσ

Las tres circunferencias se reducen a un punto.

(Ver figura 34)

b. Estado plano

0;0 321 =>> σσσ

Pese a ser una tensión nula, resulta que, para la

tensión tangencial máxima: (Ver figura 35)

2

21σσ

τ−

≠máx

Ejemplo: cañería a presión. Para todos los puntos

de la cañería el estado es plano. Sólo para los

puntos que pertenecen a la superficie interior

de la cañería presentan estado triple siendo una de

las presiones principales, la presión del fluido.

c. Estado simple (Ver figura 36)

0;0 321 ==≠ σσσ

Una circunferencia se reduce a un punto (σ2-σ3) y las

dos restantes (σ1-σ3 y σ1-σ2) son coincidentes.

d. Resbalamiento simple o corte puro

0; 231 =−= σσσ

Las tensiones tangenciales máximas se dan en

los dos planos inclinados a 45º respecto a los planos

principales pero no presentan tensión normal.

(Ver figura 37)

σ3=σ2=σ1

σ

τ

τmax=(σ1-σ3)/2

DP

1

DP

2

DP

3

σ3=0 σ2 σ1

σ

τ

σ3=σ2=0

σ

τ

σ1

σ2=0σ3=-σ σ1=τ σ

τ

DP

1

DP

2

DP

3

τmax=τ

τmin

=- τ

α=45°γ=45°

Figura 34

Figura 35

Figura 36

Figura 37

τττσσ

τ =−−

=−

=2

))((

2

31

máx


24-30

y

x

α

β

xyτ

yxτ

xσ

yσ

πρ

πσ

πτ

πn(

2

2.cos

ααα

sensen =ασαατασσ

22

..cos..2cos. sensenyxyx

++=

ESTADO DOBLE O PLANO

Todo lo visto hasta ahora para el caso general de estado triaxial

de tensiones, lo desarrollaremos para el caso del estado plano de

tensiones:

[ ]ππ

ρ nT(vv

.=

=

n

m

l

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

.

σττ

τστ

ττσ

ρ

ρ

ρ

Los términos subrayados son nulos (es decir se anula la 3er

columna y 3er fila del tensor de tensiones y el 3er coseno

director del versor normal al plano.

+=

+=

ml

ml

yxyy

yxxx

..

..

στρ

τσρ

Recordando que ππππ

ρϕρσ nn(v(r

.cos.. ==

Siendo:

Reemplazamos y obtenemos:

Como

podemos reescribir la ecuación:

ασατασσ22

.2.cos. sensenyxyx

++= Reagrupando nos queda:

ατασασσ 2..cos.22

sensenxyyx

++=

Ahora trabajaremos con las tensiones tangenciales:

αασατατααστ

αραρτ

π

πππ

cos..cos...cos.

cos..

22

sensensen

sen

yxyxyx

yx

++−−=

+−=

.

x

y

z

xyτ

yσ

xσ

yxτ

22

....2.

...

..

mmll

m

l

ml

ml

yxyx

yyx

xyx

στσσ

στ

τσσ

++=

+

+=

αβ

α

senm

l

==

=

cos

cos

Figura 38


25-30

ααα 2coscos22

=− sen

2

2.cos

ααα

sensen =

Como y

Reescribimos la ecuación y la reagrupamos:

ασσ

αττ 2sin.2

2cos.xy

xy

−+=

Adoptamos para el estado plano una convención de signos distinta:

“Las tensiones tangenciales serán positivas si producen un giro de sentido horario respecto a un punto interior del elemento”.

En la figura 39, τyx es positiva, mientras que τxy es negativa.

TENSIONES PRINCIPALES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Recordamos las expresiones vistas para el estado triple, adaptadas al estado doble

- Las componentes del vector tensión:

- Los autovalores (tensiones principales) surgen de resolver el determinante:

è è

Ecuación de Lagrange (2º grado)

Recordando que: a

cabbx

.2

..42

2,1

−±−= ,

La solución es:

Para determinar los planos principales, buscamos la primer derivada respecto de α de la expresión:

; recordando que y

resulta:

Igualando a cero, obtendremos los planos de máxima tensión.

y

x

α

β

α

πρ

yσ

xπρ

yxτ

yπρ

πτ

πn(

πσ

xσ

xyτ

( )α

α

αsen−=

∂

∂ cos ( )α

α

αcos=

∂

∂ sen

Figura 39

mll

mll

yyxiy

xyxix

...

...

στσρ

τσσρ

+==

+==

0=−

−

iyyx

xyix

σστ

τσσ

αταασαασα

σ2cos..2.cos..2cos...2

xyyxsensen ++−=

∂

∂

( ) ( ) 0.2

=−−−xyiyix

τσσσσ ( ) 0..22

=

−++−

xyyxyxiiτσσσσσσ

ατασασσ 2..cos.22

sensenxyyx

++=

2

2

22xy

yxyx

iτ

σσσσσ +

−±

+=


26-30

Recordando que: ααα 2.cos.2 sensen = podemos reescribir la ecuación:

( )( )

( )1

1

11

11

2cos

2.2

22cos..2

02cos..22

α

α

σσ

τ

ασσατ

ατασσ

sen

sen

sen

yx

xy

yxxy

xyxy

=−

−=

=+−

è

Existen dos valores de 12α que difieren entre sí π que satisfacen la ecuación

è existirán dos ángulos 1α que difieran 2

π ,

+2

1

1

πα

α

MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL

Su valor está dado por:

Si la expresión: , la derivamos respecto α de e igualamos a 0,

obtenemos lo siguiente:

è

En las dos expresiones que dan las tangentes de los ángulos 2α1 y 2α2, puede observarse una es inversa de la otra y están cambiadas de signo (lo que es condición de perpendicularidad). Luego α1 y α2 difieren en 45º. es decir que:

“LOS PLANOS PRINCIPALES SE ENCUENTRAN ORIENTADOS A

45º CON RESPECTO DE LOS PLANOS DE TENSIONES

TANGENCIALES MÁXIMAS”. (Ver figura 40)

yx

xy

σσ

τα

−=

.22tan

1

ασσ

αττ 2.2

2cos. senxy

xy

−+=

( ) 22.4.

2

1xyyxmáx

τσστ +−±=

xy

xy

τ

σσα

.22tan

2

−=

( )

α

α

τ

σσ

ασσατα

τ

2cos

2

.2

02cos.2..2

sen

sen

xy

xy

xyxy

=−

=−+−=∂

∂

45°

α2

2α1

2α2

90

°

α1

Plano principal

Plano máximatensión tangencial

Figura 40


27-30

CIRCUNFERENCIA DE MOHR Consideremos las expresiones que nos permiten calcular σ y τ para un plano cualquiera, conocido el ángulo α:

−+=

++=

ασσ

αττ

ατασασσ

2.2

2cos.

2..cos.22

sen

sensen

xy

xy

xyyx

Teniendo en cuenta que:

2

2cos1

2

2cos1cos

2

2

αα

αα

−=

+=

sen

−+=

+

−+

+=

ασσ

αττ

ατα

σα

σσ

2.2

2cos.

2.2

2cos1.

2

2cos1.

sen

sen

xy

xy

xyyx

−+=

+−++=

ασσ

αττ

ατασσασσ

σ

2.2

2cos.

2.2

2cos.

22

2cos.

2

sen

sen

xy

xy

xy

yyxx

como ( )yxxy σσσσ −−=− è

+−

−=

+−

++

=

ατασσ

τ

ατασσσσ

σ

2cos.2.2

2.2cos.22

xy

yx

xy

yxyx

sen

sen

+−

−=

+−

=+

−

ατασσ

τ

ατασσσσ

σ

2cos.2.2

2.2cos.22

xy

yx

xy

yxyx

sen

sen, si elevamos al cuadrado y sumamos:

444444444444 3444444444444 210

22222

2

2

2

2

2

2cos..2.2

.22..2cos.2

.2

2cos.2.2.2

2cos.22

=

−−

−+

+++

−+

−=+

+−

ατασσ

ατασσ

ατατασσ

ασσ

τσσ

σ

xy

yx

xy

yx

xyxy

yxyxyx

sensen

sensen

444 3444 21444 3444 211

222

1

222

22

)2cos2(.)22(cos.22 ==

+++

−=+

+− ααταα

σστ

σσσ sensen

xy

yxyx


28-30

Luego:

Esta ecuación responde a la forma: ( ) ( ) 222RYX =−+− βα è es la ecuación de una circunferencia con

centro y radio R.

Para nuestro caso, es la circunferencia con y

CONSTRUCCION DE LA CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA EL ESTADO PLANO

Supongamos un elemento diferencial en equilibrio como el indicado en la figura 41(a).

En un sistema cartesiano σ-τ, adoptada una escala conveniente, se representan los pares de valores de las tensiones

actuantes sobre cada una de las caras del elemento. Comencemos con la cara AD (plano X). Sobre las abscisas

dibujemos un segmento equivalente a σx, y a partir de allí, otro segmento que representa τxy, obteniendo así el

punto X (debemos respetar la convención de signos adoptada para las tensiones tangenciales). Hacemos lo propio

con las tensiones actuantes sobre la cara AB (plano Y) y obtenemos el punto Y. (En la figura 41(b) se supuso que

σx > σy). Unimos con una recta los puntos X e Y. Dicha recta corta al eje σ en el punto C.

Es sencillo comprobar, comparando con las expresiones anteriores, que las coordenadas de C corresponden

al centro de la circunferencia de Mohr y que el segmento CX=CY representa su radio. Hemos trazado la

circunferencia buscada.

El punto X de la circunferencia representa las tensiones que actúan sobre el plano X, que en el elemento de la fig.

41(a) es un plano vertical, por lo tanto trazamos por el punto X una recta vertical hasta cortar la circunferencia. De

forma análoga se procede con el punto Y, imagen de las tensiones actuantes sobre el plano Y, el cual es horizontal;

luego por Y trazamos una recta horizontal hasta cortar la circunferencia. Ambas rectas, horizontal y vertical, se

intersectan en un punto P situado sobre la circunferencia, al cual denominamos “POLO”.

(b)

( )βα ;C

+= 0,

2

yxC

σσ 22

2xy

yxR τσσ

+

−=

22

22

22xy

yxyx τσσ

τσσ

σ +

−=+

+−

Figura 41

y

x

α

α

πρ

yσ

yxτ

πτ

πn(

πσ

xσ

xyτ

A

D

B

(a)

σx

σ

τ

τ xy

X

τ yx

σy

Y

C

O

P(Polo )

Plano Y

Pla

no X


29-30

La justificación de todo lo expuesto y otras interesantes propiedades puede verse detalladamente en el libro

“Estabilidad II” de Enrique D. Fliess.

Si por el polo P trazamos una recta paralela a la traza del plano π, ésta corta a la circunferencia en el punto S. Las

coordenadas de dicho punto en el sistema de ejes σ-τ representan la tensión normal σπ y la tangencial τπ que

actúan sobre el mencionado plano. (Ver figura 42)

De los infinitos planos pasantes por el punto nos interesan en particular:

• Planos principales con sus respectivas tensiones σ1 y σ2. (Ver figura 43)

• Planos con tensiones tangenciales máximas a 45º respecto de los principales. (Ver figura 44)

Figura 42

α

σ

τ

X

Y

CO

P(Polo)

Plano Y

Pla

no

X

nπS

σπ

ρπ

τπ

Plano π

α

Figura 43

σ

τ

X

Y

C

O

P(Polo)

Plano Y

Pla

no X

σ1

P. P

pal. 1

n2

σ2

α1

α1+π/2

α1+

π/2

P. Ppal. 2

n1

α1


30-30

Figura 44

σ

τ

X

Y

CO

P(Polo)

Plano Y

Pla

no X

στmax

τ max

nτ+

α2

α2+π

/2

α2+π/2

Plano τ+

45°

Pla

no τ

-

nτ−

α2

unidad 1 - estado de tension

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